Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 10 de Enero, 2021, 19:08

El año pasado (2020) leí un artículo de Quanta Magazine que me hizo conocer el trabajo de Emily Riehl en teoría de categorías (el artículo abarca más que esa actividad), Quiero comentar hoy brevemente los primeros párrafos de su excelente libro Category Theory in Context. Serán comentarios livianos, el tema da para mucho más, sirva esto como una leve introducción.

Teoría de categorías es un tema que goza de la fama de abstracto, y en gran parte es así. Tambien va surgiendo en este siglo una rama aplicada de la teoría, pero en general, aún muchos matemáticos profesionales ven a la teoría como abstracta. Algo que no colabora para su diffusion, es que, como muchas otras ramas, si uno comienza a estudiarla se encuentra con muchas definciones y conceptos, que si bien son interesantes, NO PARECEN tener motivación que justifique su desarrollo. Es por eso que es bienvenido este libro de Riehl (la pueden segurr en su twitter @emilyriehl donde se describe como working mathematician, supongo que un guiño a uno de los más conocidos libros de teoría de categorás) que pone en contexto, como dice su título, las ideas que se desarrollan en el pensamiento de categorías. Leo al comienzo del libro:

Atiyah described mathematics as the "science of analogy." In this vein, the purview of category theory is mathematical analogy. Category theory provides a cross-disciplinary language for mathematics designed to delineate general phenomena, which enables the transfer of ideas from one area of study to another. The category-theoretic perspective can function as a simplifying1 abstraction, isolating propositions that hold for formal reasons from those whose proofs require techniques particular to a given mathematical discipline.

Suenore recuerdo el comentario de Bourbaki sobre Gauss, que en su Disquisitione Mathematica probaba una y otra vez una propiedad que quedaba evidente dentro de la teoría de grupos, pero debía hacerlo así porque esa teoría no estaba desarrollada. Las matemáticas como que extraen lo común a varias situaciones y trabajan sobre ello. Por ejemplo, las propiedades de un anillo, luego de haber establecido los axiomas a cumplir por todo anillo. O los espacios topológicos, dados las propiedades de sus conjuntos abiertos. La teoría de categorías va un paso (yo diría más de un paso), en esa dirección.

A subtle shift in perspective enables mathematical content to be described in language that is relatively indifferent to the variety of objects being considered. Rather than characterize the objects directly, the categorical approach emphasizes the transformations between objects of the same general type. A fundamental lemma in category theory implies that any athematical object can be characterized by its universal property—loosely by a representation of the morphisms to or from other objects of a similar form. For example, tensor products, "free" constructions, and localizations are characterized by universal properties in appropriate categories, or mathematical contexts. A universal property typically expresses one of the mathematical roles played by the object in question. For instance, one universal property associated to the unit interval identifies self-homeomorphisms of this space with re-parameterizations of paths. Another highlights the operation of gluing two intervals end to end to obtain a new interval, the construction used to define composition of paths.

El punto importante, que exige un esfuerzo intellectual, es justamente ver el objeto a través de sus relaciones con otros objetos parecidos. El tema de propiedad universal es fundamental en teoría de categorías, pero también cuesta aprehenderlo porque en general lo manejos en dominios particulares, como anillos o campos.

Certain classes of universal properties define blueprints which specify how a new object may be built out of a collection of existing ones. A great variety of mathematical constructions fit into this paradigm: products, kernels, completions, free products, "gluing" constructions, and quotients are all special cases of the general category-theoretic notion of limits or colimits, a characterization that makes it easy to define transformations to or from the objects so- defined. The input data for these constructions are commutative diagrams, which are themselves a vehicle for mathematical definitions, e.g., of rings or algebras, representations of a group, or chain complexes.

Es por todo esto, que este libro es para matemáticos: RIehl pone en contexto las ideas de teoría de categorías, pero apelando a varios conocimientos, desde el algebra conmutativa y no conmutativa hasta topología general.

Important technical differences between particular varieties of mathematical objects can be described by the distinctive properties of their categories: that rings have all limits and colimits while fields have few, that a continuous bijection defines an isomorphism of compact Hausdorff spaces but not of generic topological spaces. Constructions that convert mathematical objects of one type into objects of another type often define transformations between categories, called functors. Many of the basic objects of study in modern algebraic topology and algebraic geometry involve functors and would be impossible to define without
category-theoretic language.

De alguna forma, teoría de categorías expone lo que muchos matemáticos hacen: encontrar analogías entre distintos objetos y sacar provecho de ello. Sí, Atiyah tenia razón: es la ciencia de la analogia.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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