Angel "Java" Lopez en Blog

Ciencia


Publicado el 29 de Agosto, 2016, 7:33

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Is the neutrino its own antiparticle?
http://www.symmetrymagazine.org/article/is-the-neutrino-its-own-antiparticle

The Dirac comb function Sha
http://www.johndcook.com/blog/2015/12/22/the-dirac-comb-or-sha-function/

Quantum Mechanics of Many-Electron Systems | Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences
http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/123/792/714

Weyl Fermion: Long-Sought Massless Particle Finally Observed | Physics | Sci-News.com
http://www.sci-news.com/physics/science-weyl-fermion-massless-particle-03037.html

Charles Galton Darwin - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Galton_Darwin

Dirac delta function - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=J-oyM1GyyDk

BBC News - Mathematics: Why the brain sees maths as beauty
http://www.bbc.co.uk/news/science-environment-26151062

Electromagnetic Duality for Children
http://www.maths.ed.ac.uk/~jmf/Teaching/Lectures/EDC.pdf

Dirac Lecture 1 (of 4) - Quantum Mechanics - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=vwYs8tTLZ24

[math-ph/9902027] Preparation for Gauge Theory
http://arxiv.org/abs/math-ph/9902027

Taylor & Francis Online :: Did Dirac predict the positron? - Contemporary Physics - Volume 51, Issue 2
http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00107510903217214

Paul A. M. Dirac y el descubrimiento del positrón | Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/06/24/paul-a-m-dirac-y-el-descubrimiento-del-positron/

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 22 de Agosto, 2016, 7:30

Comienzo hoy un gran, grande tema. Quiero visitar los conceptos y el andamiaje matemático que han dado las teorías de Einstein (la relatividad especial y la relatividad general), así como la relatividad de Galileo, luego adoptada por todos, desde Newton.

Hay varios lugares desde donde comenzar esta historia. Por ejemplo, explicando algo de las leyes de Newton,  o de su teoría de la gravedad, o desde el electromagnetismo y su discrepancia con las transformaciones de Galileo. Pero veamos de comenzar por algo simple.

Generalmente, cuando describimos un suceso (la caída de un rayo, en un "punto" de la pradera), podemos dar cuatro coordenadas:

x, y, z, t

Las tres primeras correspondientes a la posición espacial del suceso, y la cuarta es el tiempo. Esta tupla de valores indica un "punto" en el espaciotiempo. Esto es lo primero nuevo que encontramos en esta serie. Mientras es habitual hablar del "espacio", y también por otro lado del "tiempo", no lo es tanto tratar del "espaciotiempo". Por ahora, queda expuesto en lo de arriba: para describir un suceso, usamos cuatro valores, coordenadas no espaciales o temporales, sino del espaciotiempo.

Pero lo que un observador puedo poner en esos valores ante el suceso ocurrido, depende de su elección de sistema de coordenadas. Imaginemos que usamos un sistema de coordinadas que esté en reposo con respecto al observador del suceso. Hay mucho para discutir sobre conceptos como "en reposo", pero podemos manejarnos así en esta primera incursión.

Ahora imaginemos otro observador, que va viajando en un tren, en línea recta y con velocidad uniforme con respecto al primer observador. Entonces, el anota que el suceso ocurre en:

x', y', z', t'

valores correspondientes a su sistema de coordenadas, "fijo" a su tren. Podríamos discutir cómo hace este segundo observador para conseguir estos resultados. También podríamos discutir cómo hace el segundo observador para obtener la tupla primera, sin los tildes. Pero ahora, preguntémonos: ¿qué relación hay entre esta tuplas de valores? ¿cómo podemos pasar de uno a otro?

Primero, necesitamos saber la posición relativa de un observador al otro. Y también, si hay alguna diferencia en la orientación de sus sistemas de coordinadas. Por lo pronto, uno podría afirmar que:

t = t'

Es decir, que los dos observadores obtuvieron la misma coordenada temporal para el suceso. Pues bien, sorpresa! Hay algo acá que Einstein discutiría. Y lo haría por una buena razón: si adoptamos esta postura, que los tiempos son iguales para ambos observadores, llegaríamos a una contracción con experimentos del siglo XIX. Pero nos estamos adelantando. En el próximo post, veremos cuál es la relación entre ambas tuplas, según Galileo y Newton. Y tendremos que poner alguna primera definición de sistema de referencia y sistema inercial.

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Publicado el 21 de Agosto, 2016, 18:14

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Vimos en los post anteriores, cuando examinamos el caso espectro continuo, que se cumple:

Y

Lo notable, entonces, es que AMBAS funciones:

Representan el estado físico subyacente. Mientras que una es función de las coordenadas, la segunda es función de los valores posibles de la magnitud que estemos estudiando. Si conocemos una, conocemos la otra (provistas las autofunciones de f).

Esto es parte de la "magia" de la mecánica cuántica que estamos estudiando. Aclaremos algo de las autofunciones. En las expresiones de arriba, aparecen

,

Las primeras son las autofunciones de f en la representación q, mientras que las segundas son las autofunciones de q en la representación f. Es algo enrevesado, pero espero que vaya quedando más claron con el tiempo. Mientras, tratemos de responder un tema, ¿qué representan las funciones de las dos primeras ecuaciones de arriba?

Pues bien, la expresión:

Expresa la probabilidad de que el sistema tenga coordenadas dentro de un dq dado, es decir, se integra:

Mientras que, de forma análoga:

Expresa la probabilidad de que el sistema encuentre a la magnitud f en un df dado.

Notablemente, hay magnitudes físicas que pueden tener espectro continuo para un dominio de sus valores, y en otro dominio tener espectro discreto. Por ejemplo, un electrón ligado a un átomo exhibe un espectro discreto de energías, mientras que el mismo electrón, libre, puede tener un espectro continuo de energía. En un caso así, donde el sistema puede tener ambos espectros, una función de onda arbitraria se expresaría por un "mix" de:

Un ejemplo que exhibe espectro continuo, son los valores de las coordenadas q. Para conseguir su valor medio, basta multiplicar por q dentro de la integral:

Si recordamos nuestra definición de operador, que era algo que dado una función retorna una función:

El concepto de operador nos sirve para "estrujar" a la función de onda, y conseguir un resultado físico, en este caso, el valor medio de una magnitud, dentro de un dq (cuando las funciones de ondas están en representación de coordenadas q). Todo esto nos hace ver que el operador que hay que usar para conseguir el valor medio de las coordenadas es:

Es decir, simplemente multiplicar por q.

Para determinar las funciones propias (autofunciones) de las coordenadas, hay que trabajar sobre CADA punto de las coordenadas. Cada uno de esos puntos posibles tiene una función propia asociada. Se resuelve para cada punto q0, la ecuación:

Esto se cumple para:

O para:

Entonces es claro que:

Ha sido un largo camino de posts, pero todavía no tenemos una pista de cómo es en concreto una función de ondas, su expresión en coordenadas o en otra representación. Para conseguir esa expresión, no nos alcanza las matemáticas: tenemos que apelar a alguna pista física. Fue Schrodinger quien encontró una expresión. Ya comienza a ser tiempo de comentar algo sobre el tema, en los próximos posts.

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Publicado el 20 de Agosto, 2016, 18:01

Luego de comentar vectores, veamos un ejemplo de generalización en ciencia. Hasta ahora, Einstein/Infeld trataron movimientos en línea recta. Pero no son los más comunes en la naturaleza. Hace falta contemplar otros tipos de movimientos.

Mientras nos ocupemos únicamente del movimiento en línea recta estaremos lejos de comprender los movimientos observados en la naturaleza. Para entenderlos nos vemos obligados a estudiar movimientos sobre trayectorias curvas y determinar las leyes que los rigen. Esto no es asunto fácil. En el caso del movimiento rectilíneo, nuestros conceptos de velocidad, cambio de velocidad y fuerza resultaron muy útiles. Pero no se ve, inmediatamente, cómo los podremos aplicar al caso de trayectorias curvilíneas. Se puede evidentemente pensar que los conceptos vertidos resulten inadecuados para la descripción de cualquier movimiento y que debemos crear conceptos nuevos. ¿Nos convendrá seguir el camino anterior o buscar otro?

Aparece la generalización en ciencia:

La generalización es un proceso que se emplea muy a menudo en la ciencia. El método de generalización no está determinado unívocamente; hay, usualmente, numerosas maneras de llevarla a cabo. Sin embargo, debe satisfacerse un requisito: todo concepto generalizado se debe reducir al concepto original cuando se establecen las condiciones previas. Esto se entenderá mejor al aplicarlo al caso que nos ocupa. En efecto, se puede intentar la generalización de los anteriores conceptos de velocidad, cambios de velocidad y fuerza, para el caso del movimiento curvilíneo. Cuando se habla de curvas, técnicamente, se incluye entre ellas a las líneas rectas. La recta es un caso particular y trivial del concepto más general de curva. Luego, si introducimos la velocidad, el cambio de velocidad y la fuerza para el movimiento curvilíneo, estos conceptos quedan automáticamente definidos, también, para el movimiento rectilíneo. Pero este resultado no tiene que contradecir los previamente obtenidos. Si la curva se transforma en una línea recta, todos los conceptos generalizados tienen que transformarse en los que usamos en la descripción del movimiento rectilíneo. Esta restricción tío es suficiente para determinar la generalización unívocamente. Deja abiertas muchas posibilidades. La historia de la ciencia nos enseña que las generalizaciones más simples resultan a veces adecuadas y otras veces no. En nuestro caso resulta relativamente simple acertar con la generalización correcta. Los nuevos conceptos probaron su utilidad al permitirnos entender el movimiento de un cuerpo arrojado en el aire, como el movimiento de los cuerpos celestes, etc.

Como describen, la generalización no siempre es única, y si elegimos una generalización, no es seguro que sea la forma correcta de avanzar. Pongo como ejemplo notable de generalización el trabajo de Schrödinger (ver Las ecuaciones de Schrödinger, por Richard Feynman). Su ecuación no puede ser deducida: es necesario adoptarla, a partir de su correspondencia con un caso particular (ver La ecuación de Schrödinger).

No confundir generalización con inducción.

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Publicado el 16 de Agosto, 2016, 5:50

Hoy leo en el libro "Galielo ingeniero y la libre investigación", de Narciso Bassols Batalla:

La obra de Galileo, principalmente por sus estudios sobre el movimiento y las propiedades de la materia, estuvo acompañada de una serie de ingeniosos experimentos y mediciones que lo convierten en precursor de la tecnología moderna...

De acuerdo, pero yo pondría mejor ciencia moderna y tecnología.

... La caída libre de los cuerpos, su movimiento en medios fluidos, la mecánica de los proyectilos, etc., fueron examinados por Galileo tal como ocurren en la realidad...

Bueno, sí y no. Por una lado, Galileo examinó los movimientos de los proyectiles. Pero también examinó movimientos con experimentos, no con experiencias directas de la realidad. El gran mérito de Galileo es haberse dado cuenta de la utilidad de los experimentos, que a veces modificando las experiencias directas, como en el caso del uso del plano inclinado en sus experimentos sobre el movimiento, permiten un mejor estudio de los fenómenos.

... Más tarde, Newton encontró el primero de una serie de criterios numéricos que permiten correlacionar, para fines prácticos, las magnitudes que determinan esos fenómenos. Los procesos de la tecnología moderna se basan en tales procedimientos; el método es inductivo, en general, y se apoya en las observaciones experimentales, más que en racionalizaciones deductivas. Las correlaciones son empíricas y sólo se les exige congruencia entre las unidades de medición y las dimensiones físicas.

Protesto. De nuevo, pondría "ciencia moderna", en lugar de tecnología. Pero aún así, la tecnología no se basa en procedimientos numéricos, inducciones y correlaciones. Se basa en los resultados de la ciencia, y ésta, aún en la física, no es simple fórmulas y relaciones, ni mucho menos simple inducción. Newton, por ejemplo, pone los conceptos de fuerza, sus leyes, el criterio que el efecto de una fuerza es cambiar el movimiento, y si un cuerpo mantiene su masa, cambia su velocidad en presencia de una fuerza. Puso una fuerza de gravedad, y no la dedujo por inducción, sino que la ideó y luego la postuló para todos los cuerpos, y vió que permitía explicar el movimiento de la luna, las leyes de Kepler, y los movimientos terrestres. No fue un procedimiento numérico, ni una simple inducción basada en repetidos casos. Temo que no puedo estar de acuerdo con el párrafo de arriba. Pensar así de la obra de Newton y aún de la de Galileo, es no saber reconocer lo que fueron.

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Publicado el 15 de Agosto, 2016, 17:11

Es sabido que Galileo se opuso a las afirmaciones aristotélicas sobre la caída de los cuerpos. No aceptaba que cuerpos más pesados cayeran más rápido que cuerpos más livianos, y expuso tanto deducciones en contrario como experimentos para socavar esas concepciones. En estos días leo un fragmento de unas de sus cartas, donde descubro las primeras motivaciones para rechazar a Aristóteles en esos temas:

Resta por último [decía] que presente las razones que además de la experiencia, confirman mi proposición; aunque, para asegurar al intelecto, donde está presente la experiencia no es necesaria la razón: la presentaré, sin embargo, en vuestro beneficio, y además, porque antes me convenció la razón de que me aseguraraon los sentidos. Tropezando con el texto de Aristóteles, en el cual da por manifiesta su proposición, sentí de súbito una gran repugnancia intelectual; cómo podría ser que un cuerpo 10 o 20 veces más pesado que otro debiese caer con una velocidad 10 o 20 veces mayor; y me acordé de haber visto en las tempestades caer revueltos pequeños granos de granizo con otros medianos y otros 10 o más veces mayores, y que estos últimos no anticipaban su llegada a la Tierra, ni menos parecía creíble que los pequeños se hubieran movido un poco antes de los más grandes. De ahí, discurriendo un poco más, me formé un axioma que no sería puesto en duda por nadie, y supuse que cualquier cuerpo pesado al caer tendría una velocidad propia, limitada y prefijada por la naturaleza.

Es parte de sus Apostillas a Rocco, escritas en 1634. Lo encuentro en el libro "Galileo ingeniero, y la libre investigación", de Narciso Bassols Batalla.

Es interesante su afirmación que primero lo convenció la razón, aunque basada en sus recuerdos de la experiencia del granizo. Este origen no lo había leido en ningun lado.

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Publicado el 14 de Agosto, 2016, 8:00

Einstein creó y desarrolló dos teorías de la relatividad: la especial y la general. Mientras que la primera apareció en sus publicaciones de 1905, la segunda fue apareciendo de a poco, a lo largo de los años, mostrando el esfuerzo que puso el físico teórico en su invención. Podemos decir que comienza con un germen de idea en 1907, y comienza a florecer, ya con bases sólidas, a finales de 1915. Luego, los siguientes años fueron de confirmación experimental y mayor desarrollo teórico.

Quiero en esta serie de posts describir algunos de esos hitos en el desarrollo de la teoría, pero orientado a un tema en particular: a mediados de 1915, Einstein presenta sus ideas (incompletas) en una conferencia donde asiste David Hilbert, el gran matemático, y ambos se conocen y congenian. Hilbert queda fascinado por las ideas de Einstein, pero se da cuenta que le faltan desarrollo, especialmente matemático. Einstein siempre confiaba en su capacidad de intuición física, pero esta vez, tuvo que aprender y solicitar ayuda en matemáticas para poder tener las herramientas adecuadas para presentar su teoría. Hilbert quizás pensó con condescendencia sobre las ideas de Einstein, al ver que éste estaba luchando todavía con las matemáticas, en un tema que al matemático le parecía que podía desarrollar.

Y eso es lo que pasó: Hilbert comenzó a trabajar por su cuenta, en formular no ya una teoría general de la relatividad, sino en algo más ambicioso: los fundamentos de la física, basado en las ideas de Einstein y otras, como las de Mie sobre electrodinámica. Y casi lo logra: hacia noviembre de 1915 tiene ya preparado su primer "paper" del tema. Mientras, en ese mismo mes, Einstein, sabiendo del avance que está haciendo Hilbert, prepara cuatro conferencias sobre su trabajo, y recién entre la tercera y la cuarta encuentra el desarrollo que le permite dar forma a su teoría (cerca de la tercera conferencia, el 18 de noviembre, es cuando Einstein consigue explicar el movimiento anómalo de Mercurio en su órbita, una gran hazaña para él y su teoría).

Me serviré como fuente principal del excelente libro "Einstein, Hilbert and The Theory of Gravitation", de Jagdish Mehra.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 13 de Agosto, 2016, 17:42

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En el post anterior vimos que autovalores distintos de un operador hermítico corresponden a autovectores que son ortogonales entre sí. Eso nos brinda la esperanza de poder expresar todos los vectores de estados por una base de autovectores ortogonales. Pero no nos apresuremos. Examinemos el tema.

Primero ¿qué pasa si los autovalores son iguales y corresponden a autovectores distintos, linealmente independientes? Entonces, esos dos autovectores se pueden reemplazar por un par que sea ortogonal. En general, se deja un autovector sin cambio, y el otro se ajusta hasta que sea ortogonal al primero. En espacios vectoriales eso se puede hacer. Ahora bien, las combinaciones lineales de los dos autovectores originales, y las de los dos nuevos autovectores ortogonales COMPARTEN EL MISMO AUTOVALOR del que habíamos partido.

Con esto tenemos:
- Hay casos donde un autovalor tiene un solo autovector independiente, y todos los múltiplos de este autovector, son autovectores del autovalor original
- Hay casos donde un autovalor tiene varios autovectores linealmente dependientes, que forman un subespacio vectorial donde todos los vectores son autovectores del autovalor original, y siempre se puede tomar una base ortogonal de autovectores

En varios textos aparece que, teniendo los autovalores, y los autovectores correspondientes ortogonales, se puede expresar asi todo vector de estado. Ese conjunto de autovectores se llama entonces completo. Es decir, forman una base que genera todo el espacio vectorial de estados posibles.

En los próximos posts examinaremos si este es el caso (resultará que no es verdad en general, porque hay espacios de infinitas dimensiones donde esto no se cumple).

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 10 de Agosto, 2016, 7:40

Los movimientos examinados son en línea recta. Desde los tiempos de Aristóteles que se tratan movimientos rectos y otros en curva. Curiosamente, el griego los separó, como diferentes, dado el conocimiento que entonces tenía. Pero en la física de estos últimos siglos, se han ido unificando. Podemos decir que es la primera gran unificación: para el griego, los movimientos curvos pertenecían al cielo, como algo totalmente separado de la experiencia terrenal. Ahora escriben Einstein e Infeld:

Los movimientos que hemos considerado son rectilíneos, esto es, a lo largo de una línea recta. Ahora debemos dar un paso hacia adelante. Resulta más fácil entender las leyes de la naturaleza si analizamos los casos más simples dejando de lado, al principio, los casos más complejos. Una línea recta es más simple que una curva. Sin embargo es imposible quedarnos satisfechos con un entendimiento del movimiento rectilíneo únicamente. Los movimientos de la Luna, de la Tierra y de los planetas, a los que, precisamente, se han aplicado los principios de la mecánica con éxito tan brillante, son todos movimientos curvilíneos. Al pasar del movimiento rectilíneo al movimiento a lo largo de una trayectoria curva, aparecen nuevas dificultades. Debemos tener la valentía de sobreponernos a estas dificultades, si deseamos comprender los principios de la mecánica clásica que nos dieron las primeras claves y que constituyen el punto inicial en el desarrollo de esta ciencia.

Y lo próximo que presentan, es el concepto de vector, que ha permeado la física, hasta llegar a la mecánica cuántica inclusive:

El resultado de medir cierta longitud se expresa como determinado número de unidades. La longitud de una barra es, por ejemplo, de 3 metros y 7 centímetros; el peso de un objeto, 2 kilos y 300 grs.; determinado intervalo de tiempo se dará en tantos minutos y segundos. En cada uno de estos casos, el resultado de la medida es expresado por un número. Un número solo es, sin embargo, insuficiente para describir algunos conceptos físicos. El reconocimiento de este hecho marca un notable progreso en la investigación científica. Para caracterizar una velocidad es tan esencial indicar su dirección como el número que determina su valor. Tal magnitud se llama vectorial- se representa por una flecha o vector. Es decir, la velocidad puede ser representada por una flecha o vector cuya longitud, en determinada escala o unidad, mide su rapidez, y cuya dirección es la del movimiento.

Me gusta descatar "El reconocimiento de este hecho marca un notable progreso en la investigación científica". Hay veces que conceptos que ya hoy en día nos parecen comunes, no eran evidentes en su tiempo. Es bueno que Einstein e Infeld reconozca tal cosa, en la evolución de la física.

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Publicado el 6 de Agosto, 2016, 16:03

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Veamos hoy de mostrar el teorema:

Los autovectores correspondientes a autovalores distintos de un operador hermítico, son ortogonales.

Apenas hemos empezado insinuar, en el post anterior, los autovalores de operador hermítico, con algo físico: los valores posibles de una magnitud física. Como magnitud, toma valores reales. Y los autovalores de un operador hermítico son reales. Cada autovalor tiene asociado un subespacio vectorial de autovectores. Lo que queremos mostrar con el teorema de arriba que los espacios vectoriales de autovalores distintos de un mismo operador, dan 0 cuando se multiplican usando la multiplicación interna de vectores.

Sea un operador A y dos autovectores, autovalores:

Y

Sea ese operador A hermítico, recordemos que entonces cumple:

Para cualesquiera pares de vectores. De esta relación deducimos:

Se sigue:

Sustituyendo por los autovalores:

Pero a2 es real, por ser autovalor de un operador hermítico, entonces:

También sabemos que:

Quedando:


Si a1 es distinto de a2, entonces los autovectores son ortogonales:

Va surgiendo toda una serie de propiedades relacionados con los operadores hermíticos. Notablemente, estos operadores representan las variables físicas. Es algo extraño: mientras que los vectores representan estados de un sistema físico, al usar operadores sobre los vectores, es como que le "extraemos" una variable física por CADA operador hermítico adecuado.

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Publicado el 5 de Agosto, 2016, 6:54

Ayer publiqué sobre el descubrimiento de Galileo de los efectos de una fuerza. El concepto de fuerza es uno de las ideas claves de la física que tardó tiempo en madurar. Leo hoy en "La evolución de la física" de Einstein e Infeld:

Hemos estado haciendo uso de dos conceptos que tienen papel principal en la mecánica clásica: fuerza y cambio de velocidad. En el desarrollo ulterior de la ciencia, ambos conceptos se ampliaron y generalizaron. Por eso debemos examinarlos más detenidamente. ¿Qué es una fuerza? Intuitivamente sentimos qué es lo que se quiere significar con este término. El concepto se originó en el esfuerzo, sensación muscular que acompaña a cada uno de los actos de empujar, arrastrar o arrojar. Pero su generalización va mucho más allá de estos  sencillos ejemplos. Se puede pensar en una fuerza aun sin imaginarnos un caballo tirando de un carruaje. Hablamos de la fuerza de atracción entre la Tierra y el Sol, entre la Tierra y la Luna, y de las fuerzas que producen las mareas. Se habla de la fuerza con que la Tierra nos obliga, como a todos los objetos que nos rodean, a permanecer dentro de su esfera de influencia, y de la fuerza con que el viento produce las olas del mar o mueve las ramas de los árboles. Dondequiera que observemos un cambio de velocidad, debemos hacer responsable de ello a una fuerza exterior, en el sentido general de la palabra. Al respecto escribe Newton en sus Principia:

"Una fuerza exterior es una acción que te ejerce sobre un cuerpo, con el objeto de modificar su estado, ya de reposo, ya de movimiento rectilíneo y uniforme".

"La fuerza consiste únicamente en su acción y no permanece en el cuerpo cuando deja de actuar aquélla. Pues un cuerpo se mantiene en cualquier nuevo estado que adquiera, gracias a tu vis inertiae únicamente. Las fuerzas pueden ser de origen muy distinto, tales como de percusión, presión o fuerza centrifuga".

Es interesante ver cómo el concepto de fuerza fue evolucionando, y tal vez desapareciendo del foco con otras aproximaciones como los métodos variacionales.

Ver post relacionados:

Espacio y Tiempo en Newton
Los Principia de Newton
Las leyes de movimiento de Newton
Mecánica Clásica

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 4 de Agosto, 2016, 7:36

Hace un tiempo escribí:

El gran misterio, por Einstein e Infeld
El problema del movimiento, por Einstein e Infeld

Veamos hoy cómo Galileo, al estudiar el movimiento, encuentra la solución al problema: que es lo que cambia cuando hay fuerzas.

En una buena novela de aventuras la clave más evidente conduce a menudo a suposiciones erróneas. En nuestro intento de entender las leyes de la naturaleza encontramos, también, que la explicación intuitiva más evidente es, a menudo, equivocada.

El pensamiento humano crea una imagen del universo, eternamente cambiante. La contribución de Galileo consiste en haber destruido el punto de vista intuitivo, que reemplazó con uno nuevo. En eso consiste la significación fundamental del descubrimiento de Galileo.

Aquí se nos presenta, inmediatamente, un nuevo problema: ¿qué cosa, en el movimiento de un cuerpo, indicará la acción de fuerzas exteriores, si la velocidad no la revela? La respuesta a esta interrogación la encontró Galileo. Pero se debe a Newton su formulación precisa, que constituye una guía más en nuestra investigación.

Simplificando el experimento, Galileo puede ir descubriendo el enigma:

Para descubrir dicha respuesta debemos analizar ahora más profundamente el caso del carrito en movimiento sobre una calle perfectamente lisa. En nuestro experimento ideal, la uniformidad del movimiento se debía a la ausencia de toda fuerza externa. Imaginemos que nuestro móvil reciba una impulsión en el sentido de su desplazamiento. ¿Qué sucederá entonces? Resulta obvio que su velocidad aumentará. En cambio, un empuje en sentido opuesto haría disminuir su velocidad. En el primer caso el carruaje aceleró y en el segundo aminoró su velocidad; de esto surge en el acto la conclusión siguiente: la acción de una fuerza exterior se traduce en un cambio de velocidad. Luego, no es la velocidad misma sino su variación lo que resulta como consecuencia de la acción de empujar o arrastrar. Galileo lo vio claramente y escribió en su obra Dos ciencias nuevas:

"... Toda velocidad, una vez impartida a un cuerpo, se conservará sin alteración mientras no existan causas externas de aceleración o retardo, condición que se cumple claramente sobre planos horizontales; pues el movimiento de un cuerpo que cae por una pendiente se acelera, mientras que el movimiento hacia arriba se retarda; de esto te infiere que el movimiento sobre un plano horizontal sea perpetuo; pues, si la velocidad es uniforme, no puede disminuirse o mermarte, y menos aun destruirse"

Siguiendo la clave correcta, logramos un entendimiento más profundo del problema del movimiento.

Lo mismo hará Einstein, siglos más tarde de Galileo, usando una clave correcta para descubrir la gran simetría que existe en todos estos temas. Clave (la equivalencia de la masa inercial y la masa gravitatoria) que había pasado desapercibida.

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Publicado el 3 de Agosto, 2016, 8:11

Los otros días compartí un texto de Arnold Sommerfeld. Hoy leo en la introducción a su "Mechanics lectures on theoretical physics", un agradecimiento a quienes lo formaron:

Looking back on my years of teaching I wish to acknowledge with  gratitude my special indebtedness to two men, Röntgen and Felix Klein. Röntgen not only created the external conditions for my professional activity by calling me to a privileged sphere of action; he also stood by my side and  actively furthered the increasing scope of my work over a period of many years. Even earlier Felix Klein had imparted to my mathematical thinking that turn of mind which is best adapted to applications; through his mastery in the art of lecturing he exerted a strong indirect influence on my own teaching. In particular let me mention that the last part of this course was announced for the first time while I was still instructor in Gottingen and imbued with the mathematical tradition of that university symbolized in the three names Riemann—Dirichlet—Klein. At that time my course was less comprehensive than the present volume  but it found much resonance in the audience. When the course was repeated in later years my students often told me that only here had they really grasped the handling and application of mathematical residts, e.g., Fourier methods, applications of the theory of functions, boundary value problems.

No sabía que había conocido a Röntgen. Ya había comentado en un post su relación con Felix Klein, y su influencia en Schrödinger. Veo que uno influyó en la actividad de físico de Sommerfeld, mientras que el otro hechó su influencia en el modo matemático de encarar y resolver problemas. Es interesante ver como la ciencia es una actividad humana que en los últimos siglos se ha ido desarrollando con estas conexiones a lo largo del tiempo.

Nos leemos!

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Publicado el 1 de Agosto, 2016, 8:02

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Es interesante ver cómo surge el concepto de operador aplicado a la mecánica cuántica. Aparece de la colaboración de Born con Wiener. También aparece Einstein como precursor (en su idea, limitada a los fotones) de la interpretación probabilística de Born:

It appeared to me that it was not possible to arrive at a clear  interpretation of the Schrodinger ¦i/'-function by considering bound electrons. I had therefore been at pains, as early as the end of 1925... I was at that time
the guest of the Massachusetts Institute of Technology in the U.S.A., and there I found in Norbert Wiener (1894-1964) a distinguished collaborator. In a joint 1926 paper we replaced the matrix by the general concept of an operator and, in this way, made possible the description of aperiodic  processes. .. Once more an idea of Einstein's gave the lead. He had thought to make the duality of particles (light quanta or photons) and waves  comprehensible by interpreting the square of the optical wave amplitudes as probability density for the occurrence of photons. This idea could at once be extended to Schrodinger's Psi-function:

The square of the amplitude ... must represent the probability density for electrons (or other particles).

Es notable que se tardara algún tiempo en llegar a esas ideas. Primero apareció el aparato matemáticos, desde dos caminos distintos, el de Heisenberg (basado en explicar los datos experimentales) y el de Schrodinger (basado en consideraciones matemáticas de extensión de la mecánica clásica), que luego se vió que eran equivalentes. Y sólo despues se encontró la interpretación de ese aparato. Schrodinger había creído que su fórmula estaba relacionada con distribución de densidad de la carga del electrón. Nunca la había asociado con la probabilidad de densidad de posición.

Nos leemos!

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Publicado el 31 de Julio, 2016, 12:42

Hoy leo el "Wave Mechanics" de Arnold Sommerfeld. El fue un físico teórico que fue mentor de varios premios Nobel, que desarrollaron la mecánica cuántico en las primeras décadas del siglo XX. Fue asistente de Felix Klein, de quien rescató algunas ideas de Hamilton que luego comentó a Schrödinger, su alumno.

Leo al principio de este libro de 1930:

The antithesis between macroscopic and microscopic events has often been emphasised. For example, the state of a configuration in heat equilibrium looks quite different when regarded microscopically than from the point of view of the kinetic theory of gases. Mechanics and electrodynamics are also macroscopic in origin. To apply them unchanged to the oonditions in the atom is to make unjustifiable demands of Nature. Nevertheless important partial successes favoured the extrapolation of these theories to microscopic conditions. The study of the electronic orbits within the atom, which has beoome so immensely fruitful for our knowledge of the atom, in particular for deciphering spectrum, was founded on classioal mechanics. And the considerations of the Correspondence Principle, whioh we required in order to answer questions of intensity and polarisation were derived from classical electrodynamics...

Bueno, aunque algunos desarrollos se basaron en las bases clásicas, también se vieron complementados por ideas como el modelo de Bohr (mejorado por el propio Sommerfeld y alumnos), donde se apartaba de lo clásico con reglas "ad-hoc".

En el próximo post comentaré alguna de esas reglas.

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Publicado el 25 de Julio, 2016, 13:59

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La divulgación científica siempre tiene algo de problema: cómo transmitir algún descubrimiento científico, sin perder algo en el camino. Algo que siempre recuerdo de este libro, es como Weinberg describe a que lector está orientado el libro:

I had better say for what reader this book is intended. I have written for one who is willing to puzzle through some detailed arguments, but who is not at home in either mathematics or physics. Although I must introduce some fairly complicated scientific ideas, no mathematics is used in the body of the
book beyond arithmetic, and little or no knowledge of physics or astronomy is assumed in advance. I have tried to be careful to define scientific terms when they are first used, and in  addition I have supplied a glossary of physical and astronomical terms ..... Wherever possible, I have also written numbers like "a hundred thousand million" in English, rather than use the more convenient scientific notation: 1011.

Weinberg siempre plantea un argumento para explicar algo:

However, this does not mean that I have tried to write an easy book. When a lawyer writes for the general public, he assumes that they do not know Law French or the Rule Against Perpetuities, but he does not think the worse of them for it, and he does not condescend to them. I want to return the compliment: I picture the reader as a smart old attorney who does not speak my language, but who expects nonetheless to hear some convincing arguments before he makes up his mind.

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Publicado el 24 de Julio, 2016, 13:50

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Casi cada año vuelvo a este libro de Steven Weinberg "Los primeros tres minutos, una visión moderna del origen del universo". Hay tanto para comentar, desde el punto de vista de la divulgación científica, como desde la historia de la ciencia y la epistemología. Weinberg es un buen autor, claro, preocupado por explicar lo que para otros sería pura erudición científica. Para Weinberg, es un casi un deber explicar claramente, de forma que todos puedan entender su argumento. Si otros autores siguieran su ejemplo, tantos libros mejores se hubieran escrito.

Rescato hoy el texto de su introducción:

In the beginning there was an explosion. Not an explosion like those familiar on earth, starting from a definite center and spreading out to engulf more and more of the circumambient air, but an explosion which occurred simultaneously  everywhere, filling all space from the beginning, with every particle of matter rushing apart from every other particle. "All space" in this context may mean either all of an infinite universe, or all of a finite universe which curves back on itself like the  surface of a sphere. Neither possibility is easy to comprehend, but this will not get in our way; it matters hardly at all in the early universe whether space is finite or infinite.

Describe algo importante. Uno tiende a pensar en el "big bang" como algo puntual, un punto que se fue expandiendo. Pero Weinberg pone claramente que es una explosión "extendida" a todo punto. No sabemos si el universo es finito o infinito, pero este "big bang" explota en cada punto de ese universo.

El propio Weinberg pone en sus "Suggestion for futher Reading" a Alejadro Koyré y su libro "From the closed world to the infinite universo".

Más comentarios sobre Weinberg, y también sobre Koyré, en próximos posts.

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Publicado el 23 de Julio, 2016, 15:01

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Luego de la revolución que produjo las ideas de Heisenberg, apuntaladas por los resultados de Born, Jordan y Dirac, todavía habría más sorpresas. La aparición de la formulación de Schrondinger trajo otro formulismo matemático para explicar los fenómenos cuánticos:

...While we were still discussing the point, there occurred the second dramatic surprise: the appearance of Schrodinger's celebrated paper. He followed quite a different line of thought, which derived from Prince Louis de Broglie (1892-1987). The latter had a few years previously made the bold assertion, supported by brilliant theoretical considerations, that wave-corpuscle dualism, familiar to physicists in the case of light, must also be exhibited by electrons; to each freely movable electron there belongs, according to these ideas, a plane wave of perfectly definite wave length, determined by Planck's constant and mass... Schrodinger extended de Broglie's wave equation, which applied to free motion, to the case in which forces act... and he succeeded in deriving the stationary states of the hydrogen atom as monochromatic solutions of his wave equation not extending to infinity. For a short while, at the beginning of 1926, it looked as if suddenly there were two self-contained but entirely distinct systems of explanation in the field - matrix mechanics and wave mechanics. But Schrodinger himself soon demonstrated their complete equivalence.

Es interesante ver que Schrödinger sigue otro camino, para explicar los fenómenos conocidos, basados en las ideas de de Broglie, usando analogías entre la óptica geométrica y la ondulatoria, para conseguir algo que conciliara la mecánica clásica y la nueva mecánica. Sus métodos resultaron más familiares a muchos físicos, pero al final, se vió que ambas aproximaciones (la de Heisenberg y la de Schrödinger) eran similares.

Wave mechanics enjoyed much greater popularity than the Gottingen or Cambridge version of quantum mechanics. Wave mechanics operates with a wave function ip, which - at least in the case of one particle - can be pictured in space, and it employs the mathematical methods of partial differential equations familiar to every physicist.

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Publicado el 21 de Julio, 2016, 17:20

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En el anterior post, vimos como Born junto a su ayudante Jordan escriben un artículo extendiendo las idea de Heisenberg, incluso al electromagnetismo. Como dato curioso, aporto que Born primero le había pedido ayuda a Pauli, pero a éste no le interesó el tema.

Luego llega un segundo artículo, esta vez en colaboración con Heisenberg, aún estando éste ausente. Se llevan una sorpresa cuando ven que varias de sus conclusiones fueron alcanzadas por Dirac, en Inglaterra, entonces aún no muy conocido como físico teórico:

There followed a hectic period of collaboration among the three of us, rendered difficult by Heisenberg's absence. There was a lively interchange of letters... The result was a three-man paper,36 which brought the formal side of the investigation to a certain degree of completeness. Before this paper appeared, the first dramatic surprise occurred: Paul Dirac's paper on the same subject.37 The stimulus received through a lecture by Heisenberg in Cambridge led him to results similar to ours in Gottingen, with the difference that he did not have recourse to the known matrix theory of the mathematicians but discovered for himself and elaborated the doctrine of such non-commuting symbols.

Luego, otro aporte no menor, vino de Pauli, que consiguió calcular valores del átomo de hidrógeno (creo que el artículo, parcial, también está en Sources of Quantum Mechanics de van der Waerden).

The first nontrivial and physically important application of quantum mechanics was made soon afterwards by Wolfgang Pauli,38 who calculated the stationary energy values of the hydrogen atom by the matrix method and found complete agreement with Bohr's 1913 formulas. Prom this moment there was no longer any doubt about the correctness of the theory among physicists...

Todavía había dudas sobre él significado del aparato matemático:

What the real significance of the formalism might be was, however, by no means clear. Mathematics, as often happens, was wiser than  interpretative thought...

En el próximo post veremos que habría más sorpresas, con la versión alternativa de Schrödinger.

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Publicado el 20 de Julio, 2016, 13:52

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Sigo leyendo y comentado el escrito de Max Born:

By consideration of known examples discovered by guesswork, Heisenberg found this rule and applied it with success to simple examples such as the harmonic and anharmonic oscillator. This was in the summer 1925. Heisenberg, suffering from a severe attack of hay fever, took leave of  absence for a course of treatment at the seaside and handed over his paper to me for publication, if I thought I could do anything about it.

Es un clásico de la historia de la ciencia, esa "escapada" de Heisenberg, a Heligoland, por su ataque de fiebre de heno. Vean que Born, igual que Dirac, ve el trabajo de Heisenberg más orientado al tema de ir armando fórmulas que concuerden con los experimentos.

The significance of the idea was immediately clear to me, and I sent the manuscript to the publisher.34 Heisenberg's rule of multiplication left me no peace, and after a week of intensive thought and trial, I suddenly remembered an algebraic theory that I had learned from my teacher, Rosanes, in Breslau. Such quadratic arrays are quite familiar to  mathematicians and are called matrices, in association with a definite rule of multiplication. I applied this rule to Heisenberg's quantum condition and found that it agreed for the diagonal elements. It was easy to guess what the remaining elements must be, namely, null; and immediately there stood before me the strange formula

qp — pq = ih

This meant that the coordinates q and momenta p are not to be represented by the values of numbers but by symbols whose product depends on the order of multiplication - which do not "commute", as we say. My excitement over this result was like that of the mariner who, after long voyaging, sees the desired land from afar, and my only regret was that Heisenberg was not with me. I was convinced from the first that we had stumbled on the truth. Yet again a large part was only guesswork, in particular the vanishing of the non-diagonal elements in the foregoing  expression. For this problem, I secured the collaboration of my pupil Pascual Jordan, and in a few days we succeeded in showing that I had guessed correctly. The joint paper written by Jordan and myself contains the most important principles of quantum mechanics,  ncluding its extension to electrodynamics...

Tanto el "paper" de Heisenberg como el de Born/Jordan, lo podemos encontrar en el excelente Sources of Quantum Mechanics, de van Der Waerden.

Sigo en próximos post.

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