Angel "Java" Lopez en Blog

Ciencia


Publicado el 24 de Agosto, 2014, 16:43

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Veamos hoy un ejemplo simple y clásico del uso de un lagrangiano. En física, se ha visto que dado un sistema se puede encontrar una función, el lagrangiano:

Como la función que describe el sistema. En el caso de arriba, depende de coordenadas xi, de sus derivadas en el tiempo, y del tiempo mismo. Vamos a ver que las propiedades del lagrangiano no cambian aún cambiando las coordenadas, lo que lo hace más útil que la formulación newtoniana. ¿Pero qué son "las propiedades del lagrangiano"? ¿y cómo es que "describe el sistema"?

Pues bien, la gran propiedad de un lagrangiano que merezca ese nombre, es que genera n ecuaciones diferenciales:

Y que con estas ecuaciones queda descripta la evolución del sistema.

Para ver entonces un caso concreto, tomemos el sistema compuesto de una sola partícula, en libertad, una partícula libre, sin ser expuesta a fuerzas exteriores, digamos con energía potencial que no cambia en el tiempo ni en el espacio. Entonces esa energía potencial podemos tomarla como 0. ¿Cuál es el lagrangiano que describe ese sistema? Para un mismo sistema, hay una indeterminación del lagrangiano, no es que hay un lagrangiano único (algo similar estamos viendo en cuanto a la función de onda de mecánica cuántica: puede haber más de una función que describa EL MISMO estado físico). Pero podemos arriesgarnos y postular (sacar de la galera, digamos) a que el lagrangiano es:

Acá, la x con punto es un vector velocidad, y el cuadrado es el productor vectorial. En coordenadas espaciales, sería

Haciendo pasar a este lagrangiano por el proceso de generar las ecuaciones diferenciales de arriba, queda para tres coordenadas xi:

Que nos dice que ese producto de masa por velocidad de cada coordenada es una constante del movimiento. Es el momento, al que se refiere la segunda ley de Newton. Lo que nos dicen las ecuaciones derivadas del lagrangiano, en este caso, es que el momento o cantidad de movimiento se conserva en cada coordenada, aun transcurriendo el tiempo. Nuestra partícula no cambia de velocidad ni en intensidad ni en dirección.

En próximos post tendremos que investigar:

 ¿Podemos derivar el lagrangiano que vimos de consideraciones físicas generales?
 ¿Qué son esas ecuaciones diferenciales que se derivan del lagrangiano? ¿tienen algún significado?
 ¿Siguen valiendo esas ecuaciones aún cuando cambiemos las coordenadas?

Mientras, enlaces relacionados:

Deriving the Lagrangian for a free particle
Lagrangian

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 23 de Agosto, 2014, 15:25

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Sigamos buscando nuestra ecuación. Ya sabemos que tiene que tiene que ser compatible con

Ver post La Ecuación de Schrödinger (5) Dos Relaciones. Veamos un caso, cuando V sólo depende de la posición (no hay variación en el tiempo de la energía potencial).

Esperamos que los tres términos (el de energía E, el de momento p, y el de energía potencial V), sean lineales con la función de onda que tiene que ser la solución de nuestra ecuación. Una forma de conseguirlo es esperar que CADA UNO de esos tres términos, esté multiplicado por LA FUNCION DE ONDA, o una cualquiera de sus derivadas.

Pero también sabemos que la energía tiene relación con la frecuencia, y el momento con la longitud de onda. Ver post La Ecuación de Schrödinger (2) Primeras Relaciones.


Intentemos primero con una función de onda que sea de la forma (ver post La Ecuación de Schrödinger (3) Una Fórmula de Onda).

Alguna vez habíamos puesto:

Que es proporcional al momento p.

Y también tenemos:

Que es proporcional a energía E.

Quedando entonces

Recordando sus derivadas (ver post La Ecuación de Schrödinger (4) Algunas Derivadas Parciales)




Vemos que la DERIVADA POR EL TIEMPO, da un término que es proporcional a la energía. Y la DERIVADA SEGUNDA por x da un término que es proporcional al cuadrado del momento.

Entonces, algo compatible con la ecuación [1] puede ser

Donde tenemos algo de libertad en la elección de los coeficientes alfa y beta (el tercer término lo multiplicamos por 1, por ahora)

Esta ecuación diferencial satisface la linealidad, la aparición de E y p apropiadas, y nos da como solución una función de onda. Reemplazando la función de onda y sus derivadas, por los valores que suponemos potables, tenemos que explorar si hay solución para:

Veremos si es así en el próximo post.

Mientras, vayamos notando algo: se deriva por el tiempo una vez, y por el espacio DOS VECES. Si estamos familiarizados un poco con la relatividad especial, vemos que hay una asimetría, un diferente tratamiento del tiempo y del espacio. Lo que encontremos no va a ser compatible con la relatividad y las transformaciones de Lorentz. Pero sigamos avanzando, tal vez igual estemos en camino del premio Nobel, como Schrödinger ;-)

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Publicado el 22 de Agosto, 2014, 14:47

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En la misma época en la que Heisenberg encontraba su modelo de la mecánica cuántica, Erwin Schrödinger encontraba otra solución, que luego se vió que era equivalente. En el capítulo 6 de su biografía científica, leo el recuerdo de Heisenberg de esos tiempos:

During the first few months of 1926, at about the same time that I delivered my lecture in Berlin, G6ttingen first became familiar with the work of the Viennese physicist, Erwin Schrodinger, who was approaching atomic theory from an entirely fresh side. The year before, Louis de Broglie in France had drawn attention to the fact that the strange wave-particle dualism which, at the time, seemed to prevent a rational explanation of light phenomena might be equally involved in the behavior of matter, for instance of electrons. Schrodinger developed this idea further and, by means of a new wave equation, formulated the law governing the propagation of material waves under the influence of an electromagnetic field. In Schrodinger's model, the stationary states of an atomic shell are compared with the stationary vibrations of a system, for instance of a vibrating string, except that all the magnitudes normally considered as energies of the stationary states are treated as frequencies of the stationary vibrations. The results Schrodinger obtained in this way fitted in very well with the new quantum mechanics, and Schrodinger quickly succeeded in proving that his own wave mechanics was mathematically equivalent to quantum mechanics; in other words, that the two were but different mathematical formulations of the same structures. Needless to say, we were delighted by this new development, for it greatly strengthened our confidence in the correctness of the new mathematical formulation. Moreover, Schrodinger's procedure lent itself readily to the simplification of calculations that had severely strained the powers of quantum mechanics.

Todo se dispara con la propuesta de de Broglie, que estaba madura para caer en esos tiempos. Ver

La Ecuación de Schrödinger (1) Introducción

El camino de Schrödinger era más potable para muchos físicos, porque acudía a funciones, derivadas, ondas, todos elementos más familiares que las matrices de Heisenberg. Si bien a Heisenberg le interesó el trabajo de Schrödinger, también pensaba que estaba en alguna parte errado, porque era una especie de vuelta a "lo clásico", cuando él quería destacar que había una nueva mecánica. Veremos esto en el próximo post.

Nos leemos!

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Publicado el 18 de Agosto, 2014, 6:58

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Hasta ahora nos hemos ocupado de una carga puntual, o de un grupo de cargas puntuales. Al principio es todo lo que necesitamos, porque todo indica que en la naturaleza todas las cargas aparecen como puntuales, con valores +- e para los leptones y +- 2/3 o +- 1/3 para los quarks (los constituyentes de la materia que interactúa con la fuerza fuerte). Sin embargo, en la vida real tenemos que vérnosla con objetos macroscópicos que pueden tener elementos del orden de 1023. Es por eso que manejamos también el concepto de una distribución de carga continua. En vez de la ecuación:

Para el campo eléctrico, asociado a cada posición del espacio r, podemos pasar de la suma a la integral, quedando:

Donde ahora dq" indica una densidad de carga, asociada a cada posición r". Hay dos vectores de posición: el independiente r y el que recorre todo el espacio r".

La forma del elemento diferencial dq" depende del tipo de la distribución de carga. Consideremos para una densidad de carga línea:

Donde lambda(r") representa una densidad lineal.

Tenemos para una densidad de carga en área:

Y para una densidad en volumen:

Donde los diferenciales de la derecha dl, dA, dt son diferenciales de longitud, de área y de volumen, respectivamente.

La distribución de carga SOBRE LA QUE actua E(r) puede también considerarse continua, quedando la fuerza expresada como:

La primera integral de arriba nos da E(r), un campo eléctrico ESTATICO para una distribución de carga dada. Lo de "estático" significa que todas las derivadas del tiempo de la distribución de carga son cero o despreciables. La carga no cambia de lugar ni de intensidad. Aún así simplificado, esta integral es una solución de "fuerza bruta" que muchas veces requiere una integración complicada, y entonces, no es un buen método para encontrar el campo. Pero hay situaciones donde la geometría del problema puede acudir en nuestro auxilio.

Próximos temas: potencial eléctrico, el gradiente del potencial, ley de Gauss, ejemplos.

Nos leemos!

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Publicado el 17 de Agosto, 2014, 13:16

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Luego de ese avace en solitario, en la isla de Heligoland, el trabajo de Heisenberg es bien recibido. Hay mucho para contar sobre cómo se fue difundiendo, adaptando, y uniendo a otras ideas, como las de Jordan, Schrödinger, y Dirac. Leo:

What I saw during that night in Heligoland was admittedly not very much more than the sunlit rock edge I had glimpsed in the autumn of 1924, but when I reported my results to Wolfgang Pauli, generally my severest critic, he warmly encouraged me to continue along the path I had taken. In Gottingen, Max Born and Pascual Jordan took stock of the new possibilities, and in Cambridge the young English mathematician Paul Dirac developed his own methods for solving the problems involved, and after only a few months the concentrated efforts of these men led to the emergence of a coherent mathematical framework, one that promised to embrace all the multifarious aspects of atomic physics.

Es notable encontrar esta mención a Pauli. Este era en general muy crítico a ideas que no le convencían. Sin embargo, tengo que hacer notar que Pauli mismo no quiso involucrarse en los trabajos de extensión que hizo Max Born, quien tuvo entonces que recurrir a su estudiante Jordan. Ver

A Review on Dirac – Jordan Transformation Theory
http://pelagiaresearchlibrary.com/advances-in-applied-science/vol3-iss4/AASR-2012-3-4-2474-2480.pdf

Sobre el trabajo de extensión y reinterpretación de Dirac ver:

Dirac y la teoría de Heisenberg
Dirac revisando el trabajo de Heisenberg

Luego del texto de arriba, Heisenberg se embarca en un "racconto" de una conversación que tuvo con Einstein. Muy interesante tema, pero no es el que seguiré en el próximo post. Ver Heisenberg y una charla con Einstein. Será seguramente tema para una serie de posts distinta.

Continuaré con la aparición de la teoría de Schrödinger y su recepción por parte de Heisenberg mismo y por Bohr.

Nos leemos!

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Publicado el 16 de Agosto, 2014, 13:46

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Sigamos explorando la función de onda. Sabemos por ahora que es una función de las coordenadas (podrían ser x,y,z, pero también podrían ser otras), a veces la manejaremos dependiente del tiempo, otras veces no (la tomaremos a un tiempo determinado), REPRESENTA un estado físico, y su valor es un número complejo.

Pero ¿cómo es que representa un estado físico? Lo que veremos hoy, es un caso especial pero fácilmente generalizable. Tomaremos:

- Función de onda de un electrón (o una partícula)
- Función de las coordenadas (que llamaremos genéricamente q)

Lo primero que afirmaremos como postulado es que si la función de onda es:

Entonces, la probabilidad de encontrar al electrón en un elemento dq del espacio de coordenadas q es:

O abreviando

Si queremos saber la probabilidad de encontrar al electrón en un volumen Q del espacio de coordenadas q, será:

O recordando números complejos

Donde el asterisco indica tomar el resultado complejo conjugado. Esto no es algo que podamos deducir, sino que tenemos que postularlo. La historia mostró que al describir un estado físico por una función de onda (en nuestro caso, el estado físico descripto es un electrón), la función de onda nos da, en primera instancia, la PROBABILIDAD de encontrar ese estado físico (en nuestro caso, al electrón) en una porción posible del espacio de coordenadas.

A pesar de que la función de onda nos da un valor complejo, llamado amplitud, cada elemento de integración de la fórmula de arriba, ES REAL, y no sólo es real, sino que es REAL POSITIVO. Así que el resultado de integrar, que podemos asimilar a una suma infinita, es un número REAL POSITIVO, como corresponde a una probabilidad.

Lo que se pide, en general, es que la integración de una función de onda esté normalizada, es decir, que la integración completa sobre el espacio de coordenadas, de probabilidad 1 (certeza):

No siempre todas las funciones de onda se pueden normalizar. A veces, la integral de arriba sobre TODO el espacio de coordenadas diverge. Pero aún así, la integral sobre una porción Q, da un valor de probabilidad que se puede comparar con la integral sobre otra porción P. El peso relativo de esos valores nos da alguna información: si integrar sobre Q da 3, e integrar sobre P da 2, eso indica que encontrar el estado físico en Q tiene 3/2 más probabilidad de encontrarse en el fragmento P

Nos leemos!

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Publicado el 9 de Agosto, 2014, 12:45

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Como alguna vez le pasó a Newton, como también a Schrödinger, Heisenberg se encontró con tiempo libre para pensar en sus ideas.

Toward the end of May 1925, I fell so ill with hay fever that I had to ask Born for fourteen days' leave of absence. I made straight for Heligoland, where I hoped to recover quickly in the bracing sea air, far from blossoms and meadows. On my arrival I must have looked quite a sight with my swollen face; in any case, my landlady took one look at me, concluded that I had been in a fight and promised to nurse me through the aftereffects. My room was on the second floor, and since the house was built high up on the southern edge of the rocky island, I had a glorious view over the village, and the dunes and the sea beyond. As I sat on my balcony, I had ample opportunity to reflect on Bohr's remark that part of infinity seems to lie within the grasp of those who look across the sea.

Ya no era estudiante, ya era docente, así que imagino que este viaje no afectó tanto a su presupuesto como años antes, cuando necesitaba el soporte de la cátedra de su profesor Sommerfeld para viajar a congresos en Europa.

Apart from daily walks and long swims, there was nothing in Heligoland to distract me from my problem, and so I made much swifter progress than I would have done in Gottingen. A few days were enough to jettison all the mathematical ballast that invariably encumbers the beginning of such attempts, and to arrive at a simple formulation of my problem. Within a few days more, it had become clear to me what precisely had to take the place of the Bohr-Sommerfeld quantum conditions in an atomic physics working with none but observable magnitudes. It also became obvious that with this additional assumption I had introduced a crucial restriction into the theory. Then I noticed that there was no guarantee that the new mathematical scheme could be put into operation without contradictions. In particular, it was completely uncertain whether the principle of the conservation of energy would still apply, and I knew only too well that my scheme stood or fell by that principle.

Ahora tiene que revisar su resultado. El tema es si la energía se conservaba o no. En esos tiempos, dado lo extraño de los resultados cuánticos, se había llegado a sugerir en algún "paper" que la conservación de la energía era solo un resultado estadístico.

Other than that, however, several calculations showed that the scheme seemed quite self-consistent. Hence I concentrated on demonstrating that the conservation law held, and one evening I reached the point where I was ready to determine the individual terms in the energy table, or, as we put it today, in the energy matrix, by what would now be considered an extremely clumsy series of calculations. When the first terms seemed to accord with the energy principle, I became rather excited, and I began to make countless arithmetical errors. As a result, it was almost three o'clock in the morning before the final result of Iny computations lay before me. The energy principle had held for all the terms, and I could no longer doubt the mathematical consistency and coherence of the kind of quantum mechanics to which my calculations pointed. At first, I was deeply alarmed. I had the feeling that, through the surface of atomic phenomena, I was looking at a strangely beautiful interior, and felt almost giddy at the thought that I now had to probe this wealth of mathematical structures nature had so generously spread out before me. I was far too excited to sleep, and so, as a new day dawned, I made for the southern tip of the island, where I had been longing to climb a rock jutting out into the sea. I now did so without too much trouble, and waited for the sun to rise.

Buen trabajo esa noche. El "paper" que escribió sobre este tema tiene saltos mágicos en el razonamiento, pero llega a las conclusiones correctas. Seguiré comentando en el próximo post.

Nos leemos!

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Publicado el 8 de Agosto, 2014, 13:33

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Veamos cómo Heisenberg se aproxima a su gran idea. Más adelante leo:

In atomic physics, likewise, the winter of 1924-1925 had obviously brought us to a realm where the fog was thick but where some light had begun to filter through and held out the promise of exciting new vistas.

Habiendo trabajado en Copenhague con Kramers, vuelve a Gotinga. Tratando de avanzar, vio el camino a seguir: ignorar las órbitas electrónicas y concentrarse en las frecuencias Y amplitudes de las líneas espectrales observadas, por lo menos del átomo de hidrógeno. Esa fue una gran decisión que lo llevaría a su modelo. Leo:

 In the summer term of 1925, when I resumed my research work at the University of Gottingen-since July 1924 I had been Privatdozent at that university-I made a first attempt to guess what formulae would enable one to express the line intensities of the hydrogen spectrum, using more or less the same methods that had proved so fruitful in my work with Kramers in Copenhagen. This attempt led to a dead end-I found myself in an impenetrable morass of complicated mathematical equations, with no way out. But the work helped to convince me of one thing: that one ought to ignore the problem of electron orbits inside the atom, and treat the frequencies and amplitudes associated with the line intensities as perfectly good substitutes. In any case, these magnitudes could be observed directly, and as my friend Otto had pointed out when expounding on Einstein's theory during our bicycle tour round Lake Walchensee, physicists must consider none but observable magnitudes when trying to solve the atomic puzzle...

Tengo que comentar sobre ese amigo Otto, que lo nombra en un capítulo anterior.

.. My attempt to apply this scheme to the hydrogen atom had come to grief on the complications of this particular problem. Accordingly, I looked for a simpler mathematical system and found it in the pendulum, whose oscillations could serve as a model for the molecular vibrations treated by atomic physics. My work along these lines was advanced rather than retarded by an unfortunate personal setback.

Veremos en el próximo post el problema de salud que tuvo. Pero un comentario: no sólo se dedicó al péndulo, sino al oscilador anarmónico. No tomó el camino del oscilador armónico. Tengo que revisar las razones, expuestas en el libro de van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics

Nos leemos!

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Publicado el 4 de Agosto, 2014, 6:51

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Sigamos leyendo y comentando la postura de Gould:

Las explicaciones históricas son distintas de muchas maneras de los resultados experimentales convencionales. El tema de la verificación mediante repetición no se suscita porque estamos intentando explicar la singularidad de detalles que no puede, ni por las leyes de probabilidad ni por la irreversibilidad de la flecha del tiempo, ocurrir de nuevo simultáneamente. No intentamos interpretar los complejos acontecimientos del relato reduciéndolos a simples consecuencias de la ley natural; desde luego, los acontecimientos históricos no violan ningún principio general de la materia y el movimiento, pero su existencia reside en un reino de detalle contingnente. (La ley de la gravedad nos dice cómo cae una manzana, pero no por qué aquella manzana cayó en aquel momento, ni por qué Newton se encontraba sentado allí por casualidad, preparado para la inspiración.) Y el tema de la predicción, un ingrediente básico del estereotipo, no entra en una narrativa histórica. Podemos explicar un acontecimiento después de que haya ocurrido, pero la contingencia impide su repetición, incluso si el punto de partida es idéntico. (Custer estaba sentenciado después que mil acontecimientos conspiraran para aislar a sus tropas, pero empecemos de nuevo en 1850 y puede que nunca viera Montana, y mucho menos a Toro Sentado y a Caballo Loco.)

Pero tampoco la física por qué tenemos la Luna alrededor de la Tierra, en vez de tener dos o ninguna. Hay tantas cosas que entran por la historia en la astronomía, como en la biología. No podemos explicar por qué tal estrella está en el cielo, pero eso no obsta a que podamos explicar su espectro y su posible historia. Tampoco siempre es necesario la predicción: a veces una teoría especifica una retrodicción, el hacer una "predicción" no hacia el futuro, sino en el pasado.

Ahora pasas Gould a describir una separación entre las ciencias, donde algunas quedan como "más científicas" que otras:

Estas diferencias sitúan las explicaciones históricas, o narrativas, bajo una luz desfavorable cuando se las juzga mediante los estereotipos restrictivos del "método científico". Por ello, las ciencias de complejidad histórica han sido degradadas en su nivel y por lo general ocupan una posición de baja estima entre los profesionales. En realidad, la ordenación de las ciencias en niveles se ha convertido en un tema tan familiar que la clasificación desde la física diamantina en la cúspide hasta temas tan resbalosos y subjetivos como la psicología y la sociología en la base se han convertido a su vez en un estereotipo. Estas distinciones han penetrado en nuestro lenguaje y en nuestras metáforas: las ciencias "duras" frente a las "blandas", las "rigurosamente experimentales" frente a las "meramente descriptivas". Hace varios años, la Universidad de Harvard, en un acto poco caraterístico de innovación educativa, abrió brecha en el terreno conceptual al organizar las ciencias según el estilo de procedimientos en lugar de la disciplina convencional dentro del currículum básico. No hicimos la doble división usual en físicas frente a biológicas, sino que reconocimos los dos estilos que acabo de comentar: el experimental predictivo y el histórico. Designamos cada categoría con una letra, en lugar de un nombre. ¿Adivinen qué división se convirtió en Ciencia A y cuál en Ciencia B? Mi curso sobre la historia de la Tierra y de la vida se llama Ciencia B-16

Sí, aprecio que hay una separación así. Pero ¿eso hace que una disciplina sea menos científica, realmente, que otra? No lo veo así. La biología ha avanzado en descubrir conceptos, descubrir referentes reales (como el ADN), proponer modelos y verificarlos, etc. No la veo como menos "científica". Recordemos que Gould habla del "estereotipo", pero no lo describió en detalle hasta ahora en este texto que estamos visitando.

Nos leemos!

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Publicado el 2 de Agosto, 2014, 12:20

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Luego de la introducción, el primer capítulo del Origen de las Especies se titula "Variación en estado doméstico". Darwin comienza a repasar las variaciones que se dan en los animales y plantas, pero no en ambiente natural. Prefiere investigar sobre algo más firme: las variaciones observadas cuando esos animales y plantas están al cuidado del ser humano.

La primera sección es "Causas de variabilidad". Vamos a leer que Darwin no estaba seguro sobre las causas, y sus contemporáneos daban distintas explicaciones. Pero por lo menos traza el panorama de un hecho: en estado doméstico, hay variabilidad. Leo:

Cuando comparamos los individuos de la misma variedad o subvariedad de las plantas y animales que criamos desde hace más tiempo, una de las primeras cosas que nos llaman la atención es que generalmente difieren más entre sí que los individuos de cualquier especie en estado natural; y si reflexionamos en la gran diversidad de plantas y animales que han sido cultivados y que han variado durante toras las edades bajo los más diferentes climas y tratos, llegamos a la conclusión de que esta gran variabilida se debe a que nuestras producciones domésticas se han criado en condiciones de vida menos uniformes y algo diferentes de aquellas a que ha estado sometida en la naturaleza la especie madre.

Lo de "algo diferentes" lo acepto. Lo de "menos uniformes", habría que investigar más. El estado natural puede presentar más desafíos al desarrollo de una población que el ambiente doméstico. Actualmente se habla también de diversidad. Es interesante lo sostenido por McShea y Brandon en:

Biology's First Law: The Tendency for Diversity and Complexity to Increase in Evolutionary Systems

Donde leo:

In this engaging and often insightful book, Daniel McShea, a paleobiologist, and Robert Brandon, a philosopher of biology, both at Duke University, argue for a "zero-force evolutionary law" (ZFEL), which can be stated thus:

In any evolutionary system in which there is variation and heredity, there is, in the absence of constraint, a tendency for diversity and complexity to increase.

No esta exenta de crítica. Recomiendo leer el artículo sobre vida y complejidad del Investigacióny Ciencia (la Scientific American traducida y adaptada en España) del número de Febrero 2014. Incluso sostienen que esa tendencia a la diversidad y complejidad NO SE VE influida por la selección natural. Una predicción que hacen, y luego comprueban, es que una población doméstica de un animal que no está sometido a selección por ser ganado vacuno o vacas lecheras (es decir, una población que no se ve influida por la selección humana por beneficio), ni se ve sometida a selección natural, debería tener mayor diversidad que su contrapartida natural. El ejemplo, notable, es el de la mosca de la fruta, la Drosophila, que desde hace décadas se usa en laboratorio. Luego de examinar unos cientos de poblaciones, comprobaron que tienen mayor diversidad que las poblaciones naturales. Me imagino que al estar al resguardo de los laboratorios, la variaciones menos favorables no desaparecen. Algunos discuten la conclusión de estos autores, mencionando que aún una población así se ve sometida a selección, ya sea humana o natural.

Pero tengo que volver a Darwin, tema del próximo post. Un ejemplo a favor de Darwin: la gran variedad de perros domésticos, la cantidad de razas que encontramos hoy en día en esos animales.

Nos leemos!

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Publicado el 14 de Julio, 2014, 6:57

Ya comenté en dos posts la historia de Dirac trabajando sobre las ideas de Heisenberg, en 1925, y mejorándolas. Ver:

Dirac revisando el trabajo de Heisenberg
Dirac y las ecuaciones de la mecánica cuántica

Leo hoy en el capítulo 9, "Sunrise and first view", del excelente "Quantum Mechanics in Simple Matrix Form", de Thomas F. Jordan, un recuerdo del propio Dirac sobre aquel tiempo:

There were many meetings among the students in Cambridge to discuss scientific problems, and among those there was the Kapitza Club. Kapitza ... established a club of physicists... . Wc would meet on Tuesday evenings after dinner... . That was not really a very convenient time for me because I was usually rather sleepy after dinner. I did my work mostly in the morning... and towards the end of the day I was more or less dull, especially after dinner...

Se refiere a Pyotr Kapitsa, físico ruso, luego laureado Nobel al igual que Dirac, que en aquel entonces estaba en Cambridge. Ver Kapitza Club.

In the the summer of 1925, Heisenberg came to Cambridge, and he gave a talk to the Kapitza Club. Towards the end .. he spoke about some new ideas of his. By that time I was just too exhausted to be able to follow what he said, and I just did not take it in. He was talking about the origins of his ideas of the new mechanics. But I completely failed to realize that he was really introducing something quite revolutionary. Later on I completely forgot what he had said concerning his new theory. I even felt rather convinced that he had not spoken about it at all, but other people who were present at this meeting of the Kapitza Club assured me that he had spoken about it... and I just have to accept that he really did speak about it and that I had failed to respond to it at all, and so missed a great opportunity of getting started on it.

Esta historia no la conocía. No sabía que Heisenberg y Dirac se habían encontrado en la misma sala en aquellos tiempos. Tampoco que ya Dirac había tenido contacto con la teoría de Heisenberg, antes de tener su famoso "paper".

It was a little later when I really got started on the new Heisenbcrg theory.... Heisenberg sent [his paper] to Fowler... . Fowler sent it on to me with a query, 'What do you think of this?'... At first I was not very much impressed by it. It seemed to me to be too complicated. I just did not see the main point of it, and in particular his derivation of quantum conditions seemed to me to be too far-fetched, so I just put it aside as being of no interest. However, a week or ten days later I returned to this paper of Heisenberg's and studied it more closely. And then I suddenly realized that it did provide the key to the whole solution...

Este texto Jordan lo toma de P. A. M. Dirac, History of Twentieth Century Phystcs, edited by C. Weinei. Academic Press, New York, 1977, que no sé si es una conferencia de Dirac y otros autores, o todo un "raconto" del propio Dirac.

Nos leemos!

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Publicado el 13 de Julio, 2014, 18:24

Israel Moiseevich Gelfand fue un gran matemático ruso (1913-2009). Se ocupó de varias ramas de las matemáticas, incluso hasta en sus últimos años. Fue Premio Wolf, y en su larga carrera tuvo la oportunidad de aprender de grandes maestros (muchos soviéticos, a los cuales admiraba pero no siempre concordaba con ellos en temas políticos y sociales), y dejó su influencia en sus estudiantes.

Hoy me encuentro leyendo el libro de conferencias en motivo de su 80 aniversario, en 1993, con el tema "La Unidad de las Mateméticas". Son muy buenas conferencias, que tengo que comentar. En una conferencia del propio Gelfand, titulada "Mathematics as an Adequate Language", relata su relación con Dirac, y describe algo típico del físico inglés:

I was lucky to meet the great Paul Dirac, with whom I spent a few days in Hungary. I learned a lot from him.

In the 1930s, a young physicist, Pauli, wrote one of the best books on quantum mechanics. In the last chapter of this book, Pauli discusses the Dirac equations. He writes that Dirac equations have weak points because they yield improbable and even crazy conclusions:

1. These equations assume that, besides an electron, there exists a positively charged particle, the positron, which no one ever observed.

2. Moreover, the electron behaves strangely upon meeting the positron. The two annihilate each other and form two photons.

And what is completely crazy:

3. Two photons can turn into an electron–positron pair.

Pauli writes that despite this, the Dirac equations are quite interesting and especially the Dirac matrices deserve attention.

I asked Dirac, "Paul, why, in spite of these comments, did you not abandon your
equations and continue to pursue your results?""

"Because, they are beautiful.""

Simplemente por eso: porque son bellas. Pero finalmente se vió que eran no sólo bellas, sino que reflejaban un aspecto de la realidad que no se conocía hasta ese momento: la existencia de antimateria.

Pauli siempre era crítico duro de todo lo que le parecía bien. Pero algo rescataba del trabajo de Dirac: sus matrices 4x4, que eran una extensión las matrices de Pauli.

Post relacionados:

Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (1)
Paul Adrien Maurice Dirac, Breve Biografía
Dirac según Gamow
Paul Adrien Maurice Dirac, por Stephen Hawking (1)
Paul Adrien Maurice Dirac: Enlaces y Recursos (1)
Dirac y Feynman, por Abdul Salam
El problema de explicar spin y estadística
Dirac revisando el trabajo de Heisenberg
Dirac y las ecuaciones de la mecánica cuántica
Entrevista a P.A.M.Dirac, por Abdus Salam
Dirac y las cosmologías
Pauli, Dirac, Heisenberg y la religión

Nos leemos!

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Publicado el 12 de Julio, 2014, 14:49

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Sigo leyendo algo más adelante, el capítulo 5, Quantum Mechanics and a Talk with Einstein (1925-1926):

In the summer term of 1925, when I resumed my research work at the University of Gottingen-since July 1924 I had been Privatdozent at that university-I made a first attempt to guess what formulae would enable one to express the line intensities of the hydrogen spectrum, using more or less the same methods that had proved so fruitful in my work with Kramers in Copenhagen. This attempt led to a dead end -I found myself in an impenetrable morass of complicated mathematical equations, with no way out. But the work helped to convince me of one thing: that one ought to ignore the problem of electron orbits inside the atom, and treat the frequencies and amplitudes associated with the line intensities as perfectly good substitutes.

Ese es el gran cambio que dió Heisenberg: concentrarse en las frecuencias e intensidades (ya comenzaba a mencionar "amplitudes"),

In any case, these magnitudes could be observed directly, and as my friend Otto had pointed out when expounding on Einstein's theory during our bicycle tour round Lake Walchensee, physicists must consider none but observable magnitudes when trying to solve the atomic puzzle.

Tengo pendiente comentar sobre esas charlas con su amigo Otto, y también con Wolfgang Pauli.

My attempt to apply this scheme to the hydrogen atom had come to grief on the complications of this particular problem. Accordingly, I looked for a simpler mathematical system and found it in the pendulum, whose oscillations could serve as a model for the molecular vibrations treated by atomic physics. My work along these lines was advanced rather than retarded by an unfortunate personal setback.

Aparece el ataque de la "fiebre de heno", y el viaje a Heligoland:

Toward the end of May 1925, I fell so ill with hay fever that I had to ask Born for fourteen days' leave of absence. I made straight for Heligoland, where I hoped to recover quickly in the bracing sea air, far from blossoms and meadows. On my arrival I must have looked quite a sight with my swollen face; in any case, my landlady took one look at me, concluded that I had been in a fight and promised to nurse me through the aftereffects. My room was on the second floor, and since the house was built high up on the southern edge of the rocky island, I had a glorious view over the village, and the dunes and the sea beyond. As I sat on my balcony, I had ample opportunity to reflect on Bohr's remark that part of infinity seems to lie within the grasp of those who look across the sea.

Ahora podía concentrarse en el problema:

Apart from daily walks and long swims, there was nothing in Heligoland to distract me from my problem, and so I made much swifter progress than I would have done in Gottingen. A few days were enough to jettison all the mathematical ballast that invariably encumbers the beginning of such attempts, and to arrive at a simple formulation of my problem. Within a few days more, it had become clear to me what precisely had to take the place of the Bohr-Sommerfeld quantum conditions in an atomic physics working with none but observable magnitudes. It also became obvious that with this additional assumption I had introduced a crucial restriction into the theory. Then I noticed that there was no guarantee that the new mathematical scheme could be put into operation without contradictions. In particular, it was completely uncertain whether the principle of the conservation of energy would still apply, and I knew only too well that my scheme stood or fell by that principle.

El tema de la conservación de la energía (o de su falta de conservación) apareció en otras formulaciones tempranas. Veremos en el próximo post cómo se las arregló Heisenberg para mantener ese principio.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 12 de Julio, 2014, 14:36

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Termino hoy el comentario del prefacio de de "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics", de John Von Neumann. Leo al final:

In the analysis of the fundamental questions, it will be shown how the statistical formulas of quantum mechanics can be derived from ajfew qualitative, basic assumptions. Furthermore, there will be a detailed discussion of the problem as to whether it is possible to trace the statistical character of quantum mechanics to an ambiguity (i.e., incompleteness) in our description of nature.

Este es un gran tema, el que preocupaba a Einstein. Habiendo derivado muchas conclusiones apelando al manejo de la estadística (como en su relación entre los coeficientes de emisión y absorción de radiación por los átomos), siempre pensó que esos métodos se aplicaban porque no teníamos el conocimiento completo del sistema.

Indeed, such an interpretation would be a natural concomitant of the general principle that each probability statement arises from the incompleteness of our knowledge. This explanation "by hidden parameters" as well as another, related to it, which ascribes the "hidden parameter" to the observer and not to the observed system, has been proposed more than once. However, it will appear that this can scarcely succeed in a satisfactory way, or more precisely, such an explanation is incompatible with certain qualitative fundamental postulates of quantum mechanics.

Tengo que estudiar cuál es la incompatibilidad que señala von Neumann.

The relation of these statistics to thermodynamics is also considered. A closer investigation shows
that the well known difficulties of classical mechanics, which are related to the "disorder" assumptions necessary for the foundation of thermodynamics, can be eliminated here.

Siempre termina apareciendo en estas cuestiones la termodinámica. Recordemos que fue este tema el que llevó a Planck a investigar la radiación de cuerpo negro. Me queda pendiente entonces entender la crítica de von Neumann a Dirac, y el tema de incompatibilidad de las variables ocultas con los postulados fundamentales de la mecánica cuántica.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 12 de Julio, 2014, 14:12

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Veamos hoy una condición adicional que tiene que cumplir la ecuación que buscamos. Ya tenemos las relaciones de Einstein/de Broglie, que ponen sobre la mesa las relaciones entre:

 Energía y Frecuencia
 Momento y Longitud de Onda

Esto es lo extraño y nuevo que se encontró a principios del siglo XX: la relación entre conceptos físicos, como energía y momento, con conceptos de onda. Esa relación no la hubiera esperado nadie. Ahora estamos buscando una ecuación que nos permita determinar una función de onda, una expresión matemática que nos de un valor a cada punto r y cada instante t.

Pues bien, cualquier cosa que hallemos, deberá ser compatible con la física clásica, al menos en el límite. Una de las cosas que esperaríamos es que sea compatible con:

Esta relación clásica expone la relación entre energía total E, energía cinética y energía potencial, en un sistema de una partícula de masa m, momento p, y energía potencial V. Si estamos en el caso de una partícula libre dentro de un potencial V que no se altera con el tiempo, la relación de arriba debe dar una energía E constante. En esta relación aparece tanto la energía potencial V, como la energía cinética dependiente del momento p, y la energía total. De alguna forma, tenemos que relacionar esos conceptos, energía y momento, con frecuencia y longitud de onda. Lo vamos a lograr, pero lo que consigamos deberá ser compatible con la relación de arriba, en el caso de potencial V constante en el tiempo y sólo dependiente de la posición de la partícula. No sabemos cómo una función de onda:

Va a aparecer involucrada en esta relación, pero ya vamos a llegar al tema. Alguna pista ya nos dan las relaciones de Einstein/de Broglie, que nos permiten relacionar energía y momento, con frecuencia (en el tiempo) y longitud de onda (en el espacio).

Otra condición que nos gustaría satisfacer, es la linealidad de las soluciones. Es decir, si:

es una solución a la ecuación de ondas que buscamos, y:


es otra solución a la misma ecuación de ondas, entonces requerimos que:

sea también una solución potable a la misma ecuación, con coeficientes alfa y beta cualesquiera. Esta exigencia viene motivada para explicar cualquier fenómeno de interferencias de ondas en los experimentos. La linealidad nos va a permitir combinar de distintas formas soluciones encontradas, simplemente sumándolas, y dando a cada solución inicial, un coeficiente de peso (alfa y beta en la fórmula de arriba).

Ya tenemos dispuesto el escenario y las relaciones que queremos satisfacer. ¿Podremos obtener una ecuación cuya solución nos dé la función de onda buscada? Armados con estas dos nuevas exigencias, y lo que exploramos en los anteriores posts, ya estamos en condiciones de buscar la ecuación soñada.

Nos leemos!


Angel "Java" Lopez
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Publicado el 28 de Junio, 2014, 19:04

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El hecho de que la fuerza que aparece entre dos cargas sea proporcional a la PRIMERA potencia de cada carga es llamada linearidad. Algo que está relacionado con esto, pero más general, se ha visto en los experimentos: si dos cargas, colocadas en puntos distintos, ejercen fuerza sobre una tercera, esta fuerza es la suma vectorial de las fuerzas de cada carga inicial sobre la tercera. Esto es notable, y no es evidente que tuviera que ser así (lo mismo pasa con la gravedad). Primero, la fuerza es aditiva, en el sentido de si tenemos DOS cargas EN EL MISMO lugar, ejercen una suma de fuerzas sobre una tercera. Pero lo que acabamos de ver que muestran los experimentos, es que si las DOS cargas están EN DOS LUGARES distintos, la fuerza que ejercen contra la tercera sigue una REGLA SIMPLE, de suma vectorial. Esto es lo que se llama el Principio de Superposición de la fuerza eléctrica. Si extendemos esto a la fuerza debida a VARIAS cargas, el principio de superposición nos lleva a:

Esta fórmula expresa la fuerza en una carga puntual q en la posición r debido a otras cargas qn localizadas en los puntos rn. Acá podemos apreciar por qué es más conveniente el uso de un numerador elevado al cubo, en lugar de la fórmula inicial que habíamos visto, donde el numerador estaba elevado al cuadrado:

donde en el numerador aparecía no r sino un versor (de longitud unitaria) en la dirección de r:

Bien, tenemos definida la fuerza sobre una carga puntual q. Se ha visto que es muy útil trabajar, en lugar de con la fuerza, con el llamado campo eléctrico. Definamos al campo E como:

[1]

Para la fuerza ejercida sobre la carga puntual q por el resto de las cargas. Pero sacando "afuera" a q en la expresión que conocemos:

Queda el campo eléctrico como función de la posición:

[2]

Al principio parece todo esto un truco matemático. Pero veremos que el concepto de campo eléctrico E tiene importancia física por sí mismo, no solamente como una forma distinta de conseguir la fuerza F. Vemos que en la ecuación [2] desapareció q. Parece como que no importa si estuviera o no. Vaya la aclaración siguiente.

En la ecuación [1] definimos el campo eléctrico E en el punto r en la presencia de la carga q. Pero tenemos que tener cuidado si la vamos a usar como campo eléctrico ANTES de haber introducido la carga q. Esto se debe que el campo puede quedar transformado si introducimos la carga q. Por ejemplo, al introducir la carga q podemos cambiar la posición de otras cargas en el entorno. Por eso tenemos que usar, para definir el campo eléctrico en un punto r AUN antes de introducir una carga q, al límite:

Donde entonces E0 es el campo eléctrico del que podemos hablar ANTES de introducir a q en la posición r.

Hasta ahora hemos considerado cargas puntuales, y n cargas. Veremos en el próximo post cómo generalizar este resultado a una cantidad "casi infinita" de cargas.

Principal fuente consultada: Classical Electromagnetism, de Jerrold Franklin.

Nos leemos!

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Publicado el 12 de Junio, 2014, 9:20

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En estos días estoy estudiando la historia de la física cuántica. El estudiar la historia permite conocer mejor los por qué del desarrollo actual, los problemas encontrados y pendientes, los actores y sus relaciones. Puedo dividir la historia en:

- Cuántica inicial, con los problemas del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico, el modelo atómico de Bohr.

- Mecánica cuántica, la década de los 20 en el siglo pasado

- Cuántica relativista y teoría de campos, desde los años 30, y demás ramas que se abrieron

Uno de los temas fascinantes es cómo se llegó a las formulaciones de Heinsenberg y de Schrödinger, y su unificación. Me encuentro leyendo la autobiografía de Heinsenberg, "Physics and beyond", con muchos datos interesantes a revisar. En el capítulo 5, "Quantum Mechanics and a Talk with Einstein", leo:

During these critical years, atomic physics developed much as Niels Bohr had predicted it would during our walk over the Hain Mountain. The difficulties and inner contradictions that stood in the way of a true understanding of atoms and their stability seemed unlikely to be removed or even reduced-on the contrary, they became still more acute. All attempts to surmount them with the conceptual tools of the older physics appeared doomed to failure.

Bohr estaba muy interesado en la filosofía de la física de entonces. No se conformaba con simplemente poner fórmulas que concordaran con los experimentos. Quería construir algo más firme, sin tener que mezclar física clásica con postulados extraños.

There was, for instance, the discovery by the American physicist, Arthur Holly Compton, that light (or more precisely X-rays) changes its wavelength when radiation is scattered by free electrons. This result could be explained by Einstein's hypothesis that light consists of small corpuscles or packets of energy, moving through space with great velocity and occasionally-e.g., during the process of scattering-colliding with an electron. On the other hand, there was a great deal of experimental evidence to suggest that the only basic difference between light and radio waves was that the former are of shorter length; in other words, that a light ray is a wave and not a stream of particles. Moreover, attempts by the Dutch physicist, Ornstein, to determine the intensity ratio of spectral lines in a so-called multiplet had produced very strange results. These ratios can be determined with the help of Bohr's theory. Now it appeared that, although the formulae derived from Bohr's theory were incorrect, a minor modification produced new formulae that fitted the experimental results. And so physicists gradually learned to adapt themselves to a host of difficulties. They became used to the fact that the concepts and models of classical physics were not rigorously applicable to processes on the atomic scale. On the other hand, they had come to appreciate that, by skillful use of the resulting freedom, they could, on occasion, guess the correct mathematical formulation of some of the details.

Heisenberg había conocido a Bohr en esos tiempos, ver Bohr y Heisenberg, primer encuentro. Yo no conocía el trabajo de Ornstein, que se menciona arriba. Vemos cómo gran parte del problema era explicar el espectro atómico. Muy importante fue el efecto Compton, que continuó poniendo en evidencia el papel de la frecuencia, que ya había aparecido en los trabajos de Planck y la radiación del cuerpo negro, y de Einstein y el efecto fotoeléctrico.

In the seminars run by Max Born in Gottingen during the summer of 1924, we had begun to speak of a new quantum mechanics that would one day oust the old Newtonian mechanics, and whose vague outlines could already be discerned here and there. Even during the subsequent winter term, which I once again spent in Copenhagen, trying to develop Kramers' theory of dispersion phenomena, our efforts were devoted not so much to deriving the correct mathematical relationships as to guessing them from similarities with the formulae of classical theory.

Max Born acuñó el término "mecánica cuántica" en un artículo de aquellos años. Heisenberg menciona a Kramer, que era ayudante de Bohr, al que conoció al trabajar en Copenhagen. Había algo de rivalidad entre ellos, o por lo menos parece que Heisenberg (apenas algunos años más joven que Kramer) lo veía como el principal "rival" en el ambiente físico de aquella época. Eso no impidió que escribiera con él y con Bohr, un artículo seminal sobre el tema. La fórmula de dispersión de Kramer pasaría a ocupar un lugar importante en lo que se desarrollaría entonces. En el próximo post veremos cómo fueron los días de Heisenberg cuando escribió su "paper" de 1925.

Nos leemos!

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Publicado el 1 de Junio, 2014, 9:47

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Sigo leyendo a Gould y comentando este interesant tema:

El estereotipo del "método científico" no tiene lugar para la historia irreducible.

Sigue mencionando un estereotipo de "método científico" entre comillas, pero no ha presentado aún la descripción de lo que toma por esa expresión. Algo viene ahora:

 Las leyes de la naturaleza se definen por su invariancia en el espacio y en el tiempo. Las técnicas del experimento controlado, y la reducción de la complejidad natural a un conjunto mínimo de causas generales, presuponen que todas las épocas pueden tratarse del mismo modo y que pueden ser adecuadamente simuladas en el laboratorio. El cuarzo cámbrico es como el cuarzo moderno: tetraedros de silicio y de oxígeno enlazados entre sí en todos los vértices. Determínense las propiedades del cuarzo moderno bajo condiciones controladas en un laboratorio, y uno puede interpretar las playas de arena de la Arenisca de Potsdam del Cámbrico.

Bien, esta describiendo temas de física y química. Y aparece "leyes de la naturaleza". En mi postura, la actividad científica no está orientada a la obtención de leyes (apenas persigue eso en la física y aledaños), sino a la formación de modelos explicativos de la realidad. De ahí que no tenga tanto conflicto con esteoreotipos o realidades de un método científico. La formación de modelos es UNO DE LOS PASOS del método científico. Los demás son el estudio de la realidad, y la corroboración de los modelos propuestos. A veces se puede apelar a experimentos y otras veces no.

Pero supóngase que uno quiere saber por qué murieron los dinosaurios, o por qué florecieron los moluscos mientras que Wiwaxia perecía. El laboratorio no es irrelevante, y puede brindar importantes atisbos por analogía. (Por ejemplo, podemos aprender algo interesante acerca de la extinción del Cretácico comprobando las tolerancias fisiológicas de los organismos modernos, o incluso de "modelos" de dinosaurios, bajo los cambios ambientales propuestos en las diversas teorías acerca de esta gran extinción.) Pero las técnicas restringidas del "método científico" no pueden llegar hasta el meollo de este acontecimiento singular que implica a seres que hace mucho tiempo que murieron en una Tierra cuyos climas y posiciones continentales eran notoriamente distintos de los de hoy en día.

Insisto: método científico es más que eso, pero acepto que Gould está poniendo de relieve las dificultades del estereotipo. La actividad científica contempla la historia, como justamente menciona Gould más abajo, ante una hipótesis para explicar la extinción de los dinosaurios: la caída de meteorito(s). Pero el método científico pide corroboración de ese modelo, buscando trazas de esa caída, y un modelo explicativo de por qué esa brusca aparición en la historia provocó la extinción de los dinosaurios (y no la extinción de toda la vida, por ejemplo).

La resolución de la historia debe hallarse enraizada en la reconstrucción de los mismos acontecimientos pasados (en sus propios términos), basada en la evidencia narrativa de los fenómenos únicos que les son propios. Ninguna ley garantizaba la extinción de Wiwaxia pero algún complejo conjunto de acontecimientos conspiró para conseguir este resultado; y podemos recuperar las causas si, por buena fortuna, en nuestro registro geológico lleno de agujeros hay suficientes pruebas registradas de ello. (Por ejemplo, hasta hace diez años no supimos que la extinción del Cretácico correspondió en el tiempo con el probable impacto de uno o varios cuerpos extraterrestres sobre la Tierra, aunque las pruebas, en forma de signaturas químicas, siempre habían existido en las rocas de edad adecuada.)

Lo que Gould pone en el tapete es la importancia de la contingencia. En lo que describo como actividad científica, no encuentro problema en investigar, aceptar la influencia de lo histórico. Hasta puede que tengamos que adoptar algo de esa actitud en las investigaciones en cosmología. Lo importante es ver que método científico no es método científico como en física clásica. Es algo más: el diálogo con la realidad, y la realidad tiene pasado.

Dos notas: el Wiwaxia que menciona ya aparece en ese su libro, como ejemplo de animal extinguido, que podría haber formado todo un reino animal aparte. No sabemos por qué se extinguió. Puede ser que no pudiera adaptarse, o que por alguna CONTINGENCIA sus individuos desaparecieron. La aparición de algo cercano al azar pudo bien haber cambiado la historia de la vida en la Tierra. El tema dinosaurios, da para mucho comentario. Les recomiendo la lectura de "El Asunto Némesis" de David M. Raup, Alianza Editorial, donde también aparece Gould.

Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Wiwaxia
http://en.wikipedia.org/wiki/Nemesis_(hypothetical_star)

Nos leemos!

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Publicado el 31 de Mayo, 2014, 17:25

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Sigamos leyendo a Darwin, cuando al final de la introducción escribe:

Nadie debe sorprenderse por lo mucho que queda todavía queda sin explicar respecto al origen de las especies y variedades, si se hace el cargo debido de nuestra profunda ignorancia respecto a las relaciones mutuas de los muchos seres que viven a nuestro alrededor. ¿Quién puede explicar por qué una especie se extiende mucho y es numerosísima y por qué otra especie afín tiene una dispersión reducida y es rara? Sin embargo, estas relaciones son de suma importancia, pues determinan la prosperidad presente y, a mi juicio, la futura fortuna y variación de cada uno de los habitantes del mundo.

Llama la atención de nuevo sobre las relaciones, casi puede intuirse el moderno concepto de ecosistema. Ya antes había mencionado lo asombroso de encontrarse con organismos tan adaptados a su medio.Y ahora viene su declaración de su pensamiento: las especies no son inmutables. Yo no conocía que inicialmente no pensara así: imaginé que Darwin tendría alguna idea de los cambios en las especies, luego de la influencia la obra de su abuelo, Eramus Darwin. Leo:

Todavía sabemos menos de las relaciones mutuas de los innumerables habitantes de la tierra durante las diversas épocas geológicas pasadas de su historia. Aunque mucho permanece y permanecerá largo tiempo oscuro, no puedo, después del más reflexionado estudio y desapasionado juicio de que soy capaz, abrigar duda alguna de que la opinión que la mayor parte de los naturalistas mantuvieron hasta hace poco, y que yo mantuve anteriormente -o sea que cada especie ha sido creada independientemente-, es errónea. Estoy completamente convencido de que las especies no son inmutables y de que las que pertenecen a lo que se llama el mismo género son descendientes directos de alguna otra especie, generalmente extinguida, de la misma manera que las variedades reconocidas de una especie son los descendientes de ésta. Además, estoy convencido de que la selección natural ha sido el medio más importante, si bien no el único de modificación.

No llega a afirmar todavía que todas las especies descienden de una sola. O que ramas disímiles como los lagartos, dinosaurios y aves podrían tener una sola especie antepasada. Creo que no llega nunca a esa conclusión. Eso nos vino luego, con el avance de la teoría y de nuestro conocimiento. Por ejemplo, cuando se fue descubriendo la total similitud de los ladrillos de nuestro ADN, en todos los organismos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 26 de Mayo, 2014, 6:40

Ya publiqué sobre el tema en Teorías Gauge: Enlaces y Recursos (1). Comienzo hoy a compartir notas sobre el tema. Partamos desde el artículo:

http://en.wikipedia.org/wiki/Introduction_to_gauge_theory

In physics, gauge invariance (also called gauge symmetry) is the property of a field theory in which different configurations of the underlying fields—which are not themselves directly observable—result in identical observable quantities. A theory with such a property is called a gauge theory. A transformation from one such field configuration to another is called a gauge transformation.[1][2]

Lo primero a destacar: se trata de algo relacionado con teorías de campo:

http://en.wikipedia.org/wiki/Field_(physics)

A field is a physical quantity that has a value for each point in space and time.[1] For example, in a weather forecast, the wind velocity is described by assigning a vector to each point in space. Each vector represents the speed and direction of the movement of air at that point.

En una teoría de campos, entonces, se le asigna un valor a cada punto del espacio y el tiempo. El campo completo representa una entidad física. Hablamos de campo electromagnético, o de campo gravitatorio, o de campo de Higgs. El valor no tiene que ser un número plano, según el anterior artículo sobre campos en física:

A field can be classified as a scalar field, a vector field, a spinor field or a tensor fieldaccording to whether the value of the field at each point is a scalar, a vector, aspinor or a tensor, respectively. For example, the Newtonian gravitational field is a vector field: specifying its value at a point in spacetime requires three numbers, the components of the gravitational field vector at that point. Moreover, within each category (scalar, vector, tensor), a field can be either a classical field or a quantum field, depending on whether it is characterized by numbers or quantum operatorsrespectively.

Vemos que hay campos clásicos y campos cuánticos. En los primeros, los resultados (escalares, vectores, tensores) se caracterizan por números. En los segundos, aparece el uso de operadores cuánticos. Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Field_(physics)#Quantum_fields

It is now believed that quantum mechanics should underlie all physical phenomena, so that a classical field theory should, at least in principle, permit a recasting in quantum mechanical terms; success yields the corresponding quantum field theory. For example, quantizing classical electrodynamics gives quantum electrodynamics. Quantum electrodynamics is arguably the most successful scientific theory; experimental data confirm its predictions to a higher precision (to more significant digits) than any other theory.[12] The two other fundamental quantum field theories are quantum chromodynamics and theelectroweak theory.

 Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Operator_(physics)
http://en.wikipedia.org/wiki/Operator_(physics)#Operators_in_quantum_mechanics

The mathematical formulation of quantum mechanics (QM) is built upon the concept of an operator.

The wavefunction represents the probability amplitude of finding the system in that state. The terms "wavefunction" and "state" in QM context are usually used interchangeably.

Physical pure states in quantum mechanics are represented as unit-norm vectors (probabilities are normalized to one) in a special complex vector space: a Hilbert space. Time evolution in this vector space is given by the application of the evolution operator.

Any observable, i.e., any quantity which can be measured in a physical experiment, should be associated with a self-adjointlinear operator. The operators must yield real eigenvalues, since they are values which may come up as the result of the experiment. Mathematically this means the operators must be Hermitian.[1] The probability of each eigenvalue is related to the projection of the physical state on the subspace related to that eigenvalue. See below for mathematical details.

Es el tema que estoy explorando en Matemáticas y Física Cuántica.

Pero volvamos a las teorías gauge. Mi primer encuentro con ellas se remonta a los años ochenta, a un artículo clásico de Gerard't Hooft en el Scientific America (Investigación y Ciencia, de España). El título era "Teorías de aforo" pero desde entonces, prácticamente nadie usa la palabra "aforo" y todos se refieren a "gauge".  Ver también el artículo de 't Hooft:

http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_theories

Esta palabra inglesa "gauge" se puede traducir por "calibre". Pero ¿qué quiere decir "gauge" en este contexto de "teoría gauge"? Lo que dice el artículo de la Wikipedia: a veces, podemos describir un campo con una expresión distinta, y aún así, la física que describe es la misma. El primer ejemplo que tengo es el de la función de onda en mecánica cuántica (ver ... ). Es una función que da un valor complejo para cada punto del espacio y del tiempo. Pero si esos valores los multiplicamos por un valor complejo cualquiera de "longitud" 1 (por un e elevado a la i rho), la expresión es DISTINTA, pero la física descripta ES LA MISMA. Esta equivalencia nace de transformar la expresión GLOBALMENTE, es decir, multiplicándola por EL MISMO valor complejo unitario en todos los puntos. Veremos que hay teorías gauge donde se hace una transformación distinta en cada punto.

Volviendo al artículo introductorio de la Wikipedia citado al principio:

Modern physical theories describe reality in terms of fields, e.g., theelectromagnetic field, the gravitational field, and fields for the electron and all other elementary particles. A general feature of these theories is that none of these fundamental fields, which are the fields that change under a gauge transformation, can be directly measured. On the other hand, the observable quantities, namely the ones that can be measured experimentally—charges, energies, velocities, etc.—do not change under a gauge transformation, even though they are derived from the fields that do change. This (and any) kind of invariance under a transformation is called a symmetry.

Hay algo que cambia (el campo, su descripción matemática, algún parámetro) y algo que no cambia (las cantidades observables). Ante un cambio, hay una invariancia. Y como siempre que nos topamos con invariancia, aparece simetría. Ver algo de las matemáticas en Funciones Invariantes, donde vemos que las transformaciones que dejan invariante una expresión (en este caso, lo que no varía es la expresión, no solamente los valores medibles experimentalmente) forman un grupo. El mismo artículo muestra un ejemplo de campo gauge:

For example, in electromagnetism the electric and magnetic fields, E and B, are observable, while the potentials V ("voltage") and A (the vector potential) are not.[3] Under a gauge transformation in which a constant is added to V, no observable change occurs in E or B.

Cuando en nuestros hogares llegan 220 voltios (como aquí en Argentina), no es que estamos midiendo el potencial, sino LA DIFERENCIA entre dos potenciales situados en el origen de la red eléctrica. Si ambos potenciales subieran en 100000 voltios, nuestros artefactos eléctricos funcionarían igual. Si bien las teorías gauge ya aparecen con el electromagnetismo, es en el siglo XX donde surgen con más fuerza, con la cuántica:

With the advent of quantum mechanics in the 1920s, and with successive advances in quantum field theory, the importance of gauge transformations has steadily grown. Gauge theories constrain the laws of physics, because all the changes induced by a gauge transformation have to cancel each other out when written in terms of observable quantities. Over the course of the 20th century, physicists gradually realized that all forces (fundamental interactions) arise from the constraints imposed by local gauge symmetries, in which case the transformations vary from point to point in space and time.

Y esos son dos grandes puntos: uno, cómo lo gauge restringe las leyes de la física, y dos, cómo las simetrías de las transformaciones gauge locales se relacionan con las fuerzas fundamentales.

Nos leemos!

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