Angel "Java" Lopez en Blog

Ciencia


Publicado el 23 de Agosto, 2015, 18:50

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Veamos el primer contacto de Dirac con el trabajo de Heisenberg:

I received an early copy of Heisenberg's first work a little before publication and I studied it for a while and within a week or two I saw that the noncommutation was really the dominant characteristic of Heisenberg's new theory. It was really more important than Heisenberg's idead of building up the theory in terms of quantities closely connected with experimental results. So I was led to concentrate on the idea of noncommutation and to see how the ordinary dynamics which peaplo had been using until then should be modified to include it.

Es muy importante esta etapa en la vida de Dirac. Pasó de ser un estudiante aventajado a ser un reconocido físico teórico, y comenzó su carrera al premio Nobel.

El trabajo de Heisenberg (todavía no publicado) lo envío éste a Fowler, el supervisor de Dirac en aquel entonces. Fowler se lo pasa a Dirac y éste lo encontró inicialmente algo abtruso, pero luego comenzó a captar las ideas novedosas de Heisenberg. Escribí algunos detalles (incluso parte de este discurso) en:

Dirac y las ecuaciones de la mecánica cuántica
Dirac revisando el trabajo de Heisenberg
Dirac y la teoría de Heisenberg

Es interesante leer cómo Dirac se consideraba preparado para extender el trabajo de Heisenberg:

At this stage, you see, I had an advantage over Heisenberg because I did not have his fears. I was not afraid of Heisenberg's theory collapsing. It would not have affected me as it would have affected Heisenberg. It would not have meant that I would have had to start again from the beginning.

I think it is a general rule that the originator of a new idea is not the most suitable person to deveop it because his fears of something going wrong are really too strong and prevent his looking at the method from a purely detached point of view in the way that he ought to.

Y también es interesante que ya estuviera al tanto de las ideas de Hamilton, y notablemente, recordaba que ahí había un germen de no conmutatividad, como en la teoría de Heisenberg.

I had this advantage over Heisenberg. I also had other great advantages. I was a research student at that time with no other duties except research. I can thank the fact that I was born at just the right time. A fre years older or younger and I would have missed that opportunity. But everything seemed to be in my favor.

Also, with regard to the problem of modifying the ordinary dynamics to bring in noncommutation, I had become used to the earlier theory of Bohr and Sommerfeld - the theory of atomic orbits - and this theory had been found to be closely connected with a form of mechanics due to Hamilton, which he had discovered nearly a hundred years previously. It was found that Hamilton's form of dynamics was just the form which was most suitable for bringing in noncommutation, and it was not a very difficult problem to work out how these two ideas should be fitted together.

En el próximo post sigo compartiendo y comentando este interesante relato de Dirac.

Nos leemos!

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Publicado el 22 de Agosto, 2015, 20:05

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Ya comenzamos a explorar que un sistema físico puede tener una función de las coordenadas, velocidades y tiempo, llamada lagrangiana:

que describe el sistema. Las coordenadas pueden ser tres, sean x, y, z o x1, x2, x3, si estamos hablando de una partícula, o pueden ser seis coordenadas si el sistema tiene dos partículas y así.

Lo bueno de la lagrangiana es que permite obtener n ecuaciones diferenciales, una por cada coordenada:

que, si es posible resolverlas, nos darán las ecuaciones de movimiento, es decir, cómo expresar todas las coordenadas como función del tiempo. Ese es el gran poder de la física clásica desde tiempos de Newton: dar una descripción de la evolución en el tiempo de un sistema físico, sea una partícula o sea el sistema solar. Newton fue el primer gran unificador de la física, uniendo bajo el mismo modelo la descripción de los movimientos celestes y de los movimientos terrestres. Antes, desde cerca de Aristóteles, se veían a ambos fenómenos como esencialmente diferentes.

Pero ¿por qué usarn el formalismo lagrangiano, si tenemos a nuestra disposición el de Newton? Bueno, acá viene el meollo: si cambiamos las coordenadas, por ejemplo a las coordenadas q, donde cada qi viene expresada en función de las otras coordenadas:

Siendo estas expresiones son invertibles:

Entonces, de la lagrangiana original, expresada en función de las coordenadas originales x, podemos pasar a una nueva función lagrangiana, expresada en función de las coordenadas nuevas:

En general la expresión de esta nueva función (su forma, su desarrollo) no es la misma que la función original. Por eso no la llamé L, sino L prima. No se preocupen que vamos a ver ejemplos concretos de esto en próximo post. Pero lo notable de la formulación lagrangiana, es que se siguen cumpliendo las ecuaciones diferenciales:

Donde ahora tomamos las derivadas parciales según las coordenadas q y sus velocidades. ESO ES LO IMPORTANTE: podemos cambiar de coordenadas, buscar quizás un sistema de coordenadas más adecuado para el sistema que estamos tratando (por ejemplo, pasar a coordenadas polares en algún caso que implique rotaciones alrededor de un centro), y conseguir nuevas ecuaciones diferenciales para resolver el movimiento del sistema. Tal vez, esas ecuaciones son más manejables que las que hubiéramos obtenido si hubiéramos persistido en utilizar las coordenadas originales.

Tengo que mostrar un ejemplo concreto, tarea que como escribí más arriba, queda para próximo post. Pero también queda pendiente DEMOSTRAR esta GRAN afirmación. Hay dos caminos para demostrarla, y espero poder mostrar ambos:

- Hacer la sustitución algebraica de las viejas coordenadas a las nuevas en las ecuaciones diferenciales y deducir las nuevas

- Mostrar que las ecuaciones diferenciales son consecuencia de un principio variacional

No queda muy claro el segundo camino por ahora, pero se basa en el principio de Hamilton, que tendremos que examinar. Curiosamente, Lagrange no llegó a su formalismo por el segundo camino, sino por otro, más relacionado con el principio de D"Alembert. También tenemos pendiente exponer ese camino. Con respecto al principio variacional, déjenme adelantarles que las ecuaciones diferenciales que vimos son NECESARIAS para afirmar que una integral especial de la lagrangiana es un maximal (general un mínimo). Este es un concepto geométrico que se mantiene al cambiar las coordenadas, de ahí que la nueva lagrangiana también cumple con el mismo principio.

Pero todo quedará más claro con ejemplo y demostración.

Nos leemos!

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Publicado el 21 de Agosto, 2015, 6:43

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Richard Feynman - Session V | American Institute of Physics
https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/5020-5

Mandelstam variables - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelstam_variables

On shell and off shell - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/On_shell_and_off_shell

Perturbation theory - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Perturbation_theory

The Feynman Lectures on Physics, The Most Popular Physics Book Ever Written, Now Completely Online | Open Culture
http://www.openculture.com/2014/08/the-feynman-lectures-on-physics-the-most-popular-physics-book-ever-written-now-completely-online.html

Introducing quantum mechanics: One-particle interference
http://depts.washington.edu/jrphys/ph331/share/mach2.pdf

Courage vs. Cargo Cults | 8th Light
http://blog.8thlight.com/will-warner/2014/01/21/courage-vs-cargo-cults.html
craftmanship history science feynman millikan programming
2014-01-24T10:27:30Z

What if every electron in the universe was all the same exact particle?
http://io9.com/5876966/what-if-every-electron-in-the-universe-was-all-the-same-exact-particle

Richard Feynman - No Ordinary Genius (Documentary) - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=e9tanx_0pqQ

Physicists Discover Geometry Underlying Particle Physics | Simons Foundation
https://www.simonsfoundation.org/quanta/20130917-a-jewel-at-the-heart-of-quantum-physics/

The Feynman Lectures on Physics -- Preface to the New Millennium Edition
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_90.html

The Famed Feynman Lectures, Now in HTML - Zach Schonfeld - The Atlantic Wire
http://www.theatlanticwire.com/entertainment/2013/09/feynman-lectures-released-as-free-html/69391/

Programming The Feynman Way
http://www.infoq.com/presentations/Feynman-Way

There Are Four Lights » Blog Archive » Feynman Day Drawings!
http://www.saramayhew.com/blog/index.php/2013/05/feynman-day-drawings/

"If you can't explain it..." - Straight Dope Message Board
http://boards.straightdope.com/sdmb/showthread.php?t=159936

One-electron universe - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/One-electron_universe

The Art of Ofey: Richard Feynman's Sketches and Drawings | Brain Pickings
http://www.brainpickings.org/index.php/2013/01/17/richard-feynman-ofey-sketches-drawings/

Mis Enlace
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Nos leemos!

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Publicado el 19 de Agosto, 2015, 7:41

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Comienza el tema del desarrollo de la mecánica cuántica:

Let us pass on to consider the development of quantum mechanics. This started with a brilliant idea of Heisenberg. Heisenberg's idea was that one should try to construct a theory in terms of quantities which are provided by experiment, rather than building it up, as people had done previously, from an atomic model with involved many quantities which could not be observed. By this brilliant idea Heisenberg really started a new philosophy, a philosophy that physics - physical theory - should keep close to the experimentally obtained data and should not depart into the use of quantities which are only very remotely connected with observation.

Dirac comienza por MECANICA cuántica, mas que por la teoría cuántica antigua, que llevaba un cuarto de siglo desarrollándose cuando en 1925 Heisenberg publica las ideas mencionadas arriba. Estoy escribiendo del tema en: Entendiendo a Heisenberg. Es un tema fascinante, por un lado toda la historia que lo precede, los distintos caminos tomados en la actividad científica, los modelos propuestos, los actores que intervienen, y por otro, sencillamente entender el "paper" de Heisenberg, que pega varios "saltos mágicos" en su razonamiento. El tema de la nueva "filosofía" es para discutir, pero es interesante. Heisenberg siempre insistió en eso, pero no es evidente que la física tenga que avanzar de esa manera. Conceptos como posición no fueron abandonados, sino refinados en la nueva teoría.

This was a wonderful idea of Heisenberg's and, in putting together the various experimentally provided data concerned with atomic spectra, he was led to matrices, and then was led to consider that matrices represent the physical variables ocuyrring in an atom, physical variables like the positions and velocities of the electrons. Heisenberg had not proceeded very far with this idea before he notices that it would lead to his physical quantities not satisfying the commutative law of multiplication. Two such quantities A and B would usually be such that A multiplied by B is different from B multiplied by A.

Este punto es el que destaca Dirac, y con razón: la no conmutabilidad de algunas expresiones relacionadas con las variables físicas. Para Heisenberg, las variables dejaron de ser simples números y comienzan a ser matrices. Su multiplicación es multiplicación de matricas, que no es conmutativa. Curiosamente, Heisenberg no conocía lo que era una matriz en matemática.

Now when Heisenberg noticed that he was really scared. It was such a foreign idea. Physicists from the earliest times had always thought of the variables that they were using as quantities satisfying the ordinary laws of algebra. It was wuit inconceivable that two physical things when multiplied in one order should not give the same result as when multiplied in the other order. It was thus most disturbing to Heisenberg. He was afraid this was a fundamental blemish in his theory and that probably the whole beautiful idea would have to be given up.

Pero Heisenberg siguió adelante. Ese fue su mérito. En el próximo post veremos cómo Dirac recibe y evalúa el trabajo de Heisenberg en tiempos tempranos.

Nos leemos!

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Publicado el 18 de Agosto, 2015, 7:44

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Vimos en el anterior post que Thomson obtuvo un valor para la razón entre la carga del electrón y su masa, e/m.  Y encontró que era más de mil veces mayor que los valores correspondientes a los iones en electrólisis. Esto lo llevó a pensar que los rayos catódicos estaban compuestos por partículas con masa mucho menor que los iones, y con una carga negativa. Fueron las primeras partículas elementales conocidas.

En otros experimentos Thomson y sus estudiantes encontraron el valor de las cargas +e transportadas por los iones. Entonces formó un modelo de los átomos, cuya existencia todavía estaba en debate. Es lo que se hace frecuentemente en ciencia: dar un modelo de algo aunque no se tenga evidencia directa. Es parte del gran juego de la investigación científica. Sirva esto para desmitificar la idea de la ciencia como "búsqueda de leyes" solamente. Es algo más: busca modelos explicativos de los fenómenos.

Para Thomson, entonces, un átomo estaba compuesto de Z electrones, con carga -e, engarzados en posiciones de equilibrio dentro de una distribución continua de carga positiva, por un total de +eZ. Es de notar que no se le ocurrió que pudiera haber otras partículas de carga positiva. Era común entonces considerar continuos que ocupaban el espacio, desde el éter, hasta otros modelos de materia basados en fluidos. Desde Aristóteles, Descartes y hasta Maxwell, se pensaba en fluidos que ocupaban todo el espacio, y Thomson parece no haber escapado a la idea, aunque modificada por los átomos. Tampoco tenía evidencia directa de la existencia de otras partículas, ya bastante sorpresa había sido hallar electrones.

Pero no quedó ahí el modelo propuesto. Thomson también pensó en explicar la emisión de luz, un tema que habría de indicar un camino inicial hacia la física cuántica. La emisión y absorción de luz por la materia, si se aceptaba la teoría atómica, debía ser adscrita de alguna forma a los propios átomos. Como se sabía desde Maxwell que la luz era una onda electromagnética, y que las cargas eléctricas en movimiento emitían esas ondas, Thomson supuso que cuando los electrones eran perturbados de su estacionamiento dentro del átomo, su movimiento era causa de emisión de radiación. Notable idea, que empapó la teoría atómica por años. Quería sacar todas las conclusiones posibles de su modelo, y encontrar explicaciones de fenómenos que le dieran más plausibilidad a su idea.

Partiendo de una distribución uniforme de los electrones dentro de un átomo, y contando con las frecuencias detectadas en el espectro de esos átomos, calculó las frecuencias de oscilación de sus átomos y llegó a una bastante precisa conclusión: el tamaño de los átomos era de alrededor de 10-8 centímetros de radio.

En el próximo post comenzaremos a estudiar el siguiente gran avance: los descubrimientos de Rutherford y sus estudiantes, sobre la estructura de los átomos.

Nos leemos!

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Publicado el 17 de Agosto, 2015, 17:24

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Dirac decide comentar sobre cómo es el trabajo de un investigador, tratando su caso y el de otros:

I would like to speak to you in a general way about my scientific work and I think on an occasion like this my talk should be completely nontechnical. So I will put this talk on rather different lines and try to give you some idea of the feelings of a research worker when he is hot on the trail and has hopes of attaining some important result which will have a profound influence on the development of physics. You might think that a good research worker in this situation would review the situation quite calmly and unemotionally and with a completely logical mind, and proceed to develop whatever ideas he has in an entirely rational way. This is far from being the case. The research worker is only human and, if he has great hopes, he also has great fears. (I do not suppose one can ever have great hopes without their being combined with great fears.) As a result, his course of action is very much disturbed. He is not able to fix his attention on the correct logical line of development.

I shall be talking to you mainly about my own experience in this connection, but from talks which I have had with other physicists, soe of them very eminent, I feel that what I have to say is fairly common and you can accept it as a general rule applying to all research workers who are concerned with the foundations of physical theory. They are influenced by their fears to quite a dominating extent.

Y toma como ejemplo a Lorentz. Dirac era un gran estudioso de la relatividad desde sus primeros años de estudio de la física.

I expect similar fears applied to other cases where we do not have any direct evidence of events. In this connection I would like to refer particularly to Lorentz. Any of you who have studied relativity must surely have wondered why it was that Lorentz succeeded in getting correctly all the basic equations needed to establish the relativity of space and time, but he just was not able to make the final step establishing relativity. He did all the hard work - all the really necessary mathematics - but he was not able to go beyond that and you will ask yourself, 'Why'?

I think he must have been held back by fears, some kind of inhibition. He was really afraid to venture into entirely new ground, to question ideas which had been accepted from time immemorial. He preferred to stay on the solid ground of his mathematics. So long as he stayed there his position was unassailable. If he had gone further, he would not have known what criticism he might have run into. It was the desire to stay on perfectly safe ground which I presume was dominating him.

It needed several years and the boldness of Einstein to take the necessary step forward and say that time and space are connected. What seems to us nowadays a very small step forward was very difficult for the people in those days.

What I have said is just conjecture of course, but I feel that it must correspond rather closely to the facts. I do not see any other explanation of how one can get so near to a great discovery and yet fail at the last, and rather small, step.

Bueno, no veo que sea un paso pequeño el que faltaba. Realmente, hacía falta toda la agudeza de Einstein para llegar a la teoría de la relatividad restringida, aún teniendo las fórmulas de Lorentz. Y Lorentz tenía una explicación clásica alternativa a sus fórmulas, que lo satisfacía, y no le hizo falta otra. Vean que pasaron años desde las fórmulas de Lorentz hasta el avance de Einstein. No fue evidente para nadie ese "pequeño" paso que faltaba.

En el próximo post, Dirac comenta sobre el desarrollo de la física cuántica.

Nos leemos!

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Publicado el 16 de Agosto, 2015, 20:06

Las simetrías juegan un rol importantísimo en las matemáticas modernas, siendo lo que subyace en la teoría de grupos. He escrito:

Simetría, primeros pasos

Pero también cumplen un papel fundamental en la física. No siempre queda claro esto en los textos de divulgación, donde, al no querer escribir una fórmula, por miedo a espantar lectores, el tema simetría tiene que ser abordado de una manera que no pone de manifiesto su real meollo. Inicio hoy esta serie de posts para explicar (y explicarme) este gran tópico. Ya comienza a aparecer en:

Teoría de Grupos y Partículas Elementales

y va a comenzar a aparecer en mis posts de mecánica clásica, y los de física cuántica. Pero pienso que el tema simetrías en física es tan importante que amerita una serie aparte. Por ejemplo, tenemos que investigar cómo se relaciona simetría e invariancia, qué es eso de invariancia por transformaciones de Galileo, y luego, de Lorentz, qué es rotación en un espacio, y cómo las invariancias ponen de manifiesto cantidades que se conservan.

Veamos de ir definiendo, aunque sea de manera aproximada, que vamos a entender por simetría. Sea una estructura, que puede ser un sistema físico o de naturaleza geométrica, un conjunto de puntos en el espacio, o una ecuación. Requerimos que pueda ser descripta matemáticamente. Tendrá elementos, sean "electrón", "partícula", "ángulo", "punto" o "vector". Pero también, y no menos importante, tendrá relaciones entre esos elementos. Hasta podemos tener dos estructuras, con distintos elementos, pero las mismas relaciones entre ellos. Podríamos considerar a ambas como instancias de una estructura más abstracta. Hasta podríamos considerar las relaciones como elementos de una estructura de más alto nivel. De todas formas, tenemos elementos y relaciones. Imaginemos por un momento que los elementos los mapeamos a puntos en un espacio abstracto. Consideremos las transformaciones en ese espacio. Entre todas las transformaciones posibles, habrá algunas que dejan inalteradas las relaciones entre los puntos. Diremos que las relaciones son invariante ante ese grupo particular de transformaciones y lo llamamos grupo de simetría de nuestra estructura.

Por ejemplo, para poner un ejemplo concreto. Sean los elementos los puntos de un plano. Sean las relaciones entre dos puntos, su distancia, la distancia que los separa. Las transformaciones como rotaciones alrededor de un punto, traslaciones, reflexiones por un punto o por una recta, todas esas transformaciones dejan invariantes las distancias. Quiere decir que si d(p,q) es la distancia entre dos puntos cualesquiera p, q, hay transformaciones T del plano que hacen que d(p,q) = d(T(p), T(q)), es decir que la distancia entre los puntos transformados ES LA MISMA que la distancia entre los puntos originales. Pero vayamos más allá. Supongamos que tenemos un sistema de coordenadas, donde el punto p tiene coordenadas x1, y1, mientras que el punto q tiene coordenadas x2, y2. Cuando transformamos el plano (o cuando cambiamos el sistema de coordenada) aplicando una de las transformaciones del grupo de simetría (que conserva las distancias), las nuevas coordenadas pueden ser x1', y1', y también x2', y2'.

Pero acá aparece algo interesante para nuestro tema. El cuadrado de la distancia entre p y q originales se puede escribir como:

(x1-x2)2+(y1-y2)2

Y notablemente, el cuadrado de la distancia para los nuevos puntos p', q', se calcula con:

(x'1-x'2)2+(y'1-y'2)2

Es decir, usando una fórmula QUE TIENE LA MISMA FORMA. No sólo no cambió la distancia, sino que la fórmula para calcularla sigue siendo la misma, cambian los valores que se entregan, las variables, de x a x', pero la forma de la fórmula es la misma.

Este es el principio del camino a explorar: ver de encontrar leyes matemáticas (fórmulas y modelos) aplicados a sistemas físicos que conserven los valores resultado Y LA FORMA al aplicar un grupo de transformaciones que nos interese (como las transformaciones de Galileo o las de Lorentz). Veremos que muchas veces exigiremos que una fórmula sea invariante ante rotaciones o traslaciones, incluso en un espacio extendido como el que se usa en relatividad. Y ahí mencionaremos a qué se denomina simetría en este contexto.

Fuentes consultadas:

M. Chaichian, R. Hagedorn Symmetries in Quantum Mechanics From Angular Momentum to Supersymmetry
J J Sakurai Invariance Principles and Elementary Particle
Quantum Mechanics Symmetries, Greiner Walter
Symmetries of Equations of Quantum Mechanics

Nos leemos!

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Publicado el 15 de Agosto, 2015, 15:30

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Publico hoy el comienzo del discurso de Dirac, donde recuerda afectuosamente a Oppenheimer. Primero, una foto del joven Oppenheimer:

Ahora, el discurso de Dirac:

I am very grateful to be chosen to be the first recipient of the Oppenheimer Award. I am grateful to the University of Miami for honoring me in this way. I am grateful to Dr. Kursunoglu for the very kind things that he has said about me. I shall perhaps be able to explain to some extent what underlies what he has been saying.

I am especially happy to be awarded the Oppenheimr Prize because I was a great friend and admirer of Oppenheimer. I knew him for more than forty years. There was a time when we were young students together at Gottingen...

Ah, no sabía que se habían conocido en Gotinga.

... We both stayed in the same pension. We both had the same interests, going to the same lectures and we found that we also had interests outside the lectures. We both likes to go for long walks an doccasionally took a day-long walk across country togehter.

Son conocidas las largas caminatas de domingo de Dirac cuando estaba en Cambridge. También son conocidas por su soledad: le gustaba caminar solo. El que compartiera caminatas con Oppenheimer habla de la buena relación que tuvieron.

Since these early days, I have met Oppenheimer on many occasions and I have been able to see what admirable qualities he had, particularly as a chairman for a discussion or a colloquium. He had a very quick mind which enabled him to pick on the main point at issue and if there was something which the lecturer couldn't explain very well, or if some member of the audience was asking a question which he could not formulate very clearly, Oppenheimer would frequently jump into the breach and explain in lucid language just what was needed in order to bring the point clearly home to everybody and enable the discussion to proceed on clarified lines.  It is a great loss to science and to us all that he died so young and I especially feel his loss because of the great personal friendship I had for him.

En el próximo post, comienza el comentario de Dirac sobre su propio trabajo.

Nos leemos!

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Publicado el 14 de Agosto, 2015, 7:14

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Encuentro en estos días el discurso de aceptación de Dirac al premio en memoria de Oppenheimer. Fue el primero en recibirlo, en 1969. Es interesante compartirlo, porque muchas veces me he encontrado con citas parciales del discurso, y ahora tengo la oportunidad de compartirlo completo. Agregaré algunos comentarios cuando pueda. Primero, antes del discurso, transcribo la introducción de Dirac al público presente, por parte de Behram Kursunoglu, profesor y director del Centro de Estudios Teóricos, de la Universidad de Miami. Una foto de Dirac en aquel entonces, con el profesor Kursunoglu:

Decía la presentación:

I consider it a great honor to introduce to you rather briefly Professor Dirac. (I have to do this since all of us here are not physicists.) What I have to tell you is a representative opinion of Professor Dirac by the world of science.

He was born in 1902 in Bristol, England. He graduated from Bristol University and obtained his Ph.D. from Cambridge University, decided to study theoretical physcis at Cambridge and contributed tremendously to the then developing subject of quantum theory. Heisenberg matrix mechanics could hardly be regarded as laws of nature without the fundamental formulation of Dirac. The quantum theory as we know it and apply it today is as formulated by Dirac.

The 1920's were very exciting years for the world of physics. Great discoveries were being made almost overnight. A very rich and rewarding path was opened with the advent of quantum theory. One of the Meccas for the leading physicists of that time was in Gottingen. Young Paul Adrien Maurice Dirac was one of the members of this team - the most versatile one. By the age of 23 he had already written his classic papers which put the concepts of quantum theory on a sound mathematical basis. He reconciled the ideas of relativity with the ideas of quantum theory and invented the well-known relativistic wave equation predicting the existence of a magnetic moment of electron and hence a new fact, the spin.

He further predicted that every elementary particle with a spin 1/2 h has its counterpart with the same mass but opposite electric charge, or that a particle has an antiparticle. It was a prophetic prediction. To the electron, the corresponding system is the positron, which was observed after the prediction in cosmic ray experiments by Anderson in 1932.

Sin embargo, Dirac no predijo el positrón en su primer "paper" del tema. Tardó unos años en proponer una partícula nueva: al principio, pensó que la contrapartida del electrón era el ya conocido protón, aunque no podía explicar la diferencia notable de masa.

Later, electron and positron pairs were actually produced in laboratory experiments. In the same way the proton and neutron should also have their corresponding antiparticles. In view of their mass content being nearly 2000 times that of the electron, experimental observation had to await construction of a large accelerator to produce such particles by collisions of protons with nuclei. This was accomplished in 1955.

Pasaron más de veinte años para conseguir evidencia experimental de antiprotones y antineutrones. Y en este siglo, hemos seguido buscando más partículas en aceleradores: todos podemos recordar la búsqueda del bosón de Higgs, por ejemplo.

His formulation of the statistics of fields and particles, his work on gravitational waves and also his prediction of magnetic monopoles stand as further monuments to his originilaty and deep understanding of natural phenomena.

The impact of Dirac's at the fundamental level has been far reaching, since even now our research in theoretical physics is guided by Dirac's ideas and his formulations. It is often customary, when one has a new idea, to ask if Dirac hasn't done something in this area.

Un caso notable fue el uso del lagrangiano en cuántica por Feynman, que comenzó a usarlo sin conocer el trabajo previo de Dirac. Al conocerlo, lo extendió de manera original.

It turns out that in most instances the subject matter has been dealt with by Dirac in depth, with calarity and originality.

La claridad de Dirac está algo en entredicho. Por un lado, si uno tiene la guía de comentaristas, se encuentra que los artículos de Dirac van al punto y explican el tema. Pero sin esa guía, para muchos físicos contemporáneaos de Dirac, sus artículos eran algo indescifrable y mágico.

His work, besides bringing him the Nobel Prize and coutless other honors and priczes, had been instrumental in many others being awarded the Nobel Prize for the work they have done on his ideas and in the paths opened by Dirac. To cite just a few examples: Willis Lamb, Julian Schwinger, Eugene Wigner, Richard Feyman, S.Tomonaga, C.D.Anderson, E.Segre, O.Chamberlain and many others. (Some of these gentlemen have been guests of the Center.) What he achieved in his early 20's formed the basis on which the Nobel Foundation awarded him the Nobel Prize in 1933 at the age of 31.

Professor Dirac is known as a man, not only in physics but also in ordinary conversations, who dows not make trivial remarks. There is a definite deep and well defined meaning in his every sentence, even though the sentences are not very frequent. He is endowed with all the great virtues of a great man; has no enmities, no dislikes for any human being.

Un ejemplo típico de personalidad de Dirac en Entrevista a Dirac. Ver también Dirac según Gamow.

Professor Dirac is a free man in the true sense of the word. This makes him also very courageous. It is a great honor for us to participate tonight in these modest ceremonies in awarding Professor Dirac the J. Robert Oppenheimer Memorial Prize.

En el próximo post, comenzaremos con el discurso del propio Dirac.

Nos leemos!

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Publicado el 9 de Agosto, 2015, 16:51

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Hay algo más que van a tener nuestros vectores. Cada vector representa el estado físico de un sistema, y no tenemos todavía un ejemplo concreto, sólo estamos desplegando la base matemática. Dirac eligió vectores porque era la forma más interesante para representar superposición de estados. Pero necesitaba algo más: en física es también importante obtener valores, como el valor de la energía, el momento y otras magnitudes físicas. ¿Cómo podemos pasar de un vector a un valor? Bueno, apenas estamos a comenzar a ver el proceso para esto, pero lo primero es entender que estos espacios vectoriales de la teoría de la transformación tienen definido un producto entre ellos, un producto entre dos vectores, que da como resultado un número, un escalar. NO es el producto inicialmente tomado por Dirac, pronto vamos a ver la relación. Dirac tomó un producto entre DOS espacios vectoriales, en general distintos, pero asumió correspondencia uno a uno entre los vectores de uno y otro espacio. Pero paciencia, luego veremos su camino.

Ahora, nos basta saber que los espacios vectoriales sobre el cuerpo de los complejos que vamos a usar, tienen definido un producto interno:

Entre dos cualesquiera vectores, del que resulta un número del cuerpo de los complejos. Entonces se le piden las siguientes propiedades (el "exponente asterisco" significa conjugado complejo):




De b) y c) resulta:

Veamos algunos ejemplos, basados en los ejemplos de vectores del post anterior.

Sea

El vector columna con elementos:

Sea

El vector columna con elementos:

Entonces, un producto interno que cumple con las propiedades anteriores es:

Si en cambio, esos vectores son funciones de x, un producto interno apropiado es:

Donde w(x) es una función real no negativa no completamente nula.

El producto interno es una generalización de la longitud y el ángulo entre vectores geométricos. Si el producto interno entre dos vectores es cero, se les dice ortogonales.

Este es el primer paso para obtener valores desde vectores de estado. En el próximo post comentaremos el "segundo espacio vectorial", el llamado espacio dual, más cercano al espacio vectorial que tomó Dirac inicialmente, y aparecerá su notación original.

Nos leemos!

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Publicado el 8 de Agosto, 2015, 18:40

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Hace dos post apareció el concepto matemático de operador:

Matemáticas y Física Cuántica (5) Valor Medio y Operadores

Es una función que recibe como argumento una función de onda, y devuelve una función de onda. Vimos que la motivación para su introducción es el cálculo del valor medio de una magnitud física. En física cuántica no podemos obtener SIEMPRE UN VALOR de una magnitud, conociendo la función de onda, sino sólo el valor medio. Pero hay un caso donde sí podemos obtener UN solo valor de esa magnitud: cuando la función de onda representa un estado de base de la magnitud entre manos.

Matemáticamente, el valor medio da siempre un valor determinado en este caso:

Para que esto se cumpla, basta que:

En este caso, a la función de onda:

Se la llama función propia de la magnitud f, y a:

Se le llama valor propio. En el caso discreto, es uno de los posibles valores que puede tomar la magnitud f (sea f la energía, el momento o cualquier otra magnitud física). En el anterior post:

Matemáticas y Física Cuántica (6) Operadores Hermíticos

Vimos que para que los valores propios fueran reales, el operador f-sombrero tenía que cumplir algunas condiciones. Cuando eso pasa, se dice que el operador es hermítico. La condición que tiene que cumplir es que su traspuesto sea igual a su conjugado complejo (temas que tratamos levemente en el anterior post):

Veamos una propiedad muy importante de las funciones propias, una propiedad que da sentido y coherencia a varios fórmulas derivadas que tenemos que ver. Sean dos funciones propias de f, operador hermítico, con dos valores propios REALES DISTINTOS:


Tomemos el conjugado complejo de la última igualdad:

Multipliquemos a la izquierda la primera igualdad por Psi-n conjugada, y a la última igualdad por Psi-m:


Restemos una igualdad de otra:

Tomemos integración por dq:

Y recordando que el operador f-sombrero es hermítico, entonces su conjugado complejo es igual a su operador traspuesto, dando:

Con lo que se anula la primera parte de la igualdad:

Y entonces, se anula la segunda parte:

Como fm es distinto de fn, entonces el integral se debe anular, para cualquier n diferente de m:

Se dice entonces que funciones propias de f con valores propios distintos SON ORTOGONALES (su "producto" se anula). Si también sabemos que una función propia está normalizada:

Entonces podemos obtener el coeficiente correspondiente a cualquier componente básico de una función de onda. Sea una función de onda una superposición de las funciones propias de f:

Calculando:


Esto es notable, y muestra la potencia de conocer las funciones de onda propias de un operador. Todo esto nos permite también calcular:



Las integrales se anulan para n distinto de m, y son igual a 1 para n igual a m, quedando:

Esto ya lo sabíamos: el desarrollo anterior muestra la coherencia de nuestro modelo matemático con la ortogonalidad de las funciones propias. El valor medio es el valor ponderado de los valores propios. El peso de ponderación es el cuadrado del módulo de cada coeficiente an, donde recordemos que esos coeficientes pueden ser complejos.

En próximo post, veremos una propiedad importante de operadores que conmutan entre sí.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 27 de Julio, 2015, 7:10

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Mencionaba en el anterior post que en 1897, casi al terminar el siglo XIX, Joseph John Thomson llevaba a cabo su experimento con rayos catódicos. En ese experimento, Thomson pudo determinar la razón e/m entre la carga y la masa de los componentes de esos rayos.

Con ese experimento demostró que los rayos catódicos estan compuestos de partículas, hasta ese entonces desconocidas. Vió que eran más pequeñas que los átomos, y con alta razón carga/masa. Con este descubrimiento apareció por primera vez evidencia de que los átomos no son indivisibles, que puede haber partículas subatómicas.

Tomo de la Wikipedia la imagen original de Thomson describiendo su aparato:

El cátodo C emanaba rayos catódicos (hoy sabemos que eran electrones). A las placas D y E se les cargaba eléctricamente y entonces, el haz se desviaba hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo de la carga de cada placa. Cuando la placa D se cargaba negativamente, el haz era desviado hacia abajo. De ahí dedujo Thomson que los componentes del haz tenían carga negativa. Antes de este experimento, también había detectado que el haz se desviaba bajo un campo magnético. Combinando ambos resultados, pudo calcular la razón entre carga y masa de cada uno de los elementos de los rayos.

Curiosamente, al cambiar la composición del cátodo, la razón carga/masa seguía siendo la misma, lo que mostraba que los componentes descubiertos eran parte de toda la materia, no importaba la composición del cátodo. Cuando Thomson estudió la emisión de ánodos, ahí descubrió que la razón carga/masa variaba según la materia del ánodo usado. Eso se debía a que en este caso, lo emitido eran iones positivos, con distinta composición según el material del ánodo.

Notablemente, Hertz ya había intentado el experimento de arriba, pero sin detectar ninguna desviación del rayo, llegando a la conclusión de que era neutro eléctricamente. Thomson también al inicio no detectó ninguna desviación, pero reconoció que se debía al insuficiente vacío dentro del tubo. Cuando ese vacío fue mejorado pudo comenzar a detectar la desviación del rayo.

El valor de e/m que Thomson obtuvo era miles de veces más grande que los valores correspondientes para los iones bajo electrólisis. Llegó a la conclusión de que los rayos catódicos estaban compuestos por partículas más pequeñas que los iones y de carga negativa. Los llamó "corpúsculos", y a su carga, la llamó "electrón". Más tarde, las partículas mismas pasaron a llamarse electrones.

Veremos en el próximo post, como todo esto y otros resultados llevaron a Thomson a postular un modelo atómico.

Ver también:

http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/adv.chem/lectures/lecture_3/node1.html

Nos leemos!

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Publicado el 26 de Julio, 2015, 19:01

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En el anterior post apareció el concepto matemático de operador lineal para obtener valores medios de magnitudes físicas de cada función de estado. Estudiamos por ahora el caso discreto. No podemos obtener más que valores medios, porque un estado cuántico es una superposición de estados. En el caso discreto, los estados de base representan uno de los valores discretos posibles. Entonces vimos que para la función de estado que representa ese estado discreto n de una magnitud física, su valor medio es:

Es decir, que coincide con el valor de la magnitud física que ese estado representa.

Un físico espera que los valores de una magnitud física (energía, momento, posición) sean valores reales, no complejos. Recordemos que las funciones de estado devuelven valores complejos. Entonces, para un físico, el valor de arriba, fn, debe ser real. Eso pone una restricción adicional a los operadores para poder considerarlos como operadores que nos permiten obtener valores medios de magnitudes físicas.

Para entender el tipo de restricción que tenemos que imponer a los operadores, examinemos el concepto de operador traspuesto. Dadas dos funciones arbitrarias, tenemos la aplicación del operador a las mismas con la integral:

Si invertimos las funciones, podemos definir el operador traspuesto de f como aquel que cumple, para cualesquiera par de funciones:

Donde representamos el operador traspuesto con una tilde arriba. La existencia y unicidad de ese operador traspuesto de f para cada f es una cuestión matemática, pero la igualdad de arriba es la DEFINICION de ese operador traspuesto.

Todas estas integrales dan como resultado un número, que puede ser real o complejo. Tomemos el conjugado complejo de la integral original:

Podemos considerar el resultado de la integral como la "suma" de la expresión que está bajo el signo integral. Pasemos la conjugación complejo, indicada por un asterisco,  adentro de ese signo.

Definimos el operador complejo conjugado de f por aquel que cumple con la igualdad:

Lo indicamos con un asterisco.

Cuando el resultado de la integral debe ser igual a su conjugado, debe ser:

Pero ya sabemos que, por definición de operador traspuesto, se tiene:

Igualando los términos derechos de ambas igualdades queda:

Para toda función de estado. Es decir, que los operadores traspuestos y complejo conjugado DEBEN coincidir para que los autovalores del operador sean reales:

Los operadores lineales que cumplen con esta condición se llaman hermíticos.

Veremos en el próximo post que las autofunciones del operador que corresponden a distintos autovalores son, en algún sentido, ortogonales. Tenemos que estudiar qué es eso de ortogonalidad.

Todo lo anterior ha sido bastante matemático. Pero ya vamos viendo que los operadores que importan son los operadores hermíticos. Esos son operadores que permiten tener autovalores que son valores reales, no complejos.

Nos leemos!

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Publicado el 23 de Julio, 2015, 7:08

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Si bien esta serie trata de lagrangianos y hamiltonianos, a nivel de notas, sin profundidad de desarrollo, tengo que confesar que la mayor parte de las referencias han sido a lagrangianos. Cuando se plantea la hamiltinoniana, de nuevo una función como la lagrangiana de la que se PUEDEN DERIVAR las ecuaciones de movimiento de un sistema, ¿qué es lo que cambia? La lagrangiana es función de n variables coordenadas (cartesianas o generalizadas), n variables adicionales que son las derivadas de las anteriores por el tiempo (las velocidades de esas coordenadas), y del tiempo. En cambio, veremos que la hamiltoniana es función de n variables coordenadas, n variables momento (generalizados), y el tiempo. Lo interesante es que las variables coordenadas y las variable momentos están relacionadas ENTRE sí, mediante el propio hamiltoniano. No voy a exponer hoy la fórmula de relación (eso aparecerá en la serie matemática). Pero esto hace que las 2n variables se puedan considerar de alguna forma dos grupos de n variables, uno el espejo del otro. Leo hoy en el excelente "Mecánica Clásica" de Goldstein (capítulo 8):

Los métodos de Hamilton no son particularmente superiores a las técnicas de Lagrange en la solución directa de problemas mecánicos. La utilidad del punto de vista de Hamilton consiste, más bien, en proporcionar un marco para extensiones teóricas en muchos campos de la Física. En la Mecánica clásica constituye la base para desarrollos ulteriores, tales como la teoría de Hamilton-Jacobi y los métodos de perturbaciones. Fuera de la Mecánica clásica, la formulación de Hamilton proporciona gran parte del lenguaje con el cual se construyen la Mecánica estadística y la Mecánica cuántica de hoy en día...

En la formulación de Lagrange no relativista, un sistema con n grados de libertad posee n ecuaciones de movimiento ....

De la forma:

Como las ecuaciones son de segundo orden, el movimiento del sistema estará siempre determinado cuando se especifiquen 2n valores iniciales [x y x derividad por tiempo] en un instante particular t, o las [n x] en dos instantes de tiempo t1 y t2. El estado del sistema lo representamos por un punto en un espacio de configuraciones de n dimensiones cuyas coordenadas son las n coordenadas generalizas [x] y seguimos el movimiento del punto figurativo del sistema en el transcurso del tiempo cuando recorre su trayectoria en el espacio de las configuraciones. Físicamente, desde el punto de vista de Lagrange, un sistema con n grados de libertad independientes es un problema de n variables independientes [xi(t)] y [xi-punto(t)] es sólo una abreviatura de la derivada de [xi] respecto del tiempo.

La formulación de Hamilton se basa en una visión fundamentalmente diferente. Queremos describir el movimiento mediante ecuaciones de movimiento de primer orden. Como el número de condiciones iniciales que determinan el movimiento ha de seguir siendo 2n, deberá haber 2n ecuaciones independientes de primer orden expresadas en función de 2n variables independientes. Por tanto, las 2n ecuaciones del movimiento describen el comportamiento del punto figurativo del sistema en un espacio fásico cuyas coordenadas son las 2n variables independientes. En una tal duplicación de nuestro sistema de cantidades independientes es natural (aunque no inevitable) tomarlas de manera que la mitad de ellas sean las n coordenadas generalizadas qi. Según veremos, la formulación resulta casi simétrica si tomamos para la otra mitad las cantidades de movimiento conjuntas o generalizadas pi... Las cantidades (q, p) se denominan variables canónicas.

Sin embargo, desde un punto de vista matemático, podemos pretender que se traten como variables distintas las q y las q-punto. En las ecuaciones de Lagrange... la derivada parcial de L respecto a qi significa una derivada calculada considerando constantes todas las demás q y todas las q-punto. Análogamente, en las derivadas parciales respecto a q-punto, se mantienen constantes las q. Tratada estrictamente como problema matemático, la transición de la formulación de Lagrange a la de Hamilton corresponde a cambiar las variables de nuestras funciones mecánicas de (q, q-punto, t) a (q, p, t), donde p está relacionado con q y q-punto mediante ecuaciones [a ver en la serie matemática de posts]. El método para conmutar las variables de esta manera lo proporciona la transformación de Legendre, planeada precisamente para este tipo de cambios de variable.

Una nota al pie

Una interpretación geométrica de la transformación de Legendre y del papel que desempeña en la teoría de las ecuaciones diferenciales la tenemos en R. Courant y D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol. II, pp/ 32-39, 1962

Escribo q-punto para referirme a q con un punto arriba, que significa q derivada por tiempo. Habrá más detalle de estos temas, como la transformación de Legendre, en la serie matemática de posts.

Nos leemos!

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Publicado el 19 de Julio, 2015, 8:46

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Mencioné en el anterior post la necesidad de buscar nuevas formulaciones matemáticas y conceptos para modelar lo que la física cuántica nos ha traído, desde sus experimentos y resultados, y los primeros atisbos de modelos matemáticos.

Para representar un estado físico, hubo que buscar nuevas formas de hacerlo. El principio de superposición (ver Matemáticas y Física Cuántica (3) Superposición de Estados) y el tener que resolver un estado compuesto de varios estados apelando a la probabilidad, son los dos principales motivos para esa necesidad. Dirac adoptó el concepto matemático de vector para representar un estado físico cuántico. Los vectores son elementos abstractos que se pueden sumar entre sí, con lo que dan soporte natural al principio de superposición. Pero uno podría decir: los números reales también se pueden sumar, ¿por qué entonces es necesario apelar a los vectores? La respuesta es larga, pero lo primero a atisbar es que los vectores, en el caso de ser finitos (más precisamente, ser elementos de un espacio vectorial de dimensión finita), en su uso, suma y otras operaciones, no se olvidan de ser entes compuestos de varios otros vectores elementales básicos, al igual que los estados físicos, que pueden representarse como la combinación de estados físicos de base. Y lo mismo pasa con los vectores de espacios de dimensión infinita, adoptando algunos recaudos. Eso es lo que vió Dirac: los vectores son instrumentos matemáticos donde la superposición de estados puede ser expresada, sin dilución, cosa que no pueden lograr los simples números reales ni aún los números complejos.

Recordemos algunas definiciones matemáticas, sin pretender una rigurosidad extrema. Un espacio vectorial líneal (ver Espacios Vectoriales) es un conjunto de elementos, llamados vectores, que pueden sumarse entre sí y pueden multiplicarse por números, dando como resultado otros vectores. En matemática, esos números son  elementos de un cuerpo; en nuestro tema, de aplicación física, nos bastaran los números complejos, tendremos que estudiar alguna vez por qué no alcanzan los números reales para este cometido). Tenemos que ver cómo, en la teoría de Dirac, podemos obtener algún valor físico de esos vectores que representan estados. Por ejemplo, dado un vector de estado, ¿cómo obtenemos la energía de ese estado? ¿o qué valores de magnitudes físicas podemos obtener de un vector? Pues bien, una de las sorpresas que dio la cuántica es que había magnitudes que podía tomar solo un valor discreto, no continuo, y otras que podían tomar un valor continuo. Estudiaremos que en la teoría de la transformación, esa cantidad discreta (finita o no) o continua de valores posibles está relacionada con la dimensión del espacio vectorial de estados. Pero no nos adelantemos.

Pongamos algunos ejemplos de vectores en general. Los hay discretos, que pueden ser representados por una columna de valores (complejos en nuestro caso):

Los valores en columna pueden aparecer en una cantidad finita, pero no descartemos que puedan ser infinitos.
Y también podemos poner como ejemplo el espacio de funciones de cierto tipo, por ejemplo, las funciones diferenciables de una variable, con rango un intervalo definido. Es claro que la suma de dos de tales funciones también pertenece al mismo espacio, así como la función obtenida por multiplicar una función de tal tipo por un número escalar.

Se dice que un conjunto de vectores:

Es linealmente independiente, si cualquier suma de los mismos:

Es cero SI Y SOLO los coeficientes c son iguales a cero. Es decir, los vectores no pueden anularse entre sí, a no ser de la forma trivial, multiplicando a todos por cero. Si esta condición no se cumple, se dice que ese conjunto de vectores es linealmente dependiente.

El número máximo de vectores linealmente independiente que se puede encontrar en un espacio se llama la dimensión de ese espacio. Un conjunto maximal de vectores linealmente independiente se llama base del espacio. Decimos maximal en el sentido: no le podemos agregar ningún vector y que siga siendo linealmente independiente. O lo que es lo mismo: todos los demás vectores se pueden expresar por este conjunto.
Todavía no queda claro cómo los vectores pueden aplicarse como modelo en la mecánica cuántica de los tiempos de Dirac. En el próximo post seguiremos todavía con algunos preliminares matemáticos. Tenemos que estudiar el producto interno, una forma de tomar dos vectores y conseguir un escalar, nuestro primer indicio para obtener valores físicos a partir de estados. Y luego operadores lineales, una forma de transformar vectores en otros vectores, llegando en su momento a su significado físico.

Nos leemos!

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Publicado el 16 de Julio, 2015, 7:38

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Sigo leyendo, traduciendo y comentando brevemente lo que escribe Dirac sobre la superposición de estados, una característica cuántica no explicable clásicamente:

In the two preceding sections examples were given of the superposition principle applied to a system consisting of a single photon. § 2 dealt with states differing only with regard to the polarization and § 3 with states differing only with regard to the motion of the photon as a whole.

En las dos secciones precedentes fueron presentados ejemplos del principio de superposición aplicados a un sistema de un solo fotón. La sección 2 trataba con estados que diferían solamente en la polarización y la sección 3 con estados que diferían solamente con respecto al movimiento de un fotón como un todo.

Esas secciones las presenté en:

Polarización del Fotón
Interferencia de Fotones

The nature of the relationships which the superposition principle requires to exist between the states of any system is of a kind that cannot be explained in terms of familiar physical concepts. One cannot in the classical sense picture a system being partly in each of two states and see the equivalence of this to the system being completely in some other state. There is an entirely new idea involved, to which one must get accustomed and in terms of which one must proceed to build up an exact mathematical theory, without having any detailed classical picture.

La naturaleza de las relaciones que el principio de superposición requiere que existan entre los estados de cualquier sistema es de una clase que no puede ser explicada en términos de conceptos físicos familiares. Uno no puede en el sentido clásico describir un sistema como estando parcialmente en cualquiera de dos estados y ver la equivalencia de esto con el sistema estando completamente en algún otro estado. Hay una nueva idea involucrada en esto, a la cual uno debe acostumbrarse y en términos de la cual uno debe proceder a construir una teoría matemática exacta, sin dar ninguna imagen clásica detallada.

Dirac prefiere la teoría matemática "exacta" que una imagen clásica que no puede conciliarse con lo que se sabe de los resultados experimentales: la única explicación encontrada a éstos es la superposición de estados, no pueden ser explicados imaginando que un sistema tan simple como un fotón ESTE en un estado determinado. Es típico de Dirac buscar la teoría matemática, mas que la imagen física, como por otro lado, estaba acostumbrado Bohr, a quien Dirac no entendía por apelar cada tanto a analogías y vaguedades, en lugar de plasmar sus ideas en teorías matemáticas.

Aparecen dos conceptos a describir por la teoría: los pesos relativos de cada estado en la superposición, y un valor nuevo, la diferencia de fase, que pasa a explicar con un ejemplo:

When a state is formed by the superposition of two other states, it will have properties that are in some vague way intermediate between those of the two original states and that approach more or less closely to those of either of them according to the greater or less 'weight' attached to this state in the superposition process. The new state is completely defined by the two original states when their relative weights in the superposition process are known, together with a certain phase difference, the exact meaning of weights and phases being provided in the general case by the mathematical theory. In the case of the polarization of a photon their meaning is that provided by classical optics, so that, for example, when two perpendicularly plane polarized states are superposed with equal weights, the new state may be circularly polarized in either direction, or linearly polarized at an angle 1/4 pi, or else elliptically polarized, according to the phase difference.

Cuando un estado está compuesto por la superposición de otros dos estados, tendrá propiedades que están en algún vago modo intermedio entre los dos estados originales y esta aproximación será más o menos cercana a cualquiera de ellos de acuerdo a lo mayor o menor del 'peso' asociado a este estado en el proceso de superposición. El nuevo estado está completamente definido por los dos estados originales cuando sus pesos relativos en el proceso de superposición son conocidos, junto con una cierta diferencia de fase, siendo provistos en el caso general los significados exactos de los pesos y fases por la teoría matemática. En el caso de la polarización de un fotón su significado es provistos por la óptica clásica, por ejemplo, cuando dos estados planos polarizados perpendiculares se superponen con iguales pesos, el nuevo estado puede ser polarización circular en una dirección, o polarización lineal en ángulo de un cuarto de pi, o elípticamente polarizado, de acuerdo con la diferencia de fase.

Es ahí, en el ejemplo de la polarización, donde se pone en juego la influencia de la diferencia de fase en el resultado final. Esa diferencia de fase le da a la teoría cuántica un sabor especial, pues LA INTERFERENCIA entre estados dependerá de esa diferencia de fase, no sólo de sus pesos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 12 de Julio, 2015, 17:10

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Sigo leyendo y comentando a Dirac en su sección Superposition and indeterminacy de su Principles of Quantum Mechanics:

There remains an overall criticism that one may make to the whole scheme, namely, that in departing from the determinacy of the classical theory a great complication is introduced into the description of Nature, which is a highly undesirable feature. This complication is undeniable, but it is offset by a great simplification, provided by the general principle of superposition of states, which we shall now go on to consider. But first it is necessary to make precise the important concept of a 'state' of a general atomic system.

Aún queda una crítica que puede aplicar al esquema completo, basada en que al apartarce de la determinación de la teoría clásica se introduce una gran complicaicón en la descripción de la Naturalez, lo que es una característica altamente indeseable. Esta complicación no puede negarse, pero se ve compensada por una gran simplicación, provista por el principio general de superposición de estados, que ahora vamos a considerar. Pero primero es necesario hacer preciso el importanto concepto de 'estado' en un sistema atómico general.

Y típico de Dirac, aclara lo más posible qué es lo que entiende por estado, clásico y cuántico:

Let us take any atomic system, composed of particles or bodies with specified properties (mass, moment of inertia, etc.) interacting according to specified laws of force. There will be various possible motions of the particles or bodies consistent with the laws of force. Each such motion is called a state of the system. According to classical ideas one could specify a state by giving numerical values to all the coordinates and velocities of the various component parts of the system at some instant of time, the whole motion being then completely determined. Now the argument of pp. 3 and 4 shows that we cannot observe a small system with that amount of detail which classical theory supposes. The limitation in the power of observation puts a limitation on the number of data that can be assigned to a state. Thus a state of an atomic system must be specified by fewer or more indefinite data than a complete set of numerical values for all the coordinates and velocities at some instant of time. In the case when the system is just a single photon, a state would be completely specified by a given translational state in the sense of § 3 together with a given state of polarization in the sense of § 2.

Tomemos un sistema atómico, compuesto de partículas o cuerpos con propiedades especificadas (masa, momento de inercia, etc) interactuando de acuerdo a leyes de fuerza especificadas. Habrá varios posibles movimientos de las partículas o cuerpos que sean consistentes con las leyes de fuerza. Cada uno de esos movimientos se llama un estado del sistema. De acuerdo a las ideas clásicas uno podría especificar un estado dando valores numéricos a todas las coordinadas y velocidades de los varias partes componentes del sistema, dadas en algún instante del tiempo, quedando el movimiento entero completamente determinado. Ahora el argumento de los párrafos 3 y 4 muestra que no podemos observar un sistema pequeño con tal cantidad de detalle como la teoría clásica supone. Entonces el estado de un sistema atómico debe ser especificado con menos o más indefinidos datos en vez de un conjunto completo de valores numéricos para todas las coordinadas y velocidades en un instante de tiempo. En el caso de un fotón simple, un estado podría ser completamente especificado por un estado de traslación en el sentido de la sección 3, junto con un estado dado de polarización en el sentido de la sección 2.

La gran diferencia: en un estado clásico, conociendo las posiciones y velocidades iniciales, y las características de las partes del sistema (como la masa), el movimiento posterior queda completamente determinado. En el estado cuántico, no basta. No hay conjunto de valores numéricos que nos de como resultado un movimiento determinado. Eso es lo que tiene que resolver la mecánica cuántica: cómo describir un estado, y como asociarlo a movimientos posibles. En la mecánica clásica hay una relación prácticamente uno a uno entre valores iniciales y movimiento posible.

A state of a system may be defined as an undisturbed motion that is restricted by as many conditions or data as are theoretically possible without mutual interference or contradiction. In practice the conditions could be imposed by a suitable preparation of the system, consisting perhaps in passing it through various kinds of sorting apparatus, such as slits and polarimeters, the system being left undisturbed after the preparation. The word 'state' may be used to mean either the state at one particular time (after the preparation), or the state throughout the whole of time after the preparation. To distinguish these two meanings, the latter will be called a 'state of motion' when there is liable to be ambiguity.

Un estado de un sistema puede ser definido como un movimiento sin perturbar que está restrigido por tantas condiciones o datos como es teóricamente posible sin tener mutua interferencia o contradicción. En la práctica las condiciones pueden ser impuestas por una adecuada preparación del sistema, consistente quizás en pasar a través de varios arreglos de aparatos, como ranuras y polarímetros, dejando sin perturbar al sistema luego de la preparación. La palabra 'estado' puede ser usado para significar tanto el estado en un particular tiempo (luego de la preparación), o el estado a través de todo el tiempo luego de la preparación. Para distinguir entre estos dos significados, el último será llamado 'estado de movimiento' cuando haya ambigüedad.

Es interesante que Dirac mencione "sin perturbar". Al pasar por la preparación, y salir de ella, el sistema queda en un estado, que es superposición de otros. Otro problema de la mecánica cuántica es ver si ese estado superpuesto es el mismo durante todo el tiempo posterior a la perturbación, o si cambia de alguna manera determinada por las leyes cuánticas.

The general principle of superposition of quantum mechanics applies to the states, with either of the above meanings, of any one dynamical system. It requires us to assume that between these states there exist peculiar relationships such that whenever the system is definitely in one state we can consider it as being partly in each of two or more other states. The original state must be regarded as the result of a kind of superposition of the two or more new states, in a way that cannot be conceived on classical ideas. Any state may be considered as the result of a superposition of two or more other states, and indeed in an infinite number of ways. Conversely any two or more states may be superposed to give a new state. The procedure of expressing a state as the result of superposition of a number of other states is a mathematical procedure that is always permissible, independent of any reference to physical conditions, like the procedure of resolving a wave into Fourier components. Whether it is useful in any particular case, though, depends on the special physical conditions of the problem under consideration.

El principio general de superposición de la mecánica cuántica se aplica a estados, en cualquiera de esos dos significados, de cualquier sistema dinámico. Requiere de nosotros que asumamos que entre esos estados hay una relación peculiar, que es: cuando el sistema esté definitivamente en un estado podremos considerarlo como estando parcialmente en cada uno de dos o más estados, de una forma tal ue no puede ser concebirse con las ideas clásicas. Cualquier estado puede ser considerado como el resultado de la superposición de dos o más estados, incluso en una cantidad infinita de formas. También, al revés, cualquiera dos o más estados pueden ser superpuesto para obtener un nuevo estado. El procedimiento de expresar un estado como el resultado de la superposición de un número de otros estados es un procedimiento matemático que siempre es permisible, independientemente de cualquier referencia a las condiciones físicas, de forma similar al procedimiento de resolver una onda en sus componentes de Fourier. Sin embargo, la utilidad de este procedimiento aplicado en un caso en particular, depende de las especiales condiciones físicas del problema bajo consideración.

Es MUY interesante que Dirac haga la analogía con los componentes de Fourier. Ya en su primer "paper" influyete, comentando el trabajo de Heisenberg, toma de éste los desarrollos de Fourier para expresar un movimiento periódico. Ahora expresa que una superposición de estados sirve de la misma forma, para describir un estado que ya no puede considerarse clásicamente.

Nos leemos!

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Publicado el 11 de Julio, 2015, 11:50

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Desde el año pasado que no agrego algo a estas notas. Me he dedicado directamente a investigar lagrangianos y hamiltonianos. Me encuentro esta semana leyedo el excelente "Mecánica clásica" de Goldstein (tengo edición de Reverté en español). En la sección 2.6 presenta un lagrangiano, lo expone, sin asociarlo a un sistema físico en particular. Luego lo interpreta como un circuito eléctrico y como un sistema mecánico de resortes. Leo ahí:

Esta descripción de dos sistemas físicos diferentes por lagrangianas de la misma forma significa que todos los resultados y técnicas ideados para investigar uno de los sistemas se pueden asumir inmediatamente y aplicar al otro. En este caso particular, se ha proseguido intensamente el estudio del comportamiento de circuitos eléctricos y se han desarrollado algunas técnicas especiales, las cuales pueden aplicarse directamente a los sistemas mecánicos correspondientes. Se ha progresado mucho en la formulación de problemas eléctricos equivalentes para sistemas mecánicos o acústicos y recíprocamente. Expresiones que normalmente se reservan para circuitos eléctricos (reactancia, susceptancia, etc) constituyen los modos de expresión aceptados en gran parte de la teoría de vibraciones de sistemas mecánicos.

Y ahora viene algo más interesante, cómo ha pasado que estas ideas se aplican más allá de la mecánica clásica, en otros temas donde ha aparecido un principio variacional:

Pero, además, existe un tipo de generalización de la Mecánica que se debe a una forma más sutil de equivalencia. Hemos visto que la Lagrangiana y el principio de Hamilton juntos forman una manera invariante compacta de implicar las ecuaciones del movimiento mecánicas. Esta posibilidad no está reservada solamente a la Mecánica; en casi todos los campos de la Física se pueden utilizar principios variacionales para expresar las "ecuaciones de movimiento", tanto si son ecuaciones de Newton, ecuaciones de Maxwell o la ecuación de Schrödinger. En consecuencia, cuando se utiliza un principio variacional como base de la formulación, todos esos campos presentarán, al menos hasta cierto grado, una analogía estructural. Cuando los resultados experimentales muestran la necesidad de alterar el contenido físico de la teoría de un campo, este grado de analogía ha indicado muchas veces como pueden efectuarse alteraciones semejantes en otros campos. Así, los experimentos realizados a principios de siglo indicaron la necesidad de cuantizar la radiación electromagnética y las partículas elementales. Sin embargo, los métodos de cuantización se desarrollaron primero para la Mecánica de partículas, partiendo en esencia de la formulación de Lagrange de la Mecánica clásica. Describiendo el campo electromagnético mediante una lagrangiana y el correspondiente principio variacional de Hamilton, es posible pasar a los métodos de cuantización de partículas para construir una Electrodinámica cuántica.

Hay ejemplos de esa cuantización en las secciones 12.5 y 12.6 del mismo libro. Es interesante ver como la misma forma, la lagrangiana y las ecuaciones de Euler, permiten describir distintos sistemas físicos. Y es de destacar cómo en la realidad física a cada momento nos encontramos con principios variacionales. Eso parece ser parte básica de cómo "funciona" el cosmos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 9 de Julio, 2015, 19:34

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Hace unos días comencé a escribir sobre la teoría de la transformación de Dirac. Antes de eso, comenté dos temas de Dirac de su Principles of Quantum Mechancis:

Polarización del Fotón
Interferencia de Fotones

Quisiera completar ese comentario, exponiendo y traduciendo la sección Superposition and indeterminacy de ese libro. Leo:

The reader may possibly feel dissatisfied with the attempt in the two preceding sections to fit in the existence of photons with the classical theory of light....

El lector posiblemente se sienta insatisfecho por el intento de las dos secciones precedentes para conciliar la existencia de fotones con la teoría clásica de la luz...

Esas dos secciones anteriores son las que comenté en los enlaces mencionados, la polarización de fotones y la interferencia de fotones.

... He may argue that a very strange idea has been introduced—the possibility of a photon being partly in each of two states of polarization, or partly in each of two separate beams— but even with the help of this strange idea no satisfying picture of the fundamental single-photon processes has been given. He may say further that this strange idea did not provide any information about experimental results for the experiments discussed, beyond what could have been obtained from an elementary consideration of photons being guided in some vague way by waves. What, then, is the use of the strange idea ?

... Podría argüir que una idea muy extraña ha sido introducida - la posibilidad de un fotón estando parcialmente en uno de dos estados de polarización, o parcialmente en dos haces separados - pero aún con la ayuda de esta idea extraña no se ha dado una imagen satisfactoria de los procesos fundamentales de un fotón aislado. Podría todavía agregar que esta idea extraña no provee ninguna información sobre los resultados experimentales discutidos, más allá de lo que podría ser obtenido por la consideración elemental de los fotones como guiados de alguna vaga manera por ondas. ¿Cuál es, entonces, el uso de esta extraña idea?

Y acá viene una postura muy típica de Dirac: aceptar el modelo matemático, sin necesidad de un modelo clásico del proceso:

In answer to the first criticism it may be remarked that the main object of physical science is not the provision of pictures, but is the formulation of laws governing phenomena and the application of these laws to the discovery of new phenomena. If a picture exists, so much the better; but whether a picture exists or not is a matter of only secondary importance. In the case of atomic phenomena no picture can be expected to exist in the usual sense of the word 'picture', by which is meant a model functioning essentially on classical lines. One may, however, extend the meaning of the word 'picture' to include any way of looking at the fundamental laws which makes their self-consistency obvious. With this extension, one may
gradually acquire a picture of atomic phenomena by becoming familiar with the laws of the quantum theory.

En respuesta a la primera crítica puede notarse que el principal objeto de la ciencia física no es la provisión de imágenes, sino la formulación de leyes que gobiernen los fenómenos y la aplicación de estas leyes al descubrimiento de nuevos fenómenos. Si una imagen existe, mejor, pero que una imagen exista o no es asunto de segunda importancia. En el caso de los fenómenos atómicos no hay imagen que pueda esperarse que existe en el sentido usual de la palabra 'imagen', entendida como un modelo funcionando esencialmente de acuerdo a las líneas clásicas. Sin embargo uno puede extender el significado de la palabra 'imagen' para incluir cualquier modo de ver a las leyes fundamentales que muestre como obvia a su auto-consistencia. Con esta extensión, uno puede gradualmente adquirir una imagen de los fenómenos atómicos al habituarse a las leyes de la teoría cuántica.

Es una postura fuerte. Yo cambiaría 'imagen' por 'modelo'. Para Dirac, le basta la auto-consistencia de lo que va a proponer, y la adecuación a los experimentos. En otros artículos, llegó a preferir la lógica de la teoría, a su adecuación a los resultados experimentales, por ejemplo, cuando explicó el efecto Compton: sus resultados indicaban un valor que difería en un 25% de los experimentos conocidos hasta entonces. En una actitud típica de Dirac, afirmó que los valores deberían estar equivocados, y la teoría correcta. Tenía razón, Compton al tiempo le escribió confirmando los nuevos valores.

With regard to the second criticism, it may be remarked that for many simple experiments with light, an elementary theory of waves and photons connected in a vague statistical way would be adequate to account for the results. In the case of such experiments quantum mechanics has no further information to give. In the great majority of experiments, however, the conditions are too complex for an elementary theory of this kind to be applicable and some more elaborate scheme, such as is provided by quantum mechanics, is then needed. The method of description that quantum mechanics gives in the more complex cases is applicable also to the simple cases and although it is then not really necessary for accounting for he experimental results, its study in these simple cases is perhaps a suitable introduction to its study in the general case.

Con respecto a la segunda crítica, puede notarse que para muchos experimentos simples con la luz, una teoría elemental de las ondas y fotones conectados de una manera estadística vaga podría ser adecuada para explicar los resultodas. En el caso de esos experimentos, la mecánica cuántica no tiene más información para ofrecer. Sin embargo, en la gran mayoría d los experimentos las condiciones son tan complejas para que una teoría sencilla de ese tipo pueda ser aplicable, y se necesita un esquema más elaborado, como el que es provisto por la mecánica cuántica. El método de descripción que la mecánica cuántica provee para esos casos complicado es aplicable también a los casos simples y aunque no es realmente necesaria para dar cuenta de esos resultados experimentales, su estudio en estos casos simples es posiblemente una introducción adecuada al estudio del caso general.

Es interesante notar que Dirac busca explicar más casos que los considerados simples, por ejemplos, los casos relativísticos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 6 de Julio, 2015, 7:50

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La historia de la física cuántica, y la mecánica cuántica en particular, ya saben, es fascinante. Y sus conceptos también. Algo que nació a fines de la tercera década del siglo pasado, es la teoría de la transformación de Dirac, de la que el autor se sentía particularmente orgullo: la podía armar a partir de principios generales, como a Dirac le gustaba. Y estoy tratando otras formulaciones en:

Entendiendo a Heisenberg
La Ecuación de Schrödinger
Física cuántica (a la Feynman)

y al propio Dirac en:

Polarización del Fotón
Interferencia de Fotones

La formulación matemática, más orientada a las funciones de onda, en:

Matemáticas y Física Cuántica

Hoy quisiera comenzar una serie de posts para divulgar las ideas de Dirac, basadas en espacios vectoriales, directos y duales, así como operadores.

Al querer entender la física cuántica, los físicos plantean modelos conceptuales con formulaciones matemáticas. A principios del siglo pasado, hubo que abandonar modelos mecánicos, al verse que los fenómenos cuánticos no admitían explicación de ese tipo.

Antes de eso, se suponía que los principios de la mecánica newtoniana proveerían una base para la descripción de todos los fenómenos físicos. Pero se vió que no se aplicaban en todos los ámbitos. Por ejemplo, en el caso de altas velocidades, con la aparición de fenómenos relativistas. Había que encontrar nuevas explicaciones, no basadas completamente en la física de Newton y sus extensiones. Esto llevó a la aparición no sólo de nuevos modelos conceptuales, sino también a nuevas formulaciones matemáticas.

La mecánica cuántica es un ejemplo paradigmático de estos cambios. Requirió que los estados de un estado dinámico y las variables dinámicas estuvieran interconectados en modos extraños que no se podían entender desde un punto de vista clásico. Los estados y variables dinámicos tuvieron que representarse de formas distintas a la clásica. Hubo que construir un nuevo modelo matemático y mapear sus conceptos a conceptos físicos. Lo que hizo Dirac con su teoría de la transformación es construir todo ese modelo matemático a partir de axiomas y reglas, y ver su consistencia con el experimento. El estaba orgulloso de ese tipo de deducción.

Uno de sus puntos de partida fue preguntarse: ¿cómo explicar el principio de superposición de estados de forma matemática? Recordemos que un estado cuántico puede describirse como una superposición de estados, ver:

Matemáticas y Física Cuántica (3) Superposición de Estados
Física Cuántica (Parte 10) Primer Experimento Real

Veremos en el próximo post la solución de Dirac, usar vectores en un espacio vectorial, para representar estados cuánticos. El otro problema que encaró es cómo conseguir algún valor para las variables dinámicas. Su solución: ponerlas en correspondencia con operadores lineales que operan sobre los vectores del espacio.

Mis principales fuentes para esta serie son:

Principles of Quantum Mechanics, del propio Dirac
Quantum Mechanics: A Modern Development, de Leslie E. Ballantine

Este último libro es el que me anima a encarar esta tarea, porque desarrollo las ideas de Dirac, con un enfoque moderno, y hay que decirlo, también más claro y didáctico. Dirac no siempre es fácil de seguir. No es que Dirac sea obscuro, él trataba de ser lo más preciso posible, pero a veces hay que tener el genio de Dirac para entender por dónde quiere ir al tomar el camino de un desarrollo. Ballantine se toma más tiempo y exposición escalonada para explicar los principales resultados de la teoría de la transformación.

Una de las características de esta formulación de Dirac, es su extensión a la relatividad especial, lo que dio lugar a la famosa ecuación de Dirac, que espero aparezca en esta serie de posts. En su forma no relativista, se puede mostrar su equivalencia con las formulaciones de Schrödinger y Heisenberg.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

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