Angel "Java" Lopez en Blog


Publicado el 25 de Julio, 2016, 13:59

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La divulgación científica siempre tiene algo de problema: cómo transmitir algún descubrimiento científico, sin perder algo en el camino. Algo que siempre recuerdo de este libro, es como Weinberg describe a que lector está orientado el libro:

I had better say for what reader this book is intended. I have written for one who is willing to puzzle through some detailed arguments, but who is not at home in either mathematics or physics. Although I must introduce some fairly complicated scientific ideas, no mathematics is used in the body of the
book beyond arithmetic, and little or no knowledge of physics or astronomy is assumed in advance. I have tried to be careful to define scientific terms when they are first used, and in  addition I have supplied a glossary of physical and astronomical terms ..... Wherever possible, I have also written numbers like "a hundred thousand million" in English, rather than use the more convenient scientific notation: 1011.

Weinberg siempre plantea un argumento para explicar algo:

However, this does not mean that I have tried to write an easy book. When a lawyer writes for the general public, he assumes that they do not know Law French or the Rule Against Perpetuities, but he does not think the worse of them for it, and he does not condescend to them. I want to return the compliment: I picture the reader as a smart old attorney who does not speak my language, but who expects nonetheless to hear some convincing arguments before he makes up his mind.

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Al fin una fórmula
Divulgación de la ciencia, por Ernesto Sábato

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 24 de Julio, 2016, 13:50

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Casi cada año vuelvo a este libro de Steven Weinberg "Los primeros tres minutos, una visión moderna del origen del universo". Hay tanto para comentar, desde el punto de vista de la divulgación científica, como desde la historia de la ciencia y la epistemología. Weinberg es un buen autor, claro, preocupado por explicar lo que para otros sería pura erudición científica. Para Weinberg, es un casi un deber explicar claramente, de forma que todos puedan entender su argumento. Si otros autores siguieran su ejemplo, tantos libros mejores se hubieran escrito.

Rescato hoy el texto de su introducción:

In the beginning there was an explosion. Not an explosion like those familiar on earth, starting from a definite center and spreading out to engulf more and more of the circumambient air, but an explosion which occurred simultaneously  everywhere, filling all space from the beginning, with every particle of matter rushing apart from every other particle. "All space" in this context may mean either all of an infinite universe, or all of a finite universe which curves back on itself like the  surface of a sphere. Neither possibility is easy to comprehend, but this will not get in our way; it matters hardly at all in the early universe whether space is finite or infinite.

Describe algo importante. Uno tiende a pensar en el "big bang" como algo puntual, un punto que se fue expandiendo. Pero Weinberg pone claramente que es una explosión "extendida" a todo punto. No sabemos si el universo es finito o infinito, pero este "big bang" explota en cada punto de ese universo.

El propio Weinberg pone en sus "Suggestion for futher Reading" a Alejadro Koyré y su libro "From the closed world to the infinite universo".

Más comentarios sobre Weinberg, y también sobre Koyré, en próximos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 23 de Julio, 2016, 15:01

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Luego de la revolución que produjo las ideas de Heisenberg, apuntaladas por los resultados de Born, Jordan y Dirac, todavía habría más sorpresas. La aparición de la formulación de Schrondinger trajo otro formulismo matemático para explicar los fenómenos cuánticos:

...While we were still discussing the point, there occurred the second dramatic surprise: the appearance of Schrodinger's celebrated paper. He followed quite a different line of thought, which derived from Prince Louis de Broglie (1892-1987). The latter had a few years previously made the bold assertion, supported by brilliant theoretical considerations, that wave-corpuscle dualism, familiar to physicists in the case of light, must also be exhibited by electrons; to each freely movable electron there belongs, according to these ideas, a plane wave of perfectly definite wave length, determined by Planck's constant and mass... Schrodinger extended de Broglie's wave equation, which applied to free motion, to the case in which forces act... and he succeeded in deriving the stationary states of the hydrogen atom as monochromatic solutions of his wave equation not extending to infinity. For a short while, at the beginning of 1926, it looked as if suddenly there were two self-contained but entirely distinct systems of explanation in the field - matrix mechanics and wave mechanics. But Schrodinger himself soon demonstrated their complete equivalence.

Es interesante ver que Schrödinger sigue otro camino, para explicar los fenómenos conocidos, basados en las ideas de de Broglie, usando analogías entre la óptica geométrica y la ondulatoria, para conseguir algo que conciliara la mecánica clásica y la nueva mecánica. Sus métodos resultaron más familiares a muchos físicos, pero al final, se vió que ambas aproximaciones (la de Heisenberg y la de Schrödinger) eran similares.

Wave mechanics enjoyed much greater popularity than the Gottingen or Cambridge version of quantum mechanics. Wave mechanics operates with a wave function ip, which - at least in the case of one particle - can be pictured in space, and it employs the mathematical methods of partial differential equations familiar to every physicist.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 21 de Julio, 2016, 17:20

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En el anterior post, vimos como Born junto a su ayudante Jordan escriben un artículo extendiendo las idea de Heisenberg, incluso al electromagnetismo. Como dato curioso, aporto que Born primero le había pedido ayuda a Pauli, pero a éste no le interesó el tema.

Luego llega un segundo artículo, esta vez en colaboración con Heisenberg, aún estando éste ausente. Se llevan una sorpresa cuando ven que varias de sus conclusiones fueron alcanzadas por Dirac, en Inglaterra, entonces aún no muy conocido como físico teórico:

There followed a hectic period of collaboration among the three of us, rendered difficult by Heisenberg's absence. There was a lively interchange of letters... The result was a three-man paper,36 which brought the formal side of the investigation to a certain degree of completeness. Before this paper appeared, the first dramatic surprise occurred: Paul Dirac's paper on the same subject.37 The stimulus received through a lecture by Heisenberg in Cambridge led him to results similar to ours in Gottingen, with the difference that he did not have recourse to the known matrix theory of the mathematicians but discovered for himself and elaborated the doctrine of such non-commuting symbols.

Luego, otro aporte no menor, vino de Pauli, que consiguió calcular valores del átomo de hidrógeno (creo que el artículo, parcial, también está en Sources of Quantum Mechanics de van der Waerden).

The first nontrivial and physically important application of quantum mechanics was made soon afterwards by Wolfgang Pauli,38 who calculated the stationary energy values of the hydrogen atom by the matrix method and found complete agreement with Bohr's 1913 formulas. Prom this moment there was no longer any doubt about the correctness of the theory among physicists...

Todavía había dudas sobre él significado del aparato matemático:

What the real significance of the formalism might be was, however, by no means clear. Mathematics, as often happens, was wiser than  interpretative thought...

En el próximo post veremos que habría más sorpresas, con la versión alternativa de Schrödinger.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 20 de Julio, 2016, 13:52

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Sigo leyendo y comentado el escrito de Max Born:

By consideration of known examples discovered by guesswork, Heisenberg found this rule and applied it with success to simple examples such as the harmonic and anharmonic oscillator. This was in the summer 1925. Heisenberg, suffering from a severe attack of hay fever, took leave of  absence for a course of treatment at the seaside and handed over his paper to me for publication, if I thought I could do anything about it.

Es un clásico de la historia de la ciencia, esa "escapada" de Heisenberg, a Heligoland, por su ataque de fiebre de heno. Vean que Born, igual que Dirac, ve el trabajo de Heisenberg más orientado al tema de ir armando fórmulas que concuerden con los experimentos.

The significance of the idea was immediately clear to me, and I sent the manuscript to the publisher.34 Heisenberg's rule of multiplication left me no peace, and after a week of intensive thought and trial, I suddenly remembered an algebraic theory that I had learned from my teacher, Rosanes, in Breslau. Such quadratic arrays are quite familiar to  mathematicians and are called matrices, in association with a definite rule of multiplication. I applied this rule to Heisenberg's quantum condition and found that it agreed for the diagonal elements. It was easy to guess what the remaining elements must be, namely, null; and immediately there stood before me the strange formula

qp — pq = ih

This meant that the coordinates q and momenta p are not to be represented by the values of numbers but by symbols whose product depends on the order of multiplication - which do not "commute", as we say. My excitement over this result was like that of the mariner who, after long voyaging, sees the desired land from afar, and my only regret was that Heisenberg was not with me. I was convinced from the first that we had stumbled on the truth. Yet again a large part was only guesswork, in particular the vanishing of the non-diagonal elements in the foregoing  expression. For this problem, I secured the collaboration of my pupil Pascual Jordan, and in a few days we succeeded in showing that I had guessed correctly. The joint paper written by Jordan and myself contains the most important principles of quantum mechanics,  ncluding its extension to electrodynamics...

Tanto el "paper" de Heisenberg como el de Born/Jordan, lo podemos encontrar en el excelente Sources of Quantum Mechanics, de van Der Waerden.

Sigo en próximos post.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 19 de Julio, 2016, 13:21

Sigo leyendo el excelente libro de Zeilder, "Quantum field theory, I". Encuentro la cita de un texto de Max Born, incluido en su libro "Physics in my generation". Recuerdo los tiempos de 1925:

In Gottingen we also took part in the attempts to distill the unknown mechanics of the atom out of the experimental results. The logical difficulty became ever more acute. Investigations on scattering and dispersions of light showed that Einstein's conception of transition probability as a measure of the strength of an oscillation was not adequate... The art of guessing correct formulas, which depart from the classical formulas but pass over into them in the sense of Bohr's correspondence principle, was brought to considerable perfection...

Desde 1913 con el trabajo de Bohr, se había avanzado a tientas, adivinando fórmulas para explicar los resultados experimentales.

This period was brought to a sudden end by Heisenberg, who was my assistant at that time. He cut the Gordian knot by a philosophical principle and replaced guesswork by a mathematical rule. The principle asserts that concepts and pictures that do not correspond to physically observable facts should not be used in theoretical description. When Einstein, in setting up his theory of relativity, eliminated his concepts of the absolute velocity of a body and of the absolute simultaneity of two events at different places, he was making use of the same principle. Heisenberg banished the picture of electron orbits with definite radii and periods of rotation, because these quantities are not observable; he demanded that the theory should be built up by means of quadratic arrays. Instead of describing the motion by giving a coordinate as a function of time x = x(t), one ought to determine an array of transition probabilities (xij). To me the decisive part in his work is the requirement that one must find a rule whereby from a given array [matrix]....the array for the square (x2)ij may be found (or, in general, the multiplication law of such arrays).

Ese es el gran avance de Heisenberg: dejó el concepto de posición y velocidad, y expresó las relaciones entre probabilidades. Esas probabilidades de transición desde estado i a estado j se disponían en una matriz. Y Heisenberg consiguió manejar esas matrices como "números", con multiplicación incluida.

Sigo comentando en próximo post.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 17 de Julio, 2016, 15:16

Ayer compartí un fragmento de la conferencia de Heisenberg, en Trieste, 1968, cuando fue invitado por Abdus Salam. A la misma conferencia fue invitado Dirac. Abajo transcribo parte de lo que dijo. Es interesante ver cómo Dirac distingue dos formas de generar física teórica: por un lado, la forma basada en los resultados experimentales; por otra, la forma basada en los conceptos matemáticos. Leo en el excelente libro de Zeidler, Quantum Field Theory, I:

I have the best of reasons for being an admirer of Werner Heisenberg. He and I were young research students at the same time, about the same age, working on the same problem. Heisenberg succeeded where I failed. There was a large mass of spectroscopic data accumulated at that time and Heisenberg found out the proper way of handling it. In doing so, he started the golden age of theoretical physics...

One can distinguish between two main procedures for a theoretical  physicist. One of them is to work from the experimental basis. For this, one must keep in close touch with the experimental physicists. One reads about all the results they obtain and tries to fit them into a comprehensive and satisfying scheme.

The other procedure is to work from the mathematical basis. One examines and criticizes the existing theory. One tries to pin-point the faults in it and then tries to remove them. The difficulty here is to remove the faults without destroying the very great success of the existing theory...

Y acá viene el tema que interesa: Dirac pone como ejemplos de cada aproximación, a Heisenberg y a Schrödinger:

This is illustrated by the discovery of quantum mechanics. Two men are involved, Heisenberg and Shrodinger. Heisenberg was working from the xperimental basis, using the results of spectroscopy, which by 1925 had ccumulated an enormous amount of data... It was Heisenberg's genius hat he was able to pick out the important things from the great wealth f information and arrange them in a natural scheme. He was thus led to mtrices...

Schrodinger's approach was quite different. He worked from the mathematical basis. He was not well informed about the latest spectroscopic results, lke Heisenberg was, but had the idea at the back of his mind that spectral requencies should be fixed by eigenvalue equations, something like those hat fix the frequencies of systems of vibrating strings. He had this idea for a long time, and was eventually able to find the right equation, in an indirect way...

Heisenberg and Schrodinger gave us two forms of quantum mechanics, which were soon found to be equivalent. They provided two pictures, with a certain mathematical transformation connecting them. I joined in the early work on quantum mechanics, following the procedure based on  mathematics, with a very abstract point of view. I took the noncommutative algebra which was suggested by Heisenberg's matrices as the main feature for a new dynamics...

Ver también

Dirac y la teoría de Heisenberg
P.A.M. Dirac, por Abdus Salam

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 16 de Julio, 2016, 16:13

Tengo tanto pendiente para escribir sobre Heisenberg (ver Entendiendo a Heisenberg, Heisenberg desarrollando la mecánica cuántica)

Hoy encontré en el excelente libro de Zeidler, Quantum Field Theory, I, esta cita del discurso de Heisenberg cuando fue invitado, junto con Dirac, por Abdus Salam a una conferencia en Trieste, Italia, 1968. Es interesante ver cómo dejó por un tiempo el modelo de átomo de hidrógeno y se concentró en un problema más simple:

I had the impression from my conversation with Bohr (1885-1962) that one should go away from all these classical concepts, one should not speak of the orbit of an electron. ..

When I came back from Copenhagen to Gottingen I decided that I should again try to do some kind of guess work there, namely, to guess the  intensities in the hydrogen spectrum... That was early in the summer 1925 and I failed completely. The formulae got too complicated... At the same time I also felt, if the mechanical system would be simpler, then it might be possible just to do the same thing as Kramers (1894-1952) and I had done in Copenhagen and to guess the amplitudes. Therefore I turned from the hydrogen atom to the anharmonic oscillator, which was a very  simple model. Just then I became ill and went to the island of Heligoland to recover. There I had plenty of time to do my calculations. It turned out that it really was quite simple to translate classical mechanics into quantum mechanics. But I should mention one important point. It was not sufficient simply to say "let us take some frequencies and amplitudes to replace orbit quantities" and use a kind of multiplication which we had already used in Copenhagen and which later turned out to be equivalent to matrix multiplication...

Heisenberg quería algo más, y Born, Jordan, independientemente Dirac,llegaron a completar el modelo matemático:

It turned out that one could replace the quantum conditions of Bohr's theory by a formula which was essentially equivalent to the sum-rule by Thomas and Kuhn... I was however not able to get a neat mathematical scheme out of it. Very soon afterwards both Born and Jordan in Gottingen and Dirac in Cambridge were able to invent a perfectly closed mathematical scheme; Dirac with very ingenious new methods on q-numbers and Born and Jordan with more conventional methods of matrices33...

Pero Heisenberg se preocupaba más por el aspecto físico, más allá del modelo matemático:

When you try too much for rigorous mathematical methods you fix your attention on those points which are not important from the physics point and thereby you get away from the experimental situation. If you try to solve a problem by rather dirty mathematics, as I have mostly done, then you are forced always to think of the experimental situation; and whatever formulae you write down, you try to compare the formulae with reality and thereby, somehow, you get closer to reality than by looking for the rigorous methods. But this may, of course, be different for different people...

In 1926 Niels Bohr and I discussed the question on the physical  interpretation of quantum mechanics many, many nights and we were frequently in a state of despair. Bohr tried more in the direction of duality between waves and particles; I preferred to start from the mathematical formalism and to look for a consistent interpretation. Finally Bohr went to Norway to think alone about the problem and I remained in Copenhagen. Then I remembered Einstein's remark in our discussion. I remembered that Einstein had said that "It is the theory which decides what can be observed." From there it was easy to turn around our question and not to ask "How can I represent in quantum mechanics this orbit of an electron in a cloud chamber?", but rather to ask "Is it not true that always only such situations occur in nature, even in a cloud chamber, which can be described by the mathematical formalism of quantum mechanics?" By turning around I had to investigate what can be described in this formalism; and then it was very easily seen, especially when one used the new mathematical discoveries of Dirac and Jordan about transformation theory, that one could not describe at the same time the exact position and the exact velocity of an electron; one had these uncertainty relations. In this way things became clear. When Bohr returned to Copenhagen, he had found an equivalent  interpretation with his concept of complementarity, so finally we all agreed that now we had understood quantum theory...

Y llegamos al tema Einstein, discutiendo con Bohr en el Solvay 1927:

Again we met a difficult situation in 1927 when Einstein and Bohr discussed these matters at the Solvay Conference. Almost every day the  sequence of events was the following. We all lived in the same hotel. In the morning for breakfast Einstein would appear and tell Bohr a new fictitious experiment in which he could disprove the uncertainty relations and thereby our interpretation of quantum theory. Then Bohr, Pauli and I would be very worried, we would follow Bohr and Einstein to the meeting and would discuss this problem all day. But at night for dinner usually Bohr had solved the problem and he gave the answer to Einstein, so then we felt that everything was alright and Einstein was a bit sorry about that and said he would think about it. Next morning he would bring a new fictitious experiment, again we had to discuss,  and so on. This went on for quite a number of days and at the end of the conference the Copenhagen physicists had the feeling that they had won the battle and that actually Einstein could not make any real objection... Einstein never accepted the probabilistic interpretation of quantum mechanics. He said : "God does not play at dice."

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 10 de Junio, 2016, 5:44

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En los anteriores posts estuvimos explorando la expresión matemática del espectro continuo. Vimos de desarrollar la función de estado de manera análoga al caso discreto. Cuando en este último usábamos una sumatoria de coeficientes y funciones propias, ahora tenemos:

Y los coeficientes af se obtienen "confrontando" la función de estado original con las funciones propias:

Hoy, sustituyamos el coeficiente af en la primera ecuación, por su expresión en la segunda:

Vean que hubo que renombrar q a q prima, porque es distinta de la q "de afuera" que tiene la ecuación. Esto es igual a:

O sea, integramos Psi por el corchete, recorriendo q prima, y obtenemos Psi en q. Esto solo es posible si:

Donde de nuevo aparece la función de Dirac. Es una relación análoga a la encontrada en el post anterior:

En la segunda ecuación de arriba, podemos considerar a los coeficientes af, como funciones de f:

Esto pone en evidencia que es una función que se puede desarrolla en coeficientes:

Multiplicados por las funciones propias conjugadas:

Mientras que la primera ecuación:

Muestra que la función de estado puede desarrollarse con coeficientes:

Multiplicados por las funciones propias:

Hay un "entremezclamiento" entre las funciones de los coeficientes y las funciones de estado. CADA UNA de ellas determina completamente el estado, conocido el sistema de las funciones propias. Se dice que a(f) es la función de estado en representación f (de los autovalores), y Psi(q) es la función de estado en representación q (de las coordenadas). Veremos más adelante ejemplos de sus usos, y de nuevo, la forma de pasar de una representación a otra.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 7 de Junio, 2016, 6:08

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Si tenemos un operador que al actuar sobre un vector produce un vector que es un múltiplo escalar del primero:

Donde a es un escalar, entonces llamamos a ese vector un autovector (eigenvector) y al valor escalar un autovalor (eigenvalue). Para operador adjunto, recordando la correspondencia antilineal entre bras y kets, queda:

De esto, y del post anterior, podemos demostrar el teorema: Los autovalores de un operador hermítico son reales.

Pues sea A hermítico entonces:

En particular:

Sustituendo el operador por el autovalor a:

Y se sigue, como el autovalor es escalar, se puede mover a la izquierda:

Y para eso, se cumple:

Es decir, el autovalor es valor real, es su propio conjugado complejo.

De esto también se sigue que para el bra se tienen los mismo autovalores:

Esto tiene una consecuencia muy importante para el tema de esta serie de posts. Vamos a ver que en física, ante una magnitud física, nos interesa saber su valor. Y los valores interesantes que se encuentran en física clásica (y también en cuántica) son REALES, no COMPLEJOS. Notablemente, esas magnitudes físicas estarán representadas por operadores HERMITICOS, que al operar sobre un vector de estado podrán extraer AUTOVALORES REALES, que corresponderán a los valores de la magnitud física que estemos examinando.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 29 de Mayo, 2016, 15:37

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Sigamos explorando la formulación matemática del espectro continuo. En el anterior post, por analogía a las sumatorias del caso discreto, llegamos a las integrales:

Para expresar cualquier función de onda de las coordenadas, donde los coeficientes son:

Recordemos: los coeficientes af ahora dependen de f, son como funciones a(f). Y por cada autovalor f posible en el espectro continuo, hay una autofunción:

De nuevo, aun una autofunción asociada a cada autovalor f.

Para que estas relaciones integrales se cumplan, basta con la condición:

Donde delta es la "función" de Dirac. Pongo función entre paréntesis porque tiene propiedades que no pueden asimilarse a una función normal. Fue recién a mediados del siglo pasado que pudo incorporarse formalmente a los conceptos matemáticos. Esa función vale 0 para un argumento distinto de 0, y vale infinito su argumento igual a cero, pero con la condición:

Es un aporte original de Dirac. La idea es que esta función, sobre un rango infinito de valores reales, da siempre 0, excepto para el origen.  Combinada en la integral anterior, es la forma de expresar la "ortogonalidad" de dos autofunciones de onda: su multiplicación integral da 0, si son distintas, da 1 si son iguales. Con esta nueva relación, desarrollemos:

Vean que el "f interior" al integral, quedo como f" (f prima) para diferenciarla da la "f exterior". Se sigue

Como se quería demostrar.

Este es nuestro primer encuentro con la función de Dirac. Resulta como "paso al límite" de las condiciones de ortogonalidad que teníamos para las autofunciones en el caso discreto. Lo importante ahora es que tenemos una base matemática para tratar el caso discreto y el continuo.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 28 de Mayo, 2016, 19:29

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Hay una clase de operadores muy importante en física cuántica. Ya vimos los operadores adjuntos en el post. Recordemos, el operador adjunto de un operador cumple:

Para cualquier par de vectores. Hay operadores que son igual a su adjunto, es decir, que cumplen:

Se llaman operadores autoadjuntos. Tambien se los llama hermíticos, como a las matrices hermíticas donde se cumple:

Justamente, porque cuando un operador autoadjunto puede expresarse como una matriz (lo que no siempre pasa, hay espacios de dimensiones infinitas), sus matrices son hermíticas.

Hay un notable teorema, que permite identificar operadores hermíticos. Si se cumple

Para todos los vectores psi, entonces se sigue que:

Para todos los pares de vectores, y entonces el operador A es hermítico. Para demostrarlo observemos que si:

Para valores a, b y vectores phi1, phi2 cualesquiera, entonces desarrollando:

Pero se sabe que:

Si seguimos desarrollando queda:

Pero esto, por hipótesis es igual a su propio conjugado:

Entonces es un valor real. Los dos primeros términos de la suma son también reales, porque por hipótesis tanto


Son reales, y sus factores, los valores absolutos de a y b son también reales. Veamos los dos últimos términos:

Tomando a=b=1, queda:

Tomando a=1, b=i (la raíz de menos uno), tenemos:

Sacando i de esta ecuación y sumándola con la anterior, obtenemos:

Que es lo que queríamos demostrar.

Escribí que este teorema es notable, porque partiendo de una condición particular logra demostrar una condición más general. Esto es parte de la magia de usar números complejos: no existe un teorema similar si empleamos coeficientes reales. Los números complejos tienen una estructura que permite que este tipo de relaciones aparezca.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 6 de Mayo, 2016, 6:16

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Mandelstam variables - Wikipedia, the free encyclopedia

(4) Rodney Brooks's answer to What is wavefunction collapse in the context of quantum mechanics, and how does (or doesn't) it relate to consciousness? - Quora

Weyl Fermion: Long-Sought Massless Particle Finally Observed | Physics |

Bohr's Correspondence Principle (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

Quantum jumps and classical harmonics

The Golden Age Of Quantum Computing Is Upon Us (Once We Solve These Tiny Problems) | Fast Company | Business Innovation

Derivation of the postulates of quantum mechanics from the first principles of scale relativity

(238) What is Born's Postulate? - Quora

Correspondence principle - Wikipedia, the free encyclopedia

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 1 de Mayo, 2016, 7:47

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Veamos hoy de demostrar la invarianza de la traza de un operador ante un cambio de base. La demostración de este post se limitará a base finita, digamos, de n vectores ortonormales.

En este caso, recordemos que para operador lineal A se tiene:

Es un número, dado dos elementos de la base en consideración. Es decir, en esa base, nuestro operador se puede representar como una matriz de números. Nunca lo vimos, pero se tiene entonces que:

Esto lleva a expresar la traza que presentamos en el anterior post como:

Como los Aij son números, se pueden "mover hacia la izquierda" y los bra se pueden "juntar" con los ket:

Como los vectores son ortonormales, cuando j es distinto de i el producto de ambos es cero, y cuando j es igual a i, el producto es 1. Queda que la traza es:

Es un poco largo, pero sencillo, demostrar entonces que el producto de operadores:

Tiene entonces una matriz (siempre tomando una base fijada de antemano para expresar las tres matrices):

La traza de C es:

De forma similar, se ve que:

Pero ambas dobles sumas SON LA MISMA SUMA, entonces queda:

Que es una importante propiedad de la traza. Sabiendo este resultado, y conociendo la asociatividad de operadores, vemos que la traza es invariante antes cambios del tipo:

Pues queda:

Y se sigue:

¿Cuándo se da una transformación así? Cuando cambiamos de base ortonormal. El operador P se puede ver como cambio de base. De nuevo, es una demostración larga pero sencilla, que nos lleva a enunciar: la traza del operador A es invariante ante cambios de base. Hay que tener cuidado ahora en distinguir el operador A, de su expresión como matriz A EN UNA BASE DADA. Y si queremos expresar la traza para una base infinita numerable, hay que estudiar la convergencia de la suma infinita. Si tenemos una base infinita no numerable, supongo que habrá que estudiar la convergencia de una integral. Veremos esos casos llegado el momento.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 30 de Abril, 2016, 11:06

Siempre vuelvo a leer el excelente "Quamtum Field Theory I", de Zeidler. Y encuentro hoy una cita de Freeman Dyson, más extensa que la que ya había comentado en Richard Feynman por Freeman Dyson. Se refiere a la época de los treinta del siglo pasado, cuando Feynman se concentra en estudiar por su cuenta la mecánica cuántica de su tiempo:

Dick Feynman (1918-1988) was a profoundly original scientist. He refused to take anybody's word for anything. This meant that he was forced to rediscover or reinvent for himself almost the whole physics. It took him five years of concentrated work to reinvent quantum mechanics. He said that he couldn't understand the official version of quantum mechanics that was taught in the textbooks and so he had to begin afresh from the beginning. This was a heroic enterprise. He worked harder during those years than anybody else I ever knew. At the end he had his version of quantum mechanics that he could understand...

Pero Feynman fue más allá con su versión, logrando resolver problemas más fácilmente:

The calculations that I did for Hans Bethe, using the orthodox method, took me several months of work and several hundred sheets of paper. Dick could get the same answer, calculating on a blackboard, in half an hour...

In orthodox physics, it can be said: Suppose an electron is in this state at a certain time, then you calculate what it will do next by solving the Schrodinger equation introduced by Schrodinger in 1926. Instead of this, Dick simply said:

The electron does whatever it likes.

Feynman había encontrado su camino: sumar todos los caminos posibles del electrón. Y esto lo consiguió meditando y revisando la mecánica cuántica de entoces. Podemos decir que el resultado de Feynman es una extensión del experimento de las dos rendijas: para llegar de A a B, la partícula cuántica pasa por las "infinitas rendijas" del espacio que separa el punto de partida del punto de llegada.

A history of the electron is any possible path in space and time. The behavior of the electron is just the result of adding together all the histories according to some simple rules that Dick worked out. I had the enormous luck to be at Coraell in 1948 when the idea was newborn, and to be for a short time Dick's sounding board...

Feynman basaba sus ideas en conceptos físicos, y los trasladaba a matemáticas:

Dick distrusted my mathematics and I distrusted his intuition. Dick fought against my scepticism, arguing that Einstein had failed  because he stopped thinking in concrete physical images and became a  manipulator of equations. I had to admit that was true. The discoveries of Einstein's earlier years were all based on direct physical intuition.  Einstein's later unified theories failed because they were only sets of equations without physical meaning...

Pero no era fácil entonces entender estas nuevas ideas de Feynman:

Nobody but Dick could use his theory. Without success I tried to  understand him... At the beginning of September after vacations it was time to go back East. I got onto a Greyhound bus and travelled nonstop for three days and nights as far as Chicago. This time I had nobody to talk to. The roads were too bumpy for me to read, and so I sat and looked out of the window and gradually fell into a comfortable stupor. As we were droning across Nebraska on the third day, something suddenly happened. For two weeks I had not thought about physics, and now it came bursting into my consciousness like an explosion. Feynman's pictures and Schwinger's equations began sorting themselves out in my head with a clarity they had never had before. I had no pencil or paper, but everything was so clear I did not need to write it down.

Feynman and Schwinger were just looking at the same set of ideas from two different sides.

Putting their methods together, you would have a theory of quantum electrodynamics that combined the mathematical precision of Schwinger with the practical flexibility of Feynman...

During the rest of the day as we watched the sun go down over the prairie, I was mapping out in my head the shape of the paper I would write when I got to Princeton. The title of the paper would be The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman.

Es en parte al trabajo de difusión de Dyson que las ideas de Feynman fueron más conocidas, entendidas y aceptadas por la comunidad de físicos. El uso de los diagramas de Feynman facilitó la explicación de esta suma de trayectorias, y es interesante ver la historia de su desarrollo, por ejemplo, ver que los primeros diagramas aparecidos en artículos son diferentes de los que usamos en artículos de divulgación.

Esto es una cita que hace Zeidler de un texto de Dyson, Disturbing the Universe.

Otros posts donde cito el libro de Zeidler:

Teoría de campos y partículas (3)
Una carta de Einstein
John von Neumann y operadores en cuántica

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 20 de Abril, 2016, 8:13

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Quiero seguir explorando y estudiando las razones para tener una teoría cuántica de campos. En el anterior posts, mencioné la teoría cuántica y la teoría de la relatividad. Hoy leo en las primeras páginas de Modern Elementary Particle Physics - The Fundamental Particles and Fields, de G. Kane:

The combination of quantum theory and relativity leads to the introduction of quantum fields and associated particles. To see intuitively why that must occur, suppose various particles can interact with one another, and you give one particle a push. The forces, due to that particle, that act on nearby particles cannot produce instantaneous changes in their motions, since no signal can travel faster than the speed of light. Instead, as with electromagnetism and gravity, we say the pushed particles is the source of various fields which carry energy, and perhaps other quantum numbers, through the surrounding space; eventually the fields interact with other particles.

Es decir, para no apelar a la acción instantánea, hay que poner a los campos como mediadores. Eso también pasó en electromagnetismo (estoy estudiándolo en Electromagnetismo) y en gravedad einsteniana. En cuántica, hay algo más:

Because of the quantum theory, the energy (and perhaps other quantum numbers) is carried by discrete quanta, which become identified with the particles transmiting the force. Thus in quantum field theory, the elementary particle interactions are interpreted in terms of exchanges of (some of the) particles themselves.

Este es un tema a entender mejor. Que existan partículas de interacción, y además campos, no es algo claro y evidente. Algo a estudiar con más detalle.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 19 de Abril, 2016, 6:05

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Hace más de un año que no escribo sobre este tema, tomando notas sobre teorías gauge. Hoy me encuentro leyendo Modern Elementary Particle Physics - The Fundamental Particles and Fields, de G. Kane:

There has been steady and extraordinary progress in particle physics, both in understanding quantum field theory and in learning what to include in the Lagrangian; no revolution has ocurred.

Del lagrangiano podemos deducir ecuaciones que describen la evolución de un sistema físico. Ver Lagrangianos y Hamiltonianos, y también Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos.

Ahora aparece teorías gauge:

The theories which describe the particles and their interactions seem to be gauge theories, a special class of quantum theories where there is an invariance principle that necessarily implies the existence of interactions mediated by gauge bosons. In gauge theories, the interaction Lagrangian is, in sense, inevitable rather than being introduced in an ad hoc way as in quantum theory.

No tenía en claro que el principio de invariance que aparece en las teorías gauge implicara la existencia de interacciones, y la aparición de bosones gauge. El llamado lagrangiano de interacción es una parte del lagrangiano, que, en teorías no gauge, se introduce a mano para mejorar la descripción del sistema. En una teoría gauge, su introducción se debe a la existencia de la invariancia, y por ésta, la existencia de interacción. Interesantes puntos para estudiar.

Although technical work in a relativistic quantum gauge field theory can be very difficult, the basic formulation of the theory is accesible to anyone having an undergraduate knowledge of classical mechanics and electrodynamics, plus an introduction to quantum mechanics including spin and angular momentum.

Espero que sea así. Mientras, seguiré recolectando notas como ésta, como preludio a un estudio más serio de las teorías gauge. Encuentro este texto en el capítulo 1 del libro mencionado, titulado Survey. Un poco más adelante leo:

The theories called gauge theories are a special class of quantum field theories where there is an invariance principle that necessarily requires the existence of interactions among the particles. When we speak of gauge forces ... we will mean forces which respect a gauge symemtry, and in addition, forces whose strengths are proporcional to a "charge" of some kind.

Siempre aparece simetría (ver Simetrías y Física). Otro tema a investigar, entonces, es esto de la "carga".

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 25 de Marzo, 2016, 7:57

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Siempre hasta ahora hemos manejado magnitudes físicas de espectro discreto: sus valores posibles forman un conjunto numerable (finito o infinito). La existencia de ese tipo de magnitudes es uno de los grandes descubrimientos de la teoría cuántica. Ya se vislumbraba en el siglo XIX que los espectros de emisión de muchos átomos y moléculas simples seguían un patrón discreto, contrariamente a lo que uno espera de una fuente de luz. Estamos acostumbrados a la luz del sol, que en el arco iris se distribuye de forma continua.

Pues en el ambiente cuántico hay magnitudes que no toman valores continuos, sino discretos. Uno de los primeros ejemplos ha sido el modelo atómico de Bohr, donde las órbitas de los electrones sólo podían tomar algunos valores específicos. Cuando se desarrolló la primera mecánica cuántica, uno de los logros tanto del modelo de Heisenberg como del de Schrödinger fue explicar esa distribución discreta, aunque sea en los átomos más simples, como el de hidrógeno. En ese átomo, la energía de un electrón ligado sólo puede tomar algunos valores (es interesante recordar que Schrödinger llegó a su teoría, tomando el camino de explicar esos valores como autovalores de una función).

Pero cuando consideramos la energía de un electrón no ligado a un núcleo atómico, sus valores pueden ser continuos. Así tenemos un ejemplo de magnitud física que tiene ambos espectros, continuo y discreto.

Cuando una magnitud puede tomar valores discretos, pudimos expresar una función de estado como combinación lineal de autofunciones:

Pasando al espectro discreto, y haciendo "magia" matemática, sólo justificada por su aplicación física, podemos expresar una función de estado, como una integral que recorre:

Pongo explícitamente q como las coordenadas que puede tomar la función de estado, para destacar que esta función recorre y depende de esas coordenadas. Los

Mas que coeficientes, son funciones del parámetro f, que toma valores continuos (antes usábamos valores naturales). Y las "autofunciones" ahora son:

Una función base por CADA valor de f. Por analogía, podemos seguir haciendo "magia" matemática (sin justificación firme) y tomar los coeficientes como:

Tenemos que explorar el significado físico de estas expresiones, y aparecerán relaciones con desarrollos de Fourier, y más analogías con nuestro trabajo anterior en valores discretos. Ya no podemos tomar los coeficientes af como probabilidad, sino que tendremos que hablar de probabilidad de tal valor entre f y f+df. Pero eso lo veremos en los próximos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 20 de Marzo, 2016, 15:31

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Consideremos hoy una expresión como:

Es una expresión algo rara. Conocemos:

Que es el producto interno de un bra:

con un ket:

Pero ¿qué el "producto" de un ket por un bra? Solamente tiene sentido si le damos alguno. Definamos su aplicación SOBRE  un vector ket cualquiera como:

Esto es, en la expresión de más a la derecha, el factor entre paréntesis es un escalar. El resultado total de "aplicar" la expresión inicial a un vector ket, es otro vector ket. Ya sabemos cómo se llama esto: es un operador. Y su aplicación a CUALQUIER vector ket queda totalmente definido por la fórmula de arriba. Le hemos dado un significado concreto. Lo llamamos el producto externo (contrariamente al productor interno de bra y key, que da escalar) de un bra y un ket.

Inicialmente, pensé que este producto externo poco tenía que aportar a la teoría de la transformación. Pero veremos, a medida que vayamos avanzando, que tiene su importancia. Por ahora, baste notar una cosa: sea un operador dado por el producto externo de un ket y un bra, el resultado de aplicarlo sobre un vector ket ES SIEMPRE un múltiplo del vector ket original. De alguna forma, PROYECTA todo vector ket en un subespacio generador por ese vector ket.

Agregemos hoy una propiedad no esperada (al menos para mí) de un operador lineal. Recordemos que una base ortonormal es un conjunto de vectores:

Tales que son ortogonales dos a dos:

Y todo vector puede expresarse como combinación lineal de elementos de este conjunto base. Entonces, es interesante considerar para un operador lineal A cualquiera, su traza, definida como:

La traza es un escalar. Lo notable es que este valor, la traza de A, ES INDEPENDIENTE DE LA BASE ORTONORMAL que se tome. Veremos una demostración en el próximo post.

Pero lo que dice ahí, desde el punto de vista físico, es que hay algo en un operador (el valor de su traza) que permanece invariable ante cambios en la base ortonormal de vectores. Esto nos da una pista: la traza de un operador tiene un significado físico.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 16 de Febrero, 2016, 15:34

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Sigamos explorando el tema simetría sobre sistemas. En el post anterior vimos una relación entre hamiltonianos que se debe cumplir para una simetría, desde la imagen de Schrodinger.

Veamos hoy lo mismo desde la imagen de Heisenberg. No soy un gran entendido de esta imagen, porque no es habitual encontrarla. Igual dejo enlace al final del post, con una deducción de las ecuaciones de movimiento partiendo de la imagen de Schrodinger.

En la imagen de Heisenberg lo que evoluciona en el tiempo son los operadores, en vez de ser los vectores de estado. Tengamos de nuevo dos sistemas, S y S", obtenidos por aplicar una simetría g:

Sean {A} el conjunto de los operadores en S, sean {A"} los operadores en S". En la imagen de Heisenberg, se dan una ecuaciones de movimiento donde se expresa COMO evoluciona en el tiempo un operador. Entonces, la derivada temporal del operador A es:

Donde A es el operador, H el hamiltoniano del sistema S, y donde los corchetes son el conmutador de dos operadores:

Que podemos ver como una "medida" de cuánto conmutan o no esos operadores. En la ecuación de movimiento asumimos que A no depende explícitamente del tiempo, sino habría un término adicional a la derecha, con A derivada parcial de tiempo (ver enlace mencionado al final).

Ahora, en el sistema S", tenemos un hamiltoniano H", y pongamos un operador A" correspondiente a un observable en S". Ahí se da:

Pero por la discusión que vimos en el anterior post, el observable correspondiente a A" también es un observable de S, y evoluciona con el hamiltoniano H. Su evolución debe coincidir con la de arriba, para que realmente g sea una simetría. Entonces

Esta vez usamos el hamiltoniano H del sistema S. Entonces, queda:

Esto expresa que H-H" CONMUTA CON TODO OPERADOR de observable. Esto es, H-H" es múltiplo del operador unidad.

Esto es similar a lo que obtuvimos con la imagen de Schrodinger. Podemos decir entonces:

De todos los observables, el hamiltoniano se distingue por ser invariante ante las transformaciones de simetría del sistema físico.

Acá tomamos al hamiltoniano como expresando la evolución en el tiempo de un sistema. Si recuerdan relatividad y transformaciones de Lorentz, también estamos interesados en simetrías donde el tiempo no es especial, sino una coordenada más. En las teorías relativistas, las ecuaciones de movimiento pueden escribirse o no usando el hamiltoniano. Para los físicos, en esos casos aparece la llamada matriz S (de "scattering"), más general.

Saliendo un poco de la notación matemática, podemos resumir:

- Hay condiciones, como las ecuaciones de movimiento (de los vectores, de los operadores, dependiendo de la imagen Schrodinger o Heisenberg elegida) que dependen de algo característico del sistema (en nuestro análisis el hamiltoniano)
- Las operaciones de simetría dejan invariante a ese "algo"
- Entonces, las ecuaciones de movimiento  siguen vigentes luego de la simetría

Algo vamos viendo, entonces, de qué esperar de una operación de simetría, apelando a consideraciones físicas, como la indistinguibilidad de los sistemas resultantes. En los próximos posts examineramos esas operaciones un poco más formalmente.


Heisenberg Picture

Nos leemos!

Angel  "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

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