Angel "Java" Lopez en Blog

Ciencia


Publicado el 2 de Febrero, 2016, 17:42

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Sigamos examinando operadores que comparten autofunciones. Sean dos operadores:

Tales que comparten autofunciones:

Y

Podemos hablar de la suma de los mismos como:

Esto tiene sentido para cualquier función de estado, porque si aplicamos esa definición a una de las autofunciones que comparten, obtenemos:


Es decir la suma es un operador que tiene las mismas autofunciones, y sus autovalores son la suma de los autovalores correspondientes a cada operador. Al compartir autofunciones, esta buena definición de suma se puede extender a toda función compuesta de las autofunciones de base. El que compartan autofunciones algo que en el anterior posts vimos que es equivalente a hablar de operadores que se pueden medir simultáneamente.

También podemos pensar en la multiplicación de operadores, como:

Si lo aplicamos a una autofunción, obtenemos:

Si aplicamos la multiplicación "al revés", tenemos:

Con lo cual vemos que ambas multiplicaciones dan el mismo resultado para las autofunciones (recordemos que los autovalores son números y conmutan), y esto se puede extender a cualquier función de estado descomponible en las autofunciones de base. Podemos escribir:

Por eso decimos que estos operadores conmutan. Esto, que es natural en física clásica, es casi la excepción en física cuántica. Veremos que hay operadores importantes que no conmutan, y donde la parte derecha de la ecuación de arriba NO ES CERO.

Nos leemos!

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Publicado el 31 de Enero, 2016, 15:52

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En los posts anteriores vimos operadores lineales, en espacios vectoriales generales, y luego los aplicamos solo a los vectores ket de la notación de Dirac. Veamos hoy de aplicarlos a los vectores bra. Para eso, definimos su acción A LA IZQUIERDA de un bra, como:

Esto parece trivial en la notación de Dirac, y es uno de los aportes de esta notación. Podemos usar el operador en el medio:

Sin preocuparnos "hacia" que lado se aplica.

Pero es conveniente para entender todo este desarrollo, que nos detengamos en examinar esto en más detalle. Porque una cosa es un operador lineal actuando sobre vectores ket, y otra cosa diferente es un operador lineal sobre vectores bra.

Un vector bra es, de hecho, un funcional lineal en el espacio de los vectores ket. Un vector bra:

Es, una notación más detallada, el funcional:

Donde

Es el vector que le corresponde a ese funcional F según el teorema de Riesz. El punto representa el lugar para el argumento que tiene que recibir el funcional, un vector. Podemos definir la aplicación de un operador lineal A sobre un funcional F, como:

Para todo vector psi.

La parte derecha de esta ecuación satisface la definición de un funcional lineal del vector psi, y entonces define un nuevo funcional, que tomando la parte izquierda, podemos escribir:

De acuerdo con el teorema de Riesz, a este funcional le debe corresponder un vector ji tal que cumple:

Dado un A, el vector ji queda determinado unívocamente por el vector phi. Entonces, debe existir un operador

Tal que cumpla

Podemos escribir:

Como

Pero recordemos que:

Y que

Quedando

Esto vale para cualquier par de vectores phi, psi. Lo que dice, es que a cada operador líneal A sobre kets, le corresponde un operador lineal (que EXISTE forzosamente) actuando sobre bras. Este operador A-cruz se denomina ADJUNTO de A.

En los párrafos de arriba, la existencia del adjunto la deducimos del teorema de Riesz. En la notación de Dirac, se puede introducir el adjunto (directamente, sin probar que existe) como el operador que al operar A sobre los kets, el adjunto opera de la misma forma sobre los bra. Cumpliendo:

Cuando

Este camino, en la notación de Dirac, permite introducir el adjunto de un operador PERO NO DEMUESTRA su existencia.

Sabiendo que

Se sigue la propiedad del adjunto:

En el próximo post veremos algunas propiedades más de este operador, que va a ir cobrando importancia en este desarrollo que estamos siguiendo.

Nos leemos!

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Publicado el 23 de Enero, 2016, 7:31

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Siempre es interesante conocer la historia de una ciencia, saber de la vida de sus principales actores, los caminos que se tomaron, equivocados o no, el avance a veces tortuoso.

Richard Feynman - Wikiquote
http://es.wikiquote.org/wiki/Richard_Feynman

La física social explica el caos
http://www.revistaenie.clarin.com/ideas/tecnologia-comunicacion/fisica-social-explica-caos_0_351564980.html

The Wiki History of the Universe in 200 Words or Less
http://members.bellatlantic.net/~vze3fs8i/hist/histwiki.html

Manchester: Britain's greatest university? - Education News, Education - The Independent
http://www.independent.co.uk/news/education/education-news/manchester-britains-greatest-university-2101828.html

Física en la Ciencia Ficción: 50 soluciones a la paradoja de Fermi (11ª solución): La percolación
http://fisicacf.blogspot.com/2010/09/50-soluciones-la-paradoja-de-fermi-11.html

Amazon.com: Quantum Physics for Poets (9781616142339): Leon M. Lederman, Christopher T. Hill: Books
http://www.amazon.com/Quantum-Physics-Poets-Leon-Lederman/dp/1616142332

Quantum Catfight
http://math-blog.com/2010/09/14/quantum-catfight/

Niels Bohr’s Generalization of Classical Mechanics
http://people.bu.edu/pbokulic/papers/Boks-on-Bohr.pdf

The Overestimation of Niels Bohr - July 11, 2007 - The New York Sun
http://www.nysun.com/arts/overestimation-of-niels-bohr/58224/

YouTube - Quantum Mechanics - Indirect Observation
http://www.youtube.com/watch?v=Y8IQbL_DnGk

Science, Reason and Critical Thinking: On the Origin of the Modern Science Map
http://crispian-jago.blogspot.com/2010/09/on-origin-of-modern-science-map.html

Einstein: Superman or Super Stubborn?
http://math-blog.com/2010/09/03/einstein-superman-or-super-stubborn/

Suraz | The History of the Cell Phone (by LOOP)
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Olympia Academy - Wikipedia, the free encyclopedia
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Publicado el 1 de Enero, 2016, 7:46

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Veamos hoy un caso de usar lagrangiano para deducir las ecuaciones de movimiento, pero planteado en otras coordenadas. Queda todavía pendiente la demostración de que el cambio de coordenadas no afecta el algoritmo que usamos, pero veamos un ejemplo antes de encarar la demostración.

Sea una partícula sujeta a una vara, pero deslizando libremente sobre la misma, sin fuerzas exteriores. La vara va girando con velocidad angular uniforme, apoyada en un punto fijo:

Queremos deducir las ecuaciones de movimientos. Planteamos la energía cinética y potencial usando como coordenadas generalizadas el ángulo que forma la vara con el piso, y la distancia de nuestra partícula al punto de apoyo de la vara. La energía cinética es:

Ahora bien, hay algo que liga a la partícula a la vara, resultando que su velocidad angular es la misma que la vara. Esta tiene velocidad angular constante, llamémosla omega:

La lagrangiana en los anteriores posts la expresamos como la suma de T (energía cinética) y V (energía potencial), pero V es cero, porque no hay nada que forme un potencial (no estamos considerando la gravedad). Entonces queda que la lagrangiana es simplemente igual a T:

Recordemos la ecuación de Lagrange:

Una por cada coordenada. Pero debido a las ligaduras, tenemos una sola coordenada, la r. Queda

Lo que da

Quedando

Para resolverla e integrarla, hay que apelar a un truco. Multiplicamos ambos miembros por r-punto:

Esto es igual a:

Porque omega es constante y se puede sacar afuera. Integrando, queda

Siendo C1 una constante arbitraria originada por la integración simbólica. Esto es:

Curiosamente, esta ecuación se puede integrar directamente, quedando:

Fue algo arduo, pero llegamos a un resultado: expresar la coordenada r en función del tiempo, aplicando lo que sabemos de lagrangianas.

En próximos posts, más ejemplos de coordenadas varias, y alguna demostración de la invariancia por cambio de sistema de coordenadas.

Nos leemos!

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Publicado el 13 de Diciembre, 2015, 17:17

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Analicemos un poco lo que vimos en el anterior post. El tener una operación g tal que transforma S en S":

Merece una observación más detallada. El decir que S "se transforma" en S" significa que hay algo que distingue a S de S", por ejemplo las orientaciones de las velocidades  de los elementos en S son distintas de las orientaciones en S" PARA UN OBSERVADOR. Pero si entonces hay diferencias entre S y S" que pueden ser observadas, NO ESTAMOS en el caso de la simetría que queremos estudiar. Los observadores (o más general, los alrededores del sistema) VIOLAN la simetría por solo estar presentes, pero para mantener nuestra definición debemos remarcar que sus efectos en el sistema que los rodea es despreciable. Si no hubiera esos observadores o alrededores del sistema, por ejemplo, sino hubiera un sistema de coordenadas fijo a un laboratorio, S y S" serían el mismo sistema. Es decir, si tomamos a S aislado, sin tomar en cuenta observadores, laboratorios, alrededores, entonces S es indistinguible de S".

Esto nos lleva a pensar que podríamos decir que S y S" NO SON SISTEMAS DIFERENTES, cuyas diferencias solo se ponen de manifiesto por la relación de ruptura de simetría que imponen los observadores, laboratorios y alrededores, sino solamente dos estados del mismo sistema (de nuevo, diferentes estados con respecto a la ruptura de simetría que imponen otros elementos fuera de S y S"). Es interesante considerar que son estados diferentes. Por ejemplo, S" es S luego de transcurridos 10 minutos. Es simplemente un estado que evolucionó desde S. Pero igual decimos "otro sistema S"" porque bien podría ser que S" sea la reflexión especular de S, y esté compuesto de antimateria. Independientemente de esto (considerarlos dos sistemas diferentes, o verlos como dos estados del mismo sistema) lo importante es recordar de la definición que los resultados observables de ambos, son indistinguibles.

Pero sigamos adelante con la idea de S y S" como el mismo e indistinguible sistema. Entonces, resulta que la operación g mapea todos los estados posibles de S en estados de sí mismo. Entonces cada estado de S":

Es también un estado de S, digamos:

Lo mismo podemos decir para cada "nuevo" observable A", que es uno de los posibles observables de S "original".

Examinemos esto un poco más detenidamente. Sabemos que en cuántica, un vector puede ir cambiando en el tiempo, y que el hamiltoniano está involucrado en este cambio. En concreto, en el sistema S, podemos escribir la evolución en el tiempo de un vector inicial como:

Esto en la imagen de Schrodinger. Y en S" podemos escribir:

O sea, acá hay otro hamiltoniano H".

Tomemos un vector y su evolución en el tiempo de 0 a t, en S:

Y sea la evolución de su correspondiente vector (luego de g) en S":

Sin embargo, por lo expuesto, el vector de S":

Es también un posible vector de S, que evoluciona como:

(notemos que ahora el hamiltoniano es H en lugar de H")

Bien, para que los sistemas sean indistinguibles debe entonces pasar que para cualquier vector bra

Se cumpla:

Es decir, que las probabilidades de encontrar cualquier vector sean las mismas, no importa si tomamos la evolución en el tiempo desde un sistema o desde el otro. Si esto no fuera así, entonces ambos sistemas sería distinguibles observando su historia interna, porque cambiarían de forma distinguible sus vectores con el tiempo. Notemos que estamos trabajando con vectores en S", pero como el vector de partida en el tiempo 0 es, por lo discutido, también un vector en S, debe poder ser aplicado ambos hamiltonianos.

Exprensando lo de arriba como:

Si se tiene que cumplir para cualquier bra, esto implica una relación entre la expresión:

Y la expresión:

que sea tal que no altere el resultado de las probabilidades.

Encontrar la relación se complica un poco, porque en la mayoría de los casos el operador H es una matriz (mejor dicho, se representa como matriz en los espacios de dimensión finita o infinita numerable, dada una base). Así que el exponente no es un simple número imaginario. Pero podemos ver que se cumpliría la no distinguibilidad si:

(Habría que desarrollar el exponente de e por una matriz I diagonal con valores imaginarios).

Donde lambda es un número real. Bien podemos poner lambda igual a cero.

En el próximo post, examinaremos esto mismo pero desde la imagen de Heisenberg, donde lo que evolucionan en el tiempo no son los vectores sino los propios operadores. Es un interesante ejercicio de otra imagen que no siempre es bien conocida, pero nos habla de que el mismo sistema y conceptos pueden ser representados de distinta forma.

Nos leemos!

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Publicado el 12 de Diciembre, 2015, 17:18

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Veamos hoy algún ejemplo de operador lineal. Sea un espacio de vectores discretos representados como columnas, de N dimensiones. Entonces cada operador lineal puede ser representado como una matriz. Consideremos por ejemplo la ecuación:

Tomemos una base ortonormal :

De tal forma que podemos expandir cualquier vector expresándolo en esa base:

Y

Aplicando el operador M como en la ecuación original:

Habiendo reordenado los factores numéricos aj y bk. Si multiplicamos a la izquierda por

Queda

La expresión:

Es un número (resultado de multiplicar un vector bra por un vector ket, este último transformado por el operador lineal M), y podemos escribir:

Con lo cual formamos una matriz, variando los índices i y j. La ecuación toma la forma matricial:

A cada uno de los números

Se lo conoce como elemento de la matriz del operador M (en la base seleccionada)

Se pueden extender estas ideas a espacios de dimensión infinita con base ortonormal numerable. Pero se complica un poco porque tenemos que lidiar con el problema de la convergencia de las sumas infinitas.

Otras veces, los operadores lineales toman la forma de operadores diferenciales o integrales. Una ecuación de operador como:

Puede al principio parecer extraña, hasta que recordamos que un operador se define por su acción sobre un vector. La ecuación de arriba es en una expresión reducida de:

Para toda función de x:

La ecuación de arriba, tan extraña cuando se la ve sin la aplicación de la función, tiene importancia en lo que vamos a ver de física cuántica. De alguna forma, expresa una no conmutatividad: aplicar x y luego una derivada parcial NO ES LO MISMO que aplicar derivada parcial y luego multiplicar por x.

Y ya sabemos, pero nos falta explorar en detalle, que las funciones pueden ser tomadas como vectores de un espacio y hasta tener definido un producto interno apropiado (ver final del post 3)

Nos leemos!
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Publicado el 30 de Noviembre, 2015, 15:17

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Veamos de explorar el concepto de simetría física que estamos esbozando.
Sea g un operador que esperamos sea simétrico. ¿Qué significa esto? Bueno, sea un sistema cuántico:

Con observables:

Y algunos estados:

Aplicando g sobre el sistema S obtenemos nuevo sistema:

Donde existen los correspondientes observables:

Y donde existen los correspondientes estados:

Esperamos de un operador simétrico QUE NO PRODUZCA efectos observables. Es decir, que cualesquiera sean los estados originales y el observable A, al menos se obtenga:

Esto es, que las probabilidades de observación se mantengan como antes de la transformación. Estas probabilidades son las que dan sentido físico a la descripción de un sistema. Si las probabilidades se mantienen igual, antes y después de la transformación, entonces los sistemas no son distinguibles por observación.

Hay dos formas de interpretar la transformación de simetría: como pasiva o como activa. La interpretación activa significa cambiar el sistema material S en OTRO sistema material S". En la interpretación pasiva los sistemas materiales son los mismos, sólo cambia su representación de coordenadas. Por ejemplo, en una interpretación activa, llegar a S" significa GIRAR el sistema S original en un ángulo alfa. En una interpretación pasiva, el sistema material es el mismo, lo que GIRA es el sistema coordenado, en un ángulo menos alfa.

Si tomamos la interpretación activa, podemos definir simetría como:

G es un grupo de simetría de S, si para cualquier g perteneciente a G existe otro sistema material S" = gS y también un operador funcional Fg que para cada observable A se obtiene otro observable:

Donde midiendo A" en S" se obtienen las mismas distribuciones de probabilidad que midiendo A en S.

En el próximo post seguiremos comentando esta definición y consecuencias.

Nos leemos!

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Publicado el 27 de Noviembre, 2015, 13:20

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Llegamos al final del relato de Dirac:

My own contributions since these early days have been of minor importance and I do not think I need mention any details except to say that after the establishment of the existence of the positron I was led to think of a new particle, the magnetic monopole. There is some very beautiful mathematics underlying this monopole and it would make people quite happy if it was found that monopoles do exist in nature so that this beautiful mathematics has an application. However, I do not have any fears about this theory if the monopoles are not discovered. If this mathematics is found not to apply to nature it will not really matter because this work is quite isolated and one can abandon it without affecting the main ideas of the quantum theory.

Según Dirac, la existencia de este monopolo implicaría necesariamente la cuantización de la carga eléctrica. No he leído ese "paper" ni conozco su argumento. Ver:

https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_monopole

Dirac llama la atención sobre la diferencia de esos días excitantes de desarrollo de la física con nuevas ideas, y el estado de la ciencia en momentos actuales:

It is when one is challenging the main ideas that one has the great excitement and the great fears that something will go wrong and this sort of excitement has not recurred since those early days. One might call the period from 1925 onward for a few years the Golden Age of Physics when our basic ideas were developing very rapidly and there was plenty of work for everyone to do. The limitation of the ideas that were established in this Golden Age have now become clear and we are all hoping that a new Golden Age will appear, triggered off by some very drastic new idea and leading once again to a period of rapid development with great hopes and fears.

El desarrollo del modelo estándar y la teoría de cuerdas pueden verse como nuevas ideas, pero no alcanzan el nivel de "salto" que dieron la relatividad einsteniana y la cuántica. Pueden verse como una evolución de esas ideas, más que como nuevas bases fundamentales. Tal vez el descubrimiento de la energía y la materia oscura, como enigmas modernos, sea el impulso que hace falta para plantear nuevas ideas en las bases de la física. Otra posible fuente de avance (que impulsa aún a las teorías de cuerdas y aledaños) es la pendiente conciliación entre relatividad y cuántica.

Así terminamos con este recorrido por el discurso de Dirac.

Nos leemos!

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Publicado el 21 de Noviembre, 2015, 16:20

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Continua Dirac, comenzando el fin de su relato:

Those were the early days in which the basis for quantum mechanics was established. The foundations were laid for a theory, which has been found to be very good theory for explaining all atomic events even when one does not inquire into phenomena involving distances which are too small or energies which are too high. When one proceeds farther along these lines, one steps into new difficulties and one feels that the basic ideas necessary to escape from these difficulties have not yet been obtained.

No lo menciona directamente, pero Dirac parece referirse a los problemas de los infinitos en el desarrollo de la teoría.

The work that has been done since the establishment of these basic ideas has been important work, but not quite the same fundamental standard. People have been working out the consequences of the early ideas and examining how far they will go before the difficulties become serious. The difficulties stem from the fact that the interaction between intermediary particles and fields is really too violent for a satisfactory theory to be set up. One has to adopt all sort of tricks to make the theory go farther. One has to set up theories which are more or less patch work and do not have a fundamental basis.

Supongo que uno de los trucos a los que se refiere es la renormalización, ver

https://en.wikipedia.org/wiki/Renormalization

Sigue Dirac:

The present-day situation is that we still have these fundamental difficulties. It would need someone like a new Heisenberg to find the escape from them. The experimental people are making steady progress quite underterred by theoretical difficulties. They go on accumulating their evidence and challenging the theoretical physicists to produce theories which will fit it. The trouble here is that the experiments are extremely expensive but, in spite of that, experimental work is stimulated by national rivalry and work is going ahead in various centers.

Recordemos que este discurso de aceptación del premio Oppenheimer fue escrito en 1971. En el próximo post alcanzamos el final del texto.

Nos leemos!

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Publicado el 15 de Noviembre, 2015, 8:02

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En esta incursión sobre la teoría de Dirac, en términos modernos, ya estuvimos visitando temas matemáticos relacionados con la representación de conceptos físicos, como el vector de estado. Apareció la separación de Dirac, en vectores bra y ket, vimos su correspondencia con el teorema de Reisz y una demostración en el caso de base finita (curiosamente, Dirac tuvo que dar como supuesta esa correspondencia), y tenemos una multiplicación de vectores con ciertas cualidades. Todavía tenemos poco de física, pero ya va a ir apareciendo. Lo principal de la elección de vectores como modelo es la necesidad de usar algo que permite representar la superposición de estados, un tema básico de la física cuántica. Ver Superposición de Estados, por Dirac.

Estuvimos viendo en el anterior post al espacio dual, de funcionales lineales sobre el espacio de vectores original. Siempre cuesta un poco no ver al espacio dual como igual al espacio original. Pero son distintos, a pesar de la correspondencia de vectores que vimos. Introduzcamos hoy otro concepto, fundamental en la teoría hacia la que vamos, que es el de operador lineal. Un concepto matemático pero que en la teoría de Dirac toma el papel físico de representar una variable dinámica del sistema. Pero primero, veamos el aspecto matemático.

Un operador sobre un espacio vectorial lo que hace es mapear un vector a otro vector. Mientras que un funcional mapeaba un vector a un número, un operador es una función de vector a vector. Si

Es un vector, y

Es un operador, entonces:

Es un vector. Un operador queda definido especificando su acción resultado sobre cada vector del espacio, o por lo menos, de su dominio (bien podríamos encontrar un operador que no se aplica a todo el espacio vectorial, sino sólo a un subconjunto de vectores).

Nos interesan los operadores lineales (pues como veremos, estos operadores permiten conservar el principio de superposición lineal). Un operador es lineal si satisface:

Es suficiente con mostrar que un operador es lineal sobre una base de vectores, pues luego, por su propia linealidad, esta propiedad se extiende a cualquier combinación lineal de esa base, por ende, a todos los vectores del espacio generado por esa base.

Para afirmar la igualdad de dos operadores:

Basta con mostrar la igualdad de sus resultados sobre cada vector del dominio:

Podemos definir la suma de operadores:

Y la multiplicación de operadores:

Es fácil ver que los resultados de la suma y la multiplicación de operadores lineales son a su vez, operadores lineales. También se ve, de la definición de multiplicación, que su aplicación es asociativa, esto es:

Pero, notablemente, y esto es una característica de importancia en la teoría cuántica,  no necesariamente AB es igual a BA, es decir, la multiplicación de operadores no necesariamente es conmutativa.

En el próximo post veremos algún ejemplo concreto de operador lineal. Pero ya vimos que los operadores transforman vectores en otros vectores. Por eso la teoría de Dirac se llama "teoría de transformación".

Nos leemos!

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Publicado el 14 de Noviembre, 2015, 18:11

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Ya estamos cerca del descubrimiento que confirma las ideas de Weyl y Oppenheimer:

It needed some years of development by the experimenters before the fact of the existence of positrons was established. Blackett was really the first to obtain hard evidence for the existence of a positron but he was afraid to publish it. He wanted confirmation, he was really over-cautious. It was left to Anderson to first publish the evidence for the existence of a positron and to scoop the credit for the discovery of the positron.

No conocía el trabajo de Blackett. Gracias a su descubrimiento, Anderson ganó el Premio Nobel en 1936. Blackett igual ganó el Nobel más tarde, en 1948, por sus trabajos con la cámara de niebla y los rayos cósmicos. Fue en las primeras de esas investigaciones donde detectó la existencia de positrones, con espirales de a pares con las de los electrones.

Comenta Dirac sobre la situación:

When one thinks back to these days, one finds that is really remarkable how unwilling people were to postulate a new particle. This applies both the theoretical and experimental workers. It seems that they would look for any explanation rather than postulate a new particle. It needed the most obvious and unassailable evidence to be presented before them they were reluctantly forced to postulate a new particle. The climate has completely changed since those early days. New particles are now being postulated and proposed continually, in large numbers. There are a hundred or more in current use today. People are only too keen to publish evidence for a new particle, whether this evidence comes from experiment or from some ill-established theoretical idea.

Creo que fue Fermi quien dijo "si hubiera sabido de la existencia de tantas partículas, me hubiera dedicado a la botánica". Es curioso como Dirac se refiere a "ill-established theoretical idea", siendo él mismo un gran físico teórico. Algo no le gustaba de esos días en el desarrollo de las teorías.

It was a very difficult first step to accept the positron. That was followed closely by the discovery of the neutron, confirming Rutherford's hypothesis of several years earlier, and afterwards the neutrino and various mesons were discovered.

Ya falta poco para terminar este comentario rápido de la conferencia de Dirac.

Nos leemos!

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Publicado el 9 de Noviembre, 2015, 5:54

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En la teoría del electrón de Dirac, aparece una partícula con carga eléctrica positiva. Dirac propone una ingeniosa teoría de "agujeros" en un mar de electrones, pero los identifica con los protones y no puede explicar su diferencia de masa. Hermann Weyl sale con la idea de que los "agujeros" deberían tener la misma masa que los electrones, pero sin aportar algo físico, solo basado en matemáticas. Y aparece Oppenheimer:

At this stage in the development of the theory, Oppenheimer made a contribution. Oppenheimer accepted Weyl's conclusion that the holes had to have the same mass as the electrons and faced the physical reality that the holes were not observed in practice. Oppenheimer just said that there was some reason, which we do not understand, why the holes are never observed. He agreed that the holes could not have anything to do with protons, so there had to be some mysterious reason why they did not occur in nature.

Interesante la pregunta de Oppenheimer: ¿dónde están esas partículas? Esa es la pregunta que Weyl no se hizo, y fue algo que le llamó la atención a Dirac.

Well, Oppenheimer was really very close to the mark with this hypothesis. The reason why the holes were not observed was simply that the experimental people had not looked for them in the right place, or if they had looked, they had not recognized what they saw.

Curiosamente, no es que se habían observado, sino que habían aparecido pero nadie las tomó en cuenta. Leamos a Dirac:

I can remember in these early days, even somewhat before this theory of electrons and protons, when talking with people who were working in the Cavendish and were  observing tracks of particles in a magnetic field, they said that they sometimes observed an electron going into the source. They treated these occurrences as coincidences. Nobody thought it worthwhile to look more closely into them. The ideas of there being a new particle coming out from the source, instead of an ordinary electron going into the source, was completely foreign to the accepted mode of thought of those days. I do not think anybody had the remotest suspicion of such possibility. They had the evidence before their eyes for these new particles with positive charge and the same mass as the electrons, but they were just unable to appreciate what they saw.

Es notable que existieran estos experimentos, y como nadie esperaba una partícula con carga positiva, no se la reconoció como tal. El Cavendish se perdió la gran oportunidad de descubrir a los positrones.

Nos leemos!

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Publicado el 8 de Noviembre, 2015, 18:16

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A pesar de tener la teoría correcta, Dirac al principio no encuentra la partícula que tiene carga positiva en su ecuación.

I searched about for some time for some cause that would explain it. I hoped that perhats the Coulomb force between electrons might lead to some relantionship between all the electrons in the negative energy states which would lead to a difference in mass, though I could not see how it could come about. But still, I thought there might be something in the basic idea and so I published it as a theory of electrons and protons, and left it quit unexplained how the protons could have such a different mass from the electrons.

Claro, la única partícula conocida entonces con semejante carga positiva era el protón. Dirac deja escapar el descubrimiento de la antimateria. Pero alguien asoma con otra idea:

This idea was seized upon by Herman Weyl. He said boldly that the holes had to have the same mass as the electrons. Now Weyl is a mathematician. He was not a physicist at all. He was just concerned with the mathematical consequences of an idea, working out what can be deduced from the various symmetries. And this mathematical approach led directly to the conclusion that the holes would have to have the same mass as the electrons. Weyl just published a blunt statement that the holes must have the same mass as the electrons and did not make any comments on the physical implications of this assertion. Perhaps he did not really care what the physical implications were. He was just concerned with achieving consistent mathematics.

Curiosamente, el "más matemático de los físicos", Dirac, descuida la idea de la simetría, traida de nuevo por Weyl.

En el próximo post, veremos aparecer a un físico, continuando las ideas iniciales de Weyl.

Nos leemos!

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Publicado el 7 de Noviembre, 2015, 14:29

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Termino en este post, traducción y comentario de esta sección de Dirac en su clásico Principles of Quamtum Mechanics. Leo:

The assumption of superposition relationships between the states leads to a mathematical theory in which the equations that define a state are linear in the unknowns. In consequence of this, people have tried to establish analogies with systems in classical mechanics, such as vibrating strings or membranes, which are governed by linear equations and for which, therefore, a superposition principle holds. Such analogies have led to the name 'Wave Mechanics' being sometimes given to quantum mechanics. It is important to remember, however, that the superposition that occurs in quantum mechanics is of an essentially different nature from any occurring in the classical theory, as is shown by the fact that the quantum superposition principle demands indeterminacy in the results of observations in order to be capable of a sensible physical interpretation. The analogies are thus liable to be misleading.

Asumir las relaciones de superposición entre los estados nos lleva a una teoría matemática en la cual las ecuaciones que definen un estado son lineales en las incógnitas. Como consecuencia de esto, tratamos de establecer analogías con sistemas de la mecánica clásica, como las cuerdas vibrantes o membranas, que son gobernadas por ecuaciones lineales, y para las que, entonces, se cumple un principio de superposición. Pero es importante recordar que la superposición que aparece en la mecánica cuántica es esencialmente de una naturaleza diferente de cualquiera que aparezca en la teoría clásica, como se muestra por el hecho de que el principio de superposición cuántico demanda indeterminación en los resultados de las observaciones si queremos tener una interpretación física adecuada. Las analogías son engañosas.

Sí, ese es el punto. La teoría clásica ofrece modelos lineales, como las ondas, pero no debemos confundirlos con el modelo que ofrece la cuántica.

Conclusión: el principio de superposición de estados es fundamental a cualquier teoría cuántica, y es diferente de cualquier modelo clásico. La superposición de estados lleva a probabilidades de resultados, mas que a resultados certeros.

En Matemáticas y Física Cuántica y en Teoría de la Transformación, un desarrollo moderno, exploro esos modelos propuestos, donde la superposición de estados y su linealidad ocupan un lugar central en la teoría.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 1 de Noviembre, 2015, 17:11

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Hemos visto en el anterior post, que tanto en matemáticas como en física, hay estructuras, con elementos y relaciones. Ejemplos: los puntos en un plano y sus distancias, o un par de electrones y su fuerza de atracción mutua. Y hay transformaciones, funciones que asignan a cada elemento de la estructura un elemento transformado:

f(x) = y

Ejemplo: la rotación de un plano alrededor de un punto. Y hay transformaciones que dejan invariables algunas relaciones, como la rotación del plano que deja invariante las distancias. Pero no solo dejan invariantes las relaciones, sino también la forma de expresarlas, sus fórmulas. Decimos que esas relaciones son invariantes ante un grupo de transformaciones (es fácil demostrar que las transformaciones de tal tipo forman un grupo matemático), y y llamamos a ese grupo el grupo de simetría de nuestra estructura.

Acá no estamos interesados en los grupos abstractos matemáticos, sino en los grupos de simetría que operan sobre sistemas físicos. La pregunta es: dado un sistema físico S y un grupo de simetría G ¿cuáles son las consecuencias para la descripción de tal sistema? ¿qué nos puede decir la existencia de ese grupo G sobre el carácter físico de S?

Tenemos que poner más en concreto qué vamos a entender como simetría en física. Sea un sistema S, con elementos físicos (como electrones y otras partículas). ¿Cuáles relaciones nos importan? Para lo que vamos a tratar, nos importan las ecuaciones del movimiento, que describen la evolución del sistema, y las reglas de la mecánica cuántica. Si ambos conjuntos de relaciones se mantienen ante un grupo de transformaciones G, tendremos un grupo de simetría.

¿Qué cualidad principal tendrá el resultado de aplicar una de las transformaciones de G al sistema S? Pues que no podremos distinguir entre S y el transformado S' por medio de observaciones. La atracción entre dos electrones "transformados" será la misma que antes. Sus ecuaciones de movimiento no cambiarán de forma. Las relaciones físicas no cambian, solamente su expresión en coordenadas o sistemas de medidas.

Veremos en el próximo post un ejemplo rápido de esto aplicado a un sistema de estados cuánticos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 31 de Octubre, 2015, 15:07

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Dirac explica que lo que permite entonces calcular la teoría, no son resultados determinados, sino probabilidad de resultados:

In this way we see that such a drastic departure from ordinary ideas as the assumption of superposition relationships between the states is possible only on account of the recognition of the importance of the disturbance accompanying an observation and of the consequent indeterminacy in the result of the observation. When an observation is made on any atomic system that is in a given state, in general the result will not be determinate, i.e., if the experiment is repeated several times under identical conditions several different results may be obtained. It is a law of nature, though, that if the experiment is repeated a large number of times, each particular result will be obtained in a definite fraction of the total number of times, so that there is a definite probability of its being obtained. This probability is what the theory sets out to calculate. Only in special cases when the probability for some result is unity is the result of the experiment determinate.

De esta manera vemos que tal drástica separación de las ideas comunes como la suposición de las relaciones de superposición entre estados es posible solamente tomando en cuenta la importancia de la perturbación que acompaña una observación y de la indeterminación que aparece en el resultado de la observación. Cuando una observación es hecha n cualquier sistema atómico que está en un estado dado, en general el resultado no será determinado, esto es, si el experimento es repetido varias veces bajo idénticas condiciones pueden obtenerse varios diferentes resultados. Sin embargo, es una ley de la naturaleza que si el experimento se repite una gran cantidad de veces, cada resultado particular será obtenido en una fración definida del total de número de veces, así que hay una probabilidad definida de esos resultados. Esta probabilidad es lo que la teoría nos permite calcular. Solamente en casos especiales cuando la probabilidad para cierto resultado es la unidad, puede entonces ser determinado el resultado de un experimento.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 26 de Octubre, 2015, 6:40

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Llegamos a la característica física principal del modelo de superposición de estados. Por más que tengamos superposición de estados, ésta no se expresa directamente, sino a través de resultados que dependen de la probabilidad. Leamos a Dirac:

The non-classical nature of the superposition process is brought out clearly if we consider the superposition of two states, A and B, such that there exists an observation which, when made on the system in state A, is certain to lead to one particular result, a say, and when made on the system in state B is certain to lead to some different result, b say. What will be the result of the observation when made on the system in the superposed state? The answer is that the result will be sometimes a and sometimes b, according to a probability law depending on the relative weights of A and B in the superposition process. It will never be different from both a and b. The intermediate character of the state formed by superposition thus express itself through the probability of a particular result for an observation being intermediate between the corresponding probabilities for the original states, not through the result itself being intermediate between the corresponding results for the original states.

La naturaleza no clásica del proceso de superposición se ve claramente si consideramos la superposición de dos estados, A y B, tales que existe una observación tal, que cuando el sistema está en estado A, resulta un resultado particular, digamos a, y cuando la observación se hace en un sistema en estado B conduce a otro resultado diferente, digamos b. ¿Cuál será el resultado de la observación cuando se hace sobre un sistema en un estado superpuesto? La respuesta es que el resultado será algunas veces a y otras veces b, de acuerdo a una ley de probabilidad que depende de los pesos relativos de A y B en el proceso de superposición. Nunca será el resultado diferente de a y b. El caracter intermedio del estado formado por la superposición se expresa a sí mismo a través de la probabilidad de un resultado particular para una observación que es intermedio entre las correspondientes probabilidades de los estados originales, no como un resultado que en sí mismo es intermedio entre los correspondientes estados de los estados originales.

Es decir, se obtienen resultados "puros", no mezclas de los estados originales. La superposición de estados se expresa mediante la probabilidad de los resultados "puros", más que por un resultado intermedio, como podría ser el promedio entre resultado a y resultado b. Una moneda cuántica, en superposición de estados cara/ceca, cuando interviene en una observación, resulta en cara o resulta en ceca, pero nunca en una mezcla de resultados.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 25 de Octubre, 2015, 7:42

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Dirac se encuentra con el problema de la energía negativa en su teoría del electrón relativista. Veamos hoy cómo encuentra una solución, y un nuevo problema:

I found that it was not really very hard to see a way out of this difficulty. The idea was suggested by the chemical theory of valency in which one is used to the idea of electrons in an atom forming closed shells which do not contribute at all to the valency. One gets a contribution from an electron outside closed shells and also a possible contribution coming from an incomplete shell or a hole in a closed shell.

En química, esto sucede porque los electrones son fermiones y obedecen el principio de exclusión de Pauli. Dirac tuvo suerte en encontrar esta solución trabajando sobre un fermión como el electrón. No hubiera encontrado la misma solución en caso de trabajar con un bosón, inicialmente, que no forman "closed shells".

One could apply the same idea to the negative energy states and assume that normally all the negative energy states are filled up with electrons, in the same way in which the closed shells in the chemical atom are filled up. In that way an ordinary positive energy electron would not be able to jump into a state of negative energy. However, one would expect that under certain conditions there might be a hole in the negative energy states and one had to get an interpretation for these holes.

Es muy original la idea de los agujeros, digna de la imaginación de Dirac. Y veamos también cómo él se inclina por considerar que electrones y agujeros son "lo mismo", son simétricos en cualidades. Estuvo a punto de predecir la existencia de una partícula nueva, que hoy llamamos positrón. Pero no fue ese el paso que dió. Se vió influido por lo que se conocía entonces: sólo había protones como partículas de carga positiva.

One can see at once that such a hole will appear as a particle. It will be a particle with a positive charge and a positive mass. From the beginning when I had this idea, it seemed to me that there would be symmetry between the holes and the electrons and therefore the holes must have the same mass as the electrons. How could one interpret the holes? They would be particles of positive charge. The only particles of positive charge known at that time were protons. For decades physicists had been building up their theory of matter entirely in terms of electrons and protons. They were quite satisfied to have just these two basic particles. The electrons carry the negative charge, the protons carry the positive charge. That was all that was needed. Rutherford had put forward some tentatives ideas that there might be a third particle - a neutron. That was a speculation which people talked about occasionally, but nobody took it very seriously.

Vemos que tampoco los neutrones había pasado de ser un modelo teórico hasta entonces.

On this basis, that the only particles in nature are electrons and protons, it seemed to me that the holes would have to be protons. And that was a great worry because the protons have a very different mass from the electrons. They are very much heavier. How could one explain this difference in mass?

El explicar la diferencia de masa es, digamos, el problema equivocado, vamos a verlo en el próximo post.

Nos leemos!

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Publicado el 19 de Octubre, 2015, 6:19

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Veamos hoy una dificultad que encontró Dirac al plantear la teoría relativista en cuántica:

How did the further development of quantum theory proceed after this stage? We had a relativistic equation which worked. It gave agreement with experiment to high accuracy for the simple example of the hydrogen atom. It was not long before a new difficulty appeared. Namely, working with this equation, one found that the electron had states of negative energy. For a particle to be in a state of negative energy, of course, is something which appears quite impossible. From an experimental point of view, it is certainly never observed. So it would seem that one had conquered one difficulty only to plunge into another.

Dirac explica que no es infrecuente esta situación en el avance de la ciencia:

It frequently happens with the development of science that, when one gets over one difficulty, one is immediately faced with a newer difficulty an dyou might at first sight think that no real progress has been made. But real progress is made because the new difficulty is more remote thant the previous one .If one looks into things more closely, one usually sees that the new difficulty was really there all the time. It was just hidden previously and swamped by a more crude difficulty and, when the cruder difficulty is explained away, people focus their attention on the new difficulty.

Pero esta vez, la dificultad no era nueva, solo que antes, en teorías no cuánticas, no tenía relevancia:

When this new difficulty of the negative energy states appeared it was an example of a difficulty that was not really new; it was there all the time. In any relativistic theory this difficulty occurs, even in the old classical theory of Lorenz. But it didn't matter under those conditions because an electron could then never jump into one of the states of negative energy. There was continuity which prohibited such jumps. However, with the new Quantum Theory, such jumps could occur and the difficulty could not be ignored in the way in which it had been previously.

En el siguiente post veremos cómo Dirac logra sortear esta dificultad, de una forma muy original.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 13 de Octubre, 2015, 6:50

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Veamos una explicación de Dirac a un aparente error en una fórmula, en su primer trabajo sobre la ecuación relativista que lleva su nombre:

If you look up my first work on that subject (I do not know if anybody does that nowadays except the historians of science), there is one thing which you can hardly fail to notice. There is an equation which I wrote down which contains the following combination of terms:

w2/c2 + p21 + p22 + p23

Now, when you look at that, if you know anything at all you will say that that is wrong. There should be minus signs here before the p's. So, you will conclude that there was a misprint in the paper. But it was a very prominent misprint and you will perhaps wonder how I could have been so careless as to overlook it. I was a careful proof-reader in those days.

Resulta que no era un error de imprenta. sino parte de lo que se habituaba en aquel entonces. Dirac explica:

Well, the explanation of that is that it is not really a misprint but the appearance of that equation is again the expression of a fear. This work was done in the 1920's when the whole idea of relativity was still quite young. It did not make a splash in the scientific world until the end of the first world war and then it made a very big splash. Everyone was talking about relativity, not only the scientists, but the philosophers and the writers of columns in newspapers....

Fue a consecuencia de la confirmación de la teoría general al observar un eclipse, observación hecha por británicos para confirma la teoría de un alemán, luego de la primera guerra. Por alguna causa, esa noticia causó sensación en la prensa, y de alguna manera llegó a conocimiento de un Dirac aún estudiante. Fue su comienzo en el tema relatividad: desde entonces siempre trató de encontrar expresiones compatibles con las simetrías que muestra esa teoría.

... I do not think there has been any other ocassion in the history of science when an idea has so much caught the public interest as relativity did in those early days, starting from the relaxation which ocurred with the ending of a very serious war.

Now the basic idea of relativity was a symmetry between space and time. But this symmetry is not quite perfect symmetry. In order to  make it perfect, one has to change the signs in some of the equations. One can bring about that necessary change in sign by introducing the root of minus 1 into certain physical quantities. (Wherever we have a four-vector we have to introduce the root of minus 1 in certain coordinates.) Referring to quantities which have been doctored in this way, one has complete symmetry between space and time. The early workers in relativistic theory were very much impressed by the symmetry between space and time and wanted to cling to it - to hold onto it at all costs. So they frequently used this notation containing the root of minus 1, just to bring in the complete symmetry. The result was expressions like the one above. This notation was quite common. I see in my early notes that I was using it all the time. It was so common that people did not bother to mention it; whenever they used it in a paper they let it be understood. One could see from the signs in the expression whether the root of minus 1 should be inserted in the basic variables or not and there was no need to waste time explaining it. So, what appears to be a misprint nowadays, when people no longer feel the need to cling to the symmetry of space and time, was not a mistake, but was a historical consequence of the way in which relativity developed.

Minkowsky debe haber sido el primero en proponer el uso de la raíz de menos 1 para mantener una simetría mejor. Recientemente, en el Goldstein de Mecánica Clásica, encuentro que este autor defiende el uso de los signos menos explícitos, antes de llegar al uso de i (la raíz imaginaria de menos 1).

Este es un ejemplo pequeño, pero también habla de lo difícil que puede ser interpretar los "papers" clásicos, donde las notaciones no son las modernas o habituales en estos días.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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