Angel "Java" Lopez en Blog

Ciencia


Publicado el 29 de Mayo, 2016, 15:37

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Sigamos explorando la formulación matemática del espectro continuo. En el anterior post, por analogía a las sumatorias del caso discreto, llegamos a las integrales:

Para expresar cualquier función de onda de las coordenadas, donde los coeficientes son:

Recordemos: los coeficientes af ahora dependen de f, son como funciones a(f). Y por cada autovalor f posible en el espectro continuo, hay una autofunción:

De nuevo, aun una autofunción asociada a cada autovalor f.

Para que estas relaciones integrales se cumplan, basta con la condición:

Donde delta es la "función" de Dirac. Pongo función entre paréntesis porque tiene propiedades que no pueden asimilarse a una función normal. Fue recién a mediados del siglo pasado que pudo incorporarse formalmente a los conceptos matemáticos. Esa función vale 0 para un argumento distinto de 0, y vale infinito su argumento igual a cero, pero con la condición:

Es un aporte original de Dirac. La idea es que esta función, sobre un rango infinito de valores reales, da siempre 0, excepto para el origen.  Combinada en la integral anterior, es la forma de expresar la "ortogonalidad" de dos autofunciones de onda: su multiplicación integral da 0, si son distintas, da 1 si son iguales. Con esta nueva relación, desarrollemos:


Vean que el "f interior" al integral, quedo como f" (f prima) para diferenciarla da la "f exterior". Se sigue

Como se quería demostrar.

Este es nuestro primer encuentro con la función de Dirac. Resulta como "paso al límite" de las condiciones de ortogonalidad que teníamos para las autofunciones en el caso discreto. Lo importante ahora es que tenemos una base matemática para tratar el caso discreto y el continuo.

Nos leemos!

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Publicado el 28 de Mayo, 2016, 19:29

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Hay una clase de operadores muy importante en física cuántica. Ya vimos los operadores adjuntos en el post. Recordemos, el operador adjunto de un operador cumple:

Para cualquier par de vectores. Hay operadores que son igual a su adjunto, es decir, que cumplen:

Se llaman operadores autoadjuntos. Tambien se los llama hermíticos, como a las matrices hermíticas donde se cumple:

Justamente, porque cuando un operador autoadjunto puede expresarse como una matriz (lo que no siempre pasa, hay espacios de dimensiones infinitas), sus matrices son hermíticas.

Hay un notable teorema, que permite identificar operadores hermíticos. Si se cumple

Para todos los vectores psi, entonces se sigue que:

Para todos los pares de vectores, y entonces el operador A es hermítico. Para demostrarlo observemos que si:

Para valores a, b y vectores phi1, phi2 cualesquiera, entonces desarrollando:

Pero se sabe que:

Si seguimos desarrollando queda:


Pero esto, por hipótesis es igual a su propio conjugado:

Entonces es un valor real. Los dos primeros términos de la suma son también reales, porque por hipótesis tanto

Como

Son reales, y sus factores, los valores absolutos de a y b son también reales. Veamos los dos últimos términos:

Tomando a=b=1, queda:

Tomando a=1, b=i (la raíz de menos uno), tenemos:

Sacando i de esta ecuación y sumándola con la anterior, obtenemos:

Que es lo que queríamos demostrar.

Escribí que este teorema es notable, porque partiendo de una condición particular logra demostrar una condición más general. Esto es parte de la magia de usar números complejos: no existe un teorema similar si empleamos coeficientes reales. Los números complejos tienen una estructura que permite que este tipo de relaciones aparezca.

Nos leemos!

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Publicado el 6 de Mayo, 2016, 6:16

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Mandelstam variables - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelstam_variables

(4) Rodney Brooks's answer to What is wavefunction collapse in the context of quantum mechanics, and how does (or doesn't) it relate to consciousness? - Quora
http://www.quora.com/What-is-wavefunction-collapse-in-the-context-of-quantum-mechanics-and-how-does-or-doesnt-it-relate-to-consciousness/answer/Rodney-Brooks-3

Weyl Fermion: Long-Sought Massless Particle Finally Observed | Physics | Sci-News.com
http://www.sci-news.com/physics/science-weyl-fermion-massless-particle-03037.html

Bohr's Correspondence Principle (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/bohr-correspondence/

Quantum jumps and classical harmonics
http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/ajp/70/3/10.1119/1.1445405

The Golden Age Of Quantum Computing Is Upon Us (Once We Solve These Tiny Problems) | Fast Company | Business Innovation
http://www.fastcompany.com/3045708/big-tiny-problems-for-quantum-computing

Derivation of the postulates of quantum mechanics from the first principles of scale relativity
http://luth.obspm.fr/~luthier/nottale/arJPhysA07.pdf

www.math.ru.nl/~landsman/Born.pdf
http://www.math.ru.nl/~landsman/Born.pdf

(238) What is Born's Postulate? - Quora
http://www.quora.com/What-is-Borns-Postulate

Correspondence principle - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Correspondence_principle

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Publicado el 1 de Mayo, 2016, 7:47

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Veamos hoy de demostrar la invarianza de la traza de un operador ante un cambio de base. La demostración de este post se limitará a base finita, digamos, de n vectores ortonormales.

En este caso, recordemos que para operador lineal A se tiene:

Es un número, dado dos elementos de la base en consideración. Es decir, en esa base, nuestro operador se puede representar como una matriz de números. Nunca lo vimos, pero se tiene entonces que:

Esto lleva a expresar la traza que presentamos en el anterior post como:

Como los Aij son números, se pueden "mover hacia la izquierda" y los bra se pueden "juntar" con los ket:

Como los vectores son ortonormales, cuando j es distinto de i el producto de ambos es cero, y cuando j es igual a i, el producto es 1. Queda que la traza es:

Es un poco largo, pero sencillo, demostrar entonces que el producto de operadores:

Tiene entonces una matriz (siempre tomando una base fijada de antemano para expresar las tres matrices):

La traza de C es:

De forma similar, se ve que:

Pero ambas dobles sumas SON LA MISMA SUMA, entonces queda:

Que es una importante propiedad de la traza. Sabiendo este resultado, y conociendo la asociatividad de operadores, vemos que la traza es invariante antes cambios del tipo:

Pues queda:

Y se sigue:

¿Cuándo se da una transformación así? Cuando cambiamos de base ortonormal. El operador P se puede ver como cambio de base. De nuevo, es una demostración larga pero sencilla, que nos lleva a enunciar: la traza del operador A es invariante ante cambios de base. Hay que tener cuidado ahora en distinguir el operador A, de su expresión como matriz A EN UNA BASE DADA. Y si queremos expresar la traza para una base infinita numerable, hay que estudiar la convergencia de la suma infinita. Si tenemos una base infinita no numerable, supongo que habrá que estudiar la convergencia de una integral. Veremos esos casos llegado el momento.

Nos leemos!

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Publicado el 30 de Abril, 2016, 11:06

Siempre vuelvo a leer el excelente "Quamtum Field Theory I", de Zeidler. Y encuentro hoy una cita de Freeman Dyson, más extensa que la que ya había comentado en Richard Feynman por Freeman Dyson. Se refiere a la época de los treinta del siglo pasado, cuando Feynman se concentra en estudiar por su cuenta la mecánica cuántica de su tiempo:

Dick Feynman (1918-1988) was a profoundly original scientist. He refused to take anybody's word for anything. This meant that he was forced to rediscover or reinvent for himself almost the whole physics. It took him five years of concentrated work to reinvent quantum mechanics. He said that he couldn't understand the official version of quantum mechanics that was taught in the textbooks and so he had to begin afresh from the beginning. This was a heroic enterprise. He worked harder during those years than anybody else I ever knew. At the end he had his version of quantum mechanics that he could understand...

Pero Feynman fue más allá con su versión, logrando resolver problemas más fácilmente:

The calculations that I did for Hans Bethe, using the orthodox method, took me several months of work and several hundred sheets of paper. Dick could get the same answer, calculating on a blackboard, in half an hour...

In orthodox physics, it can be said: Suppose an electron is in this state at a certain time, then you calculate what it will do next by solving the Schrodinger equation introduced by Schrodinger in 1926. Instead of this, Dick simply said:

The electron does whatever it likes.

Feynman había encontrado su camino: sumar todos los caminos posibles del electrón. Y esto lo consiguió meditando y revisando la mecánica cuántica de entoces. Podemos decir que el resultado de Feynman es una extensión del experimento de las dos rendijas: para llegar de A a B, la partícula cuántica pasa por las "infinitas rendijas" del espacio que separa el punto de partida del punto de llegada.

A history of the electron is any possible path in space and time. The behavior of the electron is just the result of adding together all the histories according to some simple rules that Dick worked out. I had the enormous luck to be at Coraell in 1948 when the idea was newborn, and to be for a short time Dick's sounding board...

Feynman basaba sus ideas en conceptos físicos, y los trasladaba a matemáticas:

Dick distrusted my mathematics and I distrusted his intuition. Dick fought against my scepticism, arguing that Einstein had failed  because he stopped thinking in concrete physical images and became a  manipulator of equations. I had to admit that was true. The discoveries of Einstein's earlier years were all based on direct physical intuition.  Einstein's later unified theories failed because they were only sets of equations without physical meaning...

Pero no era fácil entonces entender estas nuevas ideas de Feynman:

Nobody but Dick could use his theory. Without success I tried to  understand him... At the beginning of September after vacations it was time to go back East. I got onto a Greyhound bus and travelled nonstop for three days and nights as far as Chicago. This time I had nobody to talk to. The roads were too bumpy for me to read, and so I sat and looked out of the window and gradually fell into a comfortable stupor. As we were droning across Nebraska on the third day, something suddenly happened. For two weeks I had not thought about physics, and now it came bursting into my consciousness like an explosion. Feynman's pictures and Schwinger's equations began sorting themselves out in my head with a clarity they had never had before. I had no pencil or paper, but everything was so clear I did not need to write it down.

Feynman and Schwinger were just looking at the same set of ideas from two different sides.

Putting their methods together, you would have a theory of quantum electrodynamics that combined the mathematical precision of Schwinger with the practical flexibility of Feynman...

During the rest of the day as we watched the sun go down over the prairie, I was mapping out in my head the shape of the paper I would write when I got to Princeton. The title of the paper would be The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman.


Es en parte al trabajo de difusión de Dyson que las ideas de Feynman fueron más conocidas, entendidas y aceptadas por la comunidad de físicos. El uso de los diagramas de Feynman facilitó la explicación de esta suma de trayectorias, y es interesante ver la historia de su desarrollo, por ejemplo, ver que los primeros diagramas aparecidos en artículos son diferentes de los que usamos en artículos de divulgación.

Esto es una cita que hace Zeidler de un texto de Dyson, Disturbing the Universe.

Otros posts donde cito el libro de Zeidler:

Teoría de campos y partículas (3)
Una carta de Einstein
John von Neumann y operadores en cuántica

Nos leemos!

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Publicado el 20 de Abril, 2016, 8:13

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Quiero seguir explorando y estudiando las razones para tener una teoría cuántica de campos. En el anterior posts, mencioné la teoría cuántica y la teoría de la relatividad. Hoy leo en las primeras páginas de Modern Elementary Particle Physics - The Fundamental Particles and Fields, de G. Kane:

The combination of quantum theory and relativity leads to the introduction of quantum fields and associated particles. To see intuitively why that must occur, suppose various particles can interact with one another, and you give one particle a push. The forces, due to that particle, that act on nearby particles cannot produce instantaneous changes in their motions, since no signal can travel faster than the speed of light. Instead, as with electromagnetism and gravity, we say the pushed particles is the source of various fields which carry energy, and perhaps other quantum numbers, through the surrounding space; eventually the fields interact with other particles.

Es decir, para no apelar a la acción instantánea, hay que poner a los campos como mediadores. Eso también pasó en electromagnetismo (estoy estudiándolo en Electromagnetismo) y en gravedad einsteniana. En cuántica, hay algo más:

Because of the quantum theory, the energy (and perhaps other quantum numbers) is carried by discrete quanta, which become identified with the particles transmiting the force. Thus in quantum field theory, the elementary particle interactions are interpreted in terms of exchanges of (some of the) particles themselves.

Este es un tema a entender mejor. Que existan partículas de interacción, y además campos, no es algo claro y evidente. Algo a estudiar con más detalle.

Nos leemos!

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Publicado el 19 de Abril, 2016, 6:05

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Hace más de un año que no escribo sobre este tema, tomando notas sobre teorías gauge. Hoy me encuentro leyendo Modern Elementary Particle Physics - The Fundamental Particles and Fields, de G. Kane:

There has been steady and extraordinary progress in particle physics, both in understanding quantum field theory and in learning what to include in the Lagrangian; no revolution has ocurred.

Del lagrangiano podemos deducir ecuaciones que describen la evolución de un sistema físico. Ver Lagrangianos y Hamiltonianos, y también Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos.

Ahora aparece teorías gauge:

The theories which describe the particles and their interactions seem to be gauge theories, a special class of quantum theories where there is an invariance principle that necessarily implies the existence of interactions mediated by gauge bosons. In gauge theories, the interaction Lagrangian is, in sense, inevitable rather than being introduced in an ad hoc way as in quantum theory.

No tenía en claro que el principio de invariance que aparece en las teorías gauge implicara la existencia de interacciones, y la aparición de bosones gauge. El llamado lagrangiano de interacción es una parte del lagrangiano, que, en teorías no gauge, se introduce a mano para mejorar la descripción del sistema. En una teoría gauge, su introducción se debe a la existencia de la invariancia, y por ésta, la existencia de interacción. Interesantes puntos para estudiar.

Although technical work in a relativistic quantum gauge field theory can be very difficult, the basic formulation of the theory is accesible to anyone having an undergraduate knowledge of classical mechanics and electrodynamics, plus an introduction to quantum mechanics including spin and angular momentum.

Espero que sea así. Mientras, seguiré recolectando notas como ésta, como preludio a un estudio más serio de las teorías gauge. Encuentro este texto en el capítulo 1 del libro mencionado, titulado Survey. Un poco más adelante leo:

The theories called gauge theories are a special class of quantum field theories where there is an invariance principle that necessarily requires the existence of interactions among the particles. When we speak of gauge forces ... we will mean forces which respect a gauge symemtry, and in addition, forces whose strengths are proporcional to a "charge" of some kind.

Siempre aparece simetría (ver Simetrías y Física). Otro tema a investigar, entonces, es esto de la "carga".

Nos leemos!

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Publicado el 25 de Marzo, 2016, 7:57

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Siempre hasta ahora hemos manejado magnitudes físicas de espectro discreto: sus valores posibles forman un conjunto numerable (finito o infinito). La existencia de ese tipo de magnitudes es uno de los grandes descubrimientos de la teoría cuántica. Ya se vislumbraba en el siglo XIX que los espectros de emisión de muchos átomos y moléculas simples seguían un patrón discreto, contrariamente a lo que uno espera de una fuente de luz. Estamos acostumbrados a la luz del sol, que en el arco iris se distribuye de forma continua.

Pues en el ambiente cuántico hay magnitudes que no toman valores continuos, sino discretos. Uno de los primeros ejemplos ha sido el modelo atómico de Bohr, donde las órbitas de los electrones sólo podían tomar algunos valores específicos. Cuando se desarrolló la primera mecánica cuántica, uno de los logros tanto del modelo de Heisenberg como del de Schrödinger fue explicar esa distribución discreta, aunque sea en los átomos más simples, como el de hidrógeno. En ese átomo, la energía de un electrón ligado sólo puede tomar algunos valores (es interesante recordar que Schrödinger llegó a su teoría, tomando el camino de explicar esos valores como autovalores de una función).

Pero cuando consideramos la energía de un electrón no ligado a un núcleo atómico, sus valores pueden ser continuos. Así tenemos un ejemplo de magnitud física que tiene ambos espectros, continuo y discreto.

Cuando una magnitud puede tomar valores discretos, pudimos expresar una función de estado como combinación lineal de autofunciones:

Pasando al espectro discreto, y haciendo "magia" matemática, sólo justificada por su aplicación física, podemos expresar una función de estado, como una integral que recorre:

Pongo explícitamente q como las coordenadas que puede tomar la función de estado, para destacar que esta función recorre y depende de esas coordenadas. Los

Mas que coeficientes, son funciones del parámetro f, que toma valores continuos (antes usábamos valores naturales). Y las "autofunciones" ahora son:

Una función base por CADA valor de f. Por analogía, podemos seguir haciendo "magia" matemática (sin justificación firme) y tomar los coeficientes como:

Tenemos que explorar el significado físico de estas expresiones, y aparecerán relaciones con desarrollos de Fourier, y más analogías con nuestro trabajo anterior en valores discretos. Ya no podemos tomar los coeficientes af como probabilidad, sino que tendremos que hablar de probabilidad de tal valor entre f y f+df. Pero eso lo veremos en los próximos posts.

Nos leemos!

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Publicado el 20 de Marzo, 2016, 15:31

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Consideremos hoy una expresión como:

Es una expresión algo rara. Conocemos:

Que es el producto interno de un bra:

con un ket:

Pero ¿qué el "producto" de un ket por un bra? Solamente tiene sentido si le damos alguno. Definamos su aplicación SOBRE  un vector ket cualquiera como:

Esto es, en la expresión de más a la derecha, el factor entre paréntesis es un escalar. El resultado total de "aplicar" la expresión inicial a un vector ket, es otro vector ket. Ya sabemos cómo se llama esto: es un operador. Y su aplicación a CUALQUIER vector ket queda totalmente definido por la fórmula de arriba. Le hemos dado un significado concreto. Lo llamamos el producto externo (contrariamente al productor interno de bra y key, que da escalar) de un bra y un ket.

Inicialmente, pensé que este producto externo poco tenía que aportar a la teoría de la transformación. Pero veremos, a medida que vayamos avanzando, que tiene su importancia. Por ahora, baste notar una cosa: sea un operador dado por el producto externo de un ket y un bra, el resultado de aplicarlo sobre un vector ket ES SIEMPRE un múltiplo del vector ket original. De alguna forma, PROYECTA todo vector ket en un subespacio generador por ese vector ket.

Agregemos hoy una propiedad no esperada (al menos para mí) de un operador lineal. Recordemos que una base ortonormal es un conjunto de vectores:

Tales que son ortogonales dos a dos:

Y todo vector puede expresarse como combinación lineal de elementos de este conjunto base. Entonces, es interesante considerar para un operador lineal A cualquiera, su traza, definida como:

La traza es un escalar. Lo notable es que este valor, la traza de A, ES INDEPENDIENTE DE LA BASE ORTONORMAL que se tome. Veremos una demostración en el próximo post.

Pero lo que dice ahí, desde el punto de vista físico, es que hay algo en un operador (el valor de su traza) que permanece invariable ante cambios en la base ortonormal de vectores. Esto nos da una pista: la traza de un operador tiene un significado físico.

Nos leemos!

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Publicado el 16 de Febrero, 2016, 15:34

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Sigamos explorando el tema simetría sobre sistemas. En el post anterior vimos una relación entre hamiltonianos que se debe cumplir para una simetría, desde la imagen de Schrodinger.

Veamos hoy lo mismo desde la imagen de Heisenberg. No soy un gran entendido de esta imagen, porque no es habitual encontrarla. Igual dejo enlace al final del post, con una deducción de las ecuaciones de movimiento partiendo de la imagen de Schrodinger.

En la imagen de Heisenberg lo que evoluciona en el tiempo son los operadores, en vez de ser los vectores de estado. Tengamos de nuevo dos sistemas, S y S", obtenidos por aplicar una simetría g:

Sean {A} el conjunto de los operadores en S, sean {A"} los operadores en S". En la imagen de Heisenberg, se dan una ecuaciones de movimiento donde se expresa COMO evoluciona en el tiempo un operador. Entonces, la derivada temporal del operador A es:

Donde A es el operador, H el hamiltoniano del sistema S, y donde los corchetes son el conmutador de dos operadores:

Que podemos ver como una "medida" de cuánto conmutan o no esos operadores. En la ecuación de movimiento asumimos que A no depende explícitamente del tiempo, sino habría un término adicional a la derecha, con A derivada parcial de tiempo (ver enlace mencionado al final).

Ahora, en el sistema S", tenemos un hamiltoniano H", y pongamos un operador A" correspondiente a un observable en S". Ahí se da:

Pero por la discusión que vimos en el anterior post, el observable correspondiente a A" también es un observable de S, y evoluciona con el hamiltoniano H. Su evolución debe coincidir con la de arriba, para que realmente g sea una simetría. Entonces

Esta vez usamos el hamiltoniano H del sistema S. Entonces, queda:

Esto expresa que H-H" CONMUTA CON TODO OPERADOR de observable. Esto es, H-H" es múltiplo del operador unidad.

Esto es similar a lo que obtuvimos con la imagen de Schrodinger. Podemos decir entonces:

De todos los observables, el hamiltoniano se distingue por ser invariante ante las transformaciones de simetría del sistema físico.

Acá tomamos al hamiltoniano como expresando la evolución en el tiempo de un sistema. Si recuerdan relatividad y transformaciones de Lorentz, también estamos interesados en simetrías donde el tiempo no es especial, sino una coordenada más. En las teorías relativistas, las ecuaciones de movimiento pueden escribirse o no usando el hamiltoniano. Para los físicos, en esos casos aparece la llamada matriz S (de "scattering"), más general.

Saliendo un poco de la notación matemática, podemos resumir:

- Hay condiciones, como las ecuaciones de movimiento (de los vectores, de los operadores, dependiendo de la imagen Schrodinger o Heisenberg elegida) que dependen de algo característico del sistema (en nuestro análisis el hamiltoniano)
- Las operaciones de simetría dejan invariante a ese "algo"
- Entonces, las ecuaciones de movimiento  siguen vigentes luego de la simetría

Algo vamos viendo, entonces, de qué esperar de una operación de simetría, apelando a consideraciones físicas, como la indistinguibilidad de los sistemas resultantes. En los próximos posts examineramos esas operaciones un poco más formalmente.

Ver

Heisenberg Picture

Nos leemos!

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Publicado el 14 de Febrero, 2016, 17:09

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Veamos que pasa cuando multiplicamos dos operadores cualesquiera, que no necesariamente conmutan. Para eso recordemos que si dos operadores f y g corresponden a una magnitud física, son hermíticos (ver Operadores Hermíticos). En cambio, en el caso general, no necesariamente su multiplicación (composición) será hermítica, y entonces, no necesariamente su multiplicación corresponderá a una magnitud física. Esto es diferente de lo que pasa en física clásica, donde la multiplicación de dos magnitudes físicas sigue siendo una magnitud con sentido físico.

Partamos de la definición de composición de operadores sobre dos funciones cualesquiera, y apliquemos la trasposición de operadores DOS veces:

Es decir, el transpuesto del operador fg, es:

Ya vimos en otro post que cuando un operador es hermítico, su transpuesto es igual a su conjugado complejo. Si f y g son operadores hermíticos, se cumple que:

Y que:

Quedando entonces:

Si de casualidad el producto de fg fuera hermítico, debería cumplir:

Recordando la definición de operador conjugado complejo, como el que cumple:

Queda que el conjugado complejo de la  multiplicación fg es:

Esto es:

Juntando las últimas igualdades, suponiendo que la multiplicación fg es operador hermítico, entonces SE DEBE CUMPLIR:

Es decir, que los operadores conmuten es NECESARIO para que la multiplicación de operadores hermíticos sea hermítica. Y esto significa: la multiplicación de dos magnitudes físicas cuánticas sólo es otra magnitud física cuántica cuando sus respectivos operadores conmutan.

Si no conmutan, la multiplicación de operadores no tiene un significado de magnitud física directa.

Nos leemos!

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Publicado el 13 de Febrero, 2016, 16:53

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Sabiendo que por cada operador podemos tener el adjunto que cumple:

Veamos algunas de las propiedades que se derivan directamente de esta relación:

Dado un número complejo c, lo podemos combinar con un operador lineal A. Pero si tomamos el adjunto de esa combinación, tenemos que tomar el conjugado de c. Esto nos advierte de nuevo que no estamos operando en simples espacios reales: desde hace un tiempo, los conjugados complejos aparecen en nuestras formulaciones. Es interesante ver que la física clásica pudo formularse sobre bases de uso de números reales, y que los números complejos sólo tuvieron un uso digamos accesorio. Es en la formulación de la física cuántica, que estamos explorando, donde aparecen los números complejos. Igual, siempre es posible reformular todas estas relaciones en términos de números reales (donde aparece una función de un número complejo, podemos poner DOS funciones reales, relacionadas).

Examinemos la relación. Por definición:

Pero por linealidad:

Por antisimetría:

Por definición de adjunto:

Combinando la serie de igualdades, queda:

Como se quería demostrar. De forma similar se puede probar:

Y también:

De nuevo, la demostración se hace expandiendo la definición y comprobando el resultado.

Nos leemos!

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Publicado el 2 de Febrero, 2016, 17:42

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Sigamos examinando operadores que comparten autofunciones. Sean dos operadores:

Tales que comparten autofunciones:

Y

Podemos hablar de la suma de los mismos como:

Esto tiene sentido para cualquier función de estado, porque si aplicamos esa definición a una de las autofunciones que comparten, obtenemos:


Es decir la suma es un operador que tiene las mismas autofunciones, y sus autovalores son la suma de los autovalores correspondientes a cada operador. Al compartir autofunciones, esta buena definición de suma se puede extender a toda función compuesta de las autofunciones de base. El que compartan autofunciones algo que en el anterior posts vimos que es equivalente a hablar de operadores que se pueden medir simultáneamente.

También podemos pensar en la multiplicación de operadores, como:

Si lo aplicamos a una autofunción, obtenemos:

Si aplicamos la multiplicación "al revés", tenemos:

Con lo cual vemos que ambas multiplicaciones dan el mismo resultado para las autofunciones (recordemos que los autovalores son números y conmutan), y esto se puede extender a cualquier función de estado descomponible en las autofunciones de base. Podemos escribir:

Por eso decimos que estos operadores conmutan. Esto, que es natural en física clásica, es casi la excepción en física cuántica. Veremos que hay operadores importantes que no conmutan, y donde la parte derecha de la ecuación de arriba NO ES CERO.

Nos leemos!

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Publicado el 31 de Enero, 2016, 15:52

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En los posts anteriores vimos operadores lineales, en espacios vectoriales generales, y luego los aplicamos solo a los vectores ket de la notación de Dirac. Veamos hoy de aplicarlos a los vectores bra. Para eso, definimos su acción A LA IZQUIERDA de un bra, como:

Esto parece trivial en la notación de Dirac, y es uno de los aportes de esta notación. Podemos usar el operador en el medio:

Sin preocuparnos "hacia" que lado se aplica.

Pero es conveniente para entender todo este desarrollo, que nos detengamos en examinar esto en más detalle. Porque una cosa es un operador lineal actuando sobre vectores ket, y otra cosa diferente es un operador lineal sobre vectores bra.

Un vector bra es, de hecho, un funcional lineal en el espacio de los vectores ket. Un vector bra:

Es, una notación más detallada, el funcional:

Donde

Es el vector que le corresponde a ese funcional F según el teorema de Riesz. El punto representa el lugar para el argumento que tiene que recibir el funcional, un vector. Podemos definir la aplicación de un operador lineal A sobre un funcional F, como:

Para todo vector psi.

La parte derecha de esta ecuación satisface la definición de un funcional lineal del vector psi, y entonces define un nuevo funcional, que tomando la parte izquierda, podemos escribir:

De acuerdo con el teorema de Riesz, a este funcional le debe corresponder un vector ji tal que cumple:

Dado un A, el vector ji queda determinado unívocamente por el vector phi. Entonces, debe existir un operador

Tal que cumpla

Podemos escribir:

Como

Pero recordemos que:

Y que

Quedando

Esto vale para cualquier par de vectores phi, psi. Lo que dice, es que a cada operador líneal A sobre kets, le corresponde un operador lineal (que EXISTE forzosamente) actuando sobre bras. Este operador A-cruz se denomina ADJUNTO de A.

En los párrafos de arriba, la existencia del adjunto la deducimos del teorema de Riesz. En la notación de Dirac, se puede introducir el adjunto (directamente, sin probar que existe) como el operador que al operar A sobre los kets, el adjunto opera de la misma forma sobre los bra. Cumpliendo:

Cuando

Este camino, en la notación de Dirac, permite introducir el adjunto de un operador PERO NO DEMUESTRA su existencia.

Sabiendo que

Se sigue la propiedad del adjunto:

En el próximo post veremos algunas propiedades más de este operador, que va a ir cobrando importancia en este desarrollo que estamos siguiendo.

Nos leemos!

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Publicado el 23 de Enero, 2016, 7:31

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Siempre es interesante conocer la historia de una ciencia, saber de la vida de sus principales actores, los caminos que se tomaron, equivocados o no, el avance a veces tortuoso.

Richard Feynman - Wikiquote
http://es.wikiquote.org/wiki/Richard_Feynman

La física social explica el caos
http://www.revistaenie.clarin.com/ideas/tecnologia-comunicacion/fisica-social-explica-caos_0_351564980.html

The Wiki History of the Universe in 200 Words or Less
http://members.bellatlantic.net/~vze3fs8i/hist/histwiki.html

Manchester: Britain's greatest university? - Education News, Education - The Independent
http://www.independent.co.uk/news/education/education-news/manchester-britains-greatest-university-2101828.html

Física en la Ciencia Ficción: 50 soluciones a la paradoja de Fermi (11ª solución): La percolación
http://fisicacf.blogspot.com/2010/09/50-soluciones-la-paradoja-de-fermi-11.html

Amazon.com: Quantum Physics for Poets (9781616142339): Leon M. Lederman, Christopher T. Hill: Books
http://www.amazon.com/Quantum-Physics-Poets-Leon-Lederman/dp/1616142332

Quantum Catfight
http://math-blog.com/2010/09/14/quantum-catfight/

Niels Bohr’s Generalization of Classical Mechanics
http://people.bu.edu/pbokulic/papers/Boks-on-Bohr.pdf

The Overestimation of Niels Bohr - July 11, 2007 - The New York Sun
http://www.nysun.com/arts/overestimation-of-niels-bohr/58224/

YouTube - Quantum Mechanics - Indirect Observation
http://www.youtube.com/watch?v=Y8IQbL_DnGk

Science, Reason and Critical Thinking: On the Origin of the Modern Science Map
http://crispian-jago.blogspot.com/2010/09/on-origin-of-modern-science-map.html

Einstein: Superman or Super Stubborn?
http://math-blog.com/2010/09/03/einstein-superman-or-super-stubborn/

Suraz | The History of the Cell Phone (by LOOP)
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Olympia Academy - Wikipedia, the free encyclopedia
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The Bernese "Akademie Olympia"
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 1 de Enero, 2016, 7:46

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Veamos hoy un caso de usar lagrangiano para deducir las ecuaciones de movimiento, pero planteado en otras coordenadas. Queda todavía pendiente la demostración de que el cambio de coordenadas no afecta el algoritmo que usamos, pero veamos un ejemplo antes de encarar la demostración.

Sea una partícula sujeta a una vara, pero deslizando libremente sobre la misma, sin fuerzas exteriores. La vara va girando con velocidad angular uniforme, apoyada en un punto fijo:

Queremos deducir las ecuaciones de movimientos. Planteamos la energía cinética y potencial usando como coordenadas generalizadas el ángulo que forma la vara con el piso, y la distancia de nuestra partícula al punto de apoyo de la vara. La energía cinética es:

Ahora bien, hay algo que liga a la partícula a la vara, resultando que su velocidad angular es la misma que la vara. Esta tiene velocidad angular constante, llamémosla omega:

La lagrangiana en los anteriores posts la expresamos como la suma de T (energía cinética) y V (energía potencial), pero V es cero, porque no hay nada que forme un potencial (no estamos considerando la gravedad). Entonces queda que la lagrangiana es simplemente igual a T:

Recordemos la ecuación de Lagrange:

Una por cada coordenada. Pero debido a las ligaduras, tenemos una sola coordenada, la r. Queda

Lo que da

Quedando

Para resolverla e integrarla, hay que apelar a un truco. Multiplicamos ambos miembros por r-punto:

Esto es igual a:

Porque omega es constante y se puede sacar afuera. Integrando, queda

Siendo C1 una constante arbitraria originada por la integración simbólica. Esto es:

Curiosamente, esta ecuación se puede integrar directamente, quedando:

Fue algo arduo, pero llegamos a un resultado: expresar la coordenada r en función del tiempo, aplicando lo que sabemos de lagrangianas.

En próximos posts, más ejemplos de coordenadas varias, y alguna demostración de la invariancia por cambio de sistema de coordenadas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 13 de Diciembre, 2015, 17:17

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Analicemos un poco lo que vimos en el anterior post. El tener una operación g tal que transforma S en S":

Merece una observación más detallada. El decir que S "se transforma" en S" significa que hay algo que distingue a S de S", por ejemplo las orientaciones de las velocidades  de los elementos en S son distintas de las orientaciones en S" PARA UN OBSERVADOR. Pero si entonces hay diferencias entre S y S" que pueden ser observadas, NO ESTAMOS en el caso de la simetría que queremos estudiar. Los observadores (o más general, los alrededores del sistema) VIOLAN la simetría por solo estar presentes, pero para mantener nuestra definición debemos remarcar que sus efectos en el sistema que los rodea es despreciable. Si no hubiera esos observadores o alrededores del sistema, por ejemplo, sino hubiera un sistema de coordenadas fijo a un laboratorio, S y S" serían el mismo sistema. Es decir, si tomamos a S aislado, sin tomar en cuenta observadores, laboratorios, alrededores, entonces S es indistinguible de S".

Esto nos lleva a pensar que podríamos decir que S y S" NO SON SISTEMAS DIFERENTES, cuyas diferencias solo se ponen de manifiesto por la relación de ruptura de simetría que imponen los observadores, laboratorios y alrededores, sino solamente dos estados del mismo sistema (de nuevo, diferentes estados con respecto a la ruptura de simetría que imponen otros elementos fuera de S y S"). Es interesante considerar que son estados diferentes. Por ejemplo, S" es S luego de transcurridos 10 minutos. Es simplemente un estado que evolucionó desde S. Pero igual decimos "otro sistema S"" porque bien podría ser que S" sea la reflexión especular de S, y esté compuesto de antimateria. Independientemente de esto (considerarlos dos sistemas diferentes, o verlos como dos estados del mismo sistema) lo importante es recordar de la definición que los resultados observables de ambos, son indistinguibles.

Pero sigamos adelante con la idea de S y S" como el mismo e indistinguible sistema. Entonces, resulta que la operación g mapea todos los estados posibles de S en estados de sí mismo. Entonces cada estado de S":

Es también un estado de S, digamos:

Lo mismo podemos decir para cada "nuevo" observable A", que es uno de los posibles observables de S "original".

Examinemos esto un poco más detenidamente. Sabemos que en cuántica, un vector puede ir cambiando en el tiempo, y que el hamiltoniano está involucrado en este cambio. En concreto, en el sistema S, podemos escribir la evolución en el tiempo de un vector inicial como:

Esto en la imagen de Schrodinger. Y en S" podemos escribir:

O sea, acá hay otro hamiltoniano H".

Tomemos un vector y su evolución en el tiempo de 0 a t, en S:

Y sea la evolución de su correspondiente vector (luego de g) en S":

Sin embargo, por lo expuesto, el vector de S":

Es también un posible vector de S, que evoluciona como:

(notemos que ahora el hamiltoniano es H en lugar de H")

Bien, para que los sistemas sean indistinguibles debe entonces pasar que para cualquier vector bra

Se cumpla:

Es decir, que las probabilidades de encontrar cualquier vector sean las mismas, no importa si tomamos la evolución en el tiempo desde un sistema o desde el otro. Si esto no fuera así, entonces ambos sistemas sería distinguibles observando su historia interna, porque cambiarían de forma distinguible sus vectores con el tiempo. Notemos que estamos trabajando con vectores en S", pero como el vector de partida en el tiempo 0 es, por lo discutido, también un vector en S, debe poder ser aplicado ambos hamiltonianos.

Exprensando lo de arriba como:

Si se tiene que cumplir para cualquier bra, esto implica una relación entre la expresión:

Y la expresión:

que sea tal que no altere el resultado de las probabilidades.

Encontrar la relación se complica un poco, porque en la mayoría de los casos el operador H es una matriz (mejor dicho, se representa como matriz en los espacios de dimensión finita o infinita numerable, dada una base). Así que el exponente no es un simple número imaginario. Pero podemos ver que se cumpliría la no distinguibilidad si:

(Habría que desarrollar el exponente de e por una matriz I diagonal con valores imaginarios).

Donde lambda es un número real. Bien podemos poner lambda igual a cero.

En el próximo post, examinaremos esto mismo pero desde la imagen de Heisenberg, donde lo que evolucionan en el tiempo no son los vectores sino los propios operadores. Es un interesante ejercicio de otra imagen que no siempre es bien conocida, pero nos habla de que el mismo sistema y conceptos pueden ser representados de distinta forma.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 12 de Diciembre, 2015, 17:18

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Veamos hoy algún ejemplo de operador lineal. Sea un espacio de vectores discretos representados como columnas, de N dimensiones. Entonces cada operador lineal puede ser representado como una matriz. Consideremos por ejemplo la ecuación:

Tomemos una base ortonormal :

De tal forma que podemos expandir cualquier vector expresándolo en esa base:

Y

Aplicando el operador M como en la ecuación original:

Habiendo reordenado los factores numéricos aj y bk. Si multiplicamos a la izquierda por

Queda

La expresión:

Es un número (resultado de multiplicar un vector bra por un vector ket, este último transformado por el operador lineal M), y podemos escribir:

Con lo cual formamos una matriz, variando los índices i y j. La ecuación toma la forma matricial:

A cada uno de los números

Se lo conoce como elemento de la matriz del operador M (en la base seleccionada)

Se pueden extender estas ideas a espacios de dimensión infinita con base ortonormal numerable. Pero se complica un poco porque tenemos que lidiar con el problema de la convergencia de las sumas infinitas.

Otras veces, los operadores lineales toman la forma de operadores diferenciales o integrales. Una ecuación de operador como:

Puede al principio parecer extraña, hasta que recordamos que un operador se define por su acción sobre un vector. La ecuación de arriba es en una expresión reducida de:

Para toda función de x:

La ecuación de arriba, tan extraña cuando se la ve sin la aplicación de la función, tiene importancia en lo que vamos a ver de física cuántica. De alguna forma, expresa una no conmutatividad: aplicar x y luego una derivada parcial NO ES LO MISMO que aplicar derivada parcial y luego multiplicar por x.

Y ya sabemos, pero nos falta explorar en detalle, que las funciones pueden ser tomadas como vectores de un espacio y hasta tener definido un producto interno apropiado (ver final del post 3)

Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 30 de Noviembre, 2015, 15:17

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Veamos de explorar el concepto de simetría física que estamos esbozando.
Sea g un operador que esperamos sea simétrico. ¿Qué significa esto? Bueno, sea un sistema cuántico:

Con observables:

Y algunos estados:

Aplicando g sobre el sistema S obtenemos nuevo sistema:

Donde existen los correspondientes observables:

Y donde existen los correspondientes estados:

Esperamos de un operador simétrico QUE NO PRODUZCA efectos observables. Es decir, que cualesquiera sean los estados originales y el observable A, al menos se obtenga:

Esto es, que las probabilidades de observación se mantengan como antes de la transformación. Estas probabilidades son las que dan sentido físico a la descripción de un sistema. Si las probabilidades se mantienen igual, antes y después de la transformación, entonces los sistemas no son distinguibles por observación.

Hay dos formas de interpretar la transformación de simetría: como pasiva o como activa. La interpretación activa significa cambiar el sistema material S en OTRO sistema material S". En la interpretación pasiva los sistemas materiales son los mismos, sólo cambia su representación de coordenadas. Por ejemplo, en una interpretación activa, llegar a S" significa GIRAR el sistema S original en un ángulo alfa. En una interpretación pasiva, el sistema material es el mismo, lo que GIRA es el sistema coordenado, en un ángulo menos alfa.

Si tomamos la interpretación activa, podemos definir simetría como:

G es un grupo de simetría de S, si para cualquier g perteneciente a G existe otro sistema material S" = gS y también un operador funcional Fg que para cada observable A se obtiene otro observable:

Donde midiendo A" en S" se obtienen las mismas distribuciones de probabilidad que midiendo A en S.

En el próximo post seguiremos comentando esta definición y consecuencias.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 27 de Noviembre, 2015, 13:20

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Llegamos al final del relato de Dirac:

My own contributions since these early days have been of minor importance and I do not think I need mention any details except to say that after the establishment of the existence of the positron I was led to think of a new particle, the magnetic monopole. There is some very beautiful mathematics underlying this monopole and it would make people quite happy if it was found that monopoles do exist in nature so that this beautiful mathematics has an application. However, I do not have any fears about this theory if the monopoles are not discovered. If this mathematics is found not to apply to nature it will not really matter because this work is quite isolated and one can abandon it without affecting the main ideas of the quantum theory.

Según Dirac, la existencia de este monopolo implicaría necesariamente la cuantización de la carga eléctrica. No he leído ese "paper" ni conozco su argumento. Ver:

https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_monopole

Dirac llama la atención sobre la diferencia de esos días excitantes de desarrollo de la física con nuevas ideas, y el estado de la ciencia en momentos actuales:

It is when one is challenging the main ideas that one has the great excitement and the great fears that something will go wrong and this sort of excitement has not recurred since those early days. One might call the period from 1925 onward for a few years the Golden Age of Physics when our basic ideas were developing very rapidly and there was plenty of work for everyone to do. The limitation of the ideas that were established in this Golden Age have now become clear and we are all hoping that a new Golden Age will appear, triggered off by some very drastic new idea and leading once again to a period of rapid development with great hopes and fears.

El desarrollo del modelo estándar y la teoría de cuerdas pueden verse como nuevas ideas, pero no alcanzan el nivel de "salto" que dieron la relatividad einsteniana y la cuántica. Pueden verse como una evolución de esas ideas, más que como nuevas bases fundamentales. Tal vez el descubrimiento de la energía y la materia oscura, como enigmas modernos, sea el impulso que hace falta para plantear nuevas ideas en las bases de la física. Otra posible fuente de avance (que impulsa aún a las teorías de cuerdas y aledaños) es la pendiente conciliación entre relatividad y cuántica.

Así terminamos con este recorrido por el discurso de Dirac.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

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