Ya comenté en dos posts la historia de Dirac trabajando sobre las ideas de Heisenberg, en 1925, y mejorándolas. Ver:

Dirac revisando el trabajo de Heisenberg
Dirac y las ecuaciones de la mecánica cuántica

Leo hoy en el capítulo 9, "Sunrise and first view", del excelente "Quantum Mechanics in Simple Matrix Form", de Thomas F. Jordan, un recuerdo del propio Dirac sobre aquel tiempo:

There were many meetings among the students in Cambridge to discuss scientific problems, and among those there was the Kapitza Club. Kapitza ... established a club of physicists... . Wc would meet on Tuesday evenings after dinner... . That was not really a very convenient time for me because I was usually rather sleepy after dinner. I did my work mostly in the morning... and towards the end of the day I was more or less dull, especially after dinner...

Se refiere a Pyotr Kapitsa, físico ruso, luego laureado Nobel al igual que Dirac, que en aquel entonces estaba en Cambridge. Ver Kapitza Club.

In the the summer of 1925, Heisenberg came to Cambridge, and he gave a talk to the Kapitza Club. Towards the end .. he spoke about some new ideas of his. By that time I was just too exhausted to be able to follow what he said, and I just did not take it in. He was talking about the origins of his ideas of the new mechanics. But I completely failed to realize that he was really introducing something quite revolutionary. Later on I completely forgot what he had said concerning his new theory. I even felt rather convinced that he had not spoken about it at all, but other people who were present at this meeting of the Kapitza Club assured me that he had spoken about it... and I just have to accept that he really did speak about it and that I had failed to respond to it at all, and so missed a great opportunity of getting started on it.

Esta historia no la conocía. No sabía que Heisenberg y Dirac se habían encontrado en la misma sala en aquellos tiempos. Tampoco que ya Dirac había tenido contacto con la teoría de Heisenberg, antes de tener su famoso "paper".

It was a little later when I really got started on the new Heisenbcrg theory.... Heisenberg sent [his paper] to Fowler... . Fowler sent it on to me with a query, 'What do you think of this?'... At first I was not very much impressed by it. It seemed to me to be too complicated. I just did not see the main point of it, and in particular his derivation of quantum conditions seemed to me to be too far-fetched, so I just put it aside as being of no interest. However, a week or ten days later I returned to this paper of Heisenberg's and studied it more closely. And then I suddenly realized that it did provide the key to the whole solution...

Este texto Jordan lo toma de P. A. M. Dirac, History of Twentieth Century Phystcs, edited by C. Weinei. Academic Press, New York, 1977, que no sé si es una conferencia de Dirac y otros autores, o todo un "raconto" del propio Dirac.

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Angel "Java" Lopez
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Israel Moiseevich Gelfand fue un gran matemático ruso (1913-2009). Se ocupó de varias ramas de las matemáticas, incluso hasta en sus últimos años. Fue Premio Wolf, y en su larga carrera tuvo la oportunidad de aprender de grandes maestros (muchos soviéticos, a los cuales admiraba pero no siempre concordaba con ellos en temas políticos y sociales), y dejó su influencia en sus estudiantes.

Hoy me encuentro leyendo el libro de conferencias en motivo de su 80 aniversario, en 1993, con el tema "La Unidad de las Mateméticas". Son muy buenas conferencias, que tengo que comentar. En una conferencia del propio Gelfand, titulada "Mathematics as an Adequate Language", relata su relación con Dirac, y describe algo típico del físico inglés:

I was lucky to meet the great Paul Dirac, with whom I spent a few days in Hungary. I learned a lot from him.

In the 1930s, a young physicist, Pauli, wrote one of the best books on quantum mechanics. In the last chapter of this book, Pauli discusses the Dirac equations. He writes that Dirac equations have weak points because they yield improbable and even crazy conclusions:

1. These equations assume that, besides an electron, there exists a positively charged particle, the positron, which no one ever observed.

2. Moreover, the electron behaves strangely upon meeting the positron. The two annihilate each other and form two photons.

And what is completely crazy:

3. Two photons can turn into an electron–positron pair.

Pauli writes that despite this, the Dirac equations are quite interesting and especially the Dirac matrices deserve attention.

I asked Dirac, "Paul, why, in spite of these comments, did you not abandon your
equations and continue to pursue your results?""

"Because, they are beautiful.""

Simplemente por eso: porque son bellas. Pero finalmente se vió que eran no sólo bellas, sino que reflejaban un aspecto de la realidad que no se conocía hasta ese momento: la existencia de antimateria.

Pauli siempre era crítico duro de todo lo que le parecía bien. Pero algo rescataba del trabajo de Dirac: sus matrices 4x4, que eran una extensión las matrices de Pauli.

Post relacionados:

Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (1)
Paul Adrien Maurice Dirac, Breve Biografía
Dirac según Gamow
Paul Adrien Maurice Dirac, por Stephen Hawking (1)
Paul Adrien Maurice Dirac: Enlaces y Recursos (1)
Dirac y Feynman, por Abdul Salam
El problema de explicar spin y estadística
Dirac revisando el trabajo de Heisenberg
Dirac y las ecuaciones de la mecánica cuántica
Entrevista a P.A.M.Dirac, por Abdus Salam
Dirac y las cosmologías
Pauli, Dirac, Heisenberg y la religión

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Sigo leyendo algo más adelante, el capítulo 5, Quantum Mechanics and a Talk with Einstein (1925-1926):

In the summer term of 1925, when I resumed my research work at the University of Gottingen-since July 1924 I had been Privatdozent at that university-I made a first attempt to guess what formulae would enable one to express the line intensities of the hydrogen spectrum, using more or less the same methods that had proved so fruitful in my work with Kramers in Copenhagen. This attempt led to a dead end -I found myself in an impenetrable morass of complicated mathematical equations, with no way out. But the work helped to convince me of one thing: that one ought to ignore the problem of electron orbits inside the atom, and treat the frequencies and amplitudes associated with the line intensities as perfectly good substitutes.

Ese es el gran cambio que dió Heisenberg: concentrarse en las frecuencias e intensidades (ya comenzaba a mencionar "amplitudes"),

In any case, these magnitudes could be observed directly, and as my friend Otto had pointed out when expounding on Einstein's theory during our bicycle tour round Lake Walchensee, physicists must consider none but observable magnitudes when trying to solve the atomic puzzle.

Tengo pendiente comentar sobre esas charlas con su amigo Otto, y también con Wolfgang Pauli.

My attempt to apply this scheme to the hydrogen atom had come to grief on the complications of this particular problem. Accordingly, I looked for a simpler mathematical system and found it in the pendulum, whose oscillations could serve as a model for the molecular vibrations treated by atomic physics. My work along these lines was advanced rather than retarded by an unfortunate personal setback.

Aparece el ataque de la "fiebre de heno", y el viaje a Heligoland:

Toward the end of May 1925, I fell so ill with hay fever that I had to ask Born for fourteen days' leave of absence. I made straight for Heligoland, where I hoped to recover quickly in the bracing sea air, far from blossoms and meadows. On my arrival I must have looked quite a sight with my swollen face; in any case, my landlady took one look at me, concluded that I had been in a fight and promised to nurse me through the aftereffects. My room was on the second floor, and since the house was built high up on the southern edge of the rocky island, I had a glorious view over the village, and the dunes and the sea beyond. As I sat on my balcony, I had ample opportunity to reflect on Bohr's remark that part of infinity seems to lie within the grasp of those who look across the sea.

Ahora podía concentrarse en el problema:

Apart from daily walks and long swims, there was nothing in Heligoland to distract me from my problem, and so I made much swifter progress than I would have done in Gottingen. A few days were enough to jettison all the mathematical ballast that invariably encumbers the beginning of such attempts, and to arrive at a simple formulation of my problem. Within a few days more, it had become clear to me what precisely had to take the place of the Bohr-Sommerfeld quantum conditions in an atomic physics working with none but observable magnitudes. It also became obvious that with this additional assumption I had introduced a crucial restriction into the theory. Then I noticed that there was no guarantee that the new mathematical scheme could be put into operation without contradictions. In particular, it was completely uncertain whether the principle of the conservation of energy would still apply, and I knew only too well that my scheme stood or fell by that principle.

El tema de la conservación de la energía (o de su falta de conservación) apareció en otras formulaciones tempranas. Veremos en el próximo post cómo se las arregló Heisenberg para mantener ese principio.

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Termino hoy el comentario del prefacio de de "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics", de John Von Neumann. Leo al final:

In the analysis of the fundamental questions, it will be shown how the statistical formulas of quantum mechanics can be derived from ajfew qualitative, basic assumptions. Furthermore, there will be a detailed discussion of the problem as to whether it is possible to trace the statistical character of quantum mechanics to an ambiguity (i.e., incompleteness) in our description of nature.

Este es un gran tema, el que preocupaba a Einstein. Habiendo derivado muchas conclusiones apelando al manejo de la estadística (como en su relación entre los coeficientes de emisión y absorción de radiación por los átomos), siempre pensó que esos métodos se aplicaban porque no teníamos el conocimiento completo del sistema.

Indeed, such an interpretation would be a natural concomitant of the general principle that each probability statement arises from the incompleteness of our knowledge. This explanation "by hidden parameters" as well as another, related to it, which ascribes the "hidden parameter" to the observer and not to the observed system, has been proposed more than once. However, it will appear that this can scarcely succeed in a satisfactory way, or more precisely, such an explanation is incompatible with certain qualitative fundamental postulates of quantum mechanics.

Tengo que estudiar cuál es la incompatibilidad que señala von Neumann.

The relation of these statistics to thermodynamics is also considered. A closer investigation shows
that the well known difficulties of classical mechanics, which are related to the "disorder" assumptions necessary for the foundation of thermodynamics, can be eliminated here.

Siempre termina apareciendo en estas cuestiones la termodinámica. Recordemos que fue este tema el que llevó a Planck a investigar la radiación de cuerpo negro. Me queda pendiente entonces entender la crítica de von Neumann a Dirac, y el tema de incompatibilidad de las variables ocultas con los postulados fundamentales de la mecánica cuántica.

Nos leemos!

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Veamos hoy una condición adicional que tiene que cumplir la ecuación que buscamos. Ya tenemos las relaciones de Einstein/de Broglie, que ponen sobre la mesa las relaciones entre:

 Energía y Frecuencia
 Momento y Longitud de Onda

Esto es lo extraño y nuevo que se encontró a principios del siglo XX: la relación entre conceptos físicos, como energía y momento, con conceptos de onda. Esa relación no la hubiera esperado nadie. Ahora estamos buscando una ecuación que nos permita determinar una función de onda, una expresión matemática que nos de un valor a cada punto r y cada instante t.

Pues bien, cualquier cosa que hallemos, deberá ser compatible con la física clásica, al menos en el límite. Una de las cosas que esperaríamos es que sea compatible con:

Esta relación clásica expone la relación entre energía total E, energía cinética y energía potencial, en un sistema de una partícula de masa m, momento p, y energía potencial V. Si estamos en el caso de una partícula libre dentro de un potencial V que no se altera con el tiempo, la relación de arriba debe dar una energía E constante. En esta relación aparece tanto la energía potencial V, como la energía cinética dependiente del momento p, y la energía total. De alguna forma, tenemos que relacionar esos conceptos, energía y momento, con frecuencia y longitud de onda. Lo vamos a lograr, pero lo que consigamos deberá ser compatible con la relación de arriba, en el caso de potencial V constante en el tiempo y sólo dependiente de la posición de la partícula. No sabemos cómo una función de onda:

Va a aparecer involucrada en esta relación, pero ya vamos a llegar al tema. Alguna pista ya nos dan las relaciones de Einstein/de Broglie, que nos permiten relacionar energía y momento, con frecuencia (en el tiempo) y longitud de onda (en el espacio).

Otra condición que nos gustaría satisfacer, es la linealidad de las soluciones. Es decir, si:

es una solución a la ecuación de ondas que buscamos, y:

es otra solución a la misma ecuación de ondas, entonces requerimos que:

sea también una solución potable a la misma ecuación, con coeficientes alfa y beta cualesquiera. Esta exigencia viene motivada para explicar cualquier fenómeno de interferencias de ondas en los experimentos. La linealidad nos va a permitir combinar de distintas formas soluciones encontradas, simplemente sumándolas, y dando a cada solución inicial, un coeficiente de peso (alfa y beta en la fórmula de arriba).

Ya tenemos dispuesto el escenario y las relaciones que queremos satisfacer. ¿Podremos obtener una ecuación cuya solución nos dé la función de onda buscada? Armados con estas dos nuevas exigencias, y lo que exploramos en los anteriores posts, ya estamos en condiciones de buscar la ecuación soñada.

Nos leemos!

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El hecho de que la fuerza que aparece entre dos cargas sea proporcional a la PRIMERA potencia de cada carga es llamada linearidad. Algo que está relacionado con esto, pero más general, se ha visto en los experimentos: si dos cargas, colocadas en puntos distintos, ejercen fuerza sobre una tercera, esta fuerza es la suma vectorial de las fuerzas de cada carga inicial sobre la tercera. Esto es notable, y no es evidente que tuviera que ser así (lo mismo pasa con la gravedad). Primero, la fuerza es aditiva, en el sentido de si tenemos DOS cargas EN EL MISMO lugar, ejercen una suma de fuerzas sobre una tercera. Pero lo que acabamos de ver que muestran los experimentos, es que si las DOS cargas están EN DOS LUGARES distintos, la fuerza que ejercen contra la tercera sigue una REGLA SIMPLE, de suma vectorial. Esto es lo que se llama el Principio de Superposición de la fuerza eléctrica. Si extendemos esto a la fuerza debida a VARIAS cargas, el principio de superposición nos lleva a:

Esta fórmula expresa la fuerza en una carga puntual q en la posición r debido a otras cargas qn localizadas en los puntos rn. Acá podemos apreciar por qué es más conveniente el uso de un numerador elevado al cubo, en lugar de la fórmula inicial que habíamos visto, donde el numerador estaba elevado al cuadrado:

donde en el numerador aparecía no r sino un versor (de longitud unitaria) en la dirección de r:

Bien, tenemos definida la fuerza sobre una carga puntual q. Se ha visto que es muy útil trabajar, en lugar de con la fuerza, con el llamado campo eléctrico. Definamos al campo E como:

[1]

Para la fuerza ejercida sobre la carga puntual q por el resto de las cargas. Pero sacando "afuera" a q en la expresión que conocemos:

Queda el campo eléctrico como función de la posición:

[2]

Al principio parece todo esto un truco matemático. Pero veremos que el concepto de campo eléctrico E tiene importancia física por sí mismo, no solamente como una forma distinta de conseguir la fuerza F. Vemos que en la ecuación [2] desapareció q. Parece como que no importa si estuviera o no. Vaya la aclaración siguiente.

En la ecuación [1] definimos el campo eléctrico E en el punto r en la presencia de la carga q. Pero tenemos que tener cuidado si la vamos a usar como campo eléctrico ANTES de haber introducido la carga q. Esto se debe que el campo puede quedar transformado si introducimos la carga q. Por ejemplo, al introducir la carga q podemos cambiar la posición de otras cargas en el entorno. Por eso tenemos que usar, para definir el campo eléctrico en un punto r AUN antes de introducir una carga q, al límite:

Donde entonces E₀ es el campo eléctrico del que podemos hablar ANTES de introducir a q en la posición r.

Hasta ahora hemos considerado cargas puntuales, y n cargas. Veremos en el próximo post cómo generalizar este resultado a una cantidad "casi infinita" de cargas.

Principal fuente consultada: Classical Electromagnetism, de Jerrold Franklin.

Nos leemos!

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En estos días estoy estudiando la historia de la física cuántica. El estudiar la historia permite conocer mejor los por qué del desarrollo actual, los problemas encontrados y pendientes, los actores y sus relaciones. Puedo dividir la historia en:

- Cuántica inicial, con los problemas del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico, el modelo atómico de Bohr.

- Mecánica cuántica, la década de los 20 en el siglo pasado

- Cuántica relativista y teoría de campos, desde los años 30, y demás ramas que se abrieron

Uno de los temas fascinantes es cómo se llegó a las formulaciones de Heinsenberg y de Schrödinger, y su unificación. Me encuentro leyendo la autobiografía de Heinsenberg, "Physics and beyond", con muchos datos interesantes a revisar. En el capítulo 5, "Quantum Mechanics and a Talk with Einstein", leo:

During these critical years, atomic physics developed much as Niels Bohr had predicted it would during our walk over the Hain Mountain. The difficulties and inner contradictions that stood in the way of a true understanding of atoms and their stability seemed unlikely to be removed or even reduced-on the contrary, they became still more acute. All attempts to surmount them with the conceptual tools of the older physics appeared doomed to failure.

Bohr estaba muy interesado en la filosofía de la física de entonces. No se conformaba con simplemente poner fórmulas que concordaran con los experimentos. Quería construir algo más firme, sin tener que mezclar física clásica con postulados extraños.

There was, for instance, the discovery by the American physicist, Arthur Holly Compton, that light (or more precisely X-rays) changes its wavelength when radiation is scattered by free electrons. This result could be explained by Einstein's hypothesis that light consists of small corpuscles or packets of energy, moving through space with great velocity and occasionally-e.g., during the process of scattering-colliding with an electron. On the other hand, there was a great deal of experimental evidence to suggest that the only basic difference between light and radio waves was that the former are of shorter length; in other words, that a light ray is a wave and not a stream of particles. Moreover, attempts by the Dutch physicist, Ornstein, to determine the intensity ratio of spectral lines in a so-called multiplet had produced very strange results. These ratios can be determined with the help of Bohr's theory. Now it appeared that, although the formulae derived from Bohr's theory were incorrect, a minor modification produced new formulae that fitted the experimental results. And so physicists gradually learned to adapt themselves to a host of difficulties. They became used to the fact that the concepts and models of classical physics were not rigorously applicable to processes on the atomic scale. On the other hand, they had come to appreciate that, by skillful use of the resulting freedom, they could, on occasion, guess the correct mathematical formulation of some of the details.

Heisenberg había conocido a Bohr en esos tiempos, ver Bohr y Heisenberg, primer encuentro. Yo no conocía el trabajo de Ornstein, que se menciona arriba. Vemos cómo gran parte del problema era explicar el espectro atómico. Muy importante fue el efecto Compton, que continuó poniendo en evidencia el papel de la frecuencia, que ya había aparecido en los trabajos de Planck y la radiación del cuerpo negro, y de Einstein y el efecto fotoeléctrico.

In the seminars run by Max Born in Gottingen during the summer of 1924, we had begun to speak of a new quantum mechanics that would one day oust the old Newtonian mechanics, and whose vague outlines could already be discerned here and there. Even during the subsequent winter term, which I once again spent in Copenhagen, trying to develop Kramers' theory of dispersion phenomena, our efforts were devoted not so much to deriving the correct mathematical relationships as to guessing them from similarities with the formulae of classical theory.

Max Born acuñó el término "mecánica cuántica" en un artículo de aquellos años. Heisenberg menciona a Kramer, que era ayudante de Bohr, al que conoció al trabajar en Copenhagen. Había algo de rivalidad entre ellos, o por lo menos parece que Heisenberg (apenas algunos años más joven que Kramer) lo veía como el principal "rival" en el ambiente físico de aquella época. Eso no impidió que escribiera con él y con Bohr, un artículo seminal sobre el tema. La fórmula de dispersión de Kramer pasaría a ocupar un lugar importante en lo que se desarrollaría entonces. En el próximo post veremos cómo fueron los días de Heisenberg cuando escribió su "paper" de 1925.

Nos leemos!

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Sigo leyendo a Gould y comentando este interesant tema:

El estereotipo del "método científico" no tiene lugar para la historia irreducible.

Sigue mencionando un estereotipo de "método científico" entre comillas, pero no ha presentado aún la descripción de lo que toma por esa expresión. Algo viene ahora:

 Las leyes de la naturaleza se definen por su invariancia en el espacio y en el tiempo. Las técnicas del experimento controlado, y la reducción de la complejidad natural a un conjunto mínimo de causas generales, presuponen que todas las épocas pueden tratarse del mismo modo y que pueden ser adecuadamente simuladas en el laboratorio. El cuarzo cámbrico es como el cuarzo moderno: tetraedros de silicio y de oxígeno enlazados entre sí en todos los vértices. Determínense las propiedades del cuarzo moderno bajo condiciones controladas en un laboratorio, y uno puede interpretar las playas de arena de la Arenisca de Potsdam del Cámbrico.

Bien, esta describiendo temas de física y química. Y aparece "leyes de la naturaleza". En mi postura, la actividad científica no está orientada a la obtención de leyes (apenas persigue eso en la física y aledaños), sino a la formación de modelos explicativos de la realidad. De ahí que no tenga tanto conflicto con esteoreotipos o realidades de un método científico. La formación de modelos es UNO DE LOS PASOS del método científico. Los demás son el estudio de la realidad, y la corroboración de los modelos propuestos. A veces se puede apelar a experimentos y otras veces no.

Pero supóngase que uno quiere saber por qué murieron los dinosaurios, o por qué florecieron los moluscos mientras que Wiwaxia perecía. El laboratorio no es irrelevante, y puede brindar importantes atisbos por analogía. (Por ejemplo, podemos aprender algo interesante acerca de la extinción del Cretácico comprobando las tolerancias fisiológicas de los organismos modernos, o incluso de "modelos" de dinosaurios, bajo los cambios ambientales propuestos en las diversas teorías acerca de esta gran extinción.) Pero las técnicas restringidas del "método científico" no pueden llegar hasta el meollo de este acontecimiento singular que implica a seres que hace mucho tiempo que murieron en una Tierra cuyos climas y posiciones continentales eran notoriamente distintos de los de hoy en día.

Insisto: método científico es más que eso, pero acepto que Gould está poniendo de relieve las dificultades del estereotipo. La actividad científica contempla la historia, como justamente menciona Gould más abajo, ante una hipótesis para explicar la extinción de los dinosaurios: la caída de meteorito(s). Pero el método científico pide corroboración de ese modelo, buscando trazas de esa caída, y un modelo explicativo de por qué esa brusca aparición en la historia provocó la extinción de los dinosaurios (y no la extinción de toda la vida, por ejemplo).

La resolución de la historia debe hallarse enraizada en la reconstrucción de los mismos acontecimientos pasados (en sus propios términos), basada en la evidencia narrativa de los fenómenos únicos que les son propios. Ninguna ley garantizaba la extinción de Wiwaxia pero algún complejo conjunto de acontecimientos conspiró para conseguir este resultado; y podemos recuperar las causas si, por buena fortuna, en nuestro registro geológico lleno de agujeros hay suficientes pruebas registradas de ello. (Por ejemplo, hasta hace diez años no supimos que la extinción del Cretácico correspondió en el tiempo con el probable impacto de uno o varios cuerpos extraterrestres sobre la Tierra, aunque las pruebas, en forma de signaturas químicas, siempre habían existido en las rocas de edad adecuada.)

Lo que Gould pone en el tapete es la importancia de la contingencia. En lo que describo como actividad científica, no encuentro problema en investigar, aceptar la influencia de lo histórico. Hasta puede que tengamos que adoptar algo de esa actitud en las investigaciones en cosmología. Lo importante es ver que método científico no es método científico como en física clásica. Es algo más: el diálogo con la realidad, y la realidad tiene pasado.

Dos notas: el Wiwaxia que menciona ya aparece en ese su libro, como ejemplo de animal extinguido, que podría haber formado todo un reino animal aparte. No sabemos por qué se extinguió. Puede ser que no pudiera adaptarse, o que por alguna CONTINGENCIA sus individuos desaparecieron. La aparición de algo cercano al azar pudo bien haber cambiado la historia de la vida en la Tierra. El tema dinosaurios, da para mucho comentario. Les recomiendo la lectura de "El Asunto Némesis" de David M. Raup, Alianza Editorial, donde también aparece Gould.

Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Wiwaxia
http://en.wikipedia.org/wiki/Nemesis_(hypothetical_star)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Sigamos leyendo a Darwin, cuando al final de la introducción escribe:

Nadie debe sorprenderse por lo mucho que queda todavía queda sin explicar respecto al origen de las especies y variedades, si se hace el cargo debido de nuestra profunda ignorancia respecto a las relaciones mutuas de los muchos seres que viven a nuestro alrededor. ¿Quién puede explicar por qué una especie se extiende mucho y es numerosísima y por qué otra especie afín tiene una dispersión reducida y es rara? Sin embargo, estas relaciones son de suma importancia, pues determinan la prosperidad presente y, a mi juicio, la futura fortuna y variación de cada uno de los habitantes del mundo.

Llama la atención de nuevo sobre las relaciones, casi puede intuirse el moderno concepto de ecosistema. Ya antes había mencionado lo asombroso de encontrarse con organismos tan adaptados a su medio.Y ahora viene su declaración de su pensamiento: las especies no son inmutables. Yo no conocía que inicialmente no pensara así: imaginé que Darwin tendría alguna idea de los cambios en las especies, luego de la influencia la obra de su abuelo, Eramus Darwin. Leo:

Todavía sabemos menos de las relaciones mutuas de los innumerables habitantes de la tierra durante las diversas épocas geológicas pasadas de su historia. Aunque mucho permanece y permanecerá largo tiempo oscuro, no puedo, después del más reflexionado estudio y desapasionado juicio de que soy capaz, abrigar duda alguna de que la opinión que la mayor parte de los naturalistas mantuvieron hasta hace poco, y que yo mantuve anteriormente -o sea que cada especie ha sido creada independientemente-, es errónea. Estoy completamente convencido de que las especies no son inmutables y de que las que pertenecen a lo que se llama el mismo género son descendientes directos de alguna otra especie, generalmente extinguida, de la misma manera que las variedades reconocidas de una especie son los descendientes de ésta. Además, estoy convencido de que la selección natural ha sido el medio más importante, si bien no el único de modificación.

No llega a afirmar todavía que todas las especies descienden de una sola. O que ramas disímiles como los lagartos, dinosaurios y aves podrían tener una sola especie antepasada. Creo que no llega nunca a esa conclusión. Eso nos vino luego, con el avance de la teoría y de nuestro conocimiento. Por ejemplo, cuando se fue descubriendo la total similitud de los ladrillos de nuestro ADN, en todos los organismos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Ya publiqué sobre el tema en Teorías Gauge: Enlaces y Recursos (1). Comienzo hoy a compartir notas sobre el tema. Partamos desde el artículo:

http://en.wikipedia.org/wiki/Introduction_to_gauge_theory

In physics, gauge invariance (also called gauge symmetry) is the property of a field theory in which different configurations of the underlying fields—which are not themselves directly observable—result in identical observable quantities. A theory with such a property is called a gauge theory. A transformation from one such field configuration to another is called a gauge transformation.^[1][2]

Lo primero a destacar: se trata de algo relacionado con teorías de campo:

http://en.wikipedia.org/wiki/Field_(physics)

A field is a physical quantity that has a value for each point in space and time.^[1] For example, in a weather forecast, the wind velocity is described by assigning a vector to each point in space. Each vector represents the speed and direction of the movement of air at that point.

En una teoría de campos, entonces, se le asigna un valor a cada punto del espacio y el tiempo. El campo completo representa una entidad física. Hablamos de campo electromagnético, o de campo gravitatorio, o de campo de Higgs. El valor no tiene que ser un número plano, según el anterior artículo sobre campos en física:

A field can be classified as a scalar field, a vector field, a spinor field or a tensor fieldaccording to whether the value of the field at each point is a scalar, a vector, aspinor or a tensor, respectively. For example, the Newtonian gravitational field is a vector field: specifying its value at a point in spacetime requires three numbers, the components of the gravitational field vector at that point. Moreover, within each category (scalar, vector, tensor), a field can be either a classical field or a quantum field, depending on whether it is characterized by numbers or quantum operatorsrespectively.

Vemos que hay campos clásicos y campos cuánticos. En los primeros, los resultados (escalares, vectores, tensores) se caracterizan por números. En los segundos, aparece el uso de operadores cuánticos. Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Field_(physics)#Quantum_fields

It is now believed that quantum mechanics should underlie all physical phenomena, so that a classical field theory should, at least in principle, permit a recasting in quantum mechanical terms; success yields the corresponding quantum field theory. For example, quantizing classical electrodynamics gives quantum electrodynamics. Quantum electrodynamics is arguably the most successful scientific theory; experimental data confirm its predictions to a higher precision (to more significant digits) than any other theory.^[12] The two other fundamental quantum field theories are quantum chromodynamics and theelectroweak theory.

 Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Operator_(physics)
http://en.wikipedia.org/wiki/Operator_(physics)#Operators_in_quantum_mechanics

The mathematical formulation of quantum mechanics (QM) is built upon the concept of an operator.

The wavefunction represents the probability amplitude of finding the system in that state. The terms "wavefunction" and "state" in QM context are usually used interchangeably.

Physical pure states in quantum mechanics are represented as unit-norm vectors (probabilities are normalized to one) in a special complex vector space: a Hilbert space. Time evolution in this vector space is given by the application of the evolution operator.

Any observable, i.e., any quantity which can be measured in a physical experiment, should be associated with a self-adjointlinear operator. The operators must yield real eigenvalues, since they are values which may come up as the result of the experiment. Mathematically this means the operators must be Hermitian.^[1] The probability of each eigenvalue is related to the projection of the physical state on the subspace related to that eigenvalue. See below for mathematical details.

Es el tema que estoy explorando en Matemáticas y Física Cuántica.

Pero volvamos a las teorías gauge. Mi primer encuentro con ellas se remonta a los años ochenta, a un artículo clásico de Gerard't Hooft en el Scientific America (Investigación y Ciencia, de España). El título era "Teorías de aforo" pero desde entonces, prácticamente nadie usa la palabra "aforo" y todos se refieren a "gauge".  Ver también el artículo de 't Hooft:

http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_theories

Esta palabra inglesa "gauge" se puede traducir por "calibre". Pero ¿qué quiere decir "gauge" en este contexto de "teoría gauge"? Lo que dice el artículo de la Wikipedia: a veces, podemos describir un campo con una expresión distinta, y aún así, la física que describe es la misma. El primer ejemplo que tengo es el de la función de onda en mecánica cuántica (ver ... ). Es una función que da un valor complejo para cada punto del espacio y del tiempo. Pero si esos valores los multiplicamos por un valor complejo cualquiera de "longitud" 1 (por un e elevado a la i rho), la expresión es DISTINTA, pero la física descripta ES LA MISMA. Esta equivalencia nace de transformar la expresión GLOBALMENTE, es decir, multiplicándola por EL MISMO valor complejo unitario en todos los puntos. Veremos que hay teorías gauge donde se hace una transformación distinta en cada punto.

Volviendo al artículo introductorio de la Wikipedia citado al principio:

Modern physical theories describe reality in terms of fields, e.g., theelectromagnetic field, the gravitational field, and fields for the electron and all other elementary particles. A general feature of these theories is that none of these fundamental fields, which are the fields that change under a gauge transformation, can be directly measured. On the other hand, the observable quantities, namely the ones that can be measured experimentally—charges, energies, velocities, etc.—do not change under a gauge transformation, even though they are derived from the fields that do change. This (and any) kind of invariance under a transformation is called a symmetry.

Hay algo que cambia (el campo, su descripción matemática, algún parámetro) y algo que no cambia (las cantidades observables). Ante un cambio, hay una invariancia. Y como siempre que nos topamos con invariancia, aparece simetría. Ver algo de las matemáticas en Funciones Invariantes, donde vemos que las transformaciones que dejan invariante una expresión (en este caso, lo que no varía es la expresión, no solamente los valores medibles experimentalmente) forman un grupo. El mismo artículo muestra un ejemplo de campo gauge:

For example, in electromagnetism the electric and magnetic fields, E and B, are observable, while the potentials V ("voltage") and A (the vector potential) are not.^[3] Under a gauge transformation in which a constant is added to V, no observable change occurs in E or B.

Cuando en nuestros hogares llegan 220 voltios (como aquí en Argentina), no es que estamos midiendo el potencial, sino LA DIFERENCIA entre dos potenciales situados en el origen de la red eléctrica. Si ambos potenciales subieran en 100000 voltios, nuestros artefactos eléctricos funcionarían igual. Si bien las teorías gauge ya aparecen con el electromagnetismo, es en el siglo XX donde surgen con más fuerza, con la cuántica:

With the advent of quantum mechanics in the 1920s, and with successive advances in quantum field theory, the importance of gauge transformations has steadily grown. Gauge theories constrain the laws of physics, because all the changes induced by a gauge transformation have to cancel each other out when written in terms of observable quantities. Over the course of the 20th century, physicists gradually realized that all forces (fundamental interactions) arise from the constraints imposed by local gauge symmetries, in which case the transformations vary from point to point in space and time.

Y esos son dos grandes puntos: uno, cómo lo gauge restringe las leyes de la física, y dos, cómo las simetrías de las transformaciones gauge locales se relacionan con las fuerzas fundamentales.

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Angel "Java" Lopez
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Comienzo hoy esta serie, de un tema amplísimo. Pero ha llegado el momento de encararlo. Vamos a explorar cómo son las matemáticas de la física cuántica. En primer lugar, exploraremos mecánica cuántica como había sido planteada en los años veinte del siglo pasado por Heisenberg, Schrödinger, Dirac y otros. Pero en algún momento iremos algo más allá, por ejemplo, en la relación de la teoría de grupos con la física, y en particular la física cuántica, y en la extensión a la relatividad especial, que dio nacimiento a la teoría cuántica de campos.

Notemos que tanto en física clásica como en física cuántica, se tratan estados físicos. Veamos el caso simple de un electrón libre. Para la física clásica, sería una partícula en el espacio. Bastará para describir su estado físico dar su posición y su velocidad, en un instante de tiempo. La posición se expresa en algún sistema de referencia, con valores numéricos y unidades, lo mismo su velocidad, que será un vector, no solo un número (importa su sentido y dirección, además de su "intensidad"). También se necesitará describir el entorno: ¿hay gravitación? ¿Hay campo electromagnético? Si los hay ¿varían con el tiempo? Dado todo eso, se puede describir clásicamente la evolución del sistema electrón-entorno simple.

La gran novedad de la física cuántica, y de sus matemáticas de base, es que sigue habiendo estado, pero su descripción es muy distinta. Aparece la función de onda (el primero es mostrarla en todo su esplendor, fue Erwin Schrödinger, ver mi serie La Ecuación de Schrödinger)

¿Qué es eso de la función de onda? Primero, designemos al estado físico, con una simple letra griega:

Digamos, para fijar ideas, que estamos interesados en el estado de un electrón, libre, con entorno simple. Luego, la función de onda es una función que REPRESENTA a ese estado físico, y que depende de las coordenadas que usemos:

Podemos poner que q son las coordenadas habituales espaciales: x, y, z. Lo de arriba es una abreviatura para:

Cuando trabajamos con esas coordenadas x, y, z. Pero llegarán casos donde tengamos otros sistemas de coordenadas, y así es conveniente habituarnos a hablar de un q genérico.

Podemos tener también una función de onda que dependa del tiempo:

Y el gran trabajo de Schrodinger fue descubrir cómo evoluciona la función de onda en el tiempo, dado un sistema electrón-entorno. Hizo por la mecánica cuántica lo que que Newton por la clásica: planteó ecuaciones diferenciales para describir el cambio en el tiempo de un estado físico. Pero ya llegaremos a esas ecuaciones.

Ahora tenemos la función de onda, apenas esbozada. ¿Qué devuelve? Pues, para cada conjunto de valores de coordenadas q (digamos para cada x, y, z), DEVUELVE UN NUMERO COMPLEJO. Epa ¿por qué? Si siempre en física clásica nos hemos manejado con números reales. Bueno, esa es la primera gran sorpresa de la mecánica cuántica: aparecen en primer plano los números complejos. La segunda gran sorpresa es que el estado del electrón no se especifica por una terna de valores x, y, z: no, el estado que pusimos arriba con una letra griega, se describe CON TODOS LOS VALORES de la función de onda. En cada punto del espacio el electrón tiene un valor complejo asociado.

Bien, mientras digerimos estas novedades, aprendamos que a ese valor complejo se le llama amplitud. En cada punto del espacio, la función de onda da una amplitud (compleja) para el electrón. ¿Y qué es esa amplitud? ¿qué representa FISICAMENTE? Notablemente, Schrödinger no dio en el clavo para esa respuesta: pensó que esa amplitud estaba relacionada con una densidad electrónica, de carga eléctrica, o algo así, repartida en el espacio. Veremos que la amplitud está relacionada con la probabilidad de encontrar al electrón en un volumen de espacio. Pero recordemos: probabilidad no es lo mismo que amplitud. Mientras que la primera es un número real no negativo, la segunda es un valor complejo.

A los físicos les interesa conocer otros aspectos de un sistema, en nuestro caso del electrón, como su posición, velocidad, energía, momento, etc. Ahora, en mecánica cuántica, tendremos que trabajar sobre la función de onda, nuestra principal fuente de información, para obtener algunos valores físicamente útiles. Tenemos un largo camino que recorrer en los próximos posts. Temas que vendrán:

- Principio de superposición
- Obteniendo la probabilidad en un volumen
- Magnitud física
- Espectro discreto y continuo de valores de una magnitud física
- Funciones y valores propios
- Operadores como magnitudes físicas
- Vectores de estado, bras, kets
- Hamiltoniano
- Lagrangiano
- Matriz S
- etc..

Ya hay otras series de post en los que trato temas no tan centrados en matemáticas como esta serie. En mi serie Física Cuántica vemos el desarrollo de los conceptos de la física cuántica a partir de experimentos idealizados, donde las matemáticas se insuflan de apoco. En esta nueva serie, quiero abordar más directamente el aspecto matemático, dando por sentado los experimentos físicos.

En Realidad y Física Cuántica quiero explorar la relación de todos estos conceptos y formulismos con la realidad.

En Notas sobre el Desarrollo de la Física Cuántica quiero compartir algunas notas, lecturas que he encontrado sobre el desarrollo histórico de estos temas, y el funcionamiento de la ciencia.

En Teoría de Grupos y Partículas Elementales me zambullo en un tema fascinante. Tenemos que ver qué es eso de la teoría de grupos aplicada a algo que vino luego de la física de campos: el modelo estándar de partículas elementales.

En Las Tres Espectroscopías estoy viendo de visitar qué hemos descubierto siguiendo la pista de tres espectroscopías a las que los físicos le han dedicado más de un siglo.

En Historia de las Partículas Elementales sigo la pista de esa historia. En cuántica, no hay "partículas" como en física clásica, bolitas desplegadas en un espacio. Pero igual asombra, como en el caso de las espectrospopías, que no se da en la realidad lo continuo, sino lo discreto. Esa pista que nos da la naturaleza pasó por milenios desapercibida, oculta, sin que nos diéramos cuenta, debido a que nuestra realidad cotidiana no se topa con esos fenómenos, al menos de manera evidente. Tanto la cuántica como la relatividad einsteniana nos vinieron a sacar de la zona de comfort a la que había llegado la física a fines del siglo XIX, cuando parecía que todo estaba resuelto y sólo era cuestión de "calcular algunos decimales más" en algunas teorías.

Nos leemos!

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Desde hace más de un siglo, los físicos han venido intensificando su búsqueda para explicar la materia. Más de una vez, todo parecía explicado, cuando algún experimento nuevo daba nuevos horizontes y fenómenos a explicar. Una de las estrategias más empleadas, fue producir experimentos donde cada vez se usara más energía.

Al principio, sólo había algún acelerador de electrones, en el tubo de rayos catódicos. Luego aparecieron nuevos aparatos, como las máquinas de Crokcroft-Walton y de Van der Graf. A éstas las sucedieron los ciclotrones, los betatrones, los sincrotones de protones, cada vez de mayor tamaño y costo. Así hemos llegado en nuestros tiempos al gran Large Hadron Collider (LHC) de tan mentada fama en el descubrimieno de lo que se supone es la partícula de Higgs.

¿Adónde nos ha llevado toda esta investigación? ¿Qué descubrimos así de los bloques fundamentales que forman la naturaleza? Esta serie de post que inicio, tratará de hacernos visitar las etapas que se fueron investigando, destacando que todas fueron variantes de espectroscopía: agitar la materia y ver qué produce.

En este camino, hay algo notable, inesperado: cuando uno calienta un trozo de hierro en la fragua, y luego lo aparta, el metal irradia la energía que fue absorviendo. Lo mismo pasa con la materia. Pero en vez de irradiar de forma continua, la gran sorpresa fue que no lo hacía: tanto el modelo de Planck para explicar la radiación de cuerpo negro, como el modelo de Einstein para explicar el efecto fotoeléctrico, pusieron en el tapete la existencia de emisión y absorción en forma de cuantos, lo que hoy llamamos fotones.

Este fue el primer paso para la formación de la mecánica cuántica. Tenemos que detenernos un momento en este fenómeno. Lo ilustraré con imágenes simplificadas de lo que sabemos hoy que sucede. Sea un átomo de hidrógeno:

Como dije, es una imagen simplficada. En el centro, representamos el único protón del núcleo. Por fuera, un esquema de órbita electrónica. La física cuántica nos enseñó que el diagrama de arriba no corresponde a la realidad: no hay trayectoria electrónica definida, ni siquiera el protón es una "bolita" en el centro. Pero para esta introducción didáctica nos va a servir.

Por influencia externa, por ejemplo, por un campo electromagnético como la incidencia de luz, nuestro átomo pasa a estar en un estado excitado:

Dos consideraciones: en este estado excitado, lo que cambió fue el estado del electrón. En estos primeros experimentos, a bajas energías, el núcleo de los átomos permanecía inalterado. Y la segunda consideración: se fue descubriendo que el electrón no puede excitarse a CUALQUIER ORBITA. No, las órbita permitidas se fueron descubriendo, y eran apenas unas pocas, no un conjunto continuo de valores. Esto apareció históricamente con el estudio del espectro de los elementos. De ahí que denomine a estos estudios la primera espectroscopía que tenemos que visitar.

Luego, por influencia externa o no, el átomo se desexcitaba:

PERO EMITIENDO ALGO, lo que hoy llamamos un fotón, y que entonces se reconocía con luz (rayos gamma si tenían mucha energía, rayos X, luz visible, ondas en infrarrojo, ondas de radio, etc). Pero como decía antes, se descubrió que no se emitía cualquier cosa: no aparecía nunca un fotón y medio, o medio fotón, sino siempre un fotón. Podía tener distintas características (como frecuencia y longitud de onda), pero asociadas al nivel de energía devuelto al exterior por el átomo.

Todo esto era nuevo, a comienzos del siglo XX. Nadie había imaginado que la naturaleza se iba a comportar de esta forma, más discreta que continua. Desde entonces, hemos ido descubriendo más de este tipo de experimentos: excitaciones de la materia, que derivan en la emisión discreta de partículas.

Me sirve de base para esta serie, el excelente artículo "Las tres espectroscopías", de Victor F. Weisskopf, publicado en el Scientific American, en Mayo de 1968. El propio autor presenta imágenes simplicadas como las de arriba. Lo importante es empezar a ver las similitudes y diferencias en esta larga serie de experiencias, y lo notable de la aparición de partículas, cuantos en todos los desarrollos que aparecieron. ¿La naturaleza nos está dando un mensaje? ¿un "lo continuo no existe"?

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Sigo compartiendo el prefacio de "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics", de John Von Neumann. Viene una mención y crítica al trabajo de Dirac:

Dirac, in several papers, as well as in his recently published book, has given a representation of
quantum mechanics which is scarcely to be surpassed in brevity and elegance, and which is at the same time of invariant character. It is therefore perhaps fitting to advance a few arguments on behalf of our method, which deviates considerably from that of Dirac.

Von Neumann destaca el carácter invariante del trabajo de Dirac, es decir, independiente de las coordenadas.

The method of Dirac, mentioned above, (and this is overlooked today in a great part of quantum mechanical literature, because of the clarity and elegance of the theory) in.no way satisfies the requirements of  mathematical rigor — not even if these are reduced in a natural and proper fashion to the extent common elsewhere in  theoretical physics. For example, the method adheres to the fiction that each self-adjoint operator can be put in diagonal form. In the case of those operators for which this is not actually the case, this requires the  introduction of "improper" functions with self-contradictory properties. The insertion of such a mathematical "fiction" is frequently necessary in Dirac's approach, even though
the problem at hand is merely one of calculating  numerically the result of a clearly defined experiment.

Supongo que se refiere a las delta de Dirac. Años después, éstas serían adoptadas en rigor gracias al trabajo de Schwartz. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function

There would be no objection here if these concepts, which cannot be incorporated into the present day framework of analysis, were intrinsically necessary for the physical theory. Thus, as Newtonian mechanics first brought about the development of the infinitesimal calculus, which, in its original form, was undoubtedly not self-consistent, so quantum mechanics might suggest a new structure for our "analysis of infinitely many variables" — i.e., the  mathematical technique would have to be changed, and not the
physical theory.

Interesante que ponga a la física newtoniana y el cálculo (no riguroso al principio), como ejemplo. Pero los diferencia de lo que se necesita para la cuántica:

But this is by no means the case. It should rather be pointed out that : the quantum mechanical "Transformation theory" can be established in a manner which is just as clear and unified, but which is also  without mathematical objections. It should be emphasized that the correct structure need not consist in a  mathematical refinement and explanation of the Dirac method, but rather that it requires a procedure differing from the very beginning, namely, the reliance on the Hilbert theory of operators.

Veré qué puedo aprender de este "approach" distinto. Seguimos leyendo en el próximo post.

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Comienzo hoy una serie (que podría ser interminable) sobre un tema grandísimo: los avances que ha hecho la física en los últimos ciento y pico de años para descubrir y comprender lo que llamamos "partículas elementales". Es un gran tema que abarca tanto la física experimental como la teórica, y es un ejemplo más que interesante sobre cómo trabaja la ciencia.

Empecemos este largo camino con un pantallazo de la situación de la física al terminar el siglo XIX y comenzar el XX. En el siglo que terminaba, había continuado el gran desarrollo de la mecánica clásica, impulsada por el estudio de la mecánica celeste y el gran aporte de nuevos modelos matemáticos. Pero la joya de la centuria eran los avances de Faraday, Maxwell y otros en el desarrollo del electromagnetismo. Fenómenos eléctricos y magnéticos, conocidos desde la antiguedad, pero dejados algo de lado por el avance de la mecánica clásica y la óptica, fueron unificados luego de pacientes experimentos, modelos propuestos y el andamiaje matemático que se consiguió aplicar (recuerdo que las que conocemos como ecuaciones de Maxwell no fueron escritas así por él, sino que fue el resultado de la evolución de la notación a finales del siglo XIX, en especial gracias al aporte de los operadores inventados por Heaviside).

Pero además, en los últimos años, se habían sumado nuevos fenómenos, nuevos problemas, nuevas excitaciones y anticipaciones. Teníamos los rayos catódicos, el efecto fotoeléctrico, la radioactividad, los rayos X, el efecto Zeeman, y la notable ley de Rydberg para explicar las líneas espectrales, que serían la puerta de entrada de "lo discreto" en física, y luego uno de los motores de la física cuántica. Hacía poco tiempo que alguien había dicho (creo que Lord Kelvin): "en física, ahora sólo hace falta ajustar algunos decimales". Pero no: realmente el panorama estaba en ebullición, y no se sabía en qué iba a terminar todo.

Los átomos todavía no habían sido aceptados por todos. La estructura atómica de la materia se había discutido desde los antiguos griegos, pero fue con Dalton donde asomó de nuevo vigorizada con el avance de la química. Pero para muchos físicos, los átomos eran sólo un modelo superficial, algo que ayudaba a los químicos en sus ideas, pero que no eran reflejo de una realidad física, solamente un aditamento, una herramienta para facilitar el avance. Por ejemplo, Mach nunca adoptó el atomismo. Y Ostwal fue a duras penas convencido recién entrado el siglo XX. En fechas tan tardías como 1897, lord Kelvin describía a "la electricidad como un líquido continuo homogéneo". Pero en el mismo año, J.J.Thomson ejecutaba su famoso experimento que determinaba la razón e/m de la masa y la carga de los rayos catódicos. El positivismo se hubiera quedado en una simple ley matemática, pero Thomson fue más allá (como hace casi cualquier científico) y propuso un modelo: la existencia del electrón. Nuestra primer partícula elemental.

Por hoy bastante, basta agregar las fuentes consultadas. Por un lado, el excelente "Elementary particles, a short history of discoveries in atomic physics", de Chen Ning Yang. Por otro, el también excelente "De los rayos X a los quarks", de Emilio Segré. Y otras lecturas que iré mencionando.

Nos leemos!

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Venga hoy una nueva serie, que necesito escribir para poner en claro algunos puntos que estoy estudiando. En estos días me encuentro con un libro clásico: "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics", de John Von Neumann. Paso en esta serie a compartir y comentar el prefacio. Hoy leo:

The object of this book is to present the new quantum mechanics in a unified representation which, so far as it is possible and useful, is mathematically rigorous. This new quantum mechanics has in recent years achieved in its essential parts what is presumably a definitive form: the so-called "transformation theory." Therefore the principal emphasis, shall be placed on the general and fundamental questions which have arisen in connection with this theory. In particular, the difficult problems of interpretation, many of which are even now not fully resolved, will be investigated in detail* In this context the relation of quantum mechanics to statistics and to the classical statistical mechanics is of special importance. However, we shall as a rule omit any discussion of the application of quantum mechanical methods to particular problems, as well as any discussion of special theories derived from the general theory — at least so far as this is possible without endangering the understanding of the general relationships. This seems the more advisable since several excellent treatments of these problems are either in print or in process of publication.

Para "transformation theory" leer:

http://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_theory_(quantum_mechanics)

The term transformation theory refers to a procedure and a "picture" used by P. A. M. Dirac in his early formulation of quantum theory, from around 1927.^[1]

This "transformation" idea refers to the changes a quantum state undergoes in the course of time, whereby its vector "moves" between "positions" or "orientations" in itsHilbert space.^[2] Time evolution, quantum transitions, and symmetry transformations in Quantum mechanics may thus be viewed as the systematic theory of abstract, generalized rotations in this space of quantum state vectors.

Remaining in full use today, it would be regarded as a topic in the mathematics of Hilbert space, although, technically speaking, it is somewhat more general in scope. While the terminology is reminiscent of rotations of vectors in ordinary space, the Hilbert space of a quantum object is more general, and holds its entire quantum state.

(The term further sometimes evokes the wave-particle duality, according to which aparticle (a "small" physical object) may display either particle or wave aspects, depending on the observational situation. Or, indeed, a variety of intermediate aspects, as the situation demands.)

Se refiere principalmente al trabajo de P.A.M. Dirac. Von Neumann es consciente de los problemas de interpretación a los que da lugar la teoría de la transformación. Es importante no olvidar ese punto. Por otro lado, von Neumann, como matemático, prefiere renuncia al tratamiento con matrices, y pasar a trabajar con operados. Leo:

On the other hand, a presentation of the mathematical tools necessary for the purposes of this theory will be given, i. e., a theory of Hilbert space and the so called Hermitean operators. For this end, an accurate introduction to unbounded operators is also necessary, i.e., an extension of the theory beyond its classical limits (developed by Hilbert and E. Hellinger, P. Riesz, E. Schmidt, 0. Toeplitz). The following may be said regarding the method employed in this mode of treatment: as a rule, calculations should be performed with the operators themselves (which represent physical quantities) and not with the matrices, which, after the introduction of a (special and arbitrary) coordinate system in Hilbert space, result from them. This "coordinate free, " i.e., invariant, method, with its strongly geometric language, possesses noticeable formal advantages.

Vemos que prefiere el "coordinate free", el trabajar sin unas coordenadas en particular, en un lenguaje geométrico. Gran parte de la física moderna lucha por liberarse de las coordenadas, y describir sus modelos en forma de una geometría sin "punto de origen" o "ejes coordenados". Tengo que estudiar los "unbounded operatros", que parecen necesitar una "extension of the theory".

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El electromagnetismo es un tema muy importante en la física moderna. Nacido en el siglo XIX, la teoría electromagnética ha ido evolucionando, ya con conceptos, nuevo formulismo, y adecuación a experimentos. Por ejemplo, la teoría especial de la relatividad es una gran conciliación de los experimentos (como el de Michelson-Morley) con lo que se sabía del electromagnetismo desde Maxwell (y otros). Es la física newtoniana la que tuvo que ser adecuada para concordar con lo que se conoce.

En el siglo XX, el electromagnetismo se junta también con la cuántica, apareciendo formulaciones con fotones y campos cuánticos. Y luego extensiones más poderosas. Pero hoy quisiera comenzar mi camino por el electromagnetismo clásico, un tema que me debo.

Es común estudiar física, y encontrarse con mecánica, dinámica y otros problemas. Pero el electromagnetismo es como que pertenece a otra "categoría": por una lado, se olvida su desarrollo clásico, a favor de la aproximación cuántica. Y por otro, esta aproximación no es trivial. Así que es tiempo que comience a visitar el campo del electromagnetismo clásico, algo olvidado en los textos de divulgación.

El primer paso en este largo camino es la ley de Coulomb, ilustrada por la siguiente figura:

Esta ley establece que las fuerzas eléctricas (vean que todavía no aparece magnetismo) entre dos cargas puntuales es inversamente proporcional al cuadrado de las distancias entre ellas, y directamente proporcional al producto de sus cargas. La dirección de la fuerza coincide con la línea que une a las dos cargas. En seguida vemos que la ley de Coulomb se parece a la ley gravitatoria. Pero con dos grandes diferencias:

- No toda la materia tiene carga eléctrica
- La fuerza viene con dos signos: atractivas y repulsivas

Es como si la naturaleza quisiera avisarnos: "les he desplegado otra fuerza, para que vean que la gravedad no es la única". Son estas características especiales de las cargas eléctricas lo que llama la atención a un físico. ¿Por qué estas grandes diferencias cualitativas entre la gravedad y la fuerza eléctrica? ¿habrá otras fuerzas, con diferencias más acusadas, para encontrar en la naturaleza?

Los físicos gustan de escribir las leyes en fórmulas matemáticas. La ley de Coulomb puede ser escrita así:

Que da la fuerza sobre la carga q debido a la presencia de la carga q" en términos de un vector unitario r-sombrero. Ese vector es un vector sin dimensiones que se obtiene dividendo el vector que une las cargas por su longitud:

Entonces, la ley de Coulomb puede escribirse como:

Hay una constante de proporcionalidad k que dependerá del sistema de unidades que usemos. Por ahora, nos basta comenzar a entender la existencia de estas relaciones.

Algo a destacar ahora: las fuerzas se ubican sobre la línea que une las cargas. En esto, la fuerza eléctrica cumple con la tercera ley de Newton de fuerzas iguales y direcciones opuestas (en la variante fuerte: sobre la misma línea). Veremos que si bien la ley de Newton es cumplida por estas fuerzas eléctricas, NOTABLEMENTE no se cumple en las fuerzas magnéticas. Pero podemos adelantar algo: hay dos leyes de conservación que nos ayudan a explicar estas características de la fuerza eléctrica. La ley de conservación del momento lineal implica que las fuerzas sean iguales y opuestas.  Y la conservación del momento angular, implica que las fuerzas se apliquen sobre la misma línea.

Principal fuente consultada: Classical Electromagnetism, de Jerrold Franklin.

Algo de historia en mi serie: La teoría de Maxwell-Lorentz. Otros posts:

El estilo de James Clerk Maxwell según Ludwig Boltzmann
Campos clásicos, física y matemáticas
Una propiedad del electromagnetismo, por Feynman

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Ya tenemos las relaciones de de Broglie/Einstein. Por ejemplo, dada un impulso, se le asocia a una partícula una longitud de onda. O dada una energía, se le asocia una frecuencia. Pero S chrödinger  buscaba más. Quería una relación que explicara cómo cambia en el tiempo y en el espacio esa onda asociada a una partícula. Buscó una ecuación diferencial, con derivadas parciales de tiempo y espaci.
En el post anterior, planteamos una primera función de onda a investigar:

En vez de un espacio de tres dimensiones, planteamos una sola dimensión x. Veamos de escribir:

Quedando entonces

Veamos de ir viendo hoy las derivadas parciales en x y en t. Para tomar la derivada parcial en x, se deriva totalmente en x considerando que t es una constante. Y viceversa para la derivada parcial en t. ¿Cuál será la derivada de la función seno? Podemos consultar una tabla de derivadas, pero es fácil recordar que la derivada de seno es coseno. Y que la derivada de coseno es menos seno. Lo podemos deducir de sus desarrollos en series de potencias, ver por ejemplo Series de Potencias.

Otro cosa que tenemos que recordar, es que derivada de f(kx) es k f"(x) (consecuencia de la regla de derivación de función de función).

Sabiendo eso (ahora estamos en físicos más que en matemáticos), podemos avanzar a hacer algunos cálculos simples y llegar a:

Estos resultados nos van a servir en los próximos posts. Queremos una ecuación donde aparezca de alguna forma relacionados conceptos físicos, como energía y momento. Por las relaciones de de Broglie/Einstein vamos a poder reemplazar esos conceptos físicos por frecuencia y longitud de onda. La forma en que aparezcan frecuencia/energía y longitud de onda/momento en la ecuación (sus coeficientes y exponentes) nos darán una idea de cuáles derivadas parciales intervendrán.

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Sigo con este tema inmenso e importante, que une a la física y a las matemáticas modernas. Ya vimos en el anterior post lo que es un grupo abstracto, y un ejemplo de grupo finito. A pesar de ser abstractos, los grupos intervienen en física, por ejemplo, en la transformación de estados representados por vectores, y notablemente, hay estados representados por tensores, que podemos considerar una "extensión" de las ideas vectoriales. Por un lado, tenemos estados físicos que se pueden representar por entes matemáticos. Y los grupos es como que se cuelan entre ellos, para expresar transformaciones. Pero sigamos primero explorando los grupos.

Hay un tema que no siempre se estudia cuando uno esta interesado en lo abstracto de los grupos, y en sus operaciones matemáticas. Es el tema de las representaciones. Hay una relación entre grupos abstractos y elementos concretos que se le pueden asociar, notablemente números y matrices.

La representación de un grupo es un conjunto de objetos que satisfacen la tabla de multiplicación del grupo. Con el ejemplo del anterior post:

podemos tener una representación si asignamos objetos números a cada operación, así:

e = 1
a = i
b = -1
c = -i

Donde i es la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de -1. Podemos llamar a esta representación la C₄. Como la multiplicación de números es conmutativa, también lo es entonces este grupo ejemplo en particular, o sea ab = ba para cualesquiera elementos a, b del grupo. Este grupo es también cíclico, es decir, sus elementos se obtienen a partir de potencias de un solo elemento. Un desarrollo posible es:

e = i⁴
a = i
b = i²
c = i³

Pero no es la única representación posible. Recordemos las matrices. Una matriz que represente una rotación en el plano de ángulo phi está dada por:

Si ponemos phi con los valores 0, pi /2, pi, 3pi /2, nos quedan cuatro matrices:

correspondientes, de nuevo, a las operaciones del grupo original, tomando como composición a la multiplicación de matrices de 2x2. Si recordamos, hasta podemos asociar multiplicar por i a "girar noventa grados" el plano complejo. De ahí la correspondencia entre ambas representaciones. Pueden consultar mi serie Simetrías del cuadrado para reencontrar de nuevo estas relaciones, de otra forma.

Puede haber correspondencia entre los elementos de dos grupos. La correspondencia puede ser uno a uno, dos a uno, muchos a uno, etc... Si los elementos de un grupo, correspondientes a todos los elementos del otro grupo, satisfacen la misma tabla de multiplicación, se dice que hay un homomorfismo. No solamente una correspondencia de elementos, sino también de sus operaciones y resultados de grupo. Si esa correspondencia de homomorfismo es también una a una (cada elemento de un grupo corresponde a uno y sólo un elemento del otro grupo), se dice que es un isomorfismo. Las dos representaciones de arriba corresponden uno a uno con los elementos del grupo original, y respetan la tabla de multiplicación. Son entonces isomorfas.

Ya comentamos que no todos los grupos son conmutativos. Así que no todos los grupos admitirán una representación en números (reales o complejos). Pero sí pueden tener representación en matrices. Los físicos se manejan mejor con matrices que con grupos abstractos, así que estas representaciones tienen su importancia para el tema que estamos tratando.

El ejemplo que vimos es un ejemplo de grupo finito. Pero el ejemplo de las rotaciones en el plano (con ángulo arbitrario, no sólo los cuatro de arriba) forma un grupo contínuo, donde hay elementos del grupo arbitrariamente cercanos a otros elementos del grupo. Puede demostrarse que los grupos finitos y los grupos continuos que interesan en física pueden ser representados por matrices. Es más: pueden ser representados por matricas unitarias. En estas matrices se cumple

A⁺ = A^-1

en otras palabras, la matriz traspuesta y conjugada compleja es igual a la matriz inversa. La traspuesta es la que tiene sus elementos "espejados" según la diagonal tope-izquierdo a abajo-derecha. Es decir, donde aij = aji. Y la conjugada compleja es la que tiene cada elemento como conjugado complejo del original. Combinado traspuesta y conjugada compleja, tenemos la A+. Y en el caso de las unitarias, esa matriz es LA INVERSA de la original A.

El por qué de este "unitarismo" queda en la relación que tienen estas matrices para expresar variables dinámicas en física cuántica. Puede que más adelante visitemos de nuevo el tema. Por ahora, nos contentaremos con seguir investigando este tipo de representaciones.

Nos leemos!

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Sigamos leyendo y comentando a Dirac:

One could carry out the energy measurement without destroying the component beam by, for example, reflecting the beam from a movable mirror and observing the recoil. Our description of the photon allows us to infer that, after such an energy measurement, it would not be possible to bring about any interference effects between the two components. So long as the photon is partly in one beam and partly in the other, interference.can occur when the two beams are superposed, but this possibility disappears when the photon is forced entirely into one of the beams by an observation. The other beam then no longer enters into the description of the photon, so that it counts as being entirely in the one beam in the ordinary way for any experiment that may subsequently be performed on it.

Uno podría tomar la medida de la energía sin destruir el haz, por ejemplo, haciendo que el haz se refleje en un espejo móvil, y observando el retroceso del mismo. Nuestra descripción del fotón nos permite inferir que, luego de tal medida de la energía, no sería posible encontrar ningún efecto de interferencia entre los dos componentes. Mientras que el fotón está en parte en un haz, y en parte en el otro, la interferencia puede ocurrir cada vez que los dos haces se superponen, pero esta posibilidad desaparece cuando el fotón es forzado a ser encontrado en uno de los haces, luego de una observación. El otro haz ya no entra en la descripción del fotón, y éste sólo cuenta como apareciendo en uno de los haces, para cualquier experimento que se se ejecute sobre él.

No me es claro que "nuestra descripción... nos permite inferir". Hay algún resultado experimental que Dirac se saltea, o no pone explícicamente. Eso es lo que veo que le falta a este capítulo: referencias concretas a los experimentos que nos llevan a estas conclusiones.

On these lines quantum mechanics is able to effect a reconciliation of the wave and corpuscular properties of light. The essential point is the association of each of the translational states of a photon with one of the wave functions of ordinary wave optics. The nature of this association cannot be pictured on a basis of classical mechanics, but is something entirely new. It would be quite wrong to picture the photon and its associated wave as interacting in the way in which particles and waves can interact in classical mechanics. The association can be interpreted only statistically, the wave function giving us information about the probability of our finding the photon in any particular place when we make an observation of where it is.

En estas líneas, la mecánica cuántica puede efectuar una reconciliación de las propiedades corpusculares y ondulatorias de la luz. El punto esencial es la asociación de cada estado de traslación del fotón con una de las funciones de onda de la óptica ondulatoria ordinaria. La naturaleza de esta asociación no puede ser imaginada sobre la base de la mecánica clásica, sino que es algo enteramente nuevo. Sería erróneo imaginr al fotón y a su onda asociado como interactuando como las partículas y ondas pueden interactuar en la mecánica clásica. La asociación sólo puede interpretarse estadísticamente, la función de onda nos dá información acerca de la probabilidad de encontrarnos al fotón en un lugar particular cuando efectuamos una observación sobre su posición.

Yo comentaría que "observación" es algo muy humano. El propio universo observa algunos de estos procesos, sin necesidad de poner una observación humana. Esta distinción (o falta de ella) es la que nos lleva a entender que el modelo de la física cuántica no tiene una aplicación/explicación de cuándo estas "observaciones" tienen lugar. Es lo que le falta, aún hoy, a la teoría: una forma de decir: "acá, se produce un salto cuántico", y "acá, no se produce, y sigue evolucionando la función de onda del sistema".

En los próximos posts: la afirmación de Dirac sobre la interferencia de UN SOLO fotón.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
@ajlopez

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Sigamos leyenda Dirac:

Let us consider now what happens when we determine the energy in one of the components. The result of such a determination must be either the whole photon or nothing at all. Thus the photon must change suddenly from being partly in one beam and partly in the other to being entirely in one of the beams. This sudden change is due to the disturbance in the translational state of the photon which the observation necessarily makes. It is impossible to predict in which of the two beams the photon will be found. Only the probability of either result can be calculated from the previous distribution of the photon over the two beams.

Consideremos ahora qué sucede cuando deterinamos la energía en uno de esos componentes. El resultado de tal determinación debe ser el fotón completo o nada en absoluto. Entonces, el fotón dbe cambiar súbitamente desde estar parcialmente en un haz y parcialmente en el otro, a estar enteramente en uno de los haces. Este cambio repentino es debido a la alteración en el estado de traslación del fotón que necesariamente provoca la observación. Es imposible de predecir en cual de los dos haces será encontrado el fotón. Solo la probabilidad de cada resultado puede ser calculado basado en la distribución previa del fotón en los dos haces.

Acá aparecen los famosos "saltos cuánticos". No es claro para todos los modelos explicativos que "es debido ... a la observación". Digo, no hay que asociarlo obligatoriamente con una observación que implique un observador. La misma naturaleza "observa" y todo indica que hay saltos cuánticos en el centro de las estrellas, sin observador alguno. Lo que no puede explicar la teoría cuántica es CUANDO se efectúa ese salto. Si por la cuántica fuera, todo sistema permanecería en superposición de estados, sin tener que "saltar repentinamente" a alguno, bajo ninguna circunstancia.

Lo que se ha planteado con el tiempo, entonces, es que la teoría cuántica es incompleta. Que debe haber algún otro proceso no contemplado en el formulismo cuántico, que hace que se produzcan estos saltos. Para más detalle, consultar "el Penrose", donde hay una explicación de las alternativas propuestas.

Tanto a Dirac como a Feynman (en sus Lectures, Feynman presenta el experimento con electrones y dos rendijas), le faltan la cita concreta al experimento crucial, en este caso, el de interferencia de un solo fotón. Veremos en los próximos posts que Dirac aclara que el fenómeno de interferencia es por fotón: un mismo fotón interfiere consigo mismo, mas que interferencia entre fotones distintos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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