Angel "Java" Lopez en Blog

Ciencia


Publicado el 17 de Septiembre, 2014, 14:55

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Hay tanto para estudiar, comentar y compartir sobre este tema. Por un lado, es un tópico importante de la física, y aún en las matemáticas modernas. Por otro lado, es difícil encontrar una explicación clara y para "amateurs" interesados como yo. O hay explicaciones muy simplificadas, o hay artículos muy técnicos.

Uno de los libros que estoy leyendo, es "An Elementary Primer for Gauge Theory" de K.Moriyasu. Me parece bien organizado, escrito a comienzos de los ochenta del siglo pasado. Leo al comienzo:

The understanding of nuclear and elementary particle physics has now reached a historical turning point. During the last decade, a revolution has quietly occurred — a revolution called "Gauge Theory". For the first time in 50 years, since the birth of modern nuclear physics, gauge theory allows us to understand how the fundamental forces of nature may be unified within a single coherent theory. The discovery of gauge theory rivals in importance the development of both relativity and quantum mechanics. In contrast to the situation less than 10 years ago, gauge theory now dominates nearly ;ill phases of elementary particle physics today. Even the reasons for performing new experiments are now judged by their relevance for testing the predictions of gauge theory.

Clearly, such an exciting development should be widely accessible and understandable not only to theoreticians but also to experimental physicists, students and the "intelligent layman" as well, like politics and war, gauge theory has become too important to he left only to the experts...

Bueno, un poco exagerado, pero pienso que es muy interesante difundir los temas que tocan estas teorías, porque sino no se entiende de que va la física de partículas de nuestros días.

...Unfortunately, for the reader who wishes to first understand the basic physical ideas behind gauge theory, the published literature can present a daunting challenge. The leason for the difficulty is that gauge theory represents a totally new synthesis of quantum mechanics and symmetry ideas which have been applied to the entire field of elementary particle physics. I believe that gauge theory can be appreciated by the nonexpert; that is the raison d'etre for this primer. In order to emphasize the physics of gauge theory rather than the mathematical formalism, I have used a new intuitive approach and designed the text primarily for the reader with only a background in quantum mechanics. My "oul in this primer is to hopefully leave the reader with an appreciation of the elegance and beauty of gauge theory.

Sí, hace falta conocer algo de mecánica cuántica, y también de las matemáticas necesarias, como conceptos de geometría diferencial. Pero el autor va avanzando mostrando los temas de una forma más clara que otras introducciones que he hojeado.

This book was motivated by my own desire as a "non-expert" to learn something about gauge theory. Over a period of 4-5 years, I wrote a series of short pedagogical articles on gauge theory topics for the American and European Journals of Physics. These articles allowed me to test the ideas and the writing style for this primer. I also found that trying to satisfy the high standards of the referees for these journals encouraged me to develop much clearer explanations for many gauge theory topics. I am indebted to these referees who do their work in anonymity.

Por lo que leí, hace falta más que ser un lego interesado: cuando introduce algunas fórmulas, si bien sencillas, son dadas como ya conocidas por el lector. Supongo que habrá querido decir "non-expert physicist or student".

Esta es una de las fuentes que voy a usar cuando me anime a comenzar una serie de post explícitos sobre teorías gauge, sin que sean como esta serie, simple notas para compartir.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 15 de Septiembre, 2014, 5:40

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Detrás de este tema está gran parte de la física moderna. Tanto sus conceptos como su historia entrelazan temas físicos como los campos, y matemáticos, como las simetrías, los grupos y hasta geometría diferencial. Una segunda entrega de enlaces:

[hep-ph/9705211] Introduction to Gauge Theories
http://arxiv.org/abs/hep-ph/9705211

(505) What is Gauge Theory (intuitively)? - Quora
http://www.quora.com/What-is-Gauge-Theory-(intuitively)

Gauge Theories of the Strong and Electroweak Interactions
http://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadmin/lehre/skripte/muenster/Gauge-theories.pdf

INTRODUCTION TO GAUGE THEORIES AND THE STANDARD MODEL
http://cds.cern.ch/record/292286/files/B00008237.pdf

Particle Physics 5: Basic Introduction to Gauge Theory, Symmetry & Higgs - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=v6bgABUyT3c

[hep-th/9602122] The Unreasonable Effectiveness of Quantum Field Theory
http://arxiv.org/abs/hep-th/9602122

Los conceptos de campo, partícula, partícula virtual y vacío | La Ciencia de la Mula Francis
http://francis.naukas.com/2012/08/15/los-conceptos-de-campo-particula-particula-virtual-y-vacio/

Gauge theories - Scholarpedia
http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_theories

Gauge Theory -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/GaugeTheory.html

[math-ph/9902027] Preparation for Gauge Theory
http://arxiv.org/abs/math-ph/9902027

Gerard ′t Hooft
http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/

Mis Enlaces
https://delicious.com/ajlopez/gaugetheory

Nos leemos!

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Publicado el 10 de Septiembre, 2014, 7:04

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Sigo leyendo a Steven Weinberg, su primera impresión como físico americano que visita el laboratorio:

Visité por primera vez el laboratorio Cavendish en la primavera de 1962, cuando yo, siendo un muy joven físico, dejé la Universidad de California en Berkeley para pasar un año en Londres. El laboratorio entonces todavía ocupaba su edificio de piedra original en el Free School Lane, donde había estado desde 1874, en un terreno comprado por la Universidad de Cambridge en 1786 para ser usado como jardín botánico. Lo recuerdo como un edificio laberíntico de pequeñas salas conectadas por una incomprensible red de escaleras y corredores. Era muy diferente del gran laboratorio de radiación de California, que aparecía dominando sobre la bahía desde su sitio iluminado por el sol en las colinas de Berkeley. El laboratorio Cavendish me dio la impresión de haber sido el escenario no tanto de un asalto masivo a los secretos de la naturaleza, sino de una campaña de guerrillas, un esfuerzo de recursos limitados, en el cual las armas principales eran la astucia y la valentía de individuos superdotados.

Los tiempos habían cambiado, y se necesitaba más colaboración y aparatos más poderosos para hacer investigación física sobre los temas que habían interesado en los años anteriores: la constitución de la materia, las fuerzas básicas.

Leamos lo que cuenta Weinberg sobre la historia:

El laboratorio Cavendish tuvo su origen en un informe de un comité universitario que se reunió en el invierno de 1868-69 para considerar como construir un lugar para física experimental en Cambridge. Era el tiempo de un amplio entusiasmo por la ciencia experimental. Un gran y nuevo laboratorio para física experimental había sido abierto recientemente en Berlín, y laboratorios universitarios estaban siendo construidos en Oxford y en Manchester. Cambridge no había jugado un rol principal en la ciencia experimental, a pesar (o por causa) de una tradición de excelencia en matemáticas, que llegaba hasta el siglo XVII, con el profesor lucasiano de matemáticas, Sir Isaac Newton. Pero el empirismo estaba ahora en el aire, y el comité propuso un nuevo Profesorado de Física Experimental y un nuevo edificio para albergar conferencias y experimentos.

De hecho, no apareció la figura de físico teórico puro, hasta el siglo XX. En el próximo post, veremos quien fue el primer profesor de física experimental.

Nos leemos!

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Publicado el 7 de Septiembre, 2014, 13:51

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Saben que me interesa la historia de la ciencia, y en particular, la historia de la física. Hace poco comencé una Historia de las Partículas Elementales. Hoy me encuentro con un texto de Steven Weinberg, en su obra "The Discovery of Subatomic Particles", referido al laboratorio Cavendish.

Leo y traduzco:

... hay un lugar asociado especialmente con el descubrimiento de los constituyentes del átomo: es el Laboratorio Cavendish de la Universidad de Cambride. Ahí, en 1897, Joseph John Thomson (1846-1940) realizó los experimentos con rayos catódicos que lo llevaron a concluir que hay una partícula -el electrón- que es a la vez el portador de la electricidad y un constituyente básico de todos los átomos. Fue ahí en el Cavendish, en 1895-1898, donde Ernest Rutherford (1871-1937) comenzó su trabajo en radioactividad, y donde retornó en 1919, luego de su descubrimiento del núcleo atómico, para suceder a Thomson como Profesor Cavendish de Física Experimental, y donde encontró lo que ué por mucho tiempo un centro destacado de la física nuclear. La lista e los constituyentes del átomo fue completada en el Cavendish en 1932, cuando James Chadwick (1891-1974) descubrió el neutrón.

En el próximo post, compartiré las impresiones de Weinberg, cuando visitó por primera vez el laboratorio, y la historia de su origen.

Imagen tomada de http://bayes.wustl.edu/etj/cambridge.html 

Nos leemos!

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Publicado el 4 de Septiembre, 2014, 16:08

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Sigo leyendo la autobiografía científica de Heisenberg. Luego de presentar el trabajo contemporáneo de Schrödinger, sigue la crítica:

Unfortunately, however, the physical interpretation of the mathematical scheme presented us with grave problems. Schrodinger believed that, by associating particles with material waves, he had found a way of clearing the obstacles that had so long blocked the path of quantum theory. According to him, these material waves were fully comparable to such processes in space and time as electromagnetic or sound waves. Such obscure ideas as quantum jumps would completely disappear. I had no faith in a theory that ran completely counter to our Copenhagen conception and was disturbed to see that so many physicists greeted precisely this part of Schrodinger's doctrine with a sense of liberation. The many talks I had had with Niels Bohr, Wolfgang Pauli and many others over the years had convinced me that it was impossible to build up a descriptive time-space model of interatomic processes-the discontinuous element Einstein had mentioned to me in Berlin as a characteristic feature of atomic phenomena saw to that. Admittedly, this was no more than a negative feature, and we were still a long way from a complete physical interpretation of quantum mechanics, yet we were certain that we must get away from the idea of objective processes in time and space.

Esa es la postura dura de Heisenberg. No estoy de acuerdo con "we must get away from the idea of objective processes in time and space". No es la única posible interpretación de la teoría, y las hay más simples. Digo, no me convence lo de abandonar lo objetivo. Heisenberg ahí cruza una línea que no veo que tenga derecho a cruzar así: la de negar la objetividad de los procesos reales.


Now Schrodinger's interpretation-and this was its great novelty -simply denied the existence of these discontinuities. Thus when an atom passes from one stationary state to the next, it was no longer said to change its energy suddenly and to radiate the difference in the form of an Einsteinian light quanta. Radiation was the result of quite a different process, namely, of the simultaneous excitation of two stationary material vibrations whose interference gives rise to the emission of electromagnetic waves, e.g., light. This hypothesis seemed to me too good to be true, and I mustered what arguments I could to show that discontinuities were a fact of life, however inconvenient. The simplest argument was, of course, Planck's radiation formula, whose empirical correctness no one could doubt and which, after all, had led Planck to his discrete energy quanta.

Es curioso que esa explicación (la emisión de luz como INTERFERENCIA de dos vibraciones), ya no se mencione en las interpretaciones de la teoría de Schrödinger. Heisenberg señala bien que no era tan simple dejar de lado las discontinuidades. El propio Schrödinger lamentaría más tarde tener algo que ver con "esos saltos cuánticos".

En el próximo post, veremos el encuentro de Heisenberg con Schrödinger, cuando éste presenta su teoría en un seminario en Múnich.

Nos leemos!

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Publicado el 31 de Agosto, 2014, 16:16

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En las aplicaciones de física aparecen los llamados grupos de Lie que, al contrario de los que vimos hasta ahora, son continuos: sus elementos no tienen una cardinalidad finita, y hay infinitos elementos "cercanos" a otros. Para comenzar a tener una imagen de estos grupos, podemos pensar en las rotaciones por un ángulo arbitrario, en el plano, alrededor del origen


Consideremos un vector v en R2, que puede rotar un ángulo rho. La transformación de sus coordenadas puede representarse por una matriz:

Por ejemplo, si el ángulo es de noventa grados, la matriz vale:

Y multiplicando por el vector (1, 0), lo "rota" 90 grados:

Sea el vector v" el vector resultante de aplicar esta rotación. Queremos que tenga la misma longitud que el vector original v. Es decir, la relación v"2 = v2 debe satisfacerse. La norma puede escribirse como la multiplicación:

Donde vT es el vector transpuesto (si v es vector columna, entonces vT es vector fila).

Ejemplo, para el vector (2, 3):

Esto es, si recordamos la reglas de multiplicación de vectors y matrices.

Pero sabiendo que el vector transformado

Y que queremos que la norma se mantenga aún luego de la transformación, se debe cumplir:

Vemos que se cumple porque para cualquier ángulo rho:

Lo que es igual, de nuevo recordando la multiplicación de los elementos de dos matrices:

Para todo ángulo rho. Entonces, queda la identidad

Quedando

Se dice que la matriz general R es ortogonal cuando

Las rotaciones en el plano alrededor del origen forman un grupo, y un grupo de Lie continuo. Las matrices que vimos arriba, entonces, son UNA REPRESENTACION del grupo. El grupo se llama SO(2), de matrices ortogonales en dos dimensiones. La letra S viene de Special, que significa que las representaciones en matrices tienen determinante igual a 1 (uno). La letra O viene de Orthogonal, las operaciones implican la conservación de la norma.

Veremos en el próximo post que SO(2) es subgrupo de otros grupos más generales, y de interés en la física. Todavía no ha aparecido la relación de todos estos grupos y representaciones con la física de partículas, pero paciencia, ya llegaremos.

Nos leemos!

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Publicado el 24 de Agosto, 2014, 16:43

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Veamos hoy un ejemplo simple y clásico del uso de un lagrangiano. En física, se ha visto que dado un sistema se puede encontrar una función, el lagrangiano:

Como la función que describe el sistema. En el caso de arriba, depende de coordenadas xi, de sus derivadas en el tiempo, y del tiempo mismo. Vamos a ver que las propiedades del lagrangiano no cambian aún cambiando las coordenadas, lo que lo hace más útil que la formulación newtoniana. ¿Pero qué son "las propiedades del lagrangiano"? ¿y cómo es que "describe el sistema"?

Pues bien, la gran propiedad de un lagrangiano que merezca ese nombre, es que genera n ecuaciones diferenciales:

Y que con estas ecuaciones queda descripta la evolución del sistema.

Para ver entonces un caso concreto, tomemos el sistema compuesto de una sola partícula, en libertad, una partícula libre, sin ser expuesta a fuerzas exteriores, digamos con energía potencial que no cambia en el tiempo ni en el espacio. Entonces esa energía potencial podemos tomarla como 0. ¿Cuál es el lagrangiano que describe ese sistema? Para un mismo sistema, hay una indeterminación del lagrangiano, no es que hay un lagrangiano único (algo similar estamos viendo en cuanto a la función de onda de mecánica cuántica: puede haber más de una función que describa EL MISMO estado físico). Pero podemos arriesgarnos y postular (sacar de la galera, digamos) a que el lagrangiano es:

Acá, la x con punto es un vector velocidad, y el cuadrado es el productor vectorial. En coordenadas espaciales, sería

Haciendo pasar a este lagrangiano por el proceso de generar las ecuaciones diferenciales de arriba, queda para tres coordenadas xi:

Que nos dice que ese producto de masa por velocidad de cada coordenada es una constante del movimiento. Es el momento, al que se refiere la segunda ley de Newton. Lo que nos dicen las ecuaciones derivadas del lagrangiano, en este caso, es que el momento o cantidad de movimiento se conserva en cada coordenada, aun transcurriendo el tiempo. Nuestra partícula no cambia de velocidad ni en intensidad ni en dirección.

En próximos post tendremos que investigar:

 ¿Podemos derivar el lagrangiano que vimos de consideraciones físicas generales?
 ¿Qué son esas ecuaciones diferenciales que se derivan del lagrangiano? ¿tienen algún significado?
 ¿Siguen valiendo esas ecuaciones aún cuando cambiemos las coordenadas?

Mientras, enlaces relacionados:

Deriving the Lagrangian for a free particle
Lagrangian

Nos leemos!

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Publicado el 23 de Agosto, 2014, 15:25

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Sigamos buscando nuestra ecuación. Ya sabemos que tiene que tiene que ser compatible con

Ver post La Ecuación de Schrödinger (5) Dos Relaciones. Veamos un caso, cuando V sólo depende de la posición (no hay variación en el tiempo de la energía potencial).

Esperamos que los tres términos (el de energía E, el de momento p, y el de energía potencial V), sean lineales con la función de onda que tiene que ser la solución de nuestra ecuación. Una forma de conseguirlo es esperar que CADA UNO de esos tres términos, esté multiplicado por LA FUNCION DE ONDA, o una cualquiera de sus derivadas.

Pero también sabemos que la energía tiene relación con la frecuencia, y el momento con la longitud de onda. Ver post La Ecuación de Schrödinger (2) Primeras Relaciones.


Intentemos primero con una función de onda que sea de la forma (ver post La Ecuación de Schrödinger (3) Una Fórmula de Onda).

Alguna vez habíamos puesto:

Que es proporcional al momento p.

Y también tenemos:

Que es proporcional a energía E.

Quedando entonces

Recordando sus derivadas (ver post La Ecuación de Schrödinger (4) Algunas Derivadas Parciales)




Vemos que la DERIVADA POR EL TIEMPO, da un término que es proporcional a la energía. Y la DERIVADA SEGUNDA por x da un término que es proporcional al cuadrado del momento.

Entonces, algo compatible con la ecuación [1] puede ser

Donde tenemos algo de libertad en la elección de los coeficientes alfa y beta (el tercer término lo multiplicamos por 1, por ahora)

Esta ecuación diferencial satisface la linealidad, la aparición de E y p apropiadas, y nos da como solución una función de onda. Reemplazando la función de onda y sus derivadas, por los valores que suponemos potables, tenemos que explorar si hay solución para:

Veremos si es así en el próximo post.

Mientras, vayamos notando algo: se deriva por el tiempo una vez, y por el espacio DOS VECES. Si estamos familiarizados un poco con la relatividad especial, vemos que hay una asimetría, un diferente tratamiento del tiempo y del espacio. Lo que encontremos no va a ser compatible con la relatividad y las transformaciones de Lorentz. Pero sigamos avanzando, tal vez igual estemos en camino del premio Nobel, como Schrödinger ;-)

Nos leemos!

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Publicado el 22 de Agosto, 2014, 14:47

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En la misma época en la que Heisenberg encontraba su modelo de la mecánica cuántica, Erwin Schrödinger encontraba otra solución, que luego se vió que era equivalente. En el capítulo 6 de su biografía científica, leo el recuerdo de Heisenberg de esos tiempos:

During the first few months of 1926, at about the same time that I delivered my lecture in Berlin, G6ttingen first became familiar with the work of the Viennese physicist, Erwin Schrodinger, who was approaching atomic theory from an entirely fresh side. The year before, Louis de Broglie in France had drawn attention to the fact that the strange wave-particle dualism which, at the time, seemed to prevent a rational explanation of light phenomena might be equally involved in the behavior of matter, for instance of electrons. Schrodinger developed this idea further and, by means of a new wave equation, formulated the law governing the propagation of material waves under the influence of an electromagnetic field. In Schrodinger's model, the stationary states of an atomic shell are compared with the stationary vibrations of a system, for instance of a vibrating string, except that all the magnitudes normally considered as energies of the stationary states are treated as frequencies of the stationary vibrations. The results Schrodinger obtained in this way fitted in very well with the new quantum mechanics, and Schrodinger quickly succeeded in proving that his own wave mechanics was mathematically equivalent to quantum mechanics; in other words, that the two were but different mathematical formulations of the same structures. Needless to say, we were delighted by this new development, for it greatly strengthened our confidence in the correctness of the new mathematical formulation. Moreover, Schrodinger's procedure lent itself readily to the simplification of calculations that had severely strained the powers of quantum mechanics.

Todo se dispara con la propuesta de de Broglie, que estaba madura para caer en esos tiempos. Ver

La Ecuación de Schrödinger (1) Introducción

El camino de Schrödinger era más potable para muchos físicos, porque acudía a funciones, derivadas, ondas, todos elementos más familiares que las matrices de Heisenberg. Si bien a Heisenberg le interesó el trabajo de Schrödinger, también pensaba que estaba en alguna parte errado, porque era una especie de vuelta a "lo clásico", cuando él quería destacar que había una nueva mecánica. Veremos esto en el próximo post.

Nos leemos!

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Publicado el 18 de Agosto, 2014, 6:58

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Hasta ahora nos hemos ocupado de una carga puntual, o de un grupo de cargas puntuales. Al principio es todo lo que necesitamos, porque todo indica que en la naturaleza todas las cargas aparecen como puntuales, con valores +- e para los leptones y +- 2/3 o +- 1/3 para los quarks (los constituyentes de la materia que interactúa con la fuerza fuerte). Sin embargo, en la vida real tenemos que vérnosla con objetos macroscópicos que pueden tener elementos del orden de 1023. Es por eso que manejamos también el concepto de una distribución de carga continua. En vez de la ecuación:

Para el campo eléctrico, asociado a cada posición del espacio r, podemos pasar de la suma a la integral, quedando:

Donde ahora dq" indica una densidad de carga, asociada a cada posición r". Hay dos vectores de posición: el independiente r y el que recorre todo el espacio r".

La forma del elemento diferencial dq" depende del tipo de la distribución de carga. Consideremos para una densidad de carga línea:

Donde lambda(r") representa una densidad lineal.

Tenemos para una densidad de carga en área:

Y para una densidad en volumen:

Donde los diferenciales de la derecha dl, dA, dt son diferenciales de longitud, de área y de volumen, respectivamente.

La distribución de carga SOBRE LA QUE actua E(r) puede también considerarse continua, quedando la fuerza expresada como:

La primera integral de arriba nos da E(r), un campo eléctrico ESTATICO para una distribución de carga dada. Lo de "estático" significa que todas las derivadas del tiempo de la distribución de carga son cero o despreciables. La carga no cambia de lugar ni de intensidad. Aún así simplificado, esta integral es una solución de "fuerza bruta" que muchas veces requiere una integración complicada, y entonces, no es un buen método para encontrar el campo. Pero hay situaciones donde la geometría del problema puede acudir en nuestro auxilio.

Próximos temas: potencial eléctrico, el gradiente del potencial, ley de Gauss, ejemplos.

Nos leemos!

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Publicado el 17 de Agosto, 2014, 13:16

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Luego de ese avace en solitario, en la isla de Heligoland, el trabajo de Heisenberg es bien recibido. Hay mucho para contar sobre cómo se fue difundiendo, adaptando, y uniendo a otras ideas, como las de Jordan, Schrödinger, y Dirac. Leo:

What I saw during that night in Heligoland was admittedly not very much more than the sunlit rock edge I had glimpsed in the autumn of 1924, but when I reported my results to Wolfgang Pauli, generally my severest critic, he warmly encouraged me to continue along the path I had taken. In Gottingen, Max Born and Pascual Jordan took stock of the new possibilities, and in Cambridge the young English mathematician Paul Dirac developed his own methods for solving the problems involved, and after only a few months the concentrated efforts of these men led to the emergence of a coherent mathematical framework, one that promised to embrace all the multifarious aspects of atomic physics.

Es notable encontrar esta mención a Pauli. Este era en general muy crítico a ideas que no le convencían. Sin embargo, tengo que hacer notar que Pauli mismo no quiso involucrarse en los trabajos de extensión que hizo Max Born, quien tuvo entonces que recurrir a su estudiante Jordan. Ver

A Review on Dirac – Jordan Transformation Theory
http://pelagiaresearchlibrary.com/advances-in-applied-science/vol3-iss4/AASR-2012-3-4-2474-2480.pdf

Sobre el trabajo de extensión y reinterpretación de Dirac ver:

Dirac y la teoría de Heisenberg
Dirac revisando el trabajo de Heisenberg

Luego del texto de arriba, Heisenberg se embarca en un "racconto" de una conversación que tuvo con Einstein. Muy interesante tema, pero no es el que seguiré en el próximo post. Ver Heisenberg y una charla con Einstein. Será seguramente tema para una serie de posts distinta.

Continuaré con la aparición de la teoría de Schrödinger y su recepción por parte de Heisenberg mismo y por Bohr.

Nos leemos!

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Publicado el 16 de Agosto, 2014, 13:46

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Sigamos explorando la función de onda. Sabemos por ahora que es una función de las coordenadas (podrían ser x,y,z, pero también podrían ser otras), a veces la manejaremos dependiente del tiempo, otras veces no (la tomaremos a un tiempo determinado), REPRESENTA un estado físico, y su valor es un número complejo.

Pero ¿cómo es que representa un estado físico? Lo que veremos hoy, es un caso especial pero fácilmente generalizable. Tomaremos:

- Función de onda de un electrón (o una partícula)
- Función de las coordenadas (que llamaremos genéricamente q)

Lo primero que afirmaremos como postulado es que si la función de onda es:

Entonces, la probabilidad de encontrar al electrón en un elemento dq del espacio de coordenadas q es:

O abreviando

Si queremos saber la probabilidad de encontrar al electrón en un volumen Q del espacio de coordenadas q, será:

O recordando números complejos

Donde el asterisco indica tomar el resultado complejo conjugado. Esto no es algo que podamos deducir, sino que tenemos que postularlo. La historia mostró que al describir un estado físico por una función de onda (en nuestro caso, el estado físico descripto es un electrón), la función de onda nos da, en primera instancia, la PROBABILIDAD de encontrar ese estado físico (en nuestro caso, al electrón) en una porción posible del espacio de coordenadas.

A pesar de que la función de onda nos da un valor complejo, llamado amplitud, cada elemento de integración de la fórmula de arriba, ES REAL, y no sólo es real, sino que es REAL POSITIVO. Así que el resultado de integrar, que podemos asimilar a una suma infinita, es un número REAL POSITIVO, como corresponde a una probabilidad.

Lo que se pide, en general, es que la integración de una función de onda esté normalizada, es decir, que la integración completa sobre el espacio de coordenadas, de probabilidad 1 (certeza):

No siempre todas las funciones de onda se pueden normalizar. A veces, la integral de arriba sobre TODO el espacio de coordenadas diverge. Pero aún así, la integral sobre una porción Q, da un valor de probabilidad que se puede comparar con la integral sobre otra porción P. El peso relativo de esos valores nos da alguna información: si integrar sobre Q da 3, e integrar sobre P da 2, eso indica que encontrar el estado físico en Q tiene 3/2 más probabilidad de encontrarse en el fragmento P

Nos leemos!

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Publicado el 9 de Agosto, 2014, 12:45

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Como alguna vez le pasó a Newton, como también a Schrödinger, Heisenberg se encontró con tiempo libre para pensar en sus ideas.

Toward the end of May 1925, I fell so ill with hay fever that I had to ask Born for fourteen days' leave of absence. I made straight for Heligoland, where I hoped to recover quickly in the bracing sea air, far from blossoms and meadows. On my arrival I must have looked quite a sight with my swollen face; in any case, my landlady took one look at me, concluded that I had been in a fight and promised to nurse me through the aftereffects. My room was on the second floor, and since the house was built high up on the southern edge of the rocky island, I had a glorious view over the village, and the dunes and the sea beyond. As I sat on my balcony, I had ample opportunity to reflect on Bohr's remark that part of infinity seems to lie within the grasp of those who look across the sea.

Ya no era estudiante, ya era docente, así que imagino que este viaje no afectó tanto a su presupuesto como años antes, cuando necesitaba el soporte de la cátedra de su profesor Sommerfeld para viajar a congresos en Europa.

Apart from daily walks and long swims, there was nothing in Heligoland to distract me from my problem, and so I made much swifter progress than I would have done in Gottingen. A few days were enough to jettison all the mathematical ballast that invariably encumbers the beginning of such attempts, and to arrive at a simple formulation of my problem. Within a few days more, it had become clear to me what precisely had to take the place of the Bohr-Sommerfeld quantum conditions in an atomic physics working with none but observable magnitudes. It also became obvious that with this additional assumption I had introduced a crucial restriction into the theory. Then I noticed that there was no guarantee that the new mathematical scheme could be put into operation without contradictions. In particular, it was completely uncertain whether the principle of the conservation of energy would still apply, and I knew only too well that my scheme stood or fell by that principle.

Ahora tiene que revisar su resultado. El tema es si la energía se conservaba o no. En esos tiempos, dado lo extraño de los resultados cuánticos, se había llegado a sugerir en algún "paper" que la conservación de la energía era solo un resultado estadístico.

Other than that, however, several calculations showed that the scheme seemed quite self-consistent. Hence I concentrated on demonstrating that the conservation law held, and one evening I reached the point where I was ready to determine the individual terms in the energy table, or, as we put it today, in the energy matrix, by what would now be considered an extremely clumsy series of calculations. When the first terms seemed to accord with the energy principle, I became rather excited, and I began to make countless arithmetical errors. As a result, it was almost three o'clock in the morning before the final result of Iny computations lay before me. The energy principle had held for all the terms, and I could no longer doubt the mathematical consistency and coherence of the kind of quantum mechanics to which my calculations pointed. At first, I was deeply alarmed. I had the feeling that, through the surface of atomic phenomena, I was looking at a strangely beautiful interior, and felt almost giddy at the thought that I now had to probe this wealth of mathematical structures nature had so generously spread out before me. I was far too excited to sleep, and so, as a new day dawned, I made for the southern tip of the island, where I had been longing to climb a rock jutting out into the sea. I now did so without too much trouble, and waited for the sun to rise.

Buen trabajo esa noche. El "paper" que escribió sobre este tema tiene saltos mágicos en el razonamiento, pero llega a las conclusiones correctas. Seguiré comentando en el próximo post.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 8 de Agosto, 2014, 13:33

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Veamos cómo Heisenberg se aproxima a su gran idea. Más adelante leo:

In atomic physics, likewise, the winter of 1924-1925 had obviously brought us to a realm where the fog was thick but where some light had begun to filter through and held out the promise of exciting new vistas.

Habiendo trabajado en Copenhague con Kramers, vuelve a Gotinga. Tratando de avanzar, vio el camino a seguir: ignorar las órbitas electrónicas y concentrarse en las frecuencias Y amplitudes de las líneas espectrales observadas, por lo menos del átomo de hidrógeno. Esa fue una gran decisión que lo llevaría a su modelo. Leo:

 In the summer term of 1925, when I resumed my research work at the University of Gottingen-since July 1924 I had been Privatdozent at that university-I made a first attempt to guess what formulae would enable one to express the line intensities of the hydrogen spectrum, using more or less the same methods that had proved so fruitful in my work with Kramers in Copenhagen. This attempt led to a dead end-I found myself in an impenetrable morass of complicated mathematical equations, with no way out. But the work helped to convince me of one thing: that one ought to ignore the problem of electron orbits inside the atom, and treat the frequencies and amplitudes associated with the line intensities as perfectly good substitutes. In any case, these magnitudes could be observed directly, and as my friend Otto had pointed out when expounding on Einstein's theory during our bicycle tour round Lake Walchensee, physicists must consider none but observable magnitudes when trying to solve the atomic puzzle...

Tengo que comentar sobre ese amigo Otto, que lo nombra en un capítulo anterior.

.. My attempt to apply this scheme to the hydrogen atom had come to grief on the complications of this particular problem. Accordingly, I looked for a simpler mathematical system and found it in the pendulum, whose oscillations could serve as a model for the molecular vibrations treated by atomic physics. My work along these lines was advanced rather than retarded by an unfortunate personal setback.

Veremos en el próximo post el problema de salud que tuvo. Pero un comentario: no sólo se dedicó al péndulo, sino al oscilador anarmónico. No tomó el camino del oscilador armónico. Tengo que revisar las razones, expuestas en el libro de van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 4 de Agosto, 2014, 6:51

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Sigamos leyendo y comentando la postura de Gould:

Las explicaciones históricas son distintas de muchas maneras de los resultados experimentales convencionales. El tema de la verificación mediante repetición no se suscita porque estamos intentando explicar la singularidad de detalles que no puede, ni por las leyes de probabilidad ni por la irreversibilidad de la flecha del tiempo, ocurrir de nuevo simultáneamente. No intentamos interpretar los complejos acontecimientos del relato reduciéndolos a simples consecuencias de la ley natural; desde luego, los acontecimientos históricos no violan ningún principio general de la materia y el movimiento, pero su existencia reside en un reino de detalle contingnente. (La ley de la gravedad nos dice cómo cae una manzana, pero no por qué aquella manzana cayó en aquel momento, ni por qué Newton se encontraba sentado allí por casualidad, preparado para la inspiración.) Y el tema de la predicción, un ingrediente básico del estereotipo, no entra en una narrativa histórica. Podemos explicar un acontecimiento después de que haya ocurrido, pero la contingencia impide su repetición, incluso si el punto de partida es idéntico. (Custer estaba sentenciado después que mil acontecimientos conspiraran para aislar a sus tropas, pero empecemos de nuevo en 1850 y puede que nunca viera Montana, y mucho menos a Toro Sentado y a Caballo Loco.)

Pero tampoco la física por qué tenemos la Luna alrededor de la Tierra, en vez de tener dos o ninguna. Hay tantas cosas que entran por la historia en la astronomía, como en la biología. No podemos explicar por qué tal estrella está en el cielo, pero eso no obsta a que podamos explicar su espectro y su posible historia. Tampoco siempre es necesario la predicción: a veces una teoría especifica una retrodicción, el hacer una "predicción" no hacia el futuro, sino en el pasado.

Ahora pasas Gould a describir una separación entre las ciencias, donde algunas quedan como "más científicas" que otras:

Estas diferencias sitúan las explicaciones históricas, o narrativas, bajo una luz desfavorable cuando se las juzga mediante los estereotipos restrictivos del "método científico". Por ello, las ciencias de complejidad histórica han sido degradadas en su nivel y por lo general ocupan una posición de baja estima entre los profesionales. En realidad, la ordenación de las ciencias en niveles se ha convertido en un tema tan familiar que la clasificación desde la física diamantina en la cúspide hasta temas tan resbalosos y subjetivos como la psicología y la sociología en la base se han convertido a su vez en un estereotipo. Estas distinciones han penetrado en nuestro lenguaje y en nuestras metáforas: las ciencias "duras" frente a las "blandas", las "rigurosamente experimentales" frente a las "meramente descriptivas". Hace varios años, la Universidad de Harvard, en un acto poco caraterístico de innovación educativa, abrió brecha en el terreno conceptual al organizar las ciencias según el estilo de procedimientos en lugar de la disciplina convencional dentro del currículum básico. No hicimos la doble división usual en físicas frente a biológicas, sino que reconocimos los dos estilos que acabo de comentar: el experimental predictivo y el histórico. Designamos cada categoría con una letra, en lugar de un nombre. ¿Adivinen qué división se convirtió en Ciencia A y cuál en Ciencia B? Mi curso sobre la historia de la Tierra y de la vida se llama Ciencia B-16

Sí, aprecio que hay una separación así. Pero ¿eso hace que una disciplina sea menos científica, realmente, que otra? No lo veo así. La biología ha avanzado en descubrir conceptos, descubrir referentes reales (como el ADN), proponer modelos y verificarlos, etc. No la veo como menos "científica". Recordemos que Gould habla del "estereotipo", pero no lo describió en detalle hasta ahora en este texto que estamos visitando.

Nos leemos!

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Publicado el 2 de Agosto, 2014, 12:20

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Luego de la introducción, el primer capítulo del Origen de las Especies se titula "Variación en estado doméstico". Darwin comienza a repasar las variaciones que se dan en los animales y plantas, pero no en ambiente natural. Prefiere investigar sobre algo más firme: las variaciones observadas cuando esos animales y plantas están al cuidado del ser humano.

La primera sección es "Causas de variabilidad". Vamos a leer que Darwin no estaba seguro sobre las causas, y sus contemporáneos daban distintas explicaciones. Pero por lo menos traza el panorama de un hecho: en estado doméstico, hay variabilidad. Leo:

Cuando comparamos los individuos de la misma variedad o subvariedad de las plantas y animales que criamos desde hace más tiempo, una de las primeras cosas que nos llaman la atención es que generalmente difieren más entre sí que los individuos de cualquier especie en estado natural; y si reflexionamos en la gran diversidad de plantas y animales que han sido cultivados y que han variado durante toras las edades bajo los más diferentes climas y tratos, llegamos a la conclusión de que esta gran variabilida se debe a que nuestras producciones domésticas se han criado en condiciones de vida menos uniformes y algo diferentes de aquellas a que ha estado sometida en la naturaleza la especie madre.

Lo de "algo diferentes" lo acepto. Lo de "menos uniformes", habría que investigar más. El estado natural puede presentar más desafíos al desarrollo de una población que el ambiente doméstico. Actualmente se habla también de diversidad. Es interesante lo sostenido por McShea y Brandon en:

Biology's First Law: The Tendency for Diversity and Complexity to Increase in Evolutionary Systems

Donde leo:

In this engaging and often insightful book, Daniel McShea, a paleobiologist, and Robert Brandon, a philosopher of biology, both at Duke University, argue for a "zero-force evolutionary law" (ZFEL), which can be stated thus:

In any evolutionary system in which there is variation and heredity, there is, in the absence of constraint, a tendency for diversity and complexity to increase.

No esta exenta de crítica. Recomiendo leer el artículo sobre vida y complejidad del Investigacióny Ciencia (la Scientific American traducida y adaptada en España) del número de Febrero 2014. Incluso sostienen que esa tendencia a la diversidad y complejidad NO SE VE influida por la selección natural. Una predicción que hacen, y luego comprueban, es que una población doméstica de un animal que no está sometido a selección por ser ganado vacuno o vacas lecheras (es decir, una población que no se ve influida por la selección humana por beneficio), ni se ve sometida a selección natural, debería tener mayor diversidad que su contrapartida natural. El ejemplo, notable, es el de la mosca de la fruta, la Drosophila, que desde hace décadas se usa en laboratorio. Luego de examinar unos cientos de poblaciones, comprobaron que tienen mayor diversidad que las poblaciones naturales. Me imagino que al estar al resguardo de los laboratorios, la variaciones menos favorables no desaparecen. Algunos discuten la conclusión de estos autores, mencionando que aún una población así se ve sometida a selección, ya sea humana o natural.

Pero tengo que volver a Darwin, tema del próximo post. Un ejemplo a favor de Darwin: la gran variedad de perros domésticos, la cantidad de razas que encontramos hoy en día en esos animales.

Nos leemos!

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Publicado el 14 de Julio, 2014, 6:57

Ya comenté en dos posts la historia de Dirac trabajando sobre las ideas de Heisenberg, en 1925, y mejorándolas. Ver:

Dirac revisando el trabajo de Heisenberg
Dirac y las ecuaciones de la mecánica cuántica

Leo hoy en el capítulo 9, "Sunrise and first view", del excelente "Quantum Mechanics in Simple Matrix Form", de Thomas F. Jordan, un recuerdo del propio Dirac sobre aquel tiempo:

There were many meetings among the students in Cambridge to discuss scientific problems, and among those there was the Kapitza Club. Kapitza ... established a club of physicists... . Wc would meet on Tuesday evenings after dinner... . That was not really a very convenient time for me because I was usually rather sleepy after dinner. I did my work mostly in the morning... and towards the end of the day I was more or less dull, especially after dinner...

Se refiere a Pyotr Kapitsa, físico ruso, luego laureado Nobel al igual que Dirac, que en aquel entonces estaba en Cambridge. Ver Kapitza Club.

In the the summer of 1925, Heisenberg came to Cambridge, and he gave a talk to the Kapitza Club. Towards the end .. he spoke about some new ideas of his. By that time I was just too exhausted to be able to follow what he said, and I just did not take it in. He was talking about the origins of his ideas of the new mechanics. But I completely failed to realize that he was really introducing something quite revolutionary. Later on I completely forgot what he had said concerning his new theory. I even felt rather convinced that he had not spoken about it at all, but other people who were present at this meeting of the Kapitza Club assured me that he had spoken about it... and I just have to accept that he really did speak about it and that I had failed to respond to it at all, and so missed a great opportunity of getting started on it.

Esta historia no la conocía. No sabía que Heisenberg y Dirac se habían encontrado en la misma sala en aquellos tiempos. Tampoco que ya Dirac había tenido contacto con la teoría de Heisenberg, antes de tener su famoso "paper".

It was a little later when I really got started on the new Heisenbcrg theory.... Heisenberg sent [his paper] to Fowler... . Fowler sent it on to me with a query, 'What do you think of this?'... At first I was not very much impressed by it. It seemed to me to be too complicated. I just did not see the main point of it, and in particular his derivation of quantum conditions seemed to me to be too far-fetched, so I just put it aside as being of no interest. However, a week or ten days later I returned to this paper of Heisenberg's and studied it more closely. And then I suddenly realized that it did provide the key to the whole solution...

Este texto Jordan lo toma de P. A. M. Dirac, History of Twentieth Century Phystcs, edited by C. Weinei. Academic Press, New York, 1977, que no sé si es una conferencia de Dirac y otros autores, o todo un "raconto" del propio Dirac.

Nos leemos!

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Publicado el 13 de Julio, 2014, 18:24

Israel Moiseevich Gelfand fue un gran matemático ruso (1913-2009). Se ocupó de varias ramas de las matemáticas, incluso hasta en sus últimos años. Fue Premio Wolf, y en su larga carrera tuvo la oportunidad de aprender de grandes maestros (muchos soviéticos, a los cuales admiraba pero no siempre concordaba con ellos en temas políticos y sociales), y dejó su influencia en sus estudiantes.

Hoy me encuentro leyendo el libro de conferencias en motivo de su 80 aniversario, en 1993, con el tema "La Unidad de las Mateméticas". Son muy buenas conferencias, que tengo que comentar. En una conferencia del propio Gelfand, titulada "Mathematics as an Adequate Language", relata su relación con Dirac, y describe algo típico del físico inglés:

I was lucky to meet the great Paul Dirac, with whom I spent a few days in Hungary. I learned a lot from him.

In the 1930s, a young physicist, Pauli, wrote one of the best books on quantum mechanics. In the last chapter of this book, Pauli discusses the Dirac equations. He writes that Dirac equations have weak points because they yield improbable and even crazy conclusions:

1. These equations assume that, besides an electron, there exists a positively charged particle, the positron, which no one ever observed.

2. Moreover, the electron behaves strangely upon meeting the positron. The two annihilate each other and form two photons.

And what is completely crazy:

3. Two photons can turn into an electron–positron pair.

Pauli writes that despite this, the Dirac equations are quite interesting and especially the Dirac matrices deserve attention.

I asked Dirac, "Paul, why, in spite of these comments, did you not abandon your
equations and continue to pursue your results?""

"Because, they are beautiful.""

Simplemente por eso: porque son bellas. Pero finalmente se vió que eran no sólo bellas, sino que reflejaban un aspecto de la realidad que no se conocía hasta ese momento: la existencia de antimateria.

Pauli siempre era crítico duro de todo lo que le parecía bien. Pero algo rescataba del trabajo de Dirac: sus matrices 4x4, que eran una extensión las matrices de Pauli.

Post relacionados:

Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (1)
Paul Adrien Maurice Dirac, Breve Biografía
Dirac según Gamow
Paul Adrien Maurice Dirac, por Stephen Hawking (1)
Paul Adrien Maurice Dirac: Enlaces y Recursos (1)
Dirac y Feynman, por Abdul Salam
El problema de explicar spin y estadística
Dirac revisando el trabajo de Heisenberg
Dirac y las ecuaciones de la mecánica cuántica
Entrevista a P.A.M.Dirac, por Abdus Salam
Dirac y las cosmologías
Pauli, Dirac, Heisenberg y la religión

Nos leemos!

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Publicado el 12 de Julio, 2014, 14:49

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Sigo leyendo algo más adelante, el capítulo 5, Quantum Mechanics and a Talk with Einstein (1925-1926):

In the summer term of 1925, when I resumed my research work at the University of Gottingen-since July 1924 I had been Privatdozent at that university-I made a first attempt to guess what formulae would enable one to express the line intensities of the hydrogen spectrum, using more or less the same methods that had proved so fruitful in my work with Kramers in Copenhagen. This attempt led to a dead end -I found myself in an impenetrable morass of complicated mathematical equations, with no way out. But the work helped to convince me of one thing: that one ought to ignore the problem of electron orbits inside the atom, and treat the frequencies and amplitudes associated with the line intensities as perfectly good substitutes.

Ese es el gran cambio que dió Heisenberg: concentrarse en las frecuencias e intensidades (ya comenzaba a mencionar "amplitudes"),

In any case, these magnitudes could be observed directly, and as my friend Otto had pointed out when expounding on Einstein's theory during our bicycle tour round Lake Walchensee, physicists must consider none but observable magnitudes when trying to solve the atomic puzzle.

Tengo pendiente comentar sobre esas charlas con su amigo Otto, y también con Wolfgang Pauli.

My attempt to apply this scheme to the hydrogen atom had come to grief on the complications of this particular problem. Accordingly, I looked for a simpler mathematical system and found it in the pendulum, whose oscillations could serve as a model for the molecular vibrations treated by atomic physics. My work along these lines was advanced rather than retarded by an unfortunate personal setback.

Aparece el ataque de la "fiebre de heno", y el viaje a Heligoland:

Toward the end of May 1925, I fell so ill with hay fever that I had to ask Born for fourteen days' leave of absence. I made straight for Heligoland, where I hoped to recover quickly in the bracing sea air, far from blossoms and meadows. On my arrival I must have looked quite a sight with my swollen face; in any case, my landlady took one look at me, concluded that I had been in a fight and promised to nurse me through the aftereffects. My room was on the second floor, and since the house was built high up on the southern edge of the rocky island, I had a glorious view over the village, and the dunes and the sea beyond. As I sat on my balcony, I had ample opportunity to reflect on Bohr's remark that part of infinity seems to lie within the grasp of those who look across the sea.

Ahora podía concentrarse en el problema:

Apart from daily walks and long swims, there was nothing in Heligoland to distract me from my problem, and so I made much swifter progress than I would have done in Gottingen. A few days were enough to jettison all the mathematical ballast that invariably encumbers the beginning of such attempts, and to arrive at a simple formulation of my problem. Within a few days more, it had become clear to me what precisely had to take the place of the Bohr-Sommerfeld quantum conditions in an atomic physics working with none but observable magnitudes. It also became obvious that with this additional assumption I had introduced a crucial restriction into the theory. Then I noticed that there was no guarantee that the new mathematical scheme could be put into operation without contradictions. In particular, it was completely uncertain whether the principle of the conservation of energy would still apply, and I knew only too well that my scheme stood or fell by that principle.

El tema de la conservación de la energía (o de su falta de conservación) apareció en otras formulaciones tempranas. Veremos en el próximo post cómo se las arregló Heisenberg para mantener ese principio.

Nos leemos!

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Publicado el 12 de Julio, 2014, 14:36

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Termino hoy el comentario del prefacio de de "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics", de John Von Neumann. Leo al final:

In the analysis of the fundamental questions, it will be shown how the statistical formulas of quantum mechanics can be derived from ajfew qualitative, basic assumptions. Furthermore, there will be a detailed discussion of the problem as to whether it is possible to trace the statistical character of quantum mechanics to an ambiguity (i.e., incompleteness) in our description of nature.

Este es un gran tema, el que preocupaba a Einstein. Habiendo derivado muchas conclusiones apelando al manejo de la estadística (como en su relación entre los coeficientes de emisión y absorción de radiación por los átomos), siempre pensó que esos métodos se aplicaban porque no teníamos el conocimiento completo del sistema.

Indeed, such an interpretation would be a natural concomitant of the general principle that each probability statement arises from the incompleteness of our knowledge. This explanation "by hidden parameters" as well as another, related to it, which ascribes the "hidden parameter" to the observer and not to the observed system, has been proposed more than once. However, it will appear that this can scarcely succeed in a satisfactory way, or more precisely, such an explanation is incompatible with certain qualitative fundamental postulates of quantum mechanics.

Tengo que estudiar cuál es la incompatibilidad que señala von Neumann.

The relation of these statistics to thermodynamics is also considered. A closer investigation shows
that the well known difficulties of classical mechanics, which are related to the "disorder" assumptions necessary for the foundation of thermodynamics, can be eliminated here.

Siempre termina apareciendo en estas cuestiones la termodinámica. Recordemos que fue este tema el que llevó a Planck a investigar la radiación de cuerpo negro. Me queda pendiente entonces entender la crítica de von Neumann a Dirac, y el tema de incompatibilidad de las variables ocultas con los postulados fundamentales de la mecánica cuántica.

Nos leemos!

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