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Sigamos leyendo y comentando a Dirac:

One could carry out the energy measurement without destroying the component beam by, for example, reflecting the beam from a movable mirror and observing the recoil. Our description of the photon allows us to infer that, after such an energy measurement, it would not be possible to bring about any interference effects between the two components. So long as the photon is partly in one beam and partly in the other, interference.can occur when the two beams are superposed, but this possibility disappears when the photon is forced entirely into one of the beams by an observation. The other beam then no longer enters into the description of the photon, so that it counts as being entirely in the one beam in the ordinary way for any experiment that may subsequently be performed on it.

Uno podría tomar la medida de la energía sin destruir el haz, por ejemplo, haciendo que el haz se refleje en un espejo móvil, y observando el retroceso del mismo. Nuestra descripción del fotón nos permite inferir que, luego de tal medida de la energía, no sería posible encontrar ningún efecto de interferencia entre los dos componentes. Mientras que el fotón está en parte en un haz, y en parte en el otro, la interferencia puede ocurrir cada vez que los dos haces se superponen, pero esta posibilidad desaparece cuando el fotón es forzado a ser encontrado en uno de los haces, luego de una observación. El otro haz ya no entra en la descripción del fotón, y éste sólo cuenta como apareciendo en uno de los haces, para cualquier experimento que se se ejecute sobre él.

No me es claro que "nuestra descripción... nos permite inferir". Hay algún resultado experimental que Dirac se saltea, o no pone explícicamente. Eso es lo que veo que le falta a este capítulo: referencias concretas a los experimentos que nos llevan a estas conclusiones.

On these lines quantum mechanics is able to effect a reconciliation of the wave and corpuscular properties of light. The essential point is the association of each of the translational states of a photon with one of the wave functions of ordinary wave optics. The nature of this association cannot be pictured on a basis of classical mechanics, but is something entirely new. It would be quite wrong to picture the photon and its associated wave as interacting in the way in which particles and waves can interact in classical mechanics. The association can be interpreted only statistically, the wave function giving us information about the probability of our finding the photon in any particular place when we make an observation of where it is.

En estas líneas, la mecánica cuántica puede efectuar una reconciliación de las propiedades corpusculares y ondulatorias de la luz. El punto esencial es la asociación de cada estado de traslación del fotón con una de las funciones de onda de la óptica ondulatoria ordinaria. La naturaleza de esta asociación no puede ser imaginada sobre la base de la mecánica clásica, sino que es algo enteramente nuevo. Sería erróneo imaginr al fotón y a su onda asociado como interactuando como las partículas y ondas pueden interactuar en la mecánica clásica. La asociación sólo puede interpretarse estadísticamente, la función de onda nos dá información acerca de la probabilidad de encontrarnos al fotón en un lugar particular cuando efectuamos una observación sobre su posición.

Yo comentaría que "observación" es algo muy humano. El propio universo observa algunos de estos procesos, sin necesidad de poner una observación humana. Esta distinción (o falta de ella) es la que nos lleva a entender que el modelo de la física cuántica no tiene una aplicación/explicación de cuándo estas "observaciones" tienen lugar. Es lo que le falta, aún hoy, a la teoría: una forma de decir: "acá, se produce un salto cuántico", y "acá, no se produce, y sigue evolucionando la función de onda del sistema".

En los próximos posts: la afirmación de Dirac sobre la interferencia de UN SOLO fotón.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
@ajlopez

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Sigamos leyenda Dirac:

Let us consider now what happens when we determine the energy in one of the components. The result of such a determination must be either the whole photon or nothing at all. Thus the photon must change suddenly from being partly in one beam and partly in the other to being entirely in one of the beams. This sudden change is due to the disturbance in the translational state of the photon which the observation necessarily makes. It is impossible to predict in which of the two beams the photon will be found. Only the probability of either result can be calculated from the previous distribution of the photon over the two beams.

Consideremos ahora qué sucede cuando deterinamos la energía en uno de esos componentes. El resultado de tal determinación debe ser el fotón completo o nada en absoluto. Entonces, el fotón dbe cambiar súbitamente desde estar parcialmente en un haz y parcialmente en el otro, a estar enteramente en uno de los haces. Este cambio repentino es debido a la alteración en el estado de traslación del fotón que necesariamente provoca la observación. Es imposible de predecir en cual de los dos haces será encontrado el fotón. Solo la probabilidad de cada resultado puede ser calculado basado en la distribución previa del fotón en los dos haces.

Acá aparecen los famosos "saltos cuánticos". No es claro para todos los modelos explicativos que "es debido ... a la observación". Digo, no hay que asociarlo obligatoriamente con una observación que implique un observador. La misma naturaleza "observa" y todo indica que hay saltos cuánticos en el centro de las estrellas, sin observador alguno. Lo que no puede explicar la teoría cuántica es CUANDO se efectúa ese salto. Si por la cuántica fuera, todo sistema permanecería en superposición de estados, sin tener que "saltar repentinamente" a alguno, bajo ninguna circunstancia.

Lo que se ha planteado con el tiempo, entonces, es que la teoría cuántica es incompleta. Que debe haber algún otro proceso no contemplado en el formulismo cuántico, que hace que se produzcan estos saltos. Para más detalle, consultar "el Penrose", donde hay una explicación de las alternativas propuestas.

Tanto a Dirac como a Feynman (en sus Lectures, Feynman presenta el experimento con electrones y dos rendijas), le faltan la cita concreta al experimento crucial, en este caso, el de interferencia de un solo fotón. Veremos en los próximos posts que Dirac aclara que el fenómeno de interferencia es por fotón: un mismo fotón interfiere consigo mismo, mas que interferencia entre fotones distintos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Había mencionado en La Polarización del Fotón que Dirac tiene otro ejemplo físico donde se muestra el principio de superposición. Leo en su sección 3, "Interference of photons", del capítulo 1 "The Principle of superposition" de su excelente "Principles of Quantum Mechanics":

In this section we shall deal with another example of superposition. We shall again take photons, but shall be concerned with their position in space and their momentum instead of their polarization. If we are given a beam of roughly monochromatic light, then we know something about the location and momentum of the associated photons. We know that each of them is located somewhere in the region of space through which the beam is passing and has a momentum in the direction of the beam of magnitude given in terms of the frequency of the beam by Einstein's photo-electric law—momentum equals frequency multiplied by a universal constant. When we have such information about the location and momentum of a photon we shall say that it is in a definite translational state.

En esta sección trataremos otro ejemplo de superposición. Tomaremos de nuevo fotones, pero esta vez nos ocuparemos de sus posiciones en el espacio y de sus momentos en lugar de la polarización. Si tenemos un haz de luz aproximadamente monocromática, entonces algo conoces acerca de la localización y momento de los fotones asociados. Conocemos que cada uno de ellos está localizado en alguna parte de la región del espacio por el que el haz está pasando, y que tienen un momento en la dirección del haz de una magnitud dada en términos de la frecuencia del haz según la ley fotoeléctrica de Einstein - el momento es igual a la frecuencia multiplicada por una constante universal. Cuando tenemos esa información acerca de la localización y momento de un fotón decimos que éste está en un estado de translación definido.

Eso es cuando tenemos un haz. Pero veamos qué pasa cuando ese haz se divide:

We shall discuss the description which quantum mechanics provides of the interference of photons. Let us take a definite experiment demonstrating interference. Suppose we have a beam of light which is passed through some kind of interferometer, so that it gets split up into two components and the two components are subsequently made to interfere. We may, as in the preceding section, take an incident beam consisting of only a single photon and inquire what will happen to it as it goes through the apparatus. This will present to us the difficulty of the conflict between the wave and corpuscular theories of light in an acute form.

Discutamos la descripción que nos provee la mecánica cuántica de la interferencia de los fotones. Hagamos un experimento definido demostrando la interferencia. Supongamos que tenemos el haz de luz que está pasando a través de alguna clase de interferómetro, de tal forma que es dividido en dos componentes y que se hace interferir a esos dos componentes. Como en la precendente sección, podemos tomar al haz incidente como consistiendo de un solo fotón y preguntar entonces qué le sucederá cuando atraviese ese aparato. Esto nos presentará la dificultad del conflicto entre las teorías de la luz de onda y corpuscular, en una forma particularmente aguda.

Acá Dirac no expone el experimento de un haz, sino de un solo fotón. Lo que no aporta es el experimento concreto en el que se basa lo que sigue. Feynman, en sus famosas "Lectures", usa electrones en lugar de fotones. Pero también afirma que realizando el experimento con "un electrón a la vez" también se produce interferencia. No sé si alguna vez se realizó un experimento así ("un fotón a la vez", "un electrón a la vez") o es una deducción de un modelo basado en experimentos de varios fotones o varios electrones.

Corresponding to the description that we had in the case of the polarization, we must now describe the photon as going partly into each of the two components into which the incident beam is split. The photon is then, as we may say, in a translational state given by the superposition of the two translational states associated with the two components. We are thus led to a generalization of the term 'translational state* applied to a photon. For a photon to be in a definite translational state it need not be associated with one single beam of light, but may be associated with two or more beams of light which are the components into which one original beam has been split. In the accurate mathematical theory each translational state is associated with one of the wave functions of ordinary wave optics, which wave function may describe either a single beam or two or more beams into which one original beam has been split. Translational states are thus superposable in a similar way to wave functions.

Correspondiendo a la descripción que teníamos en el caso de la polarización, debemos ahora describir al fotón como yendo parcialmente en cada uno de los dos componentes en los cuales el haz incidente fue separado. El fotón entonces está, podemos decir, en un estado de traslación dado por la superposición de dos estados de traslación asociados con los dos componentes. Esto nos lleva a la generalización del término "estado de traslación" aplicado a un fotón. Para que un fotón esté en un estado de traslación definido no necesita estar asociado con un simple haz de luz, sino que puede estar asociado con dos o más haces de luz que son los componentes en los que el haz original fue dividido. En la teoría matemática precisa cada estado de traslación está asociado con una de las funciones de onda de la óptico de onda ordinaria, y cada función de onda describe o un simple haz o dos o más haces en los cuales un haz original ha sido divido. Entonces, los estados de traslación son superponibles de manera similar a las funciones de onda.

Lo importante es que de nuevo aparece la superposición de estados. Todo el modelo de la mecánica cuántica que expone Dirac lleva a ese resultado. Habrá que discutir más en detalle los experimentos que llevaron a la propuesta de este modelo. Una vez aceptado que el principio es necesario en cualquier modelo que trate de explicar los fenómenos conocidos, Dirac se embarca en construir el aparato matemático que pueda dar soporte a estas ideas. Pero sigamos en el próximo post.

Nos leemos!

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En el post 4 comentaba a Darwin, cuando señalaba su estudio de la variación doméstica y natural. El mencionaba que no iba a poder dar mucho detalle de la variación natural. Pero agrega:

Nos será dado, sin embargo, discutir qué circunstancias son más favorables para la variación. En el capítulo siguiente se examinará la lucha por la existencia entre todos los seres orgánicos en todo el mundo, lo cual se sigue inevitablemente de la elevada razón geométrica de su aumento. Es ésta la doctrina de Malthus aplicada al conjunto de los reinos animal y vegetal. Como de cada especie nacen muchos más individuos de los que pueden sobrevivir, y como, en consecuencia, hay una lucha por la vida, que se repite frecuentemente, de algún modo provechoso para él bajo las complejas y a veces variables condiciones de la vida, tendrá mayor probabilidad de sobrevivir y de ser así naturalmente seleccionado. Según el poderoso principio de la herencia, toda variedad seleccionada tenderá a propagar su nueva y modificada forma.

Acá aparece "naturalmente seleccionado", uno de los pilares de la teoría de Darwin. El otro es la variación natural, del que Darwin reconoce que no se entiende en su tiempo las causas. Pero ya en su tiempo Mendel hacía sus experimentos. Parece que se encontró el artículo de Mendel entre los papeles de Darwin, pero no se sabe si llegó a leerlo. Nunca mencionó que conociera su trabajo con los guisantes.

Trataré este tema fundamental de la selección natural con cierta extensión en el capítulo IV, y entonces veremos cómo la selección natural produce casi inevitablemente gran extinción de formas de vida menos perfeccionadas y conduce a lo que he llamado divergencias de caracteres.

Y ahora viene lo de las leyes de variación. Vean que Darwin no le huye a tratar las dificultades de su teoría:

En el capítulo siguiente trataré de las complejas y poco conocidas leyes de la variación. En los cinco capítulos siguientes se presentarán las dificultades más aparentes y graves para aceptar la teoría; a saber: primero, las dificultades de las transiciones, o cómo un ser sencillo o un órgano sencillo puede transformarse y perfeccionarse hasta convertirse en un ser sumamento desarrollado o en un órgano complicadamente construido...

El caso paradigmático es el desarrollo del ojo: notablemente aparece en los mamíferos, y también en el pulpo.

... segundo, el tema del instinto o de las facultades mentales de los animales; tercero, la hibridación o la esterilidad de las especies y fecundidad de las variedades cuando se cruzan; y cuarto, la imperfección de la crónica geológica...

No conocía que hubiera puesto como dificultad lo de "las facultades mentales". Años después, escribiría sobre la evolución humana (recuerdo que Wallace no lo acompañó en las consecuencias de su teoría). Lo de la geología algo traté en mi anterior post.

... En el capítulo siguiente consideraré la sucesión geológica de los seres en el tiempo; en los capítulos XII y XIII, su clasificación y afinidades mutuas, tanto de adultos como en estado emrbinario. En el útimo capítulo daré un breve resumen de toda la obra y expondré algunas observaciones finales.

Es una obra notable la de Darwin, por la claridad y detalle de exposición, sin llegar a estar sobrecargada de referencias. Tal vez eso contribuyó a su difusión y aceptación por parte de la sociedad británica de su época. Pero también hay que contar con la seducción que produjo "la lucha por la vida" para explicar la aparente "superioridad" de algunas sociedades.

Nos leemos!

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Sigo leyendo a Gould:

Además de una llamada trivial a la imparcialidad, el "método científico" supone una conjunto de conceptos y procedimientos hechos a la medida de un hombre de bata blanca que hace girar diales en un laboratorio: experimentación, cuantificación, repetición, predicción, y restricción de la complejidad a unas pocas variables que puedan ser controladas y manipuladas.

Gould pone método científico entre comillas. Pero no hay que imaginar que el método científico es lo que describe. Hay ciencia económica, aunque sea difícil al repetición. Hay ciencia en astronomía, aunque sea difícil la experimentación (¿vieron a un astrónomo provocando una supernova?). La actividad y método científicos van más allá de lo que Gould describe. No es que lo diga yo: vean la historia de la ciencia moderna. Cuando Galileo propone que las luces que ve son satélites de Júpiter, PROPONE UN MODELO. Galileo NO VIO LOS SATELITES. Apenas unas luces alrededor de Júpiter, que lo acompañaban noche tras noche, en distintas posiciones.

Estos procedimientos son potentes, pero no engloban toda la variedad de la naturaleza.

Yo diría: no engloban la variedad del método científico. Falta la proposición de modelos, una actividad humana, muy humana. Vean que es difícil para un programa de computadora implementar este paso: requiere imaginación, creación mental.

¿Cómo deben operar los científicos cuando intentan explicar los resultados de la historia, estos acontecimientos singularmente complejos que pueden que no ocurran más que una sola vez en todo su esplendor?

Pues considerando la historia. Los físicos se están enfrentando a ella, cuando hablan de cosmología. Un verdadero científico pone la historia en su lugar, dándose cuenta de su relevancia. Justo ahora Gould menciona cosmología:

Muchos grandes dominios de la naturaleza (entre ellos la cosmología, la geología y la evolución) han de estudiarse con las herramientas de la historia. Los métodos apropiados se centran en la narración, no en el experimento como generalmente se concibe.

Es que no hay experimentos en cosmología. Pero lo que sí hay (insisto), es la proposición de modelos. Vean el modelo inflacionario en cosmología. ¿Cómo aceptarlo? Pues no por simple "explica todo" sino por la búsqueda activa de corroboraciones, de fenómenos que hayan dejado una traza de la inflación. Ver como ejemplo Andrei Linde and the Beauty of Science.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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El libro fue publicado en 1929, leo al final de esta "Introduction":

The great scientific task of the next fifty years is the development of a new "electromagnetic" theory. It is impossible to forecast the form such a theory will take, so greatly are we prejudiced by our present views.

En esos años ya se estaba pergueñando la electrodinámica cuántica, de la mano de Dirac al principio.

It will, however, doubtless be based on a quantitative description of the individual behavior of charges, and will yield as statistical concepts such ideas as inertia, force, and even length and time. Thus it will explain the mechanical behavior of ponderable matter, rather than be itself "explained" by mechanics. That this new theory should yield ideas such as those just mentioned, rather than depend upon them, is but consistent with the basic role this theory must play.

Pending the advent of this new theory, it is essential to have a knowledge of that system of equations which constitutes the present electromagnetic theory. Remembering that the future of the theory lies in the
hands of the present students, it seems of the greatest importance to arrive at these equations in a way which will excite, rather than dull, curiosity, and which tends to produce that attitude toward fundamentals
which must prevail before a real electron theory of electricity replaces the present electrical theory of electrons.

Interesante postura. Estoy estudiando este libro para ver cómo es la teoría clásica, antes de llegar a la formulación de campos cuánticos.

The present volume is an introduction to the mathematical field theory of electrodynamics, written in an attempt to keep clear the relation between the mathematical mechanism and the physical reality. It is hoped that a student who gains his familiarity with the Maxwell field equations from this book will have an open mind, ready to evaluate without prejudice those fundamental new developments in electrical theory which are bound to come. The authors realize that this volume closes just at that interesting point where many valuable developments bewn. However, just as, according to the behaviorists, one's psychology is largely "set" before he reaches the age of three, so one's viewpoint toward electrodynamics is a fixed and settled Inatter by the time one has acquired the field equations and has discussed certain of their most fundamental applications. It is with this viewpoint that the authors are primarily concerned.

No podrían haber estado más acertados en que las teorías "are bound to come". Era claro entonces que con los nuevos descubriemientos en mecánica cuántica, las formulaciones clásicas debían ser revisadas. Y las teorías de Maxwell y Lorentz estaban algo "separadas". En la primera no se usaba el electrón. Faltaba la unificación entre campos y partículas.

Acá termina esta serie, comentando esta introducción. En cuanto pueda, comienzo una serie sobre electromagnetismo clásico, para pasar en limpio algunos conceptos.

Nos leemos!

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Faltaba poco de la traducción, un solo párrafo, para terminar con esta exposición de Dirac sobre la polarización de los fotones:

When we make the photon meet a tourmaline crystal, we are subjecting it to an observation. We are observing whether it is polarized parallel or perpendicular to the optic axis. The effect of making this observation is to force the photon entirely into the state of parallel or entirely into the state of perpendicular polarization. It has to make a sudden jump from being partly in each of these two states to being entirely in one or other of them. Which of the two states it will jump into cannot be predicted, but is governed only by probability laws. If it jumps into the parallel state it gets absorbed and if it jumps into the perpendicular state it passes through the crystal and appears on the other side preserving this state of polarization.

Cuando hacemos que el fotón se encuentre con el cristal de turmalina, lo estamos haciendo pasar por una observación. Nosotros observamos si se polariza en sentido paralelo o perpendicular al eje óptico. El efecto de hacer esta observación es forzar al fotón enteramente en el estado de paralelo o enteramente en el estado de polarización perpendicular. Tiene que hacer un salto súbito desde estar parcialmente en cualquiera de esos dos estados, para terminar en uno o en otro de ellos. Hacia cuál de los dos estados saltará no puede ser predicho, pero el resultado está gobernado por leyes de probabilidad. Si salta al estado paralelo, entonces es completamente absorvido por el cristal, y si salta al estado perpendicular, pasa a través de él y aparece en el otro lado preservando este estado de polarización.

Dirac describe un caso de los famosos "saltos cuánticos". Sin embargo, pone una palabra, "observación", que sugiere "observación humana". Hay otras interpretaciones. Para los que quieran más detalles, revisar la exposición que hace de ellas "el Penrose". Como dice Mario Bunge, en el núcleo de las estrellas también hay saltos cuánticos, sin que haya observador. Es un tema a discutir, pero yo me inclino por lo que parece que hace la naturaleza: hay saltos en muchas circunstancias. Lo que sucede, es que la mecánica cuántica que se conoce, no tiene ningún proceso que haga aparecer esos saltos. Sólo aparecen, no en la teoría, sino en la práctica. Si fuera por la teoría, el estado del fotón seguiría en la superposición de estados. También hay que recordar que esos "dos estados de base" son estados arbitrarios, que en el caso descripto por Dirac, dependen de la orientación del cristal. Por ejemplo, en otros casos se habla de "espín 1/2" cuando debería hablarse de "espín 1/2 en tal eje".

Tengo que revisar otro ejemplo físico de Dirac, para justificar la superposición de estados: la interferencia de fotones, que podría extenderse a la de partículas como los electrones.

Nos leemos!

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Sigamos buscando la ecuación de Schrödinger. Ya tenemos algunas pistas. Está la relación de Einstein que liga frecuencia en el tiempo con energía:

y la relación de de Broglie que liga longitud de onda en el espacio con el momento:

Estamos buscando una ecuación "esparcida" en el tiempo y el espacio. Y una ecuación de onda, que tenga incorporado de alguna forma una frecuencia ligada al tiempo, y una longitud de onda ligada al espacio. La podemos escribir como:

Para simplificar, tratemos con una sola dimensión espacial:

Vean arriba, que la constante de Planck en una fórmula aparece multiplicada por la frecuencia, pero en la otra, aparece dividida indirectamente por la longitud de onda (la longitud de onda, en lugar de multiplicar a h, está multiplicando al término del otro lado).

Con lo que sabemos, pongamos un primer intento de fórmula:

Esta fórmula tiene dos características que cumplen con lo que pedimos:

- Si fijamos el tiempo (si lo dejamos fijo), representa una onda esparcida en el espacio, con una longitud de onda dada
- Si fijamos el punto en el espacio, representa una onda que el tiempo tiene una frecuencia dada

Así que es una fórmula interesante para explorar. El factor negativo en el término dependiente del tiempo tendrá su aplicación más adelante. Por lo que sabemos ahora, bien podría ser positivo.

Pero la de arriba es sólo la fórmula de una onda: no es una ecuación que nos pueda servir para deducir la evolución de un sistema, de un electrón o lo que estemos considerando. Necesitamos hacerla intervenir en alguna ecuación. Y como la ecuación de Newton, será una ecuación diferencial. Pero esta vez, la ecuación usará derivadas en el espacio y en el tiempo. En la mecánica newtoniana, la única variable independiente era el tiempo. Y entonces el valor de x se deducía a cada momento. Esta vez no, tenemos que empezar a tratar con una ecuación con derivadas parciales.

Un punto entonces interesante es comenzar a ver qué derivadas parciales tiene la fórmula de arriba. Tema para el próximo post.

Nos leemos!

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Llegó el tiempo de tratar un gran tema, tan demorado en este blog. En los últimos años, volví a estudiar teoría de grupos, y algo de física. Fue "el Penrose" el que volvió a introducirme en temas que son fundamentales de entender para ver de qué va gran parte de la física moderna. Veamos qué relación hay entre una teoría tan matemática como la teoría de grupos y la física del modelo estándar.

No es trivial la relación entre grupos y partículas elementales. Si bien el uso de los grupos en ciencia natural aparece en varios temas (recuerdo la cristalografía) casi nunca se hace una descripción detallada de su uso en física de partículas. Es un tema que apareció en mi radar a principios de los ochenta del siglo pasado. Pero pienso que es uno de los temas tratados en los artículos de divulgación de forma superficial. De ahí una de las motivaciones para comenzar a escribir esta serie. Otra gran motivación: terminar de entender lo que fui leyendo y aprendiendo.

Comencemos por los grupos. Un grupo es un conjunto de objetos que pueden ser multiplicados entre sí, cumpliendo algunas condiciones. Si los elementos son a, b, c, ... entonces las condiciones son:

1) Si a y b son dos elementos cualesquiera, el producto ab está definido y es un elemento del grupo

2) La multiplicación de elementos es asociativa. Esto es, (ab)c es igual a a(bc) cualesquiera sean a, b, c.

3) Hay un elemento destacado, llamémosle e, tal que ae = ea = a para todo elemento a

4) Cada elemento tiene su inverso. Esto es, si a es elemento del grupo, entonces existe un elemento del grupo a^-1 tal que aa^-1 = a^-1a = e

Con estas simples condiciones, se consigue alzar la teoría de grupos, una de las ramas de las matemáticas más penetrantes, tan presente en tantas otras ramas. Pero ¿cómo se relaciona con la física de partículas? Bueno, tenemos que recorrer un camino largo. Pero puedo adelantar algo: estas relaciones abstractas se volverán más concretas cuando veamos que transformaciones de vectores y tensores forman un grupo. Y que vectores y tensores pueden representar estados físicos.

Como ejemplo sencillo de grupo, podemos mencionar los números enteros, donde tomamos la suma de enteros como la operación "multiplicación" del grupo, y al número cero como la unidad e. Se dice que es un grupo infinito, porque tiene una cantidad infinita de elementos. Pero también los hay finitos. Por ejemplo, el caso ilustrado por e, a, b, c y la tabla de multiplicación:

Ambos grupos (el de los enteros, y el de arriba, ahora finito) son grupos conmutativos, donde ab = ba. De ahí que no especiqué cómo leer la tabla de arriba (¿se multiplica primero un elemento de la primer columna, con un elemento de las primera fila? ¿o es al revés? al ser conmutativo no importa). Pero también vamos a descubrir que hay grupos no conmutativos.

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Sigamos leyendo y comentando:

The foregoing discussion about the result of an experiment with a single obliquely polarized photon incident on a crystal of tourmaline answers all that can legitimately be asked about what happens to an obliquely polarized photon when it reaches the tourmaline. Questions about what decides whether the photon is to go through or not and how it changes its direction of polarization when it does go through cannot be investigated by experiment and should be regarded as outside the domain of science. Nevertheless some further description is necessary in order to correlate the results of this experiment with the results of other experiments that might be performed with photons and to fit them all into a general scheme. Such further description should be regarded, not as an attempt to answer questions outside the domain of science, but as an aid to the formulation of rules for expressing concisely the results of large numbers of experiments.

La anterior discusión acerca del resultado de un experimento con un solo fotón incidente polarizado sobre un cristal de turmalina responde todo lo que legítimamente se puede preguntar sobre qué sucede a un fotón oblicuamente polarizado cuando alcanza la turmalina. Cuestiones acerca de qué decide si el fotón va a pasar o no, y cómo cambia su dirección de polarización cuando lo atraviesa no pueden ser investigados por el experimento y deben ser consideradas como fuera del dominio de la ciencia.

No estoy de acuerdo. Primero, no sabemos si no habrá un experimento que arroje más luz sobre lo que pasa en la transición. Segundo, en ciencia igual se plantean modelos que no pueden ser refrendados por el experimento actual, pero que pueden arrojar predicciones o conclusiones que pueden compararse en otras circunstancias y experimentos. También puede ser que esos modelos no sean pasibles de corroboración por experimento. Pero no hay que abandonar el intento. Primero hay que ir más allá, y ver si realmente hemos llegado o no a las "ultimate strings"´de la naturaleza, como escribe Hume. Igual, Dirac nos da una descripción adicional, y explica su necesidad:

De todos modos, alguna descripción adicional es necesaria para correlacionar los resultados de este experimento con los resultados de otros experimentos que pueden ser realizados con fotones, para así poner a todos ellos en un esquema general. Esa descripción adicional debe ser considerada, no como un intento por responder cuestiones fuera del dominio de la ciencia, sino como una ayuda a la formulación de reglas para expresar concisamente los resultados de una gran cantidad de experimentos.

The further description provided by quantum mechanics runs as follows. It is supposed that a photon polarized obliquely to the optic axis may be regarded as being partly in the state of polarization parallel to the axis and partly in the state of polarization perpendicular to the axis. The state of oblique polarization may be considered as. the result of some kind of superposition process applied to the two states of parallel and perpendicular polarization. This implies a certain special kind of relationship between the various states of polarization, a relationship similar to that between polarized beams in classical optics, but which is now to be applied, not to beams, but to the states of polarization of one particular photon. This relationship allows any state of polarization to be resolved into, or expressed as a superposition of, any two mutually perpendicular states of polarization.

La descripción adicional provista por la mecánica cuántica es la siguiente. Se supone que un fotón polarizado oblicuamente al eje óptico puede ser considerado con estando en parte en un estado de polarización paralela al eje y en parte en un estado de polarización perpendicular al eje. El estado de polarización oblicua debe ser considerado como el resultado de alguna clase de proceso de superposición aplicado a los dos estados de polarización paralela y perpendicular. Esto implica una cierta clase especial de relación entre los varios estados de polarización, una relación similar a la que hay entre haces polarizados en la óptica clásica, pero que ahora no es aplicada a los haces, sino a los estados de polarización de los fotones particulares. Esta relación permite que cualquier estado de polarización sea resuelto en o expresado como, una superposición de cualquier dos mutuamente perpendiculares estados de polarización.

Tengo que revisar por qué pide Dirac que sean perpendiculares. Pero ya aparece la combinación de dos estados para describir a otro estado.

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Sigo leyendo y traduciendo a Dirac. Plantea ahora un caso y un experimento.

Let us take a definite case. Suppose we have a beam of light passing through a crystal of tourmaline, which has the property of letting through only light plane-polarized perpendicular to its optic axis. Classical electrodynamics tells us what will happen for any given polarization of the incident beam. If this beam is polarized perpendicular to the optic axis, it will all go through the crystal; if parallel to the axis, none of it will go through; while if polarized at an angle a to the axis, a fraction sin²(a) will go through. How are we to understand these results on a photon basis?

Tomemos un caso definido. Supongamos que tenemos un haz de luz pasando a través de un cristal de turmalina, el cual tiene la propiedad de dejar pasar la luz polarizada en un plano perpendicular a su eje óptico. La electrodinámica clásica nos dece que pasará para cualquier polarización dada del haz incidente. Si el haz está polarizado perpendicular al eje óptico, pasará a través del cristal; si es paralelo al eje, nada del haz pasará; mientras que si está polarizado en un cierto ángulo a respecto del eje, pasará una fracción seno²(a). ¿Cómo podemos entender estos resultados pero ahora empleando fotones?

Recordemos que Dirac ya había afirmado que la polarización del haz era una propiedad de cada fotón.

A beam that is plane-polarized in a certain direction is to be pictured as made up of photons each plane-polarized in that direction. This picture leads to no difficulty in the cases when our incident beam is polarized perpendicular or parallel to the optic axis. We merely have to suppose that each photon polarized perpendicular to the axis passes unhindered and unchanged through the crystal, while each photon polarized parallel to the axis is stopped and absorbed. A difficulty arises, however, in the case of the obliquely polarized incident beam. Each of the incident photons is then obliquely polarized and it is not clear what will happen to such a photon when it reaches the tourmaline.

Un haz que está polarizado en un plano en una cierta dirección se representa como hecho de fotones, cada uno polarizado en esa dirección. Esta representación no presenta ninguna dificultad en los casos en los que el haz incidente está polarizado perpendicular o paralelo al eje óptico. Solo tenemos que suponer que cada fotón polarizado perpendicularmente al eje pasa sin cambios a través del cristal, mientras que cada fotón polarizado paralelo al eje es detenido y absorbido. Sin embargo, la dificultad aparece en el caso de un haz incidente polarizado en forma oblicua. Cada uno de los fotones incidentes, entonces, está entonces oblicuamente polarizado y no está claro qué pasará a tal fotón cuando llegue a la turmalina.

Y acá viene una aclaración importante: las preguntas que se pueden hacer en física.

A question about what will happen to a particular photon under certain conditions is not really very precise. To make it precise one must imagine some experiment performed having a bearing on the
question and inquire what will be the result of the experiment. Only questions about the results of experiments have a real significance and it is only such questions that theoretical physics has to consider.

Una pregunta sobre qué le pasará a un fotón en particular bajo ciertas circunstancias no es realmente muy precisa. Para hacerla precisa uno debe imaginar algún experimento realizado que tenga una relación con la cuestión y preguntar cual será el resultado del experimento. Solamente las preguntas sobre los resultados de los experimentos tienen un significado real y la física teórica debe considerar solamente a ese tipo de preguntas.

¿Cuál es el experimento a realizar, entonces?

In our present example the obvious experiment is to use an incident beam consisting of only a single photon and to observe what appears on the back side of the crystal. According to quantum mechanics
the result of this experiment will be that sometimes one will find a whole photon, of energy equal to the energy of the incident photon, on the back side and other times one will find nothing. When one finds a whole photon, it will be polarized perpendicular to the optic axis. One will never find only a part of a photon on the back side. If one repeats the experiment a large number of times, one will find the photon on the back side in a fraction sin²(a) of the total number of times. Thus we may say that the photon has a probability sin²(a) of passing through the tourmaline and appearing on the back side polarized perpendicular to the axis and a probability cos²(a) of being absorbed. These values for the probabilities lead to the correct classical results for an incident beam containing a large number of photons.

En nuestro presente ejemplo el experimento obvio es usar un haz incidente consistente en un solo fotón y observar qué aparece del otro lado del cristal. De acuerdo con la mecánica cuántica el resultado de este experimento será que a veces uno encuentra un fotón entero, de energía igual a la energía del fotón incidente, en el otro lado del cristal, y otras veces uno no encuentra nada. Cuando uno encuentra un fotón entero, estará polarizado perpendicular al eje óptico. Uno nunca encontrará al otro lado solo una parte del fotón. Si uno repite el experimento una gran cantidad de veces, uno encontrará el fotón del otro lado en una fracción seno²(a) del número total de veces. Entonces podemos decir que el fotón tiene una probabilidad seno²(a) de pasar a través de la tormalina y aparecer en el otro lado, polarizado perpendicularmente al eje, y con una probabilidad cos²(a) de ser absorbido. Estos valores para las probabilidades llevan al mismo resultado clásico correcto para un haz conteniendo un gran número de fotones.

Tengo que revisar si se ha podido realizar un experimento así. Ver Photon Polarization y Polarization of Light.

In this way we preserve the individuality of the photon in all cases. We are able to do this, however, only because we abandon the determinacy of the classical theory. The result of an experiment is not determined, as it would be according to classical ideas, by the conditions under the control of the experimenter. The most that can be predicted is a set of possible results, with a probability of occurrence for each.

De esta forma preservamos la individualidad del fotón en todos los casos. Sin embargo, solamente podemos hacerlo abandonando la determinación de la teoría clásica. El resultado de un experimento no está determinado por las condiciones bajo el control del experimentador, como debiera ser según las ideas clásicas. Lo más que podemos predecir es un conjunto de posibles resultados, con una probabilidad de ocurrencia para cada uno.

Ese es el punto clave. Aparece la probabilidad en la explicación del fenómeno. Veremos en el próximo la posición de Dirac al respecto.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Hace tiempo traduje y comenté una sección del gran libro de Dirac, "Principles of Quantum Mechanics". Ver mi serie de posts:

La necesidad de una teoría cuántica, por Dirac

Esa sección del primer capítulo (un capítulo "físico" escribe Dirac en el prefacio) es seguida de otra, donde el autor se detiene a examinar un caso experimental, que curiosamente tiene la misma solución tanto en la física clásica como en la cuántica: la polarización del fotón (también pueden consultar las Lectures de Feynman, donde se trata el mismo caso).

Leo:

The discussion in the preceding section about the limit to the gentleness with which observations can be made and the consequent indeterminacy in the results of those observations does not provide any quantitative basis for the building up of quantum mechanics. For this purpose a new set of accurate laws of nature is required. One of the most fundamental and most drastic of these is the Principle of Superposition of States. We shall lead up to a general formulation of this principle through a consideration of some special cases, taking first the example provided by the polarization of light.

La discusión en la sección precedente acerca del límite de la suavidad que puede emplearse en las observaciones y la consecuente indeterminación de los resultados de esas observaciones no provee ninguna base cuantitativa sobre la que construir la mecánica cuántica. Para este propósito se requiere un nuevo conjunto de leyes precisas de la naturaleza. Uno de las más fundamentales y drásticas de estas leyes es el Principio de Superposición de Estados. Nos veremos guiados a una formulación general de este principio a través de la consideración de algunos casos especiales, tomando como primer ejemplo el provisto por la polarización de la luz.

El Principio de Superposión de Estados es una piedra angular del edificio cuántico. Veremos cómo parte Dirac de este ejemplo para llegar a una primera aplicación de este principio. Y es un maestro en mapear este principio a elementos matemáticos, vectores, donde la superposición se expresa con la suma.

It is known experimentally that when plane-polarized light is used for ejecting photo-electrons, there is a preferential direction for the electron emission. Thus the polarization properties of light are closely connected with its corpuscular properties and one must ascribe a polarization to the photons. One must consider, for instance, a beam of light plane-polarized in a certain direction as consisting of photons each of which is plane-polarized in that direction and a beam of circularly polarized light as consisting of photons each circularly polarized. Every photon is in a certain state of polarization, as we shall say. The problem we must now consider is how to fit in these ideas with the known facts about the resolution of light into polarized components and the recombination of these components.

Es experimentalmente conocido que cuando la luz polarizada en un plano es usada para eyectar foto-electrones, hay una dirección preferencial para la emisión de los fotones. Entonces las propiedades de la polarización de la luz están estrechamente conectadas con sus propiedades corpusculares y se asocia la polarización con los fotones. Uno debe considerar, por ejemplo, un haz de luz polarizada en un plano en una cierta dirección como formada por fotones cada uno de los cuales está polarizado en un plano en esa dirección, y un haz de luz polarizada circularmente como consistente de fotones, cada uno de los cuales polarizado circularmente. Diremos que todo fotón está en un cierto estado de polarización. El problema que debemos ahora considerar es cómo encajan estas ideas con los hechos conocidos sobre la resolución de la luz en componentes polarizados y la recombinación de los componentes.

El argumento de Dirac es: desde Einstein, sabemos que la eyección de electrones por medio de la luz, tenemos que asociarla con paquetes discretos, ya en su tiempo llamados fotones. Pero la luz polarizada en un plano remueve electrones que salen eyectados en una dirección preferencial. Entonces tenemos que conectar los dos modelos: fotones y polarización. La polarización no es entonces una propiedad emergente de un haz, sino una propiedad de cada fotón.

En el próximo post veremos cómo coincilia Dirac el modelo clásico con esta nuevo modelo cuántico.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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De nuevo me vuelvo a encontrar con un artículo del Scientific American, en la versión española Investigación y Ciencia, que acá en Buenos Aires llega con algunos meses de retraso desde España. En el número de octubre de 2013, hay un muy interesante artículo de Meinard Kulhmann sobre ¿Qué es la realidad? Leo:

Los físicos hablan del mundo como si estuviese compuesto de partículas y campos de fuerza. Sin embargo, no parece quedar claro qué representan dichos conceptos...

Ese es el tema de esta serie. Una cosa son los conceptos, que podemos manejar convenientemente, y otra son los referentes en la realidad de esos conceptos, y hasta se puede plantear dos vertientes principales: ¿podemos conocer esos referentes, o estamos condenados sólo a conceptos, quizás equivalentes? y ¿existen esos referentes? La primera es más gnoseológica, sobre los límites del conocimiento humano. La segunda, más ontológica, sobre lo que realmente existe. En el medio, alguien podría disponer una postura intermedia.

Pero no es todo tan simple como partículas y fuerzas:

Los físicos suelen describir el mundo en términos de partículas que interaccionan unas con otras mediante campos de fuerza. Su disciplina recibe el nombre de "física de partículoas", y sus instrumentos, "aceleradores de partículas". Según esta imagen, el universo se asemejaría a un lego. Pero semejante visión esconde bajo la alfombra algunos hehcos poco conocidos. En física cuántica, las interpretaciones de partícula y campo difieren hasta tal punto de los conceptos tradicionales que, cada vez más, los expertos se plantean la posibilidad de que el mundo se componga de algo completamente distinto.

Destaco "difieren hasta tal punto de los conceptos tradicionales". Todos los artículos de divulgación ponen a las partículas como si fueran pelotitas que atraviesan algún aparato, aclarando igual que es una simplificación. Pero vemos en el reiterado uso del término "partícula" cuán arraigado está el concepto ingenuo, que ha tenido que ir adaptándose en el último siglo a lo que todo lo cuántico nos ha develado.

En términos de teoría, estamos bastante bien:

No es que los físicos carezcan de una teoría adecuada para describir el mundo subatómico. Tienen una: la teoría cuántica de campos. Desarrollada entre finales de los años veinte y principios de los cincuenta del pasado siglo, dicha teoría conjuga la mecánica cuántica con la relatividad especial de Einstein.

Ver mi serie La necesidad de una teoría cuántica de campos.

Constituye el marco conceptua sobre el que se apoya el modelo estándar de la física de partículas, el cual describe bajo un marco unificado los ladrillos que componen la materia y sus interacciones. En lo que a su precisión empírica se refiere, se trata de la teoría más exitosa de la historia de la ciencia. Los científicos la usan todos los días para calcular qué sucede en las colisiones de partículas, a nuestro universo, qué ocurre en el interior de los núcleos atómicos y mucho más.

Igual Dirac levantó la mano, sobre algunas aplicaciones de la teoría y la aparición de infinitos en algunos desarrollos que se suprimen de forma algo arbitraria. Ver posts de mi serie Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (14).

Así las cosas, tal vez sorprenda saber que los físicos no están seguros de qué dice su teoría; desconocen su ontología, o imagen física primaria. Semejante desconcierto no guarda ninguna relación con los muy discutidos misterios de la mecánica cuántica, en los que los gatos están vivos y muertos a la vez.

Es importante no confundir el problema que estamos tratando con esos otros problemas. Estamos tratando un tema más concreto. El problema de los gatos sólo aparece en algunas interpretaciones.

Pero la falta de una interpretación nítida sobre el significado de la teoría cuántica de campos está lastrando la investigación de las teorías que, como la de cuerdas, intentan superar al modelo estándar. Resulta arriesgado formular una teoría nueva cuando no comprendemos bien la actual.

Uno podría preguntar, pero a qué viene tanto problema. Acá se aclara el punto:

A primera vista, el contenido del modelo estándar parece obvio. Por un lado tenemos varios tipos de partículas elementales, como quarks y electrones; por otro, disponemos de distintos campos de fuerza, los cuales median las interacciones entre partículas. Esa descripción aparece una y otra vez en todo tipo de diagramas didácticos y en los artículos de esta revista.

Ver mis posts sobre Diagramas de Feyman.

Sin embargo, y por convincente que parezca, dicha imagen no resulta satisfactoria en absoluto.

Y acá aparece el quid de la cuestión:

Para empezar, las dos categorías se fundan en una sola. La teoría cuántica de campos asigna un campo a cada tipo de partícula. De esta manera, al igual que existe el electrón, hay también un campo asociado al electrón. Dichos campos se hallan cuantizados, lo que da lugar a partículas como los fotones. Así, la distinción entre partículas y campos resulta artificial, si bien a menudo los físicos hablan como si unos fuesen más fundamentales que las otras, o viceversa.

Yo iría un poco más allá: hasta los electrones aparecen descriptos en un campo. En los modelos matemáticos, podemos considerar que las partículas "arman" campos, o que los campos "arman" partículas. Ese es el problema. No sabemos, en la realidad, si alguno de esos conceptos tiene un referente más fundamental que el otro. O si ambos son sólo fascetas emergentes, "visibles" a nuestro entendimiento, de algo más profundo.

El debate se ha arremolinado en torno a este punto: en última instancia, ¿trata la teoría sobre campos o sobre partículas? Todo comenzó como una batalla entre titanes, con eminentes físicos y filósofos a ambos lados. Ambos conceptos se usan aún hoy con un propósito ilustrativo, aunque la mayoría de los físicos admitan que tales nociones clásicas no casan bien la teoría. Pero si las imágenes mentales que conjuran los términos partícula y campo no dejan reconciliar con la teoría, tal vez los físicos y los filósofos deberíamos pensar con qué sustituirlos.

El resto del artículo describe varias situaciones donde se pone a prueba la deducción "acá hay partículas", o "acá hay vacío". Muy interesantes ejemplos, algunos no los conocía. Pero ya dará tema para otros posts de esta serie u otra. Por ahora, queda reforzado que el tema partícula y campo no está resuelto.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Ya traduje y comenté dos conferencias sobre Dirac:

Paul Adrien Maurice Dirac, por Stephen Hawking
Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais

que tengo en la edición de libro "Paul Dirac: The Man and his Work", Cambridge. Hoy traduzco, por completitud, la breve reseña biográfica del prefacio, escrito por Peter Goddard, Master del St. John's College de Cambridge, el "college" de Dirac.

Paul Adrien Maurice Dirac fue uno de los fundadores de la teoría cuática y el autor de muchos de sus más importantes desarrollos posteriores. Se lo ha nombrado en la línea de Newton, Maxwell, Einstein y Rutherford como uno de los más grandes físicos de todos los tiempos. Nación en Bristol, el 8 de agosto de 1902, y murió el 20 de octubre de 1984, en Tallahassee, Florida. El lunes 13 de noviembre de 1995, después de la oración vespertina, una placa fue dedicada en la abadía de Westminter conmemorando a Paul Dirac. La simplicidad y la austera belleza del diseño de la placa reflejaron en cierta forma las cualidades del intelecto único de Dirac.

Luego de graduarse en la universidad de Bristol con un grado de ingeniería de primera clase, Dirac se quedó para estudiar matemáticas, hasta obtener un beca en 1923 que le posibilitó hacer investigaciones en el St.John's College de Cambridge. En 1925, se convirtión en un Fello del St John's College. En 1932, fue elegido Profesor Lucasiano de Matemáticas en la Universidad. Era el mismo puesto que alguna vez fue de Sir Isaac Newton, y el presente titular, Stephen Hawking, estuvo presente en la abadía para dar un discurso en el servicio de conmemoración, y el texto es parte de este volumen.

Encontrarlo en la serie de posts que mencioné arriba.

Dirac compartió el premio Nobel de Física de 1933 con Erwin Schrodinger. Luego de su retiro del puesto de profesor Lucasiano en 1969, aceptó un profesorado de investigación en la Universidad del Estado de Florida, en Tallahassee. Ahí continuó su trabajo en física fundamental, retornando frecuentemente al St John's College para visitas de verano, hasta un poco antes de su muerte.

Les recomiendo la lectura de los posts que mencioné, donde encontraran más detalle del trabajo de este gran físico.

Nos leemos!

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Veamos de iniciar el camino de descubrir alguna ecuación de Schrödinger. Primero, ¿por qué alguien querría buscar alguna ecuación nueva? Recordemos que la ecuación buscada nos tiene que dar alguna información sobre el movimiento del sistema. En los tiempos de Schrödinger, ya de Broglie había lanzado una relación entre las propiedades de movimiento de una partícula y alguna característica de onda. Pero sólo se aplicaba a partículas libres. Schrödinger quería extender esa relación a partículas no libres, en especial, al electrón ligado a un átomo, en su caso más simple: el átomo de hidrógeno.

Antes de las ideas de de Broglie, mucho antes, ya había aparecido una relación entre algo físico y las propiedades de una onda. Fue Einstein quien usó la relación ya usada por Planck:

Donde E es la energía, h la constante de Planck, y v la frecuencia de la luz incidente en el experimento. La usa en uno de sus "papers" del Annus Mirabilis. Pueden leer una traducción al inglés en http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/files/eins_lq.pdf

Einstein explicaba el efecto fotoeléctrico con esta relación. No era evidente que existiera una relación tal en esos experimentos. Este fue uno de los puntos de entrada a la nueva física, ya anticipado por Planck al usar una relación así para explicar el espectro del cuerpo negro. Vamos a ir viendo cómo ese concepto tan mecánico-clásico como la energía, termina apareciendo asociado a una onda, y en particular, a la frecuencia de una onda. Las ideas de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico y esta relación no fueron aceptadas de inmediato. Solamente en 1923, con los experimentos de Compton se llegó a comenzar a aceptarlas. Ver también http://www.citycollegiate.com/physicsXII_17b.htm

Por otro lado, Schrödinger sabía que de Broglie había planteado la relación entre momento y longitud de onda:

Donde lambda es la longitud de onda, p el momento, y h de nuevo es la constante de Planck.
ESTA VEZ de Broglie, notablemente, asocia momento DE UNA PARTICULA con una propiedad de una onda, su longitud de onda. Mientras que Einstein se limitaba al caso de la luz, el intuitivo de Broglie invierte el caso, y asocia la longitud de una onda con el momento de una partícula. El mismo Einstein quedó impresionado, porque de Broglie (cosa que a veces se pasa por alto), no hizo esto solamente como un ejercicio de simetría (tipo "ah, las ondas tienen energía, entonces las partículas tienen momento" o variantes del estilo), sino que apeló a consideraciones de relatividad especial para deducir, forzosamente, su relación. Según de Broglie, si la relación de Einstein era verdadera, y la relatividad especial era aplicable, entonces, su relación entre momento y longitud de onda era forzosamente una conclusión derivable lógicamente de la relación entre energía y frecuencia.

Nota personal: a mí me costó un tiempo ver que longitud de onda y frecuencia no son dos caras de la misma moneda. Solamente es así (una se puede deducir de la otra) cuando hablamos de la luz, con una velocidad c. En las relaciones que estamos tratando, para una partícula genérica, tanto frecuencia como longitud de onda pueden variar independientemente. Aclaro que pongo "partícula" porque es la mejor palabra que tenemos ahora para referirnos a un electrón u otros especímenes.

Sería un poco largo de explicar ahora, pero el argumento de de Broglie se basa en que en relatividad especial, el cuadrivector energía-momento puede transformarse, siendo el resultado invariante. Así como cuando nosotros rotamos un vector matemático, que tiene coordenadas x, y, haciendo que parte de las coordenadas x pasen a las y, y viceversa, lo mismo de Broglie vió que transformando el cuadrivector energía-momento, la relación de Einstein entre energía y frecuencia, se transformaba en parte en la relación de momento y longitud de onda.  Pueden ver algo de esta deducción en el tercer tomo de las famosas Lectures de física de Richard Feynman. Eso es lo que impresiónó a Einstein y lo movió a apoyar las ideas de de Broglie.

Sin embargo, lo que afirmaba de Broglie no estaba todavía respaldado por el experimento. Era una buena idea, pero en física y en ciencia, las buenas ideas y modelos no bastan. Hacía falta algún experimento que corroborara el modelo. Y el experimento llegó, pero recién en 1927, ver experimento de Davisson  y Germer

Sin embargo,  Schrödinger, ya convencido de la importancia de las relaciones de Einstein, por un lado, y la de de Broglie por el otro, se sumergía en la búsqueda de una ecuación que las abarcara en el año 1925, publicado resultados a principios de 1926.

Tema para el próximo post. Seguiremos agregando condiciones que necesitan ser cumplidas por la ecuación buscada.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Encuentro en el excelente "La vida maravillosa" de Stephen Jay Gould, unos párrafos sobre ciencia, ciencias históricas, método científico. Quería comenzar a compartirlas por acá y agregar algún comentario.

Lo encuentro en el capítulo 4 "La visión de Walcott y la naturaleza de la historia". El tratamiento que hace Stephen Jay Gould de la historia de Charles Doolittle Walcott, científico, paleontólogo, descubridor de Burgess Shale, daría para otra serie de posts. Por ahora, me centro en la sección de ese capítulo con título "Burgess Shale y la naturaleza de la historia". Leo ahí:

Nuestro lenguaje está lleno de frases que encarnan el peor y el más restrictivo estereotipo sobre la ciencia. Exhortamos a nuestros frustrados amigos a ser "científicos" (con lo que queremos significar desapasionados y analíticos) cuando aborden un problema enojoso. Hablamos del "método científico" e instruimos a los escolares en esta ruta supuestamente monolítica y de máxima eficacia para el conocimiento natural, como si una única fórmula pudiera desencadenar todos los variadísimos secretos de la realidad empírica.

Gould menciona "método científico" entre comillas, como refiriéndose a un estereotipo popular de lo que debe ser. Está bien que advierta que hay un estereotipo, que no corresponde con lo que hace la ciencia. Esto último, que hay un método científico (sin comillas) no queda claramente expresado en Gould, y por lo que entiendo, sostiene que no lo hay, o no hay UNO. A ver, revisemos.

La ciencia es una actividad humana. Entonces, "la ciencia hace... " es una expresión que en realidad quiere decir "los científicos hacen.. ". Lo que veo es que el método científico se basa, primero, en la observación de la realidad, sea el tema que nos ocupen los planetas o las sociedades humanas. Me estoy limitando a las ciencias fácticas, dejando de lado las ciencias formales como las matemáticas y la lógica. Nadie es científico encerrándose en su cuarto y reconstruyendo el universo desde su mente, como parece que hace Hegel. Hay que ir y ver, observar.

Pero no solamente eso. En algún momento, hay que poner conceptos, teorías: por ejemplo, proponer conceptos que parecen relevantes, como temperatura, calórico, átomos, movimiento natural. Algunos resultarán interesantes e importantes para el ámbito que hayamos elegido. Otros, se verán que no tienen influencia, o que son falsos conceptos, como sucedió con el calórico en la historia de la física. Otros sufrirán modificaciones, como el concepto de átomo, que se volvió divisible, de nuevo, a lo largo de la historia de la física. Vean que no pongo "experimento" como un paso NECESARIO. Pocos experimentos pueden hacer los que estudian supernovas. O los que estudian economía de un país o una sociedad entera.

Luego, aparece la formación de modelos. Por ejemplo, explicar la temperatura como una forma de manifestación de los movimientos atómicos. O como una forma de fluido que se transmite. Y luego, el modelo es puesto a prueba, con experimentos si es posible, con deducciones y comparación con la observación. Por ejemplo, cuando Gamow propuso lo que Hoyle, algo despectivamente, bautizó "teoría del Big Bang", también propuso que la radiación original debía estar por ahí, cubriendo el espacio, ya diluída. No creyó que fuera posible medirla. De ahí, los años que pasaron entre su propuesta y el descubrimiento accidental del fondo de microondas por Arno Penzias y Robert Wilson. Leer el excelente libro "Los tres primeros minutos" de Steven Weinberg.

Estos dos pasos, recortar algo de la realidad para formar un concepto relevante, y la formación de modelos, son los que hacen al método científica algo no monolítico. Son típicas actividades humanas, que no pueden salir solamente de la observación y el experimento. Es lo que no se puede automatizar. Dependiendo de la época, los prejuicios o falta de ellos, y demás, se van proponiendo conceptos y modelos. Vean a Heisenberg proponiendo algo muy alejado de lo que se admitía entonces en física, o a Bohr proponiendo un modelo de átomo donde se suspendían las leyes del electromagnetismo. Podría agregar que el tema conceptos y modelo es lo principal que separa la actividad científica de lo que se dió en llamar positivismo. Que nadie aduzca en estos días que ser científico es ser positivista.

Y luego, hay una puesta a prueba casi permanente de todo eso. No es solamente: "construí un modelo que explica todo" y nos sentamos orondos a esperar el premio Nobel. Algo así pasó en la historia del psicoanálisis: embriagados por un modelo propuesto que explica todo (y como dice Bunge, entonces "posee un gran atractivo para quien busca credos sencillos" ver Mario Bunge, primer contacto con el psicoanálisis y con la ciencia), desde entonces todo lo quisieron ajustar a lo que habían propuesto. Ver El limón adelgaza.

Resumiendo, por lo que veo hasta ahora, tenemos en el método científico:

- Observación, experimentación cuando es posible
- Formación de conceptos, y medición cuando es posible
- Propuesta de modelos que expliquen lo que pasa, predicción cuando es posible, retrodicción cuando es posible
- Puesta a prueba de conceptos y modelos

Pero tengo que seguir comentando a Gould, sobre todo, el tema de ciencias donde interviene la historia. Será en el próximo post.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Hay mucho material para comentar en los enlaces de abajo, y otros que voy coleccionado. Por ejemplo, la presentación "Three Pictures" es muy interesante, porque marca las diferencias entre los modelos de Schrodinger, Heisenberg y Dirac. O el "Understanding Heisenberg ... " un muy buen artículo que me hace ver que mi incomprensión de algunos pasos en el "paper" más famoso no era injustificada.

http://en.wikipedia.org/wiki/Werner_Heisenberg

Werner Karl Heisenberg (5 December 1901 – 1 February 1976) was a Germantheoretical physicist and one of the key creators of quantum mechanics. He published his work in 1925 in a breakthrough paper. In the subsequent series of papers with Max Bornand Pascual Jordan, during the same year, this matrix formulation of quantum mechanicswas substantially elaborated. In 1927 he published his uncertainty principle, upon which he built his philosophy and for which he is best known. Heisenberg was awarded theNobel Prize in Physics for 1932 "for the creation of quantum mechanics".^[1] He also made important contributions to the theories of the hydrodynamics of turbulent flows, the atomic nucleus, ferromagnetism, cosmic rays, and subatomic particles, and he was instrumental in planning the first West German nuclear reactor at Karlsruhe, together with a research reactor in Munich, in 1957. Considerable controversy surrounds his work on atomic research during World War II.

Following World War II, he was appointed director of the Kaiser Wilhelm Institute for Physics, which soon thereafter was renamed the Max Planck Institute for Physics. He was director of the institute until it was moved to Munich in 1958, when it was expanded and renamed the Max Planck Institute for Physics and Astrophysics.

Heisenberg was also president of the German Research Council, chairman of the Commission for Atomic Physics, chairman of the Nuclear Physics Working Group, and president of the Alexander von Humboldt Foundation.

Heisenberg group - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_group

Heisenberg, Matrix Mechanics, and the Uncertainty Principle
https://www.physics.iitm.ac.in/~labs/dynamical/pedagogy/slbala/heisenberg.pdf

Three Pictures of Quantum Mechanics
http://uncw.edu/phy/documents/Shafer_09.pdf

Understanding Heisenberg’s ‘magical’ paper of July 1925: a new look at the calculational details
http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0404009.pdf

Quantum Mechanics, 1925-1927: Triumph of the Copenhagen Interpretation
http://www.aip.org/history/heisenberg/p09.htm

Heisenberg's Uncertainty Principle - Part 1 of 2 - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=yrVi24pp_6I&feature=relmfu

References for: A history of Quantum Mechanics
http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/References/The_Quantum_age_begins.html

Heisenberg’s Matrix Mechanics and Dirac’s Re-creation of it
http://www.worldscibooks.com/etextbook/7271/7271_chap02.pdf

S-matrix - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/S-matrix

Heisenberg picture - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_picture

Copenhagen (TV 2002) - IMDb
http://www.imdb.com/title/tt0340057/

What is the Uncertainty Principle? - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=7vc-Uvp3vwg

Heisenberg - Quantum Mechanics, 1925-1927: The Uncertainty Principle
http://www.aip.org/history/heisenberg/p08.htm

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Sigo leyendo a Heisenberg:

La época siguiente [a la de Newton] aplicó con éxito los métodos de la mecánica newtoniana a dominios de la Naturaleza cada vez más amplios. Se procuró aislar mediante el experimiento determinadas partes del proceso natural, observarlas objetivamente y comprender su regularidad; se procuró luego formular matemáticamente las relaciones descubiertas, obteniendo "leyes" de validez incondicionada en todo el Universo. Con ello se alcanzó finalmente, mediante la técnica, el poder de aplicar a nuestros fines las fuerzas de la Naturaleza. El magno desarrollo de la mecánica en el siglo XVIII, y el de la óptica y la teoría y técnica térmicas a principios del XIX, atestiguan la fecundidad de aquel principio.

Hasta acá una descripción de lo que pasó con el desarrollo de la ciencia moderna luego de Newton. Vemos que Heisenberg menciona experimento, relaciones, pero no pone "modelo". La ciencia no es sólo relaciones, sino también el proponer conceptos y modelos que puedan explicar lo que sucede.

Y acá viene el tema del libro, cómo se ha ido transformando la imagen de la Naturaleza.

A medida que aquel tipo de ciencia natural iba obteniendo éxito, traspasaba progresivamente las fronteras del dominio de la experiencia cotidiana y penetraba en remotas zonas de la Naturaleza, que no pdían ser alcanzadas más que mediane la técnica que por su parte iba desarrollándose en combinación con la ciencia natural. Ya en la obra de Newton, el paso decisivo lo constituyó el descubrimiento de que las leyes mecánicas que rigen la caída de una piedra son las mismas que presiden el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, y, por consiguiente, que aquellas leyes pueden aplicarse también en dimensiones cósmicas.

Eso es importante. Fue la primera "gran unificación" que vivió la física. Para Aristóteles y otros, los cielos tenían sus propias leyes y propiedades. El movimiento circular era el "normal" en los cielos.

Por hoy, dejo acá el tema, a seguir en próximos posts.

Nos leemos!

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Ha llegado el tiempo de encarar más seriamente el estudio de un tema que empapa gran parte de las matemáticas aplicadas a la física. Notablemente, tiene injerencia tanto en la física clásica, como en la mecánica cuántica "clásica" y la derivada teoría de campos cuántica. Esto indica, de alguna manera, que este formulismo matemático que vamos a comenzar a estudiar esconde una clave importante en la formación de modelos de la realidad física. Tal vez sean modelos que se puedan explicar de otra forma, tal vez sean modelos donde los lagrangianos y hamiltonianos (el tema que nos ocupa) sean fundamentales y no derivados. Mi apuesta actual: son derivados, no fundamentales. Sólo surgen por aproximación a modelos continuos desde una conducta no continua de la realidad física. Pero por ahora, dejemos consideraciones filosóficas, y adentrémonos en este grande y fascinante tema.

Desde hace siglos, la física de la mecánica se ve guiada por las leyes de Newton. Estas nos dan una forma de describir el movimiento de partículas ideales (y luego, cuerpos y otros elementos) a partir de la descripción de las fuerzas que actúan sobre ellas, y una característica que llamamos masa. A partir de ahí, con ecuaciones diferenciales con derivadas por tiempo (no derivadas parciales, sino absolutas) Newton y compañía pueden establecer ecuaciones de movimiento que nos dicen dónde estará una partícula determinada (en un sistema de partículas) al tiempo t, sabiendo la disposición (posición espacial y velocidades) de las partículas al tiempo 0, sus características (masa inercial de cada una) y las fuerzas y leyes de fuerzas que actúan en el ambiente (por ejemplo, fuerzas gravitatorias entre las partículas, fuerzas de otro tipo (ejemplo, electromagnetismo) entre las partículas y entre las partículas y el ambiente, etc). Si bien el esquema newtoniano ha servido para resolver problemas y describir muchas situaciones, en la historia de las matemáticas han surgido, motivados por tema s físicos, otras aproximaciones a la descripción de las ecuaciones de movimientos. Veamos hoy una derivación simple (y parcial) de lo que se llaman las ecuaciones de Lagrange.

Primero, recordemos la forma de la segunda ley de Newton:

¿Qué nos dice esta fórmula? Al ser una ecuación donde interviene la derivada total del tiempo, nos dice que el cambio del momento p (que es un vector, tiene dirección y magnitud) se origina en las fuerzas presentes en cada instante. Se puede reescribir, cuando nos manejamos en física no relativista, como:

Donde x es el vector posición. La derivada segunda por el tiempo nos dá la velocidad. Si consideramos que x se puede expresar en sus componentes de coordenadas cartesianas xi:

Consideremos un caso especial pero importante en física: la fuerza se origina de una sola fuente, que se puede explicar con un campo potencial V (lo que se llama un campo de fuerzas conservativo). Es decir, las fuerzas externas se pueden dar con sólo dar la posición de la partícula: no importa la velocidad, ni el color ni el sabor ni nada más. Y en base al cambio de potencial V en el espacio, se da la fuerza. Como ejemplo, podría poner como V el campo gravitatorio, que genera una fuerza que "empuja" a la partícula desde un punto de mayor potencial a uno de menor potencial. Eso se expresa diciendo que la fuerza es proporcional y apunta en la dirección espacial donde el campo V disminuye. En forma matemática:

Donde i toma los valores 1, 2, 3. La x con el punto arriba denota dx/dt, la derivada total de x respecto de t. Es la notación original de Newton, para quien no había más que derivadas por el tiempo (simplifico, pero es lo que hacía Newton cuando aplicaba su cálculo a la física).

En un campo de fuerzas como el que describimos, hay otra cosa que se pone en juego: la energía cinética de la partícula. Y así como la energía potencial sólo depende de la posición, la energía cinética en este caso sólo depende de la velocidad cartesiana (en otras coordenadas podría no ser el caso):

Notablemente, la energía cinética depende de la SUMA de las aceleraciones, no importa si giramos nuestro laboratorio en otras coordenadas (eso sí, ortogonales). Esta es una indicación de que la fórmula de arriba refleja un estado que es independiente de los ejes coordenados que elijamos (eso sí, de nuevo, ortogonales).

Ahora bien, si nos fijamos con detenimiento, vemos que la derivada de T, la energía cinética, respecto de la velocidad en el eje i, es una derivada parcial:

Entonces, si son iguales, serán iguales sus derivadas en el tiempo:

Pero vimos más arriba que el miembro de la derecha, la derivada por el tiempo del impulso, es el negativo de la derivada espacial parcial del potencial. Queda:

O lo que es lo mismo

Esta es una muy interesante fórmula, que relaciona la influencia de la fuerza (debida a un potencial) con el cambio en el tiempo de, no la energía cinética, sino de la forma en la que la energía cinética T tiende a cambiar respecto a la velocidad dirigida según los ejes. Todas estas relaciones se encuentran de nuevo por otros caminos en la mecánica clásica newtoniana. Sigamos.

Tenemos esta hermosa relación, pero no nos interesa la hermosura sino la deducción de cómo va a funcionar nuestro sistema, cómo van a evolucionar en el tiempo la posición y la velocidad de la partícula. ¿Podremos obtener algo de esa información desde la fórmula de arriba? Seamos valientes, y avancemos.
En los sistemas conservativos, que estamos considerando, la energía potencial sólo depende de la posición. Y donde la energía cinética sólo depende de las velocidades. Podemos escribir

Para indicar que la energía cinética depende de las velocidades. Es una forma abreviada de decir:

Extendamos un poco la definición de potencial, y escribamos que depende de esta forma abreviada:

Por lo que vimos en la hermosa fórmula de arriba, T y V están relacionados. ¿Cómo podemos combinarlos y seguir obtiendo algo interesante? No es evidente. Pero las primeras opciones son contemplar el estudio de T+V o T-V, las expresiones más simples que contienen a las dos. Lagrange fue el que tomó T-V como fundamental, y entonces queda:

Históricamente, esta expresión se llama lagrangiano. Pero hay que estar atentos: esta expresión combina energía cinética y potencial EN CAMPOS DE FUERZA CONSERVATIVOS. Podría tener una expresión más complicada en otras situaciones, y servirnos igual de bien (ver mi post 5 de mis notas sobre lagrangianos y hamiltonianos de más abajo). Algo notable en la historia de la física es que se descubrió que muchas situaciones se pueden describir con un lagrangiano, y aplicando lo que se llama las ecuaciones de Lagrange, que aparecen en breve más abajo, SE OBTIENEN LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO. Muchos problemas entonces son: dado el sistema X, encontrar su lagrangiano, de tal forma que las ecuaciones de Lagrange nos den las ecuaciones de movimiento correctas. Esto es algo que no todos los libros de texto o de divulgación avanzada declaran claramente. Muchos se quedan en que el lagrangiano es simplemente T – V y no hacen énfasis en que es un caso especial. Y que el caso general es notable: es fascinante que los modelos físicos funcionen de tal manera que dado un L podamos sacar tanta información. Algo similar pasa con otras funciones (como la función de onda de Schrodinger) en la física cuántica: una función nos da multitud de información sobre el sistema. No era evidente que la realidad física pudiera mapear a tamaño formulismo.

Pero nos quedamos a mitad de camino. Tenemos la expresión de arriba para el lagrangiano. Y ahora ¿dónde vamos? Pues bien, veamos que al ser el potencial independiente de la velocidad (lo cual no es siempre el caso en otros ambientes):

Pero también sabemos que

Ese signo menos es que de alguna forma decidió a Lagrange a decantarse por T-V.  Entonces la hermosa fórmula:

Queda expuesta como:

Son TRES ecuaciones, para i=1,2,3. Terminan relacionando posiciones y velocidades en el tiempo. Si podemos dar con estas ecuaciones (lo que es fácil conociendo el lagrangiano) y resolverlas (lo que no siempre es fácil), podemos expresar posición y velocidad futuras de la partícula, en función del tiempo. En un campo de fuerzas conservativo, estas ecuaciones son EQUIVALENTES a las derivadas de la segunda ley de Newton. Acá sólo mostré el camino Newton -> Lagrange, pero se podría hacer a la inversa.
Todo muy lindo, hermosa la fórmula, y muy interesante las ecuaciones de Lagrange. Pero ¿qué ganamos desde el punto de vista físico? No queda evidente del desarrollo de arriba. Tenemos que explorar algunos ejemplos concretos. Pero adelantemos algo: LA FORMA de las ecuaciones de Lagrange, no cambia si cambiamos las coordenadas, no sólo girando el laboratorio, sino cambiando de coordenadas cartesianas a polares, u a otras, la FORMA de la ecuaciones de Lagrange se conserva. Es decir, basta con transformar el lagrangiano a su expresión en las nuevas coordenadas, y las ecuaciones de Lagrange tienen la misma forma, derivada parcial por las velocidades de las nuevas coordenadas y derivada por las coordinadas. ESO NO ERA EVIDENTE. De nuevo, tendremos que estudiarlo en futuros posts.

Esa invariancia de forma permite plantear un problema en otras coordenadas, que podrían hacer al lagrangiano más fácil de tratar. Llamamos a las nuevas coordenadas, coordenadas generalizadas, digamos qi en vez de xi. Hasta podría ser que en el lagrangiano deje de depender de alguna coordenada qi, digamos la q1, con lo que tenemos

Entonces de la ecuación de movimiento para q1:

Ya que el segundo miembro de la izquierda es cero, podemos deducir:

O lo que es lo mismo

Es decir, podemos encontrar algo que se mantiene constante en toda la evolución del sistema partícula. Se lo llama constante del movimiento. Ya vamos a encontrar cómo en casos donde el sistema no se ve influido por temas externos, hay constantes como el momento lineal, el momento cinético, y la energía. Pero paso a paso. Ya llegaremos a temas tan importantes, relacionados con la simetría de la forma de algún lagrangiano, ver que no cambia de forma ante algunas transformaciones (como rotaciones, translaciones y otras más que aparecen en relatividad einsteniana).

El desarrollo de arriba lo tomé del excelente "Fundamentos de Mecánica Cuántica" de Sidney Borowitz, hay una edición de Reverté. Me sirvió el comienzo del capítulo 6, donde Borowitz introduce la lagrangiana, que le va a servir para explicar luego hamiltoniana, y la relación que encontró Schrodinger entre las ópticas geométrica/de ondas por un lado, y la mecánica clásica/cuántica por el otro.

Post relacionados:

Post relacionados:
Mecánica Clásica (2) Fuerza, Momento, Velocidad
Mecánica Clásica (1) Primeros Conceptos
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (1)
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (2)
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (3)
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (4)
Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (5)
Las leyes de movimiento de Newton

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Uno de los libros que me explica lagrangianos y hamiltonianos es "Fundamentos de Mecánica Cuántica" de Borowitz. Es un muy buen libro, que recorre el camino seguido por Schrödinger: la conexión entre la mecánica clásica y la cuántica es similar a la relación entre óptica geométrica y ondulatoria.

En uno de los capítulos, por ejemplo, desarrolla todo sobre series y transformaciones de Fourier. Es un libro bastante autocontenido e interesante por el detalle que pone. Hoy tomo de ahí una breve nota, del capítulo donde presenta lagrangianos y hamiltonianos, el capítulo 6, titulado Dinámica:

Nota 6

Primero presenta a Newton:

La resolución de problemas referentes a fenómenos de partículas clásicas se inicia con las leyes del movimiento de Newton, sobre todo con la segunda ley. En realidad, las partículas pueden ser definidas como entes cuyo movimiento se rige por estas leyes. Como las ecuaciones clásicas del movimiento no se asemejan en absoluto a la ecuación de ondas (la segunda ley de Newton conduce a ecuaciones diferenciales ordinarias y no a ecuaciones diferenciales entre derivadas parciales como la ecuación de ondas), para establecer la conexión entre fenómenos corpusculares y ondas será necesario llevar a cabo algunas transformaciones. Este capítulo y el siguiente están dedicados al estudio de los principales avances y evoluciones de la mecánica de los cuales resultó el establecimiento de dicha conexión.

Para Newton, ver:

Las leyes de movimiento de Newton
Mecánica Clásica (1) Primeros Conceptos

Borowitz pasa a deducir un primer lagrangiano, suponiendo ya fórmulas para energía cinética, potencial, que es una fuerza conservativa, y que el potencial entonces sólo depende de la posición y no de la velocidad ni del tiempo. Son varias restricciones, pero sirven para comenzar a tratar el tema. Una vez obtenida la expresión de las ecuaciones de Lagrange (derivadas sobre L el lagrangiano), afirma que esas ecuaciones son mejores que la formulación de Newton porque no cambian de forma ante un cambio de sistema de coordenadas. No da una prueba, y sugiere hacer la sustitución algebraica. Tengo pendiente esa deducción. Es más fácil deducir que las ecuaciones de Lagrange son invariantes por cambios de coordenadas si se parte del principio de Hamilton (donde cierta integral de L es extremal) y se aplican entonces las ecuaciones de Euler de cálculo variacional. Todos temas para otra serie de post, más matemática.

Pero no quiero olvidarme de algo que mencione, que en muchos textos de mecánica no está tan explícito. En la segunda sección, presenta el principio de mínima acciób de Hamilton. Y escrribe lo que comienza a ser la conexión entre mecánica y óptica:

Puesto que la dinámica puede formularse en términos de un principio variacional es posible establecer una conexión entre la óptica y la dinámica. La generación de trayectoria en un problema mecánico puede concebirse como un intento por parte del sistema de mantener la acción en un mínimo, del mismo modo que la generación de una trayectoria en óptica se efectúa a lo largo de un camino que mantiene en un mínimo al tiempo.

Describe una lagrangiana para fenómenos ópticos, y escribe:

Esta "lagrangiana" no parece hallarse asociada con una diferencia entre una "energía cinética" y una "energía potencial", pero este hecho no debe por sí mismo disuadirnos. Existen sistema dinámicos en los que la lagrangiana no es expresable como diferencia entre las energías cinéticas y potencial. En realidad, se suele considerar como lagrangiana apropiada a aquella función de las coordenadas y del tiempo que, introducida en las ecuaciones de Lagrange, proporciona las ecuaciones del movimiento correctas. Esta función no ha de ser necesariamente expresable como diferencia entre las energías cinética y potencial.

Lo importante a entender es:

- Hay una lagrangiana L (una fórmula) que describe un sistema
- Hay ecuaciones adicionales sobre L (las ecuaciones de Lagrange)
- Y ESAS ECUACIONES dan las ecuaciones de movimiento del sistema
- La expresión de esas ecuaciones es tan fundamental que son invariantes a los cambios de coordenadas

Es notable que la naturaleza física "funcione" de esta manera. Es algo profundo que se nos asoma desde la mecánica clásica y las matemáticas. De ahí que tanto lagrangianas como hamiltonianos tengan un papel destacado en la formación de modelos matemáticas, tanto en física clásica como en cuántica.

Luego de deducir el primer lagrangiano desde las ecuaciones de Newton,

Posts donde ya mencioné el libro:

Hacia la Física Cuántica: Notas de su Historia
Estudiando Física Cuántica

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