Angel "Java" Lopez en Blog

Ciencia


Publicado el 28 de Junio, 2015, 13:25

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Quedó pendiente el tema de explicar cómo se puede detectar un solo fotón. Hubo un tiempo en que los fenómenos de la física cuántica, como la interferencia de partículas actuando como ondas, se pensó que era de naturaleza estadística, fruto de la interacción entre muchas partículas (en el caso que estamos tratando, la luz, esas partículas serían los fotones, pero no quiero adelantarme mucho). Pero luego se vió que aún la interferencia (un fenómeno de ondas) aún se producía con una sola partícula. No tengo los detalles históricos, ya alrededor del 30 de siglo pasado se sabía esto. Desconozco cuándo se comprobó experimentalmente por primera vez, pero ahora paso a describir una forma de detectar fotones "de a uno".

Para eso, se apela a un fotomultiplicador, toma la imagen de la Wikipedia:

Un fotón llega al fotocátodo de la izquierda, un material preparado para emitir electrones al recibir fotones con cierta energía, debido al efecto fotoeléctrico. El electrón liberado es arrastrado por el campo existente hacia el ánodo del extreme derecho, ganando energía cinética. Puede alcanzar el primer elemento llamado dinodo, que entonces libera más electrones. Estos electrones se siguen acelerando, pudiendo alcanzar el segundo dinodo, y liberando entonces más electrones. El proceso se repite, de tal forma que al ánodo de la derecha llega una cataracta de electrones, fácilmente detectables.

Todo esto depende de muchas variables, como la energía del fotón incidente, y la sensibilidad del fotocátodo y los dinodos. Pero el instrumento se puede calibrar, para que la catarata resultante sea proporcional a la cantidad de fotones incidentes. Cuando SOLO UN FOTON incide en un tiempo determinado, se lo sabe por la intensidad de la corriente de electrones que llegan al ánodo. Lo importante para nosotros: en los experimentos, sólo se registre o cero catarata, o una catarata proporcional a UN FOTON, nunca una media catarata o un cuarto de catarata.

Esa es la evidencia experimental que nos permite afirmar cosas sobre un sólo fotón. En experimentos más complicados, se colocan varios fotomultiplicadores, distribuidos espacialmente para detectar los fotones que surgen de algún experimento, y cuando esos fotones "salen de a uno", sólo un fotomultiplicador a lo sumo lo detecta, nunca se detecta "medio fotón acá" y "medio fotón allá".

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 27 de Junio, 2015, 20:38

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Hubo un tema que quedó sin explicar y es el principio de correspondencia de Bohr, mencionado en el tercer post. Si bien Heisenberg lo menciona, no lo explica. Sería interesante plantearlo en concreto, porque muy pocas veces he encontrado un ejemplo explicado en detalle.

Comenzemos con algunas ideas del modelo atómico de Bohr, propuesto en 1913, donde todavía había órbitas circulares para los electrones. Se tiene que cumplir la ley de Newton:

O sea, fuerza igual a masa por aceleración. Si tenemos un átomo de hidrógeno, con carga eléctrica e  en el electrón y en el núcleo, la fuerza de atracción de Coulomb es:

Donde Z = 1 en un átomo de hidrógeno (es la carga del núcleo). Y la aceleración en un movimiento circular es:

Con lo que nos queda:

Según el modelo de Bohr, el impulso angular es constante e igual:

Pero está cuantizado, es decir, no puede tomar cualquier valor, sino que toma:

Donde n es un número natural, y por conveniencia escribo:

(en la literatura no van a ver h barra, sino h con una barra horizontal tachando el tramo superior de la hache, pero no tengo ese carácter acá).

Entonces se deduce que:

Donde podemos despejar el radio r de la órbita como:

Y la velocidad es:

El principio de correspondencia, según

https://en.wikipedia.org/wiki/Correspondence_principle

dice que la conducta de un sistema descripta por la teoría cuántica antigua reproduce los resultados físicos de la teoría clásica en el límite de números cuánticos grandes. No queda muy claro así, porque sin un ejemplo concreto no se sabe bien qué es eso de "en el límite" y por qué números cuánticos aparece en plural.

Según la teoría clásica, el electrón que describimos tiene un tiempo de revolución igual a longitud de la órbita dividida por la velocidad. Y el inverso de ese tiempo, es la frecuencia de revolución, que queda expresada entonces por:

Como el electrón es una carga en movimiento, la teoría clásica predice que va a emitir radiación, con la misma frecuencia que la frecuencia de revolución que encontramos en la anterior fórmula.

Pero según Bohr, la frecuencia depende del salto entre dos estados cuánticos, el estado inicial y final, caracterizados por su energía:

Según el modelo de Bohr, cada nivel de energía corresponde a un número cuántico n:

(les debo la deducción detallada de Bohr). Con lo cual, la frecuencia a emitir entre los dos niveles inicial y final es:

Supongamos que esos números son grandes. Tienen que ser distintos, para no anular la expresión anterior, entonces lo más grande que puede ser el número final es cumpliendo:

Llamando a ni (n inicial) directamente n, queda:

Y si hacemos n muy grande, la expresión:

Tiende a:

Con lo que la expresión clásica para la frecuencia, y la expresión cuántica para números cuánticos grandes, se aproximan para valores grandes de los n.

El principio de correspondencia también dice que esa relación entre n inicial y n final, llamada regla de selección, también se aplica con números cuánticos chicos. Pero acá en el átomo de hidrógeno eso no basta para explicar que hay saltos entre estados donde los n difieren en MAS de una unidad.

Nos leemos!

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Publicado el 21 de Junio, 2015, 19:31

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En el post anterior, vimos rotaciones en tres dimensiones. Y encontramos un generador de las rotaciones alrededor del eje z, lo llamamos Mz:

Pudimos obtener cualquier rotación alrededor del eje z, aplicando ese generador, de forma que cada rotación en ángulo theta, es:

Donde

Vemos que Mz es hermítica, es decir, que es igual a su traspuesta conjugada. Las matrices hermíticas sobre los complejos cumplen un papel similar a las matrices simétricas sobre los reales. Se sabe que se puede cambiar de base una matriz hermítica, y transformarla en una matriz diagonal. Todavía no necesitamos conocer ese hecho. Se expresa que H es hermítica:

Donde el asterisco indica trasposición y tomar complejo conjugado. Veamos que las rotaciones así obtenidas, tienen matrices unitarias, que cumplen que su transpuesta conjugada es su inversa, es decir:

Pues bien, operando formalmente:

Pero sabiendo que Mz es hermítica:

Queda:

Lo que muestra que la rotación es unitaria. Pero esto es operar formalmente. Tendríamos que calcular la transpuesta conjugada de la rotación:

Lo que da:

Y tener en cuenta que Mz es hermítica:

Y al multiplicar esta expansión por la expansión original de R(theta), obtener la matriz unidad. Es algo trabajoso, pero se puede obtener los primeros coeficientes de la multiplicación de las dos series infinitas de sumas de matrices, agrupando por potencia resultante de H. El término para I (o sea, H "elevada a la cero"), es el resultado de multiplicar dos términos de las series originales:

El término para H, es el resultado de sumar dos multiplicaciones de dos términos de las series originales:

El término para H al cuadrado es:

Y así podemos seguir, comprobando que cada coeficiente termina siendo cero. De esta forma queda demostrado que U es unitaria, cuando Mz es hermítica.

Los otros generadores son (se pueden deducir de la misma forma que Mz) Mx:

Y My:

Todas las rotaciones generadas por cada generador Mx, My, Mz, es unitaria. Y la multiplicación de unitarias es también unitaria. Resulta entonces que nuestras rotaciones en tres dimensiones, con coeficientes complejos, se expresan todas con matrices unitarias.

En el próximo post veremos algunas relaciones entre los generadores Mi, si conmutan entre sí, y otras relaciones. Estamos todavía un poco lejos de su relación con las partículas elementales, pero ya vamos teniendo idea de cómo las rotaciones en un espacio abstracto complejo pueden ser caracterizadas por los generadores correspondientes. Vamos a descubrir el papel de esos generadores en la física de partículas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 8 de Junio, 2015, 7:04

Sigo leyendo el libro "The Quantum Revolution: A Historical Perspective", de Kent A. Peacock, que mencioné en el post de ayer. Al comienzo, el autor comenta la importancia del estudio de la historia en una ciencia.

Learning a little history of science is one of the most interesting and painless ways of learning a little of the science itself, and knowing something about the people who created a branch of science helps to put a human face on the succession of abstract scientific concepts.

Furthermore, knowing at least the broad outlines of the history of science is simply part of general cultural literacy, since we live in a world that is influenced deeply by science. Everyone needs to know something about what science is and how it developed. But the history of modern physics, especially quantum physics, presents an especially interesting puzzle to the historian. In the brief period from 1900 to 1935 there occurred one of the most astonishing outbursts of scientific creativity in all of history. Of course, much has been done in science since then, but with the perspective of hindsight it seems that no other historical era has crammed so much scientific creativity, so many discoveries of new ideas and techniques, into so few years. Although a few outstanding individuals dominate—Albert Einstein (of course!), Niels Bohr, Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Paul Dirac, and Erwin Schrödinger stand out in particular—they were assisted in their work by an army of highly talented scientists and technicians.

La historia de este tema, el surgimiento de la mecánica cuántica, es fascinante. El aspecto científico de su desarrollo lo estoy tratando en mi serie Hacia la Mecánica Cuántica. Pero también me gustaría tratar el tema del desarrollo personal, las relaciones que se tejieron, las ideas en lucha, los modelos propuestos, las influencias recibidas por cada uno de los protagonistas. Es interesante lo que menciona el autor a continuación, sobre la aceptación de la sociedad por el desarrollo de la ciencia:

This constellation of talented people arose precisely at a time when their societies were ready to provide them with the resources they needed to do their work, and also ready to accept the advances in knowledge that they delivered. The scientists who created quantum theory were (mostly) not embattled heretics like Galileo, because they did not have to be—their work usually was supported, encouraged, and welcomed by their societies (even if their societies were at times a bit puzzled as to what that work meant). The period in which quantum mechanics was created is thus comparable to a handful of other brilliant episodes in history—such as ancient Athens in her glory, or the England of Elizabeth I—when a multitude of historical factors somehow
combined to allow the most talented people to do the best work of which they were capable.

Exactly why do these amazing outbursts of creativity occur? And what could we do to make them happen more regularly? These questions certainly can"t be answered in this modest book, but the history of quantum mechanics is an outstanding case study for this large and very important problem.

Lo bueno de esta historia, es que es relativamente reciente, y bastante documentada. Y pone en juego todo lo que conocemos como actividad científica, principalmente la creación de modelos, la compulsa con el experimento, y la formación de conceptos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 7 de Junio, 2015, 11:36

En estos días estoy leyendo el excelente "The Quantum Revolution: A Historical Perspective", de Kent A. Peacock. Es parte de lo que estoy estudiando como apoyo de mi serie Hacia la Mecánica Cuántica. Además, en estas semanas, han aparecido biografías de científicos relacionadas con el tema, publicadas acá en Argentina por el diario La Nación, como reimpresión de una serie española de RBA. Y ayer sábado, en esa serie, apareció el volumen que buscaba: la biografía de Dirac, un personaje fascinante de esta historia. Y además sigo estudiando el "paper" original de Heisenberg, para la serie Entendiendo a Heisenberg.

Me gustaría compartir hoy un texto del comienzo de libro de Peacock, que pone en sus palabras mucho de lo que quisiera suscribir yo mismo. Leo:

The history of a major branch of science like quantum physics can be viewed in several ways. The most basic approach to see the history of quantum mechanics is as the story of the discovery of a body of interrelated facts (whatever a "fact" is), but we can also view our story as a history of the concepts of the theory, a history of beautiful though sometimes strange mathematical equations, a history of scientific papers, a history of crucial experiments and measurements, and a history of physical models. But science is also a profoundly human enterprise; its development is conditioned by the trends and accidents of history, and by the abilities, upbringing, and quirks of its creators. The history of science is not just a smooth progression of problems being solved one after the other by highly competent technicians, who all agree with each other about how their work should be done. It is by no means clear that it is inevitable that we would have arrived where we are now if the history of science could be rerun. Politics, prejudice, and the accidents of history play their part (as we shall see, for instance, in the dramatic story of David Bohm). Thus, the history of quantum mechanics is also the story of the people who made it, and along the way I will sketch brief portraits of some of these brilliant and complex individuals.

Quantum mechanics is one of the high points in humanity"s ongoing attempt to understand and cope with the vast and mysterious universe in which we find ourselves, and the history of modern physics—with its failures and triumphant insights—is one of the great stories of human accomplishment of our time.

Eso es lo fascinante de la historia de la mecánica cuántica (que para mí abarca hasta alrededor de 1935, luego sigue la física cuántica en general, con la aparición de física de campos cuánticos y derivados, teorías gauge, modelo estándar y demás). No conozco a qué se refería con la "dramática historia" de David Bohm, si a su persecución política, o a sus episodios de depresión, con tratamiento eléctrico.

Pero así es la historia de la ciencia: no hay un progreso liso, constante, sino que es el entrecruzar de ideas, conceptos, modelos, prejuicios y actitudes humanas. La ciencia es una actividad humana, no el producto directo y claro de seguir unos pasos predeterminados. Hay creatividad, sentimiento e imaginación. Y trabajo duro, experimentos, recolección de datos, mejores instrumentos, y la humana actividad de creación de modelos explicativos de la realidad encontrada.

Nos leemos!

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Publicado el 24 de Mayo, 2015, 19:19

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En las expresiones clásicas del post anterior, apareció varias veces la frecuencia:

En realidad, son varias, una por cada estado estacionario n. La idea es que en los tiempos de Heisenberg se sabía que había "estados estacionarios" de los electrones en el átomo, desde el modelo de Bohr. Estados donde el electrón no radia energía. Era un postulado extraño, porque en la teoría clásica, cualquier carga eléctrica en movimiento debía radiar algo de energía en forma de radiación. Pero desde el modelo de Bohr, se vió que era útil suponer que hay estados así, que no emiten radiación. En ese caso, el electrón correspondiente no pierde energía por moverse en su "órbita".

La frecuencia omega(n) mencionada arriba correspondería a la frecuencia fundamental de ese electrón que tendría que radiar ese electrón. También cabría esperar que pueda radiar en múltiplos de esa frecuencia:

Donde alfa es un número entero. El análisis de Heisenberg trata a un electrón moviéndose en una sola dimensión. Por eso estuvimos hablando de calcular para cada n, la evolución de la coordenada de ese electrón en el tiempo. Suponiendo ese movimiento periódico con frecuencia omega(n), su expansión general en serie de Fourier es:

Recordemos: esta es la expresión más general del movimiento periódico en una dimensión. Desde Fourier, con algunas condiciones mínimas, se sabe que existe esta expansión, y luego, con los trabajos de Heine y notablemente Cantor (ver Series de Fourier, Heine y Cantor), se sabe que la expansión es única.

Supongamos que n está fija o determinada de antemano. Heisenberg se preguntó entonces: si x(t) (para un n dado) se puede representar con la fórmula de arriba, ¿cuál es la expresión para su cuadrado? Es decir para

Esta pregunta se la hace porque es común en física usar las potencias de las magnitudes físicas, y si quiere construir un símil cuántico a lo clásico, analiza primero cuál es la expansión clásica de esta expresión, para luego ver de buscar la expresión cuántica de su nueva teoría. Como x(t) = x(n, t) para n fijo, es una serie infinita, su cuadrado es la multiplicación de esas dos series. Y resulta una serie, de Fourier de nuevo, donde cada término tiene un factor que multiplica a la frecuencia, digamos beta:

Cada término de esta nueva expresión es la suma de todas las multiplicaciones de los factores originales, que de a pares producen un beta como resultado. Es decir:

Es decir, la frecuencia fundamental es la misma, omega(n). Los coeficientes beta recorren todos los enteros, igual que antes los alfa. Lo que cambian son los factores a beta, que podemos ver como el "peso" de cada término. Tenemos entonces:

Este sería el camino clásico: x(t) en un estado estacionario n es INDEPENDIENTE de todos los demás estados. Vamos a ver en los próximos post, que en el modelo cuántico no es tan simple: x(t) y sus potencias dependerán también de otros estados. ¿Por qué se da esto? Porque desde el modelo de Bohr se vió que LAS FRECUENCIAS emitidas/absorbidas NO SON DEPENDIENTES de un estado, de su frecuencia fundamental SINO que son la diferencia de frecuencias entre DOS estados. En el modelo cuántico hay un entrelazado de estados, y siempre un estado puede pasar a otro, con cierta probabilidad. Curiosamente, este concepto de probabilidad aplicado a lo que puede pasar en un estado físico fue introducido por Einstein, en un artículo de 1917, fundamental para entender desarrollos como el maser y el laser; pero a Einstein nunca le gustó que esa probabilidad fuera esencial, no explicable por algún otro estado interno.

Nos leemos!

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Publicado el 10 de Mayo, 2015, 17:18

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Comencemos nuestro camino investigando la luz. Cuando Newton estudió la luz, descubrió que la luz blanca es en realidad una mezcla de colores. Separó la luz blanca usando un prisma, en varios colores, pero cuando tomó la luz de un color, digamos roja, y la volvió a pasar por otro prisma, ya no obtuvo más colores. Algo en el prisma toma los colores y los separa, y esa propiedad que tiene la luz emergente se conserva hasta llegar al otro prisma, lo cual suena razonable. Es como que el prisma filtra la luz por alguna propiedad permanente, que no va cambiando con el tiempo. Los colores que encontró Newton se pueden llamar entonces puros (en realidad esa luz se puede separar más apelando a la polarización, ver algunos conceptos en La polarización del fotón, por Dirac).

Cuando hablamos de la luz, en esta serie de posts, no es sólo de la luz que podemos ver, de rojo a azul. La luz visible ha resultado ser sólo una parte de la radiación electromagnética, y corresponde a un rango de frecuencias. De hecho, los colores son la forma que tenemos de diferenciar las frecuencias en nuestros sentidos. No podemos ver la luz ultravioleta, pero afecta igual a las placas fotográficas. Es luz, solamente que su frecuencia es invisible a nuestros sentidos. Si seguimos explorando otras frecuencias, nos encontramos con rayos X, rayos gamma, y más. Si en vez de seguir más allá del azul, bajamos la frecuencia desde el rojo, encontramos luz infrarroja, ondas de televisión, y ondas de radio. Todas son "luz". Podemos usar la luz roja para muchos ejemplos, pero la teoría de la electrodinámica cuántica se extiende a todo el espectro de frecuencias.

Newton pensaba que la luz estaba constituída por partículas (él las llamaba corpúsculos) y el tiempo le dio la razón, aunque las razones que usó eran erróneas. Ahora sabemos que la luz está compuesta de partículas porque hemos conseguido construir y operar instrumentos delicados, donde detectamos la luz que incide. Cuando la luz llega al aparato, se producen "clicks". Cuando la luz disminuye, se producen menos "clicks". Pero por más que disminuya la luz, nunca se produce o detecta "medio click". Este es el gran descubrimiento de la física cuántica. Entonces, la luz es como gotas de lluvia, y todas las gotas de la luz de un color puro, son del mismo "tamaño".

El ojo humano es un gran instrumento. Con sólo cinco o seis fotones que reciba se activa una célula y se envía un mensaje al cerebro. Pero si hubiera sido más sensible, hubiéramos detectado la luz fotón a fotón, y no nos asombraría el hecho de que la luz son partículas.

En el próximo post, veremos cómo es posible detectar un fotón simple. Es importante la descripción, porque sino siempre queda como algo no bien explicado en la divulgación científica. Recordemos que una cosa es la teoría (el modelo propuesto) y otra los experimentos. Tenemos que examinar este experimento de "detectar un solo fotón" por vez.

Principal fuente: el excelente libro de Richard Feynman, "QED: the strange theory of light and matter"

Nos leemos!

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Publicado el 4 de Abril, 2015, 15:30

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Mencionaba en el anterior post que la electrodinámica cuántica, de la mano de Julian Schwinger, Sin-Itiro Tomonaga, y Richard Feynman, consiguió dar un valor finito para el número de Dirac. El valor teórico resultante fue de 1.00116, muy cercano al valor experimental de 1.00118. Fue un gran triunfo de la teoría, que comenzó a evitar los infinitos. Esa es la teoría que tenemos que estudiar en esta serie de posts.

Con los años, se mejoraron los resultados experimentales. Por ejemplo, en la segunda mitad del siglo pasado se llegó a determinar experimentalmente el valor de 1.00115965221 (con incertidumbre de 4 en el último dígito) mientras que la teoría daba 1.00115965246. Para darnos una idea de lo impresionante que es el acuerdo entre experimento y teoría, si midiéramos las distancia entre Los Angeles y Nueva York CON LA MISMA PRECISION, sería exacta con sólo la incertidumbre de un cabello humano. Y no es el único acuerdo entre experimento y teoría. Durante décadas la electrodinámica cuántica ha sido puesta a prueba y ha salido airosa. Se han medido cosas desde el orden de cientos de veces el tamaño de la Tierra, hasta un centésimo del tamaño de un núcleo atómico.

La teoría describe un vasto rango de fenómenos físicos. Quedan exceptuados los efectos gravitacionales y los fenómenos radioactivos, que son debidos a cambios en el núcleo atómico, donde intervienen otras fuerzas. ¿Qué queda fuera de gravitación y radioactividad? El quemado de gasolina en los automóviles, la formación de espuma y burbujas, la dureza de la sal o del cobre, las características del acero. Los biólogos tratan de explicar la vida en términos químicos, y se ha descubierto que las propiedades químicas son consecuencia de la electrodinámica cuántica.

Ahora bien, cuando decimos que la teoría "explica", en realidad no es tan así. En muchos fenómenos intervienen tal cantidad de electrones que es difícil explicar la complejidad. Pero si hacemos experimentos con pocos electrones en circunstancias simples, podemos calcular lo que sucede con mucha aproximación usando la teoría. Cuando hacemos ese tipo de experimentos, la teoría trabaja muy bien. Podemos decir que es la joya de la física, su más preciada posesión.

Y sirve de prototipo a las teorías que intentan explicar el comportamiento del núcleo atómico. Los actores del universo no son sólo electrones y fotones, sino que en el núcleo hay quarks y gluones y se encontraron más particulas en la naturaleza y en experimentos. Y aunque actúan de distinta forma, igual su conducta tiene un estilo "cuántico". Pero por ahora, nos concentraremos en electrones y fotones.

Principal fuente: el excelente libro de Richard Feynman, "QED: the strange theory of light and matter"

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 3 de Abril, 2015, 17:16

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En el anterior post presenté más contexto sobre el uso de números complejos en física y en la ecuación de Schrödinger. Recordemos que la solución de esa ecuación es una función de onda. Era lo que buscaba Schrödinger: luego de dar una charla sobre la teoría de de Broglie, su colega Debye le señaló que si había ondas en esa teoría, debía haber una función de onda, y como en otras ramas de la física, debería satisfacer una ecuación de ondas. De ahí arranca el trabajo de Schrödinger, que siguió un camino distinto al que tomamos nosotros.

En nuestro anterior "deducción" de la ecuación (a partir de elementos plausibles) vimos que no pudimos resolverla apelando a una función de onda real. Eso se debe a que en la expresión de la ecuación interviene LA PRIMERA DERIVADA del tiempo, y LA SEGUNDA DERIVADA de las otras coordenadas. Ese es el quid de la aparición de los números complejos en nuestra solución. Schrödinger siguió un camino más esotérico, pero llegó también a lo mismo: aunque "se resistió" a poner números complejos, al final tuvo que claudicar y expresar, en el últimos de sus artículos de la serie de 1926, la solución de su ecuación usando un coeficiente i (según el anterior post, parece que espoleado por alguna pregunta de Lorentz).

Algunos pensaron que tener una función de onda compleja era un defecto de la teoría. Al fin y al cabo, las magnitudes físicas, las que podemos medir por experimento, son todas reales (en el sentido no filosófico, de realidad, sino en el sentido de ser expresables, medibles en números reales). Pero hubo algo bueno en que sea función compleja. Si recordamos la historia del electromagnetismo, las funciones de onda de esa teoría daban valores reales, y eso llevó a considerar, por tradición de la física, que "había algo" que vibraba según esas ondas, y se inventó la teoría del éter. Se tardó bastante tiempo para entender que no había tal éter. Con la teoría de Schrödinger no corremos ese peligro: al ser compleja, no se espera que haya algo que "vibre" ahí afuera en la realidad. Uno podría esperar separar la función compleja en parte real y parte imaginaria. Matemáticamente, es posible hacerlo. Pero usar cada función por separado no lleva a ningún resultado físico.

Notablemente, se tardó unos meses en dar con una conexión física firme entre la función de onda compleja y la evidencia física. Schrödinger consideraba que había una relación entre su función y la densidad de carga eléctrica. Pero fue Max Born el que dio más en la tecla, al poner su postulado:
Teniendo la función de onda, digamos, para una partícula, una dimensión:

Lo expresado por:

Es la densidad de probabilidad. Como la función de onda se multiplica en cada punto (x,y) por su conjugada compleja (de ahí el asterisco en la segunda psi), el resultado es un número real en cada punto.  ¿por qué se llama densidad de probabilidad? Por el postulado de Born, que se expresa:

Si en el instante t se realiza una medición para localizar la partícula descripta por la función de onda Psi(x,t), entonces la probabilidad P(x, t) dx de encontrarla entre x y x + dx, es igual a:

Lo mismo se puede extender a varias coordenadas, a un sistema de partículas, y un volumen infinitesimal de esas coordenadas. Siendo lo de arriba "la densidad" por "punto de volumen", la probabilidad se obtiene integrando en el volumen V de coordenadas:

Se pide en general, que si se extiende la integración a todo el volumen de coordenadas, el valor de la probabilidad sea siempre (en todo tiempo) uno. Se dice entonces que la función de onda está normalizada. Se podrían tomar otras funciones de la función de onda que den igualmente resultados reales. Por ejemplo, se podría poner como densidad de probabilidad a:

Usando el valor absoluto de la función de onda. Pero estas otras opciones quedan descartadas porque su aplicación no lleva a los resultados físicos esperados (parece que es necesario un largo razonamiento para descartar estas otras soluciones, ninguna de mis fuentes (Landau/Lifschitz, Eisberg/Resnick) los menciona explícitamente).

Born publica sus ideas en una nota al pie de uno de sus artículos. Esa idea inicial, de probabilidad de posición, luego se extiende a otras probabilidades asociadas a otras medidas, no sólo a posición.

Ver también mi serie más matemática: Matemáticas y Física Cuántica (2) Probabilidad

Y ver

What is Born's Postulate
The Born Rule
The Born rule and its interpretation
Mathematical foundation of quantum mechanics

Es interesante ver Derivation of the postulates of quantum mechanics from the first principles of scale relativity donde se enumeran los postulados de la mecánica cuántica, y se propone una derivación alternativa.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 29 de Marzo, 2015, 13:02

Hoy encuentro este fragmento de Pascal, lo escribió en el prefacio de su Tratado del Vacío:

... From this, we see that by a particular prerogative, not only does each man advance day by day in the sciences, but all men together make continual progress as the universe ages, because the same thing happens in the aging of mankind as a whole as happens during the aging of a single man. Thus, the entire body of mankind, over many centuries, must be considered as a single man, who lives forever and continues to learn [...]. Those whom we call the ancients were truly new in all things, and form the childhood of mankind; as we have added to their knowledge the experience of the centuries which followed them, it is in ourselves that we should seek the antiquity which we dream of in others

En verdad, el avance humano de las ciencias (al menos en los últimos siglos) se basa en esa colaboración de todos los que tratan de ir armando ese edificio. Casi cualquier logro actual en ciencia tiene una rica historia, a lo largo de los siglos, de aciertos y fallos, de avance lento o rápido desarrollo. Por ejemplo, la teoría atómica, con las ideas iniciales (y equivocadas) de Demócrito, la clarificación de Lavoisier fundando la química moderna, la teoría de Dalton proponiendo el atomismo, las correcciones de varios a esa teoría, el uso de la hipótesis atómica por parte de Boltzman para explicar la entropía, y hasta el trabajo de Rutherford para ir desvelando la estructura atómica.

Encuentro el párrafo de Pascal, en el excelente libro Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, de Yves Hellegouarch.

Nos leemos!

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Publicado el 24 de Marzo, 2015, 17:38

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Heisenberg busca entonces explicar las intensidades de las líneas del espectro atómico, siendo las frecuencias ya "explicadas" por la teoría de Bohr y sus derivados. Digo "explicadas" entre comillas, porque tampoco estaba claro por qué la teoría de Bohr funcionaba (sobre el primer "paper" de esa teoría, estoy escribiendo Sobre la constitución de átomos y moléculas, por Niels Bohr).

Heisenberg no encara el problema general, sino un electrón moviéndose en una coordenada. Para la teoría clásica, un electrón en movimiento acelerado radía energía, según la fórmula de Larmor:

Donde e es la carga del electrón, c la velocidad de la luz, y x con dos puntos es la aceleración del electrón.

(ver una derivación de esta fórmula en http://home.strw.leidenuniv.nl/~michiel/ismclass_files/radproc07/chapter4.pdf)

Si tomamos el caso de un oscilador armónico clásico, tenemos:

(ver sección 4.6 en http://home.strw.leidenuniv.nl/~michiel/ismclass_files/radproc07/chapter4.pdf)
Con lo que la aceleración queda relacionada con la posición según:

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_oscillator y http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_frequency

Reemplazando en la fórmula de Larmor, el promedio emitido (según mi fuente hay un coeficiente 4, en vez de 2, supongo que insertado por la forma de calcular el promedio (Heisenberg's Quantum Mechanics, de Mohsen Razavy. Ver http://www.amazon.com/Heisenbergs-Quantum-Mechanics-Mohsen-Razavy/dp/9814304115)):

Pero en vez de vibrar en la frecuencia fundamental, bien podría vibrar en múltiplos de esa frecuencia, queda entonces:

Donde alfa es un número entero, que puede tomar cualquier valor, y x sub alfa es la posición del electrón, en este caso oscilando en la frecuencia alfa por omega (puede tomarse que la posición x depende de alfa).
En el sistema que quiere explicar Heisenberg, el electrón tiene estados estacionarios n, cada uno con una frecuencia fundamental omega(n) quedando el promedio de energía emitido como:

y que pueden expresarse no SOLO con la frecuencia fundamental, sino también como combinación de todos sus correspondientes armónicos. La expresión de la posición del estado estacionario n en función del tiempo, toma entonces la expresión:

Vemos que cada término de la suma tiene un coeficiente a sub alfa, que es el "peso" de ese término en el resultado final, y una frecuencia múltiplo de la fundamental omega(n). Los valores de x(n, t) oscilan en el tiempo pero con la frecuencia fundamental omega(n), porque ASI LO HACEN cada término de la sumatoria.

Tenemos que ver en los próximos posts, la aparición del número imaginario i, qué es eso del estado estacionario, y cómo aplicó Heinsenberg el principio de correspondencia para modificar la fórmula de arriba y usar los coeficientes que aparecen en la sumatoria de una forma ingeniosa.

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Publicado el 16 de Marzo, 2015, 9:26

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The Search For Neutrons That Leak Into Our World From Other Universes — The Physics arXiv Blog — Medium
https://medium.com/the-physics-arxiv-blog/the-search-for-neutrons-that-leak-into-our-world-from-other-universes-318bfff97f0f

A Quantum Of Physics by Léo Grimaldi • Kifi
https://www.kifi.com/leo/a-quantum-of-physics

El timo del motor cuántico de Vladímir Leónov, el superunificador | Ciencia | La Ciencia de la Mula Francis
http://francis.naukas.com/2015/01/20/el-timo-del-motor-cuantico-de-vladimir-leonov-el-superunificador/

A Marte en 42 horas: Científico ruso anuncia prueba exitosa de revolucionario propulsor cuántico - RT
http://actualidad.rt.com/ciencias/163886-marte-horas-cientifico-ruso-propulsor-cuantico-prueba

The Movie Life Story of Stephen Hawking Is Not Very Scientific - NYTimes.com
http://www.nytimes.com/2014/10/28/science/stephen-hawkings-movie-life-story-is-not-very-scientific.html?_r=1

TUM - TU München: Rasante Reise durch das Kristallgitter
http://www.tum.de/en/about-tum/news/press-releases/short/article/32059/

Sobre el colapso dinámico de la función de onda cuántica | Ciencia | La Ciencia de la Mula Francis
http://francis.naukas.com/2015/01/07/sobre-el-colapso-dinamico-de-la-funcion-de-onda-cuantica/

Geiger–Marsden experiment - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Geiger%E2%80%93Marsden_experiment

Have We Been Interpreting Quantum Mechanics Wrong This Whole Time? | WIRED
http://www.wired.com/2014/06/the-new-quantum-reality/

Papers from the beginning of quantum mechanics - Institute for Theoretical Physics II / University of Erlangen-Nuremberg
http://theorie2.physik.uni-erlangen.de/index.php/Papers_from_the_beginning_of_quantum_mechanics

Matrix mechanics - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_mechanics

On Matrix Mechanics
http://www.mathpages.com/home/kmath698/kmath698.htm

On the origins of the Schrodinger equation
http://phys.org/news/2013-04-schrodinger-equation.html

The Schrödinger Equation in One Dimension
http://www.colorado.edu/physics/TZD/PageProofs1/TAYL07-203-247.I.pdf

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Publicado el 14 de Marzo, 2015, 12:09

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Inicio hoy esta serie, sobre un tema fascinante, una teoría física que nació en el siglo XX, usando todo lo nuevo de la mecánica cuántica. Quizás sea la teoría más satisfactoria que tenemos en física. Veamos de explorarla en algún detalle.

La historia de la física nos muestra el avance en la explicación de diversos fenómenos desde unas pocas teorías. Por ejemplo, el movimiento de los planetas, el movimiento de los proyectiles, el sonido, y el calor, terminaron siendo fenómenos explicables con la física newtoniana del movimiento de los cuerpos. Esa teoría logró la primera "gran unificación" de la física al igualar la física de los cielos con los de la tierra, algo que había quedado separado claramente desde la época de Aristóteles. Se vió que el sonido también podía explicarse como movimiento de las moléculas que forman el aire. Y que el calor era la manifestación de los movimientos atómicos. En cambio, la gravitación, otro de los temas de Newton, no puede explicarse por una teoría del movimiento: es una fuerza básica de la naturaleza, que no ha encontrado todavía una explicación física de su origen.

Aunque Newton trató de explicar la luz en términos de movimientos mecánicos de partículas, se vió que esa teoría no explicaba totalmente los fenómenos lumínicos, como los patrones de interferencia. Y hubo otros fenómenos, conocidos desde la antigüedad, como los eléctricos y magnéticos, que tenían puntos de contacto con la gravitación, pero eran claramente diferentes. El siglo XIX vió nacer, principalmente de la mano de Faraday y Maxwell (para nombrar a los dos principales científicos de toda una serie de personas que contribuyeron a este avance) la unificación del electromagnetismo. Y fue Maxwell quien propuso que la luz era un fenómeno electromagnético.

Se descubrió que el calor tenía puntos de contacto con la luz: que se podía radiar, sin intercambio de materia, y que la luz transportaba energía, que podía transformarse en calor al llegar a la materia. Ese punto de contacto entre luz y materia fue misterioso por muchas décadas, y ese misterio impulsó el desarrollo de la termodinámica y la teoría de Planck para explicar el cuerpo negro. Cuando finalmente la teoría atómica fue aceptada, hubo que comenzar a explicar la interacción entre materia y luz a nivel atómico. Con los estudios de la electricidad se postuló la existencia de una partícula (la primera descubierta como tal): el electrón. La dificultad para explicar su presencia en el átomo, lleva a Bohr a su modelo atómico en 1913, donde pone en suspenso la física de su tiempo. Según ésta, si el electrón se movía debía emitir energía: todo el electromagnetismo apuntaba hacia ese resultado. Pero no era así.

Recién en 1926 el misterio comienza a resolverse mejor, gracias a la aparición de la mecánica cuántica. Al menos, para explicar el movimiento del electrón. La mecánica cuántico aportó explicación a muchos detalles de los átomos, moléculas y espectros atómicos. Explicó por qué un átomo de oxígeno se combina con dos de hidrógeno, y así sirve de fundamento a la química. Pero si bien tuvo éxito en ese campo, todavía había algo que se escapaba: la relación entre materia y luz.

Hubo que esperar a la fusión entre esa mecánica nueva y la relatividad para comenzar a explicar (desde los trabajos de Dirac) la interacción en detalle de la materia (electrón en este caso) y la luz (que gracias a la cuántica, pasó a verse como compuesta de fotones). Nació la electrodinámica cuántica. Pero la nueva teoría tenía un problema. Si se calculaba algo de forma aproximada, daba una predicción correcta. Pero si se seguía afinando el cálculo, los resultados daban: infinito! No se podía calcular nada más allá de cierta aproximación.

Como mencioné, fue Dirac el que dió una teoría que unificaba cuántica y relatividad. Triunfó donde otros habían fracasado, y de una forma notable. Su teoría explicaba no sólo el electrón, sino también la aparición del spin, un fenómeno netamente cuántico. Y anticipaba la existencia de antimateria. Relacionado con el spin, la teoría de la Dirac derivaba un momento magnético para el electrón, con valor a 1 Cerca de 1948 los experimentos mostraron que el valor era cercano en realidad a 1.00118, con una incertidumbre de 3 en el último dígito. Ya para ese entonces se esperaba que no fuera igual a uno, debido a la interacción entre electrones y fotones. Pero cuando se usaba la electrodinámica cuántica para calcular la corrección, el resultado daba infinito.

El problema fue resuelto en 1948, de forma simultánea por Julian Schwinger, Sin-Itiro Tomonaga, y Richard Feynman.

Principal fuente: el excelente libro de Richard Feynman, "QED: the strange theory of light and matter". Mucho de estos posts será apenas una transcripción en mis palabras de lo que escribe Feynman.

Mientras, sigo estudiando los temas que preceden a éste en:

Mecánica Clásica
Hacia la Mecánica Cuántica
Matemáticas y Física Cuántica
Física Cuántica
Electromagnetismo
Lagrangianos y Hamiltonianos

y algo de lo que vino después:

Teoría de Grupos y Partículas Elementales
La necesidad de una teoría cuántica de campos
Notas sobre Teorías Gauge

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 10 de Marzo, 2015, 14:20

Ya varias veces fue mencionado Richard Feynman en este blog. Físico importantísimo en el desarrollo de su ciencia en el siglo pasado, premio Nobel, gran divulgador, fanfarrón como pocos (pero tenía con qué), bamboyante, casi siempre tratando de ser el centro de atención, construyó su propia leyenda con anécdotas. Desde tocar el bongó, hasta ser asistente frecuente de clubes de "strip-tease", hasta aprender dibujo para dibujar a sus amantes desnudas, todo Feyman es un caso de vida.

Yo recordaba que tuvo una primera esposa, en los cuarenta. En estos meses me enteré de más detalles. Ariline era su novia, y cuando enfermó de linfoma de Hodkings, su familia prefirió ocultarle a ella la situación. Feynman, el novio, se opuso, pero respetó la decisión. Y cuando ella se enteró al escuchar a su madre comentando su enfermedad con una vecina, lo encaró a Feynman. El tenia preparada una carta, la carta del adiós, se la entregó y le pidió matrimonio. Se casaron, y él partió al poco tiempo para trabajar en el proyecto Manhattan, el de la bomba atómica.

Después se supo que el diagnóstico era incorrecto: en vez de ese tipo de cáncer, Arline sufría una forma rara de tuberculosis (aún hoy, hay formas de tuberculosis que resisten los tratamientos actuales). Se retiró a un lugar para su tratamiento, pero pasaron los años y su situación no mejoro. Una carta de Feyman, estando a 160km de ella, escrita desde los Alamos, el 6 de junio de 1945:

Esposa mía:

Siempre soy demasiado lento. Siempre hago que te siantas dsgraciada porque tando en entender. Ahora lo entiendo. Te haré feliz ahora... Por fin entiendo lo enferma que estás... Este tiempo pasará, te pondrás mejor. Tú no lo  crees pero yo estoy seguro... Lamento haberte fallado, no haberte proporcionado el pilar que tú necesitabas para apoyarte. Ahora soy un hombre en el que puedes descansar, tener confianza y fe.... Utilízame como quieras. Soy tu marido.

Adoro a una gran mujer y paciente. Perdóname por mi lentitud en comprender. Soy tu marido. Te quiero.

Fue la última carta que Arline leyó de su marido. Murió el 16 de junio  las nueve y veinte de la noche.

Y el que sería el gran Feynman, el hombre de los mil amoríos, el eterno adolescente, no se recuperó fácilmente. Como escribía arriba, al cabo de un tiempo se concentró en ir construyendo su propia leyenda, luego de la segunda guerra. Y llegó lejos. Siempre generando comentarios, historias entre los que lo conocían. Pero hubo un papel que se guardó y sólo se encontró entre sus cosas, luego de su muerto. En medio de una depresión, habiendo pasado nueve días desde el fallecimiento de su padre, escribe a su esposa muerta en octubre de 1946:

Te adoro, cariño.

Sé cuánto te gusta oír esto, pero no solo lo escribo porque a ti te gusta, lo escribo porque me reconforta escribírtelo [...] Me resulta difícil entender lo que significa amarte después de que hayas muerto, pero aún quiero consolarte y cuidar de ti, quiero que tú me ames y cuides de mí. Quiero tener problemas que discutir contigo, quiero hacer pequeños proyectos contigo [...] Cuando enfermaste te procupaste porque no podías darme algo que tú querías hacer y pensabas que yo necesitaba. No tenías que haberte preocupado. Igual que te dije entonces, no era necesario porque te quería mucho y de muchas maneras. Y ahora incluso es más cierto: no puedes darme nada ahora pero yo te quiero y te interpones en mi camino para amar a cualquier otra, pero quiero permanecer así. Tú, muerta, eres mucho mejor que cualquier otra viva. Sé que me dirás que estoy loco y que quieres que sea plenamente feliz y no quieres interferir en mi camino. Apostaría a que estás sorprendida de que ni siquiera tenga una novia (excepto tú, tesoro) después de dos años [...] No lo entiendo, pues he conocido a muchas chicas y muy guapas y no quiero quedarme solo, pero tras dos o tres encuentros todas ellas parecen cenizas. Solo tú quedas. Tú eres ral.

Mi querida esposa, te adoro.

Amo a mi mujer. Mi mujer está muerta.

Rick

Y termina con:

P.D: Perdona que no eche esto al correo, pero no sé tu nueva dirección.

La carta se conservó, pero muy gastada. Parece que Feynman la leyó muchas veces, y la llevaba consigo.

Encuentro todo esto en el excelente: "Feynman, la electrodinámica cuántica; cuando un fotón conoce a un electrón" de Miguel Angel Sabadell

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Publicado el 9 de Marzo, 2015, 6:30

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The Reference Frame: Why complex numbers are fundamental in physics
http://motls.blogspot.com.ar/2010/08/why-complex-numbers-are-fundamental-in.html

Student Years, 1920 - 1927: The Old Quantum Theory
http://www.aip.org/history/heisenberg/p05c.htm

Student Years, 1920 - 1927: The Sad Story of Heisenberg's Doctorate
http://www.aip.org/history/heisenberg/p06.htm

Heisenberg / Uncertainty Principle - Werner Heisenberg and the Uncertainty Principle
http://www.aip.org/history/heisenberg/p01.htm

Semiclassical theory of helium atom - Scholarpedia
http://www.scholarpedia.org/article/Semiclassical_theory_of_helium_atom

History of classical Helium atom approximation
http://www7b.biglobe.ne.jp/~kcy05t/clasihe.html

Oral History Transcript — Dr. Werner Heisenberg
http://www.aip.org/history/ohilist/4661_4.html

On shell and off shell - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/On_shell_and_off_shell

Charles Galton Darwin - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Galton_Darwin

quantum mechanics - Darwin term and Zitterbewegung - Physics Stack Exchange
http://physics.stackexchange.com/questions/35338/darwin-term-and-zitterbewegung

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Publicado el 8 de Marzo, 2015, 15:56

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Todos estamos familiarizados con los cuerpos calientes y fríos. Sabemos lo caliente que puede estar una sartén recién retirada del fuego, conocemos cómo las brasas de carbón se ponen rojas al consumirse, y se espera que un cuerpo frío se vaya calentando al quedar expuesto al medio ambiente normal. Llamamos "calor" a algo que se tardó un gran tiempo en entender. Dentro de la revolución newtoniana, los fenómenos del calor tuvieron su lugar, pero no quedaron explicados por completo.

El caso del carbón pone de manifiesto que hay una relación entre la emisión de calor y la emisión de radiación. El Sol debe ser el fenómeno más presente, pero también hay que recordar que mucha de la emisión de calor es invisible, así que no siempre fue evidente la relación entre radiación de calor y emisión-absorción de luz.

Newton estableció en 1701 su ley de enfriamiento (la tasa de enfriamiento de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre su temperatura y su medio ambiente, ver también), y luego en 1760 aparece la ley de Lambert, con la relación entre el flujo de la luz y el plano por el que pasa, y la ley de Prevost en 1792, sobre el intercambio de calor, que afirma que los cuerpos radían y absorven energía, y en un sistema cerrado, la suma algebraica de los calores que se pierden o ganan en cada cuerpo dentro del sistema es igual a cero.

En el siglo XIX el desarrollo de la teoría del calor avanzó más, y ante el desarrollo paralelo de la teoría ondulatoria de la luz, quedó más claro la relación entre luz y calor. Herschel descubre los rayos infrarrojos en 1800, al descubrir que hay parte del espectro (invisible) que sigue aumentando la temperatura de un termómetro. En 1817 aparece la ley de enfriamiento de Dulong-Petit, que modifica la de Newton aceptando que la proporción de enfriamiento puede estar elevada a un exponente distinto de uno (de nuevo ver este paper). En 1833 Ritchie publica su experimento, que muestra que la capacidad de emisión de una superficie es proporcional a la capacidad de absorción, lo que es la antesala a las leyes de Kirchoff. Ampere consideró por esos tiempos una ley de desplazamiento de la radiación térmica. En termodinámica, Carnot presenta su ciclo de máquina de calor en 1814 (otra fuente da 1824). Mayer anuncia la ley de conservación de energía en 1842 (no fue bien recibida al principio, debido a lo nebuloso que todavía era eso de "energía", mucho del crédito pasó a Joule, que hizo experimentos más detallados sobre el tema en 1843). Finalmente Helmhozt declara la ley de conservación de energía en 1847, con exactitud prusiana. Clausius propone la segunda ley de la termodinámica en 1850, seguido por W.Thompson en 1851, y la teoría cinética de los gases por Kronig en 1856, y el propio Clausius en 1857.

Notablemente, muchos de estos aspectos del calor, emisión y absorción, SON INDEPENDIENTES del material del que están hechos los cuerpos utilizados. Esto comenzó a develar una unidad en la estructura de la materia y su comportamiento que sólo se hizo evidente luego con la teoría atómica y la mecánica cuántica.

De esta forma, el desarrollo de la teoría del calor se fue asentando en bases más firmes. Y tuvo impulso en la Alemania de entonces debido al rápido desarrollo de su industria, tanto civil como militar.

Principal fuente consultada: The Formation and logic of quantum mechanics, de Mituo Taketani, Masayuki Nagasaki.

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Publicado el 1 de Marzo, 2015, 13:33

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Las leyes de la mecánica clásica fueron reunida y expuestas en 1686 por Isaac Newton (1642-1727) en su famoso libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (ver Los Principia de Newton, Mecánica Clásica) Durante los dos siglos siguientes fue extendida y usada para explicar todos los fenómenos de la física y la astronomía. Fue la primera "gran unficación": la de los cielos y la tierra, separados en explicación desde los tiempos de Aristóteles. Newton mostró que lo que hacía que un proyectil siguiera una trayectoria y no otra, tenía la misma explicación que las órbitas de la Luna y los planetas.

Muchos después de Newton fueron extendiendo la mecánica clásica, incluso en formas que pienso le hubieran parecido extrañas al propio Newton (recordemos el planteamiento lagrangiano, ver Lagrangianos y Hamiltonianos). Pero con todo el triunfo de la mecánica clásica para explicar los fenómenos físicos, iba apareciedo, con el correr de los años, temas y conceptos que no encajaban en el gran esquema newtoniano. Uno era la luz: tratada de explicar como movimiento de partículas, chocó con la prueba experimental de la interferencia, y la explicación ondulatoria. Luego el calor también apareció, ligado a la luz en la explicación de la radiación. En el siglo XIX además aparecieron cuestiones como la constitución de la materia en estructura atómica y molecular (hay que admitir que era sólo una explicación tentativa, no todos aceptaban este modelo, hasta entrado el siglo XX hubo quienes no aceptaron la explicación atómica) y más sobre la naturaleza de la luz, como la ausencia experimental de detección de cambio de velocidad relativa (esto originó la primera teoría de la relatividad). Y todavía más: la electricidad y el magnetismo se fueron descubriendo como caras de la misma moneda, y desde Faraday a Maxwell vemos el avance del electromagnetismo.

Pero vayamos apuntando al nacimiento de la mecánica cuántica. Como apunta Max Jammer, la teoría cuántica, en su primera formulación, tuvo su origen en la incapacidad de la física clásica de dar cuenta de lo observado experimentalmente en la distribución de la energía en el espectro continuo de la radiación de cuerpo negro.

No era un problema fácil: era la cuantificación de la energía en vibraciones electromagnéticas armónicas, ligadas a una estructura atómica que todavía no estaba clara. Tal vez se hubiera avanzado más si la atención se hubiera detenido en otro fenómenos, como el calor específico. O que se hubiera descubierto la cuantización de la energía atómica al ver que la energía agregada siempre iba a la energía cinética de los átomos y no era absorbida internamente, en su energía de ligadura.

Pero eso es especulación. En el próximo post, veremos el estado de la teoría del calor y la radiación, con la llegada de las leyes de Kirchoff.

Fuente adicional consultada: Quantum Mechanics, A Conceptual Approach, por Hendrik A. Hameka

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Publicado el 15 de Febrero, 2015, 19:00

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Ya mencionamos que, experimentalmente, una magnitud f puede tener valores discretos o continuos (o discretos en un rango, y continuos en otros, puede darse el caso mixto). Sigamos estudiando el caso discreto. En física cuántica sólo conocemos la probabilidad de que dado un estado físico, la magnitud f tenga el valor fn. A los físicos les gusta igual manejar un valor para la magnitud f, el llamado valor medio:

 Lo expresamos con una f con una raya horizontal encima. Vemos que cada valor posible discreto fn está ponderado por su probabilidad. Cada estado cuántico tendrá un valor medio de cada magnitud f. En vez del valor absoluto al cuadrado de cada an, podemos recordar lo equivalente:

Recordemos que los coeficientes an, vienen de expresar el estado completo como suma de los estados n

Nos gustaría poder expresar al valor medio f, no con los coeficientes, sino con la propia función de estado. Para eso, los físicos descubrieron un concepto matemático útil, el operador. Un operador es una función que recibe como "entrada" una función (en lugar de recibir un valor numérico), y devuelve una función como resultado. Por ejemplo, la derivada puede considerarse un operador. Los operadores los vamos a indicar con un "sombrero" encima de su letra. Entonces, los físicos DEFINEN un operador f, como el operador que hace que la expresión de la derecha, en la siguiente fórmula, DE EL VALOR MEDIO de f:

La expresión bajo la integral tiene la función de estado conjugada Y LA FUNCION DE ESTADO LUEGO de aplicarle el operador f. El operador f se DEFINE (y es un tema de matemáticas demostrar la existencia y unicidad) como el operador que hace que esta integral RESULTE ENTREGANDO el valor medio. Es decir, debería dar los mismos valores que nuestra expresión del valor medio solamente usando los coeficientes an, sin las función de estado.

Ahora, para que todo esto sea compatible con el principio de superposición de estados, los físicos piden que el operador sea línea, es decir, espera que cumpla:

Y que cumpla:

Este es uno de los principios del formulismo matemático cuántico: a cada manginud física le corresponde un operador lineal.

Recordemos que una función de estado puede ser la que corresponda al estado fn. En ese caso, esperamos que:

Para que esto ocurra basta que el operador lineal cumpla, para cada función de estado n, con:

Es decir, que aplicado el operador al estado n (de esos estados "básicos" que tenemos asociados a los valores posibles fn), nos devuelva LA MISMA función de estado, multiplicada POR UN NUMERO, el valor de la magnitud fn.

Estas funciones base se llaman funciones propias, y los valores fn son los valores propios. Son las soluciones a la expresión:

Donde el f de la izquierda es un operador (ver el "sombrero") y el f de la derecha es una constante a determinar.

Bueno, bastante por hoy, aparecieron conceptos nuevos, que espero quede claro su aplicación en los próximos posts. Por ejemplo, ¿se podrá descubrir el operador funcional asociado a la energía, al momento, a la posición? ¿qué expresión concreta tienen? También hay que investigar que el mismo operador puede cambiar de expresión al cambiar las coordenadas que usamos en la función de estado, debiendo igual representar LA MISMA magnitud física.

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Publicado el 1 de Febrero, 2015, 18:32

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Ya estuvimos viendo rotaciones alrededor de un eje (en tres dimensiones), podemos ahora escribir:

A la izquierda tenemos multiplicar. A la derecha, tenemos sumar. Esto nos recuerda a lo que tenemos en exponenciación:

Aunque hay que tener cuidado: en la primera expresión de arriba, estamos multiplicando matrices, y en la segunda expresión, estamos operando con números, como exp(x) y el propio x.

Recordemos que

Eso es una rotación FINITA de ángulo dado theta, alrededor del eje z. ¿Cómo podemos expresar una rotación INFINITESIMAL, que sirva de base "generadora" para todas las rotaciones de ese eje?

Si calculamos la derivada por theta, en el valor 0, quedar:

Entonces, podemos usar esa derivada como el primer factor en su expresión en serie. Como aproximación podemos escribir:

Donde en segundo término de la derecha llega a ser la derivada encontrada multiplicada por delta theta, el incremente infinitesimal del ángulo  (hay que justificar el uso de i, la raíz de -1 imaginaria). Debería ser para eso:

Una rotación finita puede componerse (en principio) de sucesivas rotaciones infinitesimales (digo en principio, para mostrarlo formalmente hacia dónde vamos; dos rotaciones infinitesimales, si realmente son INFINITESIMALES, solo dan una rotación infinitesimal):

Tomando:

Para N rotaciones, si tomamos N tendiendo a infinito, queda:

En el desarrollo de arriba, operamos formalmente, PORQUE NO HAY DEFINICION DIRECTA de e elevado a matrices. Solamente porque Mz es una matriz que CONMUTA CONSIGO MISMA (como todas las matrices), podemos hacer esa ANALOGIA con respecto a la exponencial: lo que conocemos, es la exponencial de un número real, lo de arriba es "algo de magia" para expresar la exponencial de una matriz.

Con todo lo plausible que es la igualdad de arriba, hay que probar que:

Sea igual a lo que da el desarrollo infinito de la exponenciación:

Este desarrollo se expande a:

Las dos primeras matrices son la matriz desdoblada. Las potencias PARES de Mz son igual a la segunda matriz (con dos unos y un cero en la diagonal), y las potencias IMPARES de Mz son iguales a Mz.

Queda, reagrupando, y resolviendo los signos de i potencia:

Los dos desarrollos de potencias de theta son los desarrollos de coseno y seno en serie, queda:

Quedando al fin:

Como se quería probar.

En próximo post, revisaremos que condiciones cumple Mz, mencionaremos la expresión de Mx, Mz (que se pueden deducir como las de Mz), y veremos si Rz(theta) es unitaria.

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Publicado el 17 de Enero, 2015, 15:32

En estos días me encuentro con este fragmento notable, de una carta de Kepler a su amigo Fabricius, de 1605:

Si se colocara una piedra fuera de la Tierra y se considerara que ambas carecen de cualquier movimiento adicional, entonces no solo la piedra se precipitaría hacia la Tierra, también la Tierra lo haría hacia la piedra; repartirían el espacio que las separa en una proporción inversa a sus pesos respectivos.

Digo notable, porque asoma acá la tercera ley de Newton, que todavía no había nacido. En otra carta, propone que la resistencia a moverse de un planeta es proporcional a su masa, aunque no tenía datos sobre la masa de los planetas. Pero hay diferencias. La gravedad, según Newton, es creada por la masa del Sol. Kepler pensaba que era generada por la ROTACION del Sol. Ese giro impulsaría a girar a los planetas, a los más cercanos con más velocidad que a los más lejanos. ¿Cómo se debilitaba esa fuerza con la que el Sol movía a los planetas? No lo dijo expresamente, pero mencionó que se debilitaba igual que la luz al alejarse de su origen. En otro lugar, demostró que el flujo luminoso se perdía según el inverso del cuadrado de la distancia.

¿Podrían haber influido estas ideas en Newton? Gran parte de ellas sólo se expresó en papeles privados. Esos papeles fueron heredados por Ludwig Kepler, su hijo, que los llevó a Konisberg. Cuando este hijo murió, los papeles fueron comprados por D.J.Hevelius, quien los adquirió de los herederos. Luego recorrieron un largo camino: Leipzig, Viena, Frankfurt, y finalmente acabaron en el observatorio de Pulkovo, en San Petersburgo, luego de haber sido adquiridos por Catalina II, gracias a un consejo de Leonhard Euler. Ahí es donde están actualmente. Ante tan largo periplo, es imposible que Newton tuviera acceso a ellos.

Post relacionados:

El modelo de Kepler, el mecanismo de Newton
El mecanismo de Kepler
Newton explicando la gravedad

Encuentro este fragmento en el excelente libro "Kepler, el movimiento planetrio, bailando con las estrellas", de Eduardo Battaner Lopez, publicado por RBA, y entregado acá en Argentina por el diario La Nación.

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