Angel "Java" Lopez en Blog

Ciencia


Publicado el 28 de Septiembre, 2016, 13:27

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Dirac hace diferencia en cuál de los dos métodos aplicar, según el tema de estudio. Si éste es un tema del que se sabe poco, prefiere encarar el método experimental. Al principio uno va coleccionando datos, de los experimentos. Como ejemplo pone el desarrollo del sistema periódico de los elementos, que culminó en el siglo XIX. En el comienzo, se fueron conociendo datos experimentales, y sólo cuando abundante información, se pudo poner algún orden a esos datos. Cuando en el sistema que se fue armando, había un agujero (faltaba un átomo) la confianza adquirida con los datos y el sistema periódico permitió predecir el llenado de ese agujero con un nuevo átomo.

Dirac menciona como situación similar a la de la física de partículas de altas energías (dicta la conferencia en 1968). Ya hay una confianza en el modelo armado, de tal manera que cuando parece que hay un "gap" en ese modelo, se predice una nueva partícula, que finalmente se encuentra (notablemente, la búsqueda de uno de los bosones de Higgs llevó décadas hasta llegar a nuestro siglo).

Cuando se sabe poco de un tema, Dirac llama la atención sobre la especulación. No la desecha, pero nos pone en guardia de no abusar. ¿Y cuál tema pone como especulativo en la física de su tiempo, que prosigue hasta nuestros días? A la cosmología.

Leo:

One field of work in which there has been too much speculation is cosmology. There are very few hard facts to go on, but theoretical workers have been busy constructing various models for the universe, based on any assumptions that they fancy. These models are probably all wrong. It is usually assumed that the laws of nature have always been the same as they are now. There is no justification for this. The laws may be changing, and in particular quantities which are considered to be constants of nature may be varying with cosmological time. Such variations would completely upset the model makers.

Es notable la idea de considerar que las leyes no son constantes. Es un tema más que interesante, y no sé cuál es el estado actual de la cuestión. Con las ideas de unificación de las fuerzas, se pone un modelo donde las fuerzas convergen a grandes energías. Pero habría que explorar también todas las consecuencias de considerar que las leyes actuales no fueron siempre las mismas. Por ejemplo, tal vez podrían explicarse los cuásar, al poner que en un tiempo pasado las constantes de acoplamiento de las fuerzas conocidas eran distintas.

En próximo post, comentaré sobre Dirac y sus ideas de la aplicación del segundo método, el matemático.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 26 de Septiembre, 2016, 14:04

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Hace pocos días recordaba una conferencia en Trieste, de Dirac, que encuentro en un volumen junto con un texto de Adbus Salam y Heisenberg (ver Inconsistencias en teorías físicas). Es interesante que en esa conferencia, titulada Métodos en Física Teórica, Dirac plantea que hay dos métodos:

I shall attempt to give you some idea of how a theoretical physicist works - how he sets about trying to get a better understanding of the laws of nature.

One can look back over the work that has been done in the past. In doing so one has the underlying hope at the back of one's mind that one may get some hints or learn some lessons that will be of value in dealing with present-day problems. The problems that we had to deal with in the past had fundamentally much in common with the present day ones, and reviewing the successful methods of the past may give us some help for the present.

One can distinguish between two main procedures for a theoretical physicist. One of them is to work from the experimental basis. For this, one must keep in close touch with the experimental physicists. One reads about all the results they obtain and tries to fit them into a comprehensive and satisfying scheme.

The other procedure is to work from the mathematical basis. One examines and criticizes the
existing theory. One tries to pin-point the faults in it and then tries to remove them. The difficulty here is to remove the faults without destroying the very great successes of the existing theory.

There are these two general procedures, but of course the distinction between them is not hard-and-fast. There are all grades of procedures between the extremes.

Es interesante discutir esta distinción de Dirac. El trabajar desde lo matemático no es sencillo, y no siempre es posible. En próximo post, mencionaré cuándo Dirac recomienda uno u otro métodos.

Nos leemos!

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Publicado el 25 de Septiembre, 2016, 11:54

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La mecánica cuántica debe coincidir con la física clásica en los casos límite. Se puede decir que la cuántica contiene a la clásica, así como la relatividad einsteniana contiene a la física newtoniana. Hemos visto en estos posts que en la mecánica cuántica el estado de un sistema físico se describe con una función de onda. Así, un electrón se describe por una función de onda, perdiéndose el concepto clásico de trayectoria. Las coordenadas del electrón (parte de su estado) está como desperdigado, ya no tiene valores concretos que dependan del tiempo. Ahora esas coordenadas y otros estados, se deben extraer desde la función de onda. Y así como la función de onda representa el estado, hay operadores lineales que actúan sobre la función de onda para obtener, extraer los valores de algunas magnitudes físicas. No hemos visto un ejemplo concreto ni de operador ni de función de onda. Veamos un camino para conseguir una función de onda que en el límite se aproxime a la formulación clásica.

En la mecánica clásica, entonces, un electrón tiene trayectoria, y en la mecánica cuántica, no la tiene. Hay una relación similar en física clásica, entre la óptica de ondas y la óptica geométrica. En la óptica ondulatoria se definen ondas electromagnéticas, usando los vectores de los campos eléctrico y magnético. Estos vectores satisfacen un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, las ecuaciones de Maxwell. En cambio, en la óptica geomética, la luz se propaga en rayos. Podemos plantear una analogía entre el paso al límite de la cuántica a la clásica. Podemos plantear que ese paso es análogo a lo que se hace al pasar de la óptica ondulatoria a la geométrica.

¿Cómo se hace este paso en óptica? La óptica geométrica estudia la propagación de las ondas electromagnéticas (como la luz), como propagación de rayos. Si la onda que estamos considerando fuera plana (sus componentes dependen solo del tiempo y de la dirección de propagación, que podemos tomar como el eje x en sentido positivo), los rayos son tangentes a la dirección de propagación. Se pueden considerar ondas planas cuando la longitud de onda es muy chica.

Pero todo esto merece un tratamiento más detallado. El campo electromagnético se define por un campo eléctrico E y un campo magnético H. Cada uno de esos campos es vectorial, es decir, por cada valor de las coordenadas (espaciales y tiempo) queda definido un vector eléctrico y un vector magnético. Estos vectores se pueden derivar de otro campo, el llamado campo potencial A, y de ecuaciones de Maxwell que los relacionan. Pero por ahora, ocupémonos de la expresión de cualquier componente de los vectores E y H.

Sea f una de esas componentes, entonces, en óptica ondulatoria, se sabe que:

Al coeficiente

Se lo llama amplitud, y depende de las coordenadas espaciales y el tiempo. Se supone que varía lentamente en el tiempo. Al exponente:

Se lo llama fase o iconal, y también es función de las coordenadas espaciales y el tiempo. Pero lo importante ahora, es que varía rápidamente si la longitud de onda es corta. En el caso de una onda plana, la fase tiene una expresión simple:

Donde k es un vector, llamado vector de onda. Y r es el vector posición.

En el próximo post seguiremos estudiando este camino, el paso de la óptica ondulatoria a la geométrica, y la analogía con el caso cuántico.

Nos leemos!

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Publicado el 24 de Septiembre, 2016, 11:59

Ya comenté sobre el primer encuentro de Heisenberg con Niels Bohr en:

Bohr y Heisenberg, Primer Encuentro
Bohr según Pauli y Heisenberg

Luego de la conferencia de Bohr, Heisenberg plantea sus dudas sobre el estado de algunos problemas. Leo en la conferencia que dio en Trieste, en 1968 (mencionada en el libro de Abdus Salam, La unificación de las fuerzas fundamentales, que mencioné en P.A.M.Dirac, por Abdus Salam):

After two years of study, in the summer of 1922, Sommerfeld asked me whether I would be willing to follow him to a meeting at which Bohr would present his theory in Gottingen. These days in Gottingen we now always refer to as the "Bohrfestival". There for the first time I learned how a man like Bohr worked on problems of atomic physics. When Bohr had given two of his lectures I dared once in a discussion to utter some criticism; I just mentioned some doubts, whether the formulae of Kramers which he had written on the blackboard could be exact. I knew from our discussions in Munich that we always get formulae which are half exact, which are partly right and partly not right so I felt that it was never too certain. Bohr was very kind and in spite of the fact that I was a very young student, he asked me for a long walk on the Hainberg near Gottingen to discuss the problem.

Heisenberg apuntaba bien en sus dudas. Así comenzó a conocer a Bohr y su estilo:

I feel it was then that I felt I really learned what it means to work on an entirely new field in theoretical physics. The first, for me quite shocking experience was that Bohr had calculated nothing. He had just guessed his results. He knew the experimental situation in chemistry, he knew the valencies of the various atoms and he knew that his idea of the quantization of the orbits or rather his idea of the stability of the atom to be explained by the phenomenon of quantization, fitted somehow with the experimental situation in chemistry. On this basis he simply guessed what he then gave us as his results. I asked him whether he really believed that one could derive these results by means of calculations based on classical mechanics. He said "Well, I think that those classical pictures which I draw of the atoms are just as good as classical pictures can be" and he explained it in the following way. He said "we are now in a new field of physics, in which we know that the old concepts probably don't work. We see that they don't work, because otherwise atoms wouldn't be stable. On the other hand when we want to speak about atoms, we must use words and these words can only be taken from the old concepts, from the old language. Therefore we are in a hopeless dilemma, we are like sailors coming to a very far away country. They don't know the country and they see people whose language they have never heard, so they don't know how to communicate. Therefore, so far as the classical concepts work, that is, so far as we can speak about the motion of electrons, about their velocity, about their energy, etc., I think that my pictures are correct or at least I hope that they are correct, but nobody knows how far such a language goes".

Esto impresionó mucho a Heisenberg: estaban en un nuevo territorio de la física, y los conceptos clásicos tenían que ser revisados. El propio Heisenberg entonces no manejaba toda la física clásica, era joven, y todo esto influyó para que se animara a explorar nuevas formas de resolver los problemas planteados por Bohr y otros.

Nos leemos!

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Publicado el 20 de Septiembre, 2016, 10:30

Estoy repasando mis lecturas sobre la unificación de fuerzas en física, un tema por demás interesante, que abarca la historia, la filosofía de la ciencia física, y la modelación matemática de conceptos. Es un campo que ha resultado fructífero de explorar, pero sin llegar todavía a una teoría completa.

Una de mis lecturas es un texto de Abdus Salam, sobre la unificación, que ya nombré de pasada en otros posts:

P.A.M. Dirac, por Abdus Salam
Entrevista a P.A.M.Dirac, por Abdus Salam

Hoy tengo la versión en inglés de ese texto, y leo:

Dirac described his own life in physics in a lecture he gave in Trieste in 1968. I was reading it last ight and I came across some parts which seem particularly relevant to the theme of unification of fundamental forces. Dirac describes in this lecture how he got his ideas, particularly the distinction between two methods of investigation in theoretical physics.

Creo que ya comenté en algún sobre esos dos métodos. La conferencia de Trieste de Dirac está incluida en el mismo volumen donde está el texto de Abdus Salam, y en español, en un libro de Gedisa editorial.

Una descripción de Salam de esos dos métodos:

According to Dirac, first one may try to make progress by searching for a mathematical procedure for the removal of inconsistencies which may be present in a physical theory like electrodynamics of electrons - 1 shall mention some of Dirac's own work in this connection later and the relevance of his ideas today. Second, one may try to unite theories that were previously disjoint. Dirac says that this second method had not proved very fruitful. He was perhaps speaking from the exasperation felt by many of his generation with attempts that had been made, particularly by Einstein, to unify fundamental theories and which had met with scant success.

Justo el segundo método es el que ha dado interesantes resultados en el pasado siglo. Salam mismo jugó un papel clave en la unificación de la fuerza débil y el electromagnetismo, junto con Steven Weinberg y múltiples aportes de otros. La física moderna es fruto de la colaboración de muchas personas e instituciones.

En una nota, Salam aclara sobre las inconsistencias que menciona Dirac:

The inconsistencies Dirac had in mind referred to the so-called infinity problem. The problem was that all higher-order calculations in quantum field theories yield the result logarithm infinity (log oo). Dirac, before World War II, had suggested that all these inconsistencies can be lumped together into an unobservable "renormalisation" of the electron rest-mass. F. J. Dyson, in 1949, showed that Dirac's conjecture was right for electrodynamics and that all inconsistencies could be incorporated into two "renormalisations", one for the electron rest-mass and the second for the electron charge. Dirac, although he had suggested the idea in the first place, disliked these so-called renormalisable theories. He kept hoping that this last vestige of inconsistency would also disappear eventually, with the final theory emerging as pure as driven snow. In the version of unified superstring theories, where gravity is also united with gauge forces ..., we believe we are in sight of  Dirac's goal.

No estoy seguro que Dirac se sintiera cómodo con la teoría de supercuerdas. Pero yo destacaría que Dirac fue un individuo excepcional, con gran intuición física y manejo matemático, y que el resto de la física ha ido avanzando más cercana a la modelización de los resultados experimentales.

Algo mencioné de la postura de Dirac sobre las renormalizaciones en:

El Desarrollo de la Teoría Cuántica, por P.A.M.Dirac (16)

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Publicado el 18 de Septiembre, 2016, 15:03

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Hidden Cosmos - National Geographic Magazine
http://ngm.nationalgeographic.com/2015/01/hidden-cosmos/ferris-text

Bouncing neutrons probe dark energy on a table-top : Nature News & Comment
http://www.nature.com/news/bouncing-neutrons-probe-dark-energy-on-a-table-top-1.15062

The Theorizers of The God Particle Win Noble Prize, But Massive Mysteries Remain
http://www.forbes.com/sites/anthonykosner/2013/10/12/the-theorizers-of-the-god-particle-win-noble-prize-but-massive-mysteries-remain/

Your Biggest, Darkest Cosmic Questions Answered (Part 2) : Out There
http://blogs.discovermagazine.com/outthere/?p=472

Scientists propose new projects to unravel dark energy secrets
http://www.symmetrymagazine.org/article/scientists-propose-new-projects-to-unravel-dark-energy-secrets

Dark Energy Camera Peers Into Cosmic Mystery | 80beats | Discover Magazine
http://blogs.discovermagazine.com/80beats/2012/09/18/dark-energy-camera-peers-into-cosmic-mystery/

"Dark Energy is Real: There's Now Clear Evidence"
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2012/09/-dark-energy-is-real-theres-now-clear-evidence-says-an-international-team-of-astronomers-.html

"Dark Energy" --Do Distant Supernovas Prove Its Existence?
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2012/07/dark-energy-do-distant-supernovas-prove-its-existence-holiday-feature.html

El Premio Nobel de Física de 2011, explicado en 99 segundos
http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/premio-nobel-fisica-2011.html

2011 Nobel Prize: Dark Energy feat. Sean Carroll
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=v6o2bUPdxV0

Dark Energy's Demise? New Theory Doesn't Use the Force
http://news.nationalgeographic.com/news/2009/08/090818-dark-energy-einstein.html

‪The Dark Matter & Dark Energy [1/5]‬‏ - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=rLmcbjLVPKc

ScienceDaily: Dark Matter and Dark Energy News
http://www.sciencedaily.com/news/space_time/dark_matter/

The Dark Energy Survey
http://www.darkenergysurvey.org/

Dr. Adam Riess - Dark Energy
http://www.stsci.edu/~ariess/darkEnergy.htm

Dark Energy, Dark Matter - NASA Science
http://science.nasa.gov/astrophysics/focus-areas/what-is-dark-energy/

Dark Energy - Introduction
http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/science/mysteries_l1/dark_energy.html

symmetry breaking » Blog Archive » Singing songs of dark energy
http://www.symmetrymagazine.org/breaking/2009/06/09/singing-songs-of-dark-energy/

World Science Festival: The Dark Side of the Universe
http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=world-science-festival-the-dark-side-of-universe-live-stream

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Publicado el 17 de Septiembre, 2016, 14:32

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Otro de las "anomalías" a explicar por la física que se desarrolle este siglo, la energía oscura. Junto con la materia oscura, podría abrir nuevas perspectivas sobre cómo funciona el universo. Entre los enlaces que siguen, es interesante considerar que el tiempo es el que se va "desvaneciendo" como explicación alternativa.

BBC News - New method 'confirms dark energy'
http://www.bbc.co.uk/news/science-environment-13462926

symmetry - May 2011 - Deconstruction: Dark Energy Camera Goes to Chile
http://www.symmetrymagazine.org/cms/?pid=1000880

Epic Discovery: New Galaxy Observations Proves Dark Energy Dominates the Universe
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2011/05/-dark-energy-is-real-wigglez-galaxy-project-proves-einstein-was-right-again.html

Galaxy Evolution Explorer finds dark energy repulsive
http://www.physorg.com/news/2011-05-galaxy-evolution-explorer-dark-energy.html

First 3-D Map of 14,000 Quasars to Reveal Effect of Dark Energy on Early Universe
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2011/05/-new-3-d-map-of-14000-quasars-to-study-effect-of-dark-energy-on-early-universe-.html

Chameleon model tries to explaining the origin of dark energy
http://www.physorg.com/news/2010-12-chameleons.html

Fermilab physicist transforms dark energy lens into dark matter detector
http://www.symmetrymagazine.org/breaking/2010/11/09/fermilab-physicist-transforms-dark-energy-lens-into-dark-matter-detector

Dark energy studies top astronomy and astrophysics priorities
http://www.symmetrymagazine.org/breaking/2010/08/13/dark-energy-studies-top-astronomy-and-astrophysics-priorities

Is Time Disappearing from the Universe? (A Weekend Feature)
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2010/07/is-time-disappearing-from-the-universe-radical-theory-says-yes.html

Discovering a Dark Universe: A Q&A with Saul Perlmutter: Scientific American
http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=discovering-a-dark-universe

Novel Experiment Prepares to Join Dark Energy Hunt: Scientific American
http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=hetdex-dark-energy

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Publicado el 16 de Septiembre, 2016, 13:36

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Galaxias ultradifusas dominadas por materia oscura | Ciencia | EL MUNDO
http://www.elmundo.es/ciencia/2015/07/13/55a37faaca4741a0588b456d.html

Search for Gamma-ray Emission from Dark Matter Annihilation
http://arxiv.org/abs/1502.01020

Hidden Cosmos - National Geographic Magazine
http://ngm.nationalgeographic.com/2015/01/hidden-cosmos/ferris-text

The Theorizers of The God Particle Win Noble Prize, But Massive Mysteries Remain
http://www.forbes.com/sites/anthonykosner/2013/10/12/the-theorizers-of-the-god-particle-win-noble-prize-but-massive-mysteries-remain/#7c780556116d

Scientists expand search for light dark matter | symmetry magazine
http://www.symmetrymagazine.org/article/september-2013/scientists-expand-search-for-light-dark-matter

La materia y la energía oscuras explicadas en un vídeo | Microsiervos (Ciencia)
http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/la-materia-y-la-energia-oscuras-explicadas-en-un-video.html

The Higgs Boson and a 'New Physics' --"Could Make the Speed of Light Possible"
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2013/05/update-the-higgs-boson-and-a-new-physics-could-make-the-speed-of-light-possible.html

Eric Weinstein on Geometric Unity | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=5927

Roll over Einstein: meet Weinstein | Alok Jha | Science | guardian.co.uk
http://www.guardian.co.uk/science/blog/2013/may/23/roll-over-einstein-meet-weinstein

New Physics "Most-Wanted" List -- The Hunt for Dark Matter Particles
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2013/05/physics-most-wanted-list-the-hunt-for-dark-matter-particles.html


Theorists weigh in on where to hunt dark matter
http://phys.org/news/2013-05-theorists-dark.html

Quantum Diaries
http://www.quantumdiaries.org/2013/03/05/dark-matter-retains-all-its-mystery/

La banana cósmica primordial y la materia oscura “caliente”
https://francisthemulenews.wordpress.com/2012/08/10/la-banana-cosmica-primordial-y-la-materia-oscura-caliente/

Precious cargo: Dark matter experiment set to move underground
http://www.symmetrymagazine.org/breaking/2012/07/23/precious-cargo-dark-matter-experiment-set-to-move-underground

How the Higgs can lead us to the dark universe | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=4897

New CERN Tests Attack the Existence of Dark Matter
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2012/07/new-cern-tests-attack-the-existence-of-dark-matter-.html

New Way to Hunt Dark Matter: With Dangling, Fuzzy Strands of DNA
http://blogs.discovermagazine.com/80beats/2012/07/06/new-way-to-hunt-dark-matter-with-dangling-fuzzy-strands-of-dna/

Dark matter’s tendrils revealed : Nature News & Comment
http://www.nature.com/news/dark-matter-s-tendrils-revealed-1.10951

Early Universe May Have Abounded With Dark Matter-Powered Stars
http://www.space.com/14447-early-universe-dark-matter-stars.html

Dark Matter
http://www.eclipse.net/~cmmiller/DM/

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Publicado el 15 de Septiembre, 2016, 14:45

Hace tiempo que quería escribir sobre el camino de la unificación de fuerzas en la historia de la física. En estos días estoy leyendo el muy buen libro "A First Course in String Theory", de Barton Zwiebach:

For a while, electricity and magnetism had appeared to be unrelated physical phenomena. Electricity was studied first. The remarkable experiments of Henry Cavendish were performed in the period from 1771 to 1773. They were followed by the investigations of Charles Augustin de Coulomb, which were completed in 1785. These works provided a theory of static electricity, or electrostatics. Subsequent research into magnetism, however, began to reveal connections with electricity. In 1819 Hans Christian Oersted discovered that the electric current on a wire can deflect the needle of a compass placed nearby. Shortly thereafter, Jean-Baptiste Biot and Felix Savart (1820) and André-Marie Ampére (1820–1825) established the rules by which electric currents produce magnetic fields. A crucial step was taken by Michael Faraday (1831), who showed that changing magnetic fields generate electric fields. Equations that described all of these results became available, but they were, in fact, inconsistent. It was James Clerk Maxwell (1865) who constructed a consistent set of equations by adding a new term to one of the equations. Not only did this term remove the inconsistencies, but it also resulted in the prediction of electromagnetic waves. For this great insight, the equations of electromagnetism (or electrodynamics) are now called "Maxwell"s equations." These equations unify electricity and magnetism into a consistent whole. This elegant and aesthetically pleasing unification was not optional. Separate theories of electricity and magnetism would be inconsistent.

Yo pondría antes a Newton, que unificó los movimientos cotidianos con los movimientos celestes, que eran mundos separados para Aristóteles. En el próximo post sigo compartiendo el texto de Zwiebach. Como libro, está recomendado para quien, teniendo alguna base matemática, quiera conocer e introducirse en el mundo de la teoría de cuerdas.

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Publicado el 14 de Septiembre, 2016, 11:49

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Dark Matter
http://csep10.phys.utk.edu/astr162/lect/cosmology/darkmatter.html

Dark Matter
http://www.darkmatterphysics.com/

HowStuffWorks "How Dark Matter Works"
http://science.howstuffworks.com/dictionary/astronomy-terms/dark-matter.htm

Martin White: Dark Matter
http://astro.berkeley.edu/~mwhite/darkmatter/dm.html

Dark Matter - Introduction
http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/science/know_l1/dark_matter.html

Little galaxies are big on dark matter
http://www.physorg.com/news/2011-12-galaxies-big-dark.html

Matemático logra explicar la rotación de las galaxias con cálculos sin necesidad de materia oscura
https://hipertextual.com/2011/12/matematico-italiano-logra-explicar-la-rotacion-de-las-galaxias-con-calculos-y-sin-necesidad-de-materia-oscura

Could dark matter not matter?
http://www.physorg.com/news/2011-12-dark.html

Dark matter results spark debate : Nature News & Comment
http://www.nature.com/news/dark-matter-results-spark-debate-1.9539#/

How to See the Invisible: 3 Approaches to Finding Dark Matter
http://discovermagazine.com/2011/nov/18-how-see-invisible-3-approaches-dark-matter

Four reasons why the quantum vacuum may explain dark matter
http://www.physorg.com/news/2011-11-quantum-vacuum-dark.html

Galaxies swarm and light bends under dark matter"s sway
http://blogs.discovermagazine.com/badastronomy/2011/10/14/galaxies-swarm-and-light-bends-under-dark-matters-sway/

Water, Water Everywhere in Space – Creation Revolution
http://creationrevolution.com/2011/08/water-water-everywhere-in-space/

‪The Dark Matter & Dark Energy [1/5]‬‏ - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=rLmcbjLVPKc

ScienceDaily: Dark Matter and Dark Energy News
http://www.sciencedaily.com/news/space_time/dark_matter/

Dark Energy, Dark Matter - NASA Science
http://science.nasa.gov/astrophysics/focus-areas/what-is-dark-energy/

Mystery Solved: What Triggers a Sleeping Black Hole's Violent Outbursts at a Galaxy's center
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2011/07/-mystery-solved-of-what-triggers-a-sleeping-black-holes-violent-outbursts-at-a-galaxys-center.html

Weakly interacting massive particles - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Weakly_interacting_massive_particles

BBC News - 'Pandora' galaxy cluster crash yields dark matter clues
http://www.bbc.co.uk/news/science-environment-13878171

World Science Festival: The Dark Side of the Universe
http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=world-science-festival-the-dark-side-of-universe-live-stream

Mis enlaces
http://del.icio.us/ajlopez/darkmatter

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Publicado el 13 de Septiembre, 2016, 14:02

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symmetry - May 2011 - Eminently Noble
http://www.symmetrymagazine.org/cms/?pid=1000878

Does dark matter link gamma rays to galactic haze? - physicsworld.com
http://physicsworld.com/cws/article/news/45804

La materia oscura se resiste a los intentos de detectarla
http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/materia-oscura-resiste-intentos-detectarla.html

Dark Matter: Just Fine, Thanks | Cosmic Variance | Discover Magazine
http://blogs.discovermagazine.com/cosmicvariance/2011/02/26/dark-matter-just-fine-thanks/

Dark matter is alive and well, thankyouverymuch | Bad Astronomy
http://blogs.discovermagazine.com/badastronomy/2011/03/01/dark-matter-is-alive-and-well-thankyouverymuch/

Dark-Matter Galaxy Detected: Hidden Dwarf Lurks Nearby?
http://news.nationalgeographic.com/news/2011/01/110114-galaxy-x-space-dark-matter-dwarf-satellite-science-chakrabarti/

Galaxy Superclusters Trace the Distribution of Dark Matter
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2010/12/-galaxy-superclusters-found-tracing-the-distribution-of-dark-matter-a-2010-great-discovery.html

Sculptor Wall of Galaxies-The Clue to the Missing Matter of the Nearby Universe
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2010/12/sculptor-wall-the-clue-to-the-missing-matter-of-the-nearby-universe.html

Theorists seek dark matter in hot neutron stars
http://arstechnica.com/science/news/2010/12/theorists-seek-dark-matter-in-hot-neutron-stars.ars

The Mystery of Dark-Matter Galaxies Orbiting the Milky Way
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2010/12/dark-matter-galaxies-believed-to-be-orbiting-the-milky-way.html

Cosmic Log - Help scientists go to the dark side
http://cosmiclog.msnbc.msn.com/_news/2010/12/07/5606583-help-scientists-go-to-the-dark-side

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Publicado el 12 de Septiembre, 2016, 8:33

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Abro hoy un tema que quisiera tratar más en detalle, donde aparece la ciencia, el método científico, la observación, y la formación de modelos. Junto con la energía oscura, es uno de los temas desafiantes de la física actual, como en su tiempo fueron la radiación del cuerpo negro y los resultados de los experimentos sobre la velocidad de la luz en el "éter".

Discovery triples number of stars in universe
http://www.physorg.com/news/2010-12-discovery-triples-stars-universe.html

Dark Matter Yields Clues to Structure of the Universe
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2010/11/dark-matter-yields-clues-to-structure-of-the-universe.html

Dark Matter Yields Clues to Structure of the Universe
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2010/11/dark-matter-yields-clues-to-structure-of-the-universe.html

Fermilab physicist transforms dark energy lens into dark matter detector
http://www.symmetrymagazine.org/breaking/2010/11/09/fermilab-physicist-transforms-dark-energy-lens-into-dark-matter-detector

COUPP bubble chamber goes deep in search for dark matter
http://www.symmetrymagazine.org/breaking/2010/08/12/coupp-bubble-chamber-goes-deep-in-search-for-dark-matter

Dwarf Galaxies Orbiting Milky Way Nix Dark Matter (A 'Galaxy' Most Popular)
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2010/08/do-dwarf-galaxies-orbiting-milky-way-nix-dark-matter-a-galaxy-most-popular.html

symmetry breaking » Blog Archive » Lighting up the dark universe
http://www.symmetrymagazine.org/breaking/2010/07/28/lighting-up-the-dark-universe

Asymmetric dark matter and the Sun
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1003/1003.4505v2.pdf

Estranha natureza da matéria escura « Ars Physica
http://arsphysica.wordpress.com/2010/04/25/limite-s-formato-halos/

Dark matter and dark energy may not exist at all | TG Daily
http://www.tgdaily.com/general-sciences-features/50199-dark-matter-and-dark-energy-may-not-exist-at-all

Will Supermassive Black Holes Unlock the Secret of Dark Matter?
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2010/06/will-supermassive-black-holes-unlock-the-secret-of-dark-matter.html

Hubble Unveils Universe 1.0 -Was it Destroyed by Dark Matter? (Video-A Galaxy Cl...
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2010/03/hubble-unveils-universe-10-was-it-destroyed-by-dark-matter-videoa-galaxy-classic.html

High-Energy Particle Physics Demystified | Wired Science | Wired.com
http://www.wired.com/wiredscience/2009/09/halpern-qa/

symmetry breaking » Blog Archive » Dark matter experiment results announced
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Publicado el 11 de Septiembre, 2016, 9:04

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Ya hemos visto que, dado un conjunto de autovectores, se puede formar un conjunto ortonormal, o sea, el conjunto es:

Donde la expresión de la derecha es el "delta de Kronecker", vale 1 cuando i es igual a j, vale 0, cuando i es distinto de j. Si no fuera el caso, los autovectores de distintos autovalores, se vio que era ortogonales (su producto es 0), y se pueden convertir a ortonormales, convirtiéndolos a "longitud uno". Si son autovectores del mismo autovalor, generan un subespacio donde podemos elegir un conjunto ortogonal que sea base de ese espacio (habría que ver más en detalle el caso de dimensión infinita).

Si este conjunto de autovectores normales ES BASE, se dice que es completo. Esto es, se pueden generar TODOS los vectores de estados como combinación lineal de estos autovectores. Tenemos para un vector cualquiera, que es posible entonces escribirlo como:

¿Cuáles son los coeficientes? Pues basta multiplicar por cada autovector de la base para encontrar:

ESTO ES ASI, porque los autovectores del conjunto SON ORTONORMALES entre sí.

Podemos entonces escribir:

Y agrupando queda:

Lo que muestra que la expresión entre paréntesis es un operador unidad:

Supongamos ahora que un operador lineal tiene autovectores y autovalores, y que los autovalores forman un conjunto completo. Entonces, el operador A cumple:

Para cada autovector tiene un autovalor ai. Bien, se puede comprobar entonces que el operador A se puede expresar en una forma:

Una vez que tenemos el operador expresado de esta forma, podemos definir LA FUNCION de un operador, como

Estos resultados son muy útiles. Hacen que un operador SEA COMO una variable, que puede usarse en funciones. PERO TODO ESTO VALE, si el conjunto de autovectores ES COMPLETO, es decir, si realmente puede ser base de todos los vectores de estado posibles.

¿Pero será ese el caso? Veremos en próximos posts los casos en los que es cierto, y algún caso de contraejemplo, donde los autovectores no forman base.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 29 de Agosto, 2016, 7:33

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Is the neutrino its own antiparticle?
http://www.symmetrymagazine.org/article/is-the-neutrino-its-own-antiparticle

The Dirac comb function Sha
http://www.johndcook.com/blog/2015/12/22/the-dirac-comb-or-sha-function/

Quantum Mechanics of Many-Electron Systems | Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences
http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/123/792/714

Weyl Fermion: Long-Sought Massless Particle Finally Observed | Physics | Sci-News.com
http://www.sci-news.com/physics/science-weyl-fermion-massless-particle-03037.html

Charles Galton Darwin - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Galton_Darwin

Dirac delta function - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=J-oyM1GyyDk

BBC News - Mathematics: Why the brain sees maths as beauty
http://www.bbc.co.uk/news/science-environment-26151062

Electromagnetic Duality for Children
http://www.maths.ed.ac.uk/~jmf/Teaching/Lectures/EDC.pdf

Dirac Lecture 1 (of 4) - Quantum Mechanics - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=vwYs8tTLZ24

[math-ph/9902027] Preparation for Gauge Theory
http://arxiv.org/abs/math-ph/9902027

Taylor & Francis Online :: Did Dirac predict the positron? - Contemporary Physics - Volume 51, Issue 2
http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00107510903217214

Paul A. M. Dirac y el descubrimiento del positrón | Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/06/24/paul-a-m-dirac-y-el-descubrimiento-del-positron/

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Publicado el 22 de Agosto, 2016, 7:30

Comienzo hoy un gran, grande tema. Quiero visitar los conceptos y el andamiaje matemático que han dado las teorías de Einstein (la relatividad especial y la relatividad general), así como la relatividad de Galileo, luego adoptada por todos, desde Newton.

Hay varios lugares desde donde comenzar esta historia. Por ejemplo, explicando algo de las leyes de Newton,  o de su teoría de la gravedad, o desde el electromagnetismo y su discrepancia con las transformaciones de Galileo. Pero veamos de comenzar por algo simple.

Generalmente, cuando describimos un suceso (la caída de un rayo, en un "punto" de la pradera), podemos dar cuatro coordenadas:

x, y, z, t

Las tres primeras correspondientes a la posición espacial del suceso, y la cuarta es el tiempo. Esta tupla de valores indica un "punto" en el espaciotiempo. Esto es lo primero nuevo que encontramos en esta serie. Mientras es habitual hablar del "espacio", y también por otro lado del "tiempo", no lo es tanto tratar del "espaciotiempo". Por ahora, queda expuesto en lo de arriba: para describir un suceso, usamos cuatro valores, coordenadas no espaciales o temporales, sino del espaciotiempo.

Pero lo que un observador puedo poner en esos valores ante el suceso ocurrido, depende de su elección de sistema de coordenadas. Imaginemos que usamos un sistema de coordinadas que esté en reposo con respecto al observador del suceso. Hay mucho para discutir sobre conceptos como "en reposo", pero podemos manejarnos así en esta primera incursión.

Ahora imaginemos otro observador, que va viajando en un tren, en línea recta y con velocidad uniforme con respecto al primer observador. Entonces, el anota que el suceso ocurre en:

x', y', z', t'

valores correspondientes a su sistema de coordenadas, "fijo" a su tren. Podríamos discutir cómo hace este segundo observador para conseguir estos resultados. También podríamos discutir cómo hace el segundo observador para obtener la tupla primera, sin los tildes. Pero ahora, preguntémonos: ¿qué relación hay entre esta tuplas de valores? ¿cómo podemos pasar de uno a otro?

Primero, necesitamos saber la posición relativa de un observador al otro. Y también, si hay alguna diferencia en la orientación de sus sistemas de coordinadas. Por lo pronto, uno podría afirmar que:

t = t'

Es decir, que los dos observadores obtuvieron la misma coordenada temporal para el suceso. Pues bien, sorpresa! Hay algo acá que Einstein discutiría. Y lo haría por una buena razón: si adoptamos esta postura, que los tiempos son iguales para ambos observadores, llegaríamos a una contracción con experimentos del siglo XIX. Pero nos estamos adelantando. En el próximo post, veremos cuál es la relación entre ambas tuplas, según Galileo y Newton. Y tendremos que poner alguna primera definición de sistema de referencia y sistema inercial.

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Publicado el 21 de Agosto, 2016, 18:14

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Vimos en los post anteriores, cuando examinamos el caso espectro continuo, que se cumple:

Y

Lo notable, entonces, es que AMBAS funciones:

Representan el estado físico subyacente. Mientras que una es función de las coordenadas, la segunda es función de los valores posibles de la magnitud que estemos estudiando. Si conocemos una, conocemos la otra (provistas las autofunciones de f).

Esto es parte de la "magia" de la mecánica cuántica que estamos estudiando. Aclaremos algo de las autofunciones. En las expresiones de arriba, aparecen

,

Las primeras son las autofunciones de f en la representación q, mientras que las segundas son las autofunciones de q en la representación f. Es algo enrevesado, pero espero que vaya quedando más claron con el tiempo. Mientras, tratemos de responder un tema, ¿qué representan las funciones de las dos primeras ecuaciones de arriba?

Pues bien, la expresión:

Expresa la probabilidad de que el sistema tenga coordenadas dentro de un dq dado, es decir, se integra:

Mientras que, de forma análoga:

Expresa la probabilidad de que el sistema encuentre a la magnitud f en un df dado.

Notablemente, hay magnitudes físicas que pueden tener espectro continuo para un dominio de sus valores, y en otro dominio tener espectro discreto. Por ejemplo, un electrón ligado a un átomo exhibe un espectro discreto de energías, mientras que el mismo electrón, libre, puede tener un espectro continuo de energía. En un caso así, donde el sistema puede tener ambos espectros, una función de onda arbitraria se expresaría por un "mix" de:

Un ejemplo que exhibe espectro continuo, son los valores de las coordenadas q. Para conseguir su valor medio, basta multiplicar por q dentro de la integral:

Si recordamos nuestra definición de operador, que era algo que dado una función retorna una función:

El concepto de operador nos sirve para "estrujar" a la función de onda, y conseguir un resultado físico, en este caso, el valor medio de una magnitud, dentro de un dq (cuando las funciones de ondas están en representación de coordenadas q). Todo esto nos hace ver que el operador que hay que usar para conseguir el valor medio de las coordenadas es:

Es decir, simplemente multiplicar por q.

Para determinar las funciones propias (autofunciones) de las coordenadas, hay que trabajar sobre CADA punto de las coordenadas. Cada uno de esos puntos posibles tiene una función propia asociada. Se resuelve para cada punto q0, la ecuación:

Esto se cumple para:

O para:

Entonces es claro que:

Ha sido un largo camino de posts, pero todavía no tenemos una pista de cómo es en concreto una función de ondas, su expresión en coordenadas o en otra representación. Para conseguir esa expresión, no nos alcanza las matemáticas: tenemos que apelar a alguna pista física. Fue Schrodinger quien encontró una expresión. Ya comienza a ser tiempo de comentar algo sobre el tema, en los próximos posts.

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Publicado el 20 de Agosto, 2016, 18:01

Luego de comentar vectores, veamos un ejemplo de generalización en ciencia. Hasta ahora, Einstein/Infeld trataron movimientos en línea recta. Pero no son los más comunes en la naturaleza. Hace falta contemplar otros tipos de movimientos.

Mientras nos ocupemos únicamente del movimiento en línea recta estaremos lejos de comprender los movimientos observados en la naturaleza. Para entenderlos nos vemos obligados a estudiar movimientos sobre trayectorias curvas y determinar las leyes que los rigen. Esto no es asunto fácil. En el caso del movimiento rectilíneo, nuestros conceptos de velocidad, cambio de velocidad y fuerza resultaron muy útiles. Pero no se ve, inmediatamente, cómo los podremos aplicar al caso de trayectorias curvilíneas. Se puede evidentemente pensar que los conceptos vertidos resulten inadecuados para la descripción de cualquier movimiento y que debemos crear conceptos nuevos. ¿Nos convendrá seguir el camino anterior o buscar otro?

Aparece la generalización en ciencia:

La generalización es un proceso que se emplea muy a menudo en la ciencia. El método de generalización no está determinado unívocamente; hay, usualmente, numerosas maneras de llevarla a cabo. Sin embargo, debe satisfacerse un requisito: todo concepto generalizado se debe reducir al concepto original cuando se establecen las condiciones previas. Esto se entenderá mejor al aplicarlo al caso que nos ocupa. En efecto, se puede intentar la generalización de los anteriores conceptos de velocidad, cambios de velocidad y fuerza, para el caso del movimiento curvilíneo. Cuando se habla de curvas, técnicamente, se incluye entre ellas a las líneas rectas. La recta es un caso particular y trivial del concepto más general de curva. Luego, si introducimos la velocidad, el cambio de velocidad y la fuerza para el movimiento curvilíneo, estos conceptos quedan automáticamente definidos, también, para el movimiento rectilíneo. Pero este resultado no tiene que contradecir los previamente obtenidos. Si la curva se transforma en una línea recta, todos los conceptos generalizados tienen que transformarse en los que usamos en la descripción del movimiento rectilíneo. Esta restricción tío es suficiente para determinar la generalización unívocamente. Deja abiertas muchas posibilidades. La historia de la ciencia nos enseña que las generalizaciones más simples resultan a veces adecuadas y otras veces no. En nuestro caso resulta relativamente simple acertar con la generalización correcta. Los nuevos conceptos probaron su utilidad al permitirnos entender el movimiento de un cuerpo arrojado en el aire, como el movimiento de los cuerpos celestes, etc.

Como describen, la generalización no siempre es única, y si elegimos una generalización, no es seguro que sea la forma correcta de avanzar. Pongo como ejemplo notable de generalización el trabajo de Schrödinger (ver Las ecuaciones de Schrödinger, por Richard Feynman). Su ecuación no puede ser deducida: es necesario adoptarla, a partir de su correspondencia con un caso particular (ver La ecuación de Schrödinger).

No confundir generalización con inducción.

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Publicado el 16 de Agosto, 2016, 5:50

Hoy leo en el libro "Galielo ingeniero y la libre investigación", de Narciso Bassols Batalla:

La obra de Galileo, principalmente por sus estudios sobre el movimiento y las propiedades de la materia, estuvo acompañada de una serie de ingeniosos experimentos y mediciones que lo convierten en precursor de la tecnología moderna...

De acuerdo, pero yo pondría mejor ciencia moderna y tecnología.

... La caída libre de los cuerpos, su movimiento en medios fluidos, la mecánica de los proyectilos, etc., fueron examinados por Galileo tal como ocurren en la realidad...

Bueno, sí y no. Por una lado, Galileo examinó los movimientos de los proyectiles. Pero también examinó movimientos con experimentos, no con experiencias directas de la realidad. El gran mérito de Galileo es haberse dado cuenta de la utilidad de los experimentos, que a veces modificando las experiencias directas, como en el caso del uso del plano inclinado en sus experimentos sobre el movimiento, permiten un mejor estudio de los fenómenos.

... Más tarde, Newton encontró el primero de una serie de criterios numéricos que permiten correlacionar, para fines prácticos, las magnitudes que determinan esos fenómenos. Los procesos de la tecnología moderna se basan en tales procedimientos; el método es inductivo, en general, y se apoya en las observaciones experimentales, más que en racionalizaciones deductivas. Las correlaciones son empíricas y sólo se les exige congruencia entre las unidades de medición y las dimensiones físicas.

Protesto. De nuevo, pondría "ciencia moderna", en lugar de tecnología. Pero aún así, la tecnología no se basa en procedimientos numéricos, inducciones y correlaciones. Se basa en los resultados de la ciencia, y ésta, aún en la física, no es simple fórmulas y relaciones, ni mucho menos simple inducción. Newton, por ejemplo, pone los conceptos de fuerza, sus leyes, el criterio que el efecto de una fuerza es cambiar el movimiento, y si un cuerpo mantiene su masa, cambia su velocidad en presencia de una fuerza. Puso una fuerza de gravedad, y no la dedujo por inducción, sino que la ideó y luego la postuló para todos los cuerpos, y vió que permitía explicar el movimiento de la luna, las leyes de Kepler, y los movimientos terrestres. No fue un procedimiento numérico, ni una simple inducción basada en repetidos casos. Temo que no puedo estar de acuerdo con el párrafo de arriba. Pensar así de la obra de Newton y aún de la de Galileo, es no saber reconocer lo que fueron.

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Publicado el 15 de Agosto, 2016, 17:11

Es sabido que Galileo se opuso a las afirmaciones aristotélicas sobre la caída de los cuerpos. No aceptaba que cuerpos más pesados cayeran más rápido que cuerpos más livianos, y expuso tanto deducciones en contrario como experimentos para socavar esas concepciones. En estos días leo un fragmento de unas de sus cartas, donde descubro las primeras motivaciones para rechazar a Aristóteles en esos temas:

Resta por último [decía] que presente las razones que además de la experiencia, confirman mi proposición; aunque, para asegurar al intelecto, donde está presente la experiencia no es necesaria la razón: la presentaré, sin embargo, en vuestro beneficio, y además, porque antes me convenció la razón de que me aseguraraon los sentidos. Tropezando con el texto de Aristóteles, en el cual da por manifiesta su proposición, sentí de súbito una gran repugnancia intelectual; cómo podría ser que un cuerpo 10 o 20 veces más pesado que otro debiese caer con una velocidad 10 o 20 veces mayor; y me acordé de haber visto en las tempestades caer revueltos pequeños granos de granizo con otros medianos y otros 10 o más veces mayores, y que estos últimos no anticipaban su llegada a la Tierra, ni menos parecía creíble que los pequeños se hubieran movido un poco antes de los más grandes. De ahí, discurriendo un poco más, me formé un axioma que no sería puesto en duda por nadie, y supuse que cualquier cuerpo pesado al caer tendría una velocidad propia, limitada y prefijada por la naturaleza.

Es parte de sus Apostillas a Rocco, escritas en 1634. Lo encuentro en el libro "Galileo ingeniero, y la libre investigación", de Narciso Bassols Batalla.

Es interesante su afirmación que primero lo convenció la razón, aunque basada en sus recuerdos de la experiencia del granizo. Este origen no lo había leido en ningun lado.

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Publicado el 14 de Agosto, 2016, 8:00

Einstein creó y desarrolló dos teorías de la relatividad: la especial y la general. Mientras que la primera apareció en sus publicaciones de 1905, la segunda fue apareciendo de a poco, a lo largo de los años, mostrando el esfuerzo que puso el físico teórico en su invención. Podemos decir que comienza con un germen de idea en 1907, y comienza a florecer, ya con bases sólidas, a finales de 1915. Luego, los siguientes años fueron de confirmación experimental y mayor desarrollo teórico.

Quiero en esta serie de posts describir algunos de esos hitos en el desarrollo de la teoría, pero orientado a un tema en particular: a mediados de 1915, Einstein presenta sus ideas (incompletas) en una conferencia donde asiste David Hilbert, el gran matemático, y ambos se conocen y congenian. Hilbert queda fascinado por las ideas de Einstein, pero se da cuenta que le faltan desarrollo, especialmente matemático. Einstein siempre confiaba en su capacidad de intuición física, pero esta vez, tuvo que aprender y solicitar ayuda en matemáticas para poder tener las herramientas adecuadas para presentar su teoría. Hilbert quizás pensó con condescendencia sobre las ideas de Einstein, al ver que éste estaba luchando todavía con las matemáticas, en un tema que al matemático le parecía que podía desarrollar.

Y eso es lo que pasó: Hilbert comenzó a trabajar por su cuenta, en formular no ya una teoría general de la relatividad, sino en algo más ambicioso: los fundamentos de la física, basado en las ideas de Einstein y otras, como las de Mie sobre electrodinámica. Y casi lo logra: hacia noviembre de 1915 tiene ya preparado su primer "paper" del tema. Mientras, en ese mismo mes, Einstein, sabiendo del avance que está haciendo Hilbert, prepara cuatro conferencias sobre su trabajo, y recién entre la tercera y la cuarta encuentra el desarrollo que le permite dar forma a su teoría (cerca de la tercera conferencia, el 18 de noviembre, es cuando Einstein consigue explicar el movimiento anómalo de Mercurio en su órbita, una gran hazaña para él y su teoría).

Me serviré como fuente principal del excelente libro "Einstein, Hilbert and The Theory of Gravitation", de Jagdish Mehra.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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