Angel "Java" Lopez en Blog

Ciencia


Publicado el 30 de Octubre, 2014, 12:12

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En el anterior post, vimos la recepción favorable de la conferencia de Schrödinger. Por un lado, exponía su método, con un buen caso de aplicación, el átomo de hidrógeno, quedando explicado de una forma más elegante que con la mecánica cuántica matricial. Por otro lado, expuso su interpretación, a la que se opuso firmemente Heisenberg, sin conseguir mayor apoyo.

And so I went home rather sadly. It must have been that same evening that I wrote to Niels Bohr about the unhappy outcome of the discussion. Perhaps it was as a result of this letter that he invited Schrodinger to spend part of September in Copenhagen. Schrodinger agreed, and I, too, sped back to Denmark.

Conocía del viaje de Schrödinger. No sabía que Heisenberg también estuvo en esos momentos

Bohr's discussions with Schrodinger began at the railway station and were continued daily from early morning until late at night. Schrodinger stayed in Bohr's house so that nothing would interrupt the conversations. And although Bohr was normally most considerate and friendly in his dealings with people, he now struck me as an almost remorseless fanatic, one who was not prepared to make the least concession or grant that he could ever be mistaken. It is hardly possible to convey just how passionate the discussions were, just how deeply rooted the convictions of each, a fact that marked their every utterance. All I can hope to do here is to produce a very pale copy of conversations in which two men were fighting for their particular interpretation of the new mathematical scheme with all the powers at their command.

Estos son los recuerdos de Heisenberg:

Schrodinger: "Surely you realize that the whole idea of quantum jumps is bound to end in nonsense. You claim first of all that if an atom is in a stationary state, the electron revolves periodically but does not emit light, when, according to Maxwell's theory, it must. Next, the electron is said to jump from one orbit to the next and to emit radiation. Is this jump supposed to be gradual or sudden? If it is gradual, the orbital frequency and energy of the electron must change gradually as well. But in that case, how do you explain the persistence of fine spectral lines? On the other hand, if the jump is sudden, Einstein's idea of light quanta will admittedly lead us to the right wave number, but then we must ask ourselves how precisely the electron behaves during the jump. Why does it not emit a continuous spectrum, as electromagnetic theory demands? And what laws govern its motion during the jump? In other words, the whole idea of quantum jumps is sheer fantasy."

El tema en discusión son los saltos cuánticos. Schrödinger no los admitía. Es interesante esta transcripción de Heisenberg, porque va a más detalle que otros resúmenes de divulgación.

Bohr: "What you say is absolutely correct. But it does not prove that there are no quantum jumps. It only proves that we cannot imagine them, that the representational concepts with which we describe events in daily life and experiments in classical physics are inadequate when it comes to describing quantum jumps. Nor should we be surprised to find it so, seeing that the processes involved are not the objects of direct experience."

Schrodinger: "I don't wish to enter into long arguments about the formation of concepts; I prefer to leave that to the philosophers. I wish only to know what happens inside an atom. I don't really mind what language you choose to discuss it. If there are electrons in the atom, and if these are particles-as all of us believe-then they must surely move in some way. Right now I am not concerned with a precise description of this motion, but it ought to be possible to determine in principle how they behave in the stationary state or during the transition from one state to the next. But from the mathematical form of wave or quantum mechanics alone it is clear that we cannot expect reasonable answers to these questions. The moment, however, that we change the picture and say that there are no discrete electrons, only electron waves or waves of matter, then everything looks quite different. We no longer wonder about the fine lines. The emission of light is as easily explained as the transmission of radio waves through the aerial of the transmitter, and what seemed to be insoluble contradictions have suddenly disappeared. "

Bohr: "I beg to disagree. The contradictions do not disappear; they are simply pushed to one side. You speak of the emission of light by the atom or more generally of the interaction between the atom and the surrounding radiation field, and you think that all the problems are solved once we assume that there are mate- rial waves but no quantum jumps. But just take the case of thermodynamic equilibrium between the atom and the radiation field-remember, for instance, the Einsteinian derivation of Planck's radiation law. This derivation demands that the energy of the atom should assume discrete values and change discontinuously from time to time; discrete values for the frequencies cannot help us here. You can't seriously be trying to cast doubt on the whole basis of quantum theoryl"

Schrodinger: "I don't for a moment claim that all these relationships have been fully explained. But then you, too, have so far failed to discover a satisfactory physical interpretation of quantum mechanics. There is no reason why the application of thermodynamics to the theory of material waves should not yield a satisfactory explanation of Planck's formula as well-an explanation that will admittedly look somewhat different from all previous ones."

Bohr: "No, there is no hope of that at all. We have known what Planck's formula means for the past twenty-five years. And, quite apart from that, we can see the inconstancies, the sudden jumps in atomic phenomena quite directly, for instance when we watch sudden flashes of light on a scintillation screen or the sudden rush of an electron through a cloud chamber. You cannot simply ignore these observations and behave as if they did not exist at al1."

Schrodinger: "If all this damned quantum jumping were really here to stay, I should be sorry I ever got involved with quantum theory."

Bohr: "But the rest of us are extremely grateful that you did; your wave mechanics has contributed so much to mathematical clarity and simplicity that it represents a gigantic advance over all previous forms of quantum mechanics."

Y acá algo que también conocía, pero parece que es Heisenberg la principal fuente que tenemos: Schrödinger cae enfermo, y Bohr sigue atosigándolo:

And so the discussions continued day and night. After a few days Schrodinger fell ill, perhaps as a result of his enormous effort; in any case, he was forced to keep to his bed wi th a feverish cold. While Mrs. Bohr nursed him and brought in tea and cake, Niels Bohr kept sitting on the edge of the bed talking at Schrodinger: "But you must surely admit that . . ." No real understanding could be expected since, at the time, neither side was able to offer a complete and coherent interpretation of quantum mechanics. For all that, we in Copenhagen felt convinced toward the end of Schrodinger's visit that we were on the right track, though we fully realized how difficult it would be to convince even leading physicists that they must abandon all attempts to construct perceptual models of atomic processes.

Nos leemos1

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Publicado el 26 de Octubre, 2014, 17:19

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Sea ahora que tengamos un estado físico E1, representado por la función de onda:

Y que tenemos un estado físico E2, representado por otra función de onda:

Entonces, resulta algo notable: la combinación lineal de ambas funciones de ondas, usando coeficientes complejos, ES TAMBIEN UNA FUNCION DE ONDA que representa UN ESTADO FISICO:

Esto no tendría por qué haber sido así: pero se descubrió experimentalmente. Los estados físicos se pueden combinar, y su combinación expresa matemáticamente con la combinación lineal de sus funciones de onda.

En general, las funciones de onda se usan normalizadas. Así, las funciones de onda de las que partimos, deberían estar normalizadas. Pero dependiendo de los coeficientes ci, la nueva función de onda puede que esté o no normalizada. Recordemos del anterior post, la probabilidad de encontrar al sistema en cuestión (un electrón, un átomo de helio, etc.) en un estado representado por la función de onda en el volumen Q de coordenadas era:

Se dice que la función de onda está normalizada, si esa probabilidad, extendida a todo el espacio de coordenadas, da probabilidad 1:

Calculemos esta última integral para nuestra nueva función de ondas:



No sabemos cuánto valen las integrales de estos términos, pero si toda esta evaluación diera, digamos 2 (dos) como valor resultante, entonces bastará multiplicar cada coeficiente ci por la raíz cuadrada de dos y obtendríamos la nueva función de onda, pero normalizada.

Es la superposición de estados la que permite que dos funciones de onda "interfieran" entre sí. Y notablemente, esta interferencia no se realiza como suma punto a punto de probabilidades, NUMEROS REALES, sino que recordemos que cada punto DA UNA AMPLITUD, un número COMPLEJO. Así, en un punto q la primer función de onda da un número complejo, y la segunda función de onda da OTRO número complejo. Dependiendo de su fase, podrán "interferir" constructiva o destructivamente.

Ver también

http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_superposition

Nos leemos!

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Publicado el 25 de Octubre, 2014, 18:06

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Intentemos otra función de onda. En nuestro anterior intento, fracasamos porque resultó una igualdad con senos y cosenos mezclados, difícil de satisfacer para todos los valores. Eso sucedió porque la función de onda propuesta de la que partimos, sólo tenía seno. Al utilizar sus derivadas parciales, aparecieron más senos y cosenos pero no en una forma manejable.

Sea ahora:

Estamos usando k como número de onda, y la frecuencia angular omega. Ponemos un coeficiente gamma en el término del seno, para tener más libertad de elección en lo que viene. Podríamos haber puesto un coeficiente en el término del coseno, también, teniendo entonces dos coeficientes. Pero por la linealidad que estamos persiguiendo, es lo mismo.

Como antes para la anterior función de onda, calculemos sus derivadas parciales, en x y en t:



Recordemos que ya habíamos partido de:

Habiéndola transformado, aplicando las relaciones de de Broglie y de Einstein, y cambiando longitud de onda por número de onda, y frecuencia por frecuencia angular, quedando:

Entonces, hay un término con omega: por las derivadas de arriba, debería corresponder con la primera derivada temporal. Hay un término con k al cuadrado: ahí entonces debería estar la derivada segunda de x. Como ya vimos, esto nos da:

Expandamos la nueva función de onda y sus derivadas



Esto nos da varios cosenos y senos. Para que la ecuación se cumpla, basta que se cumpla para los factores que tienen seno, por un lado, y para los factores que tienen coseno. Es decir, si reagrupamos por coseno y seno como factores:


Todo se va a cumplir si los coeficientes de seno y coseno SE ANULAN. Queda


Sigue

Con lo que gamma cumple:

Y queda que es la raíz de menos uno (con una indeterminación de signo que no importa ahora):

Sustituyendo esto en una de las ecuaciones de arriba:

Comparando con

queda


Al fin tenemos todo para escribir "nuestra" ecuación de onda:

Bastante por hoy. En el próximo post destacaremos que esto NO es una deducción matemática, sino que es un argumento de plausibilidad. La ecuación de arriba NO SE DEDUCE (ni en los tiempos de Schrodinger ni ahora): hay que postularla.

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Publicado el 18 de Octubre, 2014, 17:05

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Esta vez, vuelvo a leer "el Penrose" que ya había citado. Siguiendo el capítulo 20, leo:

... [investiguemos] la imagen lagrangiana... Coordenadas para el T(C) de Lagrange servirían para determinar las posiciones de todos los cuerpos newtonianos (incluidos los ángulos apropiados para especificar las orientaciones espaciales de los cuerpos rígidos, etc.) y también sus velocidades (incluidas las correspondientes velocidades angulares de los cuerpos rígidos, etc.). Las coordenadas de posición q1, ... qn normalmente denominadas "coordenadas generalizadas", etiquetan los diferentes puntos q del espacio de configuración C (quizás dadas solo "al modo de atlas"...) Cualquier sistema de coordenadas (adecuado) servirá. No hace falta que sean "cartesianas" ni de ningún otro tipo estándar. Esta es la belleza del enfoque lagrangiano (y también del hamiltoniano). La elección de coordenadas está gobernada simplemente por la conveniencia... En correspondencia con el conjunto escogido de coordenadas generalizadas están las "velocidades generalizadas" ...

Es bueno recordar la facilidad que nos da el planteamiento lagrangiano para acomodarnos a las coordenadas generalizadas que queramos. Ya mostraré en mi serie de posts matemáticos sobre lagrangianos y hamiltonianos un ejemplo concreto. Pero lo que hay que destacar ahora es que: cambiando las coordenadas, la expresión de la lagrangiana cambia, sus valores no, Y AL APLICARLE EL PROCEDIMIENTO de las ecuaciones de Euler, SE OBTIENEN ECUACIONES DE MOVIMIENTO equivalentes, es decir, no perdemos descripción física. Aún cambiando de coordenadas, la lagrangiana sigue describiendo el mismo sistema. Esto es así (de nuevo, lo veremos más en concreto en mi serie de posts más matemáticos) porque las ecuaciones de Euler expresan una condición GEOMETRICA, que no se pierde al cambiar las coordenadas, si la nueva lagrangiana tiene los mismos valores para Q1,...., Qn y sus velocidades, que los que tenía la vieja para el correspondiente q1,...qn y sus velocidades. Es similar a tener una función que nos dé la distancia entre dos puntos en el plano, y la transformemos a otras coordenadas (variables independientes), pero conservando sus valores, es decir, que nos dé el mismo valor para la distancia entre dos puntos cualesquiera, expresados en las nuevas coordenadas. Que f(x,y) nos dé lo mismo que g(X,Y), siendo f la vieja función con viejas coordenadas, y g la nueva función con nuevas coordenadas. En el caso de la lagrangiana es algo más complicado, porque lo que importa es que se conserve su valor, pero no es el valor de la lagrangiana lo que usamos DIRECTAMENTE, sino que "la trituramos" con las ecuaciones de Euler, y voilá, obtenemos ecuaciones del movimiento, en nuevas coordenadas, pero que describen el MISMO sistema físico.

Lo de "atlas" se refiere a variedades (manifolds) que pueden cubrirse por varios atlas de coordenadas, cada uno ocupa una región de la variedad.

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Publicado el 13 de Octubre, 2014, 14:47

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Sigo leyendo a "An Elementary Primer for Gauge Theory" de K.Moriyasu:

One essential requisite for the study of gauge theory is at least a nodding acquaintance with some of the terminology of group theory. The heart of any gauge theory is the gauge symmetry group and the crucial role that it plays in determining the dynamics of the theory. Fortunately, much of the necessary group theory is already familiar to physics students from the treatment of angular momentum operators in quantum mechanics. The essential difference in gauge theory is that the symmetry group is not associated with any physical coordinate transformation in space-time. Gauge theory is based on an "internal" symmetry. Therefore, one cannot speak of angular momentum operators, but must replace them with the more abstract concept of group generators. This is more than a mere change of labels because the generators have mathematical properties which were previously ignored in quantum mechanics but are very useful in gauge theory. In particular, we will see that the proper understanding of gauge invariance leads naturally to a geometrical description of gauge theory that is both highly intuitive and strongly resembles the familiar geometrical picture of general relativity. By exploiting this geometrical feature of gauge theory, we can often find much simpler interpretations of complicated physical phenomena such as gauge symmetry breaking, which is one of the most important ingredients of the Weinberg-Salam theory.

Es importante destacar la gran diferencia que implica la aparición de simetrías "internas". Es algo que no siempre se pone de manifiesto en los artículos de divulgación: la aparición de "otras dimensiones" donde se juega las simetrías involucradas. Notablemente, reaparecen de otra forma la combinación de transformaciones PERO NO CONMUTATIVAS, como bien menciona al referirse a la similitud con el momento angular. La aparición de teorías gauges no conmutativas es relativamente reciente, podemos remontarnos a Yang-Mills y cía. Y sí, la imagen geométrica ayuda a captar los conceptos que aparecen. Pero no hay nada como una clara formulación matemática.

Nos leemos!

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Publicado el 12 de Octubre, 2014, 14:49

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Llega el momento del encuentro entre Heisenberg y Schrodinger:

Toward the end of the 1926 summer term, Sommerfeld invited Schrodinger to address the Munich seminar. I had been working in Copenhagen once again and had familiarized myself with Schrodinger's methods by applying them to the study of the helium atom...

Ese trabajo es un "clásico" de Heisenberg.

...I had finished the work while taking a brief holiday on Lake Mjosa in Norway, had stuffed the manuscript into my rucksack and had set out on unmade paths from Gudbrandsdal, across several mountain chains, to Sogne Fjord. After a short stay in Copenhagen, I finally went on to Munich, where I intended to spend the rest of the vacation with my parents -and so I could be present at Schrodinger's lecture, and discuss his theory with him in person. The audience included the director of the Institute for Experimental Physics in the University of Munich, Wilhelm Wien, who was extremely skeptical of Sommerfeld's "atomysticism."..

Tengo entendido que aún más escéptico era Wien de los métodos de Heisenberg.

... Schrodinger first of all explained the mathematical principles of wave mechanics by using the hydrogen atom as an illustration. All of us were delighted to see his elegant and simple solution by conventional methods of a problem that Wolfgang Pauli had been able to solve only with great difficulty using quantum mechanics...

Schrodinger en sus "papers" principales se había dedicado al tema del espectro de hidrógeno. Era un misterio que los átomos tuvieran un espectro definido. La física clásica apuntaba a que el espectro debía ser continuo o al menos arbitrario. La perplejidad de los físicos sería comparable a la de los astrónomos, si éstos encontraran que todos los exoplanetas tuvieran órbitas que caigan solamente en un conjunto de valores predeterminado de eje mayor.

... Unfortunately, Schrodinger went on to discuss his own intepretation of wave mechanics, and his arguments left me quite unconvinced. During the subsequent discussion, I therefore raised a number of objections, and, in particular, pointed out that Schrodinger's conception would not even help explain Planck's radiation law...

Heisenberg había esperado la oportunidad para discutir estos temas.

.. For this I was taken to task by Wilhelm Wien, who told me rather sharply that while he understood my regrets that quantum mechanics was finished, and with it all such nonsense as quantum jumps, etc., the difficulties I had mentioned would undoubtedly be solved by Schrodinger in the very near future.

En otro documento, creo que Heisenberg menciona a Wein (sin nombrarlo) como diciendo: "la teoría de Schrodinger nos va a librar de sus matrices". La aproximación de Schrodinger agradaba a muchos físicos, porque empleaba conceptos de la física clásica, como hamiltonianos y función de onda, y sólo en determinado punto (el cálculo de autovalores) hacía aparición la discontinuidad cuántica.

...Schrodinger himself was not quite so certain in his own reply, but he, too, remained convinced that it was only a question of time before my objections would be removed. My arguments had clearly failed to impress anyone-even Sommerfeld, who felt most kindly toward me, succumbed to the persuasive force of Schrodinger's mathematics.

De hecho, hoy mismo, el método de Schrodinger es más conocido en los textos, que la aproximación matricial de Heisenberg.

Nos leemos!

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Publicado el 28 de Septiembre, 2014, 12:52

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Veamos hoy que ni aún las matemáticas de la teoría cuántica de campos está a salvo de problemas. Leo a Freeman Dyson:

All through its history, quantum field theory has had two faces, one looking outward, the other looking inward. The outward face looks at nature and gives us numbers that we can calculate and compare with experiments. The inward face looks at mathematical concepts and searches for a consistent foundation on which to build the theory. The outward face shows us brilliantly successful theory, bringing order to the chaos of particle  interactions, predicting experimental results with astonishing precision. The inward face shows us a deep mystery. After seventy years of searching, we have found no consistent mathematical basis for the theory. When we try to impose the rigorous standards of pure mathematics, the theory becomes undefined or inconsistent. Prom the point of view of a pure mathematician, the theory does not exist. This is the great unsolved paradox of quantum field theory.

To resolve the paradox, during the last twenty years, quantum field theorists have become string-theorists. String theory is a new version of  quantum field theory, exploring the mathematical foundations more deeply and entering a new world of multidimensional geometry. String theory also brings gravitation into the picture, and thereby unifies quantum field  theory with general relativity. String theory has already led to important advances in pure mathematics. It has not led to any physical predictions that can be tested by experiment. We do not know whether string theory is a true description of nature. All we know is that it is a rich treasure of new mathematics, with an enticing promise of new physics. During the coming century, string theory will be intensively developed, and, if we are lucky, tested by experiment.

Escribe esto en Quantum Field Theory, A 20th Century Profile, editado por A. Mitra, publicado en 2000. Lo encuentro citado en el ya varias veces citado en este blog, "Quamtum Field Theory I", de Zeidler.

Nos leemos!

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Publicado el 27 de Septiembre, 2014, 16:27

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Sigamos leyendo el capítulo primero del Origen de las Especies, titulado Variación en Estado Doméstico. Darwin afirma:

Parece claro que los seres orgánicos, para que se produzca alguna variación importante, tienen que estar expuestos durante varias generaciones a condiciones nuevas, y que, una vez que el organismo ha empezado a variar, continúa generalmente variando durante muchas generaciones.

Curiosamente, no da ningún ejemplo para la necesidad de tener "condiciones nuevas" para la variación. Si hay algo que pasa en los animales y las plantas, es que de generación a generación varían. Justamente, Darwin sigue:

No se ha registrado un solo caso de un organismo variable que haya cesado de variar sometido a cultivo. Las plantas cultivadas más antiguas, tales como el trigo, producen todavía nuevas variedades; los animales domésticos más antiguos son capaces de modificación y perfeccionamiento rápidos.

Es interesante cómo Darwin apela al conocimiento que tenemos de los animales domésticos y de las plantas cultivadas. En su tiempo, lo que se sabía sobre la variación en el ambiente natural era mucho menos que lo que conocía sobre lo domesticado y cultivado.

Y otra curiosidad, veamos cómo imagina Darwin que las condiciones influyen sobre la variación:

Hasta donde puedo juzgar después de prestar mucho tiempo atención al problema, las condiciones de vida parecen actuar de dos modos: directamente, sobre el organismo o sobre ciertas partes solamente, e indirectamente, obrando sobre el sistema reproductor.

Veremos más adelante por qué Darwin pone a la influencia sobre sistema reproductor como origen de variaciones. El no conocía los mecanismos de la variación, y debía conjeturar distintas causas. Cada vez que no puede encontrar el mecanismo subyacente, propone varias explicaciones, dando argumentos para casi todas, pero con distinto peso.

Respecto a la acción directa, debemos tener presente en cada caso, como el profesor Weismann ha señalado hace poco y como yo he expuesto incidentalmente en mi obra sobre la Variation under Domestication, hay dos factores, a saber: la naturaleza del organismo y la naturaleza de las condiciones de vida. El primero parece ser, con mucho, el más importante, pues variaciones muy semejantes se originan a veces, hasta donde podemos juzgar, en condiciones diferentes; y, por el contrario, variaciones diferentes se originan en condiciones que parecen ser casi iguales.

Vemos que Darwin ya había escrito una obra sobre la variación en la domesticación, motivada por sus estudios sobre el origen de las especies. Tomó primero el caso más particular, el de la variación en las plantas y animales cultivados y criados por el ser humano, para luego pasar a la variación natural. La naturaleza de las variaciones, su mecanismo interno, que hoy sabemos reposa, por un lado, en la recombinación y mutación del material hereditario, y por otro lado, en las condiciones de crianza, era un tema que Darwin no podía sino tocar con ejemplos y conjeturas. Pero así avanza la ciencia: Darwin notó que la variación existía, notó que también existía en la domesticación, y se abocó a usarla para explicar la aparición de las especies.

Nos leemos!

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Publicado el 25 de Septiembre, 2014, 8:38

De nuevo hoy voy a citar el libro de Zeidler, "Quantum Field Theory Vol I". Esta vez, encuentro mencionada una carta de Einstein. Es de sus últimos años, pero no tengo la fecha y el destinataria. Comenta sus estudios de joven:

Between the ages of 12-16, I familiarized myself with the elements of  mathematics. In doing so I had the good fortune of discovering books which were not too particular in their logical rigor. In 1896, at the age of 17, I entered the Swiss Institute of Technology (ETH) in Zurich. There I had excellent teachers, for example, Hurwitz (1859-1919) and Minkowski (1864-1909), so that I really could get a sound mathematical education. However, most of the time, I worked in the  physical laboratory, fascinated by the direct contact with experience. The rest of the time I used, in the main, to study at home the works of Kirchhoff (1824-1887), Helmholtz (1821-1894), Hertz (1857-1894), and so on. The fact that I neglected mathematics to a certain extent had its cause not merely in my stronger interest in the natural sciences than in  mathematics, but also in the following strange experience. I saw that mathematics was split up into numerous specialities, each of which could easily absorb the short life granted to us. Consequently, I saw myself in the position of Buridan's ass which was unable to decide upon any specific bundle of hay. This was obviously due to the fact that my intuition was not strong enough in the field of mathematics in order to differentiate clearly that which was fundamentally important, and that which is really basic, from the rest of the more or less dispensable erudition, and it was not clear to me as a student that the approach to a more profound knowledge of the basic principles of physics is tied up with the most intricate mathematical methods. This only dawned upon me gradually after years of independent scientific work. True enough, physics was also divided into separate fields. In this field, however, I soon learned to scent out that which was able to lead to fundamentals.

Menciona a sus profesores de matemáticas en el ETH, pero no parece haber causado buena impresión como estudiante. Tendría que confirmar, pero parece que fue Minkowski el que declaró en esos tiempos de Einstein estudiante, que el futuro premio Nobel no llegaría a nada. Sin embargo, todo eso cambió al inicio del nuevo siglo, cuando Minkowski abrazó la representación geométrica de las ideas de Einstein sobre relatividad especial.

Es interesante el argumento que Einstein menciona para preferir la física a las matemáticas: éstas, demasiado amplias, sin poder discernir que era importante y que era solamente interesante, mientras que la física tenía de alguna forma más los pies en la tierra.

Nos leemos!

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Publicado el 24 de Septiembre, 2014, 14:44

Ya apareció en este blog el tema operadores, de forma leve, en:

Operadores en Mecánica Cuántica, por Richard Feynman
Operadores en Mecánica Cuántica, por Roger Penrose

y va a seguir apareciendo, seguramente en mi series Matemáticas y Física Cuántica y Ecuaciones Diferenciales. Uno de los que contribuyó a la teoría de los operadores fue John von Neumann, al que estoy citando en Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John Von Neumann.

Ayer cité al excelente  "Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics", de Eberhard Zeidler. Y hoy lo vuelvo a citar, porque encuentro dos referencias al trabajo de von Neumann, la primera de Dieudonne:

In the fall 1926, the young John von Neumann (1903-1957) arrived in Gottingen to take up his duties as Hilbert's assistant. These were the  hectic years during which quantum mechanics was developing with breakneck speed, with a new idea popping up every few weeks from all over the  horizon. The theoretical physicists Born, Dirac, Heisenberg, Jordan, Pauli, and Shrodinger who were developing the new theory were groping for adequate athematical tools. It finally dawned upon them that their 'observables' had properties which made them look like Hermitean operators in Hilbert space...

Tengo que escribir sobre los espacios de Hilbert y cómo los observables terminan siendo operadores lineales en ese espacio. La condición de hermíticos es la que asegura que la aplicación de operador en un producto definido sobre un vector tenga resultado real, no complejo. Notablemente, Hilbert había desarrollado sus ideas décadas antes de la necesidad de usarlas en la naciente mecánica cuántica.

... and that by an extraordinary coincidence, the 'spectrum' of Hilbert (which he had chosen around 1900 from a superficial analogy) was to be the central conception in the explanation of the 'spectra' of atoms. It was therefore natural that they should enlist Hilbert's help to put some mathematical sense in their formal computations. With the assistance of Nordheim and von Neumann, Hilbert first tried integral operators in the space L2, but that needed the use of the Dirac delta function 5, a concept which was for the mathematicians of that time self-contradictory. John von Neumann therefore resolved to try another approach.

Jean Dieudonne (1906-1992)
History of Functional Analysis



La segunda es de un matemático que también contribuyó al tema, Marshall Harvey Stone:

Stimulated by an interest in quantum mechanics, John von Neumann began the work in operator theory which he was to continue as long as he lived. Most of the ideas essential for an abstract theory had already been developed by the Hungarian mathematician Pryges Riesz...

Conozco levemente el trabajo de Riesz, justamente leyendo algún libro de teoría funcional.

... who had established the spectral theory for bounded Hermitean operators in a form very much like as regarded now standard. Von Neumann saw the need to  extend Riesz's treatment to unbounded operators and found a clue to doing this in Carleman's highly original work on integral operators with singular kernels...

Desconocía el trabajo sobre operadores "unbounded", y su importancia. Tema para estudiar. 

The result was a paper von Neumann submitted for publication to the Mathematische Zeitschrift but later withdrew. The reason for this  withdrawal was that in 1928 Erhard Schmidt and myself, independently, saw the role which could be played in the theory by the concept of the adjoint operator, and the importance which should be attached to self-adjoint operators. When von Neumann learned from Professor Schmidt of this  observation, he was able to rewrite his paper in a much more satisfactory and complete form... Incidentally, for permission to withdraw the paper, the publisher exacted from Professor von Neumann a promise to write a book on quantum mechanics. The book soon appeared and has become one of the classics of modern physics.

Marshall Harvey Stone (1903-1989)

A primera impresión, el libro de von Neumann es más árido que el clásico de Dirac. Pero será cuestión de tener perservarncia y leer ambos, muy interesantes los dos.

Nos leemos!

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Publicado el 23 de Septiembre, 2014, 8:03

Ya había escrito hace tiempo:

Richard Feynman, por Freeman Dyson

Desde hace años me impresiona el trabajo personal de Feynman para reconstruir la física cuántica de entonces. Ese trabajo rindió sus frutos, porque de él emergió su idea de la "integral path", que podemos ver como un paso al límite del experimento de las rendijas (Ver "Quantum Field Theory in a Nutshell", de Zee, les debo post).Es decir, el electrón, para llegar de A a B, puede pasar por cualquiera de las dos rendijas (en el clásico experimento), y las dos trayectorias cuentan. Pero ¿y si ponemos tres rendijas? ¿y si ponemos cuatro? Lo mismo, todos los caminos cuentan. Pero ¿si ponemos 10, 20? Lo mismo. Pero entonces, ¿si ponemos infinitas rendijas? Es igual a tener al electrón libre de ir desde A a B, sin ninguna pared. Pero en vez de computar sólo la trayectoria directa, lineal, igual se siguen computando todas las posibles trayectorias. El descubrimiento de Feynman es que en el límite clásico, este "sumar todas las trayectorias" da lo mismo que "tomar la trayectoria directa", porque por cada trayectoria alternativa, hay otra que cancela su efecto.

Hoy encuentro el texto ampliado de Dyson, en el excelente "Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics", páginas 27-28, de Eberhard Zeidler, totalmente recomendable. Leo:

Dick Feynman (1918-1988) was a profoundly original scientist. He refused to take anybody's word for anything. This meant that he was forced to rediscover or reinvent for himself almost the whole physics. It took him five years of concentrated work to reinvent quantum mechanics. He said that he couldn't understand the official version of quantum mechanics that was taught in the textbooks and so he had to begin afresh from the beginning. This was a heroic enterprise. He worked harder during those years than anybody else I ever knew. At the end he had his version of quantum mechanics that he could understand...

The calculations that I did for Hans Bethe,5 using the orthodox method, took me several months of work and several hundred sheets of paper.

Hans Bethe (1906-2005) ganó el premio Nobel en 1967 por sus trabajos en las reacciones nucleares, especialmente por sus descubrimientos acerca de la producción de energía en las estrellas. Tengo pendientes leer varios libros de Bethe, muy interesantes, posts pendientes.

Dick could get the same answer, calculating on a blackboard, in half an hour...

In orthodox physics, it can be said: Suppose an electron is in this state at a certain time, then you calculate what it will do next by solving the Schrodinger equation introduced by Schrodinger in 1926. Instead of this, Dick simply said:

The electron does whatever it likes.

A history of the electron is any possible path in space and time. The behavior of the electron is just the result of adding together all the histories according to some simple rules that Dick worked out. I had the enormous luck to be at Coraell in 1948 when the idea was newborn, and to be for a short time Dick's sounding board...

Dick distrusted my mathematics and I distrusted his intuition.

Dick fought against my scepticism, arguing that Einstein had failed  because he stopped thinking in concrete physical images and became a  manipulator of equations. I had to admit that was true. The discoveries of Einstein's earlier years were all based on direct physical intuition. Einstein's later unified theories failed because they were only sets of equations without physical meaning...

Nobody but Dick could use his theory. Without success I tried to understand him... At the beginning of September after vacations it was time to go back East. I got onto a Greyhound bus and travelled nonstop for three days and nights as far as Chicago. This time I had nobody to talk to. The roads were too bumpy for me to read, and so I sat and looked out of the window and gradually fell into a comfortable stupor. As we were droning across Nebraska on the third day, something suddenly happened. For two weeks I had not thought about physics, and now it came bursting into my consciousness like an explosion. Feynman's pictures and Schwinger's equations began sorting themselves out in my head with a clarity they had never had before. I had no pencil or paper, but everything was so clear I did not need to write it down. Feynman and Schwinger were just looking at the same set of ideas from two different sides. Putting their methods together, you would have a theory of quantum electrodynamics that combined the mathematical precision of Schwinger with the practical flexibility of Feynman...

During the rest of the day as we watched the sun go down over the prairie, I was mapping out in my head the shape of the paper I would write when I got to Princeton. The title of the paper would be The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman.

Los tres, Tomonaga, Schwinger, Feynman recibirían el Nobel compartido. Schwinger era un genio temprano, que destacó antes que Feynman, pero luego quedó opacado por éste, por lo menos para el público. Es interesante notar que el trabajo de Schwinger fue influido por su trabajo durante la guerra (la segunda guerra mundial) en el RadLab, laboratorio de radiación, proyecto que insumió un costo del mismo orden del Proyecto Manhattan (el proyecto de las bombas atómicas). En su trabajo con técnicos, Schwinger aprendió que se necesitaba calcular prácticamente, no seguir el camino de los veinte-treinta, de buscar ecuaciones exactas, sino ir en busca de caminos simplificados. No conozco en detalle el trabajo de Schwinger, pero parece que también tomó un camino que otros no habían tomado, pero no fue tan aceptado y simple como el de Feynman.

Curiosamente, una de las ideas de Feynman, el propagador temporal, tuvo una representación gráfica, los diagramas de Feynman, que se popularizaron. Ver Diagramas de Feynman, Fuerzas en Diagramas de Feynman, Positrones y Electrones en Diagramas de Feynman. La historia de la difusión y aceptación de esos diagramas, y los cambios que tuvieron en el tiempo, ha merecido artículos y libros completos. Tema para posts pendientes.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 21 de Septiembre, 2014, 16:23

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Veamos de resolver los coeficientes de la última ecuación del anterior post:

Tenemos alfa y beta para determinar. Pero aparte de satisfacer la ecuación de arriba, también tendría la solución que cumplir con las ecuaciones de de Broglie y de Einstein:

Y con la ecuación de la energía:

Sustituimos las relaciones de de Broglien y de Einsten en la ecuación de la energía:

Habíamos sustituido frecuencia v por frecuencia angular omega, y longitud de onda lambda por número de onda k:


Queda entonces que se debe cumplir también:

Reagrupemos nuestra ecuación con alfa y beta:

Para que esta igualdad se cumpla para todos los valores que pueden tomar los cosenos y senos, se debe cumplir que los coeficientes se anulen:


Esto se satisface si:


Sustituyendo en nuestra ecuación de partida:

Queda algo trivial:

Que ni siquiera nos sirve para tener en la expresión a la derivada temporal de la función de onda, que al ser alfa cero, desapareción de la expresión.

Conclusión: luego de tantos malabares, no llegamos a mucho. Si meditamos un momento, el problema surge de partir de una ecuación donde los cosenos y senos están mezclados de una forma no fructífera. Eso se debe a que tenemos derivadas parciales de distinto orden, y nuestra ecuación inicial sólo tenía senos:

Próximo intento: partir de una función de onda inicial QUE TENGA SENOS Y COSENOS, AMBOS, DESDE EL PRINCIPIO, a ver si tenemos más oportunidades de llegar a una relación no trivial e interesante.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 20 de Septiembre, 2014, 18:56

Estoy explorando una deducción de la ecuación de Schrödinger en:

La Ecuación de Schrödinger

pero no es el camino que siguió el propio Schrödinger. Este tomó una analogía entre óptica y mecánica, debida originalmente a Hamilton, para extender las ideas de de Broglie.

Encuentro hoy el excelente

The classical roots of wave mechanics: Schrödinger"s transformation of the optical-mechanical analogy

donde leo el resumen:

The optical-mechanical analogy played a central role in Schrödinger's reception of de Broglie's ideas and development of wave mechanics. He was well acquainted with it through earlier studies, and it served him as a heuristic model to develop de Broglie"s idea of a matter wave. Schrödinger"s struggle for a deeper understanding of the analogy in the search for a relativistic wave equation led to a fundamental transformation of the role of the analogy in his thinking into a formal constraint on possible wave equations. This development strongly influenced Schrödinger"s interpretation of the wave function and helps to understand his commitment to a wave interpretation in opposition to the emerging mainstream. The changes in Schrödinger's use of the optical-mechanical analogy can be traced in his research notebooks, which offer a much more complete picture of the development of wave mechanics than has been generally assumed. The notebooks document every step in the development and give us a picture of Schrödinger's thinking and aspirations that is more extensive and more coherent than previously thought possible.

No conocía la existencia de esas "notebooks", les recomiendo la lectura de este "paper".

Busqué hoy una relación que recordaba vagamente, entre algunas ideas de Klein, pasadas por Sommerfeld a Schrödinger sobre esa analogía entre óptica y mecánica. Parece que no tuvo tanta influencia como pensaba: Schrödinger había ya encontrado por otros medios parte de esa analogía, reflejada en un segundo "paper" que presentó. Sommerfeld, al leer el texto, todavía no publicado, le recordó la similitud entre una ecuación y la ecuación de la ecoinal. Buscando en Google Books, encontré este fragmento del excelente e interminable The Historical Development of Quantum Theory de Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg (varios tomos), pp 553 en adelante:

http://books.google.com.ar/books?id=-pL56OcVubgC&pg=PA555&lpg=PA555&dq=klein+sommerfeld+schrodinger&source=bl&ots=jBAw_YgITy&sig=ahmczaPjF7IEfYOCqSjDB8QIj5w&hl=en&sa=X&ei=QOEdVNylHda1sQSH2IHgBg&redir_esc=y#v=onepage&q=klein%20sommerfeld%20schrodinger&f=false

As this point we may insert a remark which is perhaps essentially superfluous here but nevertheless may help to avoid a wrong impression that one possibly obtains from reading the published paper. In a footnote to p. 490 of the latter, Schrödinger, just after stating the connection between Hamilton's dynamical principle and Huyguens' optical principle, added the remark: 'Felix Klein has since 1891 repeatedly developed the theory of Jacobi [i.e, Hamilton's theory in the pure mechanical formulation of Jacobi] from quasi-optical considerations in non-Euclidean higher spaces in his lectures on mechanics. Cf. F. Klein, Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver. 1, 1891 [Klein, 1892] and Zeit. f. Math. u. Phys. 46, 1901 [Klein, 1901] (Ges.-Abh, II, pp. 601 and 603). In the second note, Klein remarks reproachfully that his discourse at Halle ten years previously, in which he had discussed this correspondence and emphasized the great significance of Hamilton's optical works, had "not obtained the general attention, which he had expected." For this allusion to F. Klein, I am indebted to a friendly communication from Prof. Sommerfeld. See also Atombau, 4th ed., p. 803' (Schrödinger, 1926d, p. 490, footnote 1; English translation, footnote 3 on pp. 13-14)

Back in the fall of 1891, at the Versammlung Deutscher Naturforscher und Arzte in Halle, the Göttingen mathematician Felix Klein had spoken -as we have already pointed out in the previous section- on some recent English papers on mechanics, and had a particular called attention to the close relation of Hamilton's dynamical theory of light rays an his -Klein's- own consequences from this relation, namely, 'that one, moreover, by proceeding to higher-dimensional spaces, is able to reduce every mechanical problem to the determination of the path of ray propagating in a suitable optical medium' (Klein, 1892, p. 35). Klein had never published any detailed results of that sort in a journal; however, he reporter later in his Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19, Jahrhundert which appeared posthumously in 1926 (after Schrödinger first publications on wave mechanics): 'I have especially indulged, in the summer of 1891, in the pleasure of treating all mechanics, in the footsteps of Hamilton, as a kind of optics in the n-dimensional space; and I have included Jacobi's extension of the theory...; the elaboration of these lectures has been available for twenty years in the Göttingen Reading Room' (Klein, 1926, p. 198).

Vean que menciona "in the footsteps of Hamilton". Tengo que encontrar la referencia, pero todos los comentadores señalan que Hamilton ya se había dado cuenta de la relación entre su trabajo en óptica geométrica y la mecánica.

As in his paper of 1901, Klein complained here about the total neglect that physicist had accorded to the powerful ideas suggested by him. Perhaps one reason for this particular neglect -at least in Germany- may be seen in the fact that physicists in general paid hardly any attention to the sketchy hints in the mathematical journals, nor did they have access to the Reading Room in the Mathematical Institute at the University of Göttingen where the elaborated lectures of Klein lay...

Acá los autores insertan dos notas, que no quiero saltear:

267: The only exception, to which Klein referred, was the mathematician Eduard Study; the latter had, in a paper 'Uber Hamiltons geometrische Optik und deren Beziehung zur Theorie der Beruhrungstransformations' ('On Hamilton's Geometrical Optics and Its Relation to the Theory of Contact Transformations,' Study, 1905): 'worked out from the correct point of view a new form' (Klein, 1926, p. 198). In a footnote, which he had obviously added much latter -the manuscript of the lectures of mathematics in the nineteenth century must have been written in the years after 1910- Klein quoted two further papers by another mathematician, Georg Prange, entitled 'W.R.Hamiltons Bedeutung fur die geomestrische Optik' ('W.R.Hamilton's Importance for Geometrical Optics,' Prange, 1921) and 'W.R.Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik' ('W.R.Hamilton's Papers on Ray Optics and Analytical Mechanics,' Prange, 1923).

268: As we have mentioned and discussed in Section 4, the British mathematician Edmund Whittaker discussed, in his textbook on analytical mechanics (Whittaker, 1904, and later editions), the optical analogue to Hamilton's dynamics in some detail; he also presented (in Sections 125 and 126 of his book) the connection between Huyguens' principle and contact transformations and he considered higher-dimensional spaces.

Volvamos al texto principal:

... However, there was one physicist, Arnold Sommerfeld, who had indeed seen the manuscript of the above-mentioned lectures when he was assistant for mathematics at Göttingen during 1894-1897. He had also referred to Klein's two notes -quoted above- in his book Atombau und Spektralinien...

Ese libro instruyó a toda una generación de físicos cuánticos, sobre el espectro atómico.

..., for example, in the fourth edition in Appendix 7. There he wrote:

Finally, several remarks on the origin of Hamilton's theory. We base our statements on two notes of F. Klein ([1892, 1901]). Hamilton was an astronomer who studied the propagation of light rays in optical instruments. He had available the ray-optics (Newton's emissive optics), which describes the path of light particles in a section-wise homogeneous, or more generally, an inhomogeneous medium by means of integrable ('totale') differential equations. Hamilton attempted to incorporate this method into the then developed wave optics, which describes the optical states by partial differential equations. The real differential equations of wave optics is the equation of vibration (I), from which one derives -for sufficiently small wavelengths- the differential equation of wave surface (II), i.e.,

Here u represents a vector, v a scalar, delta2 denotes the so-called "second differential parameter", and delta1 the "first differential parameter", that is, for a Euclidean line element,

Tengo que revisar el por qué de esas dos notaciones. Imagino que varían en espacios no euclideanos.

If one integrates Eq. (II), one obtains a family of wave surfaces or surfaces of equal phases by putting v = const. Their ortogonal trajectories are the orbits of the light particles, and hence constitute the light rays. Provided we know a complete solution of Eq. (II), then we can derive from it the trajectories of the light particles by mere differentiation... Of course, one must use, for the purpose of general dynamics, a non-Euclidean line element; and one must, for systems having more thant three degrees of freedom -as Klein realized- go over to a higher-dimensional space. (Sommerfeld, 1924d, pp. 803-804).

Es interesante mencionar una nota:

269 In his autobiographical sketch, published posthumously, Sommerfeld mentioned that he went to Göttingen in October 1893, where he soon came under the decisive influence of Felix Klein; Klein drew his attention to the problems of mathematical physics and tried to win him 'for his view of the problems which he had formulated in previous lectures' (Sommerfeld, 1968, p. 675). In 1894, Sommerfeld became 'Klein's assistant at the mathematical reading room and had, in this position, to work out his lectures' (Sommerfeld, 1968, p. 675).

Sigamos con el texto principal. Veamos la acción de Sommerfeld sobre Schrödinger.

Evidently, Eqs. (I) and (II) correspond to Eq. (209) and the eiconal equation (208a), respectively, as Sommerfeld and Runge had shown in 1911 in a paper quoted by Sommerfeld in Atombau. Sommerfeld also reported in his book that in the extension of Hamilton's theory by Jacobi the optical aspect had been lost, and that later Bruns rediscovery it in his theory of the eiconal. When he (Sommerfeld) then say, in February 1926, the manuscript of Schrödinger's second communication on Quantisierung als Eigenwertproblem, he wrote to Zurich and reminded Schrödinger of the ideas of Klein and of those in his own paper. Obviously, Schrödinger did not known of Klein's work, and had also overlooked the above-quoted passage in the fourth edition of Atombau, a book, which he had otherwise study quite carefully. In any case, he immediately dispatched a letter to Wein. He wrote:

Please do excuse me for having to bother you with a request to insert the enclosed two remarks in my manuscript "Quantisierung als Eigenwertproblem, Zweite Mitteilung" [for the] Annalen der Physik... I owe both hints to a friendly postcard from Professor Sommerfeld, which he still wrote to me just before his departure for England. It would not only be very embarrasing for me to omit the citations of Klein and Sommerfeld, but I am also extremely happy to point to none other than Felix Klein as that person, who 35 years ago, and unfortunately in vain, had hinted at the importance of these connections. Had Klein's lectures been distributed in a form other than the valuable and rare manuscript editions, then probably the connection with quantum theory would have been discovered some time ago. It is indeed so evident. From time immemorial one writes the first term of the action function as: minus the energy multiplied by time. Therefore, as soon as one interprets the action function as the phase of the wave, i.e., forms a periodic function of it, one must note that the frequency of this wave is proportional to the mechanical energy constant (Schrödinger to Wein, 4 March 1926)

No se encontró la "postcard" de Sommerfeld, pero debe datar de principios de marzo. La relación entre energía y frecuencia es uno de los grandes descubrimientos de la física: una relación inesperada, que permea todos los desarrollos posteriores.

Concluyen los autores:

Thus the references to Felix Klein's work as well as to the paper by Sommerfeld and Runge -and to Appendix 7 in Atombau- were added to the second communication only after the author had completed the manuscript; they did not influence his results and development at all.

Interesante tema. Si quieren los detalles matemáticos y físicos, les recomiendo el excelente Fundamentos de Mecánica Cuántica, de Borowitz, donde el autor sigue el camino de Schrodinger para llegar a sus resultados, explorando entonces las relaciones entre óptica geométrica y mecánica, y luego pasado de óptica geométrica a ondas, para conseguir unir la mecánica con las ondas, el germen de la mecánica cuántica de entonces.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 19 de Septiembre, 2014, 14:37

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Nada mejor que seguir citando al libro del anterior post, "An Elementary Primer for Gauge Theory" de K.Moriyasu. Leo al comienzo del primer capítulo:

Modern gauge theory has emerged as one of the most significant and far-reaching developments of physics in this century. It has allowed us for the first time to realize at least a part of the age old dream of unifying the fundamental forces of nature. We now believe that electromagnetism, that most useful of all forces, has been successfully unified with the nuclear weak interaction, the force which is responsible for radioactive decay. What is most remarkable about this unification is that these two forces differ in strength by a factor of nearly 100 000. This brilliant accomplishment by the Weinberg-Salam gauge theory, and the insight gained from it, have encouraged the hope that all of the fundamental forces may be unified within a gauge theory framework. At the same time, it has been realized that the potential areas of application for gauge theory extend far beyond elementary particle physics. Although much of the impetus for gauge theory came from new discoveries in particle physics, the basic ideas behind gauge symmetry have also appeared in other areas as seemingly unrelated as condensed matter physics, non-linear wave phenomena and even pure mathematics. This diversity of interest in gauge theory indicates that it is in fact a very general area of study and not exclusively limited to elementary particles.

Vemos que un gran avance que surgió fue la unificación de dos fuerzas, la electromagnética (que ya había aparecido como la unificación de los fenómenos eléctricos y magnéticos) y la fuerza débil.

Pero también, el tema gauge involucra un gran papel a la simetría. Esto no fue evidente al principio: por ejemplo, la primer teoría con gauge, el electromagnetismo, vió a la simetría como un simple recurso de simplificación de cálculos. Fue Einstein quien puso la simetría como algo más fundamental en su teoría de relatividad general, y de nuevo, ahí aparece un gauge. Pero ya veremos los detalles. Por ahora, son simples notas

Nos leemos!

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Publicado el 17 de Septiembre, 2014, 14:55

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Hay tanto para estudiar, comentar y compartir sobre este tema. Por un lado, es un tópico importante de la física, y aún en las matemáticas modernas. Por otro lado, es difícil encontrar una explicación clara y para "amateurs" interesados como yo. O hay explicaciones muy simplificadas, o hay artículos muy técnicos.

Uno de los libros que estoy leyendo, es "An Elementary Primer for Gauge Theory" de K.Moriyasu. Me parece bien organizado, escrito a comienzos de los ochenta del siglo pasado. Leo al comienzo:

The understanding of nuclear and elementary particle physics has now reached a historical turning point. During the last decade, a revolution has quietly occurred — a revolution called "Gauge Theory". For the first time in 50 years, since the birth of modern nuclear physics, gauge theory allows us to understand how the fundamental forces of nature may be unified within a single coherent theory. The discovery of gauge theory rivals in importance the development of both relativity and quantum mechanics. In contrast to the situation less than 10 years ago, gauge theory now dominates nearly ;ill phases of elementary particle physics today. Even the reasons for performing new experiments are now judged by their relevance for testing the predictions of gauge theory.

Clearly, such an exciting development should be widely accessible and understandable not only to theoreticians but also to experimental physicists, students and the "intelligent layman" as well, like politics and war, gauge theory has become too important to he left only to the experts...

Bueno, un poco exagerado, pero pienso que es muy interesante difundir los temas que tocan estas teorías, porque sino no se entiende de que va la física de partículas de nuestros días.

...Unfortunately, for the reader who wishes to first understand the basic physical ideas behind gauge theory, the published literature can present a daunting challenge. The leason for the difficulty is that gauge theory represents a totally new synthesis of quantum mechanics and symmetry ideas which have been applied to the entire field of elementary particle physics. I believe that gauge theory can be appreciated by the nonexpert; that is the raison d'etre for this primer. In order to emphasize the physics of gauge theory rather than the mathematical formalism, I have used a new intuitive approach and designed the text primarily for the reader with only a background in quantum mechanics. My "oul in this primer is to hopefully leave the reader with an appreciation of the elegance and beauty of gauge theory.

Sí, hace falta conocer algo de mecánica cuántica, y también de las matemáticas necesarias, como conceptos de geometría diferencial. Pero el autor va avanzando mostrando los temas de una forma más clara que otras introducciones que he hojeado.

This book was motivated by my own desire as a "non-expert" to learn something about gauge theory. Over a period of 4-5 years, I wrote a series of short pedagogical articles on gauge theory topics for the American and European Journals of Physics. These articles allowed me to test the ideas and the writing style for this primer. I also found that trying to satisfy the high standards of the referees for these journals encouraged me to develop much clearer explanations for many gauge theory topics. I am indebted to these referees who do their work in anonymity.

Por lo que leí, hace falta más que ser un lego interesado: cuando introduce algunas fórmulas, si bien sencillas, son dadas como ya conocidas por el lector. Supongo que habrá querido decir "non-expert physicist or student".

Esta es una de las fuentes que voy a usar cuando me anime a comenzar una serie de post explícitos sobre teorías gauge, sin que sean como esta serie, simple notas para compartir.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 15 de Septiembre, 2014, 5:40

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Detrás de este tema está gran parte de la física moderna. Tanto sus conceptos como su historia entrelazan temas físicos como los campos, y matemáticos, como las simetrías, los grupos y hasta geometría diferencial. Una segunda entrega de enlaces:

[hep-ph/9705211] Introduction to Gauge Theories
http://arxiv.org/abs/hep-ph/9705211

(505) What is Gauge Theory (intuitively)? - Quora
http://www.quora.com/What-is-Gauge-Theory-(intuitively)

Gauge Theories of the Strong and Electroweak Interactions
http://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadmin/lehre/skripte/muenster/Gauge-theories.pdf

INTRODUCTION TO GAUGE THEORIES AND THE STANDARD MODEL
http://cds.cern.ch/record/292286/files/B00008237.pdf

Particle Physics 5: Basic Introduction to Gauge Theory, Symmetry & Higgs - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=v6bgABUyT3c

[hep-th/9602122] The Unreasonable Effectiveness of Quantum Field Theory
http://arxiv.org/abs/hep-th/9602122

Los conceptos de campo, partícula, partícula virtual y vacío | La Ciencia de la Mula Francis
http://francis.naukas.com/2012/08/15/los-conceptos-de-campo-particula-particula-virtual-y-vacio/

Gauge theories - Scholarpedia
http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_theories

Gauge Theory -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/GaugeTheory.html

[math-ph/9902027] Preparation for Gauge Theory
http://arxiv.org/abs/math-ph/9902027

Gerard ′t Hooft
http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/

Mis Enlaces
https://delicious.com/ajlopez/gaugetheory

Nos leemos!

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Publicado el 10 de Septiembre, 2014, 7:04

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Sigo leyendo a Steven Weinberg, su primera impresión como físico americano que visita el laboratorio:

Visité por primera vez el laboratorio Cavendish en la primavera de 1962, cuando yo, siendo un muy joven físico, dejé la Universidad de California en Berkeley para pasar un año en Londres. El laboratorio entonces todavía ocupaba su edificio de piedra original en el Free School Lane, donde había estado desde 1874, en un terreno comprado por la Universidad de Cambridge en 1786 para ser usado como jardín botánico. Lo recuerdo como un edificio laberíntico de pequeñas salas conectadas por una incomprensible red de escaleras y corredores. Era muy diferente del gran laboratorio de radiación de California, que aparecía dominando sobre la bahía desde su sitio iluminado por el sol en las colinas de Berkeley. El laboratorio Cavendish me dio la impresión de haber sido el escenario no tanto de un asalto masivo a los secretos de la naturaleza, sino de una campaña de guerrillas, un esfuerzo de recursos limitados, en el cual las armas principales eran la astucia y la valentía de individuos superdotados.

Los tiempos habían cambiado, y se necesitaba más colaboración y aparatos más poderosos para hacer investigación física sobre los temas que habían interesado en los años anteriores: la constitución de la materia, las fuerzas básicas.

Leamos lo que cuenta Weinberg sobre la historia:

El laboratorio Cavendish tuvo su origen en un informe de un comité universitario que se reunió en el invierno de 1868-69 para considerar como construir un lugar para física experimental en Cambridge. Era el tiempo de un amplio entusiasmo por la ciencia experimental. Un gran y nuevo laboratorio para física experimental había sido abierto recientemente en Berlín, y laboratorios universitarios estaban siendo construidos en Oxford y en Manchester. Cambridge no había jugado un rol principal en la ciencia experimental, a pesar (o por causa) de una tradición de excelencia en matemáticas, que llegaba hasta el siglo XVII, con el profesor lucasiano de matemáticas, Sir Isaac Newton. Pero el empirismo estaba ahora en el aire, y el comité propuso un nuevo Profesorado de Física Experimental y un nuevo edificio para albergar conferencias y experimentos.

De hecho, no apareció la figura de físico teórico puro, hasta el siglo XX. En el próximo post, veremos quien fue el primer profesor de física experimental.

Nos leemos!

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Publicado el 7 de Septiembre, 2014, 13:51

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Saben que me interesa la historia de la ciencia, y en particular, la historia de la física. Hace poco comencé una Historia de las Partículas Elementales. Hoy me encuentro con un texto de Steven Weinberg, en su obra "The Discovery of Subatomic Particles", referido al laboratorio Cavendish.

Leo y traduzco:

... hay un lugar asociado especialmente con el descubrimiento de los constituyentes del átomo: es el Laboratorio Cavendish de la Universidad de Cambride. Ahí, en 1897, Joseph John Thomson (1846-1940) realizó los experimentos con rayos catódicos que lo llevaron a concluir que hay una partícula -el electrón- que es a la vez el portador de la electricidad y un constituyente básico de todos los átomos. Fue ahí en el Cavendish, en 1895-1898, donde Ernest Rutherford (1871-1937) comenzó su trabajo en radioactividad, y donde retornó en 1919, luego de su descubrimiento del núcleo atómico, para suceder a Thomson como Profesor Cavendish de Física Experimental, y donde encontró lo que ué por mucho tiempo un centro destacado de la física nuclear. La lista e los constituyentes del átomo fue completada en el Cavendish en 1932, cuando James Chadwick (1891-1974) descubrió el neutrón.

En el próximo post, compartiré las impresiones de Weinberg, cuando visitó por primera vez el laboratorio, y la historia de su origen.

Imagen tomada de http://bayes.wustl.edu/etj/cambridge.html 

Nos leemos!

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Publicado el 4 de Septiembre, 2014, 16:08

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Sigo leyendo la autobiografía científica de Heisenberg. Luego de presentar el trabajo contemporáneo de Schrödinger, sigue la crítica:

Unfortunately, however, the physical interpretation of the mathematical scheme presented us with grave problems. Schrodinger believed that, by associating particles with material waves, he had found a way of clearing the obstacles that had so long blocked the path of quantum theory. According to him, these material waves were fully comparable to such processes in space and time as electromagnetic or sound waves. Such obscure ideas as quantum jumps would completely disappear. I had no faith in a theory that ran completely counter to our Copenhagen conception and was disturbed to see that so many physicists greeted precisely this part of Schrodinger's doctrine with a sense of liberation. The many talks I had had with Niels Bohr, Wolfgang Pauli and many others over the years had convinced me that it was impossible to build up a descriptive time-space model of interatomic processes-the discontinuous element Einstein had mentioned to me in Berlin as a characteristic feature of atomic phenomena saw to that. Admittedly, this was no more than a negative feature, and we were still a long way from a complete physical interpretation of quantum mechanics, yet we were certain that we must get away from the idea of objective processes in time and space.

Esa es la postura dura de Heisenberg. No estoy de acuerdo con "we must get away from the idea of objective processes in time and space". No es la única posible interpretación de la teoría, y las hay más simples. Digo, no me convence lo de abandonar lo objetivo. Heisenberg ahí cruza una línea que no veo que tenga derecho a cruzar así: la de negar la objetividad de los procesos reales.


Now Schrodinger's interpretation-and this was its great novelty -simply denied the existence of these discontinuities. Thus when an atom passes from one stationary state to the next, it was no longer said to change its energy suddenly and to radiate the difference in the form of an Einsteinian light quanta. Radiation was the result of quite a different process, namely, of the simultaneous excitation of two stationary material vibrations whose interference gives rise to the emission of electromagnetic waves, e.g., light. This hypothesis seemed to me too good to be true, and I mustered what arguments I could to show that discontinuities were a fact of life, however inconvenient. The simplest argument was, of course, Planck's radiation formula, whose empirical correctness no one could doubt and which, after all, had led Planck to his discrete energy quanta.

Es curioso que esa explicación (la emisión de luz como INTERFERENCIA de dos vibraciones), ya no se mencione en las interpretaciones de la teoría de Schrödinger. Heisenberg señala bien que no era tan simple dejar de lado las discontinuidades. El propio Schrödinger lamentaría más tarde tener algo que ver con "esos saltos cuánticos".

En el próximo post, veremos el encuentro de Heisenberg con Schrödinger, cuando éste presenta su teoría en un seminario en Múnich.

Nos leemos!

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Publicado el 31 de Agosto, 2014, 16:16

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En las aplicaciones de física aparecen los llamados grupos de Lie que, al contrario de los que vimos hasta ahora, son continuos: sus elementos no tienen una cardinalidad finita, y hay infinitos elementos "cercanos" a otros. Para comenzar a tener una imagen de estos grupos, podemos pensar en las rotaciones por un ángulo arbitrario, en el plano, alrededor del origen


Consideremos un vector v en R2, que puede rotar un ángulo rho. La transformación de sus coordenadas puede representarse por una matriz:

Por ejemplo, si el ángulo es de noventa grados, la matriz vale:

Y multiplicando por el vector (1, 0), lo "rota" 90 grados:

Sea el vector v" el vector resultante de aplicar esta rotación. Queremos que tenga la misma longitud que el vector original v. Es decir, la relación v"2 = v2 debe satisfacerse. La norma puede escribirse como la multiplicación:

Donde vT es el vector transpuesto (si v es vector columna, entonces vT es vector fila).

Ejemplo, para el vector (2, 3):

Esto es, si recordamos la reglas de multiplicación de vectors y matrices.

Pero sabiendo que el vector transformado

Y que queremos que la norma se mantenga aún luego de la transformación, se debe cumplir:

Vemos que se cumple porque para cualquier ángulo rho:

Lo que es igual, de nuevo recordando la multiplicación de los elementos de dos matrices:

Para todo ángulo rho. Entonces, queda la identidad

Quedando

Se dice que la matriz general R es ortogonal cuando

Las rotaciones en el plano alrededor del origen forman un grupo, y un grupo de Lie continuo. Las matrices que vimos arriba, entonces, son UNA REPRESENTACION del grupo. El grupo se llama SO(2), de matrices ortogonales en dos dimensiones. La letra S viene de Special, que significa que las representaciones en matrices tienen determinante igual a 1 (uno). La letra O viene de Orthogonal, las operaciones implican la conservación de la norma.

Veremos en el próximo post que SO(2) es subgrupo de otros grupos más generales, y de interés en la física. Todavía no ha aparecido la relación de todos estos grupos y representaciones con la física de partículas, pero paciencia, ya llegaremos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

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