Anterior Post

Las leyes de la mecánica clásica fueron reunida y expuestas en 1686 por Isaac Newton (1642-1727) en su famoso libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (ver Los Principia de Newton, Mecánica Clásica) Durante los dos siglos siguientes fue extendida y usada para explicar todos los fenómenos de la física y la astronomía. Fue la primera "gran unficación": la de los cielos y la tierra, separados en explicación desde los tiempos de Aristóteles. Newton mostró que lo que hacía que un proyectil siguiera una trayectoria y no otra, tenía la misma explicación que las órbitas de la Luna y los planetas.

Muchos después de Newton fueron extendiendo la mecánica clásica, incluso en formas que pienso le hubieran parecido extrañas al propio Newton (recordemos el planteamiento lagrangiano, ver Lagrangianos y Hamiltonianos). Pero con todo el triunfo de la mecánica clásica para explicar los fenómenos físicos, iba apareciedo, con el correr de los años, temas y conceptos que no encajaban en el gran esquema newtoniano. Uno era la luz: tratada de explicar como movimiento de partículas, chocó con la prueba experimental de la interferencia, y la explicación ondulatoria. Luego el calor también apareció, ligado a la luz en la explicación de la radiación. En el siglo XIX además aparecieron cuestiones como la constitución de la materia en estructura atómica y molecular (hay que admitir que era sólo una explicación tentativa, no todos aceptaban este modelo, hasta entrado el siglo XX hubo quienes no aceptaron la explicación atómica) y más sobre la naturaleza de la luz, como la ausencia experimental de detección de cambio de velocidad relativa (esto originó la primera teoría de la relatividad). Y todavía más: la electricidad y el magnetismo se fueron descubriendo como caras de la misma moneda, y desde Faraday a Maxwell vemos el avance del electromagnetismo.

Pero vayamos apuntando al nacimiento de la mecánica cuántica. Como apunta Max Jammer, la teoría cuántica, en su primera formulación, tuvo su origen en la incapacidad de la física clásica de dar cuenta de lo observado experimentalmente en la distribución de la energía en el espectro continuo de la radiación de cuerpo negro.

No era un problema fácil: era la cuantificación de la energía en vibraciones electromagnéticas armónicas, ligadas a una estructura atómica que todavía no estaba clara. Tal vez se hubiera avanzado más si la atención se hubiera detenido en otro fenómenos, como el calor específico. O que se hubiera descubierto la cuantización de la energía atómica al ver que la energía agregada siempre iba a la energía cinética de los átomos y no era absorbida internamente, en su energía de ligadura.

Pero eso es especulación. En el próximo post, veremos el estado de la teoría del calor y la radiación, con la llegada de las leyes de Kirchoff.

Fuente adicional consultada: Quantum Mechanics, A Conceptual Approach, por Hendrik A. Hameka

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Anterior Post

Ya mencionamos que, experimentalmente, una magnitud f puede tener valores discretos o continuos (o discretos en un rango, y continuos en otros, puede darse el caso mixto). Sigamos estudiando el caso discreto. En física cuántica sólo conocemos la probabilidad de que dado un estado físico, la magnitud f tenga el valor fn. A los físicos les gusta igual manejar un valor para la magnitud f, el llamado valor medio:

 Lo expresamos con una f con una raya horizontal encima. Vemos que cada valor posible discreto fn está ponderado por su probabilidad. Cada estado cuántico tendrá un valor medio de cada magnitud f. En vez del valor absoluto al cuadrado de cada an, podemos recordar lo equivalente:

Recordemos que los coeficientes an, vienen de expresar el estado completo como suma de los estados n

Nos gustaría poder expresar al valor medio f, no con los coeficientes, sino con la propia función de estado. Para eso, los físicos descubrieron un concepto matemático útil, el operador. Un operador es una función que recibe como "entrada" una función (en lugar de recibir un valor numérico), y devuelve una función como resultado. Por ejemplo, la derivada puede considerarse un operador. Los operadores los vamos a indicar con un "sombrero" encima de su letra. Entonces, los físicos DEFINEN un operador f, como el operador que hace que la expresión de la derecha, en la siguiente fórmula, DE EL VALOR MEDIO de f:

La expresión bajo la integral tiene la función de estado conjugada Y LA FUNCION DE ESTADO LUEGO de aplicarle el operador f. El operador f se DEFINE (y es un tema de matemáticas demostrar la existencia y unicidad) como el operador que hace que esta integral RESULTE ENTREGANDO el valor medio. Es decir, debería dar los mismos valores que nuestra expresión del valor medio solamente usando los coeficientes an, sin las función de estado.

Ahora, para que todo esto sea compatible con el principio de superposición de estados, los físicos piden que el operador sea línea, es decir, espera que cumpla:

Y que cumpla:

Este es uno de los principios del formulismo matemático cuántico: a cada manginud física le corresponde un operador lineal.

Recordemos que una función de estado puede ser la que corresponda al estado fn. En ese caso, esperamos que:

Para que esto ocurra basta que el operador lineal cumpla, para cada función de estado n, con:

Es decir, que aplicado el operador al estado n (de esos estados "básicos" que tenemos asociados a los valores posibles fn), nos devuelva LA MISMA función de estado, multiplicada POR UN NUMERO, el valor de la magnitud fn.

Estas funciones base se llaman funciones propias, y los valores fn son los valores propios. Son las soluciones a la expresión:

Donde el f de la izquierda es un operador (ver el "sombrero") y el f de la derecha es una constante a determinar.

Bueno, bastante por hoy, aparecieron conceptos nuevos, que espero quede claro su aplicación en los próximos posts. Por ejemplo, ¿se podrá descubrir el operador funcional asociado a la energía, al momento, a la posición? ¿qué expresión concreta tienen? También hay que investigar que el mismo operador puede cambiar de expresión al cambiar las coordenadas que usamos en la función de estado, debiendo igual representar LA MISMA magnitud física.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Anterior Post

Ya estuvimos viendo rotaciones alrededor de un eje (en tres dimensiones), podemos ahora escribir:

A la izquierda tenemos multiplicar. A la derecha, tenemos sumar. Esto nos recuerda a lo que tenemos en exponenciación:

Aunque hay que tener cuidado: en la primera expresión de arriba, estamos multiplicando matrices, y en la segunda expresión, estamos operando con números, como exp(x) y el propio x.

Recordemos que

Eso es una rotación FINITA de ángulo dado theta, alrededor del eje z. ¿Cómo podemos expresar una rotación INFINITESIMAL, que sirva de base "generadora" para todas las rotaciones de ese eje?

Si calculamos la derivada por theta, en el valor 0, quedar:

Entonces, podemos usar esa derivada como el primer factor en su expresión en serie. Como aproximación podemos escribir:

Donde en segundo término de la derecha llega a ser la derivada encontrada multiplicada por delta theta, el incremente infinitesimal del ángulo  (hay que justificar el uso de i, la raíz de -1 imaginaria). Debería ser para eso:

Una rotación finita puede componerse (en principio) de sucesivas rotaciones infinitesimales (digo en principio, para mostrarlo formalmente hacia dónde vamos; dos rotaciones infinitesimales, si realmente son INFINITESIMALES, solo dan una rotación infinitesimal):

Tomando:

Para N rotaciones, si tomamos N tendiendo a infinito, queda:

En el desarrollo de arriba, operamos formalmente, PORQUE NO HAY DEFINICION DIRECTA de e elevado a matrices. Solamente porque Mz es una matriz que CONMUTA CONSIGO MISMA (como todas las matrices), podemos hacer esa ANALOGIA con respecto a la exponencial: lo que conocemos, es la exponencial de un número real, lo de arriba es "algo de magia" para expresar la exponencial de una matriz.

Con todo lo plausible que es la igualdad de arriba, hay que probar que:

Sea igual a lo que da el desarrollo infinito de la exponenciación:

Este desarrollo se expande a:

Las dos primeras matrices son la matriz desdoblada. Las potencias PARES de Mz son igual a la segunda matriz (con dos unos y un cero en la diagonal), y las potencias IMPARES de Mz son iguales a Mz.

Queda, reagrupando, y resolviendo los signos de i potencia:

Los dos desarrollos de potencias de theta son los desarrollos de coseno y seno en serie, queda:

Quedando al fin:

Como se quería probar.

En próximo post, revisaremos que condiciones cumple Mz, mencionaremos la expresión de Mx, Mz (que se pueden deducir como las de Mz), y veremos si Rz(theta) es unitaria.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

En estos días me encuentro con este fragmento notable, de una carta de Kepler a su amigo Fabricius, de 1605:

Si se colocara una piedra fuera de la Tierra y se considerara que ambas carecen de cualquier movimiento adicional, entonces no solo la piedra se precipitaría hacia la Tierra, también la Tierra lo haría hacia la piedra; repartirían el espacio que las separa en una proporción inversa a sus pesos respectivos.

Digo notable, porque asoma acá la tercera ley de Newton, que todavía no había nacido. En otra carta, propone que la resistencia a moverse de un planeta es proporcional a su masa, aunque no tenía datos sobre la masa de los planetas. Pero hay diferencias. La gravedad, según Newton, es creada por la masa del Sol. Kepler pensaba que era generada por la ROTACION del Sol. Ese giro impulsaría a girar a los planetas, a los más cercanos con más velocidad que a los más lejanos. ¿Cómo se debilitaba esa fuerza con la que el Sol movía a los planetas? No lo dijo expresamente, pero mencionó que se debilitaba igual que la luz al alejarse de su origen. En otro lugar, demostró que el flujo luminoso se perdía según el inverso del cuadrado de la distancia.

¿Podrían haber influido estas ideas en Newton? Gran parte de ellas sólo se expresó en papeles privados. Esos papeles fueron heredados por Ludwig Kepler, su hijo, que los llevó a Konisberg. Cuando este hijo murió, los papeles fueron comprados por D.J.Hevelius, quien los adquirió de los herederos. Luego recorrieron un largo camino: Leipzig, Viena, Frankfurt, y finalmente acabaron en el observatorio de Pulkovo, en San Petersburgo, luego de haber sido adquiridos por Catalina II, gracias a un consejo de Leonhard Euler. Ahí es donde están actualmente. Ante tan largo periplo, es imposible que Newton tuviera acceso a ellos.

Post relacionados:

El modelo de Kepler, el mecanismo de Newton
El mecanismo de Kepler
Newton explicando la gravedad

Encuentro este fragmento en el excelente libro "Kepler, el movimiento planetrio, bailando con las estrellas", de Eduardo Battaner Lopez, publicado por RBA, y entregado acá en Argentina por el diario La Nación.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Anterior Post

Veamos hoy de presentar un ejemplo concreto y corto del tema tratado en el anterior post: tener un potencial que dependa de la posición y no de la velocidad.

Habíamos trabajado con una lagrangiana donde aparece el potencial restando:

Trabajemos con una sola partícula, viajando por una sola coordenada, en vez de un vector x con varias:

¿Qué potencial U podríamos usar? Bien, sea uno que cuando la partícula esté ubicada en el origen (x1 = 0), su potencial sea nulo. Y que cuando se desplace hacia los x1 positivos, o los x1 negativos, el potencial crezca de la misma manera (no importa si x1 es positivo o negativo, el potencial dependerá de su desplazamiento absoluto). Un potencial así puede ser:

Donde k es una constante positiva de proporcionalidad. Un potencial así es el del oscilador armónico:

http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_oscillator

El lagrangiano completamente expresado en x1 es:

Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange

Obtenemos:

O lo que es lo mismo:

Digamos que los x1 positivos estan "hacia la derecha" del punto de origen. Lo de arriba dice: si estamos a la derecha del punto de origen, hay un valor negativo –kx1 que se aplica a la variación en el tiempo del momento (masa por velocidad). Es decir, que este momento va a disminuir (considerando "velocidad hacia la derecha" como positiva). Si estamos con x1 a la izquierda del punto de origen, el momento tendrá una variación temporal positivo. Sea un entorno no relativista, donde la masa no cambia con el tiempo ni la velocidad, apliquemos el dt a la velocidad:

Tenemos que recordar que nos gustaría encontrar la solución de x1 en función del tiempo. Una solución posible es:

Nos quedamos con la parte real, y tomamos e elevado a la a como un parámetro libre que indica la posición al comienzo del tiempo:

Hemos resuelto la ecuación del movimiento.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Siguiente Post

Es tiempo hoy de comenzar esta serie de posts, para describir y comentar el desarrollo histórico y conceptual de la mecánica cuántica, que tomó forma en el primer cuarto del siglo pasado, pero que hunde sus orígenes en el siglo XIX y aledaños.

Tendremos que visitar las principales fuentes de su origen. Por un lado, la termodinámica y la relación entre radiación y materia. Nos encontraremos con Kirchoff, Boltzmann, Planck y hasta el aporte de Einstein, entre otros. Por otro lado, tenemos que estudiar cómo influyó la existencia de espectros de sustancias simples (al comienzo no se hablaba de espectros atómicos, porque la teoría atómica no estaba todavía asentada y admitida), y luego la estructura del átomo, con el gran avance del modelo de Rutherford, basado en los experimentos de Mardsen, Geiger, y la contribución esencial a su entendimiento cuántico por parte del modelo de Bohr de 1913 (de nuevo, con extensiones de Sommerfeld y otros; el desarrollo de la mecánica cuántica ha involucrado el cruce de ideas, modelos y experimentos por décadas). La naturaleza de la luz, la aparición de su conducta corpuscular (recordemos el "paper" de Einstein de 1905, donde entre otros, la ponía en el tapete con el fenómeno fotoeléctrico (no es el único experimento al que apelaba)), la aparición de la estadística en la emisión y absorción de radiación, y la extensión "mágica" de la naciente dualidad de la luz a las partículas, de la mano de de Broglie. Notablemente, la idea de onda es la base de la teoría de Schrodinger, mientras que Heisenberg prácticamente no usa nada de esas ideas, apoyándose en los fenómenos de radiación por parte de la materia.

Mientras, pueden leer mis series La ecuación de Schrodinger, Heisenberg desarrollando la mecánica cuántica, Entendiendo a Heisenberg, donde se desarrollan más puntualmente algunos temas.

Las principales fuentes que quiero consultar son:

- The Conceptual Development of Quantum Mechanics, de Max Jammer
- The Formation and logic of quantum mechanics, de Mituo Taketani, Masayuki Nagasaki
- Varios libros biográficos (Planck, Heisenberg, Schrodinger, Einstein....) de ediciones RBA
- The Golden Age of Theoretical Physics, de Jagdish Mehra
- Sources of Quantum Mechanics, editado por van der Waerden
- Y otras fuentes que iré mencionando a medida que aparezcan, como artículos de divulgación, y libros de texto

Quedará fuera de alcance: la física cuántica posterior, la teoría cuántica de campos y extensiones relativistas, que espero tengan merecido otra serie de posts sobre su desarrollo.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Anterior Post
Siguiente Post

Tomemos otro caso concreto, sencillo. De nuevo, el caso es el de una partícula, pero esta vez, en vez de estar totalmente libre, está viajando por un potencial que depende sólo de la posición (no del tiempo ni de la velocidad). Guiados por los primeros posts, donde el lagrangiano fue igualado a energía cinética MENOS energía potencial (no siempre es así), ponemos:

Donde el x con punto es un vector velocidad (y ese primer término de la derecha es la energía cinética de la partícula), y el x sin punto es un vector posición. La U(x) es la energía potencial, que esperamos sólo depende de la posición de la partícula, y no varía con el tiempo (es decir, sus valores para cada punto del espacio se mantienen constantes; si hay cambio, es porque hay cambio en x, no en t)

Expresado en coordenadas cartesianas, queda el lagrangiano:

Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange:

Quedan TRES ecuaciones de movimiento, UNA POR COORDENADA. Por ejemplo, para x1:

¿Qué significa? Supongamos que con el tiempo, la velocidad x punto aumenta (el primer término de la izquierda aumenta). Para que se mantenga la suma cero, el segundo término tiene que disminuir. Y para eso, se deberá haber desplazado la partícula a un lugar donde la nueva U sea menor que la original. Es decir, a mayor cantidad de movimiento, pasamos a estar en un punto que tiene menor potencial. Y viceversa. Lo que ganamos en energía cinética, lo perdemos en energía potencial. De nuevo, resultados que concuerdan con la mecánica newtoniana clásica.

Vemos que en el análisis de arriba, la velocidad se considera como una variable más, "independiente" de la variable posición. Es algo raro de ver, pero funciona.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Anterior Post

Sea que tenemos ahora una carga q, puesta en el medio de un campo eléctrico E. El campo ejerce fuerza sobre la carga, y la va moviendo, digamos, desde el punto A hasta el punto B, siguiendo una trayectoria C. A medida que va ejerciendo su fuerza, el campo efectúa trabajo sobre la carga. El trabajo realizado es, por definición:

Donde ABC indica que el desplazamiento dr se toma siempre a lo largo de la trayectoria ABC.

En física, una fuerza se llama conservativa si el trabajo neto hecho alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero. Veamos, el integrando de arriba es un diferencial perfecto, es decir, es el diferencial de una función. Si expresamos el campo E con la ley de Coulomb:

Donde r sombrero es el vector unitario, lo que es:

Y ahora el diferencial perfecto es:

Resultando que el integrando de arriba corresponde a la derivada de una función de r. Cuando la solución de la integral tiene esa forma, su valor sobre una curva cerrada es cero:

Tenemos entonces que el campo eléctrico es un campo conservativo.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Anterior Post
Siguiente Post

Ha llegado el tiempo de retomar este tema. Hemos visto:

- Hay grupos abstractos (ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (1))
- Hay representaciones de grupo (ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (2))
- Hay grupos continuos. Pudimos representarlos con matrices (ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (3))
- Las representaciones de grupos por matrices operan sobre vectores, que forman un espacio vectorial
- El campo de coeficientes de esos espacios vectoriales, puede ser real o complejo
- En los espacios vectoriales reales, nos interesaron las operaciones que preservan el producto interno, las transformaciones son ortogonales (y en la representación de matrices, vimos las características de las matrices ortogonales)
- En los espacios vectoriales complejos, las transformaciones que preservan el producto interno se llaman unitarias, y sus matrices tienen una forma especial (ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (4))

No han aparecido todavía las partículas elementales. Les adelanto que aparecerán en los vectores (y tensores) sobre los que operan las representaciones de matrices.

Los grupos como SO(3), SU(2) son grupos continuos y vimos elementos de esos grupos que pueden asimilarse a rotaciones en el espacio vectorial, rotaciones que conservan el producto interno. Por ejemplo, tomando SO(3) (grupo ortogonal en 3 dimensiones, que no invierte el espacio), tenemos las rotaciones paramétricas:

El parámetro es el ángulo de rotación alrededor de un eje. Si cada una de estas matrices la multiplicamos por su traspuesta, obtenemos la matriz unidad. Son matrices ORTOGONALES, que preservan el producto interno en el espacio vectorial REAL.

Una matriz n x n real ortogonal, con determinante +1, tiene n (n-1) /2 parámetros independientes. Por ejemplo, las matrices de SO(2) necesitan 2 * 1 / 2 parámetros,  es decir, basta con indicar el ángulo único de rotación que tenemos disponibles. En cambio, en SO(3) necesitamos 3 * 2 / 2 parámetros, necesitamos 3 parámetros independientes (que pueden ser los ángulos de rotación alrededor de los tres ejes).

Veamos explícitamente el caso 2 x 2. Tenemos una matriz general:

Por ser ortogonal (o lo que es lo mismo, si le exigimos que preserve el producto interno), debe ser que multiplicada por su traspuesta nos de la unidad:

Queremos que su determinante sea +1 = ad – cb

Todo esto se cumple para la matriz:

Vemos que nos basta con un solo parámetro (en este caso, a es el seno del ángulo de rotación)
Pasemos a examinar el caso 2 x 2 pero unitario (coeficientes complejos) en SU(2). En este caso se tiene que dar, determinante igual a +1 = ad-cb, y el unitarismo:

Esto implica que la matriz original sea de la forma:

Cumpliendo además con la restricción:

Cada número complejo a, b tiene DOS componentes independientes. En total son 4, pero sujetas a la restricción de arriba quedan TRES componentes independientes. En el caso unitario n x n general, hay n * n – 1 elementos independientes. Por ejemplo, en SU(3) tenemos 3 * 3 – 1, ocho elementos, los que veremos que forman el llamado "camino óctuple".

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Anterior Post

Heisenberg sigue en Copenhague, intercambiando ideas con Niels Bohr.

Luckily, at the end of our talks, Bohr and I would generally come to the same conclusions about particular physical experiments, so that there was good reason to think that our divergent efforts might yet lead to the same result. On the other hand, neither of us could tell how so simple a phenomenon as the trajectory of an electron in a cloud chamber could be reconciled with the mathematical formulations of quantum or wave mechanics. Such concepts as trajectories or orbits did not figure in quantum mechanics, and wave mechanics could only be reconciled with the existence of a densely packed beam of matter if the beam spread over areas much larger than the diameter of an electron.

El problema era explicar trayectorias de partículas en la cámara de niebla. ¿Cómo reconciliar su existencia con el formulismo cuántico?

Since our talks often continued till long after midnight, and did not produce a satisfactory conclusion despite protracted efforts over several months, both of us became utterly exhausted and rather tense. Hence Bohr decided in February 1927 to go skiing in Norway, and I was quite glad to be left behind in Copenhagen, where I could think about these hopelessly complicated problems undisturbed. I now concentrated all my efforts on the mathematical representation of the electron path in the cloud chamber, and when I realized fairly soon that the obstacles before me were quite insurmountable, I began to wonder whether we might not have been asking the wrong sort of question all along. But where had we gone wrong? The path of the electron through the cloud chamber obviously existed; one could easily observe it. The mathematical framework of quantum mechanics existed as well, and was much too convincing to allow for any changes. Hence it ought to be possible to establish a connection between the two, hard though it appeared to be.

Veremos en el próximo post a qué conclusiones llega Heisenberg (vean que pasaron poco menos de dos años desde su famoso "paper" hasta estas conclusiones). De nuevo Heisenberg necesitó estar tranquilo y solo para avanzar.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

En el segundo de sus "papers" de 1926, Schrödinger menciona la teoría de Heisenberg, completada por Born y Jordan, en artículos publicados en 1925. Leo en su "Quantisation and Proper Values - II":

I would not like to proceed without mentioning here that at the present time a research is being prosecuted by Heisenberg, Born, Jordan, and other distinguished workers, to remove the quantum difficulties, which has already yielded such noteworthy success that it cannot be doubted that it contains at least a part oœ the truth. In its tendency, Heisenberg's attempt stands very near the present one, as we have already mentioned. In its method, it is so totally different that I have not yet succeeded in finding the connecting link.

Luego otros, como Carl Eckart, se ocuparían de encontrar la equivalencia de las dos teorías.

I am distinctly hopeful that these two advances will not fight against one another, but on the contrary, just because of the extraordinary difference between the starting-points and between the methods, that they supplement one another and that the one will make progress where the other fails. The strength of Heisenberg's programme lies in the fact that it promises to give the line-intensities,  question that we have not approached as yet.

El tema de atacar el problema de las intensidades de las líneas espectrales era un punto fuerte de la teoría de Heisenberg.

The strength of the present attempt -if I may be permitted to pronounce thereon--lies in the guiding, physical point of view, which creates a bridge between the macroscopic and microscopic mechanical processes, and which makes intelligible the outwardly different modes of treatment which they demand. For me, personally, there is a special charm in the conception, mentioned at the end of the previous part, of the emitted frequencies as "beats ", which I believe will lead to an intuitive understanding of the intensity formulae.

Pueden encontrar una traducción al español de estos artículos de Schrödinger en el libro editado por Stephen Hawking, "Los sueños de los que está hecho la materia".

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Hace poco compartía algunos textos sobre el uso de números complejos en física (ver La Ecuación de Schrödinger (10) Un Comentario Sobre Números Complejos). Encuentro una nota al pie en el libro de Simmons que me está sirviendo de base para mi serie sobre ecuaciones diferenciales. Leo en la página 120:

El uso de números compljeos en teoría de circuitos tiene como pionero al matemático, inventor e ingeniero Charles Proteus Steinmetz (1865-1923). En su juventud, sus actividades como estudiante socialista en Alemania le crearon problemas con la policía de Bismarck, y emigró apresuradamente a América en 1889. Trabajó al principio para la General Electric Company, convirtiéndose pronto en su cerebro científico y probableente el más grande de los ingenieros eléctricos. Cuando llegó a la GE no había modo de producir en masa motores eléctricos o generadores, ni forma económicamente viable de transmitir energía eléctrica a más de 3 millas. Steinmetz resolvió estos problemas mediante las matemáticas y su potencial mental, mejorando con ello la calidad de vida humana en innumerables aspectos.

Era muy bajo de estatura, lisiado por una enfermedad congénita y vivió con dolores, pero fue universalmente admirado por su genialidad y muy querido por su cálida humanidad y su punzante sentido del humor. La siguiente anécdota, poco conocida pero inolvidable, fue publicada en la sección de Cartas de la revista Life (14 de mayo de 1965):

Señores: En su artículo sobre Steinmetz (23 de abril) mencionaban una entrevista con Henry Ford. Mi padre, Burt Scott, empleado de Henry Ford desde hacía años, me relató la historia de ese encuentro. Se habían planteado dificultades técnicas en un generador nuevo diseñado en la planta Ford de River Rouge y sus ingenieros eléctrivos no eran capaces de resolverla, de manera que Ford solicitó la ayuda de Steinmetz. Cuando "el pequeño gigante" llegó a la planta, rechazó toda asistencia, pidiendo solamente un cuaderno, un lápiz y un camastro. Durante dos días y dos noches vigiló el generador e hizo gran cantidad de cálculos. Entonces pidió una escalera, una cinta de medir y un trozo de tiza. Trepó laboriosamente por la escalera, realizó mediciones cuidadosas e hizo una marca con la tiza en un lateral del generador. Descendió y ordenó a su escéptica audiencia que quitaran una placa del generador y eliminasen 16 espiras de la bobina a esa altura. Se hicieron las correcciones y el generador funcionó perfectamente. Más tarde, Ford recibió una factura de la GE por un montante de 10000 dólares firmada por Steinmetz. Ford la devolvió agradeciendo el buen trabajo realizado y pidiéndole respetuosamente una factura detallada. Steinmetz replicó como sigue: Hacer la marca en la tiza, un dólar. Saber dónde hacerla, 9999 dólares. Total a pagar: 10000 dólares.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Anterior Post
Siguiente Post

During the next few months the physical interpretation of quantum mechanics was the central theme of all conversations between Bohr and myself. I was then living on the top floor of the Institute, in a cozy little attic flat with slanting walls and windows overlooking the trees at the entrance to Faelled Park. Bohr would often come into my attic late at night, and we constructed all sorts of imaginary experiments to see whether we had really grasped the theory.

Típico del Bohr de aquellos tiempos: plantear experimentos mentales. No es que le huyera a los experimentos reales, pero era más fácil explorar la mecánica cuántica de entonces y sus consecuencias haciendo ese tipo de análisis crítico.

In so doing, we discovered that the two of us were trying to resolve the difficulties in rather different ways. Bohr was trying to allow for the simultaneous existence of both particle and wave concepts, holding that, though the two were mutually exclusive, both together were needed for a complete description of atomic processes. I disliked this approach. I wanted to start from the fact that quantum mechanics as we then knew it already imposed a unique physical interpretation of some magnitudes occurring in it-for instance, the time averages of energy, momentum, fluctuations, etc.-so that it looked very much as if we no longer had any freedom with respect to that interpretation. Instead, we would have to try to derive the correct general interpretation by strict logic from the ready-to-hand, more special interpretation.

Heisenberg se resistía todavía a las ondas, traídas por de Broglie y el gran desarrollo de Schrodinger.

For that reason I was-certainly quite wrongly-rather unhappy about a brilliant piece of work Max Born had done in Gottingen. In it, he had treated collisions by Schrodinger's method and assumed that the square of the Schrodinger wave function measures, in each point of space and at every instant, the probability of finding an electron in this point at that instant. I fully agreed with Born's thesis as such, but disliked the fact that it looked as if we still had some freedom of interpretation; I was firmly convinced that Born's thesis itself was the necessary consequence of the fixed interpretation of special magnitudes in quantum mechanics. This conviction was strengthened further by two highly informative mathematical studies by Dirac and Jordan.

Fue Born el que trajo la interpretación de la función de onda como amplitud compleja, y cómo conseguir de ella una probabilidad real. Esa interpretación se le había escapado a Schrodinger, que sequía pensando en la función de onda como una especie de distribución de carga eléctrica.

Heisenberg menciona a Dirac y Jordan. Deben ser artículos donde desarrollan la "transformation theory", que puso algo más de formalidad matemática (y yo agregaría claridad) a lo que se conocía entonces. Ver:

http://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_theory_(quantum_mechanics)
From canonical transformations to transformation theory, 1926–1927: The road to Jordan"s Neue Begrundung

donde leo:

Generalizations of the Schrodinger wave function and Born"s statistical interpretation of it were incorporated into matrix mechanics and the related q-number theory of Dirac (1925) through what came to be known as transformation theory. Independently of one another, Dirac and Jordan developed this new formalism in late 1926 and published it in early 1927 (Jordan, 1927a,b; Dirac, 1927). 1 In modern notation, which follows Dirac rather than Jordan, the central quantities in transformation theory are complex probability amplitudes <a|b>, which determine the probability of finding the value a for some observable A after finding the value b for some observable B and at the same time govern the transition of a basis of eigenvectors of A to a basis of eigenvectors of B.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Anterior Post

Termino hoy traducción y comentario de esta sección de Dirac, de su libro "Principles of Quantum Mechanics":

The association of particles with waves discussed above is not restricted to the case of light, but is, according to modern theory, of universal applicability. All kinds of particles are associated with waves in this way and conversely all wave motion is associated with particles. Thus all particles can be made to exhibit interference effects and all wave motion has its energy in the form of quanta. The reason why these general phenomena are not more obvious is on account of a law of proportionality between the mass or energy of the particles and the frequency of the waves, the coefficient being such that for waves of familiar frequencies the associated quanta are extremely small, while for particles even as light as electrons the associated wave frequency is so high that it is not easy to demonstrate interference.

La asociación de partículas con ondas que discutimos más arriba no se restringe al caso de la luz, sino que es, de acuerdo a la teoría moderna, de aplicación universal. Todo tipo de partículas están asociadas con ondas de esta manera, y recíprocamente, todo movimiento de ondas está asociado con partículas. Entonces todas las partículas pueden hacerse que exhiban efectos de interferencias y todo movimiento de onda tiene su energía en forma de cuantos. La razón por el la cual estos fenómenos generales no son más obvios se encuentra en la ley de proporcionalidad entre la masa o la energía de las partículas y la frecuencia de las ondas, siendo el coeficiente de tal forma que para las ondas de frecuencas familiares los cuantos son extremadamente pequeños, mientra que para las partículas como las de la luz o electrones la frecuencia de onda asociada es tan alta que no es fácil mostrar interferencia.

Queda claro que ondas y partículas están ligados. Vemos que Dirac no trata temas como "dualidad", sino que describe la asociación que entre ondas y partículas que propone la "moderna teoría". El tener una onda asociada a un electrón, y que los electrones tuvieran patrones de interferencia, fue una de las grandes sorpresas de aquellos tiempos de descubrimientos.

Habiendo planteado este tema físico, y el tema de la polarización de fotones, Dirac está preparado para explicarnos el principio de superposición, y exponer su teoría matemática para representar los estados físicos y sus transformaciones. Pero hoy, terminamos con el tema interferencia de fotones.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Anterior Post

Bastantes temas interesantes para ver, como teorías gauges, y el experimento de la doble rendija, interferencia de a un fotón, e interferómetros.

[hep-ph/9705211] Introduction to Gauge Theories
http://arxiv.org/abs/hep-ph/9705211

(505) What is Gauge Theory (intuitively)? - Quora
http://www.quora.com/What-is-Gauge-Theory-(intuitively)

Gauge Theories of the Strong and Electroweak Interactions
http://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadmin/lehre/skripte/muenster/Gauge-theories.pdf

INTRODUCTION TO GAUGE THEORIES AND THE STANDARD MODEL
http://cds.cern.ch/record/292286/files/B00008237.pdf

Particle Physics 5: Basic Introduction to Gauge Theory, Symmetry & Higgs - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=v6bgABUyT3c

S-matrix theory - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/S-matrix_theory

Chiral symmetry - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Chiral_symmetry

renormalization
http://math.ucr.edu/home/baez/renormalization.html

The Feynman Lectures on Physics, The Most Popular Physics Book Ever Written, Now Completely Online | Open Culture
http://www.openculture.com/2014/08/the-feynman-lectures-on-physics-the-most-popular-physics-book-ever-written-now-completely-online.html

EmDrive Is an Engine That Breaks the Laws of Physics and Could Take Us to Mars
http://mashable.com/2014/08/02/emdrive-mars-momentum/

Sean Carroll - The Particle at the End of the Universe - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=RwdY7Eqyguo

Sean Carroll - The Particle at the End of the Universe: Q&A - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=aom5SiHakGM

Machâ€"Zehnder interferometer - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Mach%E2%80%93Zehnder_interferometer

Double-slit experiment - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Double-slit_experiment

Introducing quantum mechanics: One-particle interferences
http://depts.washington.edu/jrphys/ph331/share/mach2.pdf

Interference - Young's experiment with single photons: Physclips - Light
http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/light/youngs-experiment-single-photons.html

Mis Enlaces
http://delicious.com/ajlopez/quantum

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Anterior Post
Siguiente Post

Tenemos hasta ahora un estado físico de un sistema, que puede ser un electrón libre, un electrón ligado en el átomo de hidrógenos, un par electrón-positrón, etc., y estamos investigando que matemáticamente se representan tales estados como funciones de onda: funciones "esparcidas" en el espacio y el tiempo. Un mismo estado puede estar representado por más de una función de onda. Y notablemente, las funciones de onda, si bien aceptan variables reales, producen un valor complejo.

Pero a los físicos les interesa manejar y conocer magnitudes física, como la energía y el momento. Esas magnitudes se representan con números reales (y las unidades apropiadas). ¿Cómo vamos a obtener esas magnitudes reales, de algo tan extraño como una función de onda compleja? Vamos a ver que hay operaciones que podemos efectuar sobre la función de onda que nos van a dar resultados físicos interesantes.

Pero primero veamos los valores posibles de una magnitud física. Uno de los grandes descubrimientos de la física moderna, es haber encontrado que hay magnitudes físicas que admiten valores discretos, no continuos. Por ejemplo, la energía de un electrón ligado en un átomo de hidrógeno no puede ser cualquier, no puede adoptar cualquier valor, sino solamente algunos de un conjunto discreto, no continuo. El conjunto de valores físicamente posibles para una magnitud de un sistema se llama espectro. Y así hay magnitudes que tienen espectro discreto (finito o infinito numerable) y otras que tiene espectro continuo (tal vez acotado a un rango). Y hasta hay sistemas que admiten alguna magnitud con espectro mixto: una parte de sus valores se manifiesta como espectro discreto y otra como espectro continuo. Comencemos explorando hoy magnitudes físicas de espectro discreto.

Sea f la magnitud física a considerar (p.ej. energía, momento) de un sistema. Sea fn uno de sus valores posibles, de su espectro discreto. Habrá estados:

Representados por las funciones de onda:

Cuyo valor de f sea

Siendo cada fn un valor del espectro discreto. Por el principio de superposición, un estado físico puede ser combinación lineal de otros estados (mejor dicho, ser representado por una combinación lineal de sus funciones de onda representativas). TODA función de onda posible será expresable por la combinación de las funciones de onda de estado discretos:

Pudiendo ser cada coeficiente an un número complejo. Se dice entonces que el conjunto de funciones de onda Psi n es un sistema completo: permite obtener, por combinación lineal, todos los estados posibles para el sistema.

Pero en los experimentos, cuando se mide la magnitud física f para el sistema en cuestión, SOLAMENTE obtenemos valores del espectro discreto, nunca una combinación lineal mixta. Entonces, si partimos de un estado "mixto", ¿cuál es el valor que obtenemos en un experimento que implique medir f? ¿cualquiera de los valores discretos? No, el valor que obtenemos depende de los coeficientes an del desarrollo de arriba.
Recordemos: esos coeficientes son valores complejos. Hemos visto cómo los valores complejos de la función de onda se pueden usar para calcular probabilidades (ver Matemáticas y Física Cuántica (2) Probabilidad). Bueno, ahora usaremos los COEFICIENTES an para lo mismo: dar la probabilidad del resultado fn, al realizar una medida. Esperamos que esa probabilidad de fn sea 0 si an es 0. Esperamos que la probabilidad de fn sea 1, si todos los demás coeficientes distintos de an son 0. Podemos pedir algunas condiciones más, pero al final, el valor potable, comprobable por la concordancia entre experimento y formulismo cuántico, es que la probabilidad de obtener fn, viene expresado por:

Donde an con asterisco es el complejo conjugado del coeficiente an. Tenemos que revisar las consecuencias de este "postulado cuántico". Ya vamos a ver que algo de esta afirmación puede deducirse cuando veamos operadores funcionales y conozcamos mejor las funciones de onda Psi n (la de los "estados puros"). Cualquier combinación lineal de estados "puros" puede normalizarse para que la suma de las probabilidades sea 1:

Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Anterior Post
Siguiente Post

Sigo traduciendo y comentando a Dirac:

Some time before the discovery of quantum mechanics people realized that the connexion between light waves and photons must be of a statistical character. What they did not clearly realize, however, was that the wave function gives information about the probability of one photon being in a particular place and not the probable number of photons in that place. The importance of the distinction can be made clear in the following way. Suppose we have a beam of light consisting of a large number of photons split up into two components of equal intensity. On the assumption that the intensity of a beam is connected with the probable number of photons in it, we should have half the total number of photons going into each component. If the two components are now made to interfere, we should require a photon in one component to be able to interfere with one in the other. Sometimes these two photons would have to annihilate one another and other times they would have to produce four photons. This would contradict the conservation of energy. The new theory, which connects the wave function with probabilities for one photon, gets over the difficulty by making each photon go partly into each of the two components. Each photon then interferes only with itself. Interference between two different photons never occurs.

Algún tiempo antes del descubrimiento de la mecánica cuántica, la gente se dio cuenta que la conexión entre ondas de luz y los fotones era del tipo estadístico. Lo que no quedó tan claro, sin embargo, fue qe la función de onda da información sobre la probabilidad de un fotón de estar en un lugar en particular y no la probable cantidad de fotones en ese lugar. La importancia de esa distinción puede ponerse en claro de la siguiente manera. Supongamos tenemos un haz de luz consistente en una gran cantidad de fotones, separado en dos componentes de igual intensidad. Si asumimos que la intensidad del haz está conectado con el número probable de fotones que contiene, debemos tener la mitad del total de fotones yendo por cada uno de los dos componentes. Si los dos componentes ahora interfieren entre sí, requerimos que un fotón en un componente pueda interferir con otro fotón del otro componente. Algunas veces estos dos fotones se aniquilarán uno al otro, y otras veces se producirán cuatro fotones. Esto va en contradicción con la conservación de la energía. La nueva teoría, que conecta la función de onda con las probabilidades de un solo fotón, resuelve la dificultad haciendo que cada fotón vaya parcialmente por las dos componentes. Cada fotón entonces interfiere solamente consigo mismo. La interferencia entre dos fotones diferentes nunca ocurre.

No estoy seguro a qué se refiere con "algún tiempo antes del descubrimiento de la mecánica cuántica, la gente se dio cuenta que la conexión entre ondas de luz y los fotones era del tipo estadístico". Porque los fotones no fueron ampliamente aceptados hasta después de los avances de Heisenberg, Schrödinger y otros. Supongo que querrá haberse referido a la polarización de fotones que comenté en otros posts. Pero sí el tema estadístico con respecto a las ondas de luz, y su absorción y emisión, venía siendo ya planteada con Einstein desde 1917, en un artículo que fue fijó los fundamentos del láser.

Pero lo importante del párrafo de arriba, que no siempre se encuentra explicado en los libros de divulgación, es el por qué la necesidad de interferencia del fotón consigo mismo, y no con otros fotones. Si interfiriera con otros fotones, no estaría garantizada la conservación de la energía. Hubo alguna vez algún intento de avanzar por ese camino (recuerdo un "paper" de Bohr, Kramer y Slater), pero luego se vió que era equivocado (igual aclaro que ese artículo "famoso", conocido como BKS, partía de otros modelos, totalmente distintos a lo que menciona Dirac arriba; tendría que repasar la postura de ese artículo, leyendo su comentario en el libro de Franco Selleri "El debate de la teoría cuántica").

En el próximo post, termino de comentar este ejemplo de Dirac. Espero poder luego comentar cómo Dirac, basado en este ejemplo y en el de polarización de fotones, introduce coeficientes COMPLEJOS (no números reales) en el principio de superposición.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Anterior Post

Comencemos leyendo los párrafos iniciales del "paper" de Heisenberg. He conseguido una traducción al inglés (el original fue publicado en alemán) en el libro B. L. van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications). Leo ahí el "paper 12":

Quantum-Theoretical Re-Interpretation of Kinematic and Mechanical Relations
W.Heisenberg

Vemos que Heisenberg menciona cinemática, porque se va a ocupar no sólo de la dinámica, sino también cómo podemos manejar conceptos como la posición x.

The present paper seeks to establish a basis for theoretical quantum mechanics founded exclusively upon relationships between quantities which in principle are observable.

Eso de "observable" es discutible. Pero Heisenberg está motivado por eso: en vez de fundar todo en los mismos conceptos clásicos (como posición, velocidad, ...), va ha hacer una análisis crítico de esos conceptos, introduciendo nuevas formas de entenderlos.

It is well known that the formal rules which are used in quantum theory for calculating observable quantities such as the energy of the hydrogen atom may be seriously criticized on the grounds that they contain, as basic element, relationships between quantities that are apparently unobservable in principle, e.g., position and period of revolution of the electron. Thus these rules lack an evident physical foundation, unless one still wants to retain the hope that the hitherto unobservable quantities may later come within the realm of  experimental determination. This hope might be regarded as justified if the above-mentioned rules were internally consistent and applicable to a clearly defined range of quantum mechanical problems. Experience however shows that only the hydrogen atom and its Stark effect are amenable to treatment by these formal rules of quantum theory. Fundamental difficulties already arise in the problem of ' crossed fields' (hydrogen atom in electric and magnetic fields of differing directions). Also, the reaction of atoms to periodically varying fields cannot be described by these rules. Finally, the extension of the quantum rules to the treatment of atoms having several electrons has proved unfeasible.

El efecto Stark, junto con el efecto Zeeman fueron grandes problemas que tuvieron que ser resueltos en aquella época. El primero involucra un campo eléctrico, el segundo es provocado por un campo magnético. Explicar los resultados de los espectros de los átomos sometidos a tales campos era un desafío para la física.

It has become the practice to characterize this failure of the  quantum-theoretical rules as a deviation from classical mechanics, since the rules themselves were essentially derived from classical mechanics. This characterization has, however, little meaning when one realizes that the Einstein-Bohr frequency condition (which is valid in all cases) already represents such a complete departure from classical mechanics, or rather (using the viewpoint of wave theory) from the kinematics underlying this mechanics, that even for the simplest quantum-theoretical problems the validity of classical mechanics simply cannot be maintained. In this situation it seems sensible to discard all hope of observing hitherto unobservable quantities, such as the position and period of the electron, and to concede that the partial agreement of the quantum rules with experience is more or less fortuitous. Instead it seems more reasonable to try to establish a theoretical quantum mechanics, analogous to classical mechanics, but in which only  relations between observable quantities occur. One can regard the frequency condition and the dispersion theory of Kramers together
with its extensions in recent papers as the most important first steps toward such a quantum-theoretical mechanics. In this paper, we shall seek to establish some new quantum-mechanical relations and apply these to the detailed treatment of a few special problems. We shall restrict ourselves to problems involving one degree of freedom.

Es decir, se va a limitar a una sola "coordenada". Vemos que menciona a Kramer. Tenemos que ver cuáles eran esas ideas de teoría de la dispersión, porque algunas de esas ideas y fórmulas terminan apareciendo en este "paper" de Heisenberg. El conocía a Kramer, por ser el ayudante principal de Bohr, y trabajó con él y publicó "papers" conjuntos cuando estuvo de visita en Copenhague.

Y recuerda las condiciones de frecuencia de Einstein-Bohr, una gran sorpresa que relaciona energía con frecuencia, y que había sido reanimada con las ideas de de Broglie publicadas unos meses antes de este "paper" (sin embargo, no parece que lo de de Broglie influyera en el desarrollo de las ideas de Heinsenberg).

Entonces, estaba todo dado para explicar las frecuencias espectrales, en gran parte al trabajo fundacional de Bohr, pero no se había podido avanzar tanto en el cálculo de las INTENSIDADES de esas frecuencias, por ejemplo, cuando un tipo de átomo era sometido a radiación y temperatura.

Hay un buen resumen de lo que tenemos que entender de este "paper" en:

Papers from the beginning of quantum mechanics

Leo ahí:

Heisenberg's original matrix mechanics - This is the work that created the modern theory of quantum mechanics (Heisenberg 1925). Heisenberg wanted to tackle the question of how to predict correctly the intensities of atomic transition lines, as Bohr had already clarified how to obtain the transition frequencies. Heisenberg began by noticing that, according to Bohr, the correct quantum transition frequencies do not depend just on the current state of motion (as do the frequencies of emitted radiation for a classical orbit), but rather on two states (initial and final). Likewise, in classical theory, the intensities of emitted radiation would be given by the squares of the Fourier amplitudes of the oscillating dipole moment for a given orbit. In an ingenious step, Heisenberg then postulated that instead of a set of Fourier amplitudes for a given orbit (enumerated by one index), one would have to introduce a set of amplitudes depending on two indices, one for the initial, the other for the final state. He assumed that the equations of motion for those amplitudes looked formally the same as in classical theory (Heisenberg equations of motion). The last crucial ingredient is the commutation relation. This he derived by looking at the linear response of an electron to an external perturbation (essentially deriving something like Kubo's formula, containing the commutator) and then demanding that the short-time response would be always that of a free, classical electron. This fixes the commutator between position and momentum. Thus was born matrix mechanics. He applied this immediately to the harmonic oscillator and also dealt with the anharmonic oscillator using perturbation theory.

See also Heisenberg's Nobel Lecture from 1933 to learn more about his view on these developments, and the slightly earlier overview (Heisenberg 1928 (Naturwissenschaften)) that also includes much of the developments before matrix mechanics.

Vamos a tener que visitar series de Fourier, y conceptos clásicos para entender "la maiga" que termina haciendo Heisenberg. Agregaría a lo de arriba que hay unas conferencias de Heinserberg en América (1930?), que tienen una mejor explicación de sus ideas, con más detalle y gentileza que en este "paper", donde a veces da algunos saltos que nos evidentes.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Anterior post

Mencionaba en el anterior posts el tema de la aparición de números complejos: la función de onda de Schrödinger es inevitablemente una función que arroja valores de números complejos, no es una función real. El propio Schrödinger quiso en algún momento tomar solamente la parte real como significativa físicamente, pero no era el camino correcto. Solamente cuando ese valor complejo se toma como amplitud de probabilidad, es que se puede avanzar (ver Matemáticas y Física Cuántica (2) Probabilidad). Era habitual en física-matemática, operar con complejos por conveniencia, pero tomar la parte real como algo físicamente distinto de la parte imaginaria. Hasta el famoso artículo de Heisenberg de 1925 toma en unos párrafos ese camino. Pero en la formulación de Schrödinger hay que abrazar a los números complejos, no se los puede separar en parte real y parte imaginaria. Son esenciales para la explicación cuántica, e iremos viendo que su presencia le da un "sabor" particular a todo el tema (ver Dirac y las amplitudes de probabilidad en física cuántica).

Hoy vamos a descansar del trabajo matemático. Quiero compartir un texto que no conocía, una nota a un artículo de Schrödinger. No pude encontrar la referencia original, la encontré estos días en el excelente libro de José Navarro Faus "Heisenberg, el principio de incertidumbre", de RBA, editado acá por el diario La Nación, en una serie que aparece cada sábado. En una nota de la página 81, leo:

...Schrödinger se sorprendió mucho de la presencia del número i, porque estaba convencido de la "realidad" de la función de ondas. En uno de sus artículos escribió a pie de página un comentario en el que alude al humor escatológico de Pauli:

Pero, ¿cómo ha podido introducirse i en esta ecuación? Una respuesta, de la que no me atrevo a indicar aquí el sentido general, fue dada por un físico que dejó Austria hace algún tiempo, pero que [...] no ha perdido completamente su afilado humor vienés y que además es muy conocido por encontrar siempre la palabra justa. Esta fue su respuesta: el i se ha deslizado en la ecuación ... como algo que dejamos escapar por casualidad, experimentando no obstante un alivio inapreciable después de haberlo producido involuntariamente.

Pero el artículo A LEER para ver todo el panorama, es el artículo "Square root of minus one, complex phases and Erwin Schrödinger", de Chen Ning Yang, en "Schrödinger, Centenary Celebration of a Polymath". Sí, es el mismo Yang de las teorías Yang-Mills, y el del premio Nobel por su trabajo con Lee en la no conservación de la paridad. Yang hace un recorrido muy lúcido y completo sobre el tema, destacando que tanto la ecuación de Schrödinger como la formulación de Heisenberg, contienen al número i. Escribe "It is to be emphasized that the very meaning of these equations would be totally destroyed if one tries to get rid of i by writing [them] in terms of real and imaginary parts.

Yang cita más en extenso, el comentario de Dirac que mencioné en un enlace de más arriba:

So if one asks what is the main feature of quantum mechanics, I feel inclined now to say that it is not noncommutative algebra. Ti is the existence of probability amplitudes which underlie all atomic processes. Now a probability amplitude is related to experiment but only partially. The square of its modulus is something what we can observe. That is the probability which experimental people get. But besides that there is a phase, a number of modulus unity which can modify without affecting the squares of the modulus. And this phase is all important because it is the source of all interference phenomena but its physical significance is obscure. So the real genius of Heisenberg and Schrödinger, you might say, was to discover the existence of probability amplitudes containing this phase quantity which is very well hidden in nature and it is because it was so well hidden that people hadn't thought of quantum mechanics much earlier.

(no quiero dejar notar que lo de "physical significance is obscure" puede que esté relacionado con el efecto Aharanov-Bohm, tal vez el primer lugar donde la fase compleja parece tener significado físico experimental).

Escribe el propio Yang más adelante:

Classical physics, that is the physics before 1925, used exclusively real quantities. This was true for mechanics, thermodynamics, electrodynamics - the whole of classical physics. To be sure, complex numbers were used in many places. For example, in solving a linear alternating current problem complex numbers were used. But after the solution had been found, one always took the real or imaginary part of the solution in order to obtain the true physical answer. So the use of complex numbers was as a computational aid, i.e. the physics was conceptually in terms of real numbers.

With matrix mechanics [Heisenberg] and wave mechanics [Schrödinger], however, the situation dramatically changes. Complex numbers became a conceptual element of the very foundation of physics...

Veamos su comentario sobre la actitud de Schrödinger:

... wave mechanics which was created in a historical series of six papers ... all written within the first six months of 1926 by Erwin Schrödinger. In the first five of these Schrödinger had in mind the factorization of his wave function into real stationary function of x and a sinusoidal function of time...

Lo que explica que también que a Schrödinger se le escapara contemplar a la función completa como amplitud de probabilidad, como haría más adelante Max Born (me apresuro a recordar que ya en 1925 Max Born y Jordan habían tomado los coeficientes complejos que aparecían en las matrices de Heisenberg como lo que hoy llamamos amplitudes de probabilidad, creo que habían aparecido en los artículos de Krammer sobre dispersión, pero tengo que revisar).

...That Schrödinger did this was not surprising, since he was thinking of a standing wave description of the electron, very much in analogy with a standing electromagnetic wave or a water wave. Such waves do have phases, but nevertheless they are described by real functions of space-time.

En un ejemplo en una nota al pie de unos de sus artículos, Schrödinger pone una función compleja, poniendo que esa expresión "the real part is to be taken, as usual". Escribe Yang:

... [it's] revealing his general attitude on this matter, which was the same as in the usual linear circuit: Psi may be complex, but one always takes the real part in the end.

El 27 de Mayo de 1926, H.A.Lorentz, de 73 años de edad, le escribe una larga carta a Schrödinger, agradeciéndole que le haya enviado las pruebas de tres artículos, y le plantea varias cuestiones. Para Yang, dos de esas cuestiones son relevantes para el tema de hoy: a) cómo intepretar la función psi para dos o más partículas, b) Lorentz opinaba que las verdaderas ecuaciones de movimiento no deberían contener E de ninguna forma, solamente derivadas temporales. Schrödinger le contesta el 6 de Junio. Es interesante notar que a) nos lleva a que haya más coordenadas, y que psi no es una función sobre "el espacio real". Si tenemos dos electrones, las coordenadas se duplican. En la respuesta, Schrödinger le comenta que ha abandonado la expresión psi (derivada parcial de psi por tiempo), y ha empezado a usar, para su último artículo, psi por la conjugada compleja de psi, "for the electric charge density in real space". Y escribe: "What is unpleasant here, and indeed directly to objected to, is the use of complex numbers. psi is surely fundamentally a real function". Es decir, el bueno de Erwin todavía no se había tragado la píldora de lo esencial de los números complejos. Con respecto a b), es interesante notar que Schrödinger le contesta con una ecuación, donde E al cuadrado es reemplazada por H al cuadrado. Y ese cuadrado le permite no poner el número i en la expresión.

De hecho, la ecuación de Schrödinger como la hemos expuesto hasta acá, no aparece en ninguno de sus primeros cinco "papers". La respuesta que le da a Lorentz indica que aún en Junio de 1926, estaba luchando por eliminar de alguna forma la parte imaginaria.

Poco después de haberse enviado el sexto artículo de Schrödinger, Max Born publica dos artículos. Usa una función real senoidal. Escribe Yang:

Because everything was real, Born did not use 'absolute square' but only 'square' in the famous footnote (added to the first paper in proof) which Pais referred as follows (Pais, 1986): 'that great novelty, the correct transition probability concept, entered physics by way of a footnote'. It was only in the second paper that Born used complex numbers for the incoming and outgoing waves.

Algo notable que descubro en el artículo de Yang, es que el propio Schrödinger ya en 1922 había publicado un "paper" titulado "On a remarkable property of the quantum orbit of one electron", en el que mencionaba la posibilidad de introducir un factor imaginario (menos i por h sobre 2 pi) en la teoría gauge de Weyl de 1918 (tendría que revisar si ya en 1922 conocía personalmente a Weyl. En el desarrollo de 1925/1926, Weyl ayudó personalmente a Schrödinger, reuniéndose todos los martes al finalziar la tarde para conversar sobre el avance de su desarrollo; Weyl fue amante de la esposa de Schrödinger, en un asunto más de la curiosa vida sentimental de Erwin, que tenía digamos un "matrimonio abierto"). Ver Notas sobre Teorías Gauge (5).

Escribe Yang:

In his great papers of 1926 which created wave mechanics Schrödinger did not refer to this 1922 paper. But Raman and Forman (1969) in their historical research argued that this 1922 paper had in fact played an important role in 'Why was it Schrödinger who developed de Broglie's ideas?' Their thesis was later confirmed by Hanle (1977, 1979; see also Wessels, 1977), who found the following passage in a letter dated November 3, 1925 from Schrödinger to Einstein:

The de Broglie interpretation of the quantum rules seems to me to be related in some ways to my note in the Zs.f.Phys.12, 13, 1922, where a remarkable property of Weyl 'gauge factor' ... along each quasi-period is shown. The mathematical situation is, as far I can see, the same, only from me much more formal, less elegant and not really shown generally. Naturally de Broglie's consideration in the framework of his large theory is altogether of far greater value than my single statement, which I did not know what to make of at first.

Thirteen days later, on November 16, 1925, Schrödinger wrote to Lande (Raman and Forman, 1969):

Recently I have been deeply involved with Louis de Broglie's ingenious thesis. It's extraordinary stimulating but nonetheless some of it is very hard to swallow. I have vainly attempted to make myself a picture of the phase wave of an electron in an elliptical orbit. The 'rays' are almost certaintly neighboring Kepler ellipses of equal energy. That, however, gives horrible 'caustics' or the like as the wave front. At the same time, the length of the wave ought to be equal to [that of the orbit traced out by the electron] one Zeeman or Stark cycle!

Schrödinger was by then evidently well on his way to the first great paper on wave mechanics which he submitted on January 27, 1926.

No tengo el artículo de Raman y Forman. Pero hay que leer el "A few reasons why Louis de Broglie discovered matter waves and yet did not discover Schrödinger"s equation" de Olivier Darrigol, incluido en el libro "Erwin Schrödinger - 50 Years After".

Vayamos terminando. Lo importante a entender, es que Yang apunta a que la aparición de una fase compleja nos llevó a una teoría gauge, donde el electromagnetismo puede ser introducido en la mecánica cuántica con un operador sobre psi, donde aparece i. Esto nos llevaría más allá del tema de esta serie, pero es bueno tenerlo en cuanta. Todo llevó al artículo de Weyl de 1929 donde se discute el electromagnetismo como una teoría gauge, y donde Weyl hace uso de la fase compleja QUE YA Schrödinger había sugerido en 1922. Es interesante repasar en otro momento la última parte del artículo de Yang, donde muestra la posible influencia histórica de distintos "papers", como el de Bose sobre Einstein, y algunos de London y Fock. Seguramente será alimento para mi serie de notas sobre teorías gauge.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Anterior Post

Sigo leyendo "el Penrose", sección 20.1, cuarta página. Sobre el lagrangiano L:

La interpretación física normal del valor real de la función L sería la diferencia L = K - V entre la energía cinética K del sistema y la energía potencial debida a las fuerzas externas, expresadas en dichas coordenadas .. Las ecuaciones de movimiento del sistema -que codifican todo su comportamiento newtoniano- vienen dadas por lo que se denominan las ecuaciones de Euler-Lagrange, que son sorprendentes por su extraordinario alcance y esencial simplicidad:

Recordemos que cada [derivada temporal de xi] debe tratarse como una variable inadependiente, de modo que la expresión [derivar parcialmente L por la derivada temporal de xr] tiene sentido!

Sí, ese un punto notable: todo funciona si tomamos a esas derivadas temporales como variables independientes. Todos los detalles matemáticos, su relación con el cálculo de variaciones, y también la obtención de estas ecuaciones siguiendo otro camino, a partir de ideas de D'Alembert, quedará en mi serie de posts Lagrangianos y Hamiltonianos.

Estas ecuaciones expresan un hecho notable, a veces conocido como principio de Hamilton o principio de acción estacionaria. Su significado se hace quizá más claro si pensamos en términos del movimiento del punto Q, en C, donde recordamos que C representa el espacio de configuraciones espaciales posibles de todo el sistema (i.e., todas las posiciones de todas sus partes). El punto Q, cuya posición en cualquier instante está etiquetada por las xi, se mueve a lo largo de cierta curva en C a una cierta velocidad que, junto con la dirección tangente a la curva, está determinada por los valores de las [derivadas temporas xr, tomadas como variables independientes]. Las ecuaciones de Euler-Lagrange nos dicen básicamente que el movimiento de Q en C es tal que minimiza la acción, siendo esta "acción", la integral de L a lo largo de la curva, tomada entre dos puntos extremos fijos, a, b, en el espacio de configuración C...

Tengo entendido que Lagrange llegó a esas ecuaciones partiendo de otras ideas, de D'Alembert. Euler al parecer las conocía como Hamilton, como propiedades obtenidas del cálculo de variaciones de esa integral de L. Pero no he encontrado confirmación. Por ejemplo, no sé entonces por qué se llama principio de Hamilton y no de Euler. El que se trate de encontrar un extremal de una integral de camino es lo que le da el sabor geométrico especial a todo este formulismo, permitiendo el cambio de coordenadas, llegando a ecuaciones de movimiento equivalentes.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez