Matemáticas

Gran parte de la humanidad participa de sociedades donde la ciencia y la tecnología están presentes. Ambas se han desarrollado espectacularmente en los últimos siglos, y se admite que el papel de las matemáticas fue fundamental en su desarrollo. Pero así como los logros científicos y los avances tecnológicos aparecen frecuentemente en los medios, desde libros de divulgación, columnas en periódicos, documentales de televisión, no pasa lo mismo con las matemáticas. Reconozco que en las últimas tres décadas ha habido un surgir de las matemáticas en eventos populares. Pero es como que siempre está rezagada en difusión y entendimiento.

Por ejemplo, si preguntamos a una persona cualquiera, sobre ¿qué es la matemática? no obtendremos una gran respuesta. Mucha gente asocia matemáticas con habilidad con los números. Y si uno no llega a cursar más de dos años de alguna carrera universitaria, lo más que verá de matemáticas serán algunos métodos para resolver ecuaciones, y manejar curvas. Pero gran parte del acerbo matemático humano es como que está oculto, no es algo que se comparta mucho.

Tengo que admitir que algo ha ido cambiando. Veo que un punto de inflexión fue la demostración del llamado último teorema de Fermat, por Andrew Wiles y compañía, en la primera mitad de los noventa del siglo pasado. Otro notable evento, fue la película Una mente brillante (2001): que recuerde, debe ser el primer film dedicado a la vida de un matemático. Un ejemplo más reciente es la película sobre Ramanujan. Algo menos claro para el público en general, es la vida de Turing. Pero sirvan estos ejemplos para mostrar que hay un cambio en la actitud general sobre las matemáticas.

También quiero destacar que en estos tiempos hay MAS libros de divulgación de matemáticas que hace medio siglo. Pero es notable el contraste todavía entre lo que es la matemática y lo que mucha gente se imagina: facilidad para los cálculos y problemas numéricos. Andre Weil alguna vez escribió: "las matemáticas tienen esta particularidad: no son entendidas por los no-matemáticos". En contraste, mucha gente conoce del estado actual de la biología, de la química, de la astronomía, de la física. Vayamos a cualquier librería o a un canal de divulgación de cable, y encontraremos mucho más sobre galaxias, agujeros negros, bosón de Higgs, evolución y genética, que sobre geometría algebraica.

En parte, debe ser por la dificultad de enseñar o mostrar algunos temas. Escribe mi principal fuente, Dieudonné:

… tomemos la más fructífera teoría de las matemáticas modernas, la conocida como "sheaf homology". Comenzando en 1946, es más o menos contemporánea con la "doble hélice" de la biología molecular, y ha avanzado en una magnitud comparable. Sin embargo, soy incapaz de explicar en que consiste esta teoría a alguien que no hubiera seguido al menos dos años de un curso de matemáticas universitario. Aún a un estudiante habilitado para este nivel de explicación le tomaría varias horas; mientras que explicar el modo en que la teoría es aplicada podría tomar un buen tiempo más. Esto es porque no podemos hacer uso de diagramas explicativos; antes de comenzar a comprender esa teoría, debemos absorber docenas de nociones igualmente abstractas: topologías, anillos, módulos, homomorfismos, etc.. ninguno de los cuales puede ser reproducido de una manera "visual".

Escribe esto en 1992, y desde sus preferencias matemáticas. Igual comentaría que ha habido también avance en la explicación visual de conceptos. Basta leer "el Penrose" para ver cuánto hoy de esos conceptos abstractos (como recubrimientos fibrados y conceptos topológicos) pueden ser explicados con diagramas. Otro ejemplo que tengos es el Munkres de Topología. Igual hay que reconocer que muchos conceptos abstractos son difíciles de explicar.

Principal fuente: "Mathematics, the music of reason", segunda edición 1998, Jean Dieudonné. Lo seguiré comentando en próximos posts.

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (95)

Publicado el 20 de Mayo, 2018, 12:50

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On the power of unique 2-prover 1-round games
https://dl.acm.org/citation.cfm?id=510017

First Big Steps Toward Proving the Unique Games Conjecture
https://www.quantamagazine.org/computer-scientists-close-in-on-unique-games-conjecture-proof-20180424/

Decades-Old Graph Problem Yields to Amateur Mathematician
https://www.quantamagazine.org/decades-old-graph-problem-yields-to-amateur-mathematician-20180417/

A Revealer of Secrets in the Data of Life and the Universe
https://www.quantamagazine.org/donald-richards-seeks-patterns-in-the-data-of-life-and-the-universe-20180411/

Why Winning in Rock-Paper-Scissors (and in Life) Isn"t Everything
https://www.quantamagazine.org/the-game-theory-math-behind-rock-paper-scissors-20180402/

Fourier Transform
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

History of the Function Concept
https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_function_concept

Origin of the Lagrangian constraints and their relation with the Hamiltonian formulation
https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.527955

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (94)

Publicado el 11 de Mayo, 2018, 12:25

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The Infinite Primes and Museum Guard Proofs, Explained
https://www.quantamagazine.org/the-infinite-primes-and-museum-guard-proofs-explained-20180326/

Scant Evidence of Power Laws Found in Real-World Networks
https://www.quantamagazine.org/scant-evidence-of-power-laws-found-in-real-world-networks-20180215/

Props in Network Theory
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/04/27/props-in-network-theory/

Shor's Algorithm
https://en.wikipedia.org/wiki/Shor%27s_algorithm

Category Theory Lecture Notes
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.98.9012&rep=rep1&type=pdf
Michael Barr, Charles Wells

Algebraic Topology
http://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/diecktop.pdf

Mathematicians Explore Mirror Link Between Two Geometric Worlds
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-explore-mirror-link-between-two-geometric-worlds-20180409/

Three Decades Later, Mystery Numbers Explained
https://www.quantamagazine.org/three-decades-later-mystery-numbers-explained-20180503/

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Estudiando Teoría de Categorías (2)

Publicado el 30 de Abril, 2018, 11:12

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Como comentaba en el anterior post, teoría de categorías aparece en varios temas de las matemáticas modernas. Inspirada por la topología y los grupos (ver Eilenberg y McLane, el encuentro) se ha ido afirmando como una rama de las matemáticas más fundamentales, aunque hay quienes la critican por su generalidad.

En estos días me encuentro con:

Category Theory, Lectures Notes for ESSLLI

de Michael Barr y Charles Wells. Es un resumen de su libro Category Theory for Computing Science. Leo ahí:

Categories originally arose in mathematics out of the need of a formalism to describe the passage from one type of mathematical structure to another. A category in this way represents a kind of mathematics, and may be described as category as mathematical workspace.

Ese es un gran punto: pasa de una estructura matemática a otra. Una categoría muestra esos pasajes, los pone de manifiesto, y deja entrever la unidad subyacente en el tipo de estructura estudiado (sean conjuntos, grupos, anillos, módulos, espacios topológicos, etc...)

Luego:

A category is also a mathematical structure. As such, it is a common generalization of both ordered sets and monoids (the latter are a simple type of algebraic structure that include transition systems as examples), and questions motivated by those topics often have interesting answers for categories. This is category as mathematical structure.

Acá aparece más potencia: una categoría, con sus functores, puede ser un objeto de una categoría más grande. Al fin, una categoría es una estructura matemática más, que puede tener pasajes (functores) a otras categorías.

Y algo que no tuve tanto en cuenta cuando comencé hace años a conocer lo que es una categoría, pero que Barr y Wells explican en este resumen y con más detalle en su libro:

Finally, a category can be seen as a structure that formalizes a mathematician’s description of a type of structure. This is the role of categoryas theory. Formal descriptions in mathematical logic are traditionally given as formal languages with rules for forming terms, axioms and equations. Algebraists long ago invented a formalism based on tuples, the method of signatures and equations, to describe algebraic structures. Category theory provides another approach: the category is a theory and functors with that category as domain are models of the theory.

No es fácil explicarlo sin ejemplos y desarrollo concreto, pero al fin una categoría puede servir para describir un tipo, sus operaciones y transformaciones. Un ejemplo que Barr y Wells exponen es describir a los números naturales con un grafo, que puede ser usado como categoría, similar a los axiomas de Peano.

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (93)

Publicado el 25 de Marzo, 2018, 16:43

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What is your recommended book on Game Theory
https://www.quora.com/What-is-your-recommended-book-on-Game-Theory-and-why

Fermat's Two Squares Theorem
https://proofwiki.org/wiki/Fermat%27s_Two_Squares_Theorem

Visualizing Divergence and Curl
http://www2.sjs.org/raulston/mvc.10/topic.6.lab.1.htm

In Search of God"s Perfect Proofs
https://www.quantamagazine.org/gunter-ziegler-and-martin-aigner-seek-gods-perfect-math-proofs-20180319/

Robert Langlands, Mathematical Visionary, Wins the Abel Prize
https://www.quantamagazine.org/robert-langlands-mathematical-visionary-wins-the-abel-prize-20180320/

How Einstein Lost His Bearings, and With Them, General Relativity
https://www.quantamagazine.org/how-einstein-lost-his-bearings-and-with-them-general-relativity-20180314/

To Test Einstein"s Equations, Poke a Black Hole
https://www.quantamagazine.org/to-test-einsteins-equations-poke-a-black-hole-20180308/

How Math (and Vaccines) Keep You Safe From the Flu
https://www.quantamagazine.org/flu-vaccines-and-the-math-of-herd-immunity-20180205/

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (92)

Publicado el 23 de Febrero, 2018, 15:50

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Linguistics Using Category Theory
https://golem.ph.utexas.edu/category/2018/02/linguistics_using_category_the.html

Algebra Seminar: Matthew Titsworth,"What does the word NATURAL mean in mathematics?""
http://math.unt.edu/events/algebra-seminar-matthew-titsworthwhat-does-word-natural-mean-mathematics

Snake Lemma
https://en.wikipedia.org/wiki/Snake_lemma

Abelian Category
https://en.wikipedia.org/wiki/Abelian_category

Student research teams explore the unknown
https://www.eou.edu/news-press/the-edge-of-mathematics/

NIST"s Digital Library of Mathematical Functions
http://physicstoday.scitation.org/doi/10.1063/PT.3.3846

In Praise of Simple Problems
https://www.quantamagazine.org/richard-schwartz-in-praise-of-simple-problems-20180109/

What Makes the Hardest Equations in Physics So Difficult?
https://www.quantamagazine.org/what-makes-the-hardest-equations-in-physics-so-difficult-20180116/

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Eilenberg y McLane, el encuentro

Publicado el 18 de Febrero, 2018, 14:00

En 1945 se publica el "paper" seminal de toda la teoría de categorías, el "General theory of natural equivalences", de Eilenberg y McLane. Ambos autores habían comenzado a colaborar apenas unos años antes. Leo en "Tool and Object, A History and Philosophy of Category Theory" de Ralf Krömer, en el capítulo 2:

Around the beginning of the 1940s, Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane were working in (at first glance) very different domains: Eilenberg was interested in questions of algebraic topology, Mac Lane in algebraic number theory. The impulse for their collaboration was the observation of unexpected overlappings of both domains. (And it is a "slogan" of later CT that quite different domains may be related in an unexpected manner.)

Eilenberg estaba investigando solenoides, que son espacios topológicos con algunas características especiales. McLane se dedicaba entonces al estudio de la extensión de grupos. En el libro de arriba, se cita a Eilenberg, 1993, "Karol Borsuk—personal reminiscences.” Topol. Methods Nonlinear
Anal. 1:

When Saunders Mac Lane lectured in 1940 at the University of Michigan on group extensions one of the groups appearing on the blackboard was exactly the group calculated by Steenrod [H1(S³ Σ, Z)]. I recognized it and spoke about it to Mac Lane. The result was the joint paper...

Ese "paper" es de 1942, "Group extensions and homology", al que le seguiría en ese mismo año el "Natural isomorphisms in group theory". Pero la gran relación que apareció fue entre homología en topología y las extensiones de grupo.

Por su parte, McLane escribe en 1989, “The development of mathematical ideas by collision: the case of categories and topos theory.” En Categorical topology and its relation to analysis, algebra and combinatorics

[Mac Lane] had calculated a particular case [of Ext(G,A)] which seemed of interest: That in which G is the abelian group generated by the list of elements an, where a_n+1 = pa_n for a prime p. After a lecture by Mac Lane on this calculation, Eilenberg pointed out that the calculation closely esembled that for the regular cycles of the p-adic solenoid [ . . . ]

Ver también:

https://plato.stanford.edu/entries/category-theory/

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Estudiando Teoría de Categorías (1)

Publicado el 17 de Febrero, 2018, 10:11

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Un tema que siempre vuelve a aparecer ni bien estudio algo relacionado con álgebra, como topología algebraica o geometría algebraica, es la teoría de categorías. Nacida a mediados del siglo XX, para muchos matemáticos es un gran avance, algo que se refleja en el avance de las matemáticas en la segunda mitad de ese siglo: el trabajo de Grothendieck y sus colegas llevó nuevas ideas a la álgebra conmutativa, basado principalmente en ideas que sin teoría de categorías hubiera sido más difícil de expresar. Podríamos decir que la prueba de Wiles del Ultimo Teorema de Fermat no hubiera sido posible sin la aparición del lenguaje de categorías, que fue necesario para conseguir demostrar conjeturas que con métodos clásicos no habían podido probarse.

Últimamente, el tema volvió a mis lecturas especialmente en el estudio de la geometría algebraica (ver Estudiando Geometría Algebraica). El estudio de las categorías puede ser algo pesado, y sin tener en claro las motivaciones para algunas definiciones y construcciones, uno se puede perder en teoremas y deducciones, interesantes, pero que tiene algo de vaporoso, de complicado sin tener razón de ser para haber sido ideadas.

En esta nueva serie, quería compartir algunas lecturas, antes de seguir con mi serie Teoría de Categorías. Un descubrimiento de este año es el "Basic Category Theory" de Leinster, ver:

https://arxiv.org/abs/1612.09375

Leo:

Category theory takes a bird"s eye view of mathematics. From high in the sky, details become invisible, but we can spot patterns that were impossible to detect from ground level. How is the lowest common multiple of two numbers like the direct sum of two vector spaces? What do discrete topological spaces, free groups, and fields of fractions have in common? We will discover answers to these and many similar questions, seeing patterns in mathematics that you may never have seen before.

Sí, es una vista a vuelo de pájaro. Lo que las categorías han traido es una extensión de la abstracción en matemáticas, tendencia que comenzó en el siglo XIX y luego floreció a principios del siglo XX, por ejemplo, con los trabajos de Emmy Noether. Esa abstracción no siempre es bien recibida o al menos, no siempre se percibe que se gana con ella: a veces, los temas a unir son tan separados que el especialista en uno de ellos puede no ver la utilidad de emplear un nivel más alto de abstracción.

Pero acá viene un punto importante, que es la razón de mi preferencia por este libro y autor:

The most important concept in this book is that of universal property. The further you go in mathematics, especially pure mathematics, the more universal properties you will meet. We will spend most of our time studying different manifestations of this concept.

Este énfasis en las propiedades universales no siempre es evidente en otros libros. Pero es el hilo conductor para comenzar a enteder de qué va la teoría de categorías, para empezar a verla como algo más que abstracción por la abstracción pura.

En próximo post comentaré los tres caminos de Leinster para estudiar las propiedades universales. Y luego, en otros post, comentare brevemente otras fuentes conocidas, como el gran libro de Eilenberg y McLane.

Nos leemos!

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (91)

Publicado el 13 de Febrero, 2018, 13:16

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Irreducible Elements in an Unique Factorization Domain are Prime
https://math.stackexchange.com/questions/257955/irreducibles-are-prime-in-a-ufd

A principal ideal ring that is not a euclidean ring
http://www.math.buffalo.edu/~dhemmer/619F11/WilsonPaper.pdf

Ring of integers is a Principal Ideal Domain but not a Euclidean domain
https://math.stackexchange.com/questions/857971/ring-of-integers-is-a-pid-but-not-a-euclidean-domain

An example of a principal ideal domain which is not a Euclidean domain
http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/MTH5100/PIDnotED.pdf

A Short Introduction to Schemes
http://math.stanford.edu/~brianrl/notes/schemes.pdf

Foundations of Algebraic Geometry
http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGjun1113public.pdf

David Mumford
https://en.wikipedia.org/wiki/David_Mumford

Math & Beauty & Brain Areas
http://www.dam.brown.edu/people/mumford/blog/2015/MathBeautyBrain.html

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Resoluciones del nuevo mes: Febrero 2018

Publicado el 10 de Febrero, 2018, 11:39

Ya comenzó el segundo mes del año, en una calurosa Buenos Aires. Y como es costumbre, tiempo de escribir mis resoluciones públicas mensuales (no profesionales). Primero, siempre el repaso de las del mes pasado:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Números Algebraicos [pendiente]
- Escribir sobre Geometría Algebraica [parcial] ver abajo
- Escribir sobre Curvas Elípticas [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Tenía posts "in pectore" sobre historia de la ciencia y de las matemáticas, pero no llegué a tiempo a escribirlos. Y si bien mi intención era escribir sobre geometría algebraica, en mi serie de posts, terminé extendiendo otra serie relacionada:

Estudiando Geometría Algebraica (2)
Estudiando Geometría Algebraica (3)
Estudiando Geometría Algebraica (4)
Estudiando Geometría Algebraica (5)

Para este mes, sigo insistiendo con:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Números Algebraicos
- Escribir sobre Geometría Algebraica
- Escribir sobre Curvas Elípticas
- Estudiar blues en guitarra

Nos leemos!

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (90)

Publicado el 5 de Febrero, 2018, 13:56

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Blockchain 101 - Elliptic Curve Cryptography
https://eng.paxos.com/blockchain-101-elliptic-curve-cryptography

Zariski Topology
http://mathworld.wolfram.com/ZariskiTopology.html

Coordinate Ring
http://mathworld.wolfram.com/CoordinateRing.html

Krull Dimension
http://mathworld.wolfram.com/KrullDimension.html

Irreducible Elements
https://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_element

Any Prime is Irreducible
https://math.stackexchange.com/questions/69504/any-prime-is-irreducible

Prime implies Irreducible
https://math.stackexchange.com/questions/1149078/prime-implies-irreducible

Irreducible Elements in a Principal Ideal Domain are Prime
https://math.stackexchange.com/questions/770731/irreducible-elements-in-a-pid-are-prime

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Estudiando Geometría Algebraica (5)

Publicado el 4 de Febrero, 2018, 13:30

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Uno de los libros que mencioné en el post anterior, es el:

Undergraduate Commutative Algebra, Miles Reid
http://xavirivas.com/cloud/Commutative%20Algebra/Reid%20M.%20Undergraduate%20commutative%20algebra%20(CUP,%201995)(L)(T)(82s).PDF

Leo ahí:

These are notes from a commutative algebra course taught at the University of Warwick several times since 1978. In addition to standard material, the book contrasts the methods and ideology of abstract algebra as practiced in the 20th century with its concrete applications in algebraic eometry and algebraic number theory.

Para Reid, el libro tiene que ir más allá del tratamiento del álgebra abstracta, desarrollada principalmente en el siglo pasado. Tiene que brindar un puente hacia la geometría algebraica y hacia la teoría de números algebraicos. Y por lo que examiné, el libro lo logra. Algo se va asomando en su capítulo 0, donde leo:

The purpose of this course is to build one of the bridges between algebra and geometry. Not the Erlangen program (linking geometries via transformation groups with abstract group theory) but a quite different bridge linking rings A and geometric objects X; the basic idea is that it is often possible to view a ring A as a certain ring of functions on a space X, to recover X as the set of maximal or prime ideals of A, and to derive pleasure and profit from the two-way traffic between the different worlds on each side.

Eso es clave: establecer relaciones entre álgebra y geometría. ¿Qué encontramos en geometría general? Al menos puntos (algo que no menciona Reid arriba). Los espacios X en general se pueden considerar espacios de puntos. También encontramos puntos en espacios de topología. Eso va a servir como primer puente con anillos. A cada punto de un espacio X le vamos a hacer corresponder algo en un anillo A: le vamos a asociar un ideal (primo o maximal, no cualquiera). También puede que aparezca asociado a un punto un conjunto de ideales. Son detalles a estudiar.

Pero lo importante es que el puente se comienza a vislumbrar: puntos por un lado, ideales por el otro. La historia de las matemáticas encontró que esa relación es fructífera, más alla de las primeras ideas de geometría algebraica, que comenzó prácticamente cuando Descartes inventó las coordenadas. Es notable hasta donde ha llegado el álgebra conmutativa y la geometría algebraica siguiendo este camino. Leer algo más detallado el desarrollo y motivación de esta relación en:

Why schemes?
http://math.mit.edu/~mckernan/Teaching/07-08/Spring/18.726/l_1.pdf

Como en otras historias de matemáticas, se encontró que ciertas correspondencias revelan relaciones inesperadas, no evidentes. Y que al haber una correspondencia, por ejemplo, entre conceptos de álgebra y de geometría/topología, cuando un problema algebraico parece difícil, se puede intentar abordarlo desde el punto de vista geométrico, y lo mismo en reverso.

Parte de esta relación entre anillos (de polinomios en este caso) y puntos de X, es lo que estoy desarrollando en:

Geometría Algebraica
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2017/05/15/geometria-Algebraica-2.html

Notablemente, todo este camino permitió llegar a demostrar el Ultimo Teorema de Fermat.

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Estudiando Geometría Algebraica (4)

Publicado el 3 de Febrero, 2018, 12:26

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Uno de los libros que quiero comentar en esta serie, es el Hartshorne, Algebraic Geometry. Desde su publicación en 1977, se transformó en un "clásico", por su detalllado desarrollo, con figuras, discusión, ejercicios... Eso que es común en muchas ramas de las matemáticas (tener un libro para los estudiantes que quieran comenzar con un tema nuevo) hasta ese momento no había sido así en la geometría algebraica moderna. Luego de los avances de Grothendieck y escuela, no había una exposición accesible al tema para matemáticos en general. En estos días encuentro la discusión de:

What are the required backgrounds of Robin Hartshorne's Algebraic Geometry book?https://math.stackexchange.com/questions/202930/what-are-the-required-backgrounds-of-robin-hartshornes-algebraic-geometry-book

Es interesante leer ahí:

With just a typical undergrad algebra course as background, I think Hartshorne would be out of reach. David Eisenbud's "Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry" might make a better starting point (this text was written sort of as background for Hartshorne -- notice the pun in the title)

O sea, hay que tener conocimientos de álgebra conmutativa, que abarca anillos conmutativos, ideales, cualidades de anillos noetherianos, polinomios, etc.. Un libro que me gusta para ese tema, es el Curvas Algebraicas de Fulton (hay edición en español, editorial Reverté), Lo puede descargar de

Algebraic Curves, Fulton
http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf

Otro libro para estudiar esos temas, antes de llegar a la geometría algebraica de lleno, es el Introduction to Algebraic Geometry, de Atiyah, McDonalds (de nuevo, hay edición en español de editorial Reverté). Tengo que visitar también, otros mencionados en ese enlace de arriba:

Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space
https://www.amazon.com/dp/3540548122/?tag=stackoverflow17-20

y las notables notas de Milne

Algebraic Geometry, J.S.Milne
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ag.html

Y el de Reid

Undergraduate Algebraic Geometry, Miles Reid
https://homepages.warwick.ac.uk/staff/Miles.Reid/MA4A5/UAG.pdf

que también tiene publicado un libro de álgebra conmutativa, que vimos se recomienda dominar antes de llegar a la geometría algebraica

Undergraduate Commutative Algebra, Miles Reid
http://xavirivas.com/cloud/Commutative%20Algebra/Reid%20M.%20Undergraduate%20commutative%20algebra%20(CUP,%201995)(L)(T)(82s).PDF

Tengo más para comentar de estos libros, y de otras respuestas a cómo comenzar con la geometría algebraica y el álgebra conmutativa en general.

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (89)

Publicado el 2 de Febrero, 2018, 13:42

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Exotic Spheres
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/exotic.htm

On manifold homeomorphic to the 7-sphere
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/exotic.pdf

Spectrum of a ring
https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_of_a_ring

What are the required backgrounds of Robin Hartshorne's Algebraic Geometry book?
https://math.stackexchange.com/questions/202930/what-are-the-required-backgrounds-of-robin-hartshornes-algebraic-geometry-book

Path to Basics in Algebraic Geometry from HS Algebra and Calculus?
https://math.stackexchange.com/questions/285201/path-to-basics-in-algebraic-geometry-from-hs-algebra-and-calculus/285355#285355

(undergraduate) Algebraic Geometry Textbook Recommendations
https://math.stackexchange.com/questions/1748/undergraduate-algebraic-geometry-textbook-recommendations/24443#24443

Algebraic Curves, Fulton
http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf

Math 624/5, Algebraic Geometry, 2008/2009
http://www.math.upenn.edu/~chai/624_08/math624_08.html

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Estudiando Geometría Algebraica (3)

Publicado el 28 de Enero, 2018, 11:38

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Sigo leyendo a David Mumford. Encuentro en su Algebraic Geometry I, una descripción de los temas que emplea en el desarrollo del libro:

Algebraic geometry is not a "primary" mathematical subject, i.e., one which one builds directly from a small and elegant set of axioms or definitions. This makes it very hard to write an introductory book accessible to the 1st year graduate student. In general, this book is aimed at 2nd year students or anyone with at least some basic familiarity with topology, differential and analytic geometry, and commutative algebra.

Enumera algunos resultados que va a usar en el libro. Un resumen:

Topología

- La topología de los conjuntos de puntos, y el concepto de espacio recubridor
- La clasificación de las superficies compactas y orientables
- Los grupos de homotopía

Geometría Diferencial

- Se necesitan conocimientos cálculo avanzado de las formas diferenciales, y el teorema de Stokes
- El teorema de DeRham
- El residuo en un polo

Geometría Analítica

- Variedades complejas
- El teorema de función implícita para las funciones analíticas
- El teorema de Preparación de Weiestrass
- Algunas consecuencias de las ecuaciones de Cauchy-Riemman

Algebra Conmutativa

- La teoría de campos
- La teoría de anillos, módulos, ideales, especialmente ligados a polinomios
- La descomposición de ideales en anillos noetherianos
- Localización de un anillo
- El teorema de Krull

No importa entender todos estos temas ahora, pero es bueno ver cómo la geometría algebraica de los sesenta del siglo pasado abarca todos estos temas. La topología influye para ocuparse de los "puntos cercanos" en muchos desarrollos. Por otro lado, el concepto de variedad (un concepto muy fructífero) nos trae el cálculo y la geometría analítica (a través de las "coordenadas"), unidas a la topología que una variedad expone. Y las estructuras conmutativas florecen en el medio de todo esto. Gran parte del brillo de la geometría algebraica se debe a esta unión de distintos temas. Cuando un resultado es difícil de probar desde el punto de vista analítico, se puede intentar desde el algebraico y volver. Pero no siempre fue asi: las correspondencias entre variedad algebraica e ideales no es uno a uno, y eso complicó la traducción de los resultados de un ámbito en otro, hasta la llegada de nuevas ideas, en especial desde Grothendieck, donde extendiendo el alcance de esas correspondencias se pudieron establecer estructuras con mejor mapeo uno a uno (ver los enlaces que mencioné en el anterior post),

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Estudiando Geometría Algebraica (2)

Publicado el 21 de Enero, 2018, 14:24

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Hace tiempo que no escribo del tema, es tiempo de retomar esta serie. Hay mucho para leer, explorar y estudiar sobre el tema. Mas que revisar cada libro, voy a comentar salteado distintas partes de libros. En estos días estuve leyendo a David Mumford (por ejemplo, su The Red Book of Varieties and Schemes). El desarrollo de la geometría algebraica ha sido notable durante el siglo XX, y justo en estos días encuentro una cita de Mumford, que me resulta importante para entender todo lo que fue pasando en el siglo pasado. Leo en su Algebraic geometry I, Complex Projective Varieties-Springer (1976), casi al comienzo:

... In the 20th century, algebraic geometry has gone through at least 3 distinct phases. In the period 1900-1930, largely under the leadership of the 3 Italians, Castelnuovo, Enriques and Severi, the subject grew immensely. In particular, what the late 19th century had done for curves, this period did for surfaces: a deep and systematic theory of surfaces was created. Moreover, the links between the "synthetic" or purely "algebro-geometric" techniques for studying surfaces, and the topological and analytic techniques were thoroughly explored. However the very diversity of tools available and the richness of the intuitively appealing geometric picture that was built up, led this school into short-cutting the fine details of all proofs and ignoring at times the time-consuming analysis of special cases (e.g., possibly degenerate configurations in a construction). This is the traditional difficulty of geometry, from High School Euclidean geometry on up. In the period 1930-1960, under the leadership of Zariski, Weil, and (towards the end) Grothendieck, an immense program was launched to introduce systematically the tools of commutative algebra into algebraic geometry and to find a common language in which to talk, for instance, of projective varieties over characteristic p fields as well as over the complex numbers. In fact, the goal, which really goes back to Kronecker, was to create a "geometry" incorporating at least formally arithmetic as well as projective geometry. Several ways of achieving this were proposed, but after a somewhat chaotic period in which communication was difficult, it seems fair to say that Grothendieck's "schemes" have become generally accepted as providing the most satisfactory foundations. In the present period 1960 on, algebraic geometry is growing rapidly in many directions at once: to a deeper understanding of geometry in dimensions higher than 2, especially their singularities, and the theory of cycles on them; to uncovering the astonishing connections between the topology of varieties and their Diophantine properties (their rational points over" finite fields and number fields); and to the theory of moduli, i.e., the parameters describing continuous families of varieties.

Escribe esto en 1975, pero ya se veía entonces esa división en etapas sobre el desarrollo de la geometría algebraica, en el siglo XX. Escribiendo en esa época, se le escapa cómo contribuyó este tema a la resolución del famoso último teorema de Fermat: hay igual que reconocer que ése es apenas uno de los temas en los que ha colaborado este "revival" desde la segunda etapa de arriba. Muchos de los desarrollos actuales, no hubieran sido posibles si no se hubiera extendido todo con las nuevas ideas, especialmente desde Grothrendieck.

Para entender la motivación y la importancia de la introducción de los schemes, ver

Why Schemes?

También ver

Basic Modern Algebraic Geometry
https://www.irif.fr/~mellies/mpri/mpri-ens/biblio/Audun-Holme-Basic-Modern-Algebraic-Geometry.pdf
Introduction to Grothendieck"s Theory of Schemes

Donde también tenemos una introducción a categorías.

Para completar la cita de arriba, leer

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_geometry#20th_century

Donde encuentro:

An important class of varieties, not easily understood directly from their defining equations, are the abelian varieties, which are the projective varieties whose points form an abelian group. The prototypical examples are the elliptic curves, which have a rich theory. They were instrumental in the proof of Fermat's last theorem and are also used in elliptic curve cryptography.

El desarrollo de las curvas elípticas ha sido notable, y como cita Wikipedia, han encontrado su utilización en la criptografía. Hoy, los famosos Bitcoins, tiene curva elíptica en el fondo de su seguridad. El que los puntos de una curva formen un grupo, es notable y muy interesante. El primer ejemplo lo tenemos en los puntos de una circunferencia. Y cuando los puntos son racionales, su producto por el grupo, es racional (corresponde a la suma de ángulos; en curvas elípticas es menos trivial).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (88)

Publicado el 17 de Enero, 2018, 12:13

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The (Math) Problem With Pentagons
https://www.quantamagazine.org/the-math-problem-with-pentagons-20171211/

Mathematicians Crack the Cursed Curve
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-crack-the-cursed-curve-20171207/

A Physicist"s Physicist Ponders the Nature of Reality
https://www.quantamagazine.org/edward-witten-ponders-the-nature-of-reality-20171128/

A Mathematician Who Dances to the Joys and Sorrows of Discovery
https://www.quantamagazine.org/mathematician-federico-ardila-dances-to-the-joys-and-sorrows-of-discovery-20171120/

Algebraic Variety
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_variety

K-Theory
https://en.wikipedia.org/wiki/K-theory

Alexander Grothendieck
https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck

John Milnor
https://en.wikipedia.org/wiki/John_Milnor

Nos leemos!

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La concentración de Henri Poincaré

Publicado el 8 de Enero, 2018, 11:00

Ya escribí sobre Henri Poincaré en:

Cómo piensa un matemático
Anécdota de Henri Poincaré
Poincaré y la belleza en ciencia
La creación matemática, según Poincaré

Esta semana leo una nueva anécdota, sobre su descubrimiento de las funciones fuchsianas (hoy conocidas como automorfas), donde se ve el grado de concentración que exhibía cuando estaba entusiasmado con un problema. Escribe su compañero de la escuela politécnica León Lecornu, de una Nochevieja que pasaron juntos en Caen:

En esa época él estaba más distraído que nunca. Yo le había invitado a cenar en casa de mis padres el 31 de diciembre de 1879, y todavía puedo verlo pasar la velada andando para arriba y para abajo, no escuchando nada de lo que se le decía o respondiendo apenas con monosílabos, y olvidando qué hora era, tanto que pasada la medianoche decidí recordarle amablemente que estábamos en 1880. En ese momento pareció volver a poner los pies en el suelo, y se despidió de nosotros. Unos días más tarde, nos encontramos en el puerto de Caen, y casualmente me dijo: "Ahora sé cómo integrar todas las ecuaciones diferencias". Las funciones fuchsianas habían nacido, y supe entonces en qué estaba pensado cuando pasaba de 1879 a 1880.

Encuentro este texto citado en una biografía de Poincaré, muy interesante, de Alberto Tomás Pérez Izquierdo, Editorial RBA, que acá en Argentina la está publicando el diario La Nación.

Poincaré narró algunas veces sobre su proceso de pensamiento, ver:

Más sobre la creación matemática, según Poincaré

Nos leemos!

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