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Matemáticas
Publicado el
27 de Julio, 2014, 17:10
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Publicado el
18 de Julio, 2014, 14:46
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Publicado el
6 de Junio, 2014, 14:10
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Hay tantos temas para visitar, y una sola vida. Pero ha llegado el tiempo de comenzar a explorer el tema tensores. Puse como título a esta nueva serie "Vectores y Tensores" para recordar que los tensores son una especie de "vectores con esteroides" en el mundo de las matemáticas. Tanto los vectores simples, como los tensores, aparecen en muchos campos, y en especial, en los temas relacionados con física. Por un lado, los vectores comienzan a tomar forma en el siglo XIX, pero la idea de suma vectorial está flotando desde siglos antes. Ver History of Vectors, donde primero se los relaciona con la aparición de la representación de los complejos en un plano, y luego con los cuaterniones de Hamilton. Pero para mí, el gran creador del campo es Hermann Grassman. Con los vectores, comienzan a aparecer las n-dimensiones en forma explícita, y comienzan a liberarse de cualquier atadura a un cuerpo, como los complejos. Riemann extiende a n-dimensiones las ideas de Gauss sobre curvaturas, y de ahí a los tensores hay poco trecho. El trabajo de matemáticos como Christoffel, Ricci y Levi-Civita hicieron avanzar el campo. Pero ya en el trabajo de Grassman, con su álgebra exterior, aparecen los tensores. Notablemente, Hamilton usó por primera vez el término tensor, pero no en el sentido actual. La primera vez que entró en mi radar esta rica historia, fue a través de las notas de historia de Bourbaki.
Y luego, vino la explosión del tema: con la llegada de la relatividad general de Einstein, los tensores encontraron su lugar principal (no el único) en el mundo de la física matemática. Ver Quick introduction to tensor analysis, History of Tensors. Antes, los vectores ya habían contribuido a mejorar la notación (y por tanto las ideas) en temas como mecánica clásica y electromagnetismo (como curiosidad, Maxwell no escribió inicialmente sus fórmulas en forma vectorial, sino en desarrollo completo por las coordenadas).
Ya comencé el estudio de vectores, desde el tema más restringido de espacios vectoriales. En esta serie tendremos que visitar campos escalares, vectoriales, tensores en general (y no solo tensores cartesianos), discutir lo que llamo "el mayor engaño del álgebra lineal", covarianza y contravarianza. Y quisiera que lleguemos a derivada covariante, que tanto tiene que ver con conexión gauge y las teorías gauge modernas. Estuve tentado de dividir el tema en dos: una serie de notas, comentarios, y otra serie de desarrollo matemático, pero esta vez quisiera que exploremos ambos caminos en la misma serie.
Tengo varias fuentes a consultar, por ejemplo, el Penrose (aunque sigo sin entender su notación tensorial particular). Pero hoy vay una cita del excelente "Mathematical Physics" de Hassani. Leo al comienzo del capítulo 26, dedicado a tensores:
Until around 1970s, tensors were almost completely synonymous with (general) relativity except for a minor use in hydrodynamics. Students of physics did not need to study tensors until they took a course in the general theory of relativity. Then they would read the introductory chapter on tensor algebra and analysis, solve a few problems to condition themselves for index "gymnastics", read through the book, learn some basic facts about relativity, and finally abandon it (unless they became relativists).
Today, with the advent of gauge theories of fundamental particles, the realization that gauge fields are to be thought of as geometrical objects, and the widespread belief that all fundamental interactions (including gravity) are different manifestations of the same superforce, the picture has changed drastically. Two important developments have taken place as a consequence: Tensors have crept into other interactions besides gravity (such as the weak and strong nuclear interactions), and the geometrical (coordinate-independent) aspects of tensors have become more and more significant in the study of all interactions. The coordinate-independent study of tensors is the focus of the fascinating field of differential geometry and Lie groups...
Es fascinante cómo este tema que es una extensión de la tan "pedestre" resolución de ecuaciones lineales, termina estando en tantos lugares. Tanto en cosmología como en el modelo estándar, no se puede avanzar sin conocer de estos temas.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
17 de Mayo, 2014, 14:00
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Stanislav Ulam fue un matemático polaco. Es conocido por haber participado en el Proyecto Manhattan. Junto con Teller diseñó armas termonucleares. Inventó el método de Monte Carlo para calcular lo que no se puede calcular directamente. En mi radar, entró hace unas décadas, por la espiral de Ulam de números primos.
Hoy me encuentro con una cita de su biografía "Adventures of a Mathematician", que traduzco:
Hace unos años, dí una conferencia en el aniversario nro. 25 de la construcción de la computadora de von Neumann en Princeton. De pronto me ví estimando en mi mente cuántos teoremas eran publicados anualmente en las revistas de matemáticas [los "journals"]. Hice un rápido cálculo mental y llegué a un número cercano a los cien mil teoremas por año. Lo mencioné en la charla, y la audiencia se impresionó. Al día siguiente, dos jóvenes matemáticos que habían asistido, se me acercaron y me dijeron, impresionas por ese número enorme, que habían hecho una búsqueda más sistemática y detallada en la biblioteca del instituto. Multiplicando el número de "journals" por la cantidad de de números al año, por la cantidad de "papers" por número y por el promedio de teoremas por "paper", estimaban que había cerca de doscientos mil teoremas por año. Si el número de teoremas es mayor que lo que uno puede estudiar ¿cómo podemos estar seguros al juzgar qué es "importante"? Uno no puede tener la supervivencia del más apto si no tiene interacción. Es actualmente imposible mantenerse al tanto de aún los más relevantes y excitantes resultados. ¿Cómo podemos reconciliar esto con la idea de las matemáticas sobreviviendo como una sola ciencia? En matemáticas, uno termina casado con su propio pequeño campo de estudio. Debido a eso, el juzgar el valor de la investigación matemática es cada vez más y más dificultoso, y muchos de nosotros hemos devenido en ser principalmente técnicos. La variedad de objetos trabajados por los jóvenes científicos está creciendo exponencialmente. Quizás no deberíamos llamarla polución del pensamiento; es posiblemente algo similar a la prodigalidad de la naturaleza que produce millones de especies de insectos.
Es decir, el problema, el dilema es:
Con tantas matemáticas de hoy en día, cómo se puede juzgar qué es importante y qué no.
Mi primera respuesta: son los propios matemáticos quienes deciden darle importancia o no a un resultado. Seguramente algún grupo de matemáticos reconocerá los teoremas importantes de una rama. Esos teoremas serán entonces seguidos por más matemáticos. Habrá unos pocos que se tomarán el trabajo de vigilar los avances destacados y cómo pueden influir en otras ramas. Las matemáticas son especiales: sus resultados, en principio, sólo interesan a los propios matemáticos. Sólo con el tiempo, algún resultado puede que tenga influencia en otros ámbitos.
La cita la encuentro en el excelente "The Mathematical Experience" de Philip Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
4 de Marzo, 2014, 14:50
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Vimos en el anterior post que la combinación
av + bw
es un subespacio vectorial, donde v y w son dos vectores dados, y a, b son escalares del cuerpo del espacio vectorial. Consideremos para lo que sigue, que v y w son vectores no nulos.
Pero también vimos que un vector podría ser múltiplo de otro vector y un escalar. ¿Qué pasa si el vector w de arriba es múltiplo de v? Veamos. Será entonces que existe un escalar c, que cumple:
cv = w
para algún escalar c. Si c = 0, entonces vimos en el post anterior que w es el vector nulo. Sea c distinto de 0. Queda
av + bw = (a + bc)v
Y acá pasa algo interesante. Si a, b son cero,
av + bw = 0v + 0w = 0
que es el vector nulo (no confundir con el 0 del cuerpo de escalares). Pero ahora, si c es distinto de escalar cero, y b es distinto de 0 como supusimos, cb es distinto de 0 (un cuerpo no tiene divisores de 0), así que basta poner a = -cb, distinto de 0, para tener:
-cbv + bw = (-cb + cb)v = 0v = 0
obtenemos el vector nulo de nuevo. HAY MAS DE UNA FORMA de conseguir el vector nulo combinando los vectores v y w. Siempre HAY UNA forma, considerando a, b son ceros. Pero ahora surge que "hay más de un camino" para llegar al vector nulo, partiendo de los vectores iniciales. Este pasó porque comenzamos suponiendo que un vector era múltiplo del otro.
Sea ahora tres vectores, v, w, t no nulos combinados en una suma:
av + bw + ct
(ahora el coeficiente c es libre, no es el mismo que consideramos antes). Si de alguna forma existen escalares d, e tales que el nuevo vector t se pueda expresar como combinación de los anteriores vectores v y w:
t = dv + ew
No pueden ser d y e ambos ceros, porque supusimos que t es vector no nulo. Podría ser alguno de los dos el escalar cero, pero caeríamos en el caso anterior. Así que exploremos el caso: d y e son escalares distintos del cero. Tenemos que se cumple:
av + bw + ct = av + bw + c(dv + ew) = (a + cd)v + (b + ce)w
Supusimos que los escalares c, d, e son distintos de 0. Entonces, cd, ce son distintos de cero. Colocando a = -cd, b = -ce, tenemos
av + bw + ct = 0
el vector nulo de nuevo, como resultado de la combinación de los tres vectores, usando COEFICIENTES ESCALARES DISTINTOS DEL CERO. De nuevo, todo esto pasó al suponer que el nuevo vector t era combinación de los anteriores, vía la multiplicación escalar y vector, y vía la suma de vectores. Se dice que un conjunto de vectores (incluso infinito) es linealmente dependiente si hay una suma finita de múltiplos de esos vectores con no todos los coeficientes 0, cuya suma produzca el vector nulo. Cuando pasa eso, uno de los vectores se puede expresar como combinación de los demás. Pues en el caso de arriba, se puede deducir que si c es distinto de 0, queda:
t = a/c v + b/c w
Es decir, el camino inverso que habíamos tomado.
De la misma forma, un conjunto de vectores se dice linealmente independiente si no pueden "generar" el vector nulo (de nuevo considerando sumas finitas de múltiplos escalares). Tenemos que seguir estudiando el tema de la dependencia e independencia lineal. Por ejemplo, tenemos que poner algún ejemplo "visual", combinando vectores "en el plano" o "en el espacio". Los matemáticos también se guían por intuiciones. Pero también se apartan de ellas cuando es necesario elevar la abstracción.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
3 de Marzo, 2014, 15:38
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Publicado el
27 de Febrero, 2014, 14:36
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Habría tanto para escribir y comentar sobre Poincaré. Y su influencia tanto en la física como en las matemáticas. Por ahora, unos enlaces. Vean por ejemplo, el del Poincaré Project.
http://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9
Jules Henri Poincaré (French: [ʒyl ɑ̃ʁi pwɛ̃kaʁe];[2] 29 April 1854 – 17 July 1912) was a French mathematician, theoretical physicist, engineer, and a philosopher of science. He is often described as a polymath, and in mathematics as The Last Universalist by Eric Temple Bell,[3] since he excelled in all fields of the discipline as it existed during his lifetime.
As a mathematician and physicist, he made many original fundamental contributions topure and applied mathematics, mathematical physics, and celestial mechanics. He was responsible for formulating the Poincaré conjecture, which was one of the most famousunsolved problems in mathematics until it was solved in 2002–2003. In his research on thethree-body problem, Poincaré became the first person to discover a chaotic deterministic system which laid the foundations of modern chaos theory. He is also considered to be one of the founders of the field of topology.
Poincaré made clear the importance of paying attention to the invariance of laws of physics under different transformations, and was the first to present the Lorentz transformations in their modern symmetrical form. Poincaré discovered the remaining relativistic velocity transformations and recorded them in a letter to Dutch physicist Hendrik Lorentz (1853–1928) in 1905. Thus he obtained perfect invariance of all of Maxwell's equations, an important step in the formulation of the theory of special relativity.
The Poincaré group used in physics and mathematics was named after him.
James Tauber : Poincaré Project
http://jtauber.com/poincare_project/
The Poincaré Conjecture
http://www.claymath.org/poincare/
Henri Poincaré | El Tamiz
http://eltamiz.com/2012/01/19/henri-poincare/
Pat'sBlog: On This Day in Math - December 9
http://pballew.blogspot.com.ar/2013/12/on-this-day-in-math-december-9.html
French Polymath Henri Poincaré on How Creativity Works | Brain Pickings
http://www.brainpickings.org/index.php/2013/08/15/henri-poincare-on-how-creativity-works/
Phys. Rev. 140, B977 (1965): Classification of Elementary Particles Based on the Representation Types of the Poincaré Group Including Space, Time, and Charge Reflections
http://prola.aps.org/abstract/PR/v140/i4B/pB977_1
Representations of the Symmetry Group of Spacetime
http://pages.cs.wisc.edu/~guild/symmetrycompsproject.pdf
Gauge fixing - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_fixing
Poincaré conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_conjecture
Division Algebras and Supersymmetry III | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/09/division_algebras_and_supersym_1.html
Spinors, Chirality, and Majorana Mass « An American Physics ...
http://fliptomato.wordpress.com/2008/01/04/spinors-chirality-and-majorana-mass/
Matemático Grigori Perelman explica por qué renunció a US$ 1 millón - FayerWayer
http://www.fayerwayer.com/2011/04/matematico-grigori-perelman-explica-por-que-renuncio-a-us-1-millon/
Grigori Perelman claims he can control Universe - English pravda.ru
http://english.pravda.ru/science/tech/28-04-2011/117727-Grigori_Perelman-0/
Yang–Mills existence and mass gap - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E2%80%93Mills_existence_and_mass_gap
Pictures of Modular Curves (III) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/11/pictures_of_modular_curves_iii.html
Russian mathematician rejects $1 million prize - Yahoo! News
http://news.yahoo.com/s/ap/20100701/ap_on_sc/eu_sci_russia_math_genius
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18 de Febrero, 2014, 8:50
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Uno de los primeros textos donde apareción "variedad" en mis lecturas de este siglo, está en "el Penrose". El tema de variedades suaves aparecen en varios lugares en ese gran libro. Vaya una nota para recordar la introducción al tema:
Nota 2
Leo en la sección 10.2 Suavidad, Derivadas Parciales:
Puesto que al considerar funciones de más de una variable empezamos a aventurarnos en espacios de dimensiones más altas, aquí es necesario hacer algunos comentarios concernientes al "cálculo infinitesiman" en tales espacios....
Justamente, en las variedades suaves se aplica alguna forma de análisis matemático, involucrado integrales, derivades, diferenciales. Esa es una nota que distingue a las variedades suaves: no son "suaves" sólo en un sentido topológico sino que hay una estructura adicional que permite extender el cálculo ("cálculo" como "análisis matemático", no simple destreza de calcular), a las variedades de varias dimensiones (incluso de dimensión infinita). Igual, a Penrose le interesa las variedades n-dimensionales. Y explica un caso de uso en física.
... los espacios - conocidos como variedades - pueden ser de cualquier dimensión n, donde n es un entero positivo. (Una variedad n-dimensional se suele conocer simplemente como una n-variedad.) La teoría de la relatividad general de Einstein utiliza una 4-variedad para describir el espaciotiempo, y muchas teorías modernas utilizan variedades de dimensiones aún más altas. Exploraremos las n-variedades generales ... [pero ahora] por simplicidad consideraremos solo la situación de una 2-variedad (o superficie) real S. Entonces podemos utilizar las coordenadas locales x e y (reales) para etiquetar los diferentes puntos de S (en una región local de S). De hecho, la discusión es muy representativa del caso general n-dimensional.
Al pensar en dos dimensiones, uno podría usar el plano euclídeo. Pero hay otros ejemplos, más interesantes:
Una superficie 2-dimensional podría ser, por ejemplo, un plano ordinario o una esfera ordinaria.... Su estructura [la de la variedad] solo tiene que ser la de una variedad suave. Geométricamente, esto significa... que necesitamos poder decir cuándo una función definida en el espacio (i.e., una función cuyo dominio es el espacio) debe considerarse "suave".
Voy a dejar acá la lectura del texto para esta nota. Por una lado, aparecieron coordenadas. Por otro lado, a cada punto del espacio/variedad a considerar se le puede asignar una función (por ejemplo, con resultado real o complejo; si queremos jugar a las matemáticas, podríamos considerar funciones que van de una variedad a otra, y considerar la variedad "target"/objetivo a la recta real o plano complejo como casos especiales). Les adelanto que hay que considerar:
- La existencia de mapas de coordenadas que pueden no cubrir TODA la variedad (por ejemplo, no hay una forma de adoptar coordenadas en la superficie de una esfera PARA TODOS los puntos, sin caer en puntos singulares, como el "polo norte" y el "polo sur" en el caso de coordenadas longitud/latitud)
- El solapamiento "suave" de mapas de coordenadas
- La existencia de funciones "suaves" y como esa suavidad se extiende al aplicar mapas que se solapan "suavemente"
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
1 de Febrero, 2014, 15:16
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En el anterior post, descubrimos que puede haber, en un espacio topológico, puntos de acumulación de un conjunto cualquiera M, que tengan una cantidad de puntos finita en la intersección de sus abiertos con el conjunto M. Eso no es lo que se espera en general. Los puntos de acumulación que nos aparecen en la historia del cálculo (límites de sucesiones) en general tienen una cantidad infinita de puntos del conjunto al que se "aproximan". ¿Que es lo que nos falta?
Es que hemos considerado espacios topológicos generales. Pongamos una condición adicional; manejemos espacios topológicos que cumplan:
- Dados dos puntos distintos a, b, siempre hay un entorno del punto a que no contiene al punto b.
Gráficamente:
 .
El punto a tiene siempre un entorno (en el que está incluido) que no contiene al punto b. Por supuesto, cada entorno del punto a puede tener o no más puntos. Pero siempre podemos ahora elegir un entorno de a que no contenga al punto b. En definitiva: el punto a no está "pegado" al punto b, se lo puede separar en un entorno.
Con esta simple condición, la situación de los puntos de acumulación comienza a cambiar. Sea un punto de acumulación de M, el punto a. Si TODO entorno del punto a sólo tuviera una cantidad finita de puntos de M, entonces veremos que podemos construir un entorno del punto a QUE NO contenga puntos de M, y entonces el punto a dejaría de ser de acumulación. Veamos.
Sea E(a) un entorno del punto a que tenga una cantidad FINITA de puntos de M. Sea b uno de los puntos de M que está en E(a). Ahora, por la condición enunciada arriba, hay un segundo entorno del punto a, digamos E'(a), QUE NO contiene a B. La intersección de E(a) y E'(a) sigue siendo un entorno de a, digamos E''(a). Este nuevo entorno del punto a, tiene MENOS puntos de M que el entorno del que partimos inicialmente. Siguiendo con este procedimiento, cada vez tenemos un entorno nuevo del punto a, que va teniendo menos puntos de M. Al final, como supusimos desde el principio de todo que la cantidad de puntos del entorno inicial que caían en M era finita, terminamos con un entorno del punto a QUE NO TIENE ningún punto en común con M, distinto de a. Es como que vamos quitando de a uno los puntos en común hasta quedarnos sin ninguno.
Esto es una contradicción con la suposición: el punto a es punto de acumulación de M.
Conclusión: no pueden ser a la vez ciertas:
- punto a es punto de acumulación de M
- existe E(a) con una cantidad FINITA de puntos de M, distintos de a
Corolario:
- Si punto a es de acumulación de M, TODOS sus entornos tienen una CANTIDAD INFINITA de puntos de M distintos del mismo punto a
Es notable que con la simple adición de la condición expresada recuperemos la infinitud de la "adherencia" de los puntos de acumulación. Históricamente, los espacios topológicos fueron tratados al principio con esa condición. Sólo generalizando se vió que era una condición que podía estar o no estar. Veremos en próximos posts la historia de ese desarrollo, y condiciones similares que le podemos adosar a un espacio topológico. Tengo que visitar, por ejemplo, los distintos axiomas de separabilidad.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
27 de Enero, 2014, 7:02
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Tantos temas fascinantes e interminables. Les contagio, digo, comparto ;-) más enlaces:
Eight Wonders of the Mathematical World - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=lxAZ_FLudKc&feature=player_embedded
¿Cuál fue el error que cometió Cristobal Colón? - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/%C2%BFcual-fue-el-error-que-cometio-cristobal-colon/
IMO 2012 en Mar del Plata – Problema nº 2 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/imo-2012-en-mar-del-plata-problema-n%C2%BA-2/
It’s a Boson! The Higgs as the Latest Offspring of Math & Physics | The Crux | Discover Magazine
http://blogs.discovermagazine.com/crux/2012/07/30/the-mathematical-magic-behind-the-mysterious-higgs-boson/
Feit biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Feit.html
Monge biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Monge.html
Limerick primes — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2011/03/08/limerick-primes/
Eikonal equation - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Eikonal_equation
Lie Groups in Nature « DrMathochist
http://drmathochist.wordpress.com/2010/01/11/lie-groups-in-nature/
Lie groups, Lie algebras, and representations « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2007/03/20/lie-groups-lie-algebras-and-representations/
Zolotarev biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Zolotarev.html
Lexis biography
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lexis.html
IFS fractal - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=JlUMRMpLzRo&feature=fvsr
Lecture 6 page 1 at 100 DPI -- 6.885, Folding and Unfolding in Computational Geometry, Prof. Erik Demaine
http://courses.csail.mit.edu/6.885/fall04/erik_notes/100dpi/L6-1.html
Pat'sBlog: On This Day in Math - July 7
http://pballew.blogspot.de/2012/07/on-this-day-in-math-july-7.html
Mathematicians use network theory to model champion Spanish soccer team's style
http://phys.org/news/2012-07-mathematicians-network-theory-champion-spanish.html
Nash equilibrium - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Nash_equilibrium
How Game Theory Solved a Religious Mystery - Mind Your Decisions by Presh Talwalkar
http://mindyourdecisions.com/blog/2008/06/10/how-game-theory-solved-a-religious-mystery/
Al Roth's game theory, experimental economics, and market design page
http://kuznets.fas.harvard.edu/~aroth/alroth.html
Game Theory 101: Game Theory Made Easy
http://gametheory101.com/
Andrey Kolmogorov - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Andrey_Kolmogorov
Mis Enlaces
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Angel "Java" Lopez
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25 de Enero, 2014, 14:41
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17 de Enero, 2014, 14:07
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9 de Enero, 2014, 13:09
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4 de Enero, 2014, 13:06
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Es impresionante los temas que abarcan los "smooth manifolds". En el anterior post citaba:
.. one must progress through topological spaces, smooth atlases, tangent bundles, cotangent bundles, immersed and embedded submanifolds, tensors, Riemannian metrics, differential forms, vector fields, flows, foliations, Lie derivatives, Lie groups, Lie algebras, and more—just to get to the point where one can even think about studying specialized applications of manifeld theory such as gauge theory or symplectic topology.
Nota 1b
Esta nota es una continuación de la anterior. Sigo leyendo en ese prefacio de "Introduction to Smooth Manifolds", de Lee, Springer
This subject is often called "differential geometry." I have deliberately avoided using that term to describe what this book is about, however, because the term applies more properly to the study of smooth manifolds endowed with some extra structure—such as Lie groups, Riemannian manifolds, symplectic manifolds, vector bundles,- foliations—and of their properties that are invariant under structure-preserving maps. Although I do give all of these geometric structures their due (after all, smooth manifold theory is pretty sterile without some geometric applications), I felt that it was more honest not to suggest that the book is primarily about one or all of these geometries. Instead, it is about developing the general tools for working with smooth manifolds, so that the reader can go on to work in whatever field of differential geometry or its cousins he or she feels drawn to.
Este párrafo me sirve para darme cuenta que las variedades suaves, en general, tienen alguna estructura adicional que las hace interesantes. Tengo que distinguir todavía entre variedades de Riemann y las simplécticas. Veo que las propiedades interesantes de esas estructuras adicionales, son INVARIANTES ante los cambios de mapas de coordenadas.
Siempre hay que ver que una variedad (suave o no) se puede ver como un conjunto de puntos, con entornos (recordemos espacios topológicos). Pero lo que le da sabor, es la posibilidad de asignar a cada punto valores en un mapa (o varios) de coordenadas. Ese ida y vuelta entre la representación sin mapa fijo, y el de un mapa cualquiera, es lo que le da interés al estudio de las variedades. Y las variedades suaves (que no he definido en ninguna nota, pero donde la suavidad tiene relación con la transformación suave de mapas, donde "suave" indica alguna clase de diferenciación infinita entre las funciones que transforman las coordenadas en otras) se aplican entonces en muchos ámbitos de la física, donde se pueden definir propiedades y estructuras adicionales de la variedad que se mantengan ante cambios en los mapas de coordenadas. Como pasa en la realidad física: las coordenadas son humanas, las pone el físico, no la realidad.
Nos leemos!
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Publicado el
29 de Diciembre, 2013, 15:01
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Quiero hoy comenzar esta serie de notas, sobre un tema que me persigue: las variedades (los "manifold" en inglés) y en especial, las variedades suaves.
En mis tiempos, no se estudiaba variedades o "manifolds". Se estudiaba geometría diferencial. Pero en este siglo, me encontré con las variedades, las variedades suaves, y otros temas relacionados, en "el Penrose". Esta serie de posts nace de mi necesidad de publicar notas, aisladas, arbitrarias, pero que quiero que perduren, sobre el gran tema de las variedades suaves.
Nota 1
En estos días, leo al comienzo del prefacio de "Introduction to Smooth Manifolds", de Lee, Springer:
Manifolds are everywhere. These generalizations of curves and surfaces to arbitrarily many dimensions provide the mathematical context for understanding "space" in all of its manifestations. Today, the tools of manifold theory are indispensable in most major subfields of pure mathematics, and outside of pure mathematics they are becoming increasingly important to scientists in such diverse fields as genetics, robotics, econometrics, computer graphics, biomedical imaging, and, of course, the undisputed leader among consumers (and inspirers) of mathematics—theoretical physics. No longer a specialized subject that is studied only by differential geometers, manifold theory is now one of the basic skills that all mathematics students should acquire as early as possible.
Over the past few centuries, mathematicians have developed a wondrous collection of conceptual machines designed to enable us to peer ever more deeply into the invisible world of geometry in higher dimensions. Once their operation is mastered, these powerful machines enable us to think geometrically about the 6-dimensional zero set of a polynomial in four complex variables, or the 10-dimensional manifold of 5 x 5 orthogonal matrices, as easily as we think about the familiar 2-dimensional sphere in R3. The price we pay for this power, however, is that the machines are built out of layer upon layer of abstract structure. Starting with the familiar raw materials of Euclidean spaces, linear algebra, and multivariable calculus, one must progress through topological spaces, smooth atlases, tangent bundles, cotangent bundles, immersed and embedded submanifolds, tensors, Riemannian metrics, differential forms, vector fields, flows, foliations, Lie derivatives, Lie groups, Lie algebras, and more—just to get to the point where one can even think about studying specialized applications of manifeld theory such as gauge theory or symplectic topology.
Como dice el texto, hoy las variedades están en todos lados. Fue "el Penrose" el que me puso sobreaviso sobre los "manifolds". Las variedades están relacionadas con los espacios topológicos, imposición de estructura adicional, mapas de coordenadas, diferenciación independiente del mapa de coordenados elegido, etc.
Ver
http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold
In mathematics, a manifold is a topological space that resembles Euclidean space near each point. More precisely, each point of an n-dimensional manifold has a neighbourhoodthat is homeomorphic to the Euclidean space of dimension n. Lines and circles, but notfigure eights, are one-dimensional manifolds. Two-dimensional manifolds are also calledsurfaces. Examples include the plane, the sphere, and the torus, which can all be realized in three dimensions, but also the Klein bottle and real projective plane which cannot.
Ese es el tema. Por una parte, un espacio topológico. Por otra, una estructura adicional, que permite considerar temas como la diferenciación bien definida (independiente de la carta de coordenadas elegida).
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
8 de Diciembre, 2013, 12:42
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Publicado el
2 de Diciembre, 2013, 8:09
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Quiero comenzar a jugar a ser matemático, con algunos elementos. Elijo para esta serie de posts las series infinitas de potencias, que hay algo he visitado en:
Desarrollando una Función en Serie de Potencias
Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial Usando Series de Potencias
Sea una serie infinita de potencias de x:
Vean que no trato de saber si es convergente o no para cada x. Puedo tomar tanto los coeficientes como la variable x de algún cuerpo conmutativo, digamos de los reales o de los complejos. Por ahora, para lo que voy a hacer, no importa.
Defino arbitrariamente la "derivada de y" como:
Es decir, como derivando cada término en x, pero sin preocuparme si esto está bien definido o no. De la misma forma, puedo seguir con la "segunda derivada":
Qué pasa si quiero conocer la serie que cumpla con:
Veamos. Lo primero que hago es hacer coincidir con signos opuestos los coeficientes de ambas series, que correspondan a las mismas potencias de x:
Queda una regla de formación de coeficientes, quedando libres (sin determinar) a0 y a1. Puedo escribir
Es decir, toda y que sea solución de y"" + y = 0 es la combinación lineal de dos series de potencias. Esas dos series de potencias son conocidas. La primera, para x = 1 da 1. La segunda, para x = 0, se obtiene 0. La primera es cos(x) y la segunda es sen(x). Es tema pendiente encontrar la demostración de esa correspondencia. No es un tema trivial: hay que encontrar la expresión de seno (o de coseno) en serie de potencias, apelando a propiedades trigonométricas. Una vez demostrados que seno y coseno se pueden expresar con esas series (al menos para x real), podré extender el resultado a otras series.
Que recuerde, el primero que demostró el desarrollo en serie de seno de x fue Newton.
Otros temas que quedan pendientes: ¿cuándo convergen estas series de potencias? ¿toda función se puede expresar en series de potencias? Mostrar la relación entre los coeficientes del desarrollo en serie y las derivadas de la función en un punto.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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25 de Noviembre, 2013, 15:25
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Sigo leyendo, traduciendo y comentando The History of the Calculus and Its Conceptual Development, de Carl B. Boyer:
Es verdad que griegos escépticos posteriores cuestionaron la posibilidad de consiguir cualquier conocimiento de tan absoluto caracter tanto por la razón como por la experiencia. Pero mientras la ciencia aristotélica había mostrado que a través de la observación y la lógica uno puede al menos alcanzar una representación consistente de los fenómenos, y consecuentemente las matemáticas pueden transformarse, con Euclides, en un patrón idealizado de relaciones deductivas. Derivados de postulados consistentes con los resultados de la inducción desde la observación, se encontró útil en la interpretación de la naturaleza.
Recuerdo que Euclides y demás griegos, no desarrollaron mucho los números. Para los griegos, números eran los naturales. Nunca concibieron el cero, o los racionales, o los negativos. Menos los reales. Lo que nosotros llamamos racionales, para ellos eran razones de números naturales (o razones de dos magnitudes, conmensurables, es decir, medibles exactamente por una unidad a escoger). El descubrimiento pitagórico de los irracionales (o razones de magnitudes no conmensurables, que no tienen unidad común que las mida), debió influir en el vuelco hacia la geometría, y el abandono de lo que podría haber sido el nacimiento temprano de un álgebra deductiva (en oposición a un álgebra apenas operacional, de babilonios y egipcios).
La visión escolástica, que prevaleció durante la Edad Media, fue que el universo es "ordenado" y simplemente intelegible. En el siglo catorce apareció bastante claramente que la visión cualitativa peripatética del movimiento y la variación podría ser reemplazada para mejor por un estudio cuantitativo. Estos dos conceptos, junto un interés renovado en las posturas platónicas, trajeron alrededor de los siglos quince y dieciseis una renovación en la convicción de que las matemáticas son, en alguna manera, independientes y "a priori" de la experiencia y el conocimiento intuitivo. Esa convicción es marcada en el pensamiento de Nicolás de Cusa, Kepler y Galileo, y en alguna extensión aparece también en Leonardo da Vinci.
Bueno, es un párrafo corto pero con grandes afirmaciones. Para Aristóteles, el movimiento y el cambio del movimiento se estudiada cualitativamente. Ideó las cuatro causas, y el concepto de lo actual y lo potencial, para explicar el cambio, tratando de salir de las objeciones de Parménides y Zenón. No hizo intento de medir movimientos. Esa parte de la historia matemática y de la ciencia, la Edad Media y alrededores, es algo que se pasa muchas veces de largo, o con poco comentario. Boyer se explaya bastante, y espero poder en otros posts comentar algo sobre esos temas y personas.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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19 de Octubre, 2013, 13:00
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Varias veces en el año, vuelvo a leer capítulos y fragmentos del libro The History of the Calculus and Its Conceptual Development, de Carl B. Boyer. El autor detalla no sólo la historia del cálculo (análisis matemático) sino también cómo se fueron desarrollando sus conceptos. Esos conceptos (como el límite) hoy nos parecen claros, pero hay que ver que en la mayor parte de la historia, no fue asi. La llegada de la clarificación de esos temas de fundamentos comenzó hace relativamente poco en la historia de las matemáticas: en el siglo XX.
Quisiera traducir parte de la introducción, donde Boyer se ocupa, no tanto del desarrollo del cálculo, sino de las matemáticas en conjunto:
Las matemáticas han sido una parte integral del entrenamiento intelectual y herencia humanos al menos por 2500 años. Durante este largo periodo tiempo, sin embargo, no ha sido alcanzado un acuerdo generalizado sobre la naturaleza del tema, ni ha sido dada una definición universalmente aceptada de la misma.
Desde la observación de la naturaleza, los antiguos babilonios y egipcios levantaron un cuerpo de conocimiento matemático que usaron para hacer más observaciones. Tales quizás introdujo los métodos deductivos; ciertamente los métodos de los primeros pitagóricos fueron de caracter deductivo. Los pitagóricos y Platón notaron que las conclusiones que alcanzaban deductivamente concordaban en gran medida con los resultados de la observación y la inferencia inductiva. Sin poder explicar de otra manera ese acuerdo, se vieron llevados a ver las matemáticas como el estudio de la última y eterna realidad, immanente en la naturaleza y el universo, en vez de verlas como una rama de la lógica o una herramienta de la ciencia y la tecnología.
Hace poco escribí sobre los pitagóricos, mencionando el fragmento de Aristóteles que Boyer señala en una nota:
Leyendo a Aristóteles (4) Los Pitagóricos
Sigo leyendo:
Ellos decidieron que un conocimiento de los principios matemáticos debe preceder a cualquier interpretación válida de la experiencia.
Esa es una gran toma de postura.
Este punto de vista es reflejado en la afirmación pitagórica de que todo es número, y en la aserción atribuida a Platón de que Dios siempre juega a ser geómetra.
(así traduzco "God always plays the geometer").
Lo que dicen los pitagóricos se basa en el fragmento de Aristóteles que mencioné antes. La afirmación de Platón. sólo en un escrito de Plutarco, Misceláneas y Ensayos. Recuerdo que Platón pone énfasis en la geometría en algunos fragmentos de La República, y en el Timeo le dedica parte de la explicación cosmológica basada en los sólidos regulares.
Algo relacionado:
Platón, Sócrates y la aritmética
Nos leemos!
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6 de Octubre, 2013, 15:59
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