Angel "Java" Lopez en Blog

Matemáticas


Publicado el 21 de Enero, 2018, 14:24

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Hace tiempo que no escribo del tema, es tiempo de retomar esta serie. Hay mucho para leer, explorar y estudiar sobre el tema. Mas que revisar cada libro, voy a comentar salteado distintas partes de libros. En estos días estuve leyendo a David Mumford (por ejemplo, su The Red Book of Varieties and Schemes). El desarrollo de la geometría algebraica ha sido notable durante el siglo XX, y justo en estos días encuentro una cita de Mumford, que me resulta importante para entender todo lo que fue pasando en el siglo pasado. Leo en su Algebraic geometry I, Complex Projective Varieties-Springer (1976), casi al comienzo:

... In the 20th century, algebraic geometry has gone through at least 3 distinct phases. In the period 1900-1930, largely under the leadership of the 3 Italians, Castelnuovo, Enriques and Severi, the subject grew immensely. In particular, what the late 19th century had done for curves, this period did for surfaces: a deep and systematic theory of surfaces was created. Moreover, the links between the "synthetic" or purely "algebro-geometric" techniques for studying surfaces, and the topological and analytic techniques were thoroughly explored. However the very diversity of tools available and the richness of the intuitively appealing geometric picture that was built up, led this school into short-cutting the fine details of all proofs and ignoring at times the time-consuming analysis of special cases (e.g., possibly degenerate configurations in a construction). This is the traditional difficulty of geometry, from High School Euclidean geometry on up. In the period 1930-1960, under the leadership of Zariski, Weil, and (towards the end) Grothendieck, an immense program was launched to introduce systematically the tools of commutative algebra into algebraic geometry and to find a common language in which to talk, for instance, of projective varieties over characteristic p fields as well as over the complex numbers. In fact, the goal, which really goes back to Kronecker, was to create a "geometry" incorporating at least formally arithmetic as well as projective geometry. Several ways of achieving this were proposed, but after a somewhat chaotic period in which communication was difficult, it seems fair to say that Grothendieck's "schemes" have become generally accepted as providing the most satisfactory foundations. In the present period 1960 on, algebraic geometry is growing rapidly in many directions at once: to a deeper understanding of geometry in dimensions higher than 2, especially their singularities, and the theory of cycles on them; to uncovering the astonishing connections between the topology of varieties and their Diophantine properties (their rational points over" finite fields and number fields); and to the theory of moduli, i.e., the parameters describing continuous families of varieties.


Escribe esto en 1975, pero ya se veía entonces esa división en etapas sobre el desarrollo de la geometría algebraica, en el siglo XX. Escribiendo en esa época, se le escapa cómo contribuyó este tema a la resolución del famoso último teorema de Fermat: hay igual que reconocer que ése es apenas uno de los temas en los que ha colaborado este "revival" desde la segunda etapa de arriba. Muchos de los desarrollos actuales, no hubieran sido posibles si no se hubiera extendido todo con las nuevas ideas, especialmente desde Grothrendieck.

Para entender la motivación y la importancia de la introducción de los schemes, ver

Why Schemes?

También ver

Basic Modern Algebraic Geometry
https://www.irif.fr/~mellies/mpri/mpri-ens/biblio/Audun-Holme-Basic-Modern-Algebraic-Geometry.pdf
Introduction to Grothendieck"s Theory of Schemes

Donde también tenemos una introducción a categorías.

Para completar la cita de arriba, leer

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_geometry#20th_century

Donde encuentro:

An important class of varieties, not easily understood directly from their defining equations, are the abelian varieties, which are the projective varieties whose points form an abelian group. The prototypical examples are the elliptic curves, which have a rich theory. They were instrumental in the proof of Fermat's last theorem and are also used in elliptic curve cryptography.

El desarrollo de las curvas elípticas ha sido notable, y como cita Wikipedia, han encontrado su utilización en la criptografía. Hoy, los famosos Bitcoins, tiene curva elíptica en el fondo de su seguridad. El que los puntos de una curva formen un grupo, es notable y muy interesante. El primer ejemplo lo tenemos en los puntos de una circunferencia. Y cuando los puntos son racionales, su producto por el grupo, es racional (corresponde a la suma de ángulos; en curvas elípticas es menos trivial).

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 17 de Enero, 2018, 12:13

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The (Math) Problem With Pentagons
https://www.quantamagazine.org/the-math-problem-with-pentagons-20171211/

Mathematicians Crack the Cursed Curve
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-crack-the-cursed-curve-20171207/

A Physicist"s Physicist Ponders the Nature of Reality
https://www.quantamagazine.org/edward-witten-ponders-the-nature-of-reality-20171128/

A Mathematician Who Dances to the Joys and Sorrows of Discovery
https://www.quantamagazine.org/mathematician-federico-ardila-dances-to-the-joys-and-sorrows-of-discovery-20171120/

Algebraic Variety
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_variety

K-Theory
https://en.wikipedia.org/wiki/K-theory

Alexander Grothendieck
https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck

John Milnor
https://en.wikipedia.org/wiki/John_Milnor

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Publicado el 8 de Enero, 2018, 11:00

Ya escribí sobre Henri Poincaré en:

Cómo piensa un matemático
Anécdota de Henri Poincaré
Poincaré y la belleza en ciencia
La creación matemática, según Poincaré

Esta semana leo una nueva anécdota, sobre su descubrimiento de las funciones fuchsianas (hoy conocidas como automorfas), donde se ve el grado de concentración que exhibía cuando estaba entusiasmado con un problema. Escribe su compañero de la escuela politécnica León Lecornu, de una Nochevieja que pasaron juntos en Caen:

En esa época él estaba más distraído que nunca. Yo le había invitado a cenar en casa de mis padres el 31 de diciembre de 1879, y todavía puedo verlo pasar la velada andando para arriba y para abajo, no escuchando nada de lo que se le decía o respondiendo apenas con monosílabos, y olvidando qué hora era, tanto que pasada la medianoche decidí recordarle amablemente que estábamos en 1880. En ese momento pareció volver a poner los pies en el suelo, y se despidió de nosotros. Unos días más tarde, nos encontramos en el puerto de Caen, y casualmente me dijo: "Ahora sé cómo integrar todas las ecuaciones diferencias". Las funciones fuchsianas habían nacido, y supe entonces en qué estaba pensado cuando pasaba de 1879 a 1880.

Encuentro este texto citado en una biografía de Poincaré, muy interesante, de Alberto Tomás Pérez Izquierdo, Editorial RBA, que acá en Argentina la está publicando el diario La Nación.

Poincaré narró algunas veces sobre su proceso de pensamiento, ver:

Más sobre la creación matemática, según Poincaré

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Publicado el 6 de Enero, 2018, 13:13

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Más sobre Grothendiecks, teoría de categorías, una buena explicación del lema de Yoneda. Interesante analogía física para las soluciones diofánticas.

Lectures on An Introduction to Grothendieck"s Theory of the Fundamental Group
http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr40.pdf

Hom functor
https://en.wikipedia.org/wiki/Hom_functor

Representable functor
https://en.wikipedia.org/wiki/Representable_functor

Yoneda lemma
https://en.wikipedia.org/wiki/Yoneda_lemma

Can someone explain the Yoneda Lemma to an applied mathematician?
https://math.stackexchange.com/questions/37165/can-someone-explain-the-yoneda-lemma-to-an-applied-mathematician

Mathematicians Find Wrinkle in Famed Fluid Equations
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-wrinkle-in-famed-fluid-equations-20171221/

A Mathematician Who Decodes the Patterns Stamped Out by Life
https://www.quantamagazine.org/a-mathematician-who-decodes-the-patterns-stamped-out-by-life-20171220/

Secret Link Uncovered Between Pure Math and Physics
https://www.quantamagazine.org/secret-link-uncovered-between-pure-math-and-physics-20171201/

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Publicado el 11 de Diciembre, 2017, 12:50

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Some of my favorite problems
http://www.math.utk.edu/~jconant/problems.html

Let"s try to motivate schemes
http://www.win-vector.com/blog/2014/12/lets-try-to-motivate-schemes/

Visionary Mathematician Vladimir Voevodsky Dies at 51
https://www.quantamagazine.org/visionary-mathematician-vladimir-voevodsky-dies-at-51-20171011/

A Jewel at the Heart of Quantum Physics
https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/

Imaginary numbers are tool optimized by mathematicians for a description of rotations. How does that make them appropriate for use with physics in quantum mechanics?
https://www.quora.com/Imaginary-numbers-are-tool-optimized-by-mathematicians-for-a-description-of-rotations-How-does-that-make-them-appropriate-for-use-with-physics-in-quantum-mechanics

Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem
http://www.jstor.org/stable/2118559?origin=crossref&seq=1#page_scan_tab_contents

Basic Modern Algebraic Geometry
https://www.irif.fr/~mellies/mpri/mpri-ens/biblio/Audun-Holme-Basic-Modern-Algebraic-Geometry.pdf
Introduction to Grothendieck"s Theory of Schemes

Why schemes?
http://math.mit.edu/~mckernan/Teaching/07-08/Spring/18.726/l_1.pdf

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Publicado el 9 de Diciembre, 2017, 14:27

Isaac Newton fue, prácticamente el creador de la física matemática, aunque con grandes predecesores y contemporáneos desde Galileo a Leibniz. Quisiera comentar algunos hechos de su vida, pero centrándome en sus aportes a las matemáticas. Con su influencia, éstas se vieron renovadas en gran forma.

Newton nace en la navidad de 1642, en la casa de la granja de su familia en Woolsthorpe, en Inglaterra. Hay que aclarar que en aquellos tiempos, el calendario era distinto en el continente, siendo ya entonces enero de 1643. Pero todos los biógrafos toman la fecha del lugar de nacimiento. Su familia no era destacada. Su línea paterna hacía unas pocas generaciones que se había convertido en terrateniente. Su familia materna había tenido más actividad, tanto en negocios como en inquietudes científicas. El joven Newton pudo disfrutar de las ventajas de tener una familia propietaria. Nunca conoció a su padre, de nombre Isaac como él, que murió unos meses antes de su nacimiento. Así que sus primeros años fueron marcados por la relación con su madre, Hannah Ayscough, que en su matrimonio con el padre de Newton había aportado alguna propiedad en el condado de Leicester. Algo que aportaron los Ayscough a la línea Newton es el primer contacto con la educación formal. Los antepasados de Newton por línea paterna, anteriores a su padre, no sabían firmar ni leer ni escribir. Gracias a la influencia de los Ayscough es que Newton recibió educación. Uno puede especular qué hubiera pasado si el padre hubiera vivido: probablemente, Newton hubiera sido educado como su padre o su abuelo, para solamente hacerse cargo de sus posesiones.

Fuente consultada: The life of Isaac Newton, de Westfall, uno de sus más conocidos biógrafos. Hay una versión más larga y con más matemáticas, del mismo autor: Never at rest.

El padre les dejó bienes, en tierras y ganado, que podían generar 150 libras por año. Así que la situación económico de la viuda y el hijo estaba asegurada.

Newton nace prematuro, tan pequeño que se pensó que no sobreviviría. Ochenta años después, le contaría a John Conduitt, el esposo de su sobrina y su primer biógrafo:

"...[Isaac Newton] me contó que le contaron que cuando nació era tan pequeño que podía caber en una olla de un cuarto y que era tan débil que tuvo que llevar un collar alrededor del cuello para reforzarlo, con tan poca esperanza de vida que cuando dos mujeres fueron enviadas a Lady Pakenham en North Witham para traer algo para él, se les dijo que no se apresuraran porque esperaban que el niño muriera antes de que regresaran..."

Por una semana, su vida pendió de un hilo. No fue bautizado hasta el primero de enero.

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Publicado el 23 de Noviembre, 2017, 14:42

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Elliptic Curves
https://www.quantamagazine.org/tag/elliptic-curves/

Mathematicians Shed Light on Minimalist Conjecture
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-shed-light-on-minimalist-conjecture-20130709/

What is the best textbook for Category theory?
https://www.quora.com/What-is-the-best-textbook-for-Category-theory

The Catsters (Category Theory)
https://www.youtube.com/user/TheCatsters

Category Theory for Programmers: The Preface
https://bartoszmilewski.com/2014/10/28/category-theory-for-programmers-the-preface/

David Spivak - Category Theory - Part 1 of 6 - λC 2017
https://www.youtube.com/watch?v=IBeceQHz2x8

The Atomic Theory of Origami
https://www.quantamagazine.org/the-atomic-theory-of-origami-20171031/

The Math Behind Gerrymandering and Wasted Votes
https://www.quantamagazine.org/the-math-behind-gerrymandering-and-wasted-votes-20171012/

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Publicado el 4 de Noviembre, 2017, 10:23

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En sus primeros años, Hilbert era el único hijo de sus padres. Su primer entrenamiento, a cargo de su padre, puso énfasis en virtudes prusianas, como la puntualidad y el respeto de la ley. Su padre era un hombre conservador, juez que ascendió por promoción en el servicio civil. Caminaba siempre el mismo trayecto a su trabajo, y no se apartaba de la ciudad de Koenisberg mas que para sus vacaciones en el báltico.

A los seis años, nació su hermana, bautizada Elisa. Hilbert no comenzó la escuela hasta los ocho años, cuando lo normal es entrar a los seis años. Eso que podría indicar que sus primeras letras las recibió de su madre. En la Vorschule del real Friedrichskolleg recibió la instrucción preliminar para el próximo paso en la educación de entonces, el gimnasium. Era el camino a recorrer si quería convertirse en un hombre profesional, un clérigo o un profesor universitario. El gimnasium que tenía orientación humanística, asi que la primera educación de Hilbert se orientó a ese objetivo. Incluía leer y escribir en alemán y latín, gramática, análisis de sentencias simples, historias bíblicas, y problemas aritméticos simples, como sumas, restas, multipicación y división por números pequeños.

En el otoño de 1872, cuando ya estaba preparado para entrar al gimnasium propiamente dicho, el ejército prusiano visitó a la ciudad de Koenisberg. Pero más importante para la vida de Hilbert fue la llegada de una familia judía, los Minkowski, que se mudaban desde otra ciudad en Rusia. La habían abandonado debido a las persecusiones que sufrían los judíos bajo el gobierno del zar. El jefe de familia, siendo comerciante, fue obligado a liquidar todos sus activos, con apenas ganancia. Ahora en Koenisberg iniciaría un nuevo comercio, la exportación de trapos de lino blanco. Cuando sus hijos se vieron afectados por el cambio de fortuna, la madre les dijo que esa nueva ocupación era una de las más nobles, porque las hojas de los libros que tanto amaban eran hechos con ese material. La familia finalmente prosperó pero al principio las cosas no fueron fáciles. La familia se mudó a un viejo caserón cerca de la estación de tren, al otro lado del río Pregel de donde vivía la familia Hilbert.

El hijo mayor, Max, no había podido seguir una educación formal en Rusia debido a su origen judío. Fue socio de su padre en sus negocios, y a su muerte, se convirtió en el "jefe" de la familia. Oscar, el segundo hijo, fue uno de los pocos judíos en asistir al Altstadt Gimnasyum en Koenisberg. Fue doctor e investigador, descubrió la relación entre el páncreas y la diabetes, y se lo conoció como "el padrino de la insulina". El tercer hijo, Hermann, entró a los ocho años y medio en la Vorschule (escuela inicial) del mismo gimnasio. Según una biografía escrita por una de sus hermanas, los chicos Minkowski fueron una sensación en Koenisberg, "no solo por sus grandes talentos sino por su encantadora personalidad". Las habilidades matemáticas del pequeño Hermann eran notables. En una clase, cuando un profesor falló en entender un problema en el pizarrón, sus compañeros de clase le pidiero ayuda a Minkowski.

Veremos que la aparición de Hermann Minkowski influyó mucho en los primeros años del desarrollo matemático de Hilbert.

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Publicado el 13 de Octubre, 2017, 13:41

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Schnirelmann density
https://en.wikipedia.org/wiki/Schnirelmann_density

Brun sieve
https://en.wikipedia.org/wiki/Brun_sieve

Hardy–Littlewood circle method
https://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Littlewood_circle_method

Circle Method
http://mathworld.wolfram.com/CircleMethod.html

Natural transformation
https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_transformation

World"s Largest Math Proof Solved. And It Takes Up 200 Terabytes
https://futurism.com/worlds-largest-math-proof-solved-and-it-takes-up-200-terabytes/

No, There"s No Nobel in Math
https://mathwithbaddrawings.com/2017/10/04/no-theres-no-nobel-in-math/

Moonshine Link Discovered for Pariah Symmetries
https://www.quantamagazine.org/moonshine-link-discovered-for-pariah-symmetries-20170922/

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Publicado el 8 de Octubre, 2017, 7:58

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El nacimiento de Hilbert coincidió con el nacimiento del nacionalismo alemán. Unos meses antes, el rey de Prusia había muerto, y su hermano hizo el tradicional peregrinaje a la ciudad de Königsberg para ser coronado. Poco tiempo después, nombró primer ministro al conde Otto von Bismark-Schönhausen. En el periodo de guerra que siguó para la unificación de Alemania y Prusia, el padre de Hilbert fue nombrado juez de la ciudad de Königsberg y ahí se mudó con su familia.

La ciudad que era la capital de Prusia, fue fundada a mediados del siglo XIII. Los caballeros teutónicos había construido un castillo, en terreno elevado, cerca de la unión de dos ramas del río Pregel. La ciudad se había modernizado, con luz de gas y tranvías tirados por caballos.

Aunque estaba a cuatro millas y media de la desembocadura del río Pregel en el mar Báltico, se sentía el olor a sal marina. El puerto era animado, y recibía embarcaciones de todo tipo y origen. Se llevaban mercaderías como ámbar, y una especie de arcilla blanca.

La casa de Hilbert estaba en el nro. 13 de la Kirchenstrasse, a pocas cuadras del río, que los habitantes de la ciudad solían llamar "nuestra puerta a la libertad". Había siete grandes puentes sobre el río Pregel, que unían una isla con tierra firme. Son los puentes que inspiraron a Euler en un trabajo que dio nacimiento a la teoría de grafos.

La ciudad tenía una catedral,  y una universidad donde había sido profesor Kant. El acceso a la cripta de éste se habría al público una vez al año, y es casi seguro que Hilbert creción con las ideas de Kant. En la pared de la cripta se leía: "Las maravillas más grandes son el cielo estrellado sobre mí y la ley moral dentro mío".

La madre de Hilbert lo inició en el estudio de las constelaciones de estrellas, y fue quien le informó por primera vez sobre los números naturales que sólo eran divisibles por 1 o por sí mismos: los números primos.

Fuente consultada: "Hilbert", Constance Reid.

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Publicado el 2 de Octubre, 2017, 7:12

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David Hilbert, matemático alemán, nacido en el siglo XIX pero desarrollando su actividad hasta entrado el siglo XX, ha sido uno de los grandes de su disciplina. Y aunque puede que Gauss y Riemann lo superaran en logros matemáticos, hay algo que distingue a Hilbert: su carisma, su influencia sobre otros matemáticos. De alguna forma no sólo fue un matemáticos, fue un filósofo de las matemáticas, un matemático por sí mismo, pero también, un matemático para matemáticos, alguien que supo influir en el desarrollo de su ciencia. Espero tratar en esta serie de post algunos de los puntos salientes de su larga y fructífera vida.

No destacó, como Gauss, como un niño prodigio de las matemáticas. Pero a los pocos años de comenzar su carrera, deslumbró con una demostración de teoría de invariantes, distinta fundamentalmente de las que se daban en ese entonces. Una demostración por existencia, en lugar de por construcción. Luego, pasó a la teoría de números. Habiendo escrito un famoso informe sobre números algebraicos, pasó a preocuparse por los fundamentos de la geometría. El siglo XX lo vió involucrado en los fundamentos de la matemática, la teoría general de la relatividad, el análisis funcional. Sus espacios de Hilbert sirvieron de base a modelos en física cuántica, mientras cultivaba su preocupación por la axiomatización de la física y de las matemáticas.

Nacido en Wehlau, el 23 de enero de 1862, cerca de Konigsberg, la ciudad de Kant, y que Euler dio fama con su problema de los puentes. Sus padres fueron Otto Hilbert y Maria, fue el primer hijo del matrimonio. Gracias a su autobiografía y fuentes de su propia familia, sabemos algo de sus antepasados por línea paterna. Durante el siglo XVII había varios Hilbert en Sajonia. Muchos eran artesanos o gente de comercio. Eran protestantes, y sus nombres tomados de la biblia parecen indicar que era pietistas, que enfatizaban la fe como una actitud del corazón. Al principio del siglo XVIII, un Johann Christian Hilbert se convirtió en exitoso comerciante, con más de cien personas a su cargo. Pero su muerte temprana y la desaparición de su fortuna en manos de inescrupulosos encargados, obligó a que su hijo Christian David Hilbert se empleara de aprendiz de barbero, sirviendo en el ejército de Federico el Grande, llegando eventualmente a Konigsberg. Fue un hombre de mucha energía. Compró una barbería, se anotó en la universidad local, estudió medicina y llegó a ser el cirujano local. Desde ese tiempo, los Hilberts fueron profesionales, tomando como esposas a hijas de comerciantes. Uno de sus muchos hijos fue David Fürchtegott Leberecht ("Fear God Live Right") Hilbert. Fue el abuelo de David Hilbert. Fue juez, y su hijo Otto también. Un tío era abogado, otro era director de un "gymnasium" (una escuela de entonces).

No sabemos mucho del lado materno. El abuelo Karl Erdtmann era un comerciante de Königsberg. Su hija Maria Teresa sería la madre de Hilbert. Fue una mujer interesada en astronomía, algo no usual para la época, en filosofía y se dice, hasta en números primos.

Post relacionados:

David Hilbert, según Jean Dieudonné
Los problemas de Hilbert
David Hilbert: Enlaces y Recursos (1)
Einstein, Hilbert y la Teoría General de la Relatividad (1)
El teorema de la base de Hilbert (1)
David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (1)
Imágenes y símbolos, según Hilbert

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Publicado el 16 de Septiembre, 2017, 11:57

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The Math That Promises to Make the World Brighter
https://www.quantamagazine.org/the-math-that-promises-to-make-the-world-brighter-20170906/

Mathematicians Tame Rogue Waves, Lighting Up Future of LEDs
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-tame-rogue-waves-lighting-up-future-of-leds-20170822/

New Shapes Solve Infinite Pool-Table Problem
https://www.quantamagazine.org/new-shapes-solve-infinite-pool-table-problem-20170808/

Why Mathematicians Like to Classify Things
https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-like-to-classify-things-20170815/

Goldbach's conjecture
https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%27s_conjecture

Chen's theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Chen%27s_theorem

Proof that an infinite number of primes are paired
https://www.newscientist.com/article/dn23535-proof-that-an-infinite-number-of-primes-are-paired/

Explicit Chen's theorem
https://arxiv.org/abs/1511.03409

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Publicado el 15 de Septiembre, 2017, 13:57

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Al-Khwarizmi: The Father of Algebra
http://www.aljazeera.com/programmes/science-in-a-golden-age/2015/10/al-khwarizmi-father-algebra-151019144853758.html

Collection of letters by codebreaker Alan Turing found in filing cabinet
https://www.theguardian.com/science/2017/aug/27/collection-letters-codebreaker-alan-turing-found-filing-cabinet

That virtually impossible classic compsci P vs NP problem is virtually impossible, say boffins
https://www.theregister.co.uk/2017/09/01/p_vs_np_problem_near_impossible/

A TSP Breakthrough
https://rjlipton.wordpress.com/2017/09/11/a-tsp-breakthrough/

Applied Category Theory
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2017/09/12/act-2018/

Mathematicians Measure Infinities and Find They"re Equal
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-measure-infinities-find-theyre-equal-20170912/

Why Math Is the Best Way to Make Sense of the World
https://www.quantamagazine.org/why-math-is-the-best-way-to-make-sense-of-the-world-20170911/

Symmetry, Algebra and the Monster
https://www.quantamagazine.org/symmetry-algebra-and-the-monster-20170817/

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Publicado el 2 de Septiembre, 2017, 8:47

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Kaisa Matomäki Dreams of Primes
https://www.quantamagazine.org/kaisa-matomaki-dreams-of-primes-20170720/

In Game Theory, No Clear Path to Equilibrium
https://www.quantamagazine.org/in-game-theory-no-clear-path-to-equilibrium-20170718/

Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem
https://www.quantamagazine.org/pentagon-tiling-proof-solves-century-old-math-problem-20170711/

A Tenacious Explorer of Abstract Surfaces
https://www.quantamagazine.org/maryam-mirzakhani-is-first-woman-fields-medalist-20140812/

A Puzzle of Clever Connections Nears a Happy End
https://www.quantamagazine.org/a-puzzle-of-clever-connections-nears-a-happy-end-20170530/

A New Path to Equal-Angle Lines
https://www.quantamagazine.org/a-new-path-to-equal-angle-lines-20170411/

How to Quantify (and Fight) Gerrymandering
https://www.quantamagazine.org/the-mathematics-behind-gerrymandering-20170404/

Quantum Questions Inspire New Math
https://www.quantamagazine.org/how-quantum-theory-is-inspiring-new-math-20170330/

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Publicado el 1 de Septiembre, 2017, 5:52

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Historical courses and resorts in Elliptic Curves Cryptography - Is Curve25519 dead?
http://blog.intothesymmetry.com/2017/06/historical-courses-and-resorts-in.html

[curves] Climbing the elliptic learning curve (was: Re: Finalizing XEdDSA)
https://moderncrypto.org/mail-archive/curves/2016/000784.html

The Discrete Logarithm Problem on Elliptic Curves of Trace One
http://www.hpl.hp.com/techreports/97/HPL-97-128.pdf

The Beautiful Mathematical Explorations of Maryam Mirzakhani
https://www.quantamagazine.org/the-beautiful-mathematical-explorations-of-maryam-mirzakhani-20170724/

Matemático chileno es eminencia mundial en el estudio de los "problemas inversos"
http://www.elmostrador.cl/cultura/2017/07/25/matematico-chileno-es-eminencia-mundial-en-el-estudio-de-los-problemas-inversos/

Solomon Lefschetz
https://en.wikipedia.org/wiki/Solomon_Lefschetz

Mathematics History: AMS Books and Resources
http://www.ams.org/samplings/math-history/math-history

A Path Less Taken to the Peak of the Math World
https://www.quantamagazine.org/a-path-less-taken-to-the-peak-of-the-math-world-20170627

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Publicado el 27 de Agosto, 2017, 10:17

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No se sabe quien, Buttner o Bartels, llamó a conversar al padre de Gauss y lo convenció de la importancia de seguir la educación de su hijo. Se le dijo que se conseguiría el apoyo de gentes en mejor posición para aportar recursos. El padre quedó convencido. Hasta entonces, el pequeño Gauss tenía a cargo hilar una cantidad de lino cada día. Se cuenta que al volver a la casa, el padre lo liberó de esa obligación, tomando la rueda giratorio que usaba para la tarea, y la convirtió en leña para la cocina.

Gauss ahora tenía tiempo en las tardes para leer libros de matemáticas. Fue el inicio de su estudio conjunto con Bartels. Este además lo puso en contacto con gente de mejor posición, en particular con E.A.W. Zimmermann (1743-1815). Había sido profesor de dedicación completa de matemáticas, física e historia natural del Collegium Carolinum desde 1766. Luego de dos años de viajes por Inglaterra, Francia e Italia, volvió a sus clases en 1789, poco después de que Bartels entrara en ese colegio. En 1786 recibió el título de concejal, y en 1796 el emperador lo ascendió a la nobleza. En 1802 fue nombrado consejero privado del duque Carl Wilhelm Ferdinand. Fue ampliamente respetado como estudioso y como escritor.

Un día Zimmerman le pide a Bartels que le traiga al niño Gauss a su presencia. Ya le habían llegado las noticias de su inusual talento. Un nuevo profesor de matemáticas, Hellwig, había devuelto el primer trabajo escrito de Gauss, agregando el comentario de que el joven ya no tenía necesidad de aparecer en sus clases.

Según el propio Gauss, abandonó el colegio en contra de la voluntad de su padre. Con la ayuda de amigos como Bartels y el filólogo Johann Heinrich Jakob Meyerhoff (1770-1812), había comenzado a dominar idiomas antiguos. Estaba adelantado a otros jóvenes de su edad.

La duquesa de Brunswick una vez encontró al joven Gauss en el patio del palacio, absorto en la lectura de un libro. Al conversar con él, se convenció que realmente entendía lo que estaba leyendo. Convenció al duque de convocar al joven prodigio. Cuando el lacayo llegó a la casa de Gauss, al principio pensó que requerían a George, el hermano mayor de Gauss. Pero luego el propio George se dio cuenta que era al "bueno para nada" de su hermano al que iba dirigida la convocatoria. Cuando Gauss ya era famoso, George diría: "si hubiera sabido, habría aceptado la convocatoria, y ahora sería profesor".

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 12 de Agosto, 2017, 14:50

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Gauss nació el 30 de abril de 1777, en Brunswick. Su madre no recordaba la fecha exacta, solo que había sido miércoles ocho días antes de la fiesta de ascensión. Esto fue uno los motivos que harían que Gauss se interesara en su fórmula de la fecha de Pascua para cualquier año.

Hacia el final de su vida, a Gauss le gustaba recordar episodios de su infancia, revelando destellos de su genio en edad temprana. Los recordaba perfectamente, narrándolos de forma entusiasta, sin desviarse de su relato anterior cada vez que los contaba de nuevo. Sus padres no gozaban de una buena posición económica, y fue gracias a la ayuda de otros que el joven Gauss pudo dedicarse a las matemáticas, en una época donde ésta no era aún una profesión.

Una vez, siendo un niño, estuvo a punto de morir. La casa de sus padres estaba en las cercanías de un canal abierto de agua, conectado con el río Oker, que se llenaba de agua en primavera. El niño Gauss cayó en el canal, pero fue rescatado. Ya en esos años dio prueba de su inteligencia. Aprendió las letras del alfabeto por su cuenta, antes aún de ir a la escuela. También aprendió aritmética, y calculaba mentalmente, lo que llamó la atención de su familia y conocidos. Su padre tenía peones a su cargo, y cuando liquidaba los sueldos proporcionales a los trabajos realizados, el niño de tres años podía corregirlo, diciendo: "Padre, este cálculo está mal", dando en ese momento el resultado correcto. Años más tarde, Gauss bromeaba diciendo que había aprendido a calcular antes que a hablar.

En 1784, Gauss entra en la escuela, la de Santa Catalina, teniendo siete años. La instrucción elemental estaba a cargo de un maestro, J.G.Buttner, que era partidario del uso del látigo como medio de corregir las faltas en la educación. Estaba a cargo de una sala de doscientos alumnos. Eventualmente, Gauss entró en la clase de aritmética, donde en general los alumnos permanecen hasta su confirmación religiosa, a los quince años. Un día, Buttner, les dio un ejercicio a los alumnos de esa clase: sumar todos los números desde el 1 al 100. Mientras los demás se dedicaban a sumar y sumar, el joven Gauss se acercó al maestro con un solo número en su pizarra: la solución correcta. Había usado la fórmula de los números triangulares, que había descubierto por su cuenta: la suma de 1 a n era n (n + 1) / 2. Buttner quedó impresionado, y mandó a traer un mejor libro de aritmética desde Hamburgo (no se sabe si era la Aritmética de Remer o el manual de Hemeling) y se lo dio a Gauss. Pronto se convenció que poco más podía enseñarle a su alumno.

Uno de los asistentes de Buttner, era Johann Christian Martil Bartels, hijo de un matemático que escribió ensayos sobre teoría de funciones, análisis matemáticos. Bartels comenzó a estudiar matemáticas junto con Gauss, y pronto surgió una relación de amistad, a pesar de la diferencia de edad. A los once años, Gauss pudo desarrollar por su cuenta el teorema del binomio de forma general, y comenzó a manejar series infinitas, lo que le abrió la puerta al análisis superior.

Fuente principal consultada: Carl Friedrich Gauss, Titan of Science, de Dunnington.

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Publicado el 6 de Agosto, 2017, 14:12

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Veamos hoy la afirmación de Fermat (tengo la cita traducida al inglés):

"Therefor we should have a square number which would be equal to the sum of a square and the double of another square, while the squares of which this sum is made up would themselves have a square number for their sum."

Por lo que vimos en el post anterior, tenemos

p2-q2

como cuadrado, siendo p y q cuadrados ellos mismos, de distinta paridad (uno impar y otro par), sin factores comunes. La expresión anterior se puede escribir como:

(p + q)(p - q)

Estos dos factores son primos entre sí. Si tuvieran un factor común, éste también dividiría a

(p + q) + (p - q) = 2p
(p + q) - (p - q) = 2q

Este factor común no puede ser 2, por tener p y q distinta paridad (uno es par y otro impar). Entonces, cualquier factor común debe serlo también de p y q, contradicción, porque partimos considerando que no tienen factores comunes.

Como la multiplicación de los dos factores (p + q) y (p - q) es un cuadrado, y no tienen factor común, entonces AMBOS deben ser a su vez cuadrados.

Seguiremos en el próximo post comentando la próxima afirmación de Fermat, que no resulta ser muy clara, y hasta está algo mal formulada.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 18 de Julio, 2017, 12:13

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Prime ideal - Wikipedia, the free encyclopedia
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Scheme (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
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Spectrum of a ring - Wikipedia, the free encyclopedia
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Neanderthal - Fast Native Matrix and Linear Algebra in Clojure
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Who's Afraid of Object Algebras?
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Publicado el 14 de Julio, 2017, 11:23

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Minireference blog » Linear algebra tutorial in four pages
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http://www.jimloy.com/math/math.htm

jrjohansson/scientific-python-lectures
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Frobenius biography
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Frobenius.html

The Nature of Associative Property of Algebra
http://xahlee.info/math/nature_of_associative_property_of_algebra.html

math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html
http://math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html

On Klein"s Icosahedral Solution of the Quintic
http://arxiv.org/pdf/1308.0955.pdf

What is a Spectral Sequence? | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/08/what_is_a_spectral_sequence.html

High precision native Gaussian Elimination - CodeProject
http://www.codeproject.com/Articles/616608/High-precision-native-Gaussian-Elimination

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