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Gauss nació el 30 de abril de 1777, en Brunswick. Su madre no recordaba la fecha exacta, solo que había sido miércoles ocho días antes de la fiesta de ascensión. Esto fue uno los motivos que harían que Gauss se interesara en su fórmula de la fecha de Pascua para cualquier año.

Hacia el final de su vida, a Gauss le gustaba recordar episodios de su infancia, revelando destellos de su genio en edad temprana. Los recordaba perfectamente, narrándolos de forma entusiasta, sin desviarse de su relato anterior cada vez que los contaba de nuevo. Sus padres no gozaban de una buena posición económica, y fue gracias a la ayuda de otros que el joven Gauss pudo dedicarse a las matemáticas, en una época donde ésta no era aún una profesión.

Una vez, siendo un niño, estuvo a punto de morir. La casa de sus padres estaba en las cercanías de un canal abierto de agua, conectado con el río Oker, que se llenaba de agua en primavera. El niño Gauss cayó en el canal, pero fue rescatado. Ya en esos años dio prueba de su inteligencia. Aprendió las letras del alfabeto por su cuenta, antes aún de ir a la escuela. También aprendió aritmética, y calculaba mentalmente, lo que llamó la atención de su familia y conocidos. Su padre tenía peones a su cargo, y cuando liquidaba los sueldos proporcionales a los trabajos realizados, el niño de tres años podía corregirlo, diciendo: "Padre, este cálculo está mal", dando en ese momento el resultado correcto. Años más tarde, Gauss bromeaba diciendo que había aprendido a calcular antes que a hablar.

En 1784, Gauss entra en la escuela, la de Santa Catalina, teniendo siete años. La instrucción elemental estaba a cargo de un maestro, J.G.Buttner, que era partidario del uso del látigo como medio de corregir las faltas en la educación. Estaba a cargo de una sala de doscientos alumnos. Eventualmente, Gauss entró en la clase de aritmética, donde en general los alumnos permanecen hasta su confirmación religiosa, a los quince años. Un día, Buttner, les dio un ejercicio a los alumnos de esa clase: sumar todos los números desde el 1 al 100. Mientras los demás se dedicaban a sumar y sumar, el joven Gauss se acercó al maestro con un solo número en su pizarra: la solución correcta. Había usado la fórmula de los números triangulares, que había descubierto por su cuenta: la suma de 1 a n era n (n + 1) / 2. Buttner quedó impresionado, y mandó a traer un mejor libro de aritmética desde Hamburgo (no se sabe si era la Aritmética de Remer o el manual de Hemeling) y se lo dio a Gauss. Pronto se convenció que poco más podía enseñarle a su alumno.

Uno de los asistentes de Buttner, era Johann Christian Martil Bartels, hijo de un matemático que escribió ensayos sobre teoría de funciones, análisis matemáticos. Bartels comenzó a estudiar matemáticas junto con Gauss, y pronto surgió una relación de amistad, a pesar de la diferencia de edad. A los once años, Gauss pudo desarrollar por su cuenta el teorema del binomio de forma general, y comenzó a manejar series infinitas, lo que le abrió la puerta al análisis superior.

Fuente principal consultada: Carl Friedrich Gauss, Titan of Science, de Dunnington.

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Veamos hoy la afirmación de Fermat (tengo la cita traducida al inglés):

"Therefor we should have a square number which would be equal to the sum of a square and the double of another square, while the squares of which this sum is made up would themselves have a square number for their sum."

Por lo que vimos en el post anterior, tenemos

p²-q²

como cuadrado, siendo p y q cuadrados ellos mismos, de distinta paridad (uno impar y otro par), sin factores comunes. La expresión anterior se puede escribir como:

(p + q)(p - q)

Estos dos factores son primos entre sí. Si tuvieran un factor común, éste también dividiría a

(p + q) + (p - q) = 2p
(p + q) - (p - q) = 2q

Este factor común no puede ser 2, por tener p y q distinta paridad (uno es par y otro impar). Entonces, cualquier factor común debe serlo también de p y q, contradicción, porque partimos considerando que no tienen factores comunes.

Como la multiplicación de los dos factores (p + q) y (p - q) es un cuadrado, y no tienen factor común, entonces AMBOS deben ser a su vez cuadrados.

Seguiremos en el próximo post comentando la próxima afirmación de Fermat, que no resulta ser muy clara, y hasta está algo mal formulada.

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Hilbert's seventeenth problem - Wikipedia, the free encyclopedia
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Higher Algebraic Structures and Quantization
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Euclidean Rings of Algebraic Integers
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Polynomial Rings and Unique Factorization Domains
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Hilbert's basis theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
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Algebraic Topology
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Ferrari biography
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Las 7 maravillas de las matemáticas
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Algebraic Number Theory
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Veamos hoy de entender los pasos de la demostración de Fermat presentada en el anterior post. Fermat quiere demostrar que no hay triángulos rectángulos con lados racionales que tuvieran como superficie un cuadrado racional. Basta tratar el caso en números enteros positivos.

¿Qué quiere decir cuando escribe "If the area of a right-angled triangle were a square, there would exist two biquadrates the difference of which would be a square number"? Primero, ¿qué es "biquadrates"? Un término en inglés que no veo tenga palabra de uso similar en español, o por lo menos, de uso frecuente. Un número bicuadrado es la cuarta potencia de otro, en este caso, de otro natural. ¿por qué afirma esto Fermat? Dice que si hubiera un triángulo rectángulo con área cuadrada (un número cuadrado) habría DOS potencias cuartas que al restarse, darían un cuadrado.

Veamos. Recordemos que los lados enteros de un triángulo se expresan con una terna pitagórica. Y que esas ternas tienen una expresión general:

x = (2pq)d
y = (p² - q²)d
z = (p² + q²)d

donde p, q son naturales primos entre sí, y de distinta paridad (uno par y otro impar), y d es natural cualquiera. El problema de Fermat es encontrar entonces

1/2 xy = pq(p² - q²)d²

que sea cuadrado. Para esto

pq(p² - q²)

DEBE ser cuadrado. Como p, q son primos entre sí, también son primos con

p² - q²

Entonces cada uno de los factores

p
q
p² - q²

DEBE ser cuadrado, al ser primos entre sí. Como p y q son cuadrados, entonces

p² - q²

ES LA DIFERENCIA de DOS CUARTAS potencias, lo que afirmaba Fermat en su primera oración. Es un poco escondedor, como si no quisiera explicar todos los pasos, haciendo trabajar al que lea su demostración. No es evidente que sea verdad su afirmación, y la expone casi como un problema implícito, como diciendo: "quien no sepa descubrir esto no vale la pena que siga".

En el próximo post, seguiremos discutiendo las siguientes afirmaciones de Fermat

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Gaussian elimination - Linear Systems - math-linux.com
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Cuerpos y sus extensiones
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Teoria de Anillos
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Resolubilidad por Radicales
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo4.pdf

Resolubilidad por Radicales
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Abstract Algebra
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The Submodule of Invariants « The Unapologetic Mathematician
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Gauss and Regular Polygons: Cyclotomic Polynomials « Paramanand's Math Notes
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gen_gauss_gem.pdf
http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/gen_gauss_gem.pdf

Fermat's Last Theorem: Gauss: Periods of Cyclotomic Equations
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Gauss Cyclotomy
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Paper Trail » Dedekind and Weber: Theory of the algebraic functions of one variable
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New Modules from Old « The Unapologetic Mathematician
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Irreducible Modules « The Unapologetic Mathematician
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Reducible Modules « The Unapologetic Mathematician
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Lie Algebra Modules « The Unapologetic Mathematician
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A trivial remark about schemes « What"s new
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Decomposition of Semisimple Lie Algebras « The Unapologetic Mathematician
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Back to the Example « The Unapologetic Mathematician
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The Radical of the Killing Form « The Unapologetic Mathematician
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The Killing Form « The Unapologetic Mathematician
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Serre thm on noetherian regular local ring
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cartan-einstein-unification.com/pdf/On the Exterior Calculus.pdf
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Skew coordinates - Wikipedia, the free encyclopedia
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One-form - Wikipedia, the free encyclopedia
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Lie groups, Lie algebras, and representations « The Unapologetic Mathematician
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Abstract Algebra: The Basic Graduate Year
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Cartan biography
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Gamifying algebra? « What"s new
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The Julia Language
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Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy
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D. I. Falikman, "Proof of the van der Waerden conjecture regarding the permanent of a doubly stochastic matrix"
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Computing the permanent - Wikipedia, the free encyclopedia
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JSTOR: Mathematics Magazine, Vol. 42, No. 3 (May, 1969), pp. 146-148
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Permanent - Wikipedia, the free encyclopedia
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A Course in Universal Algebra
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Exterior algebra - Wikipedia, the free encyclopedia
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Most striking applications of category theory? - MathOverflow
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Division Algebras and Supersymmetry III | The n-Category Café
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Primeras construcciones con regla y compás en imágenes - Gaussianos | Gaussianos
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Algebraic Topology Online Course
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Particle physics and representation theory
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geometry - Is this Batman equation for real? - Mathematics - Stack Exchange
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Linear dynamical systems over finite rings « Rod Carvalho
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Lie Algebras from Associative Algebras « The Unapologetic Mathematician
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Cyclotomic polynomial - Wikipedia, the free encyclopedia
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Hall algebras are Grothendieck groups « Secret Blogging Seminar
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The Algebra of Data, and the Calculus of Mutation » Lab49 Blog
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A Categorified Supergroup for String Theory | The n-Category Café
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Division Algebras and Quantum Theory
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The Cayley-Dickson Construction
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Introduction to Clifford Algebra
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What ARE Clifford Algebras and Spinors?
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Octonions
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Clifford Algebra
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Clifford Algebras
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clifford.pdf (application/pdf Object)
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Clifford algebra - Wikipedia, the free encyclopedia
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Algebra as Quantum Language
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Achilleas Passias Dissertation.pdf (application/pdf Object)
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Clifford_Report.pdf (application/pdf Object)
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Geometric Algebra and its Application to Mathematical Physics
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Amazon.com: A Course in Commutative Algebra (Graduate Texts in Mathematics)
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Amazon.com: The Chinese Roots of Linear Algebra
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The decline of quantum algebra (QA) « Secret Blogging Seminar
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(Fake) Frobenius Reciprocity « The Unapologetic Mathematician
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The Dimension of the Space of Tensors Over the Group Algebra
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The Endomorphism Algebra of the Left Regular Representation
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Hilorama de E8 « Juegos topológicos
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State-Observable Duality (Part 3) | The n-Category Café
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The Geometry of the MRB constant
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Tensor Products over Group Algebras « The Unapologetic Mathematician
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Tensors Over the Group Algebra are Invariants « The Unapologetic Mathematician
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Trigonometric functions and rational multiples of pi « Division by Zero
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Consequences of Orthogonality « The Unapologetic Mathematician
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Amazon.com: An Introduction to Galois Cohomology and its Applications
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Computer algebra for Clojure - Stack Overflow
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Dimensional Reduction - Apache Mahout - Apache Software Foundation
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ConciseRevised.pdf (application/pdf Object)
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Galois Connections « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2009/05/18/galois-connections/

Orthogonal Complementation is a Galois Connection
http://unapologetic.wordpress.com/2009/05/19/orthogonal-complementation-is-a-galois-connection/

How can we construct abelian Galois extensions of basic number fields?
http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/Ribet12.3.pdf

Lebesgue Measure and Affine Transformations « The Unapologetic Mathematician
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Lattices and their invariants « Secret Blogging Seminar
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Convergence in Measure and Algebra « The Unapologetic Mathematician
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Course Notes - J.S. Milne
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/

The Weil conjectures : Curves « Secret Blogging Seminar
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Measuring Measures - blog - Matrix Benchmarks: Fast Linear Algebra on the JVM
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Monotone Classes « The Unapologetic Mathematician
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Maxima, a Computer Algebra System
http://maxima.sourceforge.net/

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Memoizing Polymorphic Functions with High School Algebra and Quantifiers
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GAP System for Computational Discrete Algebra
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