|
|
Matemáticas
Publicado el
26 de Enero, 2015, 15:53
|
Publicado el
25 de Enero, 2015, 16:23
|
Hace unas decádas, comenzaron a aparecer conceptos que dieron lugar a un nuevo fundamento de las matemáticas. Si bien se basaban en trabajos de miles de años, el lenguaje empleado era nuevo y aún hoy es un tema que no está muy difundido. Gracias al trabajo seminal de Eilenberg y MacLane de "A general theory of natural equivalences", fue que apareció una definición precisa de "categoría" y se hizo explícito que las relaciones entre ellas eran parte básica de las matemáticas.
Comienzo hoy esta serie de posts, para estudiar los conceptos de esta teoría, que no es difícil pero sí nueva y distinta. Comenzemos con algo que pasó hace siglos.
Galileo estudió el movimiento de cuerpos en el espacio. Para eso, se dió cuenta de la importancia de asociar el tiempo con la posición en el espacio de un cuerpo en movimiento. Podemos graficar:
Tenemos un conjunto de instantes de tiempo a la izquierda. Cada punto en el tiempo le corresponde un punto en el espacio, el conjunto de la derecha (estamos manejando conjunto de manera intuitiva, como una colección de cosas). Lo importante es que a cada elemento del conjunto de la izquierda (el dominio que le dicen los matemáticos) LE CORRESPONDE UNO Y SOLO UN elemento en el conjunto de la derecha (el codominio). Esta aplicación es nuestro primer ejemplo de lo que los matemáticos llaman MORFISMO.
Lo que notó también Galileo es que cada punto el espacio se puede mapear a un punto en el plano (dado por "la sombra" del punto en el espacio sobre "el piso") y a un punto en una línea (su altura):
Pudo entonces separar el estudio del movimiento en el espacio a un estudio en simultáneo pero separado, del movimiento en el plano y el movimiento en la línea de altura:
Entonces, la aplicación de tiempo a espacio, luego pudo combinarse con la aplicación de espacio a plano, y la de espacio a línea, quedando:
Esta composición de morfismos, sugiere que ESPACIO = PLANO X TIEMPO, una especie de multiplicación. Tenemos por ahora, tres conceptos a estudiar:
- Los morfismos
- Su composición (dos morfismos (uno atrás de otro como cachetada de loco ;-) originan otro morfismo)
- La multiplicación de conjuntos
Seguimos en el siguiente post. Fuentes consultadas: "Matemáticas conceptuales, una primera introducción a categorías", de Lawvere, Shanuel, editorial Siglo XXI.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
18 de Enero, 2015, 16:42
|
Ya he tratado varios aspectos de la teoría de números. Ver:
Números Primos
Teoría de Números
Demostración del teorema Euler-Fermat
Congruencias módulo m
La función indicatriz de Euler, primeros pasos
Calculando la función indicatriz de Euler
p = x2 + y2
Funciones Aritméticas
Cuando uno estudia números primos y sus propiedades, se interesa en la divisibilidad, descomponer un número entero entre sus divisores. Es lo que se llama teoría de números multiplicativa. También comenzó a aparecer la teoría analítica, aunque sea apenas insinuada en el tema de la hipótesis de Riemann: el uso del análisis matemático en cuestiones de teoría de números.
A los matemáticos les gusta descomponer a un elemento. En el caso de divisibilidad, ver cuáles son los divisores de un número entero. Pero también hay otro camino a explorar: dado un número natural, ver cómo descomponerlo en SUMANDOS. Por ejemplo, tengamos el número 5 (cinco). ¿Cómo podemos descomponerlo en sumandos naturales? ¿y de cuántas maneras distintas? Por "distintas" entendemos que no nos importa el orden, sino qué números usamos.
Queda entonces para descomponer al 5 (cinco) estas formas:
1 + 1 + 1 + 1 + 1
2 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 1
3 + 1 + 1
3 + 2
4 + 1
5
Es decir, hay siete formas distintas. He tomado la convención de poner los sumandos de mayor a menor.
Estas particiones:
2 + 1 + 1 + 1
1 + 2 + 1 + 1
1 + 1 + 2 + 1
1 + 1 + 1 + 2
Las consideramos "iguales", y tomamos la primera como "forma normal": la que aceptamos para expresar esta partición, la expresión que tiene los sumandos descendentes.
La cantidad de particiones diferentes del número n nos da una función aritmética, que llamamos p(n). Si la calculamos para los primeros números, queda:
p(1) = 1
p(2) = 2
p(3) = 3
p(4) = 5
p(5) = 7
p(6) = 11
p(7) = 15
…
Les dejo calcular los siguientes valores. En los siguientes posts vamos a investigar las propiedades de p(n). Por ejemplo ¿habrá alguna fórmula directa para expresarla? ¿o alguna fórmula de recurrencia, donde p(n) se pueda expresar en términos de los p(n-1), p(n-2)…? ¿habrá algún patrón a descubrir en sus valores? ¿Alguna fórmula asintótica? Vamos a ver que hasta hay funciones inesperadas que, cuando se expresan en serie, sus coeficientes nos dan los valores de p(n).
Mientras, pueden leer
http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_%28number_theory%29
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
14 de Enero, 2015, 12:39
|
Publicado el
10 de Enero, 2015, 15:11
|
Mientras sigo explorando teoría de números (ver posts:
Números Primos
Teoría de Números
Demostración del teorema Euler-Fermat
Congruencias módulo m
La función indicatriz de Euler, primeros pasos
Calculando la función indicatriz de Euler
p = x2 + y2
) comienzo hoy una serie de posts sobre un tema nuevo, por un lado sencillo, por otro lado de profunda influencia: las funciones aritméticas. Si hasta puede que el desarrollo del tema nos lleve cerca del teorema de los números primos.
¿Qué es una función aritmética? Es una función sobre los números naturales (desde el 1), que da valores numéricos (digamos, enteros, reales, complejos):
Por ejemplo, tenemos la función aritmética identidad: a cada valor n entrega como resultado el mismo valor n:
Donde
Vamos a ir viendo qué utilidad puede tener una función tan simple. Pero también podemos tener una función aritmética en la función indicatriz de Euler:
Donde para cada n, phi(n) no s da la cantidad de números naturales a, 1 <= a <= n, tales que (a, n) = 1, es decir, que son primos con n.
Comienza a aparecer la relación con la teoría de números: muchas funciones aritméticas interesantes dan resultados que dependen de temas como primos, divisibilidad, que son el pan y la manteca de la teoría de números. Veremos que las funciones aritméticas se pueden clasificar por sus propiedades, y notablemente se pueden combinar entre sí : aparecerá un conjunto de funciones aritméticas que se pueden combinar con una operación binaria que forma grupo, con identidad, inverso, etc.
Antes de terminar esta introducción al tema, quisiera mencionar que también aparecen en series de potencias formales, llegaremos a estudiar las operaciones sobre series infinitas:
Donde los coeficientes son los resultados de una función aritmética f(n). ¿Qué coeficientes nacen de la multiplicación formal de dos de tales series?
Mi principal fuente de consulta para el tema: La introducción a la teoría analítica de números, de Tom Apostol, editorial Reverté.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
4 de Enero, 2015, 7:29
|
Anterior Post
Veamos otra prueba de la irracionalidad de raíz cuadrada de 3, usando descenso infinito.
Sea
Donde a1, b1 son naturales. Usemos la relación:
Para deducir:
Quedando una nueva fracción:
Como sabemos que la raíz es menor que 2:
Deducimos:
Y entonces:
Y también:
Es decir, el numerador de la nueva fracción es positivo, y el denominador de la nueva fracción es menor que el anterior denominador.
Sabemos también que
De donde sacamos:
Es decir, el nuevo denominador es positivo.
Y también deducimos:
Que el nuevo numerador a2 es menor que el anterior a1. Repitiendo el proceso queda:
Una secuencia de numeradores/denominadores estrictamente decreciente: lo que es absurdo. Entonces, la raíz no es racional.
Ejemplo tomado del "Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles", de Yves Hellegouarch.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com/
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
26 de Diciembre, 2014, 15:40
|
En agosto de 1859, Bernhard Riemann pasó a ser miembro de la Academia de Berlin, lo que era un gran honor para un matemático tan joven (tenía entonces 32 años). Como se acostumbraba en esas ocasiones, Riemann presentó un "paper" a la Academia dando cuenta de alguna de sus investigaciones. El título del "paper" era "Sobre el número de números primos menores que una cantidad dada". Ahí investigaba un problema directo de la aritmética ordinaria. Por ejemplo ¿cuántos primos hay menores que 20? ¿y menores a 2000? ¿y cuántos menores a veinte millones? ¿habría alguna fórmula que nos diera el resultado, aunque sea aproximado?
Riemann atacó el problema con las matemáticas más avanzadas de su tiempo, usando herramientas que aún hoy sólo se mencionan en cursos avanzados. Presentó un objeto matemático, la función zeta extendida a los números complejos, y a la tercera parte de su "paper" hizo una conjetura sobre ese objeto, y comentó:
One would, of course, like to have a rigorous proof of this, but I have put aside the search for such a proof after some fleeting vain attempts because it is not necessary for the immediate objective of my investigation.
Traduzco libremente:
Se podría, por supuesto, obtener una prueba rigurosa de esto, pero yo han dejado de lado la búsqueda de tal prueba después de un vano y fugaz intento porque no es necesario para el objetivo inmediato de mi investigación.
Durante décadas, la conjetura pasó desapercibida, pero poco a poco se fue apoderando de la imaginación de los matemáticos, terminando en ser uno de los problemas no resueltos más famoso de nuestra época.
Esa conjetura se conoce como la hipótesis de Riemann. Y ha resistido más de siglo y medio a ser demostrada o refutada. Curiosamente, su demostración implicaría una demostración del teorema principal de distribución de los números primos, que era el tema principal del "paper" de Riemann. Ese teorema se terminó probando por otros caminos, pero la hipótesis de Riemann todavía se yergue como EL problema no resuelto de nuestros tiempos.
David Hilbert comentaba en el Congreso Internacional de Matemáticas de 1900:
Essential progress in the theory of the distribution of prime numbers has lately been made by Hadamard, de la Vallee Poussin, von Mangoldt and others. For the complete solution, however, of the problems set us by Riemann's paper "On the Number of Prime Numbers Less Than a Given Quantity," it still remains to prove the correctness of an exceedingly important statement of Riemann...
donde entonces menciona la hipótesis de Riemann. Pasemos a enero de 2000, a Phillip A. Griffits, director del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, y anterior profesor de matemáticas en Harvard:
Despite the tremendous achievements of the 20th century, dozens of outstanding problems still await solution. Most of us would probably agree that the following three problems are among the most
challenging and interesting. The Riemann Hypothesis. The first is the Riemann Hypothesis, which has tantalized mathematicians for 150 years....
El Instituto de Matemáticas Clay (fundado por el financista bostoniano Landon T. Clay en 1998) ha ofrecido un premio de un millón de dólares por su prueba o refutación. El Instituto Americano de Matemáticas (establecido en 1994 por el emprendedor californiano John Fry) ha tratado el tema de la hipótesis de Riemann, en tres conferenccias dedicadas (1996, 1998, 2000), a las que asistieron investigadores de todo el mundo.
No es fácil explicar la hipótesis, pero en este primer post puedo enunciarla:
Todos los ceros no triviales de la función zeta tiene una parte real igual a un medio
Esta serie de posts es ambiociosa, porque el tratamiento de la hipótesis no es trivial. Nos llevará a visitar a varios resultados matemáticos, y visitaremos la historia de los matemáticos que se vieron involucrados en el camino anterior y posterior de la hipótesis. Una cosa que quisiera explicar es LA RELACION que tiene la hipótesis con LA DISTRIBUCION de los números primos. Hay varios textos de divulgación que tratan la historia y el desarrollo, pero es raro encontrar una explicación de POR QUE la distribución de los ceros de esa tal "función zeta" arroja luz sobre la distribución de los números primos.
Entonces, tenemos que investigar:
- ¿Qqué es esa "función zeta"?
- ¿Cuáles son sus ceros no triviales? Debe haber entonces ceros triviales
- ¿Cómo se pasa de los ceros no triviales de la función zeta a la distribución de números primos?
- ¿Cómo aparecen los números complejos, reales y conceptos de cálculos en algo tan ligado a los números enteros?
- ¿Qué relación hay con la física cuántica?
- Y toda la historia de los matemáticos que se vieron involucrados en el desarrollo del tema
Mis fuentes principales, los libros:
Stalking the Riemann Hypothesis: The Quest to Find the Hidden Law of Prime Numbers, de Dan Rockmore (un gran desarrollo histórico, con muchos detalles, pero sin la explicación matemática última)
Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, por John Derbyshire (donde sí hay desarrollo matemático detallado)
También tengo como fuentes a:
Introducción a la Teoría Analítica de Números, de T.M. Apostol (editorial Reverté)
Fundamentos de la Teoría Analítica de los Números, de A.A.Karatsuba (editorial Mir)
y varios otros libros que iré mencionando.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
25 de Diciembre, 2014, 14:42
|
Anterior Post
Sea la expresión general de una ecuación diferencial ordinaria, en una variable:
Podría faltar alguna de las derivadas, o incluso la variable explícita. Sea por ejemplo:
¿Cómo resolvemos esta ecuación? Algún método ya vimos en Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial Usando Serie de Potencias. También vimos de resolver:
En el post Series de Potencias (1). Pero nos va a llevar gran parte de esta serie discutir y mostrar los métodos de resolución más generales. Más fácil es comprobar que una función es una solución de la ecuación. Sea la ecuación:
Sean las funciones:
Y
Si las reemplazamos en la ecuación diferencial, vemos que son soluciones de la misma. Por ejemplo, para la primera función tenemos:
Y reemplazando esos valores en la ecuación diferencial, vemos que se cumple la ecuación:
Es más, si combinamos linealmente las dos soluciones propuestas:
También esa combinación lineal, con coeficientes a, b, es una solución de la ecuación. Que la combinación lineal de soluciones sea una solución, no siempre se cumple.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
2 de Diciembre, 2014, 6:44
|
Publicado el
13 de Noviembre, 2014, 12:10
|
Estaba investigando sobre modelos económicos, y me encuentro con esto sobre la historia de la programación lineal:
Linear programming (LP) emerged in the United States in the early postwar years. One may to a considerable degree see the development of LP as a direct result of the mobilization of research efforts during the war. George B. Dantzig, who was employed by the US Armed Forces, played a key role in developing the new tool by his discovery in 1947 of the Simplex method for solving LP problems. Linear programming was thus a military product, which soon appeared to have very widespread civilian applications. The US Armed Forces continued its support of Dantzig"s LP work, as the most widespread textbook in LP in the 1960s, namely Dantzig (1963), was sponsored by the US Air Force.
Hace más de tres décadas tuve mi primer encuentro con la programación lineal y los métodos de Dantzig. También había una abundante producción soviética sobre el tema, y nuevas ideas para salir del Simplex.
Dantzig had discovered the Simplex method but admitted many years later that he had not really realized how important this discovery was. Few people had a proper overview of linear models to place the new discovery in context, but one of the few was John von Neumann, at the time an authority on a wide range of problems form nuclear physics to the development of computers. Dantzig decided to consult him about his work on solution techniques for the LP problem.
Este es el relato del propio Dantzig:
"I decided to consult with the "great" Johnny von Neumann to see what he could suggest in the way of solution techniques. He was considered by many as the leading mathematician in the world. On October 3, 1947 I visited him for the first time at the Institute for Advanced Study at Princeton. I remember trying to describe to von Neumann, as I would to an ordinary mortal, the Air Force problem. I began with the formulation of the linear programming model in terms of activities and items, etc.Von Neumann did something, which I believe was uncharacteristic of him. "Get to the point," he said impatiently. Having at times a somewhat low kindling point, I said to myself "O.K., if he wants a quicky, then that"s what he"ll get." In under one minute I slapped the geometric and the algebraic version of the problem on the blackboard. Von Neumann stood up and said "Oh that!" Then for the next hour and a half, he proceeded to give me a lecture on the mathematical theory of linear programs." (Dantzig, 1984).
von Neumann, de amplia cultura matemática, ya conocía el tema. En ese encuentro Dantzig oyó por primera vez sobre la dualidad y el lema de Farkas.
Lo encuentro citado en Dipak Basu, Dipak Basu Economic Models Methods, Theory and Applications.
Otros posts de este blog donde se menciona a von Neumann:
Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John von Neumann
John von Neumann y Operadores en Cuántica
Abstracción y Matemáticas, según von Neumann
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
12 de Noviembre, 2014, 14:46
|
Publicado el
7 de Noviembre, 2014, 12:49
|
Publicado el
2 de Noviembre, 2014, 7:28
|
Anterior Post
Siguiente Post
En el post anterior exploramos un grupo continuo, el de las rotaciones en R2. Por un lado, podemos tener el grupo abstracto, de rotaciones, y por otro, nos manejamos mejor si vemos cada elemento del grupo COMO UNA TRANSFORMACION LINEAL en un espacio vectorial real de dos dimensiones, que mantiene la orientación y la norma de los vectores. Siempre vamos a tener ese "doble camino": o trabajar con el grupo, o con lo que se llama una representación del grupo, operadores lineales que trabajan transformando elementos de un espacio vectorial (ya llegaremos a una definición de representación).
A los físicos les gusta trabajar con representaciones porque permite expresar los elementos del grupo como matrices, si el espacio vectorial sobre el que operamos tiene dimensión finita (hay también representaciones sobre espacios vectoriales especiales de dimensión infinita, pero por ahora no nos interesan). Lo interesante que apareció en el ejemplo anterior, que las matrices en R2 que cumplen:
Preservan la norma de los vectores, y se llaman ortogonales. Pusimos como norma a:
En concreto, si nos manejamos con una base, se expresa:
Donde la norma es la suma de cada coeficiente multiplicado por sí mismo. En realidad, es un caso particular del llamado producto interior en Rn:
Si, como estamos haciendo, estamos en un espacio vectorial con coeficientes reales, queda que la norma de un vector, o su multiplicación por sí mismo, da siempre un número real no negativo (y se anula solamente si v es el vector nulo).
Pero en física también se trabaja, y mucho, con espacios vectoriales complejos, donde el cuerpo de los coeficientes son los números complejos. En estos casos, el producto interno no sirve tanto si se define como arriba, porque para coeficientes cualesquiera la norma puede dar un número cualquiera, no necesariamente positivo ni real. Ejemplo simple:
En estos casos de espacios vectoriales complejos, los matemáticos prefieren un producto interno definido:
(en realidad, los matemáticos prefieren una definición más abstracta, donde no intervienen coeficientes referidos a una base), donde el asterisco significa "complejo conjugado". Expresando en multiplicación de vectores fila/columna, en dos dimensiones, sería:
Notemos que los elementos del vector fila son los coeficientes complejos conjugados del vector original w. Podemos ver el vector original w como un vector columna, y ahora interviene en esta multiplicación de vectores como transpuesto Y CONJUGADO.
Teniendo esta definición de producto, nos interesa el grupo de transformaciones que mantenga la norma y este nuevo producto interno:
Sea la matriz de la transformación R:
Entonces nuestra multiplicación ahora es (habría que hacer todo el desarrollo, pero es así):
Vemos que R interviene TRANSPUESTA Y CONJUGADA. Para que esta expresión sea siempre igual a
Para cualquier w, v, debería cumplirse:
Las transformaciones que cumplen esto (y sus matrices) se llaman UNITARIAS. El grupo de transformaciones unitarias sobre C2 (C = complejo) se llama U(2). El grupo de transformaciones unitarias que no invierten el espacio (con matriz con determinante uno) son el grupo SU(2). Veremos, con paciencia y tiempo, la gran influencia que tienen estos grupos unitarios y especiales en los modelos de grupo del modelo estándar de partículas.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
1 de Noviembre, 2014, 14:40
|
Publicado el
27 de Octubre, 2014, 16:50
|
Publicado el
24 de Octubre, 2014, 15:57
|
Publicado el
16 de Octubre, 2014, 15:34
|
Anterior Post
Siguiente Post
Enumeremos hoy algunos tipos de ecuaciones diferenciales. Tenemos primero, ecuaciones como:
Donde todas las derivadas son totales, no hay derivadas parciales. La función que se quiere despejar es una función que depende, finalmente, de una sola variable (podría depender indirectamente de varias variables, pero éstas ser finalmente funciones de la única variable independiente).
Es común escribir la función a despejar sin poner su dependencia de variables, es decir, usar "y" en lugar de "y(t)", en el ejemplo de arriba. De esta ecuación se dice que es de primer orden, porque el orden más alto de las derivadas que presenta es uno.
En cambio:
Es de segundo orden. Otras veces, la función a buscar interviene con otras variables:
Estas ecuaciones diferenciales se llaman ecuaciones ordinarias, porque no contiene derivadas parciales.
Podemos tener ecuaciones con MAS DE UNA derivada (en orden):
"casi" como si fuera un polinomio con derivadas de distinto orden en vez de variable elevada a distintas potencias. Llegará el caso de explotar esta analogía.
Hay ecuaciones diferenciales ordinarias apenas más complejas, que arrastran una larga historia, como la ecuación de Legendre:
Donde p es una constante. Y la ecuación de Bessel:
Donde de nuevo p es una constante. Vemos en estos dos últimos ejemplos la falta de un término independiente (sin y ni x ni derivadas), y la mezcla en un mismo término de derivadas y variables.
Pero también hay ecuaciones donde la función a despejar depende de más de una variable, y entonces, las derivadas que aparecen son parciales. Ejemplos clásicos:
Donde en todos los casos la función incógnita es w, y depende de x, y, z y t, que podemos considerar coordenadas espaciales y el tiempo. Las tres son muy parecidas, pero describen distintos fenómenos físicos. Se trata, respectivamente, de las ecuaciones de Laplace, del calor y de ondas, con gran historia en la física matemática. Este tipo de ecuaciones en derivadas parciales aparecen en la mecánica de fluidos continuos, en problemas relacionados con campos eléctricos, dinámica de fluidos, difusión y movimientos ondulatorios.
Veremos que la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales es bien diferente de las ordinarias, y casi siempre más difícil. Así al que principio de esta serie, investigaremos algunos casos de ecuaciones ordinarias, para ir entrenándonos en la resolución de ecuaciones diferenciales.
Principal fuente consultada: Ecuaciones Diferenciales, de George F. Simmons, McGraw Hill.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
15 de Octubre, 2014, 15:52
|
Publicado el
10 de Octubre, 2014, 14:40
|
Anterior Post
Siguiente Post
Más temas para revisar, como relaciones entre números primos, formas, tensores, lagrangianos, etc...
Mathematician Claims Proof of Connection between Prime Numbers - Yahoo! News
http://news.yahoo.com/mathematician-claims-proof-connection-between-prime-numbers-131737044.html
Bocher biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bocher.html
Serre thm on noetherian regular local ring
http://www.math.u-psud.fr/~yliang/index/myarticles/Serre%20thm%20on%20noetherian%20regular%20local%20ring.pdf
Hilbert Syzygy Theorem - Induction step - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/27849/hilbert-syzygy-theorem-induction-step
Riemann–Stieltjes integral - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Stieltjes_integral
Chatelet biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Chatelet.html
The Alan Turing Legacy | Instituto de Ciencias Matemáticas
http://www.icmat.es/events/conferences/alanturing
Standard Model Lagrangian
http://nuclear.ucdavis.edu/~tgutierr/files/sml.pdf
Standard Model Lagrangian; Gutierrez, Thomas D. Gutierrez, Tom Gutierrez, T. Gutierrez, T.D. Gutierrez, T. Dominic Gutierrez, Thomas Dominic Gutierrez, Tom Dominic Gutierrez, Thomas Gutierrez
http://nuclear.ucdavis.edu/~tgutierr/files/stmL1.html
Lagrangian Field Theories
http://math.mit.edu/~jspeck/18.152_Fall2011/Lecture%20notes/18152%20lecture%20notes%20-%2021.pdf
Sylvester
http://sylvester.jcoglan.com/
Connection (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Connection_(mathematics)
Connection (principal bundle) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Connection_(principal_bundle)
Cartan connection - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Cartan_connection
Affine connection - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_connection
How To Use the Covariant Derivative Part 1 - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=XDUn4BibPTc
Math Forum - Ask Dr. Math
http://mathforum.org/library/drmath/view/51503.html
Vectors, covectors, duality, tensors, algebras... - Numericana
http://www.numericana.com/answer/vectors.htm
Exterior Calculus
http://www.cs.sunysb.edu/~gu/lectures/lecture_11_exterior_calculus.pdf
Mis Enlaces
http://delicious.com/ajlopez/mathematics
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
1 de Octubre, 2014, 13:58
|
Otros mensajes en Matemáticas
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (15) (26 de Septiembre, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (10) (22 de Septiembre, 2014)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (8) (30 de Agosto, 2014)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (7) (27 de Agosto, 2014)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (6) (21 de Agosto, 2014)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (13) (13 de Agosto, 2014)
- Ecuaciones Diferenciales (2) Primeros Ejemplos (11 de Agosto, 2014)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (12) (7 de Agosto, 2014)
- Ecuaciones Diferenciales (1) Introducción (3 de Agosto, 2014)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (14) (1 de Agosto, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (9) (27 de Julio, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (8) (18 de Julio, 2014)
- Vectores y Tensores (1) (6 de Junio, 2014)
- El dilema de Ulam (17 de Mayo, 2014)
- Espacios Vectoriales (Parte 5) Combinando Vectores (4 de Marzo, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (7) (3 de Marzo, 2014)
- Henri Poincaré: Enlaces y Recursos (1) (27 de Febrero, 2014)
- Notas sobre Variedades Suaves (3) (18 de Febrero, 2014)
- Topología General (14) Puntos de Acumulación con Intersección Infinita (1 de Febrero, 2014)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (13) (27 de Enero, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (6) (25 de Enero, 2014)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (11) (17 de Enero, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (5) (9 de Enero, 2014)
- Notas sobre Variedades Suaves (2) (4 de Enero, 2014)
- Notas sobre Variedades Suaves (1) (29 de Diciembre, 2013)
- Geometría: Enlaces y Recursos (7) (8 de Diciembre, 2013)
- Series de Potencias (1) (2 de Diciembre, 2013)
- Desarrollo de las Matemáticas, por Carl Boyer (2) (25 de Noviembre, 2013)
- Desarrollo de las Matemáticas, por Carl Boyer (1) (19 de Octubre, 2013)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (10) (6 de Octubre, 2013)
- Geometría: Enlaces y Recursos (6) (29 de Septiembre, 2013)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (9) (25 de Septiembre, 2013)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (12) (20 de Septiembre, 2013)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (11) (19 de Septiembre, 2013)
- Topología General (13) Puntos de Acumulación con Intersección Finita (17 de Septiembre, 2013)
- Los problemas de Hilbert (3) (14 de Septiembre, 2013)
- Una introducción de Hilbert (11 de Septiembre, 2013)
- Teoría de Grupos (2) Unicidad de Inverso y Neutro (6 de Septiembre, 2013)
- Topología General (12) Conjuntos con Puntos de Acumulación (1 de Septiembre, 2013)
- Los problemas de Hilbert (2) (23 de Agosto, 2013)
- Los problemas de Hilbert (1) (17 de Agosto, 2013)
- Teoría de Grupos (1) Axiomas (10 de Agosto, 2013)
- David Hilbert: Enlaces y Recursos (1) (8 de Agosto, 2013)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (10) (28 de Julio, 2013)
- Invariantes Algebraicos, por David Hilbert (3) (21 de Julio, 2013)
- Leyendo a Eric Temple Bell (1) Ampliaciones del concepto de número (I) (20 de Julio, 2013)
- Topología General (11) Una Propiedad de los Conjuntos Cerrados (29 de Junio, 2013)
- Topología: Enlaces y Recursos (4) (28 de Junio, 2013)
- Topología: Enlaces y Recursos (3) (24 de Junio, 2013)
- Teoría de Números (2) (19 de Junio, 2013)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (8) (17 de Junio, 2013)
- Invariantes Algebraicos, por David Hilbert (2) (16 de Junio, 2013)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (5) (14 de Junio, 2013)
- David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (5) (13 de Junio, 2013)
- Euler: Enlaces y Recursos (2) (3 de Junio, 2013)
- Geometría: Enlaces y Recursos (5) (31 de Mayo, 2013)
- David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (4) (29 de Mayo, 2013)
- El teorema de la base de Hilbert (3) (27 de Mayo, 2013)
- Teoría de Números (1) (26 de Mayo, 2013)
- Descenso Infinito (1) (24 de Mayo, 2013)
- David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (3) (22 de Mayo, 2013)
- Geometría: Enlaces y Recursos (4) (21 de Mayo, 2013)
- p = x2 + y2 (2) (20 de Mayo, 2013)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (4) (19 de Mayo, 2013)
- Topología General (10) Conjuntos Cerrados y Puntos de Acumulación (18 de Mayo, 2013)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (4) (15 de Mayo, 2013)
- Geometría: Enlaces y Recursos (3) (9 de Mayo, 2013)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (7) (4 de Mayo, 2013)
- El teorema de la base de Hilbert (2) (1 de Mayo, 2013)
- p = x2 + y2 (1) (29 de Abril, 2013)
- Topología General (9) Conjuntos Cerrados (23 de Abril, 2013)
- David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (2) (19 de Abril, 2013)
- David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (1) (18 de Abril, 2013)
- Invariantes Algebraicos, por David Hilbert (1) (17 de Abril, 2013)
- Notas sobre Invariantes (1) (16 de Abril, 2013)
- Hermann Weyl, fisica y matematicas (9 de Abril, 2013)
- Historia de las Matemáticas en Grecia (1) (5 de Abril, 2013)
- Funciones Invariantes (4) (31 de Marzo, 2013)
- El teorema de la base de Hilbert (1) (30 de Marzo, 2013)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (9) (29 de Marzo, 2013)
- Euler: Enlaces y Recursos (1) (28 de Marzo, 2013)
- Topología General (Parte 8) Puntos de Acumulación (25 de Marzo, 2013)
- Teoría de Categorías: Enlaces y Recursos (2) (24 de Marzo, 2013)
- Teoría de Categorías: Enlaces y Recursos (1) (20 de Marzo, 2013)
- Gauss: Enlaces y Recursos (1) (15 de Marzo, 2013)
- Fermat: Enlaces y Recursos (1) (13 de Marzo, 2013)
- Fermat y el Método de Descenso Infinito (12 de Marzo, 2013)
- Topología: Enlaces y Recursos (2) (6 de Marzo, 2013)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (3) (1 de Marzo, 2013)
- Historia de la Combinatoria (1) (24 de Febrero, 2013)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (3) (16 de Febrero, 2013)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (2) (14 de Febrero, 2013)
- Funciones Invariantes (3) (10 de Febrero, 2013)
- Geometría: Enlaces y Recursos (2) (8 de Febrero, 2013)
- Funciones Invariantes (2) (20 de Enero, 2013)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (6) (15 de Enero, 2013)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (5) (9 de Enero, 2013)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (4) (1 de Enero, 2013)
- Ternas Pitagóricas (18 de Noviembre, 2012)
- Funciones Invariantes (1) (15 de Octubre, 2012)
- Topología General (Parte 7) Entornos de un Punto (30 de Septiembre, 2012)
- Carl Friedrich Gauss (1) Introducción (29 de Septiembre, 2012)
- Números Primos (4) Factorización Unica (18 de Septiembre, 2012)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (2) (14 de Septiembre, 2012)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (1) (13 de Septiembre, 2012)
- Espacios Vectoriales (Parte 4) Subespacios (10 de Septiembre, 2012)
- Geometría: Enlaces y Recursos (1) (31 de Agosto, 2012)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (1) (28 de Agosto, 2012)
- Topología: Enlaces y Recursos (1) (25 de Agosto, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (8) (23 de Agosto, 2012)
- Espacios Vectoriales (Parte 3) Más Ejemplos (20 de Agosto, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (7) (18 de Julio, 2012)
- Números Primos (3) Son Infinitos, otra prueba (1 de Julio, 2012)
- El teorema de Varignon (1) (30 de Junio, 2012)
- Un problema de Kolmogorov (1) (25 de Junio, 2012)
- Serie Armónica Divergente (24 de Junio, 2012)
- Cálculo: Enlaces, Novedades y Recursos (2) (22 de Junio, 2012)
- El anillo K[x] (19 de Junio, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (6) (3 de Junio, 2012)
- Topología General (Parte 6) Una Topología en el Plano Real (27 de Mayo, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (5) (26 de Mayo, 2012)
- Cálculo: Enlaces, Novedades y Recursos (1) (23 de Mayo, 2012)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (3) (17 de Mayo, 2012)
- Formalismo en Matemáticas, por Bertrand Russell (2) (13 de Mayo, 2012)
- Formalismo en Matemáticas, por Bertrand Russell (1) (28 de Abril, 2012)
- Topología General (Parte 5) Topología en Reales (26 de Abril, 2012)
- Números Primos (2) Son Infinitos (22 de Abril, 2012)
- Matemáticas y Filosofía (2) Enlaces y Recursos (15 de Abril, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (4) (13 de Abril, 2012)
- Matemáticas y Filosofía (1) Enlaces y Recursos (8 de Abril, 2012)
- Matemáticas y Realidad (1) Presentación (7 de Abril, 2012)
- Números Primos (1) Presentación (2 de Abril, 2012)
- Topología General (Parte 4) Primer Ejemplo (1 de Abril, 2012)
- Topología General (Parte 3) Espacios Topológicos (27 de Febrero, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (3) (23 de Febrero, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (2) (17 de Febrero, 2012)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (2) (15 de Febrero, 2012)
- Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial Usando Series de Potencias (26 de Enero, 2012)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (1) (19 de Enero, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (1) (14 de Enero, 2012)
- Espacios Vectoriales (Parte 2) Primeros Ejemplos (17 de Diciembre, 2011)
- Números Surreales (2) El Cero (12 de Diciembre, 2011)
- Números Surreales (1) Presentación (28 de Noviembre, 2011)
- El epitafio de Diofanto (26 de Noviembre, 2011)
- Topología General (Parte 2) Puntos y Entornos (7 de Septiembre, 2011)
- Factorización Unica en el Anillo de Enteros (21 de Junio, 2011)
- La utilidad de las matemáticas y Laurent Schwartz (7 de Junio, 2011)
- Solución al problema de los números (6 de Junio, 2011)
- Cinco al hilo (21 de Mayo, 2011)
- Ideales en Anillos (17 de Mayo, 2011)
- David Hilbert, por Richard Courant (16 de Mayo, 2011)
- Espacios Vectoriales (Parte 1) Definiciones (7 de Mayo, 2011)
- Simetrías del cuadrado (Parte 3) (6 de Mayo, 2011)
- Felix Hausdorff por Laurence Young (5 de Mayo, 2011)
- Máximo Común Divisor en el Anillo de Enteros (4 de Mayo, 2011)
- ¿De qué tratan las Matemáticas? (Parte 2) Que es la matemática, por Ian Stewart (3 de Mayo, 2011)
- Abstracción y Definición en Matemáticas (2 de Mayo, 2011)
- Extendiendo los números naturales (30 de Abril, 2011)
- Pares e Impares (29 de Abril, 2011)
- Cuerpos y Campos (28 de Abril, 2011)
- Anillos (26 de Abril, 2011)
- Ejemplos de Anillos Conmutativos (22 de Abril, 2011)
- ¿De qué tratan las Matemáticas? (Parte 1) Introducción (18 de Abril, 2011)
- Topología General (Parte 1) Introducción (16 de Abril, 2011)
- Topología, Física y Solzhenitsyn (15 de Abril, 2011)
- Enumerando Nodos de un Arbol (2 de Abril, 2011)
- La Hormiga, el Cubo y el Veneno (1 de Abril, 2011)
- Primer contacto con el binomio de Newton, en Juvenilia (29 de Marzo, 2011)
- Kant y las Matemáticas (2 de Marzo, 2011)
- Desarrollando una Función en Serie de Potencias (22 de Febrero, 2011)
- Gauss y la importancia de los números complejos (10 de Febrero, 2011)
- Números Complejos (Parte 1) Tutorial en Video (26 de Enero, 2011)
- La Historia de las Matemáticas (Parte 1) (25 de Enero, 2011)
- Einstein: Matemáticas y Realidad (18 de Diciembre, 2010)
- Simetrías del cuadrado (Parte 2) (30 de Septiembre, 2010)
- Simetrías Rotacionales del Cubo (28 de Septiembre, 2010)
- Simetrías del cuadrado (Parte 1) (27 de Septiembre, 2010)
- Aliens y matemáticas, lenguaje universal (23 de Septiembre, 2010)
- Matemáticos y la imaginación (12 de Septiembre, 2010)
- Elipses (11 de Septiembre, 2010)
- N es un número (26 de Agosto, 2010)
- La realidad de la geometría no euclídea (Parte 3) (17 de Agosto, 2010)
- Anillos Conmutativos (27 de Julio, 2010)
- Una propiedad de la indicatriz de Euler (19 de Julio, 2010)
- John Nash, Barry Mazur y el teorema de Dirichlet (18 de Julio, 2010)
- Demostración del teorema Euler-Fermat (17 de Julio, 2010)
- David Hilbert, según Jean Dieudonné (11 de Julio, 2010)
- Gauss y la congruencia, por E.T.Bell (10 de Julio, 2010)
- La fórmula multiplicativa de la indicatriz de Euler (8 de Julio, 2010)
- Problema simple de Teoría de Números (7 de Julio, 2010)
- Un problema de la OMA (5 de Julio, 2010)
- Congruencias módulo m (3 de Julio, 2010)
- Calculando la función indicatriz de Euler (1 de Julio, 2010)
- La función indicatriz de Euler, primeros pasos (30 de Junio, 2010)
- Un pequeño ejercicio en Teoría de Números (29 de Junio, 2010)
- Una paradoja en el Quijote (28 de Junio, 2010)
- Rey Pastor y la historia de las matemáticas (27 de Junio, 2010)
- Matemáticas y Ciencia, en el siglo XVII (27 de Junio, 2010)
- Anécdota de Henri Poincaré (22 de Junio, 2010)
- Matemáticas y Tecnología, según von Neumann (17 de Junio, 2010)
- Simetría, primeros pasos (13 de Junio, 2010)
- Lo General y Particular en Matemáticas, según Courant (12 de Junio, 2010)
- Abstracción y Matemáticas, según Von Neumann (10 de Junio, 2010)
- La realidad de la geometría no euclídea (Parte 2) (7 de Junio, 2010)
- Euclides, geometría y realidad, por Martin Gardner (Parte 2) (5 de Junio, 2010)
- La realidad de la geometría no euclídea (Parte 1) (3 de Junio, 2010)
- Euclides, geometría y realidad, por Martin Gardner (Parte 1) (31 de Mayo, 2010)
- Euclides, según Proclo (24 de Mayo, 2010)
- Naturaleza por números (10 de Abril, 2010)
- Sobre un problema de lógica sobre el argumento ontológico de Anselmo (4 de Abril, 2010)
- Dos visiones de matemáticas (22 de Diciembre, 2009)
- Historia de las Matemáticas modernas de David Eugene Smith (13 de Diciembre, 2009)
- 100 problemas matemáticos (6 de Diciembre, 2009)
- La belleza de las matemáticas según Bertrand Russell (21 de Noviembre, 2009)
- Grupos: definición y ejemplo (20 de Septiembre, 2009)
- Resolviendo un problema de grupos del Fraleigh (17 de Septiembre, 2009)
- Los matemáticos (14 de Septiembre, 2009)
- Motivaciones para la Teoría de Grupos (13 de Septiembre, 2009)
- El problema de los apretones de manos, de Paul Halmos (6 de Septiembre, 2009)
- "Quiero ser matemático": Conversando con Paul Halmos (5 de Septiembre, 2009)
- Un problema con 101 colaboradores (16 de Agosto, 2009)
- Un problema de colaboración (8 de Agosto, 2009)
- Platon, Sócrates y la aritmética (20 de Julio, 2009)
- El problema de los tres dioses (4 de Julio, 2009)
- Recordando a John Napier (2 de Julio, 2009)
- Imágenes y símbolos, según Hilbert (13 de Junio, 2009)
- Como demostrar matemáticamente que las mujeres son un problema (17 de Mayo, 2009)
- Notas sobre el Cálculo Lambda (14 de Abril, 2009)
- Los problemas de Hilbert (9 de Abril, 2009)
- Definiciones en matemáticas, según Fraleigh (4 de Abril, 2009)
- El cubo de Yoshimoto (8 de Enero, 2009)
- Filosofía de las matemáticas, según Dieudonné (20 de Diciembre, 2008)
- Las ideas de Gödel (11 de Diciembre, 2008)
- Siete veces siete (3 de Diciembre, 2008)
- Gödel y Einstein en Princeton (29 de Noviembre, 2008)
- La realidad matemática, según Hardy (23 de Noviembre, 2008)
- Como piensa un matemático (23 de Octubre, 2008)
- Logicismo, intuicionismo y formalismo en matemáticas (20 de Julio, 2008)
- Gödel, Einstein y la constitución americana (5 de Julio, 2008)
- El problema de Monk (4 de Mayo, 2008)
- El origen de las matemáticas (29 de Abril, 2008)
- El razonamiento intuicionista (30 de Marzo, 2008)
- El número y Ernesto Sábato (16 de Marzo, 2008)
- Kant y el intuicionismo matemático (29 de Febrero, 2008)
- El origen del intuicionismo matemático (27 de Febrero, 2008)
- La forma de trabajo de Andrew Wiles (26 de Febrero, 2008)
- El intuicionismo matemático, primer tesis (21 de Febrero, 2008)
- Gauss, Abel, Galois en la sociedad, según Bell (20 de Febrero, 2008)
- Intuición sensible en matemáticas (17 de Febrero, 2008)
- Recordando a Mischa Cotlar (15 de Febrero, 2008)
- Teoría de Galois (14 de Febrero, 2008)
- Recordando a Beppo Levi (12 de Febrero, 2008)
- La historia de Ramanujan (11 de Febrero, 2008)
- Siete mil años de matemáticas (8 de Febrero, 2008)
- El Algebrista (22 de Enero, 2008)
- Más sobre la creación matemática, según Poincaré (10 de Diciembre, 2007)
- La creación matemática, según Poincaré (7 de Noviembre, 2007)
- Poincaré y la topología (1 de Febrero, 2007)
- Divulgando Matemáticas (31 de Enero, 2007)
|
