Angel "Java" Lopez en Blog

Matemáticas


Publicado el 16 de Mayo, 2017, 13:36

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What is a gauge?
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Chebyshev"s Paradoxical Mechanism
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Una demostración visual (explicada) del teorema de Ptolomeo | Gaussianos
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Pat'sBlog: Circles and Equilateral Triangles
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Problemas abiertos | Microsiervos (Ciencia)
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Mathematicians invent new way to slice pizza into exotic shapes
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Art of Problem Solving
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Publicado el 15 de Mayo, 2017, 8:26

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Exploremos el tema desde un punto más algebraico. Sea k un campo (un cuerpo conmutativo, ver Cuerpos y Campos), y sea An(k) o simplemente An, el producto cartesiano de k por sí mismo n veces. Entonces  An(k) es el conjunto de n-tuplas de elementos de k. A An(k) la llamamos n-espacio afín. A sus elementos los llamamos puntos (como analogía a los puntos geométricos del plano o del espacio). En particular A1(k) es la línea afín, A2(k) es el plano afín (dejo para otro momento investigar el origen del uso "afín" para estos espacios).

Este es origen de "geometría" en lo que estamos estudiando: los resultados los vamos a obtener en conjuntos de esos "puntos" de espacios afines. Veamos de dónde viene lo "algebraico".

Recordemos que k[X1, ..., Xn] es el conjunto de los polinomios en n variables, con coeficientes en (ver El anillo k[X]) Sea F uno de esos polinomios. Se dice que un punto P de An(k) es un cero de F si F(P) = 0. Es decir, si P=(a1,....,an), entonces P es cero si F(a1,....,an) queda valuado en cero. Si F no es un polinomio constante, entonces se llama al conjunto de sus ceros la hipersuperficie definida por F. La denominamos V(F). Un hipersuperficie en A2(k) se llama curva plana afín. Si F es un polinomio de grado uno, V(F) se denomina hiperplano de An(k). Si n=2, es una línea.

Este es el punto de partida de toda la geometría algebraica: comenzar a estudiar los conjuntos de ceros de conjuntos de polinomios. Esos conjuntos tienen propiedades muy interesantes.

Además de considerar los ceros de un polinomio, podemos considerar los ceros de un CONJUNTO de polinomios de k[X1, ..., Xn]. En este caso, consideramos que P es un punto cero si "se anula" en TODOS los polinomios de ese conjunto.

Hay resultados elementales que se deducen de las propiedades de los polinomios. Por ejemplo, el conjunto de ceros de un polinomio F = QP (que es producto de otros dos polinomios) es la UNION de los ceros de Q y los ceros de P, es decir V(F) = V(QP) = V(Q) unión V(P),

El conjunto de ceros del conjunto compuesto por dos polinomios F y G, es el conjunto INTERSECCION de los ceros de F y los ceros de G. Es decir, V({F, G}) = V(F) intersección V(G).

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Publicado el 14 de Mayo, 2017, 15:34

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El tema de las curvas elípticas es tan fascinante como amplio. Es a veces difícil saber por dónde empezar, que leer al principio, que investigar. Uno de los libros que me ayudaron a empezar a entender de qué va el tema y sus aplicaciones es:

Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets

de William Stein. Hay versión para bajarse en http://wstein.org/ent/, actualizado a enero de 2017. Podemos estudiar desde los elementos de la teoría de números, llegando a curvas elípticas en el último capítulo. Además se puede estudiar reciprocidad cuadrática, fracciones continuas, y toda la base elemental de teoría de números. El capítulo 3 es interesante porque explica el uso en criptografía de varios resultados de la teoría de números.

(Recordemos acá a Hardy, el "descubridor" de Ramanujan, cultivador de la teoría de números de la que orgulloso decía que no tenía aplicación práctica; se asombraría hoy de cuánto se usa en criptografía).

Al principio, Stein escribe:

The systematic study of number theory was initiated around 300B.C. when Euclid proved that there are in nitely many prime numbers, and also cleverly deduced the fundamental theorem of arithmetic, which asserts that every positive integer factors uniquely as a product of primes. Over a thousand years later (around 972A.D.) Arab mathematicians formulated the congruent number problem that asks for a way to decide whether or not a given positive integer n is the area of a right triangle, all three of whose sides are rational numbers. Then another thousand years later (in 1976), Duffie and Hellman introduced the first ever public-key cryptosystem, which enabled two people to communicate secretely over a public communications channel with no predetermined secret; this invention and the ones that followed it revolutionized the world of digital communication. In the 1980s and 1990s, elliptic curves revolutionized number theory, providing striking new insights into the congruent number problem, primality testing, public key cryptography, attacks on public-key systems, and playing a central role in Andrew Wiles' resolution of Fermat's Last Theorem.

Al principio del capítulo sobre curvas elípticas, escribe:

Elliptic curves are number theoretic objects that are central to both pure and applied number theory. Deep problems in number theory such as the congruent number problem: which integers are the area of a right triangle with rational side lengths? translate naturally into questions about elliptic curves. Other questions, such as the famous Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, describe mysterious structure that mathematicians expect elliptic curves to have. One can also associate nite abelian groups to elliptic curves, and in many cases these groups are well suited to the construction of cryptosystems. In particular, elliptic curves are widely believed to provide good security with smaller key sizes, something that is useful in many applications, for example, if we are going to print an encryption key on a postage stamp, it is helpful if the key is short! Morover, there is a way to use elliptic curves to factor integers, which plays a crucial role in sophisticated attacks on the RSA public-key cryptosystem

Ver la conjetura:

https://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture

Es notable que el problema de saber si un número es congruente o no, carece de solución general:

https://en.wikipedia.org/wiki/Congruent_number

Para sus ejemplos usa http://www.sagemath.org/ Stein primero define cómo es una curva elíptica dando ejemplo gráfico sobre los reales (no trata las curvas elípticas sobre complejos). Define las curvas elípticas en su forma corta, dependiendo de dos parámetros a, b, sin puntos singulares, y evitando los campos K de característica 2 y 3. Para incluir estos campos, define la forma más general de curvas elípticas, con cinco coeficientes.

La primera propiedad no trivial es la estructura de grupo de los puntos de una curva elíptica. Y cómo ese grupo se conserva entre los puntos de coordenada racional. Stein señala que el punto difícil para demostrar la existencia de grupo es probar la asociativada de la "suma de puntos" que define. Menciona tres métodos para demostrarla: apelando a la descripción geométrica, calculándola a partir de las fórmulas para calcular el tercer punto, o sino, desarrollar una teoría general de "divisores de curvas algebraicas" por la cual la asociatividad del grupo sale como un corolario natural.

Otro tema que presenta es el uso de curvas elípticas en la factorización de enteros. Enuncia un resultado de Lenstra, el Elliptic Curve Method, inspirado en un método de Pollard (p-1). De ambos da ejemplos. Del método de Lenstra da, más que una demostración rigurosa, una explicación heurística. 

El tema siguiente es la aplicación de curvas elípticas en criptografía, tema introducido independientemente por Neil Koblitz y Victor Miller a mediados de los ochenta del siglo pasado. Primero discute el análogo de Diffie-Holman, en vez de sobre Z/Zp sobre la curva E(Z/Zp). Luego discute el sistema criptográfico ElGamal. Presenta el problema del logaritmo discreto en curvas elípticas.

El tema final es curvas elípticas sobre números racionales, con el importante resultado de Mordell: el grupo de puntos racionales de una curva elíptica tiene base finita, enunciado sin demostración. Menciona el método "de descenso" para calcular esa base, aclarando que no está demostrado que siempre termine exitosamente. Enuncia también un resultado de Mazur, 1976, sobre el grupo de torsión de E(Q), dándolo isomorfo a uno de 15 grupos. El grupo cociente E(Q)/E(Q)tor es un grupo abeliano finitamente generado, entonces es isomorfo a una potencia de Z. Esa número potencia es el rango de E(Q). Hay una conjetura, parte del folclore matemático no asociado a ningún autor en particular, que dice que hay curvas elípticas de cualquier rango arbitrario. Presenta el record mundial de una curva con rango 28. Y notablemente, presenta la relación entre curvas elípticas y números congruentes (números naturales que son la superficie de un triángulo rectángulo de lados racionales).

En fin, un libro para comenzar a tomarle el gusto a esto de las curvas elípticas. No discute el caso complejo, ni da todas las demostraciones, pero sirve para introducirse en este mundo interminable,

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Publicado el 4 de Mayo, 2017, 11:22

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What is a gauge?
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A new “Mathematician’s Apology”
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Quantum Questions Inspire New Math
https://www.quantamagazine.org/20170330-how-quantum-theory-is-inspiring-new-math/

Affine Space
https://ncatlab.org/nlab/show/affine+space

Chebyshev’s Paradoxical Mechanism
http://www.futilitycloset.com/2015/01/03/chebyshevs-paradoxical-mechanism/

The Mathematics of Machine Learning
https://www.linkedin.com/pulse/mathematics-machine-learning-wale-akinfaderin

El falso Alan Turing de la película ‘The Imitation Game’
http://francis.naukas.com/2015/01/26/el-falso-alan-turing-de-la-pelicula-imitation-game/

Descenso infinito: un método de demostración poco conocido
http://gaussianos.com/descenso-infinito-un-metodo-de-demostracion-poco-conocido/

Defeating Quantum Algorithms with Hash Functions
https://research.kudelskisecurity.com/2017/02/01/defeating-quantum-algorithms-with-hash-functions/

Neal Kobliktz
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El canibalismo de los gluones y el enigma de la masa del pión
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Gödel's incompleteness theorems
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$25 Million in Breakthrough Prizes Given in Science and Math - The New York Times
http://www.nytimes.com/2016/12/04/science/breakthrough-prizes-science-math.html?_r=0

Regular prime - Wikipedia
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The Beautiful Mind of John Nash : Documentary on the Life and Struggles of John Nash
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Una demostración visual (explicada) del teorema de Ptolomeo | Gaussianos
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World's Largest Math Proof Solved. And It Takes Up 200 Terabytes
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Problemas abiertos | Microsiervos (Ciencia)
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Euler Finds The Prime Product Formula (3) - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=4tbuSPSqQWU

Terence Tao: Structure and Randomness in the Prime Numbers, UCLA - YouTube
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Dogbone space - Wikipedia, the free encyclopedia
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ECDSA Security in Bitcoin and Ethereum: a Research Survey – CoinFabrik Blog
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La sucesión de Goodstein | Gaussianos
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Procedural World: Introduction to Wang Tiles
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An aperiodic set of 13 Wang tiles
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Publicado el 30 de Abril, 2017, 16:29

Hace un tiempo, en el post El Ultimo Teorema de Fermat (4) mostré un resultado de Fermat sobre la imposibilidad de tener un triángulo rectángulo de lados enteros cuya área sea un cuadrado. Ese resultado sirvió también para demostrar el caso n=4 del Ultimo Teorema de Fermat (ver post El Ultimo Teorema de Fermat (5))

Tambien presenté en el post El Ultimo Teorema de Fermat (1) que Fermat había enunciado su famoso Ultimo Teorema, en una copia de un libro de Diofanto, traducido y editado por Bachet de Meziriac. Pero éste último no sólo presenta a Diofanto, sino que también lo anota y acompaña con resultados propios.

Por ejemplo, las condiciones para que un número sea el área de un triángulo rectángulo de lados racionales aparecen en varios problemas de ese libro de Diofanto. Pero este autor griego sólo se contenta con presentar soluciones particulares de esos problemas, sino especificar condiciones necesarias o suficientes para que ese número existe. Pero Bachet agrega algunos resultados.

Notablemente da las condiciones suficientes y necesarias para que el área de un triángulo rectángulo racional sea un cuadrado. Veremos en este post una breve demostración de esta proposición. Pero lo interesante es ver que la preocupación de Fermat por las áreas
de los triángulos rectángulos viene no sólo de Diofanto sino también de Bachet.

Este último puso como condición necesaria y suficiente para que un número A sea área de un triángulo rectángulo racional, es que exista un número racional K tal que:

sea un cuadrado. Primero veamos que si se cumple esta condición, entonces 2A/K y K son lados de un triángulo rectángulo racional de área A, pues

implica, dividiendo por K2, que:

es decir, hay un triángulo racional con lados 2A/K y K. Pero el área de ese triángulo es la mitad de la multiplicación de sus lados, quedando:

Queda demostrado que partiendo de la condición de Bachet, A es el área de un triángulo rectángulo racional.

Veamos de demostrar que la condición de Bachet es necesaria cuando A es área. Sean K y H los lados de un triángulo rectángulo racional tal que su área es A:

Multipliquemos K y H, por K. Quedan K2 y HK. Estos, por proporción, son TAMBIEN lados de un triángulo racional. Entonces, la suma de sus cuadrados es un cuadrado:

Pero HK = 2A, queda entonces la condición de Bachet:

Fuentes consultadas: el monumental Dickson L.E.-History of the theory of numbers_ diophantine analysis. Volume 2 (1971) comienzo del capítulo XXII

Mencionado en el excelente Fermat's Last Theorem, a Genetic Intro de Edwards.

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Publicado el 29 de Abril, 2017, 9:20

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Mathematicians invent new way to slice pizza into exotic shapes
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How we used Category Theory to solve a problem in Java | realestate.com.au
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A Mathematician"s New Year"s Resolutions | Math with Bad Drawings
http://mathwithbaddrawings.com/2015/12/30/a-mathematicians-new-years-resolutions/

Fermat's Last Theorem: Euler's Mistake
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/06/eulers-mistake.html

How are euclidean rings and norms related? - Mathematics Stack Exchange
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Eisenstein integer - Wikipedia, the free encyclopedia
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The Dirac comb function Sha
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24 Uses of Statistical Modeling (Part I) - Data Science Central
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Homework problems for 2090
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The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof
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Could machine learning discover new mathematical proofs? - Quora
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Big Data"s Mathematical Mysteries
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mathbox Presentation-quality WebGL math graphing
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Leontief Economic Model
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Leontief Model intro Lesson - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=-1jT5NOk93w

Application to economics: Leontief Model
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Riemann Hypothesis not proved | The Aperiodical
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Enfrentándose a la hipótesis de Riemann « MiGUi
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El regreso a la hipótesis de Riemann - La Opinión de Málaga
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[math/0505373] On the remarkable properties of the pentagonal numbers
http://arxiv.org/abs/math/0505373

Pricing Options with Mathematical Models | edX
https://www.edx.org/course/pricing-options-mathematical-models-caltechx-bem1105x-0

Euler function - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_function

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Wiles' proof of Fermat's Last Theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Wiles%27_proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem

Chebyshev Polynomials
http://www.johndcook.com/ChebyshevPolynomials.pdf

Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents
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Math Forum - Ask Dr. Math
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Writhe - Wikipedia, the free encyclopedia
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Open Problems That Might Be Easy | Gödel's Lost Letter and P=NP
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Elementary Number Theory
http://wstein.org/ent/ent.pdf

Journal of Number Theory - Elsevier
http://www.journals.elsevier.com/journal-of-number-theory/

Elementary Number Theory
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International Journal of Number Theory (World Scientific)
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An Introduction to Number Theory : nrich.maths.org
http://nrich.maths.org/4352

Number Theory Web
http://www.numbertheory.org/

What Is Number Theory?
http://www.math.brown.edu/~jhs/frintch1ch6.pdf

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reference request - Software to draw links or knots - Mathematics Stack Exchange
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knot theory
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/murasug3.pdf

[math/0108072] Notes to the early history of the Knot Theory in Japan
http://arxiv.org/abs/math/0108072

The History of Mathematics
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/

History of Mathematics Home Page
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/

Math Forum: Famous Problems in the History of Mathematics
http://mathforum.org/isaac/mathhist.html

MacTutor History of Mathematics
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

The Story of Mathematics
http://www.storyofmathematics.com/

Hilbert–Pólya conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya_conjecture

Art of Problem Solving
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Existence of the Orthocenter
http://www.cut-the-knot.org/triangle/altitudes.shtml

Concerning the sums of series of reciprocals
http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e041tr.pdf

www.17centurymaths.com/contents/eulercontents.html
http://www.17centurymaths.com/contents/eulercontents.html

E41 -- De summis serierum reciprocarum
http://eulerarchive.maa.org/pages/E041.html

Evaluating ζ(2)
http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf

The 17-armed spiral within a spiral | mathbabe
http://mathbabe.org/2015/07/22/the-17-armed-spiral-within-a-spiral/

Quantitative analyst - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Quantitative_analyst

mathbabe | Exploring and venting about quantitative issues
http://mathbabe.org/

Mathematician to know: Emmy Noether | symmetry magazine
http://www.symmetrymagazine.org/article/june-2015/mathematician-to-know-emmy-noether

Category Theory by Tom LaGatta - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=o6L6XeNdd_k&feature=em-subs_digest-vrecs

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non/spire
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Ciencia: ¿Se puede oír la forma de un tambor? - CIENCIAXPLORA A3TV
http://www.cienciaxplora.com/divulgacion/puede-oir-forma-tambor_2015070100078.html

Category Theory: The Beginner"s Introduction - YouTube
https://www.youtube.com/playlist?list=PLm_IBvOSjN4zthQSQ_Xt6gyZJZZAPoQ6v

Quantum jumps and classical harmonics
http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/ajp/70/3/10.1119/1.1445405

How to prove that the sum and product of two algebraic numbers is algebraic?
http://math.stackexchange.com/questions/155122/how-to-prove-that-the-sum-and-product-of-two-algebraic-numbers-is-algebraic

Resultant - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Resultant

abstract algebra - Sums and products of algebraic numbers
http://math.stackexchange.com/questions/141427/sums-and-products-of-algebraic-numbers

Mi opinión sobre la colección "Las matemáticas que nos rodean" de El País
http://gaussianos.com/mi-opinion-sobre-la-coleccion-las-matematicas-que-nos-rodean-de-el-pais/

La demanda profesional de matemáticos se dispara
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Season of the Witch | The Renaissance Mathematicus
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Birth of a Theorem: A Mathematical Adventure by Cédric Villani
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Eduardo Sáenz de Cabezón: Math is forever | Talk Video | TED.com
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Mathematicians Chase Moonshine"s Shadow - Scientific American
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Wolfram Demonstrations Project: 10,000 Apps Strong—Wolfram Blog
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Leonhard Euler and The Basel Problem
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Basel problem - Wikipedia, the free encyclopedia
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An old Mathematical Object
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Pat'sBlog: On This Day in Math - February 18
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Noetherian ring - Wikipedia, the free encyclopedia
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Affine variety - Wikipedia, the free encyclopedia
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Prime ideal - Wikipedia, the free encyclopedia
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Scheme (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
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Weil conjectures - Wikipedia, the free encyclopedia
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Spectrum of a ring - Wikipedia, the free encyclopedia
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Zariski topology - Wikipedia, the free encyclopedia
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Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work
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The First Letter of Ramanujan to Mr. G. H. Hardy
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Página/12 :: Contratapa :: Cómo convertir anfetaminas en teoremas
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Setenta años después, reivindican a un héroe olvidado de la ciencia
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Stokes biography
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Página/12 :: Contratapa :: El problema de los matemáticos
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Ramanujan"s Mock Modular Forms: Indian Mathematician"s Dream Conjecture Finally Proven
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Pat'sBlog: An Interesting Counting Problem
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Mock modular form - Wikipedia, the free encyclopedia
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What is Nash working on in this screen shot from "a beautiful mind"? - Imgur
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The Department of Computer Science, University of Oxford: MPC 2015
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Neanderthal - Fast Native Matrix and Linear Algebra in Clojure
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Curiosidades sobre algunas funciones complejas - Gaussianos | Gaussianos
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Nikola Tesla 3 6 9 - YouTube
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Partition (number theory) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)

Pat'sBlog: On This Day in Math - January 1
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The 10 Hardest Logic/Number Puzzles
http://www.calcudoku.org/hardest_logic_number_puzzles/

*Principia | Matemáticas: una ¿triste? historia de amor
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La historia de la «fórmula matemática más bella del mundo» | Ciencia
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La historia de los números de Catalan | Ciencia | La Ciencia de la Mula Francis
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Fermat's theorem on sums of two squares - Wikipedia, the free encyclopedia
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Hopper biography
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Mega inanity | The Renaissance Mathematicus
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Grandes Ideas de la Ciencia - Listado completo de entregas
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Coloración con condiciones - Gaussianos | Gaussianos
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