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Sabemos que la hipótesis de Riemann tiene algo que ver con la distribución de los primos. Ya aparecieron algunas series de sumas de inversos de naturales vs sumas de inversos de primos. Vimos que la sumatoria:

Puede expresarse como:

Donde p va recorriendo los números primos. (ver post)

Ese es un gran logro de Euler. Pero no se quedó ahí. También fue por más, con gran uso de su imaginación, y dando algunos saltos que hoy serían criticables. Veamos lo que hizo. Primero sacó logaritmo natural:

Luego, sabiendo que la expansión en serie del logaritmo natural es:

(fórmula debida a Mercator, que da la serie de Taylor, ver Natural Logarithm)

Queda que:

Agrupando por coeficientes:

Podemos poner para abreviar las sumatorias, letras A, B, C… quedando:

Ahora bien, B, C y demás, CONVERGEN. Porque, por ejemplo:

Y la serie de la derecha CONVERGE (un punto a demostrar más detenidamente). Entonces:

Donde K es una cierta constante. Este paso es delicado, pero la idea es ver que B > C > D…. y que la serie de sumas con factores ½, 1/3, ¼…. Termina convergiendo.

Pero la serie original, la serie armónica, la suma de los inversos de los números naturales, diverge. Entonces también diverge su logaritmo natural. Entonces A+K diverge. Pero K es una constante acotada. Queda que A diverge:

Entonces hay infinitos primos. Pues si hubiera una cantidad finita de primos, la suma de sus inversos no divergiría.

Pero Euler fue más allá. Invocó que:

Es decir, es el logaritmo natural de infinito. Porque

Con x = 1. Entonces, queda

En realidad, decimos que cuando x tiende a uno, la serie de la derecha diverge. Euler concluye:

Esto da alguna pauta de cómo van creciendo los primos. Seguramente Euler tenía en mente que la suma de los recíprocos de los primos MENORES que N, se acerca asintóticamente a log(log(n)).

Esta es la primera vez que aparece en esta serie de post, una relación entre una fórmula y los primos menores que n.

Ver también:

http://people.reed.edu/~jerry/131/nextprime.pdf
http://www.cut-the-knot.org/proofs/AfterEuler.shtml 
http://math.stackexchange.com/questions/487491/eulers-formula-for-primes
https://www.youtube.com/watch?v=r5F8fZS8bRU

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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En el anterior post, usamos las igualdades:

Para resolver la ecuación cuadrática. Lo interesante de la última expresión, es que es SIMETRICA ante las permutaciones de las raíces, y entonces, vimos que era expresable como función de los coeficientes de la ecuación original. ESTA PROPIEDAD todavía no la demostramos: pero todo polinomio simétrico de las raíces, se PUEDE EXPRESAR como polinomio de los coeficientes de la ecuación. En el caso anterior, pudimos llegar a:

Veamos de seguir un camino parecido en la resolución de la ecuación cúbica. Primero, vamos a tener tres raíces, digamos x1, x2, x3. Segundo, en vez de un radical de raíz cuadrada, aparecerá un radical de raíz cúbica. Y así como:

Tiene dos soluciones:

También entonces:

Tendrá TRES soluciones:

Donde alfa es una raíz cúbica primitiva de 1. Es decir:

Este alfa es solución de:

La expresión candidata para resolver la ecuación cúbica es similar a la de la cuadrática, y es:

Es interesante ver que la expresión de la derecha es SIMETRICA en las raíces, es decir, da el mismo resultado ante cualquier permutación de las raíces. Si intercambiamos x2 por x3, el resultado es el mismo.
Hay que tener en cuenta que la raíz cúbica NO SE CANCELA con la elevación al cuadrado. Al extraer raíz cúbica, vimos que podemos obtener TRES resultados distintos por cada valor que aparezca bajo la raíz.

El próximo paso es ver cómo todo esto se puede obtener como expresión de los coeficientes de la ecuación cúbica, así como antes habíamos usado los coeficientes de la ecuación cuadrática. Al fin, todas las fórmulas para resolver las raíces, deben de alguna forma partir de lo conocido, los coeficientes. Así hacíamos en el colegio cuando resolvíamos los ejercicios de la cuadrática.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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En estos días comencé a escribir sobre la teoría de Galois, un tema fascinante y hasta hermoso. En su historia se ve el primer florecimiento de conceptos de álgebra abstracta que hoy tenemos en tantas partes, con estructuras y sus relaciones. Pero una cosa es cómo se explica hoy el tema, y otra algo diferente es cómo se inición, con una memoria de Galois.

Encuentro esa memoria (traducida al inglés, escrita alrededor de 1829), en el excelente libro Galois Theory, de Edwards. Hay una interesante sinopsis, también, y ahí encuentro explicado la diferencia de énfasis entre el desarrollo inicial de Galois y el más moderno hoy difundido. Mientras que Galois se centra en estudiar las permutaciones de las raíces de una ecuación, hoy se toma otro camino equivalente:

The Dedekindian tradition, which has dominated algebra for the last century, formulates basic Galois theory somewhat differently. A group is associated not to an equationf (x) = 0 with coefficients in K but to a normal extension field L of K. The group, denoted Ga!(L/K), associated to the normal extension L  K is all automorphisms of L which leave elements of K fixed. As was seen above, the Galois group of f(x) = 0 over K is isomorphic to Gal(L/K), where L = K(a, b, c,...) is the splitting field of f over K, and where the isomorphism is given simply by restricting automorphisms in Gal(L/K) to the n-element subset {a, b, c,...} of L.

The advantage of this formulation is that it shows that the group depends (up to isomorphism) only on the splitting field. In particular, the group of an equation f(x) = 0 which has multiple roots can be defined in the same way as that of an equation with simple roots, whereas Galois' definition assumes simple roots. The advantage of Galois' original formulation is that it defines the group in a way that makes evident the crucial fact that extendint the field K reduces (or leaves unchanged) the Galois group...

Al comienzo de mi serie sobre el tema, voy a tratar de seguir el camino de Galois (y sus predecesores, como Lagrange), pero luego seguramente tendré que expresarme en términos de automorfismos de cuerpos y demás.

Nos leemos!

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Veamos de examinar por qué se pudo resolver la ecuación de segundo grado. Recordemos que tenemos dos raíces:

Si expandimos su desarrollo, quedan los coeficientes:

Donde esos coeficientes son funciones simétricas de las raíces:

y

Esto es notable y fundamental: cuando expandamos el desarrollo de cualquier ecuación mónica de grado n, sus coeficientes resultarán ser funciones simétricas de sus raíces. Son simétricas porque son funciones que dan el mismo resultado si permutamos las raíces. Es decir:

y

Notablemente las raíces pueden ser irracionales, y los coeficientes ser racionales, como en:

Si multiplicamos y sumamos funciones simétricas, obtenemos funciones simétricas. De alguna forma TODOS los números que podemos obtener desde los coeficientes,  son entonces funciones simétricas de las raíces. Más adelante demostraremos que todas las funciones simétricas de las n raíces pueden expresarse a partir de los coeficientes. Pero para las primeras exploraciones del problema no hace falta esa demostración, que es notable igualmente.

Pero veamos ahora de obtener una expresión para la primera raíz:

No parece ser muy interesante. Pero podemos tratar que la parte derecha se base en expresiones simétricas de las raíces. Un avance:

Al menos ahora (x1+x2) es una expresión simétrica de las raíces. Pero (x1-x2) no es simétrica. Acá aparece el truco de introducir un radical, una raíz cuadrada:

Ahora, el cuadrado de (x1-x2) sí es simétrica:

Podemos usar la expresión de los coeficientes. Y entonces es igual a:

Queda una raíz expresada en función de los coeficientes, apelando al uso de una raíz cuadrada apropiadamente usada:

La otra raíz se puede obtener de:

Quedando

Esta es el camino por el que hay UNA FORMULA general para las raíces de la ecuación de segundo grado: armamos una expresión compuesta de expresiones simétricas de las raíces, las expresamos como resultado de operaciones sobre los coeficientes, agregamos un radical, y tenemos nuestra fórmula general. Veremos en el próximo post un camino similar para obtener una fórmula general para la ecuación genérica de tercer grado.

Hay que destacar que es la introducción de un radical el que permite que las raíces "vayan más allá" de los racionales. Sin el radical, todas las raíces de ecuaciones de coeficientes racionales, serían racionales. Es el uso del radical el que permite "extender" el campo de los números de base. En general partiremos del campo de los racionales, o sea, los coeficientes serán racionales. Pero bien podemos tener coeficientes reales o complejos, y las "fórmulas generales" funcionarían igual.

Nos leemos!

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Hoy comienza otro tema de matemáticas, fascinante, que siempre va volviendo a mi radar en las últimas tres décadas. Me refiero a la teoría de Galois, y su demostración de la no existencia de una fórmula general para la resolución de la ecuación de grado cinco o superior. Galois fue precedido por Abel, aunque con resultados algo distintos. Y se valió de la extensión de ideas de Lagrange.

Tengo que confesar que no es fácil exponer los resultados de Galois, al menos en su forma original. La mayor parte de mis fuentes (mencionadas al final de este post), se basan en la exposición moderna, sobre ideas de Dedekind, y abandonan el camino original de Galois, tal vez menos general, pero también con cierto encanto.

Comencemos escribiendo la factorización de la ecuación de segundo grado con dos soluciones, dos raíces:

Vean que al expandirla, encontramos un polinomio mónico:

Podemos escribir:

Haciendo s como la suma de las raíces:

Y p como el producto de las raíces

Como expuse en mi post de ayer. Es decir, LOS COEFICIENTES de la ecuación desarrollada, SON FUNCIONES DE SUS RAICES. Y no sólo son funciones de las raíces, sino que también son funciones simétricas de esas raíces. ¿Qué quiere decir "simétrica"? Que aún cambiando el orden de las raíces, los valores de los coeficientes son los mismos:

Y

Esto es una pista fundamental. De alguna forma los coeficientes dependen de las raíces de una forma especial. Por otro lado, en la ecuación de segundo grado (y en las de tercero y cuarto), es posible expresar las raíces como funciones de los coeficientes:

Y

Es decir, buscamos que las raíces de una ecuación sean funciones racionales y con alguna extracción de raíces de los coeficientes de la ecuación:

Lo que Galois mostró es que no hay funciones así, de los coeficientes, que nos den, de forma genérica, las raíces para las ecuaciones de quinto o superior grado, usando operaciones como suma, resta, multiplicación, división y toma de raíces de cualquier grado. Ese es el camino a investigar y recorrer, las ideas de Galois (y otros, como Lagrange, Abel, Ruffini…) que llevaron a estos resultados.

Lo que sí siempre es cierto, que los coeficientes de la ecuación son FUNCIONES SIMETRICAS de las raíces. Es más, veremos que toda expresión simétrica sobre las raíces, se puede expresar como función simple de los coeficientes. Ese fue uno de los primeros resultados importantes en el camino largo que tenemos que recorrer.

Mis principales fuentes:

Galois Theory, de Edwards. Excelente libro, que sigue el camino original de Galois, incluso incluye una traducción de su memoria fundamental.

Galois Theory, de Artin y otros. Más matemático y árido, no parece que lo necesite mucho para los posts que vienen.

Algebra Moderna, de Birkhoff, Mc Lane, sus dos últimos capítulos tratan de números algebraicos y teoría de Galois.

Teoría de Cuerpos y Teoría de Galois, de Ana M. de Viola-Prioli, y Jorge E. Viola-Prioli, un libro bien llevado, con detalles, aunque siguiendo el camino Dedekind.

Fields and Galois Theory, de JS Milne, libro bien matemático, algo árido pero sólido.

Fields and Galois Theory, de Patrick Morandi, un libro bien desarrollado, con bastante detalle y ejemplos, pero que tengo pendiente de estudiar

Lectures in Abstract Algebra, II, Theory of Fields and Galois Theory, de Nathan Jacobson, como el anterior, buen desarrollo, ejemplos, y temas complementarios.

Nos leemos!

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En estos días estoy estudiando la teoría de Galois (ver Teoría de Galois) y una de mis fuentes es el excelente libro Galois Theory, de Edwards. Hoy encuentro en este texto una descripción interesante de cómo resolvían los babilonios la ecuación de segundo grado en una variable.

En realidad, resolvían un problema que tiene relación. Dados dos números s y p, sabiendo que uno es la suma de dos números no conocidos:

Y otro es el producto de esos dos números:

Encontrar el valor de x y de y. Podemos llamar a este problema, la forma normal de la ecuación de segundo grado. ¿Por qué? Si multiplicamos s por x:

Pero xy es igual a p, entonces:

Quedando:

Que es la expresión de la ecuación de segundo grado que nos enseñaban en el colegio. Los babilonios no podían transformar toda ecuación de segundo grado a la forma normal, porque no manejaban los números negativos. Es un interesante tema histórico que, para esos casos, planteaban una "segunda" forma normal, donde se daba LA RESTA y la multiplicación de las dos incógnitas, en vez de la suma y la multiplicación.
¿Cómo resolvían el problema normal? Con un procedimiento, un algoritmo:

- Tomar la mitad de s
- Elevar el resultado al cuadrado
- Substraerle p
- Tomar la raíz cuadrada
- Agregar la mitad de s. Ese es uno de los dos números buscados. El otros es s menos este número

Ejemplo, sea s, la suma, igual a 10. Y p, el producto, igual a 21. Entonces, siguiendo los pasos, obtenemos sucesivamente: 5, 25, 4, 2, 7. El siete es una de las incógnitas. La otra es 10 – 7 = 3. Esas son las raíces buscadas.

Esto lo usaban alrededor de 1700 años A.C. Es notable. Edwards cita como fuente a Neugebauer, "The Exact Sciences in Antiquity" (creo que yo tenía una edición de Eudeba o del Fondo de Cultura Económica, pero no la encuentro). No sabemos cómo llegaron los babilonios a este resultado, que si lo seguimos paso a paso, resulta en nuestra familiar fórmula:

Lo único que queda es imaginar a un genio que llegó a este resultado, y luego quedó solo el algoritmo, sin explicación de su origen o justificación más allá del "funciona".

Este simple procedimiento revela algo que resulta fundamental en la teoría de Galois y aledaños (como los trabajos de Lagrange, Abel, Ruffini): las incógnitas son expresiones con operaciones normales más raíces, de los coeficientes. Y los coeficientes son expresiones de las raíces. Y son expresiones simétricas a las raíces: s es la suma de x y, como la suma de y x. Lo mismo el producto.

Nos leemos!

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Pasemos al capítulo cuarto, con polinomios y anillos de polinomios.

Chapter 4 Polynomials and Polynomial Rings

El tema polinomios es un gran ejemplo de anillos. En el capítulo anterior, se vió que si K era cuerpo, K[x] era dominio de factorización única. En este capítulo, se presentan los polinomios sobre un anillo R[x] y se ve que si R es un DFU (dominio de factorización única) entonces R[x] es un DFU (pienso que estos resultados se remontan a trabajos de Gauss).

Primero se muestra que siendo R anillo conmutativo con unidad, entonces R[x] es anillo conmutativo con unidad. Es intersante lo frutífera que es esta forma de "generar" nuevos anillos. Se consideran polinomios irreducibles a los elementos irreducibles de R[x].

Se examinan con más detalle los F[x] cuando F es un campo. Se muestra que F[x] es entonces un dominio de integridad. Existe algoritmo de división en F[x], entonces F[x] es un dominio de ideales principales, y F[x] es un DFU.

Cuando se pasa a R[x] con R dominio de integridad, se presentan los polinomios primitivos: polinomios cuyos coeficientes no tienen un común divisor que no sea una unidad. Este es el tema que pienso introdujo Gauss. Ver mi serie Polinomios primitivos.

Notablemente, cuando R es dominio de integridad, K su cuerpo de fracciones, cada irreducible f(x) de R[x] es primitivo. Y todavía más, si f(x) es primitivo E irreducible en K[x] entonces es irreducible en R[x]. 

Hay un resultado de Gauss: la multiplicación de polinomios primitivos da un nuevo primitivo, si R es un DFU. Hay varios resultados sobre irreducibilidad, primitividad, en R y K. Es notable que un polinomio es irreducible en R[x], entonces también es irreducible en K[x], por más que parezca que en K[x] hay más polinomios para hacer la reducción. Y finalmente, se llega al resultado de Gauss: si R es DFU, entonces R[x] es DFU.

Nos leemos!

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En el post anterior había quedado pendiente terminar con el capítulo 3:

Chapter 3: Prime Elements and Unique Factorization Domains (Continuación)

El gran tema que sigue es la discusión de los DFU (Dominios de Factorización Unica) en el contexto de los dominio de integridad cualesquiera. Digo que es un gran tema, porque no es evidente que existan dominios que NO sean de factorización única. Y además tiene su importancia en la historia de las matemáticas: la demostración fallida del teorema de Fermat de Kummer (en el siglo XIX) era notable, pero se fundaba en que el anillo generado por las raíces complejas p-ésimas de la unidad era un DFU, que sólo se cumple hasta p < 19. Este capítulo también menciona brevemente esto. Recordemos, un DFU D es un dominio de integridad D (esto es, sin divisores de cero, anillo conmutativo, con unidad, y 1 <> 0), cuando para cualquier elemento d, se cumple: d es 0, d es unidad, o d tiene una factorización única en primos. Y recordemos que p es primo si cada vez que p divide al producto ab, entonces se cumple p divide a a, o p divide a b (esto es algo que cambia un poco el concepto de primo que tenemos de los números naturales; aca no se habla de sus divisores, sino de lo que en los enteros sería el lema de Euclides; los elementos sin divisores asociados se llaman irreducibles).

Sea un dominio de integridad R. Mencionan cuatro propiedades:

A: por cada elemento a no unidad hay factores irreducibles q1, q2, ... qr tales que a = q1q2..qr

A': por cada elemento a no unidad hay factores primos p1, p2, ... p3 tales que a = p1p2..pr

B: toda serie de irreducibles q1,q2,..., qr y serie q'1, q'2,.... q'r tales que sean iguales sus multiplicaciones q1q2...qr = q'1q'2...q'r tienen cantidad iguales de elementos y sólo difieren en su orden

C: todo irreducible es primo

Entonces demuestran que R es DFU si y sólo si:

1) R satisface A y B
2) R satisface A y C
3) R satisface A'

Para mí, es un resultado notable, no trivial, que pone de manifiesto las relaciones entre irreducibles y primos.

Se cumple también que si R es un DFU, entonces hay infinitos primos.

Todo R que sea un dominio de ideales principales (es decir, todo ideal de R es generado por un solo elemento), entonces R es un DFU. Para probar esto, también prueban que si en R, cada cadena ascendente, por inclusión, de ideales de R es estacionaria (es decir, si a partir de un elemento de la cadena, todos los siguientes son iguales), entonces R es un DFU.

Consideran el anillo de los polinomios F[x] sobre un campo F, y demuestran que también es un DFU. Para esto, muestran que en F[x] existe un algoritmo de división. Llegados a este punto, se menciona la norma en un anillo, como forma de implementar un algoritmo de división. Los anillos con norma se llaman anillos euclideanos (curiosamente, mencionan también como anillos noetherianos a los que cumplen con la condición de toda cadena ascendente de ideales es estacionaria; debe ser equivalente a otra condición de los anillos noetherianos: que todo ideal sea generado por una cantidad finita de elementos). Armados del algoritmo de división para dominios con norma, demuestran que esos dominios son dominios de ideales principales (ideales generados por un solo elemento) y entonces son DFUs.

Es un hermoso camino, no trivial pero tampoco con grandes dificultades. Entonces se deriva que los a+ib con a, b enteros (los enteros de Gauss, con i la raíz imaginaria) tienen norma, y entonces, forman un DFU. No todo primo en Z es primo en Z[i]. Los primos en Z[i] se llaman primos gaussianos. Los primos en Z se llaman primos racionales. Incluso los enteros de Z se llaman enteros racionales para no confundirlos con enteros de otros dominios.

Por ejemplo, el primo racional 29 NO ES primo gaussiano: 29 = (5+2i)(5-2i). Si nos fijamos bien en esto, se ve que todo primo racional que es suma de dos cuadrados enteros NO ES primo gaussiano. Ya Fermat demostró que esos primos son TODOS los de la forma 4m+1. Que curioso, vean cómo todo se va conectando en matemáticas, de Fermat a Gauss y de vuelta...

Ha sido un largo capítulo, pero con resultados muy interesantes.

Ver también:

Gaussian integer
Table of Gaussian integer factorizations

Ver también

Unique factorization domains

Donde se muestra una interesante relación de inclusión, ejemplo, todo dominio euclídeo es dominio de ideales principales, y todo dominio de ideales principales es DFU. Curiosamente hay DFUs QUE NO SON dominios de ideales principales y entonces, tampoco son dominios con norma. El caso más destacable es R[x] con R DFU, que no es dominio de ideales principales en general, a no ser que R sea un campo. Este artículo también muestra resultados modernos sobre condiciones suficientes para ser un DFU.

Nos leemos!

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Sigo comentando este libro con tantos temas interesantes, que ponen bastante en perspectiva las estructuras matemáticas más comunes.

Chapter 3: Prime Elements and Unique Factorization Domains

En el segundo capítulo se vió que Z es un dominio de ideales principales, y no sólo eso, sino también que sus dominios primos eran maximales. Muchas de las propiedades de Z se encuentran en otros anillos, pero no todas. Es interesante ver esa diferencia. Una propiedad muy característica de Z es que los enteros se factorizan en primos de una forma única. Pues es una gran sorpresa (por lo menos para mí no evidente) que no todos los anillos tienen esta propiedad, aún los anillos compuestos por números. Uno tal vez lo podría esperar de anillos de matrices o de polinomios o de anillos más complicados. Pero el llamado "teorema fundamental de la aritmética" no siempre se cumple en cualquier anillo. Los anillos que lo cumplen se llaman DFU (dominios de factorización única). En este capítulo se demuestra el teorema fundamental de la aritmética. Se pone como punto de partida de la teoría clásica de números a la divisibilidad (propiedad definible en todos los anillos, a divide a b, si existe c tal que ac = b). Se presenta el algoritmo de división entre los enteros. Dado este algoritmo, se puede demostrar la existencia del máximo común divisor entre los enteros. De nuevo, apelando al algoritmo de división, es posible usar el algoritmo de Euclides para encontrar ese máximo común divisor. Se demuestra también el importante lema de Euclides, si p es primo y divide a ab, entonces divide a a, o divide a b. Dado todo esto, es posible llegar al teorema fundamental de la aritmética. Hay demostración de la infinitud de primos. Pero el giro importante que hace el capítulo es ir más allá de los enteros. Habiendo enunciado todos estos lemas y propiedades de Z, examina qué se puede hacer en un anillo dominio de integridad cualquiera. De nuevo, parte de la divisibilidad. Se llama unidad a en R, a cualquier a que tenga un b tal que ab = 1. Y lo nuevo: la definición de primo para un dominio de integridad. Se dice p es primo, cuando p divide a ab, implica que p divide a a o p divide a b. Esto es distinto de lo que usualmente consideramos como primo. Mientras esta propiedad es el lema de Euclides para primos en Z, acá es la DEFINICION de primo. Para los elementos de R que no pueden descomponerse en otros elementos y que tampoco son unidades, se les dice irreducibles. Es decir, c es irreducible si no es unidad, y no existen a,b tales que ab = c. Finalmente, a y b se llaman asociados si existe unidad e tal que a = eb. Se ve fácil que es una relación de equivalencia. Notablemente hay dominios de integridad donde hay elementos irreducibles que no son primos. Un concepto importante para mostrar esto, es el de norma, que permite dar cuenta del "tamaño" de un número en un sistema no ordenado como el de los complejos. Es notable que haya esta diferencia entre primos e irreducibles en algunos dominios de integridad. Lo que sí se cumple, es que todo elemento primo es irreducible. Los elementos primos p de R hacen del ideal pR un ideal primo. Y un tema no evidente: p es irreducible si y sólo si pR es ideal maximal entre los ideales principales de R. Todo esto último permite llegar a la equivalencia de primos e irreducibles en los anillos que sólo tienen ideales principales. Es ahí donde se puede asegurar que todo primo si y sólo si es irreducible.

Continuaré con el comentario de este interesante capítulo en próximo post.

Nos leemos!

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Sigo comentado este libro. Comienzo hoy con una enumeración de los temas por capítulo.

Chapter 1: Groups, Rings and Fields

En realidad, presenta primero anillos, como estructura, luego campos (lo que para nosotros, con libros en español, serían cuerpos conmutativos), dominios de integridad (anillo conmutativo con unidad 1 <> 0, y sin divisores de cero), campo (anillo conmutativo con unidad distinta de cero, y donde cada elemento distinto de cero es una unidad, es decir, tiene inverso). Hay resultados básicos como Zp es dominio de integridad si y sólo si p es primo, y todo dominio de integridad finito es un campo. Luego aparecen subanillos, y una estructura importante, los ideales. Dado un ideal I del anillo R, se puede armar el anillo cociente R/I, teniendo bien definidas las operaciones de suma y producto en los elementos (conjuntos) de R/I. Se describen los homomorfismos, núcleo e imagen de homorfismo. Y se trata el importante cuerpo de fracciones de un anillo, que nos lleva a extender cualquier anillo a "puntos" cercanos a un punto, como pasa cuando pasamos de los enteros a los racionales. Se define campo primo como un campo que no tiene subcampos no triviales. Notablemente, todo campo tiene un campo primo. Cuando en un anillo conmutativo, sumar n veces la unidad da cero, entonces n es la característica del anillo. Todo anillo tiene característica 0, o tiene característica número primo. Lo mismo con los campos. Finalmente, se presentan los grupos y sus primeras propiedades.

Chapter 2: Maximal and Prime Ideals

La estructura de ideales es una de las más fructíferas del álgebra moderna. En este capítulo se presenta y discuten las propiedades de los ideales maximales, ideales no triviales de un anillo R, que no tienen un ideal no trivial que los contenga. Como en muchas ocasiones van a aparecer cadenas "crecientes" de ideales, es importante conocer la existencia de ideales maximales. Un ideal es primo, si ab pertenece a I, entonces a pertenece a I, o b pertenece a I. Es una generalización de la principal propiedad de los números primos naturales. Vean que no se apela a ver si un ideal se puede descomponer en otros, eso dará lugar a un concepto distinto en el reino de los ideales, los ideales irreducibles. Si I es ideal primo, entonces el anillo cociente R/I es un dominio de integridad y viceversa. Si I es ideal maximal en un anillo conmutativo con unidad distinto de cero, entonces R/I es un campo. Hay ideales que pueden ser generados por un conjunto de elementos. Si el conjunto es de un solo elemento, I se llama ideal principal. Un dominio de ideales principales es un dominio de integridad donde todos sus ideales son principales, es decir, son generados por un solo elemento. Notablemente, Z es un dominio de ideales principales.

Por hoy suficiente, son varios temas a estudiar y repasar. Espero seguir con los siguientes capítulos en los próximos posts.

Nos leemos!

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Estoy estudiando varios temas de matemáticas, y he topado con el muy buen libro "Abstract Algebra" de Celine Carstensen, Benjamin Fine, y Gerhard Rosenberg. Es un libro que toca muchos temas que me interesan. Leo hoy:

Abstract algebra or modern algebra can be best described as the theory of algebraic structures. Briefly, an algebraic structure is a set S together with one or more binary operations on it satisfying axioms governing the operations. There are many algebraic structures but the most commonly studied structures are groups, rings, fields and vector spaces. Also widely used are modules and algebras...

Ellos dividen en:

...Mathematics traditionally has been subdivided into three main areas – analysis, algebra and geometry. These areas overlap in many places so that it is often difficult to determine whether a topic is one in geometry say or in analysis. Algebra and algebraic methods permeate all these disciplines and most of mathematics has been algebraicized – that is uses the methods and language of algebra. Groups, rings and fields play a major role in the modern study of analysis, topology, geometry and even applied mathematics...

Los orígenes, por un lado la teoría de números:

Abstract algebra has its origins in two main areas and questions that arose in these areas – the theory of numbers and the theory of equations. The theory of numbers deals with the properties of the basic number systems – integers, rationals and reals while the theory of equations, as the name indicates, deals with solving equations, in particular polynomial equations. Both are subjects that date back to classical times. A whole section of Euclid"s elements is dedicated to number theory. The foundations for the modern study of number theory were laid by Fermat in the 1600s and then by Gauss in the 1800s. In an attempt to prove Fermat"s big theorem Gauss introduced the complex integers a C bi where a and b are integers and showed that this set has unique factorization. These ideas were extended by Dedekind and Kronecker who developed a wide ranging theory of algebraic number fields and algebraic integers. A large portion of the terminology used in abstract algebra, rings, ideals, factorization comes from the study of algebraic number fields. This has evolved into the modern discipline of algebraic number theory....

Por otro, la resolución de ecuaciones:

The second origin of modern abstract algebra was the problem of trying to determine a formula for finding the solutions in terms of radicals of a fifth degree polynomial. It was proved first by Ruffini in 1800 and then by Abel that it is imposible to find a formula in terms of radicals for such a solution. Galois in 1820 extended this and showed that such a formula is impossible for any degree five or greater. In proving this he laid the groundwork for much of the development of modern abstract algebra especially field theory and finite group theory. Earlier, in 1800, Gauss proved the fundamental theorem of algebra which says that any nonconstant complex polynomial equation must have a solution. One of the goals of this book is to present a comprehensive treatment of Galois theory and a proof of the results mentioned above...

Y aparece la geometría algebraica:

The locus of real points (x, y) which satisfy a polynomial equation f(x, y) = 0 is called an algebraic plane curve. Algebraic geometry deals with the study of algebraic plane curves and extensions to loci in a higher number of variables. Algebraic geometry is intricately tied to abstract algebra and especially commutative algebra.

Y cómo olvidar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales:

Finally linear algebra, although a part of abstract algebra, arose in a somewhat different context. Historically it grew out of the study of solution sets of systems of linear equations and the study of the geometry of real n-dimensional spaces. It began to be developed formally in the early 1800s with work of Jordan and Gauss and then later in the century by Cayley, Hamilton and Sylvester.

En los próximos post, espero describri los contenidos de sus capítulos

Nos leemos!

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Sean dos números naturales cualquiera, a y b. Entonces existen números únicos naturales q, r tales que:

Cumpliendo:

Examinemos el conjunto de pares q, r que cumplen la primera condición. Si a < b, entonces se cumple:

Y q=0, r=a. Si a >= b entonces se cumple:

Y q=1, r=a-b. Tenemos entonces que el conjunto de los pares q, r no es vacío. Tomemos los valores de los r, que son naturales. Por propiedad de los conjuntos de números naturales, hay un valor que es el mínimo. Sea ese valor r >= b, con a=qb+4. Pero entonces:

Y q+1, r-b también existe, y r-b < r que era el mínimo, contrariamente a lo supuesto.

Esto demuestra que, al existir el mínimo r natural tal que a = qb + r, éste es 0 <= r < b, como se quería demostrar.

Es una interesante propiedad, conocida como el algoritmo de división. Vean que no usamos primos: es algo de los números naturales. Fácilmente se puede extender a los enteros, obteniendo un resto r que sea menor o igual en valor absoluto al valor absoluto de b.

Veremos en próximo post, cómo este algoritmo permite establecer el máximo común divisor de a y b, y de nuevo llegaremos a probar que si el número p primo divide al producto de dos números cualesquiera ab, entonces divide al número a o divide al número b. En anterior post vimos la demostración de esta importante propiedad de los números primos. En otras estructuras, es prácticamente LA DEFINICION de algo primo, pero por ahora estamos explorando los números naturales y enteros.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Uno de los libros de matemáticas que estuve leyendo en este tiempo, es el "Abstract Algebra, Structure and Application" de David R. Finston y Patrick J. Morandi, editado por Springer. Es un libro que se adentra en algunos conceptos de álgebra abstracta, pero siempre teniendo a la vista alguna aplicación concreta. Esto hace que sea interesante de leer, y una buena introducción a temas más especializados o más matemáticos/abstractos.

Quiero describir brevemente su contenido.

Capítulo 1: Identification Numbers and Modular Arithmetic

Donde describen algunos números como los códigos ZIP de EE.UU., el Universal Product Code, los International Standard Book Numbers. Esto sirve para introducir la aritmética modular, y la detección de errores en esos números.

Capítulo 2: Error Correcting Codes

Expande el tema del anterior capítulo, introduciendo la eliminación gaussiana en la resolución de matrices y sistemas de ecuaciones, y los primeros espacios vectoriales. Aparecen los códigos de Hamming para corregir errores. Para encontrar más fácilmente el error en un código, discuten el co-conjunto (coset) de decodificación, y síndromes. Es interesante para mí encontrar esta aplicación, que no conocía. Describen el código Golay extendido usado por la NASA en los ochenta y noventa del siglo pasado, para transmitir imágenes de Júpiter y Saturno tomadas por el Voyager.

Capítulo 3: Rings and Fields

Aparece el álgebra más abstracta, partiendo de los conceptos de números como enteros, reales, complejos. Definen anillo y sus primeras propiedades. Asumen en general que en un anillo R la unidad y el cero son distintos. Muestran algunos ejemplos, como el anillo de matrices cuadradas, y otros sobre funciones continuas, los polinomios R[x], y las operaciones de unión e intersección de conjuntos. Aparecen los anillos Zn sobre los enteros. Es natural entonces pasar a los campos, los racionales, el campo de fracciones de un anillo, los reales y complejos. Así como los primeros ejemplos de extensión de un campo, como cuando agregan raíz cuadrada de 2 al campo de los racionales.

Capítulo 4: Linear Algebra and Linear Codes

Se tratan los espacios vectoriales, con propiedades y primeros ejemplos; los subespacios vectoriales; independencia lineal; generación (spanning) y bases. Mencionan pero no prueban la existencia de una base. Definen transformaciones lineales, su relación con matrices en caso de espacios vectoriales con dimensión finita, la igualdad de las trazas de matrices nxn similares. Y como aplicación ponen los códigos lineales, subespacios de Z2 a la n ("vectores" compuestos de n elementos que valen cero o uno).

Capítulo 5: Quotient Rings and Field Extensions

Interesante capítulo, donde aparecen las operaciones de los polinomios R[x], su algoritmo de división, el concepto de ideales de un anillo, ideal principal, F[x] como ideal principal si F es un campo, el cociente R/I y la demostración de que es un anillo si I es un ideal, elementos irreducibles en un anillo, polinomios irreducibles en el anillo F[x] donde F es campo. Visitados estos preliminares, aparece el gran tema de extensiones de campos. Una notable proposición F[x]/I es una extensión del campo F, si I=(f) es el ideal generado por un polinomio irreducible f en F. También se cumple que si F[X]/(f) es campo, entonces f es irreducible. Retomando espacios vectoriales, se ve a la extensión K de F, como un F-espacio vectorial de K, y se define [K : F] su dimensión, un tema que cobrará relevancia en capítulos posteriores. En el caso f polinomio irreducible [F[x]/(f)] = grado de f. Se demuestra la fórmula de dimensión: si K es extensión de F, y L es extensión del campo K, se tiene [L : K][K : F] = [L : F], aun en los casos infinitos. Se conecta f irreducible con sus raíces alfa, mostrando que I = { g miembro de F[x] : g(alfa) = 0 } es un ideal. En resumen: con las raíces de un polinomio irreducible en F[x] se puede ir extendiendo el campo F. Se definen los números algebraicos.

Capítulo  6: Ruler and Compass Constructions

Un capítulo muy interesante porque aborda un tema que muchas veces no es tratado, o no es tratado en detalle: la construcción de números/segmentos usando regla y compás. Usando los resultados y conceptos de los capítulos anteriores muestra que estas construcciones van formando una cadena de campos partiendo de Q (los racionales), de tal manera que cada campo tiene la misma dimensión o el doble que la anterior. Con lo que solamente se construyen campos K tales que [K : Q] sea una potencia de dos. Pone contraejemplos de no construibles, como la trisección de un ángulo o la duplicación de un cubo, así como el resultado de Gauss de armar un polígono regular de 17 lados, cumpliendo 17-1 ser una potencia de dos (creo que Gauss no llegó a demostrar el resultado general). Es muy instructivo ver cómo se va desarrollando el argumento, y debe ser uno de los desarrollos abstractos dirigidos a resolver un problema concreto más interesante del libro.

Capítulo 7: Cyclic Codes

Vuelta a los códigos, construyendo sobre anillos cocientes de Z2[x], asegurando cierta corrección de errores. No recordaba esta aplicación de anillos cocientes sobre un anillo de polinomios. Aparecen los campos finitos también, así como los polinomios mínimos, sus raíces, y los códigos de Reed-Solomon.

Capítulo 8: Groups and Cryptography

Por primera vez, tratan el gran tema de grupos, y para estar acordes con su intención inicial, lo muestran relacionado con una de sus aplicaciones en criptografía. Definen subgrupos, enuncian y demuestran el teorema de Lagrange, y hasta el teorema de Euler-Fermat. Para criptografía, describen RSA (Rivest, Shamir, Adleman), y el uso de números primos en este sistema. Finalmente, mencionan la firma segura usando RSA.

Capítulo 9: The Structure of Groups

Mientras que en el anterior capítulo se usan grupos abelianos (conmutativos) acá se presentan las propiedades de grupos más generales, subgrupos, subgrupos normales, homomorfismos, núcleos, productos directos, grupos cocientes. Es una buena introducción a lo que es la matemática abstracta de una estructura.

Capítulo 10: Symmetry

Finalmente, vuelven sobre otra conexión entre álgebra y geometría (luego de la construcción con regla y compás). Discuten congruencias, isometrías, traslaciones, rotaciones, la preservación de las distancias y de los ángulos, el grupo lineal Gln(R), el grupo ortonormal On(R), su subgrupo SOn(R), reflexiones, composición de isometrías, isometrías en el plano, productos semidirectos, grupos de simetría, con ejemplos. Y culminan con la presentación y enumeración de grupos, por ejemplo, en frisos (7 grupos), y teselados del plano (17 grupos), cinco grupos de "lattice" (enrejado).

Realmente consiguen recorrer muchos temas interesantes, y dejan la puerta abierta para otros. Por ejemplo, sería interesante sumergirse en la teoría Galois, luego de ver las extensiones de campos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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En el anterior post vimos una propiedad importante de los números primos. Ver también mi serie: Números primos.

Hoy veremos una proposición simple, pero donde usaremos por primera vez el principio de inducción (con más precisión, una de sus formas). La proposición es: todo número natural es producto de números primos.

Es sencilla la demostración, si aplicamos inducción. Primero, suponemos:

Es claro que no hay primos que lo dividan, podemos decir que es el producto vacío de primos, considerando que el uno no es un primo.

Luego consideramos:

Y por inducción, suponemos que todos los números naturales menores que n son factorizables en primos. Para n mayor que uno hay dos caminos:

Por definición de primo, no tiene divisores primos más que él mismo. Es el producto de un solo primo, n mismo.

El otro camino, que sea compuesto, con por lo menos dos factores, naturales, mayores que 1:

Estamos manejando naturales, lo que implica que a y b no pueden ser mayores o iguales que n. Por hipótesis de inducción, son productos de primos. Entonces, el propio n es un producto de primos.

Este es un resultado simple, pero que muestra el trabajo de una demostración. Muchas veces tenemos propiedades "evidentes", pero aún así, en algún momento tenemos que luchar por la demostración. Matemáticas no es sólo demostración: ésta se encuentra solamente como uno de los pasos en el viaje matemático. Gran parte de las matemáticas es imaginación, poder creativo, darse cuenta de patrones y relaciones. Pero siempre es importante volver al rigor, y cualquier cosa que se proponga, tratar de encontrar la demostración adecuada.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Investigando algunos temas, esta semana me topé con el libro "A Course in Point Set Topology" de John B Conway, matemático americano, dedicado al análisis funcional. Tengo que estudiar ese tema, porque cada vez más va a aparecer en algunos posts que estoy escribiendo, como Matemáticas y Física Cuántica. Es interesante compartir por qué Conway escribe un libro sobre Topología General. He aquí la explicación, al comienzo del prefacio:

Point set topology was my first love in mathematics. I took the course as an undergraduate at Loyola University in New Orleans and my professor, Harry Fledderman, told me to go to the library and solve all the problems in the book while he tutored the other student who had signed up for the course. (Yes, I know it sounds strange today, but there were only two students in the course.) I kept a notebook with my solutions, and once a week I reported for his inspection of my work. I felt like a real mathematician learning real mathematics. It had a great influence on me and made me realize how much I wanted to be a mathematician. Even now I can"t tell you whether the love I have for point set topology was the cause of this feeling or whether that love was a consequence of this learning style. I was disappointed to later discover that research in this area had mostly petered out. I found equally attractive research areas in which to sow my oats, but I always retained this youthful love affair.

Es una forma muy interesante de estudiar matemáticas, y ya me he encontrado más de una vez con algún profesor que adopta este camino para un estudiante brillante.

Más adelante Conwayexplica las elecciones de contenido de este libro. Me gusta como plantea los temas, de lo particular a lo general:

Following my philosophy of beginning with the particular, I start with metric spaces. I believe that these are far easier to connect with students"experience. They also seem to me to be the more prevalent topological spaces used in other areas and are therefore worth extra emphasis. Chapter 2 defines and develops abstract topological spaces, with metric spaces as the source of inspiration. I narrow the discussion by quickly restricting the focus to Hausdorff spaces. Needless to say, some of the more elementary arguments in topological spaces are the same as those in metric spaces. There is no problem here; I just refer students to the metric space proof and invite them to carry out the analogous argument, which in most cases is almost identical.

Y toma una curiosa decisión en el último capítulo: concentranrse en las aplicaciones continuas antes que en las propiedades del espacio en estudio:

Chapter 3 concentrates on continuous real-valued functions. My belief is that the continuous functions on a space are more important than the underlying space. Maybe that"s because I"m an analyst. I know that much of modern topology concentrates on the underlying geometry of a space, but surely that must be saved until after the student has encountered the need.

Tengo que estudiar alguna parte, especialmente Espacios Métricos, para lo que estoy escribiendo.

Nos leemos!

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Hoy comienzo una serie de un tema matemático que aparece en varias de mis lecturas, relacionado con otros temas como operadores funcionales. Es el tema de espacios métricos. Tiene relación con lo que estoy escribiendo en mi serie Topología General: de alguna forma, los espacios métricos son los "predecesores" de los espacios topológicos. Ambos se ocupan de conjuntos de elementos dando importancia a la "proximidad" de a pares. Pero mientras que en espacios topológicos esa proximidad se expresa en el sistema de entornos, y éstos se encuentran por el uso de los conjuntos abiertos de la topología, en los espacios métricos nos encontramos con la distancia entre dos "puntos" como el concepto base que permite construir los conjuntos cercanos de puntos.

A esos elementos los llamamos "puntos" simplemente por una analogía geométrico: los primeros ejemplos de espacios métricos que todos manejamos tienen una realización geométrica. Pero la gran motivación para el desarrollo de los espacios métricos se dio en el siglo XIX con otros conjuntos, notablemente relacionados con funciones. Ya llegaremos a ver esos ejemplos y aplicaciones.

Comencemos viendo la definición. Llamamos espacio métrico a un par, un conjunto X, y una función real, no negativa, definida entre dos puntos:

Tal que cumple los siguientes condiciones:

La segunda condición es el axioma de simetría. Y la tercera condición es el axioma triangular.

A esta función la llamaremos "métrica". También es común llamarla "distancia", justamente por su similitud con las distancias en geometría. Vemos que no basta con dar el conjunto X: hay casos donde sobre un mismo conjunto de base se pueden definir distintas métricas, que cumplen con las condiciones dadas.

Por eso el espacio métrico R es:

Siempre un par: un conjunto y una métrica.

En el próximo post veremos los primeros ejemplos de espacios métricos. Mi principal fuente para esta serie es el excelente clásico "Elementos de la Teoría de Funciones y Análisis Funcional", de Kolgomorov y Fomin. Tengo una edición de editorial Mir.

Nos leemos!

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Hace unos años, mencioné en un post al libro de Hermann Weyl, muy conocido, The Theory of Groups and Quantum Mechanics. Hoy lo vuelvo a leer, y encuentro este fragmento al principio, que quiero comentar y compartir:

There exists, in my opinion, a plainly discernible parallelism between the more recent developments of mathematics and physics. Occidental mathematics has in past centuries broke away from the Greek view and followed a course which seen to have originated in India .and which has been transmitter with additions, to us by the Arabs; in it the concept of number appears as logically prior to the concepts of geometry. The result of this has been that we have applied this systematicall I developed number concept to all branches, irrespective of whether it is most appropriate for these particular applications. But the present trend in mathematics is clearly in the direction of the return to the Greek standpoint; we now look upon each branch of mathematics as determining its own characteristic domain of quantities. The algebraise of the present day considers the continuum of real or complex numbers as merely one "field ': among many; the recent axiomatic foundation of projectire geometry may be considered as the geometric counterpart of this view. This newer mathematics, including the modern theory of groups and "abstract algebra," is clearly motivated by a spirit different from that of" classical mathematics," which found its highest expression in the theory of functions of a complex variable. The continuum of real numbers has retained its ancient prerogative in physics for the expression of physicall measurements, but it can justly be maintained that the essence of the new Heisenberg-Schrodinger-Dirac quantum mechanics is to be found in the fact that there is associated with each physical system a set of quantities, constituting a non-commutative algebra in the technical mathematical sense, the elements of which are the physical quantities themselves.

Es interesante notar como contrapone el desarrollo algebraico con el geométrico. Agregaría que el desarrollo algebraico, incluso de la geometría, tuvo un gran impulso con Descartes, y sus coordenadas cartesianas, que llevó el álgebra al estudio de curvas y otros elementos en el plano y en el espacio.

También es interesante destacar cómo menciona a la aplicación de los números reales a la física, pero que no necesariamente es el camino a seguir. La aparición de la no conmutatividad y las cantidades no continuas ha hecho replantear los métodos matemáticos aplicados a la física moderna. Hasta la aplicación de los números complejos es relativamente moderna (ver Números Complejos en Mecánica Cuántica, La Ecuación de Schrödinger (10) Un Comentario Sobre Números Complejos).

Podemos encontrar la revindicación de la geometría en la obra física de Penrose (leer "el Penrose"). Y las teorías de la relatividad de Einstein vuelven a poner la geometría, sin sistemas de coordenadas de base,  y las simetrías, como fundamental en la comprensión de los fenómenos físicos.

Nos leemos!

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De nuevo, tantos temas interesantes. Ver por ejemplo teoría de nudos, simetrías y grupos, biografías, teoría de tipos con homotopías, el artículo sobre matemáticas de Edward Frenkel...

The Geometry Junkyard: Symmetry and Group Theory
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/sym.html

The Geometry Junkyard: Knot Theory
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/knot.html

The Geometry Junkyard: Topics
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/topic.html

Quick Study: Edward Frenkel on math: It's a lot like borscht | The Economist
http://www.economist.com/blogs/prospero/2013/12/quick-study-edward-frenkel-math

Cremona biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cremona.html

15-819 Homotopy Type Theory
http://www.cs.cmu.edu/~rwh/courses/hott/?utm_medium=referral&utm_source=t.co

Recubriendo con "garfios" - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/recubriendo-con-garfios/

Disparando en marcha - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/disparando-en-marcha/

Pikasle
http://pikasle.com/es/inicio/

Número 8 de la revista online de matemáticas “PIkasle”
http://gaussianos.com/numero-8-de-la-revista-online-de-matematicas-pikasle/

Geometría rica en fibra - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/geometria-rica-en-fibra/

Siempre menor y a veces divisor - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/siempre-menor-y-veces-divisor/

Sistemas de recomendación desmenuzados
http://pablozivic.com.ar/post/37131318635/sistemas-de-recomendacion-desmenuzados

Wilkins biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Wilkins.html

Jim Loy's Mathematics Page
http://www.jimloy.com/math/math.htm

Jim Loy's Puzzle Page
http://www.jimloy.com/puzz/puzz.htm

(Vídeo) Doodling in Math Class: Dragon Dungeons - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/video-doodling-math-class-dragon-dungeons/

Dehn biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Dehn.html

Si partimos de algo falso podemos demostrar cualquier cosa - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/si-partimos-de-algo-falso-podemos-demostrar-cualquier-cosa/

Gödel's Incompleteness Theorem (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/goedel-incompleteness/

Prueba la desigualdad - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/prueba-la-desigualdad/

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Nos leemos!

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En el post … habíamos llegado a la expresión:

Con p y q de distinta paridad (uno impar y otro par). Demostramos ahí que pueden ocurrir dos casos:

Es decir, son primos entre sí, o bien

Tienen factor común al 3.

Vayamos hoy por el primer caso. Los dos factores de z al cubo:

y

NO TIENEN factores comunes. Entonces, cada uno de ellos es un cubo perfecto. Veámoslo. Si el primo k divide a uno de los factores, digamos:

Entonces p divide a z al cubo:

Como k es primo, se tiene entonces que que también divide a z:

Y queda que:

Como ese factor p no puede estar en el otro factor:

Entonces, aparece al menos como potencia cúbica en el primer factor:

Eso para cualquier primo de este factor. Queda que cada primo aparece como potencia 3 o múltiplo de 3, quedando:

Para algún entero s. Por el mismo razonamiento (algo largo pero elemental) llegaríamos a:

Ahora bien. Vimos en los anteriores posts qué interesante puede ser considerar:

Es una identidad fascinante. De hecho, da una pauta de cómo pueden ser todos los números que son suma de un cuadrado y el triple de un cuadrado. Algo que no pasó desapercibido ni para Fermat ni para Euler. Es un tema interesante por sí mismo, pero quedará para otra oportunidad. (ver mientras tanto p = x2 + y2 )

Sin embargo, ese camino no está exento de problemas. Ya estuvimos examinado la raíz de la cuestión: Euler presupuso la factorización única de factores primos en ese nuevo sistema de números que incluye a la raíz cuadrada de menos 3. Y eso no es verdad. Luego volveremos a tratar de solucionar esta otra prueba, usando otro campo de números más sutil que el planteado originalmente por Euler.

Veamos otro camino, que apela a números enteros solamente. Como p y q tienen distinta paridad, el factor:

Es impar. Tratemos de descomponerlo en factores impares. Podríamos pensar en que su raíz cúbica tiene la misma forma:

No es un camino descabellado. Pero no es fácil de probar. Lo que podemos probar primero es que un factor así PUEDE ser la raíz cúbica pedida. Luego, más adelante, probaremos que TODO FACTOR primo de nuestro cubo perfecto TIENE esa forma necesariamente.

Veamos hoy un lema que nos va a ayudar, y que era conocido por Euler: la multiplicación de dos polinomios de la forma a2+3b2 da como resultado un polinomio de la misma forma. Esto es notablemente similar a otro resultado que apareción en este blog: la multiplicación de dos sumas de cuadrados, da suma de dos cuadrados.

Multipliquemos dos polinomios de esa forma:

Tenemos la esperanza de separar este resultado en la suma de un cuadrado y el triple de un cuadrado. Respiremos hondo, sumemos y restemos la combinación adecuada de abcd, y reordenemos:

MILAGRO! Obtenemos un polinomio de la misma forma: la suma de un cuadrado y del triple de un cuadrado.
Esto nos dice que no es impensable que sea posible:

Pero todavía falta camino para llegar a eso necesariamente. El lema nos dice que pueden existir c y d, pero no dice que NECESARIAMENTE existan. Eso es lo que nos falta probar.

Veamos un camino para justificar un poco el "milagro" de arriba (es casi seguro que este camino es el que inspiró a Euler):

Reordenando:

El producto de los dos primeros factores es el conjugado complejo del producto de los dos últimos factores, como es de esperar, da un resultado real. Calculemos el primero de esos números:

Poniendo:

Queda

Es decir, queda el lema que habíamos demostrado más arriba: la forma a2+3b2 se conserva por multiplicaciones.

Tarea para el hogar: conseguir otras formas que se conservan así.

La demostración del lema sin apelar a números complejos la encontré en:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/06/fermats-last-theorem-n-3.html

A su vez, ese lema es usado para demostrar el "key lemma" en el post:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html

Para demostrar el "key lemma" ese post usa también un lema más poderoso que tenemos que estudiar:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-a2-3b2.html

Ver la cadena de posts:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-1.html
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-2.html
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-3.html (éste es el que usa el "key lemma")
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-4.html

Donde todo se engarza desde:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html

Nos leemos!

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A los matemáticos les gusta mostrar demostraciones de lo que afirman. Si bien hay encanto en simplemente explorar un tema, y enunciar resultados interesantes, llega el momento donde los demás pedirán una demostración. Ha quedado en la historia como ejemplo de enunciados con demostración el monumental Elementos, de Euclides. Desde los antiguos griegos, se persigue ese ideal: demostrar enunciados verdaderos, partiendo de un conjunto (generalmente pequeño) de axiomas, nociones y reglas de inferencia.

Examinemos lo enumarado recién. Un enunciado es una afirmación (o negación, otra forma si quiere verse de afirmar algo). No es cualquier sentencia, como "hola". Son enunciados que expresan relaciones entre los conceptos de la rama matemática que se esté examinando. Por ejemplo: "todos los triángulos con un ángulo igual y dos lados iguales, son iguales".  Si bien se afirma con lenguaje humano, los matemáticos han sabido formar un lenguaje más formal para afirmar enunciados. Por ejemplo, tenemos que estar seguros de qué es un "triángulo", qué es un "ángulo", qué es un "lado", y qué signifca eso de "un ángulo igual a otro" y lo mismo para los lados. Cuestiones que parecen sencillas, no lo son tanto, y merecen mayor atención.

Notablemente, lo que parecía evidente, los axiomas que tomó Euclides, como los únicos posibles, se vió en el siglo XIX que no era la única geometría "válidad". Se describieron geometrías no euclideanas, que se apartaban de las nociones de sentido común, pero tan "verdaderas" como la original, pues eran territorios matemáticos consistentes.

Luego, tenemos el concepto de enunciado verdadero. Acá, verdad se usa en sentido matemático: lo que se afirma ¿realmente ocurre en el mundo matemático que estamos tratando? Por ejemplo, el enunciado "todo número par es la suma de dos primos" (la famosa conjetura de Goldbach), ¿es verdad? Si pudiéramos examinar todos los pares de un solo golpe, si tuviéramos la capacidad de ver en un momento todas las sumas de pares de primos, y viéramos que no hay número par que no pueda ser expresado de esa forma, sabríamos que el enunciado es verdadero. Pero aún sin esas notables capacidades, los matemáticos saben algo: o es verdadero o es falso. Lo que no tienen hoy, es una demostración de la falsedad o verdad del enunciado. Entonces, se dice, todavía no es un teorema demostrado, sólo una conjetura. Lo que podemos rescatar de este ejemplo, es que el concepto de "verdad" en matemática es más firme y claro que el mismo concepto en los asuntos humanos. Una vez bien definidos los conceptos y relaciones, se sabe cómo mostrar que es verdadero o falso. En el caso de la conjetura de Goldbach, dando para cada par una suma de dos primos que lo de como resultado, o mostrando un contra ejemplo. El problema no es mostrar, sino demostrar: dar una serie de pasos, que partiendo de otros enunciados (axiomas o teoremas demostrados) llegar al enunciado destino, demostrándolo o refutándolo. Ese es el gran juego de las matemáticas.

Uno podría esperar que todo sistema matemático que se ocupe de un área, por ejemplo, de la teoría de números o de la geometría, pueda generar demostraciones para todos los ENUNCIADOS verdaderos. Otra cualidad que se espera, es que no genere nunca un enunciado FALSO. Tendremos que ir examinando de cuales tipos de sistemas matemáticos se ocupa el teorema de Gödel (todavía no lo enunciamos, pero en el fondo son DOS teoremas). Y qué afirma sobre estas cualidades esperables de esos sistemas. De alguna forma, el resultado de Gödel derriba la esperanza puesta en algunos sistemas. Tanto el resultado como la demostración son notables. Pero tampoco hay que sacar conclusiones exageradas. Iremos paso a paso, para realmente apreciar su trabajo, aprender de lógica matemática y fundamentos de matemáticas, y saber sopesar en justa medida las consecuencias de sus teoremas.

Nos leemos!

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