Angel "Java" Lopez en Blog

Matemáticas


Publicado el 4 de Marzo, 2014, 14:50

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Vimos en el anterior post que la combinación

av + bw

es un subespacio vectorial, donde v y w son dos vectores dados, y a, b son escalares del cuerpo del espacio vectorial. Consideremos para lo que sigue, que v y w son vectores no nulos.

Pero también vimos que un vector podría ser múltiplo de otro vector y un escalar. ¿Qué pasa si el vector w de arriba es múltiplo de v? Veamos. Será entonces que existe un escalar c, que cumple:

cv = w

para algún escalar c. Si c = 0, entonces vimos en el post anterior que w es el vector nulo. Sea c distinto de 0. Queda

av + bw = (a + bc)v

Y acá pasa algo interesante. Si a, b son cero,

av + bw = 0v + 0w = 0

que es el vector nulo (no confundir con el 0 del cuerpo de escalares). Pero ahora, si c es distinto de escalar cero, y b es distinto de 0 como supusimos, cb es distinto de 0 (un cuerpo no tiene divisores de 0), así que basta poner a = -cb, distinto de 0, para tener:

-cbv + bw = (-cb + cb)v = 0v = 0

obtenemos el vector nulo de nuevo. HAY MAS DE UNA FORMA de conseguir el vector nulo combinando los vectores v y w. Siempre HAY UNA forma, considerando a, b son ceros. Pero ahora surge que "hay más de un camino" para llegar al vector nulo, partiendo de los vectores iniciales. Este pasó porque comenzamos suponiendo que un vector era múltiplo del otro.

Sea ahora tres vectores, v, w, t no nulos combinados en una suma:

av + bw + ct

(ahora el coeficiente c es libre, no es el mismo que consideramos antes). Si de alguna forma existen escalares d, e tales que el nuevo vector t se pueda expresar como combinación de los anteriores vectores v y w:

t = dv + ew

No pueden ser d y e ambos ceros, porque supusimos que t es vector no nulo. Podría ser alguno de los dos el escalar cero, pero caeríamos en el caso anterior. Así que exploremos el caso: d y e son escalares distintos del cero. Tenemos que se cumple:

av + bw + ct = av + bw + c(dv + ew) = (a + cd)v + (b +  ce)w

Supusimos que los escalares c, d, e son distintos de 0. Entonces, cd, ce son distintos de cero. Colocando a = -cd, b = -ce, tenemos

av + bw + ct = 0

el vector nulo de nuevo, como resultado de la combinación de los tres vectores, usando COEFICIENTES ESCALARES DISTINTOS DEL CERO. De nuevo, todo esto pasó al suponer que el nuevo vector t era combinación de los anteriores, vía la multiplicación escalar y vector, y vía la suma de vectores. Se dice que un conjunto de vectores (incluso infinito) es linealmente dependiente si hay una suma finita de múltiplos de esos vectores con no todos los coeficientes 0, cuya suma produzca el vector nulo. Cuando pasa eso, uno de los vectores se puede expresar como combinación de los demás. Pues en el caso de arriba, se puede deducir que si c es distinto de 0, queda:

t = a/c v + b/c w

Es decir, el camino inverso que habíamos tomado.

De la misma forma, un conjunto de vectores se dice linealmente independiente si no pueden "generar" el vector nulo (de nuevo considerando sumas finitas de múltiplos escalares). Tenemos que seguir estudiando el tema de la dependencia e independencia lineal. Por ejemplo, tenemos que poner algún ejemplo "visual", combinando vectores "en el plano" o "en el espacio". Los matemáticos también se guían por intuiciones. Pero también se apartan de ellas cuando es necesario elevar la abstracción.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 3 de Marzo, 2014, 15:38

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Algunos enlaces más de este tema interminable que empapa la mayor parte de las matemáticas. Visiten el blog de Gower, a estudiar órbitas, acciones, y demás.

Group actions IV: intrinsic actions « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/12/10/group-actions-iv-intrinsic-actions/

A Semigroup Approach to Finite Markov Chains | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/01/a_semigroup_approach_to_finite.html

Group actions III — what’s the point of them? « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/11/25/group-actions-iii-whats-the-point-of-them/

The number of cycles in a random permutation « What’s new
http://terrytao.wordpress.com/2011/11/23/the-number-of-cycles-in-a-random-permutation/

Group actions II: the orbit-stabilizer theorem « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/11/09/group-actions-ii-the-orbit-stabilizer-theorem/

Group actions I « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/11/06/group-actions-i/

Normal subgroups and quotient groups « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/11/20/normal-subgroups-and-quotient-groups/

The structure of approximate groups « What’s new
http://terrytao.wordpress.com/2011/10/24/the-structure-of-approximate-groups/

John Leech
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leech.html

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Publicado el 27 de Febrero, 2014, 14:36

Habría tanto para escribir y comentar sobre Poincaré. Y su influencia tanto en la física como en las matemáticas. Por ahora, unos enlaces. Vean por ejemplo, el del Poincaré Project.

http://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9

Jules Henri Poincaré (French: [ʒyl ɑ̃ʁi pwɛ̃kaʁe];[2] 29 April 1854 – 17 July 1912) was a French mathematician, theoretical physicist, engineer, and a philosopher of science. He is often described as a polymath, and in mathematics as The Last Universalist by Eric Temple Bell,[3] since he excelled in all fields of the discipline as it existed during his lifetime.

As a mathematician and physicist, he made many original fundamental contributions topure and applied mathematics, mathematical physics, and celestial mechanics. He was responsible for formulating the Poincaré conjecture, which was one of the most famousunsolved problems in mathematics until it was solved in 2002–2003. In his research on thethree-body problem, Poincaré became the first person to discover a chaotic deterministic system which laid the foundations of modern chaos theory. He is also considered to be one of the founders of the field of topology.

Poincaré made clear the importance of paying attention to the invariance of laws of physics under different transformations, and was the first to present the Lorentz transformations in their modern symmetrical form. Poincaré discovered the remaining relativistic velocity transformations and recorded them in a letter to Dutch physicist Hendrik Lorentz (1853–1928) in 1905. Thus he obtained perfect invariance of all of Maxwell's equations, an important step in the formulation of the theory of special relativity.

The Poincaré group used in physics and mathematics was named after him.

James Tauber : Poincaré Project
http://jtauber.com/poincare_project/

The Poincaré Conjecture
http://www.claymath.org/poincare/

Henri Poincaré | El Tamiz
http://eltamiz.com/2012/01/19/henri-poincare/

Pat'sBlog: On This Day in Math - December 9
http://pballew.blogspot.com.ar/2013/12/on-this-day-in-math-december-9.html

French Polymath Henri Poincaré on How Creativity Works | Brain Pickings
http://www.brainpickings.org/index.php/2013/08/15/henri-poincare-on-how-creativity-works/

Phys. Rev. 140, B977 (1965): Classification of Elementary Particles Based on the Representation Types of the Poincaré Group Including Space, Time, and Charge Reflections
http://prola.aps.org/abstract/PR/v140/i4B/pB977_1

Representations of the Symmetry Group of Spacetime
http://pages.cs.wisc.edu/~guild/symmetrycompsproject.pdf

Gauge fixing - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_fixing

Poincaré conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_conjecture

Division Algebras and Supersymmetry III | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/09/division_algebras_and_supersym_1.html

Spinors, Chirality, and Majorana Mass « An American Physics ...
http://fliptomato.wordpress.com/2008/01/04/spinors-chirality-and-majorana-mass/

Matemático Grigori Perelman explica por qué renunció a US$ 1 millón - FayerWayer
http://www.fayerwayer.com/2011/04/matematico-grigori-perelman-explica-por-que-renuncio-a-us-1-millon/

Grigori Perelman claims he can control Universe - English pravda.ru
http://english.pravda.ru/science/tech/28-04-2011/117727-Grigori_Perelman-0/

Yang–Mills existence and mass gap - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E2%80%93Mills_existence_and_mass_gap

Pictures of Modular Curves (III) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/11/pictures_of_modular_curves_iii.html

Russian mathematician rejects $1 million prize - Yahoo! News
http://news.yahoo.com/s/ap/20100701/ap_on_sc/eu_sci_russia_math_genius

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Publicado el 18 de Febrero, 2014, 8:50

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Uno de los primeros textos donde apareción "variedad" en mis lecturas de este siglo, está en "el Penrose". El tema de variedades suaves aparecen en varios lugares en ese gran libro. Vaya una nota para recordar la introducción al tema:

Nota 2

Leo en la sección 10.2 Suavidad, Derivadas Parciales:

Puesto que al considerar funciones de más de una variable empezamos a aventurarnos en espacios de dimensiones más altas, aquí es necesario hacer algunos comentarios concernientes al "cálculo infinitesiman" en tales espacios....

Justamente, en las variedades suaves se aplica alguna forma de análisis matemático, involucrado integrales, derivades, diferenciales. Esa es una nota que distingue a las variedades suaves: no son "suaves" sólo en un sentido topológico sino que hay una estructura adicional que permite extender el cálculo ("cálculo" como "análisis matemático", no simple destreza de calcular), a las variedades de varias dimensiones (incluso de dimensión infinita). Igual, a Penrose le interesa las variedades n-dimensionales. Y explica un caso de uso en física.

... los espacios - conocidos como variedades - pueden ser de cualquier dimensión n, donde n es un entero positivo. (Una variedad n-dimensional se suele conocer simplemente como una n-variedad.) La teoría de la relatividad general de Einstein utiliza una 4-variedad para describir el espaciotiempo, y muchas teorías modernas utilizan variedades de dimensiones aún más altas. Exploraremos las n-variedades generales ... [pero ahora] por simplicidad consideraremos solo la situación de una 2-variedad (o superficie) real S. Entonces podemos utilizar las coordenadas locales x e y (reales) para etiquetar los diferentes puntos de S (en una región local de S). De hecho, la discusión es muy representativa del caso general n-dimensional.

Al pensar en dos dimensiones, uno podría usar el plano euclídeo. Pero hay otros ejemplos, más interesantes:

Una superficie 2-dimensional podría ser, por ejemplo, un plano ordinario o una esfera ordinaria.... Su estructura [la de la variedad] solo tiene que ser la de una variedad suave. Geométricamente, esto significa... que necesitamos poder decir cuándo una función definida en el espacio (i.e., una función cuyo dominio es el espacio) debe considerarse "suave".

Voy a dejar acá la lectura del texto para esta nota. Por una lado, aparecieron coordenadas. Por otro lado, a cada punto del espacio/variedad a considerar se le puede asignar una función (por ejemplo, con resultado real o complejo; si queremos jugar a las matemáticas, podríamos considerar funciones que van de una variedad a otra, y considerar la variedad "target"/objetivo a la  recta real o plano complejo como casos especiales). Les adelanto que hay que considerar:

- La existencia de mapas de coordenadas que pueden no cubrir TODA la variedad (por ejemplo, no hay una forma de adoptar coordenadas en la superficie de una esfera PARA TODOS los puntos, sin caer en puntos singulares, como el "polo norte" y el "polo sur" en el caso de coordenadas longitud/latitud)
- El solapamiento "suave" de mapas de coordenadas
- La existencia de funciones "suaves" y como esa suavidad se extiende al aplicar mapas que se solapan "suavemente"

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Publicado el 1 de Febrero, 2014, 15:16

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En el anterior post, descubrimos que puede haber, en un espacio topológico, puntos de acumulación de un conjunto cualquiera M, que tengan una cantidad de puntos finita en la intersección de sus abiertos con el conjunto M. Eso no es lo que se espera en general. Los puntos de acumulación que nos aparecen en la historia del cálculo (límites de sucesiones) en general tienen una cantidad infinita de puntos del conjunto al que se "aproximan". ¿Que es lo que nos falta?

Es que hemos considerado espacios topológicos generales. Pongamos una condición adicional; manejemos espacios topológicos que cumplan:

- Dados dos puntos distintos a, b, siempre hay un entorno del punto a que no contiene al punto b.

Gráficamente:

.

El punto a tiene siempre un entorno (en el que está incluido) que no contiene al punto b. Por supuesto, cada entorno del punto a puede tener o no más puntos. Pero siempre podemos ahora elegir un entorno de a que no contenga al punto b. En definitiva: el punto a no está "pegado" al punto b, se lo puede separar en un entorno.

Con esta simple condición, la situación de los puntos de acumulación comienza a cambiar. Sea un punto de acumulación de M, el punto a. Si TODO entorno del punto a sólo tuviera una cantidad finita de puntos de M, entonces veremos que podemos construir un entorno del punto a QUE NO contenga puntos de M, y entonces el punto a dejaría de ser de acumulación. Veamos.

Sea E(a) un entorno del punto a que tenga una cantidad FINITA de puntos de M. Sea b uno de los puntos de M que está en E(a). Ahora, por la condición enunciada arriba, hay un segundo entorno del punto a, digamos E'(a), QUE NO contiene a B. La intersección de E(a) y E'(a) sigue siendo un entorno de a, digamos E''(a). Este nuevo entorno del punto a, tiene MENOS puntos de M que el entorno del que partimos inicialmente. Siguiendo con este procedimiento, cada vez tenemos un entorno nuevo del punto a, que va teniendo menos puntos de M. Al final, como supusimos desde el principio de todo que la cantidad de puntos del entorno inicial que caían en M era finita, terminamos con un entorno del punto a QUE NO TIENE ningún punto en común con M, distinto de a. Es como que vamos quitando de a uno los puntos en común hasta quedarnos sin ninguno.

Esto es una contradicción con la suposición: el punto a es punto de acumulación de M.

Conclusión: no pueden ser a la vez ciertas:

- punto a es punto de acumulación de M
- existe E(a) con una cantidad FINITA de puntos de M, distintos de a

Corolario:

- Si punto a es de acumulación de M, TODOS sus entornos tienen una CANTIDAD INFINITA de puntos de M distintos del mismo punto a

Es notable que con la simple adición de la condición expresada recuperemos la infinitud de la "adherencia" de los puntos de acumulación. Históricamente, los espacios topológicos fueron tratados al principio con esa condición. Sólo generalizando se vió que era una condición que podía estar o no estar. Veremos en próximos posts la historia de ese desarrollo, y condiciones similares que le podemos adosar a un espacio topológico.  Tengo que visitar, por ejemplo, los distintos axiomas de separabilidad.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 27 de Enero, 2014, 7:02

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Tantos temas fascinantes e interminables. Les contagio, digo, comparto ;-) más enlaces:

Eight Wonders of the Mathematical World - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=lxAZ_FLudKc&feature=player_embedded

¿Cuál fue el error que cometió Cristobal Colón? - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/%C2%BFcual-fue-el-error-que-cometio-cristobal-colon/

IMO 2012 en Mar del Plata – Problema nº 2 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/imo-2012-en-mar-del-plata-problema-n%C2%BA-2/

It’s a Boson! The Higgs as the Latest Offspring of Math & Physics | The Crux | Discover Magazine
http://blogs.discovermagazine.com/crux/2012/07/30/the-mathematical-magic-behind-the-mysterious-higgs-boson/

Feit biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Feit.html

Monge biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Monge.html

Limerick primes — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2011/03/08/limerick-primes/

Eikonal equation - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Eikonal_equation

Lie Groups in Nature « DrMathochist
http://drmathochist.wordpress.com/2010/01/11/lie-groups-in-nature/

Lie groups, Lie algebras, and representations « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2007/03/20/lie-groups-lie-algebras-and-representations/

Zolotarev biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Zolotarev.html

Lexis biography
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lexis.html

IFS fractal - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=JlUMRMpLzRo&feature=fvsr

Lecture 6 page 1 at 100 DPI -- 6.885, Folding and Unfolding in Computational Geometry, Prof. Erik Demaine
http://courses.csail.mit.edu/6.885/fall04/erik_notes/100dpi/L6-1.html

Pat'sBlog: On This Day in Math - July 7
http://pballew.blogspot.de/2012/07/on-this-day-in-math-july-7.html

Mathematicians use network theory to model champion Spanish soccer team's style
http://phys.org/news/2012-07-mathematicians-network-theory-champion-spanish.html

Nash equilibrium - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Nash_equilibrium

How Game Theory Solved a Religious Mystery - Mind Your Decisions by Presh Talwalkar
http://mindyourdecisions.com/blog/2008/06/10/how-game-theory-solved-a-religious-mystery/

Al Roth's game theory, experimental economics, and market design page
http://kuznets.fas.harvard.edu/~aroth/alroth.html

Game Theory 101: Game Theory Made Easy
http://gametheory101.com/

Andrey Kolmogorov - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Andrey_Kolmogorov

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Publicado el 25 de Enero, 2014, 14:41

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La teoría de grupos termina estando en todas partes. Más enlaces (les recomiendo el de partículas elementales):

Division Algebras and Supersymmetry III | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/09/division_algebras_and_supersym_1.html

Michael Aschbacher y la demostración más larga de la historia de las matemáticas
http://amazings.es/2011/09/22/michael-aschbacher-y-la-demostracion-mas-larga-de-la-historia-de-las-matematicas/

Particle physics and representation theory - Wikipedia, the ...
http://en.wikipedia.org/wiki/Particle_physics_and_representation_theory

Group Theory and Elementary Particles
http://www.cmi.ac.in/~shreyas/grpth.pdf

Prize awarded for largest mathematical proof - physics-math - 09 September 2011 - New Scientist
http://www.newscientist.com/article/dn20893-prize-awarded-for-largest-mathematical-proof.html

Garrett Lisi on his theory of everything | Video on TED.com
http://www.ted.com/talks/garrett_lisi_on_his_theory_of_everything.html

Spinors, Chirality, and Majorana Mass « An American Physics ...
http://fliptomato.wordpress.com/2008/01/04/spinors-chirality-and-majorana-mass/

Particles, Casey Blood, interpretations of quantum mechanics ...
http://implications-of-quantum-mechanics.com/qm41_references-for-understanding-quantum-mechanics.html

Mass, Spin, and Charge Are Properties of the Wave Function
http://implications-of-quantum-mechanics.com/qm11_mass-spin-charge-properties-of-wave-function.html

Burnside biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Burnside.html

The Birkhoff-Kakutani theorem « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2011/05/17/the-birkhoff-kakutani-theorem/

Morwen Thistlethwaite - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Morwen_Thistlethwaite

God's Number is 20
http://cube20.org/

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Publicado el 17 de Enero, 2014, 14:07

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Hay tantos temas fascinantes en estos enlaces. Vean cómo se ha ido desarrollando esta inmensa disciplina, tal vez el conocimiento que más nos identifica como humanos. Espero que sirva compartirlos:

The Shannon Capacity of a Graph, 1 | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/08/the_shannon_capacity_of_a_grap.html

Una curiosidad matemática sobre nuestros apellidos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/una-curiosidad-matematica-sobre-nuestros-apellidos/

Harald Bohr: fútbol y matemáticas unidos en un gran danés - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/harald-bohr-futbol-y-matematicas-unidos-en-un-gran-danes/

French Polymath Henri Poincaré on How Creativity Works | Brain Pickings
http://www.brainpickings.org/index.php/2013/08/15/henri-poincare-on-how-creativity-works/

Mathematical Problems by David Hilbert
http://www.clarku.edu/~djoyce/hilbert/

Una mejora de Ramanujan para la fórmula de Stirling - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/una-mejora-par-ramanujan-de-la-formula-de-stirling/

(Vídeo) 10 Most Important Numbers in the World - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/video-10-most-important-numbers-in-the-world/

Enigma codebreaker Alan Turing to be given posthumous pardon | UK news | The Guardian
http://www.guardian.co.uk/uk-news/2013/jul/19/enigma-codebreaker-alan-turing-posthumous-pardon

Resuelta una conjetura de Erdös sobre congruencias - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/resuelta-una-conjetura-de-erdos-sobre-congruencias/

www.math.jussieu.fr/~liangy/files/myarticle/Serre thm on noetherian regular local ring.pdf
http://www.math.jussieu.fr/~liangy/files/myarticle/Serre%20thm%20on%20noetherian%20regular%20local%20ring.pdf

Hilbert's seventeenth problem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_s_seventeenth_problem

Hilbert's Nullstellensatz - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_Nullstellensatz

Quasicrystals and the Riemann Hypothesis | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/06/quasicrystals_and_the_riemann.html

Philosophy Talks in Oxford | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/05/philosophy_talks_in_oxford.html

K-Tuple Permissible Patterns
http://www.opertech.com/primes/k-tuples.html

Bound on prime gaps bound decreasing by leaps and bounds | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/06/bound-on-prime-gaps-bound-decreasing-by-leaps-and-bounds/

Notes on the classification of complex Lie algebras | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/04/27/notes-on-the-classification-of-complex-lie-algebras/

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http://delicious.com/ajlopez/mathematics,history

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Publicado el 9 de Enero, 2014, 13:09

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De los temas matemáticos, éste debe ser uno de los más interesantes e importantes. Nadie puede ir practicando matemáticas sin toparse con la teoría de grupos. Más enlaces:

Hilbert's fifth problem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_fifth_problem

van Dantzig's theorem
http://terrytao.wordpress.com/2011/05/30/van-dantzigs-theorem/

Cyclic Groups and Subgroups
http://dogschool.tripod.com/cyclic.html

A Categorified Supergroup for String Theory | The n-Category Cafe
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/03/a_categorified_supergroup_for.html

Rohlin's problem on strongly mixing systems
http://terrytao.wordpress.com/2011/03/09/rohlins-problem-on-strongly-mixing-systems/

Simple Lie group - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Exceptional_Lie_group#Exceptional_cases

Exceptional isogenies between the classical Lie groups
http://terrytao.wordpress.com/2011/03/11/exceptional-isogenies-between-the-classical-lie-groups/

Fundamental representation - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_representation

Classical group - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_group

Dirac (Technical Notes)
http://gregegan.customer.netspace.net.au/APPLETS/21/DiracNotes.html

The Three-Fold Way (Part 2) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/12/the_threefold_way_part_2.html

Clifford Algebras, Clifford Groups, and a Generalization of the Quaternions: The Pin and Spin Groups
http://www.cis.upenn.edu/~cis610/clifford.pdf

The Road Forward - The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/12/07/the-road-forward/

E8 symmetry spotted in ultracold magnet - physicsworld.com
http://physicsworld.com/cws/article/news/41373

Math research team maps E8
http://web.mit.edu/newsoffice/2007/e8.html

Is this the fabric of the universe? - Telegraph
http://www.telegraph.co.uk/science/science-news/3352140/Is-this-the-fabric-of-the-universe.html

AIM math: Representations of E8
http://www.aimath.org/E8/

Higgs Bosons
http://www.scribd.com/doc/514522/Higgs-Bosons

Dirac belt trick
http://gregegan.customer.netspace.net.au/APPLETS/21/21.html

Mis Enlaces
http://delicious.com/ajlopez/grouptheory

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Publicado el 4 de Enero, 2014, 13:06

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Es impresionante los temas que abarcan los "smooth manifolds". En el anterior post citaba:

.. one must progress through topological spaces, smooth atlases, tangent bundles, cotangent bundles, immersed and embedded submanifolds,  tensors, Riemannian metrics, differential forms, vector fields, flows, foliations, Lie derivatives, Lie groups, Lie algebras, and more—just to get to the point where one can even think about studying specialized applications of manifeld theory such as gauge theory or symplectic topology.

Nota 1b

Esta nota es una continuación de la anterior. Sigo leyendo en ese prefacio de "Introduction to Smooth Manifolds", de Lee, Springer

This subject is often called "differential geometry." I have deliberately avoided using that term to describe what this book is about, however, because the term applies more properly to the study of smooth  manifolds endowed with some extra structure—such as Lie groups, Riemannian manifolds, symplectic manifolds, vector bundles,- foliations—and of their properties that are invariant under structure-preserving maps. Although I do give all of these geometric structures their due (after all, smooth  manifold theory is pretty sterile without some geometric applications), I felt that it was more honest not to suggest that the book is primarily about one or all of these geometries. Instead, it is about developing the general tools for working with smooth manifolds, so that the reader can go on to work in whatever field of differential geometry or its cousins he or she feels drawn to.

Este párrafo me sirve para darme cuenta que las variedades suaves, en general, tienen alguna estructura adicional que las hace interesantes. Tengo que distinguir todavía entre variedades de Riemann y las simplécticas. Veo que las propiedades interesantes de esas estructuras adicionales, son INVARIANTES ante los cambios de mapas de coordenadas.

Siempre hay que ver que una variedad (suave o no) se puede ver como un conjunto de puntos, con entornos (recordemos espacios topológicos). Pero lo que le da sabor, es la posibilidad de asignar a cada punto valores en un mapa (o varios) de coordenadas. Ese ida y vuelta entre la representación sin mapa fijo, y el de un mapa cualquiera, es lo que le da interés al estudio de las variedades. Y las variedades suaves (que no he definido en ninguna nota, pero donde la suavidad tiene relación con la transformación suave de mapas, donde "suave" indica alguna clase de diferenciación infinita entre las funciones que transforman las coordenadas en otras) se aplican entonces en muchos ámbitos de la física, donde se pueden definir propiedades y estructuras adicionales de la variedad que se mantengan ante cambios en los mapas de coordenadas. Como pasa en la realidad física: las coordenadas son humanas, las pone el físico, no la realidad. 

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 29 de Diciembre, 2013, 15:01

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Quiero hoy comenzar esta serie de notas, sobre un tema que me persigue: las variedades (los "manifold" en inglés) y en especial, las variedades suaves.

En mis tiempos, no se estudiaba variedades o "manifolds". Se estudiaba geometría diferencial. Pero en este siglo, me encontré con las variedades, las variedades suaves, y otros temas relacionados, en "el Penrose". Esta serie de posts nace de mi necesidad de publicar notas, aisladas, arbitrarias, pero que quiero que perduren, sobre el gran tema de las variedades suaves.

Nota 1

En estos días, leo al comienzo del prefacio de "Introduction to Smooth Manifolds", de Lee, Springer:

Manifolds are everywhere. These generalizations of curves and surfaces to arbitrarily many dimensions provide the mathematical context for  understanding "space" in all of its manifestations. Today, the tools of manifold theory are indispensable in most major subfields of pure mathematics, and outside of pure mathematics they are becoming increasingly important to scientists in such diverse fields as genetics, robotics, econometrics,  computer graphics, biomedical imaging, and, of course, the undisputed leader among consumers (and inspirers) of mathematics—theoretical physics. No longer a specialized subject that is studied only by differential geometers, manifold theory is now one of the basic skills that all mathematics students should acquire as early as possible.

Over the past few centuries, mathematicians have developed a wondrous collection of conceptual machines designed to enable us to peer ever more deeply into the invisible world of geometry in higher dimensions. Once their operation is mastered, these powerful machines enable us to think geometrically about the 6-dimensional zero set of a polynomial in four complex variables, or the 10-dimensional manifold of 5 x 5 orthogonal  matrices, as easily as we think about the familiar 2-dimensional sphere in R3. The price we pay for this power, however, is that the machines are built out of layer upon layer of abstract structure. Starting with the familiar raw materials of Euclidean spaces, linear algebra, and multivariable  calculus, one must progress through topological spaces, smooth atlases, tangent bundles, cotangent bundles, immersed and embedded submanifolds,  tensors, Riemannian metrics, differential forms, vector fields, flows, foliations, Lie derivatives, Lie groups, Lie algebras, and more—just to get to the point where one can even think about studying specialized applications of manifeld theory such as gauge theory or symplectic topology.

Como dice el texto, hoy las variedades están en todos lados. Fue "el Penrose" el que me puso sobreaviso sobre los "manifolds". Las variedades están relacionadas con los espacios topológicos, imposición de estructura adicional, mapas de coordenadas, diferenciación independiente del mapa de coordenados elegido, etc.

Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold

In mathematics, a manifold is a topological space that resembles Euclidean space near each point. More precisely, each point of an n-dimensional manifold has a neighbourhoodthat is homeomorphic to the Euclidean space of dimension n. Lines and circles, but notfigure eights, are one-dimensional manifolds. Two-dimensional manifolds are also calledsurfaces. Examples include the plane, the sphere, and the torus, which can all be realized in three dimensions, but also the Klein bottle and real projective plane which cannot.

Ese es el tema. Por una parte, un espacio topológico. Por otra, una estructura adicional, que permite considerar temas como la diferenciación bien definida (independiente de la carta de coordenadas elegida).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 8 de Diciembre, 2013, 12:42

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The Geometry Junkyard: Topics
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/topic.html

Cremona biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cremona.html

Recubriendo con "garfios" - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/recubriendo-con-garfios/

Jim Loy's Mathematics Page
http://www.jimloy.com/math/math.htm

Demostrando "pitagóricamente" la validez de la fórmula del seno de la suma - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/demostrando-pitagoricamente-la-validez-de-la-formula-del-seno-de-la-suma/

Relaciones entre dos triángulos
http://gaussianos.com/relaciones-entre-dos-triangulos/

Los ángulos de un triángulo suman 180 grados: demostración
http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/angulos-triangulos-180.html

Nueva imagen del poliedro de Császár: Ángel - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/nueva-imagen-del-poliedro-de-csaszar-angel/

The Existential Risk of Mathematical Error
http://www.gwern.net/The%20Existential%20Risk%20of%20Mathematical%20Error

Daily Kos: Breakthrough in Quantum Physics May Do Away with Space-Time, Lead to Ultimate Theory
http://www.dailykos.com/story/2013/09/19/1239942/-Breakthrough-in-Quantum-Physics-May-Do-Away-with-Space-Time-Lead-to-Ultimate-Theory

Physicists Discover Geometry Underlying Particle Physics | Simons Foundation
https://www.simonsfoundation.org/quanta/20130917-a-jewel-at-the-heart-of-quantum-physics/

Recordatorio: décimo Desafío Gaussianos y Guijarro "Pseudo-triángulos y pseudo-triangulaciones" - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/recordatorio-decimo-desafio-gaussianos-y-guijarro-pseudo-triangulos-y-pseudo-triangulaciones/

Lectures on the Icosahedron (Dover Phoenix Editions): Felix Klein: 9780486495286: Amazon.com: Books
http://www.amazon.com/Lectures-Icosahedron-Dover-Phoenix-Editions/dp/0486495280

Icosahedral symmetry - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#Related_geometries

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Publicado el 2 de Diciembre, 2013, 8:09

Quiero comenzar a jugar a ser matemático, con algunos elementos. Elijo para esta serie de posts las series infinitas de potencias, que hay algo he visitado en:

Desarrollando una Función en Serie de Potencias
Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial Usando Series de Potencias

Sea una serie infinita de potencias de x:

Vean que no trato de saber si es convergente o no para cada x. Puedo tomar tanto los coeficientes como la variable x de algún cuerpo conmutativo, digamos de los reales o de los complejos. Por ahora, para lo que voy a hacer, no importa.

Defino arbitrariamente la "derivada de y" como:

Es decir, como derivando cada término en x, pero sin preocuparme si esto está bien definido o no. De la misma forma, puedo seguir con la "segunda derivada":

Qué pasa si quiero conocer la serie que cumpla con:

Veamos. Lo primero que hago es hacer coincidir con signos opuestos los coeficientes de ambas series, que correspondan a las mismas potencias de x:





Queda una regla de formación de coeficientes, quedando libres (sin determinar) a0 y a1. Puedo escribir


Es decir, toda y que sea solución de y"" + y = 0 es la combinación lineal de dos series de potencias. Esas dos series de potencias son conocidas. La primera, para x = 1 da 1. La segunda, para x = 0, se obtiene 0. La primera es cos(x) y la segunda es sen(x). Es tema pendiente encontrar la demostración de esa correspondencia. No es un tema trivial: hay que encontrar la expresión de seno (o de coseno) en serie de potencias, apelando a propiedades trigonométricas. Una vez demostrados que seno y coseno se pueden expresar con esas series (al menos para x real), podré extender el resultado a otras series.

Que recuerde, el primero que demostró el desarrollo en serie de seno de x fue Newton.

Otros temas que quedan pendientes: ¿cuándo convergen estas series de potencias? ¿toda función se puede expresar en series de potencias? Mostrar la relación entre los coeficientes del desarrollo en serie y las derivadas de la función en un punto.

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Publicado el 25 de Noviembre, 2013, 15:25

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Sigo leyendo, traduciendo y comentando The History of the Calculus and Its Conceptual Development, de Carl B. Boyer:

Es verdad que griegos escépticos posteriores cuestionaron la posibilidad de consiguir cualquier conocimiento de tan absoluto caracter tanto por la razón como por la experiencia. Pero mientras la ciencia aristotélica había mostrado que a través de la observación y la lógica uno puede al menos alcanzar una representación consistente de los fenómenos, y consecuentemente las matemáticas pueden transformarse, con Euclides, en un patrón idealizado de relaciones deductivas. Derivados de postulados consistentes con los resultados de la inducción desde la observación, se encontró útil en la interpretación de la naturaleza.

Recuerdo que Euclides y demás griegos, no desarrollaron mucho los números. Para los griegos, números eran los naturales. Nunca concibieron el cero, o los racionales, o los negativos. Menos los reales. Lo que nosotros llamamos racionales, para ellos eran razones de números naturales (o razones de dos magnitudes, conmensurables, es decir, medibles exactamente por una unidad a escoger). El descubrimiento pitagórico de los irracionales (o razones de magnitudes no conmensurables, que no tienen unidad común que las mida), debió influir en el vuelco hacia la geometría, y el abandono de lo que podría haber sido el nacimiento temprano de un álgebra deductiva (en oposición a un álgebra apenas operacional, de babilonios y egipcios).

La visión escolástica, que prevaleció durante la Edad Media, fue que el universo es "ordenado" y simplemente intelegible. En el siglo catorce apareció bastante claramente que la visión cualitativa peripatética del movimiento y la variación podría ser reemplazada para mejor por un estudio cuantitativo.  Estos dos conceptos, junto un interés renovado en las posturas platónicas, trajeron alrededor de los siglos quince y dieciseis una renovación en la convicción de que las matemáticas son, en alguna manera, independientes y "a priori" de la experiencia y el conocimiento intuitivo. Esa convicción es marcada en el pensamiento de Nicolás de Cusa, Kepler y Galileo, y en alguna extensión aparece también en Leonardo da Vinci.

Bueno, es un párrafo corto pero con grandes afirmaciones. Para Aristóteles, el movimiento y el cambio del movimiento se estudiada cualitativamente. Ideó las cuatro causas, y el concepto de lo actual y lo potencial, para explicar el cambio, tratando de salir de las objeciones de Parménides y Zenón. No hizo intento de medir movimientos. Esa parte de la historia matemática y de la ciencia, la Edad Media y alrededores, es algo que se pasa muchas veces de largo, o con poco comentario. Boyer se explaya bastante, y espero poder en otros posts comentar algo sobre esos temas y personas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 19 de Octubre, 2013, 13:00

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Varias veces en el año, vuelvo a leer capítulos y fragmentos del libro The History of the Calculus and Its Conceptual Development, de Carl B. Boyer. El autor detalla no sólo la historia del cálculo (análisis matemático) sino también cómo se fueron desarrollando sus conceptos. Esos conceptos (como el límite) hoy nos parecen claros, pero hay que ver que en la mayor parte de la historia, no fue asi. La llegada de la clarificación de esos temas de fundamentos comenzó hace relativamente poco en la historia de las matemáticas: en el siglo XX.

Quisiera traducir parte de la introducción, donde Boyer se ocupa, no tanto del desarrollo del cálculo, sino de las matemáticas en conjunto:

Las matemáticas han sido una parte integral del entrenamiento intelectual y herencia humanos al menos por 2500 años. Durante este largo periodo tiempo, sin embargo, no ha sido alcanzado un acuerdo generalizado sobre la naturaleza del tema, ni ha sido dada una definición universalmente aceptada de la misma.

Desde la observación de la naturaleza, los antiguos babilonios y egipcios levantaron un cuerpo de conocimiento matemático que usaron para hacer más observaciones. Tales quizás introdujo los métodos deductivos; ciertamente los métodos de los primeros pitagóricos fueron de caracter deductivo. Los pitagóricos y Platón notaron que las conclusiones que alcanzaban deductivamente concordaban en gran medida con los resultados de la observación y la inferencia inductiva. Sin poder explicar de otra manera ese acuerdo, se vieron llevados a ver las matemáticas como el estudio de la última y eterna realidad, immanente en la naturaleza y el universo, en vez de verlas como una rama de la lógica o una herramienta de la ciencia y la tecnología.

Hace poco escribí sobre los pitagóricos, mencionando el fragmento de Aristóteles que Boyer señala en una nota:

Leyendo a Aristóteles (4) Los Pitagóricos

Sigo leyendo:

Ellos decidieron que un conocimiento de los principios matemáticos debe preceder a cualquier interpretación válida de la experiencia.

Esa es una gran toma de postura.

Este punto de vista es reflejado en la afirmación pitagórica de que todo es número, y en la aserción atribuida a Platón de que Dios siempre juega a ser geómetra.

(así traduzco "God always plays the geometer").

Lo que dicen los pitagóricos se basa en el fragmento de Aristóteles que mencioné antes. La afirmación de Platón. sólo en un escrito de Plutarco, Misceláneas y Ensayos. Recuerdo que Platón pone énfasis en la geometría en algunos fragmentos de La República, y en el Timeo le dedica parte de la explicación cosmológica basada en los sólidos regulares.

Algo relacionado:

Platón, Sócrates y la aritmética

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Publicado el 6 de Octubre, 2013, 15:59

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A multi-dimensional Szemer\"edi theorem for the primes via a correspondence principle | What's new
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Szemerédi's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di%27s_theorem

Pappus, Hales y Kelvin, Weaire y Phelan, o cómo rellenar el plano y el espacio de la manera más eficiente - Gaussianos | Gaussianos
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Does Math Objectively Exist, or Is It a Human Creation? A New PBS Video Explores a Timeless Question | Open Culture
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Math - Understanding the most beautiful equation in Mathematics
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The theorems of Frobenius and Suzuki on finite groups | What's new
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The 'Infinity Room': One of Many Ways to Imagine Infinity | Artists, Physicists, Mathematicians and Philosophers Contemplate Infinity | LiveScience
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5 Brilliant Mathematicians – 4 Crappy Commentaries | The Renaissance Mathematicus
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La razón matemática de la no existencia de un mapa perfecto de la Tierra - Gaussianos | Gaussianos
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El Topo Lógico: Bolzano, Russell y el infinito
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Pi history
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Cynthia Lanius' Lessons: The History of Geometry
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A Brief History of Geometry
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Geometry History
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Rhind Mathematical Papyrus 2/n table - Wikipedia, the free encyclopedia
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Rhind Mathematical Papyrus - Wikipedia, the free encyclopedia
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Ahmes - Wikipedia, the free encyclopedia
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History of geometry - Wikipedia, the free encyclopedia
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http://gowers.wordpress.com/2012/05/11/a-look-at-a-few-tripos-questions-vi/

A look at a few Tripos questions IX « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2012/05/26/a-look-at-a-few-tripos-questions-ix/

A look at a few Tripos questions VII « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2012/05/20/a-look-at-a-few-tripos-questions-vii/

El teorema del emperador — Amazings.es
http://amazings.es/2012/05/27/el-teorema-del-emperador/

IMAmaths - YouTube
http://www.youtube.com/imamaths

Paul Dirac and the religion of mathematical beauty | Royal Society
http://royalsociety.org/events/2011/paul-dirac/

Factual"s Gil Elbaz Wants to Gather the Data Universe - NYTimes.com
http://www.nytimes.com/2012/03/25/business/factuals-gil-elbaz-wants-to-gather-the-data-universe.html?_r=2&pagewanted=all

Dirichlet biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Dirichlet.html

Cartan biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cartan.html

Barrow biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Barrow.html

Carl Friedrich Gauss: el príncipe de las matemáticas - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/carl-friedrich-gauss-el-principe-de-las-matematicas/

Wittgenstein biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Wittgenstein.html

Área de aprendizaje | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/04/25/area-de-aprendizaje/

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