Angel "Java" Lopez en Blog

Matemáticas


Publicado el 26 de Enero, 2015, 15:53

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Tantos temas para ver, algunos enlaces adicionales:

Small doubling in groups « What’s new
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Great Circle Arc Intersections
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Roice Nelson - Google+ - A sculpture of the Klein Quartic My first successful…
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www.math.ias.edu/~mshulman/papers/sdg/pizza-seminar.pdf
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5 surpreendentes fatos matemáticos
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Olimpiada Matemática de Baleares 2013 - Problema 2 - Gaussianos
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Olimpiada Matemática de Baleares 2013 - Problema 3 - Gaussianos
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Beauty in Mathematics | Video Lectures
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Runge–Kutta methods - Wikipedia, the free encyclopedia
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The Aperiodical | The perfect formula for mathsiness
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Ramanujan's Mock Modular Forms: Indian Mathematician's Dream Conjecture Finally Proven
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Números y hoja de cálculo: ¿Cómo veo el 2013?
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Nota dominical: El método numérico del matemático palentino Fray Juan de Ortega « Francis (th)E mule Science's News
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Publicado el 25 de Enero, 2015, 16:23

Hace unas decádas, comenzaron a aparecer conceptos que dieron lugar a un nuevo fundamento de las matemáticas. Si bien se basaban en trabajos de miles de años, el lenguaje empleado era nuevo y aún hoy es un tema que no está muy difundido. Gracias al trabajo seminal de Eilenberg y MacLane de "A general theory of natural equivalences", fue que apareció una definición precisa de "categoría" y se hizo explícito que las relaciones entre ellas eran parte básica de las matemáticas.

Comienzo hoy esta serie de posts, para estudiar los conceptos de esta teoría, que no es difícil pero sí nueva y distinta. Comenzemos con algo que pasó hace siglos.

Galileo estudió el movimiento de cuerpos en el espacio. Para eso, se dió cuenta de la importancia de asociar el tiempo con la posición en el espacio de un cuerpo en movimiento. Podemos graficar:

Tenemos un conjunto de instantes de tiempo a la izquierda. Cada punto en el tiempo le corresponde un punto en el espacio, el conjunto de la derecha (estamos manejando conjunto de manera intuitiva, como una colección de cosas). Lo importante es que a cada elemento del conjunto de la izquierda (el dominio que le dicen los matemáticos) LE CORRESPONDE UNO Y SOLO UN elemento en el conjunto de la derecha (el codominio). Esta aplicación es nuestro primer ejemplo de lo que los matemáticos llaman MORFISMO.

Lo que notó también Galileo es que cada punto el espacio se puede mapear a un punto en el plano (dado por "la sombra" del punto en el espacio sobre "el piso") y a un punto en una línea (su altura):

Pudo entonces separar el estudio del movimiento en el espacio a un estudio en simultáneo pero separado, del movimiento en el plano y el movimiento en la línea de altura:

Entonces, la aplicación de tiempo a espacio, luego pudo combinarse con la aplicación de espacio a plano, y la de espacio a línea, quedando:

Esta composición de morfismos, sugiere que ESPACIO = PLANO X TIEMPO, una especie de multiplicación. Tenemos por ahora, tres conceptos a estudiar:

- Los morfismos
- Su composición (dos morfismos (uno atrás de otro como cachetada de loco ;-) originan otro morfismo)
- La multiplicación de conjuntos

Seguimos en el siguiente post. Fuentes consultadas: "Matemáticas conceptuales, una primera introducción a categorías", de Lawvere, Shanuel, editorial Siglo XXI.

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Publicado el 18 de Enero, 2015, 16:42

Ya he tratado varios aspectos de la teoría de números. Ver:

Números Primos
Teoría de Números
Demostración del teorema Euler-Fermat
Congruencias módulo m
La función indicatriz de Euler, primeros pasos
Calculando la función indicatriz de Euler
p = x2 + y2
Funciones Aritméticas

Cuando uno estudia números primos y sus propiedades, se interesa en la divisibilidad, descomponer un número entero entre sus divisores. Es lo que se llama teoría de números multiplicativa. También comenzó a aparecer la teoría analítica, aunque sea apenas insinuada en el tema de la hipótesis de Riemann: el uso del análisis matemático en cuestiones de teoría de números.

A los matemáticos les gusta descomponer a un elemento. En el caso de divisibilidad, ver cuáles son los divisores de un número entero. Pero también hay otro camino a explorar: dado un número natural, ver cómo descomponerlo en SUMANDOS. Por ejemplo, tengamos el número 5 (cinco). ¿Cómo podemos descomponerlo en sumandos naturales? ¿y de cuántas maneras distintas? Por "distintas" entendemos que no nos importa el orden, sino qué números usamos.

Queda entonces para descomponer al 5 (cinco) estas formas:

1 + 1 +  1 + 1 + 1
2 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 1
3 + 1 + 1
3  + 2
4 + 1
5

Es decir, hay siete formas distintas. He tomado la convención de poner los sumandos de mayor a menor.

Estas particiones:

2 + 1 + 1 + 1
1 + 2 + 1 + 1
1 + 1 + 2 + 1
1 + 1 + 1 + 2

Las consideramos "iguales", y tomamos la primera como "forma normal": la que aceptamos para expresar esta partición, la expresión que tiene los sumandos descendentes.

La cantidad de particiones diferentes del número n nos da una función aritmética, que llamamos p(n). Si la calculamos para los primeros números, queda:

p(1) = 1
p(2) = 2
p(3) = 3
p(4) = 5
p(5) = 7
p(6) = 11
p(7) = 15

Les dejo calcular los siguientes valores. En los siguientes posts vamos a investigar las propiedades de p(n). Por ejemplo ¿habrá alguna fórmula directa para expresarla? ¿o alguna fórmula de recurrencia, donde p(n) se pueda expresar en términos de los p(n-1), p(n-2)…? ¿habrá algún patrón a descubrir en sus valores? ¿Alguna fórmula asintótica? Vamos a ver que hasta hay funciones inesperadas que, cuando se expresan en serie, sus coeficientes nos dan los valores de p(n).

Mientras, pueden leer

http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_%28number_theory%29

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Publicado el 14 de Enero, 2015, 12:39

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Varignon biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Varignon.html

Srinivasa Ramanujan, el enigmático genio matemático indio - Gaussianos
http://gaussianos.com/srinivasa-ramanujan-el-enigmatico-genio-matematico-indio/

[1212.3515] When does a cross product on R^{n} exist?
http://arxiv.org/abs/1212.3515

Carnaval Matemáticas: El producto vectorial en un espacio euclidiano de 7 dimensiones « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/12/22/el-producto-vectorial-en-un-espacio-euclideo-de-7-dimensiones/

Matrix Factorization: A Simple Tutorial and Implementation in Python @ quuxlabs
http://www.quuxlabs.com/blog/2010/09/matrix-factorization-a-simple-tutorial-and-implementation-in-python/

Math ∩ Programming | A place for elegant solutions
http://jeremykun.com/

www.ams.org/notices/201301/rnoti-p97.pdf
http://www.ams.org/notices/201301/rnoti-p97.pdf

Moby Dick and the tautochrone — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2011/10/15/tautochrone/

Mathematical Background
http://www.jfsowa.com/logic/math.htm

Hallar los conjuntos - Gaussianos
http://gaussianos.com/hallar-los-conjuntos/

Ramsey Number Lower Bound | Math ∩ Programming
http://jeremykun.wordpress.com/2012/12/02/ramsey-number-lower-bound/

A calculus free proof of the spectral theorem « Secret Blogging Seminar
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Groups — A Primer | Math ∩ Programming
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The spectral proof of the Szemeredi regularity lemma « What"s new
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How I teach topology: an inquiry-based learning approach « Division by Zero
http://divisbyzero.com/2012/12/16/how-i-teach-topology-an-inquiry-based-learning-approach/

10 Mathematical Equations That Changed The World - YouTube
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=KGpb3_XkEvg

El problema de los cocos y el mono, o cómo apartar las matemáticas de la realidad - Gaussianos
http://gaussianos.com/el-problema-de-los-cocos-y-el-mono-o-como-apartar-las-matematicas-de-la-realidad

(Vídeo) Las 10 ecuaciones matemáticas que cambiaron el mundo - Gaussianos
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Publicado el 10 de Enero, 2015, 15:11

Mientras sigo explorando teoría de números (ver posts:

Números Primos
Teoría de Números
Demostración del teorema Euler-Fermat
Congruencias módulo m
La función indicatriz de Euler, primeros pasos
Calculando la función indicatriz de Euler
p = x2 + y2

) comienzo hoy una serie de posts sobre un tema nuevo, por un lado sencillo, por otro lado de profunda influencia: las funciones aritméticas. Si hasta puede que el desarrollo del tema nos lleve cerca del teorema de los números primos.

¿Qué es una función aritmética? Es una función sobre los números naturales (desde el 1), que da valores numéricos (digamos, enteros, reales, complejos):

Por ejemplo, tenemos la función aritmética identidad: a cada valor n entrega como resultado el mismo valor n:

Donde

Vamos a ir viendo qué utilidad puede tener una función tan simple. Pero también podemos tener una función aritmética en la función indicatriz de Euler:

Donde para cada n, phi(n) no s da la cantidad de números naturales a, 1 <= a <= n, tales que (a, n) = 1, es decir, que son primos con n.

Comienza a aparecer la relación con la teoría de números: muchas funciones aritméticas interesantes dan resultados que dependen de temas como primos, divisibilidad, que son el pan y la manteca de la teoría de números. Veremos que las funciones aritméticas se pueden clasificar por sus propiedades, y notablemente se pueden combinar entre sí : aparecerá un conjunto de funciones aritméticas que se pueden combinar con una operación binaria que forma grupo, con identidad, inverso, etc.

Antes de terminar esta introducción al tema, quisiera mencionar que también aparecen en series de potencias formales, llegaremos a estudiar las operaciones sobre series infinitas:

Donde los coeficientes son los resultados de una función aritmética f(n). ¿Qué coeficientes nacen de la multiplicación formal de dos de tales series?

Mi principal fuente de consulta para el tema: La introducción a la teoría analítica de números, de Tom Apostol, editorial Reverté.

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Publicado el 4 de Enero, 2015, 7:29

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Veamos otra prueba de la irracionalidad de raíz cuadrada de 3, usando descenso infinito.

Sea

Donde a1, b1 son naturales. Usemos la relación:

Para deducir:

Quedando una nueva fracción:

Como sabemos que la raíz es menor que 2:

Deducimos:

Y entonces:

Y también:

Es decir, el numerador de la nueva fracción es positivo, y el denominador de la nueva fracción es menor que el anterior denominador.

Sabemos también que

De donde sacamos:



Es decir, el nuevo denominador es positivo.

Y también deducimos:

Que el nuevo numerador a2 es menor que el anterior a1. Repitiendo el proceso queda:

Una secuencia de numeradores/denominadores estrictamente decreciente: lo que es absurdo. Entonces, la raíz no es racional.

Ejemplo tomado del "Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles", de Yves Hellegouarch.

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Publicado el 26 de Diciembre, 2014, 15:40

En agosto de 1859, Bernhard Riemann pasó a ser miembro de la Academia de Berlin, lo que era un gran honor para un matemático tan joven (tenía entonces 32 años). Como se acostumbraba en esas ocasiones, Riemann presentó un "paper" a la Academia dando cuenta de alguna de sus investigaciones. El título del "paper" era "Sobre el número de números primos menores que una cantidad dada". Ahí investigaba un problema directo de la aritmética ordinaria. Por ejemplo ¿cuántos primos hay menores que 20? ¿y menores a 2000? ¿y cuántos menores a veinte millones? ¿habría alguna fórmula que nos diera el resultado, aunque sea aproximado?

Riemann atacó el problema con las matemáticas más avanzadas de su tiempo, usando herramientas que aún hoy sólo se mencionan en cursos avanzados. Presentó un objeto matemático, la función zeta extendida a los números complejos, y a la tercera parte de su "paper" hizo una conjetura sobre ese objeto, y comentó:

One would, of course, like to have a rigorous proof of this, but I have put aside the search for such a proof after some fleeting vain attempts because it is not necessary for the immediate objective of my investigation.

Traduzco libremente:

Se podría, por supuesto, obtener una prueba rigurosa de esto, pero yo han dejado de lado la búsqueda de tal prueba después de un vano y fugaz intento porque no es necesario para el objetivo inmediato de mi investigación.

Durante décadas, la conjetura pasó desapercibida, pero poco a poco se fue apoderando de la imaginación de los matemáticos, terminando en ser uno de los problemas no resueltos más famoso de nuestra época.

Esa conjetura se conoce como la hipótesis de Riemann. Y ha resistido más de siglo y medio a ser demostrada o refutada. Curiosamente, su demostración implicaría una demostración del teorema principal de distribución de los números primos, que era el tema principal del "paper" de Riemann. Ese teorema se terminó probando por otros caminos, pero la hipótesis de Riemann todavía se yergue como EL problema no resuelto de nuestros tiempos.

David Hilbert comentaba en el Congreso Internacional de Matemáticas de 1900:

Essential progress in the theory of the distribution of prime numbers has lately been made by Hadamard, de la Vallee Poussin, von Mangoldt and others. For the complete solution, however, of the problems set us by Riemann's paper "On the Number of Prime Numbers Less Than a Given Quantity," it still remains to prove the correctness of an exceedingly important statement of Riemann...

donde entonces menciona la hipótesis de Riemann. Pasemos a enero de 2000, a Phillip A. Griffits, director del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, y anterior profesor de matemáticas en Harvard:

Despite the tremendous achievements of the 20th century, dozens of outstanding problems still await solution. Most of us would probably agree that the following three problems are among the most
challenging and interesting. The Riemann Hypothesis. The first is the Riemann Hypothesis, which has tantalized mathematicians for 150 years....

El Instituto de Matemáticas Clay (fundado por el financista bostoniano Landon T. Clay en 1998) ha ofrecido un premio de un millón de dólares por su prueba o refutación. El Instituto Americano de Matemáticas (establecido en 1994 por el emprendedor californiano John Fry) ha tratado el tema de la hipótesis de Riemann, en tres conferenccias dedicadas (1996, 1998, 2000), a las que asistieron investigadores de todo el mundo.

No es fácil explicar la hipótesis, pero en este primer post puedo enunciarla:

Todos los ceros no triviales de la función zeta tiene una parte real igual a un medio

Esta serie de posts es ambiociosa, porque el tratamiento de la hipótesis no es trivial. Nos llevará a visitar a varios resultados matemáticos, y visitaremos la historia de los matemáticos que se vieron involucrados en el camino anterior y posterior de la hipótesis. Una cosa que quisiera explicar es LA RELACION que tiene la hipótesis con LA DISTRIBUCION de los números primos. Hay varios textos de divulgación que tratan la historia y el desarrollo, pero es raro encontrar una explicación de POR QUE la distribución de los ceros de esa tal "función zeta" arroja luz sobre la distribución de los números primos.

Entonces, tenemos que investigar:

- ¿Qqué es esa "función zeta"?
- ¿Cuáles son sus ceros no triviales? Debe haber entonces ceros triviales
- ¿Cómo se pasa de los ceros no triviales de la función zeta a la distribución de números primos?
- ¿Cómo aparecen los números complejos, reales y conceptos de cálculos en algo tan ligado a los números enteros?
- ¿Qué relación hay con la física cuántica?
- Y toda la historia de los matemáticos que se vieron involucrados en el desarrollo del tema

Mis fuentes principales, los libros:

Stalking the Riemann Hypothesis: The Quest to Find the Hidden Law of Prime Numbers, de Dan Rockmore (un gran desarrollo histórico, con muchos detalles, pero sin la explicación matemática última)

Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, por John Derbyshire (donde sí hay desarrollo matemático detallado)

También tengo como fuentes a:

Introducción a la Teoría Analítica de Números, de T.M. Apostol (editorial Reverté)

Fundamentos de la Teoría Analítica de los Números, de A.A.Karatsuba (editorial Mir)

y varios otros libros que iré mencionando.

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Publicado el 25 de Diciembre, 2014, 14:42

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Sea la expresión general de una ecuación diferencial ordinaria, en una variable:

Podría faltar alguna de las derivadas, o incluso la variable explícita. Sea por ejemplo:

¿Cómo resolvemos esta ecuación? Algún método ya vimos en Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial Usando Serie de Potencias. También vimos de resolver:

En el post Series de Potencias (1). Pero nos va a llevar gran parte de esta serie discutir y mostrar los métodos de resolución más generales. Más fácil es comprobar que una función es una solución de la ecuación. Sea la ecuación:

Sean las funciones:

Y

Si las reemplazamos en la ecuación diferencial, vemos que son soluciones de la misma. Por ejemplo, para la primera función tenemos:



Y reemplazando esos valores en la ecuación diferencial, vemos que se cumple la ecuación:

Es más, si combinamos linealmente las dos soluciones propuestas:

También esa combinación lineal, con coeficientes a, b, es una solución de la ecuación. Que la combinación lineal de soluciones sea una solución, no siempre se cumple.

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Publicado el 2 de Diciembre, 2014, 6:44

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¡¡Tenemos dos nuevos primos de Mersenne!! - Gaussianos | Gaussianos
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Posible descubrimiento del primo de Mersenne número 46 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/posible-descubrimiento-del-primo-de-mersenne-numero-46/

Posible descubrimiento del primo de Mersenne número 45 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/posible-descubrimiento-del-primo-de-mersenne-numero-45/

Confirmado el descubrimiento del primo de Mersenne número 48 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/confirmado-el-descubrimiento-del-primo-de-mersenne-numero-48/

Confirmado el descubrimiento del primo de Mersenne número 47 - Gaussianos | Gaussianos
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Confirmado que el 44º primo de Mersenne es en realidad el 44º primo de Mersenne - Gaussianos | Gaussianos
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Cinco primos relativos por parejas - Gaussianos | Gaussianos
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Ramanujan, Nagell y la singularidad del 7 - Gaussianos | Gaussianos
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Generalizando sobre sumas de cuadrados a partir de un cuadro ruso - Gaussianos | Gaussianos
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Buscando las parejas de enteros - Gaussianos | Gaussianos
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Parejas en la sucesión de Fibonacci - Gaussianos | Gaussianos
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La sorprendente constante de Khinchin - Gaussianos | Gaussianos
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Probar que es un cuadrado perfecto - Gaussianos | Gaussianos
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Parejas de enteros - Gaussianos | Gaussianos
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Publicado el 13 de Noviembre, 2014, 12:10

Estaba investigando sobre modelos económicos, y me encuentro con esto sobre la historia de la programación lineal:

Linear programming (LP) emerged in the United States in the early postwar years. One may to a considerable degree see the development of LP as a direct result of the mobilization of research efforts during the war. George B. Dantzig, who was employed by the US Armed Forces, played a key role in developing the new tool by his discovery in 1947 of the Simplex method for solving LP problems. Linear programming was thus a military product, which soon appeared to have very widespread civilian applications. The US Armed Forces continued its support of Dantzig"s LP work, as the most widespread textbook in LP in the 1960s, namely Dantzig (1963), was sponsored by the US Air Force.

Hace más de tres décadas tuve mi primer encuentro con la programación lineal y los métodos de Dantzig. También había una abundante producción soviética sobre el tema, y nuevas ideas para salir del Simplex.

Dantzig had discovered the Simplex method but admitted many years later that he had not really realized how important this discovery was. Few people had a proper overview of linear models to place the new discovery in context, but one of the few was John von Neumann, at the time an authority on a wide range of problems form nuclear physics to the development of computers. Dantzig decided to consult him about his work on solution techniques for the LP problem.

Este es el relato del propio Dantzig:

"I decided to consult with the "great" Johnny von Neumann to see what he could suggest in the way of solution techniques. He was considered by many as the leading mathematician in the world. On October 3, 1947 I visited him for the first time at the Institute for Advanced Study at Princeton. I remember trying to describe to von Neumann, as I would to an ordinary mortal, the Air Force problem. I began with the formulation of the linear programming model in terms of activities and items, etc.Von Neumann did something, which I believe was uncharacteristic of him. "Get to the point," he said impatiently. Having at times a somewhat low kindling point, I said to myself "O.K., if he wants a quicky, then that"s what he"ll get." In under one minute I slapped the geometric and the algebraic version of the problem on the blackboard. Von Neumann stood up and said "Oh that!" Then for the next hour and a half, he proceeded to give me a lecture on the mathematical theory of linear programs." (Dantzig, 1984).

von Neumann, de amplia cultura matemática, ya conocía el tema. En ese encuentro Dantzig oyó por primera vez sobre la dualidad y el lema de Farkas.

Lo encuentro citado en Dipak Basu, Dipak Basu Economic Models Methods, Theory and Applications.

Otros posts de este blog donde se menciona a von Neumann:

Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John von Neumann
John von Neumann y Operadores en Cuántica
Abstracción y Matemáticas, según von Neumann

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Publicado el 12 de Noviembre, 2014, 14:46

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TED Blog | 8 math talks to blow your mind
http://blog.ted.com/2012/11/21/8-math-talks-to-blow-your-mind/

Endre Szemerédi, premio Abel 2012 - Gaussianos
http://gaussianos.com/endre-szemeredi-premio-abel-2012/

Sorpresa sumando potencias de 2 - Gaussianos
http://gaussianos.com/sorpresa-sumando-potencias-de-2/

Introduction to Category Theory
http://www.cs.nott.ac.uk/~gmh/cat.html

Equivalent Form of the Riemann Hypothesis | Architects Zone
http://architects.dzone.com/articles/equivalent-form-riemann

Statistics in a Nutshell: Sarah Boslaugh: 9781449316822: Amazon.com: Books
http://www.amazon.com/Statistics-Nutshell-Sarah-Boslaugh/dp/1449316824

Theorem of the Day
http://www.theoremoftheday.org/Theorems.html

Ana y las tablas de multiplicar | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/11/21/ana-y-las-tablas-de-multiplicar/

Alexander y su particular esfera: una cuestión de "cuernos" - Gaussianos
http://gaussianos.com/alexander-y-su-particular-esfera-una-cuestion-de-cuernos/?utm_source=feedburner&utm_medium=twitter&utm_campaign=Feed%3A+gaussianos+%28Gaussianos%29

Cálculo comparativo de la diversidad de votos mediante densidad de grafos « Ricardo Galli, de software libre
http://gallir.wordpress.com/2012/11/04/calculo-comparativo-de-la-diversidad-de-votos-mediante-densidad-de-grafos/

LI2012: Ejercicios de lógica proposicional | Vestigium
http://www.glc.us.es/~jalonso/vestigium/li2012-ejercicios-de-logica-proposicional/

Calculando un valor del polinomio - Gaussianos
http://gaussianos.com/calculando-un-valor-del-polinomio/

Situación de las raíces de la derivada, o "el teorema más maravilloso de las matemáticas" - Gaussianos
http://gaussianos.com/situacion-de-las-raices-de-la-derivada-o-el-teorema-mas-maravilloso-de-las-matematicas/

La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen - Gaussianos
http://gaussianos.com/la-hipotesis-del-continuo-del-susto-de-cantor-a-la-prueba-de-cohen/

What was up with Pythagoras? - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=X1E7I7_r3Cw&feature=youtube_gdata_player

¿Otra forma de multiplicar? | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/11/07/otra-forma-de-multiplicar/

Halla el circunradio (ACTUALIZADO) - Gaussianos
http://gaussianos.com/halla-el-circunradio

The Mathematics Behind xkcd: A Conversation with Randall Munroe
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Polynomial Rings and Unique Factorization Domains
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Unique factorization in polynomial rings - MathOverflow
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Tito Eliatron Dixit: La historia de un matemático y la muerte de Matusalén
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Los bilingües recurren a la lengua en la que aprendieron las matemáticas para multiplicar - ABC.es
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Hilbert's Nullstellensatz - Wikipedia, the free encyclopedia
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Algebraic Topology
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the Archimedes Palimpsest
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Another feminist Newtonian: Bologna"s Minerva | The Renaissance Mathematicus
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Un poco de gimnasia mental | Mati, una profesora muy particular
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Ferrari biography
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Simson biography
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ABC Conjecture | Ars Mathematica
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Ramanujan pi approximation — The Endeavour
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An Intuitive Guide to Linear Algebra | BetterExplained
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Y dale con Tales… | Mati, una profesora muy particular
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Foundational Questions in the Mathematical Sciences | The John Templeton Foundation
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Publicado el 2 de Noviembre, 2014, 7:28

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En el post anterior exploramos un grupo continuo, el de las rotaciones en R2. Por un lado, podemos tener el grupo abstracto, de rotaciones, y por otro, nos manejamos mejor si vemos cada elemento del grupo COMO UNA TRANSFORMACION LINEAL en un espacio vectorial real de dos dimensiones, que mantiene la orientación y la norma de los vectores. Siempre vamos a tener ese "doble camino": o trabajar con el grupo, o con lo que se llama una representación del grupo, operadores lineales que trabajan transformando elementos de un espacio vectorial (ya llegaremos a una definición de representación).
A los físicos les gusta trabajar con representaciones porque permite expresar los elementos del grupo como matrices, si el espacio vectorial sobre el que operamos tiene dimensión finita (hay también representaciones sobre espacios vectoriales especiales de dimensión infinita, pero por ahora no nos interesan). Lo interesante que apareció en el ejemplo anterior, que las matrices en R2 que cumplen:

Preservan la norma de los vectores, y se llaman ortogonales. Pusimos como norma a:

En concreto, si nos manejamos con una base, se expresa:

Donde la norma es la suma de cada coeficiente multiplicado por sí mismo. En realidad, es un caso particular del llamado producto interior en Rn:

Si, como estamos haciendo, estamos en un espacio vectorial con coeficientes reales, queda que la norma de un vector, o su multiplicación por sí mismo, da siempre un número real no negativo (y se anula solamente si v es el vector nulo).

Pero en física también se trabaja, y mucho, con espacios vectoriales complejos, donde el cuerpo de los coeficientes son los números complejos. En estos casos, el producto interno no sirve tanto si se define como arriba, porque para coeficientes cualesquiera la norma puede dar un número cualquiera, no necesariamente positivo ni real. Ejemplo simple:

 En estos casos de espacios vectoriales complejos, los matemáticos prefieren un producto interno definido:

(en realidad, los matemáticos prefieren una definición más abstracta, donde no intervienen coeficientes referidos a una base), donde el asterisco significa "complejo conjugado". Expresando en multiplicación de vectores fila/columna, en dos dimensiones, sería:

Notemos que los elementos del vector fila son los coeficientes complejos conjugados del vector original w. Podemos ver el vector original w como un vector columna,  y ahora interviene en esta multiplicación de vectores como transpuesto Y CONJUGADO.


Teniendo esta definición de producto, nos interesa el grupo de transformaciones que mantenga la norma y este nuevo producto interno:

Sea la matriz de la transformación R:

Entonces nuestra multiplicación ahora es (habría que hacer todo el desarrollo, pero es así):

Vemos que R interviene TRANSPUESTA Y CONJUGADA. Para que esta expresión sea siempre igual a

Para cualquier w, v, debería cumplirse:

Las transformaciones que cumplen esto (y sus matrices) se llaman UNITARIAS. El grupo de transformaciones unitarias sobre C2 (C = complejo) se llama U(2). El grupo de transformaciones unitarias que no invierten el espacio (con matriz con determinante uno) son el grupo SU(2). Veremos, con paciencia y tiempo, la gran influencia que tienen estos grupos unitarios y especiales en los modelos de grupo del modelo estándar de partículas.

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www.math.lsa.umich.edu/~rauch/555/fouriercomplex.pdf
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Algo más que números: III CONCURSO DE OTOÑO DE MATEMÁTICAS (CO+)
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Mathematical formulation of quantum mechanics - Wikipedia, the free encyclopedia
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Schrödinger picture - Wikipedia, the free encyclopedia
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Tellings of the Gauss Anecdote
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Gaussian elimination - Linear Systems - math-linux.com
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Modular Arithmetic
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angelustenebrae: The Mathematicians
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Roomen biography
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www.math.uregina.ca/~mareal/cs1.pdf
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Varying Newton"s constant: A personal history of scalar-tensor theories
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Cuerpos y sus extensiones
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo2.pdf

Teoria de Anillos
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Resolubilidad por Radicales
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Abstract Algebra
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dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1992_00_00_05.pdf
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Where Do Monads Come From? | The n-Category Café
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The Submodule of Invariants « The Unapologetic Mathematician
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www.math.vt.edu/people/brown/doc/gen_gauss_gem.pdf
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www.henrikkragh.dk/hom/episoder/lecturenotes/GaussCyclotomy200102a.pdf
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Mathics - A free, light-weight alternative to Mathematica
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Think Stats: Probability and Statistics for Programmers
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Pasch biography
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Renyi biography
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Paper Trail » Dedekind and Weber: Theory of the algebraic functions of one variable
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Euler biography
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The Rule of Thumb in Mathematics
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Math ∩ Programming | A place for elegant solutions
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Learning Programming — Finger-Painting and Killing Zombies | Math ∩ Programming
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Kolmogorov Complexity – A Primer | Math ∩ Programming
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Optimally Stacking the Deck – Texas Hold "Em | Math ∩ Programming
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Proof that Open Games are Determined
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New Modules from Old « The Unapologetic Mathematician
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Irreducible Modules « The Unapologetic Mathematician
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Reducible Modules « The Unapologetic Mathematician
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Lie Algebra Modules « The Unapologetic Mathematician
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Demostración "elemental" de que el número e es irracional - Gaussianos
http://gaussianos.com/demostracion-elemental-de-que-el-numero-e-es-irracional/

Cómo demostrar que el número e es irracional - Gaussianos
http://gaussianos.com/como-demostrar-que-el-numero-e-es-irracional/

www-fourier.ujf-grenoble.fr/~marin/une_autre_crypto/articles_et_extraits_livres/irationalite/Penesi_L.L._Elementary_proof_that_e_is_irational.pdf
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Clay Mathematics Institute
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Riemann Hypothesis in a Nutshell
http://web.viu.ca/pughg/RiemannZeta/RiemannZetaLong.html

The Prime Pages (prime number research, records and resources)
http://primes.utm.edu/index.html

The Riemann Hypothesis
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Maurolico biography
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Pequeño LdN: 29 de Agosto
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Iwasawa theory - Wikipedia, the free encyclopedia
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Ideal class group - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_(number_theory)

Cyclotomic field - Wikipedia, the free encyclopedia
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Fermat's Last Theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
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Hay bastante sobre la conjetura ABC y números primso

The Aperiodical | It"s Imminently Time For Relatively Prime
http://aperiodical.com/2012/09/its-imminently-time-for-relatively-prime/

Proof of the abc Conjecture? | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=561

Additive Geometric Patterns of Resemblance
http://www.xamuel.com/geometric-patterns-of-resemblance/

El Topo Lógico: Reparto justo
http://eltopologico.blogspot.com.ar/2012/09/reparto-justo.html

Bill Thurston « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/08/22/bill-thurston/

On sets defining few ordinary lines « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/08/24/on-sets-defining-few-ordinary-lines/

A trivial remark about schemes « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/09/05/a-trivial-remark-about-schemes/

From Poisson To String Geometry | The n-Category Café
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General Covariance in Homotopy Type Theory | The n-Category Café
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The Ax-Grothendieck Theorem According to Category Theory | The n-Category Café
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Decomposition of Semisimple Lie Algebras « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/08/decomposition-of-semisimple-lie-algebras/

Back to the Example « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/07/back-to-the-example/

The Radical of the Killing Form « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/06/the-radical-of-the-killing-form/

The Killing Form « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/03/the-killing-form/

El mayor experto en algo, "ni papa" del resto - Gaussianos
http://gaussianos.com/el-mayor-experto-en-algo-ni-papa-del-resto/

www.math.harvard.edu/~mazur/papers/scanQuest.pdf
http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/scanQuest.pdf

Philosophy behind Mochizuki's work on the ABC conjecture - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/106560/what-is-the-underlying-vision-that-mochizuki-pursued-when-trying-to-prove-the-abc/106658#106658

Mochizuki on ABC « Quomodocumque
http://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/

Proof of the abc Conjecture? | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=5104

Posible demostración de la veracidad de la conjetura ABC - Gaussianos
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Math/Maths 111: A Domino Computer on a Penrose Tiling | Pulse-Project.org
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The Aperiodical | Puzzlebomb – September 2012
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abc conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
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Publicado el 16 de Octubre, 2014, 15:34

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Enumeremos hoy algunos tipos de ecuaciones diferenciales. Tenemos primero, ecuaciones como:

Donde todas las derivadas son totales, no hay derivadas parciales. La función que se quiere despejar es una función que depende, finalmente, de una sola variable (podría depender indirectamente de varias variables, pero éstas ser finalmente funciones de la única variable independiente).

Es común escribir la función a despejar sin poner su dependencia de variables, es decir, usar "y" en lugar de "y(t)", en el ejemplo de arriba. De esta ecuación se dice que es de primer orden, porque el orden más alto de las derivadas que presenta es uno.

En cambio:

Es de segundo orden. Otras veces, la función a buscar interviene con otras variables:

Estas ecuaciones diferenciales se llaman ecuaciones ordinarias, porque no contiene derivadas parciales.

Podemos tener ecuaciones con MAS DE UNA derivada (en orden):

"casi" como si fuera un polinomio con derivadas de distinto orden en vez de variable elevada a distintas potencias. Llegará el caso de explotar esta analogía.

Hay ecuaciones diferenciales ordinarias apenas más complejas, que arrastran una larga historia, como la ecuación de Legendre:

Donde p es una constante. Y la ecuación de Bessel:

Donde de nuevo p es una constante. Vemos en estos dos últimos ejemplos la falta de un término independiente (sin y ni x ni derivadas), y la mezcla en un mismo término de derivadas y variables.

Pero también hay ecuaciones donde la función a despejar depende de más de una variable, y entonces, las derivadas que aparecen son parciales. Ejemplos clásicos:



Donde en todos los casos la función incógnita es w, y depende de x, y, z y t, que podemos considerar coordenadas espaciales y el tiempo. Las tres son muy parecidas, pero describen distintos fenómenos físicos. Se trata, respectivamente, de las ecuaciones de Laplace, del calor y de ondas, con gran historia en la física matemática. Este tipo de ecuaciones en derivadas parciales aparecen en la mecánica de fluidos continuos, en problemas relacionados con campos eléctricos, dinámica de fluidos, difusión y movimientos ondulatorios.

Veremos que la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales es bien diferente de las ordinarias, y casi siempre más difícil. Así al que principio de esta serie, investigaremos algunos casos de ecuaciones ordinarias, para ir entrenándonos en la resolución de ecuaciones diferenciales.

Principal fuente consultada: Ecuaciones Diferenciales, de George F. Simmons, McGraw Hill.

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Witch of Agnesi -- from Wolfram MathWorld
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Extreme Outfit Fridays: Get On The Damn Unicorn!
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Christmas Trilogy 2013 Part I: The Other Isaac [1]. | The Renaissance Mathematicus
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By Napier's bones! A new exhibition celebrating the inventor of logarithms | The Aperiodical
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A Brilliant Madness: A Mathematical Genius Descent into Madness - YouTube
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Alan Turing, Enigma Code-Breaker and Computer Pioneer, Wins Royal Pardon - NYTimes.com
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Ramanujan biography
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Pat'sBlog: On This Day in Math - December 14
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Mertens theorems | What's new
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Más temas para revisar, como relaciones entre números primos, formas, tensores, lagrangianos, etc...

Mathematician Claims Proof of Connection between Prime Numbers - Yahoo! News
http://news.yahoo.com/mathematician-claims-proof-connection-between-prime-numbers-131737044.html

Bocher biography
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Serre thm on noetherian regular local ring
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Hilbert Syzygy Theorem - Induction step - MathOverflow
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Riemann–Stieltjes integral - Wikipedia, the free encyclopedia
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Chatelet biography
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The Alan Turing Legacy | Instituto de Ciencias Matemáticas
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Standard Model Lagrangian
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Standard Model Lagrangian; Gutierrez, Thomas D. Gutierrez, Tom Gutierrez, T. Gutierrez, T.D. Gutierrez, T. Dominic Gutierrez, Thomas Dominic Gutierrez, Tom Dominic Gutierrez, Thomas Gutierrez
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Lagrangian Field Theories
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Sylvester
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Connection (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
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Connection (principal bundle) - Wikipedia, the free encyclopedia
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Cartan connection - Wikipedia, the free encyclopedia
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Affine connection - Wikipedia, the free encyclopedia
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How To Use the Covariant Derivative Part 1 - YouTube
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Vectors, covectors, duality, tensors, algebras... - Numericana
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Publicado el 1 de Octubre, 2014, 13:58

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Tengo que estudiar el teorema de Wigner, por otro lado aclarar major el tema de las n-formas. Parece interesante la historia de los axiomas de separación en topología.

Basis vectors and covectors
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Cartan Einstein Unification
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cartan-einstein-unification.com/pdf/On the Exterior Calculus.pdf
http://cartan-einstein-unification.com/pdf/On%20the%20Exterior%20Calculus.pdf

PH212 - Physical Mathematics II - Spring 2011
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Skew coordinates - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Skew_coordinates

One-form - Wikipedia, the free encyclopedia
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Wigner's classification - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Wigner%27s_classification

Wigner's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Wigner%27s_Theorem

Representations of the Symmetry Group of Spacetime
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University of Toronto Mathematics - Geometry and Topology core course
http://www.math.toronto.edu/~mat1300/

History of the separation axioms - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_separation_axioms

Separation axiom - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom

Johann Heinrich Lambert - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert#Physics

Hamiltonian and potentials in derivative pricing models
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seagull.ukzn.ac.za/~richm/courses/mech-hons/notes.pdf
http://seagull.ukzn.ac.za/~richm/courses/mech-hons/notes.pdf

Understanding the Bias-Variance Tradeoff
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La matem´atica y sus elementos: de Euclides a Bourbaki
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Henri Poincaré: A Scientific Biography — The Endeavour
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Generalizations of open books « Low Dimensional Topology
http://ldtopology.wordpress.com/2012/08/15/generalizations-of-open-books/

[1006.2814] A counterexample to the Hirsch conjecture
http://arxiv.org/abs/1006.2814

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Angel "Java" Lopez
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