Les presento el "problema lógico más difícil de la historia", titulado así por George Boolos en 1996, basado en un problema de Raymond Smullyan. Veamos el enunciado:

Hay tres dioses A, B, y C. Uno siempre dice la verdad, uno siempre miente y otro responde de manera completamente aleatoria. Nuestra tarea consiste en determinar las identidades de A, B y C por medio de no más de tres preguntas cuya respuesta deba ser "sí" o "no", cada una de las cuales habrá de dirigirse a un solo dios. Aunque cada uno de los dioses entiende el castellano, van a responder en su propia lengua con una de las palabras "da" o "ja", que significan "sí" o "no". Desafortunadamente, no sabemos qué palabra significa "sí" y qué palabra significa "no".

Aclaremos que

- Se puede hacer más de una pregunta a cada dios.
- Podemos hacer que la segunda o tercera pregunta dependan de cuáles hayan sido las respuestas a las preguntas anteriores.
- Uno de los dioses responde de forma aleatoria. Por ejemplo, del lanzamiento de una moneda al aire, si sale cara, contesta "ja", si sale ceca, contesta "da".

Hay varias dificultades en la resolución del problema. Uno de los dioses contesta al azar, tendremos que descubrir cuál es y no confundir sus respuestas con los de los demás dioses. Otro es cómo preguntar para descubrir cuál es el dios que dice siempre la verdad y cuál es el que siempre miente. Y finalmente, no sabemos que significa "da" y "ja", cuál es "sí" y cuál es "no".

Si quieren saber más sobre el problema, pueden consultar:

http://en.wikipedia.org/wiki/George_Boolos
http://en.wikipedia.org/wiki/The_hardest_logic_puzzle_ever

En el artículo de la Wikipedia, se aclara que un dios no responde al azar, sino que decide decir la verdad o decir falsedad, en base a un proceso aleatorio.

El primer enlace de los siguientes, tiene el artículo original de Boolos (traten de no ir a ver una solución, vamos, vayan y piensen! :-):

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Angel "Java" Lopez
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En la historia de la ciencia pocas veces una idea abstracta ha sido recibida con tanto entusiasmo por la comunidad científica, como ha sido la invención del logaritmo. Quisiera recordar hoy a la persona que los inventó (por lo menos, el primero que publicó la idea). Su nombre era John Napier. Estas líneas son una traducción libre en mis palabras, de un fragmento del libro "e: The story of a number" de Eli Maor.

Era hijo de Sir Archibald Napier, y su primera esposa, Janet Bothwell. John nació en 1550 (no se conoce la fecha exacta), en la finca de su familia, Merchiston Castle, cerca de Edinburgo, en Escocia. Se conocen pocos detalles de su vida. A la edad de 13 años fue enviado a la Universidad de St. Andrews, donde estudió religión. Regresó a su tierra en 1571, casándose con Elizabeth Stirling, con quien tuvo dos hijos. Su esposa muere en 1579, se casa con Agnes Chisholm, con quien tiene diez hijos más. El segundo hijo de este matrimonio, Robert, sería más tarde su albacea literario. Despues de la muerte de Sir Archibald en 1608, John retorna a Merchiston, donde, como el octavo señor del castillo, pasó el resto de su vida.

Los primeros intereses de Napier no apuntaban a las matemáticas. Su principal interés era la religión, o mejor dicho, el activismo religioso. Era un ferviente protestante, y gran oponende del papado. Publicó su postura en A Plaine Discovery of the whole Revelation of Saint John (1593), un libro donde atacaba agriamente a la iglesia católica, clamando que el papa era el anticristo e instando al rey escocés James VI (después James I de Inglaterra) a purgar su casa y corte de "papistas, ateos y neutrales". Predijo un Día del Juicio que vendría entre 1688 y 1700. El libro fue traducido a varios idiomas y tuvo 21 ediciones (diez en vida del propio Napier), haciendo que el autor estuviera confiado de haber dejado su nombre en la historia.

Los intereses de Napier no se limitaban a la religión. Como dueño d etierras, estudiaba cómo mejorar sus cosechas y ganado, expimentando con sales y otros elementos para fertilizar su suelo. En 1579 inventó un dispositivo hidraúlico para controlar el nivel de agua sobre las zonas de sus tierras donde tenía carbón a cielo abierto. Pensaba también temas militares, temiendo que el rey Felipe II de España invadiera Inglaterra. Tenía planes para construir grandes espejos que podrían incendiar las naves enemigas, como recordando la defensa de Siracusa por Arquímedes, 18 siglos antes. Tenía pensado construir una pieza de artillería que "limpiaría el campo cuatro millas a la redonda, matando a todas las criaturas que tuvieran un pie de alto", también una especie de tanque de combate, y hasta un dispositivo para "navegar bajo las aguas, con buzos y otras estratagemas para dañar al enemigo", todas ideas que antecedieron a tecnología militar moderna. No se conoce que se haya construido alguna de esas máquinas.

Como hombre de diversos intereses, se cuentan varias historias de Napier. Era pendeciero, y frecuentemente aparecía dispuntando con sus vecinos e inquilinos. De acuerdo a una historia, Napier se irritó porque los pichones de un vecino, descendían en su tierra y se comían su grano. Napier le advirtió al vecino que si no podía contener a sus pichones, él los tomaría, pero el vecino ignoró la advertencia, pensando que no los podría atrapar. Al día siguiente, el vecino encuentra sus pichones medio muertes en las tierras de Napier. Este simplemente había regado su grano con una fuerte bebida con alcohol, emborrachando a los pichones.

Según otra historia, Napier creía que uno de sus sirvientes le estaba robando en su casa. Se les dijo que un gallo negro revelaría cuál era el ladrón. Los sirvientes fueron puestos en una sala oscura, donde se les dijo que tocaran el gallo que tenían atrás de ellos. Napier había manchado al gallo con negro de humo. Encendió la luz, y ordenó a los sirvientes que mostraran sus manos. El culpable tenía las manos limpias, al no haberse atrevido a tocar al gallo.

Pero a pesar de lo que pensaba, Napier no sería recordado en la historia por su libro religioso, sino por su descubrimiento en matemáticas, que llegó en un momento oportuno, para ayudar en varias ramas de la ciencia. Ya comentaré en otro post, cómo eran esos primeros logaritmos de Napier, algo bastante diferentes de los actuales.

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En mi post:

Los problemas de Hilbert

comenté sobre la conferencia que dictó David Hilbert en el Congreso Internacional de Matemáticas en Paris, 1900. En esa conferencia, enumeró 23 problemas a resolver, que fueron abordados durante gran parte del siglo XX.

En otro post:

Cómo piensa un matemático

transcribía un fragmento de Ian Stewart:

... Hadamard apunta dos ideas fundamentales. La primera es que la mayor parte del pensamiento matemático empieza con vagas imágenes visuales y sólo más tarde se formaliza con símbolos. Aproximadamente el noventa por ciento de los matemáticos, nos dice, piensan así. El diez por ciento restante se ciñe a los símbolos desde el principio...

Veo que muchos matemáticos apelan a las imágenes para el desarrollo de sus ideas. Mientras que los símbolos aparecen más para ayudar al pasaje en limpio de esas ideas, y el desarrollo de demostraciones. Justamente, a esta contraposición de visión y símbolos, es nombrada por Hilbert, en su conferencia, con alguna vuelta de tuerca. Leo a Hilbert:

A nuevos conceptos corresponden, necesariamente, nuevos símbolos. Escogemos éstos de tal forma que nos recuerdan los fenómenos que fueron la ocasión de la formación de los nuevos conceptos. Así, las figuras geométricas son signos o símbolos mnemotécnicos de intuición espacial, y como tales son utilizados por todos los matemáticos. Quién no utiliza siempre junto con la doble desigualdad a > b > c la imagen de tres puntos seguidos en una línea recta como imagen geométrica de la idea "entre"? Quién no hace uso de dibujos de segmentos y rectángulos encerrados uno dentro de otro cuando se requiere demostrar con perfecto rigor un difícil teorema sobre la continuidad de funciones o la existencia de puntos de acumulación? Quién prescindiría de la figura del triángulo, el círculo con su centro, o la intersección de tres ejes perpendiculares? O quién abandonaría la representación del campo vectorial, o la imagen de una familia de curvas o superficies con su envolvente que juega un papel tan importante en geometría diferencial, en la teoría de ecuaciones diferenciales, en los fundamentos del cálculo de variaciones, y en otras ciencias puramente matemáticas? Los símbolos aritméticos son figuras escritas y las figuras geométricas son fórmulas dibujadas; y ningún matemático podría ahorrarse estas fórmulas dibujadas, como no podría prescindir en los cálculos de la introducción y eliminación de paréntesis o del uso de otros signos analíticos.

Hilbert enumera algunos de sus temas preferidos, en esa época. Otro que usa figuras para expresarse (y yo pienso que las usa también cuando está investigando, o creando algo), es Roger Penrose, pueden leer su libro que comenté en

Al fin una fórmula

donde en cada página, prácticamente, hay un dibujo, explicando temas, no sólo de física, sino de matemáticas puras. Y pasen por una mesa donde esten charlando animadamente varios matemáticos, y encontraran flechas, figuras y demás, dibujadas en las servilletas (tendría que buscar una cita sobre esto, la encontré en un libro sobre la biografía de Paul Erdos).

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Bueno, aclaro que este es sólo la difusión de la postura de otro, no una postura personal mía.... :-)

Se aceptar retruécanos y protestas en los comentarios...

Para compensar, chiste feminista: Qué es un travesti? Un hombre que busca superarse... :-)

Imagen original de esta fórmula encontrada en el Twitpic

http://twitpic.com/59cuo

Lo encontré gracias a los mensajes en Twitter de @francismata y @EduardoPalacios

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Desde el renacimiento de la cultura en Europa (luego de una Edad Media que también tuvo lo suyo), las matemáticas lograron colocarse a la altura de los antiguos griegos, y superarlos. Por un lado, la aparición del análisis, por el otro, el álgebra de ecuaciones, avances en teoría de números, y el florecimiento de ideas, notaciones (como el plano cartesiano, la notación para números completos), hicieron que el desarrollo matemático alcanzara nuevas alturas. Genios como Newton, Laplace, Fermat, Lagrange, Fourier, Gauss, Euler, Galois, Abel, Cauchy (para nombrar sólo a unos pocos) todavía dieron más impulso a toda esta cosecha de éxitos. Pero mientras que el análisis crecía, ocupándose de problemas cada vez más complejos, acumulando resultados, el fundamento de todo esto (desde el paso al límite como problemas de existencia de soluciones) no fue tratado con el debido detalle. Igual, todo avanzaba, así que el problema de los fundamentos, no era problema.

Pero en el siglo XIX, con la aparición de las geometrías no euclideanas, y algunos temas en análisis (curvas teratológicas, sin derivadas), el tema de los fundamentos de lo que se estaba haciendo, apareció en el ambiente matemático. Para hechar más leña al fuego, surgieron las novedades en lógica de parte de Boole, la aparición de los conjuntos con Cantor (y el estudio de los problemas del infinito). Aun cuando Frege hiciera todo lo posible para fundar su trabajo en una teoría de conjuntos, el bueno de Bertrand Russell le destruyó sus bases, encontrando su famosa paradoja, derivada del conjunto de todos los conjuntos que no se incluyen a sí mismos.

El replanteo de la geometría, el nacimiento de la topología, las ideas de Riemann sobre variedades, la búsqueda del formalismo por Hilbert, la justificación de los reales, pases al límite, convergencia de series, todo llevó a que los fundamentos de las matemáticas pasaran a estar en el primer plano de la actividad de entonces.

Ya llegados al siglo XX, el trabajo de Gödel, Turing y otros llevó a tratar de buscar otras formas de fundamentar ramas de las matemáticas. Uno de los intentos, que tendría influencia más adelante en las ciencias de la computación, fue el trabajo de Church sobre su cálculo lambda.

¿Qué es una función? Hoy pensamos una función como un grafo, algo que asigna a puntos de un dominio, otros puntos de un codominio. Pero al principio del siglo XX, la función se veía como una fórmula, para, digamos, dado uno o varios parámetros, obtener un resultado. El cálculo lambda es una teoría de funciones tomadas como fórmulas, y al describir el resultado de una función en base a una descripción del cálculo a realizar, tiene puntos de contacto con lo que luego surgió como ciencia de la computación.

Pero volvamos a principios del siglo XX. La teoría de conjuntos había brindado una base a los lógicos para tratar sus paradojas. Por otro lado, los matemáticos se vieron más inclinados a seguir por el camino del estudio de las estructuras (de la mano de Bourbaki), y luego, en la teoría de las categorías.

Pero tanto conjuntos, estructuras como categorías, no tratan directamente de algoritmos, sobre cómo una función opera sobre sus argumentos. Como otra forma de fundar algunas partes básicas de las matemáticas, Alonzo Church propone el cálculo lambda en 1933.

Su idea es explorar una alternativa a los fundamentos de las matemáticas. En lugar de basarse en conjuntos como Cantor y Frege, pone al concepto de función en el centro, de esta manera:

- Una función corresponde a un conjunto
- Un argumento de una función corresponde a un elemento del conjunto
- La aplicación de una función a su argumento corresponde a la pertenencia del elemento al conjunto
- La definición de una función por sus valores, corresponde a la definición de un conjunto mediante alguna propiedad de sus elementos. 

Así se pasa de la teoría ingenua de conjuntos (que no está advertida de las paradojas) a una teoría ingenua de las funciones. Por un lado, tenemos el principio de extensión: una función está determinada completamente por sus valores, y dos funciones son iguales si, ante los mismos argumentos, arrojan los mismos resultados. Y por otra, el principio de comprensión: cada descripción de los valores, da una función, y cada función se determina por la descripción de los valores (podríamos ver al descripción como el algoritmo para pasar de los argumentos al resultado).

Church no fue el único que desarrolló el cálculo lambda. Tuvo el auxilio principal de su alumno, Kleene. Juntos, pudieron describir, en cálculo lambda, funciones lógicas como Y, O, y también describieron números, y el concepto de sucesor de número, a lo Peano. Curiosamente, por un tiempo, pensaron que era imposible describir en cálculo lambda, a la función predecesor de un número, pero luego Kleene encuentra una respuesta. Como en ese momento a Kleene le estaba saliendo una muela del juicio, la función predecesor descubierta se denomina a veces "el truco de la muela del juicio".

Con el tiempo se vió y demostró, que el cálculo lambda era equivalente a:

- La máquina de Turing
- Las funciones recursivas generales de Gödel 

De alguna forma, el definir una función f(x) en cálculo lambda, era responder si era computable o no, en términos de Turing.

Notablemente, en cálculo lambda, "todo" son funciones, hasta los argumentos.

Recordemos que la paradoja de Russell se basaba en el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecían a sí mismos. En el caso del cálculo lambda, se trata de considerar las funciones a las que se les pasa como argumento la misma función. Y acá debería entrar en demasiados detalles técnicos (para una detallada descripción, ver los enlaces que enumero al final), pero resulta que no aparecen paradojas.

Finalmente, un teorema de Church y Rosser demostró que el cálculo lambda era una teoría algo singular: por un lado, se basaba en principios ingenuos, no sofisticados, no armados de antemano para evitar las paradojas, pero demostrablemente consistente, y al reparo de las paradojas actuales y potenciales. Pero el precio a pagar fue que la teoría no permitió definir la negación, y se abandonó el abarcar toda la lógica. Así que se abandonó al cálculo lambda como fundamento para toda la matemática.

Pero en 1936, como comentaba antes, Church y Kleene consiguen englobar la aritmética. Lo que se sabe hoy, es que se puede reprensentar en cálculo lambda todas las funciones que se pueden describir en los lenguajes comunes de programación universal. Claro que Church y Kleene consiguieron este resultado notable antes de la aparición de los computadores, como Turing.

Hay un teorema de punto fijo, que dice que toda función f en cálculo lambda tiene un punto fijo, un x tal que f(x) = x da el propio argumento. Esto dió la base a los programas autorreferenciales o recursivos, actualmente de uso común en la programación. En tiempos más modernos, Dana Scott (1969) propone la semántica denotacional para el cálculo lambda, desarrollando técnicas que permiten tratar a los programas de computación como objetos de naturaleza matemática, pasando la computación, de alguna forma, a ser una rama de las matemáticas modernas. Por ese trabajo, Scott recibió en 1976 el Turing Award, algo así como el premio Nobel de informática.

(No, lamento desilusionarlos, no me han dado el Turing... aún... ;-) ;-)

En febrero, escribí una implementación de cálcula lambda en

Presenting AjLambda, lambda calculus in C# 

Para aprender más, este es el primer paper a leer:

Lecture Notes on the Lambda Calculus (pdf) (excellent paper to learn Lambda Calculus)

Más info en

Lambda calculus - Wikipedia, the free encyclopedia

A Tutorial Introduction to the Lambda Calculus

Ayer me enteré de esto:

Dana Scott Receives Gold Medal for Contributions to Mathematics

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El miércoles 8 de Agosto de 1900, el gran David Hilbert dió una conferencia en el Congreso Internacional de Matemáticos en París. Trataba sobre Problemas Matemáticos. Hilbert, alemán, de visita en Francia, donde estaba el gran Henri Poincaré, dió una excelente conferencia, que ha marcado el siglo XX de matemáticas. En ese momento, tal vez, la conferencia fue tomada como una más, pero en ella, Hilbert plantea cómo ve él la matemática que se venía en el nuevo siglo.

Hoy leo el texto de la conferencia, es muy interesante todo lo que plantea al principio. Luego, enumera 23 problemas, los llamados Problemas de Hilbert, que pasaron a la historia de la matemática. Leo el comienzo:

¿Quién de nosotros no se alegraría de levantar el velo tras el que se oculta el futuro; de echar una mirada a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo durante los siglos futuros? ¿Cuáles serán los objetivos concretos por los que se esforzarán las mejores mentes matemáticas de las generaciones venideras? ¿Qué nuevos métodos y nuevos hechos descubrirán las nuevas centurias en el amplio y rico campo del pensamiento matemático?

La historia nos enseña que hay continuidad en el desarrollo de la ciencia. Sabemos que cada época tiene sus propios problemas, que la época siguiente o bien resuelve o bien desecha por estériles y reemplaza por otros nuevos. Si tuviésemos una idea del desarrollo probable del conocimiento matemático en el futuro inmediato, deberíamos dejar pasar ante nuestras mentes las preguntas no resueltas y examinar los problemas que la ciencia de hoy plantea y cuya solución esperamos del futuro. El día de hoy, a caballo entre dos siglos, me parece muy adecuado para hacer una revisión semejante de los problemas. Pues el cierre de una gran época no sólo nos invita a mirar hacia el pasado, sino que también dirige nuestros pensamientos hacia el futuro desconocido.

Y acá, Hilbert presenta la importancia de los problemas en matemáticas. En vez de fundar su conferencia y el estudio del futuro en teorías, en ramas de las matemáticas, Hilbert elige destacar una serie de problemas. Justifica eso por el estudio de lo que se dió en la historia de las matemáticas:

No se puede negar la profunda importancia de algunos problemas para el avance de la ciencia matemática en general y el importante papel que desempeñan en a obra del investigador individual. Siempre que una rama de la ciencia ofrece abundancia de problemas, está viva: una falta de problemas pronostica la extinción o el cese de un desarrollo independiente. De la misma forma que toda empresa humana persigue ciertos objetivos, también la investigación matemática requiere sus problemas. Mediante la solución de problemas es como se curte la fortaleza del investigador: éste encuentra nuevos métodos y nuevas perspectivas, y alcanza un horizonte más amplio y más libre.

Fuente consultada, el excelente libro "El reto de Hilbert", de Jeremy J. Gray, Ed. Crítica

Pueden visitar la página de Todd Wittman

http://www.math.umn.edu/~wittman/

donde encontrarán más sobre Hilbert:

http://www.math.umn.edu/~wittman/hilbert.html

y los problemas de Paris:

http://www.math.umn.edu/~wittman/problems2.html

La conferencia en inglés en:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/toc.html

La original en alemán en:
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html

Más sobre los 23 problemas en:
Hilbert's problems
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_problems
Listing of the 23 problems, with descriptions of which have been solved
http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/hilbert_prob/index.asp?PRE=hilber&TAL=Y&TAN=Y&TBI=Y&TCA=Y&TCS=Y&TEC=Y&TFO=Y&TGE=Y&TNT=Y&TPH=Y&TST=Y&TTO=Y&TTR=Y&TAD=

"The conviction of the solvability of every mathematical problem is a powerful incentive to the worker. We hear within us the perpetual call: There is the problem. Seek its solution. You can find it by pure reason, for in mathematics there is no ignorabimus."

Nos leemos!

En estos días, he vuelto a leer un libro excelente, el Algebra Abstracta, de John B. Fraleigh (ed. Addison-Wesley Iberoamericana). Lo tenía en otro cubil, fui a recuperarlo en estos días. Lo tenía apartado, porque es un libro adictivo, al que siempre vuelvo. En él, el autor nos va explicando teoría de grupos, anillos, campos, teoría de Galois, módulos, y más, pero no como si fueran simples definiciones para aprender, sino mostrando cómo se fueron generando esos conceptos, cómo el estudio de problemas interesantes ha llevado al desarrollo del álgebra moderna.

Leo hoy en las primeras páginas:

La mayoría de los estudiantes no comprenden la enorme importancia que tienen las definiciones en matemáticas. Esta importancia surge, en parte, de la necesidad de los matemáticos de comunicarse entre sí acerca de su trabajo. Si dos personas que tratan de intercambiar opiniones acerca de un tema tienen ideas diferentes acerca del significado de ciertos términos técnicos, puede haber malos entendidos, fricciones, y quizás, hasta derramamiento de sangre. Imaginen los aprietos en que se encuentra un carnicero frente a un cliente iracundo que trata de comprar lo que todo el mundo llama un costillar pero él insiste en llamar lomo. Desafortunadamente, parece imposible alcanzar el ideal de una terminología generalizada, ni siquiera entre seres tan precisos como los matemáticos. Por ejemplo, cuando se habla de funciones en matemáticas, los matemáticos han dado, al término rango, dos significados distintos. Es por ello que, hoy día se tiende a evitar el uso de este término ambiguo y en su lugar, se usa imagen o contradominio. En matemáticas debemos luchar para evitar ambigüedades.

Yo extendería esa lucha a cualquier comunicación humana. Pero acá viene lo importante. Las definiciones no son arbitrarias, ni tampoco se definió todo con Euclides, y así seguimos. No, las matemáticas evolucionan, buscando nuevos campos fértiles. Escribe Fraleigh:

Un ingrendiente muy importante de la creatividad matemática es la capacidad de elaborar definiciones útiles que conduzcan a resultados interesantes.

Eso es. Las definiciones no están para estar grabadas en piedra, sino para ser fructíferas. En el siglo XX, floreció un hijo del siglo XIX, las estructuras, desde la estructura de grupo a la de anillo, campo, módulos y demás. Hoy, el matemático, en vez de preocuparse por el fundamento, o lo axiomático, veo, se preocupa por el juego mismo.

Nos leemos!

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Esta semana, gracias a un enlace de @slederman en Twitter, encuentro al Cubo de Yoshimoto:

Hecho de 24 pirámides, está divido en dos partes, que pueden formar un cubo no sólido, en el que encaja un dodecaedro estrellado. Notable invención del diseñador Naoki Yoshimoto, que lo inventó cuando estaba investigando formas de dividir a un cubo en partes, en 1971.

El post original del video en

http://www.brocoum.com/philip/?p=63

Más detalle de como funciona

Yoshimoto Cube

Ahí tienen un interesante sitio para visitar:

The World of Geometric Toy

Polyhedral Toy

Pueden encontrar la descripción del Museo de Arte Moderno (MOMA) en:

MOMA Yoshimoto Cube

Más puzzles de todo tipo:

http://home.comcast.net/~l-whiting/attbi/EbayPuzzles.html

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Ya he dedicado algunos posts a comentar lecturas sobre el intuicionismo en matemática. Esta corriente del pensamiento matemático nace como reacción a una crisis de fundamentos, a principios del siglo XX, y se extiende con fuerza hasta cerca de 1930. Luego de esa época tuvo cultores, pero los principales trabajos se realizaron en esos tiempos.

Pero la preocupación por los fundamentos no atañe a todos los matemáticos. Y de los que se preocupan por esos fundamentos, tampoco ven todos al intuicionismo como algo interesante o útil en el desarrollo de las matemáticas.

Leo la opinión de Jean Dieudonné, quien fuera uno de los integrantes del colectivo Nicolás Bourbaki:

Un poco al margen de esta conferencia, quisiera acabar con unas reflexiones sobre la manera en que puede concebirse la epistemología de las matemáticas: "Estudio de las ciencias que tiene por objeto apreciar su valor para el espíritu humano": así es como el Petit Larousse define la epistemología, y los matemáticos no pueden sino alegrarse de que los filósofos se interesen por lo que hacen y reflexionen sobre ello desde un punto de vista diferente del suyo.

Acá es donde alza la mano:

Pero es también necesario que estas reflexiones tengan por objeto la ciencia tal y como existe y la vemos vivir, en lugar de referirse a un fastama de la ciencia.... la mayoría de lo que oigo decir a los filósofos acerca de las matemáticas prueba a todas luces que no tienen la menor idea de lo que hacemos.

El problema, para Diedonné, es que los filósofos no se ocupan de la actividad matemática real, sino de problemas apenas accesorios:

Por un lado atribuyen una importancia considerable a los desarrollos de la lógica matemática, lo que, en sí, está del todo justificado y es digno de alabanza, porque es muy natural que exista también una epistemología de la lógica; pero ya he insistido en varias ocasiones sobre el carácter cada vez más tenue de los lazos que unen la lógica matemática con los grandes problemas de las matemáticas de nuestro tiempo.

Por otro lado, existe una tendencia pareja consistente en consagrar gran número de estudios detallados a las corrientes de ideas heterodoxas, como el intuicionismo, que no influyen sobre más de un matemático de cada cien, ignorando completamente lo que hacen los noventa y nueve restantes. Cierto que es legítimo que un filósofo sienta curiosidad por conocer y analizar todas las opiniones, pero no me parece que ésta sea la mejor manera de hacer epistemología; se tendría una visión muy deformada de los viajes espaciales si uno se limitara a consultar las sectas religiosas que todavía creen que la Tierra es plana.

Las matemáticas de hoy son amplísimas. Queda pendiente una filosofía de las matemáticas adecuadas a lo que ha llegado a ser esta rama del conocimiento humano. Detecto también que la filosofía de las ciencias fácticas se ocupa de puntos que, por lo que ví, no siempre se corresponden con lo que se entiende por práctica de la ciencia.

Es innegable que la complejidad y la extensión de las actuales disciplinas matemáticas hacen necesario un gran esfuerzo de información para captar cómo se ordenan y evolucionan... Creo que éste es el precio que hay que pagar por un futuro de fecunda colaboración entre matemáticos y filósofos en materia de epistemología, y es mi deseo que este futuro se haga realidad.

Es el final de su conferencia del Seminario de Matemáticas y Filosofía en la Escuela Superior de Paris, que tengo en el libro "Pensar las matemáticas", Editorial Tusquets. Dieudonné se ocupa del tema "Matemáticas vacías y matemáticas significativas".

Post relacionados:

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Kurt Gödel ha sido el principal lógico del siglo pasado, y ha tenido una vida rica de encuentros. Frecuentó al Círculo de Viena, Carnap y cía, algo a Wittgenstein, fue amigo de Einstein. Pero tuvo un caracter extraño, retraído. Tenía una idiosincracia extraña, que afectó sus relaciones con las otras personas. Algunas anécdotas de su vida:

John Bacall era un joven y prometedor astrofísico a quien, en una pequeña cena celebrada en el Instituo, le presentaron a Gödel. Al identificarse como físico, Gödel le replicó secamente: "No creo en las ciencias naturales".

El filósofo Thomas Nagel también recuerda una pequeña cena en el Instituto [de Estudios Avanzados de Princeton] en la que le tocó sentarse junto a Gödel, con quien departió acerca del problema de la relación entre cuerpo y mente, un viejo hueso filosófico que ambos pensadores habían tratado de roer. Nagel le señaló que su dualismo extremo (según el cual las almas y los cuerpos poseen existencias separadas y se unen en el nacimiento para conformar una especie de sociedad que se escinde al morir el individuo) resultaba difícil de conciliar con la teoría de la evolución. Gödel le respondió que no creía en la evolución y para más inri, como si el dato corroborase su rechazo del darwinismo, añadió: "Sabrá usted que Stalin tampoco creía en la evolución y era un hombre muy inteligente".

"Después de eso", me contó Nagel con una risita, "lo dejé por imposible...".

El lingüista Noam Chomsky también afirma haberse quedado de una pieza durante un encuentro con el lógico. Chomsky le preguntó en que andaba trabajando en esos momentos y recibió una respuesta que probablemente nadie desde Leibniz, el filósofo del siglo XVII, había dado: "Estoy tratando de demostrar que las leyes de la naturalez son apriori".

Este texto lo encuentro en el libro "Gödel, paradoja y vida" de Rebecca Goldstein. Comenta Goldstein:

Cuanto mejor se comprende el pensamiento de Gödel, más comprensible resulta la animadversión que sentía por la teoría de la evolución. Un racionalista como él ansía suprimir toda traza de azar o casualidad, mientras que la selección natural recurre precisamente a lo contingente y aleatorio como fundamentos explicativos. En términos microevolutivos (cambios de una generación a otra), la teoría otorga un papel esencial a la contingencia histórica, aspectos tales como los caprichos de la geología y el clima, o eventos tales como el impacto de un meteorito en la Tierra, que, al oscurecer el sol, habría acabado con los dinosaurios, posibilitando así que mamíferos del tipo del ratón ocupasen los nichos ecológicos que quedaron vacantes. (Doy las gracias a Steven Pinker por esta explicación).

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Es sabido que en el antiguo Egipto se manejaban conocimientos matemáticos. Uno de los documentos que nos da más información sobre el nivel alcanzo en aquella época, es el papiro Ahmes. Este papiro, que mide 33 cm por 5 metros de largo, se encuentra en el Museo Británico, excepto algunos fragmentos que están en el Museo de Brooklyn, en Nueva York.

Fue comprado en 1858 por el egiptólogo escocés Alexander Henry Rhind, así que también se lo conoce como el papiro Rhind.

Se lo llama papiro Ahmes, porque éste es el nombre del escriba que, según declara en el mismo papiro, lo copió cerca del año 1650 A.C., de otro documento que fue escrito dos siglos antes. El papiro contiene 87 problemas, que son precedidos por una tabla de recetas para la división. Una introducción describe al documento algo grandilocuentemente como "la entrada al conocimiento de todas las cosas y de los oscuros secretos".

Los problemas planteados por Ahmes son de índole práctica, como la partición equitativa de panes y el cálculo de la pendiente de pirámides. Cuando se tiene que mencionar a la incógnita, aparece la palabra "aha" que significa montón. Por ejemplo, el problema 26 pregunta por el valor de "aha", si se sabe que su valor sumado a un cuarto de su valor, nos da 15.

Hay un curioso problema, un ejercicio para estudiantes, el problema 79, que dice: "Casas 7, gatos 49, ratones 343, trigo 2401, Hekats 16807, total 19607". Lo que quiere decir es que hay siete casas, cada una con siete gatos, que comen siete ratones, que se comieron siete espigas de trigo cada uno, que hubieran producido 7 "hekats" (medidas) de trigo cada una.

Ahora, saltemos al año 1202 de nuestra era. Leonardo de Pisa (conocido como Fibonacci) escribe un libro Liber Abaci (Libro del ábaco). Ahí propone un problema: "Siete mujeres están viajando a Roma, y cada una tiene siete mulas. En cada mula hay siete sacos. En cada saco hay siete hogazas de pan, y en cada hogaza hay siete cuchillos, y cada cuchillo tiene siete vainas. Encuentre el total".

¿Habrá conocido algún texto de los egipcios con el problema original? Es sabido que Leonardo de Pisa manejaba conocimientos como las fracciones egipcios, pueden leer una interesante introducción en el blog Liber Abaci,

Pero no para ahí la cosa. Pasemos los años, y llegando al siglo XVIII, en la colección de canciones infantiles Mother Goose, de vuelta encontramos un problema con potencias de siete, ahora con rima y todo:

As I was going to St. Ives,
I met a man with seven wives.
Every wife had seven sacks,
Every sack had seven cats,
Every cat had seven kits;
Kits, cats, sacks, and wives,
How many were going to St. Ives?

Los tres problemas, tan parecidos, fueron creados por tres mentes imaginativas, separadas por siglos y milenios.

Encontré este tema en el libro "The equation that couldn't be solved, How mathematical genius discovered the language of symmetry", de Mario Livio. Imágenes tomadas de los respectivos artículos de la Wikipedia.

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Ya había comentado sobre Gödel en el post

Gödel, Einstein y la constitución americana

Hay mucho para comentar sobre la vida y la obra de Gödel: una persona retraída, con sus obsesiones, y una producción impresionante. Hay un relato de Ernst Gabor Strauss sobre la estadía de Einstein en Princeton, que menciona su relación con Gödel:

La historia de la estancia de Einstein en Princeton no estaría completa sin una referencia a su cordial y estrechísima amistad con Kurt Gödel. Eran personas muy, muy dispares, pero por alguna razón se entendían bien y se apreciaban muchísimo. Einstein solía comentar que le parecía que no debería convertirse en matemático porque era tal la abundancia de problemas interesantes y atractivos que uno podía perderse en ellos sin llegar jamás a obtener nada verdaderamente relevante. En física, por el contrario, podía indentificar cuáles eran los problemas importantes y, a base de firmeza y perserverancia, acometer su resolución. Pero una vez me dijo: "Ahora que he conocido a Gödel, me he dado cuenta de que lo mismo pasa con las matemáticas". Por supuesto, Gödel observaba el mundo a la luz de su interesante axioma, a saber, que nada de lo que sucede, sucede por accidente o estupidez. Si uno se toma verdaderamente en serio dicho axioma, todas las extrañas teorías en las que creía Gödel devienen absolutamente inevitables. Traté de desafiarlo varias veces, pero no había manera. Me refiero a que todas sus teorías se seguían naturalemente de su axioma. En realidad, a Einstein no le importaba; de hecho, le parecía la mar de divertido. Salvo la última vez que vimos al matemático, en 1953. Entonces, me dijo: "Gödel se ha vuelto completamente loco". Yo le pregunté: "Pero bueno, ¿qué ha hecho ahora que pueda ser peor que todo lo anterior?". Y Einstein me respondió: "Ha votado a Eisenhower".

Nuevamente me sirvió de fuente el libro "Gödel, paradoja y vida" de Rebecca Goldstein.

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Uno de las preguntas de los fundamentos de la matemática, o que quizás va más allá, es si los objetos de la matemática existen en una especie de mundo matemático. Hay posturas que afirman que los objetos matemáticos son ficciones, útiles, pero inventos del ser humano. Esa es la posición de Mario Bunge (leer el punto 7 de Bunge enumerando posturas no realistas). Pero es fuerte la postura que afirma la existencia de una realidad matemática, donde los objetos se descubrirían, como lo hace un físico o un biólogo con sus objetos de estudio en la realidad.

Leo un fragmento de "Apología de un matemático", de G.H.Hardy:

Creo que la realidad matemática existe fuera de nuestra mente, que nuestro cometido consiste en descubrirla u observarla y que los teoremas que demostramos, y que con tanta grandilocuencia denominamos nuestras "creaciones", no son más que los apuntes de nuestras observaciones. Este parecer lo han sostenido, de una forma u otra, muchos filósofos de gran renombre de Platón en adelante, y yo empleraré el lenguaje propio de quien comulga con esa idea...

Luego, compara esa postura con el realismo ingenuo.

Esta postura realista es mucho más verosímil en el terreno de las matemáticas que en el de la realidad física, porque los objetos matemáticos son mucho más "lo que parecen". Una silla o una estrella no son en absoluto lo que parecen; cuanto más lo pensamos, más se destibujan sus contornos en la neblina sensorial que las envuelve; en cambio, el 2 o el 317 no tienen nada que ver con sensación alguna y sus propiedades se perfilan con mayor nitidez cuanto más a fondo los examinamos. Puede que la física moderna encaje mejor en un marco de filosofía idealista; yo, personalmente, no lo creo, pero hay físicos eminentes que así lo afirman. Las matemáticas, sin embargo, me parecen el escollo donde encalla todo idealismo: el 317 es un número primo, no porque lo creamos nosotros, ni porque nuestras mentes estén configuradas así o asá, sino porque lo es y punto, porque la realidad matemática está construida de esa forma.

Hardy no menciona estructuras matemáticas más profundas. Matemáticas es más que números primos. Hay objetos en matemáticas, que asombran por su riqueza.

Encuentro el texto en el libro "Gödel, paradoja y vida" de Rebecca Goldstein. Ahí, Goldstein nos aclara el origen del libro:

Las circunstancias en que Hardy escribió su clásico son tan conmovedoras como insólitas. Se le había agotado la creatividad matemática, algo que suele ocurrirles a los matemáticos a una edad relativamente temprana. (A los cuarenta años, lo más probable es que a un matemático ya se le haya pasado su mejor época, razón por la cual el galardón más prestigioso que se concede a los matemáticos, la medalla Fields [no existe el premio Nobel de matemáticas] premia exclusivamente a menores de 40 años.) Hardy intentó suicidarse, sobrevivió al intento, y C.P.Snow lo convenció de que escribiese un libro explicado la vida de un matemático inútil. El resultado, Apología de un matemático, es incomparable. Poco después de terminarlo, Hardy volvió a intentar suicidarse, esta vez con éxito.

Había comentado fragmentos de este libro en

Einstein y la realidad
Gödel, Einstein y la constitución americana

Hardy era un pacifista, y otras de las razones para escribir el libro fue el defender las matemáticas, no por sus aplicaciones prácticas, sino por sí mismas.

Pienso que la actividad matemática es una de las actividades humanas más fascinantes, y debería ser apoyada y difundida, más allá de las aplicaciones que tenga. Al contrario de Hardy, yo no pienso que las matemáticas prácticas sean feas o triviales, hay de todo en ese campo. De vez en cuando, una rama de las matemáticas se ve impulsada por aplicaciones prácticas, y otras veces, matemáticas puras terminan teniendo alguna aplicación.

Ya había mencionado a Hardy en su relación con Ramanujan en:

La historia de Ramanujan

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En diciembre del año pasado había escrito sobre la creación matemática, mencionando una experiencia de Poincaré:

Más sobre la creación matemática según Poincaré

citando al libro "Cartas a una joven matemática" de Ian Stewart, Editorial Crítica. Leo hoy el comienzo del capítulo donde comenta ese texto de Poincaré. El capítulo se titula "Cómo piensa un matemático":

Hay un libro maravilloso sobre la creación matemática, "The Psychology of Invention in the Mathematical Field", de Jacques Hadamard. Se publicó por primera vez en 1945, y hoy se sigue reeditando y es extraordinariamente pertinente... Hadamard apunta dos ideas fundamentales. La primera es que la mayor parte del pensamiento matemático empieza con vagas imágenes visuales y sólo más tarde se formaliza con símbolos. Aproximadamente el noventa por ciento de los matemáticos, nos dice, piensan así. El diez por ciento restante se ciñe a los símbolos desde el principio. El segundo punto es que las ideas en matemáticas parecen surgir en tres etapas.

En primer lugar, es necesario trabajar mucho de manera consciente sobre un problema, tratando de entenderlo, explorando formas de abordarlo, trabajando con ejemplos con la esperanza de encontrar algunos aspectos generales útiles. Normalmente, esa etapa queda empantanada en un estado de confunsión sin esperanza a medida que emerge la dificultad real del problema.

En ese momento ayuda dejar de pensar en el problema y hacer otra cosa: cavar en el jardín, escribir notas para la clase, empezar a trabajar en otro problema. Esto proporciona al subconsciente una oportunidad para dar vueltas al problema original y tratar de ordenar la mezcla confusa en que lo han convertido tus esfuerzos conscientes. Si tu subconsciente tiene éxito, incluso si todo lo que consigue es dejarlo a medias, "te dará un toque en el hombre" y te avisará de sus conclusiones. Éste es el gran momento "¡ajá!", en que de repente se enciende una pequeña bombilla en la cabeza.

Esas tres etapas están mencionadas en el mi post anterior: Henri Poincaré describe cómo llegó a un nuevo resultado, pasando por esas etapas.

Finalmente, hay otra etapa consciente para elaborar todo formalmente, comprobar los detalles y organizarlo de modo que puedas publicarlo y otros matemáticos puedan leerlo. La costumbre en la publicación científica (y de la escritura de libros de texto) requiere que el momento "¡ajá!" quede oculto y que el descubrimiento se presente como una deducción puramente racional a partir de premisas conocidas.

Además de iluminar el tema de la creación matemática, esta descripción me sirve para explorar un tema: el pensamiento, sin lenguaje. Debería definir mejor pensamiento, pero esto que describe Stewart aporta algo a la idea de que se puede pensar, sin recurrir a lenguaje. Es importante el pensar con imágenes; el lenguaje bien puede ser algo tardíamente adquirido en nuestra evolución. Veo que el lenguaje es indispensable para reflexionar, pensar sobre nuestras propias actividades mentales. Pero hay otro nivel de pensamiento, y para mí, más básico, donde el lenguaje no es necesario.

Ian Stewart (1945) estudió matemática en la Universidad de Cambridge, doctorándose en la Universidad de Warwick, cuyo Instituto de Matemáticas dirige.  Miembro de la Royal Society desde 2001, es autor de dos centenares de artícuos profesionales, y varios libros conocidos de divulgación. El que más me gusta es "De aquí a la eternidad", donde me enseñó varios temas que no conocía, sobre viejos y nuevos desarrollos en matemáticas.

http://en.wikipedia.org/wiki/Jacques_Hadamard

Una rápida búsqueda de llevó a Princeton Press, donde encontré datos del libro de Hadamard, y otros dos títulos:

The Mathematician's Brain:
A Personal Tour Through the Essentials of Mathematics and Some of the Great Minds Behind Them
David Ruelle

The Mathematician's Mind:
The Psychology of Invention in the Mathematical Field
Jacques Hadamard

How Mathematicians Think:
Using Ambiguity, Contradiction, and Paradox to Create Mathematics
William Byers

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Desde la aparición del análisis matemático, en la época de Newton y Leibniz, la matemática vivió una época en la que todo era posible. El cálculo se desplegabla en todo su poder, tanto abstracto como aplicado en los problemas de la física naciente. La rigurosidad no caracterizó el avance de esos años en el análisis, sino el éxito de los métodos adoptados. Los matemáticos no se había preocupado de la condiciones de continuidad, convergencia de series, o derivabilidad de funciones.

En el siglo XIX aparecieron algunas sombras sobre los resultados obtenidos hasta entonces. Curvas continuas sin derivadas, líneas que llenaban una superficie, algunas paradojas del infinito, llevaron a los matemáticos a buscar fundamento de lo que habían hecho hasta el momento.

Hace un tiempo, comenté algunos párrafos del libro "El intuicionismo matemático" de Marta Martínez de la Fuente, Editorial Eudeba:

El razonamiento intuicionista

Leo en ese libro:

Los iniciadores de esta fundamentación, como Cauchy, Weierstrass, Dedeking y Cantor, ya habían introducido las primeras exigencias constructivistas en la aritmetización del análisis, cuando se descubrió inesperadamente la existencia de ciertas antinomias en la teoría de Cantor, que amanezaban con socavar los fundamentos de la lógica y la matemática.

Se hacía necesario, pues, reconstruir el edificio matemático analizando minuciosamente sus bases, controlando los métodos de razonamiento y verificando para cada caso en particular los resultados obtenidos. En resumen, se trataba de eliminar al máximo la intuición, por medio de los llamados métodos "constructivos".

Veo que el problema de la existencia en el mundo matemático fue uno de los temas que encararon:

El problema del estudio de los fundamentos se concretó alrededor de la noción de "existencia matemática", más precisamente, en la búsqueda del criterio que hiciera legítimo afirmar cuándo un objeto existe verdaderamente desde el punto de vista matemático.

Acá encuentro una descripción de las tres direcciones que se siguieron, y que me interesa presentar en este post: el logicismo, el intuicionismo y el formalismo.

El logicismo, sustentado entre otros por Frege, Peano, Russell y Whitehead, y expuesto en Principia Mathematica, de los dos últimos autores, considera que la matemática tiene su base en la lógica y que un objeto matemático existe si satisface los principios lógicos.

El intuicionismo, que cuenta entre sus principales partidarias a Brower y Heyting, afirma como criterio de existencia matemática la constructividad: un objeto matemático existe si se puede enunciar la ley que permite su construcción. Sus nociones básicas son los conceptos de construcción, de prueba constructiva y de serie de libre elección.

El formalismo se presenta como un intento de síntesis de las dos direcciones anteriores: logicismo e intuicionismo. Su autor, Hilbert, se propone salvar con su teoría el conjunto de la matemática clásica incluyendo la teoría del infinito, satisfaciendo al mismo tiempo las exigencias constructivistas de los intuicionistas. Según Hilbert, el criterio de existencia matemática es la no-contradicción. En la formulación de su teoría de la demostración, utilizaba los llamados "métodos finitistas", aunque debemos precisar que se comprobó que los métodos finitistas no agotan el concepto de constructivo.

No conocía en detalle lo de métodos finitistas de Hilbert. Se me escapa un caso donde "los métodos finitistas no agotan el concepto de constructivo". Mientras los intuicionistas rechazaban usar el principio de tercero excluido en sus demostraciones, exigiendo que la existencia de los objetos matemáticos se demostrara por su construcción, Hilbert los admite, pero con un toque metamatemático:

A nivel matemático todos los tipos de razonamiento son permitidos (aún el principio de tercero excluido y el axioma de elección), pero a nivel metamatemático se permite solamente el uso de métodos constructivos, que él llama métodos "finitistas", donde los conceptos utilizados pueden ser verificados mediante un número finito de pasos.

Más adelante:

El teorema de Gödel asestó un rudo golpe a la teoría de Hilbert. En efecto, Gödel demostró en 1931 la imposibilidad de probar la no-contradicción de la matemática clásica formalizada, utilizando los métodos "finitistas" de la teoría de la demostración.

El estudio de Gödel "Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y los sistemas asociados" mostró que no se puede establecer la consistencia de un sistema que abarque la teoría de los números y la lógica habitual, con el uso de la lógica reducida permitida por la Beweistheorie o metamatemática.

Esto es algo que se deriva, en parte, del teorema de incompletitud del mismo Gödel:

Esta conclusión es parte de un resultado más importante aún obtenido por el mismo Gödel en su teorema de incompletitud, que expresa: un sistema formal que contenga la teoría de los números no puede demostrar todos los enunciados que de él se derivan. Dicho de otro modo: existe en la teoría de los números un enunciado P tal que ni P ni no-P es un teorema de la teoría; o sea, existe un enunciado verdadero que no se puede demostrar.

El teorema de incompletitud es un gran resultado (en realidad, un teorema, y un corolario, parecido al de más arriba), pero que ha sido usado y abusado más allá de las matemáticas. Es un teorema con una demostración original, pero delicado de entender en su terminología: completitud, demostración, verdad matemática, son conceptos a entender claramente si se quiere captar el resultado del teorema. Tengo que leer a Penrose, en su "El Camino a la realidad", que tiene varias páginas dedicado al teorema de incompletitud, discute sus alcances, y hasta lo usa en otros de sus libros La mente nueva del emperador para criticar a la inteligencia artificial dura (adelanto que no me convence la postura de Penrose, me parece que está buscando el pelo al huevo). Otro libro, más prometedor para un principiante, es el "Gödel, paradoja y vida" de Rebecca Goldstein, Antoni Bosch editor, al que ya recurrí para

Gödel, Einstein y la Constitución Americana

Y, aunque más alejado del tema, tengo que recomendar el excelente "Gödel, Escher, Bach, un eterno y grácil bucle", de Douglas Hofstadter.

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Angel "Java" Lopez
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Kurt Gödel (1906-1978) fue un matemático y lógico austríaco, que es conocido por su "teorema de incompletitud". Su obra es amplia, desde la teoría de conjuntos hasta la teoría de la relatividad. Aunque no tenía origen judío, estando en Viena fue perseguido por el antisemitismo nazi, y viaja a Estados Unidos en 1940, estableciéndose en Princeton, donde solía colaborar, conversar y pasear junto a Einstein. (En la foto vemos a Gödel, a la izquierda, paseando con Einstein, cuando ya estaban instalados en Princeton).

Recordemos hoy su anécdota más famosa, comentada por primera vez por Mongerstern. Estando ya en América, Gödel quería obtener la nacionalidad estadounidense. Tenía que dar un examen, donde debía demostrar sus conocimientos del sistema político de su país huesped. Gödel se toma en serio ese estudio, y se enfrasca en la lectura y crítica de la constitución americana. Descubre que tiene una regla que permite que la democracia se transforme en tiranía (lamentablemente, Morgerstern no menciona cuál es la falla, y hasta el día de hoy se está discutiendo cuál podría ser la detectada por Gödel).

Viaja con Einstein y Morgenstern a dar su examen ante un juez, el 5 de diciembre de 1947. Einstein le pregunta:

- Bueno, qué ¿estás preparado para tu penúltimo examen?
- ¿Cómo que penúltimo?
- Está claro. El último será cuando pongas el pie en la tumba

Ese era el tipo de bromas que se hacían entre ellos.

De casualidad, el juez del examen es un tal Philip Forman, el mismo que le había tomado juramento de ciudadanía a Einstein. Al verlos llegar, los hace pasar rápidamente a su despacho. Forman y Einstein conversan un rato, mientras que Gödel, sentando en silencio, parece ausente. Finalmente, Forman se dirige a él:

- Hasta ahora usted tenía nacionalidad alemana.

Gödel le hace ver el error, él era austríaco. Forman prosigue:

- Como sea, se trataba de una tiranía siniestra. Por suerte, en Estados Unidos es imposible que suceda algo así.

Y acá, Gödel, que hasta ese momento apenas había hablado, se embarca en una explicación de los defectos de la constitución americana. No paraba de dar su argumento. Forman, Einstein, y Morgenstern no saben cómo tomarlo. Gödel estaba a sus anchas explicando. Finalmente, Forman lo interrumpe:

- Tampoco hace falta meterse en honduras

Y derivó la conversación hacia otros temas.

Más sobre el tema en:

The Loophole: A logician challenges the Constitution

Es una lástima que el teorema de incompletitud haya sido tomado por tantos pensadores más allá de su contexto, y estirado hasta para esgrimirlo contra la razón, o para marcar sus límites. Gödel mismo se asombraba de tanto en tanto, de cómo sus ideas lógicas habían abandonado su ámbito, para ser tomadas como banderas de ideas cualesquiera.

Espero comentar, en algún momento, la relación entre Wiggestein y Gödel, más sobre Einstein y Gödel, y algo de Penrose, estirando el teorema de Gödel para criticar las ambiciones de la inteligencia artificial.

Tomé la anécdota del libro "Gödel, paradoja y vida" de Rebecca Goldstein, Antoni Bosch editor. El libro original es "Incompleteness". No conocía a esta autora, que hasta tiene un libro de formato novela, "The mind-body problem", y otro sobre Spinoza, que me gustaría examinar. Visitar su sitio:

http://www.rebeccagoldstein.com/

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Angel "Java" Lopez
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Soy un "fan" de Adrian Monk, el detective patológicamente obsesivo, una de las pocas series de TV que veo cada semana. Siendo como es, tiene miedo a casi todo. Cuando contrata una caja fuerte en el banco, pide que sea de un número redondo, como 100. Si se encuentra con dos lapiceras, una más llena que la otra, usa la primera, hasta que las empareja. Cada servilleta, tenedor y elemento sobre la mesa, debe estar ordenado. Un cuchillo oblicuo a los demás, es capaz de sacarlo de quicio. Y la comida que come, debe estar separada dentro del plato: nada de mezclarla antes de comerla.

A Monk le disgusta pisar los bordes de las baldosas cuando camina. Debo confensar que a mí también... :-).... bueno, no tanto como a Monk. Ese es otro motivo para que quien lea esto infiera que, como se dice por aquí en Argentina, yo no tenga "todos los patitos en línea". Pero eso es tema para otro post. Mientras, les comento a todos que, con la medicación apropiada, no soy peligroso...:-)

En este fin de semana, estuve pensando en un problema matemático (el origen del problema al final de este post). Supongamos que tenemos un conjunto de bloques de madera:

No nos preocuparemos de su altura. Para el problema nos intersa su ancho horizontal. Usaremos los bloques en esa posición. Para simplificar, supondremos que tienen un ancho entero respecto de una unidad.

Tenemos una serie de baldosas contiguas, tambien de ancho entero, de tal manera que la suma del ancho de esas baldosas es igual a la suma del ancho de nuestros bloques. Podemos, entonces, cubrir las baldosas con nuestros bloques:

El problema es: cubrir las baldosas, tratando de minimizar la cantidad de bloques que "pisan" dos baldosas a la vez. Somos Monk: quisiéramos no pisar los bordes de las baldosas. No importa el tamaño de los bloques que infringen la regla de Monk: sólo nos interesa minimizar las infracciones. En la figura de arribla, el bloque amarillo está sobre dos baldosas verde oscuro.

Es fácil ver que no siempre podemos cumplir con Monk: tres baldosas de 10 unidades, y 10 bloques de 3 unidades, implican dos "pisajes múltiples".

Uno podría imaginar que hay un algoritmo sencillo para, dado un conjunto de bloques y baldosas, uno pueda llevar a la mejor solución. Pero nones. Todo indica que es un problema tipo NP.

Alguna notación: un conjunto de bloques le diremos que es 1-baldosa si cubre exactamente una baldosa. Y 2-baldosa si cubre exactamente dos baldosas. Y así.

Puedo sugerir un algoritmo tentativo, pero que no siempre da la mejor solución:

- Maximizar la cantidad de conjuntos 1-baldosa
- Con el resto de los bloques, maximizar la cantidad de conjuntos 2-baldosa
- Y así, proseguir, hasta que las baldosas que queden, digamos 3 baldosas, sólo puedan cubrirse con un conjunto 3-baldosa

El problema es que, al maximizar la cantidad de conjuntos 1-baldosa, luego puede suceder que nos convenga "deshacer" uno de esos conjuntos, para aumentar la cantidad de conjuntos 2-baldosa, y aún con la pérdida de un conjunto 1-baldosa, puede que tengamos menos cortes que antes.

Un ejemplo hipotético: habiendo desarrollo los conjuntos 1- y 2-baldosa, nos encontramos que tenemos 3 de los primeros, y 3 de los segundos, y bloques que sobran. Hasta el momento, tenemos 3 bordes de baldosas pisados (los del medio de los conjuntos 2-baldosa). Podemos encontrar que desaciendo uno de los conjuntos 1-baldosa, conseguimos armar 3 conjuntos 2-baldosas adicionales, con lo que podríamos disminuir las infracciones finales.

Si llenáramos las baldosas utilizando primero los bloques más grandes, de tal forma que siempre tratamos de encajarlos en un conjunto 1-baldosa, sino los desechamos para colocarlos despues, pues bien, no obtenemos siempre la mejor solución.

Un ejemplo concreto:

- 4 baldosas de 10 unidades
- 1 bloque de 8 unidades
- 2 bloques de 1 unidad
- 10 bloques de 3 unidades

Si tratamos de cubrir una baldosa con el mayor bloque, llegamos a la disposición (no importa el orden dentro de la baldosa):

8.1.1

Luego, al tratar de llenar las 3 baldosas restantes con los 10 bloques de 3 unidades, siempre pisamos los bordes:

8.1.1 3.3.2- -1.3.3.2- -1.3.3.3

(la notación 2- -1 indica que "partimos" el bloque en dos baldosas).

Pero hay una mejor solución: "deshacer" el mejor conjunto 1-baldosa, para poder armar otros del mismo orden:

3.3.3.1 3.3.3.1 8.2- -1.3.3.3

Y ahora, Monk, si bien no estará completamente calmado, verá que es mejor que la anterior solución.

Hay varios conjuntos de bloques que hacen que el algoritmo "el más grande primero" falle. Basta tener

B = ancho de baldosa
N = cantidad de baldosas
B primo con M
R = B mod M
(N-2) bloques de longitud R
(N-1)*B divisible por M
(N-1)*B/M bloques de longitud M
1 bloque de B-R*(N-2) unidades

En nuestro caso, B=10, N=4, M=3, entonces R=1 (todo esto a revisar)

El problema original fue planteado en una lista privada, y es distinto que éste que planteo. Pero fue mi inspiración. Como está planteado en una lista privada, no puedo describirlo acá sin permiso. Se sugirió que su solución tiene relación con el problema llamado Knapsack.

De ahí, encontré estos enlaces interesantes, algo relacionados con este problema:

Knapsack Problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem

Packing Problema
http://en.wikipedia.org/wiki/Packing_problem

Partition Problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_problem

Cutting Stock Problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Cutting_stock_problem

Cutting Stock Problem
http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/cutting/formulation.html

Subset Problem (tiene relación con obtener una n-baldosa)
http://en.wikipedia.org/wiki/Subset_sum_problem

EURO Special Interest Group on Cutting and Packing
http://paginas.fe.up.pt/~esicup/tiki-index.php

Si hasta hay ahí:

 Call for Papers

The purpose of this special issue is to encourage research dealing with cutting, packing and related problems. Case studies describing successful applications in practice are particularly welcome. Topics for this special issue include (but are not limited to) the following:

• Cutting and packing problems;
• Bin packing;
• Knapsack problems;
• Pallet and container loading;
• Nesting;
• Pattern sequencing;
• Layout problems;
• Multi-processor scheduling; and
• Integrated problems such as cutting and sequencing, lot sizing and cutting, routing and packing, etc.
 

Si hasta hay software para solucionar problemas similares:

AutoLoad Pro-Container Loading Software 2007 review and download. load planner, cargo load planning, cargo loading, 
http://rbytes.net/software/autoload-pro-container-loading-software--review/

Más sobre búsqueda de soluciones enteras:

Advanced Integer Programming
http://opim.wharton.upenn.edu/~guignard/916_2007/916.html

Sobre complejidad de algoritmos:

NP Complexity
http://en.wikipedia.org/wiki/NP_%28complexity%29

NP-complete
http://en.wikipedia.org/wiki/NP-complete

Karp s 21 NP-complete problems
http://en.wikipedia.org/wiki/Karp%27s_21_NP-complete_problems

He dejado esos enlaces en

http://del.icio.us/ajlopez/algorithm

Más sobre Adrian Monk en

http://www.usanetwork.com/series/monk/
http://en.wikipedia.org/wiki/Adrian_Monk

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Jean Dieudonné fue un importante y conocido matemático del siglo pasado, integrante del grupo Bourbaki. Sus principales especialidades fueron el álgebra abstracta y el análisis funcional, pero como muchos otros matemáticos de su talla, su conocimiento abarcó gran parte de las matemáticas de su tiempo. Se preocupó también sobre la historia y filosofía de las matemáticas.

En un escrito suyo que es una conferencia de un Seminario de Matemáticas y Filosofía dictado en las Escuela Superior de Paris, que tengo en el libro "Pensar las matemáticas", Editorial Tusquets, Dieudonné se ocupa del tema "Matemáticas vacías y matemáticas significativas". En un momento, plantea que el origen de las matemáticas tuvo que ver con necesidades reales, pero que no siempre éstas fueron el origen de nuevas ideas e investigaciones. Escribe:

A veces le dicen a uno: "Si no son las aplicaciones las que han suscitado las matemáticas, entonces ¿qué ha sido?". Algunos invocan razones sociológicas. Sea, pero nunca he visto nada demasiado convincente en ese sentido. Es evidente - y del todo trivial - que no pueden hacerse matemáticas cuando el nivel social no permite un cierto ocio y una cierta posición social a quienes precisan de mucho tiempo para reflexionar y resolver sus problemas. Por consiguiente, hay que proporcionar a los matemáticos en potencia un cierto nivel de vida que les permita consagrar enormes esfuerzos y concentración a sus investigaciones, sin estar siempre preocupados por la cuestión de saber si comerán al cabo de tres días o de dos horas. Pero afirmando esto no se ha explicado nada en absoluto. Es una de esas trivialidades que uno apenas se atreve a repetir. Para los interesados en el asunto, vaya este problemita: en 1796, al joven Gauss, que tenía por entonces dieciocho o diecinueve años, se le metió en la cabeza encontrar una construcción del polígono regular de diecisiete lados con regla y compás. A quien me explique por qué el medio social de las pequeñas cortes alemanas del siglo XVIII, en el que Gauss vivía, hubo de llevarle inevitablemente a preocuparse por la construcción del polígono regular de diecisiete lados, a quien me lo explique, bueno, le daré una medalla de chocolote. Bien, procuremos ser serios y volvamos a la cuestión de saber qué pone en marcha las matemáticas. Creo que no se quiere tomar en cuenta algo completamente trivial y visible por todas partes a nuestro alrededor: he tenido hijos y nietos, y veo que los críos se pasan el rato planteándole a uno acertijos, ejercitando su sagacidad y su curiosidad sumergidos en enigmas, rompecabezas y crucigramas, con una alegría que nada consigue enturbiar. Se trata de un hecho universal, observable en todos los países y épocas: existe una especie de curiosidad natural e innata en el ser humano que lo impulsa a la resolución de adivinanzas. Sin ir más lejos, las nueve décimas partes de las matemáticas, aparte de las que tienen su origen en necesidades de orden práctico, consisten en la resolución de adivinanzas.

Luego prosigue con algunos ejemplos, el más conocido del tipo que presenta es el último teorema de Fermat. Buen ataque a la posición "sociológica", que también ha tratado de explicar las ciencias naturales aduciendo que son producto de la situación social y relativas a ella. Interesante el punto de poner los acertijos como algo que interesa a los niños, y que luego, de mayores, a algunos nos sigue gustando. Más adelante, Dieudonné explica que las matemáticas son más que acertijos, y clasifica los problemas que han surgido. Esos temas quedan para próximos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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El tema del intuicionismo me ha ocupado algunos post:

Kant y el intuicionismo matemático
El origen del intuicionismo matemático
Intuición sensible en matemáticas
El intuicionismo matemático, primer tesis
Intuición según Bunge

Puede parecer un tema árido, y en parte lo es. Pero es interesante para mí, como estudio de la fundamentación de las matemáticas, y de su filosofía. Lo que ha acontencido en esa área en el último siglo y pico, ha sido muy interesante, por lo menos desde el punto de vista de fundamentos, quizás los matemáticos han seguido trabajando sin detenerse mayormente en estos temas, y me parece bien que sea así. No todos los que aportan a un área del conocimiento humano tienen que ocuparse de los fundamentos, pero siempre es bueno que haya algún grupo que sí encargue de discutir los temas básicos de ese conocimiento, en este caso, notablemente Hilbert y Brower.

Encuentro una descripción clara de lo que es razonamiento intuicionista, de parte de Helbrand (desconozco la obra y el nombre de esta persona, notablemente Google arroja poca información):

Entendemos por razonamiento intuicionista un razonamiento que satisface las condiciones siguientes: nunca considerar en él más que un número finito determinado de objetos y funciones; éstos deben ser bien definidos, de modo que su definición permita calcular sus valores de manera unívoca; no afirmar la existencia de un objeto sin indicar el medio de construirlo; no considerar nunca el conjunto de todos los objetos X de una colección infinita; decir que un razonamiento (o teorema) es verdadero para todos esos X, significa que para cada X particular es posible repetir el razonamiento general en cuestión, el cual sólo debe ser considerado como el prototipo de esos razonamientos particulares.

Claro que en la historia, hay varias versiones de intuicionismo, y no es tan fácil como se presenta en este párrafo. Hubo varias escuelas, más de las que yo creería conveniente. Mi postura se decanta más por el formalismo, pero es interesante visitar esta otra postura. Notemos el esquivar el infinito, y la exigencia de construcción: no basta asegurar la existencia de un objeto matemático por medio de una demostración por absurdo derivada de suponer su no existencia, sino que hay que construirlo.

Ese texto lo encuentro en "El intuicionismo matemático" de Marta Martínez de la Fuente, Editorial Eudeba (es un libro que no encuentro en el catálogo en línea de la editorial). En mi edición, en la página 9. Este libro es un libro técnico, que hay que leer con cuidado, pero que tiene la amabilidad de presentar en detalle varios desarrollos concretos de intuicionismo, y algunas alternativas, notablemente el cálculo lambda de Church.

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Leo hoy a Ernesto Sábato, en su libro Uno y el Universo:

Tres pirámides y tres panteras no tienen casi nada de común: aquellas son inertes, geométricas, no se reproducen, no tienen garras, no son cuadrúpedos ni carnívoros. Y sin embargo, entre ambos grupos hay un núcleo idéntico que queda cuando todos los caracteres físicos han sido descartados: la trinidad de los dos grupos.

Los niños no saben razonar con números puros: necesitan sumar manzanas o libros; mucho más tarde, inconscientemente, prescinden de los objetos físicos por un largo proceso mental. Es muy probable que en los pueblos primitivos haya pasado algo semejante y es a Pitágoras a quien el mundo occidental debe el primer atisbo de este notable hecho: aunque participan en este mundo, los números y las formas geométricas son entes abstractos que pertenecen a una realidad más pura y esencial.

Interesante la aparición de "participar" que tanto hay tenido que ver luego en Platón.

Sin embargo, que para llegar hasta el ente matemático se necesite un proceso mental no significa que sea inventado por la mente: el hombre no inventa el carácter común a un grupo de pirámides y uno de panteras; descubre algo preexistente. El tres y el triángulo existieron antes de aparecer los hombres y subsistirán por toda la eternidad, después que estos seres hayan desaparecido del Universo.

Este último párrafo afirma algo que no es tan evidente, por lo menos para mí y para otros: el tres puede ser también considerado una abstracción de nuestra mente, un constructo. Lo que afirma Sábato equivale a tener un mundo platónico de entes matemáticos. No tengo todavía una postura definida para esto. En mi tierna adolescencia, en el siglo pasado, fue completada la clasificación de los grupos esporádicos. El grupo denominado "El monstruo", de orden 808017424794512875886459904961710757005754368000000000, ¿siempre existió? ¿tiene la misma existencia que el número tres? No parece ser evidente que sea así. Pueden leer una postura distinta en

Bunge enumerando posturas no realistas

El mundo de la filosofía, filosofía de las matemáticas y los matemáticos, siguen discutiendo estos puntos. Otras posturas las encontré en John D. Barrow y en Roger Penrose (autores cuyas obras que ya están en la larga lista de textos a comentar por aquí).

Sigo leyendo:

Cheops, construida con dura piedra y con el sacrificio de miles de esclavos, es implacablemente derruida por la arena y el viento del desierto; la pirámide matemática que forma su alma, invisible, ingrávida, impalpable, resiste el embate del tiempo; más todavía, está fuera del tiempo, no tiene origen, no tiene fin.

Este mundo de los entes matemáticos es un mundo rígido, eterno, invulnerable, un helado museo de formas petrificadas que nuestro universo físico, en un proceso sin fin y sin eficacia, intenta copiar

No tengo el libro "Uno y el universo". Encuentro este texto de Sábato en un interesante libro que encontré en una de mis correrías por las librerías de Buenos Aires: "Geo-Home-Trío y Geometría: Matemática y Filosofía", de Alfredo Raul Palacios y Alfredo Gustavo Palacios, Editorial Lumen. En este libro se plantean varias cuestiones de matemáticas y filosofía, visitando a Platón, Aristóteles, y Kant, entre otros. Realmente, un buen hallazgo, muy recomendable libro. Ver publicaciones similares de Eureka.

Este "post" queda bajo mi categoría Matemáticas, pero bien podría quedar en Filosofía. Zoomblog no permite que queda bajo las dos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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