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Matemáticas


Publicado el 24 de Agosto, 2015, 7:45

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Publicado el 20 de Agosto, 2015, 7:29

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Publicado el 12 de Agosto, 2015, 7:05

El sábado pasado estaba leyendo el excelente libro "Matemáticas, una historia de amor y de odio", de Reuben Hersh y Vera John-Steiner. Me encuentro con una cita de Eugene Wigner. A los once años estaba internado en un sanatario de Austria, diagnosticado de tubercolosis. Se dedicó entonces a problemas de geometría:

Sentado en mi tumbona, intenté construir un triángulo, dadas solamente las longitudes de tres alturas. Se trata de un problema muy sencillo que ahora puedo resolver en sueños, pero en aquel momento, encontrar la solución me costó varios meses de trabajo muy concentrado.

Es interesante el problema. Creo que hoy yo no tardaría meses, pero tampoco lo resolvería en un sueño. Ese problema me llevó a plantearme la existencia de la intersección de las alturas de un triángulo en UN SOLO PUNTO. Traté de demostrarlo, pero luego de unas dos horas, no pude.

Comencé a averiguar si era cierta la existencia de ese punto. Descubrí que se llama ortocentro, y encontré enlaces como:

http://www.cut-the-knot.org/triangle/altitudes.shtml

donde menciona:

This is a matter of real wonderment that the fact of the concurrency of altitudes is not mentioned in either Euclid's Elements or subsequent writings of the Greek scholars. The timing of the first proof is still an open question; it is believed, though, that even the great Gauss saw it necessary to prove the fact.

Yo hubiera pensado que la demostración ya estaba publicado en Euclides. No sé por qué no es mencionada. Puede ser que no fuera conocida, o tal vez, que los métodos de demostración no fueran los que Euclides quería mostrar en sus Elementos. También es de destacar que no se encontró prueba entre otros escritos griegos de la antiguedad. ¿Se habrá perdido? Parece improbable que no hubieran conocido la existencia de este teorema y su demostración.

No ví las demostraciones del enlace de arriba, para seguir investigando por mi cuenta. Lo que sí encontré fue un esbozo de la demostración de Euler de una afirmación más grande, en:

http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Orthocenter

(un sitio muy interesante, a explorar más en detalle), donde afirma que el circumcentro, el centroide, y el ortocentro de un triángulo cualquiera yacen sobre una misma línea. Notable propiedad!

El domingo volví al problema del ortocentro, y conseguí una demostración. Parece que es la demostración más conocida, reduciendo el problema a la existencia de punto de concurrencia de las medianas (el llamado circumcentro) en otro triángulo. Luego traté de demostrar la existencia de este nuevo punto, el circumcentro, pero me enredé, hasta que me di cuenta que el problema era más fácil. Veremos las demostraciones de existencia del punto de intersección de las medianas (el circumcentro) y de las alturas (el ortocentro) de un triángulo cualquiera, en los próximos dos posts.

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Publicado el 2 de Agosto, 2015, 17:40

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En el anterior post hemos encontrado, siguiendo las ideas de Euler, que:

Para eso vimos cómo Euler iguala una suma infinita con una multiplicación infinita, e iguala los coeficientes. Algo como:

Es un "gran truco" que usa Euler en varias de sus demostraciones, un "truco" para tener en nuestro baúl matemático. Le bastó desarrollar el producto, e igualar los coeficientes de x al cuadrado en ambos desarrollos, el de la suma y el del producto.

Pero Euler no se quedó ahí. También igualó los coeficientes de x a la cuarta, x a la sexta y demás. Y notablemente, obtuvo un resultado interesante, tan poco evidente como el primero.

Veamos en este post primero un concepto general. Sea una suma infinita de términos, que sabemos que converge a un valor:

O sea, lo llamamos alfa. Sea el cuadrado de esta suma, desarrollado usando una generalización del binomio de Newton:


O sea, es la suma infinita de los cuadrados de los términos iniciales, más dos veces la suma de esos términos tomados de a dos distintos. Llamemos a la suma de a dos como beta:

Esto muestra que la suma de los cuadrados de los términos iniciales es:

No es una relación evidente, pero nos sirve para calcular la suma de los cuadrados de los términos de una serie original. Claro, tenemos que averiguar beta, la suma infinita de los términos tomados dos a dos. Y aquí Euler los encontró, encontró beta como de regalo. Tomemos:




Entonces, ya sabemos alfa:

¿Dónde está beta? Veamos el coeficiente para x a la cuarta cuando desarrollamos el producto infinito original (tienen que hacer el desarrollo, combinando de a dos los factores que tengan x al cuadrado):

Y ahí está beta: es el coeficiente que está entre paréntesis, esa suma infinita de los términos originales (los recíprocos de los cuadrados) TOMADOS DE A DOS.

Ahora, en la suma infinita original, el coeficiente de x a la cuarta potencia es:

Con lo que queda:

Y obtenemos:

Como sabemos que alfa es la suma de los recíprocos, tomamos el valor que deducimos en el anterior post. Un pasito más que ya llegamos a:


Es decir, llegamos al valor de la suma de los recíprocos de las cuartas potencias:

>

Notable resultado. En el próximo post veremos el desarrollo para las siguientes potencias pares. Euler consiguió todos estos resultados en su "paper" E41:

http://eulerarchive.maa.org/pages/E041.html

Pueden ver algunos de esos "papers" de Euler en inglés en: (los originales eran en latín)

http://www.17centurymaths.com/contents/eulercontents.html

Y lo que estamos desarrollando está en inglés en:

http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e041tr.pdf

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Publicado el 20 de Julio, 2015, 6:30

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Uno de los métodos de demostración de Fermat es el descenso infinito. Ya lo traté en Fermat y el descenso infinito y en Descenso Infinito. Veamos hoy su aplicación a un caso especial de su último teorema.

Se llama triángulo pitagórico a una terna de números naturales (a, b, c) tales que:

Ver Ternas Pitagóricas. Desde los tiempos de Euclides (Elementos, X29, lema 1), se sabe que si (a, b) = 1 (su máximo común divisor es 1), entonces existen números p y q primos entre sí tales que, si tomamos a como par, entonces se da:



(siempre, a o b, es par, y el otro es impar). En una carta a Huygens, Fermat afirma este teorema:

El área de un triángulo pitagórico no puede ser un cuadrado

El área es el producto de los catetos (a y b) divido por 2. Fermat dice que nunca esa área puede ser un número natural cuadrado perfecto. Veamos si es así. El área es:

Sustituyendo los valores de a y b por su expresión en términos de p y q, queda:

Sabemos que p y q son primos entre sí, entonces también lo serán p+q y p-q. En definitiva, si el área de arriba es un cuadrado perfecto, los cuatro factores:




Tienen que ser CADA uno un cuadrado perfecto, porque son todos primos entre sí, no tienen factores primos comunes, y entonces, de la combinación de dos o más de esos factores NO PUEDE SURGIR ningún número cuadrado que no esté YA en los factores originales.

Entonces, cada factor es un cuadrado de otro número, pongamos:




Veamos algo sobre la paridad de u y v. Primero, son relativamente primos. Si no lo fueran, su divisor común mayor a la unidad dividiría a p+q y a p-q, que se supone eran primos relativos, no tenían ningún factor en común. También podemos descartar que AMBOS u y v sean pares. Porque entonces p+q y p-q serían pares, divisibles por un factor común de 2, cuando se supuso que eran primos relativos.

Supongamos que u es par, y v es impar. Entonces p+q sería par y p-q sería impar. Pero entonces b:

sería par, junto con a:

contra lo supuesto, que eran primos entre sí. Por razonamiento similar, podemos descartar que u sea impar y v sea par. En definitiva, u y v son primos relativos e IMPARES.

Avancemos. También sabemos que:

Lo que da que:

Los dos factores de la derecha son suma y resta de DOS IMPARES. Es decir, los dos factores son pares, y su producto es divisible por 4. El lado izquierdo tiene un 2 y un cuadrado perfecto de y, pero al ser divisible por 4, deducimos que el cuadrado perfecto es divisible por 2, con lo cual y es par, y queda que y al cuadrado es divisible por 4. Conclusión: el lado izquierdo es divible al menos 3 veces por 2. Esos tres factores de 2 deben estar repartidos entre los dos factores de la derecha. Queda que:


O al revés. Uno de los factores es un cuadrado multiplicado por 2, y el otro es un cuadrado multiplicado por 4. Sumando y restando queda:


Como

Queda que x al cuadrado es:

Desarrollando queda:


y entonces la terna:

Forma un triángulo pitagórico de área:

QUE ES MENOR QUE EL TRIANGULO DE PARTIDA. Pero oh sorpresa, esa área es un cuadrado perfecto. Volvemos a tener un triángulo pitagórico como el de partida.

Ahora repetimos el proceso, y seguiríamos obteniendo triángulos pitagóricos con áreas cuadrados perfectos cada vez más pequeños, sin límite. Por el argumento de descenso infinito, esto es imposible. Entonces, no hay triángulos pitagóricos con área cuadrada perfecta, pues si hubiera alguno, podríamos obtener triángulos con la misma propiedad, cada vez de menor área, hasta el infinito.

En el próximo post usaremos este teorema para demostrar la imposibilidad del último teorema de Fermat cuando el exponente n es 4.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 18 de Julio, 2015, 8:12

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Jot Down Cultural Magazine | Clara Grima: La importancia de llamarse Grima
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Publicado el 20 de Junio, 2015, 19:19

Inicio hoy otra serie ambiciosa de posts, matemáticos. Hay un tema que cada tanto aparece en mis lecturas, y es el de números algebraicos. Tiene relación con la teoría de cuerpos conmutativos, teoría de Galois, y otros. Ha sido estudiado en profundidad desde el siglo XIX, como una parte de la teoría de números, por ejemplo, en el estudio general de la factorización en cuerpos conmutativos.

Comencemos viendo una definición. Suponemos que estamos trabajando con números reales y complejos, y buscando soluciones a polinomios en una variable. Un número se dice algebraico si es solución de un polinomio igualado a 0:

Donde todos los coeficientes son números racionales, y el término de mayor grado tiene coeficiente unidad. Es fácil ver que una expresión así es equivalente se puede convertir a:

Donde todos los coeficientes b son números enteros, multiplicando todos los coeficientes racionales originales por un número entero adecuado, para convertir esos coeficientes en números enteros. Tampoco se pierde generalidad, si se multiplican todos los coeficientes de la ecuación por un número racional no nulo. Sus soluciones siguen siendo números algebraicos, aún cuando el término principal (el de mayor grado) no tenga coeficiente unidad.

Todos los números racionales son números algebraicos, porque cada racional:

Con coeficientes a, b enteros, es la solución de:

Y entonces, de:

Si un número algebraico es la solución de un polinomio como el presentado al comienzo, pero con coeficientes ENTEROS (el término de mayor grado de x sigue teniendo coeficiente igual a uno), se dice que es un entero algebraico. Todos los números enteros son enteros algebraicos.

Uno podría esperar que los enteros y racionales sean todos los números algebraicos que podemos encontrar, pero notablemente, ecuaciones como:

Tienen coeficientes enteros, con coeficiente principal uno, y sin embargo, con soluciones no racionales:

Ese es el sabor especial de los números algebraicos: van más allá de los números enteros y racionales.
Otra sorpresa, no evidente, es que la suma, producto y división de dos números algebraicos, es también un número algebraico. Esta propiedad no es fácil de probar. Veamos primero que el inverso de un número algebraico no nulo, es algebraico.

Sea el número alfa:

satisfaciendo:

Con coeficientes racionales. Dividiendo por ese número alfa, elevado a la potencia n, se obtiene:

Donde se ve que el inverso de ese número también satisface una ecuación como la que se pide para los números algebraicos. No es tan simple probar que la suma y el producto de dos números algebraicos sea también algebraico. Por ahora, lo damos por supuesto, pueden ver:

http://math.stackexchange.com/questions/155122/how-to-prove-that-the-sum-and-product-of-two-algebraic-numbers-is-algebraic
http://math.stackexchange.com/questions/141427/sums-and-products-of-algebraic-numbers

Una parte de esta serie estará destinada a probar esos resultados. Esas propiedades de clausura (suma, resta, multiplicación, división de números algebraicos dan números algebraicos) permite tratar sistemas de números algebraicos como tratamos otros sistemas cerrados de números, notablemente los racionales. Hay algo de las propiedades de los números racionales que impregna a esos sistemas de números algebraicos. Y veremos que el concepto de entero algebraico también comparte características con el de número entero.

Fuentes consultadas: The Elements of the Theory of Algebraic Numbers, de Legh Wilber Reid (con una breve introducción de David Hilbert), y el monumental The Theory of Algebraic Number Fields, de David Hilbert, que ya comenté en la serie David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos.

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Publicado el 14 de Junio, 2015, 20:33

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Estábamos estudiando la transformación:




La podemos representar como multiplicación de matrix cuadrada y vector:

Podemos expresar con notación abreviada:

Donde ahora las equis son vectores, y la A es la matriz de los coeficientes alfa. Si suponemos que la matriz es invertible (tiene inversa), entonces:

Los elementos de la matriz inversa se pueden expresar como fracción de los determinantes menores y el determinante total. (el determinante menor del elemento i,j, es el determinante de la matriz que queda sacando la fila i y la columna j, y dándole un signo apropiado, dependiendo de si i+j es par o no).

Si llamamos B al número determinante de A, y Bij a los determinantes menores, podemos siempre recordar que la transformación inversa se puede expresar como:




Es decir, la transformación es invertible, si y sólo si la matriz A es invertible. Esto induce un esquema de grupo entre transformaciones lineales de este tipo, donde cada elemento del grupo tiene inverso, el elemento unidad es la transformación unidad (representada por la matriz unidad), y donde la composición de transformaciones es la operación de grupo (representada por la multiplicación de las matrices).

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Publicado el 31 de Mayo, 2015, 20:10

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Tomemos una forma de orden n, con m variables:

De esta forma general podemos derivar otra forma, expresando las m variables originales con funciones de otras m variables:



...

Donde estas nuevas m funciones son todas formas del mismo orden.

Esta operación es llamada transformación, las nuevas variables son las x" (x prima), y la forma resultante:

Es llamada la forma transformada.

Hay transformaciones más interesantes que otras. Tomemos transformaciones lineales:




Los alfa se llaman los coeficientes de la transformación. La forma transformada entonces es:


Una propiedad interesante de la transformada es que tiene el mismo orden que la original. Es un poco trabajoso demostrarlo, veamos algunos puntos.

El término general de la forma original es:

Donde la suma de los exponentes de las variables es:

Y se transforma a:

Los términos del primer polinomio elevado a v1, son términos homogéneos en los alfa y en los x primas, de orden v1. Y así con las demás potencias desarrolladas del resto de los polinomios lineales.

Cada término final es el producto de un término homogéneo de alfas y x primas de orden v1, por un término homogéneo de alfas y x primas de orden v2, por .. y así, llegando a ser cada término final homogéneo de orden v1+v2+…+vm = n, en alfas y equis primas.

Si sumamos los coeficientes de los términos que tengan la misma distribución de variables x prima (que tengan los mismos exponentes), el coeficiente resultante es homogéneo lineal en los coeficientes originales ci, y homogéneo de orden n en los coeficientes originales alfa.

Como les decía, es algo trabajoso verlo en detalle, veamos un ejemplo en concreto.

Sea la forma original de dos variables, y segundo orden:

Sea la transformación lineal:


Aplicando la transformación, queda:

Donde:



Lo que muestra de forma más concreta lo afirmado.

Veremos en el próximo post que la transformación es invertible.

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Publicado el 12 de Mayo, 2015, 16:14

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Más temas de geometría, a veces puros, otras veces demostrando su relación con la física. En este último siglo se ha ido redescubriendo el poder de la geometría, con conceptos independientes de coordenadas, o con la aplicación de las ideas de Gauss-Riemann en la relatividad.

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Publicado el 9 de Mayo, 2015, 18:12

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Publicado el 2 de Mayo, 2015, 4:07

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Examinemos hoy una "multiplicación" de funciones que nos va a servir para entender el trabajo de Fourier. No quedará todavía claro en este post su uso en el desarrollo de Fourier. Pero podemos intuir una analogía geométrica: las funciones que vamos a considerar, "multiplicadas" por sí mismas darán un número, la unidad. Y multiplicadas entre sí (funciones distintas) darán cero. Es similar al producto de vectores ortogonales, normalizados. Nada más que esta vez estaremos en un espacio vectorial donde los vectores son funciones, y la dimensión es infinita numerable. Hoy no trataremos todavía cuáles son las funciones que vamos a considerar (seno de nx, coseno de nx, variando n por los valores enteros), solamente plantearemos una definición de multiplicación de funciones.

Necesitamos una operación de multiplicación, que dada dos funciones de una variable real, que produzcan reales, nos dé como resultado un número real. Podríamos tomar como multiplicación de las funciones f, g, al producto de su valor en el punto 0 (cero):

Pero no nos va a servir de mucho. Veamos de sumar la multiplicación de varios puntos. Si comenzamos por ese camino, podemos generalizar la suma a una integración:

Tal vez en un intervalo. Como Fourier estaba interesado en funciones periódicas, de periodo 2 pi, donde para todo x real se cumple:

Vamos a definir la multiplicación de f, g como la integración en el intervalo que va desde menos pi a mas pi:

Las funciones f, g tendrán que cumplir algunos requisitos para que esta integración tenga un resultado válido. Las funciones que vamos a considerar no tendrán mayor problema: serán continuas, acotadas en el intervalo menos pi a mas pi, y hasta tendrán periodo 2 pi.

En el próximo posts veremos cómo esas funciones (seno nx, coseno nx) se multiplican y descubriremos que son "ortogonales", es decir, multiplicando funciones distintas obtendremos cero, y multiplicando una función por sí misma, obtendremos la unidad, el uno.

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Publicado el 28 de Abril, 2015, 23:49

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Euler & The Basel Problem.pdf
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Basel problem - Wikipedia, the free encyclopedia
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Pat'sBlog: On This Day in Math - February 18
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Scheme (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
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Weil conjectures - Wikipedia, the free encyclopedia
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Publicado el 26 de Abril, 2015, 19:10

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En el anterior post, mostré la postura de Alan Connes, para quien las matemáticas se descubren, lo que descubrimos ya está ahí, de antes que nosotros, en un mundo matemático que tiene tanta realidad o más que la realidad física. Yo no pondría "realidad", mas bien usaría "mundo". Para mí, realidad se refiere a la realidad del mundo cambiente, no a la inmutabilidad de esa "realidad matemática". Pero tal vez en el fondo no es más que una cuestión de terminología. Veamos hoy la posición de Michael Atiyah. A Atiyah lo conozco más, he leía algún texto suyo, y conozco de su trabajo. Es ganador de la medalla Fields en 1966, la medalla Copley en 1988 y del premio Abel en 2004. Es decir, es un matemático con todas las letras, de influencia similar a la de Connes. Atiyah señalaba:

Cualquier matemático no puede menos que simpatizar con Connes. Todos tenemos la sensación de que los números enteros, o los círculos, existen realmente en algún sentido abstracto, y el punto de vista platónico es terriblemente seductor. Pero ¿podemos realmente defenderlo? Si el universo fuese unidimensional, o incluso discreto, parece difícil concebir cómo podría haber evolucionado la geometría. Parece que con los números enteros el terreno en el que pisamos es más sólido, que contar es un concepto realmente primordial. Pero imaginemos que la inteligencia no se hubiera desarrollado en el hombre, sino en una especie de medusa colosal, solitaria y aislada en los abismos del océano Pacífico. Este ente no tendría experiencia alguna de los objetos individuales, ya que sólo estaría rodeado de agua. Sus datos sensoriales se reducirían a movimiento, temperatura y presión. En este continuo puro, el concepto de discreto no podría surgir ni, por consiguiente, habría nada que contar.

Original la idea de la medusa. Sin embargo, tengo algo que comentar sobre esta postura. Y es algo que puede comenzar a explicar por qué nuestras matemáticas se adecuan tanto a la explicación de modelos de la realidad física. Pienso que la experiencia de la medusa no INVALIDA la posibilidad de existencia de un mundo matemático, con números primos, geometría, e hipótesis de Riemann. Sólo pone de manifiesto que como organismo inteligente, por experiencia sensorial, sólo descubriría una parte de ese mundo. Pero tal vez aún así, tomando caminos de desarrollo no evidentes, llegue a descubrir matemáticas que están lejos de la experiencia física. En el caso humano, tenemos todo lo que hizo Cantor con los infinitos y sus números transfinitos, o los números surreales de Conway, y debe haber más y mejores ejemplos. Y también es posible que nuestra mente, como la de la medusa, sólo pueda descubrir PARTE del mundo matemático, el sugerido por el razonamiento y la experiencia sensorial humana. Y esa experiencia del mundo físico justamente nos lleva a desarrollar matemáticas que luego se pueden aplicar a los modelos que vamos planteando.

Encuentro el texto de Atiyah en el libro de Mario Livio ¿Es Dios un matemático?

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Publicado el 22 de Abril, 2015, 5:11

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En el primer post mencioné un tema a explorar: las matemáticas ¿existen por sí mismas, en una realidad matemática digamos, y nosotros como seres humanos las vamos descubriendo, como cuando exploramos un continente desconocido (no inventamos las montañas, simplemente las descubrimos; lo mismo los teoremas y conceptos)? En este caso ¿cómo es posible que podamos acceder desde nuestra mente a ese mundo? ¿O serán las matemáticas sólo fruto de la mente humana, sin mayor entidad fuera de ella? Entonces ¿cómo se explica la gran aplicación y éxito de las matemáticas en los modelos de la realidad física?

Veamos la postura expresada por Alain Connes, que defiende la primera posición: las matemáticas como realidad independiente de la realidad física (y de nuestra mente). Connes es matemático, ganador de la medalla Field (1982) (EL PREMIO en matemáticas, que se otorga cada cuatro años), y el premio Crafoord (2001). En 1989 expuso su punto de vista de esta manera:

Tomemos, por ejemplo, los números primos [aquellos que sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad] que, por lo que a mí respecta, constituyen una realidad más estable que la realidad material que nos rodea. El matemático de profesión se puede comparar con un explorador que se pone en marcha para descubrir el mundo. A partir de la experiencia se pueden descubrir hechos básicos. Por ejemplo, basta con unos sencillos cálculos para darse cuenta de que la serie de números primos parece no tener fin. El trabajo del matemático es entonces demostrar que, efectivamente, hay una infinidad de números primos. Este es un resultado antiguo, como sabemos, y se lo debemos a Euclides. Una de las consecuencias más interesantes de esta demostración es que, si alguien afirma un día que ha descubierto el mayor número primo que existe, será fácil demostrar que se equivoca. Esto mismo es válido para cualquier demostración. Nos enfrentamos pues a una realidad estrictamente igual de incontestable que la realidad física.

En próximo post, veremos que no todos están de acuerdo con la postura de Connes. Incluso hay matemáticos que defienden la idea de las matemáticas como fruto humano.

El texto de arriba lo encuentro en las primeras páginas del libro de Mario Livio, "¿Es Dios un matemático?"

Ver también:

http://www.alainconnes.org/en/

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Publicado el 21 de Abril, 2015, 14:08

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Publicado el 17 de Abril, 2015, 14:34

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Retomemos este gran e interminable tema, tan interesante, con tantas derivaciones. En estos días me reencuentro con un fragmento de Galileo. No sabía que estaba en El ensayador, yo hubiera pensado que estaba en otros escritos. Es el fragmento donde Galileo plantea a las matemáticas como el lenguaje del universo:

Creo que Sarsi está plenamente convencido de que, en filosofía, es fundamental apoyarse en la opinión de algún autor famoso, como si nuestro pensamiento fuese completamente árido y estéril si no está unido a los razonamientos de otro. Quizás piense que la filosofía es una obra de ficción creada por un hombre, como La Ilíada u Orlando Furioso [un poema épico del siglo XVI escrito por Ludovico Ariosto] -libros en los que no tiene la menor importancia la verdad de lo que describen-. Señor Sarsi, las cosas no son de este modo. La filosofía está escrita en el gran libro que está siempre abierto ante nuestros ojos (me refiero al universo) pero que no podemos comprender si no aprendemos en primer lugar su lenguaje y comprendemos los caracteres en los que está escrito. Está escrito en el lenguaje de la matemática, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales no es humanamente posible comprender ni un sola de sus palabras, y sin las cuales se deambula vanamente por un laberinto de tinieblas.

Lo que Galileo llama "filosofía" es "filosofía natural", lo que hoy llamamos "física". Lo encuentro citado en el libro de Mario Livio, "¿Es Dios un matemático?". Hoy sólo va mención de esta idea de Galileo, que tanto influyó en su obra, y en la de los que le siguieron. Recordemos si no a Newton. Mi postura: usamos las matemáticas en los modelos de la realidad física (a nivel de lo físico) pero no es que el universo es matemático. Sino que está regido (a ese nivel) por procesos simples, que se pueden expresar usando matemáticas. El texto de Galileo es uno de los que pone de nuevo a la matemática relacionada de forma especial con la realidad. El gran precursor de esas ideas, es Pitágoras.

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Einstein: Matemáticas y Realidad

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