Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (80)

Publicado el 1 de Septiembre, 2017, 5:52

Historical courses and resorts in Elliptic Curves Cryptography - Is Curve25519 dead?
http://blog.intothesymmetry.com/2017/06/historical-courses-and-resorts-in.html

[curves] Climbing the elliptic learning curve (was: Re: Finalizing XEdDSA)
https://moderncrypto.org/mail-archive/curves/2016/000784.html

The Discrete Logarithm Problem on Elliptic Curves of Trace One
http://www.hpl.hp.com/techreports/97/HPL-97-128.pdf

The Beautiful Mathematical Explorations of Maryam Mirzakhani
https://www.quantamagazine.org/the-beautiful-mathematical-explorations-of-maryam-mirzakhani-20170724/

Matemático chileno es eminencia mundial en el estudio de los "problemas inversos"
http://www.elmostrador.cl/cultura/2017/07/25/matematico-chileno-es-eminencia-mundial-en-el-estudio-de-los-problemas-inversos/

Solomon Lefschetz
https://en.wikipedia.org/wiki/Solomon_Lefschetz

Mathematics History: AMS Books and Resources
http://www.ams.org/samplings/math-history/math-history

A Path Less Taken to the Peak of the Math World
https://www.quantamagazine.org/a-path-less-taken-to-the-peak-of-the-math-world-20170627

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Carl Friedrich Gauss (3)

Publicado el 27 de Agosto, 2017, 10:17

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No se sabe quien, Buttner o Bartels, llamó a conversar al padre de Gauss y lo convenció de la importancia de seguir la educación de su hijo. Se le dijo que se conseguiría el apoyo de gentes en mejor posición para aportar recursos. El padre quedó convencido. Hasta entonces, el pequeño Gauss tenía a cargo hilar una cantidad de lino cada día. Se cuenta que al volver a la casa, el padre lo liberó de esa obligación, tomando la rueda giratorio que usaba para la tarea, y la convirtió en leña para la cocina.

Gauss ahora tenía tiempo en las tardes para leer libros de matemáticas. Fue el inicio de su estudio conjunto con Bartels. Este además lo puso en contacto con gente de mejor posición, en particular con E.A.W. Zimmermann (1743-1815). Había sido profesor de dedicación completa de matemáticas, física e historia natural del Collegium Carolinum desde 1766. Luego de dos años de viajes por Inglaterra, Francia e Italia, volvió a sus clases en 1789, poco después de que Bartels entrara en ese colegio. En 1786 recibió el título de concejal, y en 1796 el emperador lo ascendió a la nobleza. En 1802 fue nombrado consejero privado del duque Carl Wilhelm Ferdinand. Fue ampliamente respetado como estudioso y como escritor.

Un día Zimmerman le pide a Bartels que le traiga al niño Gauss a su presencia. Ya le habían llegado las noticias de su inusual talento. Un nuevo profesor de matemáticas, Hellwig, había devuelto el primer trabajo escrito de Gauss, agregando el comentario de que el joven ya no tenía necesidad de aparecer en sus clases.

Según el propio Gauss, abandonó el colegio en contra de la voluntad de su padre. Con la ayuda de amigos como Bartels y el filólogo Johann Heinrich Jakob Meyerhoff (1770-1812), había comenzado a dominar idiomas antiguos. Estaba adelantado a otros jóvenes de su edad.

La duquesa de Brunswick una vez encontró al joven Gauss en el patio del palacio, absorto en la lectura de un libro. Al conversar con él, se convenció que realmente entendía lo que estaba leyendo. Convenció al duque de convocar al joven prodigio. Cuando el lacayo llegó a la casa de Gauss, al principio pensó que requerían a George, el hermano mayor de Gauss. Pero luego el propio George se dio cuenta que era al "bueno para nada" de su hermano al que iba dirigida la convocatoria. Cuando Gauss ya era famoso, George diría: "si hubiera sabido, habría aceptado la convocatoria, y ahora sería profesor".

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Carl Friedrich Gauss (2)

Publicado el 12 de Agosto, 2017, 14:50

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Gauss nació el 30 de abril de 1777, en Brunswick. Su madre no recordaba la fecha exacta, solo que había sido miércoles ocho días antes de la fiesta de ascensión. Esto fue uno los motivos que harían que Gauss se interesara en su fórmula de la fecha de Pascua para cualquier año.

Hacia el final de su vida, a Gauss le gustaba recordar episodios de su infancia, revelando destellos de su genio en edad temprana. Los recordaba perfectamente, narrándolos de forma entusiasta, sin desviarse de su relato anterior cada vez que los contaba de nuevo. Sus padres no gozaban de una buena posición económica, y fue gracias a la ayuda de otros que el joven Gauss pudo dedicarse a las matemáticas, en una época donde ésta no era aún una profesión.

Una vez, siendo un niño, estuvo a punto de morir. La casa de sus padres estaba en las cercanías de un canal abierto de agua, conectado con el río Oker, que se llenaba de agua en primavera. El niño Gauss cayó en el canal, pero fue rescatado. Ya en esos años dio prueba de su inteligencia. Aprendió las letras del alfabeto por su cuenta, antes aún de ir a la escuela. También aprendió aritmética, y calculaba mentalmente, lo que llamó la atención de su familia y conocidos. Su padre tenía peones a su cargo, y cuando liquidaba los sueldos proporcionales a los trabajos realizados, el niño de tres años podía corregirlo, diciendo: "Padre, este cálculo está mal", dando en ese momento el resultado correcto. Años más tarde, Gauss bromeaba diciendo que había aprendido a calcular antes que a hablar.

En 1784, Gauss entra en la escuela, la de Santa Catalina, teniendo siete años. La instrucción elemental estaba a cargo de un maestro, J.G.Buttner, que era partidario del uso del látigo como medio de corregir las faltas en la educación. Estaba a cargo de una sala de doscientos alumnos. Eventualmente, Gauss entró en la clase de aritmética, donde en general los alumnos permanecen hasta su confirmación religiosa, a los quince años. Un día, Buttner, les dio un ejercicio a los alumnos de esa clase: sumar todos los números desde el 1 al 100. Mientras los demás se dedicaban a sumar y sumar, el joven Gauss se acercó al maestro con un solo número en su pizarra: la solución correcta. Había usado la fórmula de los números triangulares, que había descubierto por su cuenta: la suma de 1 a n era n (n + 1) / 2. Buttner quedó impresionado, y mandó a traer un mejor libro de aritmética desde Hamburgo (no se sabe si era la Aritmética de Remer o el manual de Hemeling) y se lo dio a Gauss. Pronto se convenció que poco más podía enseñarle a su alumno.

Uno de los asistentes de Buttner, era Johann Christian Martil Bartels, hijo de un matemático que escribió ensayos sobre teoría de funciones, análisis matemáticos. Bartels comenzó a estudiar matemáticas junto con Gauss, y pronto surgió una relación de amistad, a pesar de la diferencia de edad. A los once años, Gauss pudo desarrollar por su cuenta el teorema del binomio de forma general, y comenzó a manejar series infinitas, lo que le abrió la puerta al análisis superior.

Fuente principal consultada: Carl Friedrich Gauss, Titan of Science, de Dunnington.

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Una Demostración de Fermat (3)

Publicado el 6 de Agosto, 2017, 14:12

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Veamos hoy la afirmación de Fermat (tengo la cita traducida al inglés):

"Therefor we should have a square number which would be equal to the sum of a square and the double of another square, while the squares of which this sum is made up would themselves have a square number for their sum."

Por lo que vimos en el post anterior, tenemos

p²-q²

como cuadrado, siendo p y q cuadrados ellos mismos, de distinta paridad (uno impar y otro par), sin factores comunes. La expresión anterior se puede escribir como:

(p + q)(p - q)

Estos dos factores son primos entre sí. Si tuvieran un factor común, éste también dividiría a

(p + q) + (p - q) = 2p
(p + q) - (p - q) = 2q

Este factor común no puede ser 2, por tener p y q distinta paridad (uno es par y otro impar). Entonces, cualquier factor común debe serlo también de p y q, contradicción, porque partimos considerando que no tienen factores comunes.

Como la multiplicación de los dos factores (p + q) y (p - q) es un cuadrado, y no tienen factor común, entonces AMBOS deben ser a su vez cuadrados.

Seguiremos en el próximo post comentando la próxima afirmación de Fermat, que no resulta ser muy clara, y hasta está algo mal formulada.

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Algebra: Enlaces y Recursos (18)

Publicado el 18 de Julio, 2017, 12:13

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Prime ideal - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_ideal

Scheme (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Scheme_(mathematics)

Spectrum of a ring - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_of_a_ring

Neanderthal - Fast Native Matrix and Linear Algebra in Clojure
http://neanderthal.uncomplicate.org/

Who's Afraid of Object Algebras?
http://www.infoq.com/presentations/object-algebras

Bootstrap
http://www.bootstrapworld.org/

Algebra for Analytics // Speaker Deck
https://speakerdeck.com/johnynek/algebra-for-analytics

p-group - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/P-group

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Algebra: Enlaces y Recursos (17)

Publicado el 14 de Julio, 2017, 11:23

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Minireference blog » Linear algebra tutorial in four pages
http://minireference.com/blog/linear-algebra-tutorial/

Jim Loy's Mathematics Page
http://www.jimloy.com/math/math.htm

jrjohansson/scientific-python-lectures
https://github.com/jrjohansson/scientific-python-lectures

Frobenius biography
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Frobenius.html

The Nature of Associative Property of Algebra
http://xahlee.info/math/nature_of_associative_property_of_algebra.html

math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html
http://math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html

On Klein"s Icosahedral Solution of the Quintic
http://arxiv.org/pdf/1308.0955.pdf

What is a Spectral Sequence? | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/08/what_is_a_spectral_sequence.html

High precision native Gaussian Elimination - CodeProject
http://www.codeproject.com/Articles/616608/High-precision-native-Gaussian-Elimination

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Algebra: Enlaces y Recursos (16)

Publicado el 13 de Julio, 2017, 10:49

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clojure-numerics/expresso
https://github.com/clojure-numerics/expresso

Matemáticas - Caracterización de valor propio - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=kDypvn5hLZI&feature=youtu.be

Serre theorem on noetherian regular local ring
http://www.math.jussieu.fr/~liangy/files/myarticle/Serre%20thm%20on%20noetherian%20regular%20local%20ring.pdf

Hilbert's seventeenth problem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_s_seventeenth_problem

Algebraic variety - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_variety

Philosophy Talks in Oxford | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/05/philosophy_talks_in_oxford.html

Notes on the classification of complex Lie algebras | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/04/27/notes-on-the-classification-of-complex-lie-algebras/

Higher Algebraic Structures and Quantization
http://arxiv.org/abs/hep-th/9212115

Rings — A Second Primer | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/06/01/rings-a-second-primer/

Why do we study prime ideals? - Mathematics Stack Exchange
http://math.stackexchange.com/questions/389837/why-do-we-study-prime-ideals

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Algebra: Enlaces y Recursos (15)

Publicado el 7 de Julio, 2017, 11:07

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Euclidean domain
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_domain

Euclidean Rings of Algebraic Integers
http://people.reed.edu/~jerry/332/15euc.pdf

Euclidean Rings
http://people.reed.edu/~jerry/332/15euc.pdf

Wedderburn's little theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Wedderburn_s_little_theorem

Klein's Quartic Curve
http://math.ucr.edu/home/baez/klein.html

Ramanujan"s Mock Modular Forms: Indian Mathematician"s Dream Conjecture Finally Proven
http://www.huffingtonpost.com/2012/12/27/ramanujans-mock-modular-forms_n_2371680.html?utm_hp_ref=science

The Algebra of Algebraic Data Types - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=YScIPA8RbVE&feature=youtube_gdata_player

When does a cross product on R^{n} exist?
http://arxiv.org/abs/1212.3515

Carnaval Matemáticas: El producto vectorial en un espacio euclidiano de 7 dimensiones
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/12/22/el-producto-vectorial-en-un-espacio-euclideo-de-7-dimensiones/

A calculus free proof of the spectral theorem « Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2012/12/03/a-calculus-free-proof-of-the-spectral-theorem/

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Algebra: Enlaces y Recursos (14)

Publicado el 4 de Julio, 2017, 12:26

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Polynomial Rings and Unique Factorization Domains
http://www.math.wustl.edu/~russw/s09.math430/ufds.pdf

Unique factorization in polynomial rings - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/15137/unique-factorization-in-polynomial-rings

Hilbert's basis theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_basis_theorem

Hilbert's Nullstellensatz - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_s_Nullstellensatz

Algebraic Topology
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf

Ferrari biography
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Ferrari.html

An Intuitive Guide to Linear Algebra | BetterExplained
http://betterexplained.com/articles/linear-algebra-guide/

Las 7 maravillas de las matemáticas
http://www.alsalirdelcole.com/las-7-maravillas-de-las-matematicas/

Algebraic Number Theory
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ANT.pdf

Algebraic Geometry
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/AG.pdf

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Una Demostración de Fermat (2)

Publicado el 1 de Julio, 2017, 13:42

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Veamos hoy de entender los pasos de la demostración de Fermat presentada en el anterior post. Fermat quiere demostrar que no hay triángulos rectángulos con lados racionales que tuvieran como superficie un cuadrado racional. Basta tratar el caso en números enteros positivos.

¿Qué quiere decir cuando escribe "If the area of a right-angled triangle were a square, there would exist two biquadrates the difference of which would be a square number"? Primero, ¿qué es "biquadrates"? Un término en inglés que no veo tenga palabra de uso similar en español, o por lo menos, de uso frecuente. Un número bicuadrado es la cuarta potencia de otro, en este caso, de otro natural. ¿por qué afirma esto Fermat? Dice que si hubiera un triángulo rectángulo con área cuadrada (un número cuadrado) habría DOS potencias cuartas que al restarse, darían un cuadrado.

Veamos. Recordemos que los lados enteros de un triángulo se expresan con una terna pitagórica. Y que esas ternas tienen una expresión general:

x = (2pq)d
y = (p² - q²)d
z = (p² + q²)d

donde p, q son naturales primos entre sí, y de distinta paridad (uno par y otro impar), y d es natural cualquiera. El problema de Fermat es encontrar entonces

1/2 xy = pq(p² - q²)d²

que sea cuadrado. Para esto

pq(p² - q²)

DEBE ser cuadrado. Como p, q son primos entre sí, también son primos con

p² - q²

Entonces cada uno de los factores

p
q
p² - q²

DEBE ser cuadrado, al ser primos entre sí. Como p y q son cuadrados, entonces

p² - q²

ES LA DIFERENCIA de DOS CUARTAS potencias, lo que afirmaba Fermat en su primera oración. Es un poco escondedor, como si no quisiera explicar todos los pasos, haciendo trabajar al que lea su demostración. No es evidente que sea verdad su afirmación, y la expone casi como un problema implícito, como diciendo: "quien no sepa descubrir esto no vale la pena que siga".

En el próximo post, seguiremos discutiendo las siguientes afirmaciones de Fermat

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Algebra: Enlaces y Recursos (13)

Publicado el 30 de Junio, 2017, 11:25

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Gaussian elimination - Linear Systems - math-linux.com
http://www.math-linux.com/spip.php?article53

Cuerpos y sus extensiones
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo2.pdf

Teoria de Anillos
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo1.pdf

Resolubilidad por Radicales
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo4.pdf

Abstract Algebra
http://www.math.umn.edu/~garrett/m/algebra/

The Submodule of Invariants « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/21/the-submodule-of-invariants/

Gauss and Regular Polygons: Cyclotomic Polynomials « Paramanand's Math Notes
http://paramanands.wordpress.com/2009/12/25/gauss-and-regular-polygons-cyclotomic-polynomials/

gen_gauss_gem.pdf
http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/gen_gauss_gem.pdf

Fermat's Last Theorem: Gauss: Periods of Cyclotomic Equations
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2008/02/gauss-periods-of-cyclotomic-equations.html

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Algebra: Enlaces y Recursos (12)

Publicado el 29 de Junio, 2017, 11:50

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Gauss Cyclotomy
http://www.henrikkragh.dk/hom/episoder/lecturenotes/GaussCyclotomy200102a.pdf

Paper Trail » Dedekind and Weber: Theory of the algebraic functions of one variable
http://the-paper-trail.org/blog/dedekind-and-weber-theory-of-the-algebraic-functions-of-one-variable/

New Modules from Old « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/17/new-modules-from-old/

Irreducible Modules « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/15/irreducible-modules/

Reducible Modules « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/16/reducible-modules/

Lie Algebra Modules « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/12/lie-algebra-modules/

A trivial remark about schemes « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/09/05/a-trivial-remark-about-schemes/

Decomposition of Semisimple Lie Algebras « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/08/decomposition-of-semisimple-lie-algebras/

Back to the Example « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/07/back-to-the-example/

The Radical of the Killing Form « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/06/the-radical-of-the-killing-form/

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Algebra: Enlaces y Recursos (11)

Publicado el 28 de Junio, 2017, 12:59

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The Killing Form « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/03/the-killing-form/

Serre thm on noetherian regular local ring
http://www.math.u-psud.fr/~yliang/index/myarticles/Serre%20thm%20on%20noetherian%20regular%20local%20ring.pdf

cartan-einstein-unification.com/pdf/On the Exterior Calculus.pdf
http://cartan-einstein-unification.com/pdf/On%20the%20Exterior%20Calculus.pdf

Skew coordinates - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Skew_coordinates

One-form - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/One-form

Video Lectures in Mathematics (mathematicsprof) on Pinterest
http://pinterest.com/mathematicsprof/

Lie groups, Lie algebras, and representations « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2007/03/20/lie-groups-lie-algebras-and-representations/

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year
http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra.html

Cartan biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cartan.html

New version of algebra game « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/04/18/new-version-of-algebra-game/

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Algebra: Enlaces y Recursos (10)

Publicado el 23 de Junio, 2017, 10:25

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Gamifying algebra? « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/04/15/gamifying-algebra/

The Julia Language
http://julialang.org/

Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90193x/f97

D. I. Falikman, "Proof of the van der Waerden conjecture regarding the permanent of a doubly stochastic matrix"
https://del.icio.us/url/673384c3c71aa4e8957831a95025b38c

Computing the permanent - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Computing_the_permanent

JSTOR: Mathematics Magazine, Vol. 42, No. 3 (May, 1969), pp. 146-148
http://www.jstor.org/pss/2689132

Permanent - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Permanent

A Course in Universal Algebra
http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html

Exterior algebra - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Wedge_product

Most striking applications of category theory? - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/19325/most-striking-applications-of-category-theory

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