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Matemáticas
Publicado el
8 de Diciembre, 2013, 12:42
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Publicado el
2 de Diciembre, 2013, 8:09
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Quiero comenzar a jugar a ser matemático, con algunos elementos. Elijo para esta serie de posts las series infinitas de potencias, que hay algo he visitado en:
Desarrollando una Función en Serie de Potencias
Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial Usando Series de Potencias
Sea una serie infinita de potencias de x:
Vean que no trato de saber si es convergente o no para cada x. Puedo tomar tanto los coeficientes como la variable x de algún cuerpo conmutativo, digamos de los reales o de los complejos. Por ahora, para lo que voy a hacer, no importa.
Defino arbitrariamente la "derivada de y" como:
Es decir, como derivando cada término en x, pero sin preocuparme si esto está bien definido o no. De la misma forma, puedo seguir con la "segunda derivada":
Qué pasa si quiero conocer la serie que cumpla con:
Veamos. Lo primero que hago es hacer coincidir con signos opuestos los coeficientes de ambas series, que correspondan a las mismas potencias de x:
Queda una regla de formación de coeficientes, quedando libres (sin determinar) a0 y a1. Puedo escribir
Es decir, toda y que sea solución de y"" + y = 0 es la combinación lineal de dos series de potencias. Esas dos series de potencias son conocidas. La primera, para x = 1 da 1. La segunda, para x = 0, se obtiene 0. La primera es cos(x) y la segunda es sen(x). Es tema pendiente encontrar la demostración de esa correspondencia. No es un tema trivial: hay que encontrar la expresión de seno (o de coseno) en serie de potencias, apelando a propiedades trigonométricas. Una vez demostrados que seno y coseno se pueden expresar con esas series (al menos para x real), podré extender el resultado a otras series.
Que recuerde, el primero que demostró el desarrollo en serie de seno de x fue Newton.
Otros temas que quedan pendientes: ¿cuándo convergen estas series de potencias? ¿toda función se puede expresar en series de potencias? Mostrar la relación entre los coeficientes del desarrollo en serie y las derivadas de la función en un punto.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
25 de Noviembre, 2013, 15:25
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Sigo leyendo, traduciendo y comentando The History of the Calculus and Its Conceptual Development, de Carl B. Boyer:
Es verdad que griegos escépticos posteriores cuestionaron la posibilidad de consiguir cualquier conocimiento de tan absoluto caracter tanto por la razón como por la experiencia. Pero mientras la ciencia aristotélica había mostrado que a través de la observación y la lógica uno puede al menos alcanzar una representación consistente de los fenómenos, y consecuentemente las matemáticas pueden transformarse, con Euclides, en un patrón idealizado de relaciones deductivas. Derivados de postulados consistentes con los resultados de la inducción desde la observación, se encontró útil en la interpretación de la naturaleza.
Recuerdo que Euclides y demás griegos, no desarrollaron mucho los números. Para los griegos, números eran los naturales. Nunca concibieron el cero, o los racionales, o los negativos. Menos los reales. Lo que nosotros llamamos racionales, para ellos eran razones de números naturales (o razones de dos magnitudes, conmensurables, es decir, medibles exactamente por una unidad a escoger). El descubrimiento pitagórico de los irracionales (o razones de magnitudes no conmensurables, que no tienen unidad común que las mida), debió influir en el vuelco hacia la geometría, y el abandono de lo que podría haber sido el nacimiento temprano de un álgebra deductiva (en oposición a un álgebra apenas operacional, de babilonios y egipcios).
La visión escolástica, que prevaleció durante la Edad Media, fue que el universo es "ordenado" y simplemente intelegible. En el siglo catorce apareció bastante claramente que la visión cualitativa peripatética del movimiento y la variación podría ser reemplazada para mejor por un estudio cuantitativo. Estos dos conceptos, junto un interés renovado en las posturas platónicas, trajeron alrededor de los siglos quince y dieciseis una renovación en la convicción de que las matemáticas son, en alguna manera, independientes y "a priori" de la experiencia y el conocimiento intuitivo. Esa convicción es marcada en el pensamiento de Nicolás de Cusa, Kepler y Galileo, y en alguna extensión aparece también en Leonardo da Vinci.
Bueno, es un párrafo corto pero con grandes afirmaciones. Para Aristóteles, el movimiento y el cambio del movimiento se estudiada cualitativamente. Ideó las cuatro causas, y el concepto de lo actual y lo potencial, para explicar el cambio, tratando de salir de las objeciones de Parménides y Zenón. No hizo intento de medir movimientos. Esa parte de la historia matemática y de la ciencia, la Edad Media y alrededores, es algo que se pasa muchas veces de largo, o con poco comentario. Boyer se explaya bastante, y espero poder en otros posts comentar algo sobre esos temas y personas.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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19 de Octubre, 2013, 13:00
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Varias veces en el año, vuelvo a leer capítulos y fragmentos del libro The History of the Calculus and Its Conceptual Development, de Carl B. Boyer. El autor detalla no sólo la historia del cálculo (análisis matemático) sino también cómo se fueron desarrollando sus conceptos. Esos conceptos (como el límite) hoy nos parecen claros, pero hay que ver que en la mayor parte de la historia, no fue asi. La llegada de la clarificación de esos temas de fundamentos comenzó hace relativamente poco en la historia de las matemáticas: en el siglo XX.
Quisiera traducir parte de la introducción, donde Boyer se ocupa, no tanto del desarrollo del cálculo, sino de las matemáticas en conjunto:
Las matemáticas han sido una parte integral del entrenamiento intelectual y herencia humanos al menos por 2500 años. Durante este largo periodo tiempo, sin embargo, no ha sido alcanzado un acuerdo generalizado sobre la naturaleza del tema, ni ha sido dada una definición universalmente aceptada de la misma.
Desde la observación de la naturaleza, los antiguos babilonios y egipcios levantaron un cuerpo de conocimiento matemático que usaron para hacer más observaciones. Tales quizás introdujo los métodos deductivos; ciertamente los métodos de los primeros pitagóricos fueron de caracter deductivo. Los pitagóricos y Platón notaron que las conclusiones que alcanzaban deductivamente concordaban en gran medida con los resultados de la observación y la inferencia inductiva. Sin poder explicar de otra manera ese acuerdo, se vieron llevados a ver las matemáticas como el estudio de la última y eterna realidad, immanente en la naturaleza y el universo, en vez de verlas como una rama de la lógica o una herramienta de la ciencia y la tecnología.
Hace poco escribí sobre los pitagóricos, mencionando el fragmento de Aristóteles que Boyer señala en una nota:
Leyendo a Aristóteles (4) Los Pitagóricos
Sigo leyendo:
Ellos decidieron que un conocimiento de los principios matemáticos debe preceder a cualquier interpretación válida de la experiencia.
Esa es una gran toma de postura.
Este punto de vista es reflejado en la afirmación pitagórica de que todo es número, y en la aserción atribuida a Platón de que Dios siempre juega a ser geómetra.
(así traduzco "God always plays the geometer").
Lo que dicen los pitagóricos se basa en el fragmento de Aristóteles que mencioné antes. La afirmación de Platón. sólo en un escrito de Plutarco, Misceláneas y Ensayos. Recuerdo que Platón pone énfasis en la geometría en algunos fragmentos de La República, y en el Timeo le dedica parte de la explicación cosmológica basada en los sólidos regulares.
Algo relacionado:
Platón, Sócrates y la aritmética
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6 de Octubre, 2013, 15:59
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A multi-dimensional Szemer\’edi theorem for the primes via a correspondence principle | What's new
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Szemerédi's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di%27s_theorem
Pappus, Hales y Kelvin, Weaire y Phelan, o cómo rellenar el plano y el espacio de la manera más eficiente - Gaussianos | Gaussianos
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Does Math Objectively Exist, or Is It a Human Creation? A New PBS Video Explores a Timeless Question | Open Culture
http://www.openculture.com/2013/06/does_math_objectively_exist_or_is_it_a_human_creation.html
Math - Understanding the most beautiful equation in Mathematics
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The theorems of Frobenius and Suzuki on finite groups | What's new
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Feit–Thompson theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
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The 'Infinity Room': One of Many Ways to Imagine Infinity | Artists, Physicists, Mathematicians and Philosophers Contemplate Infinity | LiveScience
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5 Brilliant Mathematicians – 4 Crappy Commentaries | The Renaissance Mathematicus
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La razón matemática de la no existencia de un mapa perfecto de la Tierra - Gaussianos | Gaussianos
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El Topo Lógico: Bolzano, Russell y el infinito
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29 de Septiembre, 2013, 14:39
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25 de Septiembre, 2013, 15:07
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Gödel metric - Wikipedia, the free encyclopedia
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As chaos celebrates its 50th birthday, biophysicist develops a new method to visualize it
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An Unheralded Breakthrough: The Rosetta Stone of Mathematics | Guest Blog, Scientific American Blog Network
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How I Rediscovered the Oldest Zero in History : The Crux
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All Squared, Number 5: Favourite maths books (part 1) | The Aperiodical
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Bezier Curves and Picasso | Math n Programming
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Eduardo Sáenz de Cabezón, ganador de Famelab España 2013 - Gaussianos | Gaussianos
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20 de Septiembre, 2013, 10:40
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19 de Septiembre, 2013, 16:54
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17 de Septiembre, 2013, 7:02
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Los puntos de acumulación de un conjunto nacieron en el análisis matemático, en espacios métricos antes que en topología. La idea es representar con un punto de acumulación una solución a una serie convergente. Por ejemplo, sea la recta real, con su topología habitual de entornos abiertos. La serie de "puntos"
1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ....
tiene, como conjunto, un punto de acumulación: el 0 (cero). Cualquier entorno de 0 tiene puntos de esa serie. Es más, cualquier entorno de 0 tiene INFINITOS puntos de ese conjunto.
Por un tiempo, pensé que siempre era así: sea un espacio topológico <X,T>, sea M un subconjunto de X, entonces, todos los puntos de acumulación de M tienen, en todos sus entornos, infinitos puntos de M (aparte de ellos mismos). Uno podría decir: ah, pero ¿qué pasa si M tiene una cantidad finita de puntos/elementos? Pues, entonces, QUE no hay puntos de acumulación.
Pero NONES. Hay ejemplos puntos de acumulación de M que pueden tener una cantidad finita de elementos de M en sus entornos. Veamos un caso.
Sea el conjunto X, compuesto de 4 elementos: a, b, c, d:
Sean sus abiertos los conjuntos { a, b }, { a, b, c }:
y los { a, b, d } y el X completo { a, b, c, d }:
es decir, todos los subconjuntos de X que contengan { a, b }. Luego, los conjuntos de puntos aislados { c }, y { d } los consideramos también conjuntos abiertos:
así como al par { c, d } y como siempre, al conjunto vacío también:
Si hacemos todas las combinaciones, veremos que estos conjuntos realmente son abiertos de una topología. Toda unión de ellos queda en el conjunto. Y las intersecciones (finitas) también quedan en el conjunto de los abiertos.
Consideremos M = { b }. Un conjunto cualquiera (que no es abierto), compuesto de un punto aislado. Uno podría esperar que no tiene puntos de acumulación (como no los tienen ni { c } ni { d }). Pero hete aquí que estaríamos equivocados. Tenemos al punto a como PUNTO DE ACUMULACION de M. Todo entorno de a TIENE PUNTOS DE M (todos sus entornos tienen a b). Y una cantidad finita de ellos. Así que no podemos hablar de intersecciones con infinitos puntos siempre.
En el próximo post, comentaré una o dos condiciones que se puede agregar a un espacio topológico para que podamos hablar de puntos de acumulación de M con una cantidad infinita de puntos de M en sus entornos (de hecho, una de esas condiciones fue considerada como axioma de los primeros espacios topológicos que se plantearon).
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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14 de Septiembre, 2013, 15:20
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Sigo leyendo y comentando la conferencia de Hilbert:
Fermat had asserted, as is well known, that the diophantine equation
xn + yn = zn
(x, y and z integers) is unsolvable—except in certain self evident cases. The attempt to prove this impossibility offers a striking example of the inspiring effect which such a very special and apparently unimportant problem may have upon science. For Kummer, incited by Fermat's problem, was led to the introduction of ideal numbers and to the discovery of the law of the unique decomposition of the numbers of a circular field into ideal prime factors—a law which today, in its generalization to any algebraic field by Dedekind and Kronecker, stands at the center of the modern theory of numbers and whose significance extends far beyond the boundaries of number theory into the realm of algebra and the theory of functions.
Fermat, Kummer (números ideales), Dedekind (gran creador, ideales), Kronecker (siguió un camino parecido): toda una cadena para explorar. Ahora Hilbert pasa a un problema relacionado con la física:
To speak of a very different region of research, I remind you of the problem of three bodies. The fruitful methods and the far-reaching principles which Poincaré has brought into celestial mechanics and which are today recognized and applied in practical astronomy are due to the circumstance that he undertook to treat anew that difficult problem and to approach nearer a solution.
The two last mentioned problems—that of Fermat and the problem of the three bodies—seem to us almost like opposite poles—the former a free invention of pure reason, belonging to the region of abstract number theory, the latter forced upon us by astronomy and necessary to an understanding of the simplest fundamental phenomena of nature.
But it often happens also that the same special problem finds application in the most unlike branches of mathematical knowledge. So, for example, the problem of the shortest line plays a chief and historically important part in the foundations of geometry, in the theory of curved lines and surfaces, in mechanics and in the calculus of variations. And how convincingly has F. Klein, in his work on the icosahedron, pictured the significance which attaches to the problem of the regular polyhedra in elementary geometry, in group theory, in the theory of equations and in that of linear differential equations.
Sobre el trabajo de Klein ver
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedron
http://en.wikipedia.org/wiki/Full_icosahedral_group
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#Related_geometries
Lectures on the Icosahedron (Dover Phoenix Editions)
On Klein's Icosahedral Solution of the Quintic
In order to throw light on the importance of certain problems, I may also refer to Weierstrass, who spoke of it as his happy fortune that he found at the outset of his scientific career a problem so important as Jacobi's problem of inversion on which to work.
Sobre el tema Weierstrass y el problema de inversión de Jacobi, ver:
http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jacob_Jacobi
"Algebraic truths" vs "geometric fantasies": Weierstrass' Response to Riemann http://arxiv.org/pdf/math/0305022v1.pdf
Karl Weierstrass (1815–1897) una muy interesante y corta biografía, donde se menciona el problema
http://math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html
Hilbert quiere decir: los problemas importan, vienen de distintas fuentes, y muestra el vigor de las ramas de las matemáticas.
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Angel "Java" Lopez
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11 de Septiembre, 2013, 12:38
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En estos días, estoy estudiando y leyendo bastante sobre matemáticas, y sobre la historia de las matemáticas. Pueden ver mi actividad en Twitter o en los posts que escribo cada mes. Ayer, en mis lecturas, me encuentro con
The Elements of the Theory of Algebraic Numbers
por Leigh Wilber Reid (Professor of Mathematics in Haverford College)
publicado en Nueva York, 1910, que notablemente tiene una introducción escrita por el mismísimo David Hilbert (en alemán, traducida al inglés). No quiero olvidarme de este dato, así que hoy lo comparto con este post:
The theory of numbers is a magnificent structure, created and developed by men who belong among the most brilliant investigators in the domain of the mathematical sciences: Fermat, Euler, Lagrange, Legendre, Gauss, Jacobi, Dirichlet, Hermite, Kummer, Dedekind, and Kronecker. All these men have expressed their high opinion respecting the theory of numbers in the most enthusiastic words and up to the present there is indeed no science so highly praised by its devotees as is the theory of numbers. In the theory of numbers, we value the simplicity of its foundations, the exactness of its conceptions and the purity of its truths; we extol it as the pattern for the other sciences, as the deepest, the inexhaustible source of all mathematical knowledge, prodigal of incitements to investigatiion in other department of mathematics, such as algebra, the theory of functions, analysis and geometry.
Moreover, the theory of numbers is independent of the change of fashion and in it we do not see, as is often the case in other departments of knowledge, a conception or method at one time given undue prominence, at another suffering undeserved neglect; in the theory of numbers the oldest problema is often to-day modern, like a genuine work of art from the past. Nevertheless it is true now as formerly, a fact which Gauss and Dirichlet lamented, that only a small number of mathematicians busy themselves deeply with the theory of numbers and attain to a full enjoyment of its beauty. Especially outside of Germany and among young mathematicians arithmetical knowledge is little disseminated. Every devotee of the theory of numbers will desire that it shall be equally a possession of all nations and be cultivated and spread abroad, especially among the younger generation to whom the future belongs. Such is the aim of this book. May it reach this goal, not only by helping to make the elements of the theory of numbers the common property of all mathematicians, but also by serving as an introduction to the original works to which reference is made, and by inciting to independent activity in the field of the theory of numbers. On account of the devoted absorption of the author in the theory of numbers and the comprehensive understanding with which he has presented into its nature, we may rely upon the fulfilment of this wish.
Vean que menciona que la teoría de números no está muy difundida fuera de Alemania, como era el caso entonces. Para Hilbert, teoría de números es teoría de números algebraicos, en gran medida. Tengo que averiguar cómo conoció al profesor Reid. No parece que haya relación con Constance Reid, la biógrafa de Hilbert (y hermana de Julia Robinson, que tuvo su participación en la resolución de uno de los problemas de Hilbert).
Nos leemos!
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6 de Septiembre, 2013, 14:42
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Veamos hoy dos puntos que habían quedado pendientes del post anterior. En la lista de axiomas para un grupo, sólo pedí la existencia de elemento neutro por izquierda:
e * a =a
para todo elemento a del grupo G; y existencia de elemento inverso a izquierda:
a' * a = e
para todo elemento a del grupo existe a' su inverso a izquierda
Demostremos hoy:
- La existencia de elemento neutro a derecha
- La existencia de elemento inverso a derecha
- La unicidad del elemento neutro (es el mismo a derecha que a izquierda)
- La unicidad del elemento inverso (idem)
Sea el elemento a de G, y su inverso sea a'. Partamos de saber que
a' * a = e
Multiplicando a derecha por a'
a' * a * a' = e * a'
No hace falta poner paréntesis en el desarrollo de la izquierda porque la operación del grupo es asociativa, es decir sabemos que
(a * b) * c = a * (b * c)
Ahora bien sabemos que
e * a' = a'
por el primer axioma de elemento neutro a izquierda. Reemplazando e * a' por a' queda
a' * a * a' = a'
Por el axioma de existencia de inverso, el elemento a' tiene un inverso a izquierda, digamos a'', que cumple entonces:
a'' * a' = e
Multiplicamos lo de arriba por a'' a izquierda:
a'' * a' * a * a' = a'' * a'
Reemplazando a'' * a por e:
e * a * a' = e
a * a' = e
con lo que a' es inverso A DERECHA de a, como queríamos demostrar. Sabiendo esto, podemos escribir desde:
e * a = a
cambiamos e por a * a':
a * a' * a = a
cambiamos a' * a por e:
a * e = a
y queda que el neutro a izquierda es también elemento neutro a derecha.
Si el elemento b tuviera DOS elementos inversos por izquierda, digamos b' y b'', sería:
b' * b = b'' * b = e
Multiplicamos a la derecha por uno de los inversos de izquierda (sabemos que es inverso a derecha ahora):
b' * b * b' = b'' * b * b'
b' * e = b'' * e
como e es elemento neutron a derecha por lo que demostramos arriba, queda:
b' = b''
unicidad del inverso. De la misma forma se demuestra la unicidad del elemento neutro.
La primera vez que vi los axiomas de grupo los aprendí con la unicidad y el izquierda y a derecha afirmado DIRECTAMENTE en los axiomas. Encuentro estos axiomas reducidos en el excelente libro Grupos Continuos de Pontrjagin. En general, los matemáticos no se preocupan mucho por partir de los axiomas reducidos o no. Lo importante es la teoría de grupos que surge. Pero me pareció interesante compartir este "approach" que encontré ya casi un cuarto de siglo atrás.
Nos leemos!
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1 de Septiembre, 2013, 11:15
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Veamos hoy de demostrar el recíproco de lo que vimos en el anterior post. Siempre partimos de la existencia de una topología. Hoy nos toca demostrar:
Sea M un conjunto que contenga todos sus puntos de acumulación. Entonces, M es cerrado
(en el anterior post demostramos que si M es cerrado, entonces contiene todos sus puntos de acumulación).
Bien, sea X el espacio topológico completo. Para demostrar que M es cerrado nos basta con mostrar que X-M es abierto. Sea un punto cualquiera a perteneciente a X-M. Ese punto a no puede ser punto de acumulación de M, pues no pertenece a M y por hipótesis, supusimos que todos los puntos de acumulación de M están en ese conjunto. Entonces, tiene que haber un entorno de a que no contenga puntos de M. Si no existiera ese entorno, entonces el punto sería de acumulación.
Sea E(a) ese entorno del punto a. Entonces, por definición de entorno, existe un abierto, digamos A(a), contenido en E(a), y que contiene al punto a. Esa era la definición de entorno de un punto. Y como el abierto A(a) está contenido en el entorno E(a), y este entorno no tiene puntos comunes con M, queda que el abierto A(a) TAMPOCO tiene puntos de M. Está totalmente "despegado" de M, en forma intuitiva. Y ese abierto A(a), por no tener puntos en común con M, está entonces totalmente contenido en el complemento X-M.
Todo esto lo afirmamos para cualquier punto a de X-M. Vemos que todos esos puntos están "despegados topológicamente" de M. Nos queda que podemos asignar a CADA punto a de X-M, un abierto A(a) contenido en X-M. Es decir, X-M es la unión de una colección arbitraria de abiertos. Al unir todos esos abiertos A(a), haciendo que el punto a sea como una variable que recorre todos los puntos de X-M, conseguimos de nuevo al conjunto X-M. Sabemos que la unión arbitraria de abiertos es un abierto, por las propiedades de abierto que le asignamos en una topología. Entonces, X-M es abierto. Y queda entonces que M es cerrado, por ser ésta su definición, ser el complemento de un abierto. Como queríamos demostrar.
Con esta demostración y la anterior, queda:
Un conjunto es cerrado sii contiene todos sus puntos de acumulación
Vean que uso "sii" (si y sólo si), una notación al español, de "iif" inventando por Halmos.
Este es el tipo de demostraciones que vamos a encontrar cada vez más frecuentemente en esta serie de posts. Si bien se puede explicar con diagramas, es bueno que nos vayamos entrenando para prescindir de ellos en las demostraciones. Eso no quiere decir que los matemáticos no usen diagramas: apelan a la intuición, y a la intuición dibujada, en su trabajo. También hacen uso de la analogía y otras operaciones. Pero al llegar a una demostración, vemos que podemos tomar otro camino, más riguroso. La intuición ya nos engañó en la historia de las matemáticas (recuerdo las funciones continuas sin derivada, y otras yerbas). Es por eso que se establece este tipo de rigor en las demostraciones actuales. Pero no se anquilosen en el rigor: es sólo una herramienta.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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23 de Agosto, 2013, 13:25
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Sigo leyendo la conferencia de David Hilbert:
The mathematicians of past centuries were accustomed to devote themselves to the solution of difficult particular problems with passionate zeal. They knew the value of difficult problems. I remind you only of the "problem of the line of quickest descent," proposed by John Bernoulli. Experience teaches, explains Bernoulli in the public announcement of this problem, that lofty minds are led to strive for the advance of science by nothing more than by laying before them difficult and at the same time useful problems, and he therefore hopes to earn the thanks of the mathematical world by following the example of men like Mersenne, Pascal, Fermat, Viviani and others and laying before the distinguished analysts of his time a problem by which, as a touchstone, they may test the value of their methods and measure their strength. The calculus of variations owes its origin to this problem of Bernoulli and to similar problems.
Es muy interesante el problema de Bernoulli. Ver
http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve
Vean que tiene su relación con el principio de Fermat
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%E2%80%99s_principle
Y yo recordaría a Maupertius
http://en.wikipedia.org/wiki/Maupertuis'_principle
Todos son pioneros de lo que luego fue el cálculo variacional. Bernoulli se planteó un problema maximal donde la solución no es un número, sino una curva. Lo que siguió desarrollándose como cálculo variacional, ver:
http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_variations
maximizando y minimizando funcionales, no puede sobreestimarse: permea gran parte de la física matemática actual. Y todo a partir de un problema (y otros que le siguieron). Tengo que revisar el excelente "History of Mechanics" de Rene Dugas. Les debo, creo que era de Poincaré, otro libro sobre el desarrollo del cálculo variacional desde el punto de vista de la física, en particular, de la mecánica. Ver también "Filosofía de la Física", de Torretti, y ver la historia de lagrangianos y hamiltonianos. Tengo que ver también el capítulo 24 de Morris Kline, su clásica historia del pensamiento matemático. Ese capítulo está dedicado al cálculo variacional. Ver también "Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory" de Yourgrau y Mandelstam. Así como los clásicos Goldstein, Penrose, y más. (Nota personal, ver mis Reading notes del día de hoy).
Ahora Hilbert pasa a otro problema:
Fermat had asserted, as is well known, that the diophantine equation
xn + yn = zn
(x, y and z integers) is unsolvable—except in certain self evident cases. The attempt to prove this impossibility offers a striking example of the inspiring effect which such a very special and apparently unimportant problem may have upon science. For Kummer, incited by Fermat's problem, was led to the introduction of ideal numbers and to the discovery of the law of the unique decomposition of the numbers of a circular field into ideal prime factors—a law which today, in its generalization to any algebraic field by Dedekind and Kronecker, stands at the center of the modern theory of numbers and whose significance extends far beyond the boundaries of number theory into the realm of algebra and the theory of functions.
El tema de Kummer llegando a números ideales, y EL GRAN avance de Dedeking para crear los ideales y generalizar ahí en ese nuevo ámbito el teorema fundamental de la aritmética dan para un libro completo aparte. Vean de nuevo cómo un problema, aún cuando estaba sin resolver en aquellos tiempos, dio sus frutos, inesperados. Hilbert estaba relacionado con esos temas con su incursión en la teoría de números algebraicos. Y ahora cambia de ámbito, hacia la física:
To speak of a very different region of research, I remind you of the problem of three bodies. The fruitful methods and the far-reaching principles which Poincaré has brought into celestial mechanics and which are today recognized and applied in practical astronomy are due to the circumstance that he undertook to treat anew that difficult problem and to approach nearer a solution.
Les recomiendo ver "De aquí al infinito" de Ian Steward, en español vía editorial Crítica, para más información sobre el desarrollo de Poincaré, que haciendo un salto imaginativo, traslada el problema a un tema topológico.
The two last mentioned problems—that of Fermat and the problem of the three bodies—seem to us almost like opposite poles—the former a free invention of pure reason, belonging to the region of abstract number theory, the latter forced upon us by astronomy and necessary to an understanding of the simplest fundamental phenomena of nature.
Hay una tensión en la historia de las matemáticas, en su relación con la realidad y con la física. Tema para otro post.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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17 de Agosto, 2013, 17:38
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La conferencia de David Hilbert en el Congreso Mundial de Matemáticas de 1900 en Paris, debe ser la más importante de la historia de las matemáticas, dada por un matemático y dirigida a matemáticos. Marcó una parte del desarrollo de la disciplina del siglo XX. Fue dada justo en un momento bisagra, a las puertas de nuevos aires en las matemáticas, luego de un siglo XIX que sirvió para consolidar algunos temas (como el análisis) y también como cuna de nuevos: desde mayoría de edad de la teoría de números, los campos de números algebraicos, una nueva topología, la teoría de Galois, los conjuntos de Cantor, la lógica de Boole, las álgebras de Grassman y otros, los grupos de Lie, los invariantes (donde tanto hizo el propio Hilbert), las geometrías no euclideanas, y mil temas más.
Quiero hoy comenzar a escribir esta serie, para repasar la conferencia, los problemas, y las ideas de Hilbert sobre lo que es hacer matemáticas. El texto en inglés lo encuentran en:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html
Una introducción en:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/
Una tabla de contenido en:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/toc.html
La conferencia en el alemán original en:
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html
Comento hoy el comienzo de la conferencia:
Who of us would not be glad to lift the veil behind which the future lies hidden; to cast a glance at the next advances of our science and at the secrets of its development during future centuries? What particular goals will there be toward which the leading mathematical spirits of coming generations will strive? What new methods and new facts in the wide and rich field of mathematical thought will the new centuries disclose?
Es un tema fascinante en cualquier ciencia.
History teaches the continuity of the development of science. We know that every age has its own problems, which the following age either solves or casts aside as profitless and replaces by new ones. If we would obtain an idea of the probable development of mathematical knowledge in the immediate future, we must let the unsettled questions pass before our minds and look over the problems which the science of today sets and whose solution we expect from the future. To such a review of problems the present day, lying at the meeting of the centuries, seems to me well adapted. For the close of a great epoch not only invites us to look back into the past but also directs our thoughts to the unknown future.
Sigue una interesante postura sobre la importancia de los problemas en una ciencia:
The deep significance of certain problems for the advance of mathematical science in general and the important role which they play in the work of the individual investigator are not to be denied. As long as a branch of science offers an abundance of problems, so long is it alive; a lack of problems foreshadows extinction or the cessation of independent development. Just as every human undertaking pursues certain objects, so also mathematical research requires its problems. It is by the solution of problems that the investigator tests the temper of his steel; he finds new methods and new outlooks, and gains a wider and freer horizon.
La solución de un problema puede dar a luz nuevos métodos y nuevas formas de encarar una rama de una disciplina. Basta ver a Newton mejorando lo que tenía en sus tiempos, prácticamente creando el análisis moderno con Liebnizt, pero no por ociosa curiosidad, sino como forma de resolver problemas, tanto físicos como matemáticos. Como sigue Hilbert abajo, no es fácil ver si un problema será valioso:
It is difficult and often impossible to judge the value of a problem correctly in advance; for the final award depends upon the gain which science obtains from the problem. Nevertheless we can ask whether there are general criteria which mark a good mathematical problem. An old French mathematician said: "A mathematical theory is not to be considered complete until you have made it so clear that you can explain it to the first man whom you meet on the street." This clearness and ease of comprehension, here insisted on for a mathematical theory, I should still more demand for a mathematical problem if it is to be perfect; for what is clear and easily comprehended attracts, the complicated repels us.
Notable apelación a la claridad, a que una teoría debe luchar por alcanzar la facilidad de comprensión, que pueda ser explicada a cualquier persona interesada.
Moreover a mathematical problem should be difficult in order to entice us, yet not completely inaccessible, lest it mock at our efforts. It should be to us a guide post on the mazy paths to hidden truths, and ultimately a reminder of our pleasure in the successful solution.
Basta recordar la historia del teorema de Fermat, y los desarrollos implicados en su solución (algunos motivados por el teorema, otros no tango) para entender lo importante que ha sido en la historia general de las matemáticas. En los próximos párrafos Hilbert plantea ejemplos concretos de problemas importantes. Lo veremos en los próximos posts.
Posts relacionados
Los problemas de Hilbert
David Hilbert, según Jean Dieudonné
Si quieren saber más sobre Hilbert, su historia de vida, los problemas y su historia, les recomiendo fervientemente el libro "El reto de Hilbert", de Jeremy J. Gray, Ed. Crítica.
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
10 de Agosto, 2013, 18:44
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Comienzo esta serie de post sobre un tema que es uno de mis preferidos. No es un tema que me enseñaron en la escuela (ni primaria ni secundaria) sino que llegó con mis estudios universitarios. Y desde ese momento me comenzó a fascinar. Si bien lo que se exigía para los exámenes era poco (luego de teoría de grupos se pasaba rápidamente a anillos, y de nuevo rápido, se pasaba a espacios vectoriales, álgebra lineal que eran los temas más tratados).
La teoría de grupos permea gran parte de las matemáticas. Asombra por su simplicidad y por lo profundo de algunos resultados. El grupo ha resultado ser la estructura básica, sobre la cual muchas otras se sostienen. Es resultado de la abstracción, que floreció en el siglo pasado pero comenzó a aparecer un poco antes. Durante centenares de años, las matemáticas se ocuparon de números y figuras. Aún el álgebra podía considerarse como una aritmética con variables. La geometría se funde con el álgebra con la invención del plano cartesiano. El análisis lleva a las matemáticas por nuevos rumbos y profundidades. Pero había algo simple todavía anidando en muchos rincones. El estudio de las permutaciones de las raíces de una ecuación algebraica, por Lagrange, abrió la puerta a este nuevo concepto. Gauss casi le da título oficial al estudiar las congruencias en sus Disquisitiones Arithmeticae. Galois lo vuelve a encontrar en su teoría. Jordan lo rescata del olvido. Lie nos lleva a los grupos continuos. Y así va surgiendo en la historia de las matemáticas la estructura de grupo, una estructura digamos recién llegada pero que tiene sus raíces hundidas en todo el pasado.
No es hoy el momento de detenernos en la historia, ver:
http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_group_theory
Vayamos directamente a plantear hoy los axiomas de grupo. Tenemos un conjunto G y una operación binaria * cerrada sobre sus elementos. Es binaria porque es una aplicación que tiene como entrada dos elementos de G, y es cerrada porque tiene como resultado un elemento de G: nunca se sale de G, y está definida como función para todo par a,b de elementos de G. Se tienen que cumplir los axiomas:
G1) Existe un elemento neutro a izquierda:
e *a =a para todo elemento a del conjunto G
G2) Existe inverso a izquierda
a’ * a = e para todo a del conjunto existe a’ su inverso a izquierda
G3) La operación binaria es asociativa, es decir:
(a *b) * c = a *(b * c) para todo a,b,c elementos de G
Primeros ejemplos fáciles:
- Todos los enteros, con operación suma, y 0 como elemento neutro
- Enteros módulo m, con operación suma, y 0 como elemento neutro
- Enteros módulo p primo, sin el 0, con operación multiplicación, y 1 como elemento neutro. No es trivial pero tampoco difícil encontrar la demostración de existencia de inverso.
- Las rotaciones del cuadrado
- Las permutaciones de n elementos
Vean que en los axiomas no puse que la unidad lo fuera a derechas, y lo mismo para el inverso. Sin embargo, veremos que eso se puede deducir.
Próximos pasos:
- Dada la existencia de unidad a izquierda e inverso a izquierda, ver que también lo son a derecha
- Probar la unicidad de la unidad del grupo y del inverso de cada elemento
Mientras, para que comencemos a tener un panorama del tema, ver los post relacionados:
Grupos: definición y ejemplo
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2009/09/20/grupos-definicion-y-ejemplo.html
Resolviendo un problema de grupos de Fraleigh
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2009/09/17/resolviendo-un-problema-de-grupos-del-.html
Motivaciones para la Teoría de Grupos
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2009/09/13/motivaciones-para-la-Teoria-de-Grupos.html
Teoría de Galois
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2008/02/14/teoria-de-Galois.html
Teoría de Grupos, enlaces y recursos (4)
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2013/05/15/teoria-de-Grupos-Enlaces-y-Recursos-4.html
Hermann Weyl, Teoría de Grupos y Teoría Cuántica
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2013/04/11/hermann-Weyl-Teoria-de-Grupos-y-Teoria.html
Grupos y Física por Dirac
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2011/01/22/grupos-y-Fisica-por-Dirac.html
Simetrías del cuadrado (3)
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2011/05/06/simetrias-del-cuadrado-Parte-3.html
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Publicado el
8 de Agosto, 2013, 15:57
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Ya escribí (y sigo escribiendo) sobre el trabajo de David Hilbert. No alcanzaría una vida de posts para repasar todo su trabajo. Hilbert fue uno de esos matemátícos que abarcó el saber matemático de su época, y contribuyó en muchas de sus ramas. Apenas viene hoy una limitada entrega de enlaces que me interesaron:
https://en.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert
David Hilbert, ForMemRS[2] (German: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]; January 23, 1862 – February 14, 1943) was a German mathematician. He is recognized as one of the most influential and universal mathematicians of the 19th and early 20th centuries. Hilbert discovered and developed a broad range of fundamental ideas in many areas, including invariant theory and the axiomatization of geometry. He also formulated the theory of Hilbert spaces,[3]one of the foundations of functional analysis.
Hilbert adopted and warmly defended Georg Cantor's set theory and transfinite numbers. A famous example of his leadership in mathematics is his 1900 presentation of a collection of problems that set the course for much of the mathematical research of the 20th century.
Hilbert and his students contributed significantly to establishing rigor and developed important tools used in modern mathematical physics. Hilbert is known as one of the founders of proof theory and mathematical logic, as well as for being among the first to distinguish between mathematics andmetamathematics.[4]
Hilbert's seventeenth problem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_s_seventeenth_problem
Hilbert's Nullstellensatz - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_Nullstellensatz
On Fermat's Last Theorem for n=3 and n=4
http://wstein.org/edu/2010/414/projects/ohana.pdf
The Foundations of Geometry, by David Hilbert
http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf
Encontrado un error en el trabajo de Carl Cowen y Eva Gallardo sobre el problema del subespacio invariante - Gaussianos
http://gaussianos.com/encontrado-un-error-en-el-trabajo-de-carl-cowen-y-eva-gallardo-sobre-el-problema-del-subespacio-invariante
Hilbert's basis theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_basis_theorem
Hilbert's Nullstellensatz - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_s_Nullstellensatz
Liang Yongqi
http://www.math.jussieu.fr/~liangy/
http://www.math.jussieu.fr/~liangy/files/recherche.htm
http://www.math.jussieu.fr/~liangy/files/myarticle/Serre%20thm%20on%20noetherian%20regular%20local%20ring.pdf
HILBERT-SERRE THEOREM ON REGULAR NOETHERIAN LOCAL RINGS
Hilbert Syzygy Theorem - Induction step - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/27849/hilbert-syzygy-theorem-induction-step
Sesquilinear form - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Sesquilinear
Rigged Hilbert space - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space
Hilbert space - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space
Fock space - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Fock_space
Hilbert’s fifth problem and related topics « What’s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/03/27/hilberts-fifth-problem-and-related-topics/
Breaking News: plagiarist Einstein replaced by Preacher Doc (Part 3) - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=nu7e__IJAUs
Hilbert's fifth problem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_fifth_problem
van Dantzig’s theorem « What’s new
http://terrytao.wordpress.com/2011/05/30/van-dantzigs-theorem/
Sum of Squares Function -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html
El Topo Lógico: La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 2)
http://eltopologico.blogspot.com/2011/02/la-autorreferencia-en-la-demostracion_25.html
El arte de hacer matemáticas | Gaussianos
http://gaussianos.com/el-arte-de-hacer-matematicas/
Mis Enlaces
https://delicious.com/ajlopez/hilbert
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28 de Julio, 2013, 14:05
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21 de Julio, 2013, 15:36
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Sigamos explorando las formas algebraicas. Recordemos que las formas de orden m son polinomios en n variables donde todos los términos tienen el mismo orden m. Pareciera como que las formas son más especiales que los polinomios, pero hemos visto en el primer post que no es el caso.
Hay una interpretación geométrica de las formas. Si dada una forma binaria:
Hacemos:
Entonces obtenemos un polinomio de una variable de orden n como:
Entonces, la teoría de las formas binarias incluye la teoría de las ecuaciones algebraicas con una sola variable. Vayamos un paso más allá. Interpretemos x, y como las coordenadas de un punto en el plano, entonces una forma binaria igualada a una constante, e intersecada con una relación lineal entre x, y (una línea), como:
Que es una forma binaria de grado 1 igualada a una constante, nos dan n puntos de esa línea (no es evidente, pero el caso de arriba es un caso especial de esto). Análogamente, nos damos cuenta que una forma ternaria (es decir, de tres variables) igualada a una constante, intersecada con una relación lineal de las tres variables igualada a una constante (un plano), termina describiendo una curva algebraica en ese plano. Y lo mismo con una forma cuaternaria igualada a constante, e intersecada con una relación lineal de las cuatro variables (un espacio), termina describiendo una superficie en el espacio. Cuesta un poco verlo al principio, pero desarrollando algunos ejemplos, se ve que es así. Este es un punto importante: tenemos intersección de expresiones, que terminan representando “curvas”. Tenemos que estudiar las propiedades de esas intersecciones.
Nos leemos!
Angel “Java” Lopez
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