Angel "Java" Lopez en Blog

Matemáticas


Publicado el 17 de Abril, 2015, 14:34

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Retomemos este gran e interminable tema, tan interesante, con tantas derivaciones. En estos días me reencuentro con un fragmento de Galileo. No sabía que estaba en El ensayador, yo hubiera pensado que estaba en otros escritos. Es el fragmento donde Galileo plantea a las matemáticas como el lenguaje del universo:

Creo que Sarsi está plenamente convencido de que, en filosofía, es fundamental apoyarse en la opinión de algún autor famoso, como si nuestro pensamiento fuese completamente árido y estéril si no está unido a los razonamientos de otro. Quizás piense que la filosofía es una obra de ficción creada por un hombre, como La Ilíada u Orlando Furioso [un poema épico del siglo XVI escrito por Ludovico Ariosto] -libros en los que no tiene la menor importancia la verdad de lo que describen-. Señor Sarsi, las cosas no son de este modo. La filosofía está escrita en el gran libro que está siempre abierto ante nuestros ojos (me refiero al universo) pero que no podemos comprender si no aprendemos en primer lugar su lenguaje y comprendemos los caracteres en los que está escrito. Está escrito en el lenguaje de la matemática, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales no es humanamente posible comprender ni un sola de sus palabras, y sin las cuales se deambula vanamente por un laberinto de tinieblas.

Lo que Galileo llama "filosofía" es "filosofía natural", lo que hoy llamamos "física". Lo encuentro citado en el libro de Mario Livio, "¿Es Dios un matemático?". Hoy sólo va mención de esta idea de Galileo, que tanto influyó en su obra, y en la de los que le siguieron. Recordemos si no a Newton. Mi postura: usamos las matemáticas en los modelos de la realidad física (a nivel de lo físico) pero no es que el universo es matemático. Sino que está regido (a ese nivel) por procesos simples, que se pueden expresar usando matemáticas. El texto de Galileo es uno de los que pone de nuevo a la matemática relacionada de forma especial con la realidad. El gran precursor de esas ideas, es Pitágoras.

Posts relacionados:

La realidad matemática, según Hardy
Einstein: Matemáticas y Realidad

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Publicado el 12 de Abril, 2015, 18:12

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Veamos hoy cómo consiguió Euler resolver el problema de Basilea. Durante su vida dio varias pruebas. Visitemos hoy una, con una operación muy típica de Euler: aparear una suma infinita con una multiplicación infinita.

Cuando tenemos un polinomio de segundo grado como:

Existen para él dos raíces, en este caso 3 y 7, y se puede expresar el polinomio como:

Lo que hizo Euler es encontrar una expresión como la de arriba, una multiplicación de raíces, pero para una función trigonométrica que tiene infinitos ceros.

Recordemos el desarrollo en serie de Taylor de la función seno de x:

Dividamos por x, queda:

Los ceros de esta función son los x igual a múltiplo entero de pi. O sea:

Euler se atrevió a expresarla entonces como una multiplicación infinita de esos ceros, como hicimos con el polinomio:

(este paso es el que requiere justificación cuidadosa, pero Euler se tenía confianza). Vemos que si x toma uno de los valores que mencionamos, UNO de los factores de arriba valdrá 0, y el resultado es 0 (dejando de lado el punto problemático x = 0). Concentrémonos en expandir y desarrollar esta multiplicación. Primero, podemos reexpresarla, combinando los factores consecutivos de a dos:

Para eso, cada término de la expansión será una multiplicación (formalmente infinita) de un término elegido de cada factor de la multiplicación de arriba. Cada factor tiene dos términos: o un 1 (uno) o un término en x cuadrado. Pongamos foco en los términos que resultan de elegir sólo un término en x cuadrado, y el resto tomamos el 1. Así, el término resultanto en x cuadrado es:

El coeficiente para x cuadrado es entonces:

Expresando el último factor como sumatoria sobre todos los naturales:

En la expansión de Taylor, el término en x cuadrado es

Igualando los coeficientes queda:

Lo que da la notable solución del problema de Basilea: la suma infinita de los inversos de los cuadrados naturales es:

Un resultado inesperado. ¿Quién diría que esa suma infinita de inversos de cuadrados estaría relacionada con pi?

Veremos en el próximo post que Euler no sólo se quedó con esta solución, sino que examinó los coeficientes para otras potencias de x.

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Publicado el 10 de Abril, 2015, 19:44

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New open access journal in algebraic geometry | Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2013/03/03/new-open-access-journal-in-algebraic-geometry/

The Aperiodical | ABC, as easy as pp1-40
http://aperiodical.com/2013/03/abc-as-easy-as-pp1-40/

The Aperiodical | All Squared, Number 3: As Easy As…
http://aperiodical.com/2013/03/all-squared-number-3-as-easy-as/

The Aperiodical | The Aperiodical’s Possibly Annual Awards for Mathematical Achievement
http://aperiodical.com/2013/01/the-aperiodicals-possibly-annual-awards-for-mathematical-achievement/

The Aperiodical | Much ado About Noether
http://aperiodical.com/2013/03/much-ado-about-noether/

The Aperiodical | All Squared, Number 2 – Pancake formula
http://aperiodical.com/2013/03/all-squared-number-2-pancake-formula/

News: Belgian-born Pierre Deligne named Abel Prize winner
http://www.abelprize.no/nyheter/vis.html?tid=57811

R&D | The Theory That Would Not Die – An Engaging History of Bayesian Philosophy
http://blog.adnanmasood.com/2012/12/26/the-theory-that-would-not-die-an-engaging-history-of-bayesian-philosophy/

El algoritmo de Chudnovsky, o cómo se calculan los decimales de Pi en el siglo XXI - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/el-algoritmo-de-chudnovsky-o-como-se-calculan-los-decimales-de-pi-en-el-siglo-xxi/

Euclidean domain - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_domain

Euclidean Rings of Algebraic Integers
http://www.mast.queensu.ca/~murty/harper-murty.pdf

Euclidean Rings
http://people.reed.edu/~jerry/332/15euc.pdf

¡Feliz día de pi! | Microsiervos (Ciencia)
http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/feliz-dia-pi-2013.html

On Fermat's Last Theorem for n=3 and n=4
http://wstein.org/edu/2010/414/projects/ohana.pdf

Fermat's Last Theorem: Fermat's Last Theorem: Proof for n=3
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html

Undamped forced vibrations — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2013/02/22/undamped-forced-vibrations/

Kepler contra Fludd, science contra woo? | The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/2011/12/27/kepler-contra-fludd-science-contra-woo/

PlanetMath
http://planetmath.org/encyclopedia/WedderburnsTheorem.html

Wedderburn's little theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Wedderburn_s_little_theorem

Por seis meses, matemáticos de todo el mundo debaten sobre computación y azar en el Polo Científico Tecnológico
http://www.prensa.argentina.ar/2013/02/24/38556-por-seis-meses-matematicos-de-todo-el-mundo-debaten-sobre-computacion-y-azar-en-el-polo-cientifico-tecnologico.php

The Foundations of Geometry by David Hilbert
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Publicado el 5 de Abril, 2015, 8:06

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Pierre de Fermat fue un jurista francés, nacido en 1601 en Beaumant de Lomagne, muerto en 1665 en Castres. Fue parte del Parlamento de Tolouse. Podía escribir versos en varios idiomas (latín, griego, italiano y español). Pero en lo que destacó fue en matemáticas. Eric Bell lo nombró "el príncipe de los aficionados". Fue un matemático de primera línea, y su obra es más extensa y variada que lo que su último teorema sugiere. Trabajó en otros temas, además de teoría de números. En geometría, reconstruyó un trabajo de Apolonio, en base a los comentarios de Pappus. Independientemente de Descartes, inventó la geometría analítica en 1636, dándose cuenta que si la hubiera conocido en 1629 le hubiera ahorrado gran cantidad de tiempo. En análisis fue el precursor del cálculo diferencial e integral. Fue igual a Pascal en combinatoria y probabilidad. En óptica introdujo el cálculo de variaciones para justificar la ley de Snell-Descartes.

Mencionemos algunos resultados suyos en teoría de números.

El llamado pequeño teorema de Fermat: para cada número primo p y para cada a entero no divisible por p se tiene:

Ver Demostración del teorema de Euler-Fermat.

La ecuación de Fermat, usualmente llamada (equivocadamente) la ecuación de Pell:

Los números de Fermat

La representación de números primeros en formas cuadráticas, en especial:

Y en

Ver mi serie p = x2 + y2.

El "último teorema" que nos ocupa en esta serie de posts, que para n > 2 y x, y, z enteros afirma:

Y varias ecuaciones diofánticas. Usó en varias de sus demostraciones el descenso infinito (ver Fermat y el Método de Descenso Infinito y Descenso Infinito)

Fuente consultada: Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, de Yves Hellegouarch.

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Publicado el 31 de Marzo, 2015, 19:02

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En el post anterior comentaba que Fourier consiguió desarrollar funciones usando una serie de términos (posiblemente infinita) donde en cada uno aparecía una función trigonométrica. Para comprender cómo se consigue expresar una función como una serie de ese tipo tenemos que estudiar cómo obtener los coeficientes de esa serie. Para esto veremos primero una propiedad que tienen las funciones seno y coseno.

Primero, centremos nuestra atención en funciones de periodo 2 pi o sea para las que siempre se cumple:

Caso de esas funciones son las clásicas trigonométricas

Y

Es fácil ver que cualquier combinación lineal de este tipo de funciones también tiene el mismo periodo. También tienen el mismo periodo 2 pi las funciones que, en vez de depender de x, dependen directamente de nx, donde n es un número entero:

Y

Algo que usó Fourier para desarrollar su serie, es saber que las funciones sen(nx), cos(mx) son “ortogonales” cuando los coeficientes n y m son distintos. Lo mismo para sen(nx) vs sen(mx) y cos(nx) vs cos(mx). Tenemos que ver qué es esto de ortogonal en este contexto. Pero podemos hacer una analogía con los espacios vectoriales. En ellos se puede definir muchas veces un producto entre vectores, el producto interno, de tal manera que haya vectores v y w cuyo producto interno de cero. Cuando eso lo aplicamos a los vectores clásicos del plano y del espacio, ese producto interno es cero CUANDO GEOMETRICAMENTE los vectores forman ángulo recto entre ellos (es más sutil que esto, pero nos sirve como base). Y llamamos a sus direcciones entonces, ortogonales.

Bueno, algo así se puede establecer entre funciones reales definidas en un intervalo de longitud 2 pi. Un producto interno adecuado, sobre lo funciones que, modernamente, se considerarían elementos vector de un espacio vectorial. En el próximo post veremos la definición de ese producto de funciones, y cómo las funciones mencionadas arriba son “ortogonales”.

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Publicado el 30 de Marzo, 2015, 7:44

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Diofanto es uno de los grandes personajes de la "Era de Plata" de la matemática griega. Se cree que vivió en Alejandría, entre los años 250 y 350 (de nuestra era), junto a Pappus y Proclo. Es conocido por su Aritmética, en 13 libros. En los tiempos de Fermat sólo se conocían seis de esos libros, pero hace unos años han sido descubiertas traducciones al árabe de cuatro libros más.

Las matemáticas que Diofanto expone en su Aritmética son distintas de las de la "Era de Oro" de Euclides. En verdad, se parecen más a la tradición babilónica. Mientras que Euclides construye desde primeras nociones y postulados, y va demostrando teoremas, Diofanto muchas veces trata casos particulares y da soluciones para esos casos, sin construir una teoría. Lo nuevo que aporta es su interés en encontrar las soluciones exactas a ecuaciones en números racionales. Fue uno de los primeros matemáticos en introducir símbolos en matemáticas, usando una notación cercana a la que aportaría luego Viete. Por ejemplo, el polinomio:

Sería escrito por Diofanto de esta forma:

Donde delta denota x al cuadrado, K denota x al cubo, M es el signo menos y U es la unidad. Vean cómo pone los términos con coeficiente positivo a un lado, y los de coeficiente negativo en otro.

Hay una identidad, conocida desde la Edad Media, que aparece en el trabajo de Diofanto (ya la estoy por usar en mi post p=x2+y2)


Es la llamada identidad de Brahmagupta-Fibonacci

¿Fue Diofanto el primer algebrista? Bueno, le faltó generalidad, se ocupó más de casos particulares. ¿El último de los babilonios? Tampoco, fue más abstracto que ellos, ya solamente con la aparición de su notación. ¿El primero de los matemáticos dedicado a la teoría de números? No, porque trabajo más sobre Q (los números racionales) que sobre N (los números naturales). Pero sí fue el principal precursor de la teoría de números. Recordemos que el interés griego por las soluciones en números racionales tiene relación con el descubrimiento (ya en tiempos de Pitágoras) de los números irracionales (aunque a decir verdad, los griegos no manejaron el concepto de número como lo hacemos nosotros; estaban interesados en razones de magnitudes).

En el siglo XVI la Aritmética de Diofanto era un texto obscuro, que había sido olvidado. Fue Bombelli quien redescubrió el libro en 1570 y lo incorporó en su propia obra Algebra, escrita en italiano en 1572. En 1575, W. Holtzmann (alias Xylander) dio una traducción completa al latín. Viete toma el libro y lo transforma, incorporándolo en sus obras, como Isagoge de 1591, y Zetetique de 1593, poniendo énfasis en los aspectos algebraicos. Con Viete comienza a aparecer la notación algebraica, usando una letra para la incógnita. En cambio Bachet de Meziriac, el autor de la traducción de Diofanto que leyera Fermat, no era algebrista, sino el autor de un libro llamado Agradables y deleitables problemas a ser resueltos con números. Su edición de Diofanto fue bilingüe, en griego y latín, y la publicó en 1621.

Fuente consultada: Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, de Yves Hellegouarch.

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Publicado el 28 de Marzo, 2015, 15:10

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Veamos hoy de presentar un caso de función aritmética, que tiene su importancia en la teoría de números. Al principio no se verá claramente su utilidad, pero poco a poco veremos qué lugar ocupa en todo este espectro de funciones aritméticas. Fue definida y usada por Moebius, matemático alemán del siglo XIX. Para muchos de nosotros, es más conocido por la "cinta de Moebius". Algo que yo no conocía es que había sido astrónomo también.

Bien, la función de Moebius se define para 1:

Usando la letra griega mu. Algo simple, ¿no? Bueno, ahora necesitamos saber cuánto vale para los otros números naturales. Lo que pone de manifiesto la función mu es si un número n es o no divisible por un cuadrado. Para eso se pone que cuando n se descompone en potencias de primos distintos:

Entonces, si todos los exponentes son 1:

El valor de mu(n) es:

Donde k es claramente la cantidad de factores primos distintos que componen n. Observemos que hay una paridad: el resultado puede dar 1 o -1, dependiendo de si la cantidad de primos que componen n es par o impar, respectivamente. En cualquier otro caso, n tiene entonces algún factor primo elevado a la por lo menos 2, y entonces es divisible por el cuadrado de un primo. En esos casos, la notable función mu toma el valor 0:

Y digo notable, porque a primera vista, es algo rara esta definición. Pero es tan simple y poderosa, como vamos a estudiar, que revela algo que llama la atención en matemáticas. Vamos a ver cómo esta función tiene propiedades simples por sí misma, y cómo se puede ir combinando con otras funciones aritméticas.
No conozco la historia en detalle de esta función. Al parecer, ya la usó Euler implícitamente en fecha tan temprana como 1748, pero fue Moebius en 1832 el primero en investigar sus propiedades sistemáticamente.

Si leemos el artículo de la Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_function

Vemos que no solamente se usa en teoría de números, sino también en combinatoria. Y la paridad que hemos notado, hasta aparece en una rama física de supersimetría, distinguiendo entre fermiones y bosones en un gas de Riemann. Y hasta se puede derivar de la función mu la función de Mertens, que cosas vederes Sancho, tiene que ver con la hipótesis de Riemann, que estoy estudiando en otra serie de posts.

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Publicado el 23 de Marzo, 2015, 16:01

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Veamos una forma de generar las particiones de n+1 conociendo la enumeración de las particiones de n, expresadas en forma normal (con su elementos en forma descendente).

Sea una partición de 5, como:

2+1+1+1

Siempre se le puede agregar un uno al final, para obtener una partición de 6:

2+1+1+1+1

Lo mismo a la partición de 5:

3+2

se le puede agregar un uno a la derecha, para obtener la partición de 6:

3+2+1

O sea que a CADA partición de 5, le corresponde UNA partición de 6, que termina en 1. Se puede ver también que a toda partición de 6 que contenga un 1, le corresponde UNA partición de 5 (simplemente sacando ese uno).

También, dada una partición de 5 en forma normal como

3+2

Obtenemos otra partición de 6, sumándole un uno al último término, en este caso sumando uno al último elemento el dos:

3+3

Pero eso no es posible en una partición de 5 en forma normal como:

2+1+1+1

Porque sumándole uno al último término:

2+1+1+2

obtenemos una partición de 6, pero no en forma normal, no en forma tal que todos sus elementos vayan siendo iguales o decrecientes cuando los recorremos de izquierda a derecha. Si nos fijamos en el ejemplo anterior y otros, el truco de agregar uno al último elemento NO FUNCIONA, porque ese último elemento está repetido.

Si llamamos

p(n)

a la cantidad de particiones de n, y llamamos

r(n)

a la cantidad de particiones de n que NO TIENE su menor elemento repetido, llegamos a nuestra primera conclusión:

p(n+1) = p(n) + r(n)

El primer término de la derecha, es la cantidad de particiones de n+1 que nacen de agregar el número 1 a cualquier de las particiones de n. El segundo término, viene de las particiones de n a las que se les puede sumar uno a su término menos. Y si lo miramos fijo, es claro que cada partición de n+1 NACE de una Y SOLO UNA de esas dos formas.

Igual, mucho no avanzamos, porque no parece a simple vista que r(n) tenga una forma sencilla de calcularse. Pero todo suma ;-)

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Publicado el 15 de Marzo, 2015, 16:04

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Veamos hoy de presentar los primeros pasos en la función gamma. En otro post ya mostré que la serie armónica:

diverge (ver Harmonic Series). Pero podríamos preguntarnos si diverge o converge (y a qué numero) la serie:

O en general la suma de los recíprocos de las potencias a la s:

Tenemos acá, dependiendo de s natural, a una primera función llamada función zeta. Bien, si para s=1 se sabía que la serie divergía, para s=2 no se supo por mucho tiempo si la serie convergía (todo parecía indicar que sí, pero no había demostración, y además la convergencia era muy lenta), y a qué número. El caso s=2 se llamó el problema de Basilea, ver Basel Problem.  Pedro Mengoli lo formuló en 1644 (pero todo indica que el problema era conocido de antes), y fue resuelto por Euler recién en 1734, siendo leído el 5 de diciembre de 1735 en la academia de ciencias de San Petersburgo. La solución de Euler (escribió varias en su vida) implicaba la manipulación de una serie infinita sin una rigurosa prueba de su validez, pero igual le otorgó fama en el mundo de las matemáticas. Otros matemáticos de primera línea habían tratado de resolverlo, habiendo fallado en el intento.

Euler no sólo encontró la solución para s=2 sino que, con el tiempo, también dio una expresión para todas las soluciones con s par, introduciendo para ello los llamados números de Bernoulli. Podríamos preguntarnos qué relación hay entre la función zeta y los números primeros. Bueno, fue Euler el que consiguió también expresar las series infinitas apelando a multiplicaciones infinitas donde aparecían todos los números primos. También extendió la función zeta para s entero negativo. Chevyshev la extendió para s real > 1. Finalmente, veremos que Riemann fue el que extendió la misma función, para s complejo.
En el próximo post veremos una de esas pruebas de Euler del valor para s=2, una de las  pruebas más conocidas.

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Publicado el 6 de Marzo, 2015, 6:57

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Tantos temas para ver, investigar. Apenas acá unos enlaces de mi colección:

Covariant and contravariant — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2013/02/28/covariant-and-contravariant/

Position the ramp of a construction site by solving a quartic equation
http://glat.info/js.quartic/

The pseudoconformal and conformal transformations | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/02/14/the-pseudoconformal-and-conformal-transformations/

Maria Gaetana Agnesi, algo más que su (mal llamada) bruja - Gaussianos
http://gaussianos.com/maria-gaetana-agnesi-algo-mas-que-su-mal-llamada-bruja/

El Topo Lógico: Gödel y Cantor en RBA
http://eltopologico.blogspot.com.ar/2013/02/godel-y-cantor-en-rba.html

(Vídeo) ¿Qué hace hoy un matemático? - Gaussianos
http://gaussianos.com/video-que-hace-hoy-un-matematico/

Klein's Quartic Curve
http://math.ucr.edu/home/baez/klein.html

What Kepler and Newton really did. | The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/2013/02/05/what-kepler-and-newton-really-did/

Depth- and Breadth-First Search | Math n Programming
http://jeremykun.com/2013/01/22/depth-and-breadth-first-search/

Why there is no Hitchhiker"s Guide to Mathematics for Programmers | Math n Programming
http://jeremykun.com/2013/02/08/why-there-is-no-hitchhikers-guide-to-mathematics-for-programmers/

www-stat.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/83_05_shuffles.pdf
http://www-stat.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/83_05_shuffles.pdf

M13 | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/02/m13.html

Presentations and Representations in Foundations | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/02/presentations_and_representati.html

(Vídeo) Explicando con música la aritmética modular - Gaussianos
http://gaussianos.com/video-explicando-con-musica-la-aritmetica-modular

Encontrado un error en el trabajo de Carl Cowen y Eva Gallardo sobre el problema del subespacio invariante - Gaussianos
http://gaussianos.com/encontrado-un-error-en-el-trabajo-de-carl-cowen-y-eva-gallardo-sobre-el-problema-del-subespacio-invariante

La sorprendente criba de la parábola - Gaussianos
http://gaussianos.com/la-sorprendente-criba-de-la-parabola/

The Aperiodical | Talk: Computability of Bass-Serre structures in the Grzegorczyk hierarchy
http://aperiodical.com/2013/02/talk-computability-of-bass-serre-structures-in-the-grzegorczyk-hierarchy/

The Aperiodical | Collaborative Mathematics: kids (and non-kids) work together on problems over YouTube
http://aperiodical.com/2013/02/collaborative-mathematics/

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Publicado el 5 de Marzo, 2015, 16:17

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[Vídeo] Documental sobre Grisha Perelman y la resolución de la conjetura de Poincaré - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/video-documental-sobre-grisha-perelman-y-la-resolucion-de-la-conjetura-de-poincare/

Títulos épicos de trabajos matemáticos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/titulos-epicos-de-trabajos-matematicos/

Número 10 de la revista online de matemáticas "PIkasle" - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/numero-10-de-la-revista-online-de-matematicas-pikasle/

Ramanujan, Nagell y la singularidad del 7 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/ramanujan-nagell-y-la-singularidad-del-7/

www.math.toronto.edu/~colliand/426_03/Papers03/C_Quigley.pdf
http://www.math.toronto.edu/~colliand/426_03/Papers03/C_Quigley.pdf

Generalizando sobre sumas de cuadrados a partir de un cuadro ruso - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/generalizando-sobre-sumas-de-cuadrados-partir-de-un-cuadro-ruso/

Premio Abel - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/premio-abel/

Numeración de Gödel - Wikipedia, la enciclopedia libre
http://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_de_G%C3%B6del

Qué dice exactamente el primer teorema de incompletitud de Gödel - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/que-dice-exactamente-el-primer-teorema-de-incompletitud-de-godel/

Martin Gardner, descanse en paz - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/martin-gardner-descanse-en-paz/

La sorprendente constante de Khinchin - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/la-sorprendente-constante-de-khinchin/

www3.nd.edu/~powers/ame.20231/fourier1878.pdf
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Perturbation theory - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Perturbation_theory

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Publicado el 28 de Febrero, 2015, 16:58

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Hace tiempo que no escribo del tema, pero hay terminar la demostración. Sea el ideal que conseguimos en los posts anteriores:

El generado por los polinomios:

Que no se podían generar desde:

Repitamos el proceso con el ideal Q-barra. Sus polinomios tienen un coeficiente principal (el coeficiente del término de mayor grado) y el conjunto de TODOS los coeficientes principales es un IDEAL del anillo original X. Como suponemos que X es noetheriano (todos sus ideales tienen base finita), entonces, el ideal de los coeficientes principales es generado finitamente, digamos por

Por cada uno de estos coeficientes, elijamos un polinomio de Q-barra que lo tenga como coeficiente principal:



....

Donde entonces cada Pi es del ideal que encontramos en el anterior post:

Esto es, cada Pi es fruto de la combinación de algunos de los Qj base finita de Q-barra. Hay una cantidad finita m de polinomios Pi, y una cantidad finita entonces de polinomios Qj que generan a los Pi, llamemos a este último conjunto Q2, y formemos el ideal generado por ellos:

Como Q2 tiene cardinalidad finita, hay un grado mayor en sus polinomios elementos. Digamos que el grado mayor es m2. Se puede demostrar, como antes con P, que todos los polinomios del ideal Q-barra de grado mayor o igual a m2, quedan alcanzados por el ideal Q2-barra.

Ahora bien, algo importante. Teníamos el conjunto finito P de polinomios, digamos con un grado mayor m. Ahora tenemos Q2, también finito, con un grado mayor m2. Por la construcción que seguimos para llegar a Q2, desde Q, m2 es MENOR que m. ¿Por qué? Porque todos los Q eran "el resto" del ideal I "dividido" por el ideal generado por P. Entonces, todos los Q tenían grado menor que m, y todos los Q2 SALEN de los elementos de Q. Ergo, m2 es menor que m.

Seguimos en el próximo post.

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Publicado el 26 de Febrero, 2015, 11:12

Hay unos libros excelentes de la editoral española RBA, que acá en Argentina aparecen de vez en cuando publicados en series semanales. Actualmente, el diario La Nación está publicando una serie de biografías, cada sábado, y son verdaderamente aprovechables. Ya aparecieron varios, como Einstein, Newton, Schrödinger, Heisenberg, Planck, Euclides, Pitágoras, Laplace, Copérnico, Feynman, Kepler, Turing, Arquímedes, y más, bien escritos, con detalles matemáticos y científicos, y también con datos del desarrollo histórico y personal del biografado. No es común eso: en general, aparecen biografías para "legos" donde no se tratan los términos técnicos, o biografías técnicas, sin adentrarse en la persona y el grupo que los generó.

Este último sábado apareció la biografía "Godel, los teoremas de la incompletitud", de Gustavo Ernesto Piñeiro (que ya mencioné en otro post). Leo ahí una conocida anécdota de Bertrand Russell, que expongo en mis palabras.

En una conferencia para público general, Russell expuso que si un sistema de axiomas es inconsistente (puede demostrar una afirmación y su contraria) entonces cualquier afirmación es demostrable a partir de ellos (al parecer, en la conferencia Russell se apoyó en la versión semántica de este tema, en vez de usar inconsistencia, afirmó que partiendo de una premisa falsa puede demostrarse cualquier cosa). Inmediatamente Russell fue desafiado por la audiencia a demostrar que si 1=0 entonces Smith (uno de los asistentes del público) era el papa. Russell razonó así: si 1=0, sumemos uno a ambos lados, quedando 2=1. Sean el conjunto de dos elementos Smith y el papa, pero como 2=1, los dos elementos son uno, y Smith es el papa :-)

Desconozco si la anécdota es real o no, no pude confirmarla. La explicación de Russell es para zafar de la pregunta, y se apoya en conceptos semánticos de conjunto, elemento, etc. Piñeiro expone claramente la diferencia entre lo semántico y lo sintáctico, y que consistencia es un en tema sintáctico, casi mecánico, que se apoya en el concepto de cadena de demostración manipulando símbolos con reglas del sistema en cuestipon. Subraya también que la demostración de Godel de su primer teorema fue cuidadosamente urdida para apoyarse en una autoreferencia sintáctica, en lugar de una autoreferencia´semántica, como la que había señalado el propio Russell en 1902 sobre la teoría de conjuntos de Frege.

Tengo entonces pendiente de explicar en un próximo post la afirmación de Russell, pero desde el punto de vista sintáctico, de cómo desde una manipulación de símbolos, y considerando P y no-P como demostrables desde un conjunto de axiomas, y en un sistema donde se admiten las cualidades de la implicación, entonces se puede probar cualquier afirmación Q.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 24 de Febrero, 2015, 13:04

En el post de ayer escribí sobre las series de Fourier, mencionando que ese desarrollo había influido en muchos temas, incluso en el desarrollo de la teoría de conjuntos de Cantor. En estos días, me encuentro leyendo el excelente libro "Godel, los teoremas de la incompletitud", de Gustavo Ernesto Piñeiro (apareció en la serie de libros española, distribuida acá en Argentina por el diario La Nación, cada sábado). Y leo, la página 25, sobre "El infinito de Cantor" una breve historia:

Cuando un matemático investiga, su objetivo es siempre la resolución de un problema específico. Incluso hoy en día, si se le pregunta a un matemático en qué tema está trabajando, su respuesta seguramente consistirá en el enunciado del problema que está intentando resolver. Para entender el problema que estudiaba Cantor en 1870 [en la universidad alemana de Halle] debemos hablar brevemente de las series de Fourier.

A principios del siglo XIX el matemático francés Joseph Fourier desarrolló un método que le permitía descomponer cualquier onda periódica en una sumatoria de ondas elementales específicas (todas las cuales resultan de modificar la amplitud, la frecuencia o la fase de una onda inicial única). Fourier utilizó este método con gran éxito para estudiar fenómenos ondulatorios como la propagación del calor o la vibración de una cuerda. Como estas sumatorias normalmente involucran una cantidad infinita (en potencia) de ondas, y en matemáticas a una sumatoria infinita se le suele llamar una "serie", a este método se le dio el nombre de "series de Fourier". Actualmente sigue siendo una herramienta esencial en muchas ramas de las matemáticas, así como de la física y de la ingeniería.

Y acá viene la relación con el infinito de Cantor:

En la década de 1860, también en Halle, el matemático alemán Eduard Hene trabajaba en el problema de determinar si la descomposición de una onda periódica en una sumatoria de ondas elementales es siempre única

La pregunta sobre la unicidad de una cierta descomposición es muy común en matemáticas ....

Recordemos el tema de la factorización única del anillo de enteros en factores primos (QUE NO SE DA en todos los anillos)

... Heine se preguntaba si existiría un vínculo similar entre una onda periódica y sus ondas elementales. ¿Sería única esa descomposición, así como es única la descomposición en primos? En la década de 1860, Heine logró demostrar que para ciertos tipos de ondas periódicas (por ejemplo, para aquellas que no tienen "saltos" o discontinuidades), la descomposición en ondas elementales es realmente única. Sin embargo, no había encontrado una demostración general que abarcara todas las situaciones posibles. Entre otras cosas, no había podido demostrar la unicidad en el caso d que en cada período la onda tuviera una cantidad infinita (en potencia) de salto. De modo que cuando Cantor llegó a Halle en 1870, Heine le propuso que trabajar en esta pregunta: ¿es siepre única la descomposición de una onda periódica, aun cuando la cantidad de saltos e cada período pudiera crecer indefinidamente?

Y eso es lo que hizo que Cantor creara la teoría de conjuntos.

Cantor se abocó a estudiar el problema y en 1871 obtuvo una primera respuesta: la descomposición de una onda periódica es única, aun cuando la cantidad de saltos o discontinuidades crezca ilimitadamente, siempre y cuando esos saltos estén distribuidos de una determinada manera. Es decir, para que se garantizara la unicidad, la forma en que los saltos iban apareciendo debía cumplir ciertas condiciones específicas. Pero encontró algunas dificultades a la hora de expresar esos requisitos de una manera concreta, exacta y elegante. Seguramente tenía una intuición muy precisa de cuáles eran las particularidades que quería enunciar, pero se le espcaba el modo de transmitirla en palabras claras y precisas.

Para poder expresar esas condiciones de forma adecuada, Cantor creó los fundamentos de la teoría de conjuntos, separando los infinitos en distintas clases, que había infinitos "más grandes" que otros, y donde se cumplía (como ya había señalado Galileo) que el todo no es mayor que las partes.

Y todo esto, a partir de un problema de las series de Fourier :-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 23 de Febrero, 2015, 8:07

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Uno de los temas de matemáticas que uno se encuentra a cada momento en muchas aplicaciones físicas (calor, ondas, cuántica) es el de las series de Fourier. Comienzo hoy una serie de posts para exponer lo principal de las ideas subyacentes a este tema, y tratar de entender mejor su trascendencia y relaciones con otros instrumentos matemáticos. También tienen su importancia en matemática pura. Pero históricamente, están relacionadas con Fourier, matemático francés que expuso la teoría a principios del siglo XIX.

Veamos, a los matemáticos les gusta expresar una función, digamos de una variable x (real o compleja):

Como una función que se pueda expresar de alguna forma, como:

Pronto se vió (desde la época del surgimiento del análisis moderno) que hay funciones que no pueden expresarse simplemente, y hay que recurrir a desarrollos en serie infinita de potencias de x, de la forma general:

Una nota: el concepto moderno de función (a cada x le corresponde un valor y, sin necesidad de expresarlo con una fórmula) sólo surgió en la segunda mitad del siglo XIX (pero eso es otra historia).
Lo que encontró Fourier que muchas funciones, incluso algunas no expresables por serie de potencias de x, se podían expresar como una serie:

Donde las fn son funciones trigonométricas seno, coseno, que vamos a examinar. Es concreto:

Y no sólo encontró esto, sino que además descubrió la forma de conseguir los coeficientes an, bn, de ese desarrollo en serie, de una forma notable, que abrió nuevas ideas en matemáticas. Voy a proponer una analogía. ¿Vieron cuando un quiere determinar las coordenadas de un punto en un espacio n dimensional? Se apela a ejes coordenados (ortogonales y no) y la coordenada del punto con respecto a un eje, es la distancia al origen de la "sombra del punto sobre ese eje"? Bueno, algo así encontró Fourier: una expresión para expresar "la sombra" de una función cualquiera (con algunas condiciones) con respecto a una serie infinita de "ejes", expresados por funciones trigonométricas. Vamos a ver que para la expresión de Fourier de los coeficientes, es fundamental que esos "ejes"/funciones sean "ortogonales" entre sí. Pero no quiero adelantarme. Igual me parece interesante expresar esta analogía porque fue fruto de otros desarrollos. Incluso algunos temas de convergencia y de las condiciones de las funciones expresables en Series de Fourier dieron lugar a la moderna teoría de conjuntos.

Nos leemos!

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Publicado el 17 de Febrero, 2015, 17:53

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Es tiempo de iniciar esta serie de post, visitando el último teorema de Fermat, su historia matemática, los caminos que se exploraron para su solución, hasta llegar a su demostración final. Este teorema fue planteado por Pierre de Fermat, al leer un problema de Diofanto en su Aritmetica, traducida por Bachet de Meziriac. El problema de Diofanto era:

Divide un cuadrado dado en otros dos cuadrados

Diofanto daba una solución ilustrativa, no general. En realidad, pedía números racionales, no necesariamente enteros. Para la solución general, ver el post Ternas Pitagóricas. Citando el artículo de D"Alembert en la Enciclopedia de 1750:

El método de Diofanto consistía en reducir la situación a una ecuación en una incógnita mediante una serie de transformaciones

Fermat anotó en esa copia del libro de Diofanto:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet

Traducido como

Descomponer un cubo en otros dos cubos, una cuarta potencia, y en general una potencia arbitraria en dos potencias del mismo grado arriba del segundo, es una cosa imposible y ciertamente he encontrado una prueba admirable. Este estrecho margen no puede contenerla

Esta es la afirmación que se convirtió en el Ultimo Teorema de Fermat. Sólo sabemos de él gracias a esta nota en el margen del libro, publicada por una reedición del hijo mayor de Fermat, Clement Samuel, publicada en 1670, luego de la muerte de Fermat. No parece encontrarse en ninguna de sus numerosas cartas con colegas, ni tampoco se encontró traza, pista de la supuesta "prueba admirable" de la que habla. Lo que sí se ha encontrado el desafío para n=3 y n=4, enviado a Mersenne, Pascal y John Wallis. Tal vez tenía una prueba para n=4, basada en el descenso infinito. Hoy, dado el nivel de nuevas matemáticas que insumió la prueba final de Wiles a fines del siglo pasado, casi podemos estar seguros que esa "prueba admirable" estaba equivocada. Varios intentos a lo largo de siglos, han puesto de manifiesto que es improbable que Fermat tuviera una prueba real, y lo más plausible es que se hubiera dejado llevar por su entusiasmo, aportando una prueba con fallas.

En lenguaje moderno, podemos poner, que para n > 2, la ecuación:

Cumpliendo con

No tiene solución

Principal fuente consultada. El excelente libro: "Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles", de Yves Hellegouarch.

Ver también http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem

Nos leemos!

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Publicado el 14 de Febrero, 2015, 19:43

Ya escribí varias veces sobre David Hilbert, en:

David Hilbert, Enlaces y Recursos
Métodos de Física Matemática, Courant, Hilbert, Prefacio de Courant
David Hilbert, según Jean Dieudonné
Los problemas de Hilbert
Imágenes y símbolos, según Hilbert
David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (1)
Los problemas de Hilbert (1)

La semana pasada encuentro este texto de Richard Courant, comentando cómo Hilbert se comportó como catedrático en Gotinga:

Si leemos las antiguas crónicas, un catedrático de Gotinga era un semidiós muy consciente de su rango, el de catedrático y también lo era, en particular, la esposa del catedrático.

No sólo en Gotinga, sino en otros lugares de estudio de la Alemania de entonces. Tengo que comentar en algún post, como consiguió Max Planck acercarse a Helmholzt, que era "inalcanzable" para sus alumnos. Hoy, ese "alejamiento" está prácticamente olvidado en muchos ámbitos: las matemáticas son cada vez más colaborativas, y donde los jóvenes son la nueva sangre que trae ideas novedosas a ámbitos ya visitados

La llegada de Hilbert a Gotinga resultó muy molesta. Algunas de las esposas de los catedráticos de más edad se reunieron y dijeron: "¿Te has enterado de este nuevo matemático que ha llegado? Está alterando toda la situación. Se ve que la otra fue visto en un restaurante jugando al billar con algunos de los "Privat dozent" [El Privat dozent ocupaba un rango más bajo que el de profesor ayudante actual, puesto que la universidad no le pagaba nada; solamente recibía el dinero que se le permitía cobrar directamente a sus alumnos en pago de sus clases.] Se consideraba totalmente inaudito que un catedrático se rebajara a entablar amistad personal con personas más jóvenes. Sin embargo, Hilbert rompió esa tradición, lo que significó un enrome paso adelante hacia la creación de la vida científica; los jóvenes estudiantes le visitaban en su casa y tomaban el té o cenaban con él.  Frau Hilbert preparaba grandes y copiosas cenas para los profesores ayudantes, estudiantes y otros. Hilbert salía con sus estudiantes, y con quien quisiera acompañarle, a realizar largas excursiones en los bosques durante las cuales se hablaba de matemáticas, de politíca y de economía.

Hilbert también recibía visitas en su jardín, donde trabajaba todo el tiempo que podía, y entre tarea y tarea de jardinería, o pequeñas tareas caseras, acudía a una larga pizarra que tal vez medía más de seis metros de largo, y que estaba cubierta para poder recorrer toda su longitud incluso bajo la lluvia, en la que trabajaba en sus matemáticas en sus descansos entre los arreglos de los parterres de flores. Uno podía pasar todo el día observándolo.

... Era un profesor único y estimulante... teníamos la suerte de poder observarle forcejeando contra problemas matemáticos, en "ocasiones muy sencillos", y ver cómo encontraba la solución, y eso estimulaba más que una clase magistral perfectamente ejecutada. Lo más impresionante era la gran variedad, el amplio espectro de sus intereses... Era un matemático muy concreto e intuitivo que inventó un principio y lo aplicó de forma muy escrupulosa, a saber, si quieres resolver un problema, retira primero del problema todo lo que no es esencial. Simplifícalo, especialízalo tanto como puedas, sin sacrificar su núcleo. Así, el problema se hace sencillo, tan sencillo como puede sea posible sin que pierda su garra, y entonces lo resuelves. La generalización es una trivialidad a la que no se debe prestar demasiada atención. Este principio de Hiilbert demostró ser extremadamente útil para él y también para otros que aprendieron de él; por desgracia, ha sido olvidado.

Tengo que el libro de ambos, Hilbert y Courant, el famoso Métodos de Física Matemática, que tanto influyó en los físicos de principios del siglo pasado. También tengo pendiente leer las biografías de ambos, escritas por Constance Reid.

Encuentro el texto de arriba, en el excelente libro Matemáticas, una historia de amor y odio. Una cita más corta de Courant sobre Hilbert, la había publicado en David Hilbert, por Richard Courant.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 10 de Febrero, 2015, 15:22

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Hay tantos temas interesantes para investigar. En estos días estoy volviendo a leer sobre geometría algebraica. En los de enlaces de hoy, hay otros tópicos, como la densidad de secuencias de números (ver Schnirelmann abajo), y temas de teoría de números como la suma de cuadrados. En estos días, se nos fue René Lavan, veamos el tema de las matemáticas de la mezcla de cartas. Y siempre aparece la teoría de grupos.

Depth- and Breadth-First Search | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/01/22/depth-and-breadth-first-search/

Why there is no Hitchhiker"s Guide to Mathematics for Programmers | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/02/08/why-there-is-no-hitchhikers-guide-to-mathematics-for-programmers/

The Mathematics of Perfect Shuffles
http://www-stat.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/83_05_shuffles.pdf

M13 | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/02/m13.html

Presentations and Representations in Foundations | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/02/presentations_and_representati.html

(Vídeo) Explicando con música la aritmética modular - Gaussianos
http://gaussianos.com/video-explicando-con-musica-la-aritmetica-modular

Encontrado un error en el trabajo de Carl Cowen y Eva Gallardo sobre el problema del subespacio invariante - Gaussianos
http://gaussianos.com/encontrado-un-error-en-el-trabajo-de-carl-cowen-y-eva-gallardo-sobre-el-problema-del-subespacio-invariante

La sorprendente criba de la parábola - Gaussianos
http://gaussianos.com/la-sorprendente-criba-de-la-parabola/

The Aperiodical | Talk: Computability of Bass-Serre structures in the Grzegorczyk hierarchy
http://aperiodical.com/2013/02/talk-computability-of-bass-serre-structures-in-the-grzegorczyk-hierarchy/

The Aperiodical | Collaborative Mathematics: kids (and non-kids) work together on problems over YouTube
http://aperiodical.com/2013/02/collaborative-mathematics/

Fracción polinómica - Gaussianos
http://gaussianos.com/fraccion-polinomica/

Lagrange's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem

Jacobi's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_four-square_theorem

15 and 290 theorems - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/15_and_290_theorems

Brun sieve - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Brun_sieve

Natural density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_density

Schnirelmann density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Schnirelmann_density

FINE ASYMPTOTIC DENSITIES FOR SETS OF NATURAL NUMBERS
http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/24.pdf

THE ASYMPTOTIC DENSITY OF SEQUENCES
http://www.ams.org/journals/bull/1951-57-06/S0002-9904-1951-09543-9/S0002-9904-1951-09543-9.pdf

Subsets of Products of Positive Density on van der Waerden sets
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48th Known Mersenne Prime Discovered
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Publicado el 31 de Enero, 2015, 13:59

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En el anterior post mostré la ecuación diferencial:

Y mencioné dos soluciones:

Y

Además de comprobarlas y luego, combinarlas linealmente. Pero ¿cómo podemos obtener esas dos soluciones particulares? Primero, podemos hacer que la diferencial de y sea escrita como:

Es simplemente un cambio de notación. Para ser más precisos, D no es un número que se multiplica por la función y, sino que podemos escribirlo mejor como:

Como una función, que aplicada a la función y, nos devuelve otra función, la derivada de y en la variable independiente x. D no es una función que se aplica a un número y devuelve un número, sino que es lo que los matemáticos llaman un funcional u operador funcional: algo que le damos una función y devuelve una función.

Una vez hecho ese cambio de notación podemos expresar nuestra ecuación como:

Y “estirando” la notación, poner:

Y de nuevo, estirando la notación, hacer que esto equivalga a:

Para cualquier y. D es un operador funcional. Si lo tratamos “como si fuera la incógnita de un número” , podemos resolver la ecuación anterior como una ecuación de segundo grado en D, dando como soluciones

Y

Pero D no es un número, es un funcional que podemos aplicar a y ( una función). Queda:

Y

Con lo que llegamos a las soluciones particulares:

Y

Todo esto es “malabarismo” sobre operadores funcionales, tratándolos formalmente como si fueran “números”. Pero funcionan. El pionero en este tratamiento fue Heaviside, ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside
http://en.wikipedia.org/wiki/Operational_calculus

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Publicado el 26 de Enero, 2015, 15:53

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Tantos temas para ver, algunos enlaces adicionales:

Small doubling in groups « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2013/02/01/small-doubling-in-groups/

Great Circle Arc Intersections
http://www.jasondavies.com/maps/intersect/

Roice Nelson - Google+ - A sculpture of the Klein Quartic My first successful…
https://plus.google.com/u/0/112844794913554774416/posts/jUrUZD2EXH8

www.math.ias.edu/~mshulman/papers/sdg/pizza-seminar.pdf
http://www.math.ias.edu/~mshulman/papers/sdg/pizza-seminar.pdf

5 surpreendentes fatos matemáticos
http://hypescience.com/5-fatos-matematicos-surpreendentes-2/

Olimpiada Matemática de Baleares 2013 - Problema 2 - Gaussianos
http://gaussianos.com/olimpiada-matematica-de-baleares-2013-problema-2/

Olimpiada Matemática de Baleares 2013 - Problema 3 - Gaussianos
http://gaussianos.com/olimpiada-matematica-de-baleares-2013-problema-3/

Beauty in Mathematics | Video Lectures
http://video.ias.edu/1213/special-lecture/1211-bombieri

Runge–Kutta methods - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/RK4

Numeric Javascript
http://www.numericjs.com/

Math.NET Project
http://www.mathdotnet.com/

The Aperiodical | The perfect formula for mathsiness
http://aperiodical.com/2013/01/the-perfect-formula-for-mathsiness/

Pat'sBlog: On This Day in Math - January 5
http://pballew.blogspot.com.ar/2013/01/on-this-day-in-math-january-5.html

Poinsot biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Poinsot.html

Ramanujan's Mock Modular Forms: Indian Mathematician's Dream Conjecture Finally Proven
http://www.huffingtonpost.com/2012/12/27/ramanujans-mock-modular-forms_n_2371680.html?utm_hp_ref=science

Van_Ceulen biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Van_Ceulen.html

Números y hoja de cálculo: ¿Cómo veo el 2013?
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/12/como-veo-el-2013.html

¿Y si divido infinito entre infinito? | Mati, una profesora muy particular
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Un problema muy particular | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/12/24/un-problema-muy-particular/

Tito Eliatron Dixit: Matemáticas y Lotería de Navidad: una relación imposible
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Nota dominical: El método numérico del matemático palentino Fray Juan de Ortega « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/12/23/nota-dominical-el-metodo-numerico-del-matematico-palentino-fray-juan-de-ortega/

JIBLM.org - Journal of Inquiry-Based Learning in Mathematics - Journal Contents
http://www.jiblm.org/guides/index.aspx?category=jiblmjournal

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