|
|
Matemáticas
Publicado el
23 de Junio, 2017, 10:25
|
Publicado el
22 de Junio, 2017, 11:21
|
Publicado el
19 de Junio, 2017, 11:44
|
Publicado el
16 de Junio, 2017, 11:48
|
Publicado el
15 de Junio, 2017, 16:08
|
Publicado el
14 de Junio, 2017, 9:53
|
Publicado el
13 de Junio, 2017, 13:13
|
Publicado el
10 de Junio, 2017, 13:17
|
Publicado el
9 de Junio, 2017, 7:09
|
Publicado el
8 de Junio, 2017, 7:34
|
Publicado el
4 de Junio, 2017, 12:43
|
Alguna vez ya publiqué una demostración de una proposición de Fermat, sobre la no existencia de triángulos rectángulos de lados enteros con área cuadrada, aplicando el método de descenso infinito. Ver:
El Ultimo Teorema de Fermat (4)
Fermat y el Descenso Infinito
Descenso Infinito
Fermat estaba muy orgulloso de haber inventado y aplicado ese método. No escribió muchas demostraciones de sus afirmaciones, aunque declaraba por escrito que estaba más que dispuesto a compartirlas si alguien lo requería. Pero, consciente o inconscientemente, Fermat no daba fácilmente explicación de su demostraciones. La proposición de arriba fue inspirada por una proposición de Bachet, el editor de la aritmética de Diofanto. Y de nuevo en esta demostración usa descenso infinito. Hoy leo un texto de Fermat dando alguna idea de su demostración:
If the area of a right-angled triangle were a square, there would exist two biquadrates the difference of which would be a square number. Consenquently there would exist two square numbers the sum and difference of which would both be squeares. Therefor we should have a square number which would be equal to the sum of a square and the double of another square, while the squares of which this sum is made up would themselves have a square number for their sum. But if a square is made up of a square and the double of another square, its side, as I can very easily prove, is also similarly made up of a square and the double of another square. From this we conclude that the said side is the sum of the sides about the right angle in a right-angled triangle, and that the simple square contained in the sum is the base and the double of the other square is perpendicular.
This right-angled triangle will thus be formed from two squares, the sum and differences of which will be squares. But both these squares can be shown to be smaller than the squares originally assumed to be such that both their sum and difference are squares. Thus if there exist two squares such that their sum and difference are both squares, there will also exist two other integer squares which have the same property but have a smaller sum. By the same reasoning we find a sum still smaller than that last found, and we can go on ad infinitum finding integer square numbers smaller and smaller which have the same property. This is, however, impossible because these cannot be an infinite series of numbers smaller than any given integer we please. Tha margin is too small to enable me to give the proof completely and with all detail.
Es un texto traducido del latín al inglés por Health. No encuentro en qué lugar está el original, pero sospecho que está en las anotaciones de Fermat a Diofanto. Es curioso que de nuevo acá vuelva a mencionar lo estrecho del margen, aunque su texto es bastante largo.
Pero la demostración que explica parte de una frase algo misteriosa: "If the area of a right-angled triangle were a square, there would exist two biquadrates the difference of which would be a square number" En próximo post intentaré explicar de donde parte Fermat, qué quiere indicar con esta afirmación.
Encuentro el texto citado en el excelente libro Fermat's Last Theorem, A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, de Harold M. Edwards.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
2 de Junio, 2017, 10:40
|
Publicado el
16 de Mayo, 2017, 13:36
|
Publicado el
15 de Mayo, 2017, 8:26
|
Anterior Post
Exploremos el tema desde un punto más algebraico. Sea k un campo (un cuerpo conmutativo, ver Cuerpos y Campos), y sea An(k) o simplemente An, el producto cartesiano de k por sí mismo n veces. Entonces An(k) es el conjunto de n-tuplas de elementos de k. A An(k) la llamamos n-espacio afín. A sus elementos los llamamos puntos (como analogía a los puntos geométricos del plano o del espacio). En particular A1(k) es la línea afín, A2(k) es el plano afín (dejo para otro momento investigar el origen del uso "afín" para estos espacios).
Este es origen de "geometría" en lo que estamos estudiando: los resultados los vamos a obtener en conjuntos de esos "puntos" de espacios afines. Veamos de dónde viene lo "algebraico".
Recordemos que k[X1, ..., Xn] es el conjunto de los polinomios en n variables, con coeficientes en k (ver El anillo k[X]) Sea F uno de esos polinomios. Se dice que un punto P de An(k) es un cero de F si F(P) = 0. Es decir, si P=(a1,....,an), entonces P es cero si F(a1,....,an) queda valuado en cero. Si F no es un polinomio constante, entonces se llama al conjunto de sus ceros la hipersuperficie definida por F. La denominamos V(F). Un hipersuperficie en A2(k) se llama curva plana afín. Si F es un polinomio de grado uno, V(F) se denomina hiperplano de An(k). Si n=2, es una línea.
Este es el punto de partida de toda la geometría algebraica: comenzar a estudiar los conjuntos de ceros de conjuntos de polinomios. Esos conjuntos tienen propiedades muy interesantes.
Además de considerar los ceros de un polinomio, podemos considerar los ceros de un CONJUNTO de polinomios de k[X1, ..., Xn]. En este caso, consideramos que P es un punto cero si "se anula" en TODOS los polinomios de ese conjunto.
Hay resultados elementales que se deducen de las propiedades de los polinomios. Por ejemplo, el conjunto de ceros de un polinomio F = QP (que es producto de otros dos polinomios) es la UNION de los ceros de Q y los ceros de P, es decir V(F) = V(QP) = V(Q) unión V(P),
El conjunto de ceros del conjunto compuesto por dos polinomios F y G, es el conjunto INTERSECCION de los ceros de F y los ceros de G. Es decir, V({F, G}) = V(F) intersección V(G).
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
14 de Mayo, 2017, 15:34
|
Anterior Post
El tema de las curvas elípticas es tan fascinante como amplio. Es a veces difícil saber por dónde empezar, que leer al principio, que investigar. Uno de los libros que me ayudaron a empezar a entender de qué va el tema y sus aplicaciones es:
Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets
de William Stein. Hay versión para bajarse en http://wstein.org/ent/, actualizado a enero de 2017. Podemos estudiar desde los elementos de la teoría de números, llegando a curvas elípticas en el último capítulo. Además se puede estudiar reciprocidad cuadrática, fracciones continuas, y toda la base elemental de teoría de números. El capítulo 3 es interesante porque explica el uso en criptografía de varios resultados de la teoría de números.
(Recordemos acá a Hardy, el "descubridor" de Ramanujan, cultivador de la teoría de números de la que orgulloso decía que no tenía aplicación práctica; se asombraría hoy de cuánto se usa en criptografía).
Al principio, Stein escribe:
The systematic study of number theory was initiated around 300B.C. when Euclid proved that there are in nitely many prime numbers, and also cleverly deduced the fundamental theorem of arithmetic, which asserts that every positive integer factors uniquely as a product of primes. Over a thousand years later (around 972A.D.) Arab mathematicians formulated the congruent number problem that asks for a way to decide whether or not a given positive integer n is the area of a right triangle, all three of whose sides are rational numbers. Then another thousand years later (in 1976), Duffie and Hellman introduced the first ever public-key cryptosystem, which enabled two people to communicate secretely over a public communications channel with no predetermined secret; this invention and the ones that followed it revolutionized the world of digital communication. In the 1980s and 1990s, elliptic curves revolutionized number theory, providing striking new insights into the congruent number problem, primality testing, public key cryptography, attacks on public-key systems, and playing a central role in Andrew Wiles' resolution of Fermat's Last Theorem.
Al principio del capítulo sobre curvas elípticas, escribe:
Elliptic curves are number theoretic objects that are central to both pure and applied number theory. Deep problems in number theory such as the congruent number problem: which integers are the area of a right triangle with rational side lengths? translate naturally into questions about elliptic curves. Other questions, such as the famous Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, describe mysterious structure that mathematicians expect elliptic curves to have. One can also associate nite abelian groups to elliptic curves, and in many cases these groups are well suited to the construction of cryptosystems. In particular, elliptic curves are widely believed to provide good security with smaller key sizes, something that is useful in many applications, for example, if we are going to print an encryption key on a postage stamp, it is helpful if the key is short! Morover, there is a way to use elliptic curves to factor integers, which plays a crucial role in sophisticated attacks on the RSA public-key cryptosystem
Ver la conjetura:
https://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture
Es notable que el problema de saber si un número es congruente o no, carece de solución general:
https://en.wikipedia.org/wiki/Congruent_number
Para sus ejemplos usa http://www.sagemath.org/ Stein primero define cómo es una curva elíptica dando ejemplo gráfico sobre los reales (no trata las curvas elípticas sobre complejos). Define las curvas elípticas en su forma corta, dependiendo de dos parámetros a, b, sin puntos singulares, y evitando los campos K de característica 2 y 3. Para incluir estos campos, define la forma más general de curvas elípticas, con cinco coeficientes.
La primera propiedad no trivial es la estructura de grupo de los puntos de una curva elíptica. Y cómo ese grupo se conserva entre los puntos de coordenada racional. Stein señala que el punto difícil para demostrar la existencia de grupo es probar la asociativada de la "suma de puntos" que define. Menciona tres métodos para demostrarla: apelando a la descripción geométrica, calculándola a partir de las fórmulas para calcular el tercer punto, o sino, desarrollar una teoría general de "divisores de curvas algebraicas" por la cual la asociatividad del grupo sale como un corolario natural.
Otro tema que presenta es el uso de curvas elípticas en la factorización de enteros. Enuncia un resultado de Lenstra, el Elliptic Curve Method, inspirado en un método de Pollard (p-1). De ambos da ejemplos. Del método de Lenstra da, más que una demostración rigurosa, una explicación heurística.
El tema siguiente es la aplicación de curvas elípticas en criptografía, tema introducido independientemente por Neil Koblitz y Victor Miller a mediados de los ochenta del siglo pasado. Primero discute el análogo de Diffie-Holman, en vez de sobre Z/Zp sobre la curva E(Z/Zp). Luego discute el sistema criptográfico ElGamal. Presenta el problema del logaritmo discreto en curvas elípticas.
El tema final es curvas elípticas sobre números racionales, con el importante resultado de Mordell: el grupo de puntos racionales de una curva elíptica tiene base finita, enunciado sin demostración. Menciona el método "de descenso" para calcular esa base, aclarando que no está demostrado que siempre termine exitosamente. Enuncia también un resultado de Mazur, 1976, sobre el grupo de torsión de E(Q), dándolo isomorfo a uno de 15 grupos. El grupo cociente E(Q)/E(Q)tor es un grupo abeliano finitamente generado, entonces es isomorfo a una potencia de Z. Esa número potencia es el rango de E(Q). Hay una conjetura, parte del folclore matemático no asociado a ningún autor en particular, que dice que hay curvas elípticas de cualquier rango arbitrario. Presenta el record mundial de una curva con rango 28. Y notablemente, presenta la relación entre curvas elípticas y números congruentes (números naturales que son la superficie de un triángulo rectángulo de lados racionales).
En fin, un libro para comenzar a tomarle el gusto a esto de las curvas elípticas. No discute el caso complejo, ni da todas las demostraciones, pero sirve para introducirse en este mundo interminable,
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Publicado el
4 de Mayo, 2017, 11:22
|
Publicado el
3 de Mayo, 2017, 14:07
|
Publicado el
2 de Mayo, 2017, 14:00
|
Publicado el
1 de Mayo, 2017, 17:48
|
Publicado el
30 de Abril, 2017, 16:29
|
Hace un tiempo, en el post El Ultimo Teorema de Fermat (4) mostré un resultado de Fermat sobre la imposibilidad de tener un triángulo rectángulo de lados enteros cuya área sea un cuadrado. Ese resultado sirvió también para demostrar el caso n=4 del Ultimo Teorema de Fermat (ver post El Ultimo Teorema de Fermat (5))
Tambien presenté en el post El Ultimo Teorema de Fermat (1) que Fermat había enunciado su famoso Ultimo Teorema, en una copia de un libro de Diofanto, traducido y editado por Bachet de Meziriac. Pero éste último no sólo presenta a Diofanto, sino que también lo anota y acompaña con resultados propios.
Por ejemplo, las condiciones para que un número sea el área de un triángulo rectángulo de lados racionales aparecen en varios problemas de ese libro de Diofanto. Pero este autor griego sólo se contenta con presentar soluciones particulares de esos problemas, sino especificar condiciones necesarias o suficientes para que ese número existe. Pero Bachet agrega algunos resultados.
Notablemente da las condiciones suficientes y necesarias para que el área de un triángulo rectángulo racional sea un cuadrado. Veremos en este post una breve demostración de esta proposición. Pero lo interesante es ver que la preocupación de Fermat por las áreas
de los triángulos rectángulos viene no sólo de Diofanto sino también de Bachet.
Este último puso como condición necesaria y suficiente para que un número A sea área de un triángulo rectángulo racional, es que exista un número racional K tal que:
sea un cuadrado. Primero veamos que si se cumple esta condición, entonces 2A/K y K son lados de un triángulo rectángulo racional de área A, pues
implica, dividiendo por K2, que:
es decir, hay un triángulo racional con lados 2A/K y K. Pero el área de ese triángulo es la mitad de la multiplicación de sus lados, quedando:
Queda demostrado que partiendo de la condición de Bachet, A es el área de un triángulo rectángulo racional.
Veamos de demostrar que la condición de Bachet es necesaria cuando A es área. Sean K y H los lados de un triángulo rectángulo racional tal que su área es A:
Multipliquemos K y H, por K. Quedan K2 y HK. Estos, por proporción, son TAMBIEN lados de un triángulo racional. Entonces, la suma de sus cuadrados es un cuadrado:
Pero HK = 2A, queda entonces la condición de Bachet:
Fuentes consultadas: el monumental Dickson L.E.-History of the theory of numbers_ diophantine analysis. Volume 2 (1971) comienzo del capítulo XXII
Mencionado en el excelente Fermat's Last Theorem, a Genetic Intro de Edwards.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
|
|
Otros mensajes en Matemáticas
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (75) (29 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (74) (28 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (73) (27 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (72) (26 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (71) (25 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (70) (24 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (69) (23 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (68) (22 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (67) (21 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (66) (20 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (65) (19 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (64) (18 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (63) (16 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (62) (14 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (61) (13 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (60) (12 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (59) (11 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (58) (9 de Abril, 2017)
- El Teorema de Gödel (3) (2 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (57) (1 de Abril, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (56) (31 de Marzo, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (55) (30 de Marzo, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (54) (29 de Marzo, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (53) (28 de Marzo, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (52) (27 de Marzo, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (51) (26 de Marzo, 2017)
- Geometría Algebraica (1) (25 de Marzo, 2017)
- Los Orígenes de la Teoría Algebraica de Números (1) (24 de Marzo, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (50) (23 de Marzo, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (49) (22 de Marzo, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (48) (21 de Marzo, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (47) (20 de Marzo, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (46) (19 de Marzo, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (45) (18 de Marzo, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (44) (17 de Marzo, 2017)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (43) (16 de Marzo, 2017)
- Rousseau estudiando Matemáticas (12 de Marzo, 2017)
- Estudiando Geometría Algebraica (1) (11 de Marzo, 2017)
- Leyendo a Riemann (5 de Marzo, 2017)
- Estudiando Curvas Elípticas (1) (12 de Febrero, 2017)
- Desarrollo de las Matemáticas, por Carl Boyer (3) (14 de Enero, 2017)
- El Teorema de Gödel (2) (24 de Diciembre, 2016)
- Teoría de Galois (4) (17 de Octubre, 2016)
- La Influencia de Lagrange en Galois, por Edwards (8 de Octubre, 2016)
- La vida de Galois, por Edwards (3 de Octubre, 2016)
- La Hipótesis de Riemann (8) (30 de Agosto, 2016)
- Teoría de Galois (3) (28 de Agosto, 2016)
- Dedekind y la Teoría de Galois, por Edwards (15 de Julio, 2016)
- Teoría de Galois (2) (10 de Julio, 2016)
- Teoría de Galois (1) (9 de Julio, 2016)
- Los Babilonios y la Ecuación de Segundo Grado (8 de Julio, 2016)
- Libro: Abstract Algebra, de Carstensen, Fine, Rosenberg (5) (1 de Julio, 2016)
- Libro: Abstract Algebra, de Carstensen, Fine, Rosenberg (4) (28 de Junio, 2016)
- Libro: Abstract Algebra, de Carstensen, Fine, Rosenberg (3) (27 de Junio, 2016)
- Libro: Abstract Algebra, de Carstensen, Fine, Rosenberg (2) (26 de Junio, 2016)
- Libro: Abstract Algebra, de Carstensen, Fine, Rosenberg (1) (20 de Junio, 2016)
- Teoría de Números (5) (15 de Junio, 2016)
- Libro: Abstract Algebra Structure and Application, de Finston y Morandi (14 de Junio, 2016)
- Teoría de Números (4) (31 de Mayo, 2016)
- Un primer amor en matemáticas (24 de Mayo, 2016)
- Espacios Métricos (1) (15 de Mayo, 2016)
- El desarrollo de las matemáticas y la física, por Hermann Weyl (14 de Mayo, 2016)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (42) (15 de Abril, 2016)
- El Ultimo Teorema de Fermat (10) (27 de Marzo, 2016)
- El Teorema de Gödel (2) (23 de Marzo, 2016)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (41) (22 de Marzo, 2016)
- ¿De qué tratan las Matemáticas? (3) Principales Ramas (16 de Marzo, 2016)
- Números Reales, Complejos y Más Allá (1) (15 de Marzo, 2016)
- Funciones Aritméticas (3) Funciones Multiplicativas (14 de Marzo, 2016)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (11) (8 de Marzo, 2016)
- El Teorema de Gödel (1) (5 de Marzo, 2016)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (19) (27 de Febrero, 2016)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (40) (22 de Febrero, 2016)
- El Ultimo Teorema de Fermat (9) (21 de Febrero, 2016)
- Teoría de Números (3) (20 de Febrero, 2016)
- Polinomios Primitivos (2) (15 de Febrero, 2016)
- El Ultimo Teorema de Fermat (8) (1 de Febrero, 2016)
- Polinomios Primitivos (1) (18 de Enero, 2016)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (39) (16 de Enero, 2016)
- El Ultimo Teorema de Fermat (7) (2 de Enero, 2016)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (38) (24 de Diciembre, 2015)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (37) (14 de Diciembre, 2015)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (36) (11 de Diciembre, 2015)
- La Hipótesis de Riemann (7) (28 de Noviembre, 2015)
- Series de Fourier (7) (22 de Noviembre, 2015)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (35) (17 de Noviembre, 2015)
- El Ortocentro (3) (24 de Octubre, 2015)
- Series de Fourier (6) (17 de Octubre, 2015)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (34) (2 de Octubre, 2015)
- La Hipótesis de Riemann (6) (20 de Septiembre, 2015)
- Particiones (3) (19 de Septiembre, 2015)
- El Ortocentro (2) (14 de Septiembre, 2015)
- Series de Fourier (5) (13 de Septiembre, 2015)
- El Ultimo Teorema de Fermat (6) (12 de Septiembre, 2015)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (33) (9 de Septiembre, 2015)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (10) (3 de Septiembre, 2015)
- La Hipótesis de Riemann (5) (31 de Agosto, 2015)
- El Ultimo Teorema de Fermat (5) (30 de Agosto, 2015)
- Series de Fourier (4) (29 de Agosto, 2015)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (32) (24 de Agosto, 2015)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (18) (20 de Agosto, 2015)
- El Ortocentro (1) (12 de Agosto, 2015)
- La Hipótesis de Riemann (4) Más Sumas de Potencias desde Basilea (2 de Agosto, 2015)
- El Ultimo Teorema de Fermat (4) (20 de Julio, 2015)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (31) (18 de Julio, 2015)
- Cálculo: Enlaces, Novedades y Recursos (3) (17 de Julio, 2015)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (30) (3 de Julio, 2015)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (29) (25 de Junio, 2015)
- Números Algebraicos (1) (20 de Junio, 2015)
- Invariantes Algebraicos, por David Hilbert (5) (14 de Junio, 2015)
- Invariantes Algebraicos, por David Hilbert (4) (31 de Mayo, 2015)
- Geometría: Enlaces y Recursos (8) (12 de Mayo, 2015)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (28) (9 de Mayo, 2015)
- Series de Fourier (3) (2 de Mayo, 2015)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (17) (28 de Abril, 2015)
- Matemáticas y Realidad (4) Michael Atiyah (26 de Abril, 2015)
- Matemáticas y Realidad (3) Alain Connes (22 de Abril, 2015)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (16) (21 de Abril, 2015)
- Matemáticas y Realidad (2) Galileo y el Lenguaje de la Física (17 de Abril, 2015)
- La Hipótesis de Riemann (3) Solución al Problema de Basilea (12 de Abril, 2015)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (27) (10 de Abril, 2015)
- El Ultimo Teorema de Fermat (3) (5 de Abril, 2015)
- Series de Fourier (2) (31 de Marzo, 2015)
- El Ultimo Teorema de Fermat (2) (30 de Marzo, 2015)
- Funciones Aritméticas (2) La Función de Moebius (28 de Marzo, 2015)
- Particiones (2) (23 de Marzo, 2015)
- La Hipótesis de Riemann (2) El Problema de Basilea (15 de Marzo, 2015)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (26) (6 de Marzo, 2015)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (15) (5 de Marzo, 2015)
- El teorema de la base de Hilbert (4) (28 de Febrero, 2015)
- Bertrand Russell, Smith y el Papa (26 de Febrero, 2015)
- Series de Fourier, Heine y Cantor (24 de Febrero, 2015)
- Series de Fourier (1) (23 de Febrero, 2015)
- El Ultimo Teorema de Fermat (1) (17 de Febrero, 2015)
- David Hilbert en Gotinga, por Courant (14 de Febrero, 2015)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (25) (10 de Febrero, 2015)
- Ecuaciones Diferenciales (5) Usando Operadores (31 de Enero, 2015)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (24) (26 de Enero, 2015)
- Teoría de Categorías (1) Galileo, Tiempo y Espacio (25 de Enero, 2015)
- Particiones (1) (18 de Enero, 2015)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (23) (14 de Enero, 2015)
- Funciones Aritméticas (1) Definición y Ejemplos (10 de Enero, 2015)
- Descenso Infinito (2) (4 de Enero, 2015)
- La Hipótesis de Riemann (1) Introducción (26 de Diciembre, 2014)
- Ecuaciones Diferenciales (4) Soluciones de una Ecuación (25 de Diciembre, 2014)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (9) (2 de Diciembre, 2014)
- John von Neumann y la Programación Lineal (13 de Noviembre, 2014)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (22) (12 de Noviembre, 2014)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (21) (7 de Noviembre, 2014)
- Teoría de Grupos y Partículas Elementales (4) (2 de Noviembre, 2014)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (20) (1 de Noviembre, 2014)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (19) (27 de Octubre, 2014)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (18) (24 de Octubre, 2014)
- Ecuaciones Diferenciales (3) Ejemplos de Ordinarias y Parciales (16 de Octubre, 2014)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (14) (15 de Octubre, 2014)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (17) (10 de Octubre, 2014)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (16) (1 de Octubre, 2014)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (15) (26 de Septiembre, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (10) (22 de Septiembre, 2014)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (8) (30 de Agosto, 2014)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (7) (27 de Agosto, 2014)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (6) (21 de Agosto, 2014)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (13) (13 de Agosto, 2014)
- Ecuaciones Diferenciales (2) Primeros Ejemplos (11 de Agosto, 2014)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (12) (7 de Agosto, 2014)
- Ecuaciones Diferenciales (1) Introducción (3 de Agosto, 2014)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (14) (1 de Agosto, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (9) (27 de Julio, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (8) (18 de Julio, 2014)
- Vectores y Tensores (1) (6 de Junio, 2014)
- El dilema de Ulam (17 de Mayo, 2014)
- Espacios Vectoriales (Parte 5) Combinando Vectores (4 de Marzo, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (7) (3 de Marzo, 2014)
- Henri Poincaré: Enlaces y Recursos (1) (27 de Febrero, 2014)
- Notas sobre Variedades Suaves (3) (18 de Febrero, 2014)
- Topología General (14) Puntos de Acumulación con Intersección Infinita (1 de Febrero, 2014)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (13) (27 de Enero, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (6) (25 de Enero, 2014)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (11) (17 de Enero, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (5) (9 de Enero, 2014)
- Notas sobre Variedades Suaves (2) (4 de Enero, 2014)
- Notas sobre Variedades Suaves (1) (29 de Diciembre, 2013)
- Geometría: Enlaces y Recursos (7) (8 de Diciembre, 2013)
- Series de Potencias (1) (2 de Diciembre, 2013)
- Desarrollo de las Matemáticas, por Carl Boyer (2) (25 de Noviembre, 2013)
- Desarrollo de las Matemáticas, por Carl Boyer (1) (19 de Octubre, 2013)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (10) (6 de Octubre, 2013)
- Geometría: Enlaces y Recursos (6) (29 de Septiembre, 2013)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (9) (25 de Septiembre, 2013)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (12) (20 de Septiembre, 2013)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (11) (19 de Septiembre, 2013)
- Topología General (13) Puntos de Acumulación con Intersección Finita (17 de Septiembre, 2013)
- Los problemas de Hilbert (3) (14 de Septiembre, 2013)
- Una introducción de Hilbert (11 de Septiembre, 2013)
- Teoría de Grupos (2) Unicidad de Inverso y Neutro (6 de Septiembre, 2013)
- Topología General (12) Conjuntos con Puntos de Acumulación (1 de Septiembre, 2013)
- Los problemas de Hilbert (2) (23 de Agosto, 2013)
- Los problemas de Hilbert (1) (17 de Agosto, 2013)
- Teoría de Grupos (1) Axiomas (10 de Agosto, 2013)
- David Hilbert: Enlaces y Recursos (1) (8 de Agosto, 2013)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (10) (28 de Julio, 2013)
- Invariantes Algebraicos, por David Hilbert (3) (21 de Julio, 2013)
- Leyendo a Eric Temple Bell (1) Ampliaciones del concepto de número (I) (20 de Julio, 2013)
- Topología General (11) Una Propiedad de los Conjuntos Cerrados (29 de Junio, 2013)
- Topología: Enlaces y Recursos (4) (28 de Junio, 2013)
- Topología: Enlaces y Recursos (3) (24 de Junio, 2013)
- Teoría de Números (2) (19 de Junio, 2013)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (8) (17 de Junio, 2013)
- Invariantes Algebraicos, por David Hilbert (2) (16 de Junio, 2013)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (5) (14 de Junio, 2013)
- David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (5) (13 de Junio, 2013)
- Euler: Enlaces y Recursos (2) (3 de Junio, 2013)
- Geometría: Enlaces y Recursos (5) (31 de Mayo, 2013)
- David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (4) (29 de Mayo, 2013)
- El teorema de la base de Hilbert (3) (27 de Mayo, 2013)
- Teoría de Números (1) (26 de Mayo, 2013)
- Descenso Infinito (1) (24 de Mayo, 2013)
- David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (3) (22 de Mayo, 2013)
- Geometría: Enlaces y Recursos (4) (21 de Mayo, 2013)
- p = x2 + y2 (2) (20 de Mayo, 2013)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (4) (19 de Mayo, 2013)
- Topología General (10) Conjuntos Cerrados y Puntos de Acumulación (18 de Mayo, 2013)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (4) (15 de Mayo, 2013)
- Geometría: Enlaces y Recursos (3) (9 de Mayo, 2013)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (7) (4 de Mayo, 2013)
- El teorema de la base de Hilbert (2) (1 de Mayo, 2013)
- p = x2 + y2 (1) (29 de Abril, 2013)
- Topología General (9) Conjuntos Cerrados (23 de Abril, 2013)
- David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (2) (19 de Abril, 2013)
- David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (1) (18 de Abril, 2013)
- Invariantes Algebraicos, por David Hilbert (1) (17 de Abril, 2013)
- Notas sobre Invariantes (1) (16 de Abril, 2013)
- Hermann Weyl, fisica y matematicas (9 de Abril, 2013)
- Historia de las Matemáticas en Grecia (1) (5 de Abril, 2013)
- Funciones Invariantes (4) (31 de Marzo, 2013)
- El teorema de la base de Hilbert (1) (30 de Marzo, 2013)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (9) (29 de Marzo, 2013)
- Euler: Enlaces y Recursos (1) (28 de Marzo, 2013)
- Topología General (Parte 8) Puntos de Acumulación (25 de Marzo, 2013)
- Teoría de Categorías: Enlaces y Recursos (2) (24 de Marzo, 2013)
- Teoría de Categorías: Enlaces y Recursos (1) (20 de Marzo, 2013)
- Gauss: Enlaces y Recursos (1) (15 de Marzo, 2013)
- Fermat: Enlaces y Recursos (1) (13 de Marzo, 2013)
- Fermat y el Método de Descenso Infinito (12 de Marzo, 2013)
- Topología: Enlaces y Recursos (2) (6 de Marzo, 2013)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (3) (1 de Marzo, 2013)
- Historia de la Combinatoria (1) (24 de Febrero, 2013)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (3) (16 de Febrero, 2013)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (2) (14 de Febrero, 2013)
- Funciones Invariantes (3) (10 de Febrero, 2013)
- Geometría: Enlaces y Recursos (2) (8 de Febrero, 2013)
- Funciones Invariantes (2) (20 de Enero, 2013)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (6) (15 de Enero, 2013)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (5) (9 de Enero, 2013)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (4) (1 de Enero, 2013)
- Ternas Pitagóricas (18 de Noviembre, 2012)
- Funciones Invariantes (1) (15 de Octubre, 2012)
- Topología General (Parte 7) Entornos de un Punto (30 de Septiembre, 2012)
- Carl Friedrich Gauss (1) Introducción (29 de Septiembre, 2012)
- Números Primos (4) Factorización Unica (18 de Septiembre, 2012)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (2) (14 de Septiembre, 2012)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (1) (13 de Septiembre, 2012)
- Espacios Vectoriales (Parte 4) Subespacios (10 de Septiembre, 2012)
- Geometría: Enlaces y Recursos (1) (31 de Agosto, 2012)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (1) (28 de Agosto, 2012)
- Topología: Enlaces y Recursos (1) (25 de Agosto, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (8) (23 de Agosto, 2012)
- Espacios Vectoriales (Parte 3) Más Ejemplos (20 de Agosto, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (7) (18 de Julio, 2012)
- Números Primos (3) Son Infinitos, otra prueba (1 de Julio, 2012)
- El teorema de Varignon (1) (30 de Junio, 2012)
- Un problema de Kolmogorov (1) (25 de Junio, 2012)
- Serie Armónica Divergente (24 de Junio, 2012)
- Cálculo: Enlaces, Novedades y Recursos (2) (22 de Junio, 2012)
- El anillo K[x] (19 de Junio, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (6) (3 de Junio, 2012)
- Topología General (Parte 6) Una Topología en el Plano Real (27 de Mayo, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (5) (26 de Mayo, 2012)
- Cálculo: Enlaces, Novedades y Recursos (1) (23 de Mayo, 2012)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (3) (17 de Mayo, 2012)
- Formalismo en Matemáticas, por Bertrand Russell (2) (13 de Mayo, 2012)
- Formalismo en Matemáticas, por Bertrand Russell (1) (28 de Abril, 2012)
- Topología General (Parte 5) Topología en Reales (26 de Abril, 2012)
- Números Primos (2) Son Infinitos (22 de Abril, 2012)
- Matemáticas y Filosofía (2) Enlaces y Recursos (15 de Abril, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (4) (13 de Abril, 2012)
- Matemáticas y Filosofía (1) Enlaces y Recursos (8 de Abril, 2012)
- Matemáticas y Realidad (1) Presentación (7 de Abril, 2012)
- Números Primos (1) Presentación (2 de Abril, 2012)
- Topología General (Parte 4) Primer Ejemplo (1 de Abril, 2012)
- Topología General (Parte 3) Espacios Topológicos (27 de Febrero, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (3) (23 de Febrero, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (2) (17 de Febrero, 2012)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (2) (15 de Febrero, 2012)
- Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial Usando Series de Potencias (26 de Enero, 2012)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (1) (19 de Enero, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (1) (14 de Enero, 2012)
- Espacios Vectoriales (Parte 2) Primeros Ejemplos (17 de Diciembre, 2011)
- Números Surreales (2) El Cero (12 de Diciembre, 2011)
- Números Surreales (1) Presentación (28 de Noviembre, 2011)
- El epitafio de Diofanto (26 de Noviembre, 2011)
- Topología General (Parte 2) Puntos y Entornos (7 de Septiembre, 2011)
- Factorización Unica en el Anillo de Enteros (21 de Junio, 2011)
- La utilidad de las matemáticas y Laurent Schwartz (7 de Junio, 2011)
- Solución al problema de los números (6 de Junio, 2011)
- Cinco al hilo (21 de Mayo, 2011)
- Ideales en Anillos (17 de Mayo, 2011)
- David Hilbert, por Richard Courant (16 de Mayo, 2011)
- Espacios Vectoriales (Parte 1) Definiciones (7 de Mayo, 2011)
- Simetrías del cuadrado (Parte 3) (6 de Mayo, 2011)
- Felix Hausdorff por Laurence Young (5 de Mayo, 2011)
- Máximo Común Divisor en el Anillo de Enteros (4 de Mayo, 2011)
- ¿De qué tratan las Matemáticas? (Parte 2) Que es la matemática, por Ian Stewart (3 de Mayo, 2011)
- Abstracción y Definición en Matemáticas (2 de Mayo, 2011)
- Extendiendo los números naturales (30 de Abril, 2011)
- Pares e Impares (29 de Abril, 2011)
- Cuerpos y Campos (28 de Abril, 2011)
- Anillos (26 de Abril, 2011)
- Ejemplos de Anillos Conmutativos (22 de Abril, 2011)
- ¿De qué tratan las Matemáticas? (Parte 1) Introducción (18 de Abril, 2011)
- Topología General (Parte 1) Introducción (16 de Abril, 2011)
- Topología, Física y Solzhenitsyn (15 de Abril, 2011)
- Enumerando Nodos de un Arbol (2 de Abril, 2011)
- La Hormiga, el Cubo y el Veneno (1 de Abril, 2011)
- Primer contacto con el binomio de Newton, en Juvenilia (29 de Marzo, 2011)
- Kant y las Matemáticas (2 de Marzo, 2011)
- Desarrollando una Función en Serie de Potencias (22 de Febrero, 2011)
- Gauss y la importancia de los números complejos (10 de Febrero, 2011)
- Números Complejos (Parte 1) Tutorial en Video (26 de Enero, 2011)
- La Historia de las Matemáticas (Parte 1) (25 de Enero, 2011)
- Einstein: Matemáticas y Realidad (18 de Diciembre, 2010)
- Simetrías del cuadrado (Parte 2) (30 de Septiembre, 2010)
- Simetrías Rotacionales del Cubo (28 de Septiembre, 2010)
- Simetrías del cuadrado (Parte 1) (27 de Septiembre, 2010)
- Aliens y matemáticas, lenguaje universal (23 de Septiembre, 2010)
- Matemáticos y la imaginación (12 de Septiembre, 2010)
- Elipses (11 de Septiembre, 2010)
- N es un número (26 de Agosto, 2010)
- La realidad de la geometría no euclídea (Parte 3) (17 de Agosto, 2010)
- Anillos Conmutativos (27 de Julio, 2010)
- Una propiedad de la indicatriz de Euler (19 de Julio, 2010)
- John Nash, Barry Mazur y el teorema de Dirichlet (18 de Julio, 2010)
- Demostración del teorema Euler-Fermat (17 de Julio, 2010)
- David Hilbert, según Jean Dieudonné (11 de Julio, 2010)
- Gauss y la congruencia, por E.T.Bell (10 de Julio, 2010)
- La fórmula multiplicativa de la indicatriz de Euler (8 de Julio, 2010)
- Problema simple de Teoría de Números (7 de Julio, 2010)
- Un problema de la OMA (5 de Julio, 2010)
- Congruencias módulo m (3 de Julio, 2010)
- Calculando la función indicatriz de Euler (1 de Julio, 2010)
- La función indicatriz de Euler, primeros pasos (30 de Junio, 2010)
- Un pequeño ejercicio en Teoría de Números (29 de Junio, 2010)
- Una paradoja en el Quijote (28 de Junio, 2010)
- Rey Pastor y la historia de las matemáticas (27 de Junio, 2010)
- Matemáticas y Ciencia, en el siglo XVII (27 de Junio, 2010)
- Anécdota de Henri Poincaré (22 de Junio, 2010)
- Matemáticas y Tecnología, según von Neumann (17 de Junio, 2010)
- Simetría, primeros pasos (13 de Junio, 2010)
- Lo General y Particular en Matemáticas, según Courant (12 de Junio, 2010)
- Abstracción y Matemáticas, según Von Neumann (10 de Junio, 2010)
- La realidad de la geometría no euclídea (Parte 2) (7 de Junio, 2010)
- Euclides, geometría y realidad, por Martin Gardner (Parte 2) (5 de Junio, 2010)
- La realidad de la geometría no euclídea (Parte 1) (3 de Junio, 2010)
- Euclides, geometría y realidad, por Martin Gardner (Parte 1) (31 de Mayo, 2010)
- Euclides, según Proclo (24 de Mayo, 2010)
- Naturaleza por números (10 de Abril, 2010)
- Sobre un problema de lógica sobre el argumento ontológico de Anselmo (4 de Abril, 2010)
- Dos visiones de matemáticas (22 de Diciembre, 2009)
- Historia de las Matemáticas modernas de David Eugene Smith (13 de Diciembre, 2009)
- 100 problemas matemáticos (6 de Diciembre, 2009)
- La belleza de las matemáticas según Bertrand Russell (21 de Noviembre, 2009)
- Grupos: definición y ejemplo (20 de Septiembre, 2009)
- Resolviendo un problema de grupos del Fraleigh (17 de Septiembre, 2009)
- Los matemáticos (14 de Septiembre, 2009)
- Motivaciones para la Teoría de Grupos (13 de Septiembre, 2009)
- El problema de los apretones de manos, de Paul Halmos (6 de Septiembre, 2009)
- "Quiero ser matemático": Conversando con Paul Halmos (5 de Septiembre, 2009)
- Un problema con 101 colaboradores (16 de Agosto, 2009)
- Un problema de colaboración (8 de Agosto, 2009)
- Platon, Sócrates y la aritmética (20 de Julio, 2009)
- El problema de los tres dioses (4 de Julio, 2009)
- Recordando a John Napier (2 de Julio, 2009)
- Imágenes y símbolos, según Hilbert (13 de Junio, 2009)
- Como demostrar matemáticamente que las mujeres son un problema (17 de Mayo, 2009)
- Notas sobre el Cálculo Lambda (14 de Abril, 2009)
- Los problemas de Hilbert (9 de Abril, 2009)
- Definiciones en matemáticas, según Fraleigh (4 de Abril, 2009)
- El cubo de Yoshimoto (8 de Enero, 2009)
- Filosofía de las matemáticas, según Dieudonné (20 de Diciembre, 2008)
- Las ideas de Gödel (11 de Diciembre, 2008)
- Siete veces siete (3 de Diciembre, 2008)
- Gödel y Einstein en Princeton (29 de Noviembre, 2008)
- La realidad matemática, según Hardy (23 de Noviembre, 2008)
- Como piensa un matemático (23 de Octubre, 2008)
- Logicismo, intuicionismo y formalismo en matemáticas (20 de Julio, 2008)
- Gödel, Einstein y la constitución americana (5 de Julio, 2008)
- El problema de Monk (4 de Mayo, 2008)
- El origen de las matemáticas (29 de Abril, 2008)
- El razonamiento intuicionista (30 de Marzo, 2008)
- El número y Ernesto Sábato (16 de Marzo, 2008)
- Kant y el intuicionismo matemático (29 de Febrero, 2008)
- El origen del intuicionismo matemático (27 de Febrero, 2008)
- La forma de trabajo de Andrew Wiles (26 de Febrero, 2008)
- El intuicionismo matemático, primer tesis (21 de Febrero, 2008)
- Gauss, Abel, Galois en la sociedad, según Bell (20 de Febrero, 2008)
- Intuición sensible en matemáticas (17 de Febrero, 2008)
- Recordando a Mischa Cotlar (15 de Febrero, 2008)
- Teoría de Galois (14 de Febrero, 2008)
- Recordando a Beppo Levi (12 de Febrero, 2008)
- La historia de Ramanujan (11 de Febrero, 2008)
- Siete mil años de matemáticas (8 de Febrero, 2008)
- El Algebrista (22 de Enero, 2008)
- Más sobre la creación matemática, según Poincaré (10 de Diciembre, 2007)
- La creación matemática, según Poincaré (7 de Noviembre, 2007)
- Poincaré y la topología (1 de Febrero, 2007)
- Divulgando Matemáticas (31 de Enero, 2007)
|
