Angel "Java" Lopez en Blog

Matemáticas


Publicado el 1 de Octubre, 2014, 13:58

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Tengo que estudiar el teorema de Wigner, por otro lado aclarar major el tema de las n-formas. Parece interesante la historia de los axiomas de separación en topología.

Basis vectors and covectors
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=125639

Cartan Einstein Unification
http://cartan-einstein-unification.com/go/

cartan-einstein-unification.com/pdf/On the Exterior Calculus.pdf
http://cartan-einstein-unification.com/pdf/On%20the%20Exterior%20Calculus.pdf

PH212 - Physical Mathematics II - Spring 2011
http://cosmology.kaist.ac.kr/pm2/

Skew coordinates - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Skew_coordinates

One-form - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/One-form

Wigner's classification - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Wigner%27s_classification

Wigner's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Wigner%27s_Theorem

Representations of the Symmetry Group of Spacetime
http://pages.cs.wisc.edu/~guild/symmetrycompsproject.pdf

University of Toronto Mathematics - Geometry and Topology core course
http://www.math.toronto.edu/~mat1300/

History of the separation axioms - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_separation_axioms

Separation axiom - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom

Johann Heinrich Lambert - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert#Physics

Hamiltonian and potentials in derivative pricing models
http://srikant.org/Simulations.pdf

seagull.ukzn.ac.za/~richm/courses/mech-hons/notes.pdf
http://seagull.ukzn.ac.za/~richm/courses/mech-hons/notes.pdf

Understanding the Bias-Variance Tradeoff
http://scott.fortmann-roe.com/docs/BiasVariance.html

La matem´atica y sus elementos: de Euclides a Bourbaki
http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/GACETARSME_2002_05_3_07.pdf

Henri Poincaré: A Scientific Biography — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2012/08/09/poincare-biography/

Generalizations of open books « Low Dimensional Topology
http://ldtopology.wordpress.com/2012/08/15/generalizations-of-open-books/

[1006.2814] A counterexample to the Hirsch conjecture
http://arxiv.org/abs/1006.2814

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Publicado el 26 de Septiembre, 2014, 13:42

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Varios temas a estudiar, como operadores hermíticos, las matemáticas de los campos físicos, y otros temas de matemáticas y física:

Moebius Noodles » Knot Theory for Young Kids
http://www.moebiusnoodles.com/2012/08/knot-theory-for-young-kids/

High-dimensional knot theory Algebraic surgery in codimension 2
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/books/knot.pdf

La derivation d'ordre non entier (fractional calculus) : histoire et signification d'un concept mathematique
http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html

Fractional calculus - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus

Jot Down Cultural Magazine | Clara Grima: "Lo que más me preocupa es cómo popularizar las matemáticas"
http://www.jotdown.es/2012/08/clara-grima-lo-que-mas-me-preocupa-es-como-popularizar-las-matematicas/

[1208.0370v1] The Chaos Within Sudoku
http://arxiv.org/abs/1208.0370v1

El caos determinista permite medir la dificultad de un sudoku « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/08/06/el-caos-determinista-permite-medir-la-dificultad-de-un-sudok-en-la-resolucion-de-un-sudoku-permite-medir-su-dificultad/

Edward Witten revisita la teoría de supercuerdas perturbativa en Strings 2012 « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/08/09/edward-witten-revisita-la-teoria-de-supercuerdas-perturbativa-en-strings-2012/

La física oculta en el infinito, la transmutación dimensional en teorías de Yang-Mills y un millón de dólares « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2009/11/17/la-fisica-oculta-en-el-infinito-la-transmutacion-dimensional-en-teorias-de-yang-mills-y-un-millon-de-dolares/

El bosón de Higgs y el problema del salto de masa para las ecuaciones de Yang-Mills « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2011/06/04/el-boson-de-higgs-y-el-problema-del-salto-de-masa-para-las-ecuaciones-de-yang-mills/

Me ha defraudado Óscar García Prada en su charla sobre la "Existencia de Yang-Mills y del salto de masa" « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2011/06/02/me-ha-defraudado-oscar-garcia-prada-en-su-charla-sobre-la-existencia-de-yang-mills-y-del-salto-de-masa/

Confusiones típicas de los físicos sobre el problema del salto de masa en teorías de Yang-Mills puras « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/08/14/el-problema-del-salto-de-masa-en-las-teorias-de-yang-mills-puras-y-la-masa-de-los-gluones/

Home Page of Physics 582
http://webusers.physics.illinois.edu/~efradkin/phys582/physics582.html

Gauge fixing - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_fixing

Los conceptos de campo, partícula, partícula virtual y vacío « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/08/15/los-conceptos-de-campo-particula-particula-virtual-y-vacio/

Golden ratio discovered in uterus | Alex Bellos | Science | guardian.co.uk
http://www.guardian.co.uk/science/alexs-adventures-in-numberland/2012/aug/14/golden-ratio-uterus

The Aperiodical | A glider on an aperiodic cellular automaton exists!
http://aperiodical.com/2012/08/a-glider-on-an-aperiodic-cellular-automaton-exists/

The Aperiodical | David"s de Bruijn sequence card trick
http://aperiodical.com/2012/08/davids-de-bruijn-sequence-card-trick/

The Aperiodical | Occasional(ly) mathematical blogging
http://aperiodical.com/

The Aperiodical | Carnival of Mathematics 89
http://aperiodical.com/2012/08/carnival-of-mathematics-89/

Hermitian Operator -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/HermitianOperator.html

Inner product space - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space

Sesquilinear form - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Sesquilinear

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Publicado el 22 de Septiembre, 2014, 13:50

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Más enlaces del tema interminable. Hay un par de joyitas sobre la relación entre grupos y partículas elementales:

Chiral symmetry - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Chiral_symmetry

McCabism: What is an elementary particle?
http://mccabism.blogspot.com.ar/2009/02/what-is-elementary-particle.html

quantum mechanics - How is the physical meaning of an irreducible representation justified? - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/16074/how-is-the-physical-meaning-of-an-irreducible-representation-justified

Group Theory and Symmetries in Particle Physics
http://publications.lib.chalmers.se/records/fulltext/158707.pdf

Symmetry and Particle Physics
http://www.mth.kcl.ac.uk/~jbg34/Site/Resources/lectnotes(master).pdf

quantum field theory - Why do we say that irreducible representation of Poincare group represents the one-particle state? - Physics Stack Exchange
http://physics.stackexchange.com/questions/73593/why-do-we-say-that-irreducible-representation-of-poincare-group-represents-the-o

Elementary Particles
http://math.ucr.edu/home/baez/qg-spring2003/elementary/

p-group - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/P-group

Why is group theory important?
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/math216/whygroups.html

Weinberg angle - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Weak_mixing_angle

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Publicado el 30 de Agosto, 2014, 8:37

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Más sobre parejas de primos, conjetura ABC, etc...

Pat'sBlog: On This Day in Math - August 16
http://pballew.blogspot.com.ar/2014/08/on-this-day-in-math-august-16.html

So what happened to the abc conjecture and Navier-Stokes? | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2014/06/so-what-happened-to-the-abc-conjecture-and-navier-stokes/

La constante "entre primos gemelos" - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/la-constante-entre-primos-gemelos/

Me gustan los triángulos... | Naukas
http://naukas.com/2014/04/17/me-gustan-los-triangulos/

L OME en Requena - Problema 1 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/l-ome-en-requena-problema-1/

Calcular las soluciones enteras - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/calcular-las-soluciones-enteras/

La intuición matemática de papá Keeler y la fórmula de Faulhaber - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/la-intuicion-matematica-de-papa-keeler-y-la-formula-de-faulhaber/

Sophie Germain: la matemática aislada. | loff.it
http://loffit.abc.es/2012/12/08/sophie-germain-la-matematica-aislada/90874

p-group - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/P-group

Parejas de enteros especiales - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/parejas-de-enteros-especiales/

Polymath8b, V: Stretching the sieve support further | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2014/01/08/polymath8b-v-stretching-the-sieve-support-further/

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Publicado el 27 de Agosto, 2014, 14:52

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Sigue el tema de la distancia entre primos "bounded gaps between primes":

Bounded gaps between primes - Polymath1Wiki
http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes

Pierre de Fermat: el jurista que nos mantuvo en vilo - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/pierre-de-fermat-el-jurista-que-nos-mantuvo-en-vilo/

NSA Surveillance (an extra bit) - Numberphile - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=1O69uBL22nY

How did the NSA hack our emails? - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=ulg_AHBOIQU

¿Existen polinomios que den valores primos para todo número natural? - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/existen-polinomios-que-den-valores-primos-para-todo-numero-natural/

Encuentra todas las parejas - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/encuentra-todas-las-parejas/

Two Elusive Prime Number Problems Solved | DiscoverMagazine.com
http://discovermagazine.com/2014/jan-feb/07-ready-for-prime-time#.Uqotq_RDscQ

Mertens" theorems | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/12/11/mertens-theorems/

Siempre menor y a veces divisor - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/siempre-menor-y-veces-divisor/

Prueba la desigualdad - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/prueba-la-desigualdad/

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Publicado el 21 de Agosto, 2014, 6:30

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Aparte de los temas clásicos, sigue el caso de los "gaps" acotados entre primos.

Weyl biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Weyl.html

Ni un numero mas
http://gaussianos.com/ni-un-numero-mas/

Frobenius biography
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Frobenius.html

Harald Andrés Helfgott nos habla sobre su demostración de la conjetura débil de Goldbach - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/harald-andres-helfgott-nos-habla-sobre-su-demostracion-de-la-conjetura-debil-de-goldbach/

Todos los dígitos iguales - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/todos-los-digitos-iguales/

No es un cuadrado - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/es-un-cuadrado/

(Documental) La música de los números primos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/documental-la-musica-de-los-numeros-primos/

Yitang Zhang Proves 'Landmark' Theorem in Distribution of Prime Numbers | Simons Foundation
https://www.simonsfoundation.org/quanta/20130519-unheralded-mathematician-bridges-the-prime-gap/

Fermat"s unfinished business | The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2011/11/23/fermats-unfinished-business/

Gaussian Primes - Jason Davies
http://www.jasondavies.com/gaussian-primes/

Polymath8: Writing the paper, II | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/09/02/polymath8-writing-the-paper-ii/

Adam Spencer: Why I fell in love with monster prime numbers | Video on TED.com
http://www.ted.com/talks/lang/es/adam_spencer_why_i_fell_in_love_with_monster_prime_numbers.html

Open Season: Prime Numbers (part 2) | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/08/open-season-prime-numbers-part-2/

Polymath8: Writing the paper | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/08/17/polymath8-writing-the-paper/

Carnival of Mathematics #101: Prime Numbered Special Edition | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/08/carnival-of-mathematics-101-prime-numbered-special-edition/

(Vídeo) Explicación del teorema de los números primos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/video-explicacion-del-teorema-de-los-numeros-primos/

An improved Type I estimate | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/07/27/an-improved-type-i-estimate/

The quest for narrow admissible tuples | Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2013/07/02/the-quest-for-narrow-admissible-tuples/

Bounded gaps between primes (Polymath8) – a progress report | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/06/30/bounded-gaps-between-primes-polymath8-a-progress-report/

Accueil
http://www.institut.math.jussieu.fr/projets/tn/TDN/Accueil.html

Numberphile - Videos about Numbers and Stuff
http://www.numberphile.com/

Quasicrystals and the Riemann Hypothesis | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/06/quasicrystals_and_the_riemann.html

Bounded Gaps Between Primes | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/05/bounded_gaps_between_primes.html

Numeros divisibles. acertijo matemático. | Acertijos y mas cosas
http://acertijosymascosas.com/numeros-divisibles-acertijo-matematico/

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Publicado el 13 de Agosto, 2014, 16:24

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Pat'sBlog: On This Day in Math - December 9
http://pballew.blogspot.com.ar/2013/12/on-this-day-in-math-december-9.html

Pat'sBlog: On This Day in Math - December 8
http://pballew.blogspot.com.ar/2013/12/on-this-day-in-math-december-8.html

Quick Study: Edward Frenkel on math: It's a lot like borscht | The Economist
http://www.economist.com/blogs/prospero/2013/12/quick-study-edward-frenkel-math

Cremona biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cremona.html

Pikasle
http://pikasle.com/es/inicio/

Wilkins biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Wilkins.html

Dehn biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Dehn.html

Si partimos de algo falso podemos demostrar cualquier cosa - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/si-partimos-de-algo-falso-podemos-demostrar-cualquier-cosa/

Gödel's Incompleteness Theorem (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/goedel-incompleteness/

Weyl biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Weyl.html

La historia del método de Newton-Raphson y otro caso más de mala documentación en el cine - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/la-historia-del-metodo-de-newton-raphson-y-otro-caso-mas-de-mala-documentacion-en-el-cine/

Matemáticos que han recibido un Premio Nobel - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/matematicos-que-han-recibido-un-premio-nobel/

Cosas raras provocadas por el infinito - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/cosas-raras-provocadas-por-el-infinito/

The Existential Risk of Mathematical Error
http://www.gwern.net/The%20Existential%20Risk%20of%20Mathematical%20Error

To Infinity… And Beyond! — Acko.net
http://acko.net/blog/to-infinity-and-beyond/

El teorema de Turan: el comienzo de la teoría de grafos extrema - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/el-teorema-de-turan-el-comienzo-de-la-teoria-de-grafos-extrema/

El libro de las demostraciones: Amazon.co.uk: Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Lourdes Figueiras Ocaña, Julián Pfeifle, Pedro A. Ramos: Books
http://www.amazon.co.uk/libro-las-demostraciones-Martin-Aigner/dp/8495599953

(Documental) La música de los números primos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/documental-la-musica-de-los-numeros-primos/

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Publicado el 11 de Agosto, 2014, 12:02

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En una ecuación diferencial interviene una variable dependiente y sus derivadas con respect a una o más variables independientes. Muchas leyes de la naturaleza encuentran encuentran su expresión en ecuaciones diferenciales. Asimismo, son importantes por sí mismas en el desarrollo de las matemáticas desde la aparición del cálculo.

¿Cuál es la razón para encontrarnos con ecuaciones diferenciales en tantos temas (física, química, economía, geometría, etc…)? Si tenemos una función

Su primera derivada indica el ritmo de cambio de y con respecto a x. Y así sucesivamente con las siguientes derivadas. En los procesos naturales las variables que intervienen y sus ritmos de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos que rigen esos procesos. Cuando descubrimos esas relaciones, muchas veces llegamos a expresarlas en ecuaciones diferenciales.

Tomemos un ejemplo, el de la segunda ley de Newton sobre una partícula. Expresada matemáticamente:

Indica que la fuerza que actúa sobre la partícula es la responsable del cambio en el momento de la misma. Vemos que el momento p es un vector.  Conociendo la fuerza que se aplica en cada momento, podemos deducir (a veces con dificultad) la trayectoria de la partícula. Pongamos un ejemplo concreto. Una partícula de masa m, libre, sólo sujeta a la fuerza de la gravedad, cae sin ninguna otra influencia, partiendo del reposo. Recordando que el momento es masa por velocidad:

Y considerando a la masa constante (estamos en un caso no relativista), lo único que varía con el tiempo es la velocidad. Su ritmo de cambio la llamamos aceleración:

La fuerza de gravedad es proporcional a la masa sobre la que se ejerce y a una constante g:

Con dirección hacia abajo. Si ponemos como variable dependiente del tiempo a y, como la distancia desde el punto de reposo que recorre la partícula, queda

Despejando m, queda

La ecuación diferencial que estábamos buscando. Resolviéndola podemos obtener la fórmula de cómo evoluciona el valor de y a través del tiempo. Pero si la partícula encuentra resistencia en su caída, debido al aire, proporcional a su velocidad, entonces la fuerza será:

Y la ecuación a resolver será

Tenemos que estudiar la resolución de éstas y otros tipos de ecuaciones diferenciales, en próximos posts.

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Publicado el 7 de Agosto, 2014, 13:33

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Physicists Discover Geometry Underlying Particle Physics | Simons Foundation
https://www.simonsfoundation.org/quanta/20130917-a-jewel-at-the-heart-of-quantum-physics/

Category Theory (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/

Fermat"s unfinished business | The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2011/11/23/fermats-unfinished-business/

Lectures on the Icosahedron (Dover Phoenix Editions): Felix Klein: 9780486495286: Amazon.com: Books
http://www.amazon.com/Lectures-Icosahedron-Dover-Phoenix-Editions/dp/0486495280

Icosahedral symmetry - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#Related_geometries

Icosahedron - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedron

math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html
http://math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html

On Klein's Icosahedral Solution of the Quintic
http://arxiv.org/pdf/1308.0955.pdf

Godel's Proof
http://ia601702.us.archive.org/3/items/gdelsproof00nage/gdelsproof00nage.pdf

Gaussian Primes - Jason Davies
http://www.jasondavies.com/gaussian-primes/

Blog Post: Math and Music | vismath
https://www.vismath.eu/en/blog/math-and-music

La Ciencia en Papel | La ciencia tambien puede ser betseller
http://lacienciaenpapel.wordpress.com/

Formal Concept Analysis | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/09/formal_concept_analysis.html

The problem with parallels. | The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/2013/09/05/the-problem-with-parallels/

After Giants" Shoulders is before Giants" Shoulders. | The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/2013/08/29/after-giants-shoulders-is-before-giants-shoulders/

Determinacy of Borel games I | Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2013/08/23/determinacy-of-borel-games-i/

The Erdős-Rényi Random Graph | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/08/22/the-erdos-renyi-random-graph/

Julia Robinson and Hilbert"s Tenth Problem, by George Csicsery | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/08/julia-robinson-and-hilberts-tenth-problem-by-george-csicsery/

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Publicado el 3 de Agosto, 2014, 17:01

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Ya es hora de iniciar esta serie, para estudiar ecuaciones diferenciales. Esas ecuaciones aparecen en cada momento en la física matemática, pero también tienen su encanto por sí mismas. En este blog, hicieron su entrada en posts como:

La Ecuación de Schrödinger
Mecánica Clásica
Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial Usando Series de Potencias

En una ecuación diferencial relacionamos una función con sus variables y derivadas. En general, no conocemos esa función y tenemos que encontrarla resolviendo la ecuación. Es muy interesante ver que hay métodos particulares de resolución, algunos métodos generales, y también, muchas situaciones donde no conocemos cómo resolver la ecuación, tal vez sólo por métodos numéricos aproximados.

El desarrollo de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones ha impulsado varios siglos de matemáticas y física desde los tiempos de Newton. Hoy las matemáticas tienen intereses más amplios, como el estudio de estructuras abstractas. Pero las ecuaciones diferenciales siguen jugando un papel importante. Sirva de introducción a esta serie una cita de lo que es ahora mi principal fuente del tema, el excelente Ecuaciones Diferenciales de Simmons. Leo en el prefacio a la primera edición:

El lugar de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas. El análisis ha sido la rama dominante de las matemáticas durante 300 años, y las ecuaciones diferenciales están en el corazón del análisis. Constituyen el objetivo natural del cálculo elemental y la parcela matemática más importante para la comprensión de las ciencias físicas. Es fuente, además, en las cuestiones más profundas que suscita, de la mayoría de las ideas y teorías que conforman el análisis avanzado. Series de potencias, series de Fourier, función gamma y otras funciones especiales, ecuaciones integrales, teoremas de existencia, necesidad de justificación rigurosa de muchos procesos analíticos, todos estos temas aparecerán en nuestro camino en su contexto más natural. Y en una etapa posterior proporcionan la principal motivación que subyace al análisis complejo, a la teoría de series de Fourier y otros desarrollos ortogonales más generales, a la integración de Lebesgue, a los espacios métricos y de Hilbert, y a un sinfín de otras materias de gran belleza en la matemática moderna. Puedo alegar, a título de ejemplo, que una de las ideas principales del análisis complejo consiste en liberar a las series de potencias del ámbito restrictivo del sistema de los números reales, algo que entenderán mejor quienes hayan intentado utilizar series de potencias reales para resolver ecuaciones diferenciales. En botánica resulta obvio que nadie puede apreciar del todo los capullos de las plantas en floración sin un conocimiento razonable de las raíces, tallos y hojas que los nutren y soportan. El mismo principio es válido en matemáticas, pero se desprecia o se ignora con frecuencia.

Las modas son tan comunes en matemáticas como en cualquier otra actividad humana, y siempre es difícil separar lo imperecedero de lo efímero en las obras que nos son coetáneas. Estamos presenciando actualmente en nuestras enseñanzas de matemáticas una fuerte corriente de abstracción que ha eliminado del paisaje muchos rasgos particulares, sustituyéndolos por las suaves y redondeadas formas de las teorías generales. En dosis oderadas, tales teorías generalmente son útiles y satisfactorias, pero un efecto desafortunado de su predominio es que si un estudiante no aprende en su carrera algo acerca de temas tan interesantes como la ecuación de ondas, la función hipergeométrica de Gauss, la función gamma o los problemas básicos del cálculo de variaciones, entre otros, es muy improbable que lo aprenda después. El lugar idóneo para adquirir esas nociones básicas es un curso de nivel elemental en ecuaciones diferenciales. Algunos libros de uso frecuente en esta materia me recuerdan esos autocares de visita turística cuyos conductores están tan obsesionados con el cumplimiento a rajatabla del horario programado que no dan apenas oportunidad a sus pasajeros de disfrutar del recorrido.

Interesante postura. Otros puntos a destacar de este libro es el gran nivel de las notas históricas, y el desarrollo armónico del tema, donde el autor nos va paseando por todos los tipos de ecuaciones diferenciales, paso a paso, sin grandes saltos, y siempre teniendo cerca un ejemplo concreto de aplicación.

Ver también:

http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 1 de Agosto, 2014, 15:57

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Tantos temas para estudiar, como la derivadas covariantes, la geometría de la física, tensores, etc.

MAT 401: The Geometry of Physics
http://www.math.sunysb.edu/~brweber/401s09/coursewebpage/MAT401.html

Covariant derivatives and Christoffel symbols
http://www.mth.uct.ac.za/omei/gr/chap6/node2.html

Covariant Derivative -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/CovariantDerivative.html

Tensor density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_density

Gauge covariant derivative - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_covariant_derivative

Covariant derivative - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative

Covariant derivatives
http://www.math.sunysb.edu/~brweber/401s09/coursefiles/Lecture27.pdf

"Creo que en la matemática hay una alianza entre lo estético y lo utilitario"
http://www.clarin.com/sociedad/Creo-matematica-alianza-estetico-utilitario_0_752924800.html

Ramanujan's Master Theorem -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/RamanujansMasterTheorem.html

Hahn–Banach theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hahn%E2%80%93Banach_theorem

Riemann mapping theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_mapping_theorem

What is the simplest oscillatory integral for which sharp bounds are unknown? - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/103138/what-is-the-simplest-oscillatory-integral-for-which-sharp-bounds-are-unknown

Video Lectures in Mathematics (mathematicsprof) on Pinterest
http://pinterest.com/mathematicsprof/

Analysis Fact (AnalysisFact) on Twitter
https://twitter.com/AnalysisFact

Topology Fact (TopologyFact) on Twitter
https://twitter.com/TopologyFact

The Geometry of Projective Space on Vimeo
http://vimeo.com/40243261

classical mechanics - What does symplecticity imply? - Physics
http://physics.stackexchange.com/questions/32738/what-does-symplecticity-imply

Symmetry and the Fourth Dimension (Part 4) « Azimuth
http://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/07/26/symmetry-and-the-fourth-dimension-part-4/

Mathematically Correct Breakfast - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=dN8AwGUaqDA&feature=youtu.be

Konrad Voelkel » Thom spaces «
http://blog.konradvoelkel.de/2012/06/thom-spaces/

SnapPy — SnapPy 1.6.0 documentation
http://www.math.uic.edu/t3m/SnapPy/

Are there examples of non-orientable manifolds in nature? - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/45832/are-there-examples-of-non-orientable-manifolds-in-nature

Rigged Hilbert space - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space

Hilbert space - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space

Fock space - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Fock_space

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Publicado el 27 de Julio, 2014, 17:10

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Why is group theory useful for physics? - A video guide to representations and normal modes. - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=oWhQAzB4U0E

Group Theory and Physics
http://mysite.du.edu/~jcalvert/phys/groups.htm

Commuting Limits and Colimits over Groups | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/12/commuting_limits_and_colimits.html

Sylow biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Sylow.html

The Geometry Junkyard: Symmetry and Group Theory
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/sym.html

The Geometry Junkyard: Topics
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/topic.html

Lectures on the Icosahedron (Dover Phoenix Editions): Felix Klein: 9780486495286: Amazon.com: Books
http://www.amazon.com/Lectures-Icosahedron-Dover-Phoenix-Editions/dp/0486495280

Icosahedral symmetry - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#Related_geometries

Icosahedron - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedron

On Klein"s Icosahedral Solution of the Quintic
http://arxiv.org/pdf/1308.0955.pdf

Of solving the rubik's from scratch [Python]
http://fulmicoton.com/posts/rubix/

Integral Octonions (Part 5) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/09/integral_octonions_part_5_1.html

The algebra of Unix command substitution | Bosker Blog
http://bosker.wordpress.com/2013/08/16/using-group-theory-to-understand-unix-command-substitution/

Integral Octonions (Part 2) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/07/integral_octonions_part_2.html

Integral Octonions (Part 3) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/07/integral_octonions_part_3.html

G2 and the Rolling Ball | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/06/g2_and_the_rolling_ball.html

A Fourier-analytic proof of Frobenius" theorem | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/05/24/a-fourier-analytic-proof-of-frobeniuss-theorem/

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Publicado el 18 de Julio, 2014, 14:46

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Más recursos para estudiar este interminable tema:

The theorems of Frobenius and Suzuki on finite groups | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/04/12/the-theorems-of-frobenius-and-suzuki-on-finite-groups/

Feit–Thompson theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Odd_order_theorem

Brauer–Fowler theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Brauer%E2%80%93Fowler_theorem

Theorem Proof Gains Acclaim - Microsoft Research
http://research.microsoft.com/en-us/news/features/gonthierproof-101112.aspx

[hep-th/9212115] Higher Algebraic Structures and Quantization
http://arxiv.org/abs/hep-th/9212115

Torsors and enriched categories | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/06/torsors_and_enriched_categorie.html

Rings — A Second Primer | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/06/01/rings-a-second-primer/

LOG#098. Group theory(XVIII). | The Spectrum of Riemannium
http://thespectrumofriemannium.wordpress.com/2013/04/22/log098-group-theoryxviii/

LOG#099. Group theory(XIX). | The Spectrum of Riemannium
http://thespectrumofriemannium.wordpress.com/2013/04/23/log099-group-theoryxix/

[math-ph/9902027] Preparation for Gauge Theory
http://arxiv.org/abs/math-ph/9902027

Eduardo Sáenz de Cabezón, ganador de Famelab España 2013 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/eduardo-saenz-de-cabezon-ganador-de-famelab-espana-2013/

Wedderburn's little theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Wedderburn_s_little_theorem

Some group multiplication tables
http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/grouptables1.html

Lie Groups in Nature « DrMathochist
http://drmathochist.wordpress.com/2010/01/11/lie-groups-in-nature/

What are the best books about group theory (mathematics)? - Quora
http://www.quora.com/What-are-the-best-books-about-group-theory-mathematics

Group representations
http://www.physics.indiana.edu/~dermisek/QFT_08/qft-II-19-2p.pdf

Mis Enalces
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Publicado el 6 de Junio, 2014, 14:10

Hay tantos temas para visitar, y una sola vida. Pero ha llegado el tiempo de comenzar a explorer el tema tensores. Puse como título a esta nueva serie "Vectores y Tensores" para recordar que los tensores son una especie de "vectores con esteroides" en el mundo de las matemáticas. Tanto los vectores simples, como los tensores, aparecen en muchos campos, y en especial, en los temas relacionados con física. Por un lado, los vectores comienzan a tomar forma en el siglo XIX, pero la idea de suma vectorial está flotando desde siglos antes. Ver History of Vectors, donde primero se los relaciona con la aparición de la representación de los complejos en un plano, y luego con los cuaterniones de Hamilton. Pero para mí, el gran creador del campo es Hermann Grassman. Con los vectores, comienzan a aparecer las n-dimensiones en forma explícita, y comienzan a liberarse de cualquier atadura a un cuerpo, como los complejos. Riemann extiende a n-dimensiones las ideas de Gauss sobre curvaturas, y de ahí a los tensores hay poco trecho. El trabajo de matemáticos como Christoffel, Ricci y Levi-Civita hicieron avanzar el campo. Pero ya en el trabajo de Grassman, con su álgebra exterior, aparecen los tensores. Notablemente, Hamilton usó por primera vez el término tensor, pero no en el sentido actual. La primera vez que entró en mi radar esta rica historia, fue a través de las notas de historia de Bourbaki.

Y luego, vino la explosión del tema: con la llegada de la relatividad general de Einstein, los tensores encontraron su lugar principal (no el único) en el mundo de la física matemática. Ver Quick introduction to tensor analysisHistory of Tensors. Antes, los vectores ya habían contribuido a mejorar la notación (y por tanto las ideas) en temas como mecánica clásica y electromagnetismo (como curiosidad, Maxwell no escribió inicialmente sus fórmulas en forma vectorial, sino en desarrollo completo por las coordenadas). 

Ya comencé el estudio de vectores, desde el tema más restringido de espacios vectoriales. En esta serie tendremos que visitar campos escalares, vectoriales, tensores en general (y no solo tensores cartesianos), discutir lo que llamo "el mayor engaño del álgebra lineal", covarianza y contravarianza. Y quisiera que lleguemos a derivada covariante, que tanto tiene que ver con conexión gauge y las teorías gauge modernas. Estuve tentado de dividir el tema en dos: una serie de notas, comentarios, y otra serie de desarrollo matemático, pero esta vez quisiera que exploremos ambos caminos en la misma serie.

Tengo varias fuentes a consultar, por ejemplo, el Penrose (aunque sigo sin entender su notación tensorial particular). Pero hoy vay una cita del excelente "Mathematical Physics" de Hassani. Leo al comienzo del capítulo 26, dedicado a tensores:

Until around 1970s, tensors were almost completely synonymous with (general) relativity except for a minor use in hydrodynamics. Students of physics did not need to study tensors until they took a course in the general theory of relativity. Then they would read the introductory chapter on tensor algebra and analysis, solve a few problems to condition themselves for index "gymnastics", read through the book, learn some basic facts about relativity, and finally abandon it (unless they became relativists).

Today, with the advent of gauge theories of fundamental particles, the realization that gauge fields are to be thought of as geometrical objects, and the widespread belief that all fundamental interactions (including gravity) are different manifestations of the same superforce, the picture has changed drastically. Two important developments have taken place as a consequence: Tensors have crept into other interactions besides gravity (such as the weak and strong nuclear interactions), and the geometrical (coordinate-independent) aspects of tensors have become more and more significant in the study of all interactions. The coordinate-independent study of tensors is the focus of the fascinating field of differential geometry and Lie groups...

Es fascinante cómo este tema que es una extensión de la tan "pedestre" resolución de ecuaciones lineales, termina estando en tantos lugares. Tanto en cosmología como en el modelo estándar, no se puede avanzar sin conocer de estos temas.

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Publicado el 17 de Mayo, 2014, 14:00

Stanislav Ulam fue un matemático polaco. Es conocido por haber participado en el Proyecto Manhattan. Junto con Teller diseñó armas termonucleares. Inventó el método de Monte Carlo para calcular lo que no se puede calcular directamente. En mi radar, entró hace unas décadas, por la espiral de Ulam de números primos.

Hoy me encuentro con una cita de su biografía "Adventures of a Mathematician", que traduzco:

Hace unos años, dí una conferencia en el aniversario nro. 25 de la construcción de la computadora de von Neumann en Princeton. De pronto me ví estimando en mi mente cuántos teoremas eran publicados anualmente en las revistas de matemáticas [los "journals"]. Hice un rápido cálculo mental y llegué a un número cercano a los cien mil teoremas por año. Lo mencioné en la charla, y la audiencia se impresionó. Al día siguiente, dos jóvenes matemáticos que habían asistido, se me acercaron y me dijeron, impresionas por ese número enorme, que habían hecho una búsqueda más sistemática y detallada en la biblioteca del instituto. Multiplicando el número de "journals" por la cantidad de de números al año, por la cantidad de "papers" por número y por el promedio de teoremas por "paper", estimaban que había cerca de doscientos mil teoremas por año. Si el número de teoremas es mayor que lo que uno puede estudiar ¿cómo podemos estar seguros al juzgar qué es "importante"? Uno no puede tener la supervivencia del más apto si no tiene interacción. Es actualmente imposible mantenerse al tanto de aún los más relevantes y excitantes resultados. ¿Cómo podemos reconciliar esto con la idea de las matemáticas sobreviviendo como una sola ciencia? En matemáticas, uno termina casado con su propio pequeño campo de estudio. Debido a eso, el juzgar el valor de la investigación matemática es cada vez más y más dificultoso, y muchos de nosotros hemos devenido en ser principalmente técnicos. La variedad de objetos trabajados por los jóvenes científicos está creciendo exponencialmente. Quizás no deberíamos llamarla polución del pensamiento; es posiblemente algo similar a la prodigalidad de la naturaleza que produce millones de especies de insectos.

Es decir, el problema, el dilema es:

Con tantas matemáticas de hoy en día, cómo se puede juzgar qué es importante y qué no.

Mi primera respuesta: son los propios matemáticos quienes deciden darle importancia o no a un resultado. Seguramente algún grupo de matemáticos reconocerá los teoremas importantes de una rama. Esos teoremas serán entonces seguidos por más matemáticos. Habrá unos pocos que se tomarán el trabajo de vigilar los avances destacados y cómo pueden influir en otras ramas. Las matemáticas son especiales: sus resultados, en principio, sólo interesan a los propios matemáticos. Sólo con el tiempo, algún resultado puede que tenga influencia en otros ámbitos.

La cita la encuentro en el excelente "The Mathematical Experience" de Philip Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto.

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Publicado el 4 de Marzo, 2014, 14:50

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Vimos en el anterior post que la combinación

av + bw

es un subespacio vectorial, donde v y w son dos vectores dados, y a, b son escalares del cuerpo del espacio vectorial. Consideremos para lo que sigue, que v y w son vectores no nulos.

Pero también vimos que un vector podría ser múltiplo de otro vector y un escalar. ¿Qué pasa si el vector w de arriba es múltiplo de v? Veamos. Será entonces que existe un escalar c, que cumple:

cv = w

para algún escalar c. Si c = 0, entonces vimos en el post anterior que w es el vector nulo. Sea c distinto de 0. Queda

av + bw = (a + bc)v

Y acá pasa algo interesante. Si a, b son cero,

av + bw = 0v + 0w = 0

que es el vector nulo (no confundir con el 0 del cuerpo de escalares). Pero ahora, si c es distinto de escalar cero, y b es distinto de 0 como supusimos, cb es distinto de 0 (un cuerpo no tiene divisores de 0), así que basta poner a = -cb, distinto de 0, para tener:

-cbv + bw = (-cb + cb)v = 0v = 0

obtenemos el vector nulo de nuevo. HAY MAS DE UNA FORMA de conseguir el vector nulo combinando los vectores v y w. Siempre HAY UNA forma, considerando a, b son ceros. Pero ahora surge que "hay más de un camino" para llegar al vector nulo, partiendo de los vectores iniciales. Este pasó porque comenzamos suponiendo que un vector era múltiplo del otro.

Sea ahora tres vectores, v, w, t no nulos combinados en una suma:

av + bw + ct

(ahora el coeficiente c es libre, no es el mismo que consideramos antes). Si de alguna forma existen escalares d, e tales que el nuevo vector t se pueda expresar como combinación de los anteriores vectores v y w:

t = dv + ew

No pueden ser d y e ambos ceros, porque supusimos que t es vector no nulo. Podría ser alguno de los dos el escalar cero, pero caeríamos en el caso anterior. Así que exploremos el caso: d y e son escalares distintos del cero. Tenemos que se cumple:

av + bw + ct = av + bw + c(dv + ew) = (a + cd)v + (b +  ce)w

Supusimos que los escalares c, d, e son distintos de 0. Entonces, cd, ce son distintos de cero. Colocando a = -cd, b = -ce, tenemos

av + bw + ct = 0

el vector nulo de nuevo, como resultado de la combinación de los tres vectores, usando COEFICIENTES ESCALARES DISTINTOS DEL CERO. De nuevo, todo esto pasó al suponer que el nuevo vector t era combinación de los anteriores, vía la multiplicación escalar y vector, y vía la suma de vectores. Se dice que un conjunto de vectores (incluso infinito) es linealmente dependiente si hay una suma finita de múltiplos de esos vectores con no todos los coeficientes 0, cuya suma produzca el vector nulo. Cuando pasa eso, uno de los vectores se puede expresar como combinación de los demás. Pues en el caso de arriba, se puede deducir que si c es distinto de 0, queda:

t = a/c v + b/c w

Es decir, el camino inverso que habíamos tomado.

De la misma forma, un conjunto de vectores se dice linealmente independiente si no pueden "generar" el vector nulo (de nuevo considerando sumas finitas de múltiplos escalares). Tenemos que seguir estudiando el tema de la dependencia e independencia lineal. Por ejemplo, tenemos que poner algún ejemplo "visual", combinando vectores "en el plano" o "en el espacio". Los matemáticos también se guían por intuiciones. Pero también se apartan de ellas cuando es necesario elevar la abstracción.

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Publicado el 3 de Marzo, 2014, 15:38

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Algunos enlaces más de este tema interminable que empapa la mayor parte de las matemáticas. Visiten el blog de Gower, a estudiar órbitas, acciones, y demás.

Group actions IV: intrinsic actions « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/12/10/group-actions-iv-intrinsic-actions/

A Semigroup Approach to Finite Markov Chains | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/01/a_semigroup_approach_to_finite.html

Group actions III — what"s the point of them? « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/11/25/group-actions-iii-whats-the-point-of-them/

The number of cycles in a random permutation « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2011/11/23/the-number-of-cycles-in-a-random-permutation/

Group actions II: the orbit-stabilizer theorem « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/11/09/group-actions-ii-the-orbit-stabilizer-theorem/

Group actions I « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/11/06/group-actions-i/

Normal subgroups and quotient groups « Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2011/11/20/normal-subgroups-and-quotient-groups/

The structure of approximate groups « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2011/10/24/the-structure-of-approximate-groups/

John Leech
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leech.html

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Publicado el 27 de Febrero, 2014, 14:36

Habría tanto para escribir y comentar sobre Poincaré. Y su influencia tanto en la física como en las matemáticas. Por ahora, unos enlaces. Vean por ejemplo, el del Poincaré Project.

http://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9

Jules Henri Poincaré (French: [ʒyl ɑ̃ʁi pwɛ̃kaʁe];[2] 29 April 1854 – 17 July 1912) was a French mathematician, theoretical physicist, engineer, and a philosopher of science. He is often described as a polymath, and in mathematics as The Last Universalist by Eric Temple Bell,[3] since he excelled in all fields of the discipline as it existed during his lifetime.

As a mathematician and physicist, he made many original fundamental contributions topure and applied mathematics, mathematical physics, and celestial mechanics. He was responsible for formulating the Poincaré conjecture, which was one of the most famousunsolved problems in mathematics until it was solved in 2002–2003. In his research on thethree-body problem, Poincaré became the first person to discover a chaotic deterministic system which laid the foundations of modern chaos theory. He is also considered to be one of the founders of the field of topology.

Poincaré made clear the importance of paying attention to the invariance of laws of physics under different transformations, and was the first to present the Lorentz transformations in their modern symmetrical form. Poincaré discovered the remaining relativistic velocity transformations and recorded them in a letter to Dutch physicist Hendrik Lorentz (1853–1928) in 1905. Thus he obtained perfect invariance of all of Maxwell's equations, an important step in the formulation of the theory of special relativity.

The Poincaré group used in physics and mathematics was named after him.

James Tauber : Poincaré Project
http://jtauber.com/poincare_project/

The Poincaré Conjecture
http://www.claymath.org/poincare/

Henri Poincaré | El Tamiz
http://eltamiz.com/2012/01/19/henri-poincare/

Pat'sBlog: On This Day in Math - December 9
http://pballew.blogspot.com.ar/2013/12/on-this-day-in-math-december-9.html

French Polymath Henri Poincaré on How Creativity Works | Brain Pickings
http://www.brainpickings.org/index.php/2013/08/15/henri-poincare-on-how-creativity-works/

Phys. Rev. 140, B977 (1965): Classification of Elementary Particles Based on the Representation Types of the Poincaré Group Including Space, Time, and Charge Reflections
http://prola.aps.org/abstract/PR/v140/i4B/pB977_1

Representations of the Symmetry Group of Spacetime
http://pages.cs.wisc.edu/~guild/symmetrycompsproject.pdf

Gauge fixing - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_fixing

Poincaré conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_conjecture

Division Algebras and Supersymmetry III | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/09/division_algebras_and_supersym_1.html

Spinors, Chirality, and Majorana Mass « An American Physics ...
http://fliptomato.wordpress.com/2008/01/04/spinors-chirality-and-majorana-mass/

Matemático Grigori Perelman explica por qué renunció a US$ 1 millón - FayerWayer
http://www.fayerwayer.com/2011/04/matematico-grigori-perelman-explica-por-que-renuncio-a-us-1-millon/

Grigori Perelman claims he can control Universe - English pravda.ru
http://english.pravda.ru/science/tech/28-04-2011/117727-Grigori_Perelman-0/

Yang–Mills existence and mass gap - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E2%80%93Mills_existence_and_mass_gap

Pictures of Modular Curves (III) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/11/pictures_of_modular_curves_iii.html

Russian mathematician rejects $1 million prize - Yahoo! News
http://news.yahoo.com/s/ap/20100701/ap_on_sc/eu_sci_russia_math_genius

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Publicado el 18 de Febrero, 2014, 8:50

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Uno de los primeros textos donde apareción "variedad" en mis lecturas de este siglo, está en "el Penrose". El tema de variedades suaves aparecen en varios lugares en ese gran libro. Vaya una nota para recordar la introducción al tema:

Nota 2

Leo en la sección 10.2 Suavidad, Derivadas Parciales:

Puesto que al considerar funciones de más de una variable empezamos a aventurarnos en espacios de dimensiones más altas, aquí es necesario hacer algunos comentarios concernientes al "cálculo infinitesiman" en tales espacios....

Justamente, en las variedades suaves se aplica alguna forma de análisis matemático, involucrado integrales, derivades, diferenciales. Esa es una nota que distingue a las variedades suaves: no son "suaves" sólo en un sentido topológico sino que hay una estructura adicional que permite extender el cálculo ("cálculo" como "análisis matemático", no simple destreza de calcular), a las variedades de varias dimensiones (incluso de dimensión infinita). Igual, a Penrose le interesa las variedades n-dimensionales. Y explica un caso de uso en física.

... los espacios - conocidos como variedades - pueden ser de cualquier dimensión n, donde n es un entero positivo. (Una variedad n-dimensional se suele conocer simplemente como una n-variedad.) La teoría de la relatividad general de Einstein utiliza una 4-variedad para describir el espaciotiempo, y muchas teorías modernas utilizan variedades de dimensiones aún más altas. Exploraremos las n-variedades generales ... [pero ahora] por simplicidad consideraremos solo la situación de una 2-variedad (o superficie) real S. Entonces podemos utilizar las coordenadas locales x e y (reales) para etiquetar los diferentes puntos de S (en una región local de S). De hecho, la discusión es muy representativa del caso general n-dimensional.

Al pensar en dos dimensiones, uno podría usar el plano euclídeo. Pero hay otros ejemplos, más interesantes:

Una superficie 2-dimensional podría ser, por ejemplo, un plano ordinario o una esfera ordinaria.... Su estructura [la de la variedad] solo tiene que ser la de una variedad suave. Geométricamente, esto significa... que necesitamos poder decir cuándo una función definida en el espacio (i.e., una función cuyo dominio es el espacio) debe considerarse "suave".

Voy a dejar acá la lectura del texto para esta nota. Por una lado, aparecieron coordenadas. Por otro lado, a cada punto del espacio/variedad a considerar se le puede asignar una función (por ejemplo, con resultado real o complejo; si queremos jugar a las matemáticas, podríamos considerar funciones que van de una variedad a otra, y considerar la variedad "target"/objetivo a la  recta real o plano complejo como casos especiales). Les adelanto que hay que considerar:

- La existencia de mapas de coordenadas que pueden no cubrir TODA la variedad (por ejemplo, no hay una forma de adoptar coordenadas en la superficie de una esfera PARA TODOS los puntos, sin caer en puntos singulares, como el "polo norte" y el "polo sur" en el caso de coordenadas longitud/latitud)
- El solapamiento "suave" de mapas de coordenadas
- La existencia de funciones "suaves" y como esa suavidad se extiende al aplicar mapas que se solapan "suavemente"

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
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Publicado el 1 de Febrero, 2014, 15:16

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En el anterior post, descubrimos que puede haber, en un espacio topológico, puntos de acumulación de un conjunto cualquiera M, que tengan una cantidad de puntos finita en la intersección de sus abiertos con el conjunto M. Eso no es lo que se espera en general. Los puntos de acumulación que nos aparecen en la historia del cálculo (límites de sucesiones) en general tienen una cantidad infinita de puntos del conjunto al que se "aproximan". ¿Que es lo que nos falta?

Es que hemos considerado espacios topológicos generales. Pongamos una condición adicional; manejemos espacios topológicos que cumplan:

- Dados dos puntos distintos a, b, siempre hay un entorno del punto a que no contiene al punto b.

Gráficamente:

.

El punto a tiene siempre un entorno (en el que está incluido) que no contiene al punto b. Por supuesto, cada entorno del punto a puede tener o no más puntos. Pero siempre podemos ahora elegir un entorno de a que no contenga al punto b. En definitiva: el punto a no está "pegado" al punto b, se lo puede separar en un entorno.

Con esta simple condición, la situación de los puntos de acumulación comienza a cambiar. Sea un punto de acumulación de M, el punto a. Si TODO entorno del punto a sólo tuviera una cantidad finita de puntos de M, entonces veremos que podemos construir un entorno del punto a QUE NO contenga puntos de M, y entonces el punto a dejaría de ser de acumulación. Veamos.

Sea E(a) un entorno del punto a que tenga una cantidad FINITA de puntos de M. Sea b uno de los puntos de M que está en E(a). Ahora, por la condición enunciada arriba, hay un segundo entorno del punto a, digamos E'(a), QUE NO contiene a B. La intersección de E(a) y E'(a) sigue siendo un entorno de a, digamos E''(a). Este nuevo entorno del punto a, tiene MENOS puntos de M que el entorno del que partimos inicialmente. Siguiendo con este procedimiento, cada vez tenemos un entorno nuevo del punto a, que va teniendo menos puntos de M. Al final, como supusimos desde el principio de todo que la cantidad de puntos del entorno inicial que caían en M era finita, terminamos con un entorno del punto a QUE NO TIENE ningún punto en común con M, distinto de a. Es como que vamos quitando de a uno los puntos en común hasta quedarnos sin ninguno.

Esto es una contradicción con la suposición: el punto a es punto de acumulación de M.

Conclusión: no pueden ser a la vez ciertas:

- punto a es punto de acumulación de M
- existe E(a) con una cantidad FINITA de puntos de M, distintos de a

Corolario:

- Si punto a es de acumulación de M, TODOS sus entornos tienen una CANTIDAD INFINITA de puntos de M distintos del mismo punto a

Es notable que con la simple adición de la condición expresada recuperemos la infinitud de la "adherencia" de los puntos de acumulación. Históricamente, los espacios topológicos fueron tratados al principio con esa condición. Sólo generalizando se vió que era una condición que podía estar o no estar. Veremos en próximos posts la historia de ese desarrollo, y condiciones similares que le podemos adosar a un espacio topológico.  Tengo que visitar, por ejemplo, los distintos axiomas de separabilidad.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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