Angel "Java" Lopez en Blog

Matemáticas


Publicado el 28 de Febrero, 2015, 16:58

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Hace tiempo que no escribo del tema, pero hay terminar la demostración. Sea el ideal que conseguimos en los posts anteriores:

El generado por los polinomios:

Que no se podían generar desde:

Repitamos el proceso con el ideal Q-barra. Sus polinomios tienen un coeficiente principal (el coeficiente del término de mayor grado) y el conjunto de TODOS los coeficientes principales es un IDEAL del anillo original X. Como suponemos que X es noetheriano (todos sus ideales tienen base finita), entonces, el ideal de los coeficientes principales es generado finitamente, digamos por

Por cada uno de estos coeficientes, elijamos un polinomio de Q-barra que lo tenga como coeficiente principal:



....

Donde entonces cada Pi es del ideal que encontramos en el anterior post:

Esto es, cada Pi es fruto de la combinación de algunos de los Qj base finita de Q-barra. Hay una cantidad finita m de polinomios Pi, y una cantidad finita entonces de polinomios Qj que generan a los Pi, llamemos a este último conjunto Q2, y formemos el ideal generado por ellos:

Como Q2 tiene cardinalidad finita, hay un grado mayor en sus polinomios elementos. Digamos que el grado mayor es m2. Se puede demostrar, como antes con P, que todos los polinomios del ideal Q-barra de grado mayor o igual a m2, quedan alcanzados por el ideal Q2-barra.

Ahora bien, algo importante. Teníamos el conjunto finito P de polinomios, digamos con un grado mayor m. Ahora tenemos Q2, también finito, con un grado mayor m2. Por la construcción que seguimos para llegar a Q2, desde Q, m2 es MENOR que m. ¿Por qué? Porque todos los Q eran "el resto" del ideal I "dividido" por el ideal generado por P. Entonces, todos los Q tenían grado menor que m, y todos los Q2 SALEN de los elementos de Q. Ergo, m2 es menor que m.

Seguimos en el próximo post.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 26 de Febrero, 2015, 11:12

Hay unos libros excelentes de la editoral española RBA, que acá en Argentina aparecen de vez en cuando publicados en series semanales. Actualmente, el diario La Nación está publicando una serie de biografías, cada sábado, y son verdaderamente aprovechables. Ya aparecieron varios, como Einstein, Newton, Schrödinger, Heisenberg, Planck, Euclides, Pitágoras, Laplace, Copérnico, Feynman, Kepler, Turing, Arquímedes, y más, bien escritos, con detalles matemáticos y científicos, y también con datos del desarrollo histórico y personal del biografado. No es común eso: en general, aparecen biografías para "legos" donde no se tratan los términos técnicos, o biografías técnicas, sin adentrarse en la persona y el grupo que los generó.

Este último sábado apareció la biografía "Godel, los teoremas de la incompletitud", de Gustavo Ernesto Piñeiro (que ya mencioné en otro post). Leo ahí una conocida anécdota de Bertrand Russell, que expongo en mis palabras.

En una conferencia para público general, Russell expuso que si un sistema de axiomas es inconsistente (puede demostrar una afirmación y su contraria) entonces cualquier afirmación es demostrable a partir de ellos (al parecer, en la conferencia Russell se apoyó en la versión semántica de este tema, en vez de usar inconsistencia, afirmó que partiendo de una premisa falsa puede demostrarse cualquier cosa). Inmediatamente Russell fue desafiado por la audiencia a demostrar que si 1=0 entonces Smith (uno de los asistentes del público) era el papa. Russell razonó así: si 1=0, sumemos uno a ambos lados, quedando 2=1. Sean el conjunto de dos elementos Smith y el papa, pero como 2=1, los dos elementos son uno, y Smith es el papa :-)

Desconozco si la anécdota es real o no, no pude confirmarla. La explicación de Russell es para zafar de la pregunta, y se apoya en conceptos semánticos de conjunto, elemento, etc. Piñeiro expone claramente la diferencia entre lo semántico y lo sintáctico, y que consistencia es un en tema sintáctico, casi mecánico, que se apoya en el concepto de cadena de demostración manipulando símbolos con reglas del sistema en cuestipon. Subraya también que la demostración de Godel de su primer teorema fue cuidadosamente urdida para apoyarse en una autoreferencia sintáctica, en lugar de una autoreferencia´semántica, como la que había señalado el propio Russell en 1902 sobre la teoría de conjuntos de Frege.

Tengo entonces pendiente de explicar en un próximo post la afirmación de Russell, pero desde el punto de vista sintáctico, de cómo desde una manipulación de símbolos, y considerando P y no-P como demostrables desde un conjunto de axiomas, y en un sistema donde se admiten las cualidades de la implicación, entonces se puede probar cualquier afirmación Q.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 24 de Febrero, 2015, 13:04

En el post de ayer escribí sobre las series de Fourier, mencionando que ese desarrollo había influido en muchos temas, incluso en el desarrollo de la teoría de conjuntos de Cantor. En estos días, me encuentro leyendo el excelente libro "Godel, los teoremas de la incompletitud", de Gustavo Ernesto Piñeiro (apareció en la serie de libros española, distribuida acá en Argentina por el diario La Nación, cada sábado). Y leo, la página 25, sobre "El infinito de Cantor" una breve historia:

Cuando un matemático investiga, su objetivo es siempre la resolución de un problema específico. Incluso hoy en día, si se le pregunta a un matemático en qué tema está trabajando, su respuesta seguramente consistirá en el enunciado del problema que está intentando resolver. Para entender el problema que estudiaba Cantor en 1870 [en la universidad alemana de Halle] debemos hablar brevemente de las series de Fourier.

A principios del siglo XIX el matemático francés Joseph Fourier desarrolló un método que le permitía descomponer cualquier onda periódica en una sumatoria de ondas elementales específicas (todas las cuales resultan de modificar la amplitud, la frecuencia o la fase de una onda inicial única). Fourier utilizó este método con gran éxito para estudiar fenómenos ondulatorios como la propagación del calor o la vibración de una cuerda. Como estas sumatorias normalmente involucran una cantidad infinita (en potencia) de ondas, y en matemáticas a una sumatoria infinita se le suele llamar una "serie", a este método se le dio el nombre de "series de Fourier". Actualmente sigue siendo una herramienta esencial en muchas ramas de las matemáticas, así como de la física y de la ingeniería.

Y acá viene la relación con el infinito de Cantor:

En la década de 1860, también en Halle, el matemático alemán Eduard Hene trabajaba en el problema de determinar si la descomposición de una onda periódica en una sumatoria de ondas elementales es siempre única

La pregunta sobre la unicidad de una cierta descomposición es muy común en matemáticas ....

Recordemos el tema de la factorización única del anillo de enteros en factores primos (QUE NO SE DA en todos los anillos)

... Heine se preguntaba si existiría un vínculo similar entre una onda periódica y sus ondas elementales. ¿Sería única esa descomposición, así como es única la descomposición en primos? En la década de 1860, Heine logró demostrar que para ciertos tipos de ondas periódicas (por ejemplo, para aquellas que no tienen "saltos" o discontinuidades), la descomposición en ondas elementales es realmente única. Sin embargo, no había encontrado una demostración general que abarcara todas las situaciones posibles. Entre otras cosas, no había podido demostrar la unicidad en el caso d que en cada período la onda tuviera una cantidad infinita (en potencia) de salto. De modo que cuando Cantor llegó a Halle en 1870, Heine le propuso que trabajar en esta pregunta: ¿es siepre única la descomposición de una onda periódica, aun cuando la cantidad de saltos e cada período pudiera crecer indefinidamente?

Y eso es lo que hizo que Cantor creara la teoría de conjuntos.

Cantor se abocó a estudiar el problema y en 1871 obtuvo una primera respuesta: la descomposición de una onda periódica es única, aun cuando la cantidad de saltos o discontinuidades crezca ilimitadamente, siempre y cuando esos saltos estén distribuidos de una determinada manera. Es decir, para que se garantizara la unicidad, la forma en que los saltos iban apareciendo debía cumplir ciertas condiciones específicas. Pero encontró algunas dificultades a la hora de expresar esos requisitos de una manera concreta, exacta y elegante. Seguramente tenía una intuición muy precisa de cuáles eran las particularidades que quería enunciar, pero se le espcaba el modo de transmitirla en palabras claras y precisas.

Para poder expresar esas condiciones de forma adecuada, Cantor creó los fundamentos de la teoría de conjuntos, separando los infinitos en distintas clases, que había infinitos "más grandes" que otros, y donde se cumplía (como ya había señalado Galileo) que el todo no es mayor que las partes.

Y todo esto, a partir de un problema de las series de Fourier :-)

Nos leemos!

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Publicado el 23 de Febrero, 2015, 8:07

Uno de los temas de matemáticas que uno se encuentra a cada momento en muchas aplicaciones físicas (calor, ondas, cuántica) es el de las series de Fourier. Comienzo hoy una serie de posts para exponer lo principal de las ideas subyacentes a este tema, y tratar de entender mejor su trascendencia y relaciones con otros instrumentos matemáticos. También tienen su importancia en matemática pura. Pero históricamente, están relacionadas con Fourier, matemático francés que expuso la teoría a principios del siglo XIX.

Veamos, a los matemáticos les gusta expresar una función, digamos de una variable x (real o compleja):

Como una función que se pueda expresar de alguna forma, como:

Pronto se vió (desde la época del surgimiento del análisis moderno) que hay funciones que no pueden expresarse simplemente, y hay que recurrir a desarrollos en serie infinita de potencias de x, de la forma general:

Una nota: el concepto moderno de función (a cada x le corresponde un valor y, sin necesidad de expresarlo con una fórmula) sólo surgió en la segunda mitad del siglo XIX (pero eso es otra historia).
Lo que encontró Fourier que muchas funciones, incluso algunas no expresables por serie de potencias de x, se podían expresar como una serie:

Donde las fn son funciones trigonométricas seno, coseno, que vamos a examinar. Es concreto:

Y no sólo encontró esto, sino que además descubrió la forma de conseguir los coeficientes an, bn, de ese desarrollo en serie, de una forma notable, que abrió nuevas ideas en matemáticas. Voy a proponer una analogía. ¿Vieron cuando un quiere determinar las coordenadas de un punto en un espacio n dimensional? Se apela a ejes coordenados (ortogonales y no) y la coordenada del punto con respecto a un eje, es la distancia al origen de la "sombra del punto sobre ese eje"? Bueno, algo así encontró Fourier: una expresión para expresar "la sombra" de una función cualquiera (con algunas condiciones) con respecto a una serie infinita de "ejes", expresados por funciones trigonométricas. Vamos a ver que para la expresión de Fourier de los coeficientes, es fundamental que esos "ejes"/funciones sean "ortogonales" entre sí. Pero no quiero adelantarme. Igual me parece interesante expresar esta analogía porque fue fruto de otros desarrollos. Incluso algunos temas de convergencia y de las condiciones de las funciones expresables en Series de Fourier dieron lugar a la moderna teoría de conjuntos.

Nos leemos!

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Publicado el 17 de Febrero, 2015, 17:53

Es tiempo de iniciar esta serie de post, visitando el último teorema de Fermat, su historia matemática, los caminos que se exploraron para su solución, hasta llegar a su demostración final. Este teorema fue planteado por Pierre de Fermat, al leer un problema de Diofanto en su Aritmetica, traducida por Bachet de Meziriac. El problema de Diofanto era:

Divide un cuadrado dado en otros dos cuadrados

Diofanto daba una solución ilustrativa, no general. En realidad, pedía números racionales, no necesariamente enteros. Para la solución general, ver el post Ternas Pitagóricas. Citando el artículo de D’Alembert en la Enciclopedia de 1750:

El método de Diofanto consistía en reducir la situación a una ecuación en una incógnita mediante una serie de transformaciones

Fermat anotó en esa copia del libro de Diofanto:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet

Traducido como

Descomponer un cubo en otros dos cubos, una cuarta potencia, y en general una potencia arbitraria en dos potencias del mismo grado arriba del segundo, es una cosa imposible y ciertamente he encontrado una prueba admirable. Este estrecho margen no puede contenerla

Esta es la afirmación que se convirtió en el Ultimo Teorema de Fermat. Sólo sabemos de él gracias a esta nota en el margen del libro, publicada por una reedición del hijo mayor de Fermat, Clement Samuel, publicada en 1670, luego de la muerte de Fermat. No parece encontrarse en ninguna de sus numerosas cartas con colegas, ni tampoco se encontró traza, pista de la supuesta “prueba admirable” de la que habla. Lo que sí se ha encontrado el desafío para n=3 y n=4, enviado a Mersenne, Pascal y John Wallis. Tal vez tenía una prueba para n=4, basada en el descenso infinito. Hoy, dado el nivel de nuevas matemáticas que insumió la prueba final de Wiles a fines del siglo pasado, casi podemos estar seguros que esa “prueba admirable” estaba equivocada. Varios intentos a lo largo de siglos, han puesto de manifiesto que es improbable que Fermat tuviera una prueba real, y lo más plausible es que se hubiera dejado llevar por su entusiasmo, aportando una prueba con fallas.

En lenguaje moderno, podemos poner, que para n > 2, la ecuación:

Cumpliendo con

No tiene solución

Principal fuente consultada. El excelente libro: “Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles”, de Yves Hellegouarch.

Ver también http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem

Nos leemos!

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Publicado el 14 de Febrero, 2015, 19:43

Ya escribí varias veces sobre David Hilbert, en:

David Hilbert, Enlaces y Recursos
Métodos de Física Matemática, Courant, Hilbert, Prefacio de Courant
David Hilbert, según Jean Dieudonné
Los problemas de Hilbert
Imágenes y símbolos, según Hilbert
David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (1)
Los problemas de Hilbert (1)

La semana pasada encuentro este texto de Richard Courant, comentando cómo Hilbert se comportó como catedrático en Gotinga:

Si leemos las antiguas crónicas, un catedrático de Gotinga era un semidiós muy consciente de su rango, el de catedrático y también lo era, en particular, la esposa del catedrático.

No sólo en Gotinga, sino en otros lugares de estudio de la Alemania de entonces. Tengo que comentar en algún post, como consiguió Max Planck acercarse a Helmholzt, que era "inalcanzable" para sus alumnos. Hoy, ese "alejamiento" está prácticamente olvidado en muchos ámbitos: las matemáticas son cada vez más colaborativas, y donde los jóvenes son la nueva sangre que trae ideas novedosas a ámbitos ya visitados

La llegada de Hilbert a Gotinga resultó muy molesta. Algunas de las esposas de los catedráticos de más edad se reunieron y dijeron: "¿Te has enterado de este nuevo matemático que ha llegado? Está alterando toda la situación. Se ve que la otra fue visto en un restaurante jugando al billar con algunos de los "Privat dozent" [El Privat dozent ocupaba un rango más bajo que el de profesor ayudante actual, puesto que la universidad no le pagaba nada; solamente recibía el dinero que se le permitía cobrar directamente a sus alumnos en pago de sus clases.] Se consideraba totalmente inaudito que un catedrático se rebajara a entablar amistad personal con personas más jóvenes. Sin embargo, Hilbert rompió esa tradición, lo que significó un enrome paso adelante hacia la creación de la vida científica; los jóvenes estudiantes le visitaban en su casa y tomaban el té o cenaban con él.  Frau Hilbert preparaba grandes y copiosas cenas para los profesores ayudantes, estudiantes y otros. Hilbert salía con sus estudiantes, y con quien quisiera acompañarle, a realizar largas excursiones en los bosques durante las cuales se hablaba de matemáticas, de politíca y de economía.

Hilbert también recibía visitas en su jardín, donde trabajaba todo el tiempo que podía, y entre tarea y tarea de jardinería, o pequeñas tareas caseras, acudía a una larga pizarra que tal vez medía más de seis metros de largo, y que estaba cubierta para poder recorrer toda su longitud incluso bajo la lluvia, en la que trabajaba en sus matemáticas en sus descansos entre los arreglos de los parterres de flores. Uno podía pasar todo el día observándolo.

... Era un profesor único y estimulante... teníamos la suerte de poder observarle forcejeando contra problemas matemáticos, en "ocasiones muy sencillos", y ver cómo encontraba la solución, y eso estimulaba más que una clase magistral perfectamente ejecutada. Lo más impresionante era la gran variedad, el amplio espectro de sus intereses... Era un matemático muy concreto e intuitivo que inventó un principio y lo aplicó de forma muy escrupulosa, a saber, si quieres resolver un problema, retira primero del problema todo lo que no es esencial. Simplifícalo, especialízalo tanto como puedas, sin sacrificar su núcleo. Así, el problema se hace sencillo, tan sencillo como puede sea posible sin que pierda su garra, y entonces lo resuelves. La generalización es una trivialidad a la que no se debe prestar demasiada atención. Este principio de Hiilbert demostró ser extremadamente útil para él y también para otros que aprendieron de él; por desgracia, ha sido olvidado.

Tengo que el libro de ambos, Hilbert y Courant, el famoso Métodos de Física Matemática, que tanto influyó en los físicos de principios del siglo pasado. También tengo pendiente leer las biografías de ambos, escritas por Constance Reid.

Encuentro el texto de arriba, en el excelente libro Matemáticas, una historia de amor y odio. Una cita más corta de Courant sobre Hilbert, la había publicado en David Hilbert, por Richard Courant.

Nos leemos!

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Publicado el 10 de Febrero, 2015, 15:22

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Hay tantos temas interesantes para investigar. En estos días estoy volviendo a leer sobre geometría algebraica. En los de enlaces de hoy, hay otros tópicos, como la densidad de secuencias de números (ver Schnirelmann abajo), y temas de teoría de números como la suma de cuadrados. En estos días, se nos fue René Lavan, veamos el tema de las matemáticas de la mezcla de cartas. Y siempre aparece la teoría de grupos.

Depth- and Breadth-First Search | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/01/22/depth-and-breadth-first-search/

Why there is no Hitchhiker’s Guide to Mathematics for Programmers | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/02/08/why-there-is-no-hitchhikers-guide-to-mathematics-for-programmers/

The Mathematics of Perfect Shuffles
http://www-stat.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/83_05_shuffles.pdf

M13 | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/02/m13.html

Presentations and Representations in Foundations | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/02/presentations_and_representati.html

(Vídeo) Explicando con música la aritmética modular - Gaussianos
http://gaussianos.com/video-explicando-con-musica-la-aritmetica-modular

Encontrado un error en el trabajo de Carl Cowen y Eva Gallardo sobre el problema del subespacio invariante - Gaussianos
http://gaussianos.com/encontrado-un-error-en-el-trabajo-de-carl-cowen-y-eva-gallardo-sobre-el-problema-del-subespacio-invariante

La sorprendente criba de la parábola - Gaussianos
http://gaussianos.com/la-sorprendente-criba-de-la-parabola/

The Aperiodical | Talk: Computability of Bass-Serre structures in the Grzegorczyk hierarchy
http://aperiodical.com/2013/02/talk-computability-of-bass-serre-structures-in-the-grzegorczyk-hierarchy/

The Aperiodical | Collaborative Mathematics: kids (and non-kids) work together on problems over YouTube
http://aperiodical.com/2013/02/collaborative-mathematics/

Fracción polinómica - Gaussianos
http://gaussianos.com/fraccion-polinomica/

Lagrange's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem

Jacobi's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_four-square_theorem

15 and 290 theorems - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/15_and_290_theorems

Brun sieve - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Brun_sieve

Natural density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_density

Schnirelmann density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Schnirelmann_density

FINE ASYMPTOTIC DENSITIES FOR SETS OF NATURAL NUMBERS
http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/24.pdf

THE ASYMPTOTIC DENSITY OF SEQUENCES
http://www.ams.org/journals/bull/1951-57-06/S0002-9904-1951-09543-9/S0002-9904-1951-09543-9.pdf

Subsets of Products of Positive Density on van der Waerden sets
http://arxiv.org/abs/1301.4297

48th Known Mersenne Prime Discovered
http://www.mersenne.org/various/57885161.htm

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Publicado el 31 de Enero, 2015, 13:59

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En el anterior post mostré la ecuación diferencial:

Y mencioné dos soluciones:

Y

Además de comprobarlas y luego, combinarlas linealmente. Pero ¿cómo podemos obtener esas dos soluciones particulares? Primero, podemos hacer que la diferencial de y sea escrita como:

Es simplemente un cambio de notación. Para ser más precisos, D no es un número que se multiplica por la función y, sino que podemos escribirlo mejor como:

Como una función, que aplicada a la función y, nos devuelve otra función, la derivada de y en la variable independiente x. D no es una función que se aplica a un número y devuelve un número, sino que es lo que los matemáticos llaman un funcional u operador funcional: algo que le damos una función y devuelve una función.

Una vez hecho ese cambio de notación podemos expresar nuestra ecuación como:

Y “estirando” la notación, poner:

Y de nuevo, estirando la notación, hacer que esto equivalga a:

Para cualquier y. D es un operador funcional. Si lo tratamos “como si fuera la incógnita de un número” , podemos resolver la ecuación anterior como una ecuación de segundo grado en D, dando como soluciones

Y

Pero D no es un número, es un funcional que podemos aplicar a y ( una función). Queda:

Y

Con lo que llegamos a las soluciones particulares:

Y

Todo esto es “malabarismo” sobre operadores funcionales, tratándolos formalmente como si fueran “números”. Pero funcionan. El pionero en este tratamiento fue Heaviside, ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside
http://en.wikipedia.org/wiki/Operational_calculus

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Publicado el 26 de Enero, 2015, 15:53

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Tantos temas para ver, algunos enlaces adicionales:

Small doubling in groups « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2013/02/01/small-doubling-in-groups/

Great Circle Arc Intersections
http://www.jasondavies.com/maps/intersect/

Roice Nelson - Google+ - A sculpture of the Klein Quartic My first successful…
https://plus.google.com/u/0/112844794913554774416/posts/jUrUZD2EXH8

www.math.ias.edu/~mshulman/papers/sdg/pizza-seminar.pdf
http://www.math.ias.edu/~mshulman/papers/sdg/pizza-seminar.pdf

5 surpreendentes fatos matemáticos
http://hypescience.com/5-fatos-matematicos-surpreendentes-2/

Olimpiada Matemática de Baleares 2013 - Problema 2 - Gaussianos
http://gaussianos.com/olimpiada-matematica-de-baleares-2013-problema-2/

Olimpiada Matemática de Baleares 2013 - Problema 3 - Gaussianos
http://gaussianos.com/olimpiada-matematica-de-baleares-2013-problema-3/

Beauty in Mathematics | Video Lectures
http://video.ias.edu/1213/special-lecture/1211-bombieri

Runge–Kutta methods - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/RK4

Numeric Javascript
http://www.numericjs.com/

Math.NET Project
http://www.mathdotnet.com/

The Aperiodical | The perfect formula for mathsiness
http://aperiodical.com/2013/01/the-perfect-formula-for-mathsiness/

Pat'sBlog: On This Day in Math - January 5
http://pballew.blogspot.com.ar/2013/01/on-this-day-in-math-january-5.html

Poinsot biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Poinsot.html

Ramanujan's Mock Modular Forms: Indian Mathematician's Dream Conjecture Finally Proven
http://www.huffingtonpost.com/2012/12/27/ramanujans-mock-modular-forms_n_2371680.html?utm_hp_ref=science

Van_Ceulen biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Van_Ceulen.html

Números y hoja de cálculo: ¿Cómo veo el 2013?
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/12/como-veo-el-2013.html

¿Y si divido infinito entre infinito? | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/12/26/y-si-divido-infinito-entre-infinito/

Un problema muy particular | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/12/24/un-problema-muy-particular/

Tito Eliatron Dixit: Matemáticas y Lotería de Navidad: una relación imposible
http://eliatron.blogspot.com.ar/2012/12/matematicas-navidad-imposible.html

Nota dominical: El método numérico del matemático palentino Fray Juan de Ortega « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/12/23/nota-dominical-el-metodo-numerico-del-matematico-palentino-fray-juan-de-ortega/

JIBLM.org - Journal of Inquiry-Based Learning in Mathematics - Journal Contents
http://www.jiblm.org/guides/index.aspx?category=jiblmjournal

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Publicado el 25 de Enero, 2015, 16:23

Hace unas decádas, comenzaron a aparecer conceptos que dieron lugar a un nuevo fundamento de las matemáticas. Si bien se basaban en trabajos de miles de años, el lenguaje empleado era nuevo y aún hoy es un tema que no está muy difundido. Gracias al trabajo seminal de Eilenberg y MacLane de "A general theory of natural equivalences", fue que apareció una definición precisa de "categoría" y se hizo explícito que las relaciones entre ellas eran parte básica de las matemáticas.

Comienzo hoy esta serie de posts, para estudiar los conceptos de esta teoría, que no es difícil pero sí nueva y distinta. Comenzemos con algo que pasó hace siglos.

Galileo estudió el movimiento de cuerpos en el espacio. Para eso, se dió cuenta de la importancia de asociar el tiempo con la posición en el espacio de un cuerpo en movimiento. Podemos graficar:

Tenemos un conjunto de instantes de tiempo a la izquierda. Cada punto en el tiempo le corresponde un punto en el espacio, el conjunto de la derecha (estamos manejando conjunto de manera intuitiva, como una colección de cosas). Lo importante es que a cada elemento del conjunto de la izquierda (el dominio que le dicen los matemáticos) LE CORRESPONDE UNO Y SOLO UN elemento en el conjunto de la derecha (el codominio). Esta aplicación es nuestro primer ejemplo de lo que los matemáticos llaman MORFISMO.

Lo que notó también Galileo es que cada punto el espacio se puede mapear a un punto en el plano (dado por "la sombra" del punto en el espacio sobre "el piso") y a un punto en una línea (su altura):

Pudo entonces separar el estudio del movimiento en el espacio a un estudio en simultáneo pero separado, del movimiento en el plano y el movimiento en la línea de altura:

Entonces, la aplicación de tiempo a espacio, luego pudo combinarse con la aplicación de espacio a plano, y la de espacio a línea, quedando:

Esta composición de morfismos, sugiere que ESPACIO = PLANO X TIEMPO, una especie de multiplicación. Tenemos por ahora, tres conceptos a estudiar:

- Los morfismos
- Su composición (dos morfismos (uno atrás de otro como cachetada de loco ;-) originan otro morfismo)
- La multiplicación de conjuntos

Seguimos en el siguiente post. Fuentes consultadas: "Matemáticas conceptuales, una primera introducción a categorías", de Lawvere, Shanuel, editorial Siglo XXI.

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Publicado el 18 de Enero, 2015, 16:42

Ya he tratado varios aspectos de la teoría de números. Ver:

Números Primos
Teoría de Números
Demostración del teorema Euler-Fermat
Congruencias módulo m
La función indicatriz de Euler, primeros pasos
Calculando la función indicatriz de Euler
p = x2 + y2
Funciones Aritméticas

Cuando uno estudia números primos y sus propiedades, se interesa en la divisibilidad, descomponer un número entero entre sus divisores. Es lo que se llama teoría de números multiplicativa. También comenzó a aparecer la teoría analítica, aunque sea apenas insinuada en el tema de la hipótesis de Riemann: el uso del análisis matemático en cuestiones de teoría de números.

A los matemáticos les gusta descomponer a un elemento. En el caso de divisibilidad, ver cuáles son los divisores de un número entero. Pero también hay otro camino a explorar: dado un número natural, ver cómo descomponerlo en SUMANDOS. Por ejemplo, tengamos el número 5 (cinco). ¿Cómo podemos descomponerlo en sumandos naturales? ¿y de cuántas maneras distintas? Por "distintas" entendemos que no nos importa el orden, sino qué números usamos.

Queda entonces para descomponer al 5 (cinco) estas formas:

1 + 1 +  1 + 1 + 1
2 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 1
3 + 1 + 1
3  + 2
4 + 1
5

Es decir, hay siete formas distintas. He tomado la convención de poner los sumandos de mayor a menor.

Estas particiones:

2 + 1 + 1 + 1
1 + 2 + 1 + 1
1 + 1 + 2 + 1
1 + 1 + 1 + 2

Las consideramos "iguales", y tomamos la primera como "forma normal": la que aceptamos para expresar esta partición, la expresión que tiene los sumandos descendentes.

La cantidad de particiones diferentes del número n nos da una función aritmética, que llamamos p(n). Si la calculamos para los primeros números, queda:

p(1) = 1
p(2) = 2
p(3) = 3
p(4) = 5
p(5) = 7
p(6) = 11
p(7) = 15

Les dejo calcular los siguientes valores. En los siguientes posts vamos a investigar las propiedades de p(n). Por ejemplo ¿habrá alguna fórmula directa para expresarla? ¿o alguna fórmula de recurrencia, donde p(n) se pueda expresar en términos de los p(n-1), p(n-2)…? ¿habrá algún patrón a descubrir en sus valores? ¿Alguna fórmula asintótica? Vamos a ver que hasta hay funciones inesperadas que, cuando se expresan en serie, sus coeficientes nos dan los valores de p(n).

Mientras, pueden leer

http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_%28number_theory%29

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 14 de Enero, 2015, 12:39

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Varignon biography
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Srinivasa Ramanujan, el enigmático genio matemático indio - Gaussianos
http://gaussianos.com/srinivasa-ramanujan-el-enigmatico-genio-matematico-indio/

[1212.3515] When does a cross product on R^{n} exist?
http://arxiv.org/abs/1212.3515

Carnaval Matemáticas: El producto vectorial en un espacio euclidiano de 7 dimensiones « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/12/22/el-producto-vectorial-en-un-espacio-euclideo-de-7-dimensiones/

Matrix Factorization: A Simple Tutorial and Implementation in Python @ quuxlabs
http://www.quuxlabs.com/blog/2010/09/matrix-factorization-a-simple-tutorial-and-implementation-in-python/

Math ∩ Programming | A place for elegant solutions
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www.ams.org/notices/201301/rnoti-p97.pdf
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Moby Dick and the tautochrone — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2011/10/15/tautochrone/

Mathematical Background
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Hallar los conjuntos - Gaussianos
http://gaussianos.com/hallar-los-conjuntos/

Ramsey Number Lower Bound | Math ∩ Programming
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A calculus free proof of the spectral theorem « Secret Blogging Seminar
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Groups — A Primer | Math ∩ Programming
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The spectral proof of the Szemeredi regularity lemma « What"s new
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How I teach topology: an inquiry-based learning approach « Division by Zero
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10 Mathematical Equations That Changed The World - YouTube
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El problema de los cocos y el mono, o cómo apartar las matemáticas de la realidad - Gaussianos
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(Vídeo) Las 10 ecuaciones matemáticas que cambiaron el mundo - Gaussianos
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Publicado el 10 de Enero, 2015, 15:11

Mientras sigo explorando teoría de números (ver posts:

Números Primos
Teoría de Números
Demostración del teorema Euler-Fermat
Congruencias módulo m
La función indicatriz de Euler, primeros pasos
Calculando la función indicatriz de Euler
p = x2 + y2

) comienzo hoy una serie de posts sobre un tema nuevo, por un lado sencillo, por otro lado de profunda influencia: las funciones aritméticas. Si hasta puede que el desarrollo del tema nos lleve cerca del teorema de los números primos.

¿Qué es una función aritmética? Es una función sobre los números naturales (desde el 1), que da valores numéricos (digamos, enteros, reales, complejos):

Por ejemplo, tenemos la función aritmética identidad: a cada valor n entrega como resultado el mismo valor n:

Donde

Vamos a ir viendo qué utilidad puede tener una función tan simple. Pero también podemos tener una función aritmética en la función indicatriz de Euler:

Donde para cada n, phi(n) no s da la cantidad de números naturales a, 1 <= a <= n, tales que (a, n) = 1, es decir, que son primos con n.

Comienza a aparecer la relación con la teoría de números: muchas funciones aritméticas interesantes dan resultados que dependen de temas como primos, divisibilidad, que son el pan y la manteca de la teoría de números. Veremos que las funciones aritméticas se pueden clasificar por sus propiedades, y notablemente se pueden combinar entre sí : aparecerá un conjunto de funciones aritméticas que se pueden combinar con una operación binaria que forma grupo, con identidad, inverso, etc.

Antes de terminar esta introducción al tema, quisiera mencionar que también aparecen en series de potencias formales, llegaremos a estudiar las operaciones sobre series infinitas:

Donde los coeficientes son los resultados de una función aritmética f(n). ¿Qué coeficientes nacen de la multiplicación formal de dos de tales series?

Mi principal fuente de consulta para el tema: La introducción a la teoría analítica de números, de Tom Apostol, editorial Reverté.

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Publicado el 4 de Enero, 2015, 7:29

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Veamos otra prueba de la irracionalidad de raíz cuadrada de 3, usando descenso infinito.

Sea

Donde a1, b1 son naturales. Usemos la relación:

Para deducir:

Quedando una nueva fracción:

Como sabemos que la raíz es menor que 2:

Deducimos:

Y entonces:

Y también:

Es decir, el numerador de la nueva fracción es positivo, y el denominador de la nueva fracción es menor que el anterior denominador.

Sabemos también que

De donde sacamos:



Es decir, el nuevo denominador es positivo.

Y también deducimos:

Que el nuevo numerador a2 es menor que el anterior a1. Repitiendo el proceso queda:

Una secuencia de numeradores/denominadores estrictamente decreciente: lo que es absurdo. Entonces, la raíz no es racional.

Ejemplo tomado del "Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles", de Yves Hellegouarch.

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Publicado el 26 de Diciembre, 2014, 15:40

En agosto de 1859, Bernhard Riemann pasó a ser miembro de la Academia de Berlin, lo que era un gran honor para un matemático tan joven (tenía entonces 32 años). Como se acostumbraba en esas ocasiones, Riemann presentó un "paper" a la Academia dando cuenta de alguna de sus investigaciones. El título del "paper" era "Sobre el número de números primos menores que una cantidad dada". Ahí investigaba un problema directo de la aritmética ordinaria. Por ejemplo ¿cuántos primos hay menores que 20? ¿y menores a 2000? ¿y cuántos menores a veinte millones? ¿habría alguna fórmula que nos diera el resultado, aunque sea aproximado?

Riemann atacó el problema con las matemáticas más avanzadas de su tiempo, usando herramientas que aún hoy sólo se mencionan en cursos avanzados. Presentó un objeto matemático, la función zeta extendida a los números complejos, y a la tercera parte de su "paper" hizo una conjetura sobre ese objeto, y comentó:

One would, of course, like to have a rigorous proof of this, but I have put aside the search for such a proof after some fleeting vain attempts because it is not necessary for the immediate objective of my investigation.

Traduzco libremente:

Se podría, por supuesto, obtener una prueba rigurosa de esto, pero yo han dejado de lado la búsqueda de tal prueba después de un vano y fugaz intento porque no es necesario para el objetivo inmediato de mi investigación.

Durante décadas, la conjetura pasó desapercibida, pero poco a poco se fue apoderando de la imaginación de los matemáticos, terminando en ser uno de los problemas no resueltos más famoso de nuestra época.

Esa conjetura se conoce como la hipótesis de Riemann. Y ha resistido más de siglo y medio a ser demostrada o refutada. Curiosamente, su demostración implicaría una demostración del teorema principal de distribución de los números primos, que era el tema principal del "paper" de Riemann. Ese teorema se terminó probando por otros caminos, pero la hipótesis de Riemann todavía se yergue como EL problema no resuelto de nuestros tiempos.

David Hilbert comentaba en el Congreso Internacional de Matemáticas de 1900:

Essential progress in the theory of the distribution of prime numbers has lately been made by Hadamard, de la Vallee Poussin, von Mangoldt and others. For the complete solution, however, of the problems set us by Riemann's paper "On the Number of Prime Numbers Less Than a Given Quantity," it still remains to prove the correctness of an exceedingly important statement of Riemann...

donde entonces menciona la hipótesis de Riemann. Pasemos a enero de 2000, a Phillip A. Griffits, director del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, y anterior profesor de matemáticas en Harvard:

Despite the tremendous achievements of the 20th century, dozens of outstanding problems still await solution. Most of us would probably agree that the following three problems are among the most
challenging and interesting. The Riemann Hypothesis. The first is the Riemann Hypothesis, which has tantalized mathematicians for 150 years....

El Instituto de Matemáticas Clay (fundado por el financista bostoniano Landon T. Clay en 1998) ha ofrecido un premio de un millón de dólares por su prueba o refutación. El Instituto Americano de Matemáticas (establecido en 1994 por el emprendedor californiano John Fry) ha tratado el tema de la hipótesis de Riemann, en tres conferenccias dedicadas (1996, 1998, 2000), a las que asistieron investigadores de todo el mundo.

No es fácil explicar la hipótesis, pero en este primer post puedo enunciarla:

Todos los ceros no triviales de la función zeta tiene una parte real igual a un medio

Esta serie de posts es ambiociosa, porque el tratamiento de la hipótesis no es trivial. Nos llevará a visitar a varios resultados matemáticos, y visitaremos la historia de los matemáticos que se vieron involucrados en el camino anterior y posterior de la hipótesis. Una cosa que quisiera explicar es LA RELACION que tiene la hipótesis con LA DISTRIBUCION de los números primos. Hay varios textos de divulgación que tratan la historia y el desarrollo, pero es raro encontrar una explicación de POR QUE la distribución de los ceros de esa tal "función zeta" arroja luz sobre la distribución de los números primos.

Entonces, tenemos que investigar:

- ¿Qqué es esa "función zeta"?
- ¿Cuáles son sus ceros no triviales? Debe haber entonces ceros triviales
- ¿Cómo se pasa de los ceros no triviales de la función zeta a la distribución de números primos?
- ¿Cómo aparecen los números complejos, reales y conceptos de cálculos en algo tan ligado a los números enteros?
- ¿Qué relación hay con la física cuántica?
- Y toda la historia de los matemáticos que se vieron involucrados en el desarrollo del tema

Mis fuentes principales, los libros:

Stalking the Riemann Hypothesis: The Quest to Find the Hidden Law of Prime Numbers, de Dan Rockmore (un gran desarrollo histórico, con muchos detalles, pero sin la explicación matemática última)

Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, por John Derbyshire (donde sí hay desarrollo matemático detallado)

También tengo como fuentes a:

Introducción a la Teoría Analítica de Números, de T.M. Apostol (editorial Reverté)

Fundamentos de la Teoría Analítica de los Números, de A.A.Karatsuba (editorial Mir)

y varios otros libros que iré mencionando.

Nos leemos!

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Publicado el 25 de Diciembre, 2014, 14:42

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Sea la expresión general de una ecuación diferencial ordinaria, en una variable:

Podría faltar alguna de las derivadas, o incluso la variable explícita. Sea por ejemplo:

¿Cómo resolvemos esta ecuación? Algún método ya vimos en Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial Usando Serie de Potencias. También vimos de resolver:

En el post Series de Potencias (1). Pero nos va a llevar gran parte de esta serie discutir y mostrar los métodos de resolución más generales. Más fácil es comprobar que una función es una solución de la ecuación. Sea la ecuación:

Sean las funciones:

Y

Si las reemplazamos en la ecuación diferencial, vemos que son soluciones de la misma. Por ejemplo, para la primera función tenemos:



Y reemplazando esos valores en la ecuación diferencial, vemos que se cumple la ecuación:

Es más, si combinamos linealmente las dos soluciones propuestas:

También esa combinación lineal, con coeficientes a, b, es una solución de la ecuación. Que la combinación lineal de soluciones sea una solución, no siempre se cumple.

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Publicado el 2 de Diciembre, 2014, 6:44

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¡¡Tenemos dos nuevos primos de Mersenne!! - Gaussianos | Gaussianos
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Posible descubrimiento del primo de Mersenne número 46 - Gaussianos | Gaussianos
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Posible descubrimiento del primo de Mersenne número 45 - Gaussianos | Gaussianos
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Confirmado el descubrimiento del primo de Mersenne número 48 - Gaussianos | Gaussianos
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Confirmado el descubrimiento del primo de Mersenne número 47 - Gaussianos | Gaussianos
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Confirmado que el 44º primo de Mersenne es en realidad el 44º primo de Mersenne - Gaussianos | Gaussianos
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Cinco primos relativos por parejas - Gaussianos | Gaussianos
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Ramanujan, Nagell y la singularidad del 7 - Gaussianos | Gaussianos
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Generalizando sobre sumas de cuadrados a partir de un cuadro ruso - Gaussianos | Gaussianos
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Buscando las parejas de enteros - Gaussianos | Gaussianos
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Parejas en la sucesión de Fibonacci - Gaussianos | Gaussianos
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La sorprendente constante de Khinchin - Gaussianos | Gaussianos
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Publicado el 13 de Noviembre, 2014, 12:10

Estaba investigando sobre modelos económicos, y me encuentro con esto sobre la historia de la programación lineal:

Linear programming (LP) emerged in the United States in the early postwar years. One may to a considerable degree see the development of LP as a direct result of the mobilization of research efforts during the war. George B. Dantzig, who was employed by the US Armed Forces, played a key role in developing the new tool by his discovery in 1947 of the Simplex method for solving LP problems. Linear programming was thus a military product, which soon appeared to have very widespread civilian applications. The US Armed Forces continued its support of Dantzig"s LP work, as the most widespread textbook in LP in the 1960s, namely Dantzig (1963), was sponsored by the US Air Force.

Hace más de tres décadas tuve mi primer encuentro con la programación lineal y los métodos de Dantzig. También había una abundante producción soviética sobre el tema, y nuevas ideas para salir del Simplex.

Dantzig had discovered the Simplex method but admitted many years later that he had not really realized how important this discovery was. Few people had a proper overview of linear models to place the new discovery in context, but one of the few was John von Neumann, at the time an authority on a wide range of problems form nuclear physics to the development of computers. Dantzig decided to consult him about his work on solution techniques for the LP problem.

Este es el relato del propio Dantzig:

"I decided to consult with the "great" Johnny von Neumann to see what he could suggest in the way of solution techniques. He was considered by many as the leading mathematician in the world. On October 3, 1947 I visited him for the first time at the Institute for Advanced Study at Princeton. I remember trying to describe to von Neumann, as I would to an ordinary mortal, the Air Force problem. I began with the formulation of the linear programming model in terms of activities and items, etc.Von Neumann did something, which I believe was uncharacteristic of him. "Get to the point," he said impatiently. Having at times a somewhat low kindling point, I said to myself "O.K., if he wants a quicky, then that"s what he"ll get." In under one minute I slapped the geometric and the algebraic version of the problem on the blackboard. Von Neumann stood up and said "Oh that!" Then for the next hour and a half, he proceeded to give me a lecture on the mathematical theory of linear programs." (Dantzig, 1984).

von Neumann, de amplia cultura matemática, ya conocía el tema. En ese encuentro Dantzig oyó por primera vez sobre la dualidad y el lema de Farkas.

Lo encuentro citado en Dipak Basu, Dipak Basu Economic Models Methods, Theory and Applications.

Otros posts de este blog donde se menciona a von Neumann:

Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John von Neumann
John von Neumann y Operadores en Cuántica
Abstracción y Matemáticas, según von Neumann

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Publicado el 12 de Noviembre, 2014, 14:46

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TED Blog | 8 math talks to blow your mind
http://blog.ted.com/2012/11/21/8-math-talks-to-blow-your-mind/

Endre Szemerédi, premio Abel 2012 - Gaussianos
http://gaussianos.com/endre-szemeredi-premio-abel-2012/

Sorpresa sumando potencias de 2 - Gaussianos
http://gaussianos.com/sorpresa-sumando-potencias-de-2/

Introduction to Category Theory
http://www.cs.nott.ac.uk/~gmh/cat.html

Equivalent Form of the Riemann Hypothesis | Architects Zone
http://architects.dzone.com/articles/equivalent-form-riemann

Statistics in a Nutshell: Sarah Boslaugh: 9781449316822: Amazon.com: Books
http://www.amazon.com/Statistics-Nutshell-Sarah-Boslaugh/dp/1449316824

Theorem of the Day
http://www.theoremoftheday.org/Theorems.html

Ana y las tablas de multiplicar | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/11/21/ana-y-las-tablas-de-multiplicar/

Alexander y su particular esfera: una cuestión de "cuernos" - Gaussianos
http://gaussianos.com/alexander-y-su-particular-esfera-una-cuestion-de-cuernos/?utm_source=feedburner&utm_medium=twitter&utm_campaign=Feed%3A+gaussianos+%28Gaussianos%29

Cálculo comparativo de la diversidad de votos mediante densidad de grafos « Ricardo Galli, de software libre
http://gallir.wordpress.com/2012/11/04/calculo-comparativo-de-la-diversidad-de-votos-mediante-densidad-de-grafos/

LI2012: Ejercicios de lógica proposicional | Vestigium
http://www.glc.us.es/~jalonso/vestigium/li2012-ejercicios-de-logica-proposicional/

Calculando un valor del polinomio - Gaussianos
http://gaussianos.com/calculando-un-valor-del-polinomio/

Situación de las raíces de la derivada, o "el teorema más maravilloso de las matemáticas" - Gaussianos
http://gaussianos.com/situacion-de-las-raices-de-la-derivada-o-el-teorema-mas-maravilloso-de-las-matematicas/

La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen - Gaussianos
http://gaussianos.com/la-hipotesis-del-continuo-del-susto-de-cantor-a-la-prueba-de-cohen/

What was up with Pythagoras? - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=X1E7I7_r3Cw&feature=youtube_gdata_player

¿Otra forma de multiplicar? | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/11/07/otra-forma-de-multiplicar/

Halla el circunradio (ACTUALIZADO) - Gaussianos
http://gaussianos.com/halla-el-circunradio

The Mathematics Behind xkcd: A Conversation with Randall Munroe
http://www.maa.org/mathhorizons/MH-Sep2012_XKCD.html

Cómo demostrar que π (pi) es trascendente - Gaussianos
http://gaussianos.com/como-demostrar-que-%CF%80-pi-es-trascendente/

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Publicado el 7 de Noviembre, 2014, 12:49

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Lectures on Basic Algebraic Geometry
http://www.isibang.ac.in/~statmath/resource/algg0.pdf

Polynomial Rings and Unique Factorization Domains
http://www.math.wustl.edu/~russw/s09.math430/ufds.pdf

Unique factorization in polynomial rings - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/15137/unique-factorization-in-polynomial-rings

Tito Eliatron Dixit: La historia de un matemático y la muerte de Matusalén
http://eliatron.blogspot.com.ar/2012/10/la-historia-de-un-matematico-y-la.html

Los bilingües recurren a la lengua en la que aprendieron las matemáticas para multiplicar - ABC.es
http://www.abc.es/20121002/sociedad/abci-bilingues-matematicas-lengua-201210011832.html

Hilbert's Nullstellensatz - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_s_Nullstellensatz

Algebraic Topology
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf

the Archimedes Palimpsest
http://www.archimedespalimpsest.org/

Another feminist Newtonian: Bologna"s Minerva | The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/2012/10/16/another-feminist-newtonian/

Un poco de gimnasia mental | Mati, una profesora muy particular
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Ferrari biography
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Ferrari.html

Simson biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Simson.html

ABC Conjecture | Ars Mathematica
http://www.arsmathematica.net/archives/2012/10/08/abc-conjecture/

Ramanujan pi approximation — The Endeavour
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An Intuitive Guide to Linear Algebra | BetterExplained
http://betterexplained.com/articles/linear-algebra-guide/

Y dale con Tales… | Mati, una profesora muy particular
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Foundational Questions in the Mathematical Sciences | The John Templeton Foundation
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alsalirdelcole – Las 7 maravillas de las matemáticas
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Grosseteste biography
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Group Theory
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf

Fields and Galois Theory
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf

Algebraic Number Theory
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Algebraic Geometry
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