Publicado el 20 de Agosto, 2018, 12:18
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Hay algo en las matemáticas, que es hermoso: la relación que tienen diversos temas, la unidad que se va descubriendo en su estructura. Es notable cómo se ha ido progresando en este sentido, tan notable que es la principal pista para aceptar la existencia de un mundo matemático, distinto del físico o del mental. Sería increíble que todo esto se deba a la creación humana. Esa relación en los temas se ve en la historia de las curvas elípticas. Hoy quiero comentar brevemente el libro: Elliptic and Modular Functions from Gauss to Dedekind to Hecke de Ranjan Roy Tiene pocas menciones de curvas elípticas, pero es interesante por su desarrollo histórico de los temas que trata. Comienza con las formas modulares en su estado en el siglo XIX. Primero presenta el grupo modular, estudiado por Lagrange es su estudio de las formas cuadráticas (cita un trabajo de 1775). El estudio de las formas cuadráticas (expresiones en x, y, con grado 2 en sus términos) es la semilla de multitud de desarrollos que llegan a los tiempos actuales. Lagrange, por ejemplo, estudió qué enteros se podían obtener de una forma cuadrática cuando sus variables adoptaban valores enteros, y mostró la equivalencia entre formas cuadráticas, ante algunas transformaciones. Aparece el grupo modular y sus generadores S y T (notación introducida no por Lagrange sino por Mordell y Rademacher, ya en el siglo XX). Desde comienzo, el libro se despacha con la historia de todo lo que derivó, pasando por Gauss (con resultados que no publicó), Jacobi, Abel, Einsenstein, Dedekind (su paper sobre formas modulares, y las sumas de Dedekind), algunos resultados tempranos de Euler (como su producto), Klein, Hermite, Hurwitz, Hecke y más. Es justamente Hurwitz el que muestra que las curvas elípticas (que aparecen en la historia LUEGO de las integrales elípticas, y las funciones elípticas (éstas tan estudiadas, por ejemplo, por Abel)), son PARAMETRIZABLES por dos funciones. ¿Qué significa esto? Así como los puntos de una circunferencia (x, y) se pueden expresar por dos funciones periódicos de UN parámetro (sen(t), cos(t)), lo mismo pasa con las curvas elípticas, con dos funciones, esta vez, en vez de ser funciones circulares como el seno y el coseno, son funciones elípticas, CON DOBLE PERIODO (el tema de este doble periodo aparece en muchos de los resultados, como en el grupo modular). Hurwitz publica este resultado en un conocido "paper", leo en 12.1:
Vean cómo sus ideas llegan hasta Mordell y Serre, en el siglo XX. Leo algo sobre Mordell (que tan importante fue en el camino de la demostración del Ultimo Teorema de Fermat), leo en 13.1:
Espero que esto ayude a empezar a ver las múltiples relaciones entre distintas partes de las matemáticas, siendo curvas elípticas una de las puntas del iceberg que sobresale. Una nota personal: ver que ese factor 12 debe estar relacionado con el 24 de alguna conjetura de Ramanujan y el "lattice" de Leech y grupos esporádicos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 13 de Agosto, 2018, 11:14
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Resultants, Resolvents and the Computation of Galois Groups The Abel Prize Laurate 2018: Robert P. Langlands Curious Quaternions Ubiquituos Octonions Brun's Theorem Sieve Theory A polynomial upper bound on Reidemeister moves An Upper Bound on Reidemeister Moves Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 2 de Agosto, 2018, 21:01
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Sigo leyendo libros de Ian Stewart, esta vez, "Significant Figures, The Lives and Work of Great Mathematicians". Me llama la atención su comparación de las matemáticas con otras ciencias en su historia:
Hay ciencias cuyos primeros resultados perduran desde la antiguedad, como la estática desde Arquímedes. Pero otras han ido formando modelos explicativos de la realidad, que luego se cambian por otros, como ahora tenemos las ideas de Einstein que reemplazaron a las de Newton. Pero las matemáticas formas modelos que al no tener que corresponder con una realidad, pueden ser formulados y extendidos sin desecharlos. La geometría de Euclides sigue siendo tan verdadera en su base hace 2000 años como ahora, aun cuando sabemos que no es la geometría a aplicar al mundo físico. Tiene ese encanto la matemática: es el "gran juego" que vamos armando a lo largo de los siglos. Habrá que ver cuanto de esta "creación humana" es creación propia o es descubrimiento de un mundo matemático que existe más allá de nuestra experiencia. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 23 de Julio, 2018, 12:30
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Este mes estoy leyendo sobre algunos temas matemáticos, como geometría algebraica, teoría de grupos, teoría de categorías, hipótesis de Riemann, teoría de Galois, teoría de números, curvas elípticas, historia de las matemáticas. Sobre los últimos temas, encuentro mucho para leer en Ian Stewart. Escribió varios libros de divulgación y también de texto. Estos últimos son muy interesantes, porque si bien son técnicos, están escritos (a veces con coautor) de una forma accesible, amena, con notas históricas. Leo en su "Galois Theory", un párrafo sobre los grandes problemas de las matemáticas.
Bueno, hay igual grandes problemas matemáticos, que han impulsado el desarrollo de matemáticas notables (el ejemplo más conocido por todos es el llamado Ultimo Teorema de Fermat, sobre el cual Stewart también escribió un libro matemático). Hasta el propio Stewart escribió un libro de divulgación sobre algunos grandes problemas matemáticos. Podemos también recordar la lista de problemas de Hilbert, y el programa de Langlands. Tanto en ideas generales como en problemas grandes, la matemática de este siglo está bien provista. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 22 de Julio, 2018, 12:58
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Free Modular Lattice on 3 Generators Pigeonhole principle Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics Earliest Uses of Various Mathematical Symbols Images of Mathematicians on Postage Stamps The Abel Prize 2018, Robert P. Langlands From quadratic reciprocity to Langlands" program 17 handwritten pages that shaped a whole area of mathematical research Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 15 de Julio, 2018, 11:28
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Mandelbulb Dirichlet Series Ramanujan–Petersson conjecture Leech Lattice Ramanujan Tau Function A short, unusual proof that there are infinitely many primes On the Infinitude of the Prime Numbers En recuerdo de Maryam Mirzakhani, la exploradora de superficies Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 8 de Julio, 2018, 13:25
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La teoría de grupos siempre está presente, en tantos temas de las matemáticas como de otras ciencias. Partiendo de la simplicidad de lo que es un grupo abstracto, definible con pocos axiomas, se va construyendo un hermoso edificio, lleno de resultados sorprendentes. Mi primer contacto con grupos se remonta a más de 35 años atrás, y fue una experiencia reveladora de cómo las matemáticas se han desarrollado en los últimos siglos. Grupo es la estructura digamos prototípica de otras estructuras. Ya Bourbaki (en sus notas de historia de las matemáticas) señalaba que alguien como Gauss, con todo su conocimiento matemático y apertura a nuevas ideas, no había llegado a formalizar el concepto de grupo, así que en varias demostraciones de sus "Disquisiciones Matemáticas" repetía el proceso de pasos. Hubo que esperar a desarrollos del siglo XIX para que surgiera la estructura de grupo como decantación de ideas. Por un lado, Galois se da cuenta de sus principales propiedades, y lo aplica en su teoría. Jordan, años más tarde, pule esas ideas. Dirichlet va explicando las ideas de Gauss y las depura en su libro de teoría de números. Dedekind y otros comienzan a usar estructuras, como grupo, anillo, ideal. El método algebraico triunfa en teoría algebraica de números, invariantes, y los "números" terminan incorporados en cuerpos, campos y sus extensiones. Quiero en estas notas solamente escribir rápidamente algunos resultados, para ordenar mi estudio de esta estructura. El concepto de grupo abstracto se basa en simples axiomas, ver Motivaciones para la Teoría de Grupos, Teoría de Grupos (1) Axiomas. Hay que distinguir entre grupos infinitos y grupos finitos Ambos tienen una rica historia de desarrollo. Los grupos infinitos quedan históricamente a las ideas de Lie y sus transformaciones de espacios. Han calado hondo en física, y hasta guían de alguna forma los desarrollos teóricos que sustentan el modelo estándar de partículas elementales. Ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (1). El estudio de grupos finitos también ha sido fructífero. Algo de su historia más abajo y en siguientes posts. Un elemento fundamental en grupos, es el estudio de sus subgrupos: estructuras que "viven" dentro del grupo principal. Es notable que, si bien hay subgrupos, los más destacados son los llamados grupos normales. Dado H un subgrupo normal de G, entonces se puede construir y hablar de G/H, un GRUPO cociente. Y el grupo G se puede reconstruir, de cierta forma, como composición de H y G/H. Esto abre todo un camino de estudio, similar a lo que pasa en teoría de números con los enteros: como un grupo se puede "dividir" en otros grupos. El concepto de grupo simple (ver Simple Group) refiere a esas composiciones: un grupo simple no tiene subgrupos normales no triviales. Es como un "número primo". En el caso de grupos finitos (con cantidad finita de elementos) esto lleva a interesantes resultados, que llegan hasta este siglo XXI. A los matemáticos les gusta clasificar lo que encuentran: ya los grupos son una abstracción, pero ¿se pueden clasificar? Una primera gran división ocurre entre grupos abelianos (donde su operación de base es conmutativa), y no abelianos. Luego ya vimos que hay grupos finitos e infinitos. Pero se ha visto también, que presentan estructuras. Desde el siglo XIX se ha emprendido la clasificación, y en el caso de grupos finitos y simples, se ha conseguido un resultado final, ver Classification of finite simple groups. La historia de este desarrollo es fascinante, y espero poder describirla brevemente en otras notas. Ver también: Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos Algunas fuentes consultadas: Symmetry and the Monster: One of the greatest quests of mathematics, Mark Ronan Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 20 de Junio, 2018, 20:56
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Another (wrong) construction of Pi Johnson Solid A Visual Proof that pi^e < e^pi In her short life, mathematician Emmy Noether changed the face of physics Partition Numbers Longest Straight Line Paths on Water or Land on the Earth Uniform tilings in hyperbolic plane Category Theory: Lecture 43 - Chapter 3: Natural Transformations Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 6 de Junio, 2018, 13:55
Publicado el 25 de Mayo, 2018, 12:30
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Gran parte de la humanidad participa de sociedades donde la ciencia y la tecnología están presentes. Ambas se han desarrollado espectacularmente en los últimos siglos, y se admite que el papel de las matemáticas fue fundamental en su desarrollo. Pero así como los logros científicos y los avances tecnológicos aparecen frecuentemente en los medios, desde libros de divulgación, columnas en periódicos, documentales de televisión, no pasa lo mismo con las matemáticas. Reconozco que en las últimas tres décadas ha habido un surgir de las matemáticas en eventos populares. Pero es como que siempre está rezagada en difusión y entendimiento. Por ejemplo, si preguntamos a una persona cualquiera, sobre ¿qué es la matemática? no obtendremos una gran respuesta. Mucha gente asocia matemáticas con habilidad con los números. Y si uno no llega a cursar más de dos años de alguna carrera universitaria, lo más que verá de matemáticas serán algunos métodos para resolver ecuaciones, y manejar curvas. Pero gran parte del acerbo matemático humano es como que está oculto, no es algo que se comparta mucho. Tengo que admitir que algo ha ido cambiando. Veo que un punto de inflexión fue la demostración del llamado último teorema de Fermat, por Andrew Wiles y compañía, en la primera mitad de los noventa del siglo pasado. Otro notable evento, fue la película Una mente brillante (2001): que recuerde, debe ser el primer film dedicado a la vida de un matemático. Un ejemplo más reciente es la película sobre Ramanujan. Algo menos claro para el público en general, es la vida de Turing. Pero sirvan estos ejemplos para mostrar que hay un cambio en la actitud general sobre las matemáticas. También quiero destacar que en estos tiempos hay MAS libros de divulgación de matemáticas que hace medio siglo. Pero es notable el contraste todavía entre lo que es la matemática y lo que mucha gente se imagina: facilidad para los cálculos y problemas numéricos. Andre Weil alguna vez escribió: "las matemáticas tienen esta particularidad: no son entendidas por los no-matemáticos". En contraste, mucha gente conoce del estado actual de la biología, de la química, de la astronomía, de la física. Vayamos a cualquier librería o a un canal de divulgación de cable, y encontraremos mucho más sobre galaxias, agujeros negros, bosón de Higgs, evolución y genética, que sobre geometría algebraica. En parte, debe ser por la dificultad de enseñar o mostrar algunos temas. Escribe mi principal fuente, Dieudonné:
Escribe esto en 1992, y desde sus preferencias matemáticas. Igual comentaría que ha habido también avance en la explicación visual de conceptos. Basta leer "el Penrose" para ver cuánto hoy de esos conceptos abstractos (como recubrimientos fibrados y conceptos topológicos) pueden ser explicados con diagramas. Otro ejemplo que tengos es el Munkres de Topología. Igual hay que reconocer que muchos conceptos abstractos son difíciles de explicar. Principal fuente: "Mathematics, the music of reason", segunda edición 1998, Jean Dieudonné. Lo seguiré comentando en próximos posts. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 20 de Mayo, 2018, 12:50
Publicado el 11 de Mayo, 2018, 12:25
Publicado el 30 de Abril, 2018, 11:12
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Como comentaba en el anterior post, teoría de categorías aparece en varios temas de las matemáticas modernas. Inspirada por la topología y los grupos (ver Eilenberg y McLane, el encuentro) se ha ido afirmando como una rama de las matemáticas más fundamentales, aunque hay quienes la critican por su generalidad. En estos días me encuentro con: Category Theory, Lectures Notes for ESSLLI de Michael Barr y Charles Wells. Es un resumen de su libro Category Theory for Computing Science. Leo ahí:
Ese es un gran punto: pasa de una estructura matemática a otra. Una categoría muestra esos pasajes, los pone de manifiesto, y deja entrever la unidad subyacente en el tipo de estructura estudiado (sean conjuntos, grupos, anillos, módulos, espacios topológicos, etc...) Luego:
Acá aparece más potencia: una categoría, con sus functores, puede ser un objeto de una categoría más grande. Al fin, una categoría es una estructura matemática más, que puede tener pasajes (functores) a otras categorías. Y algo que no tuve tanto en cuenta cuando comencé hace años a conocer lo que es una categoría, pero que Barr y Wells explican en este resumen y con más detalle en su libro:
No es fácil explicarlo sin ejemplos y desarrollo concreto, pero al fin una categoría puede servir para describir un tipo, sus operaciones y transformaciones. Un ejemplo que Barr y Wells exponen es describir a los números naturales con un grafo, que puede ser usado como categoría, similar a los axiomas de Peano. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 25 de Marzo, 2018, 16:43
Publicado el 23 de Febrero, 2018, 15:50
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Linguistics Using Category Theory Algebra Seminar: Matthew Titsworth,"What does the word NATURAL mean in mathematics?"" Snake Lemma Abelian Category Student research teams explore the unknown NIST"s Digital Library of Mathematical Functions In Praise of Simple Problems What Makes the Hardest Equations in Physics So Difficult? Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 18 de Febrero, 2018, 14:00
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En 1945 se publica el "paper" seminal de toda la teoría de categorías, el "General theory of natural equivalences", de Eilenberg y McLane. Ambos autores habían comenzado a colaborar apenas unos años antes. Leo en "Tool and Object, A History and Philosophy of Category Theory" de Ralf Krömer, en el capítulo 2:
Eilenberg estaba investigando solenoides, que son espacios topológicos con algunas características especiales. McLane se dedicaba entonces al estudio de la extensión de grupos. En el libro de arriba, se cita a Eilenberg, 1993, "Karol Borsuk—personal reminiscences.” Topol. Methods Nonlinear
Ese "paper" es de 1942, "Group extensions and homology", al que le seguiría en ese mismo año el "Natural isomorphisms in group theory". Pero la gran relación que apareció fue entre homología en topología y las extensiones de grupo. Por su parte, McLane escribe en 1989, “The development of mathematical ideas by collision: the case of categories and topos theory.” En Categorical topology and its relation to analysis, algebra and combinatorics
Ver también: https://plato.stanford.edu/entries/category-theory/ Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 17 de Febrero, 2018, 10:11
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Un tema que siempre vuelve a aparecer ni bien estudio algo relacionado con álgebra, como topología algebraica o geometría algebraica, es la teoría de categorías. Nacida a mediados del siglo XX, para muchos matemáticos es un gran avance, algo que se refleja en el avance de las matemáticas en la segunda mitad de ese siglo: el trabajo de Grothendieck y sus colegas llevó nuevas ideas a la álgebra conmutativa, basado principalmente en ideas que sin teoría de categorías hubiera sido más difícil de expresar. Podríamos decir que la prueba de Wiles del Ultimo Teorema de Fermat no hubiera sido posible sin la aparición del lenguaje de categorías, que fue necesario para conseguir demostrar conjeturas que con métodos clásicos no habían podido probarse. Últimamente, el tema volvió a mis lecturas especialmente en el estudio de la geometría algebraica (ver Estudiando Geometría Algebraica). El estudio de las categorías puede ser algo pesado, y sin tener en claro las motivaciones para algunas definiciones y construcciones, uno se puede perder en teoremas y deducciones, interesantes, pero que tiene algo de vaporoso, de complicado sin tener razón de ser para haber sido ideadas. En esta nueva serie, quería compartir algunas lecturas, antes de seguir con mi serie Teoría de Categorías. Un descubrimiento de este año es el "Basic Category Theory" de Leinster, ver: https://arxiv.org/abs/1612.09375 Leo:
Sí, es una vista a vuelo de pájaro. Lo que las categorías han traido es una extensión de la abstracción en matemáticas, tendencia que comenzó en el siglo XIX y luego floreció a principios del siglo XX, por ejemplo, con los trabajos de Emmy Noether. Esa abstracción no siempre es bien recibida o al menos, no siempre se percibe que se gana con ella: a veces, los temas a unir son tan separados que el especialista en uno de ellos puede no ver la utilidad de emplear un nivel más alto de abstracción. Pero acá viene un punto importante, que es la razón de mi preferencia por este libro y autor:
Este énfasis en las propiedades universales no siempre es evidente en otros libros. Pero es el hilo conductor para comenzar a enteder de qué va la teoría de categorías, para empezar a verla como algo más que abstracción por la abstracción pura. En próximo post comentaré los tres caminos de Leinster para estudiar las propiedades universales. Y luego, en otros post, comentare brevemente otras fuentes conocidas, como el gran libro de Eilenberg y McLane. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 13 de Febrero, 2018, 13:16
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Irreducible Elements in an Unique Factorization Domain are Prime A principal ideal ring that is not a euclidean ring Ring of integers is a Principal Ideal Domain but not a Euclidean domain An example of a principal ideal domain which is not a Euclidean domain A Short Introduction to Schemes Foundations of Algebraic Geometry David Mumford Math & Beauty & Brain Areas Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 10 de Febrero, 2018, 11:39
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Ya comenzó el segundo mes del año, en una calurosa Buenos Aires. Y como es costumbre, tiempo de escribir mis resoluciones públicas mensuales (no profesionales). Primero, siempre el repaso de las del mes pasado: - Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente] Tenía posts "in pectore" sobre historia de la ciencia y de las matemáticas, pero no llegué a tiempo a escribirlos. Y si bien mi intención era escribir sobre geometría algebraica, en mi serie de posts, terminé extendiendo otra serie relacionada: Estudiando Geometría Algebraica (2) Para este mes, sigo insistiendo con: - Escribir sobre Historia de la Ciencia Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 5 de Febrero, 2018, 13:56
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Blockchain 101 - Elliptic Curve Cryptography Zariski Topology Coordinate Ring Krull Dimension Irreducible Elements Any Prime is Irreducible Prime implies Irreducible Irreducible Elements in a Principal Ideal Domain are Prime Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
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- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (9) (2 de Diciembre, 2014)
- John von Neumann y la Programación Lineal (13 de Noviembre, 2014)
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- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (14) (1 de Agosto, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (9) (27 de Julio, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (8) (18 de Julio, 2014)
- Vectores y Tensores (1) (6 de Junio, 2014)
- El dilema de Ulam (17 de Mayo, 2014)
- Espacios Vectoriales (Parte 5) Combinando Vectores (4 de Marzo, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (7) (3 de Marzo, 2014)
- Henri Poincaré: Enlaces y Recursos (1) (27 de Febrero, 2014)
- Notas sobre Variedades Suaves (3) (18 de Febrero, 2014)
- Topología General (14) Puntos de Acumulación con Intersección Infinita (1 de Febrero, 2014)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (13) (27 de Enero, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (6) (25 de Enero, 2014)
- Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (11) (17 de Enero, 2014)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (5) (9 de Enero, 2014)
- Notas sobre Variedades Suaves (2) (4 de Enero, 2014)
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- Los problemas de Hilbert (2) (23 de Agosto, 2013)
- Los problemas de Hilbert (1) (17 de Agosto, 2013)
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- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (10) (28 de Julio, 2013)
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- Topología: Enlaces y Recursos (4) (28 de Junio, 2013)
- Topología: Enlaces y Recursos (3) (24 de Junio, 2013)
- Teoría de Números (2) (19 de Junio, 2013)
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- Invariantes Algebraicos, por David Hilbert (2) (16 de Junio, 2013)
- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (5) (14 de Junio, 2013)
- David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (5) (13 de Junio, 2013)
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- Geometría: Enlaces y Recursos (5) (31 de Mayo, 2013)
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- Descenso Infinito (1) (24 de Mayo, 2013)
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- Geometría: Enlaces y Recursos (4) (21 de Mayo, 2013)
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- Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (4) (19 de Mayo, 2013)
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- Geometría: Enlaces y Recursos (3) (9 de Mayo, 2013)
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- p = x2 + y2 (1) (29 de Abril, 2013)
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- David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (2) (19 de Abril, 2013)
- David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (1) (18 de Abril, 2013)
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- Euler: Enlaces y Recursos (1) (28 de Marzo, 2013)
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- Geometría: Enlaces y Recursos (1) (31 de Agosto, 2012)
- Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos (1) (28 de Agosto, 2012)
- Topología: Enlaces y Recursos (1) (25 de Agosto, 2012)
- Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (8) (23 de Agosto, 2012)
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