Angel "Java" Lopez en Blog

Matemáticas


Publicado el 12 de Mayo, 2015, 16:14

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Más temas de geometría, a veces puros, otras veces demostrando su relación con la física. En este último siglo se ha ido redescubriendo el poder de la geometría, con conceptos independientes de coordenadas, o con la aplicación de las ideas de Gauss-Riemann en la relatividad.

Nikola Tesla 3 6 9 - YouTube
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Fraccion en poliedro - Gaussianos | Gaussianos
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Original manera de cortar una tarta circular en cuatro trozos de igual tamaño - Gaussianos | Gaussianos
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Publicado el 9 de Mayo, 2015, 18:12

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Mathematicians help unlock brain function
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17 ecuaciones que cambiaron el mundo, o por qué sí sirve de mucho estudiar matemáticas y ciencia | Microsiervos (Ciencia)
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Michael Chwe, Author, Sees Jane Austen as Game Theorist - NYTimes.com
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Minimum Scalar Product | Programming Praxis
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Publicado el 2 de Mayo, 2015, 4:07

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Examinemos hoy una "multiplicación" de funciones que nos va a servir para entender el trabajo de Fourier. No quedará todavía claro en este post su uso en el desarrollo de Fourier. Pero podemos intuir una analogía geométrica: las funciones que vamos a considerar, "multiplicadas" por sí mismas darán un número, la unidad. Y multiplicadas entre sí (funciones distintas) darán cero. Es similar al producto de vectores ortogonales, normalizados. Nada más que esta vez estaremos en un espacio vectorial donde los vectores son funciones, y la dimensión es infinita numerable. Hoy no trataremos todavía cuáles son las funciones que vamos a considerar (seno de nx, coseno de nx, variando n por los valores enteros), solamente plantearemos una definición de multiplicación de funciones.

Necesitamos una operación de multiplicación, que dada dos funciones de una variable real, que produzcan reales, nos dé como resultado un número real. Podríamos tomar como multiplicación de las funciones f, g, al producto de su valor en el punto 0 (cero):

Pero no nos va a servir de mucho. Veamos de sumar la multiplicación de varios puntos. Si comenzamos por ese camino, podemos generalizar la suma a una integración:

Tal vez en un intervalo. Como Fourier estaba interesado en funciones periódicas, de periodo 2 pi, donde para todo x real se cumple:

Vamos a definir la multiplicación de f, g como la integración en el intervalo que va desde menos pi a mas pi:

Las funciones f, g tendrán que cumplir algunos requisitos para que esta integración tenga un resultado válido. Las funciones que vamos a considerar no tendrán mayor problema: serán continuas, acotadas en el intervalo menos pi a mas pi, y hasta tendrán periodo 2 pi.

En el próximo posts veremos cómo esas funciones (seno nx, coseno nx) se multiplican y descubriremos que son "ortogonales", es decir, multiplicando funciones distintas obtendremos cero, y multiplicando una función por sí misma, obtendremos la unidad, el uno.

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Publicado el 28 de Abril, 2015, 23:49

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Ceres: Evolution and current state - McCord - 2005 - Journal of Geophysical Research: Planets - Wiley Online Library
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‘Crash Course Astronomy’, A Fun and Informative New Educational Series Hosted by Phil Plait
http://laughingsquid.com/crash-course-astronomy-a-fun-and-informative-new-educational-series-hosted-by-phil-plait/

El asteroide que pasó cerca de la tierra tiene una luna - FayerWayer
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Astrofísica y Física: Cómo medir la velocidad de la luz observando a Io y Júpiter
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Solar System Formed at the Dawn of the Milky Way Discovered with 5 Earthlike Planets
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Great American Eclipse of 2017
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Ten new Rosetta images that reveal comet 67P in all its glory | Science/AAAS | News
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Un super asteroide pasará cerca de la Tierra
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Publicado el 26 de Abril, 2015, 19:10

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En el anterior post, mostré la postura de Alan Connes, para quien las matemáticas se descubren, lo que descubrimos ya está ahí, de antes que nosotros, en un mundo matemático que tiene tanta realidad o más que la realidad física. Yo no pondría "realidad", mas bien usaría "mundo". Para mí, realidad se refiere a la realidad del mundo cambiente, no a la inmutabilidad de esa "realidad matemática". Pero tal vez en el fondo no es más que una cuestión de terminología. Veamos hoy la posición de Michael Atiyah. A Atiyah lo conozco más, he leía algún texto suyo, y conozco de su trabajo. Es ganador de la medalla Fields en 1966, la medalla Copley en 1988 y del premio Abel en 2004. Es decir, es un matemático con todas las letras, de influencia similar a la de Connes. Atiyah señalaba:

Cualquier matemático no puede menos que simpatizar con Connes. Todos tenemos la sensación de que los números enteros, o los círculos, existen realmente en algún sentido abstracto, y el punto de vista platónico es terriblemente seductor. Pero ¿podemos realmente defenderlo? Si el universo fuese unidimensional, o incluso discreto, parece difícil concebir cómo podría haber evolucionado la geometría. Parece que con los números enteros el terreno en el que pisamos es más sólido, que contar es un concepto realmente primordial. Pero imaginemos que la inteligencia no se hubiera desarrollado en el hombre, sino en una especie de medusa colosal, solitaria y aislada en los abismos del océano Pacífico. Este ente no tendría experiencia alguna de los objetos individuales, ya que sólo estaría rodeado de agua. Sus datos sensoriales se reducirían a movimiento, temperatura y presión. En este continuo puro, el concepto de discreto no podría surgir ni, por consiguiente, habría nada que contar.

Original la idea de la medusa. Sin embargo, tengo algo que comentar sobre esta postura. Y es algo que puede comenzar a explicar por qué nuestras matemáticas se adecuan tanto a la explicación de modelos de la realidad física. Pienso que la experiencia de la medusa no INVALIDA la posibilidad de existencia de un mundo matemático, con números primos, geometría, e hipótesis de Riemann. Sólo pone de manifiesto que como organismo inteligente, por experiencia sensorial, sólo descubriría una parte de ese mundo. Pero tal vez aún así, tomando caminos de desarrollo no evidentes, llegue a descubrir matemáticas que están lejos de la experiencia física. En el caso humano, tenemos todo lo que hizo Cantor con los infinitos y sus números transfinitos, o los números surreales de Conway, y debe haber más y mejores ejemplos. Y también es posible que nuestra mente, como la de la medusa, sólo pueda descubrir PARTE del mundo matemático, el sugerido por el razonamiento y la experiencia sensorial humana. Y esa experiencia del mundo físico justamente nos lleva a desarrollar matemáticas que luego se pueden aplicar a los modelos que vamos planteando.

Encuentro el texto de Atiyah en el libro de Mario Livio ¿Es Dios un matemático?

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Publicado el 22 de Abril, 2015, 5:11

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En el primer post mencioné un tema a explorar: las matemáticas ¿existen por sí mismas, en una realidad matemática digamos, y nosotros como seres humanos las vamos descubriendo, como cuando exploramos un continente desconocido (no inventamos las montañas, simplemente las descubrimos; lo mismo los teoremas y conceptos)? En este caso ¿cómo es posible que podamos acceder desde nuestra mente a ese mundo? ¿O serán las matemáticas sólo fruto de la mente humana, sin mayor entidad fuera de ella? Entonces ¿cómo se explica la gran aplicación y éxito de las matemáticas en los modelos de la realidad física?

Veamos la postura expresada por Alain Connes, que defiende la primera posición: las matemáticas como realidad independiente de la realidad física (y de nuestra mente). Connes es matemático, ganador de la medalla Field (1982) (EL PREMIO en matemáticas, que se otorga cada cuatro años), y el premio Crafoord (2001). En 1989 expuso su punto de vista de esta manera:

Tomemos, por ejemplo, los números primos [aquellos que sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad] que, por lo que a mí respecta, constituyen una realidad más estable que la realidad material que nos rodea. El matemático de profesión se puede comparar con un explorador que se pone en marcha para descubrir el mundo. A partir de la experiencia se pueden descubrir hechos básicos. Por ejemplo, basta con unos sencillos cálculos para darse cuenta de que la serie de números primos parece no tener fin. El trabajo del matemático es entonces demostrar que, efectivamente, hay una infinidad de números primos. Este es un resultado antiguo, como sabemos, y se lo debemos a Euclides. Una de las consecuencias más interesantes de esta demostración es que, si alguien afirma un día que ha descubierto el mayor número primo que existe, será fácil demostrar que se equivoca. Esto mismo es válido para cualquier demostración. Nos enfrentamos pues a una realidad estrictamente igual de incontestable que la realidad física.

En próximo post, veremos que no todos están de acuerdo con la postura de Connes. Incluso hay matemáticos que defienden la idea de las matemáticas como fruto humano.

El texto de arriba lo encuentro en las primeras páginas del libro de Mario Livio, "¿Es Dios un matemático?"

Ver también:

http://www.alainconnes.org/en/

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Publicado el 21 de Abril, 2015, 14:08

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Publicado el 17 de Abril, 2015, 14:34

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Retomemos este gran e interminable tema, tan interesante, con tantas derivaciones. En estos días me reencuentro con un fragmento de Galileo. No sabía que estaba en El ensayador, yo hubiera pensado que estaba en otros escritos. Es el fragmento donde Galileo plantea a las matemáticas como el lenguaje del universo:

Creo que Sarsi está plenamente convencido de que, en filosofía, es fundamental apoyarse en la opinión de algún autor famoso, como si nuestro pensamiento fuese completamente árido y estéril si no está unido a los razonamientos de otro. Quizás piense que la filosofía es una obra de ficción creada por un hombre, como La Ilíada u Orlando Furioso [un poema épico del siglo XVI escrito por Ludovico Ariosto] -libros en los que no tiene la menor importancia la verdad de lo que describen-. Señor Sarsi, las cosas no son de este modo. La filosofía está escrita en el gran libro que está siempre abierto ante nuestros ojos (me refiero al universo) pero que no podemos comprender si no aprendemos en primer lugar su lenguaje y comprendemos los caracteres en los que está escrito. Está escrito en el lenguaje de la matemática, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales no es humanamente posible comprender ni un sola de sus palabras, y sin las cuales se deambula vanamente por un laberinto de tinieblas.

Lo que Galileo llama "filosofía" es "filosofía natural", lo que hoy llamamos "física". Lo encuentro citado en el libro de Mario Livio, "¿Es Dios un matemático?". Hoy sólo va mención de esta idea de Galileo, que tanto influyó en su obra, y en la de los que le siguieron. Recordemos si no a Newton. Mi postura: usamos las matemáticas en los modelos de la realidad física (a nivel de lo físico) pero no es que el universo es matemático. Sino que está regido (a ese nivel) por procesos simples, que se pueden expresar usando matemáticas. El texto de Galileo es uno de los que pone de nuevo a la matemática relacionada de forma especial con la realidad. El gran precursor de esas ideas, es Pitágoras.

Posts relacionados:

La realidad matemática, según Hardy
Einstein: Matemáticas y Realidad

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Publicado el 12 de Abril, 2015, 18:12

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Veamos hoy cómo consiguió Euler resolver el problema de Basilea. Durante su vida dio varias pruebas. Visitemos hoy una, con una operación muy típica de Euler: aparear una suma infinita con una multiplicación infinita.

Cuando tenemos un polinomio de segundo grado como:

Existen para él dos raíces, en este caso 3 y 7, y se puede expresar el polinomio como:

Lo que hizo Euler es encontrar una expresión como la de arriba, una multiplicación de raíces, pero para una función trigonométrica que tiene infinitos ceros.

Recordemos el desarrollo en serie de Taylor de la función seno de x:

Dividamos por x, queda:

Los ceros de esta función son los x igual a múltiplo entero de pi. O sea:

Euler se atrevió a expresarla entonces como una multiplicación infinita de esos ceros, como hicimos con el polinomio:

(este paso es el que requiere justificación cuidadosa, pero Euler se tenía confianza). Vemos que si x toma uno de los valores que mencionamos, UNO de los factores de arriba valdrá 0, y el resultado es 0 (dejando de lado el punto problemático x = 0). Concentrémonos en expandir y desarrollar esta multiplicación. Primero, podemos reexpresarla, combinando los factores consecutivos de a dos:

Para eso, cada término de la expansión será una multiplicación (formalmente infinita) de un término elegido de cada factor de la multiplicación de arriba. Cada factor tiene dos términos: o un 1 (uno) o un término en x cuadrado. Pongamos foco en los términos que resultan de elegir sólo un término en x cuadrado, y el resto tomamos el 1. Así, el término resultanto en x cuadrado es:

El coeficiente para x cuadrado es entonces:

Expresando el último factor como sumatoria sobre todos los naturales:

En la expansión de Taylor, el término en x cuadrado es

Igualando los coeficientes queda:

Lo que da la notable solución del problema de Basilea: la suma infinita de los inversos de los cuadrados naturales es:

Un resultado inesperado. ¿Quién diría que esa suma infinita de inversos de cuadrados estaría relacionada con pi?

Veremos en el próximo post que Euler no sólo se quedó con esta solución, sino que examinó los coeficientes para otras potencias de x.

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Publicado el 10 de Abril, 2015, 19:44

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New open access journal in algebraic geometry | Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2013/03/03/new-open-access-journal-in-algebraic-geometry/

The Aperiodical | ABC, as easy as pp1-40
http://aperiodical.com/2013/03/abc-as-easy-as-pp1-40/

The Aperiodical | All Squared, Number 3: As Easy As…
http://aperiodical.com/2013/03/all-squared-number-3-as-easy-as/

The Aperiodical | The Aperiodical"s Possibly Annual Awards for Mathematical Achievement
http://aperiodical.com/2013/01/the-aperiodicals-possibly-annual-awards-for-mathematical-achievement/

The Aperiodical | Much ado About Noether
http://aperiodical.com/2013/03/much-ado-about-noether/

The Aperiodical | All Squared, Number 2 – Pancake formula
http://aperiodical.com/2013/03/all-squared-number-2-pancake-formula/

News: Belgian-born Pierre Deligne named Abel Prize winner
http://www.abelprize.no/nyheter/vis.html?tid=57811

R&D | The Theory That Would Not Die – An Engaging History of Bayesian Philosophy
http://blog.adnanmasood.com/2012/12/26/the-theory-that-would-not-die-an-engaging-history-of-bayesian-philosophy/

El algoritmo de Chudnovsky, o cómo se calculan los decimales de Pi en el siglo XXI - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/el-algoritmo-de-chudnovsky-o-como-se-calculan-los-decimales-de-pi-en-el-siglo-xxi/

Euclidean domain - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_domain

Euclidean Rings of Algebraic Integers
http://www.mast.queensu.ca/~murty/harper-murty.pdf

Euclidean Rings
http://people.reed.edu/~jerry/332/15euc.pdf

¡Feliz día de pi! | Microsiervos (Ciencia)
http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/feliz-dia-pi-2013.html

On Fermat's Last Theorem for n=3 and n=4
http://wstein.org/edu/2010/414/projects/ohana.pdf

Fermat's Last Theorem: Fermat's Last Theorem: Proof for n=3
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html

Undamped forced vibrations — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2013/02/22/undamped-forced-vibrations/

Kepler contra Fludd, science contra woo? | The Renaissance Mathematicus
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PlanetMath
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Wedderburn's little theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
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Por seis meses, matemáticos de todo el mundo debaten sobre computación y azar en el Polo Científico Tecnológico
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The Foundations of Geometry by David Hilbert
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Publicado el 5 de Abril, 2015, 8:06

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Pierre de Fermat fue un jurista francés, nacido en 1601 en Beaumant de Lomagne, muerto en 1665 en Castres. Fue parte del Parlamento de Tolouse. Podía escribir versos en varios idiomas (latín, griego, italiano y español). Pero en lo que destacó fue en matemáticas. Eric Bell lo nombró "el príncipe de los aficionados". Fue un matemático de primera línea, y su obra es más extensa y variada que lo que su último teorema sugiere. Trabajó en otros temas, además de teoría de números. En geometría, reconstruyó un trabajo de Apolonio, en base a los comentarios de Pappus. Independientemente de Descartes, inventó la geometría analítica en 1636, dándose cuenta que si la hubiera conocido en 1629 le hubiera ahorrado gran cantidad de tiempo. En análisis fue el precursor del cálculo diferencial e integral. Fue igual a Pascal en combinatoria y probabilidad. En óptica introdujo el cálculo de variaciones para justificar la ley de Snell-Descartes.

Mencionemos algunos resultados suyos en teoría de números.

El llamado pequeño teorema de Fermat: para cada número primo p y para cada a entero no divisible por p se tiene:

Ver Demostración del teorema de Euler-Fermat.

La ecuación de Fermat, usualmente llamada (equivocadamente) la ecuación de Pell:

Los números de Fermat

La representación de números primeros en formas cuadráticas, en especial:

Y en

Ver mi serie p = x2 + y2.

El "último teorema" que nos ocupa en esta serie de posts, que para n > 2 y x, y, z enteros afirma:

Y varias ecuaciones diofánticas. Usó en varias de sus demostraciones el descenso infinito (ver Fermat y el Método de Descenso Infinito y Descenso Infinito)

Fuente consultada: Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, de Yves Hellegouarch.

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Publicado el 31 de Marzo, 2015, 19:02

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En el post anterior comentaba que Fourier consiguió desarrollar funciones usando una serie de términos (posiblemente infinita) donde en cada uno aparecía una función trigonométrica. Para comprender cómo se consigue expresar una función como una serie de ese tipo tenemos que estudiar cómo obtener los coeficientes de esa serie. Para esto veremos primero una propiedad que tienen las funciones seno y coseno.

Primero, centremos nuestra atención en funciones de periodo 2 pi o sea para las que siempre se cumple:

Caso de esas funciones son las clásicas trigonométricas

Y

Es fácil ver que cualquier combinación lineal de este tipo de funciones también tiene el mismo periodo. También tienen el mismo periodo 2 pi las funciones que, en vez de depender de x, dependen directamente de nx, donde n es un número entero:

Y

Algo que usó Fourier para desarrollar su serie, es saber que las funciones sen(nx), cos(mx) son "ortogonales" cuando los coeficientes n y m son distintos. Lo mismo para sen(nx) vs sen(mx) y cos(nx) vs cos(mx). Tenemos que ver qué es esto de ortogonal en este contexto. Pero podemos hacer una analogía con los espacios vectoriales. En ellos se puede definir muchas veces un producto entre vectores, el producto interno, de tal manera que haya vectores v y w cuyo producto interno de cero. Cuando eso lo aplicamos a los vectores clásicos del plano y del espacio, ese producto interno es cero CUANDO GEOMETRICAMENTE los vectores forman ángulo recto entre ellos (es más sutil que esto, pero nos sirve como base). Y llamamos a sus direcciones entonces, ortogonales.

Bueno, algo así se puede establecer entre funciones reales definidas en un intervalo de longitud 2 pi. Un producto interno adecuado, sobre lo funciones que, modernamente, se considerarían elementos vector de un espacio vectorial. En el próximo post veremos la definición de ese producto de funciones, y cómo las funciones mencionadas arriba son "ortogonales".

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Publicado el 30 de Marzo, 2015, 7:44

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Diofanto es uno de los grandes personajes de la "Era de Plata" de la matemática griega. Se cree que vivió en Alejandría, entre los años 250 y 350 (de nuestra era), junto a Pappus y Proclo. Es conocido por su Aritmética, en 13 libros. En los tiempos de Fermat sólo se conocían seis de esos libros, pero hace unos años han sido descubiertas traducciones al árabe de cuatro libros más.

Las matemáticas que Diofanto expone en su Aritmética son distintas de las de la "Era de Oro" de Euclides. En verdad, se parecen más a la tradición babilónica. Mientras que Euclides construye desde primeras nociones y postulados, y va demostrando teoremas, Diofanto muchas veces trata casos particulares y da soluciones para esos casos, sin construir una teoría. Lo nuevo que aporta es su interés en encontrar las soluciones exactas a ecuaciones en números racionales. Fue uno de los primeros matemáticos en introducir símbolos en matemáticas, usando una notación cercana a la que aportaría luego Viete. Por ejemplo, el polinomio:

Sería escrito por Diofanto de esta forma:

Donde delta denota x al cuadrado, K denota x al cubo, M es el signo menos y U es la unidad. Vean cómo pone los términos con coeficiente positivo a un lado, y los de coeficiente negativo en otro.

Hay una identidad, conocida desde la Edad Media, que aparece en el trabajo de Diofanto (ya la estoy por usar en mi post p=x2+y2)


Es la llamada identidad de Brahmagupta-Fibonacci

¿Fue Diofanto el primer algebrista? Bueno, le faltó generalidad, se ocupó más de casos particulares. ¿El último de los babilonios? Tampoco, fue más abstracto que ellos, ya solamente con la aparición de su notación. ¿El primero de los matemáticos dedicado a la teoría de números? No, porque trabajo más sobre Q (los números racionales) que sobre N (los números naturales). Pero sí fue el principal precursor de la teoría de números. Recordemos que el interés griego por las soluciones en números racionales tiene relación con el descubrimiento (ya en tiempos de Pitágoras) de los números irracionales (aunque a decir verdad, los griegos no manejaron el concepto de número como lo hacemos nosotros; estaban interesados en razones de magnitudes).

En el siglo XVI la Aritmética de Diofanto era un texto obscuro, que había sido olvidado. Fue Bombelli quien redescubrió el libro en 1570 y lo incorporó en su propia obra Algebra, escrita en italiano en 1572. En 1575, W. Holtzmann (alias Xylander) dio una traducción completa al latín. Viete toma el libro y lo transforma, incorporándolo en sus obras, como Isagoge de 1591, y Zetetique de 1593, poniendo énfasis en los aspectos algebraicos. Con Viete comienza a aparecer la notación algebraica, usando una letra para la incógnita. En cambio Bachet de Meziriac, el autor de la traducción de Diofanto que leyera Fermat, no era algebrista, sino el autor de un libro llamado Agradables y deleitables problemas a ser resueltos con números. Su edición de Diofanto fue bilingüe, en griego y latín, y la publicó en 1621.

Fuente consultada: Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, de Yves Hellegouarch.

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Publicado el 28 de Marzo, 2015, 15:10

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Veamos hoy de presentar un caso de función aritmética, que tiene su importancia en la teoría de números. Al principio no se verá claramente su utilidad, pero poco a poco veremos qué lugar ocupa en todo este espectro de funciones aritméticas. Fue definida y usada por Moebius, matemático alemán del siglo XIX. Para muchos de nosotros, es más conocido por la "cinta de Moebius". Algo que yo no conocía es que había sido astrónomo también.

Bien, la función de Moebius se define para 1:

Usando la letra griega mu. Algo simple, ¿no? Bueno, ahora necesitamos saber cuánto vale para los otros números naturales. Lo que pone de manifiesto la función mu es si un número n es o no divisible por un cuadrado. Para eso se pone que cuando n se descompone en potencias de primos distintos:

Entonces, si todos los exponentes son 1:

El valor de mu(n) es:

Donde k es claramente la cantidad de factores primos distintos que componen n. Observemos que hay una paridad: el resultado puede dar 1 o -1, dependiendo de si la cantidad de primos que componen n es par o impar, respectivamente. En cualquier otro caso, n tiene entonces algún factor primo elevado a la por lo menos 2, y entonces es divisible por el cuadrado de un primo. En esos casos, la notable función mu toma el valor 0:

Y digo notable, porque a primera vista, es algo rara esta definición. Pero es tan simple y poderosa, como vamos a estudiar, que revela algo que llama la atención en matemáticas. Vamos a ver cómo esta función tiene propiedades simples por sí misma, y cómo se puede ir combinando con otras funciones aritméticas.
No conozco la historia en detalle de esta función. Al parecer, ya la usó Euler implícitamente en fecha tan temprana como 1748, pero fue Moebius en 1832 el primero en investigar sus propiedades sistemáticamente.

Si leemos el artículo de la Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_function

Vemos que no solamente se usa en teoría de números, sino también en combinatoria. Y la paridad que hemos notado, hasta aparece en una rama física de supersimetría, distinguiendo entre fermiones y bosones en un gas de Riemann. Y hasta se puede derivar de la función mu la función de Mertens, que cosas vederes Sancho, tiene que ver con la hipótesis de Riemann, que estoy estudiando en otra serie de posts.

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Publicado el 23 de Marzo, 2015, 16:01

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Veamos una forma de generar las particiones de n+1 conociendo la enumeración de las particiones de n, expresadas en forma normal (con su elementos en forma descendente).

Sea una partición de 5, como:

2+1+1+1

Siempre se le puede agregar un uno al final, para obtener una partición de 6:

2+1+1+1+1

Lo mismo a la partición de 5:

3+2

se le puede agregar un uno a la derecha, para obtener la partición de 6:

3+2+1

O sea que a CADA partición de 5, le corresponde UNA partición de 6, que termina en 1. Se puede ver también que a toda partición de 6 que contenga un 1, le corresponde UNA partición de 5 (simplemente sacando ese uno).

También, dada una partición de 5 en forma normal como

3+2

Obtenemos otra partición de 6, sumándole un uno al último término, en este caso sumando uno al último elemento el dos:

3+3

Pero eso no es posible en una partición de 5 en forma normal como:

2+1+1+1

Porque sumándole uno al último término:

2+1+1+2

obtenemos una partición de 6, pero no en forma normal, no en forma tal que todos sus elementos vayan siendo iguales o decrecientes cuando los recorremos de izquierda a derecha. Si nos fijamos en el ejemplo anterior y otros, el truco de agregar uno al último elemento NO FUNCIONA, porque ese último elemento está repetido.

Si llamamos

p(n)

a la cantidad de particiones de n, y llamamos

r(n)

a la cantidad de particiones de n que NO TIENE su menor elemento repetido, llegamos a nuestra primera conclusión:

p(n+1) = p(n) + r(n)

El primer término de la derecha, es la cantidad de particiones de n+1 que nacen de agregar el número 1 a cualquier de las particiones de n. El segundo término, viene de las particiones de n a las que se les puede sumar uno a su término menos. Y si lo miramos fijo, es claro que cada partición de n+1 NACE de una Y SOLO UNA de esas dos formas.

Igual, mucho no avanzamos, porque no parece a simple vista que r(n) tenga una forma sencilla de calcularse. Pero todo suma ;-)

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Publicado el 15 de Marzo, 2015, 16:04

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Veamos hoy de presentar los primeros pasos en la función gamma. En otro post ya mostré que la serie armónica:

diverge (ver Harmonic Series). Pero podríamos preguntarnos si diverge o converge (y a qué numero) la serie:

O en general la suma de los recíprocos de las potencias a la s:

Tenemos acá, dependiendo de s natural, a una primera función llamada función zeta. Bien, si para s=1 se sabía que la serie divergía, para s=2 no se supo por mucho tiempo si la serie convergía (todo parecía indicar que sí, pero no había demostración, y además la convergencia era muy lenta), y a qué número. El caso s=2 se llamó el problema de Basilea, ver Basel Problem.  Pedro Mengoli lo formuló en 1644 (pero todo indica que el problema era conocido de antes), y fue resuelto por Euler recién en 1734, siendo leído el 5 de diciembre de 1735 en la academia de ciencias de San Petersburgo. La solución de Euler (escribió varias en su vida) implicaba la manipulación de una serie infinita sin una rigurosa prueba de su validez, pero igual le otorgó fama en el mundo de las matemáticas. Otros matemáticos de primera línea habían tratado de resolverlo, habiendo fallado en el intento.

Euler no sólo encontró la solución para s=2 sino que, con el tiempo, también dio una expresión para todas las soluciones con s par, introduciendo para ello los llamados números de Bernoulli. Podríamos preguntarnos qué relación hay entre la función zeta y los números primeros. Bueno, fue Euler el que consiguió también expresar las series infinitas apelando a multiplicaciones infinitas donde aparecían todos los números primos. También extendió la función zeta para s entero negativo. Chevyshev la extendió para s real > 1. Finalmente, veremos que Riemann fue el que extendió la misma función, para s complejo.
En el próximo post veremos una de esas pruebas de Euler del valor para s=2, una de las  pruebas más conocidas.

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Publicado el 6 de Marzo, 2015, 6:57

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Tantos temas para ver, investigar. Apenas acá unos enlaces de mi colección:

Covariant and contravariant — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2013/02/28/covariant-and-contravariant/

Position the ramp of a construction site by solving a quartic equation
http://glat.info/js.quartic/

The pseudoconformal and conformal transformations | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/02/14/the-pseudoconformal-and-conformal-transformations/

Maria Gaetana Agnesi, algo más que su (mal llamada) bruja - Gaussianos
http://gaussianos.com/maria-gaetana-agnesi-algo-mas-que-su-mal-llamada-bruja/

El Topo Lógico: Gödel y Cantor en RBA
http://eltopologico.blogspot.com.ar/2013/02/godel-y-cantor-en-rba.html

(Vídeo) ¿Qué hace hoy un matemático? - Gaussianos
http://gaussianos.com/video-que-hace-hoy-un-matematico/

Klein's Quartic Curve
http://math.ucr.edu/home/baez/klein.html

What Kepler and Newton really did. | The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/2013/02/05/what-kepler-and-newton-really-did/

Depth- and Breadth-First Search | Math n Programming
http://jeremykun.com/2013/01/22/depth-and-breadth-first-search/

Why there is no Hitchhiker"s Guide to Mathematics for Programmers | Math n Programming
http://jeremykun.com/2013/02/08/why-there-is-no-hitchhikers-guide-to-mathematics-for-programmers/

www-stat.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/83_05_shuffles.pdf
http://www-stat.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/83_05_shuffles.pdf

M13 | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/02/m13.html

Presentations and Representations in Foundations | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/02/presentations_and_representati.html

(Vídeo) Explicando con música la aritmética modular - Gaussianos
http://gaussianos.com/video-explicando-con-musica-la-aritmetica-modular

Encontrado un error en el trabajo de Carl Cowen y Eva Gallardo sobre el problema del subespacio invariante - Gaussianos
http://gaussianos.com/encontrado-un-error-en-el-trabajo-de-carl-cowen-y-eva-gallardo-sobre-el-problema-del-subespacio-invariante

La sorprendente criba de la parábola - Gaussianos
http://gaussianos.com/la-sorprendente-criba-de-la-parabola/

The Aperiodical | Talk: Computability of Bass-Serre structures in the Grzegorczyk hierarchy
http://aperiodical.com/2013/02/talk-computability-of-bass-serre-structures-in-the-grzegorczyk-hierarchy/

The Aperiodical | Collaborative Mathematics: kids (and non-kids) work together on problems over YouTube
http://aperiodical.com/2013/02/collaborative-mathematics/

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Publicado el 5 de Marzo, 2015, 16:17

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[Vídeo] Documental sobre Grisha Perelman y la resolución de la conjetura de Poincaré - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/video-documental-sobre-grisha-perelman-y-la-resolucion-de-la-conjetura-de-poincare/

Títulos épicos de trabajos matemáticos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/titulos-epicos-de-trabajos-matematicos/

Número 10 de la revista online de matemáticas "PIkasle" - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/numero-10-de-la-revista-online-de-matematicas-pikasle/

Ramanujan, Nagell y la singularidad del 7 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/ramanujan-nagell-y-la-singularidad-del-7/

www.math.toronto.edu/~colliand/426_03/Papers03/C_Quigley.pdf
http://www.math.toronto.edu/~colliand/426_03/Papers03/C_Quigley.pdf

Generalizando sobre sumas de cuadrados a partir de un cuadro ruso - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/generalizando-sobre-sumas-de-cuadrados-partir-de-un-cuadro-ruso/

Premio Abel - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/premio-abel/

Numeración de Gödel - Wikipedia, la enciclopedia libre
http://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_de_G%C3%B6del

Qué dice exactamente el primer teorema de incompletitud de Gödel - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/que-dice-exactamente-el-primer-teorema-de-incompletitud-de-godel/

Martin Gardner, descanse en paz - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/martin-gardner-descanse-en-paz/

La sorprendente constante de Khinchin - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/la-sorprendente-constante-de-khinchin/

www3.nd.edu/~powers/ame.20231/fourier1878.pdf
http://www3.nd.edu/~powers/ame.20231/fourier1878.pdf

Perturbation theory - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Perturbation_theory

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Publicado el 28 de Febrero, 2015, 16:58

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Hace tiempo que no escribo del tema, pero hay terminar la demostración. Sea el ideal que conseguimos en los posts anteriores:

El generado por los polinomios:

Que no se podían generar desde:

Repitamos el proceso con el ideal Q-barra. Sus polinomios tienen un coeficiente principal (el coeficiente del término de mayor grado) y el conjunto de TODOS los coeficientes principales es un IDEAL del anillo original X. Como suponemos que X es noetheriano (todos sus ideales tienen base finita), entonces, el ideal de los coeficientes principales es generado finitamente, digamos por

Por cada uno de estos coeficientes, elijamos un polinomio de Q-barra que lo tenga como coeficiente principal:



....

Donde entonces cada Pi es del ideal que encontramos en el anterior post:

Esto es, cada Pi es fruto de la combinación de algunos de los Qj base finita de Q-barra. Hay una cantidad finita m de polinomios Pi, y una cantidad finita entonces de polinomios Qj que generan a los Pi, llamemos a este último conjunto Q2, y formemos el ideal generado por ellos:

Como Q2 tiene cardinalidad finita, hay un grado mayor en sus polinomios elementos. Digamos que el grado mayor es m2. Se puede demostrar, como antes con P, que todos los polinomios del ideal Q-barra de grado mayor o igual a m2, quedan alcanzados por el ideal Q2-barra.

Ahora bien, algo importante. Teníamos el conjunto finito P de polinomios, digamos con un grado mayor m. Ahora tenemos Q2, también finito, con un grado mayor m2. Por la construcción que seguimos para llegar a Q2, desde Q, m2 es MENOR que m. ¿Por qué? Porque todos los Q eran "el resto" del ideal I "dividido" por el ideal generado por P. Entonces, todos los Q tenían grado menor que m, y todos los Q2 SALEN de los elementos de Q. Ergo, m2 es menor que m.

Seguimos en el próximo post.

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Publicado el 26 de Febrero, 2015, 11:12

Hay unos libros excelentes de la editoral española RBA, que acá en Argentina aparecen de vez en cuando publicados en series semanales. Actualmente, el diario La Nación está publicando una serie de biografías, cada sábado, y son verdaderamente aprovechables. Ya aparecieron varios, como Einstein, Newton, Schrödinger, Heisenberg, Planck, Euclides, Pitágoras, Laplace, Copérnico, Feynman, Kepler, Turing, Arquímedes, y más, bien escritos, con detalles matemáticos y científicos, y también con datos del desarrollo histórico y personal del biografado. No es común eso: en general, aparecen biografías para "legos" donde no se tratan los términos técnicos, o biografías técnicas, sin adentrarse en la persona y el grupo que los generó.

Este último sábado apareció la biografía "Godel, los teoremas de la incompletitud", de Gustavo Ernesto Piñeiro (que ya mencioné en otro post). Leo ahí una conocida anécdota de Bertrand Russell, que expongo en mis palabras.

En una conferencia para público general, Russell expuso que si un sistema de axiomas es inconsistente (puede demostrar una afirmación y su contraria) entonces cualquier afirmación es demostrable a partir de ellos (al parecer, en la conferencia Russell se apoyó en la versión semántica de este tema, en vez de usar inconsistencia, afirmó que partiendo de una premisa falsa puede demostrarse cualquier cosa). Inmediatamente Russell fue desafiado por la audiencia a demostrar que si 1=0 entonces Smith (uno de los asistentes del público) era el papa. Russell razonó así: si 1=0, sumemos uno a ambos lados, quedando 2=1. Sean el conjunto de dos elementos Smith y el papa, pero como 2=1, los dos elementos son uno, y Smith es el papa :-)

Desconozco si la anécdota es real o no, no pude confirmarla. La explicación de Russell es para zafar de la pregunta, y se apoya en conceptos semánticos de conjunto, elemento, etc. Piñeiro expone claramente la diferencia entre lo semántico y lo sintáctico, y que consistencia es un en tema sintáctico, casi mecánico, que se apoya en el concepto de cadena de demostración manipulando símbolos con reglas del sistema en cuestipon. Subraya también que la demostración de Godel de su primer teorema fue cuidadosamente urdida para apoyarse en una autoreferencia sintáctica, en lugar de una autoreferencia´semántica, como la que había señalado el propio Russell en 1902 sobre la teoría de conjuntos de Frege.

Tengo entonces pendiente de explicar en un próximo post la afirmación de Russell, pero desde el punto de vista sintáctico, de cómo desde una manipulación de símbolos, y considerando P y no-P como demostrables desde un conjunto de axiomas, y en un sistema donde se admiten las cualidades de la implicación, entonces se puede probar cualquier afirmación Q.

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