Angel "Java" Lopez en Blog

Matemáticas


Publicado el 1 de Febrero, 2016, 17:36

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En el anterior post apareció la expresión:

Siendo p y q enteros, sin factores comunes. Comentaba que es curioso que aparezcan números complejos en este tipo de problemas de enteros. Lo interesante es que ahora estamos ampliando el problema original: buscaremos condiciones que se cumplan no sólo para los enteros que manejamos todos los días, sino para "otros enteros" que tienen expresión compleja, y hasta coeficiente irracional.

Curiosamente, esta extensión del problema original permite llegar a alguna solución. Es como si la teoría de números nos dijera: "con complejos es más fácil". Examinemos los números de la forma:

Con a, b enteros cualesquiera. Es decir, tenemos un conjunto infinito de tales números. Tienen una propiedad: al sumar dos cualesquiera, o multiplicar dos cualesquiera, se obtiene otro número del mismo conjunto. Por ejemplo:

Lo que da:

Que tiene la misma "forma" que los números originales.

Conseguimos un nuevo conjunto de números "enteros", que son cerrados para la suma y la multiplicación, como los enteros originales. Pero estos últimos tienen una propiedad muy interesante en teoría de número: la factorización única en factores primos. ¿Se cumplirá esta propiedad en este nuevo conjunto de "enteros"? Pues resulta que no, por ejemplo, el número 4 tiene dos factorizaciones distintas:

Ninguno de estos factores se puede expresar en factores más "pequeños", y llegar al mismo desarrollo de factores, como pide la propiedad de factorización única.

El que no se cumpla esta propiedad nos va a complicar trabajar con estos nuevos enteros. No vamos a poder operar con ellos como con los enteros normales. Por ejemplo, de la expresión que encontramos en el post anterior:

No podríamos deducir que los factores entre paréntesis son cubos perfectos.

Veremos dos caminos para sortear este obstáculo: encontrar un nuevo conjunto que contenga a éste, pero que tenga factorización única. O explorar el seguir investigando la solución sin apelar a estos "enteros complejos". Curiosamente, ambos caminos terminan siendo, de alguna manera, el mismo.

Como nota curiosa, Euler usó un camino en su primera demostración del caso Fermat n=3, dando un paso en falso, similar a la que hubiéramos dado nosotros si presumimos la factorización única en estos "enteros complejos". En realidad, estamos abriendo un nuevo mundo, donde el uso de enteros complejos nos lleva a elevar el alcance de la teoría de números, más allá de lo que hubiera esperado Fermat.

Ver también:

Non-unique factorization
Unique and nonunique factorization

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 18 de Enero, 2016, 6:35

Desde mi infancia, me han fascinado los polinomios. Los comencé a conocer en un libro español de divulgación, el volumen dedicado a matemáticas de una serie de varios temas. Fue uno de los libros que más me ayudo en los primeros años de estudiar lo que era matemáticas. Los temas eran limitados, pero interesantes.

Algo ya comenté sobre polinomios, ver enlaces relacionados al final del post. Un punto interesante es que los polinomios formales no son números pero se comportan como ellos: se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir.

Los matemáticos manejan polinomios de una o varias variables. Otra de las características que les interesan es la estructura de los coeficientes. Podrían pertenecer a un cuerpo (generalmente conmutativo) o pertenecer a un anilo (frecuente un dominio de integridad "sin divisores de cero"). En ambos casos, los polinomios forman un anillo (ver Anillos Conmutativos).

Veamos hoy un anillo de polinomios particular: formales en una sola variable, y con coeficientes enteros.

Ejemplo:

O

El que los coeficientes sean enteros, no significa que no podamos sustituir la variable formal por un valor real o aún complejo. A los matemáticos muchas veces les interesan los valores que se le puede dar a la variable formal, de manera tal que la valuación resultante de un polinomio de cero. Son las famosas raíces de los polinomios.

Es notable que aún con coeficientes enteros, no podamos asegurar que todas las raíces sean enteras. De hecho, la historia de encontrar todas las raíces de un polinomio (aun considerando solamente coeficientes enteros) ha llevado a extender los sistemas de números, a racionales, a reales, y a complejos. Ejemplo clásico:

La búsqueda de esta solución lleva a los números enteros negativos.

Y la solución a:

Lleva a los pitagóricos a descubrir números que no se pueden expresar como razones de naturales.

Y la solución a:

Lleva a los números complejos.

¿Por qué no mas sistemas de números, más allá de los complejos? Un tema interesantísimo pero que tengo que dejar para otro post. Baste recordar acá que el teorema fundamental del álgebra nos deja tranquilos: todos los polinomios con coeficientes numéricos (enteros, racionales, reales, complejos) tienen raíces a lo sumo complejas.

Lo interesante es que todas extensiones parten de polinomios con coeficientes enteros. No ganamos mucho más con otros tipos de coeficientes (sólo algo más si usamos coeficientes trascendentes, como el número pi).

A los matemáticos les gusta explorar cómo los elementos de una estructura se pueden descomponer en otros, especialmente usando la multiplicación, cuando ésta está definida. En el caso de los polinomios con coeficientes enteros, el caso más simple es descomponer un polinomio en la multiplicación de otro por un entero:

Llegamos así a polinomios que no pueden descomponerse, como:

Porque no hay factor común entre sus coeficientes: no hay máximo común divisor, como no sea una unidad. Estos polinomios son muy interesantes, y hasta merecen un nombre: polinomios primitivos. Es evidente que cualquier polinomio que tenga un coeficiente igual a 1 (uno) es primitivo.

En los próximos posts exploraremos algunas de sus características especiales.

Mientras, post relacionados, donde ya aparecieron polinomios:

El anillo K[x]
Ejemplos de anillos conmutativos
Números algebraicos (1)
El teorema de la base de Hilbert (1)

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 16 de Enero, 2016, 7:42

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Más temas interesantes, me llamó la atención la relación de las simetrías del icosaedro con algunas formas modulares y la resolución de la quíntica.

Fermat's unfinished business | The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2011/11/23/fermats-unfinished-business/

Tito Eliatron Dixit: Edicion 4.123105 del Carnaval de Matemáticas: 23-29 de Septiembre.
http://eliatron.blogspot.co.uk/2013/09/CarnaMatSeptiembre13.html

Lectures on the Icosahedron (Dover Phoenix Editions): Felix Klein: 9780486495286: Amazon.com: Books
http://www.amazon.com/Lectures-Icosahedron-Dover-Phoenix-Editions/dp/0486495280

Icosahedral symmetry - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#Related_geometries

Icosahedron - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedron

math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html
http://math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html

On Klein's Icosahedral Solution of the Quintic
http://arxiv.org/pdf/1308.0955.pdf

ia601702.us.archive.org/3/items/gdelsproof00nage/gdelsproof00nage.pdf
http://ia601702.us.archive.org/3/items/gdelsproof00nage/gdelsproof00nage.pdf

Gaussian Primes - Jason Davies
http://www.jasondavies.com/gaussian-primes/

Burr distribution - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Burr_distribution

Blog Post: Math and Music | vismath
https://www.vismath.eu/en/blog/math-and-music

Of solving the rubik's from scratch [Python]
http://fulmicoton.com/posts/rubix/

Introduction to Network Mathematics
http://webmathematics.net/

La Ciencia en Papel | La ciencia tambien puede ser betseller
http://lacienciaenpapel.wordpress.com/

IMO 2013 en Santa Marta (Colombia) - Problema nº 6 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/imo-2013-en-santa-marta-colombia-problema-no-6/

A complex Mathematics expression evaluation module in Visual Basic - CodeProject
http://www.codeproject.com/Articles/646391/A-complex-Mathematics-expression-evaluation-module

Formal Concept Analysis | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/09/formal_concept_analysis.html

Polymath8: Writing the paper, II | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/09/02/polymath8-writing-the-paper-ii/

Determinacy of Borel games III | Gowers's Weblog
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Publicado el 2 de Enero, 2016, 17:05

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En el anterior post llegamos al desarrollo:

Cuando:

y

Comencemos a examinar esa expresión del cubo de z. Si suponemos que no hay factores comunes entre los dos factores de la izquierda, es decir su máximo común divisor es la unidad:

Entonces ambos factores son cubos perfectos:

Quedando:

Y el otro factor es entonces:

Esta última expresión tiene una forma interesante. Acá aparece un salto, algo no evidente, en el esquema de esta demostración. La parte izquierda se puede expresar como:


Esto es notable. Estamos en un problema de números enteros, y aparece un número complejo, con un coeficiente irracional de raíz cuadrada de tres. Vamos a jugar un poco con estas expresiones, como números que van más allá de los enteros, que participan de un anillo de números complejos que tienen propiedades similares a los enteros.

Vamos a suponer que ambos factores:

y

no tienen un divisor común en ese anillo, y entonces, son cubos perfectos en ese anillo.
Muchas suposiciones, a demostrar. Pero seguiremos avanzando en esta línea en el próximo post.

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Publicado el 24 de Diciembre, 2015, 16:57

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Siguen los temas interesantes, como los octoniones enteros, los autómatas celulares y el juego de la vida, el teorema de Gödel, un problema de mazo de cartas, y los notables grafos aleatorios de Erdős-Rényi.

The problem with parallels. | The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/2013/09/05/the-problem-with-parallels/

Integral Octonions (Part 5) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/09/integral_octonions_part_5_1.html

Adam Spencer: Why I fell in love with monster prime numbers | Video on TED.com
http://www.ted.com/talks/lang/es/adam_spencer_why_i_fell_in_love_with_monster_prime_numbers.html

IMO 2013 en Santa Marta (Colombia) - Problema nº 5 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/imo-2013-en-santa-marta-colombia-problema-no-5/

Open Season: Prime Numbers (part 2) | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/08/open-season-prime-numbers-part-2/

Sumas de cuadrados | Acertijos y mas cosas
http://acertijosymascosas.com/sumas-de-cuadrados/

After Giants" Shoulders is before Giants" Shoulders. | The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/2013/08/29/after-giants-shoulders-is-before-giants-shoulders/

Creado de la nada. Acertijo matemático. | Acertijos y mas cosas
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Calculando áreas | Acertijos y mas cosas
http://acertijosymascosas.com/calculando-areas/

Determinacy of Borel games I | Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2013/08/23/determinacy-of-borel-games-i/

The Erdős-Rényi Random Graph | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/08/22/the-erdos-renyi-random-graph/

philipl/pifs
https://github.com/philipl/pifs

Not Mentioned on the Aperiodical this month, 21 August | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/08/not-mentioned-on-the-aperiodical-this-month-21-august/

Julia Robinson and Hilbert"s Tenth Problem, by George Csicsery | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/08/julia-robinson-and-hilberts-tenth-problem-by-george-csicsery/

Polymath8: Writing the paper | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/08/17/polymath8-writing-the-paper/

Optimally Stacking the Deck – Kicsi Poker | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2011/07/11/stacking-the-deck/

The Wild World of Cellular Automata | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2011/06/29/conways-game-of-life/

Google"s Page Rank – The Final Product | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2011/06/20/googles-page-rank-the-final-product/

El Topo Lógico: Algunos conceptos relacionados con el Teorema de Gödel
http://eltopologico.blogspot.com.ar/2013/08/algunos-conceptos-relacionados-con-el.html

Carnival of Mathematics #101: Prime Numbered Special Edition | The Aperiodical
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Manchester MathsJam recap, July 2013 | The Aperiodical
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What is a Spectral Sequence? | The n-Category Café
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Una curiosidad matemática sobre nuestros apellidos - Gaussianos | Gaussianos
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Dos problemas sobre desigualdades - Gaussianos | Gaussianos
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Publicado el 14 de Diciembre, 2015, 6:19

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Siempre aparecen temas interesantes, nuevas ideas, o viejos desarrollos renovados. Vean, por ejemplo, el campo fascinante de los octoniones enteros, me recuerda a esas estructuras cerradas para la suma y multiplicación en los complejos, que estoy explorando con el teorema de Fermat.

PRL Project Home - Proofs as Programs
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High precision native Gaussian Elimination - CodeProject
http://www.codeproject.com/Articles/616608/High-precision-native-Gaussian-Elimination

Harald Bohr: fútbol y matemáticas unidos en un gran danés - Gaussianos | Gaussianos
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clojure-numerics/expresso
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The algebra of Unix command substitution | Bosker Blog
http://bosker.wordpress.com/2013/08/16/using-group-theory-to-understand-unix-command-substitution/

(Vídeo) Explicación del teorema de los números primos - Gaussianos | Gaussianos
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French Polymath Henri Poincaré on How Creativity Works | Brain Pickings
http://www.brainpickings.org/index.php/2013/08/15/henri-poincare-on-how-creativity-works/

Mathematical Problems by David Hilbert
http://www.clarku.edu/~djoyce/hilbert/

IMO 2013 en Santa Marta (Colombia) - Problema nº 2 - Gaussianos | Gaussianos
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Cuando hables de salarios utiliza la mediana - Gaussianos | Gaussianos
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Computer scientists develop 'mathematical jigsaw puzzles' to encrypt software / UCLA Newsroom
http://newsroom.ucla.edu/portal/ucla/ucla-computer-scientists-develop-247527.aspx

Todos cubos perfectos - Gaussianos | Gaussianos
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Integral Octonions (Part 2) | The n-Category Café
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An improved Type I estimate | What's new
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Cohomology Detects Failures of Classical Mathematics | The n-Category Café
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Minhyong Kim in The Reasoner | The n-Category Café
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Integral Octonions (Part 3) | The n-Category Café
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Integer Sequence Review Mêlée Hyper-Battle DX 2000, THE GRAND FINALE | The Aperiodical
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Una mejora de Ramanujan para la fórmula de Stirling - Gaussianos | Gaussianos
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Una interesante relación entre los números de Fibonacci y las ternas pitagóricas - Gaussianos | Gaussianos
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Publicado el 11 de Diciembre, 2015, 6:00

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Tantos temas interesantes. Por ejemplo, una refutación de una conjetura de Erdös. La conjetura se puede expresar en términos sencillos, habrá que ver la refutación, que debe ser interesante.

Digital Mathematics
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Getting Started
http://fluokitten.uncomplicate.org/articles/getting_started.html

Número igual a su logaritmo - Gaussianos | Gaussianos
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Resuelta una conjetura de Erdös sobre congruencias - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/resuelta-una-conjetura-de-erdos-sobre-congruencias/

La geometría de las burbujas | Microsiervos (Ciencia)
http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/la-geometria-de-las-burbujas.html

Nicolaas de Bruijn, del "BEST theorem" al confirmador de teorías matemáticas - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/nicolaas-de-bruijn-del-best-theorem-al-confirmador-de-teorias-matematicas/

Is two to the power of infinity more than infinity?
http://igoro.com/archive/is-two-to-the-power-of-infinity-more-than-infinity/

igoro.com
http://igoro.com/

The quest for narrow admissible tuples | Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2013/07/02/the-quest-for-narrow-admissible-tuples/

Infinitas formas de representar los enteros - Gaussianos | Gaussianos
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¿Quién dijo que la trisección del ángulo era imposible? - Gaussianos | Gaussianos
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MathsJam
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MathsJam Conference Website: Nice | The Aperiodical
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Integer Sequence Review Mêlée Hyper-Battle DX 2000 (Bracket 2) | The Aperiodical
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Bounded gaps between primes (Polymath8) – a progress report | What's new
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Ghost Diagrams | The Aperiodical
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Matemáticas - Caracterización de valor propio - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=kDypvn5hLZI&feature=youtu.be

Matemáticas - Crecimiento y derivada - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=qr7lztrzkl4&feature=youtu.be

Matemáticas - Ecuación con algún exponente negativo - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=L86p8YtV11w&feature=youtu.be

Yang's Wiki - Front Page
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Serre thm on noetherian regular local ring.pdf
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Hilbert's seventeenth problem - Wikipedia, the free encyclopedia
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Publicado el 28 de Noviembre, 2015, 18:38

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Ya conocemos la expresión de la función zeta de Riemann:

Pero solo con n tomando valores naturales. Sabemos también que para n = 1 diverge, es la serie armónica. Pero ¿qué pasa para otros valores de n, por ejemplo, valores reales?

Vimos cómo Euler encontró valores para n par. Aún hoy no hay expresiones que resuelvan directamente el valor de esta función para n impar. Pero se pueden calcular los valores. Por ejemplo, para s=1.5, converge a 2.612375… Para s=1.1 converge a 10.58448…. Cuando s es 1.0001, converge a 10000.577222… Justo diverge para s=1, pero para valores cercanos mayores, la suma converge. Si estudiamos los valores cercanos a 1, vemos que la función zeta se comporta muy cercano a:

Si hacemos s = 0, cada uno de los sumandos de la serie es igual a 1 (el numerador es un número elevado a 0, y sabemos que da 1). Con lo cual, diverge completamente.

Si s es negativo, por ejemplo -1, la serie se transforma en:

Que claramente diverge. Si hacemos s=1/2, entonces:

Pero cada término es mayor que los términos de la serie armónica:

Y como ésta diverge, también diverge zeta(1/2).

Al parecer, parece que la función solo converge para s > 1. ¿Será verdad?

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Publicado el 22 de Noviembre, 2015, 6:22

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Queremos expresar en una serie a las funciones periódicas, de periodo 2 pi, esto es, que cumplen:

Primer intento, que los términos de la serie sean de la forma:

Donde An nos permite tener una especie de "peso" de cada término de la serie. Donde omega n es la frecuencia (la "forma" en que fluctúa el valor de seno cuando varía t), y phi n es la fase, el desplazamiento inicial desde t = 0. El seno involucra a un ángulo que varía con la variable t. Ahora en un momento veremos de hacer estos términos también periódicos de periodo 2 pi.

Desarrollando la expresión seno como suma de dos ángulos, podemos expresar cada término como:

Esto es interesante. Hay términos que dependen de t y la frecuencia, uno en seno y otro en coseno. Notablemente los otros factores:

Y

Pueden tomarse como coeficientes independientes:

Y

Pues de cualquier valor que les damos a los coeficientes an, bn, podemos deducir el ángulo phi como:

Donde la tangente puede tomar cualquier valor real. De ahí deducimos phi. Y luego de conocer phi, podemos despejar An:

Así que nuestro desarrollo de f(t) tomaría la forma:

Veremos más adelante de donde proviene el factor ½ en a0. Los valores de n son enteros, y entonces, los términos son periódicos en 2 pi. El que ahora nos quedemos en frecuencias enteras ES LO QUE PRODUCE la periodicidad deseada. Ahora bien, tenemos que mostrar que una f(t) cualquiera periódica 2 pi, tiene el desarrollo de arriba. Ese fue el gran descubrimiento de Fourier, aunque en su tiempo no pudo sentarlo rigurosamente y por eso fue atacado. En realidad, el resultado es notable, y no intuitivo: veremos que multitud de funciones de formas extrañas se pueden llevar a series de senos y cosenos. No era un resultado esperado por los matemáticos contemporáneos de Fourier.

Veremos la deducción de los coeficientes an y bn en el próximo post, donde nos aprovecharemos de los resultados de los posts anteriores.

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Publicado el 17 de Noviembre, 2015, 6:20

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Varios temas interesantes para ver, desde lo que es geometría algebraica, el Nullstellensatz de Hilbert, el grupo de Lie G2, y el fascinante tema de los "bounded gaps primes"

"Ancient Greek Geometry", desafíos y entretenimiento con regla y compás - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/ancient-greek-geometry-desafios-y-entretenimiento-con-regla-y-compas/

What are the differences between fiber bundle and sheaf? - Mathematics Stack Exchange
http://math.stackexchange.com/questions/26542/what-are-the-differences-between-fiber-bundle-and-sheaf

Sheaf (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)

Algebraic geometry - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_geometry

Algebraic variety - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_variety

Hilbert's Nullstellensatz - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_Nullstellensatz

Googol Song - Numberphile - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=5JOAoiX1LHA

Numberphile - Videos about Numbers and Stuff
http://www.numberphile.com/

Quasicrystals and the Riemann Hypothesis | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/06/quasicrystals_and_the_riemann.html

G2 and the Rolling Ball | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/06/g2_and_the_rolling_ball.html

Philosophy Talks in Oxford | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/05/philosophy_talks_in_oxford.html

Bounded Gaps Between Primes | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/05/bounded_gaps_between_primes.html

How Does Applied Math Impact Foundations? | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/04/how_does_applied_math_impact_f.html

A Characterization of Relative Entropy (Part 1) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/06/a_characterization_of_relative.html

Kullback–Leibler divergence - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence

Convergencia de sucesión de números complejos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/convergencia-de-sucesion-de-numeros-complejos/

Numeros divisibles. acertijo matemático. | Acertijos y mas cosas
http://acertijosymascosas.com/numeros-divisibles-acertijo-matematico/

The HoTT Book | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/06/the_hott_book.html

The HoTT Book | Homotopy Type Theory
http://homotopytypetheory.org/book/

Homotopy Type Theory: a new foundation for 21st-century mathematics | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/06/homotopy-type-theory-a-new-foundation-for-21st-century-mathematics/

6174 (number) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar_constant

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Publicado el 24 de Octubre, 2015, 15:43

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Vayamos hoy por la demostración de que las alturas de un triángulo se intersectan en un solo punto, el llamado ortocentro. Por el post anterior, sabemos que las medianas de un triángulo se cortan en un único punto. Veamos de aprovechar esa demostración.

Partimos de un triángulo ABC:

Por cada vértice, trazamos una recta paralela al lado opuesto:

Se forma un triángulo A'B'C'. Podemos ver que CBC'A es un paralelogramo, con lo que queda que el segmento CB es igual al segmente AC'. Por lo mismo, CBAB' es un paralelogramo, y el segmento CB es igual al segmento B'A. Queda entonces que B'A es igual en longitud a AC', con lo que queda demostrado que A es el punto medio del lado B'C'. Por lo mismo, podemos deducir que los vértices del triángulo original son los puntos medios de los lados del nuevo triángulo.

Tracemos las medianas del triángulo A'B'C':

Por el post anterior sabemos que se cortan en un punto. Pero por construcción, la mediana del lado B'C' es perpendicular a ese lado Y ENTONCES ES PERPENDICULAR al lado CB que es paralelo al B'C'. ENTONCES es una altura del triángulo original. Repitiendo la deducción, queda que CADA MEDIANA del triángulo "grande" es ALTURA del triángulo original. Las medianas del triángulo nuevo se cortan en un punto, entonces, las alturas del triángulo original, también se cortan en un punto. Que es lo que queríamos demostrar.

Al principio, para demostrar este teorema del ortocentro, yo había intentando caminos más complicados, apelando a sumas vectoriales y trigonometría. Pero relajándome un poco, y demostrando el teorema de las medianas, surgió en algún momento esta demostración, más sencilla de las que había intentado.

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Publicado el 17 de Octubre, 2015, 17:22

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Veamos esta vez de calcular:

Sabemos desde el post anterior que:

Entonces queda


De cálculo sabemos que al integrar coseno tenemos seno, y queda

Pero el seno de cualquier múltiplo entero de pi es cero, así que la expresión de arriba se anula.

Lo mismo pasa si queremos calcular:

Sabiendo que

Al integrar obtenemos de nuevo una expresión de senos que se anulan.

Todo esto tiene un interés: el integrar entre menos pi y más pi ciertas multiplicaciones de funciones trigonométricas, encontramos que los resultados se anulan. Esto no era evidente, y nos va a servir para poder expresar una función como suma (posiblemente infinita) de esas funciones trigonométricas. Este es el gran avance de Fourier. Lo anterior, el calcular que ciertas integrales se anulan, ha sido largo y laborioso, pero dará sus frutos en los próximos posts.

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Publicado el 2 de Octubre, 2015, 6:36

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Kullback–Leibler divergence - Wikipedia, the free encyclopedia
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Publicado el 20 de Septiembre, 2015, 16:12

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Es hora de plantear un primera versión de la función zeta. Escribimos:

Tomando, al menos por ahora, el parámetro s valores naturales, s = 1, 2, 3, …. Ya sabemos que para s=1 tenemos la serie armónica:

Que es divergente (ver …). Y para s = 2, tenemos la serie:

Que en los post anteriores, gracias la solución del problema de Basilea, vimos cómo Euler consigue el valor notable:

Bueno, Euler y su imaginación al parecer no descansaban nunca, y fue él el que introdujo la función zeta, que ahora estamos examinando con s natural (Euler la consideró también para s real). Y encontró una expresión para la función zeta, basada en utilizar números primos. (Algo vimos en …). De nuevo, Euler hace un pase mágico y convierte una serie en un producto. La idea es multiplicar:

Donde p recorre todos los números primos (en el post mencionado más arriba, vimos el caso s=1). Si vamos expandiendo el producto, y ordenando los términos resultantes de menor a mayor, vamos obteniendo TODOS los números naturales, elevados a la potencia s. Pero Euler, aprovechó esto para hacer la multiplicación de los inversos:

Si hacemos la cuenta de la expansión de esta multiplicación infinita, sobre todos los primos, queda la suma de los inversos de los números naturales a la potencia s:

Pero si recordamos algo de álgebra, cada término de la multiplicación de la derecha (una suma infinita de potencias de inversos) es el límite de:

Con todo esto, llegamos a la expresión alternativa de Euler para la función zeta:

Y acá comienza a aparecer algo del tema con el que comenzó esta serie: los números primos. Riemann, con su "paper", quería establecer la cantidad de números primos menores que un número dado. Y consiguió relacionarlo con varias expresiones, no triviales, donde al final se encontraba la función zeta. Que ahora descubrimos, gracias al trabajo de Euler, que guarda una inesperada relación con los números primos.

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Publicado el 19 de Septiembre, 2015, 18:00

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Veamos de ver algunas relaciones que cumple p(n). Nos gustaría conocer cómo obtener un valor para cada n, con una fórmula simple. No es fácil el asunto, pero sí es muy interesante. Primero, con los pocos valores que conocemos de esta función, vemos que p(n) es una función creciente, es más, es estrictamente creciente. Es decir

p(n+1) > p(n)

Eso ya quedó casi demostrado en el anterior post, donde vimos procedimientos para obtener nuevas particiones n+1 a partir de particiones n. Veamos hoy más en detalle esos procedimientos y alguno nuevo. Sean las particiones de 3:

3 = 1 + 1 + 1
3 = 2 + 1
3 = 3

Dispuestas en la "forma normal" que empleamos en el primer post: los términos que suman dispuestos en forma decreciente. Si al primer término le sumamos 1, quedan las particiones de 4:

4 = 2 + 1 + 1
4 = 3 + 1
4 = 4

Pero no son todas, hay más. Por lo menos, está:

4 = 1 + 1 + 1 + 1

que no pudo ser obtenida con el truco de sumar 1 al primer término. Entonces, p(n+1) > p(n), siempre.

A esta manera de obtener algunas particiones de n+1 dadas las de n, lo vamos a llamar procedimiento alfa.

Otro procedimiento que vimos para obtener parciciones de n+1, es agregando un 1 a la derecha de cada partición de n, en el ejemplo anterior sería:

4 = 1 + 1 + 1 + 1
4 = 2 + 1 + 1
4 = 3 + 1

Llamemos a esta manera de producir particiones, el procedimiento beta. Descubrimos que algunas particiones se producen por alfa, algunas por beta, y que algunas parciciones se producen POR LOS DOS procedimientos. Ambos procedimientos generan particiones normalizadas.

Nos gustaría decir que con los procedimientos alfa y beta obtenemos TODAS las particiones de n+1, pero no. Ya en el ejemplo de n=3 a 4, hay una partición que falta:

4 = 2 + 2

Bien, veamos otro procedimiento para obtener ALGUNAS de las particiones n+1, que fue mencionado en el anterior post. Es, dada una partición de n, sumar 1 al término de más a la derecha. No siempre es posible sin romper la normalización. En el caso n=3, obtenemos para n=4 las particiones "válidas":

4 = 2 + 2
4 = 4

al aplicar este procedimiento (sumar 1 al último término) a las particiones:

3 = 2 + 1
3 = 3

no pudiendose aplicar este procedimiento a:

3 = 1 + 1 + 1

porque daría una "no válida":

3 = 1 + 1 + 2

donde se rompe nuestra regla de normalización. Esta es una señal de atención: tal vez al normalizar estamos perdiendo otros caminos de exploración de este problema. Tal vez habría que explorar la generación de particiones, sin preocuparse si son "válidas" o no, y luego "contar las repetidas". Pero por ahora, sigamos considerando sólo las válidas.

Llamemos a este procedimiento, el sumar 1 al término de la derecha, el procedimiento gamma. Algo apareció interesante: combinando alfa, beta y gamma, pudimos obtener TODAS las particiones de 4. ¿Será así en el caso general? Ese es el tipo de preguntas que nos tenemos que hacer si queremos jugar a las matemáticas.

Estos procedimientos toman como entrada una partición válida de n y producen una o cero particiones válidas de n+1. Sería interesante conocer un procedimiento que produzca TODAS las de n+1. El tema que hace interesante a la función p(n) es:

- Depende de alguna forma de los valores anteriores, como p(n-1)
- Los procedimientos que estamos explorando a veces no producen TODAS las particiones que buscamos
- Cuando aplicamos más de un procedimiento, obtenemos a veces particiones repetidas

Sería interesante describir un procedimiento tal que, dada una partición de n, SIEMPRE pueda producir UNA O MAS particiones de n+1, aunque en el recuento final aparezcan repetidas.

Todos temas interesantes a explorar en próximos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 14 de Septiembre, 2015, 7:30

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Demostremos hoy que las medianas de un triángulo se intersectan en un único punto.

Sea un triángulo cualquiera ABC:

Tracemos la mediana por el lado AB (la mediana es línea perpendicular que pasa por el punto medio de un lado):

La mediana del lado AB pasa por el punto M. Cualquier punto de la mediana, como el Q, forma un triángulo isóceles con el lado AB, en este caso el triángulo AQB.

Tracemos la mediana del lado AC.

Se intersecta en algún punto con la anterior mediana de AB, digamos el punto O. Es necesario que se intersecten porque son líneas perpediculares a dos lados no paralelos, así que en algún punto se tienen que cruzar. Podría ser que el punto de intersección caiga FUERA del triángulo ABC, pero no importa para la demostración.

Notamos algo: los triángulos AOB, y AOC, son triángulos isósceles. Comparten el lado AO, entonces OC es igual a OA y es igual a OB. Conclusión: el triángulo BCO es TAMBIEN isósceles. Tracemos su altura, que pasa por el vértice O:

Pues bien, esa altura, que pasa por OP, por ser altura de un triángulo isósceles OCB, divide a la base CB en dos segmentos iguales, CP y PB. Entonces, esa recta ES LA MEDIANA del lado CB: es perpendicular, por ser altura de OCB, y es mediana por separar al lado CB en dos segmentos iguales.

Vemos entonces que esta tercer mediana PASA, por necesidad de su construcción, POR LA INTERSECCION de las otras dos medianas, como se quería demostrar. Este punto se denomina circumcentro.

En el próximo post, aprovechando este resultado, demostraremos que la intersección de las alturas de un triángulo cualquiera TAMBIEN es un solo punto, llamado ortocentro.

Nos leemos!

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Publicado el 13 de Septiembre, 2015, 7:43

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Para lo que sigue, nos conviene recordar la identidad:

Y también:

Sabiendo esto, podemos ir deduciendo en cualquier momento la suma y resta de cosenos, senos. Veamos:




Pero de:

Se deduce, igualando parte real  e imaginaria de los dos últimos resultados:


De la misma forma podemos desarrollar:




Llegando a:


Sumando la suma y diferencia de cosenos queda:

Y tomando la diferencia:

Haciendo lo mismo con los senos:

Ha sido un montón de trabajo. ¿Y para qué? Estos últimos tres resultados nos van a servir para calcular la "multiplicación" de cos mx, cos nx, sen mx, sen nx, entre sí, según lo definido como "multiplicación" en los anteriores posts. Y ahí descubriremos la ortogonalidad de tales funciones, cuando n es distinto de m. Temas para el próximo post.

Nos leemos!

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Publicado el 12 de Septiembre, 2015, 17:28

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Comencemos hoy a examinar el caso:

Un caso sencillo pero fascinante. En los dos anteriores posts quedó resuelto el caso de exponente n = 4. Pero la solución expuesta es algo así como un conejo sacado de la galera: una consecuencia que no parece necesaria, y solamente apoyada en algún lema oscuro.

Pero el caso n=3 tiene otro sabor: el estudiarlo nos va a abrir puertas a temas interesantes, relacionados con el teorema de Fermat, pero también con la teoría de números en general.

Consideremos el caso donde x, y, z no tienen ni un solo factor en común. Entonces, cualquiera sea el exponente n (impar), hay dos de esos números que son impares, y el otro es par. Si hubiera dos pares, entonces tendrían como factor común el dos, contra lo supuesto. Si los tres fueran impares, elevados a potencias impares darían impar, y sumados dos de ellos darían par, no pudiéndose obtener el resultado del tercero. Conclusión: siempre hay dos impares y un par, cuando n es exponente impar.

Podemos, sin perder generalidad, suponer que x e y son los dos impares. Si x y z fueran los impares, bastaría pasar en la ecuación de arriba a z del lado izquierdo, y a y del lado derecho. Pero es un detalle, que tenemos que tener en cuenta. Siendo x, e impares, se deduce que su suma y resta son valores pares, digamos:

y

Sumando y restando las dos ecuaciones, podemos escribir:

y

Como x e y son impares, entonces p y q no pueden ser a la vez impares, o a la vez pares. Se dice que tienen DISTINTA paridad.

Como no hay factores comunes entre x e y:

Donde el par entre paréntesis significa "el máximo común divisor". Esto implica entonces que tampoco p y q tengan factores comunes, pues si tuvieran uno, sería factor común entre x e y, quedando:

Reemplazando en la ecuación original, queda:

Esto tiene un toque interesante. Si desarrollamos las potencias de ambos binomios, al tener un cambio de signo en q, algunos términos se anulan. Desarrollemos cada potencia de binomio, quedando


Sumando las dos ecuaciones:


Bien, llegados a este punto, vamos a ir viendo cómo el factor cubo perfecto de la derecha se puede ir repartiendo entre los dos factores de la izquierda. Al no tener factores comunes p y q, podría pensarse que:

Es decir, que no tienen factores comunes. Pero hay un caso adicional que tenemos que contemplar. El factor 3 de q al cuadrado influye para que también sea posible:

Cualquier otro factor común que no sea ni 1 ni 3, sería factor común de p y q, contra lo supuesto. El 2 tampoco puede ser factor común, porque si lo fuera, entonces:

sería par. Pero la única forma de que esto suceda, es cuando p y q son ambos pares, o ambos impares. Pero ya sabemos que p y q tienen DISTINTA paridad. Queda descartado el 2 como factor común. Sólo nos queda examinar el camino de factor común 1 o 3.

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Publicado el 9 de Septiembre, 2015, 7:20

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Pappus, Hales y Kelvin, Weaire y Phelan, o cómo rellenar el plano y el espacio de la manera más eficiente - Gaussianos | Gaussianos
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The prime tuples conjecture, sieve theory, and the work of Goldston-Pintz-Yildirim, Motohashi-Pintz, and Zhang | What's new
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Math - Understanding the most beautiful equation in Mathematics
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The theorems of Frobenius and Suzuki on finite groups | What's new
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Publicado el 3 de Septiembre, 2015, 7:34

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Varios enlaces de este fascinante tema, algunas introducciones, ver por ejemplo, el libro electrónico Elementary Number Theory, listo para bajarse.

What is number theory? - HowStuffWorks
http://science.howstuffworks.com/math-concepts/number-theory.htm

Journal of Number Theory - Elsevier
http://www.journals.elsevier.com/journal-of-number-theory/

Elementary Number Theory
http://wstein.org/ent/

International Journal of Number Theory (World Scientific)
http://www.worldscientific.com/worldscinet/ijnt

An Introduction to Number Theory : nrich.maths.org
http://nrich.maths.org/4352

NUMBER THEORY WEB
http://www.numbertheory.org/

What Is Number Theory?
http://www.math.brown.edu/~jhs/frintch1ch6.pdf

The 17-armed spiral within a spiral | mathbabe
http://mathbabe.org/2015/07/22/the-17-armed-spiral-within-a-spiral/

abstract algebra - How to prove that the sum and product of two algebraic numbers is algebraic? - Mathematics Stack Exchange
http://math.stackexchange.com/questions/155122/how-to-prove-that-the-sum-and-product-of-two-algebraic-numbers-is-algebraic

abstract algebra - Sums and products of algebraic numbers - Mathematics Stack Exchange
http://math.stackexchange.com/questions/141427/sums-and-products-of-algebraic-numbers

number-theory
https://www.npmjs.com/package/number-theory

Mock modular form - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Mock_modular_form

Partition (number theory) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)

Fermat's theorem on sums of two squares - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat's_theorem_on_sums_of_two_squares

Proofs of Fermat's theorem on sums of two squares - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat's_theorem_on_sums_of_two_squares

Coloración con condiciones - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/coloracion-con-condiciones/

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