Angel "Java" Lopez en Blog

Matemáticas


Publicado el 25 de Junio, 2015, 7:52

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Graph Laplacians | Azimuth
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www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Panoramic Overview of Inter-universal Teichmuller Theory.pdf
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Pequeño LdN: Celebramos dos años y 45 historias
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El Topo Lógico: La paradoja "heterológica" revistada.
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All Squared, Number 5: Favourite maths books (part 1) | The Aperiodical
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Bezier Curves and Picasso | Math n Programming
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Random walks on slides | The Aperiodical
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abc: the story so far | The Aperiodical
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Eduardo Sáenz de Cabezón, ganador de Famelab España 2013 - Gaussianos | Gaussianos
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The science of basketball players on a hot streak. : Seriously, Science?
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Primes really do stick together | The Aperiodical
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El problema de De Beaune, uno de los primeros que resolvió el Cálculo - Gaussianos | Gaussianos
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(Parece ser que) Demostrada la conjetura débil de Goldbach - Gaussianos | Gaussianos
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soft question - Why do we study prime ideals? - Mathematics Stack Exchange
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The Paradox of the Proof | Project Wordsworth
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Publicado el 20 de Junio, 2015, 19:19

Inicio hoy otra serie ambiciosa de posts, matemáticos. Hay un tema que cada tanto aparece en mis lecturas, y es el de números algebraicos. Tiene relación con la teoría de cuerpos conmutativos, teoría de Galois, y otros. Ha sido estudiado en profundidad desde el siglo XIX, como una parte de la teoría de números, por ejemplo, en el estudio general de la factorización en cuerpos conmutativos.

Comencemos viendo una definición. Suponemos que estamos trabajando con números reales y complejos, y buscando soluciones a polinomios en una variable. Un número se dice algebraico si es solución de un polinomio igualado a 0:

Donde todos los coeficientes son números racionales, y el término de mayor grado tiene coeficiente unidad. Es fácil ver que una expresión así es equivalente se puede convertir a:

Donde todos los coeficientes b son números enteros, multiplicando todos los coeficientes racionales originales por un número entero adecuado, para convertir esos coeficientes en números enteros. Tampoco se pierde generalidad, si se multiplican todos los coeficientes de la ecuación por un número racional no nulo. Sus soluciones siguen siendo números algebraicos, aún cuando el término principal (el de mayor grado) no tenga coeficiente unidad.

Todos los números racionales son números algebraicos, porque cada racional:

Con coeficientes a, b enteros, es la solución de:

Y entonces, de:

Si un número algebraico es la solución de un polinomio como el presentado al comienzo, pero con coeficientes ENTEROS (el término de mayor grado de x sigue teniendo coeficiente igual a uno), se dice que es un entero algebraico. Todos los números enteros son enteros algebraicos.

Uno podría esperar que los enteros y racionales sean todos los números algebraicos que podemos encontrar, pero notablemente, ecuaciones como:

Tienen coeficientes enteros, con coeficiente principal uno, y sin embargo, con soluciones no racionales:

Ese es el sabor especial de los números algebraicos: van más allá de los números enteros y racionales.
Otra sorpresa, no evidente, es que la suma, producto y división de dos números algebraicos, es también un número algebraico. Esta propiedad no es fácil de probar. Veamos primero que el inverso de un número algebraico no nulo, es algebraico.

Sea el número alfa:

satisfaciendo:

Con coeficientes racionales. Dividiendo por ese número alfa, elevado a la potencia n, se obtiene:

Donde se ve que el inverso de ese número también satisface una ecuación como la que se pide para los números algebraicos. No es tan simple probar que la suma y el producto de dos números algebraicos sea también algebraico. Por ahora, lo damos por supuesto, pueden ver:

http://math.stackexchange.com/questions/155122/how-to-prove-that-the-sum-and-product-of-two-algebraic-numbers-is-algebraic
http://math.stackexchange.com/questions/141427/sums-and-products-of-algebraic-numbers

Una parte de esta serie estará destinada a probar esos resultados. Esas propiedades de clausura (suma, resta, multiplicación, división de números algebraicos dan números algebraicos) permite tratar sistemas de números algebraicos como tratamos otros sistemas cerrados de números, notablemente los racionales. Hay algo de las propiedades de los números racionales que impregna a esos sistemas de números algebraicos. Y veremos que el concepto de entero algebraico también comparte características con el de número entero.

Fuentes consultadas: The Elements of the Theory of Algebraic Numbers, de Legh Wilber Reid (con una breve introducción de David Hilbert), y el monumental The Theory of Algebraic Number Fields, de David Hilbert, que ya comenté en la serie David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos.

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Publicado el 14 de Junio, 2015, 20:33

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Estábamos estudiando la transformación:




La podemos representar como multiplicación de matrix cuadrada y vector:

Podemos expresar con notación abreviada:

Donde ahora las equis son vectores, y la A es la matriz de los coeficientes alfa. Si suponemos que la matriz es invertible (tiene inversa), entonces:

Los elementos de la matriz inversa se pueden expresar como fracción de los determinantes menores y el determinante total. (el determinante menor del elemento i,j, es el determinante de la matriz que queda sacando la fila i y la columna j, y dándole un signo apropiado, dependiendo de si i+j es par o no).

Si llamamos B al número determinante de A, y Bij a los determinantes menores, podemos siempre recordar que la transformación inversa se puede expresar como:




Es decir, la transformación es invertible, si y sólo si la matriz A es invertible. Esto induce un esquema de grupo entre transformaciones lineales de este tipo, donde cada elemento del grupo tiene inverso, el elemento unidad es la transformación unidad (representada por la matriz unidad), y donde la composición de transformaciones es la operación de grupo (representada por la multiplicación de las matrices).

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Publicado el 31 de Mayo, 2015, 20:10

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Tomemos una forma de orden n, con m variables:

De esta forma general podemos derivar otra forma, expresando las m variables originales con funciones de otras m variables:



...

Donde estas nuevas m funciones son todas formas del mismo orden.

Esta operación es llamada transformación, las nuevas variables son las x" (x prima), y la forma resultante:

Es llamada la forma transformada.

Hay transformaciones más interesantes que otras. Tomemos transformaciones lineales:




Los alfa se llaman los coeficientes de la transformación. La forma transformada entonces es:


Una propiedad interesante de la transformada es que tiene el mismo orden que la original. Es un poco trabajoso demostrarlo, veamos algunos puntos.

El término general de la forma original es:

Donde la suma de los exponentes de las variables es:

Y se transforma a:

Los términos del primer polinomio elevado a v1, son términos homogéneos en los alfa y en los x primas, de orden v1. Y así con las demás potencias desarrolladas del resto de los polinomios lineales.

Cada término final es el producto de un término homogéneo de alfas y x primas de orden v1, por un término homogéneo de alfas y x primas de orden v2, por .. y así, llegando a ser cada término final homogéneo de orden v1+v2+…+vm = n, en alfas y equis primas.

Si sumamos los coeficientes de los términos que tengan la misma distribución de variables x prima (que tengan los mismos exponentes), el coeficiente resultante es homogéneo lineal en los coeficientes originales ci, y homogéneo de orden n en los coeficientes originales alfa.

Como les decía, es algo trabajoso verlo en detalle, veamos un ejemplo en concreto.

Sea la forma original de dos variables, y segundo orden:

Sea la transformación lineal:


Aplicando la transformación, queda:

Donde:



Lo que muestra de forma más concreta lo afirmado.

Veremos en el próximo post que la transformación es invertible.

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Publicado el 12 de Mayo, 2015, 16:14

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Más temas de geometría, a veces puros, otras veces demostrando su relación con la física. En este último siglo se ha ido redescubriendo el poder de la geometría, con conceptos independientes de coordenadas, o con la aplicación de las ideas de Gauss-Riemann en la relatividad.

Nikola Tesla 3 6 9 - YouTube
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Publicado el 9 de Mayo, 2015, 18:12

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Mathematicians help unlock brain function
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17 ecuaciones que cambiaron el mundo, o por qué sí sirve de mucho estudiar matemáticas y ciencia | Microsiervos (Ciencia)
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Number theory - Wikipedia, the free encyclopedia
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Michael Chwe, Author, Sees Jane Austen as Game Theorist - NYTimes.com
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Publicado el 2 de Mayo, 2015, 4:07

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Examinemos hoy una "multiplicación" de funciones que nos va a servir para entender el trabajo de Fourier. No quedará todavía claro en este post su uso en el desarrollo de Fourier. Pero podemos intuir una analogía geométrica: las funciones que vamos a considerar, "multiplicadas" por sí mismas darán un número, la unidad. Y multiplicadas entre sí (funciones distintas) darán cero. Es similar al producto de vectores ortogonales, normalizados. Nada más que esta vez estaremos en un espacio vectorial donde los vectores son funciones, y la dimensión es infinita numerable. Hoy no trataremos todavía cuáles son las funciones que vamos a considerar (seno de nx, coseno de nx, variando n por los valores enteros), solamente plantearemos una definición de multiplicación de funciones.

Necesitamos una operación de multiplicación, que dada dos funciones de una variable real, que produzcan reales, nos dé como resultado un número real. Podríamos tomar como multiplicación de las funciones f, g, al producto de su valor en el punto 0 (cero):

Pero no nos va a servir de mucho. Veamos de sumar la multiplicación de varios puntos. Si comenzamos por ese camino, podemos generalizar la suma a una integración:

Tal vez en un intervalo. Como Fourier estaba interesado en funciones periódicas, de periodo 2 pi, donde para todo x real se cumple:

Vamos a definir la multiplicación de f, g como la integración en el intervalo que va desde menos pi a mas pi:

Las funciones f, g tendrán que cumplir algunos requisitos para que esta integración tenga un resultado válido. Las funciones que vamos a considerar no tendrán mayor problema: serán continuas, acotadas en el intervalo menos pi a mas pi, y hasta tendrán periodo 2 pi.

En el próximo posts veremos cómo esas funciones (seno nx, coseno nx) se multiplican y descubriremos que son "ortogonales", es decir, multiplicando funciones distintas obtendremos cero, y multiplicando una función por sí misma, obtendremos la unidad, el uno.

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Publicado el 28 de Abril, 2015, 23:49

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Ceres: Evolution and current state - McCord - 2005 - Journal of Geophysical Research: Planets - Wiley Online Library
http://onlinelibrary.wiley.com/enhanced/doi/10.1029/2004JE002244/

‘Crash Course Astronomy’, A Fun and Informative New Educational Series Hosted by Phil Plait
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El asteroide que pasó cerca de la tierra tiene una luna - FayerWayer
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Astrofísica y Física: Cómo medir la velocidad de la luz observando a Io y Júpiter
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Solar System Formed at the Dawn of the Milky Way Discovered with 5 Earthlike Planets
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Un super asteroide pasará cerca de la Tierra
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Publicado el 26 de Abril, 2015, 19:10

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En el anterior post, mostré la postura de Alan Connes, para quien las matemáticas se descubren, lo que descubrimos ya está ahí, de antes que nosotros, en un mundo matemático que tiene tanta realidad o más que la realidad física. Yo no pondría "realidad", mas bien usaría "mundo". Para mí, realidad se refiere a la realidad del mundo cambiente, no a la inmutabilidad de esa "realidad matemática". Pero tal vez en el fondo no es más que una cuestión de terminología. Veamos hoy la posición de Michael Atiyah. A Atiyah lo conozco más, he leía algún texto suyo, y conozco de su trabajo. Es ganador de la medalla Fields en 1966, la medalla Copley en 1988 y del premio Abel en 2004. Es decir, es un matemático con todas las letras, de influencia similar a la de Connes. Atiyah señalaba:

Cualquier matemático no puede menos que simpatizar con Connes. Todos tenemos la sensación de que los números enteros, o los círculos, existen realmente en algún sentido abstracto, y el punto de vista platónico es terriblemente seductor. Pero ¿podemos realmente defenderlo? Si el universo fuese unidimensional, o incluso discreto, parece difícil concebir cómo podría haber evolucionado la geometría. Parece que con los números enteros el terreno en el que pisamos es más sólido, que contar es un concepto realmente primordial. Pero imaginemos que la inteligencia no se hubiera desarrollado en el hombre, sino en una especie de medusa colosal, solitaria y aislada en los abismos del océano Pacífico. Este ente no tendría experiencia alguna de los objetos individuales, ya que sólo estaría rodeado de agua. Sus datos sensoriales se reducirían a movimiento, temperatura y presión. En este continuo puro, el concepto de discreto no podría surgir ni, por consiguiente, habría nada que contar.

Original la idea de la medusa. Sin embargo, tengo algo que comentar sobre esta postura. Y es algo que puede comenzar a explicar por qué nuestras matemáticas se adecuan tanto a la explicación de modelos de la realidad física. Pienso que la experiencia de la medusa no INVALIDA la posibilidad de existencia de un mundo matemático, con números primos, geometría, e hipótesis de Riemann. Sólo pone de manifiesto que como organismo inteligente, por experiencia sensorial, sólo descubriría una parte de ese mundo. Pero tal vez aún así, tomando caminos de desarrollo no evidentes, llegue a descubrir matemáticas que están lejos de la experiencia física. En el caso humano, tenemos todo lo que hizo Cantor con los infinitos y sus números transfinitos, o los números surreales de Conway, y debe haber más y mejores ejemplos. Y también es posible que nuestra mente, como la de la medusa, sólo pueda descubrir PARTE del mundo matemático, el sugerido por el razonamiento y la experiencia sensorial humana. Y esa experiencia del mundo físico justamente nos lleva a desarrollar matemáticas que luego se pueden aplicar a los modelos que vamos planteando.

Encuentro el texto de Atiyah en el libro de Mario Livio ¿Es Dios un matemático?

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Publicado el 22 de Abril, 2015, 5:11

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En el primer post mencioné un tema a explorar: las matemáticas ¿existen por sí mismas, en una realidad matemática digamos, y nosotros como seres humanos las vamos descubriendo, como cuando exploramos un continente desconocido (no inventamos las montañas, simplemente las descubrimos; lo mismo los teoremas y conceptos)? En este caso ¿cómo es posible que podamos acceder desde nuestra mente a ese mundo? ¿O serán las matemáticas sólo fruto de la mente humana, sin mayor entidad fuera de ella? Entonces ¿cómo se explica la gran aplicación y éxito de las matemáticas en los modelos de la realidad física?

Veamos la postura expresada por Alain Connes, que defiende la primera posición: las matemáticas como realidad independiente de la realidad física (y de nuestra mente). Connes es matemático, ganador de la medalla Field (1982) (EL PREMIO en matemáticas, que se otorga cada cuatro años), y el premio Crafoord (2001). En 1989 expuso su punto de vista de esta manera:

Tomemos, por ejemplo, los números primos [aquellos que sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad] que, por lo que a mí respecta, constituyen una realidad más estable que la realidad material que nos rodea. El matemático de profesión se puede comparar con un explorador que se pone en marcha para descubrir el mundo. A partir de la experiencia se pueden descubrir hechos básicos. Por ejemplo, basta con unos sencillos cálculos para darse cuenta de que la serie de números primos parece no tener fin. El trabajo del matemático es entonces demostrar que, efectivamente, hay una infinidad de números primos. Este es un resultado antiguo, como sabemos, y se lo debemos a Euclides. Una de las consecuencias más interesantes de esta demostración es que, si alguien afirma un día que ha descubierto el mayor número primo que existe, será fácil demostrar que se equivoca. Esto mismo es válido para cualquier demostración. Nos enfrentamos pues a una realidad estrictamente igual de incontestable que la realidad física.

En próximo post, veremos que no todos están de acuerdo con la postura de Connes. Incluso hay matemáticos que defienden la idea de las matemáticas como fruto humano.

El texto de arriba lo encuentro en las primeras páginas del libro de Mario Livio, "¿Es Dios un matemático?"

Ver también:

http://www.alainconnes.org/en/

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Publicado el 21 de Abril, 2015, 14:08

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Pat'sBlog: On This Day in Math - January 13
http://pballew.blogspot.com.ar/2015/01/on-this-day-in-math-january-13.html

Pat'sBlog: On This Day in Math - January 1
http://pballew.blogspot.com.ar/2015/01/on-this-day-in-math-january-1.html

La historia de la «fórmula matemática más bella del mundo» | Ciencia | La Ciencia de la Mula Francis
http://francis.naukas.com/2009/05/24/la-historia-de-la-formula-matematica-mas-bella-del-mundo/

La historia de los números de Catalan | Ciencia | La Ciencia de la Mula Francis
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Publicado el 17 de Abril, 2015, 14:34

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Retomemos este gran e interminable tema, tan interesante, con tantas derivaciones. En estos días me reencuentro con un fragmento de Galileo. No sabía que estaba en El ensayador, yo hubiera pensado que estaba en otros escritos. Es el fragmento donde Galileo plantea a las matemáticas como el lenguaje del universo:

Creo que Sarsi está plenamente convencido de que, en filosofía, es fundamental apoyarse en la opinión de algún autor famoso, como si nuestro pensamiento fuese completamente árido y estéril si no está unido a los razonamientos de otro. Quizás piense que la filosofía es una obra de ficción creada por un hombre, como La Ilíada u Orlando Furioso [un poema épico del siglo XVI escrito por Ludovico Ariosto] -libros en los que no tiene la menor importancia la verdad de lo que describen-. Señor Sarsi, las cosas no son de este modo. La filosofía está escrita en el gran libro que está siempre abierto ante nuestros ojos (me refiero al universo) pero que no podemos comprender si no aprendemos en primer lugar su lenguaje y comprendemos los caracteres en los que está escrito. Está escrito en el lenguaje de la matemática, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales no es humanamente posible comprender ni un sola de sus palabras, y sin las cuales se deambula vanamente por un laberinto de tinieblas.

Lo que Galileo llama "filosofía" es "filosofía natural", lo que hoy llamamos "física". Lo encuentro citado en el libro de Mario Livio, "¿Es Dios un matemático?". Hoy sólo va mención de esta idea de Galileo, que tanto influyó en su obra, y en la de los que le siguieron. Recordemos si no a Newton. Mi postura: usamos las matemáticas en los modelos de la realidad física (a nivel de lo físico) pero no es que el universo es matemático. Sino que está regido (a ese nivel) por procesos simples, que se pueden expresar usando matemáticas. El texto de Galileo es uno de los que pone de nuevo a la matemática relacionada de forma especial con la realidad. El gran precursor de esas ideas, es Pitágoras.

Posts relacionados:

La realidad matemática, según Hardy
Einstein: Matemáticas y Realidad

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Publicado el 12 de Abril, 2015, 18:12

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Veamos hoy cómo consiguió Euler resolver el problema de Basilea. Durante su vida dio varias pruebas. Visitemos hoy una, con una operación muy típica de Euler: aparear una suma infinita con una multiplicación infinita.

Cuando tenemos un polinomio de segundo grado como:

Existen para él dos raíces, en este caso 3 y 7, y se puede expresar el polinomio como:

Lo que hizo Euler es encontrar una expresión como la de arriba, una multiplicación de raíces, pero para una función trigonométrica que tiene infinitos ceros.

Recordemos el desarrollo en serie de Taylor de la función seno de x:

Dividamos por x, queda:

Los ceros de esta función son los x igual a múltiplo entero de pi. O sea:

Euler se atrevió a expresarla entonces como una multiplicación infinita de esos ceros, como hicimos con el polinomio:

(este paso es el que requiere justificación cuidadosa, pero Euler se tenía confianza). Vemos que si x toma uno de los valores que mencionamos, UNO de los factores de arriba valdrá 0, y el resultado es 0 (dejando de lado el punto problemático x = 0). Concentrémonos en expandir y desarrollar esta multiplicación. Primero, podemos reexpresarla, combinando los factores consecutivos de a dos:

Para eso, cada término de la expansión será una multiplicación (formalmente infinita) de un término elegido de cada factor de la multiplicación de arriba. Cada factor tiene dos términos: o un 1 (uno) o un término en x cuadrado. Pongamos foco en los términos que resultan de elegir sólo un término en x cuadrado, y el resto tomamos el 1. Así, el término resultanto en x cuadrado es:

El coeficiente para x cuadrado es entonces:

Expresando el último factor como sumatoria sobre todos los naturales:

En la expansión de Taylor, el término en x cuadrado es

Igualando los coeficientes queda:

Lo que da la notable solución del problema de Basilea: la suma infinita de los inversos de los cuadrados naturales es:

Un resultado inesperado. ¿Quién diría que esa suma infinita de inversos de cuadrados estaría relacionada con pi?

Veremos en el próximo post que Euler no sólo se quedó con esta solución, sino que examinó los coeficientes para otras potencias de x.

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Publicado el 10 de Abril, 2015, 19:44

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New open access journal in algebraic geometry | Secret Blogging Seminar
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The Aperiodical | ABC, as easy as pp1-40
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The Aperiodical | All Squared, Number 2 – Pancake formula
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News: Belgian-born Pierre Deligne named Abel Prize winner
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R&D | The Theory That Would Not Die – An Engaging History of Bayesian Philosophy
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El algoritmo de Chudnovsky, o cómo se calculan los decimales de Pi en el siglo XXI - Gaussianos | Gaussianos
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Euclidean domain - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_domain

Euclidean Rings of Algebraic Integers
http://www.mast.queensu.ca/~murty/harper-murty.pdf

Euclidean Rings
http://people.reed.edu/~jerry/332/15euc.pdf

¡Feliz día de pi! | Microsiervos (Ciencia)
http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/feliz-dia-pi-2013.html

On Fermat's Last Theorem for n=3 and n=4
http://wstein.org/edu/2010/414/projects/ohana.pdf

Fermat's Last Theorem: Fermat's Last Theorem: Proof for n=3
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html

Undamped forced vibrations — The Endeavour
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Kepler contra Fludd, science contra woo? | The Renaissance Mathematicus
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PlanetMath
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Wedderburn's little theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
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Por seis meses, matemáticos de todo el mundo debaten sobre computación y azar en el Polo Científico Tecnológico
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Publicado el 5 de Abril, 2015, 8:06

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Pierre de Fermat fue un jurista francés, nacido en 1601 en Beaumant de Lomagne, muerto en 1665 en Castres. Fue parte del Parlamento de Tolouse. Podía escribir versos en varios idiomas (latín, griego, italiano y español). Pero en lo que destacó fue en matemáticas. Eric Bell lo nombró "el príncipe de los aficionados". Fue un matemático de primera línea, y su obra es más extensa y variada que lo que su último teorema sugiere. Trabajó en otros temas, además de teoría de números. En geometría, reconstruyó un trabajo de Apolonio, en base a los comentarios de Pappus. Independientemente de Descartes, inventó la geometría analítica en 1636, dándose cuenta que si la hubiera conocido en 1629 le hubiera ahorrado gran cantidad de tiempo. En análisis fue el precursor del cálculo diferencial e integral. Fue igual a Pascal en combinatoria y probabilidad. En óptica introdujo el cálculo de variaciones para justificar la ley de Snell-Descartes.

Mencionemos algunos resultados suyos en teoría de números.

El llamado pequeño teorema de Fermat: para cada número primo p y para cada a entero no divisible por p se tiene:

Ver Demostración del teorema de Euler-Fermat.

La ecuación de Fermat, usualmente llamada (equivocadamente) la ecuación de Pell:

Los números de Fermat

La representación de números primeros en formas cuadráticas, en especial:

Y en

Ver mi serie p = x2 + y2.

El "último teorema" que nos ocupa en esta serie de posts, que para n > 2 y x, y, z enteros afirma:

Y varias ecuaciones diofánticas. Usó en varias de sus demostraciones el descenso infinito (ver Fermat y el Método de Descenso Infinito y Descenso Infinito)

Fuente consultada: Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, de Yves Hellegouarch.

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Publicado el 31 de Marzo, 2015, 19:02

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En el post anterior comentaba que Fourier consiguió desarrollar funciones usando una serie de términos (posiblemente infinita) donde en cada uno aparecía una función trigonométrica. Para comprender cómo se consigue expresar una función como una serie de ese tipo tenemos que estudiar cómo obtener los coeficientes de esa serie. Para esto veremos primero una propiedad que tienen las funciones seno y coseno.

Primero, centremos nuestra atención en funciones de periodo 2 pi o sea para las que siempre se cumple:

Caso de esas funciones son las clásicas trigonométricas

Y

Es fácil ver que cualquier combinación lineal de este tipo de funciones también tiene el mismo periodo. También tienen el mismo periodo 2 pi las funciones que, en vez de depender de x, dependen directamente de nx, donde n es un número entero:

Y

Algo que usó Fourier para desarrollar su serie, es saber que las funciones sen(nx), cos(mx) son "ortogonales" cuando los coeficientes n y m son distintos. Lo mismo para sen(nx) vs sen(mx) y cos(nx) vs cos(mx). Tenemos que ver qué es esto de ortogonal en este contexto. Pero podemos hacer una analogía con los espacios vectoriales. En ellos se puede definir muchas veces un producto entre vectores, el producto interno, de tal manera que haya vectores v y w cuyo producto interno de cero. Cuando eso lo aplicamos a los vectores clásicos del plano y del espacio, ese producto interno es cero CUANDO GEOMETRICAMENTE los vectores forman ángulo recto entre ellos (es más sutil que esto, pero nos sirve como base). Y llamamos a sus direcciones entonces, ortogonales.

Bueno, algo así se puede establecer entre funciones reales definidas en un intervalo de longitud 2 pi. Un producto interno adecuado, sobre lo funciones que, modernamente, se considerarían elementos vector de un espacio vectorial. En el próximo post veremos la definición de ese producto de funciones, y cómo las funciones mencionadas arriba son "ortogonales".

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Publicado el 30 de Marzo, 2015, 7:44

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Diofanto es uno de los grandes personajes de la "Era de Plata" de la matemática griega. Se cree que vivió en Alejandría, entre los años 250 y 350 (de nuestra era), junto a Pappus y Proclo. Es conocido por su Aritmética, en 13 libros. En los tiempos de Fermat sólo se conocían seis de esos libros, pero hace unos años han sido descubiertas traducciones al árabe de cuatro libros más.

Las matemáticas que Diofanto expone en su Aritmética son distintas de las de la "Era de Oro" de Euclides. En verdad, se parecen más a la tradición babilónica. Mientras que Euclides construye desde primeras nociones y postulados, y va demostrando teoremas, Diofanto muchas veces trata casos particulares y da soluciones para esos casos, sin construir una teoría. Lo nuevo que aporta es su interés en encontrar las soluciones exactas a ecuaciones en números racionales. Fue uno de los primeros matemáticos en introducir símbolos en matemáticas, usando una notación cercana a la que aportaría luego Viete. Por ejemplo, el polinomio:

Sería escrito por Diofanto de esta forma:

Donde delta denota x al cuadrado, K denota x al cubo, M es el signo menos y U es la unidad. Vean cómo pone los términos con coeficiente positivo a un lado, y los de coeficiente negativo en otro.

Hay una identidad, conocida desde la Edad Media, que aparece en el trabajo de Diofanto (ya la estoy por usar en mi post p=x2+y2)


Es la llamada identidad de Brahmagupta-Fibonacci

¿Fue Diofanto el primer algebrista? Bueno, le faltó generalidad, se ocupó más de casos particulares. ¿El último de los babilonios? Tampoco, fue más abstracto que ellos, ya solamente con la aparición de su notación. ¿El primero de los matemáticos dedicado a la teoría de números? No, porque trabajo más sobre Q (los números racionales) que sobre N (los números naturales). Pero sí fue el principal precursor de la teoría de números. Recordemos que el interés griego por las soluciones en números racionales tiene relación con el descubrimiento (ya en tiempos de Pitágoras) de los números irracionales (aunque a decir verdad, los griegos no manejaron el concepto de número como lo hacemos nosotros; estaban interesados en razones de magnitudes).

En el siglo XVI la Aritmética de Diofanto era un texto obscuro, que había sido olvidado. Fue Bombelli quien redescubrió el libro en 1570 y lo incorporó en su propia obra Algebra, escrita en italiano en 1572. En 1575, W. Holtzmann (alias Xylander) dio una traducción completa al latín. Viete toma el libro y lo transforma, incorporándolo en sus obras, como Isagoge de 1591, y Zetetique de 1593, poniendo énfasis en los aspectos algebraicos. Con Viete comienza a aparecer la notación algebraica, usando una letra para la incógnita. En cambio Bachet de Meziriac, el autor de la traducción de Diofanto que leyera Fermat, no era algebrista, sino el autor de un libro llamado Agradables y deleitables problemas a ser resueltos con números. Su edición de Diofanto fue bilingüe, en griego y latín, y la publicó en 1621.

Fuente consultada: Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, de Yves Hellegouarch.

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Publicado el 28 de Marzo, 2015, 15:10

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Veamos hoy de presentar un caso de función aritmética, que tiene su importancia en la teoría de números. Al principio no se verá claramente su utilidad, pero poco a poco veremos qué lugar ocupa en todo este espectro de funciones aritméticas. Fue definida y usada por Moebius, matemático alemán del siglo XIX. Para muchos de nosotros, es más conocido por la "cinta de Moebius". Algo que yo no conocía es que había sido astrónomo también.

Bien, la función de Moebius se define para 1:

Usando la letra griega mu. Algo simple, ¿no? Bueno, ahora necesitamos saber cuánto vale para los otros números naturales. Lo que pone de manifiesto la función mu es si un número n es o no divisible por un cuadrado. Para eso se pone que cuando n se descompone en potencias de primos distintos:

Entonces, si todos los exponentes son 1:

El valor de mu(n) es:

Donde k es claramente la cantidad de factores primos distintos que componen n. Observemos que hay una paridad: el resultado puede dar 1 o -1, dependiendo de si la cantidad de primos que componen n es par o impar, respectivamente. En cualquier otro caso, n tiene entonces algún factor primo elevado a la por lo menos 2, y entonces es divisible por el cuadrado de un primo. En esos casos, la notable función mu toma el valor 0:

Y digo notable, porque a primera vista, es algo rara esta definición. Pero es tan simple y poderosa, como vamos a estudiar, que revela algo que llama la atención en matemáticas. Vamos a ver cómo esta función tiene propiedades simples por sí misma, y cómo se puede ir combinando con otras funciones aritméticas.
No conozco la historia en detalle de esta función. Al parecer, ya la usó Euler implícitamente en fecha tan temprana como 1748, pero fue Moebius en 1832 el primero en investigar sus propiedades sistemáticamente.

Si leemos el artículo de la Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_function

Vemos que no solamente se usa en teoría de números, sino también en combinatoria. Y la paridad que hemos notado, hasta aparece en una rama física de supersimetría, distinguiendo entre fermiones y bosones en un gas de Riemann. Y hasta se puede derivar de la función mu la función de Mertens, que cosas vederes Sancho, tiene que ver con la hipótesis de Riemann, que estoy estudiando en otra serie de posts.

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Publicado el 23 de Marzo, 2015, 16:01

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Veamos una forma de generar las particiones de n+1 conociendo la enumeración de las particiones de n, expresadas en forma normal (con su elementos en forma descendente).

Sea una partición de 5, como:

2+1+1+1

Siempre se le puede agregar un uno al final, para obtener una partición de 6:

2+1+1+1+1

Lo mismo a la partición de 5:

3+2

se le puede agregar un uno a la derecha, para obtener la partición de 6:

3+2+1

O sea que a CADA partición de 5, le corresponde UNA partición de 6, que termina en 1. Se puede ver también que a toda partición de 6 que contenga un 1, le corresponde UNA partición de 5 (simplemente sacando ese uno).

También, dada una partición de 5 en forma normal como

3+2

Obtenemos otra partición de 6, sumándole un uno al último término, en este caso sumando uno al último elemento el dos:

3+3

Pero eso no es posible en una partición de 5 en forma normal como:

2+1+1+1

Porque sumándole uno al último término:

2+1+1+2

obtenemos una partición de 6, pero no en forma normal, no en forma tal que todos sus elementos vayan siendo iguales o decrecientes cuando los recorremos de izquierda a derecha. Si nos fijamos en el ejemplo anterior y otros, el truco de agregar uno al último elemento NO FUNCIONA, porque ese último elemento está repetido.

Si llamamos

p(n)

a la cantidad de particiones de n, y llamamos

r(n)

a la cantidad de particiones de n que NO TIENE su menor elemento repetido, llegamos a nuestra primera conclusión:

p(n+1) = p(n) + r(n)

El primer término de la derecha, es la cantidad de particiones de n+1 que nacen de agregar el número 1 a cualquier de las particiones de n. El segundo término, viene de las particiones de n a las que se les puede sumar uno a su término menos. Y si lo miramos fijo, es claro que cada partición de n+1 NACE de una Y SOLO UNA de esas dos formas.

Igual, mucho no avanzamos, porque no parece a simple vista que r(n) tenga una forma sencilla de calcularse. Pero todo suma ;-)

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Publicado el 15 de Marzo, 2015, 16:04

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Veamos hoy de presentar los primeros pasos en la función gamma. En otro post ya mostré que la serie armónica:

diverge (ver Harmonic Series). Pero podríamos preguntarnos si diverge o converge (y a qué numero) la serie:

O en general la suma de los recíprocos de las potencias a la s:

Tenemos acá, dependiendo de s natural, a una primera función llamada función zeta. Bien, si para s=1 se sabía que la serie divergía, para s=2 no se supo por mucho tiempo si la serie convergía (todo parecía indicar que sí, pero no había demostración, y además la convergencia era muy lenta), y a qué número. El caso s=2 se llamó el problema de Basilea, ver Basel Problem.  Pedro Mengoli lo formuló en 1644 (pero todo indica que el problema era conocido de antes), y fue resuelto por Euler recién en 1734, siendo leído el 5 de diciembre de 1735 en la academia de ciencias de San Petersburgo. La solución de Euler (escribió varias en su vida) implicaba la manipulación de una serie infinita sin una rigurosa prueba de su validez, pero igual le otorgó fama en el mundo de las matemáticas. Otros matemáticos de primera línea habían tratado de resolverlo, habiendo fallado en el intento.

Euler no sólo encontró la solución para s=2 sino que, con el tiempo, también dio una expresión para todas las soluciones con s par, introduciendo para ello los llamados números de Bernoulli. Podríamos preguntarnos qué relación hay entre la función zeta y los números primeros. Bueno, fue Euler el que consiguió también expresar las series infinitas apelando a multiplicaciones infinitas donde aparecían todos los números primos. También extendió la función zeta para s entero negativo. Chevyshev la extendió para s real > 1. Finalmente, veremos que Riemann fue el que extendió la misma función, para s complejo.
En el próximo post veremos una de esas pruebas de Euler del valor para s=2, una de las  pruebas más conocidas.

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