Angel "Java" Lopez en Blog

Matemáticas

Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (212)

Publicado el 17 de Enero, 2021, 15:36

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Some Fixed Point Theorems for Partially Ordered Sets
https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/F7BE2EFF0FF71A8CBFC34FF973BED5AA/S0008414X00030704a.pdf/some_fixed_point_theorems_for_partially_ordered_sets.pdf

Theoretical Physics
http://www.tug.org/texshowcase/cheat.pdf

New Geometric Perspective Cracks Old Problem About Rectangles
https://www.quantamagazine.org/new-geometric-perspective-cracks-old-problem-about-rectangles-20200625/

Enlaces útiles para la clase de Matemáticas
https://docs.google.com/document/d/174DY7xK8rLVvVwqYCweQDZ0tO4Zluf8RiG2k-cTWPDw/edit
https://twitter.com/lolamenting/status/1285510978445225989

Applied Category Theory 2020
https://twitter.com/johncarlosbaez/status/1277643847363772416

The Mathematical Structure of Particle Collisions Comes Into View
https://www.quantamagazine.org/new-particle-collision-math-may-offer-quantum-clues-20200820/

The Crooked Geometry of Round Trips
https://www.quantamagazine.org/the-crooked-geometry-of-round-trips-20210113/

Mathematicians Probe Unsolved Hilbert Polynomial Problem
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-probe-unsolved-hilbert-polynomial-problem-20210114/

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Angel "Java" Lopez
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Emily Riehl y la Teoría de Categorías

Publicado el 10 de Enero, 2021, 19:08

El año pasado (2020) leí un artículo de Quanta Magazine que me hizo conocer el trabajo de Emily Riehl en teoría de categorías (el artículo abarca más que esa actividad), Quiero comentar hoy brevemente los primeros párrafos de su excelente libro Category Theory in Context. Serán comentarios livianos, el tema da para mucho más, sirva esto como una leve introducción.

Teoría de categorías es un tema que goza de la fama de abstracto, y en gran parte es así. Tambien va surgiendo en este siglo una rama aplicada de la teoría, pero en general, aún muchos matemáticos profesionales ven a la teoría como abstracta. Algo que no colabora para su diffusion, es que, como muchas otras ramas, si uno comienza a estudiarla se encuentra con muchas definciones y conceptos, que si bien son interesantes, NO PARECEN tener motivación que justifique su desarrollo. Es por eso que es bienvenido este libro de Riehl (la pueden segurr en su twitter @emilyriehl donde se describe como working mathematician, supongo que un guiño a uno de los más conocidos libros de teoría de categorás) que pone en contexto, como dice su título, las ideas que se desarrollan en el pensamiento de categorías. Leo al comienzo del libro:

Atiyah described mathematics as the "science of analogy." In this vein, the purview of category theory is mathematical analogy. Category theory provides a cross-disciplinary language for mathematics designed to delineate general phenomena, which enables the transfer of ideas from one area of study to another. The category-theoretic perspective can function as a simplifying1 abstraction, isolating propositions that hold for formal reasons from those whose proofs require techniques particular to a given mathematical discipline.

Suenore recuerdo el comentario de Bourbaki sobre Gauss, que en su Disquisitione Mathematica probaba una y otra vez una propiedad que quedaba evidente dentro de la teoría de grupos, pero debía hacerlo así porque esa teoría no estaba desarrollada. Las matemáticas como que extraen lo común a varias situaciones y trabajan sobre ello. Por ejemplo, las propiedades de un anillo, luego de haber establecido los axiomas a cumplir por todo anillo. O los espacios topológicos, dados las propiedades de sus conjuntos abiertos. La teoría de categorías va un paso (yo diría más de un paso), en esa dirección.

A subtle shift in perspective enables mathematical content to be described in language that is relatively indifferent to the variety of objects being considered. Rather than characterize the objects directly, the categorical approach emphasizes the transformations between objects of the same general type. A fundamental lemma in category theory implies that any athematical object can be characterized by its universal property—loosely by a representation of the morphisms to or from other objects of a similar form. For example, tensor products, "free" constructions, and localizations are characterized by universal properties in appropriate categories, or mathematical contexts. A universal property typically expresses one of the mathematical roles played by the object in question. For instance, one universal property associated to the unit interval identifies self-homeomorphisms of this space with re-parameterizations of paths. Another highlights the operation of gluing two intervals end to end to obtain a new interval, the construction used to define composition of paths.

El punto importante, que exige un esfuerzo intellectual, es justamente ver el objeto a través de sus relaciones con otros objetos parecidos. El tema de propiedad universal es fundamental en teoría de categorías, pero también cuesta aprehenderlo porque en general lo manejos en dominios particulares, como anillos o campos.

Certain classes of universal properties define blueprints which specify how a new object may be built out of a collection of existing ones. A great variety of mathematical constructions fit into this paradigm: products, kernels, completions, free products, "gluing" constructions, and quotients are all special cases of the general category-theoretic notion of limits or colimits, a characterization that makes it easy to define transformations to or from the objects so- defined. The input data for these constructions are commutative diagrams, which are themselves a vehicle for mathematical definitions, e.g., of rings or algebras, representations of a group, or chain complexes.

Es por todo esto, que este libro es para matemáticos: RIehl pone en contexto las ideas de teoría de categorías, pero apelando a varios conocimientos, desde el algebra conmutativa y no conmutativa hasta topología general.

Important technical differences between particular varieties of mathematical objects can be described by the distinctive properties of their categories: that rings have all limits and colimits while fields have few, that a continuous bijection defines an isomorphism of compact Hausdorff spaces but not of generic topological spaces. Constructions that convert mathematical objects of one type into objects of another type often define transformations between categories, called functors. Many of the basic objects of study in modern algebraic topology and algebraic geometry involve functors and would be impossible to define without
category-theoretic language.

De alguna forma, teoría de categorías expone lo que muchos matemáticos hacen: encontrar analogías entre distintos objetos y sacar provecho de ello. Sí, Atiyah tenia razón: es la ciencia de la analogia.

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Angel "Java" Lopez
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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (211)

Publicado el 3 de Enero, 2021, 15:04

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Transit Across the Purple Sun
https://twitter.com/pickover/status/1296101195447140353

Computer Search Settles 90-Year-Old Math Problem
https://www.quantamagazine.org/computer-search-settles-90-year-old-math-problem-20200819/

Pi in Pascal's Triangle
https://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/PiInPascal.shtml

This formula was first discovered by Laplace and later proved by Jacobi.
https://twitter.com/johncarlosbaez/status/1299442096621760512

The Anatomy of Integers and Permutations
https://twitter.com/Marco_Piani/status/1296088988642615296
https://dms.umontreal.ca/~andrew/MSI/AnatomyForTheBook.pdf

How Close Are Computers to Automating Mathematical Reasoning?
https://www.quantamagazine.org/how-close-are-computers-to-automating-mathematical-reasoning-20200827/

Julio Rey Pastor
https://twitter.com/borcherix/status/1294347487319400454

La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen
https://www.gaussianos.com/la-hipotesis-del-continuo-del-susto-de-cantor-a-la-prueba-de-cohen/

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (210)

Publicado el 2 de Enero, 2021, 12:05

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Computer Scientists Attempt to Corner the Collatz Conjecture
https://www.quantamagazine.org/can-computers-solve-the-collatz-conjecture-20200826

Does  2 + 2  equal  4.00?
https://twitter.com/wtgowers/status/1296463616590393346

This quilt is a multiplication table (also called a Cayley table) for the symmetric group on 4 letters.
https://twitter.com/DaveJensenMath/status/1344740179966357505

Binomial coefficients mod primes
https://www.johndcook.com/blog/2020/06/24/binomial-coefficients-mod-primes/

Chasing the Tail of the Gaussian (Part 1)
https://golem.ph.utexas.edu/category/2020/08/chasing_the_tail_of_the_gaussi.html
https://twitter.com/johncarlosbaez/status/1300811563180240897

Conducting the Mathematical Orchestra From the Middle
https://www.quantamagazine.org/emily-riehl-conducts-the-mathematical-orchestra-from-the-middle-20200902/

Algebraic Number Starscapes
https://arxiv.org/abs/2008.07655

The envelope of Simson lines
https://twitter.com/74WTungsteno/status/1300765678522245120

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (209)

Publicado el 1 de Enero, 2021, 9:00

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The Coordinate Ring: Its Etymology
https://math.stackexchange.com/questions/2397249/the-coordinate-ring-its-etymology

Hardcore math tweet: I finally figured out the point of Riccati equations
https://twitter.com/johncarlosbaez/status/1303373224206426113

Understanding Entanglement with SVD
https://twitter.com/math3ma/status/1303020085876002817
https://www.math3ma.com/blog/understanding-entanglement-with-svd

clifford: Geometric Algebra for Python
https://github.com/pygae/clifford

Dr. Vaughan Jones, 1990 Fields Medal recipient and New Zealand native, dies at age 67 in Nashville TN, US.
https://www.reddit.com/r/newzealand/comments/iockw5/dr_vaughan_jones_1990_fields_medal_recipient_and/

Fox derivative
https://en.wikipedia.org/wiki/Fox_derivative

Move over, Ramanujan!
https://twitter.com/johncarlosbaez/status/1299746317510430722

Mathematicians Report New Discovery About the Dodecahedron
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-report-new-discovery-about-the-dodecahedron-20200831/

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (208)

Publicado el 31 de Diciembre, 2020, 7:30

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The Future of Mathematics
https://wwwf.imperial.ac.uk/~buzzard/one_off_lectures/msr.pdf

Cálculo Diferencial e Integral de Funciones de Una Variable
http://www.ugr.es/~fjperez/textos/calculo_diferencial_integral_func_una_var.pdf

A New Algorithm for Graph Crossings, Hiding in Plain Sight
https://www.quantamagazine.org/a-new-algorithm-for-graph-crossings-hiding-in-plain-sight-20200915/

Random matrices: Universality of local eigenvalue statistics up to the edge
https://twitter.com/gabrielpeyre
https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_law
https://arxiv.org/abs/0908.1982

J. H. C. Whitehead's Theorem (1949)
https://twitter.com/SamuelGWalters/status/1302136733874622465

Gauss" golden theorem: quadratic reciprocity
https://www.johndcook.com/blog/2018/06/30/quadratic-reciprocity/

Riemann integration can be equivalently characterized using positive linear functionals on function spaces
https://twitter.com/SamuelGWalters/status/1301616423920267264

Algorithms in Symbolic Computation
https://www.academia.edu/27369704/Algorithms_in_Symbolic_Computation

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (207)

Publicado el 27 de Diciembre, 2020, 15:18

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Elliptic and Hyperelliptic Curves: a Practical Security Analysis
https://www.microsoft.com/en-us/research/wp-content/uploads/2014/01/644.pdf

John Milnor: Spheres
https://www.youtube.com/watch?v=kQaUCDFvbjA&feature=emb_logo

Recursive Saturation
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2020/10/13/recursive-saturation/

Modes of Convergence
https://www.johndcook.com/blog/modes_of_convergence/

Fast Cryptography in Genus 2
https://eprint.iacr.org/2012/670

Computer Scientists Break Traveling Salesperson Record
https://www.quantamagazine.org/computer-scientists-break-traveling-salesperson-record-20201008/

Riemann Surfaces
https://math.berkeley.edu/~teleman/math/Riemann.pdf

Lean Prover
https://github.com/leanprover/lean

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (206)

Publicado el 26 de Diciembre, 2020, 10:01

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An Infinite Universe of Number Systems
https://www.quantamagazine.org/how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/

¿Quién dijo que la trisección del ángulo era imposible?
https://www.gaussianos.com/quien-dijo-que-la-triseccion-del-angulo-era-imposible/

Bing"s House
https://sketchesoftopology.wordpress.com/2010/03/25/bings-house/

Rubik's Cube inventor Erno Rubik breaks down the math behind the iconic toy
https://twitter.com/mashable/status/1306585446437322753

What is a number?
https://www.youtube.com/watch?v=uo1xDbsYAcU&feature=emb_logo

The Top 10 Algorithms in Applied Mathematics
https://nhigham.com/2016/03/29/the-top-10-algorithms-in-applied-mathematics/

Building the Mathematical Library of the Future
https://www.quantamagazine.org/building-the-mathematical-library-of-the-future-20201001/

Lean (proof assistant)
https://en.wikipedia.org/wiki/Lean_(proof_assistant)

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (205)

Publicado el 25 de Diciembre, 2020, 9:25

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What is a Lie Algebra?
https://www.youtube.com/watch?v=SWcpTfw1Tyc

Disorder Persists in Larger Graphs, New Math Proof Finds
https://www.quantamagazine.org/new-math-proof-raises-lower-bounds-of-graph-randomness-20201104

Simple groups, Lie groups, and the search for symmetry I | Math History | NJ Wildberger
https://www.youtube.com/watch?v=MApjCNK_Nrk

Particle Physics Topic 6: Lie Groups and Lie Algebras
https://www.youtube.com/watch?v=kpeP3ioiHcw

Celebrating the Playful Magic of John Horton Conway
https://www.quantamagazine.org/three-math-puzzles-inspired-by-john-horton-conway-20201015/

¿Existen poliedros cuyas caras sean todas distintas?
https://www.gaussianos.com/existen-poliedros-cuyas-caras-sean-todas-distintas/

Una mejora de Ramanujan a la fórmula de Stirling
https://www.gaussianos.com/una-mejora-par-ramanujan-de-la-formula-de-stirling/

Epidemiological Modeling With Structured Cospans
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2020/10/19/epidemiological-modeling-with-structured-cospans/

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (204)

Publicado el 24 de Diciembre, 2020, 9:25

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ELO Rating Systems
https://en.wikipedia.org/wiki/Elo_rating_system

Turing Tumble
https://www.turingtumble.com/

Computer Scientists Achieve the "Crown Jewel" of Cryptography
https://www.wired.com/story/computer-scientists-achieve-the-crown-jewel-of-cryptography/

Proof that "e" is irrational in 1 Tweet
https://twitter.com/fermatslibrary/status/1322168378988089345

Counting triangles with integer sides
https://www.johndcook.com/blog/2020/11/08/integer-triangles/

Basel Problem
https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem

Pascal"s Triangle
https://mathigon.org/course/sequences/pascals-triangle

Problema de Basilea demostración usando series de Fourier
https://www.youtube.com/watch?v=rIScgkvU8qo&feature=emb_logo

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (203)

Publicado el 20 de Diciembre, 2020, 9:44

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George Pólya
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Polya/

After Centuries, a Seemingly Simple Math Problem Gets an Exact Solution
https://www.quantamagazine.org/mathematician-solves-centuries-old-grazing-goat-problem-exactly-20201209/

How the Slowest Computer Programs Illuminate Math"s Fundamental Limits
https://www.quantamagazine.org/the-busy-beaver-game-illuminates-the-fundamental-limits-of-math-20201210/

Fibonacci Sequence and Category Theory
https://www.math3ma.com/blog/fibonacci-sequence

Matrix chain multiplication
https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_chain_multiplication

Michael Atiyah
https://www.simonsfoundation.org/2009/07/15/michael-atiyah/

When "Better" is better than "Best"
https://arxiv.org/abs/2011.00239

Computer Scientists Achieve "Crown Jewel" of Cryptography
https://www.quantamagazine.org/computer-scientists-achieve-crown-jewel-of-cryptography-20201110/
https://eprint.iacr.org/2020/1003

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (202)

Publicado el 19 de Diciembre, 2020, 11:18

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John Horton Conway: A Life in Games
https://www.quantamagazine.org/john-conways-life-in-games-20150828

A Simple Derivation of Heron"s Formula
https://sinews.siam.org/Details-Page/a-simple-derivation-of-herons-formula-2#.X9jJqh0qnbA.twitter

Alicia Boole Stott, daughter of George Boole and Mary Everest
https://twitter.com/snezanalawrence/status/1339526916366356487

Alicia Boole Stott"s models of sections of polytopes
https://link.springer.com/article/10.1007/s40329-014-0065-x

Tinkering with dimensions
https://www.rug.nl/university-museum/collections/collection-stories/knutselen-met-dimensies?lang=en

On certain Series of Sections of the Regular Four-dirmensional Hypersolids
https://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00011480.pdf

Positive Grassmannian and polyhedral subdivisions
https://arxiv.org/abs/1806.05307

A Mathematician"s Unanticipated Journey Through the Physical World
https://www.quantamagazine.org/a-mathematicians-adventure-through-the-physical-world-20201216/

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (201)

Publicado el 5 de Diciembre, 2020, 11:44

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The amazing "1/7."  Each term is double the prior term, shifted two places to the right.
https://twitter.com/pickover/status/1327645303105839107

CyberCat seminar - Jules Hedges - Lenses as a foundation of cybernetics
https://www.youtube.com/watch?v=WkZPH3Vb5ug&feature=emb_logo

Topics in Combinatorics lecture 11.1 --- Subadditivity of entropy and Shearer's lemma
https://www.youtube.com/watch?v=KgWlsyr0xrU&feature=emb_logo

Homological Mirror Symmetry
https://www.ias.edu/math/sp/mirrorsymmetry

Yet another π computation algorithms
https://thomas-joly.com/yet-another-pi-computation-algorithms/

Inside the Secret Math Society Known Simply as Nicolas Bourbaki
https://www.quantamagazine.org/inside-the-secret-math-society-known-as-nicolas-bourbaki-20201109/

This series diverges
https://twitter.com/mathematicsprof/status/1332343408107679745

Undergraduate Math Student Pushes Frontier of Graph Theory
https://www.quantamagazine.org/mit-undergraduate-math-student-pushes-frontier-of-graph-theory-20201130/

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Hermann Weyl estudiando con David Hilbert

Publicado el 23 de Noviembre, 2020, 16:57

En este año de pandemia he vuelto a leer bastante de matemáticas, sus temas y su historia. En estos días estoy leyendo la excelente biografía de Hermann Weyl (1885-1955), de José María Almira y Julio Ostalé, en la serie Genios de la Matemática, editorial RBA. Weyl es uno de los más importantes matemáticos del siglo XX, habiendo trabajado en temas como ecuaciones integrales, espacios de Hilbert, problemas de física, fundamentos de la matemática, formalización de las superficies de Rienmann, relatividad general con ideas novedosas para el electromagnetismo.

Leo en ese libro un fragmento del propio Weyl sobre sus primeros pasos con David Hilbert al llegar a la famosa Universidad de Gotinga:

Llegué a Gotinga siendo un chico de campo de 18 años, habiendo elegido esa universidad por la simple razón de que el director de mi instituto era primo de Hilbert y me había entregado una carta de recomendación para él. En la plenitud de mi inocencia y mi ignorancia, me propuse asistir al curso de que Hilbert había anunciado para aquel semestre, sobre el concepto de número y la cuadratura del círculo. De la mayor parte no me enteré. Pero las puertas de un nuevo mundo se abrieron de par en par ante mí, y no llevaba sentado mucho tiempo a los pies de Hilbert antes de que en mi joven corazón se formulara la resolución de que debía, por todos los medios, leer  y estudiar todo lo que aquel hombre había escrito. Y después del primer año fui a mi casa con Zahlbericht [el tratado Informe sobre números, que Hilbert publicó en 1896] bajo el brazo, y durante las vacaciones de verano trabajé sobre él. Estos fueron los meses más felices de mi vida, cuyo brillo, a través de los años, cargados de dudas y fracasos, todavía reconfortaba mi alma.

 Es muy interesante que nombrara al Informe sobre números, que mencioné en:

Números Algebraicos
David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos

Weyl llega a Gotinga sin mucha anterior exposición a las matemáticas. Es notable que se pusiera al día, y que aprovechara el talento de Hilbert, que era muy accesible a sus estudiantes y que seguramente reconoció al poco tiempo el talento de Weyl. Este al poco tiempo extendió algunas de las ideas de Hilbert sobre funciones. Es mucho lo que podría escribir sobre Weyl, sirva este post como el primero de muchos.

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Matemáticas: Enlaces, Novedades y Recursos (200)

Publicado el 22 de Noviembre, 2020, 11:48

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The Infinite Pattern That Never Repeats
https://www.youtube.com/watch?v=48sCx-wBs34

EternityII_Solver
https://github.com/jblackwood345/EternityII_Solver

The Pentagon Papers
https://twitter.com/pickover/status/1330511752434479122

How to Solve Our Three John Conway-Inspired Puzzles
https://www.quantamagazine.org/how-to-solve-our-three-john-conway-inspired-puzzles-20201120/

Some Math Problems Seem Impossible. That Can Be a Good Thing.
https://www.quantamagazine.org/some-math-problems-seem-impossible-that-can-be-a-good-thing-20201118/

Searching Symbols for the Rules of Change
https://www.quantamagazine.org/bryna-kra-builds-mathematical-windows-to-symbolize-the-complex-20201117/

Euler's famous formula in the algebra of quaternions
https://twitter.com/SamuelGWalters/status/1327553234563579904

Multidimensional "Sphere Packing" Solutions Stack Up as a Major Mathematical Breakthrough
https://www.scientificamerican.com/article/multidimensional-sphere-packing-solutions-stack-up-as-a-major-mathematical-breakthrough/?WT.mc_id=SA_TW_MATH_BLOG

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Lecturas de Matemáticas (1)

Publicado el 17 de Agosto, 2020, 13:05

En estos días de aislamiento en Buenos Aires, mi rutina de lecturas cambió, pero poco. Sigo leyendo bastante sobre temas de matemáticas, quizás ahora con mayor concentración y empeño. Podría escribir posts por cada tema leído, pero prefiero ahora escribir brevemente para no olvidarme de temas ni de fuentes.

En la semana pasada, volví a visitar el excelente "The  Princeton Companion to Mathematics" editado por Timothy Gowers (ya mencioné el libro en ¿De qué tratan las matemáticas?). Esta vez, me sumergí en su parte II The Origins of Modern Mathematics.

El primer artículo de esa parte es: From Numbers to Number Systems, escrito por Fernando Q. Gouvêa.  Es un tema que me interesa, si leyeron artículos de este blog: los "fields" de números, que aparecen tanto en la teoría de Galois como en algebra conmutativa (preludio a geometría algebraica), teoría de números algebraicos y temas relacionados. La historia de la idea de número es una construcción en el tiempo de los naturales, enteros, reales (que ya encontraron los griegos en forma controversial con la inconmensurabilidad de la raíz cuadrada de dos) y la larga lucha para aceptar los números complejos. Bien, este artículo nos lleva desde la antigüedad a las estruturas de campo en el siglo XX. Es interesante ver las fracciones egipcias (solo admitían el 1 como numerados, idea que encontré hace décadas en un libro elemental de Vinogradov (parece que aceptaban el 2/3 también) y los sistemas babilónicos, basados en posición pero con base 60. Todo parecía poder expresarse en números, hasta que los griegos (al menos los primeros de los que temenos noticia) vieron que las longitudes "no son números ni razones de números" (para ellos, una fracción no es un número). El autor luego comenta la aparición de la base 10 en India con nueve dígitos y posición (aun sin el cero).

Al llegar en Europa la edad media y el renacimiento, poco a poco se fue forjando el concepto de número, incluyendo las fracciones. Y si bien los números negativos se tomaban como "no números" no dejaron de tener influencia en sociedades comerciales, para representar el concepto de deuda.  El sistema decimal fue promovido por Stevin, matemático, físico e ingeniero militar, quien escribió De Thiende (podría traducir como El Décimo). Usó el sistema de posición aún para las fracciones, y tuvo la idea de que aún las longitudes se pueden expresar de esta manera, lo mismo las raíces cuadradas, cúbicas, etc (tendría que escribir alguna vez sobre sus ideas en física, por ejemplo, una demostración de la no existencia de movimiento perpetuo, y nuevas aproximaciones a la estática de Arquímedes).

Si bien de esta manera se incluían soluciones reales, había problemas que planteaban otro tipo de soluciones, que se les llamó ficticias o imaginarias, como la raíz cuadrada de un número negative. Es larga la historia de esta incorporación de los números complejos a la matemática. Habría para nombrar a varios matemáticos (Tartaglia, dal Ferro, Cardano, …) pero recuerdo ahora a Bombelli, que escribió un Algebra, notablemente en italiano. Y además, con un estilo de investigación, como desarrollando sus ideas, sus problemas y soluciones encontradas, en vez de acudir a solo teoremas.

El tema es que el estudio de las soluciones de polinomios se vió completada (y en manera armónica) cuando se aceptaron los números complejos, cosa que no ocurrió completamente hasta bien avanzado el siglo XIX. Gauss es uno de los primeros que los usa, como enteros. Abel y Galois, precedidos por Lagrange y otros, se enfrentan a la quíntica (solución de polinomio de quinto grado). Se especifican los números irracionales, pero también los trascendentes, con Lambert, Liouville. Cantor muestra que la mayor parte de los números reales son en realidad trascendentes. Hamilton descubre los cuaterniones, primer "sistema" de números que no cumple con la conmutatividad de la multiplicación. En semanas, son seguidos por los octoniones.

Pero hay un tema que descubrí en este artículo: fue la aparición de los números p-ádicos de la mano de Kurt Hensel, el que motívó la creación de una teoría de campos ("fields"). Eran los primeros números que no eran una extension de los ya conocidos. Fue Ernst Steinitz el que formalizó el concepto de "field" y creó su teoría abstracta, ya en el siglo XX. Esta y otras estructuras fueron estudiadas, en especial por Emmy Noether. No olvidemos la aparición del Algebra Moderna de van der Waerden.

Dejo para próximo post, seguir exponiendo la lectura de este volumen y de otros libros, mencionados en la bibliografía de cada artículo.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 1 de Agosto, 2020, 11:57

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Wear your math seatbelt, it's time for another differential geometry thread!
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How to calculate fibonnacci numbers
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The Pythagorean Theorem in spherical geometry
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Great Woman of Mathematics: Dr. Chelsea Walton, born 1983
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Mathematics is one of few disciplines that are defined entirely by their method, not but their subject
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The Perplexing Mathematics of the Napkin Ring Paradox
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Greek Vatican Manuscript 190
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Encontrado Nuevo Patrón en los Números Primos
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Publicado el 25 de Julio, 2020, 11:54

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The Two Forms of Mathematical Beauty
https://www.quantamagazine.org/how-is-math-beautiful-20200616/

The beauty of quaternion multiplication
https://twitter.com/johncarlosbaez/status/1285247097525026819

Computation graphs and graph computation
http://breandan.net/2020/06/30/graph-computation/?_lrsc=c44380ec-30c2-4bcb-af16-90861cd8fc50

Mathematicians Will Never Stop Proving the Prime Number Theorem
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-will-never-stop-proving-the-prime-number-theorem-20200722/

The Tricky Math of Herd Immunity for COVID-19
https://www.quantamagazine.org/the-tricky-math-of-covid-19-herd-immunity-20200630/

A Number Theorist Who Solves the Hardest Easy Problems
https://www.quantamagazine.org/james-maynard-solves-the-hardest-easy-math-problems-20200701/

The Math of Social Distancing Is a Lesson in Geometry
https://www.quantamagazine.org/the-math-of-social-distancing-is-a-lesson-in-geometry-20200713/

Diophantine Set
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We"ve been building a new tool called Penrose, which takes a big step toward automatically visualizing mathematics.
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https://penrose.ink/siggraph20.html

Medieval maths! This table was written around 1110 at Thorney Abbey, Cambridgeshire. It helps you multiply fractions from 1/8 to 1/2304, by integers from 1 to 10000.
https://twitter.com/Seb_Falk/status/1270999728663277569

Ranks of Elliptic Curves
https://math.berkeley.edu/~molsson/KConrad-ranks.pdf

In Mathematics, It Often Takes a Good Map to Find Answers
https://www.quantamagazine.org/in-math-it-often-takes-a-good-map-to-find-answers-20200601/

In a Single Measure, Invariants Capture the Essence of Math Objects
https://www.quantamagazine.org/math-invariants-helped-lisa-piccirillo-solve-conway-knot-problem-20200602/

The "Useless" Perspective That Transformed Mathematics
https://www.quantamagazine.org/the-useless-perspective-that-transformed-mathematics-20200609/

Topological Logic - a rod through one hole of a double torus can pass through both with some careful stretching of the surface.
https://twitter.com/mathemaniac/status/1270680150506496003

How can you add something with period 6 and something with period 20 to create something with 7-fold symmetry?
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Publicado el 13 de Junio, 2020, 12:29

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Carmichael's Totient Function Conjecture
https://twitter.com/AlgebraFact/status/1264233391433625601
https://mathworld.wolfram.com/CarmichaelsTotientFunctionConjecture.html

For those who are interested in research-based solutions to stop police violence, here"s what you need to know - based on the facts and data.
https://twitter.com/samswey/status/1180655701271732224

Dot, cross, and quaternion products
https://www.johndcook.com/blog/2012/02/15/dot-cross-and-quaternion-products/

Let R be an integral domain. Then R is a field iff every finitely generated R-module is free.
https://twitter.com/AlgebraFact/status/1267834641614098433

Lenses from a Haskell Perspective
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Profunctor optics, a categorical update
https://arxiv.org/abs/2001.07488

What You Needa Know about Yoneda
https://www.cs.ox.ac.uk/jeremy.gibbons/publications/proyo.pdf

Categories of Optics
https://arxiv.org/abs/1809.00738

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