Angel "Java" Lopez en Blog

Matemáticas


Publicado el 15 de Abril, 2016, 5:42

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De nuevo, tantos temas interesantes. Ver por ejemplo teoría de nudos, simetrías y grupos, biografías, teoría de tipos con homotopías, el artículo sobre matemáticas de Edward Frenkel...

The Geometry Junkyard: Symmetry and Group Theory
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/sym.html

The Geometry Junkyard: Knot Theory
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/knot.html

The Geometry Junkyard: Topics
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/topic.html

Quick Study: Edward Frenkel on math: It's a lot like borscht | The Economist
http://www.economist.com/blogs/prospero/2013/12/quick-study-edward-frenkel-math

Cremona biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cremona.html

15-819 Homotopy Type Theory
http://www.cs.cmu.edu/~rwh/courses/hott/?utm_medium=referral&utm_source=t.co

Recubriendo con "garfios" - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/recubriendo-con-garfios/

Disparando en marcha - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/disparando-en-marcha/

Pikasle
http://pikasle.com/es/inicio/

Número 8 de la revista online de matemáticas “PIkasle”
http://gaussianos.com/numero-8-de-la-revista-online-de-matematicas-pikasle/

Geometría rica en fibra - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/geometria-rica-en-fibra/

Siempre menor y a veces divisor - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/siempre-menor-y-veces-divisor/

Sistemas de recomendación desmenuzados
http://pablozivic.com.ar/post/37131318635/sistemas-de-recomendacion-desmenuzados

Wilkins biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Wilkins.html

Jim Loy's Mathematics Page
http://www.jimloy.com/math/math.htm

Jim Loy's Puzzle Page
http://www.jimloy.com/puzz/puzz.htm

(Vídeo) Doodling in Math Class: Dragon Dungeons - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/video-doodling-math-class-dragon-dungeons/

Dehn biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Dehn.html

Si partimos de algo falso podemos demostrar cualquier cosa - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/si-partimos-de-algo-falso-podemos-demostrar-cualquier-cosa/

Gödel's Incompleteness Theorem (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/goedel-incompleteness/

Prueba la desigualdad - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/prueba-la-desigualdad/

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Publicado el 27 de Marzo, 2016, 8:03

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En el post … habíamos llegado a la expresión:

Con p y q de distinta paridad (uno impar y otro par). Demostramos ahí que pueden ocurrir dos casos:

Es decir, son primos entre sí, o bien

Tienen factor común al 3.

Vayamos hoy por el primer caso. Los dos factores de z al cubo:

y

NO TIENEN factores comunes. Entonces, cada uno de ellos es un cubo perfecto. Veámoslo. Si el primo k divide a uno de los factores, digamos:

Entonces p divide a z al cubo:

Como k es primo, se tiene entonces que que también divide a z:

Y queda que:

Como ese factor p no puede estar en el otro factor:

Entonces, aparece al menos como potencia cúbica en el primer factor:

Eso para cualquier primo de este factor. Queda que cada primo aparece como potencia 3 o múltiplo de 3, quedando:

Para algún entero s. Por el mismo razonamiento (algo largo pero elemental) llegaríamos a:

Ahora bien. Vimos en los anteriores posts qué interesante puede ser considerar:

Es una identidad fascinante. De hecho, da una pauta de cómo pueden ser todos los números que son suma de un cuadrado y el triple de un cuadrado. Algo que no pasó desapercibido ni para Fermat ni para Euler. Es un tema interesante por sí mismo, pero quedará para otra oportunidad. (ver mientras tanto p = x2 + y2 )

Sin embargo, ese camino no está exento de problemas. Ya estuvimos examinado la raíz de la cuestión: Euler presupuso la factorización única de factores primos en ese nuevo sistema de números que incluye a la raíz cuadrada de menos 3. Y eso no es verdad. Luego volveremos a tratar de solucionar esta otra prueba, usando otro campo de números más sutil que el planteado originalmente por Euler.

Veamos otro camino, que apela a números enteros solamente. Como p y q tienen distinta paridad, el factor:

Es impar. Tratemos de descomponerlo en factores impares. Podríamos pensar en que su raíz cúbica tiene la misma forma:

No es un camino descabellado. Pero no es fácil de probar. Lo que podemos probar primero es que un factor así PUEDE ser la raíz cúbica pedida. Luego, más adelante, probaremos que TODO FACTOR primo de nuestro cubo perfecto TIENE esa forma necesariamente.

Veamos hoy un lema que nos va a ayudar, y que era conocido por Euler: la multiplicación de dos polinomios de la forma a2+3b2 da como resultado un polinomio de la misma forma. Esto es notablemente similar a otro resultado que apareción en este blog: la multiplicación de dos sumas de cuadrados, da suma de dos cuadrados.

Multipliquemos dos polinomios de esa forma:


Tenemos la esperanza de separar este resultado en la suma de un cuadrado y el triple de un cuadrado. Respiremos hondo, sumemos y restemos la combinación adecuada de abcd, y reordenemos:



MILAGRO! Obtenemos un polinomio de la misma forma: la suma de un cuadrado y del triple de un cuadrado.
Esto nos dice que no es impensable que sea posible:

Pero todavía falta camino para llegar a eso necesariamente. El lema nos dice que pueden existir c y d, pero no dice que NECESARIAMENTE existan. Eso es lo que nos falta probar.

Veamos un camino para justificar un poco el "milagro" de arriba (es casi seguro que este camino es el que inspiró a Euler):



Reordenando:

El producto de los dos primeros factores es el conjugado complejo del producto de los dos últimos factores, como es de esperar, da un resultado real. Calculemos el primero de esos números:

Poniendo:


Queda




Es decir, queda el lema que habíamos demostrado más arriba: la forma a2+3b2 se conserva por multiplicaciones.

Tarea para el hogar: conseguir otras formas que se conservan así.

La demostración del lema sin apelar a números complejos la encontré en:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/06/fermats-last-theorem-n-3.html

A su vez, ese lema es usado para demostrar el "key lemma" en el post:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html

Para demostrar el "key lemma" ese post usa también un lema más poderoso que tenemos que estudiar:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-a2-3b2.html

Ver la cadena de posts:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-1.html
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-2.html
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-3.html (éste es el que usa el "key lemma")
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-4.html

Donde todo se engarza desde:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html

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Publicado el 23 de Marzo, 2016, 6:46

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A los matemáticos les gusta mostrar demostraciones de lo que afirman. Si bien hay encanto en simplemente explorar un tema, y enunciar resultados interesantes, llega el momento donde los demás pedirán una demostración. Ha quedado en la historia como ejemplo de enunciados con demostración el monumental Elementos, de Euclides. Desde los antiguos griegos, se persigue ese ideal: demostrar enunciados verdaderos, partiendo de un conjunto (generalmente pequeño) de axiomas, nociones y reglas de inferencia.

Examinemos lo enumarado recién. Un enunciado es una afirmación (o negación, otra forma si quiere verse de afirmar algo). No es cualquier sentencia, como "hola". Son enunciados que expresan relaciones entre los conceptos de la rama matemática que se esté examinando. Por ejemplo: "todos los triángulos con un ángulo igual y dos lados iguales, son iguales".  Si bien se afirma con lenguaje humano, los matemáticos han sabido formar un lenguaje más formal para afirmar enunciados. Por ejemplo, tenemos que estar seguros de qué es un "triángulo", qué es un "ángulo", qué es un "lado", y qué signifca eso de "un ángulo igual a otro" y lo mismo para los lados. Cuestiones que parecen sencillas, no lo son tanto, y merecen mayor atención.

Notablemente, lo que parecía evidente, los axiomas que tomó Euclides, como los únicos posibles, se vió en el siglo XIX que no era la única geometría "válidad". Se describieron geometrías no euclideanas, que se apartaban de las nociones de sentido común, pero tan "verdaderas" como la original, pues eran territorios matemáticos consistentes.

Luego, tenemos el concepto de enunciado verdadero. Acá, verdad se usa en sentido matemático: lo que se afirma ¿realmente ocurre en el mundo matemático que estamos tratando? Por ejemplo, el enunciado "todo número par es la suma de dos primos" (la famosa conjetura de Goldbach), ¿es verdad? Si pudiéramos examinar todos los pares de un solo golpe, si tuviéramos la capacidad de ver en un momento todas las sumas de pares de primos, y viéramos que no hay número par que no pueda ser expresado de esa forma, sabríamos que el enunciado es verdadero. Pero aún sin esas notables capacidades, los matemáticos saben algo: o es verdadero o es falso. Lo que no tienen hoy, es una demostración de la falsedad o verdad del enunciado. Entonces, se dice, todavía no es un teorema demostrado, sólo una conjetura. Lo que podemos rescatar de este ejemplo, es que el concepto de "verdad" en matemática es más firme y claro que el mismo concepto en los asuntos humanos. Una vez bien definidos los conceptos y relaciones, se sabe cómo mostrar que es verdadero o falso. En el caso de la conjetura de Goldbach, dando para cada par una suma de dos primos que lo de como resultado, o mostrando un contra ejemplo. El problema no es mostrar, sino demostrar: dar una serie de pasos, que partiendo de otros enunciados (axiomas o teoremas demostrados) llegar al enunciado destino, demostrándolo o refutándolo. Ese es el gran juego de las matemáticas.

Uno podría esperar que todo sistema matemático que se ocupe de un área, por ejemplo, de la teoría de números o de la geometría, pueda generar demostraciones para todos los ENUNCIADOS verdaderos. Otra cualidad que se espera, es que no genere nunca un enunciado FALSO. Tendremos que ir examinando de cuales tipos de sistemas matemáticos se ocupa el teorema de Gödel (todavía no lo enunciamos, pero en el fondo son DOS teoremas). Y qué afirma sobre estas cualidades esperables de esos sistemas. De alguna forma, el resultado de Gödel derriba la esperanza puesta en algunos sistemas. Tanto el resultado como la demostración son notables. Pero tampoco hay que sacar conclusiones exageradas. Iremos paso a paso, para realmente apreciar su trabajo, aprender de lógica matemática y fundamentos de matemáticas, y saber sopesar en justa medida las consecuencias de sus teoremas.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 22 de Marzo, 2016, 6:05

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Siguen los temas de teoría de categorías, y aparecen trigonometría, geometría, biografías...

Weyl biography
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The Math Trick Behind MP3s, JPEGs, and Homer Simpson"s Face - Facts So Romantic - Nautilus
http://nautil.us/blog/the-math-trick-behind-mp3s-jpegs-and-homer-simpsons-face

Demostrando "pitagóricamente" la validez de la fórmula del seno de la suma - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/demostrando-pitagoricamente-la-validez-de-la-formula-del-seno-de-la-suma/

Relaciones entre dos triángulos
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Becoming an Expert Statistician (or Mathematician or Programmer) : AnnMaria"s Blog
http://www.thejuliagroup.com/blog/?p=2157

The Haskell Road
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Ni un numero mas
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www.microsiervos.com
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jrjohansson/scientific-python-lectures
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Haskell/Category theory - Wikibooks, collection of open-content textbooks
http://en.wikibooks.org/wiki/Haskell/Category_theory

(Video) La belleza de las matemáticas - Gaussianos | Gaussianos
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These chromatic mathematical figures by @simoncpage are gorgeous to behold |
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Frobenius biography
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(Vídeo) Solución en 3D para el enigma de los azulejos que aparecen y desaparecen - Gaussianos | Gaussianos
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Harald Andrés Helfgott nos habla sobre su demostración de la conjetura débil de Goldbach - Gaussianos | Gaussianos
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La historia del método de Newton-Raphson y otro caso más de mala documentación en el cine - Gaussianos | Gaussianos
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Todos los dígitos iguales - Gaussianos | Gaussianos
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Recopilación de relojes matemáticos - Gaussianos | Gaussianos
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Natural born programmers—programming is terrible
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Python Scientific Lecture Notes — Scipy lecture notes
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Publicado el 16 de Marzo, 2016, 5:47

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Es notoriamente difícil contestar a la pregunta de esta serie de posts: ¿de qué tratan las matemáticas? Por lo menos, no hay una respuesta corta. Un intento de respuesta es enumerar las principales ramas.

La primera gran división es: álgebra, geometría y análisis. Las tres tienen una larga historia, pero hay que reconocer que la que tiene más peso histórico es la geometría, gracias a los avances en la antigua Grecia. Es con los Elementos de Euclides donde el pensamiento matemático griego alcanza la madurez y algo más. Y aunque hay ahí temas de teoría de números, es la geometría la que se lleva la palma. Para los griegos, el resolver problemas numéricos no parece haber llamado la atención, y quedan relegados a ciencias prácticas, como la astronomía.

En álgebra, encontramos operaciones con números Y VARIABLES. Eso es la novedad del tema: no solamente operar con números concretos, sino también con variables indeterminadas. No siempre quedaron explícitas esas variables: nuestra notación actual, con sus equis e y-griegas, sólo apareció hace unos siglos.

El análisis, con un gran antecesor en Arquímedes, sólo floreció con la llegada del cálculo infinitesimal, de la mano de Newton y Leibnitz, pero también de otros, que hicieron de esta rama de las matemáticas una de las más fructíferas, gracias a su relación con temas aplicados de física. Hasta podríamos decir que la geometría pura quedó relegada, ante el avance del álgebra y del análisis.

Pero las matemáticas no se agotan en estas tres ramas. La teoría de números es un caso que se deriva si consideramos solamente números enteros. Y hay grandes extensiones de esta rama, si consideramos otros "enteros", como los enteros algebraicos y los enteros de Gauss. Las estructuras, como grupo y anillo, surgieron a partir del siglo XIX, pero vieron su esplendor en el siglo XX, donde sentaron las bases de generalizaciones que van más allá de la simple álgebra de números y variables. De alguna forma, en el siglo XX el álgebra y la geometría se reconcialiaron, al manejar estructuras que involucran a conceptos de ambas ramas. La topología puede considerarse por un lado, extensión de un análisis sin métrica pero con continuidad. Por otro lado, como extensión del álgebra, en el caso de las estructuras de la topología algebraica.

Y claro que hay todavía más ramas para explorar, como la probabilidad, la teoría de categorías, la lógica matemática.

Otras respuestas, que vamos a explorar, se basan en mostrar qué tipos de cuestiones resuelven las matemáticas. Esto también es interesante: a veces, al estudiar los problemas, surgen que dos áreas aparentemente alejadas de las matemáticas, se interesan en las mismas cuestiones y respuestas. Esto ha ido pasando a través de la historia de las disciplinas, y es notable encontrar relaciones entre áreas que al principio parecen muy distintas.

Siguientes posts: álgebra vs geometría, álgebra vs análisis, y después, sí, comentar algo de cada gran rama actual de las matemáticas, hasta llegar a las cuestiones que se tratan de resolver.

Nos leemos!

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Publicado el 15 de Marzo, 2016, 6:07

Cuando alguien menciona matemáticas, muchas personas imaginan que se trata de números y operaciones sobre números. Pero es mucho más que eso: las matemáticas abarcan estructuras y relaciones que van mucho más allá de los números. Podemos mencionar la geometría como una rama de las matemáticas donde los números apenas si aparecen. Pero en los últimos siglos se han ido sumando más especímenes matemáticos que apenas recuerdan a los números.

Sin embargo, los números siguen jugando un papel importante. Todos conocemos los números naturales, como 1, 2, y demás. Se tuvieron que "inventar" los números negativos para que expresiones como 2 menos 5 tuvieran "sentido". La historia de la aparición de los números negativos es notable, si hasta el siglo XIX matemáticos negaban su "existencia", considerándolos soluciones a problemas mal planteados.

Los números racionales nacen, de similar manera, para poder operar con expresiones como 2 divido 3.  Y finalmente, los reales completaron los números a los que estamos acostumbrados, llenando "espacios" que los racionales no llenaban. Es clásico el descubrimiento pitagórico de que la raíz cuadrada de 2 no puede expresarse por ninguna razón entre números naturales. Los racionales "no bastan" para llenar la recta.

Menos conocidos, para el público en general, son los números complejos. Ver:

Números Complejos
Gauss y la Importancia de los Números Complejos

y su notable aparición en física:

Números Complejos en Mecánica Cuántica
La Ecuación de Schrodinger (10) Un Comentario sobre Números Complejos

(en realidad, es notable, en retrospectiva, la aparición de números reales en la física; hoy, quizás, haya que revisar su adecuación a la realidad última, en vista de los modelos cuánticos).

Los números complejos tardaron siglos en aparecer en el desarrollo matemático, y su aparición se debió a la necesidad de encontrar soluciones a ecuaciones como:

Se fue viendo, a lo largo de los años, que era conveniente y fructífero considerar que la ecuación de arriba tenía una solución (la raíz cuadrada de menos uno), que considerar que no tenía ninguna. Es más, aún ecuaciones como:

O como:

Tienen soluciones en números complejos. No necesitamos más que los números complejos para conseguir todas las soluciones de este tipo de ecuaciones en una variable. Es un resultado fundamental del álgebra, que fue alcanzado con bastante trabajo, y varias demostraciones no triviales, algunas incompletas.

De alguna forma, todos esperamos que un sistema de números posea algunas propiedades. Dos números se deben poder sumar, y el resultado debe ser un número del mismo sistema. Dos números se debe poder multiplicar, y el resultado debe ser un número del mismo sistema.

Si agregamos la operación de resta (inversa de la suma) sólo a partir de los números enteros tenemos asegurada la existencia de solución. Y si agregamos la operación de división (inversa de la multiplicación) debemos apelar a por lo menos los números racionales para asegurar la existencia de solución. De alguna forma, estos sistemas de números están encajados unos en otros, como muñecas rusas.

Pero cabe preguntarse: ¿hay otros sistemas de números? Si los hay, ¿cumplen con todas las características que les pedimos a los sistemas más conocidos?

Veremos en esta serie de posts que hay otros sistemas de números, pero a veces, hay que abandonar algunas de las propiedades comunes. Es notable que existan sistemas de números donde no se cumple la conmutatividad de la multiplicación, y otros donde no se cumpla la asociatividad. O que haya sistemas de números que cumplan con todo lo esperado, pero que sean más grandes que los racionales y menos que los reales.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 14 de Marzo, 2016, 5:44

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Ya había anticipado el tema de esta serie de post, en La fórmula multiplicativa de la indicatriz. En el primer post, mencioné a la función indicatriz de Euler, vieja conocida de este blog, ver también La función indicatriz de Euler, Calculando la función indicatriz de Euler, Una propiedad de la indicatriz de Euler.

Veamos hoy de seguir con el tema de funciones multiplicativas, pero usando como ejemplo a la función indicatriz. Hay una propiedad interesante que pueden tener. Si dos números n, m son primos entre sí:

Es decir, tienen máximo común divisor igual a uno. Entonces si se cumple para la función aritmética f:

Entonces se dice que es función multiplicativa. Sólo se exige esta propiedad cuando los números m, n son primos entre sí.

La función indicatriz es multiplicativa, y algo de la demostración estaba en los posts mencionados. Veamos de de mostrarla de nuevo, de otra manera.

Sabemos que cuando p es primo, entonces:

¿Cuál es el valor de la indicatriz para una potencia de p? Sea que queremos calcular:

En este casos, los que NO son primos con palfa son:

Que si los contamos, son 1 de cada p números:

Restando del total de números, los que son no primos con palfa, nos queda la cantidad de los que SI SON PRIMOS:

Esto nos sirve como preliminar para encarar la demostración de la propiedad multiplicativa.

Veamos otra propiedad más general que nos va a ayudar. Si sabemos que dos números son primos entre sí:

Entonces también se cumple:

Y en general, para cualquier k:

En particular, tomemos a m = np, como un múltiplo de un primo p:

Entonces:

Es decir, si tomamos los números de 1 a m = np:

Algunos serán primos con m y otros no. Pero si ponemos los números de 1 a 2m:

El patrón de números primos se repite. Para fijar ideas, sea m = 3*2. Los números:

Tienen algunos que son primos con 6 (marcados con un asterisco). Si los repetimos hasta llegar a doce:

El patrón de asteriscos ES EL MISMO, el 1 y el 5, se "repiten" en el 7 y el 11. Se "repiten" los primos con 6, pero no aparecen nuevos. Y no aparecen nuevos, pues si:

Entonces

Y como p divide a m, también se tiene:

Y se sigue

Es decir, que en este caso, cuando a un número a con asterisco se le suma m, dando a+m, sigue con asterisco, y si no tiene, tampoco lo tiene el nuevo a+m.

Es interesante ver cómo el máximo común divisor se "mantiene" en 1 o en mayor que 1, por más que se cambie m por mp, o mpp, o mppp, o por más que se sume km cualquiera. Todo esto siempre que m sea divisible por p.

En el próximo post veremos qué pasa si m no es divisible por p, cuál es la fórmula para la cantidad de números primos con mp.

En próximos post seguimos con propiedades de las funciones aritméticas, como ¿habrá otras funciones multiplicativas? ¿será la función de Moebius multiplicativa? ¿qué otras propiedades tiene la función indicatriz? Veremos que hay también funciones COMPLETAMENTE multiplicativas, y funciones aditivas. Ver

Arithmetic function

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Publicado el 8 de Marzo, 2016, 5:49

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Temas interesantes, como el error de Euler en Fermat n = 3, una demostración fallida de la hipótesis de Riemman. En el trabajo de Riemman, pero primero en el de Dirichlet, aparecen los caracteres en grupos abelianos. Hay más artículos sobre el tema "gap" entre primos. Los números pentagonales aparecen en lo que estoy investigando de particiones de números.

Character theory - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Character_theory

Selberg sieve - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Selberg_sieve

Legendre's conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_conjecture

Prime gap - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap

Sieve theory - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_theory

Elliott–Halberstam conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Elliott%E2%80%93Halberstam_conjecture

Yitang Zhang - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang

Introducción a la Teoría Analítica de Números
http://mate.dm.uba.ar/~pdenapo/teoria_analitica_de_numeros/index.html

New largest prime number found
http://phys.org/news/2016-01-largest-prime.html

Fermat's Last Theorem: Euler's Mistake
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/06/eulers-mistake.html

The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof : Nature News & Comment
http://www.nature.com/news/the-biggest-mystery-in-mathematics-shinichi-mochizuki-and-the-impenetrable-proof-1.18509

Riemann Hypothesis not proved | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2015/11/riemann-hypothesis-not-proved/

[math/0505373] On the remarkable properties of the pentagonal numbers
http://arxiv.org/abs/math/0505373

Wiles' proof of Fermat's Last Theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Wiles%27_proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem

Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem_for_specific_exponents

Math Forum - Ask Dr. Math
http://mathforum.org/library/drmath/view/51546.html

Open Problems That Might Be Easy | Gödel's Lost Letter and P=NP
https://rjlipton.wordpress.com/2015/09/03/open-problems-that-might-be-easy/

Elementary Number Theory
http://wstein.org/ent/ent.pdf

What is number theory? - HowStuffWorks
http://science.howstuffworks.com/math-concepts/number-theory.htm

Journal of Number Theory - Elsevier
http://www.journals.elsevier.com/journal-of-number-theory/

Elementary Number Theory
http://wstein.org/ent/

International Journal of Number Theory (World Scientific)
http://www.worldscientific.com/worldscinet/ijnt

An Introduction to Number Theory : nrich.maths.org
http://nrich.maths.org/4352

NUMBER THEORY WEB
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Publicado el 5 de Marzo, 2016, 17:04

Inicio hoy una serie de posts sobre un tema que siempre vuelve a mi radar: el resultado de Kurt Gödel sobre la incompletitud de algunos sistemas de axiomas. Es uno de esos temas que siempre se tratan en obras de divulgación, pero hasta ahí: muchas veces sin demostración rigurosa, salteando el lenguaje necesario para realmente comprender lo que hizo Godel, y estirando los resultados a zonas fueras de la matemática, dando campo fértil para el sin-sentido o la analogía sin freno.

Comienzo hoy citando un párrafo del comienzo de mi fuente principal, el excelente libro "Gödel para todos", de Guillermo Martinez y Gustavo Piñeiro (mi intención es apenas pasar en limpio para mí en esta serie de posts lo que vaya aprendiendo de ese libro):

El Teorema de Incompletitud de Gödel es uno de los resultados más profundos y paradójicos de la lógica matemática. Es también, quizás, el teorema que ha ejercido más fascinación en ámbitos alejados de las ciencias exactas. Ha sido citado en disciplinas tan diversas como la semiótica y el psicoanálisis, la filosofía y las ciencias políticas. Autores como Kristeva, Lacan, Debray, Deleuze, Lyotard, y muchos otros, han invocado a Gödel y sus teoremas en arriesgadas analogías. Junto con otras palabras mágias de la escena posmoderna como "caos", "fractal", "indeterminación", "aleatoriedad", el fenómeno de incompletitud se ha asociado también a supuestas derrotas de la razón y al fin de la certidumbre en el terreno más exclusivo del pensamiento: el reino de las fórmulas exactas. Pero, también, desde el interiore de la ciencia se escrime el Teorema de Gödel en agudas controversias epistemológicas, como la que rodea las discusiones sobre inteligencia artificial. Surgido casi a la par de la Teoría de la Relatividad, y de manera quizás más sigilosa, el Teorema de Gödel se ha convertido en una pieza fundamental y una referencia ineludible del pensamiento contemporáneo.

Me apresuro a afirmar que mi postura es que el Teorema de Gödel se ha ido tomando para "el churrete", como se dice acá en Argentina, es decir, que se lo ha estirado para soportar cualquier cosa, sin mayor fundamento. Lo que me interesa en esta serie de post es mostrar y deleitarme en las ideas poderosas de Gödel, en un ámbito, la lógica matemática, que no es habitual en mis curiosidades. Y espero poder transmitirles parte de esa elegancia y sorpresa que rodea a la demostración (hay varias demostraciones, todas de alguna forma comparten esas cualidades).

Pero también se juegan cuestiones matemáticas que espero comentar, como el contexto histórico de la aparición del resultado de Gödel, la aparición de las geometrías no euclideanas, la teoría de conjuntos, las paradojas lógias que habían comenzado a aparecer en lógica matemática, el formalismo de Hilbert, el intuicionismo de Bower, y más.

Otras fuentes a consultar:

"Gödel, los teoremas de incompletitud", biografía de Gustavo Ernesto Piñeiro.
"Gödel, paradoja y vida" de Rebecca Goldstein.
Y la primera vez que me encontré con el trabajo de Gödel, en el artículo clásico del Scientific American: "El teorema de Gödel", de Ernst Nagel y James Newman, luego publicado varias veces y extendido como libro.
Y el libro de cabecera de cualquier "geek" que se precie: "Gödel, Escher y Bach, un eterno y grácil bucle" de Douglas Hofstadter.

Ya apareció Gödel en este blog en:

Gödel, Einstein y la constitución americana
Abstracción y Matemáticas, según Von Neumann
Gödel y Einstein en Princeton
Física y Matemáticas, según Einstein

La biografía de Gödel escrita por Gustavo Ernesto Piñeiro apareción mencionada en:

Bertrand Russell, Smith y el Papa
Series de Fourier, Heine y Cantor

Visitar el blog de Guillermo Martinez: http://guillermomartinezweb.blogspot.com.ar/
Y el de Piñeiro: http://eltopologico.blogspot.com.ar/

Ver What is Godel's Theorem?

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 27 de Febrero, 2016, 15:31

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Selberg sieve - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Selberg_sieve

Legendre's conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_conjecture

Sieve theory - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_theory

Yitang Zhang - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang

Introducción a la Teoría Analítica de Números
http://mate.dm.uba.ar/~pdenapo/teoria_analitica_de_numeros/index.html

Enfrentándose a la hipótesis de Riemann « MiGUi
http://www.migui.com/ciencias/matematicas/enfrentandose-a-la-hipotesis-de-riemann.html

El regreso a la hipótesis de Riemann - La Opinión de Málaga
http://www.laopiniondemalaga.es/opinion/2015/02/21/regreso-hipotesis-riemann/745293.html

[math/0505373] On the remarkable properties of the pentagonal numbers
http://arxiv.org/abs/math/0505373

Euler function - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_function

Wiles' proof of Fermat's Last Theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Wiles%27_proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem

www.johndcook.com
http://www.johndcook.com/ChebyshevPolynomials.pdf

Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem_for_specific_exponents

Math Forum - Ask Dr. Math
http://mathforum.org/library/drmath/view/51546.html

Perko pair - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Perko_pair

[math/0108072] Notes to the early history of the Knot Theory in Japan
http://arxiv.org/abs/math/0108072

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Publicado el 22 de Febrero, 2016, 5:27

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Siempre hay temas interesantes. Ver teoría de categorías, problemas de gaussianos, el teorema de Turan.

Category Theory - Dr Richard Garner - Macquarie University - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=ZJNA0hYmHmY&feature=youtu.be

Mortgages, banks, and Jensen's inequality | The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2009/08/26/mortgages-banks-and-jensens-inequality/

Nueva imagen del poliedro de Csaszar: Ã ngel - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/nueva-imagen-del-poliedro-de-csaszar-angel/

No es un cuadrado - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/es-un-cuadrado/

Cosas raras provocadas por el infinito - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/cosas-raras-provocadas-por-el-infinito/

The Existential Risk of Mathematical Error
http://www.gwern.net/The%20Existential%20Risk%20of%20Mathematical%20Error

10 Reasons Python Rocks for Research (And a Few Reasons it Doesn’t) â€" Hoyt Koepke
http://www.stat.washington.edu/~hoytak/blog/whypython.html

Encuentra todas las funciones - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/encuentra-todas-las-funciones/

Animate Your Way to Glory â€" Acko.net
http://acko.net/blog/animate-your-way-to-glory/

To Infinity And Beyond! Acko.net
http://acko.net/blog/to-infinity-and-beyond/

the Nature of Associative Property of Algebra
http://xahlee.info/math/nature_of_associative_property_of_algebra.html

El teorema de Turan: el comienzo de la teorí­a de grafos extrema - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/el-teorema-de-turan-el-comienzo-de-la-teoria-de-grafos-extrema/

El libro de las demostraciones: Amazon.co.uk: Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Lourdes Figueiras Ocaña, Julián Pfeifle, Pedro A. Ramos: Books
http://www.amazon.co.uk/libro-las-demostraciones-Martin-Aigner/dp/8495599953

(Documental) La música de los números primos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/documental-la-musica-de-los-numeros-primos/

Daily Kos: Breakthrough in Quantum Physics May Do Away with Space-Time, Lead to Ultimate Theory
http://www.dailykos.com/story/2013/09/19/1239942/-Breakthrough-in-Quantum-Physics-May-Do-Away-with-Space-Time-Lead-to-Ultimate-Theory

Yitang Zhang Proves 'Landmark' Theorem in Distribution of Prime Numbers | Simons Foundation
https://www.simonsfoundation.org/quanta/20130519-unheralded-mathematician-bridges-the-prime-gap/

Physicists Discover Geometry Underlying Particle Physics | Simons Foundation
https://www.simonsfoundation.org/quanta/20130917-a-jewel-at-the-heart-of-quantum-physics/

Las matemáticas y los Ig Nobel - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/las-matematicas-y-los-ig-nobel/

Suma de inversos sin nueves - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/suma-de-inversos-sin-nueves/

Recordatorio: décimo Desafí­o Gaussianos y Guijarro "Pseudo-triángulos y pseudo-triangulaciones" - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/recordatorio-decimo-desafio-gaussianos-y-guijarro-pseudo-triangulos-y-pseudo-triangulaciones/

Category Theory (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
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Publicado el 21 de Febrero, 2016, 18:48

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Tratemos otro caso donde aparecen números complejos en los intentos de demostración del último teorema de Fermat.

Podemos escribir para n = 3:

Donde

Es una raíz tercera de la unidad, compleja. Lo mismo tenemos en general:

Las raíces se llaman números ciclotómicos. Y cuando se agregan a los reales, forman un nuevo sistema de números. Ver Cyclotomic Field.

Es notable cómo un resultado sobre la suma de dos potencias de números reales se puede expresar como una serie de factores complejos a multiplicar. No es algo evidente, y nos habla de una fuerte conexión entre los mundos real y complejo para este famoso teorema de Fermat. Vamos a ir viendo conexiones aún más inesperadas en la historia de su demostración completa. Realmente, van asomando maravillas a cada momento.

Como este desarrollo en factores es igual a zn, y éste es una potencia n, se puede explorar el caso: todos los factores del desarrollo son potencias n, y sacar conclusiones sobre su existencia. Por ejemplo, podría probarse que algún factor al querer desarrollarse como potencia n exacta de algún número

sea imposible su existencia, para el caso n = 3 y otros casos. Sin embargo, esto se apoya en la presunción de que en ese anillo de reales extendido por estas raíces de la unidad SE CUMPLE LA FACTORIZACION UNICA. Y eso se vió que no siempre es cierto. La prueba general ofrecida por Lamé en el siglo XIX falla por ese motivo. El error fue señalado en su tiempo por Liouville.

Sin embargo, aún esa falla fue fructífera, porque dio pie a que Kummer creara los números ideales, los números "faltantes" para restaurar la factorización única en esos anillos. Kummer creó el concepto de primos regulares y demostró el teorema de Fermat para esos casos. Espero poder discutir su trabajo en esta serie de posts, más adelante.

Ver también Root of unity

Por ahora, seguiremos en los próximos post con el caso n = 3

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 20 de Febrero, 2016, 19:04

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Veamos hoy de demostrar algo simple, básico, ya conocido y demostrado por Euclides. Como tenemos pocos elementos desarrollados, la demostración que veremos no es directa, tendremos que demostrar un lema antes.

Queremos demostrar que, siendo p un número primo, a y b enteros, entonces, si p divide al producto ab, entonces o bien divide al factor a, o al factor b. Es algo que parece evidente, pero como todo en matemáticas, mejor demostrarlo.

Antes de llegar demostremos el lema, para p primo natural, no hay números naturales r, s tales:

Y que sean menores que p:


Pues, si hubiera números r, s con esas cualidades, tal vez varios o infinitos pares, tomemos el par r, s que haga que su producto rs sea el menor posible. Entonces, tomemos r, y de todos los pares de números v, t que cumplen:

Tomemos el par con el menor t positivo. Podemos ver que este conjunto de pares es no vacío, que tiene al menos un par con t positivo:

Y entonces, por propiedad de los conjuntos de números positivos, HAY UNO QUE ES EL MENOR. Todo esto lo tenemos que hacer de esta manera, para mostrar explícitamente que existe ese par. Pero podemos también apelar a un resultado del primer post, que implica que siempre existe:

Con

Multipliquemos p por s, queda:

O sea, que p divide a:

Pero tenemos que p divide a rs, queda que p divide a:

Pero como

Entonces

Siendo ts divisible por p, CONTRA LO SUPUESTO. Llegamos a una contradicción. Entonces, no existe el rs pedido.

Habiendo probado este lema, pasemos a demostrar que si:

Entonces

O

Probémoslo por el absurdo. Supongamos que:

Y

Esto es

Y

Donde d, f son no nulos, positivos, y menores que p. Multiplicamos, y obtenemos:

Sabemos que p divide a ab, entonces

Entonces p divide a:

Pero por el lema anterior, esto es imposible. Si p no divide ni a ni b, llegamos a contracción. Entonces, p divide al factor a o bien p divide al factor b.

Ha sido una demostración algo larga. Podríamos tomar otro camino, pero hubiéramos necesitado otros conceptos y resultados que no hemos tratado todavía como el máximo común divisor y sus propiedades. Tal vez más adelante volvamos a demostrar el resultado de hoy usando esos otros desarrollos. Ver, por ejemplo, otro camino en el libro Stein W.-Elementary number theory and elliptic curves.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 15 de Febrero, 2016, 17:10

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Sigamos explorando los polinomios con coeficientes enteros, que no se pueden descomponer en la multiplicación de un entero y un polinomio. Ya sabemos que se llaman polinomios primitivos, y que su característica es que el máximo común divisor de sus coeficientes es la unidad.

Un ejemplo de polinomio primitivo es:

Otro ejemplo es:

Si los multiplicamos:

Obtenemos multiplicando término a término:



Sumando los resultados, ordenando por potencias de x de mayor a menor:

Sumando los coeficientes de los términos con la misma potencia de x, queda:

Que de nuevo es primitivo: el único factor común de sus coeficientes es la unidad.

¿Cómo se obtuvieron los coeficientes de este resultado? Pues bien, cada término de x al cubo, se obtuvo de multiplicar términos cuyas potencias de x (los números de esa potencia), sumen 3, como fue el caso de multiplicar 7x por 5x2, o de 4x3 por 3. Es decir, que el término con potencia x n, es:

Lo notable, por no esperado y evidente, es que multiplicando DOS POLINOMIOS PRIMITIVOS, SIEMPRE OBTENEMOS otro POLINOMIO PRIMITIVO. Uno podría esperar que ante tanto cóctel de potencias, coeficientes y sumatorias, los coeficientes resultantes podrían tener un factor común. Es raro que no se lo encuentre NUNCA, pero es demostrable. Digo raro, porque vamos a deducir, en el próximo post, este resultado, un resultado que habla de divisibilidad, sobre un conjunto de coeficientes que, por la fórmula de arriba, resultan cada uno de UNA SUMATORIA. ¿Se entiende el quid de lo extraño? El tener o no un factor común es un tema de multiplicaciones y divisiones, mientras que los coeficientes finales aparecen por una sumatoria. Es esta mezcla de ámbitos lo que (por lo menos para mí) hace que este resultado sea no evidente ni esperado.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 1 de Febrero, 2016, 17:36

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En el anterior post apareció la expresión:

Siendo p y q enteros, sin factores comunes. Comentaba que es curioso que aparezcan números complejos en este tipo de problemas de enteros. Lo interesante es que ahora estamos ampliando el problema original: buscaremos condiciones que se cumplan no sólo para los enteros que manejamos todos los días, sino para "otros enteros" que tienen expresión compleja, y hasta coeficiente irracional.

Curiosamente, esta extensión del problema original permite llegar a alguna solución. Es como si la teoría de números nos dijera: "con complejos es más fácil". Examinemos los números de la forma:

Con a, b enteros cualesquiera. Es decir, tenemos un conjunto infinito de tales números. Tienen una propiedad: al sumar dos cualesquiera, o multiplicar dos cualesquiera, se obtiene otro número del mismo conjunto. Por ejemplo:

Lo que da:

Que tiene la misma "forma" que los números originales.

Conseguimos un nuevo conjunto de números "enteros", que son cerrados para la suma y la multiplicación, como los enteros originales. Pero estos últimos tienen una propiedad muy interesante en teoría de número: la factorización única en factores primos. ¿Se cumplirá esta propiedad en este nuevo conjunto de "enteros"? Pues resulta que no, por ejemplo, el número 4 tiene dos factorizaciones distintas:

Ninguno de estos factores se puede expresar en factores más "pequeños", y llegar al mismo desarrollo de factores, como pide la propiedad de factorización única.

El que no se cumpla esta propiedad nos va a complicar trabajar con estos nuevos enteros. No vamos a poder operar con ellos como con los enteros normales. Por ejemplo, de la expresión que encontramos en el post anterior:

No podríamos deducir que los factores entre paréntesis son cubos perfectos.

Veremos dos caminos para sortear este obstáculo: encontrar un nuevo conjunto que contenga a éste, pero que tenga factorización única. O explorar el seguir investigando la solución sin apelar a estos "enteros complejos". Curiosamente, ambos caminos terminan siendo, de alguna manera, el mismo.

Como nota curiosa, Euler usó un camino en su primera demostración del caso Fermat n=3, dando un paso en falso, similar a la que hubiéramos dado nosotros si presumimos la factorización única en estos "enteros complejos". En realidad, estamos abriendo un nuevo mundo, donde el uso de enteros complejos nos lleva a elevar el alcance de la teoría de números, más allá de lo que hubiera esperado Fermat.

Ver también:

Non-unique factorization
Unique and nonunique factorization

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 18 de Enero, 2016, 6:35

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Desde mi infancia, me han fascinado los polinomios. Los comencé a conocer en un libro español de divulgación, el volumen dedicado a matemáticas de una serie de varios temas. Fue uno de los libros que más me ayudo en los primeros años de estudiar lo que era matemáticas. Los temas eran limitados, pero interesantes.

Algo ya comenté sobre polinomios, ver enlaces relacionados al final del post. Un punto interesante es que los polinomios formales no son números pero se comportan como ellos: se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir.

Los matemáticos manejan polinomios de una o varias variables. Otra de las características que les interesan es la estructura de los coeficientes. Podrían pertenecer a un cuerpo (generalmente conmutativo) o pertenecer a un anilo (frecuente un dominio de integridad "sin divisores de cero"). En ambos casos, los polinomios forman un anillo (ver Anillos Conmutativos).

Veamos hoy un anillo de polinomios particular: formales en una sola variable, y con coeficientes enteros.

Ejemplo:

O

El que los coeficientes sean enteros, no significa que no podamos sustituir la variable formal por un valor real o aún complejo. A los matemáticos muchas veces les interesan los valores que se le puede dar a la variable formal, de manera tal que la valuación resultante de un polinomio de cero. Son las famosas raíces de los polinomios.

Es notable que aún con coeficientes enteros, no podamos asegurar que todas las raíces sean enteras. De hecho, la historia de encontrar todas las raíces de un polinomio (aun considerando solamente coeficientes enteros) ha llevado a extender los sistemas de números, a racionales, a reales, y a complejos. Ejemplo clásico:

La búsqueda de esta solución lleva a los números enteros negativos.

Y la solución a:

Lleva a los pitagóricos a descubrir números que no se pueden expresar como razones de naturales.

Y la solución a:

Lleva a los números complejos.

¿Por qué no mas sistemas de números, más allá de los complejos? Un tema interesantísimo pero que tengo que dejar para otro post. Baste recordar acá que el teorema fundamental del álgebra nos deja tranquilos: todos los polinomios con coeficientes numéricos (enteros, racionales, reales, complejos) tienen raíces a lo sumo complejas.

Lo interesante es que todas extensiones parten de polinomios con coeficientes enteros. No ganamos mucho más con otros tipos de coeficientes (sólo algo más si usamos coeficientes trascendentes, como el número pi).

A los matemáticos les gusta explorar cómo los elementos de una estructura se pueden descomponer en otros, especialmente usando la multiplicación, cuando ésta está definida. En el caso de los polinomios con coeficientes enteros, el caso más simple es descomponer un polinomio en la multiplicación de otro por un entero:

Llegamos así a polinomios que no pueden descomponerse, como:

Porque no hay factor común entre sus coeficientes: no hay máximo común divisor, como no sea una unidad. Estos polinomios son muy interesantes, y hasta merecen un nombre: polinomios primitivos. Es evidente que cualquier polinomio que tenga un coeficiente igual a 1 (uno) es primitivo.

En los próximos posts exploraremos algunas de sus características especiales.

Mientras, post relacionados, donde ya aparecieron polinomios:

El anillo K[x]
Ejemplos de anillos conmutativos
Números algebraicos (1)
El teorema de la base de Hilbert (1)

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 16 de Enero, 2016, 7:42

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Más temas interesantes, me llamó la atención la relación de las simetrías del icosaedro con algunas formas modulares y la resolución de la quíntica.

Fermat's unfinished business | The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2011/11/23/fermats-unfinished-business/

Tito Eliatron Dixit: Edicion 4.123105 del Carnaval de Matemáticas: 23-29 de Septiembre.
http://eliatron.blogspot.co.uk/2013/09/CarnaMatSeptiembre13.html

Lectures on the Icosahedron (Dover Phoenix Editions): Felix Klein: 9780486495286: Amazon.com: Books
http://www.amazon.com/Lectures-Icosahedron-Dover-Phoenix-Editions/dp/0486495280

Icosahedral symmetry - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#Related_geometries

Icosahedron - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedron

math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html
http://math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html

On Klein's Icosahedral Solution of the Quintic
http://arxiv.org/pdf/1308.0955.pdf

ia601702.us.archive.org/3/items/gdelsproof00nage/gdelsproof00nage.pdf
http://ia601702.us.archive.org/3/items/gdelsproof00nage/gdelsproof00nage.pdf

Gaussian Primes - Jason Davies
http://www.jasondavies.com/gaussian-primes/

Burr distribution - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Burr_distribution

Blog Post: Math and Music | vismath
https://www.vismath.eu/en/blog/math-and-music

Of solving the rubik's from scratch [Python]
http://fulmicoton.com/posts/rubix/

Introduction to Network Mathematics
http://webmathematics.net/

La Ciencia en Papel | La ciencia tambien puede ser betseller
http://lacienciaenpapel.wordpress.com/

IMO 2013 en Santa Marta (Colombia) - Problema nº 6 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/imo-2013-en-santa-marta-colombia-problema-no-6/

A complex Mathematics expression evaluation module in Visual Basic - CodeProject
http://www.codeproject.com/Articles/646391/A-complex-Mathematics-expression-evaluation-module

Formal Concept Analysis | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/09/formal_concept_analysis.html

Polymath8: Writing the paper, II | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/09/02/polymath8-writing-the-paper-ii/

Determinacy of Borel games III | Gowers's Weblog
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Publicado el 2 de Enero, 2016, 17:05

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En el anterior post llegamos al desarrollo:

Cuando:

y

Comencemos a examinar esa expresión del cubo de z. Si suponemos que no hay factores comunes entre los dos factores de la izquierda, es decir su máximo común divisor es la unidad:

Entonces ambos factores son cubos perfectos:

Quedando:

Y el otro factor es entonces:

Esta última expresión tiene una forma interesante. Acá aparece un salto, algo no evidente, en el esquema de esta demostración. La parte izquierda se puede expresar como:


Esto es notable. Estamos en un problema de números enteros, y aparece un número complejo, con un coeficiente irracional de raíz cuadrada de tres. Vamos a jugar un poco con estas expresiones, como números que van más allá de los enteros, que participan de un anillo de números complejos que tienen propiedades similares a los enteros.

Vamos a suponer que ambos factores:

y

no tienen un divisor común en ese anillo, y entonces, son cubos perfectos en ese anillo.
Muchas suposiciones, a demostrar. Pero seguiremos avanzando en esta línea en el próximo post.

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Publicado el 24 de Diciembre, 2015, 16:57

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Siguen los temas interesantes, como los octoniones enteros, los autómatas celulares y el juego de la vida, el teorema de Gödel, un problema de mazo de cartas, y los notables grafos aleatorios de Erdős-Rényi.

The problem with parallels. | The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/2013/09/05/the-problem-with-parallels/

Integral Octonions (Part 5) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/09/integral_octonions_part_5_1.html

Adam Spencer: Why I fell in love with monster prime numbers | Video on TED.com
http://www.ted.com/talks/lang/es/adam_spencer_why_i_fell_in_love_with_monster_prime_numbers.html

IMO 2013 en Santa Marta (Colombia) - Problema nº 5 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/imo-2013-en-santa-marta-colombia-problema-no-5/

Open Season: Prime Numbers (part 2) | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/08/open-season-prime-numbers-part-2/

Sumas de cuadrados | Acertijos y mas cosas
http://acertijosymascosas.com/sumas-de-cuadrados/

After Giants" Shoulders is before Giants" Shoulders. | The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/2013/08/29/after-giants-shoulders-is-before-giants-shoulders/

Creado de la nada. Acertijo matemático. | Acertijos y mas cosas
http://acertijosymascosas.com/creado-de-la-nada-acertijo-matematico/

Calculando áreas | Acertijos y mas cosas
http://acertijosymascosas.com/calculando-areas/

Determinacy of Borel games I | Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2013/08/23/determinacy-of-borel-games-i/

The Erdős-Rényi Random Graph | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/08/22/the-erdos-renyi-random-graph/

philipl/pifs
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Not Mentioned on the Aperiodical this month, 21 August | The Aperiodical
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Julia Robinson and Hilbert"s Tenth Problem, by George Csicsery | The Aperiodical
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Polymath8: Writing the paper | What's new
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Optimally Stacking the Deck – Kicsi Poker | Math ∩ Programming
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The Wild World of Cellular Automata | Math ∩ Programming
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Google"s Page Rank – The Final Product | Math ∩ Programming
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El Topo Lógico: Algunos conceptos relacionados con el Teorema de Gödel
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Carnival of Mathematics #101: Prime Numbered Special Edition | The Aperiodical
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Manchester MathsJam recap, July 2013 | The Aperiodical
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What is a Spectral Sequence? | The n-Category Café
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Una curiosidad matemática sobre nuestros apellidos - Gaussianos | Gaussianos
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Dos problemas sobre desigualdades - Gaussianos | Gaussianos
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Publicado el 14 de Diciembre, 2015, 6:19

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Siempre aparecen temas interesantes, nuevas ideas, o viejos desarrollos renovados. Vean, por ejemplo, el campo fascinante de los octoniones enteros, me recuerda a esas estructuras cerradas para la suma y multiplicación en los complejos, que estoy explorando con el teorema de Fermat.

PRL Project Home - Proofs as Programs
http://www.nuprl.org/

High precision native Gaussian Elimination - CodeProject
http://www.codeproject.com/Articles/616608/High-precision-native-Gaussian-Elimination

Harald Bohr: fútbol y matemáticas unidos en un gran danés - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/harald-bohr-futbol-y-matematicas-unidos-en-un-gran-danes/

clojure-numerics/expresso
https://github.com/clojure-numerics/expresso

The algebra of Unix command substitution | Bosker Blog
http://bosker.wordpress.com/2013/08/16/using-group-theory-to-understand-unix-command-substitution/

(Vídeo) Explicación del teorema de los números primos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/video-explicacion-del-teorema-de-los-numeros-primos/

French Polymath Henri Poincaré on How Creativity Works | Brain Pickings
http://www.brainpickings.org/index.php/2013/08/15/henri-poincare-on-how-creativity-works/

Mathematical Problems by David Hilbert
http://www.clarku.edu/~djoyce/hilbert/

IMO 2013 en Santa Marta (Colombia) - Problema nº 2 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/imo-2013-en-santa-marta-colombia-problema-no-2/

Cuando hables de salarios utiliza la mediana - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/cuando-hables-de-salarios-utiliza-la-mediana/

Computer scientists develop 'mathematical jigsaw puzzles' to encrypt software / UCLA Newsroom
http://newsroom.ucla.edu/portal/ucla/ucla-computer-scientists-develop-247527.aspx

Todos cubos perfectos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/todos-cubos-perfectos/

Integral Octonions (Part 2) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/07/integral_octonions_part_2.html

An improved Type I estimate | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/07/27/an-improved-type-i-estimate/

Cohomology Detects Failures of Classical Mathematics | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/07/cohomology_detects_failures_of.html

Minhyong Kim in The Reasoner | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/07/minhyong_kim_in_the_reasoner.html

Integral Octonions (Part 3) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/07/integral_octonions_part_3.html

Integer Sequence Review Mêlée Hyper-Battle DX 2000, THE GRAND FINALE | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/07/integer-sequence-review-melee-hyper-battle-dx-2000-the-grand-finale/

Shtetl-Optimized » Blog Archive » Ten Signs a Claimed Mathematical Breakthrough is Wrong
http://www.scottaaronson.com/blog/?p=304

Una mejora de Ramanujan para la fórmula de Stirling - Gaussianos | Gaussianos
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(Vídeo) 10 Most Important Numbers in the World - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/video-10-most-important-numbers-in-the-world/

Una interesante relación entre los números de Fibonacci y las ternas pitagóricas - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/una-interesante-relacion-entre-los-numeros-de-fibonacci-y-las-ternas-pitagoricas/

Sobre ternas de enteros positivos - Gaussianos | Gaussianos
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