Angel "Java" Lopez en Blog

Matemáticas


Publicado el 4 de Noviembre, 2017, 10:23

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En sus primeros años, Hilbert era el único hijo de sus padres. Su primer entrenamiento, a cargo de su padre, puso énfasis en virtudes prusianas, como la puntualidad y el respeto de la ley. Su padre era un hombre conservador, juez que ascendió por promoción en el servicio civil. Caminaba siempre el mismo trayecto a su trabajo, y no se apartaba de la ciudad de Koenisberg mas que para sus vacaciones en el báltico.

A los seis años, nació su hermana, bautizada Elisa. Hilbert no comenzó la escuela hasta los ocho años, cuando lo normal es entrar a los seis años. Eso que podría indicar que sus primeras letras las recibió de su madre. En la Vorschule del real Friedrichskolleg recibió la instrucción preliminar para el próximo paso en la educación de entonces, el gimnasium. Era el camino a recorrer si quería convertirse en un hombre profesional, un clérigo o un profesor universitario. El gimnasium que tenía orientación humanística, asi que la primera educación de Hilbert se orientó a ese objetivo. Incluía leer y escribir en alemán y latín, gramática, análisis de sentencias simples, historias bíblicas, y problemas aritméticos simples, como sumas, restas, multipicación y división por números pequeños.

En el otoño de 1872, cuando ya estaba preparado para entrar al gimnasium propiamente dicho, el ejército prusiano visitó a la ciudad de Koenisberg. Pero más importante para la vida de Hilbert fue la llegada de una familia judía, los Minkowski, que se mudaban desde otra ciudad en Rusia. La habían abandonado debido a las persecusiones que sufrían los judíos bajo el gobierno del zar. El jefe de familia, siendo comerciante, fue obligado a liquidar todos sus activos, con apenas ganancia. Ahora en Koenisberg iniciaría un nuevo comercio, la exportación de trapos de lino blanco. Cuando sus hijos se vieron afectados por el cambio de fortuna, la madre les dijo que esa nueva ocupación era una de las más nobles, porque las hojas de los libros que tanto amaban eran hechos con ese material. La familia finalmente prosperó pero al principio las cosas no fueron fáciles. La familia se mudó a un viejo caserón cerca de la estación de tren, al otro lado del río Pregel de donde vivía la familia Hilbert.

El hijo mayor, Max, no había podido seguir una educación formal en Rusia debido a su origen judío. Fue socio de su padre en sus negocios, y a su muerte, se convirtió en el "jefe" de la familia. Oscar, el segundo hijo, fue uno de los pocos judíos en asistir al Altstadt Gimnasyum en Koenisberg. Fue doctor e investigador, descubrió la relación entre el páncreas y la diabetes, y se lo conoció como "el padrino de la insulina". El tercer hijo, Hermann, entró a los ocho años y medio en la Vorschule (escuela inicial) del mismo gimnasio. Según una biografía escrita por una de sus hermanas, los chicos Minkowski fueron una sensación en Koenisberg, "no solo por sus grandes talentos sino por su encantadora personalidad". Las habilidades matemáticas del pequeño Hermann eran notables. En una clase, cuando un profesor falló en entender un problema en el pizarrón, sus compañeros de clase le pidiero ayuda a Minkowski.

Veremos que la aparición de Hermann Minkowski influyó mucho en los primeros años del desarrollo matemático de Hilbert.

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Publicado el 13 de Octubre, 2017, 13:41

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Schnirelmann density
https://en.wikipedia.org/wiki/Schnirelmann_density

Brun sieve
https://en.wikipedia.org/wiki/Brun_sieve

Hardy–Littlewood circle method
https://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Littlewood_circle_method

Circle Method
http://mathworld.wolfram.com/CircleMethod.html

Natural transformation
https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_transformation

World"s Largest Math Proof Solved. And It Takes Up 200 Terabytes
https://futurism.com/worlds-largest-math-proof-solved-and-it-takes-up-200-terabytes/

No, There"s No Nobel in Math
https://mathwithbaddrawings.com/2017/10/04/no-theres-no-nobel-in-math/

Moonshine Link Discovered for Pariah Symmetries
https://www.quantamagazine.org/moonshine-link-discovered-for-pariah-symmetries-20170922/

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Publicado el 8 de Octubre, 2017, 7:58

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El nacimiento de Hilbert coincidió con el nacimiento del nacionalismo alemán. Unos meses antes, el rey de Prusia había muerto, y su hermano hizo el tradicional peregrinaje a la ciudad de Königsberg para ser coronado. Poco tiempo después, nombró primer ministro al conde Otto von Bismark-Schönhausen. En el periodo de guerra que siguó para la unificación de Alemania y Prusia, el padre de Hilbert fue nombrado juez de la ciudad de Königsberg y ahí se mudó con su familia.

La ciudad que era la capital de Prusia, fue fundada a mediados del siglo XIII. Los caballeros teutónicos había construido un castillo, en terreno elevado, cerca de la unión de dos ramas del río Pregel. La ciudad se había modernizado, con luz de gas y tranvías tirados por caballos.

Aunque estaba a cuatro millas y media de la desembocadura del río Pregel en el mar Báltico, se sentía el olor a sal marina. El puerto era animado, y recibía embarcaciones de todo tipo y origen. Se llevaban mercaderías como ámbar, y una especie de arcilla blanca.

La casa de Hilbert estaba en el nro. 13 de la Kirchenstrasse, a pocas cuadras del río, que los habitantes de la ciudad solían llamar "nuestra puerta a la libertad". Había siete grandes puentes sobre el río Pregel, que unían una isla con tierra firme. Son los puentes que inspiraron a Euler en un trabajo que dio nacimiento a la teoría de grafos.

La ciudad tenía una catedral,  y una universidad donde había sido profesor Kant. El acceso a la cripta de éste se habría al público una vez al año, y es casi seguro que Hilbert creción con las ideas de Kant. En la pared de la cripta se leía: "Las maravillas más grandes son el cielo estrellado sobre mí y la ley moral dentro mío".

La madre de Hilbert lo inició en el estudio de las constelaciones de estrellas, y fue quien le informó por primera vez sobre los números naturales que sólo eran divisibles por 1 o por sí mismos: los números primos.

Fuente consultada: "Hilbert", Constance Reid.

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Publicado el 2 de Octubre, 2017, 7:12

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David Hilbert, matemático alemán, nacido en el siglo XIX pero desarrollando su actividad hasta entrado el siglo XX, ha sido uno de los grandes de su disciplina. Y aunque puede que Gauss y Riemann lo superaran en logros matemáticos, hay algo que distingue a Hilbert: su carisma, su influencia sobre otros matemáticos. De alguna forma no sólo fue un matemáticos, fue un filósofo de las matemáticas, un matemático por sí mismo, pero también, un matemático para matemáticos, alguien que supo influir en el desarrollo de su ciencia. Espero tratar en esta serie de post algunos de los puntos salientes de su larga y fructífera vida.

No destacó, como Gauss, como un niño prodigio de las matemáticas. Pero a los pocos años de comenzar su carrera, deslumbró con una demostración de teoría de invariantes, distinta fundamentalmente de las que se daban en ese entonces. Una demostración por existencia, en lugar de por construcción. Luego, pasó a la teoría de números. Habiendo escrito un famoso informe sobre números algebraicos, pasó a preocuparse por los fundamentos de la geometría. El siglo XX lo vió involucrado en los fundamentos de la matemática, la teoría general de la relatividad, el análisis funcional. Sus espacios de Hilbert sirvieron de base a modelos en física cuántica, mientras cultivaba su preocupación por la axiomatización de la física y de las matemáticas.

Nacido en Wehlau, el 23 de enero de 1862, cerca de Konigsberg, la ciudad de Kant, y que Euler dio fama con su problema de los puentes. Sus padres fueron Otto Hilbert y Maria, fue el primer hijo del matrimonio. Gracias a su autobiografía y fuentes de su propia familia, sabemos algo de sus antepasados por línea paterna. Durante el siglo XVII había varios Hilbert en Sajonia. Muchos eran artesanos o gente de comercio. Eran protestantes, y sus nombres tomados de la biblia parecen indicar que era pietistas, que enfatizaban la fe como una actitud del corazón. Al principio del siglo XVIII, un Johann Christian Hilbert se convirtió en exitoso comerciante, con más de cien personas a su cargo. Pero su muerte temprana y la desaparición de su fortuna en manos de inescrupulosos encargados, obligó a que su hijo Christian David Hilbert se empleara de aprendiz de barbero, sirviendo en el ejército de Federico el Grande, llegando eventualmente a Konigsberg. Fue un hombre de mucha energía. Compró una barbería, se anotó en la universidad local, estudió medicina y llegó a ser el cirujano local. Desde ese tiempo, los Hilberts fueron profesionales, tomando como esposas a hijas de comerciantes. Uno de sus muchos hijos fue David Fürchtegott Leberecht ("Fear God Live Right") Hilbert. Fue el abuelo de David Hilbert. Fue juez, y su hijo Otto también. Un tío era abogado, otro era director de un "gymnasium" (una escuela de entonces).

No sabemos mucho del lado materno. El abuelo Karl Erdtmann era un comerciante de Königsberg. Su hija Maria Teresa sería la madre de Hilbert. Fue una mujer interesada en astronomía, algo no usual para la época, en filosofía y se dice, hasta en números primos.

Post relacionados:

David Hilbert, según Jean Dieudonné
Los problemas de Hilbert
David Hilbert: Enlaces y Recursos (1)
Einstein, Hilbert y la Teoría General de la Relatividad (1)
El teorema de la base de Hilbert (1)
David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (1)
Imágenes y símbolos, según Hilbert

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Publicado el 16 de Septiembre, 2017, 11:57

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The Math That Promises to Make the World Brighter
https://www.quantamagazine.org/the-math-that-promises-to-make-the-world-brighter-20170906/

Mathematicians Tame Rogue Waves, Lighting Up Future of LEDs
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-tame-rogue-waves-lighting-up-future-of-leds-20170822/

New Shapes Solve Infinite Pool-Table Problem
https://www.quantamagazine.org/new-shapes-solve-infinite-pool-table-problem-20170808/

Why Mathematicians Like to Classify Things
https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-like-to-classify-things-20170815/

Goldbach's conjecture
https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%27s_conjecture

Chen's theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Chen%27s_theorem

Proof that an infinite number of primes are paired
https://www.newscientist.com/article/dn23535-proof-that-an-infinite-number-of-primes-are-paired/

Explicit Chen's theorem
https://arxiv.org/abs/1511.03409

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Publicado el 15 de Septiembre, 2017, 13:57

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Al-Khwarizmi: The Father of Algebra
http://www.aljazeera.com/programmes/science-in-a-golden-age/2015/10/al-khwarizmi-father-algebra-151019144853758.html

Collection of letters by codebreaker Alan Turing found in filing cabinet
https://www.theguardian.com/science/2017/aug/27/collection-letters-codebreaker-alan-turing-found-filing-cabinet

That virtually impossible classic compsci P vs NP problem is virtually impossible, say boffins
https://www.theregister.co.uk/2017/09/01/p_vs_np_problem_near_impossible/

A TSP Breakthrough
https://rjlipton.wordpress.com/2017/09/11/a-tsp-breakthrough/

Applied Category Theory
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2017/09/12/act-2018/

Mathematicians Measure Infinities and Find They"re Equal
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-measure-infinities-find-theyre-equal-20170912/

Why Math Is the Best Way to Make Sense of the World
https://www.quantamagazine.org/why-math-is-the-best-way-to-make-sense-of-the-world-20170911/

Symmetry, Algebra and the Monster
https://www.quantamagazine.org/symmetry-algebra-and-the-monster-20170817/

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Publicado el 2 de Septiembre, 2017, 8:47

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Kaisa Matomäki Dreams of Primes
https://www.quantamagazine.org/kaisa-matomaki-dreams-of-primes-20170720/

In Game Theory, No Clear Path to Equilibrium
https://www.quantamagazine.org/in-game-theory-no-clear-path-to-equilibrium-20170718/

Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem
https://www.quantamagazine.org/pentagon-tiling-proof-solves-century-old-math-problem-20170711/

A Tenacious Explorer of Abstract Surfaces
https://www.quantamagazine.org/maryam-mirzakhani-is-first-woman-fields-medalist-20140812/

A Puzzle of Clever Connections Nears a Happy End
https://www.quantamagazine.org/a-puzzle-of-clever-connections-nears-a-happy-end-20170530/

A New Path to Equal-Angle Lines
https://www.quantamagazine.org/a-new-path-to-equal-angle-lines-20170411/

How to Quantify (and Fight) Gerrymandering
https://www.quantamagazine.org/the-mathematics-behind-gerrymandering-20170404/

Quantum Questions Inspire New Math
https://www.quantamagazine.org/how-quantum-theory-is-inspiring-new-math-20170330/

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Publicado el 1 de Septiembre, 2017, 5:52

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Historical courses and resorts in Elliptic Curves Cryptography - Is Curve25519 dead?
http://blog.intothesymmetry.com/2017/06/historical-courses-and-resorts-in.html

[curves] Climbing the elliptic learning curve (was: Re: Finalizing XEdDSA)
https://moderncrypto.org/mail-archive/curves/2016/000784.html

The Discrete Logarithm Problem on Elliptic Curves of Trace One
http://www.hpl.hp.com/techreports/97/HPL-97-128.pdf

The Beautiful Mathematical Explorations of Maryam Mirzakhani
https://www.quantamagazine.org/the-beautiful-mathematical-explorations-of-maryam-mirzakhani-20170724/

Matemático chileno es eminencia mundial en el estudio de los "problemas inversos"
http://www.elmostrador.cl/cultura/2017/07/25/matematico-chileno-es-eminencia-mundial-en-el-estudio-de-los-problemas-inversos/

Solomon Lefschetz
https://en.wikipedia.org/wiki/Solomon_Lefschetz

Mathematics History: AMS Books and Resources
http://www.ams.org/samplings/math-history/math-history

A Path Less Taken to the Peak of the Math World
https://www.quantamagazine.org/a-path-less-taken-to-the-peak-of-the-math-world-20170627

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Publicado el 27 de Agosto, 2017, 10:17

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No se sabe quien, Buttner o Bartels, llamó a conversar al padre de Gauss y lo convenció de la importancia de seguir la educación de su hijo. Se le dijo que se conseguiría el apoyo de gentes en mejor posición para aportar recursos. El padre quedó convencido. Hasta entonces, el pequeño Gauss tenía a cargo hilar una cantidad de lino cada día. Se cuenta que al volver a la casa, el padre lo liberó de esa obligación, tomando la rueda giratorio que usaba para la tarea, y la convirtió en leña para la cocina.

Gauss ahora tenía tiempo en las tardes para leer libros de matemáticas. Fue el inicio de su estudio conjunto con Bartels. Este además lo puso en contacto con gente de mejor posición, en particular con E.A.W. Zimmermann (1743-1815). Había sido profesor de dedicación completa de matemáticas, física e historia natural del Collegium Carolinum desde 1766. Luego de dos años de viajes por Inglaterra, Francia e Italia, volvió a sus clases en 1789, poco después de que Bartels entrara en ese colegio. En 1786 recibió el título de concejal, y en 1796 el emperador lo ascendió a la nobleza. En 1802 fue nombrado consejero privado del duque Carl Wilhelm Ferdinand. Fue ampliamente respetado como estudioso y como escritor.

Un día Zimmerman le pide a Bartels que le traiga al niño Gauss a su presencia. Ya le habían llegado las noticias de su inusual talento. Un nuevo profesor de matemáticas, Hellwig, había devuelto el primer trabajo escrito de Gauss, agregando el comentario de que el joven ya no tenía necesidad de aparecer en sus clases.

Según el propio Gauss, abandonó el colegio en contra de la voluntad de su padre. Con la ayuda de amigos como Bartels y el filólogo Johann Heinrich Jakob Meyerhoff (1770-1812), había comenzado a dominar idiomas antiguos. Estaba adelantado a otros jóvenes de su edad.

La duquesa de Brunswick una vez encontró al joven Gauss en el patio del palacio, absorto en la lectura de un libro. Al conversar con él, se convenció que realmente entendía lo que estaba leyendo. Convenció al duque de convocar al joven prodigio. Cuando el lacayo llegó a la casa de Gauss, al principio pensó que requerían a George, el hermano mayor de Gauss. Pero luego el propio George se dio cuenta que era al "bueno para nada" de su hermano al que iba dirigida la convocatoria. Cuando Gauss ya era famoso, George diría: "si hubiera sabido, habría aceptado la convocatoria, y ahora sería profesor".

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Publicado el 12 de Agosto, 2017, 14:50

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Gauss nació el 30 de abril de 1777, en Brunswick. Su madre no recordaba la fecha exacta, solo que había sido miércoles ocho días antes de la fiesta de ascensión. Esto fue uno los motivos que harían que Gauss se interesara en su fórmula de la fecha de Pascua para cualquier año.

Hacia el final de su vida, a Gauss le gustaba recordar episodios de su infancia, revelando destellos de su genio en edad temprana. Los recordaba perfectamente, narrándolos de forma entusiasta, sin desviarse de su relato anterior cada vez que los contaba de nuevo. Sus padres no gozaban de una buena posición económica, y fue gracias a la ayuda de otros que el joven Gauss pudo dedicarse a las matemáticas, en una época donde ésta no era aún una profesión.

Una vez, siendo un niño, estuvo a punto de morir. La casa de sus padres estaba en las cercanías de un canal abierto de agua, conectado con el río Oker, que se llenaba de agua en primavera. El niño Gauss cayó en el canal, pero fue rescatado. Ya en esos años dio prueba de su inteligencia. Aprendió las letras del alfabeto por su cuenta, antes aún de ir a la escuela. También aprendió aritmética, y calculaba mentalmente, lo que llamó la atención de su familia y conocidos. Su padre tenía peones a su cargo, y cuando liquidaba los sueldos proporcionales a los trabajos realizados, el niño de tres años podía corregirlo, diciendo: "Padre, este cálculo está mal", dando en ese momento el resultado correcto. Años más tarde, Gauss bromeaba diciendo que había aprendido a calcular antes que a hablar.

En 1784, Gauss entra en la escuela, la de Santa Catalina, teniendo siete años. La instrucción elemental estaba a cargo de un maestro, J.G.Buttner, que era partidario del uso del látigo como medio de corregir las faltas en la educación. Estaba a cargo de una sala de doscientos alumnos. Eventualmente, Gauss entró en la clase de aritmética, donde en general los alumnos permanecen hasta su confirmación religiosa, a los quince años. Un día, Buttner, les dio un ejercicio a los alumnos de esa clase: sumar todos los números desde el 1 al 100. Mientras los demás se dedicaban a sumar y sumar, el joven Gauss se acercó al maestro con un solo número en su pizarra: la solución correcta. Había usado la fórmula de los números triangulares, que había descubierto por su cuenta: la suma de 1 a n era n (n + 1) / 2. Buttner quedó impresionado, y mandó a traer un mejor libro de aritmética desde Hamburgo (no se sabe si era la Aritmética de Remer o el manual de Hemeling) y se lo dio a Gauss. Pronto se convenció que poco más podía enseñarle a su alumno.

Uno de los asistentes de Buttner, era Johann Christian Martil Bartels, hijo de un matemático que escribió ensayos sobre teoría de funciones, análisis matemáticos. Bartels comenzó a estudiar matemáticas junto con Gauss, y pronto surgió una relación de amistad, a pesar de la diferencia de edad. A los once años, Gauss pudo desarrollar por su cuenta el teorema del binomio de forma general, y comenzó a manejar series infinitas, lo que le abrió la puerta al análisis superior.

Fuente principal consultada: Carl Friedrich Gauss, Titan of Science, de Dunnington.

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Publicado el 6 de Agosto, 2017, 14:12

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Veamos hoy la afirmación de Fermat (tengo la cita traducida al inglés):

"Therefor we should have a square number which would be equal to the sum of a square and the double of another square, while the squares of which this sum is made up would themselves have a square number for their sum."

Por lo que vimos en el post anterior, tenemos

p2-q2

como cuadrado, siendo p y q cuadrados ellos mismos, de distinta paridad (uno impar y otro par), sin factores comunes. La expresión anterior se puede escribir como:

(p + q)(p - q)

Estos dos factores son primos entre sí. Si tuvieran un factor común, éste también dividiría a

(p + q) + (p - q) = 2p
(p + q) - (p - q) = 2q

Este factor común no puede ser 2, por tener p y q distinta paridad (uno es par y otro impar). Entonces, cualquier factor común debe serlo también de p y q, contradicción, porque partimos considerando que no tienen factores comunes.

Como la multiplicación de los dos factores (p + q) y (p - q) es un cuadrado, y no tienen factor común, entonces AMBOS deben ser a su vez cuadrados.

Seguiremos en el próximo post comentando la próxima afirmación de Fermat, que no resulta ser muy clara, y hasta está algo mal formulada.

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Publicado el 18 de Julio, 2017, 12:13

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Prime ideal - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_ideal

Scheme (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Scheme_(mathematics)

Spectrum of a ring - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_of_a_ring

Neanderthal - Fast Native Matrix and Linear Algebra in Clojure
http://neanderthal.uncomplicate.org/

Who's Afraid of Object Algebras?
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Bootstrap
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Algebra for Analytics // Speaker Deck
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p-group - Wikipedia, the free encyclopedia
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Publicado el 14 de Julio, 2017, 11:23

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Minireference blog » Linear algebra tutorial in four pages
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Jim Loy's Mathematics Page
http://www.jimloy.com/math/math.htm

jrjohansson/scientific-python-lectures
https://github.com/jrjohansson/scientific-python-lectures

Frobenius biography
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Frobenius.html

The Nature of Associative Property of Algebra
http://xahlee.info/math/nature_of_associative_property_of_algebra.html

math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html
http://math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html

On Klein"s Icosahedral Solution of the Quintic
http://arxiv.org/pdf/1308.0955.pdf

What is a Spectral Sequence? | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/08/what_is_a_spectral_sequence.html

High precision native Gaussian Elimination - CodeProject
http://www.codeproject.com/Articles/616608/High-precision-native-Gaussian-Elimination

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Publicado el 13 de Julio, 2017, 10:49

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clojure-numerics/expresso
https://github.com/clojure-numerics/expresso

Matemáticas - Caracterización de valor propio - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=kDypvn5hLZI&feature=youtu.be

Serre theorem on noetherian regular local ring
http://www.math.jussieu.fr/~liangy/files/myarticle/Serre%20thm%20on%20noetherian%20regular%20local%20ring.pdf

Hilbert's seventeenth problem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_s_seventeenth_problem

Algebraic variety - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_variety

Philosophy Talks in Oxford | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/05/philosophy_talks_in_oxford.html

Notes on the classification of complex Lie algebras | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/04/27/notes-on-the-classification-of-complex-lie-algebras/

Higher Algebraic Structures and Quantization
http://arxiv.org/abs/hep-th/9212115

Rings — A Second Primer | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/06/01/rings-a-second-primer/

Why do we study prime ideals? - Mathematics Stack Exchange
http://math.stackexchange.com/questions/389837/why-do-we-study-prime-ideals

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Publicado el 7 de Julio, 2017, 11:07

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Euclidean domain
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_domain

Euclidean Rings of Algebraic Integers
http://people.reed.edu/~jerry/332/15euc.pdf

Euclidean Rings
http://people.reed.edu/~jerry/332/15euc.pdf

Wedderburn's little theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Wedderburn_s_little_theorem

Klein's Quartic Curve
http://math.ucr.edu/home/baez/klein.html

Ramanujan"s Mock Modular Forms: Indian Mathematician"s Dream Conjecture Finally Proven
http://www.huffingtonpost.com/2012/12/27/ramanujans-mock-modular-forms_n_2371680.html?utm_hp_ref=science

The Algebra of Algebraic Data Types - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=YScIPA8RbVE&feature=youtube_gdata_player

When does a cross product on R^{n} exist?
http://arxiv.org/abs/1212.3515

Carnaval Matemáticas: El producto vectorial en un espacio euclidiano de 7 dimensiones
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/12/22/el-producto-vectorial-en-un-espacio-euclideo-de-7-dimensiones/

A calculus free proof of the spectral theorem « Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2012/12/03/a-calculus-free-proof-of-the-spectral-theorem/

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Publicado el 4 de Julio, 2017, 12:26

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Polynomial Rings and Unique Factorization Domains
http://www.math.wustl.edu/~russw/s09.math430/ufds.pdf

Unique factorization in polynomial rings - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/15137/unique-factorization-in-polynomial-rings

Hilbert's basis theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_basis_theorem

Hilbert's Nullstellensatz - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_s_Nullstellensatz

Algebraic Topology
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf

Ferrari biography
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Ferrari.html

An Intuitive Guide to Linear Algebra | BetterExplained
http://betterexplained.com/articles/linear-algebra-guide/

Las 7 maravillas de las matemáticas
http://www.alsalirdelcole.com/las-7-maravillas-de-las-matematicas/

Algebraic Number Theory
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ANT.pdf

Algebraic Geometry
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/AG.pdf

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Publicado el 1 de Julio, 2017, 13:42

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Veamos hoy de entender los pasos de la demostración de Fermat presentada en el anterior post. Fermat quiere demostrar que no hay triángulos rectángulos con lados racionales que tuvieran como superficie un cuadrado racional. Basta tratar el caso en números enteros positivos.

¿Qué quiere decir cuando escribe "If the area of a right-angled triangle were a square, there would exist two biquadrates the difference of which would be a square number"? Primero, ¿qué es "biquadrates"? Un término en inglés que no veo tenga palabra de uso similar en español, o por lo menos, de uso frecuente. Un número bicuadrado es la cuarta potencia de otro, en este caso, de otro natural. ¿por qué afirma esto Fermat? Dice que si hubiera un triángulo rectángulo con área cuadrada (un número cuadrado) habría DOS potencias cuartas que al restarse, darían un cuadrado.

Veamos. Recordemos que los lados enteros de un triángulo se expresan con una terna pitagórica. Y que esas ternas tienen una expresión general:

x = (2pq)d
y = (p2 - q2)d
z = (p2 + q2)d

donde p, q son naturales primos entre sí, y de distinta paridad (uno par y otro impar), y d es natural cualquiera. El problema de Fermat es encontrar entonces

1/2 xy = pq(p2 - q2)d2

que sea cuadrado. Para esto

pq(p2 - q2)

DEBE ser cuadrado. Como p, q son primos entre sí, también son primos con

p2 - q2

Entonces cada uno de los factores

p
q
p2 - q2

DEBE ser cuadrado, al ser primos entre sí. Como p y q son cuadrados, entonces

p2 - q2

ES LA DIFERENCIA de DOS CUARTAS potencias, lo que afirmaba Fermat en su primera oración. Es un poco escondedor, como si no quisiera explicar todos los pasos, haciendo trabajar al que lea su demostración. No es evidente que sea verdad su afirmación, y la expone casi como un problema implícito, como diciendo: "quien no sepa descubrir esto no vale la pena que siga".

En el próximo post, seguiremos discutiendo las siguientes afirmaciones de Fermat

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 30 de Junio, 2017, 11:25

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Gaussian elimination - Linear Systems - math-linux.com
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Cuerpos y sus extensiones
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Teoria de Anillos
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Resolubilidad por Radicales
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Resolubilidad por Radicales
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Abstract Algebra
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The Submodule of Invariants « The Unapologetic Mathematician
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Gauss and Regular Polygons: Cyclotomic Polynomials « Paramanand's Math Notes
http://paramanands.wordpress.com/2009/12/25/gauss-and-regular-polygons-cyclotomic-polynomials/

gen_gauss_gem.pdf
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Fermat's Last Theorem: Gauss: Periods of Cyclotomic Equations
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Paper Trail » Dedekind and Weber: Theory of the algebraic functions of one variable
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Decomposition of Semisimple Lie Algebras « The Unapologetic Mathematician
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