Angel "Java" Lopez en Blog


Publicado el 2 de Diciembre, 2014, 6:44

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¡¡Tenemos dos nuevos primos de Mersenne!! - Gaussianos | Gaussianos

Posible descubrimiento del primo de Mersenne número 46 - Gaussianos | Gaussianos

Posible descubrimiento del primo de Mersenne número 45 - Gaussianos | Gaussianos

Confirmado el descubrimiento del primo de Mersenne número 48 - Gaussianos | Gaussianos

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 13 de Noviembre, 2014, 12:10

Estaba investigando sobre modelos económicos, y me encuentro con esto sobre la historia de la programación lineal:

Linear programming (LP) emerged in the United States in the early postwar years. One may to a considerable degree see the development of LP as a direct result of the mobilization of research efforts during the war. George B. Dantzig, who was employed by the US Armed Forces, played a key role in developing the new tool by his discovery in 1947 of the Simplex method for solving LP problems. Linear programming was thus a military product, which soon appeared to have very widespread civilian applications. The US Armed Forces continued its support of Dantzig"s LP work, as the most widespread textbook in LP in the 1960s, namely Dantzig (1963), was sponsored by the US Air Force.

Hace más de tres décadas tuve mi primer encuentro con la programación lineal y los métodos de Dantzig. También había una abundante producción soviética sobre el tema, y nuevas ideas para salir del Simplex.

Dantzig had discovered the Simplex method but admitted many years later that he had not really realized how important this discovery was. Few people had a proper overview of linear models to place the new discovery in context, but one of the few was John von Neumann, at the time an authority on a wide range of problems form nuclear physics to the development of computers. Dantzig decided to consult him about his work on solution techniques for the LP problem.

Este es el relato del propio Dantzig:

"I decided to consult with the "great" Johnny von Neumann to see what he could suggest in the way of solution techniques. He was considered by many as the leading mathematician in the world. On October 3, 1947 I visited him for the first time at the Institute for Advanced Study at Princeton. I remember trying to describe to von Neumann, as I would to an ordinary mortal, the Air Force problem. I began with the formulation of the linear programming model in terms of activities and items, etc.Von Neumann did something, which I believe was uncharacteristic of him. "Get to the point," he said impatiently. Having at times a somewhat low kindling point, I said to myself "O.K., if he wants a quicky, then that"s what he"ll get." In under one minute I slapped the geometric and the algebraic version of the problem on the blackboard. Von Neumann stood up and said "Oh that!" Then for the next hour and a half, he proceeded to give me a lecture on the mathematical theory of linear programs." (Dantzig, 1984).

von Neumann, de amplia cultura matemática, ya conocía el tema. En ese encuentro Dantzig oyó por primera vez sobre la dualidad y el lema de Farkas.

Lo encuentro citado en Dipak Basu, Dipak Basu Economic Models Methods, Theory and Applications.

Otros posts de este blog donde se menciona a von Neumann:

Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John von Neumann
John von Neumann y Operadores en Cuántica
Abstracción y Matemáticas, según von Neumann

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 12 de Noviembre, 2014, 14:46

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 7 de Noviembre, 2014, 12:49

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 2 de Noviembre, 2014, 7:28

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En el post anterior exploramos un grupo continuo, el de las rotaciones en R2. Por un lado, podemos tener el grupo abstracto, de rotaciones, y por otro, nos manejamos mejor si vemos cada elemento del grupo COMO UNA TRANSFORMACION LINEAL en un espacio vectorial real de dos dimensiones, que mantiene la orientación y la norma de los vectores. Siempre vamos a tener ese "doble camino": o trabajar con el grupo, o con lo que se llama una representación del grupo, operadores lineales que trabajan transformando elementos de un espacio vectorial (ya llegaremos a una definición de representación).
A los físicos les gusta trabajar con representaciones porque permite expresar los elementos del grupo como matrices, si el espacio vectorial sobre el que operamos tiene dimensión finita (hay también representaciones sobre espacios vectoriales especiales de dimensión infinita, pero por ahora no nos interesan). Lo interesante que apareció en el ejemplo anterior, que las matrices en R2 que cumplen:

Preservan la norma de los vectores, y se llaman ortogonales. Pusimos como norma a:

En concreto, si nos manejamos con una base, se expresa:

Donde la norma es la suma de cada coeficiente multiplicado por sí mismo. En realidad, es un caso particular del llamado producto interior en Rn:

Si, como estamos haciendo, estamos en un espacio vectorial con coeficientes reales, queda que la norma de un vector, o su multiplicación por sí mismo, da siempre un número real no negativo (y se anula solamente si v es el vector nulo).

Pero en física también se trabaja, y mucho, con espacios vectoriales complejos, donde el cuerpo de los coeficientes son los números complejos. En estos casos, el producto interno no sirve tanto si se define como arriba, porque para coeficientes cualesquiera la norma puede dar un número cualquiera, no necesariamente positivo ni real. Ejemplo simple:

 En estos casos de espacios vectoriales complejos, los matemáticos prefieren un producto interno definido:

(en realidad, los matemáticos prefieren una definición más abstracta, donde no intervienen coeficientes referidos a una base), donde el asterisco significa "complejo conjugado". Expresando en multiplicación de vectores fila/columna, en dos dimensiones, sería:

Notemos que los elementos del vector fila son los coeficientes complejos conjugados del vector original w. Podemos ver el vector original w como un vector columna,  y ahora interviene en esta multiplicación de vectores como transpuesto Y CONJUGADO.

Teniendo esta definición de producto, nos interesa el grupo de transformaciones que mantenga la norma y este nuevo producto interno:

Sea la matriz de la transformación R:

Entonces nuestra multiplicación ahora es (habría que hacer todo el desarrollo, pero es así):

Vemos que R interviene TRANSPUESTA Y CONJUGADA. Para que esta expresión sea siempre igual a

Para cualquier w, v, debería cumplirse:

Las transformaciones que cumplen esto (y sus matrices) se llaman UNITARIAS. El grupo de transformaciones unitarias sobre C2 (C = complejo) se llama U(2). El grupo de transformaciones unitarias que no invierten el espacio (con matriz con determinante uno) son el grupo SU(2). Veremos, con paciencia y tiempo, la gran influencia que tienen estos grupos unitarios y especiales en los modelos de grupo del modelo estándar de partículas.

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 1 de Noviembre, 2014, 14:40

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 27 de Octubre, 2014, 16:50

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 24 de Octubre, 2014, 15:57

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 16 de Octubre, 2014, 15:34

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Enumeremos hoy algunos tipos de ecuaciones diferenciales. Tenemos primero, ecuaciones como:

Donde todas las derivadas son totales, no hay derivadas parciales. La función que se quiere despejar es una función que depende, finalmente, de una sola variable (podría depender indirectamente de varias variables, pero éstas ser finalmente funciones de la única variable independiente).

Es común escribir la función a despejar sin poner su dependencia de variables, es decir, usar "y" en lugar de "y(t)", en el ejemplo de arriba. De esta ecuación se dice que es de primer orden, porque el orden más alto de las derivadas que presenta es uno.

En cambio:

Es de segundo orden. Otras veces, la función a buscar interviene con otras variables:

Estas ecuaciones diferenciales se llaman ecuaciones ordinarias, porque no contiene derivadas parciales.

Podemos tener ecuaciones con MAS DE UNA derivada (en orden):

"casi" como si fuera un polinomio con derivadas de distinto orden en vez de variable elevada a distintas potencias. Llegará el caso de explotar esta analogía.

Hay ecuaciones diferenciales ordinarias apenas más complejas, que arrastran una larga historia, como la ecuación de Legendre:

Donde p es una constante. Y la ecuación de Bessel:

Donde de nuevo p es una constante. Vemos en estos dos últimos ejemplos la falta de un término independiente (sin y ni x ni derivadas), y la mezcla en un mismo término de derivadas y variables.

Pero también hay ecuaciones donde la función a despejar depende de más de una variable, y entonces, las derivadas que aparecen son parciales. Ejemplos clásicos:

Donde en todos los casos la función incógnita es w, y depende de x, y, z y t, que podemos considerar coordenadas espaciales y el tiempo. Las tres son muy parecidas, pero describen distintos fenómenos físicos. Se trata, respectivamente, de las ecuaciones de Laplace, del calor y de ondas, con gran historia en la física matemática. Este tipo de ecuaciones en derivadas parciales aparecen en la mecánica de fluidos continuos, en problemas relacionados con campos eléctricos, dinámica de fluidos, difusión y movimientos ondulatorios.

Veremos que la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales es bien diferente de las ordinarias, y casi siempre más difícil. Así al que principio de esta serie, investigaremos algunos casos de ecuaciones ordinarias, para ir entrenándonos en la resolución de ecuaciones diferenciales.

Principal fuente consultada: Ecuaciones Diferenciales, de George F. Simmons, McGraw Hill.

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 15 de Octubre, 2014, 15:52

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 10 de Octubre, 2014, 14:40

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Más temas para revisar, como relaciones entre números primos, formas, tensores, lagrangianos, etc...

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Cartan connection - Wikipedia, the free encyclopedia

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How To Use the Covariant Derivative Part 1 - YouTube

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Vectors, covectors, duality, tensors, algebras... - Numericana

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 1 de Octubre, 2014, 13:58

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Tengo que estudiar el teorema de Wigner, por otro lado aclarar major el tema de las n-formas. Parece interesante la historia de los axiomas de separación en topología.

Basis vectors and covectors

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[1006.2814] A counterexample to the Hirsch conjecture

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 26 de Septiembre, 2014, 13:42

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Varios temas a estudiar, como operadores hermíticos, las matemáticas de los campos físicos, y otros temas de matemáticas y física:

Moebius Noodles » Knot Theory for Young Kids

High-dimensional knot theory Algebraic surgery in codimension 2

La derivation d'ordre non entier (fractional calculus) : histoire et signification d'un concept mathematique

Fractional calculus - Wikipedia, the free encyclopedia

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Edward Witten revisita la teoría de supercuerdas perturbativa en Strings 2012 « Francis (th)E mule Science's News

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Home Page of Physics 582

Gauge fixing - Wikipedia, the free encyclopedia

Los conceptos de campo, partícula, partícula virtual y vacío « Francis (th)E mule Science's News

Golden ratio discovered in uterus | Alex Bellos | Science |

The Aperiodical | A glider on an aperiodic cellular automaton exists!

The Aperiodical | David"s de Bruijn sequence card trick

The Aperiodical | Occasional(ly) mathematical blogging

The Aperiodical | Carnival of Mathematics 89

Hermitian Operator -- from Wolfram MathWorld

Inner product space - Wikipedia, the free encyclopedia

Sesquilinear form - Wikipedia, the free encyclopedia

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 22 de Septiembre, 2014, 13:50

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Más enlaces del tema interminable. Hay un par de joyitas sobre la relación entre grupos y partículas elementales:

Chiral symmetry - Wikipedia, the free encyclopedia

McCabism: What is an elementary particle?

quantum mechanics - How is the physical meaning of an irreducible representation justified? - MathOverflow

Group Theory and Symmetries in Particle Physics

Symmetry and Particle Physics

quantum field theory - Why do we say that irreducible representation of Poincare group represents the one-particle state? - Physics Stack Exchange

Elementary Particles

p-group - Wikipedia, the free encyclopedia

Why is group theory important?

Weinberg angle - Wikipedia, the free encyclopedia

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 30 de Agosto, 2014, 8:37

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Más sobre parejas de primos, conjetura ABC, etc...

Pat'sBlog: On This Day in Math - August 16

So what happened to the abc conjecture and Navier-Stokes? | The Aperiodical

La constante "entre primos gemelos" - Gaussianos | Gaussianos

Me gustan los triángulos... | Naukas

L OME en Requena - Problema 1 - Gaussianos | Gaussianos

Calcular las soluciones enteras - Gaussianos | Gaussianos

La intuición matemática de papá Keeler y la fórmula de Faulhaber - Gaussianos | Gaussianos

Sophie Germain: la matemática aislada. |

p-group - Wikipedia, the free encyclopedia

Parejas de enteros especiales - Gaussianos | Gaussianos

Polymath8b, V: Stretching the sieve support further | What's new

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 27 de Agosto, 2014, 14:52

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Sigue el tema de la distancia entre primos "bounded gaps between primes":

Bounded gaps between primes - Polymath1Wiki

Pierre de Fermat: el jurista que nos mantuvo en vilo - Gaussianos | Gaussianos

NSA Surveillance (an extra bit) - Numberphile - YouTube

How did the NSA hack our emails? - YouTube

¿Existen polinomios que den valores primos para todo número natural? - Gaussianos | Gaussianos

Encuentra todas las parejas - Gaussianos | Gaussianos

Two Elusive Prime Number Problems Solved |

Mertens" theorems | What's new

Siempre menor y a veces divisor - Gaussianos | Gaussianos

Prueba la desigualdad - Gaussianos | Gaussianos

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 21 de Agosto, 2014, 6:30

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Aparte de los temas clásicos, sigue el caso de los "gaps" acotados entre primos.

Weyl biography

Ni un numero mas

Frobenius biography

Harald Andrés Helfgott nos habla sobre su demostración de la conjetura débil de Goldbach - Gaussianos | Gaussianos

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No es un cuadrado - Gaussianos | Gaussianos

(Documental) La música de los números primos - Gaussianos | Gaussianos

Yitang Zhang Proves 'Landmark' Theorem in Distribution of Prime Numbers | Simons Foundation

Fermat"s unfinished business | The Endeavour

Gaussian Primes - Jason Davies

Polymath8: Writing the paper, II | What's new

Adam Spencer: Why I fell in love with monster prime numbers | Video on

Open Season: Prime Numbers (part 2) | The Aperiodical

Polymath8: Writing the paper | What's new

Carnival of Mathematics #101: Prime Numbered Special Edition | The Aperiodical

(Vídeo) Explicación del teorema de los números primos - Gaussianos | Gaussianos

An improved Type I estimate | What's new

The quest for narrow admissible tuples | Secret Blogging Seminar

Bounded gaps between primes (Polymath8) – a progress report | What's new


Numberphile - Videos about Numbers and Stuff

Quasicrystals and the Riemann Hypothesis | The n-Category Café

Bounded Gaps Between Primes | The n-Category Café

Numeros divisibles. acertijo matemático. | Acertijos y mas cosas

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 13 de Agosto, 2014, 16:24

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Pat'sBlog: On This Day in Math - December 9

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Quick Study: Edward Frenkel on math: It's a lot like borscht | The Economist

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Si partimos de algo falso podemos demostrar cualquier cosa - Gaussianos | Gaussianos

Gödel's Incompleteness Theorem (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 11 de Agosto, 2014, 12:02

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En una ecuación diferencial interviene una variable dependiente y sus derivadas con respect a una o más variables independientes. Muchas leyes de la naturaleza encuentran encuentran su expresión en ecuaciones diferenciales. Asimismo, son importantes por sí mismas en el desarrollo de las matemáticas desde la aparición del cálculo.

¿Cuál es la razón para encontrarnos con ecuaciones diferenciales en tantos temas (física, química, economía, geometría, etc…)? Si tenemos una función

Su primera derivada indica el ritmo de cambio de y con respecto a x. Y así sucesivamente con las siguientes derivadas. En los procesos naturales las variables que intervienen y sus ritmos de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos que rigen esos procesos. Cuando descubrimos esas relaciones, muchas veces llegamos a expresarlas en ecuaciones diferenciales.

Tomemos un ejemplo, el de la segunda ley de Newton sobre una partícula. Expresada matemáticamente:

Indica que la fuerza que actúa sobre la partícula es la responsable del cambio en el momento de la misma. Vemos que el momento p es un vector.  Conociendo la fuerza que se aplica en cada momento, podemos deducir (a veces con dificultad) la trayectoria de la partícula. Pongamos un ejemplo concreto. Una partícula de masa m, libre, sólo sujeta a la fuerza de la gravedad, cae sin ninguna otra influencia, partiendo del reposo. Recordando que el momento es masa por velocidad:

Y considerando a la masa constante (estamos en un caso no relativista), lo único que varía con el tiempo es la velocidad. Su ritmo de cambio la llamamos aceleración:

La fuerza de gravedad es proporcional a la masa sobre la que se ejerce y a una constante g:

Con dirección hacia abajo. Si ponemos como variable dependiente del tiempo a y, como la distancia desde el punto de reposo que recorre la partícula, queda

Despejando m, queda

La ecuación diferencial que estábamos buscando. Resolviéndola podemos obtener la fórmula de cómo evoluciona el valor de y a través del tiempo. Pero si la partícula encuentra resistencia en su caída, debido al aire, proporcional a su velocidad, entonces la fuerza será:

Y la ecuación a resolver será

Tenemos que estudiar la resolución de éstas y otros tipos de ecuaciones diferenciales, en próximos posts.

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 7 de Agosto, 2014, 13:33

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Angel "Java" Lopez

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