Angel "Java" Lopez en Blog

Matemáticas


Publicado el 20 de Junio, 2016, 18:58

Estoy estudiando varios temas de matemáticas, y he topado con el muy buen libro "Abstract Algebra" de Celine Carstensen, Benjamin Fine, y Gerhard Rosenberg. Es un libro que toca muchos temas que me interesan. Leo hoy:

Abstract algebra or modern algebra can be best described as the theory of algebraic structures. Briefly, an algebraic structure is a set S together with one or more binary operations on it satisfying axioms governing the operations. There are many algebraic structures but the most commonly studied structures are groups, rings, fields and vector spaces. Also widely used are modules and algebras...

Ellos dividen en:

...Mathematics traditionally has been subdivided into three main areas – analysis, algebra and geometry. These areas overlap in many places so that it is often difficult to determine whether a topic is one in geometry say or in analysis. Algebra and algebraic methods permeate all these disciplines and most of mathematics has been algebraicized – that is uses the methods and language of algebra. Groups, rings and fields play a major role in the modern study of analysis, topology, geometry and even applied mathematics...

Los orígenes, por un lado la teoría de números:

Abstract algebra has its origins in two main areas and questions that arose in these areas – the theory of numbers and the theory of equations. The theory of numbers deals with the properties of the basic number systems – integers, rationals and reals while the theory of equations, as the name indicates, deals with solving equations, in particular polynomial equations. Both are subjects that date back to classical times. A whole section of Euclid"s elements is dedicated to number theory. The foundations for the modern study of number theory were laid by Fermat in the 1600s and then by Gauss in the 1800s. In an attempt to prove Fermat"s big theorem Gauss introduced the complex integers a C bi where a and b are integers and showed that this set has unique factorization. These ideas were extended by Dedekind and Kronecker who developed a wide ranging theory of algebraic number fields and algebraic integers. A large portion of the terminology used in abstract algebra, rings, ideals, factorization comes from the study of algebraic number fields. This has evolved into the modern discipline of algebraic number theory....

Por otro, la resolución de ecuaciones:

The second origin of modern abstract algebra was the problem of trying to determine a formula for finding the solutions in terms of radicals of a fifth degree polynomial. It was proved first by Ruffini in 1800 and then by Abel that it is imposible to find a formula in terms of radicals for such a solution. Galois in 1820 extended this and showed that such a formula is impossible for any degree five or greater. In proving this he laid the groundwork for much of the development of modern abstract algebra especially field theory and finite group theory. Earlier, in 1800, Gauss proved the fundamental theorem of algebra which says that any nonconstant complex polynomial equation must have a solution. One of the goals of this book is to present a comprehensive treatment of Galois theory and a proof of the results mentioned above...

Y aparece la geometría algebraica:

The locus of real points (x, y) which satisfy a polynomial equation f(x, y) = 0 is called an algebraic plane curve. Algebraic geometry deals with the study of algebraic plane curves and extensions to loci in a higher number of variables. Algebraic geometry is intricately tied to abstract algebra and especially commutative algebra.

Y cómo olvidar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales:

Finally linear algebra, although a part of abstract algebra, arose in a somewhat different context. Historically it grew out of the study of solution sets of systems of linear equations and the study of the geometry of real n-dimensional spaces. It began to be developed formally in the early 1800s with work of Jordan and Gauss and then later in the century by Cayley, Hamilton and Sylvester.

En los próximos post, espero describri los contenidos de sus capítulos

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 15 de Junio, 2016, 6:15

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Sean dos números naturales cualquiera, a y b. Entonces existen números únicos naturales q, r tales que:

Cumpliendo:

Examinemos el conjunto de pares q, r que cumplen la primera condición. Si a < b, entonces se cumple:

Y q=0, r=a. Si a >= b entonces se cumple:

Y q=1, r=a-b. Tenemos entonces que el conjunto de los pares q, r no es vacío. Tomemos los valores de los r, que son naturales. Por propiedad de los conjuntos de números naturales, hay un valor que es el mínimo. Sea ese valor r >= b, con a=qb+4. Pero entonces:

Y q+1, r-b también existe, y r-b < r que era el mínimo, contrariamente a lo supuesto.

Esto demuestra que, al existir el mínimo r natural tal que a = qb + r, éste es 0 <= r < b, como se quería demostrar.

Es una interesante propiedad, conocida como el algoritmo de división. Vean que no usamos primos: es algo de los números naturales. Fácilmente se puede extender a los enteros, obteniendo un resto r que sea menor o igual en valor absoluto al valor absoluto de b.

Veremos en próximo post, cómo este algoritmo permite establecer el máximo común divisor de a y b, y de nuevo llegaremos a probar que si el número p primo divide al producto de dos números cualesquiera ab, entonces divide al número a o divide al número b. En anterior post vimos la demostración de esta importante propiedad de los números primos. En otras estructuras, es prácticamente LA DEFINICION de algo primo, pero por ahora estamos explorando los números naturales y enteros.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 14 de Junio, 2016, 5:40

Uno de los libros de matemáticas que estuve leyendo en este tiempo, es el "Abstract Algebra, Structure and Application" de David R. Finston y Patrick J. Morandi, editado por Springer. Es un libro que se adentra en algunos conceptos de álgebra abstracta, pero siempre teniendo a la vista alguna aplicación concreta. Esto hace que sea interesante de leer, y una buena introducción a temas más especializados o más matemáticos/abstractos.

Quiero describir brevemente su contenido.

Capítulo 1: Identification Numbers and Modular Arithmetic

Donde describen algunos números como los códigos ZIP de EE.UU., el Universal Product Code, los International Standard Book Numbers. Esto sirve para introducir la aritmética modular, y la detección de errores en esos números.

Capítulo 2: Error Correcting Codes

Expande el tema del anterior capítulo, introduciendo la eliminación gaussiana en la resolución de matrices y sistemas de ecuaciones, y los primeros espacios vectoriales. Aparecen los códigos de Hamming para corregir errores. Para encontrar más fácilmente el error en un código, discuten el co-conjunto (coset) de decodificación, y síndromes. Es interesante para mí encontrar esta aplicación, que no conocía. Describen el código Golay extendido usado por la NASA en los ochenta y noventa del siglo pasado, para transmitir imágenes de Júpiter y Saturno tomadas por el Voyager.

Capítulo 3: Rings and Fields

Aparece el álgebra más abstracta, partiendo de los conceptos de números como enteros, reales, complejos. Definen anillo y sus primeras propiedades. Asumen en general que en un anillo R la unidad y el cero son distintos. Muestran algunos ejemplos, como el anillo de matrices cuadradas, y otros sobre funciones continuas, los polinomios R[x], y las operaciones de unión e intersección de conjuntos. Aparecen los anillos Zn sobre los enteros. Es natural entonces pasar a los campos, los racionales, el campo de fracciones de un anillo, los reales y complejos. Así como los primeros ejemplos de extensión de un campo, como cuando agregan raíz cuadrada de 2 al campo de los racionales.

Capítulo 4: Linear Algebra and Linear Codes

Se tratan los espacios vectoriales, con propiedades y primeros ejemplos; los subespacios vectoriales; independencia lineal; generación (spanning) y bases. Mencionan pero no prueban la existencia de una base. Definen transformaciones lineales, su relación con matrices en caso de espacios vectoriales con dimensión finita, la igualdad de las trazas de matrices nxn similares. Y como aplicación ponen los códigos lineales, subespacios de Z2 a la n ("vectores" compuestos de n elementos que valen cero o uno).

Capítulo 5: Quotient Rings and Field Extensions

Interesante capítulo, donde aparecen las operaciones de los polinomios R[x], su algoritmo de división, el concepto de ideales de un anillo, ideal principal, F[x] como ideal principal si F es un campo, el cociente R/I y la demostración de que es un anillo si I es un ideal, elementos irreducibles en un anillo, polinomios irreducibles en el anillo F[x] donde F es campo. Visitados estos preliminares, aparece el gran tema de extensiones de campos. Una notable proposición F[x]/I es una extensión del campo F, si I=(f) es el ideal generado por un polinomio irreducible f en F. También se cumple que si F[X]/(f) es campo, entonces f es irreducible. Retomando espacios vectoriales, se ve a la extensión K de F, como un F-espacio vectorial de K, y se define [K : F] su dimensión, un tema que cobrará relevancia en capítulos posteriores. En el caso f polinomio irreducible [F[x]/(f)] = grado de f. Se demuestra la fórmula de dimensión: si K es extensión de F, y L es extensión del campo K, se tiene [L : K][K : F] = [L : F], aun en los casos infinitos. Se conecta f irreducible con sus raíces alfa, mostrando que I = { g miembro de F[x] : g(alfa) = 0 } es un ideal. En resumen: con las raíces de un polinomio irreducible en F[x] se puede ir extendiendo el campo F. Se definen los números algebraicos.

Capítulo  6: Ruler and Compass Constructions

Un capítulo muy interesante porque aborda un tema que muchas veces no es tratado, o no es tratado en detalle: la construcción de números/segmentos usando regla y compás. Usando los resultados y conceptos de los capítulos anteriores muestra que estas construcciones van formando una cadena de campos partiendo de Q (los racionales), de tal manera que cada campo tiene la misma dimensión o el doble que la anterior. Con lo que solamente se construyen campos K tales que [K : Q] sea una potencia de dos. Pone contraejemplos de no construibles, como la trisección de un ángulo o la duplicación de un cubo, así como el resultado de Gauss de armar un polígono regular de 17 lados, cumpliendo 17-1 ser una potencia de dos (creo que Gauss no llegó a demostrar el resultado general). Es muy instructivo ver cómo se va desarrollando el argumento, y debe ser uno de los desarrollos abstractos dirigidos a resolver un problema concreto más interesante del libro.

Capítulo 7: Cyclic Codes

Vuelta a los códigos, construyendo sobre anillos cocientes de Z2[x], asegurando cierta corrección de errores. No recordaba esta aplicación de anillos cocientes sobre un anillo de polinomios. Aparecen los campos finitos también, así como los polinomios mínimos, sus raíces, y los códigos de Reed-Solomon.

Capítulo 8: Groups and Cryptography

Por primera vez, tratan el gran tema de grupos, y para estar acordes con su intención inicial, lo muestran relacionado con una de sus aplicaciones en criptografía. Definen subgrupos, enuncian y demuestran el teorema de Lagrange, y hasta el teorema de Euler-Fermat. Para criptografía, describen RSA (Rivest, Shamir, Adleman), y el uso de números primos en este sistema. Finalmente, mencionan la firma segura usando RSA.

Capítulo 9: The Structure of Groups

Mientras que en el anterior capítulo se usan grupos abelianos (conmutativos) acá se presentan las propiedades de grupos más generales, subgrupos, subgrupos normales, homomorfismos, núcleos, productos directos, grupos cocientes. Es una buena introducción a lo que es la matemática abstracta de una estructura.

Capítulo 10: Symmetry

Finalmente, vuelven sobre otra conexión entre álgebra y geometría (luego de la construcción con regla y compás). Discuten congruencias, isometrías, traslaciones, rotaciones, la preservación de las distancias y de los ángulos, el grupo lineal Gln(R), el grupo ortonormal On(R), su subgrupo SOn(R), reflexiones, composición de isometrías, isometrías en el plano, productos semidirectos, grupos de simetría, con ejemplos. Y culminan con la presentación y enumeración de grupos, por ejemplo, en frisos (7 grupos), y teselados del plano (17 grupos), cinco grupos de "lattice" (enrejado).

Realmente consiguen recorrer muchos temas interesantes, y dejan la puerta abierta para otros. Por ejemplo, sería interesante sumergirse en la teoría Galois, luego de ver las extensiones de campos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 31 de Mayo, 2016, 6:15

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En el anterior post vimos una propiedad importante de los números primos. Ver también mi serie: Números primos.

Hoy veremos una proposición simple, pero donde usaremos por primera vez el principio de inducción (con más precisión, una de sus formas). La proposición es: todo número natural es producto de números primos.

Es sencilla la demostración, si aplicamos inducción. Primero, suponemos:

Es claro que no hay primos que lo dividan, podemos decir que es el producto vacío de primos, considerando que el uno no es un primo.

Luego consideramos:

Y por inducción, suponemos que todos los números naturales menores que n son factorizables en primos. Para n mayor que uno hay dos caminos:

Por definición de primo, no tiene divisores primos más que él mismo. Es el producto de un solo primo, n mismo.

El otro camino, que sea compuesto, con por lo menos dos factores, naturales, mayores que 1:

Estamos manejando naturales, lo que implica que a y b no pueden ser mayores o iguales que n. Por hipótesis de inducción, son productos de primos. Entonces, el propio n es un producto de primos.

Este es un resultado simple, pero que muestra el trabajo de una demostración. Muchas veces tenemos propiedades "evidentes", pero aún así, en algún momento tenemos que luchar por la demostración. Matemáticas no es sólo demostración: ésta se encuentra solamente como uno de los pasos en el viaje matemático. Gran parte de las matemáticas es imaginación, poder creativo, darse cuenta de patrones y relaciones. Pero siempre es importante volver al rigor, y cualquier cosa que se proponga, tratar de encontrar la demostración adecuada.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 24 de Mayo, 2016, 5:40

Investigando algunos temas, esta semana me topé con el libro "A Course in Point Set Topology" de John B Conway, matemático americano, dedicado al análisis funcional. Tengo que estudiar ese tema, porque cada vez más va a aparecer en algunos posts que estoy escribiendo, como Matemáticas y Física Cuántica. Es interesante compartir por qué Conway escribe un libro sobre Topología General. He aquí la explicación, al comienzo del prefacio:

Point set topology was my first love in mathematics. I took the course as an undergraduate at Loyola University in New Orleans and my professor, Harry Fledderman, told me to go to the library and solve all the problems in the book while he tutored the other student who had signed up for the course. (Yes, I know it sounds strange today, but there were only two students in the course.) I kept a notebook with my solutions, and once a week I reported for his inspection of my work. I felt like a real mathematician learning real mathematics. It had a great influence on me and made me realize how much I wanted to be a mathematician. Even now I can"t tell you whether the love I have for point set topology was the cause of this feeling or whether that love was a consequence of this learning style. I was disappointed to later discover that research in this area had mostly petered out. I found equally attractive research areas in which to sow my oats, but I always retained this youthful love affair.

Es una forma muy interesante de estudiar matemáticas, y ya me he encontrado más de una vez con algún profesor que adopta este camino para un estudiante brillante.

Más adelante Conwayexplica las elecciones de contenido de este libro. Me gusta como plantea los temas, de lo particular a lo general:

Following my philosophy of beginning with the particular, I start with metric spaces. I believe that these are far easier to connect with students"experience. They also seem to me to be the more prevalent topological spaces used in other areas and are therefore worth extra emphasis. Chapter 2 defines and develops abstract topological spaces, with metric spaces as the source of inspiration. I narrow the discussion by quickly restricting the focus to Hausdorff spaces. Needless to say, some of the more elementary arguments in topological spaces are the same as those in metric spaces. There is no problem here; I just refer students to the metric space proof and invite them to carry out the analogous argument, which in most cases is almost identical.

Y toma una curiosa decisión en el último capítulo: concentranrse en las aplicaciones continuas antes que en las propiedades del espacio en estudio:

Chapter 3 concentrates on continuous real-valued functions. My belief is that the continuous functions on a space are more important than the underlying space. Maybe that"s because I"m an analyst. I know that much of modern topology concentrates on the underlying geometry of a space, but surely that must be saved until after the student has encountered the need.

Tengo que estudiar alguna parte, especialmente Espacios Métricos, para lo que estoy escribiendo.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 15 de Mayo, 2016, 6:50

Hoy comienzo una serie de un tema matemático que aparece en varias de mis lecturas, relacionado con otros temas como operadores funcionales. Es el tema de espacios métricos. Tiene relación con lo que estoy escribiendo en mi serie Topología General: de alguna forma, los espacios métricos son los "predecesores" de los espacios topológicos. Ambos se ocupan de conjuntos de elementos dando importancia a la "proximidad" de a pares. Pero mientras que en espacios topológicos esa proximidad se expresa en el sistema de entornos, y éstos se encuentran por el uso de los conjuntos abiertos de la topología, en los espacios métricos nos encontramos con la distancia entre dos "puntos" como el concepto base que permite construir los conjuntos cercanos de puntos.

A esos elementos los llamamos "puntos" simplemente por una analogía geométrico: los primeros ejemplos de espacios métricos que todos manejamos tienen una realización geométrica. Pero la gran motivación para el desarrollo de los espacios métricos se dio en el siglo XIX con otros conjuntos, notablemente relacionados con funciones. Ya llegaremos a ver esos ejemplos y aplicaciones.

Comencemos viendo la definición. Llamamos espacio métrico a un par, un conjunto X, y una función real, no negativa, definida entre dos puntos:

Tal que cumple los siguientes condiciones:



La segunda condición es el axioma de simetría. Y la tercera condición es el axioma triangular.

A esta función la llamaremos "métrica". También es común llamarla "distancia", justamente por su similitud con las distancias en geometría. Vemos que no basta con dar el conjunto X: hay casos donde sobre un mismo conjunto de base se pueden definir distintas métricas, que cumplen con las condiciones dadas.

Por eso el espacio métrico R es:

Siempre un par: un conjunto y una métrica.

En el próximo post veremos los primeros ejemplos de espacios métricos. Mi principal fuente para esta serie es el excelente clásico "Elementos de la Teoría de Funciones y Análisis Funcional", de Kolgomorov y Fomin. Tengo una edición de editorial Mir.

Nos leemos!

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Publicado el 14 de Mayo, 2016, 7:06

Hace unos años, mencioné en un post al libro de Hermann Weyl, muy conocido, The Theory of Groups and Quantum Mechanics. Hoy lo vuelvo a leer, y encuentro este fragmento al principio, que quiero comentar y compartir:

There exists, in my opinion, a plainly discernible parallelism between the more recent developments of mathematics and physics. Occidental mathematics has in past centuries broke away from the Greek view and followed a course which seen to have originated in India .and which has been transmitter with additions, to us by the Arabs; in it the concept of number appears as logically prior to the concepts of geometry. The result of this has been that we have applied this systematicall I developed number concept to all branches, irrespective of whether it is most appropriate for these particular applications. But the present trend in mathematics is clearly in the direction of the return to the Greek standpoint; we now look upon each branch of mathematics as determining its own characteristic domain of quantities. The algebraise of the present day considers the continuum of real or complex numbers as merely one "field ': among many; the recent axiomatic foundation of projectire geometry may be considered as the geometric counterpart of this view. This newer mathematics, including the modern theory of groups and "abstract algebra," is clearly motivated by a spirit different from that of" classical mathematics," which found its highest expression in the theory of functions of a complex variable. The continuum of real numbers has retained its ancient prerogative in physics for the expression of physicall measurements, but it can justly be maintained that the essence of the new Heisenberg-Schrodinger-Dirac quantum mechanics is to be found in the fact that there is associated with each physical system a set of quantities, constituting a non-commutative algebra in the technical mathematical sense, the elements of which are the physical quantities themselves.

Es interesante notar como contrapone el desarrollo algebraico con el geométrico. Agregaría que el desarrollo algebraico, incluso de la geometría, tuvo un gran impulso con Descartes, y sus coordenadas cartesianas, que llevó el álgebra al estudio de curvas y otros elementos en el plano y en el espacio.

También es interesante destacar cómo menciona a la aplicación de los números reales a la física, pero que no necesariamente es el camino a seguir. La aparición de la no conmutatividad y las cantidades no continuas ha hecho replantear los métodos matemáticos aplicados a la física moderna. Hasta la aplicación de los números complejos es relativamente moderna (ver Números Complejos en Mecánica Cuántica, La Ecuación de Schrödinger (10) Un Comentario Sobre Números Complejos).

Podemos encontrar la revindicación de la geometría en la obra física de Penrose (leer "el Penrose"). Y las teorías de la relatividad de Einstein vuelven a poner la geometría, sin sistemas de coordenadas de base,  y las simetrías, como fundamental en la comprensión de los fenómenos físicos.

Nos leemos!

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Publicado el 15 de Abril, 2016, 5:42

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De nuevo, tantos temas interesantes. Ver por ejemplo teoría de nudos, simetrías y grupos, biografías, teoría de tipos con homotopías, el artículo sobre matemáticas de Edward Frenkel...

The Geometry Junkyard: Symmetry and Group Theory
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/sym.html

The Geometry Junkyard: Knot Theory
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/knot.html

The Geometry Junkyard: Topics
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/topic.html

Quick Study: Edward Frenkel on math: It's a lot like borscht | The Economist
http://www.economist.com/blogs/prospero/2013/12/quick-study-edward-frenkel-math

Cremona biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cremona.html

15-819 Homotopy Type Theory
http://www.cs.cmu.edu/~rwh/courses/hott/?utm_medium=referral&utm_source=t.co

Recubriendo con "garfios" - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/recubriendo-con-garfios/

Disparando en marcha - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/disparando-en-marcha/

Pikasle
http://pikasle.com/es/inicio/

Número 8 de la revista online de matemáticas “PIkasle”
http://gaussianos.com/numero-8-de-la-revista-online-de-matematicas-pikasle/

Geometría rica en fibra - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/geometria-rica-en-fibra/

Siempre menor y a veces divisor - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/siempre-menor-y-veces-divisor/

Sistemas de recomendación desmenuzados
http://pablozivic.com.ar/post/37131318635/sistemas-de-recomendacion-desmenuzados

Wilkins biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Wilkins.html

Jim Loy's Mathematics Page
http://www.jimloy.com/math/math.htm

Jim Loy's Puzzle Page
http://www.jimloy.com/puzz/puzz.htm

(Vídeo) Doodling in Math Class: Dragon Dungeons - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/video-doodling-math-class-dragon-dungeons/

Dehn biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Dehn.html

Si partimos de algo falso podemos demostrar cualquier cosa - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/si-partimos-de-algo-falso-podemos-demostrar-cualquier-cosa/

Gödel's Incompleteness Theorem (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/goedel-incompleteness/

Prueba la desigualdad - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/prueba-la-desigualdad/

Mis Enlaces
https://delicious.com/ajlopez/mathematics

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Publicado el 27 de Marzo, 2016, 8:03

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En el post … habíamos llegado a la expresión:

Con p y q de distinta paridad (uno impar y otro par). Demostramos ahí que pueden ocurrir dos casos:

Es decir, son primos entre sí, o bien

Tienen factor común al 3.

Vayamos hoy por el primer caso. Los dos factores de z al cubo:

y

NO TIENEN factores comunes. Entonces, cada uno de ellos es un cubo perfecto. Veámoslo. Si el primo k divide a uno de los factores, digamos:

Entonces p divide a z al cubo:

Como k es primo, se tiene entonces que que también divide a z:

Y queda que:

Como ese factor p no puede estar en el otro factor:

Entonces, aparece al menos como potencia cúbica en el primer factor:

Eso para cualquier primo de este factor. Queda que cada primo aparece como potencia 3 o múltiplo de 3, quedando:

Para algún entero s. Por el mismo razonamiento (algo largo pero elemental) llegaríamos a:

Ahora bien. Vimos en los anteriores posts qué interesante puede ser considerar:

Es una identidad fascinante. De hecho, da una pauta de cómo pueden ser todos los números que son suma de un cuadrado y el triple de un cuadrado. Algo que no pasó desapercibido ni para Fermat ni para Euler. Es un tema interesante por sí mismo, pero quedará para otra oportunidad. (ver mientras tanto p = x2 + y2 )

Sin embargo, ese camino no está exento de problemas. Ya estuvimos examinado la raíz de la cuestión: Euler presupuso la factorización única de factores primos en ese nuevo sistema de números que incluye a la raíz cuadrada de menos 3. Y eso no es verdad. Luego volveremos a tratar de solucionar esta otra prueba, usando otro campo de números más sutil que el planteado originalmente por Euler.

Veamos otro camino, que apela a números enteros solamente. Como p y q tienen distinta paridad, el factor:

Es impar. Tratemos de descomponerlo en factores impares. Podríamos pensar en que su raíz cúbica tiene la misma forma:

No es un camino descabellado. Pero no es fácil de probar. Lo que podemos probar primero es que un factor así PUEDE ser la raíz cúbica pedida. Luego, más adelante, probaremos que TODO FACTOR primo de nuestro cubo perfecto TIENE esa forma necesariamente.

Veamos hoy un lema que nos va a ayudar, y que era conocido por Euler: la multiplicación de dos polinomios de la forma a2+3b2 da como resultado un polinomio de la misma forma. Esto es notablemente similar a otro resultado que apareción en este blog: la multiplicación de dos sumas de cuadrados, da suma de dos cuadrados.

Multipliquemos dos polinomios de esa forma:


Tenemos la esperanza de separar este resultado en la suma de un cuadrado y el triple de un cuadrado. Respiremos hondo, sumemos y restemos la combinación adecuada de abcd, y reordenemos:



MILAGRO! Obtenemos un polinomio de la misma forma: la suma de un cuadrado y del triple de un cuadrado.
Esto nos dice que no es impensable que sea posible:

Pero todavía falta camino para llegar a eso necesariamente. El lema nos dice que pueden existir c y d, pero no dice que NECESARIAMENTE existan. Eso es lo que nos falta probar.

Veamos un camino para justificar un poco el "milagro" de arriba (es casi seguro que este camino es el que inspiró a Euler):



Reordenando:

El producto de los dos primeros factores es el conjugado complejo del producto de los dos últimos factores, como es de esperar, da un resultado real. Calculemos el primero de esos números:

Poniendo:


Queda




Es decir, queda el lema que habíamos demostrado más arriba: la forma a2+3b2 se conserva por multiplicaciones.

Tarea para el hogar: conseguir otras formas que se conservan así.

La demostración del lema sin apelar a números complejos la encontré en:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/06/fermats-last-theorem-n-3.html

A su vez, ese lema es usado para demostrar el "key lemma" en el post:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html

Para demostrar el "key lemma" ese post usa también un lema más poderoso que tenemos que estudiar:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-a2-3b2.html

Ver la cadena de posts:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-1.html
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-2.html
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-3.html (éste es el que usa el "key lemma")
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-4.html

Donde todo se engarza desde:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html

Nos leemos!

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Publicado el 23 de Marzo, 2016, 6:46

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A los matemáticos les gusta mostrar demostraciones de lo que afirman. Si bien hay encanto en simplemente explorar un tema, y enunciar resultados interesantes, llega el momento donde los demás pedirán una demostración. Ha quedado en la historia como ejemplo de enunciados con demostración el monumental Elementos, de Euclides. Desde los antiguos griegos, se persigue ese ideal: demostrar enunciados verdaderos, partiendo de un conjunto (generalmente pequeño) de axiomas, nociones y reglas de inferencia.

Examinemos lo enumarado recién. Un enunciado es una afirmación (o negación, otra forma si quiere verse de afirmar algo). No es cualquier sentencia, como "hola". Son enunciados que expresan relaciones entre los conceptos de la rama matemática que se esté examinando. Por ejemplo: "todos los triángulos con un ángulo igual y dos lados iguales, son iguales".  Si bien se afirma con lenguaje humano, los matemáticos han sabido formar un lenguaje más formal para afirmar enunciados. Por ejemplo, tenemos que estar seguros de qué es un "triángulo", qué es un "ángulo", qué es un "lado", y qué signifca eso de "un ángulo igual a otro" y lo mismo para los lados. Cuestiones que parecen sencillas, no lo son tanto, y merecen mayor atención.

Notablemente, lo que parecía evidente, los axiomas que tomó Euclides, como los únicos posibles, se vió en el siglo XIX que no era la única geometría "válidad". Se describieron geometrías no euclideanas, que se apartaban de las nociones de sentido común, pero tan "verdaderas" como la original, pues eran territorios matemáticos consistentes.

Luego, tenemos el concepto de enunciado verdadero. Acá, verdad se usa en sentido matemático: lo que se afirma ¿realmente ocurre en el mundo matemático que estamos tratando? Por ejemplo, el enunciado "todo número par es la suma de dos primos" (la famosa conjetura de Goldbach), ¿es verdad? Si pudiéramos examinar todos los pares de un solo golpe, si tuviéramos la capacidad de ver en un momento todas las sumas de pares de primos, y viéramos que no hay número par que no pueda ser expresado de esa forma, sabríamos que el enunciado es verdadero. Pero aún sin esas notables capacidades, los matemáticos saben algo: o es verdadero o es falso. Lo que no tienen hoy, es una demostración de la falsedad o verdad del enunciado. Entonces, se dice, todavía no es un teorema demostrado, sólo una conjetura. Lo que podemos rescatar de este ejemplo, es que el concepto de "verdad" en matemática es más firme y claro que el mismo concepto en los asuntos humanos. Una vez bien definidos los conceptos y relaciones, se sabe cómo mostrar que es verdadero o falso. En el caso de la conjetura de Goldbach, dando para cada par una suma de dos primos que lo de como resultado, o mostrando un contra ejemplo. El problema no es mostrar, sino demostrar: dar una serie de pasos, que partiendo de otros enunciados (axiomas o teoremas demostrados) llegar al enunciado destino, demostrándolo o refutándolo. Ese es el gran juego de las matemáticas.

Uno podría esperar que todo sistema matemático que se ocupe de un área, por ejemplo, de la teoría de números o de la geometría, pueda generar demostraciones para todos los ENUNCIADOS verdaderos. Otra cualidad que se espera, es que no genere nunca un enunciado FALSO. Tendremos que ir examinando de cuales tipos de sistemas matemáticos se ocupa el teorema de Gödel (todavía no lo enunciamos, pero en el fondo son DOS teoremas). Y qué afirma sobre estas cualidades esperables de esos sistemas. De alguna forma, el resultado de Gödel derriba la esperanza puesta en algunos sistemas. Tanto el resultado como la demostración son notables. Pero tampoco hay que sacar conclusiones exageradas. Iremos paso a paso, para realmente apreciar su trabajo, aprender de lógica matemática y fundamentos de matemáticas, y saber sopesar en justa medida las consecuencias de sus teoremas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 22 de Marzo, 2016, 6:05

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Siguen los temas de teoría de categorías, y aparecen trigonometría, geometría, biografías...

Weyl biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Weyl.html

The Math Trick Behind MP3s, JPEGs, and Homer Simpson"s Face - Facts So Romantic - Nautilus
http://nautil.us/blog/the-math-trick-behind-mp3s-jpegs-and-homer-simpsons-face

Demostrando "pitagóricamente" la validez de la fórmula del seno de la suma - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/demostrando-pitagoricamente-la-validez-de-la-formula-del-seno-de-la-suma/

Relaciones entre dos triángulos
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Becoming an Expert Statistician (or Mathematician or Programmer) : AnnMaria"s Blog
http://www.thejuliagroup.com/blog/?p=2157

The Haskell Road
http://homepages.cwi.nl/~jve/HR/

Ni un numero mas
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jrjohansson/scientific-python-lectures
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Haskell/Category theory - Wikibooks, collection of open-content textbooks
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(Video) La belleza de las matemáticas - Gaussianos | Gaussianos
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These chromatic mathematical figures by @simoncpage are gorgeous to behold |
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Frobenius biography
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(Vídeo) Solución en 3D para el enigma de los azulejos que aparecen y desaparecen - Gaussianos | Gaussianos
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Harald Andrés Helfgott nos habla sobre su demostración de la conjetura débil de Goldbach - Gaussianos | Gaussianos
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La historia del método de Newton-Raphson y otro caso más de mala documentación en el cine - Gaussianos | Gaussianos
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Todos los dígitos iguales - Gaussianos | Gaussianos
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Recopilación de relojes matemáticos - Gaussianos | Gaussianos
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Python Scientific Lecture Notes — Scipy lecture notes
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Matemáticos que han recibido un Premio Nobel - Gaussianos | Gaussianos
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Publicado el 16 de Marzo, 2016, 5:47

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Es notoriamente difícil contestar a la pregunta de esta serie de posts: ¿de qué tratan las matemáticas? Por lo menos, no hay una respuesta corta. Un intento de respuesta es enumerar las principales ramas.

La primera gran división es: álgebra, geometría y análisis. Las tres tienen una larga historia, pero hay que reconocer que la que tiene más peso histórico es la geometría, gracias a los avances en la antigua Grecia. Es con los Elementos de Euclides donde el pensamiento matemático griego alcanza la madurez y algo más. Y aunque hay ahí temas de teoría de números, es la geometría la que se lleva la palma. Para los griegos, el resolver problemas numéricos no parece haber llamado la atención, y quedan relegados a ciencias prácticas, como la astronomía.

En álgebra, encontramos operaciones con números Y VARIABLES. Eso es la novedad del tema: no solamente operar con números concretos, sino también con variables indeterminadas. No siempre quedaron explícitas esas variables: nuestra notación actual, con sus equis e y-griegas, sólo apareció hace unos siglos.

El análisis, con un gran antecesor en Arquímedes, sólo floreció con la llegada del cálculo infinitesimal, de la mano de Newton y Leibnitz, pero también de otros, que hicieron de esta rama de las matemáticas una de las más fructíferas, gracias a su relación con temas aplicados de física. Hasta podríamos decir que la geometría pura quedó relegada, ante el avance del álgebra y del análisis.

Pero las matemáticas no se agotan en estas tres ramas. La teoría de números es un caso que se deriva si consideramos solamente números enteros. Y hay grandes extensiones de esta rama, si consideramos otros "enteros", como los enteros algebraicos y los enteros de Gauss. Las estructuras, como grupo y anillo, surgieron a partir del siglo XIX, pero vieron su esplendor en el siglo XX, donde sentaron las bases de generalizaciones que van más allá de la simple álgebra de números y variables. De alguna forma, en el siglo XX el álgebra y la geometría se reconcialiaron, al manejar estructuras que involucran a conceptos de ambas ramas. La topología puede considerarse por un lado, extensión de un análisis sin métrica pero con continuidad. Por otro lado, como extensión del álgebra, en el caso de las estructuras de la topología algebraica.

Y claro que hay todavía más ramas para explorar, como la probabilidad, la teoría de categorías, la lógica matemática.

Otras respuestas, que vamos a explorar, se basan en mostrar qué tipos de cuestiones resuelven las matemáticas. Esto también es interesante: a veces, al estudiar los problemas, surgen que dos áreas aparentemente alejadas de las matemáticas, se interesan en las mismas cuestiones y respuestas. Esto ha ido pasando a través de la historia de las disciplinas, y es notable encontrar relaciones entre áreas que al principio parecen muy distintas.

Siguientes posts: álgebra vs geometría, álgebra vs análisis, y después, sí, comentar algo de cada gran rama actual de las matemáticas, hasta llegar a las cuestiones que se tratan de resolver.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 15 de Marzo, 2016, 6:07

Cuando alguien menciona matemáticas, muchas personas imaginan que se trata de números y operaciones sobre números. Pero es mucho más que eso: las matemáticas abarcan estructuras y relaciones que van mucho más allá de los números. Podemos mencionar la geometría como una rama de las matemáticas donde los números apenas si aparecen. Pero en los últimos siglos se han ido sumando más especímenes matemáticos que apenas recuerdan a los números.

Sin embargo, los números siguen jugando un papel importante. Todos conocemos los números naturales, como 1, 2, y demás. Se tuvieron que "inventar" los números negativos para que expresiones como 2 menos 5 tuvieran "sentido". La historia de la aparición de los números negativos es notable, si hasta el siglo XIX matemáticos negaban su "existencia", considerándolos soluciones a problemas mal planteados.

Los números racionales nacen, de similar manera, para poder operar con expresiones como 2 divido 3.  Y finalmente, los reales completaron los números a los que estamos acostumbrados, llenando "espacios" que los racionales no llenaban. Es clásico el descubrimiento pitagórico de que la raíz cuadrada de 2 no puede expresarse por ninguna razón entre números naturales. Los racionales "no bastan" para llenar la recta.

Menos conocidos, para el público en general, son los números complejos. Ver:

Números Complejos
Gauss y la Importancia de los Números Complejos

y su notable aparición en física:

Números Complejos en Mecánica Cuántica
La Ecuación de Schrodinger (10) Un Comentario sobre Números Complejos

(en realidad, es notable, en retrospectiva, la aparición de números reales en la física; hoy, quizás, haya que revisar su adecuación a la realidad última, en vista de los modelos cuánticos).

Los números complejos tardaron siglos en aparecer en el desarrollo matemático, y su aparición se debió a la necesidad de encontrar soluciones a ecuaciones como:

Se fue viendo, a lo largo de los años, que era conveniente y fructífero considerar que la ecuación de arriba tenía una solución (la raíz cuadrada de menos uno), que considerar que no tenía ninguna. Es más, aún ecuaciones como:

O como:

Tienen soluciones en números complejos. No necesitamos más que los números complejos para conseguir todas las soluciones de este tipo de ecuaciones en una variable. Es un resultado fundamental del álgebra, que fue alcanzado con bastante trabajo, y varias demostraciones no triviales, algunas incompletas.

De alguna forma, todos esperamos que un sistema de números posea algunas propiedades. Dos números se deben poder sumar, y el resultado debe ser un número del mismo sistema. Dos números se debe poder multiplicar, y el resultado debe ser un número del mismo sistema.

Si agregamos la operación de resta (inversa de la suma) sólo a partir de los números enteros tenemos asegurada la existencia de solución. Y si agregamos la operación de división (inversa de la multiplicación) debemos apelar a por lo menos los números racionales para asegurar la existencia de solución. De alguna forma, estos sistemas de números están encajados unos en otros, como muñecas rusas.

Pero cabe preguntarse: ¿hay otros sistemas de números? Si los hay, ¿cumplen con todas las características que les pedimos a los sistemas más conocidos?

Veremos en esta serie de posts que hay otros sistemas de números, pero a veces, hay que abandonar algunas de las propiedades comunes. Es notable que existan sistemas de números donde no se cumple la conmutatividad de la multiplicación, y otros donde no se cumpla la asociatividad. O que haya sistemas de números que cumplan con todo lo esperado, pero que sean más grandes que los racionales y menos que los reales.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 14 de Marzo, 2016, 5:44

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Ya había anticipado el tema de esta serie de post, en La fórmula multiplicativa de la indicatriz. En el primer post, mencioné a la función indicatriz de Euler, vieja conocida de este blog, ver también La función indicatriz de Euler, Calculando la función indicatriz de Euler, Una propiedad de la indicatriz de Euler.

Veamos hoy de seguir con el tema de funciones multiplicativas, pero usando como ejemplo a la función indicatriz. Hay una propiedad interesante que pueden tener. Si dos números n, m son primos entre sí:

Es decir, tienen máximo común divisor igual a uno. Entonces si se cumple para la función aritmética f:

Entonces se dice que es función multiplicativa. Sólo se exige esta propiedad cuando los números m, n son primos entre sí.

La función indicatriz es multiplicativa, y algo de la demostración estaba en los posts mencionados. Veamos de de mostrarla de nuevo, de otra manera.

Sabemos que cuando p es primo, entonces:

¿Cuál es el valor de la indicatriz para una potencia de p? Sea que queremos calcular:

En este casos, los que NO son primos con palfa son:

Que si los contamos, son 1 de cada p números:

Restando del total de números, los que son no primos con palfa, nos queda la cantidad de los que SI SON PRIMOS:

Esto nos sirve como preliminar para encarar la demostración de la propiedad multiplicativa.

Veamos otra propiedad más general que nos va a ayudar. Si sabemos que dos números son primos entre sí:

Entonces también se cumple:

Y en general, para cualquier k:

En particular, tomemos a m = np, como un múltiplo de un primo p:

Entonces:

Es decir, si tomamos los números de 1 a m = np:

Algunos serán primos con m y otros no. Pero si ponemos los números de 1 a 2m:

El patrón de números primos se repite. Para fijar ideas, sea m = 3*2. Los números:

Tienen algunos que son primos con 6 (marcados con un asterisco). Si los repetimos hasta llegar a doce:

El patrón de asteriscos ES EL MISMO, el 1 y el 5, se "repiten" en el 7 y el 11. Se "repiten" los primos con 6, pero no aparecen nuevos. Y no aparecen nuevos, pues si:

Entonces

Y como p divide a m, también se tiene:

Y se sigue

Es decir, que en este caso, cuando a un número a con asterisco se le suma m, dando a+m, sigue con asterisco, y si no tiene, tampoco lo tiene el nuevo a+m.

Es interesante ver cómo el máximo común divisor se "mantiene" en 1 o en mayor que 1, por más que se cambie m por mp, o mpp, o mppp, o por más que se sume km cualquiera. Todo esto siempre que m sea divisible por p.

En el próximo post veremos qué pasa si m no es divisible por p, cuál es la fórmula para la cantidad de números primos con mp.

En próximos post seguimos con propiedades de las funciones aritméticas, como ¿habrá otras funciones multiplicativas? ¿será la función de Moebius multiplicativa? ¿qué otras propiedades tiene la función indicatriz? Veremos que hay también funciones COMPLETAMENTE multiplicativas, y funciones aditivas. Ver

Arithmetic function

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Publicado el 8 de Marzo, 2016, 5:49

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Temas interesantes, como el error de Euler en Fermat n = 3, una demostración fallida de la hipótesis de Riemman. En el trabajo de Riemman, pero primero en el de Dirichlet, aparecen los caracteres en grupos abelianos. Hay más artículos sobre el tema "gap" entre primos. Los números pentagonales aparecen en lo que estoy investigando de particiones de números.

Character theory - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Character_theory

Selberg sieve - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Selberg_sieve

Legendre's conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_conjecture

Prime gap - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap

Sieve theory - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_theory

Elliott–Halberstam conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Elliott%E2%80%93Halberstam_conjecture

Yitang Zhang - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang

Introducción a la Teoría Analítica de Números
http://mate.dm.uba.ar/~pdenapo/teoria_analitica_de_numeros/index.html

New largest prime number found
http://phys.org/news/2016-01-largest-prime.html

Fermat's Last Theorem: Euler's Mistake
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/06/eulers-mistake.html

The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof : Nature News & Comment
http://www.nature.com/news/the-biggest-mystery-in-mathematics-shinichi-mochizuki-and-the-impenetrable-proof-1.18509

Riemann Hypothesis not proved | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2015/11/riemann-hypothesis-not-proved/

[math/0505373] On the remarkable properties of the pentagonal numbers
http://arxiv.org/abs/math/0505373

Wiles' proof of Fermat's Last Theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Wiles%27_proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem

Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem_for_specific_exponents

Math Forum - Ask Dr. Math
http://mathforum.org/library/drmath/view/51546.html

Open Problems That Might Be Easy | Gödel's Lost Letter and P=NP
https://rjlipton.wordpress.com/2015/09/03/open-problems-that-might-be-easy/

Elementary Number Theory
http://wstein.org/ent/ent.pdf

What is number theory? - HowStuffWorks
http://science.howstuffworks.com/math-concepts/number-theory.htm

Journal of Number Theory - Elsevier
http://www.journals.elsevier.com/journal-of-number-theory/

Elementary Number Theory
http://wstein.org/ent/

International Journal of Number Theory (World Scientific)
http://www.worldscientific.com/worldscinet/ijnt

An Introduction to Number Theory : nrich.maths.org
http://nrich.maths.org/4352

NUMBER THEORY WEB
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Publicado el 5 de Marzo, 2016, 17:04

Inicio hoy una serie de posts sobre un tema que siempre vuelve a mi radar: el resultado de Kurt Gödel sobre la incompletitud de algunos sistemas de axiomas. Es uno de esos temas que siempre se tratan en obras de divulgación, pero hasta ahí: muchas veces sin demostración rigurosa, salteando el lenguaje necesario para realmente comprender lo que hizo Godel, y estirando los resultados a zonas fueras de la matemática, dando campo fértil para el sin-sentido o la analogía sin freno.

Comienzo hoy citando un párrafo del comienzo de mi fuente principal, el excelente libro "Gödel para todos", de Guillermo Martinez y Gustavo Piñeiro (mi intención es apenas pasar en limpio para mí en esta serie de posts lo que vaya aprendiendo de ese libro):

El Teorema de Incompletitud de Gödel es uno de los resultados más profundos y paradójicos de la lógica matemática. Es también, quizás, el teorema que ha ejercido más fascinación en ámbitos alejados de las ciencias exactas. Ha sido citado en disciplinas tan diversas como la semiótica y el psicoanálisis, la filosofía y las ciencias políticas. Autores como Kristeva, Lacan, Debray, Deleuze, Lyotard, y muchos otros, han invocado a Gödel y sus teoremas en arriesgadas analogías. Junto con otras palabras mágias de la escena posmoderna como "caos", "fractal", "indeterminación", "aleatoriedad", el fenómeno de incompletitud se ha asociado también a supuestas derrotas de la razón y al fin de la certidumbre en el terreno más exclusivo del pensamiento: el reino de las fórmulas exactas. Pero, también, desde el interiore de la ciencia se escrime el Teorema de Gödel en agudas controversias epistemológicas, como la que rodea las discusiones sobre inteligencia artificial. Surgido casi a la par de la Teoría de la Relatividad, y de manera quizás más sigilosa, el Teorema de Gödel se ha convertido en una pieza fundamental y una referencia ineludible del pensamiento contemporáneo.

Me apresuro a afirmar que mi postura es que el Teorema de Gödel se ha ido tomando para "el churrete", como se dice acá en Argentina, es decir, que se lo ha estirado para soportar cualquier cosa, sin mayor fundamento. Lo que me interesa en esta serie de post es mostrar y deleitarme en las ideas poderosas de Gödel, en un ámbito, la lógica matemática, que no es habitual en mis curiosidades. Y espero poder transmitirles parte de esa elegancia y sorpresa que rodea a la demostración (hay varias demostraciones, todas de alguna forma comparten esas cualidades).

Pero también se juegan cuestiones matemáticas que espero comentar, como el contexto histórico de la aparición del resultado de Gödel, la aparición de las geometrías no euclideanas, la teoría de conjuntos, las paradojas lógias que habían comenzado a aparecer en lógica matemática, el formalismo de Hilbert, el intuicionismo de Bower, y más.

Otras fuentes a consultar:

"Gödel, los teoremas de incompletitud", biografía de Gustavo Ernesto Piñeiro.
"Gödel, paradoja y vida" de Rebecca Goldstein.
Y la primera vez que me encontré con el trabajo de Gödel, en el artículo clásico del Scientific American: "El teorema de Gödel", de Ernst Nagel y James Newman, luego publicado varias veces y extendido como libro.
Y el libro de cabecera de cualquier "geek" que se precie: "Gödel, Escher y Bach, un eterno y grácil bucle" de Douglas Hofstadter.

Ya apareció Gödel en este blog en:

Gödel, Einstein y la constitución americana
Abstracción y Matemáticas, según Von Neumann
Gödel y Einstein en Princeton
Física y Matemáticas, según Einstein

La biografía de Gödel escrita por Gustavo Ernesto Piñeiro apareción mencionada en:

Bertrand Russell, Smith y el Papa
Series de Fourier, Heine y Cantor

Visitar el blog de Guillermo Martinez: http://guillermomartinezweb.blogspot.com.ar/
Y el de Piñeiro: http://eltopologico.blogspot.com.ar/

Ver What is Godel's Theorem?

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Publicado el 27 de Febrero, 2016, 15:31

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Selberg sieve - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Selberg_sieve

Legendre's conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_conjecture

Sieve theory - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_theory

Yitang Zhang - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang

Introducción a la Teoría Analítica de Números
http://mate.dm.uba.ar/~pdenapo/teoria_analitica_de_numeros/index.html

Enfrentándose a la hipótesis de Riemann « MiGUi
http://www.migui.com/ciencias/matematicas/enfrentandose-a-la-hipotesis-de-riemann.html

El regreso a la hipótesis de Riemann - La Opinión de Málaga
http://www.laopiniondemalaga.es/opinion/2015/02/21/regreso-hipotesis-riemann/745293.html

[math/0505373] On the remarkable properties of the pentagonal numbers
http://arxiv.org/abs/math/0505373

Euler function - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_function

Wiles' proof of Fermat's Last Theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Wiles%27_proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem

www.johndcook.com
http://www.johndcook.com/ChebyshevPolynomials.pdf

Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem_for_specific_exponents

Math Forum - Ask Dr. Math
http://mathforum.org/library/drmath/view/51546.html

Perko pair - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Perko_pair

[math/0108072] Notes to the early history of the Knot Theory in Japan
http://arxiv.org/abs/math/0108072

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Publicado el 22 de Febrero, 2016, 5:27

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Siempre hay temas interesantes. Ver teoría de categorías, problemas de gaussianos, el teorema de Turan.

Category Theory - Dr Richard Garner - Macquarie University - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=ZJNA0hYmHmY&feature=youtu.be

Mortgages, banks, and Jensen's inequality | The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2009/08/26/mortgages-banks-and-jensens-inequality/

Nueva imagen del poliedro de Csaszar: Ã ngel - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/nueva-imagen-del-poliedro-de-csaszar-angel/

No es un cuadrado - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/es-un-cuadrado/

Cosas raras provocadas por el infinito - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/cosas-raras-provocadas-por-el-infinito/

The Existential Risk of Mathematical Error
http://www.gwern.net/The%20Existential%20Risk%20of%20Mathematical%20Error

10 Reasons Python Rocks for Research (And a Few Reasons it Doesn’t) â€" Hoyt Koepke
http://www.stat.washington.edu/~hoytak/blog/whypython.html

Encuentra todas las funciones - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/encuentra-todas-las-funciones/

Animate Your Way to Glory â€" Acko.net
http://acko.net/blog/animate-your-way-to-glory/

To Infinity And Beyond! Acko.net
http://acko.net/blog/to-infinity-and-beyond/

the Nature of Associative Property of Algebra
http://xahlee.info/math/nature_of_associative_property_of_algebra.html

El teorema de Turan: el comienzo de la teorí­a de grafos extrema - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/el-teorema-de-turan-el-comienzo-de-la-teoria-de-grafos-extrema/

El libro de las demostraciones: Amazon.co.uk: Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Lourdes Figueiras Ocaña, Julián Pfeifle, Pedro A. Ramos: Books
http://www.amazon.co.uk/libro-las-demostraciones-Martin-Aigner/dp/8495599953

(Documental) La música de los números primos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/documental-la-musica-de-los-numeros-primos/

Daily Kos: Breakthrough in Quantum Physics May Do Away with Space-Time, Lead to Ultimate Theory
http://www.dailykos.com/story/2013/09/19/1239942/-Breakthrough-in-Quantum-Physics-May-Do-Away-with-Space-Time-Lead-to-Ultimate-Theory

Yitang Zhang Proves 'Landmark' Theorem in Distribution of Prime Numbers | Simons Foundation
https://www.simonsfoundation.org/quanta/20130519-unheralded-mathematician-bridges-the-prime-gap/

Physicists Discover Geometry Underlying Particle Physics | Simons Foundation
https://www.simonsfoundation.org/quanta/20130917-a-jewel-at-the-heart-of-quantum-physics/

Las matemáticas y los Ig Nobel - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/las-matematicas-y-los-ig-nobel/

Suma de inversos sin nueves - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/suma-de-inversos-sin-nueves/

Recordatorio: décimo Desafí­o Gaussianos y Guijarro "Pseudo-triángulos y pseudo-triangulaciones" - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/recordatorio-decimo-desafio-gaussianos-y-guijarro-pseudo-triangulos-y-pseudo-triangulaciones/

Category Theory (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/

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Publicado el 21 de Febrero, 2016, 18:48

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Tratemos otro caso donde aparecen números complejos en los intentos de demostración del último teorema de Fermat.

Podemos escribir para n = 3:

Donde

Es una raíz tercera de la unidad, compleja. Lo mismo tenemos en general:

Las raíces se llaman números ciclotómicos. Y cuando se agregan a los reales, forman un nuevo sistema de números. Ver Cyclotomic Field.

Es notable cómo un resultado sobre la suma de dos potencias de números reales se puede expresar como una serie de factores complejos a multiplicar. No es algo evidente, y nos habla de una fuerte conexión entre los mundos real y complejo para este famoso teorema de Fermat. Vamos a ir viendo conexiones aún más inesperadas en la historia de su demostración completa. Realmente, van asomando maravillas a cada momento.

Como este desarrollo en factores es igual a zn, y éste es una potencia n, se puede explorar el caso: todos los factores del desarrollo son potencias n, y sacar conclusiones sobre su existencia. Por ejemplo, podría probarse que algún factor al querer desarrollarse como potencia n exacta de algún número

sea imposible su existencia, para el caso n = 3 y otros casos. Sin embargo, esto se apoya en la presunción de que en ese anillo de reales extendido por estas raíces de la unidad SE CUMPLE LA FACTORIZACION UNICA. Y eso se vió que no siempre es cierto. La prueba general ofrecida por Lamé en el siglo XIX falla por ese motivo. El error fue señalado en su tiempo por Liouville.

Sin embargo, aún esa falla fue fructífera, porque dio pie a que Kummer creara los números ideales, los números "faltantes" para restaurar la factorización única en esos anillos. Kummer creó el concepto de primos regulares y demostró el teorema de Fermat para esos casos. Espero poder discutir su trabajo en esta serie de posts, más adelante.

Ver también Root of unity

Por ahora, seguiremos en los próximos post con el caso n = 3

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
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Publicado el 20 de Febrero, 2016, 19:04

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Veamos hoy de demostrar algo simple, básico, ya conocido y demostrado por Euclides. Como tenemos pocos elementos desarrollados, la demostración que veremos no es directa, tendremos que demostrar un lema antes.

Queremos demostrar que, siendo p un número primo, a y b enteros, entonces, si p divide al producto ab, entonces o bien divide al factor a, o al factor b. Es algo que parece evidente, pero como todo en matemáticas, mejor demostrarlo.

Antes de llegar demostremos el lema, para p primo natural, no hay números naturales r, s tales:

Y que sean menores que p:


Pues, si hubiera números r, s con esas cualidades, tal vez varios o infinitos pares, tomemos el par r, s que haga que su producto rs sea el menor posible. Entonces, tomemos r, y de todos los pares de números v, t que cumplen:

Tomemos el par con el menor t positivo. Podemos ver que este conjunto de pares es no vacío, que tiene al menos un par con t positivo:

Y entonces, por propiedad de los conjuntos de números positivos, HAY UNO QUE ES EL MENOR. Todo esto lo tenemos que hacer de esta manera, para mostrar explícitamente que existe ese par. Pero podemos también apelar a un resultado del primer post, que implica que siempre existe:

Con

Multipliquemos p por s, queda:

O sea, que p divide a:

Pero tenemos que p divide a rs, queda que p divide a:

Pero como

Entonces

Siendo ts divisible por p, CONTRA LO SUPUESTO. Llegamos a una contradicción. Entonces, no existe el rs pedido.

Habiendo probado este lema, pasemos a demostrar que si:

Entonces

O

Probémoslo por el absurdo. Supongamos que:

Y

Esto es

Y

Donde d, f son no nulos, positivos, y menores que p. Multiplicamos, y obtenemos:

Sabemos que p divide a ab, entonces

Entonces p divide a:

Pero por el lema anterior, esto es imposible. Si p no divide ni a ni b, llegamos a contracción. Entonces, p divide al factor a o bien p divide al factor b.

Ha sido una demostración algo larga. Podríamos tomar otro camino, pero hubiéramos necesitado otros conceptos y resultados que no hemos tratado todavía como el máximo común divisor y sus propiedades. Tal vez más adelante volvamos a demostrar el resultado de hoy usando esos otros desarrollos. Ver, por ejemplo, otro camino en el libro Stein W.-Elementary number theory and elliptic curves.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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