Publicado el 2 de Diciembre, 2018, 14:50
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Siempre vuelvo a estudiar la vida y la obra de Paul Erdös. En estos días estoy disfrutando de una biografía de este gran matemático, publicada en la serie de matemáticos de editorial RBA. Espero poder escribir sobre historias que encontré ahí. Hoy quiero recorder un tema que a Erdös le importaba mucho: su idea de que hay un Libro, donde están todas las demostraciones matemáticas, expresadas de forma simple y bella. El decía que siempre que buscaba una prueba, quería alcanzar la version "del Libro". Encuentro este párrafo en el libro "Proof of THE BOOK" de Martin Aigner y Günter Ziegler:
En el libro, los autores muestran unas 44 demostraciones, de diversos campos como la teoría de números, teoría de grafos, combinatoria, análisis, geometría. Me llama la atención que expongan SEIS demostraciones sobre la infinitude de los números primos. La representación de números como la suma de dos cuadrados, es un clásico (estuve escribiendo serie de posts, debería retomar) así como la ley de reprocidad cuadrática. Me gusta que exista para los autores al menos una demostración del postulado de Bertrand que se acerque a la version del libro: el enunciado es tan simple, dado n >=1 siempre hay un primo entre n y 2n. Podría estar horas describiendo brevemente las pruebas aportadas. Realmente una lectura muy interesante, y siempre, tratando de encontrar pruebas por nuestro propio esfuerzo, antes de llegar a estudiar la prueba DEL LIBRO. Ver también https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_from_THE_BOOK Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 2 de Octubre, 2018, 13:04
Publicado el 1 de Octubre, 2018, 14:41
Publicado el 28 de Septiembre, 2018, 13:30
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Más artículos sobre la prueba presentada por Michael Atiyah. Como comentaba en el anterior post, el punto principal es las cualidades de la función T, que o no parecen cumplirse, o no parecen probadas. No parece que la discusión pase por la adecuación de la función T con la constante de estructura fina, que es el resultado principal del "paper" de enero, pero que parece accesorio a la prueba de RH de este septiembre. The Ramanujan Summation: 1 + 2 + 3 + ⋯ + ∞ = -1/12? Did a mathematician really solve a million-dollar math problem? Reading Into Atiyah"s Proof Atiyah Riemann Hypothesis proof: final thoughts Retired mathematician rocks math world with claim that he's solved $1 million problem Mathematician claims to have solved 160-year-old Reimann hypothesis Mathematician may have cracked $1 million riddle Mathematicians Skeptical of Supposed Million-Dollar Proof Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 25 de Septiembre, 2018, 12:12
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Más sobre el caso Atiyah Hipótesis de Riemann. El punto débil parece la función T (de Todd), si su aplicación en la prueba DEPENDE de su relación con la constant de estructura fina, entonces es bastante dudosa. Si el tema de la constant de estructura fina es accesorio, tal vez haya algo interesante. Veremos. Explainer: Has Michael Atiyah conquered the Everest of mathematics? Top Mathematician Says He's Solved a 160-Year-Old Maths Problem Worth $1 Million Skepticism surrounds renowned mathematician"s attempted proof of 160-year-old hypothesis Atiyah's Lecture on the Riemann Hypothesis Riemann hypothesis, the fine structure constant, and the Todd function Discussion about Atiyah's Paper Proof of Riemann hypothesis, Generalized Riemann hypothesis and Ramanujan τ-Dirichlet series hypothesis What is the definition of the function T used in Atiyah's attempted proof of the Riemann Hypothesis? Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 24 de Septiembre, 2018, 18:13
Publicado el 23 de Septiembre, 2018, 18:50
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La hipótesis de Riemann podría considerarse como el problema del siglo. Es uno de los problemas matemáticos pendientes de solución más famosos. Mientras que el Ultimo Teorema de Fermat y la Conjetura de Poincare fueron probados. la hipótesis de Riemman se resiste todavía, luego de más de siglo y medio de haber sido formulada. Cuéntase que el matemático Hardy, cuando tenia que cruzar el Atlántico, enviama un telegrama al otro declarando que tenia una prueba de la hipótesis. De esta forma, esperaba que ninguna divinidad dejaría que le pasara algo en el viaje. Hilbert lo propuso como uno de los problemas de su lista de 1900. Es uno de los pocos que pasado el siglo veinte todavía no tiene solución. Hilbert decía que si se durmiera tres mil años y se despertara, lo primero que preguntaría es si se había resuelto el problema. Del siglo XX al XXI pasó a ser uno de los problemas del milenio, según el instituto de matemáticas Clay. Yo estoy tratando de explicar la hipótesis en mi serie La Hipótesis de Riemman. Ya a fines del siglo XIX se vió que no era necesaria su verdad para probar el teorema de los números primos, (ver teorema de Hadamard y de la Vallée-Poussin) pero se espera que si es verdad, la distribución de los primos sea la esperada. Ver también: https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis En estos días el mundo matemático está esperando la conferencia de Michael Atiyah, medallista Field, anunciada para mañana lunes 24 de septiembre. Ver Famed mathematician claims proof of 160-year-old Riemann hypothesis News regarding ABC conjecture and Riemann Hypothesis Michael Atiyah claims proof of Riemann Hypothesis Hay algún escepticismo sobre la validez de la prueba, que no fue publicada todavía. No se espera que Atiyah haya encontrado el éxito donde otros muchos matemáticos fracasaron. Pero esperemos a maña. Me he referido a Atiyah varias veces en este blog, por ejemplo en relación a un teorema de Hilbert. Ver su entrevista en Pero hay un dato interesante en las noticias publicadas sobre el tema. En Aperiodical leo:
Hirzebruch es conocido por el teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch, luego opacado en parte por el trabajo novedoso de Gothrendieck, que lo extendió más allá del resultado original. Ver Friedrich Hirzebruch Atiyah trabajó con Hirzebruch, en sus años jóvenes, y será interesante ver qué camino aprovechó de los descubrimientos de su maestro para llegar a su proclamada prueba. Pero en el párrafo que mencioné arriba, mencionan a Von Neumann y a Dirac, dos "habitué" de este blog. Eso da una pista, y acá apuesto que la prueba tiene que ver con: MATRICES HERMITIANAS usadas tanto en la mecánica cuántica que tanto Von Neumann como Dirac ayudaron a desarrollar. No es un camino nuevo en los intentos de demostración de este problema. La idea es que la hipótesis afirma que la función zeta de Riemman z(x + iy) tiene TODOS sus ceros no triviales en x = 1/2. Pero eso equivale a que, haciendo cambio de variables (rotación 90 grados y desplazamiento 1/2), todas los ceros no triviales de otra función: h(y + ix - i/2) SON REALES. El camino de las matrices hermitianas, mostraría que existe una matriz "infinita" M, que sea hermitiana (igual a su transpuesta conjugada), tal que el determinante de M - wI, o sea su polinomio característico, sea igual a la función h de arriba. Se sabe que las matrices hermitianas solo tienen autovalores (los ceros de su polinomio característico) reales. Con eso se completaría la demostración. Claro que una cosa es decirlo, y otra es encontrar esa matriz M infinita que cumpla con todo eso. Pero bien podría Atiyah haber encontrado un camino nuevo en este forma de solucionar el problema: una forma de "armar" esa matriz para obtener la función h, transformada de la zeta. Pero lo mío es solo un albur, veremos si es así. Vivimos tiempos interesantes. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 22 de Septiembre, 2018, 17:47
Publicado el 16 de Septiembre, 2018, 14:42
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Las matemáticas son fascinantes, y van más allá de lo que mucha gente piensa. No son solamente hacer números, sino manejar conceptos, ideas, teorías completas, que van desarrollándose en la historia. Pero lo notable es cómo alguna de esas ideas van creciendo y se van descubriendo relaciones inesperadas entre ellas. En los primeros días de enero de 1967, Robert Langlands se encuentra por coincidencia con André Weil, en un pasillo del Institute for Defense Analysis de Princeton. Ambos llegaban para escuchar una conferencia de Shiing-Shen Chern. En ese momento, Weil estaba en sus sesenta años, prominente miembro del grupo Bourbaki, matemático consagrado y creativo, uno de los individuos más influyentes del siglo XX, especialmente en geometría algebraica y teoría de números. Por otro lado, Langlands era treinta años más joven, un matemático prometedor, pero todavía en sus primeros años de carrera. No sabiendo cómo iniciar una conversación, Langlands le comenta alguna de sus propias ideas sobre conexiones entre las formas automorfas y la teoría de números. Weil le sugiere entonces que le envíe por escrito esas ideas. Langlands pensó que era una forma amable de sacarse de encima a un joven inoportuno, pero igual plasma por escrito sus pensamientos, y días después le envía una carta, comenzando:
Weil no respondió a la carta, pero la tipeó, y envió esa transcripción a otros matemáticos. El contenido de la carta comenzó a conocerse como "las conjeguras de Langlands". Con el tiempo, esas conjeturas dieron frutos inesperados: de alguna forma participaron del camino a la demostración del Ultimo Teorema de Fermat. Pero fueron más allá. Dieron lugar al llamado "programa de Langlands" que predice la existencia de una red de conexiones entre las formas automórficas y los grupos de Galois. Ese programa está guiando investigaciones modernas, para probar y mostrar esas conexiones. En este año, 2018, Langlands fue galardonado por el premio Abel. Sería largo explicar el programa, aún sus ideas base, pero debo confesar que es fascinante de explorar. Con conexiones desde la teoría de números hasta las curvas elípticas y más, nos da una vívida impresión de la unidad de las matemáticas y los resultados no evidentes que se están manejando en estos tiempos. Lecturas adicionales The Abel Prize Laurate 2018 Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 2 de Septiembre, 2018, 16:03
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Elliptic Curves, Modular Forms and the Langlands Program Elementary Introduction to the Langlands Program Compositionality Journal Genus Genus of a Curve Falting's Theorem Mordell Conjecture Tate Conjecture Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 1 de Septiembre, 2018, 15:27
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Sigo leyendo y comentando "The Arithmetic of Elliptic Curves" de Silverman. En el anterior post enuncié el teorema de Hasse-Minkowski, Tendría que corregir su enunciado: no trata sobre módulo p, sino sobre los campos p-ádicos Qp. Leo:
Es interesante notar que la reciprocidad cuadrática surge asociada a campos finitos. De alguna forma, las cuadráticas están bien entedidas, gracias a resultados como los de arriba. Y cuando se quiere ir más allá, ahí aparecen en primer lugar las curvas elípticas:
Este es un punto a destacar: el genus. Por un lado, podemos leer una definición orientada a geomtría algenbraica: https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Genus_of_a_curve Pero es más interesante notar que genus tiene otros significados: https://en.wikipedia.org/wiki/Genus_(mathematics) Para una curva algebraica, se relaciona con la superficie que forma EN LOS COMPLEJOS. Y como en las superficies reales,, el genus está relacionado con la cantidad de "agujeros" que presenta. Mientras que las cuadráticas tienen genus 0, las elípticas son las primeras con genus 1. Al no ser "tan regulares" cono las de genus 0, tienen otras propiedades. Mordell debe haber sido iuno de los primeros que tratar de clasificar esas propiedades. Ver la conjetura de Mordell: http://mathworld.wolfram.com/MordellConjecture.html probada por Faltings: https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem Como se llegó con esto a la solución del Ultimo Teorema de Fermat, es cuestión de otros posts. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 26 de Agosto, 2018, 14:30
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Hoy voy a comenzar a comentar un libro de Joseph H. Silverman. No crea que termine en un solo post el comentario; es un libro muy interesante. Primero, como otros libros que comenté, es un libro para matemáticos. Pero también es bastante autocontenido, así con unos pocos preliminares se puede comenzar a leerlo y entenderlo. Es el "The Arithmetic of Elliptic Curves", estoy leyendo la segunda edición de Springer. Comienza presentando algunas curvas simples en X, Y. Leo:
¿ Cuál es el tipo de curva mas simple que presenta? Las aX + bY = c , las rectas. Se sabe que si a, b, c son racionales, estas curvas siempre tienen puntos (X, Y) con X, Y racionales. Cuando pasamos a curvas de segundo grado, no es evidente cuándo tenemos puntos racionales (aún cuando todos los coeficientes sean racionales). Desde hace tiempo se sabe clasificar esas curvas en distintos tipos, como elipses, hipérbolas, parábolas. Primero, como resultado de conceptos geométricos en los antiguos griegos, luego llegado Descartes y sus coordenadas, desde el punto de vista algebraico esa clasificación es posible. Debe ser uno de los gérmenes de la geometría algebraica. Un teorema que no conocía: el de Hasse-Minkowski. Sea un polinomio f(X, Y) cuadrático con coeficientes racionales. Entonces, tiene tiene puntos racionales SI Y SOLO SI tiene tiene ALGUNA solución racional para TODO módulo p, siendo p primo. Es común pasar a aritmética modular y probar con primos, por ejemplo, en el último teorema de Fermat. Notablemente, este teorema no se puede aplicar a polinomios valorizados sobre campos finitos. Lo importante ahora, es entender que esos puntos racionales sobre curvas algebraicas, serán la base para operaciones sobre las curvas elípticas, operaciones que forman grupo. El estudio de los puntos racionales de esas curvas ha sido altamente fructífero. Para llegar a esos resultados, Silverman primero presenta variedades afines y curvas algebraicas. Pero eso será tema de un próximo post. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 20 de Agosto, 2018, 12:18
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Hay algo en las matemáticas, que es hermoso: la relación que tienen diversos temas, la unidad que se va descubriendo en su estructura. Es notable cómo se ha ido progresando en este sentido, tan notable que es la principal pista para aceptar la existencia de un mundo matemático, distinto del físico o del mental. Sería increíble que todo esto se deba a la creación humana. Esa relación en los temas se ve en la historia de las curvas elípticas. Hoy quiero comentar brevemente el libro: Elliptic and Modular Functions from Gauss to Dedekind to Hecke de Ranjan Roy Tiene pocas menciones de curvas elípticas, pero es interesante por su desarrollo histórico de los temas que trata. Comienza con las formas modulares en su estado en el siglo XIX. Primero presenta el grupo modular, estudiado por Lagrange es su estudio de las formas cuadráticas (cita un trabajo de 1775). El estudio de las formas cuadráticas (expresiones en x, y, con grado 2 en sus términos) es la semilla de multitud de desarrollos que llegan a los tiempos actuales. Lagrange, por ejemplo, estudió qué enteros se podían obtener de una forma cuadrática cuando sus variables adoptaban valores enteros, y mostró la equivalencia entre formas cuadráticas, ante algunas transformaciones. Aparece el grupo modular y sus generadores S y T (notación introducida no por Lagrange sino por Mordell y Rademacher, ya en el siglo XX). Desde comienzo, el libro se despacha con la historia de todo lo que derivó, pasando por Gauss (con resultados que no publicó), Jacobi, Abel, Einsenstein, Dedekind (su paper sobre formas modulares, y las sumas de Dedekind), algunos resultados tempranos de Euler (como su producto), Klein, Hermite, Hurwitz, Hecke y más. Es justamente Hurwitz el que muestra que las curvas elípticas (que aparecen en la historia LUEGO de las integrales elípticas, y las funciones elípticas (éstas tan estudiadas, por ejemplo, por Abel)), son PARAMETRIZABLES por dos funciones. ¿Qué significa esto? Así como los puntos de una circunferencia (x, y) se pueden expresar por dos funciones periódicos de UN parámetro (sen(t), cos(t)), lo mismo pasa con las curvas elípticas, con dos funciones, esta vez, en vez de ser funciones circulares como el seno y el coseno, son funciones elípticas, CON DOBLE PERIODO (el tema de este doble periodo aparece en muchos de los resultados, como en el grupo modular). Hurwitz publica este resultado en un conocido "paper", leo en 12.1:
Vean cómo sus ideas llegan hasta Mordell y Serre, en el siglo XX. Leo algo sobre Mordell (que tan importante fue en el camino de la demostración del Ultimo Teorema de Fermat), leo en 13.1:
Espero que esto ayude a empezar a ver las múltiples relaciones entre distintas partes de las matemáticas, siendo curvas elípticas una de las puntas del iceberg que sobresale. Una nota personal: ver que ese factor 12 debe estar relacionado con el 24 de alguna conjetura de Ramanujan y el "lattice" de Leech y grupos esporádicos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 13 de Agosto, 2018, 11:14
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Resultants, Resolvents and the Computation of Galois Groups The Abel Prize Laurate 2018: Robert P. Langlands Curious Quaternions Ubiquituos Octonions Brun's Theorem Sieve Theory A polynomial upper bound on Reidemeister moves An Upper Bound on Reidemeister Moves Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 2 de Agosto, 2018, 21:01
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Sigo leyendo libros de Ian Stewart, esta vez, "Significant Figures, The Lives and Work of Great Mathematicians". Me llama la atención su comparación de las matemáticas con otras ciencias en su historia:
Hay ciencias cuyos primeros resultados perduran desde la antiguedad, como la estática desde Arquímedes. Pero otras han ido formando modelos explicativos de la realidad, que luego se cambian por otros, como ahora tenemos las ideas de Einstein que reemplazaron a las de Newton. Pero las matemáticas formas modelos que al no tener que corresponder con una realidad, pueden ser formulados y extendidos sin desecharlos. La geometría de Euclides sigue siendo tan verdadera en su base hace 2000 años como ahora, aun cuando sabemos que no es la geometría a aplicar al mundo físico. Tiene ese encanto la matemática: es el "gran juego" que vamos armando a lo largo de los siglos. Habrá que ver cuanto de esta "creación humana" es creación propia o es descubrimiento de un mundo matemático que existe más allá de nuestra experiencia. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 23 de Julio, 2018, 12:30
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Este mes estoy leyendo sobre algunos temas matemáticos, como geometría algebraica, teoría de grupos, teoría de categorías, hipótesis de Riemann, teoría de Galois, teoría de números, curvas elípticas, historia de las matemáticas. Sobre los últimos temas, encuentro mucho para leer en Ian Stewart. Escribió varios libros de divulgación y también de texto. Estos últimos son muy interesantes, porque si bien son técnicos, están escritos (a veces con coautor) de una forma accesible, amena, con notas históricas. Leo en su "Galois Theory", un párrafo sobre los grandes problemas de las matemáticas.
Bueno, hay igual grandes problemas matemáticos, que han impulsado el desarrollo de matemáticas notables (el ejemplo más conocido por todos es el llamado Ultimo Teorema de Fermat, sobre el cual Stewart también escribió un libro matemático). Hasta el propio Stewart escribió un libro de divulgación sobre algunos grandes problemas matemáticos. Podemos también recordar la lista de problemas de Hilbert, y el programa de Langlands. Tanto en ideas generales como en problemas grandes, la matemática de este siglo está bien provista. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 22 de Julio, 2018, 12:58
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Free Modular Lattice on 3 Generators Pigeonhole principle Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics Earliest Uses of Various Mathematical Symbols Images of Mathematicians on Postage Stamps The Abel Prize 2018, Robert P. Langlands From quadratic reciprocity to Langlands" program 17 handwritten pages that shaped a whole area of mathematical research Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 15 de Julio, 2018, 11:28
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Mandelbulb Dirichlet Series Ramanujan–Petersson conjecture Leech Lattice Ramanujan Tau Function A short, unusual proof that there are infinitely many primes On the Infinitude of the Prime Numbers En recuerdo de Maryam Mirzakhani, la exploradora de superficies Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 8 de Julio, 2018, 13:25
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La teoría de grupos siempre está presente, en tantos temas de las matemáticas como de otras ciencias. Partiendo de la simplicidad de lo que es un grupo abstracto, definible con pocos axiomas, se va construyendo un hermoso edificio, lleno de resultados sorprendentes. Mi primer contacto con grupos se remonta a más de 35 años atrás, y fue una experiencia reveladora de cómo las matemáticas se han desarrollado en los últimos siglos. Grupo es la estructura digamos prototípica de otras estructuras. Ya Bourbaki (en sus notas de historia de las matemáticas) señalaba que alguien como Gauss, con todo su conocimiento matemático y apertura a nuevas ideas, no había llegado a formalizar el concepto de grupo, así que en varias demostraciones de sus "Disquisiciones Matemáticas" repetía el proceso de pasos. Hubo que esperar a desarrollos del siglo XIX para que surgiera la estructura de grupo como decantación de ideas. Por un lado, Galois se da cuenta de sus principales propiedades, y lo aplica en su teoría. Jordan, años más tarde, pule esas ideas. Dirichlet va explicando las ideas de Gauss y las depura en su libro de teoría de números. Dedekind y otros comienzan a usar estructuras, como grupo, anillo, ideal. El método algebraico triunfa en teoría algebraica de números, invariantes, y los "números" terminan incorporados en cuerpos, campos y sus extensiones. Quiero en estas notas solamente escribir rápidamente algunos resultados, para ordenar mi estudio de esta estructura. El concepto de grupo abstracto se basa en simples axiomas, ver Motivaciones para la Teoría de Grupos, Teoría de Grupos (1) Axiomas. Hay que distinguir entre grupos infinitos y grupos finitos Ambos tienen una rica historia de desarrollo. Los grupos infinitos quedan históricamente a las ideas de Lie y sus transformaciones de espacios. Han calado hondo en física, y hasta guían de alguna forma los desarrollos teóricos que sustentan el modelo estándar de partículas elementales. Ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (1). El estudio de grupos finitos también ha sido fructífero. Algo de su historia más abajo y en siguientes posts. Un elemento fundamental en grupos, es el estudio de sus subgrupos: estructuras que "viven" dentro del grupo principal. Es notable que, si bien hay subgrupos, los más destacados son los llamados grupos normales. Dado H un subgrupo normal de G, entonces se puede construir y hablar de G/H, un GRUPO cociente. Y el grupo G se puede reconstruir, de cierta forma, como composición de H y G/H. Esto abre todo un camino de estudio, similar a lo que pasa en teoría de números con los enteros: como un grupo se puede "dividir" en otros grupos. El concepto de grupo simple (ver Simple Group) refiere a esas composiciones: un grupo simple no tiene subgrupos normales no triviales. Es como un "número primo". En el caso de grupos finitos (con cantidad finita de elementos) esto lleva a interesantes resultados, que llegan hasta este siglo XXI. A los matemáticos les gusta clasificar lo que encuentran: ya los grupos son una abstracción, pero ¿se pueden clasificar? Una primera gran división ocurre entre grupos abelianos (donde su operación de base es conmutativa), y no abelianos. Luego ya vimos que hay grupos finitos e infinitos. Pero se ha visto también, que presentan estructuras. Desde el siglo XIX se ha emprendido la clasificación, y en el caso de grupos finitos y simples, se ha conseguido un resultado final, ver Classification of finite simple groups. La historia de este desarrollo es fascinante, y espero poder describirla brevemente en otras notas. Ver también: Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos Algunas fuentes consultadas: Symmetry and the Monster: One of the greatest quests of mathematics, Mark Ronan Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 20 de Junio, 2018, 20:56
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Another (wrong) construction of Pi Johnson Solid A Visual Proof that pi^e < e^pi In her short life, mathematician Emmy Noether changed the face of physics Partition Numbers Longest Straight Line Paths on Water or Land on the Earth Uniform tilings in hyperbolic plane Category Theory: Lecture 43 - Chapter 3: Natural Transformations Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
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