Angel "Java" Lopez en Blog

Matemáticas


Publicado el 20 de Agosto, 2018, 12:18

Anterior Post

Hay algo en las matemáticas, que es hermoso: la relación que tienen diversos temas, la unidad que se va descubriendo en su estructura. Es notable cómo se ha ido progresando en este sentido, tan notable que es la principal pista para aceptar la existencia de un mundo matemático, distinto del físico o del mental. Sería increíble que todo esto se deba a la creación humana.

Esa relación en los temas se ve en la historia de las curvas elípticas. Hoy quiero comentar brevemente el libro:

Elliptic and Modular Functions from Gauss to Dedekind to Hecke de Ranjan Roy

Tiene pocas menciones de curvas elípticas, pero es interesante por su desarrollo histórico de los temas que trata. Comienza con las formas modulares en su estado en el siglo XIX. Primero presenta el grupo modular, estudiado por Lagrange es su estudio de las formas cuadráticas (cita un trabajo de 1775). El estudio de las formas cuadráticas (expresiones en x, y, con grado 2 en sus términos) es la semilla de multitud de desarrollos que llegan a los tiempos actuales. Lagrange, por ejemplo, estudió qué enteros se podían obtener de una forma cuadrática cuando sus variables adoptaban valores enteros, y mostró la equivalencia entre formas cuadráticas, ante algunas transformaciones. Aparece el grupo modular y sus generadores S y T (notación introducida no por Lagrange sino por Mordell y Rademacher, ya en el siglo XX). Desde comienzo, el libro se despacha con la historia de todo lo que derivó, pasando por Gauss (con resultados que no publicó), Jacobi, Abel, Einsenstein, Dedekind (su paper sobre formas modulares, y las sumas de Dedekind), algunos resultados tempranos de Euler (como su producto), Klein, Hermite, Hurwitz, Hecke y más.

Es justamente Hurwitz el que muestra que las curvas elípticas (que aparecen en la historia LUEGO de las integrales elípticas, y las funciones elípticas (éstas tan estudiadas, por ejemplo, por Abel)), son PARAMETRIZABLES por dos funciones. ¿Qué significa esto? Así como los puntos de una circunferencia (x, y) se pueden expresar por dos funciones periódicos de UN parámetro (sen(t), cos(t)), lo mismo pasa con las curvas elípticas, con dos funciones, esta vez, en vez de ser funciones circulares como el seno y el coseno, son funciones elípticas, CON DOBLE PERIODO (el tema de este doble periodo aparece en muchos de los resultados, como en el grupo modular).

Hurwitz publica este resultado en un conocido "paper", leo en 12.1:

Hurwtiz"s 1881 paper and its 1904 update were regarded during the early twentieth century as providing fundamental foundations for the theory of modular functions. In his 1917 paper on Ramanujan"s conjectures, Mordell wrote in a footnote, concerning Hurwitz"s original 1881 paper, "For an elementary introduction to the modular functions, see Hurwitz . . . ." Again, perhaps because of J. P. Serre"s 1957 lecture on modular forms,2 employing several key ideas from Hurwitz"s 1904 paper, Hurwitz"s proofs of basic results on modular forms have become well known and commonly used. For these reasons, we discuss Hurwitz"s paper in its entirety and provide a translation into English as an appendix.

Vean cómo sus ideas llegan hasta Mordell y Serre, en el siglo XX. Leo algo sobre Mordell (que tan importante fue en el camino de la demostración del Ultimo Teorema de Fermat), leo en 13.1:

Louis J. Mordell (1888–1972) was born in Philadelphia, Pennsylvania, but after secondary
school, he traveled to Cambridge, England, to study mathematics. He took the Mathematical Tripos examinations and went into research in number theory. In 1917, he published a paper on the representations of numbers as sums of an even number of squares in which he utilized the theory of modular forms. According to J. W. S. Cassels, "Mordell was, apparently, the first to treat the representation of integers as the sum of a fixed number n of squares by using the finite dimensionality of the space of modular forms of given dimensions to establish identities thereby unifying the existing mass of results for individual values of n." This paper established Mordell as an expert in elliptic modular functions in Britain. When Hardy drew his attention to Ramanujan"s conjectures, Mordell quickly found the solution within Hurwitz"s work on the multiplier equation. Textbooks generally concentrate on Mordell"s work on the Euler product of delta(ω1, ω2), and it is not usually mentioned that Mordell also considered delta 12/a  (ω1, ω2), where a is a divisor of 12. Mordell evidently did not attempt to generalize these results to other modular forms, and this was done almost two decades later by Hecke, then unaware of the earlier work on this topic of Ramanujan and Mordell.

Espero que esto ayude a empezar a ver las múltiples relaciones entre distintas partes de las matemáticas, siendo curvas elípticas una de las puntas del iceberg que sobresale.

Una nota personal: ver que ese factor 12 debe estar relacionado con el 24 de alguna conjetura de Ramanujan y el "lattice" de Leech y grupos esporádicos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 13 de Agosto, 2018, 11:14

Anterior Post

Resultants, Resolvents and the Computation of Galois Groups
http://www.alexhealy.net/papers/math250a.pdf

The Abel Prize Laurate 2018: Robert P. Langlands
http://www.abelprize.no/c73016/seksjon/vis.html?tid=73017

Curious Quaternions
https://plus.maths.org/content/os/issue32/features/baez/index

Ubiquituos Octonions
https://plus.maths.org/content/os/issue33/features/baez/index

Brun's Theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Brun%27s_theorem

Sieve Theory
https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_theory

A polynomial upper bound on Reidemeister moves
https://arxiv.org/abs/1302.0180

An Upper Bound on Reidemeister Moves
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/03/09/an-upper-bound-on-reidemeister-moves/

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 2 de Agosto, 2018, 21:01

Sigo leyendo libros de Ian Stewart, esta vez, "Significant Figures, The Lives and Work of Great Mathematicians". Me llama la atención su comparación de las matemáticas con otras ciencias en su historia:

ALL BRANCHES OF SCIENCE can trace their origins far back into the mists of history, but in most subjects the history is qualified by ‘we now know this was wrong’ or ‘this was along the right lines, but today’s view is different’. For example, the Greek philosopher Aristotle thought that a trotting horse can never be entirely off the ground, which Eadweard Muybridge disproved in 1878 using a line of cameras linked to tripwires. Aristotle’s theories of motion were completely overturned by Galileo Galilei and Isaac Newton, and his theories of the mind bear no useful relation to modern neuroscience and psychology.

Mathematics is different. It endures. When the ancient Babylonians worked out how to solve quadratic equations – probably around 2000 BC, although the earliest tangible evidence dates from 1500 BC – their result never became obsolete. It was correct, and they knew why. It’s still correct today. We express the result symbolically, but the reasoning is identical. There’s an unbroken line of mathematical thought that goes all the way back from tomorrow to Babylon. When Archimedes worked out the volume of a sphere, he didn’t use algebraic symbols, and he didn’t think of a specific number π as we now do. He expressed the result geometrically, in terms of proportions, as was Greek practice then. Nevertheless, his answer is instantly recognisable as being equivalent to today’s  πr3.

Hay ciencias cuyos primeros resultados perduran desde la antiguedad, como la estática desde Arquímedes. Pero otras han ido formando modelos explicativos de la realidad, que luego se cambian por otros, como ahora tenemos las ideas de Einstein que reemplazaron a las de Newton. Pero las matemáticas formas modelos que al no tener que corresponder con una realidad, pueden ser formulados y extendidos sin desecharlos. La geometría de Euclides sigue siendo tan verdadera en su base hace 2000 años como ahora, aun cuando sabemos que no es la geometría a aplicar al mundo físico. Tiene ese encanto la matemática: es el "gran juego" que vamos armando a lo largo de los siglos. Habrá que ver cuanto de esta "creación humana" es creación propia o es descubrimiento de un mundo matemático que existe más allá de nuestra experiencia.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 23 de Julio, 2018, 12:30

Este mes estoy leyendo sobre algunos temas matemáticos, como geometría algebraica, teoría de grupos, teoría de categorías, hipótesis de Riemann, teoría de Galois, teoría de números, curvas elípticas, historia de las matemáticas. Sobre los últimos temas, encuentro mucho para leer en Ian Stewart. Escribió varios libros de divulgación y también de texto. Estos últimos son muy interesantes, porque si bien son técnicos, están escritos (a veces con coautor) de una forma accesible, amena, con notas históricas. Leo en su "Galois Theory", un párrafo sobre los grandes problemas de las matemáticas.

A physicist friend of mine once told me that while every physicist knew what the big problems of physics were, his mathematical colleagues never seemed to be able to tell him what the big problems of mathematics were. It took me a while to realise that this doesn't mean that they don't know, and even longer to articulate why. The reason, I claim, is that the big problems of physics, at any given moment, are very specific challenges: measure the speed of light, prove that the Higgs boson exists, find a theory to explain high-temperature superconductors. Mathematics has problems like that, too, indeed, Galois tackled one of them—prove that the quintic cannot be solved by radicals. But the big problems of mathematics are more general, and less subject to fashion (or disappearance by virtue of being solved). They are things like "find out how to solve equations like this one", "find out what shape things like this are", or even "find out how many of these gadgets can exist". Mathematicians know this, but it is so deeply ingrained in their way of thinking that they are seldom conscious of it. But such problems have given rise to entire fields of mathematics, here, respectively, algebra, topology, and combinatorics. I mention this because it is the first of the above big problems that runs like an ancient river through the middle of the territory we are going to explore. Find out how to solve equations. Or, as often as not, prove that it cannot be done with specified methods. ¿What sort of equations? For Galois: polynomials.

Bueno, hay igual grandes problemas matemáticos, que han impulsado el desarrollo de matemáticas notables (el ejemplo más conocido por todos es el llamado Ultimo Teorema de Fermat, sobre el cual Stewart también escribió un libro matemático). Hasta el propio Stewart escribió un libro de divulgación sobre algunos grandes problemas matemáticos. Podemos también recordar la lista de problemas de Hilbert, y el programa de Langlands.

Tanto en ideas generales como en problemas grandes, la matemática de este siglo está bien provista.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 22 de Julio, 2018, 12:58

Anterior Post
Siguiente Post

Free Modular Lattice on 3 Generators
https://blogs.ams.org/visualinsight/2016/01/01/free-modular-lattice-on-3-generators/

Pigeonhole principle
https://en.wikipedia.org/wiki/Pigeonhole_principle

Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
http://jeff560.tripod.com/mathword.html

Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
http://jeff560.tripod.com/mathsym.html

Images of Mathematicians on Postage Stamps
http://jeff560.tripod.com/stamps.html

The Abel Prize 2018, Robert P. Langlands
http://www.abelprize.no/c73016/binfil/download.php?tid=73020
A glimpse of the Laureate"s work

From quadratic reciprocity to Langlands" program
http://www.abelprize.no/c73016/binfil/download.php?tid=73038

17 handwritten pages that shaped a whole area of mathematical research
http://www.abelprize.no/c73016/binfil/download.php?tid=73037

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 15 de Julio, 2018, 11:28

Anterior Post
Siguiente Post

Mandelbulb
https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbulb

Dirichlet Series
https://brilliant.org/wiki/dirichlet-series/

Ramanujan–Petersson conjecture
https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan%E2%80%93Petersson_conjecture

Leech Lattice
https://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice

Ramanujan Tau Function
https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_tau_function

A short, unusual proof that there are infinitely many primes
https://www.johndcook.com/blog/2016/10/30/a-short-unusual-proof-that-there-are-infinitely-many-primes/

On the Infinitude of the Prime Numbers
https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/001/03/0078-0095
Euler's Proof

En recuerdo de Maryam Mirzakhani, la exploradora de superficies
https://elpais.com/elpais/2018/07/11/ciencia/1531326711_222889.html

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 8 de Julio, 2018, 13:25

La teoría de grupos siempre está presente, en tantos temas de las matemáticas como de otras ciencias. Partiendo de la simplicidad de lo que es un grupo abstracto, definible con pocos axiomas, se va construyendo un hermoso edificio, lleno de resultados sorprendentes. Mi primer contacto con grupos se remonta a más de 35 años atrás, y fue una experiencia reveladora de cómo las matemáticas se han desarrollado en los últimos siglos. Grupo es la estructura digamos prototípica de otras estructuras.

Ya Bourbaki (en sus notas de historia de las matemáticas) señalaba que alguien como Gauss, con todo su conocimiento matemático y apertura a nuevas ideas, no había llegado a formalizar el concepto de grupo, así que en varias demostraciones de sus "Disquisiciones Matemáticas" repetía el proceso de pasos. Hubo que esperar a desarrollos del siglo XIX para que surgiera la estructura de grupo como decantación de ideas. Por un lado, Galois se da cuenta de sus principales propiedades, y lo aplica en su teoría. Jordan, años más tarde, pule esas ideas. Dirichlet va explicando las ideas de Gauss y las depura en su libro de teoría de números. Dedekind y otros comienzan a usar estructuras, como grupo, anillo, ideal. El método algebraico triunfa en teoría algebraica de números, invariantes, y los "números" terminan incorporados en cuerpos, campos y sus extensiones.

Quiero en estas notas solamente escribir rápidamente algunos resultados, para ordenar mi estudio de esta estructura.

El concepto de grupo abstracto se basa en simples axiomas, ver Motivaciones para la Teoría de Grupos, Teoría de Grupos (1) Axiomas.

Hay que distinguir entre grupos infinitos y grupos finitos Ambos tienen una rica historia de desarrollo. Los grupos infinitos quedan históricamente a las ideas de Lie y sus transformaciones de espacios. Han calado hondo en física, y hasta guían de alguna forma los desarrollos teóricos que sustentan el modelo estándar de partículas elementales. Ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (1). El estudio de grupos finitos también ha sido fructífero. Algo de su historia más abajo y en siguientes posts.

Un elemento fundamental en grupos, es el estudio de sus subgrupos: estructuras que "viven" dentro del grupo principal. Es notable que, si bien hay subgrupos, los más destacados son los llamados grupos normales. Dado H un subgrupo normal de G, entonces se puede construir y hablar de G/H, un GRUPO cociente. Y el grupo G se puede reconstruir, de cierta forma, como composición de H y G/H. Esto abre todo un camino de estudio, similar a lo que pasa en teoría de números con los enteros: como un grupo se puede "dividir" en otros grupos.

El concepto de grupo simple (ver Simple Group) refiere a esas composiciones: un grupo simple no tiene subgrupos normales no triviales. Es como un "número primo". En el caso de grupos finitos (con cantidad finita de elementos) esto lleva a interesantes resultados, que llegan hasta este siglo XXI.

A los matemáticos les gusta clasificar lo que encuentran: ya los grupos son una abstracción, pero ¿se pueden clasificar? Una primera gran división ocurre entre grupos abelianos (donde su operación de base es conmutativa), y no abelianos. Luego ya vimos que hay grupos finitos e infinitos. Pero se ha visto también, que presentan estructuras. Desde el siglo XIX se ha emprendido la clasificación, y en el caso de grupos finitos y simples, se ha conseguido un resultado final, ver Classification of finite simple groups. La historia de este desarrollo es fascinante, y espero poder describirla brevemente en otras notas.

Ver también:

Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos
Teoría de Galois (1)

Algunas fuentes consultadas:

Symmetry and the Monster: One of the greatest quests of mathematics, Mark Ronan
Group Theory and Its Applications to Physical Problems, Morton Hamermesh

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 20 de Junio, 2018, 20:56

Anterior Post
Siguiente Post

Another (wrong) construction of Pi
https://arxiv.org/abs/1806.02218

Johnson Solid
https://en.wikipedia.org/wiki/Johnson_solid

A Visual Proof that pi^e < e^pi
https://arxiv.org/abs/1806.03163

In her short life, mathematician Emmy Noether changed the face of physics
https://www.sciencenews.org/article/emmy-noether-theorem-legacy-physics-math

Partition Numbers
https://www.johndcook.com/blog/2018/06/12/partition-numbers/

Longest Straight Line Paths on Water or Land on the Earth
https://arxiv.org/abs/1804.07389

Uniform tilings in hyperbolic plane
https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_tilings_in_hyperbolic_plane

Category Theory: Lecture 43 - Chapter 3: Natural Transformations
https://forum.azimuthproject.org/discussion/2244/lecture-43-chapter-3-natural-transformations/p1

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 6 de Junio, 2018, 13:55

Anterior Post
Siguiente Post

Game Theory: Evolutionarily Stable Strategies
http://ess.nbb.cornell.edu/ess.html

Marjorie Rice"s Secret Pentagons
https://www.quantamagazine.org/marjorie-rices-secret-pentagons-20170711/

Quantum Computation Breaks Crypto? Unlikely…
https://securityboulevard.com/2018/05/quantum-computation-breaks-crypto-unlikely/

Packing Regular Heptagons
https://blogs.ams.org/visualinsight/2014/11/15/packing-regular-heptagons/

Revisiting the de Rham-Witt complex
https://arxiv.org/abs/1805.05501

A Chemist Shines Light on a Surprising Prime Number Pattern
https://www.quantamagazine.org/a-chemist-shines-light-on-a-surprising-prime-number-pattern-20180514/

Mathematicians Disprove Conjecture Made to Save Black Holes
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-disprove-conjecture-made-to-save-black-holes-20180517/

A Classical Math Problem Gets Pulled Into the Modern World
https://www.quantamagazine.org/a-classical-math-problem-gets-pulled-into-the-modern-world-20180523/

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 25 de Mayo, 2018, 12:30

Gran parte de la humanidad participa de sociedades donde la ciencia y la tecnología están presentes. Ambas se han desarrollado espectacularmente en los últimos siglos, y se admite que el papel de las matemáticas fue fundamental en su desarrollo. Pero así como los logros científicos y los avances tecnológicos aparecen frecuentemente en los medios, desde libros de divulgación, columnas en periódicos, documentales de televisión, no pasa lo mismo con las matemáticas. Reconozco que en las últimas tres décadas ha habido un surgir de las matemáticas en eventos populares. Pero es como que siempre está rezagada en difusión y entendimiento.

Por ejemplo, si preguntamos a una persona cualquiera, sobre ¿qué es la matemática? no obtendremos una gran respuesta. Mucha gente asocia matemáticas con habilidad con los números. Y si uno no llega a cursar más de dos años de alguna carrera universitaria, lo más que verá de matemáticas serán algunos métodos para resolver ecuaciones, y manejar curvas. Pero gran parte del acerbo matemático humano es como que está oculto, no es algo que se comparta mucho.

Tengo que admitir que algo ha ido cambiando. Veo que un punto de inflexión fue la demostración del llamado último teorema de Fermat, por Andrew Wiles y compañía, en la primera mitad de los noventa del siglo pasado. Otro notable evento, fue la película Una mente brillante (2001): que recuerde, debe ser el primer film dedicado a la vida de un matemático.  Un ejemplo más reciente es la película sobre Ramanujan. Algo menos claro para el público en general, es la vida de Turing. Pero sirvan estos ejemplos para mostrar que hay un cambio en la actitud general sobre las matemáticas.

También quiero destacar que en estos tiempos hay MAS libros de divulgación de matemáticas que hace medio siglo. Pero es notable el contraste todavía entre lo que es la matemática y lo que mucha gente se imagina: facilidad para los cálculos y problemas numéricos. Andre Weil alguna vez escribió: "las matemáticas tienen esta particularidad: no son entendidas por los no-matemáticos". En contraste, mucha gente conoce del estado actual de la biología, de la química, de la astronomía, de la física. Vayamos a cualquier librería o a un canal de divulgación de cable, y encontraremos mucho más sobre galaxias, agujeros negros, bosón de Higgs, evolución y genética, que sobre geometría algebraica.

En parte, debe ser por la dificultad de enseñar o mostrar algunos temas. Escribe mi principal fuente, Dieudonné:

… tomemos la más fructífera teoría de las matemáticas modernas, la conocida como "sheaf homology". Comenzando en 1946, es más o menos contemporánea con la "doble hélice" de la biología molecular, y ha avanzado en una magnitud comparable. Sin embargo, soy incapaz de explicar en que consiste esta teoría a alguien que no hubiera seguido al menos dos años de un curso de matemáticas universitario. Aún a un estudiante habilitado para este nivel de explicación le tomaría varias horas; mientras que explicar el modo en que la teoría es aplicada podría tomar un buen tiempo más. Esto es porque no podemos hacer uso de diagramas explicativos; antes de comenzar a comprender esa teoría, debemos absorber docenas de nociones igualmente abstractas: topologías, anillos, módulos, homomorfismos, etc.. ninguno de los cuales puede ser reproducido de una manera "visual".

Escribe esto en 1992, y desde sus preferencias matemáticas. Igual comentaría que ha habido también avance en la explicación visual de conceptos. Basta leer "el Penrose" para ver cuánto hoy de esos conceptos abstractos (como recubrimientos fibrados y conceptos topológicos) pueden ser explicados con diagramas. Otro ejemplo que tengos es el Munkres de Topología. Igual hay que reconocer que muchos conceptos abstractos son difíciles de explicar.

Principal fuente: "Mathematics, the music of reason", segunda edición 1998, Jean Dieudonné. Lo seguiré comentando en próximos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 20 de Mayo, 2018, 12:50

Anterior Post
Siguiente Post

On the power of unique 2-prover 1-round games
https://dl.acm.org/citation.cfm?id=510017

First Big Steps Toward Proving the Unique Games Conjecture
https://www.quantamagazine.org/computer-scientists-close-in-on-unique-games-conjecture-proof-20180424/

Decades-Old Graph Problem Yields to Amateur Mathematician
https://www.quantamagazine.org/decades-old-graph-problem-yields-to-amateur-mathematician-20180417/

A Revealer of Secrets in the Data of Life and the Universe
https://www.quantamagazine.org/donald-richards-seeks-patterns-in-the-data-of-life-and-the-universe-20180411/

Why Winning in Rock-Paper-Scissors (and in Life) Isn"t Everything
https://www.quantamagazine.org/the-game-theory-math-behind-rock-paper-scissors-20180402/

Fourier Transform
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

History of the Function Concept
https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_function_concept

Origin of the Lagrangian constraints and their relation with the Hamiltonian formulation
https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.527955

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 11 de Mayo, 2018, 12:25

Anterior Post
Siguiente Post

The Infinite Primes and Museum Guard Proofs, Explained
https://www.quantamagazine.org/the-infinite-primes-and-museum-guard-proofs-explained-20180326/

Scant Evidence of Power Laws Found in Real-World Networks
https://www.quantamagazine.org/scant-evidence-of-power-laws-found-in-real-world-networks-20180215/

Props in Network Theory
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/04/27/props-in-network-theory/

Shor's Algorithm
https://en.wikipedia.org/wiki/Shor%27s_algorithm

Category Theory Lecture Notes
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.98.9012&rep=rep1&type=pdf
Michael Barr, Charles Wells

Algebraic Topology
http://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/diecktop.pdf

Mathematicians Explore Mirror Link Between Two Geometric Worlds
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-explore-mirror-link-between-two-geometric-worlds-20180409/

Three Decades Later, Mystery Numbers Explained
https://www.quantamagazine.org/three-decades-later-mystery-numbers-explained-20180503/

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 30 de Abril, 2018, 11:12

Anterior Post

Como comentaba en el anterior post, teoría de categorías aparece en varios temas de las matemáticas modernas. Inspirada por la topología y los grupos (ver Eilenberg y McLane, el encuentro) se ha ido afirmando como una rama de las matemáticas más fundamentales, aunque hay quienes la critican por su generalidad.

En estos días me encuentro con:

Category Theory, Lectures Notes for ESSLLI

de Michael Barr y Charles Wells. Es un resumen de su libro Category Theory for Computing Science. Leo ahí:

Categories originally arose in mathematics out of the need of a formalism to describe the passage from one type of mathematical structure to another. A category in this way represents a kind of mathematics, and may be described as category as mathematical workspace.

Ese es un gran punto: pasa de una estructura matemática a otra. Una categoría muestra esos pasajes, los pone de manifiesto, y deja entrever la unidad subyacente en el tipo de estructura estudiado (sean conjuntos, grupos, anillos, módulos, espacios topológicos, etc...)

Luego:

A category is also a mathematical structure. As such, it is a common generalization of both ordered sets and monoids (the latter are a simple type of algebraic structure that include transition systems as examples), and questions motivated by those topics often have interesting answers for categories. This is category as mathematical structure.

Acá aparece más potencia: una categoría, con sus functores, puede ser un objeto de una categoría más grande. Al fin, una categoría es una estructura matemática más, que puede tener pasajes (functores) a otras categorías.

Y algo que no tuve tanto en cuenta cuando comencé hace años a conocer lo que es una categoría, pero que Barr y Wells explican en este resumen y con más detalle en su libro:

Finally, a category can be seen as a structure that formalizes a mathematician’s description of a type of structure. This is the role of categoryas theory. Formal descriptions in mathematical logic are traditionally given as formal languages with rules for forming terms, axioms and equations. Algebraists long ago invented a formalism based on tuples, the method of signatures and equations, to describe algebraic structures. Category theory provides another approach: the category is a theory and functors with that category as domain are models of the theory.

No es fácil explicarlo sin ejemplos y desarrollo concreto, pero al fin una categoría puede servir para describir un tipo, sus operaciones y transformaciones. Un ejemplo que Barr y Wells exponen es describir a los números naturales con un grafo, que puede ser usado como categoría, similar a los axiomas de Peano.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 25 de Marzo, 2018, 16:43

Anterior Post
Siguiente Post

What is your recommended book on Game Theory
https://www.quora.com/What-is-your-recommended-book-on-Game-Theory-and-why

Fermat's Two Squares Theorem
https://proofwiki.org/wiki/Fermat%27s_Two_Squares_Theorem

Visualizing Divergence and Curl
http://www2.sjs.org/raulston/mvc.10/topic.6.lab.1.htm

In Search of God"s Perfect Proofs
https://www.quantamagazine.org/gunter-ziegler-and-martin-aigner-seek-gods-perfect-math-proofs-20180319/

Robert Langlands, Mathematical Visionary, Wins the Abel Prize
https://www.quantamagazine.org/robert-langlands-mathematical-visionary-wins-the-abel-prize-20180320/

How Einstein Lost His Bearings, and With Them, General Relativity
https://www.quantamagazine.org/how-einstein-lost-his-bearings-and-with-them-general-relativity-20180314/

To Test Einstein"s Equations, Poke a Black Hole
https://www.quantamagazine.org/to-test-einsteins-equations-poke-a-black-hole-20180308/

How Math (and Vaccines) Keep You Safe From the Flu
https://www.quantamagazine.org/flu-vaccines-and-the-math-of-herd-immunity-20180205/

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 23 de Febrero, 2018, 15:50

Anterior Post
Siguiente Post

Linguistics Using Category Theory
https://golem.ph.utexas.edu/category/2018/02/linguistics_using_category_the.html

Algebra Seminar: Matthew Titsworth,"What does the word NATURAL mean in mathematics?""
http://math.unt.edu/events/algebra-seminar-matthew-titsworthwhat-does-word-natural-mean-mathematics

Snake Lemma
https://en.wikipedia.org/wiki/Snake_lemma

Abelian Category
https://en.wikipedia.org/wiki/Abelian_category

Student research teams explore the unknown
https://www.eou.edu/news-press/the-edge-of-mathematics/

NIST"s Digital Library of Mathematical Functions
http://physicstoday.scitation.org/doi/10.1063/PT.3.3846

In Praise of Simple Problems
https://www.quantamagazine.org/richard-schwartz-in-praise-of-simple-problems-20180109/

What Makes the Hardest Equations in Physics So Difficult?
https://www.quantamagazine.org/what-makes-the-hardest-equations-in-physics-so-difficult-20180116/

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 18 de Febrero, 2018, 14:00

En 1945 se publica el "paper" seminal de toda la teoría de categorías, el "General theory of natural equivalences", de Eilenberg y McLane. Ambos autores habían comenzado a colaborar apenas unos años antes. Leo en "Tool and Object, A History and Philosophy of Category Theory" de Ralf Krömer, en el capítulo 2:

Around the beginning of the 1940s, Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane were working in (at first glance) very different domains: Eilenberg was interested in questions of algebraic topology, Mac Lane in algebraic number theory. The impulse for their collaboration was the observation of unexpected overlappings of both domains. (And it is a "slogan" of later CT that quite different domains may be related in an unexpected manner.)

Eilenberg estaba investigando solenoides, que son espacios topológicos con algunas características especiales. McLane se dedicaba entonces al estudio de la extensión de grupos. En el libro de arriba, se cita a Eilenberg, 1993, "Karol Borsuk—personal reminiscences.” Topol. Methods Nonlinear
Anal. 1:

When Saunders Mac Lane lectured in 1940 at the University of Michigan on group extensions one of the groups appearing on the blackboard was exactly the group calculated by Steenrod [H1(S3 Σ, Z)]. I recognized it and spoke about it to Mac Lane. The result was the joint paper...

Ese "paper" es de 1942, "Group extensions and homology", al que le seguiría en ese mismo año el "Natural isomorphisms in group theory". Pero la gran relación que apareció fue entre homología en topología y las extensiones de grupo.

Por su parte, McLane escribe en 1989, “The development of mathematical ideas by collision: the case of categories and topos theory.” En Categorical topology and its relation to analysis, algebra and combinatorics

[Mac Lane] had calculated a particular case [of Ext(G,A)] which seemed of interest: That in which G is the abelian group generated by the list of elements an, where an+1 = pan for a prime p. After a lecture by Mac Lane on this calculation, Eilenberg pointed out that the calculation closely esembled that for the regular cycles of the p-adic solenoid [ . . . ]

Ver también:

https://plato.stanford.edu/entries/category-theory/

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez


Publicado el 17 de Febrero, 2018, 10:11

Siguiente Post

Un tema que siempre vuelve a aparecer ni bien estudio algo relacionado con álgebra, como topología algebraica o geometría algebraica, es la teoría de categorías. Nacida a mediados del siglo XX, para muchos matemáticos es un gran avance, algo que se refleja en el avance de las matemáticas en la segunda mitad de ese siglo: el trabajo de Grothendieck y sus colegas llevó nuevas ideas a la álgebra conmutativa, basado principalmente en ideas que sin teoría de categorías hubiera sido más difícil de expresar. Podríamos decir que la prueba de Wiles del Ultimo Teorema de Fermat no hubiera sido posible sin la aparición del lenguaje de categorías, que fue necesario para conseguir demostrar conjeturas que con métodos clásicos no habían podido probarse.

Últimamente, el tema volvió a mis lecturas especialmente en el estudio de la geometría algebraica (ver Estudiando Geometría Algebraica). El estudio de las categorías puede ser algo pesado, y sin tener en claro las motivaciones para algunas definiciones y construcciones, uno se puede perder en teoremas y deducciones, interesantes, pero que tiene algo de vaporoso, de complicado sin tener razón de ser para haber sido ideadas.

En esta nueva serie, quería compartir algunas lecturas, antes de seguir con mi serie Teoría de Categorías. Un descubrimiento de este año es el "Basic Category Theory" de Leinster, ver:

https://arxiv.org/abs/1612.09375

Leo:

Category theory takes a bird"s eye view of mathematics. From high in the sky, details become invisible, but we can spot patterns that were impossible to detect from ground level. How is the lowest common multiple of two numbers like the direct sum of two vector spaces? What do discrete topological spaces, free groups, and fields of fractions have in common? We will discover answers to these and many similar questions, seeing patterns in mathematics that you may never have seen before.

Sí, es una vista a vuelo de pájaro. Lo que las categorías han traido es una extensión de la abstracción en matemáticas, tendencia que comenzó en el siglo XIX y luego floreció a principios del siglo XX, por ejemplo, con los trabajos de Emmy Noether. Esa abstracción no siempre es bien recibida o al menos, no siempre se percibe que se gana con ella: a veces, los temas a unir son tan separados que el especialista en uno de ellos puede no ver la utilidad de emplear un nivel más alto de abstracción.

Pero acá viene un punto importante, que es la razón de mi preferencia por este libro y autor:

The most important concept in this book is that of universal property. The further you go in mathematics, especially pure mathematics, the more universal properties you will meet. We will spend most of our time studying different manifestations of this concept.

Este énfasis en las propiedades universales no siempre es evidente en otros libros. Pero es el hilo conductor para comenzar a enteder de qué va la teoría de categorías, para empezar a verla como algo más que abstracción por la abstracción pura.

En próximo post comentaré los tres caminos de Leinster para estudiar las propiedades universales. Y luego, en otros post, comentare brevemente otras fuentes conocidas, como el gran libro de Eilenberg y McLane.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 13 de Febrero, 2018, 13:16

Anterior Post
Siguiente Post

Irreducible Elements in an Unique Factorization Domain are Prime
https://math.stackexchange.com/questions/257955/irreducibles-are-prime-in-a-ufd

A principal ideal ring that is not a euclidean ring
http://www.math.buffalo.edu/~dhemmer/619F11/WilsonPaper.pdf

Ring of integers is a Principal Ideal Domain but not a Euclidean domain
https://math.stackexchange.com/questions/857971/ring-of-integers-is-a-pid-but-not-a-euclidean-domain

An example of a principal ideal domain which is not a Euclidean domain
http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/MTH5100/PIDnotED.pdf

A Short Introduction to Schemes
http://math.stanford.edu/~brianrl/notes/schemes.pdf

Foundations of Algebraic Geometry
http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGjun1113public.pdf

David Mumford
https://en.wikipedia.org/wiki/David_Mumford

Math & Beauty & Brain Areas
http://www.dam.brown.edu/people/mumford/blog/2015/MathBeautyBrain.html

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 10 de Febrero, 2018, 11:39

Ya comenzó el segundo mes del año, en una calurosa Buenos Aires. Y como es costumbre, tiempo de escribir mis resoluciones públicas mensuales (no profesionales). Primero, siempre el repaso de las del mes pasado:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Números Algebraicos [pendiente]
- Escribir sobre Geometría Algebraica [parcial] ver abajo
- Escribir sobre Curvas Elípticas [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Tenía posts "in pectore" sobre historia de la ciencia y de las matemáticas, pero no llegué a tiempo a escribirlos. Y si bien mi intención era escribir sobre geometría algebraica, en mi serie de posts, terminé extendiendo otra serie relacionada:

Estudiando Geometría Algebraica (2)
Estudiando Geometría Algebraica (3)
Estudiando Geometría Algebraica (4)
Estudiando Geometría Algebraica (5)

Para este mes, sigo insistiendo con:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Números Algebraicos
- Escribir sobre Geometría Algebraica
- Escribir sobre Curvas Elípticas
- Estudiar blues en guitarra

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Publicado el 5 de Febrero, 2018, 13:56

Anterior Post
Siguiente Post

Blockchain 101 - Elliptic Curve Cryptography
https://eng.paxos.com/blockchain-101-elliptic-curve-cryptography

Zariski Topology
http://mathworld.wolfram.com/ZariskiTopology.html

Coordinate Ring
http://mathworld.wolfram.com/CoordinateRing.html

Krull Dimension
http://mathworld.wolfram.com/KrullDimension.html

Irreducible Elements
https://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_element

Any Prime is Irreducible
https://math.stackexchange.com/questions/69504/any-prime-is-irreducible

Prime implies Irreducible
https://math.stackexchange.com/questions/1149078/prime-implies-irreducible

Irreducible Elements in a Principal Ideal Domain are Prime
https://math.stackexchange.com/questions/770731/irreducible-elements-in-a-pid-are-prime

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Artículos anteriores en Matemáticas