Lectures on Basic Algebraic Geometry
www.isibang.ac.in/~statmath/resource/algg0.pdf

Polynomial Rings and Unique Factorization Domains
http://www.math.wustl.edu/~russw/s09.math430/ufds.pdf

Unique factorization in polynomial rings - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/15137/unique-factorization-in-polynomial-rings

Hilbert's Nullstellensatz
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_s_Nullstellensatz

the Archimedes Palimpsest
http://www.archimedespalimpsest.org/

Simson biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Simson.html

Y dale con Tales… | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/10/10/y-dale-con-tales/

Algebraic Geometry
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/AG.pdf
J.S. Milne

Differential Geometry
http://www1.maths.leeds.ac.uk/~rb/DiffGeom34.htm

Differential Geometry of Curves and Surfaces
http://www.math.uregina.ca/~mareal/cs1.pdf

Gauss’ Theorem Egregium, Gauss-Bonnet etc.
http://www2.imperial.ac.uk/~skdona/lecturenotes/GAUSS.PDF

History surrounding Gauss Theorema Egregium and differential geometry - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/94682/history-surrounding-gauss-theorema-egregium-and-differential-geometry

General Investigations OF Curved Surfaces OF 1827 and 1825
http://www.gutenberg.org/files/36856/36856-pdf.pdf
Karl Friedrich Gauss

Geometry of the Dirac Theory
http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/Geom_Dirac.pdf

Pasch biography
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Pasch.html

Pequeño LdN: 29 de Agosto, Teorema de Pitágoras
http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1529/29-de-agosto

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Estamos preguntando cuáles números primos son suma de dos cuadrados. Antes de eso, preguntemos: ¿cuáles son los números que se pueden expresar como la suma de dos cuadrados?

Lo interesante del problema es que mezcla temas de suma (sumar dos cuadrados) con temas multiplicativos (números multiplicados por sí mismos para dar cuadrados). Veamos la suma de dos cuadrados en sí:

Hay una relación que nos puede ayudar, se sabe que:

Esto es interesante. Aparece la multiplicación de dos términos, en el lado derecho. Hmmmm… esto hace que si pensamos en números complejos, podemos transformar el –y2 en +y2 así:

Siendo i la raíz cuadrada de -1, esto es:

Queda

Siendo x, y naturales, tenemos que la suma de dos cuadrados es la multiplicación de dos números complejos conjugados. ESTO NO ERA EVIDENTE. Y ahora viene el siguiente "truco". Sería interesante obtener algo más de los dos términos que se multiplican a la derecha. Pero no hay mucho para obtener por ese camino. Sin embargo, si trasladamos el tema al lado izquierdo, podemos encontrar algo interesante. Vean, si hay otra suma de cuadrados:

Ahora viene el gran truco. Multiplicamos las dos últimas igualdades:

Bien, parece que no avanzamos mucho. PERO HAY LA SEMILLA DE ALGO.  Reagrupando los términos de la derecha, se ve que:

Es el conjugado de

Pues desarrollando ambas expresiones queda:

Y se ve que son conjugados uno del otro, es decir, tienen la misma expresión compleja pero con signos distintos en el factor de i. Esto es otra forma de la propiedad de los complejos: el conjugado de la multiplicación de dos números complejos es igual la multiplicación de sus conjugados. Esto se ve más claramente si se usa para visualizar el plano complejo, y se recuerda que:

- Dos números complejos son conjugados cuando son simétricos respecto del eje horizontal x
- La multiplicación de dos números complejos implica la suma de sus ángulos con respecto al eje x, y la multiplicación de sus módulos.

Volviendo al tema, queda que la multiplicación de las dos sumas de cuadrados es:

Sorpresa: la multiplicación de dos sumas de cuadrados, da la suma de dos cuadrados.  Pongamos un ejemplo en concreto, para fijar ideas:

Todo esto es notable. Veamos, consideremos el conjunto de los naturales que sean expresables como la suma de dos cuadrados. Llamémosle N2. Entonces, lo que mostramos arriba significa: si a, b pertenecen a N2, TAMBIEN su multiplicación ab pertenece a N2. A los matemáticos les gusta decir que N2 es cerrado para la multiplicación.

Vayamos un poco más allá. Si encontramos todos los números primos que son suma de dos cuadrados, todos los números que resulten de su multiplicación TAMBIEN serán suma de dos cuadrados. De un golpe y plumazo hemos encontrado una gran cantidad de números que son la expresión de dos cuadrados. No sabemos si los encontramos todos, y tampoco si son infinitos. Pero si llegamos a demostrar el teorema de esta serie de posts, vamos a demostrar que una infinidad de números naturales se pueden expresar como suma de dos cuadrados.

Algo más: en el reordenamiento de las multiplicaciones para conseguir números conjugados, también podríamos haber puesto:

Que también son conjugados, habiendo obtenido otra expresión más del número final en la suma de dos cuadrados.

Fermat ya conocía estas relaciones. Con el tiempo, aprendí que se las llama la identidad de Fibonacci y Brahmagupta, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta-Fibonacci_identity

El problema general, determinar de cuántas maneras puede expresarse un número como suma de k cuadrados lo pueden ver en http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html

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Más enlaces y novedades. Incluso hay nuevos resultados sobre una conjetura de Goldbach, y la distribución de los números primos de a pares. Hace unos meses, estuve leyendo sobre densidad, un tema muy interesante donde se junta combinatoria y teoría de números.

abc: the story so far | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/abc-the-story-so-far/

Primes really do stick together | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/primes-really-do-stick-together/
“The author has succeeded to prove a landmark theorem in the distribution of prime numbers. … We are very happy to strongly recommend acceptance of the paper for publication in the Annals.”

Posible avance en el estudio de los primos gemelos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/posible-avance-en-el-estudio-de-los-primos-gemelos/

Integer sequence review: A051200 | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/integer-sequence-review-a051200/

Primes gotta stick together | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/primes-gotta-stick-together/

(Parece ser que) Demostrada la conjetura débil de Goldbach - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/parece-ser-que-demostrada-la-conjetura-debil-de-goldbach/

All odd integers greater than 7 are the sum of three odd primes! | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/all-odd-integers-greater-than-7-are-the-sum-of-three-odd-primes/

soft question - Why do we study prime ideals? - Mathematics Stack Exchange
http://math.stackexchange.com/questions/389837/why-do-we-study-prime-ideals

First proof that infinitely many prime numbers come in pairs : Nature News & Comment
http://www.nature.com/news/first-proof-that-infinitely-many-prime-numbers-come-in-pairs-1.12989

The Paradox of the Proof | Project Wordsworth
http://projectwordsworth.com/the-paradox-of-the-proof/
On August 31, 2012, Japanese mathematician Shinichi Mochizuki posted four papers on the Internet.
The titles were inscrutable. The volume was daunting: 512 pages in total. The claim was audacious: he said he had proved the ABC Conjecture, a famed, beguilingly simple number theory problem that had stumped mathematicians for decades.

A Most Perplexing Mystery | Gödel's Lost Letter and P=NP
http://rjlipton.wordpress.com/2013/05/06/a-most-perplexing-mystery/
"[We] recommend to all cryptographic users to stop using medium prime fields."

Number theory - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Number_theory

Abel Prize to Pierre Deligne | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=5674

Pierre Deligne wins the 2013 Abel Prize | Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2013/03/20/pierre-deligne-wins-the-2013-abel-prize/

The Aperiodical | The Abel Prize Laureate 2013: Pierre Deligne
http://aperiodical.com/2013/03/abel-prize-2013-pierre-deligne/

The work of Pierre Deligne
http://www.abelprize.no/c57681/binfil/download.php?tid=57753
by W.T.Gowers

The Aperiodical | ABC, as easy as pp1-40
http://aperiodical.com/2013/03/abc-as-easy-as-pp1-40/

A Panoramic Overview of Inter-universal Teichm¨uller Theory
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Panoramic%20Overview%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf

On Fermat's Last Theorem for n = 3 AND n = 4
http://wstein.org/edu/2010/414/projects/ohana.pdf

Fermat's Last Theorem: Fermat's Last Theorem: Proof for n=3
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html

(Vídeo) Explicando con música la aritmética modular - Gaussianos
http://gaussianos.com/video-explicando-con-musica-la-aritmetica-modular

La sorprendente criba de la parábola - Gaussianos
http://gaussianos.com/la-sorprendente-criba-de-la-parabola/

Lagrange's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem

Jacobi's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_four-square_theorem

15 and 290 theorems - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/15_and_290_theorems
The 15 theorem of John H. Conway and W. A. Schneeberger (Conway–Schneeberger Fifteen Theorem), proved in 1993, states that if an integral quadratic form with integer matrix represents all positive integers up to 15, then it represents all positive integers.

Brun sieve - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Brun_sieve

Natural density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_density

Schnirelmann density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Schnirelmann_density

FINE ASYMPTOTIC DENSITIES FOR SETS OF NATURAL NUMBERS
http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/24.pdf

The asymptotic density of sequences
http://www.ams.org/journals/bull/1951-57-06/S0002-9904-1951-09543-9/S0002-9904-1951-09543-9.pdf
Our purpose is to outline the recent work on the asymptotic or limit density of sets of positive integers...
The related concept of Schnirelmann density is touched upon...

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Ya definimos algunos conceptos importantes en espacios topológicos <X, T>. Repasemos:

Los elementos de T son conjuntos (subjconjuntos de X) y se llaman abiertos, cumpliendo con las propiedades de topología

Llamamos entorno E de x es todo conjunto E que contenga  A UN conjunto abierto que contenga a x

Un conjunto C (incluído en X) es cerrado en <X,T> cuando X - C (su complemento a X) es abierto (es elemento de T)

El punto a es de acumulación del conjunto B, si todo entorno de a tiene puntos en B distintos del propio a (notemos que B es un conjunto cualquiera, subconjunto de X, no necesariamiente es ni abierto ni cerrado).

Intuitivamente, los puntos de acumulación de B están "muy cercanos" a B, nunca logramos "separarlos" de B. El punto a, si es de acumulación de B, siempre está como "pegado" a B. Podemos visualizar (de nuevo, "ver" es "intuir" en este contexto):

El punto a, puede que esté o no en B. Pero por más entornos que elijamos, siempre tienen puntos que están en B. Entonces el punto a es de acumulación. Vean que el punto c, perteneciente a B, y totalmente interior a él, también es de acumulación. Dibujé el conjunto B con un contorno de líneas y puntos, como para destacar que puede ser abierto, cerrado o ninguno de los dos.

Veamos un conjunto abierto A:

Ahora podemos visualizar el conjunto cerrado C = X - A (imaginando que X es como un rectángulo):

El punto d, que está ahí justo en la "frontera", tiene entornos que siempre tienen puntos de C, distintos del propio d. Por más que pongamos entornos cada vez más pequeños, siempre "tocan" a parte de C.

Bien, dicho esto, tengo que advertir: TODO ESTO ES INTUICION. Estamos trabajando imaginando que nuestra topología es continua, que lo que dibujamos como conjuntos tienen puntos que si son cercanos en nuestro dibujo, son cercanos también en nuestra topología. Es decir, estamos manejando intuitivamente una topología sobre el plano real, la topología más usual para ese plano. Los matemáticos se sirven de la intuición, y mucho, además de la analogía y otras ideas más locas. Pero en algún momento, para avanzar, tienen que poner en firme algunas de esas ideas, y ahí aparece el teorema y la prueba. Tal vez en nuestro sistema educativo se ha puesto más énfasis en aprender teoremas y sus pruebas, que en jugar a hacer matemáticas.

Pero también el teorema y la prueba es parte del juego. Termino hoy con algo a probar: vean que parece que todos los puntos de acumulación de un conjunto cerrado LE PERTENECEN. Traten de imaginar un punto de acumulación de C que esté en A, que pertenezca a A. Hmmm... no parece que haya ninguno. Pues bien, ése es el caso, no solo para la topología intuitiva de estos dibujos, sino para todo espacio topológico que se precie de serlo. ¿Pueden demostrarlo? Les dejo tarea para el hogar, sino lo vemos en el próximo post.

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Más enlaces sobre un tema que permea a todas las matemáticas:

Mathematicians solve E8 structure (Update)
http://www.physorg.com/news93499369.html

What is E8?
http://www.aimath.org/E8/e8.html

Amazon.com: The Theory of Groups and Quantum Mechanics (9780486602691): Hermann Weyl: Books
http://www.amazon.com/Theory-Groups-Quantum-Mechanics/dp/0486602699/ref=wl_mb_hu_m_T2_2_dp

Permutation Representations from Partitions « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/12/14/permutation-representations-from-partitions/

The Three-Fold Way (Part 3) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/12/the_threefold_way_part_3.html

The Dimension of the Space of Tensors Over the Group Algebra « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/11/16/the-dimension-of-the-space-of-tensors-over-the-group-algebra/

(Fake) Frobenius Reciprocity « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/11/30/fake-frobenius-reciprocity/

Inducing the Trivial Representation « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/12/06/inducing-the-trivial-representation/

The Endomorphism Algebra of the Left Regular Representation « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/11/18/the-endomorphism-algebra-of-the-left-regular-representation/

Pictures of Modular Curves (VI) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/12/pictures_of_modular_curves_vi.html

Hilorama de E8 « Juegos topológicos
http://topologia.wordpress.com/2010/10/10/e8-con-hilo-tensado/

La belleza de la teoría de grupos en física de partículas (o más sobre Garrett Lisi y E8) « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2008/10/28/la-belleza-de-la-teoria-de-grupos-en-fisica-de-particulas-o-mas-sobre-garrett-lisi-y-e8/

¿Por qué se utiliza la teoría de grupos en física de partículas elementales? « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2008/10/27/%c2%bfpor-que-se-utiliza-la-teoria-de-grupos-en-fisica-de-particulas-elementales/

A Geometric Theory of Everything: Scientific American
http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=a-geometric-theory-of-everything

Conjuntos de enteros con todas las diferencias distintas (pdf)
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/cillerue/Curso/GacRSocMatEsp5.pdf

Passage from compact Lie groups to complex reductive groups « Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2010/11/25/passage-from-compact-lie-groups-to-complex-reductive-groups/

Amazon.com: Linear Analysis and Representation Theory (9780486478517): Steven A. Gaal: Books
http://www.amazon.com/Linear-Analysis-Representation-Theory-Steven/dp/0486478513

Restricting and Inducing Representations « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/11/23/restricting-and-inducing-representations/

Decomposing the Left Regular Representation « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/11/17/decomposing-the-left-regular-representation/

Strongly dense free subgroups of semisimple algebraic groups « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2010/10/21/strongly-dense-free-subgroups-of-semisimple-algebraic-groups/

Tensor Products over Group Algebras « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/11/09/tensor-products-over-group-algebras/

Tensors Over the Group Algebra are Invariants « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/11/15/tensors-over-the-group-algebra-are-invariants/

Amazon.com: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups (Graduate Texts in Mathematics) (9781441928207): Frank W. Warner: Books: Reviews, Prices & more
http://www.amazon.com/Foundations-Differentiable-Manifolds-Graduate-Mathematics/dp/1441928200

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Tengo varios enlaces a explorar del tema, además de libros. Por ahora, esta tercera entrega:

Additive Geometric Patterns of Resemblance
http://www.xamuel.com/geometric-patterns-of-resemblance/

Bill Thurston « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/08/22/bill-thurston/

On sets defining few ordinary lines « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/08/24/on-sets-defining-few-ordinary-lines/

A trivial remark about schemes « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/09/05/a-trivial-remark-about-schemes/

From Poisson To String Geometry | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/09/from_poisson_to_string_geometr.html

Connection (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Connection_(mathematics)

Connection (principal bundle) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Connection_(principal_bundle)

Cartan connection - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Cartan_connection

Affine connection - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_connection

How To Use the Covariant Derivative Part 1 - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=XDUn4BibPTc

PH212 - Physical Mathematics II - Spring 2011
http://cosmology.kaist.ac.kr/pm2/

Skew coordinates - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Skew_coordinates

One-form - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/One-form

University of Toronto Mathematics - Geometry and Topology core course
http://www.math.toronto.edu/~mat1300/

The Geometry of Projective Space on Vimeo
http://vimeo.com/40243261

Symmetry and the Fourth Dimension (Part 4) « Azimuth
http://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/07/26/symmetry-and-the-fourth-dimension-part-4/

SnapPy — SnapPy 1.6.0 documentation
http://www.math.uic.edu/t3m/SnapPy/

Monge biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Monge.html

Lecture 6 page 1 at 100 DPI -- 6.885, Folding and Unfolding in Computational Geometry, Prof. Erik Demaine
http://courses.csail.mit.edu/6.885/fall04/erik_notes/100dpi/L6-1.html

D¨urer"s Magic Square, Cardano"s Rings, Prince Rupert"s Cube, and Other Neat Things
http://www.math.usma.edu/people/rickey/papers/ShortCourseAlbuquerque.pdf

El cubo de Ruperto, o cuál es el cubo de mayor tamaño que puede atravesar a otro cubo - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/el-cubo-de-ruperto-o-cual-es-el-cubo-de-mayor-tamano-que-puede-atravesar-a-otro-cubo/

Geometry History - Interesting Facts & Information
http://www.kidsmathgamesonline.com/facts/geometry/history.html

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Un nuevo post de recursos de un tema que me apasiona:

Nota dominical: El método numérico del matemático palentino Fray Juan de Ortega « Francis (th)E mule Science's News

http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/12/23/nota-dominical-el-metodo-numerico-del-matematico-palentino-fray-juan-de-ortega/

Varignon biography

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Varignon.html

Mathematical proof reveals magic of Ramanujan's genius - physics-math - 08 November 2012 - New Scientist

http://www.newscientist.com/article/mg21628904.200-mathematical-proof-reveals-magic-of-ramanujans-genius.html

La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen - Gaussianos

http://gaussianos.com/la-hipotesis-del-continuo-del-susto-de-cantor-a-la-prueba-de-cohen/

What was up with Pythagoras? - YouTube

http://www.youtube.com/watch?v=X1E7I7_r3Cw&feature=youtube_gdata_player

The “first” Atlas | The Renaissance Mathematicus

http://thonyc.wordpress.com/2012/11/06/the-first-atlas/

The other professor of mathematics at Wittenberg. | The Renaissance Mathematicus

http://thonyc.wordpress.com/2012/10/23/the-other-professor-of-mathematics-at-wittenberg/

How would Alan Turing develop biology? « Theory, Evolution, and Games Group

http://egtheory.wordpress.com/2012/06/23/turing-biolog/

The Impact of Turing's Work on Pattern Formation in Biology

https://people.maths.ox.ac.uk/maini/PKM%20publications/172.pdf

Alan Turing’s Reaction-Diffusion Model – Simplification of the Complex | Kele's Science Blog

http://phylogenous.wordpress.com/2010/12/01/alan-turings-reaction-diffusion-model-simplification-of-the-complex/

Alan Turing's Patterns in Nature, and Beyond | Wired Science | Wired.com

http://www.wired.com/wiredscience/2011/02/turing-patterns/

Turing The Biologist - Forbes.com

http://www.forbes.com/2009/06/23/alan-turing-biologist-opinions-contributors-artificial-intelligence-09-olaf-sporns.html

Polynomial Rings and Unique Factorization Domains

http://www.math.wustl.edu/~russw/s09.math430/ufds.pdf

Unique factorization in polynomial rings - MathOverflow

http://mathoverflow.net/questions/15137/unique-factorization-in-polynomial-rings

The Aperiodical | Happy birthday, Évariste Galois

http://aperiodical.com/2012/10/happy-birthday-evariste-galois/

Erdos « Relatively Prime

http://relprime.com/erdos/

Danti summary

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Danti.html

the Archimedes Palimpsest

http://www.archimedespalimpsest.org/

Another feminist Newtonian: Bologna’s Minerva | The Renaissance Mathematicus

http://thonyc.wordpress.com/2012/10/16/another-feminist-newtonian/

Ferrari biography

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Ferrari.html

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Sigamos con este tema de demostrar el teorema de Hilbert. Sea R un anillo noetheriano (todo ideal es finitamente generado), y sea R[X] el anillo de polinomios en la variable x.

Sea I[X] un ideal de R[X], es decir, un conjunto de polinomios (subconjunto de R[X]) cerrado por la suma y la resta, y cerrado por la multiplicación por cualquier polinomio de R[X].

Es decir, dos polinomios cualesquiera de Q(x), P(x) de I[X],  y cualquier polinomio S(x) de R[X], cumplen

No voy a discutir en esta prueba anillos R que no sean conmutativos. Pero la prueba sería la misma, solamente tendría que hablar de "ideal a la izquierda" o "ideal a la derecha", en vez de simplemente "ideal".

Para fijar ideas, sea R el anillo de los enteros. Entonces, podría ser  que tengamos en I[x] dos polinomios como:

Cuando intenté probar el teorema por primera vez, me detuve en polinomios del ideal como estos dos. Me pregunté: ¿qué puedo asegurar del ideal? Primero me detuve en los coeficientes "sin x", en este caso, 7 y 3, respectivamente. Se puede ver que los coeficientes libres de I[x] forman un anillo en R: porque sumados dos de esos coeficientes, que se encuentren en dos polinomios de I[X], su resultado estará presente como coeficiente libre en el polinomio suma, también en I[x]. Con los polinomios de arriba, es fácil ver que todos los enteros estarán presentes como coeficientes libres, pues el máximo común divisor de 7 y 3 es 1: el ideal generado por 7 y 3 coincide entonces con todos los enteros.

Pero no llegué muy lejos por ese camino. Es más interesante ver los coeficientes principales, es decir, los asociados al término del polinomio de mayor grado. En los dos polinomios de arriba, son 3 y 5, respectivamente. De nuevo, se puede ver que los coeficientes principales de los polinomios de I[x] forman un ideal. Pero, ¿cómo es eso? ¿Cómo conseguimos, por ejemplo, un polinomio que tenga como coeficiente principal a la suma de 3 y 5? No podemos simplemente sumar los polinomios de arriba: 3 y 5 pertenecen a términos de distinto grado. Pero podemos recordar que cualquiera de esos polinomios de I[x] lo podemos multiplicar por cualquiera de los R[x]. Entonces, multiplicamos

Por el polinomio apropiado de R[x], como uno de primer grado:

Quedando un polinomio de segundo grado, que sigue estando en I[x], por ser éste un ideal, cerrado a las multiplicaciones por R[x]:

Ahora sí podemos sumar este nuevo elemento de I[x] al primer polinomio quedando:

Por ser I[x] ideal cerrado a las sumas, este nuevo polinomio es de I[x]. Albricias! Hemos conseguido un polinomio con coeficiente principal 8 = 5 + 3. Entonces, hemos demostrado, informalmente, que los coeficientes principales de los polinomios elementos de I[x] son cerrados para la suma. De la misma forma podemos probar que son cerrados por la resta.

Como cualquier elemento de I[x] se puede multiplicar por cualquier elemento de R[x], y el resultado sigue estando en I[x], nos basta multiplicar cualquier polinomio P de I[x] por un número r de R, para ver por cada coeficiente principal a presente en I[x], la multiplicación r*a TAMBIEN está en algún polinomio de I[x]. Es decir, los coeficientes principales de los polinomios de I[x] SON CERRADOS ante la multiplicación por R.

Con estas propiedades, hemos demostrado:

- Los coeficientes principales de I[x] son un ideal en R

Como hemos supuesto que R es noetheriano, entonces:

- El ideal de los coeficientes principales es generado finitamente

Es decir, hay un conjunto finito de esos coeficientes que genera todos los demás.

Y acá está la primera punta para demostrar el teorema de Hilbert. Dado ese conjunto de m elementos de R:

podemos encontrar por CADA UNO, un polinomio de I[x] que lo tenga como coeficiente principal, y QUE SEA DEL MENOR GRADO que encontremos en I[x] para ese coeficiente:

...

Todos esos polinomios están en I[x]. Sus combinaciones con polinomios cualesquiera de R[x]:

generan un ideal, digamos, I1[x], que está evidentemente contenido en I[x], pues cada uno de los sumandos de la expresión de arriba está a su vez en I[x]. Si este nuevo ideal  I1[x] es igual a I[x], el teorema queda demostrado.

Tenemos que tratar qué pasa cuando I1[x] es MENOR que I[x]. Cuando esto pasa, entonces algunos polinomios no lograron generarse con los m polinomios que encontramos en el primer paso. Veremos cómo tratarlos en el próximo post.

Nos leemos!

Angel  "Java" Lopez
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Veamos en esta nueva serie de posts de demostrar un teorema clásico, enunciado primeramente por Fermat. La historia del teorema es muy interesante, pero eso será tema para un post aparte. ¿Qué vió Fermat? Estaba interesado en cómo expresar números naturales, por multiplicaciones o por sumas. Fue el gran refundador de la teoría de números. Al investigar divisibilidad, se interesó por los números primos (ver mi serie sobre Números primos), los números cuyos únicos divisores naturales son el 1 y ellos mismos. Forman una serie infinita que comienza con:

Ya desde la antigüedad se sabía que había infinitos primos. Excepto el 2, todos son impares. A Fermat le interesaban cuáles números naturales eran suman de dos cuadrados:

Fermat observó que algunos primos eran expresables como la suma de dos cuadrados:

No parecía que los primos expresables como suma de dos cuadrados formaran una serie que terminara: siempre había alguno así. Esto era inesperado: ¿por qué esta relación entre primos (definidos por un tema de divisibilidad) y sumas, y encima, de sumas de cuadrados?

Pero no termina aquí el asombro. Revisen los primos que son sumas de dos cuadrados. ¿Notan alguna característica compartida por todos? Pues bien, Fermat descubrió (y se supone que demostró, aunque no dejó prueba escrita; en realidad, en toda su vida, de todos sus teoremas y conjeturas sólo dejó una por escrito) que todos los primos que son suma de dos cuadrados toman la forma:

Es decir, que superan en 1 a un múltiplo de cuatro. No sólo eso: demostró que TODOS los primos 4m+1 son expresables como suma de dos cuadrados.

Hace dos años conseguí demostrar el teorema (ver Cinco al hilo ). Quiero en esta serie de post pasar en limpio la prueba. La primera vez que encontré este teorema/problema es el excelente libro "100 Great Problems of Elementary Mathematics, their history and solution", de Heinrich Dorrie, ed. Dover. A muchos problemas que encontré en ese libro, sólo los leí, investigando la parte histórica, pero dejé de lado ver la demostración, para entretenerme algún día. Bueno, pasaron por lo menos dos décadas, y al fin pude encontrar una demostración de este teorema.

Veamos ahora que es fácil ver que "los otros primos", los que no son suma de dos cuadrados, son de la forma:

¿Por qué no pueden ser expresados como suma de dos cuadrados? Veamos de investigar los restos de los cuadrados módulo 4:

Es decir, un cuadrado deberá ser o múltiplo de 4 o exceder en 1 a un múltiplo de 4. Sólo puede dar 0 o 1 como resto al dividir por cuatro. La suma de dos cuadrados será la suma de dos resto 0, dos 1, o 0 + 1:

La primera y última dan números pares, no primos. Nuestra única esperanza es la segunda opción. Pero eso deja afuera a los primos de la forma:

Es por eso que no hay suma de cuadrados que resulten en ese tipo de primos.

Bien, pero eso no demuestra que TODOS los 4m+1 PUEDAN expresarse como suma de dos cuadrados. La demostración de esto nos va a llevar a temas interesantes.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Ya hemos definido un espacio topológico. Es un par:

Donde los conjuntos abiertos del espacio topológico cumplen las condiciones que le impusimos:

- La intersección de dos conjuntos abiertos cualquiera también es un conjunto abierto
- La unión de una familia de conjuntos abiertos (arbitraria) es también un conjunto abierto

Se acostumbra a decir <X, T> es un espacio topológico, y T (el conjunto de todos los abiertos) es la topología. Para un mismo X podemos tener más de una T.

Luego, desde los conjuntos abiertos pudimos formalizar los entornos de un punto: ¿qué es lo que vamos a considerar como "puntos cercanos al punto x"?:

Definimos entorno del punto x a todo conjunto que contenga a un conjunto abierto que contenga a x. Vean lo curioso: la motivación es tener una forma de manejar formalmente, con seguridad, lo que vamos a considerar "la mancha de puntos" que rodean a x. Pero se vió, históricamente, que para tener una buena y manejable definición de entorno, hubo que formalizar lo que es un conjunto abierto (y lo que no es un conjunto abierto).

La figura de arriba nos recuerda que en el anterior post vimos cómo usamos el concepto de entorno de un punto para definir los puntos de acumulación de un conjunto cualquiera (Nota: cuando hablo de "un conjunto cualquiera" es una forma de decir corta de "un subconjunto (propio o no) del espacio topológico X que estamos considerando")

Ahora bien, dada un X, el conjunto T de lo que consideramos abiertos, siempre que cumplan las condiciones de topología, nos define COMPLETAMENTE un espacio topológico <X,T>. Veamos que los matemáticos también hablan de conjuntos cerrados. Sea la definición:

Un conjunto C (incluído en X) es cerrado en <X,T> cuando X-C es abierto (es elemento de T)

O sea, un conjunto C es cerrado si su complemento (siempre hablando en el contexto de un espacio topológico en concreto <X,T>) es abierto. Por las leyes de de Morgan se ve entonces que:

- La unión de dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado
- La intersección de una familia arbitraria de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado

También podemos ver que, dado X, tanto podemos definir una topología T dando sus elementos abiertos como sus elementos cerrados. Es decir, podemos reescribir todos los libros de topología, hablando de cerrados, sin mencionar abiertos. Tendríamos que reformurlar algunos teoremas, pero es posible. Eso pasa varias veces en matemáticas. No siempre una definición es más fundamental que otras, sino que son, digamos, alternativas del mismo nivel. Pero el concepto de conjunto abierto permite definir más claramente lo que es un entorno, y como ésto es el objetivo de la topología general, se ha dado preferencia a la definición de topología en base a sus elementos abiertos.

Bien, respiremos hondo: tenemos punto, espacio, abiertos, cerrados, entornos, y puntos de acumulación. ¿Qué vamos a hacer con todo esto? Bueno, algo fue apareciendo en el último post: además de puntos cercanos de un punto, algo interesante a explorar es: ¿dónde "termina" un conjunto? ¿qué lo separa de otros? Comenzará a aparecer el concepto de frontera, y su relación con ser un conjunto cerrado o no, y su relación con los puntos de acumulación. Temas que no eran evidentes cuandos formulamos estos conceptos, pero ya estamos llegando a usarlos. Por ejemplo, todavía no hemos empleado a los puntos de acumulación. Veremos su importancia, nacida en el análisis y en el tratamiento de límite de series. Pero por ahora, sigamos con topología general ;-)

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Sigo traduciendo el prefacio de David Hilbert de su Zalhbericht:

El amor de Lejeune Dirichlet por la aritmética es bien conocida. También conocemos cómo Kummer dedicó su actividad académica sobre todo a la teoría de números; y Kronecker dió expresión a la esencia de su percepción matemática con las palabras: "Dios hizo los números naturales; todo lo demás de los humanos".

Con este simple prerrequisito la teoría de números es seguramente el campo del conocimiento matemático cuyos resultados son los más fáciles de entender. Pero para entender completamente los conceptos y métodos de prueba en aritmética require un alto grado de facilidad en el uso del pensamiento abstractio, y este hecho es, algunas veces, puesto como reproche contra el tema. Sin embargo, en mi opinión, todas las demás ramas de las matemáticas demandan al menos un gran capacidad para manejar la abstracción - esto es, asumiendo que exponemos los fundamentos de ellas con el rigor y la completitud que son realmente necesarias.

Sobre la posición de la teoría de números en el conjunto de las matemáticas, Gauss, en su prefacio de sus Disquisitiones arithmeticas, todavía la entiende como la teoría de los números naturales, con todos los números imaginarios estrictamente excluidos

En eso cambiaría Gauss cuando comience a investigar la reciprocidad cuadrática. Ver más abajo. Recomiendo a todos una lectura de esa obra de Gauss, con énfasis en el capítulo 5 sobre formas cuadráticas, y el 7, sobre ciclotomía.

De esa manera, él no clasifica a la ciclotomía como teoría de números propiamente dicha; pero él añadió que "sus princicipos son derivados pura y simplemente de las aritmética superior". En la misma línea que Gauss, tanto Jacobi como Lejeune Dirichlet repetida y enfáticamente expresan su sorpresa sobre la conexión cercana entre problemas de teoría de números y problemas algebraicos, en particular el problema de ciclotomía.

Ver Cyclotomy and Cyclotomic Polynomials, The Story of how Gauss Narrowly Missed Becoming a Philologist. Para hacia donde llegó el tema en tiempos modernos New Generalized Cyclotomy and Its Applications

La razón central para esta conexión ahora es completamente clara. A saber, la teoría de campos algebraicos, y la teoría de campos de números ha devenido en ser la parte más esencial de la moderna teoría de números.

El mérito por haber sembrado las primeras semillas de la teoría de campos de números también recae en Gauss. Gauss reconoció que la real fuente de las leyes de los residuos bicuadráticos yacen en una "extensión del campo de la aritmética", a saber, según lo expuso, la introducción de números imaginarios enteros de la forma a + bi; él conoció y resolvió el problema de pasar a estos enteros imaginarios todos los teoremas de la teoría de números normal, especialmente las propiedades concernientes a la divisibilidad y las relaciones de congruencia. Mediante el desarrollo sistemático de esta noción y bajo la luz de nuevas ideas de largo alcance de Kummer, Dedekind y Kronecker, hemos llegado a la teoría de los campos de números algebraicos de nuestros días.

Kummer introdujo los números ideales, cuando le hicieron ver que tenía un error en su intento de demostrar el último teorema de Fermat. En los textos de hoy, apenas se menciona al pasar sus ideas, sin exponerlas en detalle (espero aprender más en este libro de Hilbert). Dedekind, con una idea genial, reemplaza números por clases de números, y plantea el moderno concepto de ideal. Kronecker propone una solución parecida, los sistemas modulares (tengo que confirmar). Todas estas ideas fueron promovidas por encontrar un símil del teorema fundamental de la aritmética de enteros (la factorización única en primos) para campos de números más generales.

Próximos posts: más traducción del prefacio, notas históricas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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El título se refiere al libro "La Teoría de Números Algebraicos" de David Hilbert, de 1897, conocido como el Zalhbericht (el "reporte de números", pues era un trabajo por encargo para que expusiera un resumen del estado de la teoría en esos tiempos).  Leo en el artículo de Wikipedia:

In 1893 the German mathematical society invited Hilbert and Minkowski to write reports on the theory of numbers. They agreed that Minkowski would cover the more elementary parts of number theory while Hilbert would cover algebraic number theory. Minkowski eventually abandoned his report, while Hilbert's report was published in 1897. It was reprinted in volume 1 of his collected works, and republished in an English translation in 1998.

Tengo bastante para comentar de este "informe" que tanta influencia tuvo en el desarrollo de los números algebraicos. Hoy comienzo esta serie traduciendo el prefacio de Hilbert:

La teoría de números es una de las ramas más antiguas de las matemáticas y la mente humana se despertó tempranamente a algunas de las profundas propiedades de los numeros naturales. Sin embargo, su estado como una ciencia independiente y sistemática es enteramente un logro de los tiempos modernos.

Desde tiempo inmemorial la teoría de números ha sido reconocida por la simplicidad de sus fundamentos, la precisión de sus conceptos y la claridad de sus verdades; ha disfrutado de estas propiedades desde sus comienzos, mientras que otras ramas de las matemáticas han debido pasar por un más o menos extendido desarrollo antes que encontrar la base de la confianza en sus ideas y el rigor en sus demostraciones.

Así que no nos sorpredenmos por el gran entusiasmo que este tema ha inspirado en sus devotos de todos los tiempos. "Casi todos los matemáticos que emplearon su tiempo con la teoría de números," dice Legendre describiendo el amor de Euler por el tema, "se le entregan ellos mismos con cierta pasión". Nosotros recordamos también la reverencia que nuestro maestro Gauss sintió por la ciencia de la aritmética, como cuando obtuvo su primér exito en probar un resultado aritmético sobresaliente y "la fascinación de esta investigación lo cautivó de tal manera que ya no pudo escapar de ella", y cuando él alababa a Fermat, Euler, Lagrange y Legendre como "hombres de incomparable gloria", ya que "habían abierto la puerta del santuario de esta divina ciencia y habían mostrado con que abundantes riquezas estaba provisto"

Una característica especial de la teoria es que frecuentemente encontramos difíciles pruebas para resultados simples que se pueden entender fácil e intuitivamente. "Esto, " dice Gauss, "es precisamente lo que le da a la alta aritmética su fascinante encanto, que la hace la ciencia favoritas de los exploradores, sin hablar de su inagotable almacen de riquezas, en las que de lejos supera a todas las demas ramas de las matemáticas".

En próximos post completo la traducción del prefacio, y agrego algunas notas históricas.

Nos leemos!

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In the summer semester 1897 David Hilbert gave an introductory course in invariant theory at the University of Gottingen. The present text is an English translation of the handwritten course notes taken by Hilbert's student Sophus Marxsen.

When Hilbert gave this course in 1897, his research in invariant theory had been completed. In particular, Hilbert's famous Finiteness Theorem had been proved and published in two striking papers (Hilbert 1890, 1893).* These papers changed the course of invariant theory dramatically, and they laid the foundation for modern commutative algebra. Thus 1897 was a perfect time for Hilbert to give an introduction to invariant theory, taking into account both the old approach of his predecessors and his new ideas. It is this bridge from nineteenth-century mathematics into twentieth-century mathematics which makes these course notes so special and distinguishes them from other treatments of invariant theory.

Justamente, el Finiteness Theorem de Hilbert está basado en un resultado nuevo (y más simple) el teorema de la base que estoy tratando en otra serie de posts.

Hilbert's course is at a level accessible to graduate students in mathematics. Prerequisites include familiarity with linear algebra and the basics of ring theory and group theory. The text provides a self-contained introduction to classical invariant theory, and it will be of interest to anyone who wishes to study this subject. But we believe that this translation will also be valuable as a historical source for experts in contemporary invariant theory...

Manos a la obra, entonces. Sea una suma de productos de constantes y variables. Lo llamamos polinomio. Es decir, si cikl son constantes, y sean x, y, z variables, entonces

Es un polinomio de tres variables. La forma general de un polinomio es:

Cada uno de esos productos se llama un término del polinomio. Su número característico

Esto es, la suma de los exponentes de las variables, se llama el orden del término. Ejemplo, el polinomio en tres variables:

Tiene tres términos, el primero de orden 4, el segundo de orden 2, y el último de orden 3. El orden del término con mayor orden se llama el orden del polinomio. El de arriba es entonces de orden 4.

Podemos pensar siempre en un polinomio donde los términos estén ordenados por orden. Podríamos escribir el polinomio de varias variables de orden n como:

Donde cada [i] es un polinomio de orden i. El último término no puede ser el polinomio nulo, porque sino el polinomio no sería de orden n. Pero los otros términos podrían ser nulos. Un polinomio no tiene por qué tener todos los órdenes en sus términos.

Pero, acá viene una definición nueva: si todos los demás [i] APARTE DE [n] son nulos, es decir, si todos los términos del polinomio son del mismo grado, llamamos a F una función homogénea o de una forma.

De ahora en más, sólo trataremos de formas. El orden de una forma es n, y las variables pueden ser m variables. Pareciera que si consideramos sólo formas, estamos dejando de lado a los polinomios más generales. Pero en realidad, no tanto. Si tenemos un polinomio general:

Lo podemos transformar en una forma, agregando una variable adicional:

G es una función homogénea, de la que podemos obtener de nuevo F simplemente haciendo xm = 1

Hasta podemos escribir:

Entonces, podemos decir que la teoría de las formas de m variables es esencialmente la misma que la de polinomios generales de m-1 variables. Sabiendo esto, veamos un resultado simple pero importante. Vamos a tomar un camino muy común en matemáticas. Cuando tenemos un concepto X, le vamos aplicando transformaciones, a ver que nos resulta. La primera transformación a explorar será: escalar todas las variables, por un factor u: una transformación que tiene cierto sentido, veamos por qué.

Sea una forma G:

Si ahora reemplazamos cada xi, por uxi, siendo u arbitrario, tenemos

Como el exponente de u es n, queda entonces

(tengo entendido que ésta era la definición de función homogénea para Euler, independientemente de si era un polinomio o no). La clave del resultado es que al escalar cada variable por u, y contienendo cada término la misma cantidad de variables (repetidas o no), cada término es escalado DE LA MISMA MANERA.

Si un polinomio F tiene esta propiedad, entonces se ve que es una forma. Se puede ver esto, si tomamos las partes homogéneas de F: no todas pueden tener "escalar" de la misma forma, al escalar uniformemente todas las variables al multiplicarlas por u. Así que podemos definir forma como un polinomio que cumple con la relación de escala de arriba.

Veamos algo no evidente. Diferenciamos G respecto de u, como si fuera una nueva variables, y tomemos la derivada total por u, como la suma de las derivadas parciales de las uxi:

Y entonces, si ponemos u = 1

Esta es entonces otra propiedad fundamental de las formas de orden n y m variables.

En próximos posts aparecerá el concepto de invariante de estas formas, transformaciones lineales y la clasificación de formas. En algún momento, cambiaremos los coeficientes arbitrarios (en lo de arriba podrían ser del cuerpo de los reales o complejos) por enteros.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Es un tema amplio, y en verdad, son varios temas. Una cosa son los invariantes topológicos, y otras los invariantes algebraicos. Y otro son las funciones invariantes (ver mi serie de posts). De hecho, he encontrado poco sobre funciones invariantes, pero pueden ver:

A Function Invariant under a Group of Transformations
Algo más restringido Invariant Functions sobre O(n), SO(n)

Pero vayamos a la definición más general:

http://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_(mathematics)

In mathematics, an invariant is a property of a class of mathematical objects that remains unchanged when transformations of a certain type are applied to the objects. The particular class of objects and type of transformations are usually indicated by the context in which the term is used. For example, the area of a triangle is an invariant with respect to isometries of the Euclidean plane. The phrases "invariant under" and "invariant to" a transformation are both used. More generally, an invariant with respect to an equivalence relation is a property that is constant on each equivalence class.

Invariants are used in diverse areas of mathematics such as geometry, topology and algebra. Some important classes of transformations are defined by an invariant they leave unchanged, for example conformal maps are defined as transformations of the plane that preserve angles. The discovery of invariants is an important step in the process of classifying mathematical objects.

Y siempre termino topándome con invariantes en física:

http://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_(physics)

Invariants are important in modern theoretical physics, and many theories are expressed in terms of their symmetries and invariants.

Covariance and contravariance generalize the mathematical properties of invariance in tensor mathematics, and are frequently used inelectromagnetism, special relativity, and general relativity.

Agregaría que el tema covariancia y contravariancia también aparece en "gauge theory". Pero volvamos a los invariantes.

Mis primeras notas serán sobre los invariantes algebraicos

http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicInvariant.html

A quantity such as a polynomial discriminant which remains unchanged under a given class of algebraic transformations. Such invariants were originally called hyperdeterminants by Cayley.

Como bien dice ese corto artículo de Mathworld, uno de los primeros en desarrollar el tema de invariantes algebraicos fue Cayley, en el siglo XIX.

Quisiera terminar esta primer nota, mencionando mis principales fuentes:

- Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Morris Kline (hay edición en español, de Alianza. Ver principalmente el tercer volumen)

- The Development of Mathematics, de Eric Temple Bell ya citado varias veces en este blog (ver Gauss y la congruencia, por E.T.Bell, Gauss, Abel, Galois en la sociedad, según Bell, Dos visiones de matemáticas, Contra los místicos del tiempo) hay edición en español de Fondo de Cultura Económica. Sobre el tema de invariantes, lo principal a leer es el capítulo XX

- The Theory of Algebraic Invariants, notas de un curso de David Hilbert

- The Classical Groups, their Invariants and Representations, de Hermann Weyl, alumno de Hilbert.

Lo de Weyl debe estar expuesto también en el más moderno:

Classical Invariant Theory, a primer (pdf) de Hanspeter Kraft y Claudio Procesi (ver la conferencia de Kraft para el cumpleaños de Procesi)

Basta por hoy, por lo menos con este post ya tengo anotado, y con poco riesgo de perder, lo principal a leer y desarrollar sobre el tema. Ya vendrán nuevos posts.

Nos leemos!

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There exists, in my opinion, a plainly discernible parallelism between the more recent developments of mathematics a physics. Occidental mathematics has in past centuries broke away from the Greek view and followed a course which seen to have originated in India and which has been transmitter with additions, to us by the Arabs; in it the concept of number appears as logically prior to the concepts of geometry.

Interesante que mencione el tema del número, como alejado de lo que habían fundado los antiguos griegos (comencé hace poco mi Historia de las Matemáticas en Grecia). En realidad, los griegos tuvieron en Pitágoras y sus seguidores a los promotores de los números como fundamento de las matemáticas. Hubo que esperar al siglo XIX para que se volviera ponerlos en plenamente en la base. Recordar a Kronecker, para quien Dios había creado los enteros y todo lo demás era obra del hombre. Y antes, a Gauss, que llevó a la mayoría de edad el tratamiento de los complejos como números. Nota para repaso: leer el capítulo 8 de Historia de las matemáticas, de Bell, donde trata el "resurgimiento de lo pitagórico".

Con respecto al número como anterior al concepto de la geometría, hay en este último siglo, una vuelta a las visiones geométricas, tanto en matemática abstracta como en matemática y física. La aparición de las geometrías no euclideanas en el siglo XIX, fue el antecedente de su uso en la física del siglo XX en relatividad y aledaños. Nota para repaso: leer Penrose, cómo pone énfasis en los conceptos geométricos aplicados a la física moderna.

The result of this has been that we have applied this systematically developed number concept to all branches, irrespective of whether it is most appropriate for these particular applications. But the present trend in mathematics is clearly in the direction of the return to the Greek standpoint; we now look upon each branch of mathematics as determining its own characteristic domain of quantities.

Weyl destaca que cada rama de las matemáticas comienza a hacer "su propio juego". Ya los reales y complejos no eran "el juego" sino uno más de entre los posibles campos de números. No había "una geometría" sino varias, que podían incluso inventarse. Todo esto lleva también a la abstracción, que fue creciendo a lo largo del siglo XX.

The algebraise of the present day considers the continuum of real or complex numbers as merely one "field ': among many; the recent axiomatic foundation of projective geometry may be considered as the geometric counterpart of this view. This newer mathematics, including the modern theory of groups and "abstract algebra," is clearly motivated by a spirit different from that of" classical mathematics," which found its highest expression in the theory of functions of a complex variable. The continuum of real numbers has retained its ancient prerogative in physics for the expression of physicall measurements, but it can justly be maintained that the essence of the new Heisenberg-Schrodinger-Dirac quantum mechanics is to be found in the fact that there is associated with each physical system a set of quantities, constituting a non-commutative algebra in the technical mathematical sense, the elements of which are the physical quantities themselves.

Lo interesante es que menciona la aparición del álgebra abstracta, y de la teoría de grupos "per se", que va a ser la base de este libro. Y de la relación de las matemáticas con la física, poniendo el caso de la aparición de la no conmutatividad en algo físico, como la "nueva" mecánica cuántica de fines de los 20. Hay mucho para comentar de este corto y abigarrado párrafo de Weyl. Espero poder escribir algunos posts sobre temas particulares del libro, que muestra tan bien la relación entre las explicaciones físicas y la teoría de grupos, lo que nos llevaría a simetrías, leyes de conservación, y la forma matemática que tiene en su núcleo las teorías físicas.

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