En el siglo XIX aparecieron algunas sombras sobre los resultados obtenidos hasta entonces. Curvas continuas sin derivadas, líneas que llenaban una superficie, algunas paradojas del infinito, llevaron a los matemáticos a buscar fundamento de lo que habían hecho hasta el momento.

Hace un tiempo, comenté algunos párrafos del libro "El intuicionismo matemático" de Marta Martínez de la Fuente, Editorial Eudeba:

El razonamiento intuicionista

Leo en ese libro:

Los iniciadores de esta fundamentación, como Cauchy, Weierstrass, Dedeking y Cantor, ya habían introducido las primeras exigencias constructivistas en la aritmetización del análisis, cuando se descubrió inesperadamente la existencia de ciertas antinomias en la teoría de Cantor, que amanezaban con socavar los fundamentos de la lógica y la matemática.

Se hacía necesario, pues, reconstruir el edificio matemático analizando minuciosamente sus bases, controlando los métodos de razonamiento y verificando para cada caso en particular los resultados obtenidos. En resumen, se trataba de eliminar al máximo la intuición, por medio de los llamados métodos "constructivos".

Veo que el problema de la existencia en el mundo matemático fue uno de los temas que encararon:

El problema del estudio de los fundamentos se concretó alrededor de la noción de "existencia matemática", más precisamente, en la búsqueda del criterio que hiciera legítimo afirmar cuándo un objeto existe verdaderamente desde el punto de vista matemático.

Acá encuentro una descripción de las tres direcciones que se siguieron, y que me interesa presentar en este post: el logicismo, el intuicionismo y el formalismo.

El logicismo, sustentado entre otros por Frege, Peano, Russell y Whitehead, y expuesto en Principia Mathematica, de los dos últimos autores, considera que la matemática tiene su base en la lógica y que un objeto matemático existe si satisface los principios lógicos.

El intuicionismo, que cuenta entre sus principales partidarias a Brower y Heyting, afirma como criterio de existencia matemática la constructividad: un objeto matemático existe si se puede enunciar la ley que permite su construcción. Sus nociones básicas son los conceptos de construcción, de prueba constructiva y de serie de libre elección.

El formalismo se presenta como un intento de síntesis de las dos direcciones anteriores: logicismo e intuicionismo. Su autor, Hilbert, se propone salvar con su teoría el conjunto de la matemática clásica incluyendo la teoría del infinito, satisfaciendo al mismo tiempo las exigencias constructivistas de los intuicionistas. Según Hilbert, el criterio de existencia matemática es la no-contradicción. En la formulación de su teoría de la demostración, utilizaba los llamados "métodos finitistas", aunque debemos precisar que se comprobó que los métodos finitistas no agotan el concepto de constructivo.

No conocía en detalle lo de métodos finitistas de Hilbert. Se me escapa un caso donde "los métodos finitistas no agotan el concepto de constructivo". Mientras los intuicionistas rechazaban usar el principio de tercero excluido en sus demostraciones, exigiendo que la existencia de los objetos matemáticos se demostrara por su construcción, Hilbert los admite, pero con un toque metamatemático:

A nivel matemático todos los tipos de razonamiento son permitidos (aún el principio de tercero excluido y el axioma de elección), pero a nivel metamatemático se permite solamente el uso de métodos constructivos, que él llama métodos "finitistas", donde los conceptos utilizados pueden ser verificados mediante un número finito de pasos.

Más adelante:

El teorema de Gödel asestó un rudo golpe a la teoría de Hilbert. En efecto, Gödel demostró en 1931 la imposibilidad de probar la no-contradicción de la matemática clásica formalizada, utilizando los métodos "finitistas" de la teoría de la demostración.

El estudio de Gödel "Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y los sistemas asociados" mostró que no se puede establecer la consistencia de un sistema que abarque la teoría de los números y la lógica habitual, con el uso de la lógica reducida permitida por la Beweistheorie o metamatemática.

Esto es algo que se deriva, en parte, del teorema de incompletitud del mismo Gödel:

Esta conclusión es parte de un resultado más importante aún obtenido por el mismo Gödel en su teorema de incompletitud, que expresa: un sistema formal que contenga la teoría de los números no puede demostrar todos los enunciados que de él se derivan. Dicho de otro modo: existe en la teoría de los números un enunciado P tal que ni P ni no-P es un teorema de la teoría; o sea, existe un enunciado verdadero que no se puede demostrar.

El teorema de incompletitud es un gran resultado (en realidad, un teorema, y un corolario, parecido al de más arriba), pero que ha sido usado y abusado más allá de las matemáticas. Es un teorema con una demostración original, pero delicado de entender en su terminología: completitud, demostración, verdad matemática, son conceptos a entender claramente si se quiere captar el resultado del teorema. Tengo que leer a Penrose, en su "El Camino a la realidad", que tiene varias páginas dedicado al teorema de incompletitud, discute sus alcances, y hasta lo usa en otros de sus libros La mente nueva del emperador para criticar a la inteligencia artificial dura (adelanto que no me convence la postura de Penrose, me parece que está buscando el pelo al huevo). Otro libro, más prometedor para un principiante, es el "Gödel, paradoja y vida" de Rebecca Goldstein, Antoni Bosch editor, al que ya recurrí para

Gödel, Einstein y la Constitución Americana

Y, aunque más alejado del tema, tengo que recomendar el excelente "Gödel, Escher, Bach, un eterno y grácil bucle", de Douglas Hofstadter.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Recordemos hoy su anécdota más famosa, comentada por primera vez por Mongerstern. Estando ya en América, Gödel quería obtener la nacionalidad estadounidense. Tenía que dar un examen, donde debía demostrar sus conocimientos del sistema político de su país huesped. Gödel se toma en serio ese estudio, y se enfrasca en la lectura y crítica de la constitución americana. Descubre que tiene una regla que permite que la democracia se transforme en tiranía (lamentablemente, Morgerstern no menciona cuál es la falla, y hasta el día de hoy se está discutiendo cuál podría ser la detectada por Gödel).

Viaja con Einstein y Morgenstern a dar su examen ante un juez, el 5 de diciembre de 1947. Einstein le pregunta:

- Bueno, qué ¿estás preparado para tu penúltimo examen?
- ¿Cómo que penúltimo?
- Está claro. El último será cuando pongas el pie en la tumba

Ese era el tipo de bromas que se hacían entre ellos.

De casualidad, el juez del examen es un tal Philip Forman, el mismo que le había tomado juramento de ciudadanía a Einstein. Al verlos llegar, los hace pasar rápidamente a su despacho. Forman y Einstein conversan un rato, mientras que Gödel, sentando en silencio, parece ausente. Finalmente, Forman se dirige a él:

- Hasta ahora usted tenía nacionalidad alemana.

Gödel le hace ver el error, él era austríaco. Forman prosigue:

- Como sea, se trataba de una tiranía siniestra. Por suerte, en Estados Unidos es imposible que suceda algo así.

Y acá, Gödel, que hasta ese momento apenas había hablado, se embarca en una explicación de los defectos de la constitución americana. No paraba de dar su argumento. Forman, Einstein, y Morgenstern no saben cómo tomarlo. Gödel estaba a sus anchas explicando. Finalmente, Forman lo interrumpe:

- Tampoco hace falta meterse en honduras

Y derivó la conversación hacia otros temas.

Más sobre el tema en:

The Loophole: A logician challenges the Constitution

Es una lástima que el teorema de incompletitud haya sido tomado por tantos pensadores más allá de su contexto, y estirado hasta para esgrimirlo contra la razón, o para marcar sus límites. Gödel mismo se asombraba de tanto en tanto, de cómo sus ideas lógicas habían abandonado su ámbito, para ser tomadas como banderas de ideas cualesquiera.

Espero comentar, en algún momento, la relación entre Wiggestein y Gödel, más sobre Einstein y Gödel, y algo de Penrose, estirando el teorema de Gödel para criticar las ambiciones de la inteligencia artificial.

Tomé la anécdota del libro "Gödel, paradoja y vida" de Rebecca Goldstein, Antoni Bosch editor. El libro original es "Incompleteness". No conocía a esta autora, que hasta tiene un libro de formato novela, "The mind-body problem", y otro sobre Spinoza, que me gustaría examinar. Visitar su sitio:

http://www.rebeccagoldstein.com/

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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A Monk le disgusta pisar los bordes de las baldosas cuando camina. Debo confensar que a mí también... :-).... bueno, no tanto como a Monk. Ese es otro motivo para que quien lea esto infiera que, como se dice por aquí en Argentina, yo no tenga "todos los patitos en línea". Pero eso es tema para otro post. Mientras, les comento a todos que, con la medicación apropiada, no soy peligroso...:-)

En este fin de semana, estuve pensando en un problema matemático (el origen del problema al final de este post). Supongamos que tenemos un conjunto de bloques de madera:

No nos preocuparemos de su altura. Para el problema nos intersa su ancho horizontal. Usaremos los bloques en esa posición. Para simplificar, supondremos que tienen un ancho entero respecto de una unidad.

Tenemos una serie de baldosas contiguas, tambien de ancho entero, de tal manera que la suma del ancho de esas baldosas es igual a la suma del ancho de nuestros bloques. Podemos, entonces, cubrir las baldosas con nuestros bloques:

El problema es: cubrir las baldosas, tratando de minimizar la cantidad de bloques que "pisan" dos baldosas a la vez. Somos Monk: quisiéramos no pisar los bordes de las baldosas. No importa el tamaño de los bloques que infringen la regla de Monk: sólo nos interesa minimizar las infracciones. En la figura de arribla, el bloque amarillo está sobre dos baldosas verde oscuro.

Es fácil ver que no siempre podemos cumplir con Monk: tres baldosas de 10 unidades, y 10 bloques de 3 unidades, implican dos "pisajes múltiples".

Uno podría imaginar que hay un algoritmo sencillo para, dado un conjunto de bloques y baldosas, uno pueda llevar a la mejor solución. Pero nones. Todo indica que es un problema tipo NP.

Alguna notación: un conjunto de bloques le diremos que es 1-baldosa si cubre exactamente una baldosa. Y 2-baldosa si cubre exactamente dos baldosas. Y así.

Puedo sugerir un algoritmo tentativo, pero que no siempre da la mejor solución:

- Maximizar la cantidad de conjuntos 1-baldosa
- Con el resto de los bloques, maximizar la cantidad de conjuntos 2-baldosa
- Y así, proseguir, hasta que las baldosas que queden, digamos 3 baldosas, sólo puedan cubrirse con un conjunto 3-baldosa

El problema es que, al maximizar la cantidad de conjuntos 1-baldosa, luego puede suceder que nos convenga "deshacer" uno de esos conjuntos, para aumentar la cantidad de conjuntos 2-baldosa, y aún con la pérdida de un conjunto 1-baldosa, puede que tengamos menos cortes que antes.

Un ejemplo hipotético: habiendo desarrollo los conjuntos 1- y 2-baldosa, nos encontramos que tenemos 3 de los primeros, y 3 de los segundos, y bloques que sobran. Hasta el momento, tenemos 3 bordes de baldosas pisados (los del medio de los conjuntos 2-baldosa). Podemos encontrar que desaciendo uno de los conjuntos 1-baldosa, conseguimos armar 3 conjuntos 2-baldosas adicionales, con lo que podríamos disminuir las infracciones finales.

Si llenáramos las baldosas utilizando primero los bloques más grandes, de tal forma que siempre tratamos de encajarlos en un conjunto 1-baldosa, sino los desechamos para colocarlos despues, pues bien, no obtenemos siempre la mejor solución.

Un ejemplo concreto:

- 4 baldosas de 10 unidades
- 1 bloque de 8 unidades
- 2 bloques de 1 unidad
- 10 bloques de 3 unidades

Si tratamos de cubrir una baldosa con el mayor bloque, llegamos a la disposición (no importa el orden dentro de la baldosa):

8.1.1

Luego, al tratar de llenar las 3 baldosas restantes con los 10 bloques de 3 unidades, siempre pisamos los bordes:

8.1.1 3.3.2- -1.3.3.2- -1.3.3.3

(la notación 2- -1 indica que "partimos" el bloque en dos baldosas).

Pero hay una mejor solución: "deshacer" el mejor conjunto 1-baldosa, para poder armar otros del mismo orden:

3.3.3.1 3.3.3.1 8.2- -1.3.3.3

Y ahora, Monk, si bien no estará completamente calmado, verá que es mejor que la anterior solución.

Hay varios conjuntos de bloques que hacen que el algoritmo "el más grande primero" falle. Basta tener

B = ancho de baldosa
N = cantidad de baldosas
B primo con M
R = B mod M
(N-2) bloques de longitud R
(N-1)*B divisible por M
(N-1)*B/M bloques de longitud M
1 bloque de B-R*(N-2) unidades

En nuestro caso, B=10, N=4, M=3, entonces R=1 (todo esto a revisar)

El problema original fue planteado en una lista privada, y es distinto que éste que planteo. Pero fue mi inspiración. Como está planteado en una lista privada, no puedo describirlo acá sin permiso. Se sugirió que su solución tiene relación con el problema llamado Knapsack.

De ahí, encontré estos enlaces interesantes, algo relacionados con este problema:

Knapsack Problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem

Packing Problema
http://en.wikipedia.org/wiki/Packing_problem

Partition Problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_problem

Cutting Stock Problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Cutting_stock_problem

Cutting Stock Problem
http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/cutting/formulation.html

Subset Problem (tiene relación con obtener una n-baldosa)
http://en.wikipedia.org/wiki/Subset_sum_problem

EURO Special Interest Group on Cutting and Packing
http://paginas.fe.up.pt/~esicup/tiki-index.php

Si hasta hay ahí:

 Call for Papers

The purpose of this special issue is to encourage research dealing with cutting, packing and related problems. Case studies describing successful applications in practice are particularly welcome. Topics for this special issue include (but are not limited to) the following:

• Cutting and packing problems;
• Bin packing;
• Knapsack problems;
• Pallet and container loading;
• Nesting;
• Pattern sequencing;
• Layout problems;
• Multi-processor scheduling; and
• Integrated problems such as cutting and sequencing, lot sizing and cutting, routing and packing, etc.
 

Si hasta hay software para solucionar problemas similares:

AutoLoad Pro-Container Loading Software 2007 review and download. load planner, cargo load planning, cargo loading, 
http://rbytes.net/software/autoload-pro-container-loading-software--review/

Más sobre búsqueda de soluciones enteras:

Advanced Integer Programming
http://opim.wharton.upenn.edu/~guignard/916_2007/916.html

Sobre complejidad de algoritmos:

NP Complexity
http://en.wikipedia.org/wiki/NP_%28complexity%29

NP-complete
http://en.wikipedia.org/wiki/NP-complete

Karp s 21 NP-complete problems
http://en.wikipedia.org/wiki/Karp%27s_21_NP-complete_problems

He dejado esos enlaces en

http://del.icio.us/ajlopez/algorithm

Más sobre Adrian Monk en

http://www.usanetwork.com/series/monk/
http://en.wikipedia.org/wiki/Adrian_Monk

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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En un escrito suyo que es una conferencia de un Seminario de Matemáticas y Filosofía dictado en las Escuela Superior de Paris, que tengo en el libro "Pensar las matemáticas", Editorial Tusquets, Dieudonné se ocupa del tema "Matemáticas vacías y matemáticas significativas". En un momento, plantea que el origen de las matemáticas tuvo que ver con necesidades reales, pero que no siempre éstas fueron el origen de nuevas ideas e investigaciones. Escribe:

A veces le dicen a uno: "Si no son las aplicaciones las que han suscitado las matemáticas, entonces ¿qué ha sido?". Algunos invocan razones sociológicas. Sea, pero nunca he visto nada demasiado convincente en ese sentido. Es evidente - y del todo trivial - que no pueden hacerse matemáticas cuando el nivel social no permite un cierto ocio y una cierta posición social a quienes precisan de mucho tiempo para reflexionar y resolver sus problemas. Por consiguiente, hay que proporcionar a los matemáticos en potencia un cierto nivel de vida que les permita consagrar enormes esfuerzos y concentración a sus investigaciones, sin estar siempre preocupados por la cuestión de saber si comerán al cabo de tres días o de dos horas. Pero afirmando esto no se ha explicado nada en absoluto. Es una de esas trivialidades que uno apenas se atreve a repetir. Para los interesados en el asunto, vaya este problemita: en 1796, al joven Gauss, que tenía por entonces dieciocho o diecinueve años, se le metió en la cabeza encontrar una construcción del polígono regular de diecisiete lados con regla y compás. A quien me explique por qué el medio social de las pequeñas cortes alemanas del siglo XVIII, en el que Gauss vivía, hubo de llevarle inevitablemente a preocuparse por la construcción del polígono regular de diecisiete lados, a quien me lo explique, bueno, le daré una medalla de chocolote. Bien, procuremos ser serios y volvamos a la cuestión de saber qué pone en marcha las matemáticas. Creo que no se quiere tomar en cuenta algo completamente trivial y visible por todas partes a nuestro alrededor: he tenido hijos y nietos, y veo que los críos se pasan el rato planteándole a uno acertijos, ejercitando su sagacidad y su curiosidad sumergidos en enigmas, rompecabezas y crucigramas, con una alegría que nada consigue enturbiar. Se trata de un hecho universal, observable en todos los países y épocas: existe una especie de curiosidad natural e innata en el ser humano que lo impulsa a la resolución de adivinanzas. Sin ir más lejos, las nueve décimas partes de las matemáticas, aparte de las que tienen su origen en necesidades de orden práctico, consisten en la resolución de adivinanzas.

Luego prosigue con algunos ejemplos, el más conocido del tipo que presenta es el último teorema de Fermat. Buen ataque a la posición "sociológica", que también ha tratado de explicar las ciencias naturales aduciendo que son producto de la situación social y relativas a ella. Interesante el punto de poner los acertijos como algo que interesa a los niños, y que luego, de mayores, a algunos nos sigue gustando. Más adelante, Dieudonné explica que las matemáticas son más que acertijos, y clasifica los problemas que han surgido. Esos temas quedan para próximos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Kant y el intuicionismo matemático
El origen del intuicionismo matemático
Intuición sensible en matemáticas
El intuicionismo matemático, primer tesis
Intuición según Bunge

Puede parecer un tema árido, y en parte lo es. Pero es interesante para mí, como estudio de la fundamentación de las matemáticas, y de su filosofía. Lo que ha acontencido en esa área en el último siglo y pico, ha sido muy interesante, por lo menos desde el punto de vista de fundamentos, quizás los matemáticos han seguido trabajando sin detenerse mayormente en estos temas, y me parece bien que sea así. No todos los que aportan a un área del conocimiento humano tienen que ocuparse de los fundamentos, pero siempre es bueno que haya algún grupo que sí encargue de discutir los temas básicos de ese conocimiento, en este caso, notablemente Hilbert y Brower.

Encuentro una descripción clara de lo que es razonamiento intuicionista, de parte de Helbrand (desconozco la obra y el nombre de esta persona, notablemente Google arroja poca información):

Entendemos por razonamiento intuicionista un razonamiento que satisface las condiciones siguientes: nunca considerar en él más que un número finito determinado de objetos y funciones; éstos deben ser bien definidos, de modo que su definición permita calcular sus valores de manera unívoca; no afirmar la existencia de un objeto sin indicar el medio de construirlo; no considerar nunca el conjunto de todos los objetos X de una colección infinita; decir que un razonamiento (o teorema) es verdadero para todos esos X, significa que para cada X particular es posible repetir el razonamiento general en cuestión, el cual sólo debe ser considerado como el prototipo de esos razonamientos particulares.

Claro que en la historia, hay varias versiones de intuicionismo, y no es tan fácil como se presenta en este párrafo. Hubo varias escuelas, más de las que yo creería conveniente. Mi postura se decanta más por el formalismo, pero es interesante visitar esta otra postura. Notemos el esquivar el infinito, y la exigencia de construcción: no basta asegurar la existencia de un objeto matemático por medio de una demostración por absurdo derivada de suponer su no existencia, sino que hay que construirlo.

Ese texto lo encuentro en "El intuicionismo matemático" de Marta Martínez de la Fuente, Editorial Eudeba (es un libro que no encuentro en el catálogo en línea de la editorial). En mi edición, en la página 9. Este libro es un libro técnico, que hay que leer con cuidado, pero que tiene la amabilidad de presentar en detalle varios desarrollos concretos de intuicionismo, y algunas alternativas, notablemente el cálculo lambda de Church.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Tres pirámides y tres panteras no tienen casi nada de común: aquellas son inertes, geométricas, no se reproducen, no tienen garras, no son cuadrúpedos ni carnívoros. Y sin embargo, entre ambos grupos hay un núcleo idéntico que queda cuando todos los caracteres físicos han sido descartados: la trinidad de los dos grupos.

Los niños no saben razonar con números puros: necesitan sumar manzanas o libros; mucho más tarde, inconscientemente, prescinden de los objetos físicos por un largo proceso mental. Es muy probable que en los pueblos primitivos haya pasado algo semejante y es a Pitágoras a quien el mundo occidental debe el primer atisbo de este notable hecho: aunque participan en este mundo, los números y las formas geométricas son entes abstractos que pertenecen a una realidad más pura y esencial.

Interesante la aparición de "participar" que tanto hay tenido que ver luego en Platón.

Sin embargo, que para llegar hasta el ente matemático se necesite un proceso mental no significa que sea inventado por la mente: el hombre no inventa el carácter común a un grupo de pirámides y uno de panteras; descubre algo preexistente. El tres y el triángulo existieron antes de aparecer los hombres y subsistirán por toda la eternidad, después que estos seres hayan desaparecido del Universo.

Este último párrafo afirma algo que no es tan evidente, por lo menos para mí y para otros: el tres puede ser también considerado una abstracción de nuestra mente, un constructo. Lo que afirma Sábato equivale a tener un mundo platónico de entes matemáticos. No tengo todavía una postura definida para esto. En mi tierna adolescencia, en el siglo pasado, fue completada la clasificación de los grupos esporádicos. El grupo denominado "El monstruo", de orden 808017424794512875886459904961710757005754368000000000, ¿siempre existió? ¿tiene la misma existencia que el número tres? No parece ser evidente que sea así. Pueden leer una postura distinta en

Bunge enumerando posturas no realistas

El mundo de la filosofía, filosofía de las matemáticas y los matemáticos, siguen discutiendo estos puntos. Otras posturas las encontré en John D. Barrow y en Roger Penrose (autores cuyas obras que ya están en la larga lista de textos a comentar por aquí).

Sigo leyendo:

Cheops, construida con dura piedra y con el sacrificio de miles de esclavos, es implacablemente derruida por la arena y el viento del desierto; la pirámide matemática que forma su alma, invisible, ingrávida, impalpable, resiste el embate del tiempo; más todavía, está fuera del tiempo, no tiene origen, no tiene fin.

Este mundo de los entes matemáticos es un mundo rígido, eterno, invulnerable, un helado museo de formas petrificadas que nuestro universo físico, en un proceso sin fin y sin eficacia, intenta copiar

No tengo el libro "Uno y el universo". Encuentro este texto de Sábato en un interesante libro que encontré en una de mis correrías por las librerías de Buenos Aires: "Geo-Home-Trío y Geometría: Matemática y Filosofía", de Alfredo Raul Palacios y Alfredo Gustavo Palacios, Editorial Lumen. En este libro se plantean varias cuestiones de matemáticas y filosofía, visitando a Platón, Aristóteles, y Kant, entre otros. Realmente, un buen hallazgo, muy recomendable libro. Ver publicaciones similares de Eureka.

Este "post" queda bajo mi categoría Matemáticas, pero bien podría quedar en Filosofía. Zoomblog no permite que queda bajo las dos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Lo que el intuicionismo matemático debe a Kant se reduce a dos ideas:

a) el tiempo -aunque no el espacio, según los neointuicionistas- es una forma a priori de la intuición y está involucrado esencialmente en el concepto de número, que es generado por la operación de contar;

b) los conceptos matemáticos son esencialmente construibles: no son meras marcas (formalismos) ni son aprehensibles porque tengan una existencia previa (realismo platónico de las ideas), sino que son obra del espíritu humano.

La primera afirmación es inequívocamente kantiana, pero la segunda será aceptada por muchos pensadores no kantianos. Los matemáticos que simpatizan con el intuicionismo matemático tienden a aceptar la segunda tesis, aunque ignoren la primera.

Curiosamente, el tiempo tiene una flecha, y el espacio no. De ahí que se abandone como básico al espacio en el intuicionismo. Intuyo una aritmetización de la geometría, en lugar de tomarla nacida de la intuición de espacio. Imagino que en el tiempo en el que nació el intuicionismo matemático (mucho después de Kant), la existencia de geometrías no euclideanas daba para abandonar como "básica" la geometría común.

El tiempo nos da la base para abstraer el concepto de sucesión. Sigue Bunge, introduciendo a Brower:

Además, la forma en que la intuición del tiempo interviene, según Brower, en la construcción de la matemática es cualquier cosa menos claramente intuible, es decir, inmediata y evidente. En realidad, según este destacado representante del intuicionismo matemático, la intuición primigenia (Urintuition) de la matemática, que es "el fenómeno fundamental del pensamiento matemático", es "la intuición de la desnuda duidad" (en holandés twee-eenigheid, en inglés two-ity o two-oneness) que, por ser una intuición básica, no puede ser elucidada.

Brower no parece hacer sido un escritor claro en estos puntos. Lo que trata de decir, entiendo, es que a partir de la unidad, y la diversidad (aunque sea en su versión mínima, de distiguir dos cosas), intuiciones que tenemos comos seres humanos (capaces de ver "un árbol" separándolo del resto de la realidad, así como de reconocer "dos piedras"), se puede construir el concepto matemático de número natural.

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Angel "Java" Lopez
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El intuicionismo matemático se comprende mejor si se lo considera como una corriente de pensamiento originada entre los matemáticos: a) como reacción contra las exageraciones del logicismo y el formalismo; b) como tentativa de rescatar a la matemática de nuestro siglo, como resultado del descubrimiento de paradojas en la teoría de los conjuntos; y c) como producto menor de la filosofía kantiana...

Los logicistas, como los realistas o platónicos medievales, hablan de objetos matemáticos que existen independientemente de mentes capaces de construirlos de manera efectiva, y de proposiciones que existen aun en ausencia de mentes capaces de probarlas. Contra ellos, los intuicionistas matemáticos sostiene que existen -en la mente humana y no en un reino de Ideas platónico (logicismo) o únicamente en el papel (formalismo)- sólo aquellos entes que han sido construidos, y que sólo son verdaderos aquellos enunciados que hemos demostrado de una manera directa o constructiva.

En una nota al pie de página Bunge comenta:

El paralelo entre el logicismos y el realismo (o platonismo) entre el formalismo y el nominalismo (o signismo), y entre el intuicionismo y el conceptualismo, ha sido señalado, entre otros, por Quine, From a Logical Point of View (1953), pp. 14-15

No es la primera vez que me encuentro con nominalismo y conceptualismo, pero no me queda claro todavía lo que afirman.

Contra los formalistas (Kempe, Hilbert y nuestro contemporáneo, el mítico Bourbaki) que, como los nominalistas medievales, sostienen que los que denominamos objetos matemáticos no son otra cosa que marcas que trazamos sobre un papel, los intuicionistas sostienen que los objetos matemáticos genuinos son objetos de pensamiento, y los básicos son intuiciones puras, mientras que los derivados son conceptos.

Como puede observarse, el intuicionismo matemático está más cerca del conceptualismo -que sostendría que "3" es un signo que representa el concepto del número tres y no debe confundirse con este último- que del intuicionismo filosófico. Hasta cierto punto, el intuicionismo matemático es apoyado por algunos matemáticos que reaccionan indignados contra la frívola caracterización de la matemática como un juego de lógica formal (formalismo) o como una mera aplicación de la lógica (logicismo). En este sentido, el intuicionismo matemático es una defensa de la profesión matemática. Desgraciadamente, algunas de las armas de los defensores no son mejores que las de sus atacantes.

No diría que para los formalistas los objetos matemáticos son marcas en un papel. Entiendo que para ellos es las matemáticas son un juego donde las reglas las ponemos nosotros, y no corresponden con algún objeto platónico, ni con algo de la realidad física. Pero así como una partida de ajedrez no es las jugadas en el papel, tampoco para los formalistas una estructura matemáticas es sólo marcas escritas. 

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Angel "Java" Lopez
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Leamos una explicación en sus propias palabras de forma de trabajo:

Solía subir a mi estudio y comenzar a buscar patrones. Trataba de hacer cálculos que explicaran algún aspecto de las matemáticas. Trataba de ajustarlos a alguna idea anterior más amplia que clarificara el problema particular en el que estaba pensando. Algunas veces ello implicaba revisar en algún libro para ver cómo lo hacían allí. Algunas veces era cuestión de modificar las cosas un poco mediante algunos cálculos adicionales. Y otras veces me daba cuenta de que nada de lo que se había hecho antes iba a servir. Entonces tenía que encontrar algo completamente nuevo: es un misterio de dónde viene eso.

Se trata básicamente de pensar. Con frecuencia uno escribe algo para aclarar sus pensamientos, pero no es necesario. En particular, cuando uno se tropieza con un verdadero punto muerto, cuando hay un problema real que uno quiere superar, el pensamiento matemático rutinario no sirve para nada. En el camino hacia esa nueva idea tiene que haber un período largo de tremenda concentración en el problema, sin ninguna distracción. Uno no puede pensar en nada distinto al problema; sólo concentrarse en él. Luego uno se detiene. Después hay algo así como un período de relajación durante el cual el subconsciente parece hacerse cargo, y es durante ese interregno cuando surgen algunas nuevas ideas.

Mencionado en el libro "El último teorema de Fermat", de Simon Singh.

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Angel "Java" Lopez
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Leemos a Bunge, enunciando una primer tesis del intuicionismo matemático:

Las leyes de la lógica no son a priori ni eternas contrariamente a lo que sostiene el logicismo. Son hipótesis que el hombre formuló al estudiar el lenguaje por medio del cual expresaba su conocimiento de conjuntos finitos de fenómenos. Por consiguiente, las leyes de la lógica no deben considerarse como principios reguladores inmutables, sino como hipótesis corregibles que pueden fallar en relación con nuevos tipos de objetos, por ejemplo los conjuntos infinitos.

Es una gran tesis. En mi postura, la lógica, como la geometría, puede tomar varias formas, y habrá que ver cuál corresponde con la realidad, y cuáles de las formas son fructíferas para nuestro pensamiento. Es interesante notar que en esta tesis, se mencionan los conjuntos infinitos. Kronecker, al que se considera uno de los "pre-fundadores" del intuicionismo matemático, fue uno de los matemáticos que renegó del infinito, incluso de los infinitos números naturales, tomando sólo como base firme a la sucesión de naturales, sin aceptar nunca tomar al conjunto "completo" de una sola vez.

Comenta Bunge sobre esta tesis:

Esta concepción de la naturaleza y el status de la lógica, lejos de ser filosóficamente intuicionista, podría ser compartida por empiristas, pragmatistas, materialistas e historicistas. La historia de las paradojas lógicas y matemáticas nos debería advertir que esta tesis es digna de atención. Nada nos asegura que en el futuro no tengan que hacerse nuevas modificaciones radicales en la lógica formal con el fin de adecuarla mejor a los mecanismos inferenciales reales y a nuevos e imprevisibles tipos de entidades y operaciones. Más aún, cierto números de matemáticos y lógicos (baste recordar a Lewis, Gentzen, Carnap, Reichenbach y Tarski) han propuesto nuevas formulaciones de las relaciones de implicación y deducibilidad. Muchos están comenzando a dudar de que la lógica ordinaria sea una reconstrucción adecuada de la sintaxis del lenguaje ordinario o aun del científico.

Bien, una cosa es la lógica relacionada con el lenguaje, y otra con la realidad. Creo que el lenguaje humano ha sido creado de forma que no puede reflejar sin vaguedades y ambigüedades lo que queremos transmitir. Así que la búsqueda de nuevos lenguajes, aún pictóricos, o de la lógica formal, son bienvenidos. El tema de las "nuevas lógicas" ha sido bastante tratado en el siglo XX, y Bunge enumera algunos protagonistas de ese movimiento. No entiendo a qué se refiere con "los mecanismos inferenciales reales". Puede que se refiera a cómo funciona nuestra mente realmente, y no a "cómo funciona" la realidad. Recordemos la geometría: nuestra mente "funciona" como euclidiana, pero bien puede ser que la realidad no "funcione" de esa manera.

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Angel "Java" Lopez
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... qué haría la "sociedad" hoy día por un Gauss, un Abel, o un Galois. Estadistas, y entre ellos Disraeli, han dicho que la sociedad es un asno; inspeccionándola más de cerca se revela como una abstracción nebulosa. Sin embargo, nos valdremos de aquel primer término, porque casi todo el mundo tiene una imagen clara de lo que significa.

Gauss, hijo de un jornalero y sin un centavo, fué educado por la sociedad representada por el duque de Brunswick. Hoy día hubiera sido educado a expensas del estado, por lo menos en Estados Unidos.

Abel, sin duda, hubiera sido enviado por las autoridades sanitarias municipales a un sanatorio donde quizá se hubiera curado.

Galois con casi absoluta seguridad no sería considerado persona respetable, estaría bajo la custodio de la policía por algún motivo inventado, o en un campo de concentración. Hay muy pocas pruebas de que los maestros sean hoy menos impotentes ante la incómoda presencia de un cerebro de extraordinaria inteligencia, de lo que eran en tiempos de Galois, aunque los custodios del derecho y del orden sean menos nerviosos de lo que fueron cuando sentenciaron a Galois a seis meses de cárcel por un tecnicismo legal. La fábula de Esopo del pavo real y los cuervos contiene  un elemento de permanencia: tú eres diferente de nosotros; márchate o te desplumamos.

Sin embargo, la sociedad ha aprendido algo que no sabía cuando permitió que Galois malgastara su vida en un duelo. No se consideraba a Galois "radical peligroso" a causa de sus matemáticas, sino a causa de su política que ahora nos parece extrañamente respetable. Era republicano, y con ese motivo se ofreció una recompensa por su captura. La sociedad de la realeza estaba preocupada por la continuada seguridad de su prolongada decadencia. Cuando consideramos los intereses de los individuos que componen la sociedad, ésta, de manera muy sensible, y poco después de 1830, fue completamente indiferente a las ideas revolucionarias que Galois tenía en matemáticas. Pero, poco despues de 1920 la sociedad descubrió que una teoría puramente matemática, la relatividad o la biometría, para ser concretos, puede encerrar peligrosas amenazas para el modo político de pensar. En Rusia se consideró con sospecha a la biometría; en Alemania a la relatividad. Parece, pues, injusto decir que la sociedad ha permanecido estacionaria desde que en 1832 eliminó a Galois.

Como en muchos párrafos de su libro, Bell aprovecha un hecho de la historia, para llevar agua para su molino. Imagina a Galois en un campo de concentración (Bell escribe esto durante la segunda guerra mundial). Y llama la atención sobre el rechazo de algunas ideas científicas, por razones políticas.

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Angel "Java" Lopez
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De ahí, el nacimiento de una desconfianza en la intuición, que me parece saludable, siempre que no se llegue a extremos. Ya vimos que intuición es un término amplio (ver Intuición según Bunge). La intuición, en general, es una herramienta, no un camino seguro. Para avanzar hacia alguna verdad, debe estar acompañada de la razón, y en el caso de verdades no matemáticas, de corroboración con la realidad.

En el caso de las matemáticas, sigamos leyendo a Mario Bunge, en su libro Intuición y Razón, refiriéndose a una clase de intuición, la sensible:

La intuición sensible y la intuición geométrica (capacidad para representación espacial o imaginación visual) hoy tienen pocos defensores en la matemática, porque se ha demostrado de una vez por todas que son tan engañosas lógicamente como fértiles heurística y didácticamente....

Un temprano ejemplo de las limitaciones de la intuición geométrica fue la invención de las geometrías no euclideanas. Un ejemplo posterior lo constituye la prueba de la existencia de una infinidad de fracciones entre dos fracciones dadas, cualesquiera sea la proximidad de ambas.... Otros ejemplos son las curvas continuas sin tangente y las curvas que llenan toda una región del plano; las superficies de una sola cara; los números transfinitos, y la correspondencia biunívoca entre los puntos de un segmento y los de un cuadrado, lo cual va en contra de la noción "intuitiva" de dimensión.

Prosigue:

Hoy se comprende que los entes, relaciones y operaciones matemáticas no se originan todos en la intuición sensible; se advierte que son construcciones conceptuales que pueden carecer por completo de correlato empírico, aunque algunos de ellos puedan servir como auxiliares en teorías acerca del mundo, por ejemplo la física. También se reconoce hoy que la evidencia no sirve como criterio de verdad y que las pruebas no pueden ofrecerse por medio de figuras solamente, pues los razonamientos son invisibles. En particular, ya no se exige que los axiomas sean "evidentes"; por el contrario, en razón de ser casi siempre más ricos que los teoremas para explicar los cuales han sido inventados, los axiomas suelen ser menos "evidentes" que los teoremas que originan, y, por tanto, tienden a aparecer más tarde que los teoremas en el desarrollo histórico de las teorías. Por ejemplo, es más fácil obtener teoremas sobre triángulos equiláteros que establecer proposiciones generales acerca de los triángulos.

Es interesante que mencione lo de construcción conceptual, y lo de falta de correlato empírico. No todos los matemáticos, creo, tienen esta postura. Sigue Bunge, para presentar el intuicionismo matemático:

Luego del fracaso de las intuiciones sensibles y espacial (o geométrica) como guías seguras para la construcción matemática, debía ensayarse la llamada intuición pura; y puesto que la intuición pura del espacio kantiana llegó a ser sospechosa hasta para algunos neokantianos, como Natorp y Cassirer, era menester ensayar la intuición pura del tiempo, o de la sucesión. Esta tentativa fue llevada a cabo por el llamado intuicionismo matemático (o neointuicionismo, como prefiere ser denominado). El neointuicionimo está lejos de ser una puerilidad o una mera declamación antiintelectualista. Por el contrario, constituye una respuesta a legítimos y difíciles problemas que han preocupado a pensadores serios y profundos como Henri Poincaré (1854-1912), Hermann Weyl (1885-1955), L.E.J.Brouwer (1881-1966) y Arend Heyting (1898-1966), respuesta que es ciertamente controvertible y en algunos aspectos incluso peligrosa para el futuro de la ciencia.

Bien, tengo que estudiar algo sobre intuicionismo matemático, y sorprende el final de la última frase de Bunge. Se refiere a puerilidad y declamación antiintelectualista, porque antes, en el mismo libro, ha debido tratar a intuicionismos filosóficos, como el de Bergson y Dilthey.

Fragmento tomado del libro mencionado, parte II, El intuicionismo matemático, capítulo 1, Las fuentes.

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Angel "Java" Lopez
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“La ética sin ciencia es ciega, y la ciencia sin ética es coja".

“Sin cultura ética --basada en el amor y la cooperación; no en la rivalidad, la competencia o el deseo de poder-- difícilmente habrá solución a los grandes problemas de la humanidad".

“Sin cultura ética, el desarrollo de la tecnología será como un arma peligrosa en manos de un niño".

“Sin cultura ética, no habrá riqueza en el interior de los hombres. Si uno necesita lujos y placeres excesivos es porque su interior esta vacío".

“Es necesaria una intensa y urgente difusión de las nociones básicas de la ética, para que se comprenda que los problemas humanos no se resuelven por la violencia o el poder sino mediante facultades superiores, latentes en todos los seres humanos”.

Son frases pronunciadas por Mischa Cotlar, matemático, humanista, en una visita a mi país, Argentina, en abril de 2006. Recibía entonces el premio Senador Domingo Faustino Sarmiento. Nacido en Ucrania, en 1913, supo viajar y vivir en distintos paises, dejando siempre un legado humano y de conocimiento.

Conocía a Cotlar como un apellido más, de matemático. No conocía su pensamiento, y su historia de vida, su relación con Argentina. Encuentro en el blog de Hugo Scolnik, un personal recuerdo:

Recuerdos de Mischa Cotlar

Leemos ahí:

Ingresé a Exactas de la UBA en 1959 luego de un secundario horroroso, y un difícil comienzo en Ingeniería. Encontrarme de repente con gente que creaba, y que por lo tanto no eran meros repetidores de libros o apuntes obsoletos, constituyó una experiencia inolvidable. Uno era obviamente Mischa, recién llegado al país. Lo conocí en el Aula Magna cuando iba a dar mi primer examen (Algebra, dada por Cora Ratto de Sadosky, cuyo libro con Mischa fue y es un clásico). Una alumna estaba dando oral con Oscar Varsavsky, profesor temible. Y estaba aterrorizada. Mischa la rescató, se sentó con ella detrás mío, y le explicaba con santa paciencia, cosa que Varsavsky le criticó más tarde. Realmente no sabía nada, pero luego entendí que Mischa pensaba que todos eran “rescatables”.

Lean el "post" de Scolnik, lleno de detalles de vida.

Una entrevista a Cotlar, del 2001:

Los caminos de un matemático

Ahí encontramos:

El compromiso social de Cotlar

Cualquier comentario acerca de Mischa Cotlar que excluya su militancia humanista contiene una carencia insalvable, porque su preocupación para que los científicos asuman responsabilidades ante la sociedad formó parte de una prédica incansable que lo llevó a integrar distintas organizaciones internacionales que luchaban por la paz, en tiempos de la guerra fría y la amenaza nuclear.

«Si la humanidad progresó en temas como los derechos humanos fue porque hubo gente con ideas nobles que despertaron la conciencia de los que estaban a su alrededor, porque alguien alguna vez ayudó, le dio una mano desinteresadamente a otros» ilustra Cotlar.

Para «Mischa», la desaparición de la guerra fría no provocó grandes cambios:

«Sigue habiendo científicos que trabajan para la destrucción, para incrementar el poder de matar de los poderosos. Si los científicos y técnicos se negaran a desarrollar el armamento que cada día es más mortífero y preciso, el mundo sería muy distinto y no tendríamos lo que vemos hoy en día, donde mueren tantos inocentes que no tienen nada que ver con el conflicto mientras que los responsables quedan a salvo».

Testimonios en recuerdo de Cotlar, de Octubre de 2007, en:

An Afternoon in Honor to Mischa Cotlar

Por ejemplo, el recuerdo de Cora Sadosky:

On the life and work of Mischa Cotlar

Imágenes de su vida:

Web site with images of Mischa Cotlar

Una biografía en español:

Mischa Cotlar, Notas biográficas y bibliografía

Las frases que mecioné al principio, tomadas de su conferencia del 2006, y más detalles, en el artículo de Rodolfo Terragno:

Mischa Cotlar, testamento de un sabio

Terragno recuerda su muerte, en el 2007:

Doscientos ochenta días más tarde, Cotlar murió. Fue el martes 16 de enero. El acontecimiento no irrumpió en las primeras planas de los diarios, ni fue anunciado en los noticieros.

Pocos sabían que Mischa era un sabio. Pocos sabían que era un patrón moral.

Ciertamente, en los diarios de mi país no aparecen estas cosas....

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Angel "Java" Lopez
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Evaristo Galois fue un matemático francés (1811-1832) que murió joven, antes de cumplir veintiún años, cayendo víctima de un duelo. En su corta vida, produjo ideas que dieron nacimiento al álgebra moderna, alcanzando nuevas alturas de abstracción. Tanto la teoría de grupos como el álgebra abstracta más general, se vieron alimentados por las ideas de Galois. La llamada teoría de Galois trata de conocer cuales polinomios sobre un campo pueden tener solución por aplicación de radicales y operaciones comunes. Para resolver esos polinomios, la teoría transforma el problema a un problema de grupos, asociando a cada ecuación a resolver un grupo de Galois, y consigue determinar qué grupos de Galois corresponden a ecuaciones resolubles por esas operaciones.

En la versión más moderna de la teoría, se parte de campos, extensiones de campos, y otros conceptos, derivados de las estructuras de campo y anillo.

Investigando en la red, encontré estos recursos:

El libro de James Milne, es un clásico, y se puede obtener en formato PDF desde:

Fields and Galois Theory

No dejen de visitar el sitio de Milne

http://www.jmilne.org
http://www.jmilne.org/math/index.html
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math594f.html

Otro libro en PDF, de Andrew Baker:

An introduction to Galois Theory

De nuevo, no se pierdan la página de Baker:

http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/

con más información sobre grupos, grupos de Lie, espectros de anillos, topología, y hasta la conjetura Moonshine.

Un resumen de conceptos de Algebra abstracta en:
http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/

Todo sobre Galois, su vida, su obra, documentación, enlaces, su teoría en:
http://www.galois-group.net/
http://www.galois-group.net/g/EN/theory.html
http://www.galois-group.net/g/EN/intro.html

Teoría de Galois en Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois

Un libro (de papel) clásico, el de Cox:
http://www.cs.amherst.edu/~dac/galois.html

La teoría de Galois en Wolfram:
http://mathworld.wolfram.com/FundamentalTheoremofGaloisTheory.html
http://mathworld.wolfram.com/GaloisGroup.html
http://mathworld.wolfram.com/SplittingField.html

Una prueba de la teoría de Galois:
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=5958

Me pareció muy interesante el post de John Baez sobre fìsica, simetrías, y Galois en:
http://math.ucr.edu/home/baez/week201.html

Grupos de Galois en Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Galois_group

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Angel "Java" Lopez
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Beppo Levi (1875-1961) fue un matemático tan versátil como distinguido. Aunque trabajó principalmente en Geometría Analítica, hizo importantes incursiones (o correrías, como él mismo las llamaba) en otros campos, tales como el Análisis Matemático, la Teoría de Números, la Teoría de Conjuntos, la Lógica, y la Didáctica de la Matemática. Semejante universalidad es inconcebible hoy día, en parte porque se sabe tantísimo más, y en parte porque se sobreestima la especialización, sin reparar en que las fronteras entres las disciplinas son en parte articiales.

Se ha dicho que, entre 1897 y 1909, Levi partició activamente en todos los nuevos desarrollos de la matemática de la época (Schappacher y Schoof 1996). Su nombre aparece asociado, directa o indirectamente, con los nombre de casi todos los grandes matemáticos de su tiempo, entre otros Hilbert, Lebesgue y Poincaré. Además, sus contribuciones pertenecen a la prehistoria de varias ramas de la matemática que emergieron después de Levi.

Entre otras cosas, Levi fue quizá el primero en formular explícitamente y en criticar el famoso axioma de elección, usualmente atribuido a Zermelo (Moore 1982). Descubrió que se lo había estado usando tácitamente en muchas demostraciones matemáticas. (Dicho axioma sigue siendo motivos de estudios.) Pero Levi es mejor conocido por el lema que lleva su nombre, y que se refiere a integrales de sucesiones monótonas de funciones. También se lo conoce por su estudio, más importante, de singularidades de superficies algebraicas.

Iróicamente, este gran hombre ha sido llamado el matemático más petiso del siglo, era jorobado, tenía una voz chillona, y estaba casado con una mujer hermosa, con quien tuvo tres hijos, entre ellos Laura, la física de la familia. Aunque Levi no pasó el examen de pureza racial, vivió muchos más años, se comportó muchísimimo mejor, y consicibió y crió más hijos y más ideas que su victimario, Benito Mussolini.

La legislación antisemita promulgada por el gobierno fasciasta italiano en 1938 privó a Levi de su cátedra en Bologna y le obligó a emigrar junto con su familia. A los 64 años de edad recomenzó su vida: vino a parar a la rama rosarina de la Universidad Nacional del Litoral. Esto se debió a la gestión de su ilustrado rector, el Ingeniero Cortés Plá, y del matemático Julio Rey Pastor, gran animador de la ciencia en Argentina y España. (Yo tuve el privilegio de tratar a los tres, y la suerte de que Levi y su colega, el jusfilósofo José Luis Bruera, votaran en favor mío cuando se concursó la cátedra de Filosofía de la Ciencia en la Universidad de Buenos Aires).

En su nueva patria, Levi hizo un poco de todo. Dictó cursos para ingenieros; en 1940 fundó y dirigió el Instituto de Matemática y su revista, Mathematicae Notae; alentó a los pocos jóvenes que entonces se interesaban por la matemática pura; participó en reuniones de físicos; siguió cultivando las humanidades; e incluso encontró tiempo para responder algunas cuestiones matemáticas que le formulé. Era un trabajador entusiasta, incansable y diligente. Vivió los últimos 23 años de su fecunda vida en Rosario, donde enseño hasta los 84.

Levi ponía pasión en todo lo que hacía. Por ejemplo, solía retarnos vehemente a los físicos que, apurados por calcular, teníamos poco respeto por el rigor formal. En particular, le indignaba la famosa delta de Dirac, sin la cual los físicos cuánticos no podíamos avanzar. Levi sostenía, con razón, que no era una función sino un mostruo (afortunadamente, muy poco después el gran matemático Laurent Schwart, rigorizó el concepto).

(Las referencias citadas son Moore, G.E., Zermelo's Axiom of Choice, y Schappancher N. y R. Shcoof, Beppo Levi and the arithmetic of elliptic curves).

Termina Bunge:

¿Qué resultó del encuentro de Euclides con Levi a la vuelta de veintidós siglos? Lo averiguarán quienes lean este libro tan original como claro.

Aprenderán a ver a Euclides, e incluso a su posible maestro, Platón, con ojos modernos. Y aprenderán, si no lo saben ya, los deleites de la conversación con muertos sin recurrir a trucos esperitistas.

No conocía el dato de la relación de Levi con el axioma de elección. En Internet, encontré más información:

Un interesante comentario de este libro de Beppo Levi, escrito por Guillermo Martinez
http://guillermo-martinez.net/notas/Leyendo_a_Euclides

Instituto de Matemática Beppo Levi
http://www.fceia.unr.edu.ar/labinfo/info_academica/institutos/matematica.html

Beppo Levi en Wikipedia
http://es.wikipedia.org/wiki/Beppo_Levi

Una biografía de Beppo Levi
http://www.argiropolis.com.ar/index.php?option=com_content&task=view&id=440&Itemid=61

Maratones Matemáticas Beppo Levi
http://www.ips.edu.ar/clubmatematica.php

Beppo Levi and the arithmetic of elliptic curves
http://www.mat.uniroma2.it/~schoof/beppo.pdf

Una reseña del libro Leyendo a Euclides
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/cultura/Literatura/OrigLib.asp

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Angel "Java" Lopez
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