Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 15 de Agosto, 2014, 14:53

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What We Learnt From A Failed MVP – Arvi's Blog
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A/B Testing: Lessons Learned at Spotify
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PlanOut | A framework for online field experiments
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Todd Charron on Lean Startup Machine & Improv in Agile
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Lean Prototyping - A Practical Guide
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Our Dangerous Obsession With The MVP | TechCrunch
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Lean Change Management by Jason Little, a new approach to change management | Happy Melly
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The Lean Change Method by Jeff Anderson [Leanpub PDF/iPad/Kindle]
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Should you TDD on a Lean Startup? — Tech Talk — Medium
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The Lean Brand™ Book by Jeremiah Gardner: How Continuous Brand Innovation Disrupts Markets, Builds Emotional-Value, and Eliminates Waste.
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Adrian Howard Discusses Lean Startup, Lean UX, and Changing Roles for Teams
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Lean Startup for Agile Product Management
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Don't Build an MVP, First Build a CAP (Cofounder Attracting Product)
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Publicado el 13 de Agosto, 2014, 16:24

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Pat'sBlog: On This Day in Math - December 9
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Pat'sBlog: On This Day in Math - December 8
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Quick Study: Edward Frenkel on math: It's a lot like borscht | The Economist
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Cremona biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cremona.html

Pikasle
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Wilkins biography
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Dehn biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Dehn.html

Si partimos de algo falso podemos demostrar cualquier cosa - Gaussianos | Gaussianos
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Gödel's Incompleteness Theorem (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
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La historia del método de Newton-Raphson y otro caso más de mala documentación en el cine - Gaussianos | Gaussianos
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Matemáticos que han recibido un Premio Nobel - Gaussianos | Gaussianos
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Cosas raras provocadas por el infinito - Gaussianos | Gaussianos
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To Infinity… And Beyond! — Acko.net
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El teorema de Turan: el comienzo de la teoría de grafos extrema - Gaussianos | Gaussianos
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El libro de las demostraciones: Amazon.co.uk: Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Lourdes Figueiras Ocaña, Julián Pfeifle, Pedro A. Ramos: Books
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 11 de Agosto, 2014, 12:02

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En una ecuación diferencial interviene una variable dependiente y sus derivadas con respect a una o más variables independientes. Muchas leyes de la naturaleza encuentran encuentran su expresión en ecuaciones diferenciales. Asimismo, son importantes por sí mismas en el desarrollo de las matemáticas desde la aparición del cálculo.

¿Cuál es la razón para encontrarnos con ecuaciones diferenciales en tantos temas (física, química, economía, geometría, etc…)? Si tenemos una función

Su primera derivada indica el ritmo de cambio de y con respecto a x. Y así sucesivamente con las siguientes derivadas. En los procesos naturales las variables que intervienen y sus ritmos de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos que rigen esos procesos. Cuando descubrimos esas relaciones, muchas veces llegamos a expresarlas en ecuaciones diferenciales.

Tomemos un ejemplo, el de la segunda ley de Newton sobre una partícula. Expresada matemáticamente:

Indica que la fuerza que actúa sobre la partícula es la responsable del cambio en el momento de la misma. Vemos que el momento p es un vector.  Conociendo la fuerza que se aplica en cada momento, podemos deducir (a veces con dificultad) la trayectoria de la partícula. Pongamos un ejemplo concreto. Una partícula de masa m, libre, sólo sujeta a la fuerza de la gravedad, cae sin ninguna otra influencia, partiendo del reposo. Recordando que el momento es masa por velocidad:

Y considerando a la masa constante (estamos en un caso no relativista), lo único que varía con el tiempo es la velocidad. Su ritmo de cambio la llamamos aceleración:

La fuerza de gravedad es proporcional a la masa sobre la que se ejerce y a una constante g:

Con dirección hacia abajo. Si ponemos como variable dependiente del tiempo a y, como la distancia desde el punto de reposo que recorre la partícula, queda

Despejando m, queda

La ecuación diferencial que estábamos buscando. Resolviéndola podemos obtener la fórmula de cómo evoluciona el valor de y a través del tiempo. Pero si la partícula encuentra resistencia en su caída, debido al aire, proporcional a su velocidad, entonces la fuerza será:

Y la ecuación a resolver será

Tenemos que estudiar la resolución de éstas y otros tipos de ecuaciones diferenciales, en próximos posts.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 9 de Agosto, 2014, 12:45

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Como alguna vez le pasó a Newton, como también a Schrödinger, Heisenberg se encontró con tiempo libre para pensar en sus ideas.

Toward the end of May 1925, I fell so ill with hay fever that I had to ask Born for fourteen days' leave of absence. I made straight for Heligoland, where I hoped to recover quickly in the bracing sea air, far from blossoms and meadows. On my arrival I must have looked quite a sight with my swollen face; in any case, my landlady took one look at me, concluded that I had been in a fight and promised to nurse me through the aftereffects. My room was on the second floor, and since the house was built high up on the southern edge of the rocky island, I had a glorious view over the village, and the dunes and the sea beyond. As I sat on my balcony, I had ample opportunity to reflect on Bohr's remark that part of infinity seems to lie within the grasp of those who look across the sea.

Ya no era estudiante, ya era docente, así que imagino que este viaje no afectó tanto a su presupuesto como años antes, cuando necesitaba el soporte de la cátedra de su profesor Sommerfeld para viajar a congresos en Europa.

Apart from daily walks and long swims, there was nothing in Heligoland to distract me from my problem, and so I made much swifter progress than I would have done in Gottingen. A few days were enough to jettison all the mathematical ballast that invariably encumbers the beginning of such attempts, and to arrive at a simple formulation of my problem. Within a few days more, it had become clear to me what precisely had to take the place of the Bohr-Sommerfeld quantum conditions in an atomic physics working with none but observable magnitudes. It also became obvious that with this additional assumption I had introduced a crucial restriction into the theory. Then I noticed that there was no guarantee that the new mathematical scheme could be put into operation without contradictions. In particular, it was completely uncertain whether the principle of the conservation of energy would still apply, and I knew only too well that my scheme stood or fell by that principle.

Ahora tiene que revisar su resultado. El tema es si la energía se conservaba o no. En esos tiempos, dado lo extraño de los resultados cuánticos, se había llegado a sugerir en algún "paper" que la conservación de la energía era solo un resultado estadístico.

Other than that, however, several calculations showed that the scheme seemed quite self-consistent. Hence I concentrated on demonstrating that the conservation law held, and one evening I reached the point where I was ready to determine the individual terms in the energy table, or, as we put it today, in the energy matrix, by what would now be considered an extremely clumsy series of calculations. When the first terms seemed to accord with the energy principle, I became rather excited, and I began to make countless arithmetical errors. As a result, it was almost three o'clock in the morning before the final result of Iny computations lay before me. The energy principle had held for all the terms, and I could no longer doubt the mathematical consistency and coherence of the kind of quantum mechanics to which my calculations pointed. At first, I was deeply alarmed. I had the feeling that, through the surface of atomic phenomena, I was looking at a strangely beautiful interior, and felt almost giddy at the thought that I now had to probe this wealth of mathematical structures nature had so generously spread out before me. I was far too excited to sleep, and so, as a new day dawned, I made for the southern tip of the island, where I had been longing to climb a rock jutting out into the sea. I now did so without too much trouble, and waited for the sun to rise.

Buen trabajo esa noche. El "paper" que escribió sobre este tema tiene saltos mágicos en el razonamiento, pero llega a las conclusiones correctas. Seguiré comentando en el próximo post.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 8 de Agosto, 2014, 13:33

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Veamos cómo Heisenberg se aproxima a su gran idea. Más adelante leo:

In atomic physics, likewise, the winter of 1924-1925 had obviously brought us to a realm where the fog was thick but where some light had begun to filter through and held out the promise of exciting new vistas.

Habiendo trabajado en Copenhague con Kramers, vuelve a Gotinga. Tratando de avanzar, vio el camino a seguir: ignorar las órbitas electrónicas y concentrarse en las frecuencias Y amplitudes de las líneas espectrales observadas, por lo menos del átomo de hidrógeno. Esa fue una gran decisión que lo llevaría a su modelo. Leo:

 In the summer term of 1925, when I resumed my research work at the University of Gottingen-since July 1924 I had been Privatdozent at that university-I made a first attempt to guess what formulae would enable one to express the line intensities of the hydrogen spectrum, using more or less the same methods that had proved so fruitful in my work with Kramers in Copenhagen. This attempt led to a dead end-I found myself in an impenetrable morass of complicated mathematical equations, with no way out. But the work helped to convince me of one thing: that one ought to ignore the problem of electron orbits inside the atom, and treat the frequencies and amplitudes associated with the line intensities as perfectly good substitutes. In any case, these magnitudes could be observed directly, and as my friend Otto had pointed out when expounding on Einstein's theory during our bicycle tour round Lake Walchensee, physicists must consider none but observable magnitudes when trying to solve the atomic puzzle...

Tengo que comentar sobre ese amigo Otto, que lo nombra en un capítulo anterior.

.. My attempt to apply this scheme to the hydrogen atom had come to grief on the complications of this particular problem. Accordingly, I looked for a simpler mathematical system and found it in the pendulum, whose oscillations could serve as a model for the molecular vibrations treated by atomic physics. My work along these lines was advanced rather than retarded by an unfortunate personal setback.

Veremos en el próximo post el problema de salud que tuvo. Pero un comentario: no sólo se dedicó al péndulo, sino al oscilador anarmónico. No tomó el camino del oscilador armónico. Tengo que revisar las razones, expuestas en el libro de van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 7 de Agosto, 2014, 13:33

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Physicists Discover Geometry Underlying Particle Physics | Simons Foundation
https://www.simonsfoundation.org/quanta/20130917-a-jewel-at-the-heart-of-quantum-physics/

Category Theory (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/

Fermat"s unfinished business | The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2011/11/23/fermats-unfinished-business/

Lectures on the Icosahedron (Dover Phoenix Editions): Felix Klein: 9780486495286: Amazon.com: Books
http://www.amazon.com/Lectures-Icosahedron-Dover-Phoenix-Editions/dp/0486495280

Icosahedral symmetry - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#Related_geometries

Icosahedron - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedron

math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html
http://math.nist.gov/opsf/personal/weierstrass.html

On Klein's Icosahedral Solution of the Quintic
http://arxiv.org/pdf/1308.0955.pdf

Godel's Proof
http://ia601702.us.archive.org/3/items/gdelsproof00nage/gdelsproof00nage.pdf

Gaussian Primes - Jason Davies
http://www.jasondavies.com/gaussian-primes/

Blog Post: Math and Music | vismath
https://www.vismath.eu/en/blog/math-and-music

La Ciencia en Papel | La ciencia tambien puede ser betseller
http://lacienciaenpapel.wordpress.com/

Formal Concept Analysis | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/09/formal_concept_analysis.html

The problem with parallels. | The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/2013/09/05/the-problem-with-parallels/

After Giants" Shoulders is before Giants" Shoulders. | The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/2013/08/29/after-giants-shoulders-is-before-giants-shoulders/

Determinacy of Borel games I | Gowers's Weblog
http://gowers.wordpress.com/2013/08/23/determinacy-of-borel-games-i/

The Erdős-Rényi Random Graph | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/08/22/the-erdos-renyi-random-graph/

Julia Robinson and Hilbert"s Tenth Problem, by George Csicsery | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/08/julia-robinson-and-hilberts-tenth-problem-by-george-csicsery/

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Publicado el 6 de Agosto, 2014, 15:42

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The Opinionated! Essay - Number 1 - The Startup Valley of Death
http://us6.campaign-archive1.com/?u=8454d2b163d2af3884753acd6&id=8afe2053be

The Gentle Art of Running a Lean Startup
http://www.infoq.com/articles/gentle-art-lean-startup

Splitforce A/B Testing for Mobile Applications
http://www.infoq.com/news/2013/12/splitforce-mobile-ab-testing

In Conversation Eric Ries on How to be Entrepreneurial Inside a Big Company - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=kc6trO2hzL0&feature=youtu.be&a

Lessons Learned: Eric Ries and Kent Beck Discuss Product Development
http://www.startuplessonslearned.com/2013/11/eric-ries-and-kent-beck-discuss-product.html

Wolox - Convocatoria Fin de Año 2013
http://startups.wolox.com.ar/

6 Myths About Lean Startups | Keith Hanson
http://www.huffingtonpost.com/keith-hanson/6-myths-about-lean-startu_b_4118057.html

http://www.startuplessonslearned.com/2013/10/lean-startup-at-scale.html

The Unavoidable Big Bang
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Todavía no escales tu pequeño segmento de mercado | Blog BOMBAcamp
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Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 5 de Agosto, 2014, 15:14

Tiempo de escribir las nuevas resoluciones, pero primero paso a declarar el resultado de las anteriores de Julio:

- Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger [completo] ver post
- Comenzar una serie sobre ecuaciones diferenciales [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Heisenberg [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Stephen Jay Gould [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Darwin [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica [pendiente]
- Estudiar vectores y tensores [parcial]
- Estudiar ecuaciones diferenciales [completo]

También escribí sobre:

Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John Von Neumann (3)
Dirac por Israel Gelfand
Dirac y la teoría de Heisenberg

Varios de estos temas tienen relaciones entre sí, y es muy interesante darse cuenta de ellas. Por ejemplo, cómo las ecuaciones diferenciales nacen de la física, y terminan usándose desde mecánica clásica hasta física cuántica. Cómo los vectores y tensores se usan en representaciones de partículas elementales, junto con los grupos. Cómo la función de onda termina siendo convertida en una instancia de un vector en un espacio de Hilbert. Cómo el planteamiento de Heisenberg es equivalente al de Schrödinger. Cómo Schrödinger se aprovecha de los hamiltonianos, y de una analogía entre óptica geométrica y óptica de ondas, para su formulación no relativista. Cómo Heisenberg plantea que un neutrón y un protón son dos estados de lo mismo, como el spin, y pasa a isospin. Cómo el electromagnetismo es una teoría gauge. Cómo en los grupos hay grupos continuos, que luego hay grupos de Lie, que se caracterizan por álgebras de Lie, que terminan teniendo generadores, que se identifican con partículas virtuales (?),... etc... Todo tiene que ver con todo, en los temas de arriba y en los que siguen abajo.

Para este mes de Agosto pienso:

- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales
- Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica
- Seguir mi serie sobre Electromagnetismo
- Seguir mi serie sobre Lagrangianos y Hamiltonianos
- Seguir mi serie sobre Partículas Elementas y Grupos
- Estudiar ecuaciones diferenciales

Es un listado ambicioso, veremos como va.

Nos leemos!

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Publicado el 4 de Agosto, 2014, 6:51

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Sigamos leyendo y comentando la postura de Gould:

Las explicaciones históricas son distintas de muchas maneras de los resultados experimentales convencionales. El tema de la verificación mediante repetición no se suscita porque estamos intentando explicar la singularidad de detalles que no puede, ni por las leyes de probabilidad ni por la irreversibilidad de la flecha del tiempo, ocurrir de nuevo simultáneamente. No intentamos interpretar los complejos acontecimientos del relato reduciéndolos a simples consecuencias de la ley natural; desde luego, los acontecimientos históricos no violan ningún principio general de la materia y el movimiento, pero su existencia reside en un reino de detalle contingnente. (La ley de la gravedad nos dice cómo cae una manzana, pero no por qué aquella manzana cayó en aquel momento, ni por qué Newton se encontraba sentado allí por casualidad, preparado para la inspiración.) Y el tema de la predicción, un ingrediente básico del estereotipo, no entra en una narrativa histórica. Podemos explicar un acontecimiento después de que haya ocurrido, pero la contingencia impide su repetición, incluso si el punto de partida es idéntico. (Custer estaba sentenciado después que mil acontecimientos conspiraran para aislar a sus tropas, pero empecemos de nuevo en 1850 y puede que nunca viera Montana, y mucho menos a Toro Sentado y a Caballo Loco.)

Pero tampoco la física por qué tenemos la Luna alrededor de la Tierra, en vez de tener dos o ninguna. Hay tantas cosas que entran por la historia en la astronomía, como en la biología. No podemos explicar por qué tal estrella está en el cielo, pero eso no obsta a que podamos explicar su espectro y su posible historia. Tampoco siempre es necesario la predicción: a veces una teoría especifica una retrodicción, el hacer una "predicción" no hacia el futuro, sino en el pasado.

Ahora pasas Gould a describir una separación entre las ciencias, donde algunas quedan como "más científicas" que otras:

Estas diferencias sitúan las explicaciones históricas, o narrativas, bajo una luz desfavorable cuando se las juzga mediante los estereotipos restrictivos del "método científico". Por ello, las ciencias de complejidad histórica han sido degradadas en su nivel y por lo general ocupan una posición de baja estima entre los profesionales. En realidad, la ordenación de las ciencias en niveles se ha convertido en un tema tan familiar que la clasificación desde la física diamantina en la cúspide hasta temas tan resbalosos y subjetivos como la psicología y la sociología en la base se han convertido a su vez en un estereotipo. Estas distinciones han penetrado en nuestro lenguaje y en nuestras metáforas: las ciencias "duras" frente a las "blandas", las "rigurosamente experimentales" frente a las "meramente descriptivas". Hace varios años, la Universidad de Harvard, en un acto poco caraterístico de innovación educativa, abrió brecha en el terreno conceptual al organizar las ciencias según el estilo de procedimientos en lugar de la disciplina convencional dentro del currículum básico. No hicimos la doble división usual en físicas frente a biológicas, sino que reconocimos los dos estilos que acabo de comentar: el experimental predictivo y el histórico. Designamos cada categoría con una letra, en lugar de un nombre. ¿Adivinen qué división se convirtió en Ciencia A y cuál en Ciencia B? Mi curso sobre la historia de la Tierra y de la vida se llama Ciencia B-16

Sí, aprecio que hay una separación así. Pero ¿eso hace que una disciplina sea menos científica, realmente, que otra? No lo veo así. La biología ha avanzado en descubrir conceptos, descubrir referentes reales (como el ADN), proponer modelos y verificarlos, etc. No la veo como menos "científica". Recordemos que Gould habla del "estereotipo", pero no lo describió en detalle hasta ahora en este texto que estamos visitando.

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Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 3 de Agosto, 2014, 17:01

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Ya es hora de iniciar esta serie, para estudiar ecuaciones diferenciales. Esas ecuaciones aparecen en cada momento en la física matemática, pero también tienen su encanto por sí mismas. En este blog, hicieron su entrada en posts como:

La Ecuación de Schrödinger
Mecánica Clásica
Resolviendo una Simple Ecuación Diferencial Usando Series de Potencias

En una ecuación diferencial relacionamos una función con sus variables y derivadas. En general, no conocemos esa función y tenemos que encontrarla resolviendo la ecuación. Es muy interesante ver que hay métodos particulares de resolución, algunos métodos generales, y también, muchas situaciones donde no conocemos cómo resolver la ecuación, tal vez sólo por métodos numéricos aproximados.

El desarrollo de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones ha impulsado varios siglos de matemáticas y física desde los tiempos de Newton. Hoy las matemáticas tienen intereses más amplios, como el estudio de estructuras abstractas. Pero las ecuaciones diferenciales siguen jugando un papel importante. Sirva de introducción a esta serie una cita de lo que es ahora mi principal fuente del tema, el excelente Ecuaciones Diferenciales de Simmons. Leo en el prefacio a la primera edición:

El lugar de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas. El análisis ha sido la rama dominante de las matemáticas durante 300 años, y las ecuaciones diferenciales están en el corazón del análisis. Constituyen el objetivo natural del cálculo elemental y la parcela matemática más importante para la comprensión de las ciencias físicas. Es fuente, además, en las cuestiones más profundas que suscita, de la mayoría de las ideas y teorías que conforman el análisis avanzado. Series de potencias, series de Fourier, función gamma y otras funciones especiales, ecuaciones integrales, teoremas de existencia, necesidad de justificación rigurosa de muchos procesos analíticos, todos estos temas aparecerán en nuestro camino en su contexto más natural. Y en una etapa posterior proporcionan la principal motivación que subyace al análisis complejo, a la teoría de series de Fourier y otros desarrollos ortogonales más generales, a la integración de Lebesgue, a los espacios métricos y de Hilbert, y a un sinfín de otras materias de gran belleza en la matemática moderna. Puedo alegar, a título de ejemplo, que una de las ideas principales del análisis complejo consiste en liberar a las series de potencias del ámbito restrictivo del sistema de los números reales, algo que entenderán mejor quienes hayan intentado utilizar series de potencias reales para resolver ecuaciones diferenciales. En botánica resulta obvio que nadie puede apreciar del todo los capullos de las plantas en floración sin un conocimiento razonable de las raíces, tallos y hojas que los nutren y soportan. El mismo principio es válido en matemáticas, pero se desprecia o se ignora con frecuencia.

Las modas son tan comunes en matemáticas como en cualquier otra actividad humana, y siempre es difícil separar lo imperecedero de lo efímero en las obras que nos son coetáneas. Estamos presenciando actualmente en nuestras enseñanzas de matemáticas una fuerte corriente de abstracción que ha eliminado del paisaje muchos rasgos particulares, sustituyéndolos por las suaves y redondeadas formas de las teorías generales. En dosis oderadas, tales teorías generalmente son útiles y satisfactorias, pero un efecto desafortunado de su predominio es que si un estudiante no aprende en su carrera algo acerca de temas tan interesantes como la ecuación de ondas, la función hipergeométrica de Gauss, la función gamma o los problemas básicos del cálculo de variaciones, entre otros, es muy improbable que lo aprenda después. El lugar idóneo para adquirir esas nociones básicas es un curso de nivel elemental en ecuaciones diferenciales. Algunos libros de uso frecuente en esta materia me recuerdan esos autocares de visita turística cuyos conductores están tan obsesionados con el cumplimiento a rajatabla del horario programado que no dan apenas oportunidad a sus pasajeros de disfrutar del recorrido.

Interesante postura. Otros puntos a destacar de este libro es el gran nivel de las notas históricas, y el desarrollo armónico del tema, donde el autor nos va paseando por todos los tipos de ecuaciones diferenciales, paso a paso, sin grandes saltos, y siempre teniendo cerca un ejemplo concreto de aplicación.

Ver también:

http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 2 de Agosto, 2014, 12:20

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Luego de la introducción, el primer capítulo del Origen de las Especies se titula "Variación en estado doméstico". Darwin comienza a repasar las variaciones que se dan en los animales y plantas, pero no en ambiente natural. Prefiere investigar sobre algo más firme: las variaciones observadas cuando esos animales y plantas están al cuidado del ser humano.

La primera sección es "Causas de variabilidad". Vamos a leer que Darwin no estaba seguro sobre las causas, y sus contemporáneos daban distintas explicaciones. Pero por lo menos traza el panorama de un hecho: en estado doméstico, hay variabilidad. Leo:

Cuando comparamos los individuos de la misma variedad o subvariedad de las plantas y animales que criamos desde hace más tiempo, una de las primeras cosas que nos llaman la atención es que generalmente difieren más entre sí que los individuos de cualquier especie en estado natural; y si reflexionamos en la gran diversidad de plantas y animales que han sido cultivados y que han variado durante toras las edades bajo los más diferentes climas y tratos, llegamos a la conclusión de que esta gran variabilida se debe a que nuestras producciones domésticas se han criado en condiciones de vida menos uniformes y algo diferentes de aquellas a que ha estado sometida en la naturaleza la especie madre.

Lo de "algo diferentes" lo acepto. Lo de "menos uniformes", habría que investigar más. El estado natural puede presentar más desafíos al desarrollo de una población que el ambiente doméstico. Actualmente se habla también de diversidad. Es interesante lo sostenido por McShea y Brandon en:

Biology's First Law: The Tendency for Diversity and Complexity to Increase in Evolutionary Systems

Donde leo:

In this engaging and often insightful book, Daniel McShea, a paleobiologist, and Robert Brandon, a philosopher of biology, both at Duke University, argue for a "zero-force evolutionary law" (ZFEL), which can be stated thus:

In any evolutionary system in which there is variation and heredity, there is, in the absence of constraint, a tendency for diversity and complexity to increase.

No esta exenta de crítica. Recomiendo leer el artículo sobre vida y complejidad del Investigacióny Ciencia (la Scientific American traducida y adaptada en España) del número de Febrero 2014. Incluso sostienen que esa tendencia a la diversidad y complejidad NO SE VE influida por la selección natural. Una predicción que hacen, y luego comprueban, es que una población doméstica de un animal que no está sometido a selección por ser ganado vacuno o vacas lecheras (es decir, una población que no se ve influida por la selección humana por beneficio), ni se ve sometida a selección natural, debería tener mayor diversidad que su contrapartida natural. El ejemplo, notable, es el de la mosca de la fruta, la Drosophila, que desde hace décadas se usa en laboratorio. Luego de examinar unos cientos de poblaciones, comprobaron que tienen mayor diversidad que las poblaciones naturales. Me imagino que al estar al resguardo de los laboratorios, la variaciones menos favorables no desaparecen. Algunos discuten la conclusión de estos autores, mencionando que aún una población así se ve sometida a selección, ya sea humana o natural.

Pero tengo que volver a Darwin, tema del próximo post. Un ejemplo a favor de Darwin: la gran variedad de perros domésticos, la cantidad de razas que encontramos hoy en día en esos animales.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 1 de Agosto, 2014, 15:57

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Tantos temas para estudiar, como la derivadas covariantes, la geometría de la física, tensores, etc.

MAT 401: The Geometry of Physics
http://www.math.sunysb.edu/~brweber/401s09/coursewebpage/MAT401.html

Covariant derivatives and Christoffel symbols
http://www.mth.uct.ac.za/omei/gr/chap6/node2.html

Covariant Derivative -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/CovariantDerivative.html

Tensor density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_density

Gauge covariant derivative - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_covariant_derivative

Covariant derivative - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative

Covariant derivatives
http://www.math.sunysb.edu/~brweber/401s09/coursefiles/Lecture27.pdf

“Creo que en la matemática hay una alianza entre lo estético y lo utilitario”
http://www.clarin.com/sociedad/Creo-matematica-alianza-estetico-utilitario_0_752924800.html

Ramanujan's Master Theorem -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/RamanujansMasterTheorem.html

Hahn–Banach theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hahn%E2%80%93Banach_theorem

Riemann mapping theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_mapping_theorem

What is the simplest oscillatory integral for which sharp bounds are unknown? - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/103138/what-is-the-simplest-oscillatory-integral-for-which-sharp-bounds-are-unknown

Video Lectures in Mathematics (mathematicsprof) on Pinterest
http://pinterest.com/mathematicsprof/

Analysis Fact (AnalysisFact) on Twitter
https://twitter.com/AnalysisFact

Topology Fact (TopologyFact) on Twitter
https://twitter.com/TopologyFact

The Geometry of Projective Space on Vimeo
http://vimeo.com/40243261

classical mechanics - What does symplecticity imply? - Physics
http://physics.stackexchange.com/questions/32738/what-does-symplecticity-imply

Symmetry and the Fourth Dimension (Part 4) « Azimuth
http://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/07/26/symmetry-and-the-fourth-dimension-part-4/

Mathematically Correct Breakfast - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=dN8AwGUaqDA&feature=youtu.be

Konrad Voelkel » Thom spaces «
http://blog.konradvoelkel.de/2012/06/thom-spaces/

SnapPy — SnapPy 1.6.0 documentation
http://www.math.uic.edu/t3m/SnapPy/

Are there examples of non-orientable manifolds in nature? - MathOverflow
http://mathoverflow.net/questions/45832/are-there-examples-of-non-orientable-manifolds-in-nature

Rigged Hilbert space - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space

Hilbert space - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space

Fock space - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Fock_space

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Publicado el 27 de Julio, 2014, 17:10

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Why is group theory useful for physics? - A video guide to representations and normal modes. - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=oWhQAzB4U0E

Group Theory and Physics
http://mysite.du.edu/~jcalvert/phys/groups.htm

Commuting Limits and Colimits over Groups | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/12/commuting_limits_and_colimits.html

Sylow biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Sylow.html

The Geometry Junkyard: Symmetry and Group Theory
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/sym.html

The Geometry Junkyard: Topics
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/topic.html

Lectures on the Icosahedron (Dover Phoenix Editions): Felix Klein: 9780486495286: Amazon.com: Books
http://www.amazon.com/Lectures-Icosahedron-Dover-Phoenix-Editions/dp/0486495280

Icosahedral symmetry - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#Related_geometries

Icosahedron - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedron

On Klein’s Icosahedral Solution of the Quintic
http://arxiv.org/pdf/1308.0955.pdf

Of solving the rubik's from scratch [Python]
http://fulmicoton.com/posts/rubix/

Integral Octonions (Part 5) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/09/integral_octonions_part_5_1.html

The algebra of Unix command substitution | Bosker Blog
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Integral Octonions (Part 2) | The n-Category Café
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Integral Octonions (Part 3) | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/07/integral_octonions_part_3.html

G2 and the Rolling Ball | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/06/g2_and_the_rolling_ball.html

A Fourier-analytic proof of Frobenius’ theorem | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/05/24/a-fourier-analytic-proof-of-frobeniuss-theorem/

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Publicado el 25 de Julio, 2014, 15:28

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Wooga, A Case Study In No-Cash Bonus Culture
http://www.fastcompany.com/1816541/wooga-no-cash-bonus-startup-culture

Lean in Memes – 10 Lean Startup Ideas Explained in Memes
http://blog.bufferapp.com/lean-in-memes-10-lean-startup-ideas-explained-in-memes

StartupBus
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We're building an entrepreneurial ecosystem through unique experiences and inspirational connections.

The Lean Startup – Not Just For Startups! | All About Agile
http://www.allaboutagile.com/lean-startup-not-just-for-startups/

Mark Zuckerberg's Letter to Investors: 'The Hacker Way'
http://www.wired.com/epicenter/2012/02/zuck-letter/

The Inside Story of a Small Startup Acquisition (Part 2)
http://www.softwarebyrob.com/2012/02/02/the-inside-story-of-a-small-startup-acquisition-part-2/

Empresas de videojuegos pisan cada vez más fuerte en el país y buscan sumar desde ingenieros hasta músicos
http://management.iprofesional.com/notas/130552-Empresas-de-videojuegos-pisan-cada-vez-ms-fuerte-en-el-pas-y-buscan-sumar-desde-ingenieros-hasta-msicos

No Longer An Awkward Teenager? Gamification Grows Up
http://techcrunch.com/2012/02/12/no-longer-an-awkward-teenager-gamification-grows-up/

8 Job Search Tips From the Co-Founder of LinkedIn
http://mashable.com/2012/02/15/reid-hoffman-linkedin-job-tips/

A Requiem for LightSquared
http://www.readwriteweb.com/archives/a_requiem_for_lightsquared.php
Earlier this week, the Federal Communications Commission suspended LightSquared's waiver, effectively ending the company's business plan and dreams of disruption.

How to Do Business with Extremely Busy People
http://www.aaronstannard.com/post/2012/02/10/How-to-Do-Business-with-Extremely-Busy-People.aspx

Why did I fail with the online code-generation services – Advise(II): Don"t sell to developers
http://modeling-languages.com/why-did-i-fail-with-the-online-code-generation-services-%E2%80%93-adviseii-dont-sell-to-developers/

8 Things You Ought to Know If You Do Not Know Anything About Hiring A Software Developer
http://blog.8thlight.com/angelique-martin/2012/01/19/8-thing-you-ought-to-know.html

The Rise of Developeronomics
http://www.forbes.com/sites/venkateshrao/2011/12/05/the-rise-of-developeronomics/

10 Lies Never to Tell Investors
http://www.inc.com/erik-sherman/10-lies-entrepreneurs-tell-investors.html

Why Some Startups Succeed And Others Fail: 10 Fascinating Harvard Findings
http://www.businessinsider.com/why-some-startups-succeed-and-others-fail-10-fascinating-harvard-findings-2012-1

Do Great Things
http://techcrunch.com/2012/01/20/do-great-things/
Whether you"re a programming prodigy or the office manager holding it all together, technology empowers small groups of passionate people with an astonishing degree of leverage to make the world a better place.

RFS 9: Kill Hollywood
http://ycombinator.com/rfs9.html

Zuckerberg would stay in Boston if he were starting up now
http://scrum.jeffsutherland.com/2011/11/zuckerberg-would-stay-in-boston-if-he.html

7 Reasons to Start-Up in New Zealand
http://tobyruckert.com/7-reasons-to-start-up-in-new-zealand

A Look Back And A Look Ahead At 2012
http://regulargeek.com/2011/12/24/a-look-back-and-a-look-ahead-at-2012/

With Sync Solved, Dropbox Squares Off With Apple"s iCloud
http://www.wired.com/epicenter/2011/12/backdrop-dropbox/

DropShipping: un Modelo de Negocio Rentable para Emprendedores con Pocos Recursos
http://nuevosemprendedores.net/dropshipping/

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Publicado el 18 de Julio, 2014, 14:46

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Más recursos para estudiar este interminable tema:

The theorems of Frobenius and Suzuki on finite groups | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/04/12/the-theorems-of-frobenius-and-suzuki-on-finite-groups/

Feit–Thompson theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Odd_order_theorem

Brauer–Fowler theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Brauer%E2%80%93Fowler_theorem

Theorem Proof Gains Acclaim - Microsoft Research
http://research.microsoft.com/en-us/news/features/gonthierproof-101112.aspx

[hep-th/9212115] Higher Algebraic Structures and Quantization
http://arxiv.org/abs/hep-th/9212115

Torsors and enriched categories | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/06/torsors_and_enriched_categorie.html

Rings — A Second Primer | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/06/01/rings-a-second-primer/

LOG#098. Group theory(XVIII). | The Spectrum of Riemannium
http://thespectrumofriemannium.wordpress.com/2013/04/22/log098-group-theoryxviii/

LOG#099. Group theory(XIX). | The Spectrum of Riemannium
http://thespectrumofriemannium.wordpress.com/2013/04/23/log099-group-theoryxix/

[math-ph/9902027] Preparation for Gauge Theory
http://arxiv.org/abs/math-ph/9902027

Eduardo Sáenz de Cabezón, ganador de Famelab España 2013 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/eduardo-saenz-de-cabezon-ganador-de-famelab-espana-2013/

Wedderburn's little theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Wedderburn_s_little_theorem

Some group multiplication tables
http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/grouptables1.html

Lie Groups in Nature « DrMathochist
http://drmathochist.wordpress.com/2010/01/11/lie-groups-in-nature/

What are the best books about group theory (mathematics)? - Quora
http://www.quora.com/What-are-the-best-books-about-group-theory-mathematics

Group representations
http://www.physics.indiana.edu/~dermisek/QFT_08/qft-II-19-2p.pdf

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Publicado el 14 de Julio, 2014, 6:57

Ya comenté en dos posts la historia de Dirac trabajando sobre las ideas de Heisenberg, en 1925, y mejorándolas. Ver:

Dirac revisando el trabajo de Heisenberg
Dirac y las ecuaciones de la mecánica cuántica

Leo hoy en el capítulo 9, "Sunrise and first view", del excelente "Quantum Mechanics in Simple Matrix Form", de Thomas F. Jordan, un recuerdo del propio Dirac sobre aquel tiempo:

There were many meetings among the students in Cambridge to discuss scientific problems, and among those there was the Kapitza Club. Kapitza ... established a club of physicists... . Wc would meet on Tuesday evenings after dinner... . That was not really a very convenient time for me because I was usually rather sleepy after dinner. I did my work mostly in the morning... and towards the end of the day I was more or less dull, especially after dinner...

Se refiere a Pyotr Kapitsa, físico ruso, luego laureado Nobel al igual que Dirac, que en aquel entonces estaba en Cambridge. Ver Kapitza Club.

In the the summer of 1925, Heisenberg came to Cambridge, and he gave a talk to the Kapitza Club. Towards the end .. he spoke about some new ideas of his. By that time I was just too exhausted to be able to follow what he said, and I just did not take it in. He was talking about the origins of his ideas of the new mechanics. But I completely failed to realize that he was really introducing something quite revolutionary. Later on I completely forgot what he had said concerning his new theory. I even felt rather convinced that he had not spoken about it at all, but other people who were present at this meeting of the Kapitza Club assured me that he had spoken about it... and I just have to accept that he really did speak about it and that I had failed to respond to it at all, and so missed a great opportunity of getting started on it.

Esta historia no la conocía. No sabía que Heisenberg y Dirac se habían encontrado en la misma sala en aquellos tiempos. Tampoco que ya Dirac había tenido contacto con la teoría de Heisenberg, antes de tener su famoso "paper".

It was a little later when I really got started on the new Heisenbcrg theory.... Heisenberg sent [his paper] to Fowler... . Fowler sent it on to me with a query, 'What do you think of this?'... At first I was not very much impressed by it. It seemed to me to be too complicated. I just did not see the main point of it, and in particular his derivation of quantum conditions seemed to me to be too far-fetched, so I just put it aside as being of no interest. However, a week or ten days later I returned to this paper of Heisenberg's and studied it more closely. And then I suddenly realized that it did provide the key to the whole solution...

Este texto Jordan lo toma de P. A. M. Dirac, History of Twentieth Century Phystcs, edited by C. Weinei. Academic Press, New York, 1977, que no sé si es una conferencia de Dirac y otros autores, o todo un "raconto" del propio Dirac.

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Publicado el 13 de Julio, 2014, 18:24

Israel Moiseevich Gelfand fue un gran matemático ruso (1913-2009). Se ocupó de varias ramas de las matemáticas, incluso hasta en sus últimos años. Fue Premio Wolf, y en su larga carrera tuvo la oportunidad de aprender de grandes maestros (muchos soviéticos, a los cuales admiraba pero no siempre concordaba con ellos en temas políticos y sociales), y dejó su influencia en sus estudiantes.

Hoy me encuentro leyendo el libro de conferencias en motivo de su 80 aniversario, en 1993, con el tema "La Unidad de las Mateméticas". Son muy buenas conferencias, que tengo que comentar. En una conferencia del propio Gelfand, titulada "Mathematics as an Adequate Language", relata su relación con Dirac, y describe algo típico del físico inglés:

I was lucky to meet the great Paul Dirac, with whom I spent a few days in Hungary. I learned a lot from him.

In the 1930s, a young physicist, Pauli, wrote one of the best books on quantum mechanics. In the last chapter of this book, Pauli discusses the Dirac equations. He writes that Dirac equations have weak points because they yield improbable and even crazy conclusions:

1. These equations assume that, besides an electron, there exists a positively charged particle, the positron, which no one ever observed.

2. Moreover, the electron behaves strangely upon meeting the positron. The two annihilate each other and form two photons.

And what is completely crazy:

3. Two photons can turn into an electron–positron pair.

Pauli writes that despite this, the Dirac equations are quite interesting and especially the Dirac matrices deserve attention.

I asked Dirac, "Paul, why, in spite of these comments, did you not abandon your
equations and continue to pursue your results?""

"Because, they are beautiful.""

Simplemente por eso: porque son bellas. Pero finalmente se vió que eran no sólo bellas, sino que reflejaban un aspecto de la realidad que no se conocía hasta ese momento: la existencia de antimateria.

Pauli siempre era crítico duro de todo lo que le parecía bien. Pero algo rescataba del trabajo de Dirac: sus matrices 4x4, que eran una extensión las matrices de Pauli.

Post relacionados:

Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (1)
Paul Adrien Maurice Dirac, Breve Biografía
Dirac según Gamow
Paul Adrien Maurice Dirac, por Stephen Hawking (1)
Paul Adrien Maurice Dirac: Enlaces y Recursos (1)
Dirac y Feynman, por Abdul Salam
El problema de explicar spin y estadística
Dirac revisando el trabajo de Heisenberg
Dirac y las ecuaciones de la mecánica cuántica
Entrevista a P.A.M.Dirac, por Abdus Salam
Dirac y las cosmologías
Pauli, Dirac, Heisenberg y la religión

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Publicado el 12 de Julio, 2014, 14:49

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Sigo leyendo algo más adelante, el capítulo 5, Quantum Mechanics and a Talk with Einstein (1925-1926):

In the summer term of 1925, when I resumed my research work at the University of Gottingen-since July 1924 I had been Privatdozent at that university-I made a first attempt to guess what formulae would enable one to express the line intensities of the hydrogen spectrum, using more or less the same methods that had proved so fruitful in my work with Kramers in Copenhagen. This attempt led to a dead end -I found myself in an impenetrable morass of complicated mathematical equations, with no way out. But the work helped to convince me of one thing: that one ought to ignore the problem of electron orbits inside the atom, and treat the frequencies and amplitudes associated with the line intensities as perfectly good substitutes.

Ese es el gran cambio que dió Heisenberg: concentrarse en las frecuencias e intensidades (ya comenzaba a mencionar "amplitudes"),

In any case, these magnitudes could be observed directly, and as my friend Otto had pointed out when expounding on Einstein's theory during our bicycle tour round Lake Walchensee, physicists must consider none but observable magnitudes when trying to solve the atomic puzzle.

Tengo pendiente comentar sobre esas charlas con su amigo Otto, y también con Wolfgang Pauli.

My attempt to apply this scheme to the hydrogen atom had come to grief on the complications of this particular problem. Accordingly, I looked for a simpler mathematical system and found it in the pendulum, whose oscillations could serve as a model for the molecular vibrations treated by atomic physics. My work along these lines was advanced rather than retarded by an unfortunate personal setback.

Aparece el ataque de la "fiebre de heno", y el viaje a Heligoland:

Toward the end of May 1925, I fell so ill with hay fever that I had to ask Born for fourteen days' leave of absence. I made straight for Heligoland, where I hoped to recover quickly in the bracing sea air, far from blossoms and meadows. On my arrival I must have looked quite a sight with my swollen face; in any case, my landlady took one look at me, concluded that I had been in a fight and promised to nurse me through the aftereffects. My room was on the second floor, and since the house was built high up on the southern edge of the rocky island, I had a glorious view over the village, and the dunes and the sea beyond. As I sat on my balcony, I had ample opportunity to reflect on Bohr's remark that part of infinity seems to lie within the grasp of those who look across the sea.

Ahora podía concentrarse en el problema:

Apart from daily walks and long swims, there was nothing in Heligoland to distract me from my problem, and so I made much swifter progress than I would have done in Gottingen. A few days were enough to jettison all the mathematical ballast that invariably encumbers the beginning of such attempts, and to arrive at a simple formulation of my problem. Within a few days more, it had become clear to me what precisely had to take the place of the Bohr-Sommerfeld quantum conditions in an atomic physics working with none but observable magnitudes. It also became obvious that with this additional assumption I had introduced a crucial restriction into the theory. Then I noticed that there was no guarantee that the new mathematical scheme could be put into operation without contradictions. In particular, it was completely uncertain whether the principle of the conservation of energy would still apply, and I knew only too well that my scheme stood or fell by that principle.

El tema de la conservación de la energía (o de su falta de conservación) apareció en otras formulaciones tempranas. Veremos en el próximo post cómo se las arregló Heisenberg para mantener ese principio.

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Publicado el 12 de Julio, 2014, 14:36

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Termino hoy el comentario del prefacio de de "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics", de John Von Neumann. Leo al final:

In the analysis of the fundamental questions, it will be shown how the statistical formulas of quantum mechanics can be derived from ajfew qualitative, basic assumptions. Furthermore, there will be a detailed discussion of the problem as to whether it is possible to trace the statistical character of quantum mechanics to an ambiguity (i.e., incompleteness) in our description of nature.

Este es un gran tema, el que preocupaba a Einstein. Habiendo derivado muchas conclusiones apelando al manejo de la estadística (como en su relación entre los coeficientes de emisión y absorción de radiación por los átomos), siempre pensó que esos métodos se aplicaban porque no teníamos el conocimiento completo del sistema.

Indeed, such an interpretation would be a natural concomitant of the general principle that each probability statement arises from the incompleteness of our knowledge. This explanation "by hidden parameters" as well as another, related to it, which ascribes the "hidden parameter" to the observer and not to the observed system, has been proposed more than once. However, it will appear that this can scarcely succeed in a satisfactory way, or more precisely, such an explanation is incompatible with certain qualitative fundamental postulates of quantum mechanics.

Tengo que estudiar cuál es la incompatibilidad que señala von Neumann.

The relation of these statistics to thermodynamics is also considered. A closer investigation shows
that the well known difficulties of classical mechanics, which are related to the "disorder" assumptions necessary for the foundation of thermodynamics, can be eliminated here.

Siempre termina apareciendo en estas cuestiones la termodinámica. Recordemos que fue este tema el que llevó a Planck a investigar la radiación de cuerpo negro. Me queda pendiente entonces entender la crítica de von Neumann a Dirac, y el tema de incompatibilidad de las variables ocultas con los postulados fundamentales de la mecánica cuántica.

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Publicado el 12 de Julio, 2014, 14:12

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Veamos hoy una condición adicional que tiene que cumplir la ecuación que buscamos. Ya tenemos las relaciones de Einstein/de Broglie, que ponen sobre la mesa las relaciones entre:

 Energía y Frecuencia
 Momento y Longitud de Onda

Esto es lo extraño y nuevo que se encontró a principios del siglo XX: la relación entre conceptos físicos, como energía y momento, con conceptos de onda. Esa relación no la hubiera esperado nadie. Ahora estamos buscando una ecuación que nos permita determinar una función de onda, una expresión matemática que nos de un valor a cada punto r y cada instante t.

Pues bien, cualquier cosa que hallemos, deberá ser compatible con la física clásica, al menos en el límite. Una de las cosas que esperaríamos es que sea compatible con:

Esta relación clásica expone la relación entre energía total E, energía cinética y energía potencial, en un sistema de una partícula de masa m, momento p, y energía potencial V. Si estamos en el caso de una partícula libre dentro de un potencial V que no se altera con el tiempo, la relación de arriba debe dar una energía E constante. En esta relación aparece tanto la energía potencial V, como la energía cinética dependiente del momento p, y la energía total. De alguna forma, tenemos que relacionar esos conceptos, energía y momento, con frecuencia y longitud de onda. Lo vamos a lograr, pero lo que consigamos deberá ser compatible con la relación de arriba, en el caso de potencial V constante en el tiempo y sólo dependiente de la posición de la partícula. No sabemos cómo una función de onda:

Va a aparecer involucrada en esta relación, pero ya vamos a llegar al tema. Alguna pista ya nos dan las relaciones de Einstein/de Broglie, que nos permiten relacionar energía y momento, con frecuencia (en el tiempo) y longitud de onda (en el espacio).

Otra condición que nos gustaría satisfacer, es la linealidad de las soluciones. Es decir, si:

es una solución a la ecuación de ondas que buscamos, y:


es otra solución a la misma ecuación de ondas, entonces requerimos que:

sea también una solución potable a la misma ecuación, con coeficientes alfa y beta cualesquiera. Esta exigencia viene motivada para explicar cualquier fenómeno de interferencias de ondas en los experimentos. La linealidad nos va a permitir combinar de distintas formas soluciones encontradas, simplemente sumándolas, y dando a cada solución inicial, un coeficiente de peso (alfa y beta en la fórmula de arriba).

Ya tenemos dispuesto el escenario y las relaciones que queremos satisfacer. ¿Podremos obtener una ecuación cuya solución nos dé la función de onda buscada? Armados con estas dos nuevas exigencias, y lo que exploramos en los anteriores posts, ya estamos en condiciones de buscar la ecuación soñada.

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