Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 25 de Septiembre, 2014, 8:38

De nuevo hoy voy a citar el libro de Zeidler, "Quantum Field Theory Vol I". Esta vez, encuentro mencionada una carta de Einstein. Es de sus últimos años, pero no tengo la fecha y el destinataria. Comenta sus estudios de joven:

Between the ages of 12-16, I familiarized myself with the elements of  mathematics. In doing so I had the good fortune of discovering books which were not too particular in their logical rigor. In 1896, at the age of 17, I entered the Swiss Institute of Technology (ETH) in Zurich. There I had excellent teachers, for example, Hurwitz (1859-1919) and Minkowski (1864-1909), so that I really could get a sound mathematical education. However, most of the time, I worked in the  physical laboratory, fascinated by the direct contact with experience. The rest of the time I used, in the main, to study at home the works of Kirchhoff (1824-1887), Helmholtz (1821-1894), Hertz (1857-1894), and so on. The fact that I neglected mathematics to a certain extent had its cause not merely in my stronger interest in the natural sciences than in  mathematics, but also in the following strange experience. I saw that mathematics was split up into numerous specialities, each of which could easily absorb the short life granted to us. Consequently, I saw myself in the position of Buridan's ass which was unable to decide upon any specific bundle of hay. This was obviously due to the fact that my intuition was not strong enough in the field of mathematics in order to differentiate clearly that which was fundamentally important, and that which is really basic, from the rest of the more or less dispensable erudition, and it was not clear to me as a student that the approach to a more profound knowledge of the basic principles of physics is tied up with the most intricate mathematical methods. This only dawned upon me gradually after years of independent scientific work. True enough, physics was also divided into separate fields. In this field, however, I soon learned to scent out that which was able to lead to fundamentals.

Menciona a sus profesores de matemáticas en el ETH, pero no parece haber causado buena impresión como estudiante. Tendría que confirmar, pero parece que fue Minkowski el que declaró en esos tiempos de Einstein estudiante, que el futuro premio Nobel no llegaría a nada. Sin embargo, todo eso cambió al inicio del nuevo siglo, cuando Minkowski abrazó la representación geométrica de las ideas de Einstein sobre relatividad especial.

Es interesante el argumento que Einstein menciona para preferir la física a las matemáticas: éstas, demasiado amplias, sin poder discernir que era importante y que era solamente interesante, mientras que la física tenía de alguna forma más los pies en la tierra.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 24 de Septiembre, 2014, 14:44

Ya apareció en este blog el tema operadores, de forma leve, en:

Operadores en Mecánica Cuántica, por Richard Feynman
Operadores en Mecánica Cuántica, por Roger Penrose

y va a seguir apareciendo, seguramente en mi series Matemáticas y Física Cuántica y Ecuaciones Diferenciales. Uno de los que contribuyó a la teoría de los operadores fue John von Neumann, al que estoy citando en Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John Von Neumann.

Ayer cité al excelente  "Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics", de Eberhard Zeidler. Y hoy lo vuelvo a citar, porque encuentro dos referencias al trabajo de von Neumann, la primera de Dieudonne:

In the fall 1926, the young John von Neumann (1903-1957) arrived in Gottingen to take up his duties as Hilbert's assistant. These were the  hectic years during which quantum mechanics was developing with breakneck speed, with a new idea popping up every few weeks from all over the  horizon. The theoretical physicists Born, Dirac, Heisenberg, Jordan, Pauli, and Shrodinger who were developing the new theory were groping for adequate athematical tools. It finally dawned upon them that their 'observables' had properties which made them look like Hermitean operators in Hilbert space...

Tengo que escribir sobre los espacios de Hilbert y cómo los observables terminan siendo operadores lineales en ese espacio. La condición de hermíticos es la que asegura que la aplicación de operador en un producto definido sobre un vector tenga resultado real, no complejo. Notablemente, Hilbert había desarrollado sus ideas décadas antes de la necesidad de usarlas en la naciente mecánica cuántica.

... and that by an extraordinary coincidence, the 'spectrum' of Hilbert (which he had chosen around 1900 from a superficial analogy) was to be the central conception in the explanation of the 'spectra' of atoms. It was therefore natural that they should enlist Hilbert's help to put some mathematical sense in their formal computations. With the assistance of Nordheim and von Neumann, Hilbert first tried integral operators in the space L2, but that needed the use of the Dirac delta function 5, a concept which was for the mathematicians of that time self-contradictory. John von Neumann therefore resolved to try another approach.

Jean Dieudonne (1906-1992)
History of Functional Analysis

La segunda es de un matemático que también contribuyó al tema, Marshall Harvey Stone:

Stimulated by an interest in quantum mechanics, John von Neumann began the work in operator theory which he was to continue as long as he lived. Most of the ideas essential for an abstract theory had already been developed by the Hungarian mathematician Pryges Riesz...

Conozco levemente el trabajo de Riesz, justamente leyendo algún libro de teoría funcional.

... who had established the spectral theory for bounded Hermitean operators in a form very much like as regarded now standard. Von Neumann saw the need to  extend Riesz's treatment to unbounded operators and found a clue to doing this in Carleman's highly original work on integral operators with singular kernels...

Desconocía el trabajo sobre operadores "unbounded", y su importancia. Tema para estudiar. 

The result was a paper von Neumann submitted for publication to the Mathematische Zeitschrift but later withdrew. The reason for this  withdrawal was that in 1928 Erhard Schmidt and myself, independently, saw the role which could be played in the theory by the concept of the adjoint operator, and the importance which should be attached to self-adjoint operators. When von Neumann learned from Professor Schmidt of this  observation, he was able to rewrite his paper in a much more satisfactory and complete form... Incidentally, for permission to withdraw the paper, the publisher exacted from Professor von Neumann a promise to write a book on quantum mechanics. The book soon appeared and has become one of the classics of modern physics.

Marshall Harvey Stone (1903-1989)

A primera impresión, el libro de von Neumann es más árido que el clásico de Dirac. Pero será cuestión de tener perservarncia y leer ambos, muy interesantes los dos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 23 de Septiembre, 2014, 8:03

Ya había escrito hace tiempo:

Richard Feynman, por Freeman Dyson

Desde hace años me impresiona el trabajo personal de Feynman para reconstruir la física cuántica de entonces. Ese trabajo rindió sus frutos, porque de él emergió su idea de la "integral path", que podemos ver como un paso al límite del experimento de las rendijas (Ver "Quantum Field Theory in a Nutshell", de Zee, les debo post).Es decir, el electrón, para llegar de A a B, puede pasar por cualquiera de las dos rendijas (en el clásico experimento), y las dos trayectorias cuentan. Pero ¿y si ponemos tres rendijas? ¿y si ponemos cuatro? Lo mismo, todos los caminos cuentan. Pero ¿si ponemos 10, 20? Lo mismo. Pero entonces, ¿si ponemos infinitas rendijas? Es igual a tener al electrón libre de ir desde A a B, sin ninguna pared. Pero en vez de computar sólo la trayectoria directa, lineal, igual se siguen computando todas las posibles trayectorias. El descubrimiento de Feynman es que en el límite clásico, este "sumar todas las trayectorias" da lo mismo que "tomar la trayectoria directa", porque por cada trayectoria alternativa, hay otra que cancela su efecto.

Hoy encuentro el texto ampliado de Dyson, en el excelente "Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics", páginas 27-28, de Eberhard Zeidler, totalmente recomendable. Leo:

Dick Feynman (1918-1988) was a profoundly original scientist. He refused to take anybody's word for anything. This meant that he was forced to rediscover or reinvent for himself almost the whole physics. It took him five years of concentrated work to reinvent quantum mechanics. He said that he couldn't understand the official version of quantum mechanics that was taught in the textbooks and so he had to begin afresh from the beginning. This was a heroic enterprise. He worked harder during those years than anybody else I ever knew. At the end he had his version of quantum mechanics that he could understand...

The calculations that I did for Hans Bethe,5 using the orthodox method, took me several months of work and several hundred sheets of paper.

Hans Bethe (1906-2005) ganó el premio Nobel en 1967 por sus trabajos en las reacciones nucleares, especialmente por sus descubrimientos acerca de la producción de energía en las estrellas. Tengo pendientes leer varios libros de Bethe, muy interesantes, posts pendientes.

Dick could get the same answer, calculating on a blackboard, in half an hour...

In orthodox physics, it can be said: Suppose an electron is in this state at a certain time, then you calculate what it will do next by solving the Schrodinger equation introduced by Schrodinger in 1926. Instead of this, Dick simply said:

The electron does whatever it likes.

A history of the electron is any possible path in space and time. The behavior of the electron is just the result of adding together all the histories according to some simple rules that Dick worked out. I had the enormous luck to be at Coraell in 1948 when the idea was newborn, and to be for a short time Dick's sounding board...

Dick distrusted my mathematics and I distrusted his intuition.

Dick fought against my scepticism, arguing that Einstein had failed  because he stopped thinking in concrete physical images and became a  manipulator of equations. I had to admit that was true. The discoveries of Einstein's earlier years were all based on direct physical intuition. Einstein's later unified theories failed because they were only sets of equations without physical meaning...

Nobody but Dick could use his theory. Without success I tried to understand him... At the beginning of September after vacations it was time to go back East. I got onto a Greyhound bus and travelled nonstop for three days and nights as far as Chicago. This time I had nobody to talk to. The roads were too bumpy for me to read, and so I sat and looked out of the window and gradually fell into a comfortable stupor. As we were droning across Nebraska on the third day, something suddenly happened. For two weeks I had not thought about physics, and now it came bursting into my consciousness like an explosion. Feynman's pictures and Schwinger's equations began sorting themselves out in my head with a clarity they had never had before. I had no pencil or paper, but everything was so clear I did not need to write it down. Feynman and Schwinger were just looking at the same set of ideas from two different sides. Putting their methods together, you would have a theory of quantum electrodynamics that combined the mathematical precision of Schwinger with the practical flexibility of Feynman...

During the rest of the day as we watched the sun go down over the prairie, I was mapping out in my head the shape of the paper I would write when I got to Princeton. The title of the paper would be The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman.

Los tres, Tomonaga, Schwinger, Feynman recibirían el Nobel compartido. Schwinger era un genio temprano, que destacó antes que Feynman, pero luego quedó opacado por éste, por lo menos para el público. Es interesante notar que el trabajo de Schwinger fue influido por su trabajo durante la guerra (la segunda guerra mundial) en el RadLab, laboratorio de radiación, proyecto que insumió un costo del mismo orden del Proyecto Manhattan (el proyecto de las bombas atómicas). En su trabajo con técnicos, Schwinger aprendió que se necesitaba calcular prácticamente, no seguir el camino de los veinte-treinta, de buscar ecuaciones exactas, sino ir en busca de caminos simplificados. No conozco en detalle el trabajo de Schwinger, pero parece que también tomó un camino que otros no habían tomado, pero no fue tan aceptado y simple como el de Feynman.

Curiosamente, una de las ideas de Feynman, el propagador temporal, tuvo una representación gráfica, los diagramas de Feynman, que se popularizaron. Ver Diagramas de Feynman, Fuerzas en Diagramas de Feynman, Positrones y Electrones en Diagramas de Feynman. La historia de la difusión y aceptación de esos diagramas, y los cambios que tuvieron en el tiempo, ha merecido artículos y libros completos. Tema para posts pendientes.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 22 de Septiembre, 2014, 13:50

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Más enlaces del tema interminable. Hay un par de joyitas sobre la relación entre grupos y partículas elementales:

Chiral symmetry - Wikipedia, the free encyclopedia

McCabism: What is an elementary particle?

quantum mechanics - How is the physical meaning of an irreducible representation justified? - MathOverflow

Group Theory and Symmetries in Particle Physics

Symmetry and Particle Physics

quantum field theory - Why do we say that irreducible representation of Poincare group represents the one-particle state? - Physics Stack Exchange

Elementary Particles

p-group - Wikipedia, the free encyclopedia

Why is group theory important?

Weinberg angle - Wikipedia, the free encyclopedia

Mis enlaces

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 21 de Septiembre, 2014, 16:23

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Veamos de resolver los coeficientes de la última ecuación del anterior post:

Tenemos alfa y beta para determinar. Pero aparte de satisfacer la ecuación de arriba, también tendría la solución que cumplir con las ecuaciones de de Broglie y de Einstein:

Y con la ecuación de la energía:

Sustituimos las relaciones de de Broglien y de Einsten en la ecuación de la energía:

Habíamos sustituido frecuencia v por frecuencia angular omega, y longitud de onda lambda por número de onda k:

Queda entonces que se debe cumplir también:

Reagrupemos nuestra ecuación con alfa y beta:

Para que esta igualdad se cumpla para todos los valores que pueden tomar los cosenos y senos, se debe cumplir que los coeficientes se anulen:

Esto se satisface si:

Sustituyendo en nuestra ecuación de partida:

Queda algo trivial:

Que ni siquiera nos sirve para tener en la expresión a la derivada temporal de la función de onda, que al ser alfa cero, desapareción de la expresión.

Conclusión: luego de tantos malabares, no llegamos a mucho. Si meditamos un momento, el problema surge de partir de una ecuación donde los cosenos y senos están mezclados de una forma no fructífera. Eso se debe a que tenemos derivadas parciales de distinto orden, y nuestra ecuación inicial sólo tenía senos:

Próximo intento: partir de una función de onda inicial QUE TENGA SENOS Y COSENOS, AMBOS, DESDE EL PRINCIPIO, a ver si tenemos más oportunidades de llegar a una relación no trivial e interesante.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 20 de Septiembre, 2014, 18:56

Estoy explorando una deducción de la ecuación de Schrödinger en:

La Ecuación de Schrödinger

pero no es el camino que siguió el propio Schrödinger. Este tomó una analogía entre óptica y mecánica, debida originalmente a Hamilton, para extender las ideas de de Broglie.

Encuentro hoy el excelente

The classical roots of wave mechanics: Schrödinger"s transformation of the optical-mechanical analogy

donde leo el resumen:

The optical-mechanical analogy played a central role in Schrödinger's reception of de Broglie's ideas and development of wave mechanics. He was well acquainted with it through earlier studies, and it served him as a heuristic model to develop de Broglie"s idea of a matter wave. Schrödinger"s struggle for a deeper understanding of the analogy in the search for a relativistic wave equation led to a fundamental transformation of the role of the analogy in his thinking into a formal constraint on possible wave equations. This development strongly influenced Schrödinger"s interpretation of the wave function and helps to understand his commitment to a wave interpretation in opposition to the emerging mainstream. The changes in Schrödinger's use of the optical-mechanical analogy can be traced in his research notebooks, which offer a much more complete picture of the development of wave mechanics than has been generally assumed. The notebooks document every step in the development and give us a picture of Schrödinger's thinking and aspirations that is more extensive and more coherent than previously thought possible.

No conocía la existencia de esas "notebooks", les recomiendo la lectura de este "paper".

Busqué hoy una relación que recordaba vagamente, entre algunas ideas de Klein, pasadas por Sommerfeld a Schrödinger sobre esa analogía entre óptica y mecánica. Parece que no tuvo tanta influencia como pensaba: Schrödinger había ya encontrado por otros medios parte de esa analogía, reflejada en un segundo "paper" que presentó. Sommerfeld, al leer el texto, todavía no publicado, le recordó la similitud entre una ecuación y la ecuación de la ecoinal. Buscando en Google Books, encontré este fragmento del excelente e interminable The Historical Development of Quantum Theory de Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg (varios tomos), pp 553 en adelante:

As this point we may insert a remark which is perhaps essentially superfluous here but nevertheless may help to avoid a wrong impression that one possibly obtains from reading the published paper. In a footnote to p. 490 of the latter, Schrödinger, just after stating the connection between Hamilton's dynamical principle and Huyguens' optical principle, added the remark: 'Felix Klein has since 1891 repeatedly developed the theory of Jacobi [i.e, Hamilton's theory in the pure mechanical formulation of Jacobi] from quasi-optical considerations in non-Euclidean higher spaces in his lectures on mechanics. Cf. F. Klein, Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver. 1, 1891 [Klein, 1892] and Zeit. f. Math. u. Phys. 46, 1901 [Klein, 1901] (Ges.-Abh, II, pp. 601 and 603). In the second note, Klein remarks reproachfully that his discourse at Halle ten years previously, in which he had discussed this correspondence and emphasized the great significance of Hamilton's optical works, had "not obtained the general attention, which he had expected." For this allusion to F. Klein, I am indebted to a friendly communication from Prof. Sommerfeld. See also Atombau, 4th ed., p. 803' (Schrödinger, 1926d, p. 490, footnote 1; English translation, footnote 3 on pp. 13-14)

Back in the fall of 1891, at the Versammlung Deutscher Naturforscher und Arzte in Halle, the Göttingen mathematician Felix Klein had spoken -as we have already pointed out in the previous section- on some recent English papers on mechanics, and had a particular called attention to the close relation of Hamilton's dynamical theory of light rays an his -Klein's- own consequences from this relation, namely, 'that one, moreover, by proceeding to higher-dimensional spaces, is able to reduce every mechanical problem to the determination of the path of ray propagating in a suitable optical medium' (Klein, 1892, p. 35). Klein had never published any detailed results of that sort in a journal; however, he reporter later in his Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19, Jahrhundert which appeared posthumously in 1926 (after Schrödinger first publications on wave mechanics): 'I have especially indulged, in the summer of 1891, in the pleasure of treating all mechanics, in the footsteps of Hamilton, as a kind of optics in the n-dimensional space; and I have included Jacobi's extension of the theory...; the elaboration of these lectures has been available for twenty years in the Göttingen Reading Room' (Klein, 1926, p. 198).

Vean que menciona "in the footsteps of Hamilton". Tengo que encontrar la referencia, pero todos los comentadores señalan que Hamilton ya se había dado cuenta de la relación entre su trabajo en óptica geométrica y la mecánica.

As in his paper of 1901, Klein complained here about the total neglect that physicist had accorded to the powerful ideas suggested by him. Perhaps one reason for this particular neglect -at least in Germany- may be seen in the fact that physicists in general paid hardly any attention to the sketchy hints in the mathematical journals, nor did they have access to the Reading Room in the Mathematical Institute at the University of Göttingen where the elaborated lectures of Klein lay...

Acá los autores insertan dos notas, que no quiero saltear:

267: The only exception, to which Klein referred, was the mathematician Eduard Study; the latter had, in a paper 'Uber Hamiltons geometrische Optik und deren Beziehung zur Theorie der Beruhrungstransformations' ('On Hamilton's Geometrical Optics and Its Relation to the Theory of Contact Transformations,' Study, 1905): 'worked out from the correct point of view a new form' (Klein, 1926, p. 198). In a footnote, which he had obviously added much latter -the manuscript of the lectures of mathematics in the nineteenth century must have been written in the years after 1910- Klein quoted two further papers by another mathematician, Georg Prange, entitled 'W.R.Hamiltons Bedeutung fur die geomestrische Optik' ('W.R.Hamilton's Importance for Geometrical Optics,' Prange, 1921) and 'W.R.Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik' ('W.R.Hamilton's Papers on Ray Optics and Analytical Mechanics,' Prange, 1923).

268: As we have mentioned and discussed in Section 4, the British mathematician Edmund Whittaker discussed, in his textbook on analytical mechanics (Whittaker, 1904, and later editions), the optical analogue to Hamilton's dynamics in some detail; he also presented (in Sections 125 and 126 of his book) the connection between Huyguens' principle and contact transformations and he considered higher-dimensional spaces.

Volvamos al texto principal:

... However, there was one physicist, Arnold Sommerfeld, who had indeed seen the manuscript of the above-mentioned lectures when he was assistant for mathematics at Göttingen during 1894-1897. He had also referred to Klein's two notes -quoted above- in his book Atombau und Spektralinien...

Ese libro instruyó a toda una generación de físicos cuánticos, sobre el espectro atómico.

..., for example, in the fourth edition in Appendix 7. There he wrote:

Finally, several remarks on the origin of Hamilton's theory. We base our statements on two notes of F. Klein ([1892, 1901]). Hamilton was an astronomer who studied the propagation of light rays in optical instruments. He had available the ray-optics (Newton's emissive optics), which describes the path of light particles in a section-wise homogeneous, or more generally, an inhomogeneous medium by means of integrable ('totale') differential equations. Hamilton attempted to incorporate this method into the then developed wave optics, which describes the optical states by partial differential equations. The real differential equations of wave optics is the equation of vibration (I), from which one derives -for sufficiently small wavelengths- the differential equation of wave surface (II), i.e.,

Here u represents a vector, v a scalar, delta2 denotes the so-called "second differential parameter", and delta1 the "first differential parameter", that is, for a Euclidean line element,

Tengo que revisar el por qué de esas dos notaciones. Imagino que varían en espacios no euclideanos.

If one integrates Eq. (II), one obtains a family of wave surfaces or surfaces of equal phases by putting v = const. Their ortogonal trajectories are the orbits of the light particles, and hence constitute the light rays. Provided we know a complete solution of Eq. (II), then we can derive from it the trajectories of the light particles by mere differentiation... Of course, one must use, for the purpose of general dynamics, a non-Euclidean line element; and one must, for systems having more thant three degrees of freedom -as Klein realized- go over to a higher-dimensional space. (Sommerfeld, 1924d, pp. 803-804).

Es interesante mencionar una nota:

269 In his autobiographical sketch, published posthumously, Sommerfeld mentioned that he went to Göttingen in October 1893, where he soon came under the decisive influence of Felix Klein; Klein drew his attention to the problems of mathematical physics and tried to win him 'for his view of the problems which he had formulated in previous lectures' (Sommerfeld, 1968, p. 675). In 1894, Sommerfeld became 'Klein's assistant at the mathematical reading room and had, in this position, to work out his lectures' (Sommerfeld, 1968, p. 675).

Sigamos con el texto principal. Veamos la acción de Sommerfeld sobre Schrödinger.

Evidently, Eqs. (I) and (II) correspond to Eq. (209) and the eiconal equation (208a), respectively, as Sommerfeld and Runge had shown in 1911 in a paper quoted by Sommerfeld in Atombau. Sommerfeld also reported in his book that in the extension of Hamilton's theory by Jacobi the optical aspect had been lost, and that later Bruns rediscovery it in his theory of the eiconal. When he (Sommerfeld) then say, in February 1926, the manuscript of Schrödinger's second communication on Quantisierung als Eigenwertproblem, he wrote to Zurich and reminded Schrödinger of the ideas of Klein and of those in his own paper. Obviously, Schrödinger did not known of Klein's work, and had also overlooked the above-quoted passage in the fourth edition of Atombau, a book, which he had otherwise study quite carefully. In any case, he immediately dispatched a letter to Wein. He wrote:

Please do excuse me for having to bother you with a request to insert the enclosed two remarks in my manuscript "Quantisierung als Eigenwertproblem, Zweite Mitteilung" [for the] Annalen der Physik... I owe both hints to a friendly postcard from Professor Sommerfeld, which he still wrote to me just before his departure for England. It would not only be very embarrasing for me to omit the citations of Klein and Sommerfeld, but I am also extremely happy to point to none other than Felix Klein as that person, who 35 years ago, and unfortunately in vain, had hinted at the importance of these connections. Had Klein's lectures been distributed in a form other than the valuable and rare manuscript editions, then probably the connection with quantum theory would have been discovered some time ago. It is indeed so evident. From time immemorial one writes the first term of the action function as: minus the energy multiplied by time. Therefore, as soon as one interprets the action function as the phase of the wave, i.e., forms a periodic function of it, one must note that the frequency of this wave is proportional to the mechanical energy constant (Schrödinger to Wein, 4 March 1926)

No se encontró la "postcard" de Sommerfeld, pero debe datar de principios de marzo. La relación entre energía y frecuencia es uno de los grandes descubrimientos de la física: una relación inesperada, que permea todos los desarrollos posteriores.

Concluyen los autores:

Thus the references to Felix Klein's work as well as to the paper by Sommerfeld and Runge -and to Appendix 7 in Atombau- were added to the second communication only after the author had completed the manuscript; they did not influence his results and development at all.

Interesante tema. Si quieren los detalles matemáticos y físicos, les recomiendo el excelente Fundamentos de Mecánica Cuántica, de Borowitz, donde el autor sigue el camino de Schrodinger para llegar a sus resultados, explorando entonces las relaciones entre óptica geométrica y mecánica, y luego pasado de óptica geométrica a ondas, para conseguir unir la mecánica con las ondas, el germen de la mecánica cuántica de entonces.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 19 de Septiembre, 2014, 14:37

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Nada mejor que seguir citando al libro del anterior post, "An Elementary Primer for Gauge Theory" de K.Moriyasu. Leo al comienzo del primer capítulo:

Modern gauge theory has emerged as one of the most significant and far-reaching developments of physics in this century. It has allowed us for the first time to realize at least a part of the age old dream of unifying the fundamental forces of nature. We now believe that electromagnetism, that most useful of all forces, has been successfully unified with the nuclear weak interaction, the force which is responsible for radioactive decay. What is most remarkable about this unification is that these two forces differ in strength by a factor of nearly 100 000. This brilliant accomplishment by the Weinberg-Salam gauge theory, and the insight gained from it, have encouraged the hope that all of the fundamental forces may be unified within a gauge theory framework. At the same time, it has been realized that the potential areas of application for gauge theory extend far beyond elementary particle physics. Although much of the impetus for gauge theory came from new discoveries in particle physics, the basic ideas behind gauge symmetry have also appeared in other areas as seemingly unrelated as condensed matter physics, non-linear wave phenomena and even pure mathematics. This diversity of interest in gauge theory indicates that it is in fact a very general area of study and not exclusively limited to elementary particles.

Vemos que un gran avance que surgió fue la unificación de dos fuerzas, la electromagnética (que ya había aparecido como la unificación de los fenómenos eléctricos y magnéticos) y la fuerza débil.

Pero también, el tema gauge involucra un gran papel a la simetría. Esto no fue evidente al principio: por ejemplo, la primer teoría con gauge, el electromagnetismo, vió a la simetría como un simple recurso de simplificación de cálculos. Fue Einstein quien puso la simetría como algo más fundamental en su teoría de relatividad general, y de nuevo, ahí aparece un gauge. Pero ya veremos los detalles. Por ahora, son simples notas

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 17 de Septiembre, 2014, 14:55

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Hay tanto para estudiar, comentar y compartir sobre este tema. Por un lado, es un tópico importante de la física, y aún en las matemáticas modernas. Por otro lado, es difícil encontrar una explicación clara y para "amateurs" interesados como yo. O hay explicaciones muy simplificadas, o hay artículos muy técnicos.

Uno de los libros que estoy leyendo, es "An Elementary Primer for Gauge Theory" de K.Moriyasu. Me parece bien organizado, escrito a comienzos de los ochenta del siglo pasado. Leo al comienzo:

The understanding of nuclear and elementary particle physics has now reached a historical turning point. During the last decade, a revolution has quietly occurred — a revolution called "Gauge Theory". For the first time in 50 years, since the birth of modern nuclear physics, gauge theory allows us to understand how the fundamental forces of nature may be unified within a single coherent theory. The discovery of gauge theory rivals in importance the development of both relativity and quantum mechanics. In contrast to the situation less than 10 years ago, gauge theory now dominates nearly ;ill phases of elementary particle physics today. Even the reasons for performing new experiments are now judged by their relevance for testing the predictions of gauge theory.

Clearly, such an exciting development should be widely accessible and understandable not only to theoreticians but also to experimental physicists, students and the "intelligent layman" as well, like politics and war, gauge theory has become too important to he left only to the experts...

Bueno, un poco exagerado, pero pienso que es muy interesante difundir los temas que tocan estas teorías, porque sino no se entiende de que va la física de partículas de nuestros días.

...Unfortunately, for the reader who wishes to first understand the basic physical ideas behind gauge theory, the published literature can present a daunting challenge. The leason for the difficulty is that gauge theory represents a totally new synthesis of quantum mechanics and symmetry ideas which have been applied to the entire field of elementary particle physics. I believe that gauge theory can be appreciated by the nonexpert; that is the raison d'etre for this primer. In order to emphasize the physics of gauge theory rather than the mathematical formalism, I have used a new intuitive approach and designed the text primarily for the reader with only a background in quantum mechanics. My "oul in this primer is to hopefully leave the reader with an appreciation of the elegance and beauty of gauge theory.

Sí, hace falta conocer algo de mecánica cuántica, y también de las matemáticas necesarias, como conceptos de geometría diferencial. Pero el autor va avanzando mostrando los temas de una forma más clara que otras introducciones que he hojeado.

This book was motivated by my own desire as a "non-expert" to learn something about gauge theory. Over a period of 4-5 years, I wrote a series of short pedagogical articles on gauge theory topics for the American and European Journals of Physics. These articles allowed me to test the ideas and the writing style for this primer. I also found that trying to satisfy the high standards of the referees for these journals encouraged me to develop much clearer explanations for many gauge theory topics. I am indebted to these referees who do their work in anonymity.

Por lo que leí, hace falta más que ser un lego interesado: cuando introduce algunas fórmulas, si bien sencillas, son dadas como ya conocidas por el lector. Supongo que habrá querido decir "non-expert physicist or student".

Esta es una de las fuentes que voy a usar cuando me anime a comenzar una serie de post explícitos sobre teorías gauge, sin que sean como esta serie, simple notas para compartir.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 15 de Septiembre, 2014, 5:40

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Detrás de este tema está gran parte de la física moderna. Tanto sus conceptos como su historia entrelazan temas físicos como los campos, y matemáticos, como las simetrías, los grupos y hasta geometría diferencial. Una segunda entrega de enlaces:

[hep-ph/9705211] Introduction to Gauge Theories

(505) What is Gauge Theory (intuitively)? - Quora

Gauge Theories of the Strong and Electroweak Interactions


Particle Physics 5: Basic Introduction to Gauge Theory, Symmetry & Higgs - YouTube

[hep-th/9602122] The Unreasonable Effectiveness of Quantum Field Theory

Los conceptos de campo, partícula, partícula virtual y vacío | La Ciencia de la Mula Francis

Gauge theories - Scholarpedia

Gauge Theory -- from Wolfram MathWorld

[math-ph/9902027] Preparation for Gauge Theory

Gerard ′t Hooft

Mis Enlaces

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 12 de Septiembre, 2014, 15:03

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 10 de Septiembre, 2014, 7:04

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Sigo leyendo a Steven Weinberg, su primera impresión como físico americano que visita el laboratorio:

Visité por primera vez el laboratorio Cavendish en la primavera de 1962, cuando yo, siendo un muy joven físico, dejé la Universidad de California en Berkeley para pasar un año en Londres. El laboratorio entonces todavía ocupaba su edificio de piedra original en el Free School Lane, donde había estado desde 1874, en un terreno comprado por la Universidad de Cambridge en 1786 para ser usado como jardín botánico. Lo recuerdo como un edificio laberíntico de pequeñas salas conectadas por una incomprensible red de escaleras y corredores. Era muy diferente del gran laboratorio de radiación de California, que aparecía dominando sobre la bahía desde su sitio iluminado por el sol en las colinas de Berkeley. El laboratorio Cavendish me dio la impresión de haber sido el escenario no tanto de un asalto masivo a los secretos de la naturaleza, sino de una campaña de guerrillas, un esfuerzo de recursos limitados, en el cual las armas principales eran la astucia y la valentía de individuos superdotados.

Los tiempos habían cambiado, y se necesitaba más colaboración y aparatos más poderosos para hacer investigación física sobre los temas que habían interesado en los años anteriores: la constitución de la materia, las fuerzas básicas.

Leamos lo que cuenta Weinberg sobre la historia:

El laboratorio Cavendish tuvo su origen en un informe de un comité universitario que se reunió en el invierno de 1868-69 para considerar como construir un lugar para física experimental en Cambridge. Era el tiempo de un amplio entusiasmo por la ciencia experimental. Un gran y nuevo laboratorio para física experimental había sido abierto recientemente en Berlín, y laboratorios universitarios estaban siendo construidos en Oxford y en Manchester. Cambridge no había jugado un rol principal en la ciencia experimental, a pesar (o por causa) de una tradición de excelencia en matemáticas, que llegaba hasta el siglo XVII, con el profesor lucasiano de matemáticas, Sir Isaac Newton. Pero el empirismo estaba ahora en el aire, y el comité propuso un nuevo Profesorado de Física Experimental y un nuevo edificio para albergar conferencias y experimentos.

De hecho, no apareció la figura de físico teórico puro, hasta el siglo XX. En el próximo post, veremos quien fue el primer profesor de física experimental.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 9 de Septiembre, 2014, 17:05

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 7 de Septiembre, 2014, 13:51

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Saben que me interesa la historia de la ciencia, y en particular, la historia de la física. Hace poco comencé una Historia de las Partículas Elementales. Hoy me encuentro con un texto de Steven Weinberg, en su obra "The Discovery of Subatomic Particles", referido al laboratorio Cavendish.

Leo y traduzco:

... hay un lugar asociado especialmente con el descubrimiento de los constituyentes del átomo: es el Laboratorio Cavendish de la Universidad de Cambride. Ahí, en 1897, Joseph John Thomson (1846-1940) realizó los experimentos con rayos catódicos que lo llevaron a concluir que hay una partícula -el electrón- que es a la vez el portador de la electricidad y un constituyente básico de todos los átomos. Fue ahí en el Cavendish, en 1895-1898, donde Ernest Rutherford (1871-1937) comenzó su trabajo en radioactividad, y donde retornó en 1919, luego de su descubrimiento del núcleo atómico, para suceder a Thomson como Profesor Cavendish de Física Experimental, y donde encontró lo que ué por mucho tiempo un centro destacado de la física nuclear. La lista e los constituyentes del átomo fue completada en el Cavendish en 1932, cuando James Chadwick (1891-1974) descubrió el neutrón.

En el próximo post, compartiré las impresiones de Weinberg, cuando visitó por primera vez el laboratorio, y la historia de su origen.

Imagen tomada de 

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 4 de Septiembre, 2014, 16:08

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Sigo leyendo la autobiografía científica de Heisenberg. Luego de presentar el trabajo contemporáneo de Schrödinger, sigue la crítica:

Unfortunately, however, the physical interpretation of the mathematical scheme presented us with grave problems. Schrodinger believed that, by associating particles with material waves, he had found a way of clearing the obstacles that had so long blocked the path of quantum theory. According to him, these material waves were fully comparable to such processes in space and time as electromagnetic or sound waves. Such obscure ideas as quantum jumps would completely disappear. I had no faith in a theory that ran completely counter to our Copenhagen conception and was disturbed to see that so many physicists greeted precisely this part of Schrodinger's doctrine with a sense of liberation. The many talks I had had with Niels Bohr, Wolfgang Pauli and many others over the years had convinced me that it was impossible to build up a descriptive time-space model of interatomic processes-the discontinuous element Einstein had mentioned to me in Berlin as a characteristic feature of atomic phenomena saw to that. Admittedly, this was no more than a negative feature, and we were still a long way from a complete physical interpretation of quantum mechanics, yet we were certain that we must get away from the idea of objective processes in time and space.

Esa es la postura dura de Heisenberg. No estoy de acuerdo con "we must get away from the idea of objective processes in time and space". No es la única posible interpretación de la teoría, y las hay más simples. Digo, no me convence lo de abandonar lo objetivo. Heisenberg ahí cruza una línea que no veo que tenga derecho a cruzar así: la de negar la objetividad de los procesos reales.

Now Schrodinger's interpretation-and this was its great novelty -simply denied the existence of these discontinuities. Thus when an atom passes from one stationary state to the next, it was no longer said to change its energy suddenly and to radiate the difference in the form of an Einsteinian light quanta. Radiation was the result of quite a different process, namely, of the simultaneous excitation of two stationary material vibrations whose interference gives rise to the emission of electromagnetic waves, e.g., light. This hypothesis seemed to me too good to be true, and I mustered what arguments I could to show that discontinuities were a fact of life, however inconvenient. The simplest argument was, of course, Planck's radiation formula, whose empirical correctness no one could doubt and which, after all, had led Planck to his discrete energy quanta.

Es curioso que esa explicación (la emisión de luz como INTERFERENCIA de dos vibraciones), ya no se mencione en las interpretaciones de la teoría de Schrödinger. Heisenberg señala bien que no era tan simple dejar de lado las discontinuidades. El propio Schrödinger lamentaría más tarde tener algo que ver con "esos saltos cuánticos".

En el próximo post, veremos el encuentro de Heisenberg con Schrödinger, cuando éste presenta su teoría en un seminario en Múnich.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 2 de Septiembre, 2014, 14:26

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Manufacturing: The end of cheap China | The Economist

Equity Crowd Funding: A Good Idea Whose Time Is Now — The American Magazine

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 1 de Septiembre, 2014, 14:18

Pasó el mes, tiempo de escribir mis nuevas resoluciones, pero antes, la revisión de las de Agosto:

- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Electromagnetismo [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Lagrangianos y Hamiltonianos [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre Partículas Elementas y Grupos [completo] ver post
- Estudiar ecuaciones diferenciales [completo]

Ha sido un buen mes, habiendo podido organizarme para ejecutar estas resoluciones. Además, publiqué:

Heisenberg desarrollando la mecánica cuántica (6)
Heisenberg desarrollando la mecánica cuántica (5)

y colecciones de enlaces:

Historia de las Matemáticas: Enlaces y Recursos (13)
Lean Startup: Enlaces y Recursos (5)
Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (6)
Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (7)
Teoría de Números: Enlaces, Novedades y Recursos (8)

y estuve estudiando varios temas como historia argentina, algo de economía general, historia de la ciencia y más temas de matemáticas.

Para el mes que comienza, mis nuevas resoluciones:

- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales
- Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger
- Seguir mi serie sobre Heisenberg
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica
- Seguir mi serie Leyendo a Darwin
- Continuar mis notas sobre Teorías Gauge
- Estudiar ecuaciones diferenciales

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 31 de Agosto, 2014, 16:16

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En las aplicaciones de física aparecen los llamados grupos de Lie que, al contrario de los que vimos hasta ahora, son continuos: sus elementos no tienen una cardinalidad finita, y hay infinitos elementos "cercanos" a otros. Para comenzar a tener una imagen de estos grupos, podemos pensar en las rotaciones por un ángulo arbitrario, en el plano, alrededor del origen

Consideremos un vector v en R2, que puede rotar un ángulo rho. La transformación de sus coordenadas puede representarse por una matriz:

Por ejemplo, si el ángulo es de noventa grados, la matriz vale:

Y multiplicando por el vector (1, 0), lo "rota" 90 grados:

Sea el vector v" el vector resultante de aplicar esta rotación. Queremos que tenga la misma longitud que el vector original v. Es decir, la relación v"2 = v2 debe satisfacerse. La norma puede escribirse como la multiplicación:

Donde vT es el vector transpuesto (si v es vector columna, entonces vT es vector fila).

Ejemplo, para el vector (2, 3):

Esto es, si recordamos la reglas de multiplicación de vectors y matrices.

Pero sabiendo que el vector transformado

Y que queremos que la norma se mantenga aún luego de la transformación, se debe cumplir:

Vemos que se cumple porque para cualquier ángulo rho:

Lo que es igual, de nuevo recordando la multiplicación de los elementos de dos matrices:

Para todo ángulo rho. Entonces, queda la identidad


Se dice que la matriz general R es ortogonal cuando

Las rotaciones en el plano alrededor del origen forman un grupo, y un grupo de Lie continuo. Las matrices que vimos arriba, entonces, son UNA REPRESENTACION del grupo. El grupo se llama SO(2), de matrices ortogonales en dos dimensiones. La letra S viene de Special, que significa que las representaciones en matrices tienen determinante igual a 1 (uno). La letra O viene de Orthogonal, las operaciones implican la conservación de la norma.

Veremos en el próximo post que SO(2) es subgrupo de otros grupos más generales, y de interés en la física. Todavía no ha aparecido la relación de todos estos grupos y representaciones con la física de partículas, pero paciencia, ya llegaremos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 30 de Agosto, 2014, 8:37

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Más sobre parejas de primos, conjetura ABC, etc...

Pat'sBlog: On This Day in Math - August 16

So what happened to the abc conjecture and Navier-Stokes? | The Aperiodical

La constante "entre primos gemelos" - Gaussianos | Gaussianos

Me gustan los triángulos... | Naukas

L OME en Requena - Problema 1 - Gaussianos | Gaussianos

Calcular las soluciones enteras - Gaussianos | Gaussianos

La intuición matemática de papá Keeler y la fórmula de Faulhaber - Gaussianos | Gaussianos

Sophie Germain: la matemática aislada. |

p-group - Wikipedia, the free encyclopedia

Parejas de enteros especiales - Gaussianos | Gaussianos

Polymath8b, V: Stretching the sieve support further | What's new

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 27 de Agosto, 2014, 14:52

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Sigue el tema de la distancia entre primos "bounded gaps between primes":

Bounded gaps between primes - Polymath1Wiki

Pierre de Fermat: el jurista que nos mantuvo en vilo - Gaussianos | Gaussianos

NSA Surveillance (an extra bit) - Numberphile - YouTube

How did the NSA hack our emails? - YouTube

¿Existen polinomios que den valores primos para todo número natural? - Gaussianos | Gaussianos

Encuentra todas las parejas - Gaussianos | Gaussianos

Two Elusive Prime Number Problems Solved |

Mertens" theorems | What's new

Siempre menor y a veces divisor - Gaussianos | Gaussianos

Prueba la desigualdad - Gaussianos | Gaussianos

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 24 de Agosto, 2014, 16:43

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Veamos hoy un ejemplo simple y clásico del uso de un lagrangiano. En física, se ha visto que dado un sistema se puede encontrar una función, el lagrangiano:

Como la función que describe el sistema. En el caso de arriba, depende de coordenadas xi, de sus derivadas en el tiempo, y del tiempo mismo. Vamos a ver que las propiedades del lagrangiano no cambian aún cambiando las coordenadas, lo que lo hace más útil que la formulación newtoniana. ¿Pero qué son "las propiedades del lagrangiano"? ¿y cómo es que "describe el sistema"?

Pues bien, la gran propiedad de un lagrangiano que merezca ese nombre, es que genera n ecuaciones diferenciales:

Y que con estas ecuaciones queda descripta la evolución del sistema.

Para ver entonces un caso concreto, tomemos el sistema compuesto de una sola partícula, en libertad, una partícula libre, sin ser expuesta a fuerzas exteriores, digamos con energía potencial que no cambia en el tiempo ni en el espacio. Entonces esa energía potencial podemos tomarla como 0. ¿Cuál es el lagrangiano que describe ese sistema? Para un mismo sistema, hay una indeterminación del lagrangiano, no es que hay un lagrangiano único (algo similar estamos viendo en cuanto a la función de onda de mecánica cuántica: puede haber más de una función que describa EL MISMO estado físico). Pero podemos arriesgarnos y postular (sacar de la galera, digamos) a que el lagrangiano es:

Acá, la x con punto es un vector velocidad, y el cuadrado es el productor vectorial. En coordenadas espaciales, sería

Haciendo pasar a este lagrangiano por el proceso de generar las ecuaciones diferenciales de arriba, queda para tres coordenadas xi:

Que nos dice que ese producto de masa por velocidad de cada coordenada es una constante del movimiento. Es el momento, al que se refiere la segunda ley de Newton. Lo que nos dicen las ecuaciones derivadas del lagrangiano, en este caso, es que el momento o cantidad de movimiento se conserva en cada coordenada, aun transcurriendo el tiempo. Nuestra partícula no cambia de velocidad ni en intensidad ni en dirección.

En próximos post tendremos que investigar:

 ¿Podemos derivar el lagrangiano que vimos de consideraciones físicas generales?
 ¿Qué son esas ecuaciones diferenciales que se derivan del lagrangiano? ¿tienen algún significado?
 ¿Siguen valiendo esas ecuaciones aún cuando cambiemos las coordenadas?

Mientras, enlaces relacionados:

Deriving the Lagrangian for a free particle

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia