Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 22 de Marzo, 2016, 6:05

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Siguen los temas de teoría de categorías, y aparecen trigonometría, geometría, biografías...

Weyl biography
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The Math Trick Behind MP3s, JPEGs, and Homer Simpson"s Face - Facts So Romantic - Nautilus
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Demostrando "pitagóricamente" la validez de la fórmula del seno de la suma - Gaussianos | Gaussianos
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Relaciones entre dos triángulos
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Becoming an Expert Statistician (or Mathematician or Programmer) : AnnMaria"s Blog
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The Haskell Road
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Ni un numero mas
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www.microsiervos.com
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jrjohansson/scientific-python-lectures
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Haskell/Category theory - Wikibooks, collection of open-content textbooks
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(Video) La belleza de las matemáticas - Gaussianos | Gaussianos
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These chromatic mathematical figures by @simoncpage are gorgeous to behold |
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Frobenius biography
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(Vídeo) Solución en 3D para el enigma de los azulejos que aparecen y desaparecen - Gaussianos | Gaussianos
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Harald Andrés Helfgott nos habla sobre su demostración de la conjetura débil de Goldbach - Gaussianos | Gaussianos
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La historia del método de Newton-Raphson y otro caso más de mala documentación en el cine - Gaussianos | Gaussianos
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Todos los dígitos iguales - Gaussianos | Gaussianos
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Recopilación de relojes matemáticos - Gaussianos | Gaussianos
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Natural born programmers—programming is terrible
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Python Scientific Lecture Notes — Scipy lecture notes
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Matemáticos que han recibido un Premio Nobel - Gaussianos | Gaussianos
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How to Ace Calculus: The Art of Doing Well in Technical Courses - Study Hacks - Cal Newport
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Publicado el 20 de Marzo, 2016, 15:31

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Consideremos hoy una expresión como:

Es una expresión algo rara. Conocemos:

Que es el producto interno de un bra:

con un ket:

Pero ¿qué el "producto" de un ket por un bra? Solamente tiene sentido si le damos alguno. Definamos su aplicación SOBRE  un vector ket cualquiera como:

Esto es, en la expresión de más a la derecha, el factor entre paréntesis es un escalar. El resultado total de "aplicar" la expresión inicial a un vector ket, es otro vector ket. Ya sabemos cómo se llama esto: es un operador. Y su aplicación a CUALQUIER vector ket queda totalmente definido por la fórmula de arriba. Le hemos dado un significado concreto. Lo llamamos el producto externo (contrariamente al productor interno de bra y key, que da escalar) de un bra y un ket.

Inicialmente, pensé que este producto externo poco tenía que aportar a la teoría de la transformación. Pero veremos, a medida que vayamos avanzando, que tiene su importancia. Por ahora, baste notar una cosa: sea un operador dado por el producto externo de un ket y un bra, el resultado de aplicarlo sobre un vector ket ES SIEMPRE un múltiplo del vector ket original. De alguna forma, PROYECTA todo vector ket en un subespacio generador por ese vector ket.

Agregemos hoy una propiedad no esperada (al menos para mí) de un operador lineal. Recordemos que una base ortonormal es un conjunto de vectores:

Tales que son ortogonales dos a dos:

Y todo vector puede expresarse como combinación lineal de elementos de este conjunto base. Entonces, es interesante considerar para un operador lineal A cualquiera, su traza, definida como:

La traza es un escalar. Lo notable es que este valor, la traza de A, ES INDEPENDIENTE DE LA BASE ORTONORMAL que se tome. Veremos una demostración en el próximo post.

Pero lo que dice ahí, desde el punto de vista físico, es que hay algo en un operador (el valor de su traza) que permanece invariable ante cambios en la base ortonormal de vectores. Esto nos da una pista: la traza de un operador tiene un significado físico.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 19 de Marzo, 2016, 14:49

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What PayPal, SAP and Intel See for the Year Ahead in Fintech
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If Banks Fear Screen Scraping, Why Are They Fighting the Alternative? | Bank Think
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The Lines That Divide FinTech Segments Are Blurring
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Deutsche Bank Launches Maxblue Robo-Advisor
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What We Learned About the Wealth Management Industry Last Year
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FinTech Companies Around The World Raised Almost a Billion in December
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The 25 fintech 'unicorns' worth over $1 billion ranked by value - Business Insider
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Challenger bank will allow you to scan your face to access your bank account  | This is Money
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10 Cryptocurrency Trends to Look Out for in 2016 | Finance Magnates
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Why 2016 will be the year that peer-to-peer lending finally enters the financial mainstream
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LTP Blockchain Momentum 2016 (Infographic)
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10 Reflections on Real Estate Crowdfunding in 2015
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Publicado el 17 de Marzo, 2016, 5:54

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5 Bitcoin and Blockchain Startups to Watch in 2016 - CoinDesk
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2015: #Banking Game of Thrones, EU regulator get serious, banks learn to share & #FinTech puts on big boy shoes - Think Different Group
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Top 10 Fintech Innovations from before the word Fintech was popularized. | Bank Innovation
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Microinsurance Is The Answer To The Insurance Industry | TechCrunch
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How China Is Innovating FinTech Online Finance | PYMNTS.com
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Top 10 Fintech Predictions for 2016 | Bank Innovation
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FinTech Startup's Morning Coffee
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The Top 15 Most Important Fintech Stories of 2015 - Forbes
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Year in data 2015: Blockchain /Euromoney magazine
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The Stories That Shaped the Blockchain Narrative in 2015 - CoinDesk
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Fintech investment switches to smaller projects » Banking Technology
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5 ways technology is transforming finance - Agenda - The World Economic Forum
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Fintech is unbundling the universal banking model: three strategic questions to answer
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2016 Forecast: 5 FinTech Experts Pitch In | Let's Talk Payments
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Former Wall St titans shake-up banking with fintech investments - FT.com
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Should You Invest In Bitcoin? 10 Arguments In Favor As Of December 2015 - Forbes
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How Many of These Microsoft Initiatives in FinTech Did You Know About? | Let's Talk Payments
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Inauguran una oficina digital para que el banco abra los sábados | Banco Santander - Infobae
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Publicado el 16 de Marzo, 2016, 5:47

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Es notoriamente difícil contestar a la pregunta de esta serie de posts: ¿de qué tratan las matemáticas? Por lo menos, no hay una respuesta corta. Un intento de respuesta es enumerar las principales ramas.

La primera gran división es: álgebra, geometría y análisis. Las tres tienen una larga historia, pero hay que reconocer que la que tiene más peso histórico es la geometría, gracias a los avances en la antigua Grecia. Es con los Elementos de Euclides donde el pensamiento matemático griego alcanza la madurez y algo más. Y aunque hay ahí temas de teoría de números, es la geometría la que se lleva la palma. Para los griegos, el resolver problemas numéricos no parece haber llamado la atención, y quedan relegados a ciencias prácticas, como la astronomía.

En álgebra, encontramos operaciones con números Y VARIABLES. Eso es la novedad del tema: no solamente operar con números concretos, sino también con variables indeterminadas. No siempre quedaron explícitas esas variables: nuestra notación actual, con sus equis e y-griegas, sólo apareció hace unos siglos.

El análisis, con un gran antecesor en Arquímedes, sólo floreció con la llegada del cálculo infinitesimal, de la mano de Newton y Leibnitz, pero también de otros, que hicieron de esta rama de las matemáticas una de las más fructíferas, gracias a su relación con temas aplicados de física. Hasta podríamos decir que la geometría pura quedó relegada, ante el avance del álgebra y del análisis.

Pero las matemáticas no se agotan en estas tres ramas. La teoría de números es un caso que se deriva si consideramos solamente números enteros. Y hay grandes extensiones de esta rama, si consideramos otros "enteros", como los enteros algebraicos y los enteros de Gauss. Las estructuras, como grupo y anillo, surgieron a partir del siglo XIX, pero vieron su esplendor en el siglo XX, donde sentaron las bases de generalizaciones que van más allá de la simple álgebra de números y variables. De alguna forma, en el siglo XX el álgebra y la geometría se reconcialiaron, al manejar estructuras que involucran a conceptos de ambas ramas. La topología puede considerarse por un lado, extensión de un análisis sin métrica pero con continuidad. Por otro lado, como extensión del álgebra, en el caso de las estructuras de la topología algebraica.

Y claro que hay todavía más ramas para explorar, como la probabilidad, la teoría de categorías, la lógica matemática.

Otras respuestas, que vamos a explorar, se basan en mostrar qué tipos de cuestiones resuelven las matemáticas. Esto también es interesante: a veces, al estudiar los problemas, surgen que dos áreas aparentemente alejadas de las matemáticas, se interesan en las mismas cuestiones y respuestas. Esto ha ido pasando a través de la historia de las disciplinas, y es notable encontrar relaciones entre áreas que al principio parecen muy distintas.

Siguientes posts: álgebra vs geometría, álgebra vs análisis, y después, sí, comentar algo de cada gran rama actual de las matemáticas, hasta llegar a las cuestiones que se tratan de resolver.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 15 de Marzo, 2016, 6:07

Cuando alguien menciona matemáticas, muchas personas imaginan que se trata de números y operaciones sobre números. Pero es mucho más que eso: las matemáticas abarcan estructuras y relaciones que van mucho más allá de los números. Podemos mencionar la geometría como una rama de las matemáticas donde los números apenas si aparecen. Pero en los últimos siglos se han ido sumando más especímenes matemáticos que apenas recuerdan a los números.

Sin embargo, los números siguen jugando un papel importante. Todos conocemos los números naturales, como 1, 2, y demás. Se tuvieron que "inventar" los números negativos para que expresiones como 2 menos 5 tuvieran "sentido". La historia de la aparición de los números negativos es notable, si hasta el siglo XIX matemáticos negaban su "existencia", considerándolos soluciones a problemas mal planteados.

Los números racionales nacen, de similar manera, para poder operar con expresiones como 2 divido 3.  Y finalmente, los reales completaron los números a los que estamos acostumbrados, llenando "espacios" que los racionales no llenaban. Es clásico el descubrimiento pitagórico de que la raíz cuadrada de 2 no puede expresarse por ninguna razón entre números naturales. Los racionales "no bastan" para llenar la recta.

Menos conocidos, para el público en general, son los números complejos. Ver:

Números Complejos
Gauss y la Importancia de los Números Complejos

y su notable aparición en física:

Números Complejos en Mecánica Cuántica
La Ecuación de Schrodinger (10) Un Comentario sobre Números Complejos

(en realidad, es notable, en retrospectiva, la aparición de números reales en la física; hoy, quizás, haya que revisar su adecuación a la realidad última, en vista de los modelos cuánticos).

Los números complejos tardaron siglos en aparecer en el desarrollo matemático, y su aparición se debió a la necesidad de encontrar soluciones a ecuaciones como:

Se fue viendo, a lo largo de los años, que era conveniente y fructífero considerar que la ecuación de arriba tenía una solución (la raíz cuadrada de menos uno), que considerar que no tenía ninguna. Es más, aún ecuaciones como:

O como:

Tienen soluciones en números complejos. No necesitamos más que los números complejos para conseguir todas las soluciones de este tipo de ecuaciones en una variable. Es un resultado fundamental del álgebra, que fue alcanzado con bastante trabajo, y varias demostraciones no triviales, algunas incompletas.

De alguna forma, todos esperamos que un sistema de números posea algunas propiedades. Dos números se deben poder sumar, y el resultado debe ser un número del mismo sistema. Dos números se debe poder multiplicar, y el resultado debe ser un número del mismo sistema.

Si agregamos la operación de resta (inversa de la suma) sólo a partir de los números enteros tenemos asegurada la existencia de solución. Y si agregamos la operación de división (inversa de la multiplicación) debemos apelar a por lo menos los números racionales para asegurar la existencia de solución. De alguna forma, estos sistemas de números están encajados unos en otros, como muñecas rusas.

Pero cabe preguntarse: ¿hay otros sistemas de números? Si los hay, ¿cumplen con todas las características que les pedimos a los sistemas más conocidos?

Veremos en esta serie de posts que hay otros sistemas de números, pero a veces, hay que abandonar algunas de las propiedades comunes. Es notable que existan sistemas de números donde no se cumple la conmutatividad de la multiplicación, y otros donde no se cumpla la asociatividad. O que haya sistemas de números que cumplan con todo lo esperado, pero que sean más grandes que los racionales y menos que los reales.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 14 de Marzo, 2016, 5:44

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Ya había anticipado el tema de esta serie de post, en La fórmula multiplicativa de la indicatriz. En el primer post, mencioné a la función indicatriz de Euler, vieja conocida de este blog, ver también La función indicatriz de Euler, Calculando la función indicatriz de Euler, Una propiedad de la indicatriz de Euler.

Veamos hoy de seguir con el tema de funciones multiplicativas, pero usando como ejemplo a la función indicatriz. Hay una propiedad interesante que pueden tener. Si dos números n, m son primos entre sí:

Es decir, tienen máximo común divisor igual a uno. Entonces si se cumple para la función aritmética f:

Entonces se dice que es función multiplicativa. Sólo se exige esta propiedad cuando los números m, n son primos entre sí.

La función indicatriz es multiplicativa, y algo de la demostración estaba en los posts mencionados. Veamos de de mostrarla de nuevo, de otra manera.

Sabemos que cuando p es primo, entonces:

¿Cuál es el valor de la indicatriz para una potencia de p? Sea que queremos calcular:

En este casos, los que NO son primos con palfa son:

Que si los contamos, son 1 de cada p números:

Restando del total de números, los que son no primos con palfa, nos queda la cantidad de los que SI SON PRIMOS:

Esto nos sirve como preliminar para encarar la demostración de la propiedad multiplicativa.

Veamos otra propiedad más general que nos va a ayudar. Si sabemos que dos números son primos entre sí:

Entonces también se cumple:

Y en general, para cualquier k:

En particular, tomemos a m = np, como un múltiplo de un primo p:

Entonces:

Es decir, si tomamos los números de 1 a m = np:

Algunos serán primos con m y otros no. Pero si ponemos los números de 1 a 2m:

El patrón de números primos se repite. Para fijar ideas, sea m = 3*2. Los números:

Tienen algunos que son primos con 6 (marcados con un asterisco). Si los repetimos hasta llegar a doce:

El patrón de asteriscos ES EL MISMO, el 1 y el 5, se "repiten" en el 7 y el 11. Se "repiten" los primos con 6, pero no aparecen nuevos. Y no aparecen nuevos, pues si:

Entonces

Y como p divide a m, también se tiene:

Y se sigue

Es decir, que en este caso, cuando a un número a con asterisco se le suma m, dando a+m, sigue con asterisco, y si no tiene, tampoco lo tiene el nuevo a+m.

Es interesante ver cómo el máximo común divisor se "mantiene" en 1 o en mayor que 1, por más que se cambie m por mp, o mpp, o mppp, o por más que se sume km cualquiera. Todo esto siempre que m sea divisible por p.

En el próximo post veremos qué pasa si m no es divisible por p, cuál es la fórmula para la cantidad de números primos con mp.

En próximos post seguimos con propiedades de las funciones aritméticas, como ¿habrá otras funciones multiplicativas? ¿será la función de Moebius multiplicativa? ¿qué otras propiedades tiene la función indicatriz? Veremos que hay también funciones COMPLETAMENTE multiplicativas, y funciones aditivas. Ver

Arithmetic function

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 13 de Marzo, 2016, 14:44

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El libro "Sobre la libertad" de John Stuart Mill es uno de esas obras a las que cada tantos años vuelvo. Quisiera comenzar hoy algunos comentarios sobre las ideas de Mill. Recordemos: éste fue un filósofo inglés que vivió en el siglo XIX (nació en 1806, murió en 1873). Además de filósofo, fue economista, feminista, y empleado civil. Su influencia es variada: algunas de sus ideas quedaron en el camino, mejoradas por otras, pero las relacionadas con la obra que hoy nos ocupa parecen haber merecido una mayor atención, aún en nuestros días.

Antes de la introducción, Mill coloca esta frase de Guillermo de Humbold:

El gran principio, el principio dominante, al que conducen los argumentos expuestos en estas páginas, es la importancia esencial y absoluta del desenvolvimiento humano, en su más rica diversidad.

(De la esfera y los deberes del Gobierno)

Eso son los dos puntos que tenemos que tener en la mira, cuando vayamos avanzando en las ideas de Mill: el "desenvolvimiento humano", y "su más rica diversidad". Para Mill, el desarrollo de la humanidad, como sociedad o sociedades, se ve impulsado por la conservación y defensa de la diversidad individual. Es una gran postura que toma, y debe ser uno de los primeros que la presenta tan expresamente. Mucho de la defensa de la individualidad que hoy vemos en muchas denuestras sociedades (aún no hay una "sociedad humana" general), tiene su origen en Mill y sus defensores.

En la introducción que sigue a esta cita, Mill se explaya sobre la historia de las sociedades humanas, desde la opresión de unos pocos sobre varios, hasta la llegada de la democracia. Entonces, él ve un tema que no se había tratado hasta entonces: se pensaba que como la democracia es el gobierno del pueblo, éste no ejerce una influencia negativa sobre sus propios intereses. Pero Mill pone en juego al individuo: llama la atención sobre que un individuo puede ser castigado por su conducta, ya sea por medios legales o por medio de la condena social. Y que no siempre ese castigo es justificado. Leamos un párrafo de la introducción donde se plantea todo el esquema de la obra:

El objeto de este ensayo es afirmar un sencillo principio destinado a regir absolutamente las relaciones de la sociedad con el individuo en lo que tengan de compulsión o control, ya sean los medios empleados la fuerza física en forma de penalidades legales o la coacción moral de la opinión pública. Este principio consiste en afirmar que el único fin por el cual es justificable que la humanidad, individual o colectivamente, se entremeta en la libertad de acción de uno cualquiera de sus miembros, en la propia protección. Que la única finalidad por la cual el poder puede, con pleno derecho, ser ejercido sobre un miembro de una comunidad civilizada contra su voluntad, es evitar que perjudique a los demás. Su propio bien, físico o moral, no es justificación suficiente. Nadie puede ser obligado justificadamente a realizar o no realizar determinados actos, porque eso fuera mejor para él, porque le haría feliz, porque, en opinión de los demás, hacerlo sería más acertado o más justo. Estas son buenas razones para discutir, razonar y persuadirle, pero no para obligarle o causarle algún perjuicio si obra de manera diferente. Para justificar esto sería preciso pensar que la conducta de la que se trata de disuadirle producía un perjuicio a algún otro. La única parte de la conducta de cada uno por la que él es responsable ante la sociedad es la que se refiere a los demás. En la parte que le concierne meramente a él, su independencia es, de derecho, absoluta. Sobre sí mismo, sobre su propio cuerpo y espíritu, el individuo es soberano.

Esta serie de posts no se limitará sólo a esta obra, pero ella será el punto central. También veremos la educación de Mill recibida directamente de su padre, la influencia de su esposa, el tiempo que le tocó vivir, sus ideas socialistas, su feminismo, el utilitarismo.

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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 10 de Marzo, 2016, 6:37

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Ver el tema omni-channel en bancos, la actividad en Europa occidental, y usos de la blockchain (éste es un gran tema, a seguir con atención).

Latin American Bitcoin Startup Moneero Exits Stealth Mode
http://www.coindesk.com/latin-american-bitcoin-startup-moneero-exits-stealth-mode/

P2Bi's Ex-Factor: Revolving Lines of Credit From the Future | P2Binvestor
https://p2bi.com/

FIDO Alliance
https://fidoalliance.org/

Secret of Building a Successful FinTech Startup in 2016 [Part 1] | Let's Talk Payments
http://letstalkpayments.com/secret-of-building-a-successful-fintech-startup-in-2016-part-1/

Omni-channel banking: The digital transformation roadmap
http://www.backbase.com/knowledge/white-papers/omni-channel

The Great Rebundling of Financial Services | Bank Think
http://www.americanbanker.com/bankthink/the-great-rebundling-of-financial-services-1077172-1.html?zkPrintable=1&nopagination=1

Finextra: Finextra news: Banks and startups: How to find the perfect fit
http://www.finextra.com/news/fullstory.aspx?newsitemid=28283

THE FINTECH ECOSYSTEM REPORT: Measuring the effects of technology on the entire financial services industry - Business Insider Deutschland
http://www.businessinsider.de/the-fintech-ecosystem-explained-measuring-the-effects-of-technology-on-the-entire-financial-services-industry-2015-12

33 FinTech Companies From Western Europe to Look out for in 2016
http://letstalkpayments.com/33-fintech-companies-from-western-europe-to-look-out-for-in-2016/

Blockchain in insurance
https://www.insly.com/en/blog/the-evolving-focus-of-the-blockchain-in-insurance

Security, blockchain & funding: 10 fintech wishes every CIO wants for 2016 - Computer Business Review
http://www.cbronline.com/news/verticals/finance/security-blockchain-funding-10-fintech-wishes-every-cio-wants-for-2016-4758274

Technology: Banks seek the key to blockchain - FT.com
http://www.ft.com/intl/cms/s/2/eb1f8256-7b4b-11e5-a1fe-567b37f80b64.html#axzz3vEU23zMT

Fintech in 2016 - Business Insider
http://www.businessinsider.com/fintech-in-2016-2015-12

FinTech Startup's Morning Coffee
http://paper.li/FinTechFeed/1430757679?edition_id=4fab7530-a951-11e5-8b9d-0cc47a0d1609

Top 10 Retail Banking Trends and Predictions for 2016
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Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 8 de Marzo, 2016, 5:49

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Temas interesantes, como el error de Euler en Fermat n = 3, una demostración fallida de la hipótesis de Riemman. En el trabajo de Riemman, pero primero en el de Dirichlet, aparecen los caracteres en grupos abelianos. Hay más artículos sobre el tema "gap" entre primos. Los números pentagonales aparecen en lo que estoy investigando de particiones de números.

Character theory - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Character_theory

Selberg sieve - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Selberg_sieve

Legendre's conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_conjecture

Prime gap - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap

Sieve theory - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_theory

Elliott–Halberstam conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Elliott%E2%80%93Halberstam_conjecture

Yitang Zhang - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang

Introducción a la Teoría Analítica de Números
http://mate.dm.uba.ar/~pdenapo/teoria_analitica_de_numeros/index.html

New largest prime number found
http://phys.org/news/2016-01-largest-prime.html

Fermat's Last Theorem: Euler's Mistake
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/06/eulers-mistake.html

The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof : Nature News & Comment
http://www.nature.com/news/the-biggest-mystery-in-mathematics-shinichi-mochizuki-and-the-impenetrable-proof-1.18509

Riemann Hypothesis not proved | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2015/11/riemann-hypothesis-not-proved/

[math/0505373] On the remarkable properties of the pentagonal numbers
http://arxiv.org/abs/math/0505373

Wiles' proof of Fermat's Last Theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Wiles%27_proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem

Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem_for_specific_exponents

Math Forum - Ask Dr. Math
http://mathforum.org/library/drmath/view/51546.html

Open Problems That Might Be Easy | Gödel's Lost Letter and P=NP
https://rjlipton.wordpress.com/2015/09/03/open-problems-that-might-be-easy/

Elementary Number Theory
http://wstein.org/ent/ent.pdf

What is number theory? - HowStuffWorks
http://science.howstuffworks.com/math-concepts/number-theory.htm

Journal of Number Theory - Elsevier
http://www.journals.elsevier.com/journal-of-number-theory/

Elementary Number Theory
http://wstein.org/ent/

International Journal of Number Theory (World Scientific)
http://www.worldscientific.com/worldscinet/ijnt

An Introduction to Number Theory : nrich.maths.org
http://nrich.maths.org/4352

NUMBER THEORY WEB
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Publicado el 5 de Marzo, 2016, 17:04

Inicio hoy una serie de posts sobre un tema que siempre vuelve a mi radar: el resultado de Kurt Gödel sobre la incompletitud de algunos sistemas de axiomas. Es uno de esos temas que siempre se tratan en obras de divulgación, pero hasta ahí: muchas veces sin demostración rigurosa, salteando el lenguaje necesario para realmente comprender lo que hizo Godel, y estirando los resultados a zonas fueras de la matemática, dando campo fértil para el sin-sentido o la analogía sin freno.

Comienzo hoy citando un párrafo del comienzo de mi fuente principal, el excelente libro "Gödel para todos", de Guillermo Martinez y Gustavo Piñeiro (mi intención es apenas pasar en limpio para mí en esta serie de posts lo que vaya aprendiendo de ese libro):

El Teorema de Incompletitud de Gödel es uno de los resultados más profundos y paradójicos de la lógica matemática. Es también, quizás, el teorema que ha ejercido más fascinación en ámbitos alejados de las ciencias exactas. Ha sido citado en disciplinas tan diversas como la semiótica y el psicoanálisis, la filosofía y las ciencias políticas. Autores como Kristeva, Lacan, Debray, Deleuze, Lyotard, y muchos otros, han invocado a Gödel y sus teoremas en arriesgadas analogías. Junto con otras palabras mágias de la escena posmoderna como "caos", "fractal", "indeterminación", "aleatoriedad", el fenómeno de incompletitud se ha asociado también a supuestas derrotas de la razón y al fin de la certidumbre en el terreno más exclusivo del pensamiento: el reino de las fórmulas exactas. Pero, también, desde el interiore de la ciencia se escrime el Teorema de Gödel en agudas controversias epistemológicas, como la que rodea las discusiones sobre inteligencia artificial. Surgido casi a la par de la Teoría de la Relatividad, y de manera quizás más sigilosa, el Teorema de Gödel se ha convertido en una pieza fundamental y una referencia ineludible del pensamiento contemporáneo.

Me apresuro a afirmar que mi postura es que el Teorema de Gödel se ha ido tomando para "el churrete", como se dice acá en Argentina, es decir, que se lo ha estirado para soportar cualquier cosa, sin mayor fundamento. Lo que me interesa en esta serie de post es mostrar y deleitarme en las ideas poderosas de Gödel, en un ámbito, la lógica matemática, que no es habitual en mis curiosidades. Y espero poder transmitirles parte de esa elegancia y sorpresa que rodea a la demostración (hay varias demostraciones, todas de alguna forma comparten esas cualidades).

Pero también se juegan cuestiones matemáticas que espero comentar, como el contexto histórico de la aparición del resultado de Gödel, la aparición de las geometrías no euclideanas, la teoría de conjuntos, las paradojas lógias que habían comenzado a aparecer en lógica matemática, el formalismo de Hilbert, el intuicionismo de Bower, y más.

Otras fuentes a consultar:

"Gödel, los teoremas de incompletitud", biografía de Gustavo Ernesto Piñeiro.
"Gödel, paradoja y vida" de Rebecca Goldstein.
Y la primera vez que me encontré con el trabajo de Gödel, en el artículo clásico del Scientific American: "El teorema de Gödel", de Ernst Nagel y James Newman, luego publicado varias veces y extendido como libro.
Y el libro de cabecera de cualquier "geek" que se precie: "Gödel, Escher y Bach, un eterno y grácil bucle" de Douglas Hofstadter.

Ya apareció Gödel en este blog en:

Gödel, Einstein y la constitución americana
Abstracción y Matemáticas, según Von Neumann
Gödel y Einstein en Princeton
Física y Matemáticas, según Einstein

La biografía de Gödel escrita por Gustavo Ernesto Piñeiro apareción mencionada en:

Bertrand Russell, Smith y el Papa
Series de Fourier, Heine y Cantor

Visitar el blog de Guillermo Martinez: http://guillermomartinezweb.blogspot.com.ar/
Y el de Piñeiro: http://eltopologico.blogspot.com.ar/

Ver What is Godel's Theorem?

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Publicado el 3 de Marzo, 2016, 5:52

Ya llegamos al tercer mes del año. Tiempo de escribir las nuevas resoluciones, y repasar las del mes anterior:

- Continuar escribiendo sobre FinTech [pendiente]
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat  [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre Particiones de Números [pendiente]
- Continuar mi serie sobre lagrangianos y hamiltonianos [pendiente]
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Además escribí sobre:

Teoría de Números (3)
Simetrías y Física (5)
Polinomios Primitivos (2)

Mis nuevas resoluciones:

- Continuar escribiendo sobre FinTech
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre teoría de números
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados
- Estudiar blues en guitarra

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Publicado el 29 de Febrero, 2016, 5:39

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Un tema interesante a revisar, los robo-advisors. Y un tema que me tiene ya muy ocupado profesionalmente, todas las posibilidades de una blockchain.

Fintech Taxonomy Map - Vedanvi
http://vedanvi.com/fintech-taxonomy-map/

With 2016 set to be another great year for innovation, what should the industry be preparing for? - bobsguide.com
http://www.bobsguide.com/guide/news/2015/Dec/22/with-2016-set-to-be-another-great-year-for-innovation-what-should-the-industry-be-preparing-for.html

The Banks Who Will Fall Through The FinTech Gap – And Never Return | 2016 FinTech Finals | Hong Kong, January 25-26, 2016
http://www.fintechfinals.com/2015/12/22/thefintechgap/

5 Financial Tips From Robo-Advisor CEOs - NerdWallet
https://www.nerdwallet.com/blog/investing/5-financial-tips-roboadvisor-ceos/

The Best Robo-Advisors - NerdWallet
http://www.nerdwallet.com/blog/investing/best-robo-advisors/

5 FinTech Trends to Watch in 2016
http://tech.co/money-talks-5-payments-trends-watch-2016-2015-11

InsuranceTech Innovation Booms: Challenges and Opportunities
http://letstalkpayments.com/insurancetech-innovation-booms-challanges-and-opportunities/

Like Bees to Honey: Millenials and the Future of FinTech | Dataconomy
http://dataconomy.com/like-bees-to-honey-millenials-and-the-future-of-fintech/

From Point-Of-Sale To Money Transfers: 109 Startups Disrupting The Payments Industry
https://www.cbinsights.com/blog/payments-market-map/

What"s the future of blockchain?
https://agenda.weforum.org/2015/12/whats-the-future-of-blockchain/

OurCrowd named in Top 10 most innovative fintech companies | ISRAEL21c
http://www.israel21c.org/ourcrowd-named-in-top-10-most-innovative-fintech-companies/

China overtakes UK in global fintech race - FT.com
http://www.ft.com/cms/s/0/ae0afaf4-a273-11e5-8d70-42b68cfae6e4.html#axzz3uzBFEs1e

Fintech (II): Su auge y cómo lo afrontan los bancos | Interxion
http://www.interxion.com/es/blog/fintech-ii-su-auge-y-como-lo-afrontan-los-bancos/

Fintech 50: The Future Of Your Money
http://www.forbes.com/fintech/2015/

Australian tech leaders explore steps to expand nation"s fintech boom
http://www.ibtimes.com.au/australian-tech-leaders-explore-steps-expand-nations-fintech-boom-1488885#.VmaSATT1rKE.twitter

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Publicado el 28 de Febrero, 2016, 14:35

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Enlaces históricos del tema. Más enlaces al final.

The Gentle and Visual Guide to Startup Marketing
http://onstartups.com/the-gentle-and-visual-guide-to-startup-marketing

Iniciador Valparaiso – Chile –
http://iniciador.com/valparaiso

Amino Apps | CrunchBase
http://www.crunchbase.com/organization/amino-apps

RackWare | CrunchBase
http://www.crunchbase.com/organization/rackware

mNectar | CrunchBase
http://www.crunchbase.com/organization/mnectar

Credit Benchmark | CrunchBase
http://www.crunchbase.com/organization/credit-benchmark

Spring | CrunchBase
http://www.crunchbase.com/organization/jello-labs

Healthcare Interactive | CrunchBase
http://www.crunchbase.com/organization/healthcare-interactive

Zynstra | CrunchBase
http://www.crunchbase.com/organization/zynstra

Busbud | CrunchBase
http://www.crunchbase.com/organization/busbud

Scytl | CrunchBase
http://www.crunchbase.com/organization/scytl

Linio | CrunchBase
http://www.crunchbase.com/organization/linio

Xapo | CrunchBase
http://www.crunchbase.com//organization/xapo

Duetto | CrunchBase
http://www.crunchbase.com//organization/duetto-research

Uber
https://www.uber.com/

Structuring a New Collaborative Culture · An A List Apart Article
http://alistapart.com/article/structuring-a-new-collaborative-culture

The LEAN Community • How Do Serial Entrepreneurs Think? (Full Interview)
http://leancommunity.tumblr.com/post/89933273601/how-do-serial-entrepreneurs-think-full-interview?twitter

Social Capital: The Secret Behind Airbnb and Uber | Brady Capital Research Inc.
http://bradycap.com/social-capital-the-secret-behind-airbnb-and-uber/

Aerospike raises $20M, open sources its in-memory NoSQL database — Tech News and Analysis
http://gigaom.com/2014/06/24/aerospike-raises-20m-open-sources-its-in-memory-nosql-database/

Gonzalo Alonso | Lo que no saben
http://gonzalo-alonso.com/lo-que-no-saben/

Self-Checkout POS Kiosk by Yapay
http://yapaylabs.com/

Box Acquires YC-Backed Streem | TechCrunch
http://techcrunch.com/2014/06/16/box-acquires-yc-backed-streem/

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Publicado el 27 de Febrero, 2016, 15:31

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Selberg sieve - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Selberg_sieve

Legendre's conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_conjecture

Sieve theory - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_theory

Yitang Zhang - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang

Introducción a la Teoría Analítica de Números
http://mate.dm.uba.ar/~pdenapo/teoria_analitica_de_numeros/index.html

Enfrentándose a la hipótesis de Riemann « MiGUi
http://www.migui.com/ciencias/matematicas/enfrentandose-a-la-hipotesis-de-riemann.html

El regreso a la hipótesis de Riemann - La Opinión de Málaga
http://www.laopiniondemalaga.es/opinion/2015/02/21/regreso-hipotesis-riemann/745293.html

[math/0505373] On the remarkable properties of the pentagonal numbers
http://arxiv.org/abs/math/0505373

Euler function - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_function

Wiles' proof of Fermat's Last Theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Wiles%27_proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem

www.johndcook.com
http://www.johndcook.com/ChebyshevPolynomials.pdf

Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem_for_specific_exponents

Math Forum - Ask Dr. Math
http://mathforum.org/library/drmath/view/51546.html

Perko pair - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Perko_pair

[math/0108072] Notes to the early history of the Knot Theory in Japan
http://arxiv.org/abs/math/0108072

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Publicado el 24 de Febrero, 2016, 6:25

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FinTech Startup"s Morning Coffee
http://paper.li/FinTechFeed/1430757679?edition_id=fbf3ec80-a7be-11e5-b314-0cc47a0d1609

wzrdsappr/trading-core
https://github.com/wzrdsappr/trading-core

¿Emprender o no emprender en 'fintech'?
http://www.expansion.com/economia-digital/companias/2015/12/20/56706d9946163f225d8b46c3.html

Finextra: Finextra news: VCs like bees around honey as fintech heats up
http://www.finextra.com/news/fullstory.aspx?newsitemid=28274

Top Banks Will Spend $400M on Blockchain Technology by 2019 – CoinSpeaker
http://coinspeaker.com/2015/12/19/bank-of-america-files-patent-on-blockchain-sentry/

Revealing the data behind VC fintech investment [datagraphic] | PitchBook News
http://pitchbook.com/news/articles/revealing-the-data-behind-vc-fintech-investment-datagraphic

About Us – Financial Innovation Now
https://financialinnovationnow.org/

FinTech Stage Buenos Aires Agenda
http://fintechstage.com/fintechstage-buenos-aires/agenda/

Al FIN, por FIN, es el FIN?…Financial Innovation Now! | Facundo Vazquez | LinkedIn
https://www.linkedin.com/pulse/al-fin-por-es-el-finfinancial-innovation-now-facundo-vazquez?published=u

FinTech Startup's Morning Coffee
http://paper.li/FinTechFeed/1430757679?edition_id=b8dab160-a62c-11e5-b314-0cc47a0d1609

Top 100 #fintech influencers -
http://jaypalter.ca/2015/12/top-100-fintech-influencers/

13 Plus Blockchain Startups from the US | Let's Talk Payments
http://letstalkpayments.com/top-us-blockchain-startups/

Bitcoin's 'blockchain' tech may transform banking, Technology - THE BUSINESS TIMES
http://www.businesstimes.com.sg/technology/bitcoins-blockchain-tech-may-transform-banking

i2ifunding: A Platform Facilitating P2P Loan Disbursement
http://www.iamwire.com/2015/12/i2ifunding-lending-borrowing-startup/128600

Six Takeaways from Rwanda"s Financial Inclusion Insights Survey | CGAP
http://www.cgap.org/blog/six-takeaways-rwanda%E2%80%99s-financial-inclusion-insights-survey

How Artificial Intelligence Can Help Banks Beat Back Tech Firms | Bank Think
http://www.americanbanker.com/bankthink/how-artificial-intelligence-can-help-banks-beat-back-tech-firms-1074299-1.html

Trulioo
http://www.trulioo.com/

Trulioo - Techvibes.com
http://www.techvibes.com/company-directory/trulioo

Video | Una app para el 'lobo de Wall Street'
http://www.perfil.com/innovacion/Video--Una-app-para-el-lobo-de-Wall-Street-20151217-0041.html

EXCLUSIVE: JPMorgan employee note confirms 'aggressive' investment in blockchain technology and robotics - Business Insider
http://uk.businessinsider.com/exclusive-jpmorgan-employee-note-confirms-aggressiveinvestment-in-block-chain-technology-and-robotics-2015-12

How APIs are changing the FinTech narrative | Thomson Reuters
http://thomsonreuters.com/en/articles/2015/api-changing-fintech-narrative.html

Video | Una app para el 'lobo de Wall Street' | Perfil.com
http://www.perfil.com/mobile/?nota=/contenidos/2015/12/17/noticia_0041.html

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Publicado el 22 de Febrero, 2016, 5:27

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Siempre hay temas interesantes. Ver teoría de categorías, problemas de gaussianos, el teorema de Turan.

Category Theory - Dr Richard Garner - Macquarie University - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=ZJNA0hYmHmY&feature=youtu.be

Mortgages, banks, and Jensen's inequality | The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2009/08/26/mortgages-banks-and-jensens-inequality/

Nueva imagen del poliedro de Csaszar: Ã ngel - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/nueva-imagen-del-poliedro-de-csaszar-angel/

No es un cuadrado - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/es-un-cuadrado/

Cosas raras provocadas por el infinito - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/cosas-raras-provocadas-por-el-infinito/

The Existential Risk of Mathematical Error
http://www.gwern.net/The%20Existential%20Risk%20of%20Mathematical%20Error

10 Reasons Python Rocks for Research (And a Few Reasons it Doesn’t) â€" Hoyt Koepke
http://www.stat.washington.edu/~hoytak/blog/whypython.html

Encuentra todas las funciones - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/encuentra-todas-las-funciones/

Animate Your Way to Glory â€" Acko.net
http://acko.net/blog/animate-your-way-to-glory/

To Infinity And Beyond! Acko.net
http://acko.net/blog/to-infinity-and-beyond/

the Nature of Associative Property of Algebra
http://xahlee.info/math/nature_of_associative_property_of_algebra.html

El teorema de Turan: el comienzo de la teorí­a de grafos extrema - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/el-teorema-de-turan-el-comienzo-de-la-teoria-de-grafos-extrema/

El libro de las demostraciones: Amazon.co.uk: Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Lourdes Figueiras Ocaña, Julián Pfeifle, Pedro A. Ramos: Books
http://www.amazon.co.uk/libro-las-demostraciones-Martin-Aigner/dp/8495599953

(Documental) La música de los números primos - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/documental-la-musica-de-los-numeros-primos/

Daily Kos: Breakthrough in Quantum Physics May Do Away with Space-Time, Lead to Ultimate Theory
http://www.dailykos.com/story/2013/09/19/1239942/-Breakthrough-in-Quantum-Physics-May-Do-Away-with-Space-Time-Lead-to-Ultimate-Theory

Yitang Zhang Proves 'Landmark' Theorem in Distribution of Prime Numbers | Simons Foundation
https://www.simonsfoundation.org/quanta/20130519-unheralded-mathematician-bridges-the-prime-gap/

Physicists Discover Geometry Underlying Particle Physics | Simons Foundation
https://www.simonsfoundation.org/quanta/20130917-a-jewel-at-the-heart-of-quantum-physics/

Las matemáticas y los Ig Nobel - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/las-matematicas-y-los-ig-nobel/

Suma de inversos sin nueves - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/suma-de-inversos-sin-nueves/

Recordatorio: décimo Desafí­o Gaussianos y Guijarro "Pseudo-triángulos y pseudo-triangulaciones" - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/recordatorio-decimo-desafio-gaussianos-y-guijarro-pseudo-triangulos-y-pseudo-triangulaciones/

Category Theory (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/

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Publicado el 21 de Febrero, 2016, 18:48

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Tratemos otro caso donde aparecen números complejos en los intentos de demostración del último teorema de Fermat.

Podemos escribir para n = 3:

Donde

Es una raíz tercera de la unidad, compleja. Lo mismo tenemos en general:

Las raíces se llaman números ciclotómicos. Y cuando se agregan a los reales, forman un nuevo sistema de números. Ver Cyclotomic Field.

Es notable cómo un resultado sobre la suma de dos potencias de números reales se puede expresar como una serie de factores complejos a multiplicar. No es algo evidente, y nos habla de una fuerte conexión entre los mundos real y complejo para este famoso teorema de Fermat. Vamos a ir viendo conexiones aún más inesperadas en la historia de su demostración completa. Realmente, van asomando maravillas a cada momento.

Como este desarrollo en factores es igual a zn, y éste es una potencia n, se puede explorar el caso: todos los factores del desarrollo son potencias n, y sacar conclusiones sobre su existencia. Por ejemplo, podría probarse que algún factor al querer desarrollarse como potencia n exacta de algún número

sea imposible su existencia, para el caso n = 3 y otros casos. Sin embargo, esto se apoya en la presunción de que en ese anillo de reales extendido por estas raíces de la unidad SE CUMPLE LA FACTORIZACION UNICA. Y eso se vió que no siempre es cierto. La prueba general ofrecida por Lamé en el siglo XIX falla por ese motivo. El error fue señalado en su tiempo por Liouville.

Sin embargo, aún esa falla fue fructífera, porque dio pie a que Kummer creara los números ideales, los números "faltantes" para restaurar la factorización única en esos anillos. Kummer creó el concepto de primos regulares y demostró el teorema de Fermat para esos casos. Espero poder discutir su trabajo en esta serie de posts, más adelante.

Ver también Root of unity

Por ahora, seguiremos en los próximos post con el caso n = 3

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 20 de Febrero, 2016, 19:04

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Veamos hoy de demostrar algo simple, básico, ya conocido y demostrado por Euclides. Como tenemos pocos elementos desarrollados, la demostración que veremos no es directa, tendremos que demostrar un lema antes.

Queremos demostrar que, siendo p un número primo, a y b enteros, entonces, si p divide al producto ab, entonces o bien divide al factor a, o al factor b. Es algo que parece evidente, pero como todo en matemáticas, mejor demostrarlo.

Antes de llegar demostremos el lema, para p primo natural, no hay números naturales r, s tales:

Y que sean menores que p:


Pues, si hubiera números r, s con esas cualidades, tal vez varios o infinitos pares, tomemos el par r, s que haga que su producto rs sea el menor posible. Entonces, tomemos r, y de todos los pares de números v, t que cumplen:

Tomemos el par con el menor t positivo. Podemos ver que este conjunto de pares es no vacío, que tiene al menos un par con t positivo:

Y entonces, por propiedad de los conjuntos de números positivos, HAY UNO QUE ES EL MENOR. Todo esto lo tenemos que hacer de esta manera, para mostrar explícitamente que existe ese par. Pero podemos también apelar a un resultado del primer post, que implica que siempre existe:

Con

Multipliquemos p por s, queda:

O sea, que p divide a:

Pero tenemos que p divide a rs, queda que p divide a:

Pero como

Entonces

Siendo ts divisible por p, CONTRA LO SUPUESTO. Llegamos a una contradicción. Entonces, no existe el rs pedido.

Habiendo probado este lema, pasemos a demostrar que si:

Entonces

O

Probémoslo por el absurdo. Supongamos que:

Y

Esto es

Y

Donde d, f son no nulos, positivos, y menores que p. Multiplicamos, y obtenemos:

Sabemos que p divide a ab, entonces

Entonces p divide a:

Pero por el lema anterior, esto es imposible. Si p no divide ni a ni b, llegamos a contracción. Entonces, p divide al factor a o bien p divide al factor b.

Ha sido una demostración algo larga. Podríamos tomar otro camino, pero hubiéramos necesitado otros conceptos y resultados que no hemos tratado todavía como el máximo común divisor y sus propiedades. Tal vez más adelante volvamos a demostrar el resultado de hoy usando esos otros desarrollos. Ver, por ejemplo, otro camino en el libro Stein W.-Elementary number theory and elliptic curves.

Nos leemos!

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Publicado el 17 de Febrero, 2016, 15:40

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Algo más sobre P2P Lending, blockchain y futurología.

Person-to-person lending - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Peer-to-peer_lending

Biva Serviços Financeiros S.A.
https://biva.com.br/

Alianza de Alibaba y MercadoPago
http://www.ieco.clarin.com/economia/Alianza-Alibaba-MercadoPago_0_1484851738.html

McKinsey Report Predicts Four Stages of Blockchain Adoption
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Pascal Bouvier (@pascalbouvier) | Twitter
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