Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 17 de Febrero, 2015, 17:53

Es tiempo de iniciar esta serie de post, visitando el último teorema de Fermat, su historia matemática, los caminos que se exploraron para su solución, hasta llegar a su demostración final. Este teorema fue planteado por Pierre de Fermat, al leer un problema de Diofanto en su Aritmetica, traducida por Bachet de Meziriac. El problema de Diofanto era:

Divide un cuadrado dado en otros dos cuadrados

Diofanto daba una solución ilustrativa, no general. En realidad, pedía números racionales, no necesariamente enteros. Para la solución general, ver el post Ternas Pitagóricas. Citando el artículo de D’Alembert en la Enciclopedia de 1750:

El método de Diofanto consistía en reducir la situación a una ecuación en una incógnita mediante una serie de transformaciones

Fermat anotó en esa copia del libro de Diofanto:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet

Traducido como

Descomponer un cubo en otros dos cubos, una cuarta potencia, y en general una potencia arbitraria en dos potencias del mismo grado arriba del segundo, es una cosa imposible y ciertamente he encontrado una prueba admirable. Este estrecho margen no puede contenerla

Esta es la afirmación que se convirtió en el Ultimo Teorema de Fermat. Sólo sabemos de él gracias a esta nota en el margen del libro, publicada por una reedición del hijo mayor de Fermat, Clement Samuel, publicada en 1670, luego de la muerte de Fermat. No parece encontrarse en ninguna de sus numerosas cartas con colegas, ni tampoco se encontró traza, pista de la supuesta “prueba admirable” de la que habla. Lo que sí se ha encontrado el desafío para n=3 y n=4, enviado a Mersenne, Pascal y John Wallis. Tal vez tenía una prueba para n=4, basada en el descenso infinito. Hoy, dado el nivel de nuevas matemáticas que insumió la prueba final de Wiles a fines del siglo pasado, casi podemos estar seguros que esa “prueba admirable” estaba equivocada. Varios intentos a lo largo de siglos, han puesto de manifiesto que es improbable que Fermat tuviera una prueba real, y lo más plausible es que se hubiera dejado llevar por su entusiasmo, aportando una prueba con fallas.

En lenguaje moderno, podemos poner, que para n > 2, la ecuación:

Cumpliendo con

No tiene solución

Principal fuente consultada. El excelente libro: “Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles”, de Yves Hellegouarch.

Ver también http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem

Nos leemos!

Angel “Java” Lopez
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Publicado el 16 de Febrero, 2015, 12:30

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Buenos Aires Día del Emprendedor
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Forget apps and useless startups: These four African girls have created a pee-powered generator
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10 Free Tools for Running a Business
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Buenos Aires celebra el Día del Emprendedor
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Meet Ben And Hermione Way, The Sibling Entrepreneurs Starring In Bravo's 'Start-Ups: Silicon Valley'
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Startups learn a painful lesson: The "Dropbox effect" is a myth
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9 Strategies to Gamify Your Startup
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Buenos Aires, día del emprendedor 2012
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Impactec: subí tu idea y ganate una beca para Singularity University
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METODOLOGÍA CANVAS, UNA FORMA DE AGREGAR VALOR A SUS IDEAS DE NEGOCIOS
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No one will pay big bucks for your company if they don't believe it can run without you. Here's how to show it can.

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Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 15 de Febrero, 2015, 19:00

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Ya mencionamos que, experimentalmente, una magnitud f puede tener valores discretos o continuos (o discretos en un rango, y continuos en otros, puede darse el caso mixto). Sigamos estudiando el caso discreto. En física cuántica sólo conocemos la probabilidad de que dado un estado físico, la magnitud f tenga el valor fn. A los físicos les gusta igual manejar un valor para la magnitud f, el llamado valor medio:

 Lo expresamos con una f con una raya horizontal encima. Vemos que cada valor posible discreto fn está ponderado por su probabilidad. Cada estado cuántico tendrá un valor medio de cada magnitud f. En vez del valor absoluto al cuadrado de cada an, podemos recordar lo equivalente:

Recordemos que los coeficientes an, vienen de expresar el estado completo como suma de los estados n

Nos gustaría poder expresar al valor medio f, no con los coeficientes, sino con la propia función de estado. Para eso, los físicos descubrieron un concepto matemático útil, el operador. Un operador es una función que recibe como "entrada" una función (en lugar de recibir un valor numérico), y devuelve una función como resultado. Por ejemplo, la derivada puede considerarse un operador. Los operadores los vamos a indicar con un "sombrero" encima de su letra. Entonces, los físicos DEFINEN un operador f, como el operador que hace que la expresión de la derecha, en la siguiente fórmula, DE EL VALOR MEDIO de f:

La expresión bajo la integral tiene la función de estado conjugada Y LA FUNCION DE ESTADO LUEGO de aplicarle el operador f. El operador f se DEFINE (y es un tema de matemáticas demostrar la existencia y unicidad) como el operador que hace que esta integral RESULTE ENTREGANDO el valor medio. Es decir, debería dar los mismos valores que nuestra expresión del valor medio solamente usando los coeficientes an, sin las función de estado.

Ahora, para que todo esto sea compatible con el principio de superposición de estados, los físicos piden que el operador sea línea, es decir, espera que cumpla:

Y que cumpla:

Este es uno de los principios del formulismo matemático cuántico: a cada manginud física le corresponde un operador lineal.

Recordemos que una función de estado puede ser la que corresponda al estado fn. En ese caso, esperamos que:

Para que esto ocurra basta que el operador lineal cumpla, para cada función de estado n, con:

Es decir, que aplicado el operador al estado n (de esos estados "básicos" que tenemos asociados a los valores posibles fn), nos devuelva LA MISMA función de estado, multiplicada POR UN NUMERO, el valor de la magnitud fn.

Estas funciones base se llaman funciones propias, y los valores fn son los valores propios. Son las soluciones a la expresión:

Donde el f de la izquierda es un operador (ver el "sombrero") y el f de la derecha es una constante a determinar.

Bueno, bastante por hoy, aparecieron conceptos nuevos, que espero quede claro su aplicación en los próximos posts. Por ejemplo, ¿se podrá descubrir el operador funcional asociado a la energía, al momento, a la posición? ¿qué expresión concreta tienen? También hay que investigar que el mismo operador puede cambiar de expresión al cambiar las coordenadas que usamos en la función de estado, debiendo igual representar LA MISMA magnitud física.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 14 de Febrero, 2015, 19:43

Ya escribí varias veces sobre David Hilbert, en:

David Hilbert, Enlaces y Recursos
Métodos de Física Matemática, Courant, Hilbert, Prefacio de Courant
David Hilbert, según Jean Dieudonné
Los problemas de Hilbert
Imágenes y símbolos, según Hilbert
David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos (1)
Los problemas de Hilbert (1)

La semana pasada encuentro este texto de Richard Courant, comentando cómo Hilbert se comportó como catedrático en Gotinga:

Si leemos las antiguas crónicas, un catedrático de Gotinga era un semidiós muy consciente de su rango, el de catedrático y también lo era, en particular, la esposa del catedrático.

No sólo en Gotinga, sino en otros lugares de estudio de la Alemania de entonces. Tengo que comentar en algún post, como consiguió Max Planck acercarse a Helmholzt, que era "inalcanzable" para sus alumnos. Hoy, ese "alejamiento" está prácticamente olvidado en muchos ámbitos: las matemáticas son cada vez más colaborativas, y donde los jóvenes son la nueva sangre que trae ideas novedosas a ámbitos ya visitados

La llegada de Hilbert a Gotinga resultó muy molesta. Algunas de las esposas de los catedráticos de más edad se reunieron y dijeron: "¿Te has enterado de este nuevo matemático que ha llegado? Está alterando toda la situación. Se ve que la otra fue visto en un restaurante jugando al billar con algunos de los "Privat dozent" [El Privat dozent ocupaba un rango más bajo que el de profesor ayudante actual, puesto que la universidad no le pagaba nada; solamente recibía el dinero que se le permitía cobrar directamente a sus alumnos en pago de sus clases.] Se consideraba totalmente inaudito que un catedrático se rebajara a entablar amistad personal con personas más jóvenes. Sin embargo, Hilbert rompió esa tradición, lo que significó un enrome paso adelante hacia la creación de la vida científica; los jóvenes estudiantes le visitaban en su casa y tomaban el té o cenaban con él.  Frau Hilbert preparaba grandes y copiosas cenas para los profesores ayudantes, estudiantes y otros. Hilbert salía con sus estudiantes, y con quien quisiera acompañarle, a realizar largas excursiones en los bosques durante las cuales se hablaba de matemáticas, de politíca y de economía.

Hilbert también recibía visitas en su jardín, donde trabajaba todo el tiempo que podía, y entre tarea y tarea de jardinería, o pequeñas tareas caseras, acudía a una larga pizarra que tal vez medía más de seis metros de largo, y que estaba cubierta para poder recorrer toda su longitud incluso bajo la lluvia, en la que trabajaba en sus matemáticas en sus descansos entre los arreglos de los parterres de flores. Uno podía pasar todo el día observándolo.

... Era un profesor único y estimulante... teníamos la suerte de poder observarle forcejeando contra problemas matemáticos, en "ocasiones muy sencillos", y ver cómo encontraba la solución, y eso estimulaba más que una clase magistral perfectamente ejecutada. Lo más impresionante era la gran variedad, el amplio espectro de sus intereses... Era un matemático muy concreto e intuitivo que inventó un principio y lo aplicó de forma muy escrupulosa, a saber, si quieres resolver un problema, retira primero del problema todo lo que no es esencial. Simplifícalo, especialízalo tanto como puedas, sin sacrificar su núcleo. Así, el problema se hace sencillo, tan sencillo como puede sea posible sin que pierda su garra, y entonces lo resuelves. La generalización es una trivialidad a la que no se debe prestar demasiada atención. Este principio de Hiilbert demostró ser extremadamente útil para él y también para otros que aprendieron de él; por desgracia, ha sido olvidado.

Tengo que el libro de ambos, Hilbert y Courant, el famoso Métodos de Física Matemática, que tanto influyó en los físicos de principios del siglo pasado. También tengo pendiente leer las biografías de ambos, escritas por Constance Reid.

Encuentro el texto de arriba, en el excelente libro Matemáticas, una historia de amor y odio. Una cita más corta de Courant sobre Hilbert, la había publicado en David Hilbert, por Richard Courant.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 12 de Febrero, 2015, 14:53

Vuelvo a compartir el tema que se va a tratar esta semana en el Café Filosófico de Buenos Aires. Más datos sobre ubicación, costo, actividades y horarios, en:

http://www.filosofiaparalavida.com.ar/

Lo comparto como vino (sin acentos):

EL TEMA Y CONTENIDO SERÁ UN ESTRENO:

 FORMAS DEL AMOR: SUS BASES BIOLOGICAS Y FILOSOFICAS

NEUROCIENCIA Y AMOR (A partir de los ultimos trabajos científicos sobre el tema, en dialogo con la tradicion filosofica sobre el amor de Platon, Aristoteles, Schopenhauer y otros filosofos)

Que nos hacer sentir atraccion por una persona y no por otras? Por que nos enamoramos? ¿Qué procesos se desarrollan en el cerebro durante el enamoramiento? ¿Es un fenomeno centralmente biologico o cultural? Que influencias no conscientes operan en la eleccion de pareja? Tres formas del amor: la lujuria, el amor romantico y el apego. Su análisis neurocientifico y su analisis filosofico a la luz de los conceptos griegos de eros, agape y philia. Como operan mediante tres circuitos cerebrales distintos. Que cambios fisiologicos se generan en el enamoramiento y en las buenas relaciones duraderas? Los resultados de un estudio realizado por la maxima experta en neurociencia y amor, Helen Fisher, en la pagina web de citas mas grande del mundo. La musica, la compulsion a las compras y el cortejo: su relacion con el amor. Se reseñara tambien el articulo "Sexo, citas y amor: diferencias entre hombres y mujeres", escrito por Roxana Kreimer para un libro que saldra en abril en Estados Unidos ("Women in Philosophical Counseling: The Anima of Thought in Action", Lexington Books, April 15, 2015, "Mujeres en la practica filosofica: el pensamiento en accion"). El articulo parte de la base de que hombres y mujeres no tienen usualmente las mismas prioridades cuando buscan sexo casual o formar una pareja. La investigacion cientifica ha brindado valiosas evidencias sobre los factores irracionales que influyen en la eleccion de pareja. Los resultados son fascinantes y sorprendentes. La filosofia puede jugar un papel importante en la reflexion sobre estas influencias biologicas no conscientes, por un lado volviéndolas conscientes, y por el otro, sugiriendo de que manera el amor puede ser comprendido como un arte, algo que aprendemos y perfeccionamos, y no solo como el resultado de lo que "nos ocurre".

Los siete principios para hacer que la pareja funcione, a partir de los estudios empiricos de John Gottman (hemos dedicado un Café Filosofico entero a este autor, ahora enumeraremos los principios brevemente en virtud de que son el resultado de años de investigación en el unico laboratorio del mundo en el que las parejas concurren para ser estudiadas en sus interacciones cotidianas). Habra chistes sobre el amor y el enamoramiento como prolegomeno para el banquete y la presentacion musical.

Termina con:

Por que estudiar filosofia? Porque la filosofia es un proceso que cultiva habilidades cruciales para que sean fructiferas la educacion, la carrera, la ciudadania, las relaciones y el crecimiento personal. Estas habilidades incluyen la capacidad para razonar criticamente, resolver problemas con creatividad, comprender lo que se lee y lo que se oye, analizar los principios abstractos y aplicarlos a cuestiones concretas, expresarse con claridad y eficacia, apreciar puntos de vista diferentes a los propios, entablar un dialogo constructivo y darse cuenta que la opinion personal nunca es la ultima palabra sobre un tema, clarificar los presupuestos de las opiniones y estar preparado para cambiarlos a la luz de la evidencia. La buena vida es la que guia la razón e inspira el amor. (Bertrand Russell)

"Hay una sola pregunta filosófica valiosa: ¿cómo hemos de vivir?
(Sócrates)

Me gusta que en un ambiente filosófico se hable de neurociencias (en otros ambientes filosóficos, semejante actitud sería tildada de "cientificista", "reduccionista" y demás). Como siempre, hay que tener cuidado en sacar conclusiones muy amplias en el estado actual de la neurociencia.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 10 de Febrero, 2015, 15:22

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Hay tantos temas interesantes para investigar. En estos días estoy volviendo a leer sobre geometría algebraica. En los de enlaces de hoy, hay otros tópicos, como la densidad de secuencias de números (ver Schnirelmann abajo), y temas de teoría de números como la suma de cuadrados. En estos días, se nos fue René Lavan, veamos el tema de las matemáticas de la mezcla de cartas. Y siempre aparece la teoría de grupos.

Depth- and Breadth-First Search | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/01/22/depth-and-breadth-first-search/

Why there is no Hitchhiker"s Guide to Mathematics for Programmers | Math ∩ Programming
http://jeremykun.com/2013/02/08/why-there-is-no-hitchhikers-guide-to-mathematics-for-programmers/

The Mathematics of Perfect Shuffles
http://www-stat.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/83_05_shuffles.pdf

M13 | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/02/m13.html

Presentations and Representations in Foundations | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/02/presentations_and_representati.html

(Vídeo) Explicando con música la aritmética modular - Gaussianos
http://gaussianos.com/video-explicando-con-musica-la-aritmetica-modular

Encontrado un error en el trabajo de Carl Cowen y Eva Gallardo sobre el problema del subespacio invariante - Gaussianos
http://gaussianos.com/encontrado-un-error-en-el-trabajo-de-carl-cowen-y-eva-gallardo-sobre-el-problema-del-subespacio-invariante

La sorprendente criba de la parábola - Gaussianos
http://gaussianos.com/la-sorprendente-criba-de-la-parabola/

The Aperiodical | Talk: Computability of Bass-Serre structures in the Grzegorczyk hierarchy
http://aperiodical.com/2013/02/talk-computability-of-bass-serre-structures-in-the-grzegorczyk-hierarchy/

The Aperiodical | Collaborative Mathematics: kids (and non-kids) work together on problems over YouTube
http://aperiodical.com/2013/02/collaborative-mathematics/

Fracción polinómica - Gaussianos
http://gaussianos.com/fraccion-polinomica/

Lagrange's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem

Jacobi's four-square theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_four-square_theorem

15 and 290 theorems - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/15_and_290_theorems

Brun sieve - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Brun_sieve

Natural density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_density

Schnirelmann density - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Schnirelmann_density

FINE ASYMPTOTIC DENSITIES FOR SETS OF NATURAL NUMBERS
http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/24.pdf

THE ASYMPTOTIC DENSITY OF SEQUENCES
http://www.ams.org/journals/bull/1951-57-06/S0002-9904-1951-09543-9/S0002-9904-1951-09543-9.pdf

Subsets of Products of Positive Density on van der Waerden sets
http://arxiv.org/abs/1301.4297

48th Known Mersenne Prime Discovered
http://www.mersenne.org/various/57885161.htm

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https://delicious.com/ajlopez/mathematics

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 2 de Febrero, 2015, 14:11

Tiempo de revisar los resultados de las resoluciones de enero, y plantear las nuevas para este mes de febrero. Este mes pasado hubo menos días libres, y se notó en el resultado:

- Seguir mi serie sobre Ecuaciones Diferenciales [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrödinger [pendiente]
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica [pendiente]
- Seguir mi serie sobre Teoría de Grupos y Partículas Elementales [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre Lagrangianos y Hamiltonianos [completo] ver post
- Continuar mi nueva serie Entendiendo a Heisenberg [pendiente]
- Continuar mi serie sobre Hacia la Mecánica Cuántica [pendiente]
- Iniciar serie sobre Series de Fourier [pendiente]
- Iniciar serie sobre El Ultimo Teorema de Fermat [pendiente]
- Continuar mi serie sobre La Hipótesis de Riemann [pendiente]
- Estudiar ecuaciones diferenciales [completo]
- Estudiar matemáticas de física clásica y cuántica [parcial]

En compensación, inicié nuevas series como:

Teoría de Categorías (1)
Particiones (1)
Funciones Aritméticas (1)
Descenso Infinito (2)

También escribir sobre:

Kepler y la gravitación

Bien, lo prometido es deuda, así que este mes me concentro en completar lo que faltó:

- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrödinger
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica
- Continuar mi nueva serie Entendiendo a Heisenberg
- Continuar mi serie sobre Hacia la Mecánica Cuántica
- Iniciar serie sobre Series de Fourier
- Iniciar serie sobre El Ultimo Teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre La Hipótesis de Riemann

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 1 de Febrero, 2015, 18:32

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Ya estuvimos viendo rotaciones alrededor de un eje (en tres dimensiones), podemos ahora escribir:

A la izquierda tenemos multiplicar. A la derecha, tenemos sumar. Esto nos recuerda a lo que tenemos en exponenciación:

Aunque hay que tener cuidado: en la primera expresión de arriba, estamos multiplicando matrices, y en la segunda expresión, estamos operando con números, como exp(x) y el propio x.

Recordemos que

Eso es una rotación FINITA de ángulo dado theta, alrededor del eje z. ¿Cómo podemos expresar una rotación INFINITESIMAL, que sirva de base "generadora" para todas las rotaciones de ese eje?

Si calculamos la derivada por theta, en el valor 0, quedar:

Entonces, podemos usar esa derivada como el primer factor en su expresión en serie. Como aproximación podemos escribir:

Donde en segundo término de la derecha llega a ser la derivada encontrada multiplicada por delta theta, el incremente infinitesimal del ángulo  (hay que justificar el uso de i, la raíz de -1 imaginaria). Debería ser para eso:

Una rotación finita puede componerse (en principio) de sucesivas rotaciones infinitesimales (digo en principio, para mostrarlo formalmente hacia dónde vamos; dos rotaciones infinitesimales, si realmente son INFINITESIMALES, solo dan una rotación infinitesimal):

Tomando:

Para N rotaciones, si tomamos N tendiendo a infinito, queda:

En el desarrollo de arriba, operamos formalmente, PORQUE NO HAY DEFINICION DIRECTA de e elevado a matrices. Solamente porque Mz es una matriz que CONMUTA CONSIGO MISMA (como todas las matrices), podemos hacer esa ANALOGIA con respecto a la exponencial: lo que conocemos, es la exponencial de un número real, lo de arriba es "algo de magia" para expresar la exponencial de una matriz.

Con todo lo plausible que es la igualdad de arriba, hay que probar que:

Sea igual a lo que da el desarrollo infinito de la exponenciación:

Este desarrollo se expande a:

Las dos primeras matrices son la matriz desdoblada. Las potencias PARES de Mz son igual a la segunda matriz (con dos unos y un cero en la diagonal), y las potencias IMPARES de Mz son iguales a Mz.

Queda, reagrupando, y resolviendo los signos de i potencia:

Los dos desarrollos de potencias de theta son los desarrollos de coseno y seno en serie, queda:

Quedando al fin:

Como se quería probar.

En próximo post, revisaremos que condiciones cumple Mz, mencionaremos la expresión de Mx, Mz (que se pueden deducir como las de Mz), y veremos si Rz(theta) es unitaria.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 31 de Enero, 2015, 13:59

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En el anterior post mostré la ecuación diferencial:

Y mencioné dos soluciones:

Y

Además de comprobarlas y luego, combinarlas linealmente. Pero ¿cómo podemos obtener esas dos soluciones particulares? Primero, podemos hacer que la diferencial de y sea escrita como:

Es simplemente un cambio de notación. Para ser más precisos, D no es un número que se multiplica por la función y, sino que podemos escribirlo mejor como:

Como una función, que aplicada a la función y, nos devuelve otra función, la derivada de y en la variable independiente x. D no es una función que se aplica a un número y devuelve un número, sino que es lo que los matemáticos llaman un funcional u operador funcional: algo que le damos una función y devuelve una función.

Una vez hecho ese cambio de notación podemos expresar nuestra ecuación como:

Y “estirando” la notación, poner:

Y de nuevo, estirando la notación, hacer que esto equivalga a:

Para cualquier y. D es un operador funcional. Si lo tratamos “como si fuera la incógnita de un número” , podemos resolver la ecuación anterior como una ecuación de segundo grado en D, dando como soluciones

Y

Pero D no es un número, es un funcional que podemos aplicar a y ( una función). Queda:

Y

Con lo que llegamos a las soluciones particulares:

Y

Todo esto es “malabarismo” sobre operadores funcionales, tratándolos formalmente como si fueran “números”. Pero funcionan. El pionero en este tratamiento fue Heaviside, ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside
http://en.wikipedia.org/wiki/Operational_calculus

Nos leemos!

Angel “Java” Lopez
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Publicado el 27 de Enero, 2015, 18:13

Como lo mío es un apostolado :-) vuelvo hoy a compartir un tema que se tratará en la próxima reunión del Café Filosófico de Buenos Aires. Ver lugar, horarios, costos, formato más en detalle en:

www.filosofiaparalavida.com.ar

Leo en email que me enviaron (sin acentos):

La neurociencia esta revelando los secretos de nuestras emociones.

Compartiremos el contenido de un libro reciente e inedito en el pais sobre este tema, escrito por el investigador Giovanni Frazzetto. Puede la ciencia explicar por si misma por que sentimos lo que sentimos? La filosofia es un buen complemento para el analisis de las emociones, que invaden cada porcion de nuestra vida. Un minuto estamos tristes, enseguida sentimos esperanza. Algunas emociones nos persiguen, otras nos eluden. Nos transportan lejos. Por eso es que a veces pensamos como podriamos librarnos de algunas de ellas. Es el dolor psiquico similar al dolor fisico? Tienen aspectos comunes en la configuracion cerebral que corresponde a cada uno de ellos? Que puede revelarnos sobre las emociones el escaneo del cerebro? Haremos un viaje a traves de algunas de las emociones mas comunes de la vida cotidiana. El impacto emocional de drogas paliativas como los opiaceos o la morfina.

Las experiencias de exclusion y su impacto a nivel neural. Un analisis de Wittgenstein sobre las emociones. La serotonina (hormona "del placer") y los estados emocionales. La ansiedad: el miedo a lo desconocido. William James y la relacion de las emociones con el cuerpo. La diferencia entre el miedo y la ansiedad: comparten la misma estructura cerebral, responden a los mismos circuitos neuronales o funcionan en forma independiente? La lectura que Giovanni Franzzetto hace del analisis de Heidegger sobre el tema de la ansiedad. Como podemos huir de la ansiedad? Como es posible que el cerebro aprenda a desviar la atencion? El contraste entre racionalidad y sentimientos, ciencia y poesia. Como enfrentando este contraste, podemos entendernos mejor a nosotros mismos y a los demas. Como se ve el efecto de la psicoterapia en el escaneo del cerebro.

La neurociencia tiene tanto para revelarnos sobre nuestra vida que algunos de sus terminos ya ingresaron al lenguaje popular: solemos decir que "necesitamos adrenalina", que la dopamina estimula el cerebro y que las endorfinas son opiaceos "hechos en casa". Podremos algun dia grabar los sueños y comprar experiencias artificiales (peliculas para la mente)? Como puede el cerebro aprender a desviar la atencion? La plasticidad del cerebro: como podemos condicionarnos a nosotros mismos para no ser dominados por la ansiedad.

Como transitar el proceso del duelo. Cual es el proposito del llanto? Por que lloramos de alegria? Es posible divorciar las categorias psiquiatricas de su contexto social? Veremos algunos aspectos particulares del placer, y algunas rutas que pueden ayudarnos a alcanzar la alegria. Los rasgos de la risa. El estudio de Robert Provine sobre los componentes de la risa. Las neuronas espejo y la risa. Por que suele ser contagiosa y no es solo un signo de alegria y entretenimiento? Que animales rien? Como lidiar mejor con las emociones, construyendo nuevas rutas en nuestro cerebro.

Giovanni Frazzetto. Darwin. William James. Wittgenstein.

(Adjuntamos un par de fragmentos sobre el tema)

La felicidad es buena para el cuerpo, pero es el dolor lo que desarrolla las fuerzas de la mente. Marcel Proust.

Cuando hacemos terapia en el cerebro se producen cambios en las conexiones sinapticas y se establece una nueva realidad mental. Un estudio con resonancias magneticas revelo que cuatro semanas de psicoterapia normalizan la hiperactividad de la amigdala (la region que regula las emociones) en pacientes que experimentan ataques de panico.

Abordar las emociones con una estrategia distinta es como tomar otro camino para llegar al mismo lugar. No se trata solo de una metafora. En el escaneo del cerebro se ven estas nuevas rutas.

Recomendaría para el tema emociones y neurociencia, los libros de Antonio Damasio, en especial "En busca de Spinoza". Para una muy buena introducción a un tema central en neurociencia, conciencia y cerebro, leer "De palacios y cavernas", de Diego Golombek.

Interesantes los temas planteados, por ejemplo, el tema risa en los animales. Soy algo excéptico al tema "nuevas rutas" como identifcadas como una estrategia distinta cada vez a las emociones. No sabemos realmente mucho de la importancia de lo que escaneamos. Es como examinar un auto andando por su temperatura, y darle importancia entonces al caño de escape. Tal vez las operaciones más importantes no son las más aparentes en un escaneo cerebral. Estamos dando recién los primeros pasos para comprender cómo funciona nuestro cerebro.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 26 de Enero, 2015, 15:53

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Tantos temas para ver, algunos enlaces adicionales:

Small doubling in groups « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2013/02/01/small-doubling-in-groups/

Great Circle Arc Intersections
http://www.jasondavies.com/maps/intersect/

Roice Nelson - Google+ - A sculpture of the Klein Quartic My first successful…
https://plus.google.com/u/0/112844794913554774416/posts/jUrUZD2EXH8

www.math.ias.edu/~mshulman/papers/sdg/pizza-seminar.pdf
http://www.math.ias.edu/~mshulman/papers/sdg/pizza-seminar.pdf

5 surpreendentes fatos matemáticos
http://hypescience.com/5-fatos-matematicos-surpreendentes-2/

Olimpiada Matemática de Baleares 2013 - Problema 2 - Gaussianos
http://gaussianos.com/olimpiada-matematica-de-baleares-2013-problema-2/

Olimpiada Matemática de Baleares 2013 - Problema 3 - Gaussianos
http://gaussianos.com/olimpiada-matematica-de-baleares-2013-problema-3/

Beauty in Mathematics | Video Lectures
http://video.ias.edu/1213/special-lecture/1211-bombieri

Runge–Kutta methods - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/RK4

Numeric Javascript
http://www.numericjs.com/

Math.NET Project
http://www.mathdotnet.com/

The Aperiodical | The perfect formula for mathsiness
http://aperiodical.com/2013/01/the-perfect-formula-for-mathsiness/

Pat'sBlog: On This Day in Math - January 5
http://pballew.blogspot.com.ar/2013/01/on-this-day-in-math-january-5.html

Poinsot biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Poinsot.html

Ramanujan's Mock Modular Forms: Indian Mathematician's Dream Conjecture Finally Proven
http://www.huffingtonpost.com/2012/12/27/ramanujans-mock-modular-forms_n_2371680.html?utm_hp_ref=science

Van_Ceulen biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Van_Ceulen.html

Números y hoja de cálculo: ¿Cómo veo el 2013?
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/12/como-veo-el-2013.html

¿Y si divido infinito entre infinito? | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/12/26/y-si-divido-infinito-entre-infinito/

Un problema muy particular | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/12/24/un-problema-muy-particular/

Tito Eliatron Dixit: Matemáticas y Lotería de Navidad: una relación imposible
http://eliatron.blogspot.com.ar/2012/12/matematicas-navidad-imposible.html

Nota dominical: El método numérico del matemático palentino Fray Juan de Ortega « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/12/23/nota-dominical-el-metodo-numerico-del-matematico-palentino-fray-juan-de-ortega/

JIBLM.org - Journal of Inquiry-Based Learning in Mathematics - Journal Contents
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 25 de Enero, 2015, 16:23

Hace unas decádas, comenzaron a aparecer conceptos que dieron lugar a un nuevo fundamento de las matemáticas. Si bien se basaban en trabajos de miles de años, el lenguaje empleado era nuevo y aún hoy es un tema que no está muy difundido. Gracias al trabajo seminal de Eilenberg y MacLane de "A general theory of natural equivalences", fue que apareció una definición precisa de "categoría" y se hizo explícito que las relaciones entre ellas eran parte básica de las matemáticas.

Comienzo hoy esta serie de posts, para estudiar los conceptos de esta teoría, que no es difícil pero sí nueva y distinta. Comenzemos con algo que pasó hace siglos.

Galileo estudió el movimiento de cuerpos en el espacio. Para eso, se dió cuenta de la importancia de asociar el tiempo con la posición en el espacio de un cuerpo en movimiento. Podemos graficar:

Tenemos un conjunto de instantes de tiempo a la izquierda. Cada punto en el tiempo le corresponde un punto en el espacio, el conjunto de la derecha (estamos manejando conjunto de manera intuitiva, como una colección de cosas). Lo importante es que a cada elemento del conjunto de la izquierda (el dominio que le dicen los matemáticos) LE CORRESPONDE UNO Y SOLO UN elemento en el conjunto de la derecha (el codominio). Esta aplicación es nuestro primer ejemplo de lo que los matemáticos llaman MORFISMO.

Lo que notó también Galileo es que cada punto el espacio se puede mapear a un punto en el plano (dado por "la sombra" del punto en el espacio sobre "el piso") y a un punto en una línea (su altura):

Pudo entonces separar el estudio del movimiento en el espacio a un estudio en simultáneo pero separado, del movimiento en el plano y el movimiento en la línea de altura:

Entonces, la aplicación de tiempo a espacio, luego pudo combinarse con la aplicación de espacio a plano, y la de espacio a línea, quedando:

Esta composición de morfismos, sugiere que ESPACIO = PLANO X TIEMPO, una especie de multiplicación. Tenemos por ahora, tres conceptos a estudiar:

- Los morfismos
- Su composición (dos morfismos (uno atrás de otro como cachetada de loco ;-) originan otro morfismo)
- La multiplicación de conjuntos

Seguimos en el siguiente post. Fuentes consultadas: "Matemáticas conceptuales, una primera introducción a categorías", de Lawvere, Shanuel, editorial Siglo XXI.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 20 de Enero, 2015, 13:15

El tema de esta semana, en el Café Filosófico, de Buenos Aires, es Los límites del humor. Más información (horarios, lugar, costo, detalles) en:

www.filosofiaparalavida.com.ar

La descripción que recibo por correo electrónico, sin acentos:

El humor siempre fue una zona de riesgo. En la antigüedad clasica griega, la comedia de Aristofanes "Las nubes" contribuyo a que los atenienses condenaran a Socrates. En nuestro pais, la revista "Tia Vicenta" contribuyo con sus satiras políticas al derrocamiento del presidente Arturo Illia. Desde el humor televisivo, Tinelli ridiculizo al entonces presidente Fernando de la Rua y contribuyo a su descredito politico. El humor es una transgresion benigna para quienes rien.Para los ofendidos, en cambio, es una transgresion a secas. Pensar que el humor no hace apuestas por fuera del ambito de la comicidad es negar que una de sus potencialidades es ese terreno ambiguo que permite sostener las cosas que no podemos o no nos atrevemos a decir en serio.Por eso casi no hay chiste que no ofenda, porque el humor a menudo bordea el limite de la agresion. Pero cual es ese limite etico y pragmatico del humor? Como saber si una broma es adecuada para un individuo o para una situacion? Analizaremos los mecanismos para generar humor (y en ese sentido el encuentro servira para ampliar nuestros recursos de comicidad), y nos detendremos particularmente en la relacion que existe entre el humor y la agresion. Hemos realizado estudios experimentales que muestran diferencias en el humor que prefieren hombres y mujeres. Compartiremos sus resultados. Por que las mujeres prefieren a los hombres con sentido del humor? De que manera esa preferencia puede perjudicarlas? Por que el humor apela a los estereotipos?

Analizaremos el caso del asesinato de los humoristas franceses, vinculandolo con el tema propuesto, que es el de los limites del humor, pero no dedicaremos la mayor parte del encuentro a el sino que aprovecharemos este episodio que surge de la actualidad para conocer un poco mas sobre los fascinantes mecanismos del humor. A traves de un video de un bebe que ríe analizaremos la relacion que hay entre el humor y el miedo. Que funcion biologica tiene el humor y cual es su relacion con el tema planteado para el encuentro? Por que en los velorios se cuentan chistes? Por que Platon y Aristoteles desconfiaban del humor? Tres pasos para generar comicidad: como se relaciona la agresion con la ambiguedad propia del humor. De acuerdo a los estudios cientificos disponibles, rien mas los hombres o las mujeres? Como influyen sus diversos estilos conversacionales en el tipo de humor que más aprecian?  Repasaremos las principales teorias del humor a la luz del tema de los limites entre el humor y la agresion.  Cuando podemos decir que un chiste o un comentario cualquiera es una "falta el respeto"? Hay areas tematicas en las que se considera mas frecuentemente que se falta el respeto? Que sostiene la tesis del "arte por el arte"?

Theophile Gautier y la conexion entre arte y moralidad. Ironia en sentido estricto (en que consiste esta figura retorica) y en sentido amplio. Sus diferencias con el humor y la hipocresia. El uso de la ironia en la comunicacion cotidiana (como siempre,habra muchos ejemplos). Que argumentan los filosofos que la critican, que argumentan los que la defienden. La ironia como arma. Los diversos tipos de ironia. Diferencias entre ironia y humor. Como nos alinea este acto de habla en relacion al interlocutor. La ironia como ataque y como defensa. La ironia y la sociolinguistica. La relacion de la ironia con la reduccion al absurdo. "Sobrar" a alguien. Ironia y malicia. Diferencias entre ironia y sarcasmo. El cinismo de los antiguos y el cinismo de los modernos. Las investigaciones neurocientificas sobre el humor. Compartiremos gran cantidad de chistes y los analizaremos. Ironias de Borges y Oscar Wilde.

Quintiliano, Ciceron, Shlegel, Shaftesbury,  Kierkegaard, Andre Comte-Sponville, Searle, Peter McGraw, Robert Provine

Habría tanto para comentar, pero hoy solo hay tiempo para compartir lo de arriba. Agregaría que el tema también es tratado en El nombre de la rosa, de Umberto Eco.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 18 de Enero, 2015, 16:42

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Ya he tratado varios aspectos de la teoría de números. Ver:

Números Primos
Teoría de Números
Demostración del teorema Euler-Fermat
Congruencias módulo m
La función indicatriz de Euler, primeros pasos
Calculando la función indicatriz de Euler
p = x2 + y2
Funciones Aritméticas

Cuando uno estudia números primos y sus propiedades, se interesa en la divisibilidad, descomponer un número entero entre sus divisores. Es lo que se llama teoría de números multiplicativa. También comenzó a aparecer la teoría analítica, aunque sea apenas insinuada en el tema de la hipótesis de Riemann: el uso del análisis matemático en cuestiones de teoría de números.

A los matemáticos les gusta descomponer a un elemento. En el caso de divisibilidad, ver cuáles son los divisores de un número entero. Pero también hay otro camino a explorar: dado un número natural, ver cómo descomponerlo en SUMANDOS. Por ejemplo, tengamos el número 5 (cinco). ¿Cómo podemos descomponerlo en sumandos naturales? ¿y de cuántas maneras distintas? Por "distintas" entendemos que no nos importa el orden, sino qué números usamos.

Queda entonces para descomponer al 5 (cinco) estas formas:

1 + 1 +  1 + 1 + 1
2 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 1
3 + 1 + 1
3  + 2
4 + 1
5

Es decir, hay siete formas distintas. He tomado la convención de poner los sumandos de mayor a menor.

Estas particiones:

2 + 1 + 1 + 1
1 + 2 + 1 + 1
1 + 1 + 2 + 1
1 + 1 + 1 + 2

Las consideramos "iguales", y tomamos la primera como "forma normal": la que aceptamos para expresar esta partición, la expresión que tiene los sumandos descendentes.

La cantidad de particiones diferentes del número n nos da una función aritmética, que llamamos p(n). Si la calculamos para los primeros números, queda:

p(1) = 1
p(2) = 2
p(3) = 3
p(4) = 5
p(5) = 7
p(6) = 11
p(7) = 15

Les dejo calcular los siguientes valores. En los siguientes posts vamos a investigar las propiedades de p(n). Por ejemplo ¿habrá alguna fórmula directa para expresarla? ¿o alguna fórmula de recurrencia, donde p(n) se pueda expresar en términos de los p(n-1), p(n-2)…? ¿habrá algún patrón a descubrir en sus valores? ¿Alguna fórmula asintótica? Vamos a ver que hasta hay funciones inesperadas que, cuando se expresan en serie, sus coeficientes nos dan los valores de p(n).

Mientras, pueden leer

http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_%28number_theory%29

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 17 de Enero, 2015, 15:32

En estos días me encuentro con este fragmento notable, de una carta de Kepler a su amigo Fabricius, de 1605:

Si se colocara una piedra fuera de la Tierra y se considerara que ambas carecen de cualquier movimiento adicional, entonces no solo la piedra se precipitaría hacia la Tierra, también la Tierra lo haría hacia la piedra; repartirían el espacio que las separa en una proporción inversa a sus pesos respectivos.

Digo notable, porque asoma acá la tercera ley de Newton, que todavía no había nacido. En otra carta, propone que la resistencia a moverse de un planeta es proporcional a su masa, aunque no tenía datos sobre la masa de los planetas. Pero hay diferencias. La gravedad, según Newton, es creada por la masa del Sol. Kepler pensaba que era generada por la ROTACION del Sol. Ese giro impulsaría a girar a los planetas, a los más cercanos con más velocidad que a los más lejanos. ¿Cómo se debilitaba esa fuerza con la que el Sol movía a los planetas? No lo dijo expresamente, pero mencionó que se debilitaba igual que la luz al alejarse de su origen. En otro lugar, demostró que el flujo luminoso se perdía según el inverso del cuadrado de la distancia.

¿Podrían haber influido estas ideas en Newton? Gran parte de ellas sólo se expresó en papeles privados. Esos papeles fueron heredados por Ludwig Kepler, su hijo, que los llevó a Konisberg. Cuando este hijo murió, los papeles fueron comprados por D.J.Hevelius, quien los adquirió de los herederos. Luego recorrieron un largo camino: Leipzig, Viena, Frankfurt, y finalmente acabaron en el observatorio de Pulkovo, en San Petersburgo, luego de haber sido adquiridos por Catalina II, gracias a un consejo de Leonhard Euler. Ahí es donde están actualmente. Ante tan largo periplo, es imposible que Newton tuviera acceso a ellos.

Post relacionados:

El modelo de Kepler, el mecanismo de Newton
El mecanismo de Kepler
Newton explicando la gravedad

Encuentro este fragmento en el excelente libro "Kepler, el movimiento planetrio, bailando con las estrellas", de Eduardo Battaner Lopez, publicado por RBA, y entregado acá en Argentina por el diario La Nación.

Nos leemos!

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Publicado el 15 de Enero, 2015, 7:11

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How to Reapply to YC — Medium
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Y Combinator's new startup teaches disadvantaged kids to code | It training - InfoWorld
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http://techcrunch.com/2014/02/21/sam-altman-taking-over-as-president-of-y-combinator-replacing-paul-graham-at-the-helm/

Female Founders
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We've Open-Sourced Everything - CodeCombat Blog
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Y Combinator Dinner for Your Teen - Online Fundraising Auction - BiddingForGood
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Y Combinator applicant advice — on startups — Medium
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The Evolution Of Hacker News | TechCrunch
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The Problem With Silicon Valley Is Itself - TNW Entrepreneur
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Publicado el 14 de Enero, 2015, 12:39

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Varignon biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Varignon.html

Srinivasa Ramanujan, el enigmático genio matemático indio - Gaussianos
http://gaussianos.com/srinivasa-ramanujan-el-enigmatico-genio-matematico-indio/

[1212.3515] When does a cross product on R^{n} exist?
http://arxiv.org/abs/1212.3515

Carnaval Matemáticas: El producto vectorial en un espacio euclidiano de 7 dimensiones « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/12/22/el-producto-vectorial-en-un-espacio-euclideo-de-7-dimensiones/

Matrix Factorization: A Simple Tutorial and Implementation in Python @ quuxlabs
http://www.quuxlabs.com/blog/2010/09/matrix-factorization-a-simple-tutorial-and-implementation-in-python/

Math ∩ Programming | A place for elegant solutions
http://jeremykun.com/

www.ams.org/notices/201301/rnoti-p97.pdf
http://www.ams.org/notices/201301/rnoti-p97.pdf

Moby Dick and the tautochrone — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2011/10/15/tautochrone/

Mathematical Background
http://www.jfsowa.com/logic/math.htm

Hallar los conjuntos - Gaussianos
http://gaussianos.com/hallar-los-conjuntos/

Ramsey Number Lower Bound | Math ∩ Programming
http://jeremykun.wordpress.com/2012/12/02/ramsey-number-lower-bound/

A calculus free proof of the spectral theorem « Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2012/12/03/a-calculus-free-proof-of-the-spectral-theorem/

Groups — A Primer | Math ∩ Programming
http://jeremykun.wordpress.com/2012/12/08/groups-a-primer/

The spectral proof of the Szemeredi regularity lemma « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/12/03/the-spectral-proof-of-the-szemeredi-regularity-lemma/

How I teach topology: an inquiry-based learning approach « Division by Zero
http://divisbyzero.com/2012/12/16/how-i-teach-topology-an-inquiry-based-learning-approach/

10 Mathematical Equations That Changed The World - YouTube
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=KGpb3_XkEvg

El problema de los cocos y el mono, o cómo apartar las matemáticas de la realidad - Gaussianos
http://gaussianos.com/el-problema-de-los-cocos-y-el-mono-o-como-apartar-las-matematicas-de-la-realidad

(Vídeo) Las 10 ecuaciones matemáticas que cambiaron el mundo - Gaussianos
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Publicado el 11 de Enero, 2015, 17:16

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Veamos hoy de presentar un ejemplo concreto y corto del tema tratado en el anterior post: tener un potencial que dependa de la posición y no de la velocidad.

Habíamos trabajado con una lagrangiana donde aparece el potencial restando:

Trabajemos con una sola partícula, viajando por una sola coordenada, en vez de un vector x con varias:

¿Qué potencial U podríamos usar? Bien, sea uno que cuando la partícula esté ubicada en el origen (x1 = 0), su potencial sea nulo. Y que cuando se desplace hacia los x1 positivos, o los x1 negativos, el potencial crezca de la misma manera (no importa si x1 es positivo o negativo, el potencial dependerá de su desplazamiento absoluto). Un potencial así puede ser:

Donde k es una constante positiva de proporcionalidad. Un potencial así es el del oscilador armónico:

http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_oscillator

El lagrangiano completamente expresado en x1 es:

Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange

Obtenemos:

O lo que es lo mismo:

Digamos que los x1 positivos estan "hacia la derecha" del punto de origen. Lo de arriba dice: si estamos a la derecha del punto de origen, hay un valor negativo –kx1 que se aplica a la variación en el tiempo del momento (masa por velocidad). Es decir, que este momento va a disminuir (considerando "velocidad hacia la derecha" como positiva). Si estamos con x1 a la izquierda del punto de origen, el momento tendrá una variación temporal positivo. Sea un entorno no relativista, donde la masa no cambia con el tiempo ni la velocidad, apliquemos el dt a la velocidad:

Tenemos que recordar que nos gustaría encontrar la solución de x1 en función del tiempo. Una solución posible es:

Nos quedamos con la parte real, y tomamos e elevado a la a como un parámetro libre que indica la posición al comienzo del tiempo:

Hemos resuelto la ecuación del movimiento.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 10 de Enero, 2015, 15:11

Mientras sigo explorando teoría de números (ver posts:

Números Primos
Teoría de Números
Demostración del teorema Euler-Fermat
Congruencias módulo m
La función indicatriz de Euler, primeros pasos
Calculando la función indicatriz de Euler
p = x2 + y2

) comienzo hoy una serie de posts sobre un tema nuevo, por un lado sencillo, por otro lado de profunda influencia: las funciones aritméticas. Si hasta puede que el desarrollo del tema nos lleve cerca del teorema de los números primos.

¿Qué es una función aritmética? Es una función sobre los números naturales (desde el 1), que da valores numéricos (digamos, enteros, reales, complejos):

Por ejemplo, tenemos la función aritmética identidad: a cada valor n entrega como resultado el mismo valor n:

Donde

Vamos a ir viendo qué utilidad puede tener una función tan simple. Pero también podemos tener una función aritmética en la función indicatriz de Euler:

Donde para cada n, phi(n) no s da la cantidad de números naturales a, 1 <= a <= n, tales que (a, n) = 1, es decir, que son primos con n.

Comienza a aparecer la relación con la teoría de números: muchas funciones aritméticas interesantes dan resultados que dependen de temas como primos, divisibilidad, que son el pan y la manteca de la teoría de números. Veremos que las funciones aritméticas se pueden clasificar por sus propiedades, y notablemente se pueden combinar entre sí : aparecerá un conjunto de funciones aritméticas que se pueden combinar con una operación binaria que forma grupo, con identidad, inverso, etc.

Antes de terminar esta introducción al tema, quisiera mencionar que también aparecen en series de potencias formales, llegaremos a estudiar las operaciones sobre series infinitas:

Donde los coeficientes son los resultados de una función aritmética f(n). ¿Qué coeficientes nacen de la multiplicación formal de dos de tales series?

Mi principal fuente de consulta para el tema: La introducción a la teoría analítica de números, de Tom Apostol, editorial Reverté.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 8 de Enero, 2015, 8:09

Vuelve la actividad del Café Filosófico en Buenos Aires. Ver más información en

www.filosofiaparalavida.com.ar

Me llega el correo (sin acentos):

Con gran alegria les anunciamos que el proximo viernes 9 y sabado 10 de enero retomamos nuestros Cafes Filosoficos de todos los fines de semana, y seguiremos a lo largo de todo el verano. Durante estos meses estuve escribiendo un libro y desarrollando otros trabajos academicos, entre ellos presentaciones a congresos que he grabado y traducido para compartirlas con ustedes. Adquirimos material de reciente aparicion, inedito en Argentina, y tambien lo compartiremos. Iniciamos el año con un tema central para pensar la vida, a partir de los desarrollos de uno de los referentes mundiales en esta disciplina. El material no ha sido traducido al español (y no es probable que llegue al pais).

Agradecemos los mensajes de afecto recibidos en estos meses, de a poco nos pondremos a dia con la correspondencia y esperamos verlos en la antigua "red social" del "cara a cara".

El primer tema sera:

 FELICIDAD: ULTIMAS INVESTIGACIONES BASADAS EN LA EVIDENCIA CIENTIFICA

Es la primera vez que lo proponemos para la reflexion

Viernes 9 de enero a las 19hs (en punto y hasta las 21.15)

Viernes 9 de enero a las 22.30hs (en punto y aprox. hasta las 0.45hs)

Sabado 10 de enero a las 19hs (en punto y aprox. hasta las 21.15hs)

Sabado 10 de enero a las 22.30hs (en punto y hasta las 0.45hs)

 Terminamos la exposicion teorica con un video e ilustramos la charla en powerpoint.

 La entrada cuesta $100 e incluye el refrigerio de la pausa con infusiones y deliciosas cookies artesanales.

Ambiente climatizado

Empezamos muy puntual, recomendamos llegar quince minutos antes. Mientras es posible ver la exposicion de filosofia que hay en nuestro salon.

La descripción más en detalle:

Dos de los mas reconocidos investigadores del tema de la felicidad (o bienestar subjetivo) desfian nuestros presupuestos sobre el tema. Ed Diener (Universidad Illinois) y su hijo Robert Biswas-Diener (Portland State University) comparten los resultados de tres decadas de investigaciones sobre la felicidad. Por un lado muestran con evidencia cientifica que el concepto no esta sobrevaluado y es bueno en terminos de salud, longevidad, relaciones sociales, satisfaccion en el trabajo y altruismo, y por el otro explican por que la "super-felicidad" no es una meta deseable. Roberto Biswas es considerado el "Indiana Jones" de la investigacion por los riesgos que asumio estudiando este tema en Groenlandia, India, Kenya y otros lugares del mundo, y entre los Amish y otras comunidades. ¿Cual seria el optimo nivel de felicidad en el que no perseguimos la euforia sino la satisfaccion, el significado y la frecuencia de emociones positivas, reconociendo que algunas emociones negativas son parte de la vida feliz? ¿Por que ser feliz no es suficiente? Fenomenos intuitivos y contraintuitivos que causan la felicidad. Un modelo para desarrollar una disposicion satisfactoria hacia la vida: Atencion, Interpretacion y Memoria (AIM). Dos estudios
sobre las disposiciones geneticas en relacion a este tema. Las consecuencias ventajosas y perjudiciales tanto de las emociones positivas como negativas. El rol de las emociones para predecir la
salud y la longevidad, de acuerdo a la evidencia cientifica (segun Diener, un tema acerca del cual los medicos saben poco). Ocho maneras en que la felicidad hace que enfermemos menos. De acuerdo a los estudios cientificos disponibles, como influye el nivel de satisfaccion con la propia vida en el sistema inmunologico, en las enfermedades cardiovasculares y en otros problemas fisicos? En promedio, ¿cuantos años mas viven las personas que se sienten felices? Cuales son, de acuerdo a la evidencia cientifica, los problemas de salud que empeoran cuando una persona se siente extremadamente feliz? Por que ocurre este efecto paradojico? Cuantos años mas viven en promedio los mayores con sosten emocional? La felicidad y las relaciones sociales: son los amigos quienes incrementan la felicidad o es que las personas de buen animo forman amistades con mas facilidad? Las investigaciones del premio Nobel Daniel Kahneman sobre las mujeres y la soledad. En el mundo (en promedio) las personas pasan mas tiempo solteras o en pareja? De que depende el bienestar en el trabajo? Una sorprendente respuesta de acuerdo a investigaciones realizadas en la Universidad de Yale. Cuatro formas de ver el trabajo. Diener hizo un seguimiento para ver si los mas satisfechos con sus vidas al ingresar a la universidad ganaban salarios mas altos años despues de recibidos. Compartiremos los resultados de este estudio. Hay caracteristicas objetivas para los mejores trabajos? Cuales? Los mas recientes estudios cientificos sobre la relacion entre el dinero y la felicidad.

Cerraremos el encuentro con un video que resume las principales estrategias para tener en cuenta a la hora de incrementar el bienestar en nuestras vidas. Recomendaremos especialmente las contraintuitivas y las que no suelen aparecer en la literatura sobre el tema que no esta basada en la evidencia cientifica.

Incluimos algunos fragmentos a modo de adelanto.

De acuerdo a los estudios de John Gottman, es necesario contar por lo menos con una interaccion positiva por cada cinco negativas si se quiere mantener una buena relacion (de pareja, con los hijos, los amigos, los compañeros de trabajo).

El tipo de amor que genera felicidad es el que consiste en hacer cosas por el otro aunque no se entere.

En un experimento tenian que calcular la cantidad de kilometros que separaban a una ciudad de otra. Si imaginaban que irian con un amigo, la distancia que estimaban era mas corta. El mismo rol cumplen las restantes emociones positivas: aligeran la carga y nos hacen percibir el mundo como un lugar mas accesible.

Lo comparto por acá, porque me parece un tema más que interesante. Me sirve también para que quede anotado en este blog algunos autores a explorar. Ya saben que pienso que la felicidad (por lo menos como muchos la conciben) está sobrevaluada, y que lo importante es aprovechar la vida. Pero seguimos siendo individuos que necesitamos tener momentos felices.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez

Por ajlopez, en: Filosofía