Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 3 de Septiembre, 2016, 17:43

Ya estamos más cerca de fin de año. Y comienza un nuevo mes, hora de escribir las resoluciones de septiembre. Pero antes, repaso de las de agosto:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [pendiente]
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre teoría de Galois [completo] ver post
- Comenzar una serie sobre los azulejos de Wang [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

También estuve investigando y escribiendo sobre:

La hipótesis de Riemann (8)
Relatividad (1)
Generalización en Ciencia, por Einstein e Infeld
La obra de Galileo y Newton
Un texto de Galileo
Einstein, Hilbert y la Teoría General de la Relatividad (1)
Movimiento y Vectores, por Einstein e Infeld

Las resoluciones para el nuevo mes son:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre teoría de Galois
- Comenzar una serie sobre los azulejos de Wang
- Estudiar blues en guitarra

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 2 de Septiembre, 2016, 6:06

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The King of Swamp Castle - CoinDesk
http://www.coindesk.com/king-swamp-castle/

Bloomberg Editorial Board: Public and Private Blockchains Need Level Playing Field - CoinDesk
http://www.coindesk.com/bloomberg-editorial-blockchain/

Bitcoin and the Future of Blockchain in International Payments Systems | American Express FX International Payments
https://www.americanexpress.com/us/content/foreign-exchange/articles/bitcoin-future-of-blockchain-in-international-payments-systems/

Digital Currency 'Still on the Agenda' at Russian Central Bank - CoinDesk
http://www.coindesk.com/russias-central-bank-theres-cautious-optimism-blockchain/

Sweden leads the race to become cashless society | Business | The Guardian
https://www.theguardian.com/business/2016/jun/04/sweden-cashless-society-cards-phone-apps-leading-europe?CMP=share_btn_tw

Untangling \u201cThe Business Blockchain\u201d | Marginalia
http://www.marginalia.online/untangling-the-the-business-blockchain/

How Blockchain Technology Will Disrupt Financial Services Firms - Knowledge@Wharton
http://knowledge.wharton.upenn.edu/artic/blockchain-technology-will-disrupt-financial-services-firms/

Lending Club And What It Means For Fintech - Forbes
http://www.forbes.com/sites/navathwal/2016/05/13/lending-club-and-what-it-means-for-fintech/#3a8efa68663b

On Settlement Finality - Ethereum Blog
https://blog.ethereum.org/2016/05/09/on-settlement-finality/

This Early Ripple Supporter is Using Ethereum to Rethink Banking - CoinDesk
http://www.coindesk.com/fidor-ethereum-core-banking/

How Your Wallet Will Become the Next Platform | Let's Talk Payments
https://letstalkpayments.com/how-your-wallet-will-become-the-next-platform/

A Bitcoin Exchange Just Got Approval to Operate Across the EU | WIRED
http://www.wired.com/2016/04/bitcoin-exchange-receives-approval-operate-across-eu/

BIP 75 Simplifies Bitcoin Wallets for the Everyday User | Bitcoin Magazine
https://bitcoinmagazine.com/articles/bip-simplifies-bitcoin-wallets-for-the-everyday-user-1461856604

Finance and Beyond: An Infographic Map of Bitcoin and the Emerging Blockchain Ecosystem | Bitcoin Magazine
https://bitcoinmagazine.com/articles/finance-and-beyond-an-infographic-map-of-bitcoin-and-the-emerging-blockchain-ecosystem-1461789453

Five European Fintech Startups To Watch - Forbes
http://www.forbes.com/sites/alisoncoleman/2016/03/25/five-european-fintech-startups-to-watch/#62caf5bc5484

Innovate Finance Global Summit: Top 100 Influencers and Brands
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Why different is better than better in Fintech
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Publicado el 30 de Agosto, 2016, 7:31

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Sabemos que la hipótesis de Riemann tiene algo que ver con la distribución de los primos. Ya aparecieron algunas series de sumas de inversos de naturales vs sumas de inversos de primos. Vimos que la sumatoria:

Puede expresarse como:

Donde p va recorriendo los números primos. (ver post)

Ese es un gran logro de Euler. Pero no se quedó ahí. También fue por más, con gran uso de su imaginación, y dando algunos saltos que hoy serían criticables. Veamos lo que hizo. Primero sacó logaritmo natural:

Luego, sabiendo que la expansión en serie del logaritmo natural es:

(fórmula debida a Mercator, que da la serie de Taylor, ver Natural Logarithm)

Queda que:

Agrupando por coeficientes:

Podemos poner para abreviar las sumatorias, letras A, B, C… quedando:

Ahora bien, B, C y demás, CONVERGEN. Porque, por ejemplo:

Y la serie de la derecha CONVERGE (un punto a demostrar más detenidamente). Entonces:

Donde K es una cierta constante. Este paso es delicado, pero la idea es ver que B > C > D…. y que la serie de sumas con factores ½, 1/3, ¼…. Termina convergiendo.

Pero la serie original, la serie armónica, la suma de los inversos de los números naturales, diverge. Entonces también diverge su logaritmo natural. Entonces A+K diverge. Pero K es una constante acotada. Queda que A diverge:

Entonces hay infinitos primos. Pues si hubiera una cantidad finita de primos, la suma de sus inversos no divergiría.

Pero Euler fue más allá. Invocó que:

Es decir, es el logaritmo natural de infinito. Porque

Con x = 1. Entonces, queda

En realidad, decimos que cuando x tiende a uno, la serie de la derecha diverge. Euler concluye:

Esto da alguna pauta de cómo van creciendo los primos. Seguramente Euler tenía en mente que la suma de los recíprocos de los primos MENORES que N, se acerca asintóticamente a log(log(n)).

Esta es la primera vez que aparece en esta serie de post, una relación entre una fórmula y los primos menores que n.

Ver también:

http://people.reed.edu/~jerry/131/nextprime.pdf
http://www.cut-the-knot.org/proofs/AfterEuler.shtml 
http://math.stackexchange.com/questions/487491/eulers-formula-for-primes
https://www.youtube.com/watch?v=r5F8fZS8bRU

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Publicado el 29 de Agosto, 2016, 7:33

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Is the neutrino its own antiparticle?
http://www.symmetrymagazine.org/article/is-the-neutrino-its-own-antiparticle

The Dirac comb function Sha
http://www.johndcook.com/blog/2015/12/22/the-dirac-comb-or-sha-function/

Quantum Mechanics of Many-Electron Systems | Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences
http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/123/792/714

Weyl Fermion: Long-Sought Massless Particle Finally Observed | Physics | Sci-News.com
http://www.sci-news.com/physics/science-weyl-fermion-massless-particle-03037.html

Charles Galton Darwin - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Galton_Darwin

Dirac delta function - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=J-oyM1GyyDk

BBC News - Mathematics: Why the brain sees maths as beauty
http://www.bbc.co.uk/news/science-environment-26151062

Electromagnetic Duality for Children
http://www.maths.ed.ac.uk/~jmf/Teaching/Lectures/EDC.pdf

Dirac Lecture 1 (of 4) - Quantum Mechanics - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=vwYs8tTLZ24

[math-ph/9902027] Preparation for Gauge Theory
http://arxiv.org/abs/math-ph/9902027

Taylor & Francis Online :: Did Dirac predict the positron? - Contemporary Physics - Volume 51, Issue 2
http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00107510903217214

Paul A. M. Dirac y el descubrimiento del positrón | Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/06/24/paul-a-m-dirac-y-el-descubrimiento-del-positron/

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Publicado el 28 de Agosto, 2016, 8:45

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En el anterior post, usamos las igualdades:


Para resolver la ecuación cuadrática. Lo interesante de la última expresión, es que es SIMETRICA ante las permutaciones de las raíces, y entonces, vimos que era expresable como función de los coeficientes de la ecuación original. ESTA PROPIEDAD todavía no la demostramos: pero todo polinomio simétrico de las raíces, se PUEDE EXPRESAR como polinomio de los coeficientes de la ecuación. En el caso anterior, pudimos llegar a:

Veamos de seguir un camino parecido en la resolución de la ecuación cúbica. Primero, vamos a tener tres raíces, digamos x1, x2, x3. Segundo, en vez de un radical de raíz cuadrada, aparecerá un radical de raíz cúbica. Y así como:

Tiene dos soluciones:

También entonces:

Tendrá TRES soluciones:

Donde alfa es una raíz cúbica primitiva de 1. Es decir:

Este alfa es solución de:

La expresión candidata para resolver la ecuación cúbica es similar a la de la cuadrática, y es:

Es interesante ver que la expresión de la derecha es SIMETRICA en las raíces, es decir, da el mismo resultado ante cualquier permutación de las raíces. Si intercambiamos x2 por x3, el resultado es el mismo.
Hay que tener en cuenta que la raíz cúbica NO SE CANCELA con la elevación al cuadrado. Al extraer raíz cúbica, vimos que podemos obtener TRES resultados distintos por cada valor que aparezca bajo la raíz.

El próximo paso es ver cómo todo esto se puede obtener como expresión de los coeficientes de la ecuación cúbica, así como antes habíamos usado los coeficientes de la ecuación cuadrática. Al fin, todas las fórmulas para resolver las raíces, deben de alguna forma partir de lo conocido, los coeficientes. Así hacíamos en el colegio cuando resolvíamos los ejercicios de la cuadrática.

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Publicado el 27 de Agosto, 2016, 14:33

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Barclays, U.K. Regulators Endorse Bitcoin in Deal With Startup - Bloomberg
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HSBC, RBS and Barclays plan to close 400 UK branches this year - sources | Daily Mail Online
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Here's why millennials aren't investing
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From bitcoin, to robo-advice, crowdfunding and regulatory sandboxes: Scott Morrison's fintech plan | Business Insider
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Cardano
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Startup funding is drying up and fintech is no exception - Quartz
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Central banks ponder effects of digital currencies- Nikkei Asian Review
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Publicado el 26 de Agosto, 2016, 6:16

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FINCHANNEL.com - Switzerland Becomes a Leading Centre of FinTech Innovation
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Ethereum Emerges, Bitcoin vs. "Bankchains" :: Blockchain Letter, March 2016 — Medium
https://medium.com/@PanteraCapital/ethereum-emerges-bitcoin-vs-bankchains-blockchain-letter-march-2016-7e53444bda3f#.xd776wyyf

FINTECH BRIEFING: UK regulator on robo-advisors - Business Insider
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The Experience Revolution: The Difference a Year Can Make - Midmarket today
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Poincenot invierte en la creación de tres empresas FinTech en Argentina | Inversor Latam
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Innovate Finance Global Summit 2016 – Building a better future for finance through FinTech
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Why Tennis Star Andy Murray Is Betting On Fintech And Ice Cream - Forbes
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Publicado el 25 de Agosto, 2016, 7:10

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20 Amazing Facts You Need To Know About Fintech | Call Levels App
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Wayniloans
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Eight Months Since Release, Ethereum Is Second Only To Bitcoin
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The Ether Review #16 - Dominic Williams, Synthetic Assets by Arthur Falls
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Microsoft\u2019s Marley Gray: Ripple and ILP Will Be the Fabric of Multi-Chain Future | Ripple
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Microsoft Explores Adding Ripple Tech to Blockchain Toolkit
http://www.coindesk.com/microsoft-hints-future-ripple-blockchain-toolkit/

Azure Blockchain as a Service update | Blog | Microsoft Azure
https://azure.microsoft.com/en-us/blog/azure-blockchain-as-a-service-update/

Ripple Releases Interledger to Connect Bank and Blockchain Worlds
http://www.coindesk.com/ripple-interledger-connect-bank-blockchain/

Streadata.io  BenzingaFintech Awards
http://benzingafintechawards.com/vote/streamdata-io/

The Next Billion-Dollar Insurer | TechCrunch
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How fintech can help banks harness KYC data | Blog | Thomson Reuters Financial & Risk
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Publicado el 22 de Agosto, 2016, 7:30

Comienzo hoy un gran, grande tema. Quiero visitar los conceptos y el andamiaje matemático que han dado las teorías de Einstein (la relatividad especial y la relatividad general), así como la relatividad de Galileo, luego adoptada por todos, desde Newton.

Hay varios lugares desde donde comenzar esta historia. Por ejemplo, explicando algo de las leyes de Newton,  o de su teoría de la gravedad, o desde el electromagnetismo y su discrepancia con las transformaciones de Galileo. Pero veamos de comenzar por algo simple.

Generalmente, cuando describimos un suceso (la caída de un rayo, en un "punto" de la pradera), podemos dar cuatro coordenadas:

x, y, z, t

Las tres primeras correspondientes a la posición espacial del suceso, y la cuarta es el tiempo. Esta tupla de valores indica un "punto" en el espaciotiempo. Esto es lo primero nuevo que encontramos en esta serie. Mientras es habitual hablar del "espacio", y también por otro lado del "tiempo", no lo es tanto tratar del "espaciotiempo". Por ahora, queda expuesto en lo de arriba: para describir un suceso, usamos cuatro valores, coordenadas no espaciales o temporales, sino del espaciotiempo.

Pero lo que un observador puedo poner en esos valores ante el suceso ocurrido, depende de su elección de sistema de coordenadas. Imaginemos que usamos un sistema de coordinadas que esté en reposo con respecto al observador del suceso. Hay mucho para discutir sobre conceptos como "en reposo", pero podemos manejarnos así en esta primera incursión.

Ahora imaginemos otro observador, que va viajando en un tren, en línea recta y con velocidad uniforme con respecto al primer observador. Entonces, el anota que el suceso ocurre en:

x', y', z', t'

valores correspondientes a su sistema de coordenadas, "fijo" a su tren. Podríamos discutir cómo hace este segundo observador para conseguir estos resultados. También podríamos discutir cómo hace el segundo observador para obtener la tupla primera, sin los tildes. Pero ahora, preguntémonos: ¿qué relación hay entre esta tuplas de valores? ¿cómo podemos pasar de uno a otro?

Primero, necesitamos saber la posición relativa de un observador al otro. Y también, si hay alguna diferencia en la orientación de sus sistemas de coordinadas. Por lo pronto, uno podría afirmar que:

t = t'

Es decir, que los dos observadores obtuvieron la misma coordenada temporal para el suceso. Pues bien, sorpresa! Hay algo acá que Einstein discutiría. Y lo haría por una buena razón: si adoptamos esta postura, que los tiempos son iguales para ambos observadores, llegaríamos a una contracción con experimentos del siglo XIX. Pero nos estamos adelantando. En el próximo post, veremos cuál es la relación entre ambas tuplas, según Galileo y Newton. Y tendremos que poner alguna primera definición de sistema de referencia y sistema inercial.

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Publicado el 21 de Agosto, 2016, 18:14

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Vimos en los post anteriores, cuando examinamos el caso espectro continuo, que se cumple:

Y

Lo notable, entonces, es que AMBAS funciones:

Representan el estado físico subyacente. Mientras que una es función de las coordenadas, la segunda es función de los valores posibles de la magnitud que estemos estudiando. Si conocemos una, conocemos la otra (provistas las autofunciones de f).

Esto es parte de la "magia" de la mecánica cuántica que estamos estudiando. Aclaremos algo de las autofunciones. En las expresiones de arriba, aparecen

,

Las primeras son las autofunciones de f en la representación q, mientras que las segundas son las autofunciones de q en la representación f. Es algo enrevesado, pero espero que vaya quedando más claron con el tiempo. Mientras, tratemos de responder un tema, ¿qué representan las funciones de las dos primeras ecuaciones de arriba?

Pues bien, la expresión:

Expresa la probabilidad de que el sistema tenga coordenadas dentro de un dq dado, es decir, se integra:

Mientras que, de forma análoga:

Expresa la probabilidad de que el sistema encuentre a la magnitud f en un df dado.

Notablemente, hay magnitudes físicas que pueden tener espectro continuo para un dominio de sus valores, y en otro dominio tener espectro discreto. Por ejemplo, un electrón ligado a un átomo exhibe un espectro discreto de energías, mientras que el mismo electrón, libre, puede tener un espectro continuo de energía. En un caso así, donde el sistema puede tener ambos espectros, una función de onda arbitraria se expresaría por un "mix" de:

Un ejemplo que exhibe espectro continuo, son los valores de las coordenadas q. Para conseguir su valor medio, basta multiplicar por q dentro de la integral:

Si recordamos nuestra definición de operador, que era algo que dado una función retorna una función:

El concepto de operador nos sirve para "estrujar" a la función de onda, y conseguir un resultado físico, en este caso, el valor medio de una magnitud, dentro de un dq (cuando las funciones de ondas están en representación de coordenadas q). Todo esto nos hace ver que el operador que hay que usar para conseguir el valor medio de las coordenadas es:

Es decir, simplemente multiplicar por q.

Para determinar las funciones propias (autofunciones) de las coordenadas, hay que trabajar sobre CADA punto de las coordenadas. Cada uno de esos puntos posibles tiene una función propia asociada. Se resuelve para cada punto q0, la ecuación:

Esto se cumple para:

O para:

Entonces es claro que:

Ha sido un largo camino de posts, pero todavía no tenemos una pista de cómo es en concreto una función de ondas, su expresión en coordenadas o en otra representación. Para conseguir esa expresión, no nos alcanza las matemáticas: tenemos que apelar a alguna pista física. Fue Schrodinger quien encontró una expresión. Ya comienza a ser tiempo de comentar algo sobre el tema, en los próximos posts.

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Publicado el 20 de Agosto, 2016, 18:01

Luego de comentar vectores, veamos un ejemplo de generalización en ciencia. Hasta ahora, Einstein/Infeld trataron movimientos en línea recta. Pero no son los más comunes en la naturaleza. Hace falta contemplar otros tipos de movimientos.

Mientras nos ocupemos únicamente del movimiento en línea recta estaremos lejos de comprender los movimientos observados en la naturaleza. Para entenderlos nos vemos obligados a estudiar movimientos sobre trayectorias curvas y determinar las leyes que los rigen. Esto no es asunto fácil. En el caso del movimiento rectilíneo, nuestros conceptos de velocidad, cambio de velocidad y fuerza resultaron muy útiles. Pero no se ve, inmediatamente, cómo los podremos aplicar al caso de trayectorias curvilíneas. Se puede evidentemente pensar que los conceptos vertidos resulten inadecuados para la descripción de cualquier movimiento y que debemos crear conceptos nuevos. ¿Nos convendrá seguir el camino anterior o buscar otro?

Aparece la generalización en ciencia:

La generalización es un proceso que se emplea muy a menudo en la ciencia. El método de generalización no está determinado unívocamente; hay, usualmente, numerosas maneras de llevarla a cabo. Sin embargo, debe satisfacerse un requisito: todo concepto generalizado se debe reducir al concepto original cuando se establecen las condiciones previas. Esto se entenderá mejor al aplicarlo al caso que nos ocupa. En efecto, se puede intentar la generalización de los anteriores conceptos de velocidad, cambios de velocidad y fuerza, para el caso del movimiento curvilíneo. Cuando se habla de curvas, técnicamente, se incluye entre ellas a las líneas rectas. La recta es un caso particular y trivial del concepto más general de curva. Luego, si introducimos la velocidad, el cambio de velocidad y la fuerza para el movimiento curvilíneo, estos conceptos quedan automáticamente definidos, también, para el movimiento rectilíneo. Pero este resultado no tiene que contradecir los previamente obtenidos. Si la curva se transforma en una línea recta, todos los conceptos generalizados tienen que transformarse en los que usamos en la descripción del movimiento rectilíneo. Esta restricción tío es suficiente para determinar la generalización unívocamente. Deja abiertas muchas posibilidades. La historia de la ciencia nos enseña que las generalizaciones más simples resultan a veces adecuadas y otras veces no. En nuestro caso resulta relativamente simple acertar con la generalización correcta. Los nuevos conceptos probaron su utilidad al permitirnos entender el movimiento de un cuerpo arrojado en el aire, como el movimiento de los cuerpos celestes, etc.

Como describen, la generalización no siempre es única, y si elegimos una generalización, no es seguro que sea la forma correcta de avanzar. Pongo como ejemplo notable de generalización el trabajo de Schrödinger (ver Las ecuaciones de Schrödinger, por Richard Feynman). Su ecuación no puede ser deducida: es necesario adoptarla, a partir de su correspondencia con un caso particular (ver La ecuación de Schrödinger).

No confundir generalización con inducción.

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Publicado el 16 de Agosto, 2016, 5:50

Hoy leo en el libro "Galielo ingeniero y la libre investigación", de Narciso Bassols Batalla:

La obra de Galileo, principalmente por sus estudios sobre el movimiento y las propiedades de la materia, estuvo acompañada de una serie de ingeniosos experimentos y mediciones que lo convierten en precursor de la tecnología moderna...

De acuerdo, pero yo pondría mejor ciencia moderna y tecnología.

... La caída libre de los cuerpos, su movimiento en medios fluidos, la mecánica de los proyectilos, etc., fueron examinados por Galileo tal como ocurren en la realidad...

Bueno, sí y no. Por una lado, Galileo examinó los movimientos de los proyectiles. Pero también examinó movimientos con experimentos, no con experiencias directas de la realidad. El gran mérito de Galileo es haberse dado cuenta de la utilidad de los experimentos, que a veces modificando las experiencias directas, como en el caso del uso del plano inclinado en sus experimentos sobre el movimiento, permiten un mejor estudio de los fenómenos.

... Más tarde, Newton encontró el primero de una serie de criterios numéricos que permiten correlacionar, para fines prácticos, las magnitudes que determinan esos fenómenos. Los procesos de la tecnología moderna se basan en tales procedimientos; el método es inductivo, en general, y se apoya en las observaciones experimentales, más que en racionalizaciones deductivas. Las correlaciones son empíricas y sólo se les exige congruencia entre las unidades de medición y las dimensiones físicas.

Protesto. De nuevo, pondría "ciencia moderna", en lugar de tecnología. Pero aún así, la tecnología no se basa en procedimientos numéricos, inducciones y correlaciones. Se basa en los resultados de la ciencia, y ésta, aún en la física, no es simple fórmulas y relaciones, ni mucho menos simple inducción. Newton, por ejemplo, pone los conceptos de fuerza, sus leyes, el criterio que el efecto de una fuerza es cambiar el movimiento, y si un cuerpo mantiene su masa, cambia su velocidad en presencia de una fuerza. Puso una fuerza de gravedad, y no la dedujo por inducción, sino que la ideó y luego la postuló para todos los cuerpos, y vió que permitía explicar el movimiento de la luna, las leyes de Kepler, y los movimientos terrestres. No fue un procedimiento numérico, ni una simple inducción basada en repetidos casos. Temo que no puedo estar de acuerdo con el párrafo de arriba. Pensar así de la obra de Newton y aún de la de Galileo, es no saber reconocer lo que fueron.

Nos leemos!

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Publicado el 15 de Agosto, 2016, 17:11

Es sabido que Galileo se opuso a las afirmaciones aristotélicas sobre la caída de los cuerpos. No aceptaba que cuerpos más pesados cayeran más rápido que cuerpos más livianos, y expuso tanto deducciones en contrario como experimentos para socavar esas concepciones. En estos días leo un fragmento de unas de sus cartas, donde descubro las primeras motivaciones para rechazar a Aristóteles en esos temas:

Resta por último [decía] que presente las razones que además de la experiencia, confirman mi proposición; aunque, para asegurar al intelecto, donde está presente la experiencia no es necesaria la razón: la presentaré, sin embargo, en vuestro beneficio, y además, porque antes me convenció la razón de que me aseguraraon los sentidos. Tropezando con el texto de Aristóteles, en el cual da por manifiesta su proposición, sentí de súbito una gran repugnancia intelectual; cómo podría ser que un cuerpo 10 o 20 veces más pesado que otro debiese caer con una velocidad 10 o 20 veces mayor; y me acordé de haber visto en las tempestades caer revueltos pequeños granos de granizo con otros medianos y otros 10 o más veces mayores, y que estos últimos no anticipaban su llegada a la Tierra, ni menos parecía creíble que los pequeños se hubieran movido un poco antes de los más grandes. De ahí, discurriendo un poco más, me formé un axioma que no sería puesto en duda por nadie, y supuse que cualquier cuerpo pesado al caer tendría una velocidad propia, limitada y prefijada por la naturaleza.

Es parte de sus Apostillas a Rocco, escritas en 1634. Lo encuentro en el libro "Galileo ingeniero, y la libre investigación", de Narciso Bassols Batalla.

Es interesante su afirmación que primero lo convenció la razón, aunque basada en sus recuerdos de la experiencia del granizo. Este origen no lo había leido en ningun lado.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 14 de Agosto, 2016, 8:00

Einstein creó y desarrolló dos teorías de la relatividad: la especial y la general. Mientras que la primera apareció en sus publicaciones de 1905, la segunda fue apareciendo de a poco, a lo largo de los años, mostrando el esfuerzo que puso el físico teórico en su invención. Podemos decir que comienza con un germen de idea en 1907, y comienza a florecer, ya con bases sólidas, a finales de 1915. Luego, los siguientes años fueron de confirmación experimental y mayor desarrollo teórico.

Quiero en esta serie de posts describir algunos de esos hitos en el desarrollo de la teoría, pero orientado a un tema en particular: a mediados de 1915, Einstein presenta sus ideas (incompletas) en una conferencia donde asiste David Hilbert, el gran matemático, y ambos se conocen y congenian. Hilbert queda fascinado por las ideas de Einstein, pero se da cuenta que le faltan desarrollo, especialmente matemático. Einstein siempre confiaba en su capacidad de intuición física, pero esta vez, tuvo que aprender y solicitar ayuda en matemáticas para poder tener las herramientas adecuadas para presentar su teoría. Hilbert quizás pensó con condescendencia sobre las ideas de Einstein, al ver que éste estaba luchando todavía con las matemáticas, en un tema que al matemático le parecía que podía desarrollar.

Y eso es lo que pasó: Hilbert comenzó a trabajar por su cuenta, en formular no ya una teoría general de la relatividad, sino en algo más ambicioso: los fundamentos de la física, basado en las ideas de Einstein y otras, como las de Mie sobre electrodinámica. Y casi lo logra: hacia noviembre de 1915 tiene ya preparado su primer "paper" del tema. Mientras, en ese mismo mes, Einstein, sabiendo del avance que está haciendo Hilbert, prepara cuatro conferencias sobre su trabajo, y recién entre la tercera y la cuarta encuentra el desarrollo que le permite dar forma a su teoría (cerca de la tercera conferencia, el 18 de noviembre, es cuando Einstein consigue explicar el movimiento anómalo de Mercurio en su órbita, una gran hazaña para él y su teoría).

Me serviré como fuente principal del excelente libro "Einstein, Hilbert and The Theory of Gravitation", de Jagdish Mehra.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
@ajlopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 13 de Agosto, 2016, 17:42

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En el post anterior vimos que autovalores distintos de un operador hermítico corresponden a autovectores que son ortogonales entre sí. Eso nos brinda la esperanza de poder expresar todos los vectores de estados por una base de autovectores ortogonales. Pero no nos apresuremos. Examinemos el tema.

Primero ¿qué pasa si los autovalores son iguales y corresponden a autovectores distintos, linealmente independientes? Entonces, esos dos autovectores se pueden reemplazar por un par que sea ortogonal. En general, se deja un autovector sin cambio, y el otro se ajusta hasta que sea ortogonal al primero. En espacios vectoriales eso se puede hacer. Ahora bien, las combinaciones lineales de los dos autovectores originales, y las de los dos nuevos autovectores ortogonales COMPARTEN EL MISMO AUTOVALOR del que habíamos partido.

Con esto tenemos:
- Hay casos donde un autovalor tiene un solo autovector independiente, y todos los múltiplos de este autovector, son autovectores del autovalor original
- Hay casos donde un autovalor tiene varios autovectores linealmente dependientes, que forman un subespacio vectorial donde todos los vectores son autovectores del autovalor original, y siempre se puede tomar una base ortogonal de autovectores

En varios textos aparece que, teniendo los autovalores, y los autovectores correspondientes ortogonales, se puede expresar asi todo vector de estado. Ese conjunto de autovectores se llama entonces completo. Es decir, forman una base que genera todo el espacio vectorial de estados posibles.

En los próximos posts examinaremos si este es el caso (resultará que no es verdad en general, porque hay espacios de infinitas dimensiones donde esto no se cumple).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 10 de Agosto, 2016, 7:40

Los movimientos examinados son en línea recta. Desde los tiempos de Aristóteles que se tratan movimientos rectos y otros en curva. Curiosamente, el griego los separó, como diferentes, dado el conocimiento que entonces tenía. Pero en la física de estos últimos siglos, se han ido unificando. Podemos decir que es la primera gran unificación: para el griego, los movimientos curvos pertenecían al cielo, como algo totalmente separado de la experiencia terrenal. Ahora escriben Einstein e Infeld:

Los movimientos que hemos considerado son rectilíneos, esto es, a lo largo de una línea recta. Ahora debemos dar un paso hacia adelante. Resulta más fácil entender las leyes de la naturaleza si analizamos los casos más simples dejando de lado, al principio, los casos más complejos. Una línea recta es más simple que una curva. Sin embargo es imposible quedarnos satisfechos con un entendimiento del movimiento rectilíneo únicamente. Los movimientos de la Luna, de la Tierra y de los planetas, a los que, precisamente, se han aplicado los principios de la mecánica con éxito tan brillante, son todos movimientos curvilíneos. Al pasar del movimiento rectilíneo al movimiento a lo largo de una trayectoria curva, aparecen nuevas dificultades. Debemos tener la valentía de sobreponernos a estas dificultades, si deseamos comprender los principios de la mecánica clásica que nos dieron las primeras claves y que constituyen el punto inicial en el desarrollo de esta ciencia.

Y lo próximo que presentan, es el concepto de vector, que ha permeado la física, hasta llegar a la mecánica cuántica inclusive:

El resultado de medir cierta longitud se expresa como determinado número de unidades. La longitud de una barra es, por ejemplo, de 3 metros y 7 centímetros; el peso de un objeto, 2 kilos y 300 grs.; determinado intervalo de tiempo se dará en tantos minutos y segundos. En cada uno de estos casos, el resultado de la medida es expresado por un número. Un número solo es, sin embargo, insuficiente para describir algunos conceptos físicos. El reconocimiento de este hecho marca un notable progreso en la investigación científica. Para caracterizar una velocidad es tan esencial indicar su dirección como el número que determina su valor. Tal magnitud se llama vectorial- se representa por una flecha o vector. Es decir, la velocidad puede ser representada por una flecha o vector cuya longitud, en determinada escala o unidad, mide su rapidez, y cuya dirección es la del movimiento.

Me gusta descatar "El reconocimiento de este hecho marca un notable progreso en la investigación científica". Hay veces que conceptos que ya hoy en día nos parecen comunes, no eran evidentes en su tiempo. Es bueno que Einstein e Infeld reconozca tal cosa, en la evolución de la física.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 7 de Agosto, 2016, 11:51

Parece que fue ayer que comenzó el año, y ya estamos más cerca del final que del principio. Comenzando un nuevo mes, voy a publicar las resoluciones para agosto, pero primero, repaso de las de julio:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [pendiente]
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [pendiente]
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre teoría de números [pendiente]
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemman [pendiente]
- Comenzar una serie sobre los azulejos de Wang [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Estuve ocupado estudiando y escribiendo sobre:

El concepto de fuerza en Newton, por Einstein e Infeld
Fuerza y movimiento, por Einstein e Infeld
Arnold Sommerfeld recordando a Felix Klein y a Röntgen
Desarrollo de la Mecánica Cuántica, por Max Born (1) (2) (3) (4) (5) (6)
Mecánica de Ondas, por Arnold Sommerfeld (1)
Los tres primeros minutos, por Stephen Weinberg (1) (2)
Heisenberg y Schrödinger, por Dirac
Recuerdos de Heisenberg
Dedekind y la Teoría de Galois, por Edwards
Teoría de Galois (1) (2)
Los Babilonios y la Ecuación de Segundo Grado

Como ven, hubo mucho de historia de la física moderna, y sobre la teoría de Galois.

Para este mes, mis resoluciones son:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre teoría de Galois
- Comenzar una serie sobre los azulejos de Wang
- Estudiar blues en guitarra

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 6 de Agosto, 2016, 16:03

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Veamos hoy de mostrar el teorema:

Los autovectores correspondientes a autovalores distintos de un operador hermítico, son ortogonales.

Apenas hemos empezado insinuar, en el post anterior, los autovalores de operador hermítico, con algo físico: los valores posibles de una magnitud física. Como magnitud, toma valores reales. Y los autovalores de un operador hermítico son reales. Cada autovalor tiene asociado un subespacio vectorial de autovectores. Lo que queremos mostrar con el teorema de arriba que los espacios vectoriales de autovalores distintos de un mismo operador, dan 0 cuando se multiplican usando la multiplicación interna de vectores.

Sea un operador A y dos autovectores, autovalores:

Y

Sea ese operador A hermítico, recordemos que entonces cumple:

Para cualesquiera pares de vectores. De esta relación deducimos:

Se sigue:

Sustituyendo por los autovalores:

Pero a2 es real, por ser autovalor de un operador hermítico, entonces:

También sabemos que:

Quedando:


Si a1 es distinto de a2, entonces los autovectores son ortogonales:

Va surgiendo toda una serie de propiedades relacionados con los operadores hermíticos. Notablemente, estos operadores representan las variables físicas. Es algo extraño: mientras que los vectores representan estados de un sistema físico, al usar operadores sobre los vectores, es como que le "extraemos" una variable física por CADA operador hermítico adecuado.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 5 de Agosto, 2016, 6:54

Ayer publiqué sobre el descubrimiento de Galileo de los efectos de una fuerza. El concepto de fuerza es uno de las ideas claves de la física que tardó tiempo en madurar. Leo hoy en "La evolución de la física" de Einstein e Infeld:

Hemos estado haciendo uso de dos conceptos que tienen papel principal en la mecánica clásica: fuerza y cambio de velocidad. En el desarrollo ulterior de la ciencia, ambos conceptos se ampliaron y generalizaron. Por eso debemos examinarlos más detenidamente. ¿Qué es una fuerza? Intuitivamente sentimos qué es lo que se quiere significar con este término. El concepto se originó en el esfuerzo, sensación muscular que acompaña a cada uno de los actos de empujar, arrastrar o arrojar. Pero su generalización va mucho más allá de estos  sencillos ejemplos. Se puede pensar en una fuerza aun sin imaginarnos un caballo tirando de un carruaje. Hablamos de la fuerza de atracción entre la Tierra y el Sol, entre la Tierra y la Luna, y de las fuerzas que producen las mareas. Se habla de la fuerza con que la Tierra nos obliga, como a todos los objetos que nos rodean, a permanecer dentro de su esfera de influencia, y de la fuerza con que el viento produce las olas del mar o mueve las ramas de los árboles. Dondequiera que observemos un cambio de velocidad, debemos hacer responsable de ello a una fuerza exterior, en el sentido general de la palabra. Al respecto escribe Newton en sus Principia:

"Una fuerza exterior es una acción que te ejerce sobre un cuerpo, con el objeto de modificar su estado, ya de reposo, ya de movimiento rectilíneo y uniforme".

"La fuerza consiste únicamente en su acción y no permanece en el cuerpo cuando deja de actuar aquélla. Pues un cuerpo se mantiene en cualquier nuevo estado que adquiera, gracias a tu vis inertiae únicamente. Las fuerzas pueden ser de origen muy distinto, tales como de percusión, presión o fuerza centrifuga".

Es interesante ver cómo el concepto de fuerza fue evolucionando, y tal vez desapareciendo del foco con otras aproximaciones como los métodos variacionales.

Ver post relacionados:

Espacio y Tiempo en Newton
Los Principia de Newton
Las leyes de movimiento de Newton
Mecánica Clásica

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 4 de Agosto, 2016, 7:36

Hace un tiempo escribí:

El gran misterio, por Einstein e Infeld
El problema del movimiento, por Einstein e Infeld

Veamos hoy cómo Galileo, al estudiar el movimiento, encuentra la solución al problema: que es lo que cambia cuando hay fuerzas.

En una buena novela de aventuras la clave más evidente conduce a menudo a suposiciones erróneas. En nuestro intento de entender las leyes de la naturaleza encontramos, también, que la explicación intuitiva más evidente es, a menudo, equivocada.

El pensamiento humano crea una imagen del universo, eternamente cambiante. La contribución de Galileo consiste en haber destruido el punto de vista intuitivo, que reemplazó con uno nuevo. En eso consiste la significación fundamental del descubrimiento de Galileo.

Aquí se nos presenta, inmediatamente, un nuevo problema: ¿qué cosa, en el movimiento de un cuerpo, indicará la acción de fuerzas exteriores, si la velocidad no la revela? La respuesta a esta interrogación la encontró Galileo. Pero se debe a Newton su formulación precisa, que constituye una guía más en nuestra investigación.

Simplificando el experimento, Galileo puede ir descubriendo el enigma:

Para descubrir dicha respuesta debemos analizar ahora más profundamente el caso del carrito en movimiento sobre una calle perfectamente lisa. En nuestro experimento ideal, la uniformidad del movimiento se debía a la ausencia de toda fuerza externa. Imaginemos que nuestro móvil reciba una impulsión en el sentido de su desplazamiento. ¿Qué sucederá entonces? Resulta obvio que su velocidad aumentará. En cambio, un empuje en sentido opuesto haría disminuir su velocidad. En el primer caso el carruaje aceleró y en el segundo aminoró su velocidad; de esto surge en el acto la conclusión siguiente: la acción de una fuerza exterior se traduce en un cambio de velocidad. Luego, no es la velocidad misma sino su variación lo que resulta como consecuencia de la acción de empujar o arrastrar. Galileo lo vio claramente y escribió en su obra Dos ciencias nuevas:

"... Toda velocidad, una vez impartida a un cuerpo, se conservará sin alteración mientras no existan causas externas de aceleración o retardo, condición que se cumple claramente sobre planos horizontales; pues el movimiento de un cuerpo que cae por una pendiente se acelera, mientras que el movimiento hacia arriba se retarda; de esto te infiere que el movimiento sobre un plano horizontal sea perpetuo; pues, si la velocidad es uniforme, no puede disminuirse o mermarte, y menos aun destruirse"

Siguiendo la clave correcta, logramos un entendimiento más profundo del problema del movimiento.

Lo mismo hará Einstein, siglos más tarde de Galileo, usando una clave correcta para descubrir la gran simetría que existe en todos estos temas. Clave (la equivalencia de la masa inercial y la masa gravitatoria) que había pasado desapercibida.

Nos leemos!

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