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Publicado el
18 de Mayo, 2013, 7:30
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Ya definimos algunos conceptos importantes en espacios topológicos <X, T>. Repasemos:
Los elementos de T son conjuntos (subjconjuntos de X) y se llaman abiertos, cumpliendo con las propiedades de topología
Llamamos entorno E de x es todo conjunto E que contenga A UN conjunto abierto que contenga a x
Un conjunto C (incluído en X) es cerrado en <X,T> cuando X - C (su complemento a X) es abierto (es elemento de T)
El punto a es de acumulación del conjunto B, si todo entorno de a tiene puntos en B distintos del propio a (notemos que B es un conjunto cualquiera, subconjunto de X, no necesariamiente es ni abierto ni cerrado).
Intuitivamente, los puntos de acumulación de B están "muy cercanos" a B, nunca logramos "separarlos" de B. El punto a, si es de acumulación de B, siempre está como "pegado" a B. Podemos visualizar (de nuevo, "ver" es "intuir" en este contexto):
El punto a, puede que esté o no en B. Pero por más entornos que elijamos, siempre tienen puntos que están en B. Entonces el punto a es de acumulación. Vean que el punto c, perteneciente a B, y totalmente interior a él, también es de acumulación. Dibujé el conjunto B con un contorno de líneas y puntos, como para destacar que puede ser abierto, cerrado o ninguno de los dos.
Veamos un conjunto abierto A:
Ahora podemos visualizar el conjunto cerrado C = X - A (imaginando que X es como un rectángulo):
El punto d, que está ahí justo en la "frontera", tiene entornos que siempre tienen puntos de C, distintos del propio d. Por más que pongamos entornos cada vez más pequeños, siempre "tocan" a parte de C.
Bien, dicho esto, tengo que advertir: TODO ESTO ES INTUICION. Estamos trabajando imaginando que nuestra topología es continua, que lo que dibujamos como conjuntos tienen puntos que si son cercanos en nuestro dibujo, son cercanos también en nuestra topología. Es decir, estamos manejando intuitivamente una topología sobre el plano real, la topología más usual para ese plano. Los matemáticos se sirven de la intuición, y mucho, además de la analogía y otras ideas más locas. Pero en algún momento, para avanzar, tienen que poner en firme algunas de esas ideas, y ahí aparece el teorema y la prueba. Tal vez en nuestro sistema educativo se ha puesto más énfasis en aprender teoremas y sus pruebas, que en jugar a hacer matemáticas.
Pero también el teorema y la prueba es parte del juego. Termino hoy con algo a probar: vean que parece que todos los puntos de acumulación de un conjunto cerrado LE PERTENECEN. Traten de imaginar un punto de acumulación de C que esté en A, que pertenezca a A. Hmmm... no parece que haya ninguno. Pues bien, ése es el caso, no solo para la topología intuitiva de estos dibujos, sino para todo espacio topológico que se precie de serlo. ¿Pueden demostrarlo? Les dejo tarea para el hogar, sino lo vemos en el próximo post.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
17 de Mayo, 2013, 8:06
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Hace tiempo que no publico algo sobre el Café Filosófico. Hay cuatro sesiones los fines de semana, en Buenos Aires. Para conocer más detalles, ver
http://filosofiaparalavida.com.ar/cafefilosofico.htm
donde está detallado datos de contacto, costo, lugar, horarios.
El tema que para este fin de semana es:
COMO NOS VEMOS ANTE LOS OJOS DE LOS DEMAS:
LA INFLUENCIA DE LA MIRADA DEL OTRO EN LA
CONFORMACION DE LA PROPIA IDENTIDAD
Leo (el texto está sin acentos, lo envían así por correo electrónico):
Durante la primera hora de exposicion teorica hablaremos sobre como nos vemos ante los ojos de los demas a partir de la influencia de la mirada del otro en la conformacion de la propia identidad. Les recomendamos muy especialmente este encuentro, por el material valioso que ofreceremos. Existen pocos deseos mas fuertes que el de ser considerado alguien digno de respeto y valorado por demas. Y pocos miedos mayores que el de ser visto por los demas como alguien de poca valia, "fracasado" o "perdedor". Se puede decir que cualquier vida adulta se define por dos grandes historias de amor. La primera –la que narra nuestra busqueda del amor sexual- es bien conocida, incluso en detalle. La segunda –la historia de nuestra busqueda del amor del mundo- es un relato mas secreto y vergonzoso. Y, sin embargo, esta segunda historia de amor no es menos intensa que la primera. El deseo de aprobacion, la ansiedad por el estatus, la conformacion de la propia identidad a traves de la mirada del otro, son temas de los que no se habla mucho y que abordaremos a traves de dos autores que han desarrollado brillantemente el tema. Uno de ellos es Albert Ellis, uno de los creadores de la terapia racional-emotiva, y otro –en el que nos detendremos mas- es el filosofo suizo Alain de Botton. Las angustias y las inseguridades que nos provoca la imagen que los demas se hacen de nosotros. Con la ayuda de la psicologia, la politica y la economia, este filosofo se plantea diferentes motivos de esa angustia, se centra en una serie de formas de sobrellevarla que se han utilizado a lo largo de la historia como la filosofia, el arte, el cristianismo (desde una perspectiva filosofica, no religiosa) y la bohemia. En que medida deberia importarnos lo que los demas piensan de nosotros? Que papel juega en la conformacion de la propia imagen la mirada que los demas tienen sobre nosotros? Veremos ejemplos sorprendentes y anecdotas extraordinariamente divertidas en el contexto de un trabajo provocador y ameno a la vez que inteligente y practico. Como abordan la ansiedad por el reconocimiento los antiguos filosofos griegos, la tragedia griega, la comedia, la politica y, en terminos generales, la sociedad contemporanea. Las cinco causas fundamentales de la ansiedad por el reconocimiento de los demas. El esnobismo. El problema creado por las sociedades que generan expectativas ilimitadas en sus integrantes. Que rol tiene la suerte en la explicacion de los logros y los errores? Que factores producen ansiedad por el reconocimiento? La opinion publica, es o no la peor de las opiniones? El rol de la filosofia frente al deseo de ser valorado por los demas. El miedo a fracasar. La conexion entre el dinero y el bienestar. El sentido de comunidad. Cuales han sido las personas mas valoradas en distintas sociedades? (un contraste significativo y tambien muy gracioso sobre los distintos valores que rigen y han regido en diversas culturas).
Las contradicciones de la fama. El caracter volatil del talento. En la parte en la que desarrollaremos el pensamiento de Alberte Ellis sobre este tema, partiremos de una pregunta que formula este autor: Es la aprobacion de los demas un deseo o una necesidad? Formas posibles de aceptar la desaprobacion de los demas. Como tolerar las criticas negativas y utilizarlas en nuestro propio beneficio. Razones por las que buscar la aprobacion de los demas puede convertirse en una forma de sabotearse a uno mismo. El budismo, el taoismo y la necesidad de aprobacion de los demas.
Albert Ellis. Alain De Botton. William James. Bertrand Russell. Marco Aurelio. Chamfort
(Mas abajo incluimos un fragmento sobre el tema propuesto)
"Por que nos afecta la falta de amor? Tal vez por la incertidumbre respecto a nuestra propia valia. Pero tenemos pruebas de nuestra inteligencia y de nuestra estupidez. La falta de atencion suele acentuar la opinion negativa que tenemos sobre nosotros mismos, mientras que una sonrisa o un cumplido suscitan la sensacion opuesta.
Parece que para soportarnos dependemos de los afectos ajenos, nuestro ego seria como un globo con grietas, siempre necesitado del amor externo para mantenerse inflado y siempre vulnerable a los mas nimios pinchazos de la desatencion. Esto tiene algo de absurdo. Nuestro humor puede agriarse si un colega nos saludo distraidamente y si no nos devuelven las llamadas, pero podemos sentir que la vida vale la pena cuando alguien recuerda nuestro nombre y nos manda una caja de bombones. Por tanto, no deberia sorprendernos que desde la esfera emocional nos despierte ansiedad el lugar que ocupamos en el mundo.
Esa posicion a menudo, para bien o para mal, determinara la cantidad de amor que nos ofrezcan y nuestra propia autosatisfaccion".
"Montaigne dice que hay tres tipos de inadecuacion, la primera consiste en no sentirse comodo con el propio cuerpo, la segunda es la que consiste en sentirse desaprobado, y la tercera es la inadecuacion intelectual, la sensacion de que no somos todo lo inteligentes que deberiamos ser. El filosofo frances brindo soluciones posibles para cada una de ellas".
"El hecho de batirse a duelo simboliza una incapacidad radical para creer que nuestro estatus puede ser asunto nuestro, algo que decidimos y que no revisamos en funcion de los cambiantes juicios de nuestro publico. Para el duelista, el unico factor que determina su opinion sobre si mismo es lo que otras personas piensan de el. No puede seguir considerandose aceptable cuando quienes lo rodean lo encuentran malvado o deshonroso, o lo consideran un cobarde o un fracasado, un estupido o un afeminado. Tanto depende su propia imagen de las ideas ajenas, que el sujeto prefiere morir de un disparo antes que permitir que la concurrencia albergue ideas desfavorables sobre su persona".
(Los tres fragmentos son de Alain de Botton)
Habría tanto para comentar. Yo agregaría que importan también las consecuencias de lo que uno hace, independientemente del aprecio social o el alimento del ego que eso implique. Interesante los tipos que enumera Montaigne, no los conocía.
Post relacionados:
La Soledad en Café Filosófico (vean ahí un video de una sesión)
Leer entre líneas
El Arte de Elegir en Café Filosófico
Café Filosófico
Mentes Abiertas, en Café Filosófico
Café Filosófico, Las trampas del deseo, Dan Airely
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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15 de Mayo, 2013, 5:10
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Publicado el
9 de Mayo, 2013, 9:36
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Tengo varios enlaces a explorar del tema, además de libros. Por ahora, esta tercera entrega:
Additive Geometric Patterns of Resemblance
http://www.xamuel.com/geometric-patterns-of-resemblance/
Bill Thurston « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/08/22/bill-thurston/
On sets defining few ordinary lines « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/08/24/on-sets-defining-few-ordinary-lines/
A trivial remark about schemes « What"s new
http://terrytao.wordpress.com/2012/09/05/a-trivial-remark-about-schemes/
From Poisson To String Geometry | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/09/from_poisson_to_string_geometr.html
Connection (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Connection_(mathematics)
Connection (principal bundle) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Connection_(principal_bundle)
Cartan connection - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Cartan_connection
Affine connection - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_connection
How To Use the Covariant Derivative Part 1 - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=XDUn4BibPTc
PH212 - Physical Mathematics II - Spring 2011
http://cosmology.kaist.ac.kr/pm2/
Skew coordinates - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Skew_coordinates
One-form - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/One-form
University of Toronto Mathematics - Geometry and Topology core course
http://www.math.toronto.edu/~mat1300/
The Geometry of Projective Space on Vimeo
http://vimeo.com/40243261
Symmetry and the Fourth Dimension (Part 4) « Azimuth
http://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/07/26/symmetry-and-the-fourth-dimension-part-4/
SnapPy — SnapPy 1.6.0 documentation
http://www.math.uic.edu/t3m/SnapPy/
Monge biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Monge.html
Lecture 6 page 1 at 100 DPI -- 6.885, Folding and Unfolding in Computational Geometry, Prof. Erik Demaine
http://courses.csail.mit.edu/6.885/fall04/erik_notes/100dpi/L6-1.html
D¨urer"s Magic Square, Cardano"s Rings, Prince Rupert"s Cube, and Other Neat Things
http://www.math.usma.edu/people/rickey/papers/ShortCourseAlbuquerque.pdf
El cubo de Ruperto, o cuál es el cubo de mayor tamaño que puede atravesar a otro cubo - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/el-cubo-de-ruperto-o-cual-es-el-cubo-de-mayor-tamano-que-puede-atravesar-a-otro-cubo/
Geometry History - Interesting Facts & Information
http://www.kidsmathgamesonline.com/facts/geometry/history.html
Mis Enlaces
http://delicious.com/ajlopez/geometry
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4 de Mayo, 2013, 11:18
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2 de Mayo, 2013, 16:42
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1 de Mayo, 2013, 16:32
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Sigamos con este tema de demostrar el teorema de Hilbert. Sea R un anillo noetheriano (todo ideal es finitamente generado), y sea R[X] el anillo de polinomios en la variable x.
Sea I[X] un ideal de R[X], es decir, un conjunto de polinomios (subconjunto de R[X]) cerrado por la suma y la resta, y cerrado por la multiplicación por cualquier polinomio de R[X].
Es decir, dos polinomios cualesquiera de Q(x), P(x) de I[X], y cualquier polinomio S(x) de R[X], cumplen
No voy a discutir en esta prueba anillos R que no sean conmutativos. Pero la prueba sería la misma, solamente tendría que hablar de "ideal a la izquierda" o "ideal a la derecha", en vez de simplemente "ideal".
Para fijar ideas, sea R el anillo de los enteros. Entonces, podría ser que tengamos en I[x] dos polinomios como:
Cuando intenté probar el teorema por primera vez, me detuve en polinomios del ideal como estos dos. Me pregunté: ¿qué puedo asegurar del ideal? Primero me detuve en los coeficientes "sin x", en este caso, 7 y 3, respectivamente. Se puede ver que los coeficientes libres de I[x] forman un anillo en R: porque sumados dos de esos coeficientes, que se encuentren en dos polinomios de I[X], su resultado estará presente como coeficiente libre en el polinomio suma, también en I[x]. Con los polinomios de arriba, es fácil ver que todos los enteros estarán presentes como coeficientes libres, pues el máximo común divisor de 7 y 3 es 1: el ideal generado por 7 y 3 coincide entonces con todos los enteros.
Pero no llegué muy lejos por ese camino. Es más interesante ver los coeficientes principales, es decir, los asociados al término del polinomio de mayor grado. En los dos polinomios de arriba, son 3 y 5, respectivamente. De nuevo, se puede ver que los coeficientes principales de los polinomios de I[x] forman un ideal. Pero, ¿cómo es eso? ¿Cómo conseguimos, por ejemplo, un polinomio que tenga como coeficiente principal a la suma de 3 y 5? No podemos simplemente sumar los polinomios de arriba: 3 y 5 pertenecen a términos de distinto grado. Pero podemos recordar que cualquiera de esos polinomios de I[x] lo podemos multiplicar por cualquiera de los R[x]. Entonces, multiplicamos
Por el polinomio apropiado de R[x], como uno de primer grado:
Quedando un polinomio de segundo grado, que sigue estando en I[x], por ser éste un ideal, cerrado a las multiplicaciones por R[x]:
Ahora sí podemos sumar este nuevo elemento de I[x] al primer polinomio quedando:
Por ser I[x] ideal cerrado a las sumas, este nuevo polinomio es de I[x]. Albricias! Hemos conseguido un polinomio con coeficiente principal 8 = 5 + 3. Entonces, hemos demostrado, informalmente, que los coeficientes principales de los polinomios elementos de I[x] son cerrados para la suma. De la misma forma podemos probar que son cerrados por la resta.
Como cualquier elemento de I[x] se puede multiplicar por cualquier elemento de R[x], y el resultado sigue estando en I[x], nos basta multiplicar cualquier polinomio P de I[x] por un número r de R, para ver por cada coeficiente principal a presente en I[x], la multiplicación r*a TAMBIEN está en algún polinomio de I[x]. Es decir, los coeficientes principales de los polinomios de I[x] SON CERRADOS ante la multiplicación por R.
Con estas propiedades, hemos demostrado:
- Los coeficientes principales de I[x] son un ideal en R
Como hemos supuesto que R es noetheriano, entonces:
- El ideal de los coeficientes principales es generado finitamente
Es decir, hay un conjunto finito de esos coeficientes que genera todos los demás.
Y acá está la primera punta para demostrar el teorema de Hilbert. Dado ese conjunto de m elementos de R:
podemos encontrar por CADA UNO, un polinomio de I[x] que lo tenga como coeficiente principal, y QUE SEA DEL MENOR GRADO que encontremos en I[x] para ese coeficiente:
...
Todos esos polinomios están en I[x]. Sus combinaciones con polinomios cualesquiera de R[x]:
generan un ideal, digamos, I1[x], que está evidentemente contenido en I[x], pues cada uno de los sumandos de la expresión de arriba está a su vez en I[x]. Si este nuevo ideal I1[x] es igual a I[x], el teorema queda demostrado.
Tenemos que tratar qué pasa cuando I1[x] es MENOR que I[x]. Cuando esto pasa, entonces algunos polinomios no lograron generarse con los m polinomios que encontramos en el primer paso. Veremos cómo tratarlos en el próximo post.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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29 de Abril, 2013, 7:30
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Veamos en esta nueva serie de posts de demostrar un teorema clásico, enunciado primeramente por Fermat. La historia del teorema es muy interesante, pero eso será tema para un post aparte. ¿Qué vió Fermat? Estaba interesado en cómo expresar números naturales, por multiplicaciones o por sumas. Fue el gran refundador de la teoría de números. Al investigar divisibilidad, se interesó por los números primos (ver mi serie sobre Números primos), los números cuyos únicos divisores naturales son el 1 y ellos mismos. Forman una serie infinita que comienza con:
Ya desde la antigüedad se sabía que había infinitos primos. Excepto el 2, todos son impares. A Fermat le interesaban cuáles números naturales eran suman de dos cuadrados:
Fermat observó que algunos primos eran expresables como la suma de dos cuadrados:
No parecía que los primos expresables como suma de dos cuadrados formaran una serie que terminara: siempre había alguno así. Esto era inesperado: ¿por qué esta relación entre primos (definidos por un tema de divisibilidad) y sumas, y encima, de sumas de cuadrados?
Pero no termina aquí el asombro. Revisen los primos que son sumas de dos cuadrados. ¿Notan alguna característica compartida por todos? Pues bien, Fermat descubrió (y se supone que demostró, aunque no dejó prueba escrita; en realidad, en toda su vida, de todos sus teoremas y conjeturas sólo dejó una por escrito) que todos los primos que son suma de dos cuadrados toman la forma:
Es decir, que superan en 1 a un múltiplo de cuatro. No sólo eso: demostró que TODOS los primos 4m+1 son expresables como suma de dos cuadrados.
Hace dos años conseguí demostrar el teorema (ver Cinco al hilo ). Quiero en esta serie de post pasar en limpio la prueba. La primera vez que encontré este teorema/problema es el excelente libro "100 Great Problems of Elementary Mathematics, their history and solution", de Heinrich Dorrie, ed. Dover. A muchos problemas que encontré en ese libro, sólo los leí, investigando la parte histórica, pero dejé de lado ver la demostración, para entretenerme algún día. Bueno, pasaron por lo menos dos décadas, y al fin pude encontrar una demostración de este teorema.
Veamos ahora que es fácil ver que "los otros primos", los que no son suma de dos cuadrados, son de la forma:
¿Por qué no pueden ser expresados como suma de dos cuadrados? Veamos de investigar los restos de los cuadrados módulo 4:
Es decir, un cuadrado deberá ser o múltiplo de 4 o exceder en 1 a un múltiplo de 4. Sólo puede dar 0 o 1 como resto al dividir por cuatro. La suma de dos cuadrados será la suma de dos resto 0, dos 1, o 0 + 1:
La primera y última dan números pares, no primos. Nuestra única esperanza es la segunda opción. Pero eso deja afuera a los primos de la forma:
Es por eso que no hay suma de cuadrados que resulten en ese tipo de primos.
Bien, pero eso no demuestra que TODOS los 4m+1 PUEDAN expresarse como suma de dos cuadrados. La demostración de esto nos va a llevar a temas interesantes.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
23 de Abril, 2013, 7:20
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Ya hemos definido un espacio topológico. Es un par:
Donde los conjuntos abiertos del espacio topológico cumplen las condiciones que le impusimos:
- La intersección de dos conjuntos abiertos cualquiera también es un conjunto abierto
- La unión de una familia de conjuntos abiertos (arbitraria) es también un conjunto abierto
Se acostumbra a decir <X, T> es un espacio topológico, y T (el conjunto de todos los abiertos) es la topología. Para un mismo X podemos tener más de una T.
Luego, desde los conjuntos abiertos pudimos formalizar los entornos de un punto: ¿qué es lo que vamos a considerar como "puntos cercanos al punto x"?:
Definimos entorno del punto x a todo conjunto que contenga a un conjunto abierto que contenga a x. Vean lo curioso: la motivación es tener una forma de manejar formalmente, con seguridad, lo que vamos a considerar "la mancha de puntos" que rodean a x. Pero se vió, históricamente, que para tener una buena y manejable definición de entorno, hubo que formalizar lo que es un conjunto abierto (y lo que no es un conjunto abierto).
La figura de arriba nos recuerda que en el anterior post vimos cómo usamos el concepto de entorno de un punto para definir los puntos de acumulación de un conjunto cualquiera (Nota: cuando hablo de "un conjunto cualquiera" es una forma de decir corta de "un subconjunto (propio o no) del espacio topológico X que estamos considerando")
Ahora bien, dada un X, el conjunto T de lo que consideramos abiertos, siempre que cumplan las condiciones de topología, nos define COMPLETAMENTE un espacio topológico <X,T>. Veamos que los matemáticos también hablan de conjuntos cerrados. Sea la definición:
Un conjunto C (incluído en X) es cerrado en <X,T> cuando X-C es abierto (es elemento de T)
O sea, un conjunto C es cerrado si su complemento (siempre hablando en el contexto de un espacio topológico en concreto <X,T>) es abierto. Por las leyes de de Morgan se ve entonces que:
- La unión de dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado
- La intersección de una familia arbitraria de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado
También podemos ver que, dado X, tanto podemos definir una topología T dando sus elementos abiertos como sus elementos cerrados. Es decir, podemos reescribir todos los libros de topología, hablando de cerrados, sin mencionar abiertos. Tendríamos que reformurlar algunos teoremas, pero es posible. Eso pasa varias veces en matemáticas. No siempre una definición es más fundamental que otras, sino que son, digamos, alternativas del mismo nivel. Pero el concepto de conjunto abierto permite definir más claramente lo que es un entorno, y como ésto es el objetivo de la topología general, se ha dado preferencia a la definición de topología en base a sus elementos abiertos.
Bien, respiremos hondo: tenemos punto, espacio, abiertos, cerrados, entornos, y puntos de acumulación. ¿Qué vamos a hacer con todo esto? Bueno, algo fue apareciendo en el último post: además de puntos cercanos de un punto, algo interesante a explorar es: ¿dónde "termina" un conjunto? ¿qué lo separa de otros? Comenzará a aparecer el concepto de frontera, y su relación con ser un conjunto cerrado o no, y su relación con los puntos de acumulación. Temas que no eran evidentes cuandos formulamos estos conceptos, pero ya estamos llegando a usarlos. Por ejemplo, todavía no hemos empleado a los puntos de acumulación. Veremos su importancia, nacida en el análisis y en el tratamiento de límite de series. Pero por ahora, sigamos con topología general ;-)
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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19 de Abril, 2013, 14:10
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Sigo traduciendo el prefacio de David Hilbert de su Zalhbericht:
El amor de Lejeune Dirichlet por la aritmética es bien conocida. También conocemos cómo Kummer dedicó su actividad académica sobre todo a la teoría de números; y Kronecker dió expresión a la esencia de su percepción matemática con las palabras: "Dios hizo los números naturales; todo lo demás de los humanos".
Con este simple prerrequisito la teoría de números es seguramente el campo del conocimiento matemático cuyos resultados son los más fáciles de entender. Pero para entender completamente los conceptos y métodos de prueba en aritmética require un alto grado de facilidad en el uso del pensamiento abstractio, y este hecho es, algunas veces, puesto como reproche contra el tema. Sin embargo, en mi opinión, todas las demás ramas de las matemáticas demandan al menos un gran capacidad para manejar la abstracción - esto es, asumiendo que exponemos los fundamentos de ellas con el rigor y la completitud que son realmente necesarias.
Sobre la posición de la teoría de números en el conjunto de las matemáticas, Gauss, en su prefacio de sus Disquisitiones arithmeticas, todavía la entiende como la teoría de los números naturales, con todos los números imaginarios estrictamente excluidos
En eso cambiaría Gauss cuando comience a investigar la reciprocidad cuadrática. Ver más abajo. Recomiendo a todos una lectura de esa obra de Gauss, con énfasis en el capítulo 5 sobre formas cuadráticas, y el 7, sobre ciclotomía.
De esa manera, él no clasifica a la ciclotomía como teoría de números propiamente dicha; pero él añadió que "sus princicipos son derivados pura y simplemente de las aritmética superior". En la misma línea que Gauss, tanto Jacobi como Lejeune Dirichlet repetida y enfáticamente expresan su sorpresa sobre la conexión cercana entre problemas de teoría de números y problemas algebraicos, en particular el problema de ciclotomía.
Ver Cyclotomy and Cyclotomic Polynomials, The Story of how Gauss Narrowly Missed Becoming a Philologist. Para hacia donde llegó el tema en tiempos modernos New Generalized Cyclotomy and Its Applications
La razón central para esta conexión ahora es completamente clara. A saber, la teoría de campos algebraicos, y la teoría de campos de números ha devenido en ser la parte más esencial de la moderna teoría de números.
El mérito por haber sembrado las primeras semillas de la teoría de campos de números también recae en Gauss. Gauss reconoció que la real fuente de las leyes de los residuos bicuadráticos yacen en una "extensión del campo de la aritmética", a saber, según lo expuso, la introducción de números imaginarios enteros de la forma a + bi; él conoció y resolvió el problema de pasar a estos enteros imaginarios todos los teoremas de la teoría de números normal, especialmente las propiedades concernientes a la divisibilidad y las relaciones de congruencia. Mediante el desarrollo sistemático de esta noción y bajo la luz de nuevas ideas de largo alcance de Kummer, Dedekind y Kronecker, hemos llegado a la teoría de los campos de números algebraicos de nuestros días.
Kummer introdujo los números ideales, cuando le hicieron ver que tenía un error en su intento de demostrar el último teorema de Fermat. En los textos de hoy, apenas se menciona al pasar sus ideas, sin exponerlas en detalle (espero aprender más en este libro de Hilbert). Dedekind, con una idea genial, reemplaza números por clases de números, y plantea el moderno concepto de ideal. Kronecker propone una solución parecida, los sistemas modulares (tengo que confirmar). Todas estas ideas fueron promovidas por encontrar un símil del teorema fundamental de la aritmética de enteros (la factorización única en primos) para campos de números más generales.
Próximos posts: más traducción del prefacio, notas históricas.
Nos leemos!
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Publicado el
18 de Abril, 2013, 7:00
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El título se refiere al libro "La Teoría de Números Algebraicos" de David Hilbert, de 1897, conocido como el Zalhbericht (el "reporte de números", pues era un trabajo por encargo para que expusiera un resumen del estado de la teoría en esos tiempos). Leo en el artículo de Wikipedia:
In 1893 the German mathematical society invited Hilbert and Minkowski to write reports on the theory of numbers. They agreed that Minkowski would cover the more elementary parts of number theory while Hilbert would cover algebraic number theory. Minkowski eventually abandoned his report, while Hilbert's report was published in 1897. It was reprinted in volume 1 of his collected works, and republished in an English translation in 1998.
Tengo bastante para comentar de este "informe" que tanta influencia tuvo en el desarrollo de los números algebraicos. Hoy comienzo esta serie traduciendo el prefacio de Hilbert:
La teoría de números es una de las ramas más antiguas de las matemáticas y la mente humana se despertó tempranamente a algunas de las profundas propiedades de los numeros naturales. Sin embargo, su estado como una ciencia independiente y sistemática es enteramente un logro de los tiempos modernos.
Desde tiempo inmemorial la teoría de números ha sido reconocida por la simplicidad de sus fundamentos, la precisión de sus conceptos y la claridad de sus verdades; ha disfrutado de estas propiedades desde sus comienzos, mientras que otras ramas de las matemáticas han debido pasar por un más o menos extendido desarrollo antes que encontrar la base de la confianza en sus ideas y el rigor en sus demostraciones.
Así que no nos sorpredenmos por el gran entusiasmo que este tema ha inspirado en sus devotos de todos los tiempos. "Casi todos los matemáticos que emplearon su tiempo con la teoría de números," dice Legendre describiendo el amor de Euler por el tema, "se le entregan ellos mismos con cierta pasión". Nosotros recordamos también la reverencia que nuestro maestro Gauss sintió por la ciencia de la aritmética, como cuando obtuvo su primér exito en probar un resultado aritmético sobresaliente y "la fascinación de esta investigación lo cautivó de tal manera que ya no pudo escapar de ella", y cuando él alababa a Fermat, Euler, Lagrange y Legendre como "hombres de incomparable gloria", ya que "habían abierto la puerta del santuario de esta divina ciencia y habían mostrado con que abundantes riquezas estaba provisto"
Una característica especial de la teoria es que frecuentemente encontramos difíciles pruebas para resultados simples que se pueden entender fácil e intuitivamente. "Esto, " dice Gauss, "es precisamente lo que le da a la alta aritmética su fascinante encanto, que la hace la ciencia favoritas de los exploradores, sin hablar de su inagotable almacen de riquezas, en las que de lejos supera a todas las demas ramas de las matemáticas".
En próximos post completo la traducción del prefacio, y agrego algunas notas históricas.
Nos leemos!
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Publicado el
17 de Abril, 2013, 8:22
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Ayer mencionaba el curso del gran David Hilbert sobre invariantes algebraicos. Inicio hoy una serie de posts para ir exponiendo y estudiando el contenido de ese curso. Leo en la introducción:
In the summer semester 1897 David Hilbert gave an introductory course in invariant theory at the University of Gottingen. The present text is an English translation of the handwritten course notes taken by Hilbert's student Sophus Marxsen.
When Hilbert gave this course in 1897, his research in invariant theory had been completed. In particular, Hilbert's famous Finiteness Theorem had been proved and published in two striking papers (Hilbert 1890, 1893).* These papers changed the course of invariant theory dramatically, and they laid the foundation for modern commutative algebra. Thus 1897 was a perfect time for Hilbert to give an introduction to invariant theory, taking into account both the old approach of his predecessors and his new ideas. It is this bridge from nineteenth-century mathematics into twentieth-century mathematics which makes these course notes so special and distinguishes them from other treatments of invariant theory.
Justamente, el Finiteness Theorem de Hilbert está basado en un resultado nuevo (y más simple) el teorema de la base que estoy tratando en otra serie de posts.
Hilbert's course is at a level accessible to graduate students in mathematics. Prerequisites include familiarity with linear algebra and the basics of ring theory and group theory. The text provides a self-contained introduction to classical invariant theory, and it will be of interest to anyone who wishes to study this subject. But we believe that this translation will also be valuable as a historical source for experts in contemporary invariant theory...
Manos a la obra, entonces. Sea una suma de productos de constantes y variables. Lo llamamos polinomio. Es decir, si cikl son constantes, y sean x, y, z variables, entonces
Es un polinomio de tres variables. La forma general de un polinomio es:
Cada uno de esos productos se llama un término del polinomio. Su número característico
Esto es, la suma de los exponentes de las variables, se llama el orden del término. Ejemplo, el polinomio en tres variables:
Tiene tres términos, el primero de orden 4, el segundo de orden 2, y el último de orden 3. El orden del término con mayor orden se llama el orden del polinomio. El de arriba es entonces de orden 4.
Podemos pensar siempre en un polinomio donde los términos estén ordenados por orden. Podríamos escribir el polinomio de varias variables de orden n como:
Donde cada [i] es un polinomio de orden i. El último término no puede ser el polinomio nulo, porque sino el polinomio no sería de orden n. Pero los otros términos podrían ser nulos. Un polinomio no tiene por qué tener todos los órdenes en sus términos.
Pero, acá viene una definición nueva: si todos los demás [i] APARTE DE [n] son nulos, es decir, si todos los términos del polinomio son del mismo grado, llamamos a F una función homogénea o de una forma.
De ahora en más, sólo trataremos de formas. El orden de una forma es n, y las variables pueden ser m variables. Pareciera que si consideramos sólo formas, estamos dejando de lado a los polinomios más generales. Pero en realidad, no tanto. Si tenemos un polinomio general:
Lo podemos transformar en una forma, agregando una variable adicional:
G es una función homogénea, de la que podemos obtener de nuevo F simplemente haciendo xm = 1
Hasta podemos escribir:
Entonces, podemos decir que la teoría de las formas de m variables es esencialmente la misma que la de polinomios generales de m-1 variables. Sabiendo esto, veamos un resultado simple pero importante. Vamos a tomar un camino muy común en matemáticas. Cuando tenemos un concepto X, le vamos aplicando transformaciones, a ver que nos resulta. La primera transformación a explorar será: escalar todas las variables, por un factor u: una transformación que tiene cierto sentido, veamos por qué.
Sea una forma G:
Si ahora reemplazamos cada xi, por uxi, siendo u arbitrario, tenemos
Como el exponente de u es n, queda entonces
(tengo entendido que ésta era la definición de función homogénea para Euler, independientemente de si era un polinomio o no). La clave del resultado es que al escalar cada variable por u, y contienendo cada término la misma cantidad de variables (repetidas o no), cada término es escalado DE LA MISMA MANERA.
Si un polinomio F tiene esta propiedad, entonces se ve que es una forma. Se puede ver esto, si tomamos las partes homogéneas de F: no todas pueden tener "escalar" de la misma forma, al escalar uniformemente todas las variables al multiplicarlas por u. Así que podemos definir forma como un polinomio que cumple con la relación de escala de arriba.
Veamos algo no evidente. Diferenciamos G respecto de u, como si fuera una nueva variables, y tomemos la derivada total por u, como la suma de las derivadas parciales de las uxi:
Y entonces, si ponemos u = 1
Esta es entonces otra propiedad fundamental de las formas de orden n y m variables.
En próximos posts aparecerá el concepto de invariante de estas formas, transformaciones lineales y la clasificación de formas. En algún momento, cambiaremos los coeficientes arbitrarios (en lo de arriba podrían ser del cuerpo de los reales o complejos) por enteros.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
16 de Abril, 2013, 17:11
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Hoy escribo sobre un tema al que llego repetidamente en estos últimos años, y de diversas formas. Es tiempo de pasar a publicar (a hacer público y accesible por Google) mis notas, para no perder esas referencias. El tema es los invariantes en matemáticas.
Es un tema amplio, y en verdad, son varios temas. Una cosa son los invariantes topológicos, y otras los invariantes algebraicos. Y otro son las funciones invariantes (ver mi serie de posts). De hecho, he encontrado poco sobre funciones invariantes, pero pueden ver:
A Function Invariant under a Group of Transformations
Algo más restringido Invariant Functions sobre O(n), SO(n)
Pero vayamos a la definición más general:
http://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_(mathematics)
In mathematics, an invariant is a property of a class of mathematical objects that remains unchanged when transformations of a certain type are applied to the objects. The particular class of objects and type of transformations are usually indicated by the context in which the term is used. For example, the area of a triangle is an invariant with respect to isometries of the Euclidean plane. The phrases "invariant under" and "invariant to" a transformation are both used. More generally, an invariant with respect to an equivalence relation is a property that is constant on each equivalence class.
Invariants are used in diverse areas of mathematics such as geometry, topology and algebra. Some important classes of transformations are defined by an invariant they leave unchanged, for example conformal maps are defined as transformations of the plane that preserve angles. The discovery of invariants is an important step in the process of classifying mathematical objects.
Y siempre termino topándome con invariantes en física:
http://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_(physics)
Invariants are important in modern theoretical physics, and many theories are expressed in terms of their symmetries and invariants.
Covariance and contravariance generalize the mathematical properties of invariance in tensor mathematics, and are frequently used inelectromagnetism, special relativity, and general relativity.
Agregaría que el tema covariancia y contravariancia también aparece en "gauge theory". Pero volvamos a los invariantes.
Mis primeras notas serán sobre los invariantes algebraicos
http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicInvariant.html
A quantity such as a polynomial discriminant which remains unchanged under a given class of algebraic transformations. Such invariants were originally called hyperdeterminants by Cayley.
Como bien dice ese corto artículo de Mathworld, uno de los primeros en desarrollar el tema de invariantes algebraicos fue Cayley, en el siglo XIX.
Quisiera terminar esta primer nota, mencionando mis principales fuentes:
- Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Morris Kline (hay edición en español, de Alianza. Ver principalmente el tercer volumen)
- The Development of Mathematics, de Eric Temple Bell ya citado varias veces en este blog (ver Gauss y la congruencia, por E.T.Bell, Gauss, Abel, Galois en la sociedad, según Bell, Dos visiones de matemáticas, Contra los místicos del tiempo) hay edición en español de Fondo de Cultura Económica. Sobre el tema de invariantes, lo principal a leer es el capítulo XX
- The Theory of Algebraic Invariants, notas de un curso de David Hilbert
- The Classical Groups, their Invariants and Representations, de Hermann Weyl, alumno de Hilbert.
Lo de Weyl debe estar expuesto también en el más moderno:
Classical Invariant Theory, a primer (pdf) de Hanspeter Kraft y Claudio Procesi (ver la conferencia de Kraft para el cumpleaños de Procesi)
Basta por hoy, por lo menos con este post ya tengo anotado, y con poco riesgo de perder, lo principal a leer y desarrollar sobre el tema. Ya vendrán nuevos posts.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
14 de Abril, 2013, 17:41
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Publicado el
11 de Abril, 2013, 14:32
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Ya mencioné a Herman Weyl y su libro The Theory of Groups and Quantum Mechanics en Hermann Weyl, fisica y matematicas. Hacia el final de la introducción, encuentro:
Our generation is witness to a development of physical knowledge such as has not been seen since the days of Kepler, Galileo and , and mathematics has scarcely ever experienced such a stormy epoch. Mathematical thought removes the spirit from its worldly haunts to solitude and renounces the unveiling of the secrets of Nature. But as recompense, mathematics is less bound to the course of worldly events than physics. While the quantum theory can be traced back only as far as 1900, the origin of the theory of groups is lost in a past scarcely accessible to history; the earliest works of art show that the symmetry groups of plane figures were even then already known, although the theory of these was only given definite form in the latter part of the eighteenth and in the nineteenth centuries. F. Klein considered the group concept. as most characteristic of nineteenth century mathematics.
Es interesante ver cómo algo como la teoría de grupos tuvo una larga historia, aunque hay que reconocer que como teoría matemática aparece realmente en el siglo XIX. Igual, es de destacar que tenemos otro ejemplo de matemáticas desarrolladas ANTES de tener una aplicación física.
Until the present, its most important application to natural science lay in the description of the symmetry of crystals, but it has recently been recognized that group theory is of fundamental importance for quantum physics; it here reveals the essential features which are not contingent on a special form of the dynamical laws nor on special assumptions concerning the forces involved. We may well expect that it is just this part of quantum physics which is most certain of a lasting place.
Y ahora menciona dos grupos que van a tener un rol en su libro:
Two groups, the group of rotations in 3-dimensional space and the permutation group, play here the principal role, for the laws governing the possible electronic configurations grouped about the stationary nucleus of an atom or an ion are spherically symmetric with respect to the nucleus, and since the various electrons of which the atom or ion is composed are identical, these possible configurations are invariant under a permutation of the individual electrons.
Y otro tema que aparece, cuando los grupos se relacionan con la física: sus representaciones por transformaciones lineales:
The investigation of groups first becomes a connected and complete theory in the theory of the representaration of groups by linear transformations, and it is exactly this mathematically most important part which is necessary for an adequate description of the quantum mechanical relations. All quantum numbers, with the exception of the so-called prirtcipal quantum number, are indices characterizing representations of groups.
Nunca traté todavía el tema de representaciones de grupos por transformaciones lineales. Pero es interesante encontrar esta temprana referencia en Weyl, que luego llegaría a aplicarse más allá de la teoría cuántica que menciona. Ver
Group Representation
Character theory
Group Representations
Group Representation Theory ahí leo lo principal: Informally, a representation of a group is a way of writing it down as a group of matrices
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Angel "Java" Lopez
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Publicado el
9 de Abril, 2013, 10:20
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En estos días pasados, volví a leer bastante de matemáticas y física. Un libro que no comenté todavía en este blog (debo haberlo mencionado apenas de pasada) es el clásico The theory of groups and quantum mechanics, de Hermann Weyl (lo puse en la lista de Estudiando Física Cuántica). En el prefacio de la primera edición, escrito en agosto de 1928, encuentro este texto al final:
There exists, in my opinion, a plainly discernible parallelism between the more recent developments of mathematics a physics. Occidental mathematics has in past centuries broke away from the Greek view and followed a course which seen to have originated in India and which has been transmitter with additions, to us by the Arabs; in it the concept of number appears as logically prior to the concepts of geometry.
Interesante que mencione el tema del número, como alejado de lo que habían fundado los antiguos griegos (comencé hace poco mi Historia de las Matemáticas en Grecia). En realidad, los griegos tuvieron en Pitágoras y sus seguidores a los promotores de los números como fundamento de las matemáticas. Hubo que esperar al siglo XIX para que se volviera ponerlos en plenamente en la base. Recordar a Kronecker, para quien Dios había creado los enteros y todo lo demás era obra del hombre. Y antes, a Gauss, que llevó a la mayoría de edad el tratamiento de los complejos como números. Nota para repaso: leer el capítulo 8 de Historia de las matemáticas, de Bell, donde trata el "resurgimiento de lo pitagórico".
Con respecto al número como anterior al concepto de la geometría, hay en este último siglo, una vuelta a las visiones geométricas, tanto en matemática abstracta como en matemática y física. La aparición de las geometrías no euclideanas en el siglo XIX, fue el antecedente de su uso en la física del siglo XX en relatividad y aledaños. Nota para repaso: leer Penrose, cómo pone énfasis en los conceptos geométricos aplicados a la física moderna.
The result of this has been that we have applied this systematically developed number concept to all branches, irrespective of whether it is most appropriate for these particular applications. But the present trend in mathematics is clearly in the direction of the return to the Greek standpoint; we now look upon each branch of mathematics as determining its own characteristic domain of quantities.
Weyl destaca que cada rama de las matemáticas comienza a hacer "su propio juego". Ya los reales y complejos no eran "el juego" sino uno más de entre los posibles campos de números. No había "una geometría" sino varias, que podían incluso inventarse. Todo esto lleva también a la abstracción, que fue creciendo a lo largo del siglo XX.
The algebraise of the present day considers the continuum of real or complex numbers as merely one "field ': among many; the recent axiomatic foundation of projective geometry may be considered as the geometric counterpart of this view. This newer mathematics, including the modern theory of groups and "abstract algebra," is clearly motivated by a spirit different from that of" classical mathematics," which found its highest expression in the theory of functions of a complex variable. The continuum of real numbers has retained its ancient prerogative in physics for the expression of physicall measurements, but it can justly be maintained that the essence of the new Heisenberg-Schrodinger-Dirac quantum mechanics is to be found in the fact that there is associated with each physical system a set of quantities, constituting a non-commutative algebra in the technical mathematical sense, the elements of which are the physical quantities themselves.
Lo interesante es que menciona la aparición del álgebra abstracta, y de la teoría de grupos "per se", que va a ser la base de este libro. Y de la relación de las matemáticas con la física, poniendo el caso de la aparición de la no conmutatividad en algo físico, como la "nueva" mecánica cuántica de fines de los 20. Hay mucho para comentar de este corto y abigarrado párrafo de Weyl. Espero poder escribir algunos posts sobre temas particulares del libro, que muestra tan bien la relación entre las explicaciones físicas y la teoría de grupos, lo que nos llevaría a simetrías, leyes de conservación, y la forma matemática que tiene en su núcleo las teorías físicas.
Posts relacionados:
Grupos y Física, por Dirac
Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (8)
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
6 de Abril, 2013, 14:11
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Publicado el
5 de Abril, 2013, 13:16
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En estos días, he vuelto a leer y consultar libros sobre la historia de las matemáticas. Y parece tiempo de comenzar una serie sobre la historia de las matemáticas en la antigua Grecia. Me parece un tema interesante, por lo histórico, por lo matemático, y hasta por lo filosófico. La historia de las matemáticas es fascinante, y larguísima. Tantos temas, tantos hombres, tanta evolución de ideas, que es mejor concentrarse al principio en una época. La "antigua Grecia" abarca siglos, pero me servirá de entrenamiento.
Primero, un repaso de lo que sería interesante tratar en esta nueva serie:
- Los antecedentes inmediatos: la influencia de Babilonia, Egipto en los matemáticos griegos.
- La aritmética. Primeros elementos de teoría de números
- El concepto de número vs magnitudes
- El problema de la incomensurabilidad
- El camino que pasa por Tales, Pitágoras, Parménides, Zenón, Demócrito, Sócrates, Platón, Aristóteles, Eudoxo, Euclides, Arquímedes, Apolonio, etc....
- Atomismo en matemáticas
- Los pasos iniciales hacia el cálculo
- El método de exhaución de Eudoxo
- Los trabajos de Arquímedes
- Aritmética vs Geometría
- Matemáticas y realidad para los griegos
- El estudio de los cuerpos sólidos
- Movimiento y matemáticas
- Geometría sintética y analítica
- El estancamiento de la aritmética
- Filosofía y matemáticas
Tengo varias fuentes disponibles para consultar. Como algunos de esos libros son de mis preferidos, voy a dejar su enumeración para otro post(s). Es notable la cantidad de escritos que hay sobre el tema, y el esfuerzo puesto sobre los resultados de los antiguos griegos. También asombra lo poco que nos llegó original de ellos: las fuentes más antiguas son copias y comentarios, no la producción original. Hasta podría afirmar que tenemos más material original (producidos en la época de sus autores) de Egipto y Babilonia, que de los antiguos griegos.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
1 de Abril, 2013, 12:40
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Un nuevo mes comienza. Repaso de las resoluciones del mes pasado:
- Escribir nuevo post de funciones invariantes [completo] ver post
- Escribir post sobre historia de las matemáticas [completo] ver post
- Escribir post sobre un teorema de Hilbert [completo] ver post
- Escribir post sobre espacios vectoriales [pendiente]
- Escribir post sobre topología (siguiendo mi serie) [completo] ver post
- Estudiar espacios vectoriales [completo]
Además publiqué enlaces sobre Gauss, Fermat y Euler; Matemáticas, Teoría de Categorías 1 y 2, Topología; Teoría de Números
Para este mes de abril, sigo con:
- Escribir nuevo post de funciones invariantes
- Escribir post sobre descenso infinito
- Escribir primer post sobre serie p = x2 + y2
- Escribir segundo post de un teorema de Hilbert
- Escribir nuevo post sobre topología (siguiendo mi serie)
- Estudiar geometría algebraica
Tengo bastante trabajo con mis resoluciones técnicas, así que es bastante el compromiso de arriba (algunos post requieren mucho tiempo de preparación).
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
31 de Marzo, 2013, 11:19
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Veamos hoy el tema de funciones invariantes agregando algo de generalidad. Será una incursión a lo abstracto.
Primero, sea una función de dos variables
Las dos variables las podemos ver como componentes de un espacio vectorial de dos dimensiones, dada una base en concreto:
Entonces la función se puede escribir como una función que toma un vector y nos da un número (en general, del cuerpo conmutativo que es parte del espacio vectorial que consideramos):
Ahora bien, podemos ver las transformaciones que dejan a f invariante, como transformaciones de vectores: funciones que toman un vector de nuestro espacio vectorial y dan como respuesta otro vector:
Entonces, las transformaciones invariantes son las que hacen para todo vector v de nuestro espacio vectorial:
Vean que de esta forma nos olvidamos de las n variables iniciales. Y hasta de la base inicial que habíamos tomado. De esta manera trabaja la física: buscando funciones f que sean invariantes por transformaciones que destacan la independencia de la elección de sistemas de coordenadas en nuestros laboratorios. Una ley física, explicada con una función f, debería ser independiente de las rotaciones del espacio, inversión en el tiempo, traslaciones y reflexiones en el espacio. Luego la relatividad agregó otras transformaciones (de Lorentz) que deberían dejar invariante cualquier f que trate de expresar matemáticamente algo sobre la realidad física.
Pero pensando abstractamente perdemos la "forma" de f: expresarla en n variables concretas. Puede que haya expresiones de f en términos de vectores.
En el próximo post volveré a las n variables, y a algunas funciones invariantes que han sido importantes en el desarrollo de las matemáticas.
Nos leemos!
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