Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 14 de Abril, 2016, 6:49

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 12 de Abril, 2016, 6:18

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 5 de Abril, 2016, 7:21

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 3 de Abril, 2016, 13:39

Voy a escribir las resoluciones de abril, pero primero, repaso de las de marzo:

- Continuar escribiendo sobre FinTech [parcial] ver post de enlaces otro post de enlaces más enlaces y más enlaces y más enlaces
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre teoría de números [pendiente]
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Además, estuve estudiando y publicando:

El teorema de Gödel (1)
El teorema de Gödel (2)
Funciones aritméticas (3)
¿De qué tratan las matemáticas? (3)
Números reales, complejos y más allá (1)

Para este mes, mis resoluciones son:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre teoría de números
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados
- Continuar mi serie sobre el teorema de Gödel
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemman
- Estudiar blues en guitarra

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 30 de Marzo, 2016, 5:43

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¿¿¿Qué corno importa mi opinión???

Confessions of a startup: all our numbers, insights, everything — Looking forward, a blog by Lookback

You Are Not Late — The Message — Medium

Tech Leaders Tell Interns What They Wish They Knew At Age 20 | TechCrunch

The Top Idea in Your Mind

On Managing and Doing Stuff – Simple-Talk

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 29 de Marzo, 2016, 6:37

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 27 de Marzo, 2016, 8:03

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En el post … habíamos llegado a la expresión:

Con p y q de distinta paridad (uno impar y otro par). Demostramos ahí que pueden ocurrir dos casos:

Es decir, son primos entre sí, o bien

Tienen factor común al 3.

Vayamos hoy por el primer caso. Los dos factores de z al cubo:


NO TIENEN factores comunes. Entonces, cada uno de ellos es un cubo perfecto. Veámoslo. Si el primo k divide a uno de los factores, digamos:

Entonces p divide a z al cubo:

Como k es primo, se tiene entonces que que también divide a z:

Y queda que:

Como ese factor p no puede estar en el otro factor:

Entonces, aparece al menos como potencia cúbica en el primer factor:

Eso para cualquier primo de este factor. Queda que cada primo aparece como potencia 3 o múltiplo de 3, quedando:

Para algún entero s. Por el mismo razonamiento (algo largo pero elemental) llegaríamos a:

Ahora bien. Vimos en los anteriores posts qué interesante puede ser considerar:

Es una identidad fascinante. De hecho, da una pauta de cómo pueden ser todos los números que son suma de un cuadrado y el triple de un cuadrado. Algo que no pasó desapercibido ni para Fermat ni para Euler. Es un tema interesante por sí mismo, pero quedará para otra oportunidad. (ver mientras tanto p = x2 + y2 )

Sin embargo, ese camino no está exento de problemas. Ya estuvimos examinado la raíz de la cuestión: Euler presupuso la factorización única de factores primos en ese nuevo sistema de números que incluye a la raíz cuadrada de menos 3. Y eso no es verdad. Luego volveremos a tratar de solucionar esta otra prueba, usando otro campo de números más sutil que el planteado originalmente por Euler.

Veamos otro camino, que apela a números enteros solamente. Como p y q tienen distinta paridad, el factor:

Es impar. Tratemos de descomponerlo en factores impares. Podríamos pensar en que su raíz cúbica tiene la misma forma:

No es un camino descabellado. Pero no es fácil de probar. Lo que podemos probar primero es que un factor así PUEDE ser la raíz cúbica pedida. Luego, más adelante, probaremos que TODO FACTOR primo de nuestro cubo perfecto TIENE esa forma necesariamente.

Veamos hoy un lema que nos va a ayudar, y que era conocido por Euler: la multiplicación de dos polinomios de la forma a2+3b2 da como resultado un polinomio de la misma forma. Esto es notablemente similar a otro resultado que apareción en este blog: la multiplicación de dos sumas de cuadrados, da suma de dos cuadrados.

Multipliquemos dos polinomios de esa forma:

Tenemos la esperanza de separar este resultado en la suma de un cuadrado y el triple de un cuadrado. Respiremos hondo, sumemos y restemos la combinación adecuada de abcd, y reordenemos:

MILAGRO! Obtenemos un polinomio de la misma forma: la suma de un cuadrado y del triple de un cuadrado.
Esto nos dice que no es impensable que sea posible:

Pero todavía falta camino para llegar a eso necesariamente. El lema nos dice que pueden existir c y d, pero no dice que NECESARIAMENTE existan. Eso es lo que nos falta probar.

Veamos un camino para justificar un poco el "milagro" de arriba (es casi seguro que este camino es el que inspiró a Euler):


El producto de los dos primeros factores es el conjugado complejo del producto de los dos últimos factores, como es de esperar, da un resultado real. Calculemos el primero de esos números:



Es decir, queda el lema que habíamos demostrado más arriba: la forma a2+3b2 se conserva por multiplicaciones.

Tarea para el hogar: conseguir otras formas que se conservan así.

La demostración del lema sin apelar a números complejos la encontré en:

A su vez, ese lema es usado para demostrar el "key lemma" en el post:

Para demostrar el "key lemma" ese post usa también un lema más poderoso que tenemos que estudiar:

Ver la cadena de posts: (éste es el que usa el "key lemma")

Donde todo se engarza desde:

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 25 de Marzo, 2016, 7:57

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Siempre hasta ahora hemos manejado magnitudes físicas de espectro discreto: sus valores posibles forman un conjunto numerable (finito o infinito). La existencia de ese tipo de magnitudes es uno de los grandes descubrimientos de la teoría cuántica. Ya se vislumbraba en el siglo XIX que los espectros de emisión de muchos átomos y moléculas simples seguían un patrón discreto, contrariamente a lo que uno espera de una fuente de luz. Estamos acostumbrados a la luz del sol, que en el arco iris se distribuye de forma continua.

Pues en el ambiente cuántico hay magnitudes que no toman valores continuos, sino discretos. Uno de los primeros ejemplos ha sido el modelo atómico de Bohr, donde las órbitas de los electrones sólo podían tomar algunos valores específicos. Cuando se desarrolló la primera mecánica cuántica, uno de los logros tanto del modelo de Heisenberg como del de Schrödinger fue explicar esa distribución discreta, aunque sea en los átomos más simples, como el de hidrógeno. En ese átomo, la energía de un electrón ligado sólo puede tomar algunos valores (es interesante recordar que Schrödinger llegó a su teoría, tomando el camino de explicar esos valores como autovalores de una función).

Pero cuando consideramos la energía de un electrón no ligado a un núcleo atómico, sus valores pueden ser continuos. Así tenemos un ejemplo de magnitud física que tiene ambos espectros, continuo y discreto.

Cuando una magnitud puede tomar valores discretos, pudimos expresar una función de estado como combinación lineal de autofunciones:

Pasando al espectro discreto, y haciendo "magia" matemática, sólo justificada por su aplicación física, podemos expresar una función de estado, como una integral que recorre:

Pongo explícitamente q como las coordenadas que puede tomar la función de estado, para destacar que esta función recorre y depende de esas coordenadas. Los

Mas que coeficientes, son funciones del parámetro f, que toma valores continuos (antes usábamos valores naturales). Y las "autofunciones" ahora son:

Una función base por CADA valor de f. Por analogía, podemos seguir haciendo "magia" matemática (sin justificación firme) y tomar los coeficientes como:

Tenemos que explorar el significado físico de estas expresiones, y aparecerán relaciones con desarrollos de Fourier, y más analogías con nuestro trabajo anterior en valores discretos. Ya no podemos tomar los coeficientes af como probabilidad, sino que tendremos que hablar de probabilidad de tal valor entre f y f+df. Pero eso lo veremos en los próximos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 24 de Marzo, 2016, 15:32

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Tantos temas para ver. Ahora en estas semanas, estoy aprendiendo sobre "smart contracts".

'Smart Contracts' Are the Future of Blockchain | Bank Think

Bitcoin Living, Bitcoin Price Jump, Investments |

This Man Has Been Living On Bitcoin For 3 Years - Forbes

33 FinTech Companies From Western Europe to Look out for in 2016 | Let's Talk Payments -

10 Banking Trends for 2016

The Australian FinTech Ecosystem"s Growth is Breathtaking

How FinTech is finally transforming the financial world | Information Age

As global markets flounder, Bitcoin rockets up 6%

Women in Banking: Fintech Funding and the Rise of Female Regulators | Bank Think

Shai Goldman on Twitter: "digital wallet landscape in the US #fintech #nfc #qr"

Will Provenance Be the Blockchain's Break Out Use Case in 2016? - CoinDesk

Fintech Growth Poised to Disrupt Banking Industry

The 14 companies that illustrate Australia's fintech future |

How Fintech Startups Are Helping The Financial Services Sector

Blockchain – A New Economic Model | Dataconomy

3 Lessons From The Graveyard of FinTech Start-ups | Dataconomy

Six Payments Trends That Will Define 2016 |

Battle for bitcoin dominance becomes East vs. West matchup

Fintech Startups Face Difficult Market Ahead

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 23 de Marzo, 2016, 6:46

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A los matemáticos les gusta mostrar demostraciones de lo que afirman. Si bien hay encanto en simplemente explorar un tema, y enunciar resultados interesantes, llega el momento donde los demás pedirán una demostración. Ha quedado en la historia como ejemplo de enunciados con demostración el monumental Elementos, de Euclides. Desde los antiguos griegos, se persigue ese ideal: demostrar enunciados verdaderos, partiendo de un conjunto (generalmente pequeño) de axiomas, nociones y reglas de inferencia.

Examinemos lo enumarado recién. Un enunciado es una afirmación (o negación, otra forma si quiere verse de afirmar algo). No es cualquier sentencia, como "hola". Son enunciados que expresan relaciones entre los conceptos de la rama matemática que se esté examinando. Por ejemplo: "todos los triángulos con un ángulo igual y dos lados iguales, son iguales".  Si bien se afirma con lenguaje humano, los matemáticos han sabido formar un lenguaje más formal para afirmar enunciados. Por ejemplo, tenemos que estar seguros de qué es un "triángulo", qué es un "ángulo", qué es un "lado", y qué signifca eso de "un ángulo igual a otro" y lo mismo para los lados. Cuestiones que parecen sencillas, no lo son tanto, y merecen mayor atención.

Notablemente, lo que parecía evidente, los axiomas que tomó Euclides, como los únicos posibles, se vió en el siglo XIX que no era la única geometría "válidad". Se describieron geometrías no euclideanas, que se apartaban de las nociones de sentido común, pero tan "verdaderas" como la original, pues eran territorios matemáticos consistentes.

Luego, tenemos el concepto de enunciado verdadero. Acá, verdad se usa en sentido matemático: lo que se afirma ¿realmente ocurre en el mundo matemático que estamos tratando? Por ejemplo, el enunciado "todo número par es la suma de dos primos" (la famosa conjetura de Goldbach), ¿es verdad? Si pudiéramos examinar todos los pares de un solo golpe, si tuviéramos la capacidad de ver en un momento todas las sumas de pares de primos, y viéramos que no hay número par que no pueda ser expresado de esa forma, sabríamos que el enunciado es verdadero. Pero aún sin esas notables capacidades, los matemáticos saben algo: o es verdadero o es falso. Lo que no tienen hoy, es una demostración de la falsedad o verdad del enunciado. Entonces, se dice, todavía no es un teorema demostrado, sólo una conjetura. Lo que podemos rescatar de este ejemplo, es que el concepto de "verdad" en matemática es más firme y claro que el mismo concepto en los asuntos humanos. Una vez bien definidos los conceptos y relaciones, se sabe cómo mostrar que es verdadero o falso. En el caso de la conjetura de Goldbach, dando para cada par una suma de dos primos que lo de como resultado, o mostrando un contra ejemplo. El problema no es mostrar, sino demostrar: dar una serie de pasos, que partiendo de otros enunciados (axiomas o teoremas demostrados) llegar al enunciado destino, demostrándolo o refutándolo. Ese es el gran juego de las matemáticas.

Uno podría esperar que todo sistema matemático que se ocupe de un área, por ejemplo, de la teoría de números o de la geometría, pueda generar demostraciones para todos los ENUNCIADOS verdaderos. Otra cualidad que se espera, es que no genere nunca un enunciado FALSO. Tendremos que ir examinando de cuales tipos de sistemas matemáticos se ocupa el teorema de Gödel (todavía no lo enunciamos, pero en el fondo son DOS teoremas). Y qué afirma sobre estas cualidades esperables de esos sistemas. De alguna forma, el resultado de Gödel derriba la esperanza puesta en algunos sistemas. Tanto el resultado como la demostración son notables. Pero tampoco hay que sacar conclusiones exageradas. Iremos paso a paso, para realmente apreciar su trabajo, aprender de lógica matemática y fundamentos de matemáticas, y saber sopesar en justa medida las consecuencias de sus teoremas.

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 22 de Marzo, 2016, 6:05

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Siguen los temas de teoría de categorías, y aparecen trigonometría, geometría, biografías...

Weyl biography

The Math Trick Behind MP3s, JPEGs, and Homer Simpson"s Face - Facts So Romantic - Nautilus

Demostrando "pitagóricamente" la validez de la fórmula del seno de la suma - Gaussianos | Gaussianos

Relaciones entre dos triángulos

Becoming an Expert Statistician (or Mathematician or Programmer) : AnnMaria"s Blog

The Haskell Road

Ni un numero mas


Haskell/Category theory - Wikibooks, collection of open-content textbooks

(Video) La belleza de las matemáticas - Gaussianos | Gaussianos

These chromatic mathematical figures by @simoncpage are gorgeous to behold |

Frobenius biography

(Vídeo) Solución en 3D para el enigma de los azulejos que aparecen y desaparecen - Gaussianos | Gaussianos

Harald Andrés Helfgott nos habla sobre su demostración de la conjetura débil de Goldbach - Gaussianos | Gaussianos

La historia del método de Newton-Raphson y otro caso más de mala documentación en el cine - Gaussianos | Gaussianos

Todos los dígitos iguales - Gaussianos | Gaussianos

Recopilación de relojes matemáticos - Gaussianos | Gaussianos

Natural born programmers—programming is terrible

Python Scientific Lecture Notes — Scipy lecture notes

Matemáticos que han recibido un Premio Nobel - Gaussianos | Gaussianos

How to Ace Calculus: The Art of Doing Well in Technical Courses - Study Hacks - Cal Newport

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 20 de Marzo, 2016, 15:31

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Consideremos hoy una expresión como:

Es una expresión algo rara. Conocemos:

Que es el producto interno de un bra:

con un ket:

Pero ¿qué el "producto" de un ket por un bra? Solamente tiene sentido si le damos alguno. Definamos su aplicación SOBRE  un vector ket cualquiera como:

Esto es, en la expresión de más a la derecha, el factor entre paréntesis es un escalar. El resultado total de "aplicar" la expresión inicial a un vector ket, es otro vector ket. Ya sabemos cómo se llama esto: es un operador. Y su aplicación a CUALQUIER vector ket queda totalmente definido por la fórmula de arriba. Le hemos dado un significado concreto. Lo llamamos el producto externo (contrariamente al productor interno de bra y key, que da escalar) de un bra y un ket.

Inicialmente, pensé que este producto externo poco tenía que aportar a la teoría de la transformación. Pero veremos, a medida que vayamos avanzando, que tiene su importancia. Por ahora, baste notar una cosa: sea un operador dado por el producto externo de un ket y un bra, el resultado de aplicarlo sobre un vector ket ES SIEMPRE un múltiplo del vector ket original. De alguna forma, PROYECTA todo vector ket en un subespacio generador por ese vector ket.

Agregemos hoy una propiedad no esperada (al menos para mí) de un operador lineal. Recordemos que una base ortonormal es un conjunto de vectores:

Tales que son ortogonales dos a dos:

Y todo vector puede expresarse como combinación lineal de elementos de este conjunto base. Entonces, es interesante considerar para un operador lineal A cualquiera, su traza, definida como:

La traza es un escalar. Lo notable es que este valor, la traza de A, ES INDEPENDIENTE DE LA BASE ORTONORMAL que se tome. Veremos una demostración en el próximo post.

Pero lo que dice ahí, desde el punto de vista físico, es que hay algo en un operador (el valor de su traza) que permanece invariable ante cambios en la base ortonormal de vectores. Esto nos da una pista: la traza de un operador tiene un significado físico.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 19 de Marzo, 2016, 14:49

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 17 de Marzo, 2016, 5:54

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Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 16 de Marzo, 2016, 5:47

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Es notoriamente difícil contestar a la pregunta de esta serie de posts: ¿de qué tratan las matemáticas? Por lo menos, no hay una respuesta corta. Un intento de respuesta es enumerar las principales ramas.

La primera gran división es: álgebra, geometría y análisis. Las tres tienen una larga historia, pero hay que reconocer que la que tiene más peso histórico es la geometría, gracias a los avances en la antigua Grecia. Es con los Elementos de Euclides donde el pensamiento matemático griego alcanza la madurez y algo más. Y aunque hay ahí temas de teoría de números, es la geometría la que se lleva la palma. Para los griegos, el resolver problemas numéricos no parece haber llamado la atención, y quedan relegados a ciencias prácticas, como la astronomía.

En álgebra, encontramos operaciones con números Y VARIABLES. Eso es la novedad del tema: no solamente operar con números concretos, sino también con variables indeterminadas. No siempre quedaron explícitas esas variables: nuestra notación actual, con sus equis e y-griegas, sólo apareció hace unos siglos.

El análisis, con un gran antecesor en Arquímedes, sólo floreció con la llegada del cálculo infinitesimal, de la mano de Newton y Leibnitz, pero también de otros, que hicieron de esta rama de las matemáticas una de las más fructíferas, gracias a su relación con temas aplicados de física. Hasta podríamos decir que la geometría pura quedó relegada, ante el avance del álgebra y del análisis.

Pero las matemáticas no se agotan en estas tres ramas. La teoría de números es un caso que se deriva si consideramos solamente números enteros. Y hay grandes extensiones de esta rama, si consideramos otros "enteros", como los enteros algebraicos y los enteros de Gauss. Las estructuras, como grupo y anillo, surgieron a partir del siglo XIX, pero vieron su esplendor en el siglo XX, donde sentaron las bases de generalizaciones que van más allá de la simple álgebra de números y variables. De alguna forma, en el siglo XX el álgebra y la geometría se reconcialiaron, al manejar estructuras que involucran a conceptos de ambas ramas. La topología puede considerarse por un lado, extensión de un análisis sin métrica pero con continuidad. Por otro lado, como extensión del álgebra, en el caso de las estructuras de la topología algebraica.

Y claro que hay todavía más ramas para explorar, como la probabilidad, la teoría de categorías, la lógica matemática.

Otras respuestas, que vamos a explorar, se basan en mostrar qué tipos de cuestiones resuelven las matemáticas. Esto también es interesante: a veces, al estudiar los problemas, surgen que dos áreas aparentemente alejadas de las matemáticas, se interesan en las mismas cuestiones y respuestas. Esto ha ido pasando a través de la historia de las disciplinas, y es notable encontrar relaciones entre áreas que al principio parecen muy distintas.

Siguientes posts: álgebra vs geometría, álgebra vs análisis, y después, sí, comentar algo de cada gran rama actual de las matemáticas, hasta llegar a las cuestiones que se tratan de resolver.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 15 de Marzo, 2016, 6:07

Cuando alguien menciona matemáticas, muchas personas imaginan que se trata de números y operaciones sobre números. Pero es mucho más que eso: las matemáticas abarcan estructuras y relaciones que van mucho más allá de los números. Podemos mencionar la geometría como una rama de las matemáticas donde los números apenas si aparecen. Pero en los últimos siglos se han ido sumando más especímenes matemáticos que apenas recuerdan a los números.

Sin embargo, los números siguen jugando un papel importante. Todos conocemos los números naturales, como 1, 2, y demás. Se tuvieron que "inventar" los números negativos para que expresiones como 2 menos 5 tuvieran "sentido". La historia de la aparición de los números negativos es notable, si hasta el siglo XIX matemáticos negaban su "existencia", considerándolos soluciones a problemas mal planteados.

Los números racionales nacen, de similar manera, para poder operar con expresiones como 2 divido 3.  Y finalmente, los reales completaron los números a los que estamos acostumbrados, llenando "espacios" que los racionales no llenaban. Es clásico el descubrimiento pitagórico de que la raíz cuadrada de 2 no puede expresarse por ninguna razón entre números naturales. Los racionales "no bastan" para llenar la recta.

Menos conocidos, para el público en general, son los números complejos. Ver:

Números Complejos
Gauss y la Importancia de los Números Complejos

y su notable aparición en física:

Números Complejos en Mecánica Cuántica
La Ecuación de Schrodinger (10) Un Comentario sobre Números Complejos

(en realidad, es notable, en retrospectiva, la aparición de números reales en la física; hoy, quizás, haya que revisar su adecuación a la realidad última, en vista de los modelos cuánticos).

Los números complejos tardaron siglos en aparecer en el desarrollo matemático, y su aparición se debió a la necesidad de encontrar soluciones a ecuaciones como:

Se fue viendo, a lo largo de los años, que era conveniente y fructífero considerar que la ecuación de arriba tenía una solución (la raíz cuadrada de menos uno), que considerar que no tenía ninguna. Es más, aún ecuaciones como:

O como:

Tienen soluciones en números complejos. No necesitamos más que los números complejos para conseguir todas las soluciones de este tipo de ecuaciones en una variable. Es un resultado fundamental del álgebra, que fue alcanzado con bastante trabajo, y varias demostraciones no triviales, algunas incompletas.

De alguna forma, todos esperamos que un sistema de números posea algunas propiedades. Dos números se deben poder sumar, y el resultado debe ser un número del mismo sistema. Dos números se debe poder multiplicar, y el resultado debe ser un número del mismo sistema.

Si agregamos la operación de resta (inversa de la suma) sólo a partir de los números enteros tenemos asegurada la existencia de solución. Y si agregamos la operación de división (inversa de la multiplicación) debemos apelar a por lo menos los números racionales para asegurar la existencia de solución. De alguna forma, estos sistemas de números están encajados unos en otros, como muñecas rusas.

Pero cabe preguntarse: ¿hay otros sistemas de números? Si los hay, ¿cumplen con todas las características que les pedimos a los sistemas más conocidos?

Veremos en esta serie de posts que hay otros sistemas de números, pero a veces, hay que abandonar algunas de las propiedades comunes. Es notable que existan sistemas de números donde no se cumple la conmutatividad de la multiplicación, y otros donde no se cumpla la asociatividad. O que haya sistemas de números que cumplan con todo lo esperado, pero que sean más grandes que los racionales y menos que los reales.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 14 de Marzo, 2016, 5:44

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Ya había anticipado el tema de esta serie de post, en La fórmula multiplicativa de la indicatriz. En el primer post, mencioné a la función indicatriz de Euler, vieja conocida de este blog, ver también La función indicatriz de Euler, Calculando la función indicatriz de Euler, Una propiedad de la indicatriz de Euler.

Veamos hoy de seguir con el tema de funciones multiplicativas, pero usando como ejemplo a la función indicatriz. Hay una propiedad interesante que pueden tener. Si dos números n, m son primos entre sí:

Es decir, tienen máximo común divisor igual a uno. Entonces si se cumple para la función aritmética f:

Entonces se dice que es función multiplicativa. Sólo se exige esta propiedad cuando los números m, n son primos entre sí.

La función indicatriz es multiplicativa, y algo de la demostración estaba en los posts mencionados. Veamos de de mostrarla de nuevo, de otra manera.

Sabemos que cuando p es primo, entonces:

¿Cuál es el valor de la indicatriz para una potencia de p? Sea que queremos calcular:

En este casos, los que NO son primos con palfa son:

Que si los contamos, son 1 de cada p números:

Restando del total de números, los que son no primos con palfa, nos queda la cantidad de los que SI SON PRIMOS:

Esto nos sirve como preliminar para encarar la demostración de la propiedad multiplicativa.

Veamos otra propiedad más general que nos va a ayudar. Si sabemos que dos números son primos entre sí:

Entonces también se cumple:

Y en general, para cualquier k:

En particular, tomemos a m = np, como un múltiplo de un primo p:


Es decir, si tomamos los números de 1 a m = np:

Algunos serán primos con m y otros no. Pero si ponemos los números de 1 a 2m:

El patrón de números primos se repite. Para fijar ideas, sea m = 3*2. Los números:

Tienen algunos que son primos con 6 (marcados con un asterisco). Si los repetimos hasta llegar a doce:

El patrón de asteriscos ES EL MISMO, el 1 y el 5, se "repiten" en el 7 y el 11. Se "repiten" los primos con 6, pero no aparecen nuevos. Y no aparecen nuevos, pues si:


Y como p divide a m, también se tiene:

Y se sigue

Es decir, que en este caso, cuando a un número a con asterisco se le suma m, dando a+m, sigue con asterisco, y si no tiene, tampoco lo tiene el nuevo a+m.

Es interesante ver cómo el máximo común divisor se "mantiene" en 1 o en mayor que 1, por más que se cambie m por mp, o mpp, o mppp, o por más que se sume km cualquiera. Todo esto siempre que m sea divisible por p.

En el próximo post veremos qué pasa si m no es divisible por p, cuál es la fórmula para la cantidad de números primos con mp.

En próximos post seguimos con propiedades de las funciones aritméticas, como ¿habrá otras funciones multiplicativas? ¿será la función de Moebius multiplicativa? ¿qué otras propiedades tiene la función indicatriz? Veremos que hay también funciones COMPLETAMENTE multiplicativas, y funciones aditivas. Ver

Arithmetic function

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 13 de Marzo, 2016, 14:44

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El libro "Sobre la libertad" de John Stuart Mill es uno de esas obras a las que cada tantos años vuelvo. Quisiera comenzar hoy algunos comentarios sobre las ideas de Mill. Recordemos: éste fue un filósofo inglés que vivió en el siglo XIX (nació en 1806, murió en 1873). Además de filósofo, fue economista, feminista, y empleado civil. Su influencia es variada: algunas de sus ideas quedaron en el camino, mejoradas por otras, pero las relacionadas con la obra que hoy nos ocupa parecen haber merecido una mayor atención, aún en nuestros días.

Antes de la introducción, Mill coloca esta frase de Guillermo de Humbold:

El gran principio, el principio dominante, al que conducen los argumentos expuestos en estas páginas, es la importancia esencial y absoluta del desenvolvimiento humano, en su más rica diversidad.

(De la esfera y los deberes del Gobierno)

Eso son los dos puntos que tenemos que tener en la mira, cuando vayamos avanzando en las ideas de Mill: el "desenvolvimiento humano", y "su más rica diversidad". Para Mill, el desarrollo de la humanidad, como sociedad o sociedades, se ve impulsado por la conservación y defensa de la diversidad individual. Es una gran postura que toma, y debe ser uno de los primeros que la presenta tan expresamente. Mucho de la defensa de la individualidad que hoy vemos en muchas denuestras sociedades (aún no hay una "sociedad humana" general), tiene su origen en Mill y sus defensores.

En la introducción que sigue a esta cita, Mill se explaya sobre la historia de las sociedades humanas, desde la opresión de unos pocos sobre varios, hasta la llegada de la democracia. Entonces, él ve un tema que no se había tratado hasta entonces: se pensaba que como la democracia es el gobierno del pueblo, éste no ejerce una influencia negativa sobre sus propios intereses. Pero Mill pone en juego al individuo: llama la atención sobre que un individuo puede ser castigado por su conducta, ya sea por medios legales o por medio de la condena social. Y que no siempre ese castigo es justificado. Leamos un párrafo de la introducción donde se plantea todo el esquema de la obra:

El objeto de este ensayo es afirmar un sencillo principio destinado a regir absolutamente las relaciones de la sociedad con el individuo en lo que tengan de compulsión o control, ya sean los medios empleados la fuerza física en forma de penalidades legales o la coacción moral de la opinión pública. Este principio consiste en afirmar que el único fin por el cual es justificable que la humanidad, individual o colectivamente, se entremeta en la libertad de acción de uno cualquiera de sus miembros, en la propia protección. Que la única finalidad por la cual el poder puede, con pleno derecho, ser ejercido sobre un miembro de una comunidad civilizada contra su voluntad, es evitar que perjudique a los demás. Su propio bien, físico o moral, no es justificación suficiente. Nadie puede ser obligado justificadamente a realizar o no realizar determinados actos, porque eso fuera mejor para él, porque le haría feliz, porque, en opinión de los demás, hacerlo sería más acertado o más justo. Estas son buenas razones para discutir, razonar y persuadirle, pero no para obligarle o causarle algún perjuicio si obra de manera diferente. Para justificar esto sería preciso pensar que la conducta de la que se trata de disuadirle producía un perjuicio a algún otro. La única parte de la conducta de cada uno por la que él es responsable ante la sociedad es la que se refiere a los demás. En la parte que le concierne meramente a él, su independencia es, de derecho, absoluta. Sobre sí mismo, sobre su propio cuerpo y espíritu, el individuo es soberano.

Esta serie de posts no se limitará sólo a esta obra, pero ella será el punto central. También veremos la educación de Mill recibida directamente de su padre, la influencia de su esposa, el tiempo que le tocó vivir, sus ideas socialistas, su feminismo, el utilitarismo.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 10 de Marzo, 2016, 6:37

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Ver el tema omni-channel en bancos, la actividad en Europa occidental, y usos de la blockchain (éste es un gran tema, a seguir con atención).

Latin American Bitcoin Startup Moneero Exits Stealth Mode

P2Bi's Ex-Factor: Revolving Lines of Credit From the Future | P2Binvestor

FIDO Alliance

Secret of Building a Successful FinTech Startup in 2016 [Part 1] | Let's Talk Payments

Omni-channel banking: The digital transformation roadmap

The Great Rebundling of Financial Services | Bank Think

Finextra: Finextra news: Banks and startups: How to find the perfect fit

THE FINTECH ECOSYSTEM REPORT: Measuring the effects of technology on the entire financial services industry - Business Insider Deutschland

33 FinTech Companies From Western Europe to Look out for in 2016

Blockchain in insurance

Security, blockchain & funding: 10 fintech wishes every CIO wants for 2016 - Computer Business Review

Technology: Banks seek the key to blockchain -

Fintech in 2016 - Business Insider

FinTech Startup's Morning Coffee

Top 10 Retail Banking Trends and Predictions for 2016

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 8 de Marzo, 2016, 5:49

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Temas interesantes, como el error de Euler en Fermat n = 3, una demostración fallida de la hipótesis de Riemman. En el trabajo de Riemman, pero primero en el de Dirichlet, aparecen los caracteres en grupos abelianos. Hay más artículos sobre el tema "gap" entre primos. Los números pentagonales aparecen en lo que estoy investigando de particiones de números.

Character theory - Wikipedia, the free encyclopedia

Selberg sieve - Wikipedia, the free encyclopedia

Legendre's conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia

Prime gap - Wikipedia, the free encyclopedia

Sieve theory - Wikipedia, the free encyclopedia

Elliott–Halberstam conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia

Yitang Zhang - Wikipedia, the free encyclopedia

Introducción a la Teoría Analítica de Números

New largest prime number found

Fermat's Last Theorem: Euler's Mistake

The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof : Nature News & Comment

Riemann Hypothesis not proved | The Aperiodical

[math/0505373] On the remarkable properties of the pentagonal numbers

Wiles' proof of Fermat's Last Theorem - Wikipedia, the free encyclopedia

Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents - Wikipedia, the free encyclopedia

Math Forum - Ask Dr. Math

Open Problems That Might Be Easy | Gödel's Lost Letter and P=NP

Elementary Number Theory

What is number theory? - HowStuffWorks

Journal of Number Theory - Elsevier

Elementary Number Theory

International Journal of Number Theory (World Scientific)

An Introduction to Number Theory :


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Angel "Java" Lopez