Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 25 de Mayo, 2014, 9:55

Comienzo hoy esta serie, de un tema amplísimo. Pero ha llegado el momento de encararlo. Vamos a explorar cómo son las matemáticas de la física cuántica. En primer lugar, exploraremos mecánica cuántica como había sido planteada en los años veinte del siglo pasado por Heisenberg, Schrödinger, Dirac y otros. Pero en algún momento iremos algo más allá, por ejemplo, en la relación de la teoría de grupos con la física, y en particular la física cuántica, y en la extensión a la relatividad especial, que dio nacimiento a la teoría cuántica de campos.

Notemos que tanto en física clásica como en física cuántica, se tratan estados físicos. Veamos el caso simple de un electrón libre. Para la física clásica, sería una partícula en el espacio. Bastará para describir su estado físico dar su posición y su velocidad, en un instante de tiempo. La posición se expresa en algún sistema de referencia, con valores numéricos y unidades, lo mismo su velocidad, que será un vector, no solo un número (importa su sentido y dirección, además de su "intensidad"). También se necesitará describir el entorno: ¿hay gravitación? ¿Hay campo electromagnético? Si los hay ¿varían con el tiempo? Dado todo eso, se puede describir clásicamente la evolución del sistema electrón-entorno simple.

La gran novedad de la física cuántica, y de sus matemáticas de base, es que sigue habiendo estado, pero su descripción es muy distinta. Aparece la función de onda (el primero es mostrarla en todo su esplendor, fue Erwin Schrödinger, ver mi serie La Ecuación de Schrödinger)

¿Qué es eso de la función de onda? Primero, designemos al estado físico, con una simple letra griega:

Digamos, para fijar ideas, que estamos interesados en el estado de un electrón, libre, con entorno simple. Luego, la función de onda es una función que REPRESENTA a ese estado físico, y que depende de las coordenadas que usemos:

Podemos poner que q son las coordenadas habituales espaciales: x, y, z. Lo de arriba es una abreviatura para:

Cuando trabajamos con esas coordenadas x, y, z. Pero llegarán casos donde tengamos otros sistemas de coordenadas, y así es conveniente habituarnos a hablar de un q genérico.

Podemos tener también una función de onda que dependa del tiempo:

Y el gran trabajo de Schrodinger fue descubrir cómo evoluciona la función de onda en el tiempo, dado un sistema electrón-entorno. Hizo por la mecánica cuántica lo que que Newton por la clásica: planteó ecuaciones diferenciales para describir el cambio en el tiempo de un estado físico. Pero ya llegaremos a esas ecuaciones.

Ahora tenemos la función de onda, apenas esbozada. ¿Qué devuelve? Pues, para cada conjunto de valores de coordenadas q (digamos para cada x, y, z), DEVUELVE UN NUMERO COMPLEJO. Epa ¿por qué? Si siempre en física clásica nos hemos manejado con números reales. Bueno, esa es la primera gran sorpresa de la mecánica cuántica: aparecen en primer plano los números complejos. La segunda gran sorpresa es que el estado del electrón no se especifica por una terna de valores x, y, z: no, el estado que pusimos arriba con una letra griega, se describe CON TODOS LOS VALORES de la función de onda. En cada punto del espacio el electrón tiene un valor complejo asociado.

Bien, mientras digerimos estas novedades, aprendamos que a ese valor complejo se le llama amplitud. En cada punto del espacio, la función de onda da una amplitud (compleja) para el electrón. ¿Y qué es esa amplitud? ¿qué representa FISICAMENTE? Notablemente, Schrödinger no dio en el clavo para esa respuesta: pensó que esa amplitud estaba relacionada con una densidad electrónica, de carga eléctrica, o algo así, repartida en el espacio. Veremos que la amplitud está relacionada con la probabilidad de encontrar al electrón en un volumen de espacio. Pero recordemos: probabilidad no es lo mismo que amplitud. Mientras que la primera es un número real no negativo, la segunda es un valor complejo.

A los físicos les interesa conocer otros aspectos de un sistema, en nuestro caso del electrón, como su posición, velocidad, energía, momento, etc. Ahora, en mecánica cuántica, tendremos que trabajar sobre la función de onda, nuestra principal fuente de información, para obtener algunos valores físicamente útiles. Tenemos un largo camino que recorrer en los próximos posts. Temas que vendrán:

- Principio de superposición
- Obteniendo la probabilidad en un volumen
- Magnitud física
- Espectro discreto y continuo de valores de una magnitud física
- Funciones y valores propios
- Operadores como magnitudes físicas
- Vectores de estado, bras, kets
- Hamiltoniano
- Lagrangiano
- Matriz S
- etc..

Ya hay otras series de post en los que trato temas no tan centrados en matemáticas como esta serie. En mi serie Física Cuántica vemos el desarrollo de los conceptos de la física cuántica a partir de experimentos idealizados, donde las matemáticas se insuflan de apoco. En esta nueva serie, quiero abordar más directamente el aspecto matemático, dando por sentado los experimentos físicos.

En Realidad y Física Cuántica quiero explorar la relación de todos estos conceptos y formulismos con la realidad.

En Notas sobre el Desarrollo de la Física Cuántica quiero compartir algunas notas, lecturas que he encontrado sobre el desarrollo histórico de estos temas, y el funcionamiento de la ciencia.

En Teoría de Grupos y Partículas Elementales me zambullo en un tema fascinante. Tenemos que ver qué es eso de la teoría de grupos aplicada a algo que vino luego de la física de campos: el modelo estándar de partículas elementales.

En Las Tres Espectroscopías estoy viendo de visitar qué hemos descubierto siguiendo la pista de tres espectroscopías a las que los físicos le han dedicado más de un siglo.

En Historia de las Partículas Elementales sigo la pista de esa historia. En cuántica, no hay "partículas" como en física clásica, bolitas desplegadas en un espacio. Pero igual asombra, como en el caso de las espectrospopías, que no se da en la realidad lo continuo, sino lo discreto. Esa pista que nos da la naturaleza pasó por milenios desapercibida, oculta, sin que nos diéramos cuenta, debido a que nuestra realidad cotidiana no se topa con esos fenómenos, al menos de manera evidente. Tanto la cuántica como la relatividad einsteniana nos vinieron a sacar de la zona de comfort a la que había llegado la física a fines del siglo XIX, cuando parecía que todo estaba resuelto y sólo era cuestión de "calcular algunos decimales más" en algunas teorías.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 18 de Mayo, 2014, 12:30

Desde hace más de un siglo, los físicos han venido intensificando su búsqueda para explicar la materia. Más de una vez, todo parecía explicado, cuando algún experimento nuevo daba nuevos horizontes y fenómenos a explicar. Una de las estrategias más empleadas, fue producir experimentos donde cada vez se usara más energía.

Al principio, sólo había algún acelerador de electrones, en el tubo de rayos catódicos. Luego aparecieron nuevos aparatos, como las máquinas de Crokcroft-Walton y de Van der Graf. A éstas las sucedieron los ciclotrones, los betatrones, los sincrotones de protones, cada vez de mayor tamaño y costo. Así hemos llegado en nuestros tiempos al gran Large Hadron Collider (LHC) de tan mentada fama en el descubrimieno de lo que se supone es la partícula de Higgs.

¿Adónde nos ha llevado toda esta investigación? ¿Qué descubrimos así de los bloques fundamentales que forman la naturaleza? Esta serie de post que inicio, tratará de hacernos visitar las etapas que se fueron investigando, destacando que todas fueron variantes de espectroscopía: agitar la materia y ver qué produce.

En este camino, hay algo notable, inesperado: cuando uno calienta un trozo de hierro en la fragua, y luego lo aparta, el metal irradia la energía que fue absorviendo. Lo mismo pasa con la materia. Pero en vez de irradiar de forma continua, la gran sorpresa fue que no lo hacía: tanto el modelo de Planck para explicar la radiación de cuerpo negro, como el modelo de Einstein para explicar el efecto fotoeléctrico, pusieron en el tapete la existencia de emisión y absorción en forma de cuantos, lo que hoy llamamos fotones.

Este fue el primer paso para la formación de la mecánica cuántica. Tenemos que detenernos un momento en este fenómeno. Lo ilustraré con imágenes simplificadas de lo que sabemos hoy que sucede. Sea un átomo de hidrógeno:

Como dije, es una imagen simplficada. En el centro, representamos el único protón del núcleo. Por fuera, un esquema de órbita electrónica. La física cuántica nos enseñó que el diagrama de arriba no corresponde a la realidad: no hay trayectoria electrónica definida, ni siquiera el protón es una "bolita" en el centro. Pero para esta introducción didáctica nos va a servir.

Por influencia externa, por ejemplo, por un campo electromagnético como la incidencia de luz, nuestro átomo pasa a estar en un estado excitado:

Dos consideraciones: en este estado excitado, lo que cambió fue el estado del electrón. En estos primeros experimentos, a bajas energías, el núcleo de los átomos permanecía inalterado. Y la segunda consideración: se fue descubriendo que el electrón no puede excitarse a CUALQUIER ORBITA. No, las órbita permitidas se fueron descubriendo, y eran apenas unas pocas, no un conjunto continuo de valores. Esto apareció históricamente con el estudio del espectro de los elementos. De ahí que denomine a estos estudios la primera espectroscopía que tenemos que visitar.

Luego, por influencia externa o no, el átomo se desexcitaba:

PERO EMITIENDO ALGO, lo que hoy llamamos un fotón, y que entonces se reconocía con luz (rayos gamma si tenían mucha energía, rayos X, luz visible, ondas en infrarrojo, ondas de radio, etc). Pero como decía antes, se descubrió que no se emitía cualquier cosa: no aparecía nunca un fotón y medio, o medio fotón, sino siempre un fotón. Podía tener distintas características (como frecuencia y longitud de onda), pero asociadas al nivel de energía devuelto al exterior por el átomo.

Todo esto era nuevo, a comienzos del siglo XX. Nadie había imaginado que la naturaleza se iba a comportar de esta forma, más discreta que continua. Desde entonces, hemos ido descubriendo más de este tipo de experimentos: excitaciones de la materia, que derivan en la emisión discreta de partículas.

Me sirve de base para esta serie, el excelente artículo "Las tres espectroscopías", de Victor F. Weisskopf, publicado en el Scientific American, en Mayo de 1968. El propio autor presenta imágenes simplicadas como las de arriba. Lo importante es empezar a ver las similitudes y diferencias en esta larga serie de experiencias, y lo notable de la aparición de partículas, cuantos en todos los desarrollos que aparecieron. ¿La naturaleza nos está dando un mensaje? ¿un "lo continuo no existe"?

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 17 de Mayo, 2014, 14:00

Stanislav Ulam fue un matemático polaco. Es conocido por haber participado en el Proyecto Manhattan. Junto con Teller diseñó armas termonucleares. Inventó el método de Monte Carlo para calcular lo que no se puede calcular directamente. En mi radar, entró hace unas décadas, por la espiral de Ulam de números primos.

Hoy me encuentro con una cita de su biografía "Adventures of a Mathematician", que traduzco:

Hace unos años, dí una conferencia en el aniversario nro. 25 de la construcción de la computadora de von Neumann en Princeton. De pronto me ví estimando en mi mente cuántos teoremas eran publicados anualmente en las revistas de matemáticas [los "journals"]. Hice un rápido cálculo mental y llegué a un número cercano a los cien mil teoremas por año. Lo mencioné en la charla, y la audiencia se impresionó. Al día siguiente, dos jóvenes matemáticos que habían asistido, se me acercaron y me dijeron, impresionas por ese número enorme, que habían hecho una búsqueda más sistemática y detallada en la biblioteca del instituto. Multiplicando el número de "journals" por la cantidad de de números al año, por la cantidad de "papers" por número y por el promedio de teoremas por "paper", estimaban que había cerca de doscientos mil teoremas por año. Si el número de teoremas es mayor que lo que uno puede estudiar ¿cómo podemos estar seguros al juzgar qué es "importante"? Uno no puede tener la supervivencia del más apto si no tiene interacción. Es actualmente imposible mantenerse al tanto de aún los más relevantes y excitantes resultados. ¿Cómo podemos reconciliar esto con la idea de las matemáticas sobreviviendo como una sola ciencia? En matemáticas, uno termina casado con su propio pequeño campo de estudio. Debido a eso, el juzgar el valor de la investigación matemática es cada vez más y más dificultoso, y muchos de nosotros hemos devenido en ser principalmente técnicos. La variedad de objetos trabajados por los jóvenes científicos está creciendo exponencialmente. Quizás no deberíamos llamarla polución del pensamiento; es posiblemente algo similar a la prodigalidad de la naturaleza que produce millones de especies de insectos.

Es decir, el problema, el dilema es:

Con tantas matemáticas de hoy en día, cómo se puede juzgar qué es importante y qué no.

Mi primera respuesta: son los propios matemáticos quienes deciden darle importancia o no a un resultado. Seguramente algún grupo de matemáticos reconocerá los teoremas importantes de una rama. Esos teoremas serán entonces seguidos por más matemáticos. Habrá unos pocos que se tomarán el trabajo de vigilar los avances destacados y cómo pueden influir en otras ramas. Las matemáticas son especiales: sus resultados, en principio, sólo interesan a los propios matemáticos. Sólo con el tiempo, algún resultado puede que tenga influencia en otros ámbitos.

La cita la encuentro en el excelente "The Mathematical Experience" de Philip Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 15 de Mayo, 2014, 11:07

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Sigo compartiendo el prefacio de "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics", de John Von Neumann. Viene una mención y crítica al trabajo de Dirac:

Dirac, in several papers, as well as in his recently published book, has given a representation of
quantum mechanics which is scarcely to be surpassed in brevity and elegance, and which is at the same time of invariant character. It is therefore perhaps fitting to advance a few arguments on behalf of our method, which deviates considerably from that of Dirac.

Von Neumann destaca el carácter invariante del trabajo de Dirac, es decir, independiente de las coordenadas.

The method of Dirac, mentioned above, (and this is overlooked today in a great part of quantum mechanical literature, because of the clarity and elegance of the theory) in.no way satisfies the requirements of  mathematical rigor — not even if these are reduced in a natural and proper fashion to the extent common elsewhere in  theoretical physics. For example, the method adheres to the fiction that each self-adjoint operator can be put in diagonal form. In the case of those operators for which this is not actually the case, this requires the  introduction of "improper" functions with self-contradictory properties. The insertion of such a mathematical "fiction" is frequently necessary in Dirac's approach, even though
the problem at hand is merely one of calculating  numerically the result of a clearly defined experiment.

Supongo que se refiere a las delta de Dirac. Años después, éstas serían adoptadas en rigor gracias al trabajo de Schwartz. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function

There would be no objection here if these concepts, which cannot be incorporated into the present day framework of analysis, were intrinsically necessary for the physical theory. Thus, as Newtonian mechanics first brought about the development of the infinitesimal calculus, which, in its original form, was undoubtedly not self-consistent, so quantum mechanics might suggest a new structure for our "analysis of infinitely many variables" — i.e., the  mathematical technique would have to be changed, and not the
physical theory.

Interesante que ponga a la física newtoniana y el cálculo (no riguroso al principio), como ejemplo. Pero los diferencia de lo que se necesita para la cuántica:

But this is by no means the case. It should rather be pointed out that : the quantum mechanical "Transformation theory" can be established in a manner which is just as clear and unified, but which is also  without mathematical objections. It should be emphasized that the correct structure need not consist in a  mathematical refinement and explanation of the Dirac method, but rather that it requires a procedure differing from the very beginning, namely, the reliance on the Hilbert theory of operators.

Veré qué puedo aprender de este "approach" distinto. Seguimos leyendo en el próximo post.

Nos leemos!

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Publicado el 12 de Mayo, 2014, 13:39

Comienzo hoy una serie (que podría ser interminable) sobre un tema grandísimo: los avances que ha hecho la física en los últimos ciento y pico de años para descubrir y comprender lo que llamamos "partículas elementales". Es un gran tema que abarca tanto la física experimental como la teórica, y es un ejemplo más que interesante sobre cómo trabaja la ciencia.

Empecemos este largo camino con un pantallazo de la situación de la física al terminar el siglo XIX y comenzar el XX. En el siglo que terminaba, había continuado el gran desarrollo de la mecánica clásica, impulsada por el estudio de la mecánica celeste y el gran aporte de nuevos modelos matemáticos. Pero la joya de la centuria eran los avances de Faraday, Maxwell y otros en el desarrollo del electromagnetismo. Fenómenos eléctricos y magnéticos, conocidos desde la antiguedad, pero dejados algo de lado por el avance de la mecánica clásica y la óptica, fueron unificados luego de pacientes experimentos, modelos propuestos y el andamiaje matemático que se consiguió aplicar (recuerdo que las que conocemos como ecuaciones de Maxwell no fueron escritas así por él, sino que fue el resultado de la evolución de la notación a finales del siglo XIX, en especial gracias al aporte de los operadores inventados por Heaviside).

Pero además, en los últimos años, se habían sumado nuevos fenómenos, nuevos problemas, nuevas excitaciones y anticipaciones. Teníamos los rayos catódicos, el efecto fotoeléctrico, la radioactividad, los rayos X, el efecto Zeeman, y la notable ley de Rydberg para explicar las líneas espectrales, que serían la puerta de entrada de "lo discreto" en física, y luego uno de los motores de la física cuántica. Hacía poco tiempo que alguien había dicho (creo que Lord Kelvin): "en física, ahora sólo hace falta ajustar algunos decimales". Pero no: realmente el panorama estaba en ebullición, y no se sabía en qué iba a terminar todo.

Los átomos todavía no habían sido aceptados por todos. La estructura atómica de la materia se había discutido desde los antiguos griegos, pero fue con Dalton donde asomó de nuevo vigorizada con el avance de la química. Pero para muchos físicos, los átomos eran sólo un modelo superficial, algo que ayudaba a los químicos en sus ideas, pero que no eran reflejo de una realidad física, solamente un aditamento, una herramienta para facilitar el avance. Por ejemplo, Mach nunca adoptó el atomismo. Y Ostwal fue a duras penas convencido recién entrado el siglo XX. En fechas tan tardías como 1897, lord Kelvin describía a "la electricidad como un líquido continuo homogéneo". Pero en el mismo año, J.J.Thomson ejecutaba su famoso experimento que determinaba la razón e/m de la masa y la carga de los rayos catódicos. El positivismo se hubiera quedado en una simple ley matemática, pero Thomson fue más allá (como hace casi cualquier científico) y propuso un modelo: la existencia del electrón. Nuestra primer partícula elemental.

Por hoy bastante, basta agregar las fuentes consultadas. Por un lado, el excelente "Elementary particles, a short history of discoveries in atomic physics", de Chen Ning Yang. Por otro, el también excelente "De los rayos X a los quarks", de Emilio Segré. Y otras lecturas que iré mencionando.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 11 de Mayo, 2014, 16:23

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Venga hoy una nueva serie, que necesito escribir para poner en claro algunos puntos que estoy estudiando. En estos días me encuentro con un libro clásico: "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics", de John Von Neumann. Paso en esta serie a compartir y comentar el prefacio. Hoy leo:

The object of this book is to present the new quantum mechanics in a unified representation which, so far as it is possible and useful, is mathematically rigorous. This new quantum mechanics has in recent years achieved in its essential parts what is presumably a definitive form: the so-called "transformation theory." Therefore the principal emphasis, shall be placed on the general and fundamental questions which have arisen in connection with this theory. In particular, the difficult problems of interpretation, many of which are even now not fully resolved, will be investigated in detail* In this context the relation of quantum mechanics to statistics and to the classical statistical mechanics is of special importance. However, we shall as a rule omit any discussion of the application of quantum mechanical methods to particular problems, as well as any discussion of special theories derived from the general theory — at least so far as this is possible without endangering the understanding of the general relationships. This seems the more advisable since several excellent treatments of these problems are either in print or in process of publication.

Para "transformation theory" leer:

http://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_theory_(quantum_mechanics)

The term transformation theory refers to a procedure and a "picture" used by P. A. M. Dirac in his early formulation of quantum theory, from around 1927.[1]

This "transformation" idea refers to the changes a quantum state undergoes in the course of time, whereby its vector "moves" between "positions" or "orientations" in itsHilbert space.[2] Time evolution, quantum transitions, and symmetry transformations in Quantum mechanics may thus be viewed as the systematic theory of abstract, generalized rotations in this space of quantum state vectors.

Remaining in full use today, it would be regarded as a topic in the mathematics of Hilbert space, although, technically speaking, it is somewhat more general in scope. While the terminology is reminiscent of rotations of vectors in ordinary space, the Hilbert space of a quantum object is more general, and holds its entire quantum state.

(The term further sometimes evokes the wave-particle duality, according to which aparticle (a "small" physical object) may display either particle or wave aspects, depending on the observational situation. Or, indeed, a variety of intermediate aspects, as the situation demands.)

Se refiere principalmente al trabajo de P.A.M. Dirac. Von Neumann es consciente de los problemas de interpretación a los que da lugar la teoría de la transformación. Es importante no olvidar ese punto. Por otro lado, von Neumann, como matemático, prefiere renuncia al tratamiento con matrices, y pasar a trabajar con operados. Leo:

On the other hand, a presentation of the mathematical tools necessary for the purposes of this theory will be given, i. e., a theory of Hilbert space and the so called Hermitean operators. For this end, an accurate introduction to unbounded operators is also necessary, i.e., an extension of the theory beyond its classical limits (developed by Hilbert and E. Hellinger, P. Riesz, E. Schmidt, 0. Toeplitz). The following may be said regarding the method employed in this mode of treatment: as a rule, calculations should be performed with the operators themselves (which represent physical quantities) and not with the matrices, which, after the introduction of a (special and arbitrary) coordinate system in Hilbert space, result from them. This "coordinate free, " i.e., invariant, method, with its strongly geometric language, possesses noticeable formal advantages.


Vemos que prefiere el "coordinate free", el trabajar sin unas coordenadas en particular, en un lenguaje geométrico. Gran parte de la física moderna lucha por liberarse de las coordenadas, y describir sus modelos en forma de una geometría sin "punto de origen" o "ejes coordenados". Tengo que estudiar los "unbounded operatros", que parecen necesitar una "extension of the theory".

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 5 de Mayo, 2014, 14:20

Como pasa el tiempo, ya estamos en un nuevo mes. Repaso de las resoluciones de abril:

- Seguir escribiendo post sobre Stephen Jay Gould [pendiente]
- Seguir mi serie Leyendo a Darwin [pendiente]
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrodinger [completo] ver post
- Seguir mi serie Grupos y Partículas Elementales [completo] ver post
- Iniciar serie sobre Electromagnetismo [completo] ver post
- Iniciar serie Notas sobre Teorías Gauge [pendiente]
- Seguir mi serie Teoría Cuántica de Campos y Partículas [pendiente]
- Estudiar Teoría de Grupos [completo]

En vez de publicar algunos temas de arriba, me dediqué a comentar a Dirac:

Interferencia de Fotones, por Dirac (1)
Interferencia de Fotones, por Dirac (2)
Interferencia de Fotones, por Dirac (3)

como preparación a una explicación más detallada del formulismo de su teoría de transformaciones.

Y estuve estudiando algo de cosmología (leyendo a Bondi), y de relatividad (leyendo a Einstein). Fueron lecturas muy sabrosas, sobre las que tendría que comentar algo en posts.

Para este mes, si bien estoy algo ocupado profesionalmente, planeo hacer:

- Seguir escribiendo post sobre Stephen Jay Gould
- Seguir mi serie Leyendo a Darwin
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrodinger
- Seguir mi serie Grupos y Partículas Elementales
- Seguir mi serie sobre Electromagnetismo
- Iniciar serie Notas sobre Teorías Gauge
- Estudiar Cosmología

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 4 de Mayo, 2014, 13:23

El electromagnetismo es un tema muy importante en la física moderna. Nacido en el siglo XIX, la teoría electromagnética ha ido evolucionando, ya con conceptos, nuevo formulismo, y adecuación a experimentos. Por ejemplo, la teoría especial de la relatividad es una gran conciliación de los experimentos (como el de Michelson-Morley) con lo que se sabía del electromagnetismo desde Maxwell (y otros). Es la física newtoniana la que tuvo que ser adecuada para concordar con lo que se conoce.

En el siglo XX, el electromagnetismo se junta también con la cuántica, apareciendo formulaciones con fotones y campos cuánticos. Y luego extensiones más poderosas. Pero hoy quisiera comenzar mi camino por el electromagnetismo clásico, un tema que me debo.

Es común estudiar física, y encontrarse con mecánica, dinámica y otros problemas. Pero el electromagnetismo es como que pertenece a otra "categoría": por una lado, se olvida su desarrollo clásico, a favor de la aproximación cuántica. Y por otro, esta aproximación no es trivial. Así que es tiempo que comience a visitar el campo del electromagnetismo clásico, algo olvidado en los textos de divulgación.

El primer paso en este largo camino es la ley de Coulomb, ilustrada por la siguiente figura:

Esta ley establece que las fuerzas eléctricas (vean que todavía no aparece magnetismo) entre dos cargas puntuales es inversamente proporcional al cuadrado de las distancias entre ellas, y directamente proporcional al producto de sus cargas. La dirección de la fuerza coincide con la línea que une a las dos cargas. En seguida vemos que la ley de Coulomb se parece a la ley gravitatoria. Pero con dos grandes diferencias:

- No toda la materia tiene carga eléctrica
- La fuerza viene con dos signos: atractivas y repulsivas

Es como si la naturaleza quisiera avisarnos: "les he desplegado otra fuerza, para que vean que la gravedad no es la única". Son estas características especiales de las cargas eléctricas lo que llama la atención a un físico. ¿Por qué estas grandes diferencias cualitativas entre la gravedad y la fuerza eléctrica? ¿habrá otras fuerzas, con diferencias más acusadas, para encontrar en la naturaleza?

Los físicos gustan de escribir las leyes en fórmulas matemáticas. La ley de Coulomb puede ser escrita así:

Que da la fuerza sobre la carga q debido a la presencia de la carga q" en términos de un vector unitario r-sombrero. Ese vector es un vector sin dimensiones que se obtiene dividendo el vector que une las cargas por su longitud:


Entonces, la ley de Coulomb puede escribirse como:


Hay una constante de proporcionalidad k que dependerá del sistema de unidades que usemos. Por ahora, nos basta comenzar a entender la existencia de estas relaciones.

Algo a destacar ahora: las fuerzas se ubican sobre la línea que une las cargas. En esto, la fuerza eléctrica cumple con la tercera ley de Newton de fuerzas iguales y direcciones opuestas (en la variante fuerte: sobre la misma línea). Veremos que si bien la ley de Newton es cumplida por estas fuerzas eléctricas, NOTABLEMENTE no se cumple en las fuerzas magnéticas. Pero podemos adelantar algo: hay dos leyes de conservación que nos ayudan a explicar estas características de la fuerza eléctrica. La ley de conservación del momento lineal implica que las fuerzas sean iguales y opuestas.  Y la conservación del momento angular, implica que las fuerzas se apliquen sobre la misma línea.

Principal fuente consultada: Classical Electromagnetism, de Jerrold Franklin.

Algo de historia en mi serie: La teoría de Maxwell-Lorentz. Otros posts:

El estilo de James Clerk Maxwell según Ludwig Boltzmann
Campos clásicos, física y matemáticas
Una propiedad del electromagnetismo, por Feynman

Nos leemos!

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Publicado el 3 de Mayo, 2014, 11:18

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Ya tenemos las relaciones de de Broglie/Einstein. Por ejemplo, dada un impulso, se le asocia a una partícula una longitud de onda. O dada una energía, se le asocia una frecuencia. Pero S chrödinger  buscaba más. Quería una relación que explicara cómo cambia en el tiempo y en el espacio esa onda asociada a una partícula. Buscó una ecuación diferencial, con derivadas parciales de tiempo y espaci.
En el post anterior, planteamos una primera función de onda a investigar:

En vez de un espacio de tres dimensiones, planteamos una sola dimensión x. Veamos de escribir:


Quedando entonces

Veamos de ir viendo hoy las derivadas parciales en x y en t. Para tomar la derivada parcial en x, se deriva totalmente en x considerando que t es una constante. Y viceversa para la derivada parcial en t. ¿Cuál será la derivada de la función seno? Podemos consultar una tabla de derivadas, pero es fácil recordar que la derivada de seno es coseno. Y que la derivada de coseno es menos seno. Lo podemos deducir de sus desarrollos en series de potencias, ver por ejemplo Series de Potencias.

Otro cosa que tenemos que recordar, es que derivada de f(kx) es k f"(x) (consecuencia de la regla de derivación de función de función).

Sabiendo eso (ahora estamos en físicos más que en matemáticos), podemos avanzar a hacer algunos cálculos simples y llegar a:




Estos resultados nos van a servir en los próximos posts. Queremos una ecuación donde aparezca de alguna forma relacionados conceptos físicos, como energía y momento. Por las relaciones de de Broglie/Einstein vamos a poder reemplazar esos conceptos físicos por frecuencia y longitud de onda. La forma en que aparezcan frecuencia/energía y longitud de onda/momento en la ecuación (sus coeficientes y exponentes) nos darán una idea de cuáles derivadas parciales intervendrán.

Nos leemos!

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Publicado el 2 de Mayo, 2014, 15:20

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Sigo con este tema inmenso e importante, que une a la física y a las matemáticas modernas. Ya vimos en el anterior post lo que es un grupo abstracto, y un ejemplo de grupo finito. A pesar de ser abstractos, los grupos intervienen en física, por ejemplo, en la transformación de estados representados por vectores, y notablemente, hay estados representados por tensores, que podemos considerar una "extensión" de las ideas vectoriales. Por un lado, tenemos estados físicos que se pueden representar por entes matemáticos. Y los grupos es como que se cuelan entre ellos, para expresar transformaciones. Pero sigamos primero explorando los grupos.

Hay un tema que no siempre se estudia cuando uno esta interesado en lo abstracto de los grupos, y en sus operaciones matemáticas. Es el tema de las representaciones. Hay una relación entre grupos abstractos y elementos concretos que se le pueden asociar, notablemente números y matrices.

La representación de un grupo es un conjunto de objetos que satisfacen la tabla de multiplicación del grupo. Con el ejemplo del anterior post:

podemos tener una representación si asignamos objetos números a cada operación, así:

e = 1
a = i
b = -1
c = -i

Donde i es la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de -1. Podemos llamar a esta representación la C4. Como la multiplicación de números es conmutativa, también lo es entonces este grupo ejemplo en particular, o sea ab = ba para cualesquiera elementos a, b del grupo. Este grupo es también cíclico, es decir, sus elementos se obtienen a partir de potencias de un solo elemento. Un desarrollo posible es:

e = i4
a = i
b = i2
c = i3

Pero no es la única representación posible. Recordemos las matrices. Una matriz que represente una rotación en el plano de ángulo phi está dada por:

Si ponemos phi con los valores 0, pi /2, pi, 3pi /2, nos quedan cuatro matrices:

correspondientes, de nuevo, a las operaciones del grupo original, tomando como composición a la multiplicación de matrices de 2x2. Si recordamos, hasta podemos asociar multiplicar por i a "girar noventa grados" el plano complejo. De ahí la correspondencia entre ambas representaciones. Pueden consultar mi serie Simetrías del cuadrado para reencontrar de nuevo estas relaciones, de otra forma.

Puede haber correspondencia entre los elementos de dos grupos. La correspondencia puede ser uno a uno, dos a uno, muchos a uno, etc... Si los elementos de un grupo, correspondientes a todos los elementos del otro grupo, satisfacen la misma tabla de multiplicación, se dice que hay un homomorfismo. No solamente una correspondencia de elementos, sino también de sus operaciones y resultados de grupo. Si esa correspondencia de homomorfismo es también una a una (cada elemento de un grupo corresponde a uno y sólo un elemento del otro grupo), se dice que es un isomorfismo. Las dos representaciones de arriba corresponden uno a uno con los elementos del grupo original, y respetan la tabla de multiplicación. Son entonces isomorfas.

Ya comentamos que no todos los grupos son conmutativos. Así que no todos los grupos admitirán una representación en números (reales o complejos). Pero sí pueden tener representación en matrices. Los físicos se manejan mejor con matrices que con grupos abstractos, así que estas representaciones tienen su importancia para el tema que estamos tratando.

El ejemplo que vimos es un ejemplo de grupo finito. Pero el ejemplo de las rotaciones en el plano (con ángulo arbitrario, no sólo los cuatro de arriba) forma un grupo contínuo, donde hay elementos del grupo arbitrariamente cercanos a otros elementos del grupo. Puede demostrarse que los grupos finitos y los grupos continuos que interesan en física pueden ser representados por matrices. Es más: pueden ser representados por matricas unitarias. En estas matrices se cumple

A+ = A-1

en otras palabras, la matriz traspuesta y conjugada compleja es igual a la matriz inversa. La traspuesta es la que tiene sus elementos "espejados" según la diagonal tope-izquierdo a abajo-derecha. Es decir, donde aij = aji. Y la conjugada compleja es la que tiene cada elemento como conjugado complejo del original. Combinado traspuesta y conjugada compleja, tenemos la A+. Y en el caso de las unitarias, esa matriz es LA INVERSA de la original A.

El por qué de este "unitarismo" queda en la relación que tienen estas matrices para expresar variables dinámicas en física cuántica. Puede que más adelante visitemos de nuevo el tema. Por ahora, nos contentaremos con seguir investigando este tipo de representaciones.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 25 de Abril, 2014, 13:03

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Mientras prepare algun post del tema, sigue publicando enlaces para compartir:

A Hacker's Life // Speaker Deck
https://speakerdeck.com/dugsong/a-hackers-life

Realtime pixel tracking with nginx, syslog-ng, and Redis
http://benwilber.net/realtime-pixel-tracking-nginx-syslog-ng-redis

Business Models
http://practicetrumpstheory.com/business-model/

Startup Metrics for Pirates
http://www.slideshare.net/dmc500hats/startup-metrics-for-pirates-long-version

Business Model Canvas Optimized for Lean Startup | Lean Canvas
https://leanstack.com/

Spark59 - Tools, Content, and Coaching for Entrepreneurs
http://spark59.com/

Running Lean: The Lean Startup How-to Book
http://runninglean.co/

Ash Maurya — Practice Trumps Theory
http://practicetrumpstheory.com/

When Your Startup’s MVP Hack Becomes Technical Debt | by @kevindewalt Kevin Dewalt's Blog
http://kevindewalt.com/2013/08/29/when-your-startups-mvp-hack-becomes-technical-debt/

¿Qué no es un Mínimo Producto Viable? | Biko
http://www.biko2.com/el-oficio-y-el-negocio/que-no-es-un-minimo-producto-viable/

Startup Architecture: How to Lean on Others to Get Stuff Done
http://www.infoq.com/presentations/last-moment-design

www.bbsoft.com.ar
http://www.bbsoft.com.ar/

cuboclick.com : Principal
http://cuboclick.com/

How To Think About Minimum Viable Products, And The Path To Passion At Startup Festival | TechCrunch
http://techcrunch.com/2013/07/10/how-to-think-about-minimum-viable-products-and-the-path-to-passion-at-startup-festival/

The Mistake Bank: Interview with Dan Isenberg, author of "Worthless, Impossible and Stupid"
http://mistakebank.caddellinsightgroup.com/2013/07/interview-with-dan-isenberg-author-of.html

Lean Analytics Book
http://leananalyticsbook.com/

SXSW: Lean Startup for Big Brands | Blog | design mind
http://designmind.frogdesign.com/blog/sxsw-lean-startup-for-big-brands.html

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Publicado el 14 de Abril, 2014, 14:03

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Tengo que comentar sobre Lean Startup, en un post aparte, en especial sobre el primer libro de Eric Reis. Por ahora, sigo compartiendo enlaces:

Startups, Throw Out Your Financial Models: The Argument For Lean Modeling - Forbes
http://www.forbes.com/sites/jjcolao/2013/02/21/startups-throw-out-your-financial-models-the-argument-for-lean-modeling/

How to Build Your Startup Technology Stack Real Fast Without Investing Any Money. | Lilly Labs
http://labs.lillyapps.no/2013/07/10/how-to-build-your-startup-technology-stack-real-fast-without-investing-any-money/

El taller de emprendedores Lean Startup Machine llega a España
http://www.itespresso.es/taller-de-emprendedores-lean-startup-machine-llega-espana-113649.html

Diagonal Valley: Cuarto Encuentro <Lean UX> - Eventioz
https://eventioz.com.ar/diagonal-valley-cuarto-encuentro-lean-ux

Welcome to The Lean Startup Conference.
http://leanstartup.co/

How to Identify a Lean Startup by Ash Maurya - Capital Factory Demo Day 2010 - YouTube
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=zcbG_Le8040

Why the Lean Start-Up Changes Everything - Harvard Business Review
http://hbr.org/2013/05/why-the-lean-start-up-changes-everything/ar/1

Bringing the Lean Startup approach to healthcare - The Next Web
http://thenextweb.com/entrepreneur/2013/04/20/bringing-the-lean-startup-approach-to-healthcare/

Lean Analytics: Using Data to Build a Better, Stronger, Faster Startup - Forbes
http://www.forbes.com/sites/reuvencohen/2013/03/21/lean-analytics-using-data-to-build-a-better-stronger-faster-startup/

Abba - JavaScript a/b testing | Alex MacCaw
http://blog.alexmaccaw.com/abba

Introducción al concepto "lean" y las "lean startups"gpmess
http://gpmess.com/blog/2013/01/24/introduccion-al-concepto-lean/#.URVohm_7Iig

Three charts are all I need by Noah of 37signals
http://37signals.com/svn/posts/3388-three-charts-is-all-i-need

Qué es un MVP. Minimum Viable Product.
http://charliedontcode.com/startups/2013/01/06/lean-startup-mvp.html

Maratón Lean Startup: la experiencia Buenos Aires | Wayra Argentina
http://ar.wayra.org/es/noticia/maraton-lean-startup-la-experiencia-buenos-aires

Lean"s Great Dilemma: Persist or Pivot — giffconstable.com
http://giffconstable.com/2012/12/leans-great-dilemma-persist-or-pivot/

Here"s How Spotify Scales Up And Stays Agile: It Runs "Squads" Like Lean Startups | TechCrunch
http://techcrunch.com/2012/11/17/heres-how-spotify-scales-up-and-stays-agile-it-runs-squads-like-lean-startups/

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Publicado el 13 de Abril, 2014, 13:34

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Sigamos leyendo y comentando a Dirac:

One could carry out the energy measurement without destroying the component beam by, for example, reflecting the beam from a movable mirror and observing the recoil. Our description of the photon allows us to infer that, after such an energy measurement, it would not be possible to bring about any interference effects between the two components. So long as the photon is partly in one beam and partly in the other, interference.can occur when the two beams are superposed, but this possibility disappears when the photon is forced entirely into one of the beams by an observation. The other beam then no longer enters into the description of the photon, so that it counts as being entirely in the one beam in the ordinary way for any experiment that may subsequently be performed on it.

Uno podría tomar la medida de la energía sin destruir el haz, por ejemplo, haciendo que el haz se refleje en un espejo móvil, y observando el retroceso del mismo. Nuestra descripción del fotón nos permite inferir que, luego de tal medida de la energía, no sería posible encontrar ningún efecto de interferencia entre los dos componentes. Mientras que el fotón está en parte en un haz, y en parte en el otro, la interferencia puede ocurrir cada vez que los dos haces se superponen, pero esta posibilidad desaparece cuando el fotón es forzado a ser encontrado en uno de los haces, luego de una observación. El otro haz ya no entra en la descripción del fotón, y éste sólo cuenta como apareciendo en uno de los haces, para cualquier experimento que se se ejecute sobre él.

No me es claro que "nuestra descripción... nos permite inferir". Hay algún resultado experimental que Dirac se saltea, o no pone explícicamente. Eso es lo que veo que le falta a este capítulo: referencias concretas a los experimentos que nos llevan a estas conclusiones.

On these lines quantum mechanics is able to effect a reconciliation of the wave and corpuscular properties of light. The essential point is the association of each of the translational states of a photon with one of the wave functions of ordinary wave optics. The nature of this association cannot be pictured on a basis of classical mechanics, but is something entirely new. It would be quite wrong to picture the photon and its associated wave as interacting in the way in which particles and waves can interact in classical mechanics. The association can be interpreted only statistically, the wave function giving us information about the probability of our finding the photon in any particular place when we make an observation of where it is.

En estas líneas, la mecánica cuántica puede efectuar una reconciliación de las propiedades corpusculares y ondulatorias de la luz. El punto esencial es la asociación de cada estado de traslación del fotón con una de las funciones de onda de la óptica ondulatoria ordinaria. La naturaleza de esta asociación no puede ser imaginada sobre la base de la mecánica clásica, sino que es algo enteramente nuevo. Sería erróneo imaginr al fotón y a su onda asociado como interactuando como las partículas y ondas pueden interactuar en la mecánica clásica. La asociación sólo puede interpretarse estadísticamente, la función de onda nos dá información acerca de la probabilidad de encontrarnos al fotón en un lugar particular cuando efectuamos una observación sobre su posición.

Yo comentaría que "observación" es algo muy humano. El propio universo observa algunos de estos procesos, sin necesidad de poner una observación humana. Esta distinción (o falta de ella) es la que nos lleva a entender que el modelo de la física cuántica no tiene una aplicación/explicación de cuándo estas "observaciones" tienen lugar. Es lo que le falta, aún hoy, a la teoría: una forma de decir: "acá, se produce un salto cuántico", y "acá, no se produce, y sigue evolucionando la función de onda del sistema".

En los próximos posts: la afirmación de Dirac sobre la interferencia de UN SOLO fotón.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 11 de Abril, 2014, 9:50

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Sigamos leyenda Dirac:

Let us consider now what happens when we determine the energy in one of the components. The result of such a determination must be either the whole photon or nothing at all. Thus the photon must change suddenly from being partly in one beam and partly in the other to being entirely in one of the beams. This sudden change is due to the disturbance in the translational state of the photon which the observation necessarily makes. It is impossible to predict in which of the two beams the photon will be found. Only the probability of either result can be calculated from the previous distribution of the photon over the two beams.

Consideremos ahora qué sucede cuando deterinamos la energía en uno de esos componentes. El resultado de tal determinación debe ser el fotón completo o nada en absoluto. Entonces, el fotón dbe cambiar súbitamente desde estar parcialmente en un haz y parcialmente en el otro, a estar enteramente en uno de los haces. Este cambio repentino es debido a la alteración en el estado de traslación del fotón que necesariamente provoca la observación. Es imposible de predecir en cual de los dos haces será encontrado el fotón. Solo la probabilidad de cada resultado puede ser calculado basado en la distribución previa del fotón en los dos haces.

Acá aparecen los famosos "saltos cuánticos". No es claro para todos los modelos explicativos que "es debido ... a la observación". Digo, no hay que asociarlo obligatoriamente con una observación que implique un observador. La misma naturaleza "observa" y todo indica que hay saltos cuánticos en el centro de las estrellas, sin observador alguno. Lo que no puede explicar la teoría cuántica es CUANDO se efectúa ese salto. Si por la cuántica fuera, todo sistema permanecería en superposición de estados, sin tener que "saltar repentinamente" a alguno, bajo ninguna circunstancia.

Lo que se ha planteado con el tiempo, entonces, es que la teoría cuántica es incompleta. Que debe haber algún otro proceso no contemplado en el formulismo cuántico, que hace que se produzcan estos saltos. Para más detalle, consultar "el Penrose", donde hay una explicación de las alternativas propuestas.

Tanto a Dirac como a Feynman (en sus Lectures, Feynman presenta el experimento con electrones y dos rendijas), le faltan la cita concreta al experimento crucial, en este caso, el de interferencia de un solo fotón. Veremos en los próximos posts que Dirac aclara que el fenómeno de interferencia es por fotón: un mismo fotón interfiere consigo mismo, mas que interferencia entre fotones distintos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 4 de Abril, 2014, 14:05

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Había mencionado en La Polarización del Fotón que Dirac tiene otro ejemplo físico donde se muestra el principio de superposición. Leo en su sección 3, "Interference of photons", del capítulo 1 "The Principle of superposition" de su excelente "Principles of Quantum Mechanics":

In this section we shall deal with another example of superposition. We shall again take photons, but shall be concerned with their position in space and their momentum instead of their polarization. If we are given a beam of roughly monochromatic light, then we know something about the location and momentum of the associated photons. We know that each of them is located somewhere in the region of space through which the beam is passing and has a momentum in the direction of the beam of magnitude given in terms of the frequency of the beam by Einstein's photo-electric law—momentum equals frequency multiplied by a universal constant. When we have such information about the location and momentum of a photon we shall say that it is in a definite translational state.

En esta sección trataremos otro ejemplo de superposición. Tomaremos de nuevo fotones, pero esta vez nos ocuparemos de sus posiciones en el espacio y de sus momentos en lugar de la polarización. Si tenemos un haz de luz aproximadamente monocromática, entonces algo conoces acerca de la localización y momento de los fotones asociados. Conocemos que cada uno de ellos está localizado en alguna parte de la región del espacio por el que el haz está pasando, y que tienen un momento en la dirección del haz de una magnitud dada en términos de la frecuencia del haz según la ley fotoeléctrica de Einstein - el momento es igual a la frecuencia multiplicada por una constante universal. Cuando tenemos esa información acerca de la localización y momento de un fotón decimos que éste está en un estado de translación definido.

Eso es cuando tenemos un haz. Pero veamos qué pasa cuando ese haz se divide:

We shall discuss the description which quantum mechanics provides of the interference of photons. Let us take a definite experiment demonstrating interference. Suppose we have a beam of light which is passed through some kind of interferometer, so that it gets split up into two components and the two components are subsequently made to interfere. We may, as in the preceding section, take an incident beam consisting of only a single photon and inquire what will happen to it as it goes through the apparatus. This will present to us the difficulty of the conflict between the wave and corpuscular theories of light in an acute form.

Discutamos la descripción que nos provee la mecánica cuántica de la interferencia de los fotones. Hagamos un experimento definido demostrando la interferencia. Supongamos que tenemos el haz de luz que está pasando a través de alguna clase de interferómetro, de tal forma que es dividido en dos componentes y que se hace interferir a esos dos componentes. Como en la precendente sección, podemos tomar al haz incidente como consistiendo de un solo fotón y preguntar entonces qué le sucederá cuando atraviese ese aparato. Esto nos presentará la dificultad del conflicto entre las teorías de la luz de onda y corpuscular, en una forma particularmente aguda.

Acá Dirac no expone el experimento de un haz, sino de un solo fotón. Lo que no aporta es el experimento concreto en el que se basa lo que sigue. Feynman, en sus famosas "Lectures", usa electrones en lugar de fotones. Pero también afirma que realizando el experimento con "un electrón a la vez" también se produce interferencia. No sé si alguna vez se realizó un experimento así ("un fotón a la vez", "un electrón a la vez") o es una deducción de un modelo basado en experimentos de varios fotones o varios electrones.

Corresponding to the description that we had in the case of the polarization, we must now describe the photon as going partly into each of the two components into which the incident beam is split. The photon is then, as we may say, in a translational state given by the superposition of the two translational states associated with the two components. We are thus led to a generalization of the term 'translational state* applied to a photon. For a photon to be in a definite translational state it need not be associated with one single beam of light, but may be associated with two or more beams of light which are the components into which one original beam has been split. In the accurate mathematical theory each translational state is associated with one of the wave functions of ordinary wave optics, which wave function may describe either a single beam or two or more beams into which one original beam has been split. Translational states are thus superposable in a similar way to wave functions.

Correspondiendo a la descripción que teníamos en el caso de la polarización, debemos ahora describir al fotón como yendo parcialmente en cada uno de los dos componentes en los cuales el haz incidente fue separado. El fotón entonces está, podemos decir, en un estado de traslación dado por la superposición de dos estados de traslación asociados con los dos componentes. Esto nos lleva a la generalización del término "estado de traslación" aplicado a un fotón. Para que un fotón esté en un estado de traslación definido no necesita estar asociado con un simple haz de luz, sino que puede estar asociado con dos o más haces de luz que son los componentes en los que el haz original fue dividido. En la teoría matemática precisa cada estado de traslación está asociado con una de las funciones de onda de la óptico de onda ordinaria, y cada función de onda describe o un simple haz o dos o más haces en los cuales un haz original ha sido divido. Entonces, los estados de traslación son superponibles de manera similar a las funciones de onda.

Lo importante es que de nuevo aparece la superposición de estados. Todo el modelo de la mecánica cuántica que expone Dirac lleva a ese resultado. Habrá que discutir más en detalle los experimentos que llevaron a la propuesta de este modelo. Una vez aceptado que el principio es necesario en cualquier modelo que trate de explicar los fenómenos conocidos, Dirac se embarca en construir el aparato matemático que pueda dar soporte a estas ideas. Pero sigamos en el próximo post.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 2 de Abril, 2014, 7:11

De nuevo pasó un mes, y es tiempo de revisar mis resoluciones de marzo:

- Escribir post sobre Stephen Jay Gould [completo] ver post
- Seguir mi serie Leyendo a Darwin [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrodinger [completo] ver post
- Iniciar serie Grupos y Partículas Elementales [completo] ver post
- Estudiar Teoría de Grupos [completo]

Estoy muy entusiasmado con la nueva serie sobre grupos y partículas elementales. Es un tema que engarza varios otros que se he comentado (y sigo comentando) en este blog. Y también es un tema que en los textos de divulgación se trata por encima. Es importante tratarlo en más profundidad, porque sino se pierdie muchos de los avances del siglo pasado en la formulación de modelos de la realidad física.

Además, estuve activo publicando, entre otros posts:

La Polarización del Fotón, por Dirac (1)
La Polarización del Fotón, por Dirac (2)
La Polarización del Fotón, por Dirac (3)
La Polarización del Fotón, por Dirac (4)
La teoría de Maxwell-Lorentz (5)
Teoría Cuántica de Campos y Partículas (3)
Paul Adrien Maurice Dirac, Breve Biografía

además de un cuento mío Esperándola

Bien, resoluciones para este nuevo mes, en general continuar con lo que comencé:

- Seguir escribiendo post sobre Stephen Jay Gould
- Seguir mi serie Leyendo a Darwin
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrodinger
- Seguir mi serie Grupos y Partículas Elementales
- Iniciar serie sobre Electromagnetismo
- Iniciar serie Notas sobre Teorías Gauge
- Seguir mi serie Teoría Cuántica de Campos y Partículas
- Estudiar Teoría de Grupos

Ya saben que "Notas sobre... " se refiere a publicar pequeños fragmentos, referencias, curiosidades, rápidamente, sin un hilo conductor, pero que sirve para que no pierda lo que voy descubriendo y analizando. Al quedar publicado, ya no se pierde: el gran Google me ayuda a recuperar y compartir esa información.

Nos leemos!

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Publicado el 31 de Marzo, 2014, 8:53

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En el post 4 comentaba a Darwin, cuando señalaba su estudio de la variación doméstica y natural. El mencionaba que no iba a poder dar mucho detalle de la variación natural. Pero agrega:

Nos será dado, sin embargo, discutir qué circunstancias son más favorables para la variación. En el capítulo siguiente se examinará la lucha por la existencia entre todos los seres orgánicos en todo el mundo, lo cual se sigue inevitablemente de la elevada razón geométrica de su aumento. Es ésta la doctrina de Malthus aplicada al conjunto de los reinos animal y vegetal. Como de cada especie nacen muchos más individuos de los que pueden sobrevivir, y como, en consecuencia, hay una lucha por la vida, que se repite frecuentemente, de algún modo provechoso para él bajo las complejas y a veces variables condiciones de la vida, tendrá mayor probabilidad de sobrevivir y de ser así naturalmente seleccionado. Según el poderoso principio de la herencia, toda variedad seleccionada tenderá a propagar su nueva y modificada forma.

Acá aparece "naturalmente seleccionado", uno de los pilares de la teoría de Darwin. El otro es la variación natural, del que Darwin reconoce que no se entiende en su tiempo las causas. Pero ya en su tiempo Mendel hacía sus experimentos. Parece que se encontró el artículo de Mendel entre los papeles de Darwin, pero no se sabe si llegó a leerlo. Nunca mencionó que conociera su trabajo con los guisantes.

Trataré este tema fundamental de la selección natural con cierta extensión en el capítulo IV, y entonces veremos cómo la selección natural produce casi inevitablemente gran extinción de formas de vida menos perfeccionadas y conduce a lo que he llamado divergencias de caracteres.

Y ahora viene lo de las leyes de variación. Vean que Darwin no le huye a tratar las dificultades de su teoría:

En el capítulo siguiente trataré de las complejas y poco conocidas leyes de la variación. En los cinco capítulos siguientes se presentarán las dificultades más aparentes y graves para aceptar la teoría; a saber: primero, las dificultades de las transiciones, o cómo un ser sencillo o un órgano sencillo puede transformarse y perfeccionarse hasta convertirse en un ser sumamento desarrollado o en un órgano complicadamente construido...

El caso paradigmático es el desarrollo del ojo: notablemente aparece en los mamíferos, y también en el pulpo.

... segundo, el tema del instinto o de las facultades mentales de los animales; tercero, la hibridación o la esterilidad de las especies y fecundidad de las variedades cuando se cruzan; y cuarto, la imperfección de la crónica geológica...

No conocía que hubiera puesto como dificultad lo de "las facultades mentales". Años después, escribiría sobre la evolución humana (recuerdo que Wallace no lo acompañó en las consecuencias de su teoría). Lo de la geología algo traté en mi anterior post.

... En el capítulo siguiente consideraré la sucesión geológica de los seres en el tiempo; en los capítulos XII y XIII, su clasificación y afinidades mutuas, tanto de adultos como en estado emrbinario. En el útimo capítulo daré un breve resumen de toda la obra y expondré algunas observaciones finales.

Es una obra notable la de Darwin, por la claridad y detalle de exposición, sin llegar a estar sobrecargada de referencias. Tal vez eso contribuyó a su difusión y aceptación por parte de la sociedad británica de su época. Pero también hay que contar con la seducción que produjo "la lucha por la vida" para explicar la aparente "superioridad" de algunas sociedades.

Nos leemos!

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Publicado el 30 de Marzo, 2014, 13:39

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Sigo leyendo a Gould:

Además de una llamada trivial a la imparcialidad, el "método científico" supone una conjunto de conceptos y procedimientos hechos a la medida de un hombre de bata blanca que hace girar diales en un laboratorio: experimentación, cuantificación, repetición, predicción, y restricción de la complejidad a unas pocas variables que puedan ser controladas y manipuladas.

Gould pone método científico entre comillas. Pero no hay que imaginar que el método científico es lo que describe. Hay ciencia económica, aunque sea difícil al repetición. Hay ciencia en astronomía, aunque sea difícil la experimentación (¿vieron a un astrónomo provocando una supernova?). La actividad y método científicos van más allá de lo que Gould describe. No es que lo diga yo: vean la historia de la ciencia moderna. Cuando Galileo propone que las luces que ve son satélites de Júpiter, PROPONE UN MODELO. Galileo NO VIO LOS SATELITES. Apenas unas luces alrededor de Júpiter, que lo acompañaban noche tras noche, en distintas posiciones.

Estos procedimientos son potentes, pero no engloban toda la variedad de la naturaleza.

Yo diría: no engloban la variedad del método científico. Falta la proposición de modelos, una actividad humana, muy humana. Vean que es difícil para un programa de computadora implementar este paso: requiere imaginación, creación mental.

¿Cómo deben operar los científicos cuando intentan explicar los resultados de la historia, estos acontecimientos singularmente complejos que pueden que no ocurran más que una sola vez en todo su esplendor?

Pues considerando la historia. Los físicos se están enfrentando a ella, cuando hablan de cosmología. Un verdadero científico pone la historia en su lugar, dándose cuenta de su relevancia. Justo ahora Gould menciona cosmología:

Muchos grandes dominios de la naturaleza (entre ellos la cosmología, la geología y la evolución) han de estudiarse con las herramientas de la historia. Los métodos apropiados se centran en la narración, no en el experimento como generalmente se concibe.

Es que no hay experimentos en cosmología. Pero lo que sí hay (insisto), es la proposición de modelos. Vean el modelo inflacionario en cosmología. ¿Cómo aceptarlo? Pues no por simple "explica todo" sino por la búsqueda activa de corroboraciones, de fenómenos que hayan dejado una traza de la inflación. Ver como ejemplo Andrei Linde and the Beauty of Science.

Nos leemos!

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Publicado el 29 de Marzo, 2014, 16:23

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El libro fue publicado en 1929, leo al final de esta "Introduction":

The great scientific task of the next fifty years is the development of a new "electromagnetic" theory. It is impossible to forecast the form such a theory will take, so greatly are we prejudiced by our present views.

En esos años ya se estaba pergueñando la electrodinámica cuántica, de la mano de Dirac al principio.

It will, however, doubtless be based on a quantitative description of the individual behavior of charges, and will yield as statistical concepts such ideas as inertia, force, and even length and time. Thus it will explain the mechanical behavior of ponderable matter, rather than be itself "explained" by mechanics. That this new theory should yield ideas such as those just mentioned, rather than depend upon them, is but consistent with the basic role this theory must play.

Pending the advent of this new theory, it is essential to have a knowledge of that system of equations which constitutes the present electromagnetic theory. Remembering that the future of the theory lies in the
hands of the present students, it seems of the greatest importance to arrive at these equations in a way which will excite, rather than dull, curiosity, and which tends to produce that attitude toward fundamentals
which must prevail before a real electron theory of electricity replaces the present electrical theory of electrons.

Interesante postura. Estoy estudiando este libro para ver cómo es la teoría clásica, antes de llegar a la formulación de campos cuánticos.

The present volume is an introduction to the mathematical field theory of electrodynamics, written in an attempt to keep clear the relation between the mathematical mechanism and the physical reality. It is hoped that a student who gains his familiarity with the Maxwell field equations from this book will have an open mind, ready to evaluate without prejudice those fundamental new developments in electrical theory which are bound to come. The authors realize that this volume closes just at that interesting point where many valuable developments bewn. However, just as, according to the behaviorists, one's psychology is largely "set" before he reaches the age of three, so one's viewpoint toward electrodynamics is a fixed and settled Inatter by the time one has acquired the field equations and has discussed certain of their most fundamental applications. It is with this viewpoint that the authors are primarily concerned.

No podrían haber estado más acertados en que las teorías "are bound to come". Era claro entonces que con los nuevos descubriemientos en mecánica cuántica, las formulaciones clásicas debían ser revisadas. Y las teorías de Maxwell y Lorentz estaban algo "separadas". En la primera no se usaba el electrón. Faltaba la unificación entre campos y partículas.

Acá termina esta serie, comentando esta introducción. En cuanto pueda, comienzo una serie sobre electromagnetismo clásico, para pasar en limpio algunos conceptos.

Nos leemos!

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Publicado el 28 de Marzo, 2014, 15:16

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Pensé que ya había compartido enlaces de este tema, pero veo que no. Bueno, algo atrasado estoy, pero vayan hoy estos primeros enlaces de ya hace un tiempo:

"Our people is business people, Tom". Michael Corleone to Tom Hagen, The Godfather ;-) ;-)
 
Is it Safe to Swim in These Waters? « Business Book Reviews
http://businessbooktalk.com/book-review/is-it-safe-to-swim-in-these-waters.php
Serial Entrepreneur Jake Winebaum On The Difference Between Good Ideas And Bad Ideas
http://www.businessinsider.com/meet-the-serial-entrepreneur-who-sold-businesscom-for-345-million-2011-6

How We Built the Software that Processes Billions in Payments
http://www.braintreepayments.com/inside-braintree/how-we-built-the-software-that-processes-billions-in-payments

Why Biz Stone Really Left Twitter | Fast Company
http://www.fastcompany.com/1763873/why-biz-stone-really-left-twitter

MySpace: what went right and what went wrong? - Quora
http://www.quora.com/Jason-Hirschhorn/MySpace-what-went-right-and-what-went-wrong?srid=DtM

User-Driven Companies: The Consumer as Co-Designer - NEXT Conference Video
http://video.nextconf.eu/video/923284/user-driven-companies-the

Uruguay pioneers mobile phone English language teaching | Education | Guardian Weekly
http://www.guardian.co.uk/education/2008/jan/15/tefl-uruguay?INTCMP=SRCH

Y Combinator Is Boot Camp for Startups | Magazine
http://www.wired.com/magazine/2011/05/ff_ycombinator/

Xamarin Joy Factory - Miguel de Icaza
http://tirania.org/blog/archive/2011/Jun-28.html

So you want to do a startup, eh?
http://www.slideshare.net/missrogue/so-you-want-to-do-a-startup-eh

Buenos Aires: Ciudad de emprendedores
http://www.ieco.clarin.com/economia/Ciudad-emprendedores_0_296370633.html

The Science of Tech Startups – Especially Lean Ones
http://www.feld.com/wp/archives/2011/06/the-science-of-tech-startups-especially-lean-ones.html

Emprendedores - elEconomista.es
http://www.eleconomista.es/blogs/emprendedores/

How to succeed (the one thing that you"re definitely not doing) | Passive Panda
http://passivepanda.com/succeed

Empezando un negocio en internet (parte 2)
http://spanish.bilinkis.com/2011/06/empezando-un-negocio-en-internet-parte-2/
by @bilinkis

Scalable vs. Non-Scalable job | Patrick Smacchia
http://codebetter.com/patricksmacchia/2011/06/07/scalable-vs-non-scalable-job/

Cómo lanzar un proyecto de internet
http://spanish.bilinkis.com/2011/06/como-lanzar-un-proyecto-de-internet/

Si cuento mi idea, me la robarán? | HACE POGO
http://hacepogo.com/archives/si-cuento-mi-idea-me-la-robaran/

It sucks to build a startup with the "Google Method" | The Startup Foundry
http://thestartupfoundry.com/2011/06/08/it-sucks-to-build-a-startup-with-the-google-method/

Ten things top entrepreneurs do differently - The Globe and Mail
http://www.theglobeandmail.com/report-on-business/small-business/exit/the-top-tens/ten-things-top-entrepreneurs-do-differently/article2044356/

Which Type of Entrepreneur Are You? | BNET
http://www.bnet.com/blog/small-biz-advice/which-type-of-entrepreneur-are-you/2197

Permanence, perseverance and persistence - Entrepreneur
http://thenextweb.com/entrepreneur/2011/06/06/permanence-perseverance-and-persistence/

Discover The Patterns Of Successful Internet Startups In The Startup Genome Report - Startup Genome
http://startupgenome.cc/discover-the-patterns-of-successful-internet

Una cena, una fiesta, un Google doc y un sueño compartido | Martin Varsavsky | Spanish
http://spanish.martinvarsavsky.net/general/una-cena-una-fiesta-un-google-doc-y-un-sueno-compartido.html
by @martinvars

Y Combinator Numbers
http://ycombinator.com/nums.html

Unlocking the Value of the Checkin: What's Next for Location Apps
http://mashable.com/2011/05/31/new-location-apps-checkin/

4 Ways To Nurture Your Child's Entrepreneurial Spirit
http://mashable.com/2011/05/31/entrepreneur-child/

Doing Business in Argentina: A Constant Feeling of Crisis
http://www.inc.com/magazine/201106/doing-business-in-argentina.html

Facebook es fan de una firma argentina de aplicaciones - lanacion.com 
http://www.lanacion.com.ar/1376850-facebook-es-fan-de-una-firma-argentina-de-aplicaciones

"En dos semanas recibí tres ofertas para trabajar en Silicon Valley"
http://www.economiadigital.es/es/notices/2011/05/_en_dos_semanas_recibi_tres_ofertas_para_trabajar_en_silicon_valley_19768.php

The Evolution Of The Tech Bubble
http://www.businessinsider.com/bubbles-and-golden-ages-2011-5

A VC: Financing Options For Startups
http://www.avc.com/a_vc/2011/05/financing-options-for-startups.html

You Need to Win the Battle for Share of Mind | Both Sides of the Table
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