Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 14 de Julio, 2014, 6:57

Ya comenté en dos posts la historia de Dirac trabajando sobre las ideas de Heisenberg, en 1925, y mejorándolas. Ver:

Dirac revisando el trabajo de Heisenberg
Dirac y las ecuaciones de la mecánica cuántica

Leo hoy en el capítulo 9, "Sunrise and first view", del excelente "Quantum Mechanics in Simple Matrix Form", de Thomas F. Jordan, un recuerdo del propio Dirac sobre aquel tiempo:

There were many meetings among the students in Cambridge to discuss scientific problems, and among those there was the Kapitza Club. Kapitza ... established a club of physicists... . Wc would meet on Tuesday evenings after dinner... . That was not really a very convenient time for me because I was usually rather sleepy after dinner. I did my work mostly in the morning... and towards the end of the day I was more or less dull, especially after dinner...

Se refiere a Pyotr Kapitsa, físico ruso, luego laureado Nobel al igual que Dirac, que en aquel entonces estaba en Cambridge. Ver Kapitza Club.

In the the summer of 1925, Heisenberg came to Cambridge, and he gave a talk to the Kapitza Club. Towards the end .. he spoke about some new ideas of his. By that time I was just too exhausted to be able to follow what he said, and I just did not take it in. He was talking about the origins of his ideas of the new mechanics. But I completely failed to realize that he was really introducing something quite revolutionary. Later on I completely forgot what he had said concerning his new theory. I even felt rather convinced that he had not spoken about it at all, but other people who were present at this meeting of the Kapitza Club assured me that he had spoken about it... and I just have to accept that he really did speak about it and that I had failed to respond to it at all, and so missed a great opportunity of getting started on it.

Esta historia no la conocía. No sabía que Heisenberg y Dirac se habían encontrado en la misma sala en aquellos tiempos. Tampoco que ya Dirac había tenido contacto con la teoría de Heisenberg, antes de tener su famoso "paper".

It was a little later when I really got started on the new Heisenbcrg theory.... Heisenberg sent [his paper] to Fowler... . Fowler sent it on to me with a query, 'What do you think of this?'... At first I was not very much impressed by it. It seemed to me to be too complicated. I just did not see the main point of it, and in particular his derivation of quantum conditions seemed to me to be too far-fetched, so I just put it aside as being of no interest. However, a week or ten days later I returned to this paper of Heisenberg's and studied it more closely. And then I suddenly realized that it did provide the key to the whole solution...

Este texto Jordan lo toma de P. A. M. Dirac, History of Twentieth Century Phystcs, edited by C. Weinei. Academic Press, New York, 1977, que no sé si es una conferencia de Dirac y otros autores, o todo un "raconto" del propio Dirac.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 13 de Julio, 2014, 18:24

Israel Moiseevich Gelfand fue un gran matemático ruso (1913-2009). Se ocupó de varias ramas de las matemáticas, incluso hasta en sus últimos años. Fue Premio Wolf, y en su larga carrera tuvo la oportunidad de aprender de grandes maestros (muchos soviéticos, a los cuales admiraba pero no siempre concordaba con ellos en temas políticos y sociales), y dejó su influencia en sus estudiantes.

Hoy me encuentro leyendo el libro de conferencias en motivo de su 80 aniversario, en 1993, con el tema "La Unidad de las Mateméticas". Son muy buenas conferencias, que tengo que comentar. En una conferencia del propio Gelfand, titulada "Mathematics as an Adequate Language", relata su relación con Dirac, y describe algo típico del físico inglés:

I was lucky to meet the great Paul Dirac, with whom I spent a few days in Hungary. I learned a lot from him.

In the 1930s, a young physicist, Pauli, wrote one of the best books on quantum mechanics. In the last chapter of this book, Pauli discusses the Dirac equations. He writes that Dirac equations have weak points because they yield improbable and even crazy conclusions:

1. These equations assume that, besides an electron, there exists a positively charged particle, the positron, which no one ever observed.

2. Moreover, the electron behaves strangely upon meeting the positron. The two annihilate each other and form two photons.

And what is completely crazy:

3. Two photons can turn into an electron–positron pair.

Pauli writes that despite this, the Dirac equations are quite interesting and especially the Dirac matrices deserve attention.

I asked Dirac, "Paul, why, in spite of these comments, did you not abandon your
equations and continue to pursue your results?""

"Because, they are beautiful.""

Simplemente por eso: porque son bellas. Pero finalmente se vió que eran no sólo bellas, sino que reflejaban un aspecto de la realidad que no se conocía hasta ese momento: la existencia de antimateria.

Pauli siempre era crítico duro de todo lo que le parecía bien. Pero algo rescataba del trabajo de Dirac: sus matrices 4x4, que eran una extensión las matrices de Pauli.

Post relacionados:

Paul Adrien Maurice Dirac por Abraham Pais (1)
Paul Adrien Maurice Dirac, Breve Biografía
Dirac según Gamow
Paul Adrien Maurice Dirac, por Stephen Hawking (1)
Paul Adrien Maurice Dirac: Enlaces y Recursos (1)
Dirac y Feynman, por Abdul Salam
El problema de explicar spin y estadística
Dirac revisando el trabajo de Heisenberg
Dirac y las ecuaciones de la mecánica cuántica
Entrevista a P.A.M.Dirac, por Abdus Salam
Dirac y las cosmologías
Pauli, Dirac, Heisenberg y la religión

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 12 de Julio, 2014, 14:49

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Sigo leyendo algo más adelante, el capítulo 5, Quantum Mechanics and a Talk with Einstein (1925-1926):

In the summer term of 1925, when I resumed my research work at the University of Gottingen-since July 1924 I had been Privatdozent at that university-I made a first attempt to guess what formulae would enable one to express the line intensities of the hydrogen spectrum, using more or less the same methods that had proved so fruitful in my work with Kramers in Copenhagen. This attempt led to a dead end -I found myself in an impenetrable morass of complicated mathematical equations, with no way out. But the work helped to convince me of one thing: that one ought to ignore the problem of electron orbits inside the atom, and treat the frequencies and amplitudes associated with the line intensities as perfectly good substitutes.

Ese es el gran cambio que dió Heisenberg: concentrarse en las frecuencias e intensidades (ya comenzaba a mencionar "amplitudes"),

In any case, these magnitudes could be observed directly, and as my friend Otto had pointed out when expounding on Einstein's theory during our bicycle tour round Lake Walchensee, physicists must consider none but observable magnitudes when trying to solve the atomic puzzle.

Tengo pendiente comentar sobre esas charlas con su amigo Otto, y también con Wolfgang Pauli.

My attempt to apply this scheme to the hydrogen atom had come to grief on the complications of this particular problem. Accordingly, I looked for a simpler mathematical system and found it in the pendulum, whose oscillations could serve as a model for the molecular vibrations treated by atomic physics. My work along these lines was advanced rather than retarded by an unfortunate personal setback.

Aparece el ataque de la "fiebre de heno", y el viaje a Heligoland:

Toward the end of May 1925, I fell so ill with hay fever that I had to ask Born for fourteen days' leave of absence. I made straight for Heligoland, where I hoped to recover quickly in the bracing sea air, far from blossoms and meadows. On my arrival I must have looked quite a sight with my swollen face; in any case, my landlady took one look at me, concluded that I had been in a fight and promised to nurse me through the aftereffects. My room was on the second floor, and since the house was built high up on the southern edge of the rocky island, I had a glorious view over the village, and the dunes and the sea beyond. As I sat on my balcony, I had ample opportunity to reflect on Bohr's remark that part of infinity seems to lie within the grasp of those who look across the sea.

Ahora podía concentrarse en el problema:

Apart from daily walks and long swims, there was nothing in Heligoland to distract me from my problem, and so I made much swifter progress than I would have done in Gottingen. A few days were enough to jettison all the mathematical ballast that invariably encumbers the beginning of such attempts, and to arrive at a simple formulation of my problem. Within a few days more, it had become clear to me what precisely had to take the place of the Bohr-Sommerfeld quantum conditions in an atomic physics working with none but observable magnitudes. It also became obvious that with this additional assumption I had introduced a crucial restriction into the theory. Then I noticed that there was no guarantee that the new mathematical scheme could be put into operation without contradictions. In particular, it was completely uncertain whether the principle of the conservation of energy would still apply, and I knew only too well that my scheme stood or fell by that principle.

El tema de la conservación de la energía (o de su falta de conservación) apareció en otras formulaciones tempranas. Veremos en el próximo post cómo se las arregló Heisenberg para mantener ese principio.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 12 de Julio, 2014, 14:36

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Termino hoy el comentario del prefacio de de "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics", de John Von Neumann. Leo al final:

In the analysis of the fundamental questions, it will be shown how the statistical formulas of quantum mechanics can be derived from ajfew qualitative, basic assumptions. Furthermore, there will be a detailed discussion of the problem as to whether it is possible to trace the statistical character of quantum mechanics to an ambiguity (i.e., incompleteness) in our description of nature.

Este es un gran tema, el que preocupaba a Einstein. Habiendo derivado muchas conclusiones apelando al manejo de la estadística (como en su relación entre los coeficientes de emisión y absorción de radiación por los átomos), siempre pensó que esos métodos se aplicaban porque no teníamos el conocimiento completo del sistema.

Indeed, such an interpretation would be a natural concomitant of the general principle that each probability statement arises from the incompleteness of our knowledge. This explanation "by hidden parameters" as well as another, related to it, which ascribes the "hidden parameter" to the observer and not to the observed system, has been proposed more than once. However, it will appear that this can scarcely succeed in a satisfactory way, or more precisely, such an explanation is incompatible with certain qualitative fundamental postulates of quantum mechanics.

Tengo que estudiar cuál es la incompatibilidad que señala von Neumann.

The relation of these statistics to thermodynamics is also considered. A closer investigation shows
that the well known difficulties of classical mechanics, which are related to the "disorder" assumptions necessary for the foundation of thermodynamics, can be eliminated here.

Siempre termina apareciendo en estas cuestiones la termodinámica. Recordemos que fue este tema el que llevó a Planck a investigar la radiación de cuerpo negro. Me queda pendiente entonces entender la crítica de von Neumann a Dirac, y el tema de incompatibilidad de las variables ocultas con los postulados fundamentales de la mecánica cuántica.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 12 de Julio, 2014, 14:12

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Veamos hoy una condición adicional que tiene que cumplir la ecuación que buscamos. Ya tenemos las relaciones de Einstein/de Broglie, que ponen sobre la mesa las relaciones entre:

 Energía y Frecuencia
 Momento y Longitud de Onda

Esto es lo extraño y nuevo que se encontró a principios del siglo XX: la relación entre conceptos físicos, como energía y momento, con conceptos de onda. Esa relación no la hubiera esperado nadie. Ahora estamos buscando una ecuación que nos permita determinar una función de onda, una expresión matemática que nos de un valor a cada punto r y cada instante t.

Pues bien, cualquier cosa que hallemos, deberá ser compatible con la física clásica, al menos en el límite. Una de las cosas que esperaríamos es que sea compatible con:

Esta relación clásica expone la relación entre energía total E, energía cinética y energía potencial, en un sistema de una partícula de masa m, momento p, y energía potencial V. Si estamos en el caso de una partícula libre dentro de un potencial V que no se altera con el tiempo, la relación de arriba debe dar una energía E constante. En esta relación aparece tanto la energía potencial V, como la energía cinética dependiente del momento p, y la energía total. De alguna forma, tenemos que relacionar esos conceptos, energía y momento, con frecuencia y longitud de onda. Lo vamos a lograr, pero lo que consigamos deberá ser compatible con la relación de arriba, en el caso de potencial V constante en el tiempo y sólo dependiente de la posición de la partícula. No sabemos cómo una función de onda:

Va a aparecer involucrada en esta relación, pero ya vamos a llegar al tema. Alguna pista ya nos dan las relaciones de Einstein/de Broglie, que nos permiten relacionar energía y momento, con frecuencia (en el tiempo) y longitud de onda (en el espacio).

Otra condición que nos gustaría satisfacer, es la linealidad de las soluciones. Es decir, si:

es una solución a la ecuación de ondas que buscamos, y:

es otra solución a la misma ecuación de ondas, entonces requerimos que:

sea también una solución potable a la misma ecuación, con coeficientes alfa y beta cualesquiera. Esta exigencia viene motivada para explicar cualquier fenómeno de interferencias de ondas en los experimentos. La linealidad nos va a permitir combinar de distintas formas soluciones encontradas, simplemente sumándolas, y dando a cada solución inicial, un coeficiente de peso (alfa y beta en la fórmula de arriba).

Ya tenemos dispuesto el escenario y las relaciones que queremos satisfacer. ¿Podremos obtener una ecuación cuya solución nos dé la función de onda buscada? Armados con estas dos nuevas exigencias, y lo que exploramos en los anteriores posts, ya estamos en condiciones de buscar la ecuación soñada.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 11 de Julio, 2014, 15:54

De nuevo quiero dejar por aquí la constancia de un tema del Café Filosófico de Buenos Aires. Ver más información sobre lugar, horarios de este fin de semana, costos, modalidad en:

Les comparto el temario, como me llego por correo electrónico, sin acentos:

Durante la primera hora de exposicion teorica hablaremos sobre la capacidad de transformarnos a nosotros mismos, algo que la neurociencia denomina plasticidad cerebral. En los ultimos cinco anios se aprendio mas sobre el cerebro que en toda la historia de la humanidad. Se cree que la neurociencia representara en el siglo XXI lo que la microbiologia represento en el XX, la quimica en el XIX y la fisica en el XVIII. El cerebro no es un organo rigido. Es importante ejercitarlo, ya que siempre puede cambiar, regenerarse y curarse a si mismo cuando es convenientemente estimulado. El cerebro actua como un musculo que, cuanta mas actividad tiene, mas grande y complejo se vuelve. Aprendemos durante toda la vida. Cuales son las condiciones optimas para que podamos aprender cosas nuevas en la adultez.  El descubrimiento de esta llamada «neuroplasticidad» constituye un avance revolucionario en el campo de la neurociencia. Hace no mucho tiempo se pensaba que el cerebro envejecia, que las neuronas se morian, que el nacimiento de nuevas neuronas en el cerebro adulto era imposible y, en general, que fisiologicamente teniamos  serios limites para cambiar una vez que se alcanzaba cierta edad. Los ultimos avances en neurociencia nos ilustran sobre la enorme plasticidad del cerebro humano, que es un organo dinamico en permanente relacion con el medio ambiente. No solo a una avanzada edad pueden aparecer neuronas nuevas, sino que pueden migrar a regiones distantes del cerebro. La plasticidad cerebral es la capacidad del sistema nervioso para cambiar a lo largo de la vida las redes neuronales. Esta capacidad se ve tambien en personas que han padecido un ataque cerebro vascular (ACV) u otras enfermedades neurodegenerativas, y que pueden mediante el entrenamiento adquirir nuevas habilidades cognitivas. Podemos aprender durante toda la vida pero tambien perdemos conexiones sinapticas a medida que crecemos. Que ocurre en el cerebro cuando aprendemos algo nuevo. Las tres formas mas importantes de la plasticidad. Que son la plasticidad sinaptica, la neurogenesis y la plasticidad funcional compensatoria. La memoria de los musicos y de los taxistas. Las cinco habilidades fundamentales de las personas creativas, segun el estudio de Clayton Christensen, profesor de la Universidad de Harvard. Un estudio sobre las representaciones multimedia. Hasta que punto las imagenes ayudan en el aprendizaje? Conviene que para realizar mejor la exposicion de un tema las palabras y las imagenes sean sucesivas o es mejor que sean simultaneas? Es mejor que esten espacialmente cerca palabras e imagenes? Que son las neuronas espejo y cual es su rol en la vida cotidiana. Un metodo para generar muchas ideas por dia. Que podemos aprender de los ninios. A que se llama "Innovation Time Off" y como lo aplican las empresas mas creativas. Los procedimientos de trabajo de Apple y Google. El concepto de "atencion flexible". Tecnicas para desarrollar la creatividad: la tecnica de la provocacion, la de las revistas. Como mejorar la memoria, el tiempo de vida de una informacion? La memoria declarativa y la memoria no declarativa. La consolidacion: el proceso de convertir la memoria de corto plazo en largo plazo. Los cuatro componentes de la intuicion. La productividad segun las horas del dia (cronotipos matutinos y vespertinos). Como hacer un mapa mental y utilizarlo para incrementar la creatividad. Como desarrollar la capacidad de focalizar la atencion. Cuales son los rasgos que comparten las personas  creativas. La tecnica del "¿por que?" Nos influye mas la razon o la emocion? Evolutivamente, que se desarrollara mas en el futuro, la razon o la emocion? Que se observa en el escaneo del cerebro de los pacientes que desarrollan cierto tipo de psicoterapias. Que circunstancias nos llevan a cambiar, es decir, a activar nuestro potencial plastico? Cuando aprendemos algo nuevo, ese aprendizaje tiene un efecto inmediato en el cerebro? Por que a veces sentimos como si nada cambiase aunque lo estemos intentando? Tips para una vida mas feliz y creativa de acuerdo a los ultimos avances de las neurociencias.
Estanislao Bachrach. Ramachandran. Elsa Punset.
Las neuronas que crea un cerebro adulto tienen la misma plasticidad que las de un bebe. Deberiamos aprender de los ninios en su exploracion por medio de la curiosidad. Crear es explorar posibilidades. Lamentablemente al entrar a la escuela los ninios a menudo aprenden que educarse significa solo aprobar las materias.
Solemos decir "Mi cerebro no puede cambiar", pero si puede,es que hemos fomentado comportamientos rigidos y automaticos. El cambio mental requiere de esfuerzo, como el fisico.
No estamos destinados a ser menos creativos con la edad. Si seguimos encontrando nuevos desafios, seguiremos pensando como jovenes aunque peinemos canas.
La diferencia esencial entre la emocion y la razon es que la emocion te lleva a la accion y la razon a las conclusiones. Donald Calne

Bueno, son muchos temas, interesantes. Soy algo crítico a afirmar grandes conclusiones, a partir de algunos datos. Por ejemplo, discutiría bastante lo que algunos derivan de la existencia de las neuronas espejo. El estudio del cerebro ha avanzado, pero estamos todavía lejos de comprender cómo es realmente el proceso de la mente humana. Algunas conclusiones partiendo de neurociencia me parecen como aquellos titulares que mencionan "se encontró el gen del egoísmo" y temas por el estilo. Pero tenemos algunas puntas muy interesantes para explorar.

Curiosamente, hoy me llega un correo electrónico con más información:

En el colegio, una niña dibuja. La maestra le pregunta "¿Qué dibujás?" Ella responde "A Dios". "Pero nadie sabe cómo luce dios", le dice la maestra. "Lo sabrán en un minuto", le responde la alumna.
Los niños no temen equivocarse, arriesgan una explicación para las cosas. Cuando crecemos tenemos miedo a equivocarnos. Estigmatizamos los errores. Picasso dijo alguna vez que todos los niños nacen artistas. El problema es seguir siendo artistas cuando crecemos. Si uno no está preparado para equivocarse, no está preparado para ser original.

Si viniera un extraterrestre y tuviera que decir cuál es el propósito de la educación, diría que formar profesores universitarios. Me encantan los profesores universitarios, pero no deberíamos tomarlos como el sumum de los logros humanos. La mayoría de ellos viven solo en sus cabezas, no tienen cuerpos. Ven a sus cuerpos como una forma de transportar sus cabezas. Si quieren tener una experiencia fuera de serie vayan a un congreso de profesores universitarios y asistan a la discoteca la última noche. Los verán controsionarse sin control, fuera de ritmo, esperando para ir a casa a escribir un artículo sobre ello.

No hay un sistema educativo en el mundo que enseñe danza como enseñamos matemáticas. ¿Por qué? Todos tenemos cuerpo, pero educamos a los alumnos de la cintura para arriba, focalizando en sus cabezas. Les enseñamos música y pintura, pero no a actuar o a bailar. Antes del siblo XIX no había educación pública, de modo que se creó un sistema al servicio de la industrialización, con las materias vinculadas con el trabajo en la cima de la jerarquía., de ahí que de niños nos dijeran "no te conviertas en músico que no te vas a ganar la vida con eso". La creatividad es tan importante como la alfabetización, pero las escuelas no la desarrollan. En los próximos treinta años, según la UNESCO, más gente ingresará al sistema educativo que en toda la historia de la humanidad. Los seres humanos necesitamos estabilidad, pero demasiada puede significar que renunciamos a usar nuestras capacidades, nuestra creatividad, que nos encerramos en un guión que tal vez no nos convence. Escribir el propio guión y reinventarse es lo que proponía Sócrates, cuando sostenía que la vida reflexionada es la que vale la pena ser vivida. (En base a ideas de Ken Robinson y los autores que compartiremos en el Café Filosófico del próximo fin de semana, básicamente a partir del trabajo de Estanislao Bachrach, un argentino que se formó en Harvard)

Hay que destacar que estas reuniones promueven la relación entre ciencia y filosofía, una relación que no es siempre promovida por estos lares.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 5 de Julio, 2014, 13:15

Este mes pasado estuve bastante ocupado en proyectos de mi profesión, así que no pude avanzar mucho con mis resoluciones de Junio:

- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrödinger [pendiente]
- Seguir mi serie Grupos y Partículas Elementales [pendiente]
- Seguir mi serie sobre Electromagnetismo [completo] ver post
- Seguir mi serie Notas sobre Teorías Gauge [pendiente]
- Comenzar serie sobre Cosmología [pendiente]
- Seguir mi serie sobre Espacios Vectoriales [pendiente]
- Estudiar Vectores y Tensores [completo]
- Seguir mi serie Matemáticas y Física Cuántica [pendiente]

El estudio de vectores y tensores es muy interesante: tengo que compaginar distintas aproximaciones al tema, algunas más matemáticas y otras más físicas. Comencé a escribir la serie:

Vectores y Tensores (1)

Estuve estudiando cosmología, otro tema interesante, donde se entrecruzan la relatividad general con la física de partículas. Pero todavía no hay nada para escribir. Los próximos posts sobre electromagnetismo me va a servir para unir la matemática (de los campos escalares, vectoriales) con la física. Y en algún momento, va a servir para explorar lo que es una teoría gauge. También seguí estudiando partículas elementales y su relación con la teoría de grupos, un tema fascinante pero poco explicado en detalle. Pero de nuevo, no pude escribir nada en concreto. Al estudiar vectores y tensores, volví a estudiar espacios vectoriales (los vectores son más generales que los espacios vectoriales) donde estudié algo de dimensión de un espacio, el dual, sus relaciones, y por qué la dimensión finita es única.

Sigo estudiando física cuántica, y una rama muy interesante es su historia. Escribí:

Heisenberg desarrollando la física cuántica (1)

Tengo que escribir más sobre el tema, y también sobre la formulación de Heisenberg. En general, se divulga y estudia más la formulación de Schrödinger, para pasar luego directamente a Dirac, cuántica y relatividad especial, antipartículas y teoría de campos cuánticas. Pero es notable cómo Heisenberg llega a su propia solución, equivalente a la de Schrödinger, algo que no fue evidente al principio.

Sea entonces esta lista mis resoluciones para este nuevo mes, Julio 2014.

- Seguir mi serie sobre la ecuación de Schrödinger
- Comenzar una serie sobre ecuaciones diferenciales
- Seguir mi serie sobre Heisenberg
- Seguir mi serie sobre Stephen Jay Gould
- Seguir mi serie sobre Darwin
- Seguir mi serie sobre Matemáticas y Física Cuántica
- Estudiar vectores y tensores
- Estudiar ecuaciones diferenciales

El tema ecuaciones diferenciales lo venía postergando, pero ya es hora de estudiarlas más en firme.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 3 de Julio, 2014, 10:48

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 1 de Julio, 2014, 13:20

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 28 de Junio, 2014, 19:04

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El hecho de que la fuerza que aparece entre dos cargas sea proporcional a la PRIMERA potencia de cada carga es llamada linearidad. Algo que está relacionado con esto, pero más general, se ha visto en los experimentos: si dos cargas, colocadas en puntos distintos, ejercen fuerza sobre una tercera, esta fuerza es la suma vectorial de las fuerzas de cada carga inicial sobre la tercera. Esto es notable, y no es evidente que tuviera que ser así (lo mismo pasa con la gravedad). Primero, la fuerza es aditiva, en el sentido de si tenemos DOS cargas EN EL MISMO lugar, ejercen una suma de fuerzas sobre una tercera. Pero lo que acabamos de ver que muestran los experimentos, es que si las DOS cargas están EN DOS LUGARES distintos, la fuerza que ejercen contra la tercera sigue una REGLA SIMPLE, de suma vectorial. Esto es lo que se llama el Principio de Superposición de la fuerza eléctrica. Si extendemos esto a la fuerza debida a VARIAS cargas, el principio de superposición nos lleva a:

Esta fórmula expresa la fuerza en una carga puntual q en la posición r debido a otras cargas qn localizadas en los puntos rn. Acá podemos apreciar por qué es más conveniente el uso de un numerador elevado al cubo, en lugar de la fórmula inicial que habíamos visto, donde el numerador estaba elevado al cuadrado:

donde en el numerador aparecía no r sino un versor (de longitud unitaria) en la dirección de r:

Bien, tenemos definida la fuerza sobre una carga puntual q. Se ha visto que es muy útil trabajar, en lugar de con la fuerza, con el llamado campo eléctrico. Definamos al campo E como:


Para la fuerza ejercida sobre la carga puntual q por el resto de las cargas. Pero sacando "afuera" a q en la expresión que conocemos:

Queda el campo eléctrico como función de la posición:


Al principio parece todo esto un truco matemático. Pero veremos que el concepto de campo eléctrico E tiene importancia física por sí mismo, no solamente como una forma distinta de conseguir la fuerza F. Vemos que en la ecuación [2] desapareció q. Parece como que no importa si estuviera o no. Vaya la aclaración siguiente.

En la ecuación [1] definimos el campo eléctrico E en el punto r en la presencia de la carga q. Pero tenemos que tener cuidado si la vamos a usar como campo eléctrico ANTES de haber introducido la carga q. Esto se debe que el campo puede quedar transformado si introducimos la carga q. Por ejemplo, al introducir la carga q podemos cambiar la posición de otras cargas en el entorno. Por eso tenemos que usar, para definir el campo eléctrico en un punto r AUN antes de introducir una carga q, al límite:

Donde entonces E0 es el campo eléctrico del que podemos hablar ANTES de introducir a q en la posición r.

Hasta ahora hemos considerado cargas puntuales, y n cargas. Veremos en el próximo post cómo generalizar este resultado a una cantidad "casi infinita" de cargas.

Principal fuente consultada: Classical Electromagnetism, de Jerrold Franklin.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 12 de Junio, 2014, 9:20

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En estos días estoy estudiando la historia de la física cuántica. El estudiar la historia permite conocer mejor los por qué del desarrollo actual, los problemas encontrados y pendientes, los actores y sus relaciones. Puedo dividir la historia en:

- Cuántica inicial, con los problemas del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico, el modelo atómico de Bohr.

- Mecánica cuántica, la década de los 20 en el siglo pasado

- Cuántica relativista y teoría de campos, desde los años 30, y demás ramas que se abrieron

Uno de los temas fascinantes es cómo se llegó a las formulaciones de Heinsenberg y de Schrödinger, y su unificación. Me encuentro leyendo la autobiografía de Heinsenberg, "Physics and beyond", con muchos datos interesantes a revisar. En el capítulo 5, "Quantum Mechanics and a Talk with Einstein", leo:

During these critical years, atomic physics developed much as Niels Bohr had predicted it would during our walk over the Hain Mountain. The difficulties and inner contradictions that stood in the way of a true understanding of atoms and their stability seemed unlikely to be removed or even reduced-on the contrary, they became still more acute. All attempts to surmount them with the conceptual tools of the older physics appeared doomed to failure.

Bohr estaba muy interesado en la filosofía de la física de entonces. No se conformaba con simplemente poner fórmulas que concordaran con los experimentos. Quería construir algo más firme, sin tener que mezclar física clásica con postulados extraños.

There was, for instance, the discovery by the American physicist, Arthur Holly Compton, that light (or more precisely X-rays) changes its wavelength when radiation is scattered by free electrons. This result could be explained by Einstein's hypothesis that light consists of small corpuscles or packets of energy, moving through space with great velocity and occasionally-e.g., during the process of scattering-colliding with an electron. On the other hand, there was a great deal of experimental evidence to suggest that the only basic difference between light and radio waves was that the former are of shorter length; in other words, that a light ray is a wave and not a stream of particles. Moreover, attempts by the Dutch physicist, Ornstein, to determine the intensity ratio of spectral lines in a so-called multiplet had produced very strange results. These ratios can be determined with the help of Bohr's theory. Now it appeared that, although the formulae derived from Bohr's theory were incorrect, a minor modification produced new formulae that fitted the experimental results. And so physicists gradually learned to adapt themselves to a host of difficulties. They became used to the fact that the concepts and models of classical physics were not rigorously applicable to processes on the atomic scale. On the other hand, they had come to appreciate that, by skillful use of the resulting freedom, they could, on occasion, guess the correct mathematical formulation of some of the details.

Heisenberg había conocido a Bohr en esos tiempos, ver Bohr y Heisenberg, primer encuentro. Yo no conocía el trabajo de Ornstein, que se menciona arriba. Vemos cómo gran parte del problema era explicar el espectro atómico. Muy importante fue el efecto Compton, que continuó poniendo en evidencia el papel de la frecuencia, que ya había aparecido en los trabajos de Planck y la radiación del cuerpo negro, y de Einstein y el efecto fotoeléctrico.

In the seminars run by Max Born in Gottingen during the summer of 1924, we had begun to speak of a new quantum mechanics that would one day oust the old Newtonian mechanics, and whose vague outlines could already be discerned here and there. Even during the subsequent winter term, which I once again spent in Copenhagen, trying to develop Kramers' theory of dispersion phenomena, our efforts were devoted not so much to deriving the correct mathematical relationships as to guessing them from similarities with the formulae of classical theory.

Max Born acuñó el término "mecánica cuántica" en un artículo de aquellos años. Heisenberg menciona a Kramer, que era ayudante de Bohr, al que conoció al trabajar en Copenhagen. Había algo de rivalidad entre ellos, o por lo menos parece que Heisenberg (apenas algunos años más joven que Kramer) lo veía como el principal "rival" en el ambiente físico de aquella época. Eso no impidió que escribiera con él y con Bohr, un artículo seminal sobre el tema. La fórmula de dispersión de Kramer pasaría a ocupar un lugar importante en lo que se desarrollaría entonces. En el próximo post veremos cómo fueron los días de Heisenberg cuando escribió su "paper" de 1925.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 6 de Junio, 2014, 14:10

Hay tantos temas para visitar, y una sola vida. Pero ha llegado el tiempo de comenzar a explorer el tema tensores. Puse como título a esta nueva serie "Vectores y Tensores" para recordar que los tensores son una especie de "vectores con esteroides" en el mundo de las matemáticas. Tanto los vectores simples, como los tensores, aparecen en muchos campos, y en especial, en los temas relacionados con física. Por un lado, los vectores comienzan a tomar forma en el siglo XIX, pero la idea de suma vectorial está flotando desde siglos antes. Ver History of Vectors, donde primero se los relaciona con la aparición de la representación de los complejos en un plano, y luego con los cuaterniones de Hamilton. Pero para mí, el gran creador del campo es Hermann Grassman. Con los vectores, comienzan a aparecer las n-dimensiones en forma explícita, y comienzan a liberarse de cualquier atadura a un cuerpo, como los complejos. Riemann extiende a n-dimensiones las ideas de Gauss sobre curvaturas, y de ahí a los tensores hay poco trecho. El trabajo de matemáticos como Christoffel, Ricci y Levi-Civita hicieron avanzar el campo. Pero ya en el trabajo de Grassman, con su álgebra exterior, aparecen los tensores. Notablemente, Hamilton usó por primera vez el término tensor, pero no en el sentido actual. La primera vez que entró en mi radar esta rica historia, fue a través de las notas de historia de Bourbaki.

Y luego, vino la explosión del tema: con la llegada de la relatividad general de Einstein, los tensores encontraron su lugar principal (no el único) en el mundo de la física matemática. Ver Quick introduction to tensor analysisHistory of Tensors. Antes, los vectores ya habían contribuido a mejorar la notación (y por tanto las ideas) en temas como mecánica clásica y electromagnetismo (como curiosidad, Maxwell no escribió inicialmente sus fórmulas en forma vectorial, sino en desarrollo completo por las coordenadas). 

Ya comencé el estudio de vectores, desde el tema más restringido de espacios vectoriales. En esta serie tendremos que visitar campos escalares, vectoriales, tensores en general (y no solo tensores cartesianos), discutir lo que llamo "el mayor engaño del álgebra lineal", covarianza y contravarianza. Y quisiera que lleguemos a derivada covariante, que tanto tiene que ver con conexión gauge y las teorías gauge modernas. Estuve tentado de dividir el tema en dos: una serie de notas, comentarios, y otra serie de desarrollo matemático, pero esta vez quisiera que exploremos ambos caminos en la misma serie.

Tengo varias fuentes a consultar, por ejemplo, el Penrose (aunque sigo sin entender su notación tensorial particular). Pero hoy vay una cita del excelente "Mathematical Physics" de Hassani. Leo al comienzo del capítulo 26, dedicado a tensores:

Until around 1970s, tensors were almost completely synonymous with (general) relativity except for a minor use in hydrodynamics. Students of physics did not need to study tensors until they took a course in the general theory of relativity. Then they would read the introductory chapter on tensor algebra and analysis, solve a few problems to condition themselves for index "gymnastics", read through the book, learn some basic facts about relativity, and finally abandon it (unless they became relativists).

Today, with the advent of gauge theories of fundamental particles, the realization that gauge fields are to be thought of as geometrical objects, and the widespread belief that all fundamental interactions (including gravity) are different manifestations of the same superforce, the picture has changed drastically. Two important developments have taken place as a consequence: Tensors have crept into other interactions besides gravity (such as the weak and strong nuclear interactions), and the geometrical (coordinate-independent) aspects of tensors have become more and more significant in the study of all interactions. The coordinate-independent study of tensors is the focus of the fascinating field of differential geometry and Lie groups...

Es fascinante cómo este tema que es una extensión de la tan "pedestre" resolución de ecuaciones lineales, termina estando en tantos lugares. Tanto en cosmología como en el modelo estándar, no se puede avanzar sin conocer de estos temas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 3 de Junio, 2014, 15:27

Parece mentira, pasa otro mes. Repaso primero de mis resoluciones de Mayo:

- Seguir escribiendo post sobre Stephen Jay Gould [completo] ver post
- Seguir mi serie Leyendo a Darwin [completo] ver post
- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrodinger [pendiente]
- Seguir mi serie Grupos y Partículas Elementales [pendiente]
- Seguir mi serie sobre Electromagnetismo [pendiente]
- Iniciar serie Notas sobre Teorías Gauge [completo] ver post
- Estudiar Cosmología [completo]

Los posts sobre física pendientes me llevarn a escribir de otros temas, ver:

Matemáticas y Física Cuántica (1) Función de Onda
Las Tres Espectroscopías (1)
Historia de las Partículas Elementales (1) A fines del siglo XIX
Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John Von Neumann (1)
Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica, por John Von Neumann (2)

Algo sobre la actividad matemática en:

El dilema de Ulam

He estado leyendo bastante sobre cosmología, y eso se va a reflejar en futuros posts. Por una parte, es un tema amplio que se ve influido por la relatividad general, la historia, la observación astronómica, las partículas elementales. Por otro lado, en ese campo se juega mucho de lo que es la actividad científica con poquísimo acceso a la experimentación, y un gran trabajo de formación de modelos. Y ya desde hace casi un siglo, se ve inundado de matemáticas que tengo que comenzar a dominar.

Resoluciones para el nuevo mes:

- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrodinger
- Seguir mi serie Grupos y Partículas Elementales
- Seguir mi serie sobre Electromagnetismo
- Seguir mi serie Notas sobre Teorías Gauge
- Comenzar serie sobre Cosmología
- Seguir mi serie sobre Espacios Vectoriales
- Estudiar Vectores y Tensores
- Seguir mi serie Matemáticas y Física Cuántica

Sobre el tema vectores y tensores, tengo que comenzar a comprender mejor lo covariante y lo contravariante, la existencia de tensores generales (en contraposición a los tensores cartesianos), lo que es una conexión (para derivada covariante, relacionado por lo que ví con conexión gauge), y matemáticas para física en general.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 1 de Junio, 2014, 9:47

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Sigo leyendo a Gould y comentando este interesant tema:

El estereotipo del "método científico" no tiene lugar para la historia irreducible.

Sigue mencionando un estereotipo de "método científico" entre comillas, pero no ha presentado aún la descripción de lo que toma por esa expresión. Algo viene ahora:

 Las leyes de la naturaleza se definen por su invariancia en el espacio y en el tiempo. Las técnicas del experimento controlado, y la reducción de la complejidad natural a un conjunto mínimo de causas generales, presuponen que todas las épocas pueden tratarse del mismo modo y que pueden ser adecuadamente simuladas en el laboratorio. El cuarzo cámbrico es como el cuarzo moderno: tetraedros de silicio y de oxígeno enlazados entre sí en todos los vértices. Determínense las propiedades del cuarzo moderno bajo condiciones controladas en un laboratorio, y uno puede interpretar las playas de arena de la Arenisca de Potsdam del Cámbrico.

Bien, esta describiendo temas de física y química. Y aparece "leyes de la naturaleza". En mi postura, la actividad científica no está orientada a la obtención de leyes (apenas persigue eso en la física y aledaños), sino a la formación de modelos explicativos de la realidad. De ahí que no tenga tanto conflicto con esteoreotipos o realidades de un método científico. La formación de modelos es UNO DE LOS PASOS del método científico. Los demás son el estudio de la realidad, y la corroboración de los modelos propuestos. A veces se puede apelar a experimentos y otras veces no.

Pero supóngase que uno quiere saber por qué murieron los dinosaurios, o por qué florecieron los moluscos mientras que Wiwaxia perecía. El laboratorio no es irrelevante, y puede brindar importantes atisbos por analogía. (Por ejemplo, podemos aprender algo interesante acerca de la extinción del Cretácico comprobando las tolerancias fisiológicas de los organismos modernos, o incluso de "modelos" de dinosaurios, bajo los cambios ambientales propuestos en las diversas teorías acerca de esta gran extinción.) Pero las técnicas restringidas del "método científico" no pueden llegar hasta el meollo de este acontecimiento singular que implica a seres que hace mucho tiempo que murieron en una Tierra cuyos climas y posiciones continentales eran notoriamente distintos de los de hoy en día.

Insisto: método científico es más que eso, pero acepto que Gould está poniendo de relieve las dificultades del estereotipo. La actividad científica contempla la historia, como justamente menciona Gould más abajo, ante una hipótesis para explicar la extinción de los dinosaurios: la caída de meteorito(s). Pero el método científico pide corroboración de ese modelo, buscando trazas de esa caída, y un modelo explicativo de por qué esa brusca aparición en la historia provocó la extinción de los dinosaurios (y no la extinción de toda la vida, por ejemplo).

La resolución de la historia debe hallarse enraizada en la reconstrucción de los mismos acontecimientos pasados (en sus propios términos), basada en la evidencia narrativa de los fenómenos únicos que les son propios. Ninguna ley garantizaba la extinción de Wiwaxia pero algún complejo conjunto de acontecimientos conspiró para conseguir este resultado; y podemos recuperar las causas si, por buena fortuna, en nuestro registro geológico lleno de agujeros hay suficientes pruebas registradas de ello. (Por ejemplo, hasta hace diez años no supimos que la extinción del Cretácico correspondió en el tiempo con el probable impacto de uno o varios cuerpos extraterrestres sobre la Tierra, aunque las pruebas, en forma de signaturas químicas, siempre habían existido en las rocas de edad adecuada.)

Lo que Gould pone en el tapete es la importancia de la contingencia. En lo que describo como actividad científica, no encuentro problema en investigar, aceptar la influencia de lo histórico. Hasta puede que tengamos que adoptar algo de esa actitud en las investigaciones en cosmología. Lo importante es ver que método científico no es método científico como en física clásica. Es algo más: el diálogo con la realidad, y la realidad tiene pasado.

Dos notas: el Wiwaxia que menciona ya aparece en ese su libro, como ejemplo de animal extinguido, que podría haber formado todo un reino animal aparte. No sabemos por qué se extinguió. Puede ser que no pudiera adaptarse, o que por alguna CONTINGENCIA sus individuos desaparecieron. La aparición de algo cercano al azar pudo bien haber cambiado la historia de la vida en la Tierra. El tema dinosaurios, da para mucho comentario. Les recomiendo la lectura de "El Asunto Némesis" de David M. Raup, Alianza Editorial, donde también aparece Gould.


Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 31 de Mayo, 2014, 17:25

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Sigamos leyendo a Darwin, cuando al final de la introducción escribe:

Nadie debe sorprenderse por lo mucho que queda todavía queda sin explicar respecto al origen de las especies y variedades, si se hace el cargo debido de nuestra profunda ignorancia respecto a las relaciones mutuas de los muchos seres que viven a nuestro alrededor. ¿Quién puede explicar por qué una especie se extiende mucho y es numerosísima y por qué otra especie afín tiene una dispersión reducida y es rara? Sin embargo, estas relaciones son de suma importancia, pues determinan la prosperidad presente y, a mi juicio, la futura fortuna y variación de cada uno de los habitantes del mundo.

Llama la atención de nuevo sobre las relaciones, casi puede intuirse el moderno concepto de ecosistema. Ya antes había mencionado lo asombroso de encontrarse con organismos tan adaptados a su medio.Y ahora viene su declaración de su pensamiento: las especies no son inmutables. Yo no conocía que inicialmente no pensara así: imaginé que Darwin tendría alguna idea de los cambios en las especies, luego de la influencia la obra de su abuelo, Eramus Darwin. Leo:

Todavía sabemos menos de las relaciones mutuas de los innumerables habitantes de la tierra durante las diversas épocas geológicas pasadas de su historia. Aunque mucho permanece y permanecerá largo tiempo oscuro, no puedo, después del más reflexionado estudio y desapasionado juicio de que soy capaz, abrigar duda alguna de que la opinión que la mayor parte de los naturalistas mantuvieron hasta hace poco, y que yo mantuve anteriormente -o sea que cada especie ha sido creada independientemente-, es errónea. Estoy completamente convencido de que las especies no son inmutables y de que las que pertenecen a lo que se llama el mismo género son descendientes directos de alguna otra especie, generalmente extinguida, de la misma manera que las variedades reconocidas de una especie son los descendientes de ésta. Además, estoy convencido de que la selección natural ha sido el medio más importante, si bien no el único de modificación.

No llega a afirmar todavía que todas las especies descienden de una sola. O que ramas disímiles como los lagartos, dinosaurios y aves podrían tener una sola especie antepasada. Creo que no llega nunca a esa conclusión. Eso nos vino luego, con el avance de la teoría y de nuestro conocimiento. Por ejemplo, cuando se fue descubriendo la total similitud de los ladrillos de nuestro ADN, en todos los organismos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 30 de Mayo, 2014, 13:31

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Sigo con estos enlaces, tengo varios para compartir:

The Power of Nuance of the Heart

Are You Building The Right Product? | TechCrunch

How To Sell Your Company | TechCrunch

Open-sourcing A 200+ Hour Project - The Story Behind It | Fred Wu's Blog | Freelance Ruby on Rails, PHP, Front-end, UI Web Developer in Melbourne, Australia

Lo importante es NO competir

Ctrl+Alt+Compete | Channel 9

Comunidad Innovu | Innovu: El juego del Emprendedor

Las 3 palabras que venden cualquier proyecto -MATERIABIZ

LinkedIn Explores What It Takes To Be an Entrepreneur

Brainstorming ideas for creating a social business

Innovation: To boldly go where no start-up has gone before | The Economist

Startup, VC, and the Things I Learnt from Open-sourcing A 200+ Hour Client Project

Andrew Mason"s Silicon Valley Problem: He"s Not Here | TechCrunch

The Mentor Manifesto | Hi, I'm David G. Cohen

Startup Professionals Musings: The Power of Negative Events in Your Startup


The Start-Up of You -

The Problem With Silicon Valley Is Itself

For Europe"s start-ups, Silicon Valley still calls - MarketWatch

Eric Ries, the Face of the Lean Startup Movement, on How a Once-Insane Idea Went Mainstream | Xconomy

Agile, Lean, Patterns: Abandon Hope all ye who enter Agile

The Mentality Of The Young Entrepreneur

Duolingo: The Next Chapter in Human Computation

The Startup Ecosystem and the "Zuckerberg Effect": Tech News and Analysis «

Are you thinking of moving to Silicon Valley? Think again | Martin Varsavsky | English

Most Creative People | Most Creative People 2011 | Fast Company

Programa Emprendedor de Staples Argentina

Google: It Doesn't Need More Engineers the Hidden Empire

RedUSERS | Los videojuegos: un mercado en crecimiento para jóvenes desarrolladores

A VC: Startup Lessons Learned

Mis enlaces
Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 26 de Mayo, 2014, 6:40

Ya publiqué sobre el tema en Teorías Gauge: Enlaces y Recursos (1). Comienzo hoy a compartir notas sobre el tema. Partamos desde el artículo:

In physics, gauge invariance (also called gauge symmetry) is the property of a field theory in which different configurations of the underlying fields—which are not themselves directly observable—result in identical observable quantities. A theory with such a property is called a gauge theory. A transformation from one such field configuration to another is called a gauge transformation.[1][2]

Lo primero a destacar: se trata de algo relacionado con teorías de campo:

A field is a physical quantity that has a value for each point in space and time.[1] For example, in a weather forecast, the wind velocity is described by assigning a vector to each point in space. Each vector represents the speed and direction of the movement of air at that point.

En una teoría de campos, entonces, se le asigna un valor a cada punto del espacio y el tiempo. El campo completo representa una entidad física. Hablamos de campo electromagnético, o de campo gravitatorio, o de campo de Higgs. El valor no tiene que ser un número plano, según el anterior artículo sobre campos en física:

A field can be classified as a scalar field, a vector field, a spinor field or a tensor fieldaccording to whether the value of the field at each point is a scalar, a vector, aspinor or a tensor, respectively. For example, the Newtonian gravitational field is a vector field: specifying its value at a point in spacetime requires three numbers, the components of the gravitational field vector at that point. Moreover, within each category (scalar, vector, tensor), a field can be either a classical field or a quantum field, depending on whether it is characterized by numbers or quantum operatorsrespectively.

Vemos que hay campos clásicos y campos cuánticos. En los primeros, los resultados (escalares, vectores, tensores) se caracterizan por números. En los segundos, aparece el uso de operadores cuánticos. Ver

It is now believed that quantum mechanics should underlie all physical phenomena, so that a classical field theory should, at least in principle, permit a recasting in quantum mechanical terms; success yields the corresponding quantum field theory. For example, quantizing classical electrodynamics gives quantum electrodynamics. Quantum electrodynamics is arguably the most successful scientific theory; experimental data confirm its predictions to a higher precision (to more significant digits) than any other theory.[12] The two other fundamental quantum field theories are quantum chromodynamics and theelectroweak theory.


The mathematical formulation of quantum mechanics (QM) is built upon the concept of an operator.

The wavefunction represents the probability amplitude of finding the system in that state. The terms "wavefunction" and "state" in QM context are usually used interchangeably.

Physical pure states in quantum mechanics are represented as unit-norm vectors (probabilities are normalized to one) in a special complex vector space: a Hilbert space. Time evolution in this vector space is given by the application of the evolution operator.

Any observable, i.e., any quantity which can be measured in a physical experiment, should be associated with a self-adjointlinear operator. The operators must yield real eigenvalues, since they are values which may come up as the result of the experiment. Mathematically this means the operators must be Hermitian.[1] The probability of each eigenvalue is related to the projection of the physical state on the subspace related to that eigenvalue. See below for mathematical details.

Es el tema que estoy explorando en Matemáticas y Física Cuántica.

Pero volvamos a las teorías gauge. Mi primer encuentro con ellas se remonta a los años ochenta, a un artículo clásico de Gerard't Hooft en el Scientific America (Investigación y Ciencia, de España). El título era "Teorías de aforo" pero desde entonces, prácticamente nadie usa la palabra "aforo" y todos se refieren a "gauge".  Ver también el artículo de 't Hooft:

Esta palabra inglesa "gauge" se puede traducir por "calibre". Pero ¿qué quiere decir "gauge" en este contexto de "teoría gauge"? Lo que dice el artículo de la Wikipedia: a veces, podemos describir un campo con una expresión distinta, y aún así, la física que describe es la misma. El primer ejemplo que tengo es el de la función de onda en mecánica cuántica (ver ... ). Es una función que da un valor complejo para cada punto del espacio y del tiempo. Pero si esos valores los multiplicamos por un valor complejo cualquiera de "longitud" 1 (por un e elevado a la i rho), la expresión es DISTINTA, pero la física descripta ES LA MISMA. Esta equivalencia nace de transformar la expresión GLOBALMENTE, es decir, multiplicándola por EL MISMO valor complejo unitario en todos los puntos. Veremos que hay teorías gauge donde se hace una transformación distinta en cada punto.

Volviendo al artículo introductorio de la Wikipedia citado al principio:

Modern physical theories describe reality in terms of fields, e.g., theelectromagnetic field, the gravitational field, and fields for the electron and all other elementary particles. A general feature of these theories is that none of these fundamental fields, which are the fields that change under a gauge transformation, can be directly measured. On the other hand, the observable quantities, namely the ones that can be measured experimentally—charges, energies, velocities, etc.—do not change under a gauge transformation, even though they are derived from the fields that do change. This (and any) kind of invariance under a transformation is called a symmetry.

Hay algo que cambia (el campo, su descripción matemática, algún parámetro) y algo que no cambia (las cantidades observables). Ante un cambio, hay una invariancia. Y como siempre que nos topamos con invariancia, aparece simetría. Ver algo de las matemáticas en Funciones Invariantes, donde vemos que las transformaciones que dejan invariante una expresión (en este caso, lo que no varía es la expresión, no solamente los valores medibles experimentalmente) forman un grupo. El mismo artículo muestra un ejemplo de campo gauge:

For example, in electromagnetism the electric and magnetic fields, E and B, are observable, while the potentials V ("voltage") and A (the vector potential) are not.[3] Under a gauge transformation in which a constant is added to V, no observable change occurs in E or B.

Cuando en nuestros hogares llegan 220 voltios (como aquí en Argentina), no es que estamos midiendo el potencial, sino LA DIFERENCIA entre dos potenciales situados en el origen de la red eléctrica. Si ambos potenciales subieran en 100000 voltios, nuestros artefactos eléctricos funcionarían igual. Si bien las teorías gauge ya aparecen con el electromagnetismo, es en el siglo XX donde surgen con más fuerza, con la cuántica:

With the advent of quantum mechanics in the 1920s, and with successive advances in quantum field theory, the importance of gauge transformations has steadily grown. Gauge theories constrain the laws of physics, because all the changes induced by a gauge transformation have to cancel each other out when written in terms of observable quantities. Over the course of the 20th century, physicists gradually realized that all forces (fundamental interactions) arise from the constraints imposed by local gauge symmetries, in which case the transformations vary from point to point in space and time.

Y esos son dos grandes puntos: uno, cómo lo gauge restringe las leyes de la física, y dos, cómo las simetrías de las transformaciones gauge locales se relacionan con las fuerzas fundamentales.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 25 de Mayo, 2014, 9:55

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Comienzo hoy esta serie, de un tema amplísimo. Pero ha llegado el momento de encararlo. Vamos a explorar cómo son las matemáticas de la física cuántica. En primer lugar, exploraremos mecánica cuántica como había sido planteada en los años veinte del siglo pasado por Heisenberg, Schrödinger, Dirac y otros. Pero en algún momento iremos algo más allá, por ejemplo, en la relación de la teoría de grupos con la física, y en particular la física cuántica, y en la extensión a la relatividad especial, que dio nacimiento a la teoría cuántica de campos.

Notemos que tanto en física clásica como en física cuántica, se tratan estados físicos. Veamos el caso simple de un electrón libre. Para la física clásica, sería una partícula en el espacio. Bastará para describir su estado físico dar su posición y su velocidad, en un instante de tiempo. La posición se expresa en algún sistema de referencia, con valores numéricos y unidades, lo mismo su velocidad, que será un vector, no solo un número (importa su sentido y dirección, además de su "intensidad"). También se necesitará describir el entorno: ¿hay gravitación? ¿Hay campo electromagnético? Si los hay ¿varían con el tiempo? Dado todo eso, se puede describir clásicamente la evolución del sistema electrón-entorno simple.

La gran novedad de la física cuántica, y de sus matemáticas de base, es que sigue habiendo estado, pero su descripción es muy distinta. Aparece la función de onda (el primero es mostrarla en todo su esplendor, fue Erwin Schrödinger, ver mi serie La Ecuación de Schrödinger)

¿Qué es eso de la función de onda? Primero, designemos al estado físico, con una simple letra griega:

Digamos, para fijar ideas, que estamos interesados en el estado de un electrón, libre, con entorno simple. Luego, la función de onda es una función que REPRESENTA a ese estado físico, y que depende de las coordenadas que usemos:

Podemos poner que q son las coordenadas habituales espaciales: x, y, z. Lo de arriba es una abreviatura para:

Cuando trabajamos con esas coordenadas x, y, z. Pero llegarán casos donde tengamos otros sistemas de coordenadas, y así es conveniente habituarnos a hablar de un q genérico.

Podemos tener también una función de onda que dependa del tiempo:

Y el gran trabajo de Schrodinger fue descubrir cómo evoluciona la función de onda en el tiempo, dado un sistema electrón-entorno. Hizo por la mecánica cuántica lo que que Newton por la clásica: planteó ecuaciones diferenciales para describir el cambio en el tiempo de un estado físico. Pero ya llegaremos a esas ecuaciones.

Ahora tenemos la función de onda, apenas esbozada. ¿Qué devuelve? Pues, para cada conjunto de valores de coordenadas q (digamos para cada x, y, z), DEVUELVE UN NUMERO COMPLEJO. Epa ¿por qué? Si siempre en física clásica nos hemos manejado con números reales. Bueno, esa es la primera gran sorpresa de la mecánica cuántica: aparecen en primer plano los números complejos. La segunda gran sorpresa es que el estado del electrón no se especifica por una terna de valores x, y, z: no, el estado que pusimos arriba con una letra griega, se describe CON TODOS LOS VALORES de la función de onda. En cada punto del espacio el electrón tiene un valor complejo asociado.

Bien, mientras digerimos estas novedades, aprendamos que a ese valor complejo se le llama amplitud. En cada punto del espacio, la función de onda da una amplitud (compleja) para el electrón. ¿Y qué es esa amplitud? ¿qué representa FISICAMENTE? Notablemente, Schrödinger no dio en el clavo para esa respuesta: pensó que esa amplitud estaba relacionada con una densidad electrónica, de carga eléctrica, o algo así, repartida en el espacio. Veremos que la amplitud está relacionada con la probabilidad de encontrar al electrón en un volumen de espacio. Pero recordemos: probabilidad no es lo mismo que amplitud. Mientras que la primera es un número real no negativo, la segunda es un valor complejo.

A los físicos les interesa conocer otros aspectos de un sistema, en nuestro caso del electrón, como su posición, velocidad, energía, momento, etc. Ahora, en mecánica cuántica, tendremos que trabajar sobre la función de onda, nuestra principal fuente de información, para obtener algunos valores físicamente útiles. Tenemos un largo camino que recorrer en los próximos posts. Temas que vendrán:

- Principio de superposición
- Obteniendo la probabilidad en un volumen
- Magnitud física
- Espectro discreto y continuo de valores de una magnitud física
- Funciones y valores propios
- Operadores como magnitudes físicas
- Vectores de estado, bras, kets
- Hamiltoniano
- Lagrangiano
- Matriz S
- etc..

Ya hay otras series de post en los que trato temas no tan centrados en matemáticas como esta serie. En mi serie Física Cuántica vemos el desarrollo de los conceptos de la física cuántica a partir de experimentos idealizados, donde las matemáticas se insuflan de apoco. En esta nueva serie, quiero abordar más directamente el aspecto matemático, dando por sentado los experimentos físicos.

En Realidad y Física Cuántica quiero explorar la relación de todos estos conceptos y formulismos con la realidad.

En Notas sobre el Desarrollo de la Física Cuántica quiero compartir algunas notas, lecturas que he encontrado sobre el desarrollo histórico de estos temas, y el funcionamiento de la ciencia.

En Teoría de Grupos y Partículas Elementales me zambullo en un tema fascinante. Tenemos que ver qué es eso de la teoría de grupos aplicada a algo que vino luego de la física de campos: el modelo estándar de partículas elementales.

En Las Tres Espectroscopías estoy viendo de visitar qué hemos descubierto siguiendo la pista de tres espectroscopías a las que los físicos le han dedicado más de un siglo.

En Historia de las Partículas Elementales sigo la pista de esa historia. En cuántica, no hay "partículas" como en física clásica, bolitas desplegadas en un espacio. Pero igual asombra, como en el caso de las espectrospopías, que no se da en la realidad lo continuo, sino lo discreto. Esa pista que nos da la naturaleza pasó por milenios desapercibida, oculta, sin que nos diéramos cuenta, debido a que nuestra realidad cotidiana no se topa con esos fenómenos, al menos de manera evidente. Tanto la cuántica como la relatividad einsteniana nos vinieron a sacar de la zona de comfort a la que había llegado la física a fines del siglo XIX, cuando parecía que todo estaba resuelto y sólo era cuestión de "calcular algunos decimales más" en algunas teorías.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 18 de Mayo, 2014, 12:30

Desde hace más de un siglo, los físicos han venido intensificando su búsqueda para explicar la materia. Más de una vez, todo parecía explicado, cuando algún experimento nuevo daba nuevos horizontes y fenómenos a explicar. Una de las estrategias más empleadas, fue producir experimentos donde cada vez se usara más energía.

Al principio, sólo había algún acelerador de electrones, en el tubo de rayos catódicos. Luego aparecieron nuevos aparatos, como las máquinas de Crokcroft-Walton y de Van der Graf. A éstas las sucedieron los ciclotrones, los betatrones, los sincrotones de protones, cada vez de mayor tamaño y costo. Así hemos llegado en nuestros tiempos al gran Large Hadron Collider (LHC) de tan mentada fama en el descubrimieno de lo que se supone es la partícula de Higgs.

¿Adónde nos ha llevado toda esta investigación? ¿Qué descubrimos así de los bloques fundamentales que forman la naturaleza? Esta serie de post que inicio, tratará de hacernos visitar las etapas que se fueron investigando, destacando que todas fueron variantes de espectroscopía: agitar la materia y ver qué produce.

En este camino, hay algo notable, inesperado: cuando uno calienta un trozo de hierro en la fragua, y luego lo aparta, el metal irradia la energía que fue absorviendo. Lo mismo pasa con la materia. Pero en vez de irradiar de forma continua, la gran sorpresa fue que no lo hacía: tanto el modelo de Planck para explicar la radiación de cuerpo negro, como el modelo de Einstein para explicar el efecto fotoeléctrico, pusieron en el tapete la existencia de emisión y absorción en forma de cuantos, lo que hoy llamamos fotones.

Este fue el primer paso para la formación de la mecánica cuántica. Tenemos que detenernos un momento en este fenómeno. Lo ilustraré con imágenes simplificadas de lo que sabemos hoy que sucede. Sea un átomo de hidrógeno:

Como dije, es una imagen simplficada. En el centro, representamos el único protón del núcleo. Por fuera, un esquema de órbita electrónica. La física cuántica nos enseñó que el diagrama de arriba no corresponde a la realidad: no hay trayectoria electrónica definida, ni siquiera el protón es una "bolita" en el centro. Pero para esta introducción didáctica nos va a servir.

Por influencia externa, por ejemplo, por un campo electromagnético como la incidencia de luz, nuestro átomo pasa a estar en un estado excitado:

Dos consideraciones: en este estado excitado, lo que cambió fue el estado del electrón. En estos primeros experimentos, a bajas energías, el núcleo de los átomos permanecía inalterado. Y la segunda consideración: se fue descubriendo que el electrón no puede excitarse a CUALQUIER ORBITA. No, las órbita permitidas se fueron descubriendo, y eran apenas unas pocas, no un conjunto continuo de valores. Esto apareció históricamente con el estudio del espectro de los elementos. De ahí que denomine a estos estudios la primera espectroscopía que tenemos que visitar.

Luego, por influencia externa o no, el átomo se desexcitaba:

PERO EMITIENDO ALGO, lo que hoy llamamos un fotón, y que entonces se reconocía con luz (rayos gamma si tenían mucha energía, rayos X, luz visible, ondas en infrarrojo, ondas de radio, etc). Pero como decía antes, se descubrió que no se emitía cualquier cosa: no aparecía nunca un fotón y medio, o medio fotón, sino siempre un fotón. Podía tener distintas características (como frecuencia y longitud de onda), pero asociadas al nivel de energía devuelto al exterior por el átomo.

Todo esto era nuevo, a comienzos del siglo XX. Nadie había imaginado que la naturaleza se iba a comportar de esta forma, más discreta que continua. Desde entonces, hemos ido descubriendo más de este tipo de experimentos: excitaciones de la materia, que derivan en la emisión discreta de partículas.

Me sirve de base para esta serie, el excelente artículo "Las tres espectroscopías", de Victor F. Weisskopf, publicado en el Scientific American, en Mayo de 1968. El propio autor presenta imágenes simplicadas como las de arriba. Lo importante es empezar a ver las similitudes y diferencias en esta larga serie de experiencias, y lo notable de la aparición de partículas, cuantos en todos los desarrollos que aparecieron. ¿La naturaleza nos está dando un mensaje? ¿un "lo continuo no existe"?

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 17 de Mayo, 2014, 14:00

Stanislav Ulam fue un matemático polaco. Es conocido por haber participado en el Proyecto Manhattan. Junto con Teller diseñó armas termonucleares. Inventó el método de Monte Carlo para calcular lo que no se puede calcular directamente. En mi radar, entró hace unas décadas, por la espiral de Ulam de números primos.

Hoy me encuentro con una cita de su biografía "Adventures of a Mathematician", que traduzco:

Hace unos años, dí una conferencia en el aniversario nro. 25 de la construcción de la computadora de von Neumann en Princeton. De pronto me ví estimando en mi mente cuántos teoremas eran publicados anualmente en las revistas de matemáticas [los "journals"]. Hice un rápido cálculo mental y llegué a un número cercano a los cien mil teoremas por año. Lo mencioné en la charla, y la audiencia se impresionó. Al día siguiente, dos jóvenes matemáticos que habían asistido, se me acercaron y me dijeron, impresionas por ese número enorme, que habían hecho una búsqueda más sistemática y detallada en la biblioteca del instituto. Multiplicando el número de "journals" por la cantidad de de números al año, por la cantidad de "papers" por número y por el promedio de teoremas por "paper", estimaban que había cerca de doscientos mil teoremas por año. Si el número de teoremas es mayor que lo que uno puede estudiar ¿cómo podemos estar seguros al juzgar qué es "importante"? Uno no puede tener la supervivencia del más apto si no tiene interacción. Es actualmente imposible mantenerse al tanto de aún los más relevantes y excitantes resultados. ¿Cómo podemos reconciliar esto con la idea de las matemáticas sobreviviendo como una sola ciencia? En matemáticas, uno termina casado con su propio pequeño campo de estudio. Debido a eso, el juzgar el valor de la investigación matemática es cada vez más y más dificultoso, y muchos de nosotros hemos devenido en ser principalmente técnicos. La variedad de objetos trabajados por los jóvenes científicos está creciendo exponencialmente. Quizás no deberíamos llamarla polución del pensamiento; es posiblemente algo similar a la prodigalidad de la naturaleza que produce millones de especies de insectos.

Es decir, el problema, el dilema es:

Con tantas matemáticas de hoy en día, cómo se puede juzgar qué es importante y qué no.

Mi primera respuesta: son los propios matemáticos quienes deciden darle importancia o no a un resultado. Seguramente algún grupo de matemáticos reconocerá los teoremas importantes de una rama. Esos teoremas serán entonces seguidos por más matemáticos. Habrá unos pocos que se tomarán el trabajo de vigilar los avances destacados y cómo pueden influir en otras ramas. Las matemáticas son especiales: sus resultados, en principio, sólo interesan a los propios matemáticos. Sólo con el tiempo, algún resultado puede que tenga influencia en otros ámbitos.

La cita la encuentro en el excelente "The Mathematical Experience" de Philip Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez