Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 1 de Julio, 2017, 13:42

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Veamos hoy de entender los pasos de la demostración de Fermat presentada en el anterior post. Fermat quiere demostrar que no hay triángulos rectángulos con lados racionales que tuvieran como superficie un cuadrado racional. Basta tratar el caso en números enteros positivos.

¿Qué quiere decir cuando escribe "If the area of a right-angled triangle were a square, there would exist two biquadrates the difference of which would be a square number"? Primero, ¿qué es "biquadrates"? Un término en inglés que no veo tenga palabra de uso similar en español, o por lo menos, de uso frecuente. Un número bicuadrado es la cuarta potencia de otro, en este caso, de otro natural. ¿por qué afirma esto Fermat? Dice que si hubiera un triángulo rectángulo con área cuadrada (un número cuadrado) habría DOS potencias cuartas que al restarse, darían un cuadrado.

Veamos. Recordemos que los lados enteros de un triángulo se expresan con una terna pitagórica. Y que esas ternas tienen una expresión general:

x = (2pq)d
y = (p2 - q2)d
z = (p2 + q2)d

donde p, q son naturales primos entre sí, y de distinta paridad (uno par y otro impar), y d es natural cualquiera. El problema de Fermat es encontrar entonces

1/2 xy = pq(p2 - q2)d2

que sea cuadrado. Para esto

pq(p2 - q2)

DEBE ser cuadrado. Como p, q son primos entre sí, también son primos con

p2 - q2

Entonces cada uno de los factores

p
q
p2 - q2

DEBE ser cuadrado, al ser primos entre sí. Como p y q son cuadrados, entonces

p2 - q2

ES LA DIFERENCIA de DOS CUARTAS potencias, lo que afirmaba Fermat en su primera oración. Es un poco escondedor, como si no quisiera explicar todos los pasos, haciendo trabajar al que lea su demostración. No es evidente que sea verdad su afirmación, y la expone casi como un problema implícito, como diciendo: "quien no sepa descubrir esto no vale la pena que siga".

En el próximo post, seguiremos discutiendo las siguientes afirmaciones de Fermat

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Gaussian elimination - Linear Systems - math-linux.com
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Cuerpos y sus extensiones
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Teoria de Anillos
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo1.pdf

Resolubilidad por Radicales
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo4.pdf

Resolubilidad por Radicales
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo4.pdf

Abstract Algebra
http://www.math.umn.edu/~garrett/m/algebra/

The Submodule of Invariants « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/21/the-submodule-of-invariants/

Gauss and Regular Polygons: Cyclotomic Polynomials « Paramanand's Math Notes
http://paramanands.wordpress.com/2009/12/25/gauss-and-regular-polygons-cyclotomic-polynomials/

gen_gauss_gem.pdf
http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/gen_gauss_gem.pdf

Fermat's Last Theorem: Gauss: Periods of Cyclotomic Equations
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Gauss Cyclotomy
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Paper Trail » Dedekind and Weber: Theory of the algebraic functions of one variable
http://the-paper-trail.org/blog/dedekind-and-weber-theory-of-the-algebraic-functions-of-one-variable/

New Modules from Old « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/17/new-modules-from-old/

Irreducible Modules « The Unapologetic Mathematician
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Reducible Modules « The Unapologetic Mathematician
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Lie Algebra Modules « The Unapologetic Mathematician
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A trivial remark about schemes « What"s new
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Decomposition of Semisimple Lie Algebras « The Unapologetic Mathematician
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Back to the Example « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2012/09/07/back-to-the-example/

The Radical of the Killing Form « The Unapologetic Mathematician
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The Killing Form « The Unapologetic Mathematician
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Serre thm on noetherian regular local ring
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cartan-einstein-unification.com/pdf/On the Exterior Calculus.pdf
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Skew coordinates - Wikipedia, the free encyclopedia
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One-form - Wikipedia, the free encyclopedia
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Video Lectures in Mathematics (mathematicsprof) on Pinterest
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Lie groups, Lie algebras, and representations « The Unapologetic Mathematician
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Abstract Algebra: The Basic Graduate Year
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Cartan biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cartan.html

New version of algebra game « What"s new
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Gamifying algebra? « What"s new
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The Julia Language
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Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90193x/f97

D. I. Falikman, "Proof of the van der Waerden conjecture regarding the permanent of a doubly stochastic matrix"
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Computing the permanent - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Computing_the_permanent

JSTOR: Mathematics Magazine, Vol. 42, No. 3 (May, 1969), pp. 146-148
http://www.jstor.org/pss/2689132

Permanent - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Permanent

A Course in Universal Algebra
http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html

Exterior algebra - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Wedge_product

Most striking applications of category theory? - MathOverflow
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Division Algebras and Supersymmetry III | The n-Category Café
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Primeras construcciones con regla y compás en imágenes - Gaussianos | Gaussianos
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Algebraic Topology Online Course
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Particle physics and representation theory
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geometry - Is this Batman equation for real? - Mathematics - Stack Exchange
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Linear dynamical systems over finite rings « Rod Carvalho
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Lie Algebras from Associative Algebras « The Unapologetic Mathematician
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Cyclotomic polynomial - Wikipedia, the free encyclopedia
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Hall algebras are Grothendieck groups « Secret Blogging Seminar
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The Algebra of Data, and the Calculus of Mutation » Lab49 Blog
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A Categorified Supergroup for String Theory | The n-Category Café
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Division Algebras and Quantum Theory
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The Cayley-Dickson Construction
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Introduction to Clifford Algebra
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What ARE Clifford Algebras and Spinors?
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Octonions
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The Three-Fold Way (Part 2) | The n-Category Café
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Clifford Algebra
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Clifford Algebras
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clifford.pdf (application/pdf Object)
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Clifford algebra - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_algebra

Algebra as Quantum Language
http://www.scribd.com/doc/27157534/Algebra-as-Quantum-Language

Achilleas Passias Dissertation.pdf (application/pdf Object)
http://workspace.imperial.ac.uk/theoreticalphysics/Public/MSc/Dissertations/2010/Achilleas%20Passias%20Dissertation.pdf

Clifford_Report.pdf (application/pdf Object)
http://ajwilson.co.uk/files/maths/Clifford_Report.pdf

Geometric Algebra and its Application to Mathematical Physics
http://148.202.11.158/ebooks/mathbooks/Algebraic%20geometry/Geometric%20Algebra%20and%20its%20Application%20to%20Mathematical%20Physics%20-%20C.%20Doran.pdf

Amazon.com: A Course in Commutative Algebra (Graduate Texts in Mathematics)
http://www.amazon.com/Course-Commutative-Algebra-Graduate-Mathematics/dp/3642035442

Amazon.com: The Chinese Roots of Linear Algebra
http://www.amazon.com/Chinese-Roots-Linear-Algebra/dp/0801897556

The decline of quantum algebra (QA) « Secret Blogging Seminar
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(Fake) Frobenius Reciprocity « The Unapologetic Mathematician
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The Dimension of the Space of Tensors Over the Group Algebra
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The Endomorphism Algebra of the Left Regular Representation
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Hilorama de E8 « Juegos topológicos
http://topologia.wordpress.com/2010/10/10/e8-con-hilo-tensado/

Amazon.com: Higher Structures in Geometry and Physics
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State-Observable Duality (Part 3) | The n-Category Café
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Solèr's Theorem | The n-Category Café
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The Geometry of the MRB constant
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Strongly dense free subgroups of semisimple algebraic groups « What"s new
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Tensor Products over Group Algebras « The Unapologetic Mathematician
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Tensors Over the Group Algebra are Invariants « The Unapologetic Mathematician
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Amazon.com: Contemporary Abstract Algebra
http://www.amazon.com/Contemporary-Abstract-Algebra-Joseph-Gallian/dp/0547165099

Trigonometric functions and rational multiples of pi « Division by Zero
http://divisbyzero.com/2010/10/28/trigonometric-functions-and-rational-multiples-of-pi/

Consequences of Orthogonality « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/10/25/consequences-of-orthogonality/

Amazon.com: An Introduction to Galois Cohomology and its Applications
http://www.amazon.com/Introduction-Cohomology-Applications-Mathematical-Society/dp/0521738660

Computer algebra for Clojure - Stack Overflow
http://stackoverflow.com/questions/3963556/computer-algebra-for-clojure

Dimensional Reduction - Apache Mahout - Apache Software Foundation
https://cwiki.apache.org/confluence/display/MAHOUT/Dimensional+Reduction

ConciseRevised.pdf (application/pdf Object)
http://www.math.uchicago.edu/%7Emay/CONCISE/ConciseRevised.pdf

Amazon.com: Monomial Ideals (Graduate Texts in Mathematics)
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Amazon.com: Algebra and Number Theory: An Integrated Approach
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Symbolmania
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Modules « The Unapologetic Mathematician
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The Group Algebra « The Unapologetic Mathematician
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Exceptional object - Wikipedia, the free encyclopedia
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The Brauer Groupoid « Secret Blogging Seminar
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Galois Connections « The Unapologetic Mathematician
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Orthogonal Complementation is a Galois Connection
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How can we construct abelian Galois extensions of basic number fields?
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Lebesgue Measure and Affine Transformations « The Unapologetic Mathematician
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Homological Algebra Puzzle | The n-Category Café
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Lattices and their invariants « Secret Blogging Seminar
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Convergence in Measure and Algebra « The Unapologetic Mathematician
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Course Notes - J.S. Milne
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/

The Weil conjectures : Curves « Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2010/04/19/the-weil-conjectures-curves/

Measuring Measures - blog - Matrix Benchmarks: Fast Linear Algebra on the JVM
http://measuringmeasures.com/blog/2010/3/28/matrix-benchmarks-fast-linear-algebra-on-the-jvm.html

Monotone Classes « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/03/18/monotone-classes/

Maxima, a Computer Algebra System
http://maxima.sourceforge.net/

Why Arel? « Magic Scaling Sprinkles
http://magicscalingsprinkles.wordpress.com/2010/01/28/why-i-wrote-arel/

Sheaves Do Not Belong to Algebraic Geometry | The n-Category Café
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Weyl Chambers « The Unapologetic Mathematician
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Root Systems « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/01/20/root-systems/

Reflections « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2010/01/18/reflections/

Size, Yoneda, and Limits of Algebras | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2009/12/size_yoneda_and_limits_of_alge.html

Residues and Integrals « Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2010/01/12/residues-and-integrals/

Algebra Representations « The Unapologetic Mathematician
http://unapologetic.wordpress.com/2008/10/24/algebra-representations/

Memoizing Polymorphic Functions with High School Algebra and Quantifiers
http://blog.sigfpe.com/2009/11/memoizing-polymorphic-functions-with.html

GAP System for Computational Discrete Algebra
http://www.gap-system.org/

MIT Linear Algebra, Lecture 1: The Geometry of Linear Equations
http://www.catonmat.net/blog/mit-linear-algebra-part-one/?utm_source=feedburner&utm_medium=feed&utm_campaign=Feed%3A+catonmat+%28good+coders+code%2C+great+reuse%29

The Hodge Star
http://unapologetic.wordpress.com/2009/11/09/the-hodge-star/

The Cross Product and Pseudovectors
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Publicado el 8 de Junio, 2017, 7:34

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Varios de estos enlaces han sido publicados en mi serie de recursos sobre Matemáticas. Pero ya ameritan una categoría aparte, para compartir y repasar. Estoy estudiando bastante de algunos temas algebraicos, y es interesante volver a algunos puntos esenciales de las matemáticas.

The Jacobian
http://unapologetic.wordpress.com/2009/11/11/the-jacobian/

Functoriality of Tensor Algebras
http://unapologetic.wordpress.com/2009/10/28/functoriality-of-tensor-algebras/

Tensor Algebras and Inner Products
http://unapologetic.wordpress.com/2009/10/29/tensor-algebras-and-inner-products/

Inner Products on Exterior Algebras and Determinants
http://unapologetic.wordpress.com/2009/10/30/inner-products-on-exterior-algebras-and-determinants/

Computer Algebra Systems
http://www.math.wpi.edu/IQP/BVCalcHist/calc5.html

MATH3711 Lecture Notes
http://web.maths.unsw.edu.au/~danielch/algebra07a/qinnotes.pdf

Free Algebra Books Download | Algebra Ebooks Online Algebra Tutorials
http://www.freebookcentre.net/Mathematics/Algebra-Books-Download.html

Scientific Computing Software Library (SCSL) User's Guide
http://www.nacad.ufrj.br/sgi/007-4325-001/sgi_html/index.html

Blas
http://www.netlib.org/blas/

Algebraic Areas of Mathematics
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/tour_alg.html

Abstract Algebra Online
http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/

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Publicado el 5 de Junio, 2017, 19:26

Ya comienza otro mes. Hora de repasar las resoluciones del mes pasado:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia [completo] ver post
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre Gödel [pendiente]
- Continuar mi serie Estudiando Curvas Elípticas [completo] ver post
- Continuar mi serie Estudiando Geometría Algebraica [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

También escribí sobre

Geometría Algebraica (2)

Y tiempo de escribir las nuevas:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia
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- Continuar mi serie sobre Gödel
- Continuar mi serie Estudiando Curvas Elípticas
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Publicado el 4 de Junio, 2017, 12:43

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Alguna vez ya publiqué una demostración de una proposición de Fermat, sobre la no existencia de triángulos rectángulos de lados enteros con área cuadrada, aplicando el método de descenso infinito. Ver:

El Ultimo Teorema de Fermat (4)
Fermat y el Descenso Infinito
Descenso Infinito

Fermat estaba muy orgulloso de haber inventado y aplicado ese método. No escribió muchas demostraciones de sus afirmaciones, aunque declaraba por escrito que estaba más que dispuesto a compartirlas si alguien lo requería. Pero, consciente o inconscientemente, Fermat no daba fácilmente explicación de su demostraciones. La proposición de arriba fue inspirada por una proposición de Bachet, el editor de la aritmética de Diofanto. Y de nuevo en esta demostración usa descenso infinito. Hoy leo un texto de Fermat dando alguna idea de su demostración:

If the area of a right-angled triangle were a square, there would exist two biquadrates the difference of which would be a square number. Consenquently there would exist two square numbers the sum and difference of which would both be squeares. Therefor we should have a square number which would be equal to the sum of a square and the double of another square, while the squares of which this sum is made up would themselves have a square number for their sum. But if a square is made up of a square and the double of another square, its side, as I can very easily prove, is also similarly made up of a square and the double of another square. From this we conclude that the said side is the sum of the sides about the right angle in a right-angled triangle, and that the simple square contained in the sum is the base and the double of the other square is perpendicular.

This right-angled triangle will thus be formed from two squares, the sum and differences of which will be squares. But both these squares can be shown to be smaller than the squares originally assumed to be such that both their sum and difference are squares. Thus if there exist two squares such that their sum and difference are both squares, there will also exist two other integer squares which have the same property but have a smaller sum. By the same reasoning we find a sum still smaller than that last found, and we can go on ad infinitum finding integer square numbers smaller and smaller which have the same property. This is, however, impossible because these cannot be an infinite series of numbers smaller than any given integer we please. Tha margin is too small to enable me to give the proof completely and with all detail.

Es un texto traducido del latín al inglés por Health. No encuentro en qué lugar está el original, pero sospecho que está en las anotaciones de Fermat a Diofanto. Es curioso que de nuevo acá vuelva a mencionar lo estrecho del margen, aunque su texto es bastante largo.

Pero la demostración que explica parte de una frase algo misteriosa: "If the area of a right-angled triangle were a square, there would exist two biquadrates the difference of which would be a square number" En próximo post intentaré explicar de donde parte Fermat, qué quiere indicar con esta afirmación.

Encuentro el texto citado en el excelente libro Fermat's Last Theorem, A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, de Harold M. Edwards.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 3 de Junio, 2017, 18:23

En el mundo de la ciencia siempre ha habido personas que se destacan en su ámbito, como los "top" de su ámbito, sea física, química, economía, etc. Pero es raro encontrar que esa fama llegue al público no generalmente interesado en ciencia. Una notable excepción es el caso de Einstein, que en el siglo XX se convirtió en un personaje "pop", reconocido por el gran público. Se llegó a verlo ser recibido como una estrella en un auto recorriendo Nueva York.

Como contraste, veo que Dirac o Heisenberg, contemporáneos de Einstein, tuvieron menos exposición pública.

¿Cómo se llegó a este caso con Einstein? Todo parece haber comenzado luego de la confirmación de sus ideas de relatividad general, con la confirmación del desplazamiento de estrellas en un eclipse. Habiendo terminado la terrible primera guerra mundial, el mundo estaba ávido de noticias por lo menos no malas, y el genio de la idea de Einstein, con una teoría que se promocionaba como "entendida por muy pocos" y que "revolucionaba la física", prendió como una buena historia. Tan buena, que hizo de Einstein un personaje popular.

Hoy encuentro el texto de unos de los primeros reportajes de Einstein. Leo en el artículo del 2 de diciembre de 1919 del New York Times:

"Einstein expone su nueva teoría. Espacio y tiempo no tienen un carácter absoluto, sino a un sistema en movimiento [...] Como Newton, se inspiró en una caída, pero no la de una manzana, sino la de un hombre de un tejado".

En reportaje Einstein explica el origen de su teoría general, pero también expone las ideas de la teoría especial. El periodista pone a las dos como "nueva teoría". El trabajo de principios de siglo no ha impactado en la prensa, recién esta confirmación del resultado del eclipse es el que pone a Einstein en palestra pública. Es interesante que éste cuente la anécdota del hombre cayendo:

"Años atrás, por la ventana de su biblioteca, Einstein vió despeñarse a un hombre de un tejado. El hombre contó después que durante la caída no había experimentado experimentado la sensación que normalmente asociamos a la gravedad, la cual, según la teoría de Newton, le habría atraído violentamente hacia el suelo"

No conocía que Einstein hubiera contado esta anécdota, por esta época, en reportaje para el público. Hay más para comentar sobre su relación con la prensa.

Fuente consultada: Einstein y la prensa: una relación tumultuosa de Jean-Marc Ginoux y Christian Gérini, Investigación y Ciencia, Diciembre 2016

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Publicado el 2 de Junio, 2017, 10:40

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Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 18 de Mayo, 2017, 8:42

Todas las semanas hay una reunión del Café Filosófico en Buenos Aires. Más información (lugar, horarios, aranceles,.. ) en:

http://www.filosofiaparalavida.com.ar/cafefilosofico.htm

Recibo el tema de esta semana:

La neurociencia está revelando los secretos de nuestras emociones. Compartiremos el contenido de un libro reciente e inédito en el país sobre este tema, escrito por el investigador Giovanni Frazzetto.  ¿Puede la ciencia explicar por sí misma por qué sentimos lo que sentimos? La filosofía es un buen complemento para el análisis de las emociones, que invaden cada porción de nuestra vida. Un minuto estamos tristes, enseguida sentimos esperanza. Algunas emociones nos persiguen, otras nos eluden. Nos transportan lejos. Por eso es que a veces pensamos cómo podríamos librarnos de algunas de ellas. ¿Es el dolor psíquico similar al dolor físico? ¿Tienen aspectos comunes en la configuración cerebral que corresponde a cada uno de ellos? ¿Qué puede revelarnos sobre las emociones el escaneo del cerebro? Haremos un viaje a través de algunas de las emociones más comunes de la vida cotidiana. El impacto emocional de drogas paliativas  como los opiáceos o la morfina. Las experiencias de exclusión y su impacto a nivel neural. Un análisis de Wittgenstein sobre las emociones. La serotonina (hormona "del placer") y los estados emocionales. La ansiedad: el miedo a lo desconocido.  William James y la relación de las emociones con el cuerpo. La diferencia entre el miedo y la ansiedad: ¿comparten la misma estructura cerebral, responden a los mismos circuitos neuronales o funcionan en forma independiente? La lectura que Giovanni Franzzetto hace del análisis de Heidegger sobre el tema de la ansiedad. ¿Cómo podemos huir de la ansiedad? ¿Cómo es posible que el cerebro aprenda a desviar la atención? El contraste entre racionalidad y sentimientos, ciencia y poesía. Cómo enfrentando este contraste podemos entendernos mejor a nosotros mismos y a los demás. Cómo se ve el efecto de la psicoterapia en el escaneo del cerebro.
La neurociencia tiene tanto para revelarnos sobre nuestra vida que algunos de sus términos ya ingresaron al lenguaje popular: solemos decir que "necesitamos adrenalina", que la dopamina estimula el cerebro y que las endorfinas son opiáceos "hechos en casa". ¿Podremos algún día grabar los sueños y comprar experiencias artificiales (películas para la mente)? ¿Cómo puede el cerebro aprender a desviar la atención? La plasticidad del cerebro: cómo podemos condicionarnos a nosotros mismos para no ser dominados por la ansiedad.
Cómo transitar el proceso del duelo. ¿Cuál es el propósito del llanto? ¿Por qué lloramos de alegría? ¿Es posible divorciar las categorías psiquiátricas de su contexto social? Veremos algunos aspectos particulares del placer, y algunas rutas que pueden ayudarnos a alcanzar la alegría. Los rasgos de la risa. El estudio de Robert Provine sobre los componentes de la risa. Las neuronas espejo y la risa. ¿Por qué suele ser contagiosa y no es sólo un signo de alegría  y entretenimiento? ¿Qué animales ríen? Cómo lidiar mejor con las emociones, construyendo nuevas rutas en nuestro cerebro.

Giovanni Frazzetto. Darwin. William James. Wittgenstein.

Hay mucho para investigar, y para discutir. Pienso que estamos recién en los albores de aplicar la neurociencia a la conducta compleja humana. Pero por algunos puntos hay que comenzar. Por ejemplo, es clara la influencia de muchas drogas sobre nuestros estados de ánimo, y ahí hay un tema para seguir investigando. Las neuronas espejo son interesantes, pero tal vez se ha puesto mucha expectativa en ellas, para explicar conductas complejas. No conocía a Giovanni Frazzetto. Es interesante como Darwin se interesó por las expresiones usadas en nuestros estados de ánimo, y encontró relación en expresiones de primates.

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Angel "Java" Lopez
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