Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 7 de Abril, 2015, 17:10

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A VC: Return and Ridicule
http://www.avc.com/a_vc/2013/04/return-and-ridicule.html
I have found that return and ridicule are highly correlated over the years. We have made more money on things that were highly ridiculed than on any other cohort. When I see people laughing at ideas and companies we have backed, I smile. It means we are going to make a lot of money on that investment.

Bringing the Lean Startup approach to healthcare - The Next Web
http://thenextweb.com/entrepreneur/2013/04/20/bringing-the-lean-startup-approach-to-healthcare/

39 Unforgettable Moments in Tech Startup History
http://mashable.com/2013/04/11/epic-startup-moments/

From Selling Scoops Of Ice Cream To Founding ZeroCater | TechCrunch
http://techcrunch.com/2013/04/06/how-i-started-zerocater/

Zuckerberg Forming Political Organization to Push For Immigration Reform
http://mashable.com/2013/03/25/zuckerberg-immigration/

Lean Analytics: Using Data to Build a Better, Stronger, Faster Startup - Forbes
http://www.forbes.com/sites/reuvencohen/2013/03/21/lean-analytics-using-data-to-build-a-better-stronger-faster-startup/

Crowdfunding Platform Crowdtilt Lands $12M From Sean Parker, Andreessen & More; Now Acquiring To Expand Into Mobile | TechCrunch
http://techcrunch.com/2013/03/22/crowdfunding-platform-crowdtilt-lands-12m-from-sean-parker-andreessen-more-now-acquiring-to-expand-into-mobile/

Hadoop: "It"s damn hard to use" — Tech News and Analysis
http://gigaom.com/2013/03/21/hadoop-its-damn-hard-to-use/

The dire state of programmers in their twenties
http://chrislema.com/the-dire-state-of-programmers-in-their-twenties/

How This Mom Used Google To Build a Global Fashion Brand
http://mashable.com/2013/03/22/cambridge-satchel-company/

500 Startups is now using AngelList to raise investment for its latest fund - The Next Web
http://thenextweb.com/insider/2013/03/22/500-startups-is-now-using-angellist-to-raise-investment-for-its-latest-fund/

How to Convince People to Join Your Startup
http://mashable.com/2013/03/22/how-to-get-people-join-startup/

Culture Code: Building A Company YOU Love | LinkedIn
http://www.linkedin.com/today/post/article/20130320171133-658789-culture-code-building-a-company-you-love

.net awards 2013
http://www.thenetawards.com/

Startups en el valle de la muerte
http://www.uberbin.net/archivos/rants/startups-en-el-valle-de-la-muerte.php

Salesforce to raise $1 billion in convertible debt offering to help fuel acquisitions - The Next Web
http://thenextweb.com/insider/2013/03/11/salesforce-to-raise-1-billion-in-convertible-debt-offering-to-help-fuel-acquisitions/

Column: Knowing how to code is essential for founders | ShopTalk | NewsObserver.com
http://www.newsobserver.com/2013/03/11/2742353/column-knowing-how-to-code-is.html

5 Ways Startups Are Using Vine
http://mashable.com/2013/03/12/startups-using-vine/

Health care marketing startup Appature sold to IMS in blockbuster deal - GeekWire
http://www.geekwire.com/2013/appature-sold-ims-health-marking/

Gumroad
https://gumroad.com/
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Zombie Startups « Danielle Morrill
http://www.daniellemorrill.com/2013/03/zombie-startups/

Bolstering the Partner Ranks at GRP
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Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 5 de Abril, 2015, 8:06

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Pierre de Fermat fue un jurista francés, nacido en 1601 en Beaumant de Lomagne, muerto en 1665 en Castres. Fue parte del Parlamento de Tolouse. Podía escribir versos en varios idiomas (latín, griego, italiano y español). Pero en lo que destacó fue en matemáticas. Eric Bell lo nombró "el príncipe de los aficionados". Fue un matemático de primera línea, y su obra es más extensa y variada que lo que su último teorema sugiere. Trabajó en otros temas, además de teoría de números. En geometría, reconstruyó un trabajo de Apolonio, en base a los comentarios de Pappus. Independientemente de Descartes, inventó la geometría analítica en 1636, dándose cuenta que si la hubiera conocido en 1629 le hubiera ahorrado gran cantidad de tiempo. En análisis fue el precursor del cálculo diferencial e integral. Fue igual a Pascal en combinatoria y probabilidad. En óptica introdujo el cálculo de variaciones para justificar la ley de Snell-Descartes.

Mencionemos algunos resultados suyos en teoría de números.

El llamado pequeño teorema de Fermat: para cada número primo p y para cada a entero no divisible por p se tiene:

Ver Demostración del teorema de Euler-Fermat.

La ecuación de Fermat, usualmente llamada (equivocadamente) la ecuación de Pell:

Los números de Fermat

La representación de números primeros en formas cuadráticas, en especial:

Y en

Ver mi serie p = x2 + y2.

El "último teorema" que nos ocupa en esta serie de posts, que para n > 2 y x, y, z enteros afirma:

Y varias ecuaciones diofánticas. Usó en varias de sus demostraciones el descenso infinito (ver Fermat y el Método de Descenso Infinito y Descenso Infinito)

Fuente consultada: Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, de Yves Hellegouarch.

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Publicado el 4 de Abril, 2015, 15:30

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Mencionaba en el anterior post que la electrodinámica cuántica, de la mano de Julian Schwinger, Sin-Itiro Tomonaga, y Richard Feynman, consiguió dar un valor finito para el número de Dirac. El valor teórico resultante fue de 1.00116, muy cercano al valor experimental de 1.00118. Fue un gran triunfo de la teoría, que comenzó a evitar los infinitos. Esa es la teoría que tenemos que estudiar en esta serie de posts.

Con los años, se mejoraron los resultados experimentales. Por ejemplo, en la segunda mitad del siglo pasado se llegó a determinar experimentalmente el valor de 1.00115965221 (con incertidumbre de 4 en el último dígito) mientras que la teoría daba 1.00115965246. Para darnos una idea de lo impresionante que es el acuerdo entre experimento y teoría, si midiéramos las distancia entre Los Angeles y Nueva York CON LA MISMA PRECISION, sería exacta con sólo la incertidumbre de un cabello humano. Y no es el único acuerdo entre experimento y teoría. Durante décadas la electrodinámica cuántica ha sido puesta a prueba y ha salido airosa. Se han medido cosas desde el orden de cientos de veces el tamaño de la Tierra, hasta un centésimo del tamaño de un núcleo atómico.

La teoría describe un vasto rango de fenómenos físicos. Quedan exceptuados los efectos gravitacionales y los fenómenos radioactivos, que son debidos a cambios en el núcleo atómico, donde intervienen otras fuerzas. ¿Qué queda fuera de gravitación y radioactividad? El quemado de gasolina en los automóviles, la formación de espuma y burbujas, la dureza de la sal o del cobre, las características del acero. Los biólogos tratan de explicar la vida en términos químicos, y se ha descubierto que las propiedades químicas son consecuencia de la electrodinámica cuántica.

Ahora bien, cuando decimos que la teoría "explica", en realidad no es tan así. En muchos fenómenos intervienen tal cantidad de electrones que es difícil explicar la complejidad. Pero si hacemos experimentos con pocos electrones en circunstancias simples, podemos calcular lo que sucede con mucha aproximación usando la teoría. Cuando hacemos ese tipo de experimentos, la teoría trabaja muy bien. Podemos decir que es la joya de la física, su más preciada posesión.

Y sirve de prototipo a las teorías que intentan explicar el comportamiento del núcleo atómico. Los actores del universo no son sólo electrones y fotones, sino que en el núcleo hay quarks y gluones y se encontraron más particulas en la naturaleza y en experimentos. Y aunque actúan de distinta forma, igual su conducta tiene un estilo "cuántico". Pero por ahora, nos concentraremos en electrones y fotones.

Principal fuente: el excelente libro de Richard Feynman, "QED: the strange theory of light and matter"

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 3 de Abril, 2015, 17:16

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En el anterior post presenté más contexto sobre el uso de números complejos en física y en la ecuación de Schrödinger. Recordemos que la solución de esa ecuación es una función de onda. Era lo que buscaba Schrödinger: luego de dar una charla sobre la teoría de de Broglie, su colega Debye le señaló que si había ondas en esa teoría, debía haber una función de onda, y como en otras ramas de la física, debería satisfacer una ecuación de ondas. De ahí arranca el trabajo de Schrödinger, que siguió un camino distinto al que tomamos nosotros.

En nuestro anterior "deducción" de la ecuación (a partir de elementos plausibles) vimos que no pudimos resolverla apelando a una función de onda real. Eso se debe a que en la expresión de la ecuación interviene LA PRIMERA DERIVADA del tiempo, y LA SEGUNDA DERIVADA de las otras coordenadas. Ese es el quid de la aparición de los números complejos en nuestra solución. Schrödinger siguió un camino más esotérico, pero llegó también a lo mismo: aunque "se resistió" a poner números complejos, al final tuvo que claudicar y expresar, en el últimos de sus artículos de la serie de 1926, la solución de su ecuación usando un coeficiente i (según el anterior post, parece que espoleado por alguna pregunta de Lorentz).

Algunos pensaron que tener una función de onda compleja era un defecto de la teoría. Al fin y al cabo, las magnitudes físicas, las que podemos medir por experimento, son todas reales (en el sentido no filosófico, de realidad, sino en el sentido de ser expresables, medibles en números reales). Pero hubo algo bueno en que sea función compleja. Si recordamos la historia del electromagnetismo, las funciones de onda de esa teoría daban valores reales, y eso llevó a considerar, por tradición de la física, que "había algo" que vibraba según esas ondas, y se inventó la teoría del éter. Se tardó bastante tiempo para entender que no había tal éter. Con la teoría de Schrödinger no corremos ese peligro: al ser compleja, no se espera que haya algo que "vibre" ahí afuera en la realidad. Uno podría esperar separar la función compleja en parte real y parte imaginaria. Matemáticamente, es posible hacerlo. Pero usar cada función por separado no lleva a ningún resultado físico.

Notablemente, se tardó unos meses en dar con una conexión física firme entre la función de onda compleja y la evidencia física. Schrödinger consideraba que había una relación entre su función y la densidad de carga eléctrica. Pero fue Max Born el que dio más en la tecla, al poner su postulado:
Teniendo la función de onda, digamos, para una partícula, una dimensión:

Lo expresado por:

Es la densidad de probabilidad. Como la función de onda se multiplica en cada punto (x,y) por su conjugada compleja (de ahí el asterisco en la segunda psi), el resultado es un número real en cada punto.  ¿por qué se llama densidad de probabilidad? Por el postulado de Born, que se expresa:

Si en el instante t se realiza una medición para localizar la partícula descripta por la función de onda Psi(x,t), entonces la probabilidad P(x, t) dx de encontrarla entre x y x + dx, es igual a:

Lo mismo se puede extender a varias coordenadas, a un sistema de partículas, y un volumen infinitesimal de esas coordenadas. Siendo lo de arriba "la densidad" por "punto de volumen", la probabilidad se obtiene integrando en el volumen V de coordenadas:

Se pide en general, que si se extiende la integración a todo el volumen de coordenadas, el valor de la probabilidad sea siempre (en todo tiempo) uno. Se dice entonces que la función de onda está normalizada. Se podrían tomar otras funciones de la función de onda que den igualmente resultados reales. Por ejemplo, se podría poner como densidad de probabilidad a:

Usando el valor absoluto de la función de onda. Pero estas otras opciones quedan descartadas porque su aplicación no lleva a los resultados físicos esperados (parece que es necesario un largo razonamiento para descartar estas otras soluciones, ninguna de mis fuentes (Landau/Lifschitz, Eisberg/Resnick) los menciona explícitamente).

Born publica sus ideas en una nota al pie de uno de sus artículos. Esa idea inicial, de probabilidad de posición, luego se extiende a otras probabilidades asociadas a otras medidas, no sólo a posición.

Ver también mi serie más matemática: Matemáticas y Física Cuántica (2) Probabilidad

Y ver

What is Born's Postulate
The Born Rule
The Born rule and its interpretation
Mathematical foundation of quantum mechanics

Es interesante ver Derivation of the postulates of quantum mechanics from the first principles of scale relativity donde se enumeran los postulados de la mecánica cuántica, y se propone una derivación alternativa.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 2 de Abril, 2015, 17:02

Llega nuevo mes, tiempo de revisar las resoluciones del mes pasado, y escribir las nuevas.

- Seguir mi serie sobre la Ecuación de Schrödinger [pendiente]
- Continuar mi nueva serie Entendiendo a Heisenberg [completo] ver post
- Continuar serie sobre Series de Fourier [completo] ver post
- Continuar serie sobre El Ultimo Teorema de Fermat [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre La Hipótesis de Riemann [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre particiones [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre funciones aritméticas [completo] ver post

Además publiqué:

La humanidad y el avance de la ciencia, por Pascal
Electrodinámica cuántica: la extraña teoría de la luz y la materia (1)
Cartas de Feynman a su esposa
Hacia la mecánica cuántica (3)

Para este mes que comienza, me planteo:

- Seguir mi serie sobre la Hipótesis de Riemann
- Continuar mi serie sobre el Ultimo Teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre Series de Fourier
- Continuar mi serie sobre la Ecuación de Schrodinger
- Continuar mi serie sobre Electrodinámica Cuántica

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Publicado el 31 de Marzo, 2015, 19:02

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En el post anterior comentaba que Fourier consiguió desarrollar funciones usando una serie de términos (posiblemente infinita) donde en cada uno aparecía una función trigonométrica. Para comprender cómo se consigue expresar una función como una serie de ese tipo tenemos que estudiar cómo obtener los coeficientes de esa serie. Para esto veremos primero una propiedad que tienen las funciones seno y coseno.

Primero, centremos nuestra atención en funciones de periodo 2 pi o sea para las que siempre se cumple:

Caso de esas funciones son las clásicas trigonométricas

Y

Es fácil ver que cualquier combinación lineal de este tipo de funciones también tiene el mismo periodo. También tienen el mismo periodo 2 pi las funciones que, en vez de depender de x, dependen directamente de nx, donde n es un número entero:

Y

Algo que usó Fourier para desarrollar su serie, es saber que las funciones sen(nx), cos(mx) son "ortogonales" cuando los coeficientes n y m son distintos. Lo mismo para sen(nx) vs sen(mx) y cos(nx) vs cos(mx). Tenemos que ver qué es esto de ortogonal en este contexto. Pero podemos hacer una analogía con los espacios vectoriales. En ellos se puede definir muchas veces un producto entre vectores, el producto interno, de tal manera que haya vectores v y w cuyo producto interno de cero. Cuando eso lo aplicamos a los vectores clásicos del plano y del espacio, ese producto interno es cero CUANDO GEOMETRICAMENTE los vectores forman ángulo recto entre ellos (es más sutil que esto, pero nos sirve como base). Y llamamos a sus direcciones entonces, ortogonales.

Bueno, algo así se puede establecer entre funciones reales definidas en un intervalo de longitud 2 pi. Un producto interno adecuado, sobre lo funciones que, modernamente, se considerarían elementos vector de un espacio vectorial. En el próximo post veremos la definición de ese producto de funciones, y cómo las funciones mencionadas arriba son "ortogonales".

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Publicado el 30 de Marzo, 2015, 7:44

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Diofanto es uno de los grandes personajes de la "Era de Plata" de la matemática griega. Se cree que vivió en Alejandría, entre los años 250 y 350 (de nuestra era), junto a Pappus y Proclo. Es conocido por su Aritmética, en 13 libros. En los tiempos de Fermat sólo se conocían seis de esos libros, pero hace unos años han sido descubiertas traducciones al árabe de cuatro libros más.

Las matemáticas que Diofanto expone en su Aritmética son distintas de las de la "Era de Oro" de Euclides. En verdad, se parecen más a la tradición babilónica. Mientras que Euclides construye desde primeras nociones y postulados, y va demostrando teoremas, Diofanto muchas veces trata casos particulares y da soluciones para esos casos, sin construir una teoría. Lo nuevo que aporta es su interés en encontrar las soluciones exactas a ecuaciones en números racionales. Fue uno de los primeros matemáticos en introducir símbolos en matemáticas, usando una notación cercana a la que aportaría luego Viete. Por ejemplo, el polinomio:

Sería escrito por Diofanto de esta forma:

Donde delta denota x al cuadrado, K denota x al cubo, M es el signo menos y U es la unidad. Vean cómo pone los términos con coeficiente positivo a un lado, y los de coeficiente negativo en otro.

Hay una identidad, conocida desde la Edad Media, que aparece en el trabajo de Diofanto (ya la estoy por usar en mi post p=x2+y2)


Es la llamada identidad de Brahmagupta-Fibonacci

¿Fue Diofanto el primer algebrista? Bueno, le faltó generalidad, se ocupó más de casos particulares. ¿El último de los babilonios? Tampoco, fue más abstracto que ellos, ya solamente con la aparición de su notación. ¿El primero de los matemáticos dedicado a la teoría de números? No, porque trabajo más sobre Q (los números racionales) que sobre N (los números naturales). Pero sí fue el principal precursor de la teoría de números. Recordemos que el interés griego por las soluciones en números racionales tiene relación con el descubrimiento (ya en tiempos de Pitágoras) de los números irracionales (aunque a decir verdad, los griegos no manejaron el concepto de número como lo hacemos nosotros; estaban interesados en razones de magnitudes).

En el siglo XVI la Aritmética de Diofanto era un texto obscuro, que había sido olvidado. Fue Bombelli quien redescubrió el libro en 1570 y lo incorporó en su propia obra Algebra, escrita en italiano en 1572. En 1575, W. Holtzmann (alias Xylander) dio una traducción completa al latín. Viete toma el libro y lo transforma, incorporándolo en sus obras, como Isagoge de 1591, y Zetetique de 1593, poniendo énfasis en los aspectos algebraicos. Con Viete comienza a aparecer la notación algebraica, usando una letra para la incógnita. En cambio Bachet de Meziriac, el autor de la traducción de Diofanto que leyera Fermat, no era algebrista, sino el autor de un libro llamado Agradables y deleitables problemas a ser resueltos con números. Su edición de Diofanto fue bilingüe, en griego y latín, y la publicó en 1621.

Fuente consultada: Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, de Yves Hellegouarch.

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Publicado el 29 de Marzo, 2015, 13:02

Hoy encuentro este fragmento de Pascal, lo escribió en el prefacio de su Tratado del Vacío:

... From this, we see that by a particular prerogative, not only does each man advance day by day in the sciences, but all men together make continual progress as the universe ages, because the same thing happens in the aging of mankind as a whole as happens during the aging of a single man. Thus, the entire body of mankind, over many centuries, must be considered as a single man, who lives forever and continues to learn [...]. Those whom we call the ancients were truly new in all things, and form the childhood of mankind; as we have added to their knowledge the experience of the centuries which followed them, it is in ourselves that we should seek the antiquity which we dream of in others

En verdad, el avance humano de las ciencias (al menos en los últimos siglos) se basa en esa colaboración de todos los que tratan de ir armando ese edificio. Casi cualquier logro actual en ciencia tiene una rica historia, a lo largo de los siglos, de aciertos y fallos, de avance lento o rápido desarrollo. Por ejemplo, la teoría atómica, con las ideas iniciales (y equivocadas) de Demócrito, la clarificación de Lavoisier fundando la química moderna, la teoría de Dalton proponiendo el atomismo, las correcciones de varios a esa teoría, el uso de la hipótesis atómica por parte de Boltzman para explicar la entropía, y hasta el trabajo de Rutherford para ir desvelando la estructura atómica.

Encuentro el párrafo de Pascal, en el excelente libro Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, de Yves Hellegouarch.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 28 de Marzo, 2015, 15:10

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Veamos hoy de presentar un caso de función aritmética, que tiene su importancia en la teoría de números. Al principio no se verá claramente su utilidad, pero poco a poco veremos qué lugar ocupa en todo este espectro de funciones aritméticas. Fue definida y usada por Moebius, matemático alemán del siglo XIX. Para muchos de nosotros, es más conocido por la "cinta de Moebius". Algo que yo no conocía es que había sido astrónomo también.

Bien, la función de Moebius se define para 1:

Usando la letra griega mu. Algo simple, ¿no? Bueno, ahora necesitamos saber cuánto vale para los otros números naturales. Lo que pone de manifiesto la función mu es si un número n es o no divisible por un cuadrado. Para eso se pone que cuando n se descompone en potencias de primos distintos:

Entonces, si todos los exponentes son 1:

El valor de mu(n) es:

Donde k es claramente la cantidad de factores primos distintos que componen n. Observemos que hay una paridad: el resultado puede dar 1 o -1, dependiendo de si la cantidad de primos que componen n es par o impar, respectivamente. En cualquier otro caso, n tiene entonces algún factor primo elevado a la por lo menos 2, y entonces es divisible por el cuadrado de un primo. En esos casos, la notable función mu toma el valor 0:

Y digo notable, porque a primera vista, es algo rara esta definición. Pero es tan simple y poderosa, como vamos a estudiar, que revela algo que llama la atención en matemáticas. Vamos a ver cómo esta función tiene propiedades simples por sí misma, y cómo se puede ir combinando con otras funciones aritméticas.
No conozco la historia en detalle de esta función. Al parecer, ya la usó Euler implícitamente en fecha tan temprana como 1748, pero fue Moebius en 1832 el primero en investigar sus propiedades sistemáticamente.

Si leemos el artículo de la Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_function

Vemos que no solamente se usa en teoría de números, sino también en combinatoria. Y la paridad que hemos notado, hasta aparece en una rama física de supersimetría, distinguiendo entre fermiones y bosones en un gas de Riemann. Y hasta se puede derivar de la función mu la función de Mertens, que cosas vederes Sancho, tiene que ver con la hipótesis de Riemann, que estoy estudiando en otra serie de posts.

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Publicado el 26 de Marzo, 2015, 15:01

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Creando una startup: los cuatro pasos que debes cumplir antes de tener "la idea"
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Qué es un MVP. Minimum Viable Product.
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Maratón Lean Startup: la experiencia Buenos Aires | Wayra Argentina
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Serial Entrepreneurs Are More Successful - Forbes
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Resumen de un fin de semana de locura emprendedora | conGestión de Personas
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The secret algorithm one VC firm uses to pick entrepreneurs — Tech News and Analysis
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Tim O"Reilly"s Key to Creating the Next Big Thing | Wired Business | Wired.com
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Uruguay como destino para emprendedores e inversores
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Your Business is Not Your Baby | Inc.com
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2 Women Serial Entrepreneurs Tell All | Inc.com
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Top 10 Ed-Tech Startups of 2012
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Don"t be a "Wantrapreneur" - The Accelerators - WSJ
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Publicado el 24 de Marzo, 2015, 17:38

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Heisenberg busca entonces explicar las intensidades de las líneas del espectro atómico, siendo las frecuencias ya "explicadas" por la teoría de Bohr y sus derivados. Digo "explicadas" entre comillas, porque tampoco estaba claro por qué la teoría de Bohr funcionaba (sobre el primer "paper" de esa teoría, estoy escribiendo Sobre la constitución de átomos y moléculas, por Niels Bohr).

Heisenberg no encara el problema general, sino un electrón moviéndose en una coordenada. Para la teoría clásica, un electrón en movimiento acelerado radía energía, según la fórmula de Larmor:

Donde e es la carga del electrón, c la velocidad de la luz, y x con dos puntos es la aceleración del electrón.

(ver una derivación de esta fórmula en http://home.strw.leidenuniv.nl/~michiel/ismclass_files/radproc07/chapter4.pdf)

Si tomamos el caso de un oscilador armónico clásico, tenemos:

(ver sección 4.6 en http://home.strw.leidenuniv.nl/~michiel/ismclass_files/radproc07/chapter4.pdf)
Con lo que la aceleración queda relacionada con la posición según:

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_oscillator y http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_frequency

Reemplazando en la fórmula de Larmor, el promedio emitido (según mi fuente … hay un coeficiente 4, en vez de 2, supongo que insertado por la forma de calcular el promedio):

Pero en vez de vibrar en la frecuencia fundamental, bien podría vibrar en múltiplos de esa frecuencia, queda entonces:

Donde alfa es un número entero, que puede tomar cualquier valor, y x sub alfa es la posición del electrón, en este caso oscilando en la frecuencia alfa por omega (puede tomarse que la posición x depende de alfa).
En el sistema que quiere explicar Heisenberg, el electrón tiene estados estacionarios n, cada uno con una frecuencia fundamental omega(n) quedando el promedio de energía emitido como:

y que pueden expresarse no SOLO con la frecuencia fundamental, sino también como combinación de todos sus correspondientes armónicos. La expresión de la posición del estado estacionario n en función del tiempo, toma entonces la expresión:

Vemos que cada término de la suma tiene un coeficiente a sub alfa, que es el "peso" de ese término en el resultado final, y una frecuencia múltiplo de la fundamental omega(n). Los valores de x(n, t) oscilan en el tiempo pero con la frecuencia fundamental omega(n), porque ASI LO HACEN cada término de la sumatoria.

Tenemos que ver en los próximos posts, la aparición del número imaginario i, qué es eso del estado estacionario, y cómo aplicó Heinsenberg el principio de correspondencia para modificar la fórmula de arriba y usar los coeficientes que aparecen en la sumatoria de una forma ingeniosa.

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Publicado el 23 de Marzo, 2015, 16:01

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Veamos una forma de generar las particiones de n+1 conociendo la enumeración de las particiones de n, expresadas en forma normal (con su elementos en forma descendente).

Sea una partición de 5, como:

2+1+1+1

Siempre se le puede agregar un uno al final, para obtener una partición de 6:

2+1+1+1+1

Lo mismo a la partición de 5:

3+2

se le puede agregar un uno a la derecha, para obtener la partición de 6:

3+2+1

O sea que a CADA partición de 5, le corresponde UNA partición de 6, que termina en 1. Se puede ver también que a toda partición de 6 que contenga un 1, le corresponde UNA partición de 5 (simplemente sacando ese uno).

También, dada una partición de 5 en forma normal como

3+2

Obtenemos otra partición de 6, sumándole un uno al último término, en este caso sumando uno al último elemento el dos:

3+3

Pero eso no es posible en una partición de 5 en forma normal como:

2+1+1+1

Porque sumándole uno al último término:

2+1+1+2

obtenemos una partición de 6, pero no en forma normal, no en forma tal que todos sus elementos vayan siendo iguales o decrecientes cuando los recorremos de izquierda a derecha. Si nos fijamos en el ejemplo anterior y otros, el truco de agregar uno al último elemento NO FUNCIONA, porque ese último elemento está repetido.

Si llamamos

p(n)

a la cantidad de particiones de n, y llamamos

r(n)

a la cantidad de particiones de n que NO TIENE su menor elemento repetido, llegamos a nuestra primera conclusión:

p(n+1) = p(n) + r(n)

El primer término de la derecha, es la cantidad de particiones de n+1 que nacen de agregar el número 1 a cualquier de las particiones de n. El segundo término, viene de las particiones de n a las que se les puede sumar uno a su término menos. Y si lo miramos fijo, es claro que cada partición de n+1 NACE de una Y SOLO UNA de esas dos formas.

Igual, mucho no avanzamos, porque no parece a simple vista que r(n) tenga una forma sencilla de calcularse. Pero todo suma ;-)

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Publicado el 21 de Marzo, 2015, 16:01

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Publicado el 16 de Marzo, 2015, 9:26

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The Search For Neutrons That Leak Into Our World From Other Universes — The Physics arXiv Blog — Medium
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A Quantum Of Physics by Léo Grimaldi • Kifi
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El timo del motor cuántico de Vladímir Leónov, el superunificador | Ciencia | La Ciencia de la Mula Francis
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A Marte en 42 horas: Científico ruso anuncia prueba exitosa de revolucionario propulsor cuántico - RT
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The Movie Life Story of Stephen Hawking Is Not Very Scientific - NYTimes.com
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TUM - TU München: Rasante Reise durch das Kristallgitter
http://www.tum.de/en/about-tum/news/press-releases/short/article/32059/

Sobre el colapso dinámico de la función de onda cuántica | Ciencia | La Ciencia de la Mula Francis
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Geiger–Marsden experiment - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Geiger%E2%80%93Marsden_experiment

Have We Been Interpreting Quantum Mechanics Wrong This Whole Time? | WIRED
http://www.wired.com/2014/06/the-new-quantum-reality/

Papers from the beginning of quantum mechanics - Institute for Theoretical Physics II / University of Erlangen-Nuremberg
http://theorie2.physik.uni-erlangen.de/index.php/Papers_from_the_beginning_of_quantum_mechanics

Matrix mechanics - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_mechanics

On Matrix Mechanics
http://www.mathpages.com/home/kmath698/kmath698.htm

On the origins of the Schrodinger equation
http://phys.org/news/2013-04-schrodinger-equation.html

The Schrödinger Equation in One Dimension
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Publicado el 15 de Marzo, 2015, 16:04

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Veamos hoy de presentar los primeros pasos en la función gamma. En otro post ya mostré que la serie armónica:

diverge (ver Harmonic Series). Pero podríamos preguntarnos si diverge o converge (y a qué numero) la serie:

O en general la suma de los recíprocos de las potencias a la s:

Tenemos acá, dependiendo de s natural, a una primera función llamada función zeta. Bien, si para s=1 se sabía que la serie divergía, para s=2 no se supo por mucho tiempo si la serie convergía (todo parecía indicar que sí, pero no había demostración, y además la convergencia era muy lenta), y a qué número. El caso s=2 se llamó el problema de Basilea, ver Basel Problem.  Pedro Mengoli lo formuló en 1644 (pero todo indica que el problema era conocido de antes), y fue resuelto por Euler recién en 1734, siendo leído el 5 de diciembre de 1735 en la academia de ciencias de San Petersburgo. La solución de Euler (escribió varias en su vida) implicaba la manipulación de una serie infinita sin una rigurosa prueba de su validez, pero igual le otorgó fama en el mundo de las matemáticas. Otros matemáticos de primera línea habían tratado de resolverlo, habiendo fallado en el intento.

Euler no sólo encontró la solución para s=2 sino que, con el tiempo, también dio una expresión para todas las soluciones con s par, introduciendo para ello los llamados números de Bernoulli. Podríamos preguntarnos qué relación hay entre la función zeta y los números primeros. Bueno, fue Euler el que consiguió también expresar las series infinitas apelando a multiplicaciones infinitas donde aparecían todos los números primos. También extendió la función zeta para s entero negativo. Chevyshev la extendió para s real > 1. Finalmente, veremos que Riemann fue el que extendió la misma función, para s complejo.
En el próximo post veremos una de esas pruebas de Euler del valor para s=2, una de las  pruebas más conocidas.

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Publicado el 14 de Marzo, 2015, 12:09

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Inicio hoy esta serie, sobre un tema fascinante, una teoría física que nació en el siglo XX, usando todo lo nuevo de la mecánica cuántica. Quizás sea la teoría más satisfactoria que tenemos en física. Veamos de explorarla en algún detalle.

La historia de la física nos muestra el avance en la explicación de diversos fenómenos desde unas pocas teorías. Por ejemplo, el movimiento de los planetas, el movimiento de los proyectiles, el sonido, y el calor, terminaron siendo fenómenos explicables con la física newtoniana del movimiento de los cuerpos. Esa teoría logró la primera "gran unificación" de la física al igualar la física de los cielos con los de la tierra, algo que había quedado separado claramente desde la época de Aristóteles. Se vió que el sonido también podía explicarse como movimiento de las moléculas que forman el aire. Y que el calor era la manifestación de los movimientos atómicos. En cambio, la gravitación, otro de los temas de Newton, no puede explicarse por una teoría del movimiento: es una fuerza básica de la naturaleza, que no ha encontrado todavía una explicación física de su origen.

Aunque Newton trató de explicar la luz en términos de movimientos mecánicos de partículas, se vió que esa teoría no explicaba totalmente los fenómenos lumínicos, como los patrones de interferencia. Y hubo otros fenómenos, conocidos desde la antigüedad, como los eléctricos y magnéticos, que tenían puntos de contacto con la gravitación, pero eran claramente diferentes. El siglo XIX vió nacer, principalmente de la mano de Faraday y Maxwell (para nombrar a los dos principales científicos de toda una serie de personas que contribuyeron a este avance) la unificación del electromagnetismo. Y fue Maxwell quien propuso que la luz era un fenómeno electromagnético.

Se descubrió que el calor tenía puntos de contacto con la luz: que se podía radiar, sin intercambio de materia, y que la luz transportaba energía, que podía transformarse en calor al llegar a la materia. Ese punto de contacto entre luz y materia fue misterioso por muchas décadas, y ese misterio impulsó el desarrollo de la termodinámica y la teoría de Planck para explicar el cuerpo negro. Cuando finalmente la teoría atómica fue aceptada, hubo que comenzar a explicar la interacción entre materia y luz a nivel atómico. Con los estudios de la electricidad se postuló la existencia de una partícula (la primera descubierta como tal): el electrón. La dificultad para explicar su presencia en el átomo, lleva a Bohr a su modelo atómico en 1913, donde pone en suspenso la física de su tiempo. Según ésta, si el electrón se movía debía emitir energía: todo el electromagnetismo apuntaba hacia ese resultado. Pero no era así.

Recién en 1926 el misterio comienza a resolverse mejor, gracias a la aparición de la mecánica cuántica. Al menos, para explicar el movimiento del electrón. La mecánica cuántico aportó explicación a muchos detalles de los átomos, moléculas y espectros atómicos. Explicó por qué un átomo de oxígeno se combina con dos de hidrógeno, y así sirve de fundamento a la química. Pero si bien tuvo éxito en ese campo, todavía había algo que se escapaba: la relación entre materia y luz.

Hubo que esperar a la fusión entre esa mecánica nueva y la relatividad para comenzar a explicar (desde los trabajos de Dirac) la interacción en detalle de la materia (electrón en este caso) y la luz (que gracias a la cuántica, pasó a verse como compuesta de fotones). Nació la electrodinámica cuántica. Pero la nueva teoría tenía un problema. Si se calculaba algo de forma aproximada, daba una predicción correcta. Pero si se seguía afinando el cálculo, los resultados daban: infinito! No se podía calcular nada más allá de cierta aproximación.

Como mencioné, fue Dirac el que dió una teoría que unificaba cuántica y relatividad. Triunfó donde otros habían fracasado, y de una forma notable. Su teoría explicaba no sólo el electrón, sino también la aparición del spin, un fenómeno netamente cuántico. Y anticipaba la existencia de antimateria. Relacionado con el spin, la teoría de la Dirac derivaba un momento magnético para el electrón, con valor a 1 Cerca de 1948 los experimentos mostraron que el valor era cercano en realidad a 1.00118, con una incertidumbre de 3 en el último dígito. Ya para ese entonces se esperaba que no fuera igual a uno, debido a la interacción entre electrones y fotones. Pero cuando se usaba la electrodinámica cuántica para calcular la corrección, el resultado daba infinito.

El problema fue resuelto en 1948, de forma simultánea por Julian Schwinger, Sin-Itiro Tomonaga, y Richard Feynman.

Principal fuente: el excelente libro de Richard Feynman, "QED: the strange theory of light and matter". Mucho de estos posts será apenas una transcripción en mis palabras de lo que escribe Feynman.

Mientras, sigo estudiando los temas que preceden a éste en:

Mecánica Clásica
Hacia la Mecánica Cuántica
Matemáticas y Física Cuántica
Física Cuántica
Electromagnetismo
Lagrangianos y Hamiltonianos

y algo de lo que vino después:

Teoría de Grupos y Partículas Elementales
La necesidad de una teoría cuántica de campos
Notas sobre Teorías Gauge

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 10 de Marzo, 2015, 14:20

Ya varias veces fue mencionado Richard Feynman en este blog. Físico importantísimo en el desarrollo de su ciencia en el siglo pasado, premio Nobel, gran divulgador, fanfarrón como pocos (pero tenía con qué), bamboyante, casi siempre tratando de ser el centro de atención, construyó su propia leyenda con anécdotas. Desde tocar el bongó, hasta ser asistente frecuente de clubes de "strip-tease", hasta aprender dibujo para dibujar a sus amantes desnudas, todo Feyman es un caso de vida.

Yo recordaba que tuvo una primera esposa, en los cuarenta. En estos meses me enteré de más detalles. Ariline era su novia, y cuando enfermó de linfoma de Hodkings, su familia prefirió ocultarle a ella la situación. Feynman, el novio, se opuso, pero respetó la decisión. Y cuando ella se enteró al escuchar a su madre comentando su enfermedad con una vecina, lo encaró a Feynman. El tenia preparada una carta, la carta del adiós, se la entregó y le pidió matrimonio. Se casaron, y él partió al poco tiempo para trabajar en el proyecto Manhattan, el de la bomba atómica.

Después se supo que el diagnóstico era incorrecto: en vez de ese tipo de cáncer, Arline sufría una forma rara de tuberculosis (aún hoy, hay formas de tuberculosis que resisten los tratamientos actuales). Se retiró a un lugar para su tratamiento, pero pasaron los años y su situación no mejoro. Una carta de Feyman, estando a 160km de ella, escrita desde los Alamos, el 6 de junio de 1945:

Esposa mía:

Siempre soy demasiado lento. Siempre hago que te siantas dsgraciada porque tando en entender. Ahora lo entiendo. Te haré feliz ahora... Por fin entiendo lo enferma que estás... Este tiempo pasará, te pondrás mejor. Tú no lo  crees pero yo estoy seguro... Lamento haberte fallado, no haberte proporcionado el pilar que tú necesitabas para apoyarte. Ahora soy un hombre en el que puedes descansar, tener confianza y fe.... Utilízame como quieras. Soy tu marido.

Adoro a una gran mujer y paciente. Perdóname por mi lentitud en comprender. Soy tu marido. Te quiero.

Fue la última carta que Arline leyó de su marido. Murió el 16 de junio  las nueve y veinte de la noche.

Y el que sería el gran Feynman, el hombre de los mil amoríos, el eterno adolescente, no se recuperó fácilmente. Como escribía arriba, al cabo de un tiempo se concentró en ir construyendo su propia leyenda, luego de la segunda guerra. Y llegó lejos. Siempre generando comentarios, historias entre los que lo conocían. Pero hubo un papel que se guardó y sólo se encontró entre sus cosas, luego de su muerto. En medio de una depresión, habiendo pasado nueve días desde el fallecimiento de su padre, escribe a su esposa muerta en octubre de 1946:

Te adoro, cariño.

Sé cuánto te gusta oír esto, pero no solo lo escribo porque a ti te gusta, lo escribo porque me reconforta escribírtelo [...] Me resulta difícil entender lo que significa amarte después de que hayas muerto, pero aún quiero consolarte y cuidar de ti, quiero que tú me ames y cuides de mí. Quiero tener problemas que discutir contigo, quiero hacer pequeños proyectos contigo [...] Cuando enfermaste te procupaste porque no podías darme algo que tú querías hacer y pensabas que yo necesitaba. No tenías que haberte preocupado. Igual que te dije entonces, no era necesario porque te quería mucho y de muchas maneras. Y ahora incluso es más cierto: no puedes darme nada ahora pero yo te quiero y te interpones en mi camino para amar a cualquier otra, pero quiero permanecer así. Tú, muerta, eres mucho mejor que cualquier otra viva. Sé que me dirás que estoy loco y que quieres que sea plenamente feliz y no quieres interferir en mi camino. Apostaría a que estás sorprendida de que ni siquiera tenga una novia (excepto tú, tesoro) después de dos años [...] No lo entiendo, pues he conocido a muchas chicas y muy guapas y no quiero quedarme solo, pero tras dos o tres encuentros todas ellas parecen cenizas. Solo tú quedas. Tú eres ral.

Mi querida esposa, te adoro.

Amo a mi mujer. Mi mujer está muerta.

Rick

Y termina con:

P.D: Perdona que no eche esto al correo, pero no sé tu nueva dirección.

La carta se conservó, pero muy gastada. Parece que Feynman la leyó muchas veces, y la llevaba consigo.

Encuentro todo esto en el excelente: "Feynman, la electrodinámica cuántica; cuando un fotón conoce a un electrón" de Miguel Angel Sabadell

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Publicado el 9 de Marzo, 2015, 6:30

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The Reference Frame: Why complex numbers are fundamental in physics
http://motls.blogspot.com.ar/2010/08/why-complex-numbers-are-fundamental-in.html

Student Years, 1920 - 1927: The Old Quantum Theory
http://www.aip.org/history/heisenberg/p05c.htm

Student Years, 1920 - 1927: The Sad Story of Heisenberg's Doctorate
http://www.aip.org/history/heisenberg/p06.htm

Heisenberg / Uncertainty Principle - Werner Heisenberg and the Uncertainty Principle
http://www.aip.org/history/heisenberg/p01.htm

Semiclassical theory of helium atom - Scholarpedia
http://www.scholarpedia.org/article/Semiclassical_theory_of_helium_atom

History of classical Helium atom approximation
http://www7b.biglobe.ne.jp/~kcy05t/clasihe.html

Oral History Transcript — Dr. Werner Heisenberg
http://www.aip.org/history/ohilist/4661_4.html

On shell and off shell - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/On_shell_and_off_shell

Charles Galton Darwin - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Galton_Darwin

quantum mechanics - Darwin term and Zitterbewegung - Physics Stack Exchange
http://physics.stackexchange.com/questions/35338/darwin-term-and-zitterbewegung

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Publicado el 8 de Marzo, 2015, 15:56

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Todos estamos familiarizados con los cuerpos calientes y fríos. Sabemos lo caliente que puede estar una sartén recién retirada del fuego, conocemos cómo las brasas de carbón se ponen rojas al consumirse, y se espera que un cuerpo frío se vaya calentando al quedar expuesto al medio ambiente normal. Llamamos "calor" a algo que se tardó un gran tiempo en entender. Dentro de la revolución newtoniana, los fenómenos del calor tuvieron su lugar, pero no quedaron explicados por completo.

El caso del carbón pone de manifiesto que hay una relación entre la emisión de calor y la emisión de radiación. El Sol debe ser el fenómeno más presente, pero también hay que recordar que mucha de la emisión de calor es invisible, así que no siempre fue evidente la relación entre radiación de calor y emisión-absorción de luz.

Newton estableció en 1701 su ley de enfriamiento (la tasa de enfriamiento de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre su temperatura y su medio ambiente, ver también), y luego en 1760 aparece la ley de Lambert, con la relación entre el flujo de la luz y el plano por el que pasa, y la ley de Prevost en 1792, sobre el intercambio de calor, que afirma que los cuerpos radían y absorven energía, y en un sistema cerrado, la suma algebraica de los calores que se pierden o ganan en cada cuerpo dentro del sistema es igual a cero.

En el siglo XIX el desarrollo de la teoría del calor avanzó más, y ante el desarrollo paralelo de la teoría ondulatoria de la luz, quedó más claro la relación entre luz y calor. Herschel descubre los rayos infrarrojos en 1800, al descubrir que hay parte del espectro (invisible) que sigue aumentando la temperatura de un termómetro. En 1817 aparece la ley de enfriamiento de Dulong-Petit, que modifica la de Newton aceptando que la proporción de enfriamiento puede estar elevada a un exponente distinto de uno (de nuevo ver este paper). En 1833 Ritchie publica su experimento, que muestra que la capacidad de emisión de una superficie es proporcional a la capacidad de absorción, lo que es la antesala a las leyes de Kirchoff. Ampere consideró por esos tiempos una ley de desplazamiento de la radiación térmica. En termodinámica, Carnot presenta su ciclo de máquina de calor en 1814 (otra fuente da 1824). Mayer anuncia la ley de conservación de energía en 1842 (no fue bien recibida al principio, debido a lo nebuloso que todavía era eso de "energía", mucho del crédito pasó a Joule, que hizo experimentos más detallados sobre el tema en 1843). Finalmente Helmhozt declara la ley de conservación de energía en 1847, con exactitud prusiana. Clausius propone la segunda ley de la termodinámica en 1850, seguido por W.Thompson en 1851, y la teoría cinética de los gases por Kronig en 1856, y el propio Clausius en 1857.

Notablemente, muchos de estos aspectos del calor, emisión y absorción, SON INDEPENDIENTES del material del que están hechos los cuerpos utilizados. Esto comenzó a develar una unidad en la estructura de la materia y su comportamiento que sólo se hizo evidente luego con la teoría atómica y la mecánica cuántica.

De esta forma, el desarrollo de la teoría del calor se fue asentando en bases más firmes. Y tuvo impulso en la Alemania de entonces debido al rápido desarrollo de su industria, tanto civil como militar.

Principal fuente consultada: The Formation and logic of quantum mechanics, de Mituo Taketani, Masayuki Nagasaki.

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Publicado el 6 de Marzo, 2015, 6:57

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Tantos temas para ver, investigar. Apenas acá unos enlaces de mi colección:

Covariant and contravariant — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2013/02/28/covariant-and-contravariant/

Position the ramp of a construction site by solving a quartic equation
http://glat.info/js.quartic/

The pseudoconformal and conformal transformations | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/02/14/the-pseudoconformal-and-conformal-transformations/

Maria Gaetana Agnesi, algo más que su (mal llamada) bruja - Gaussianos
http://gaussianos.com/maria-gaetana-agnesi-algo-mas-que-su-mal-llamada-bruja/

El Topo Lógico: Gödel y Cantor en RBA
http://eltopologico.blogspot.com.ar/2013/02/godel-y-cantor-en-rba.html

(Vídeo) ¿Qué hace hoy un matemático? - Gaussianos
http://gaussianos.com/video-que-hace-hoy-un-matematico/

Klein's Quartic Curve
http://math.ucr.edu/home/baez/klein.html

What Kepler and Newton really did. | The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/2013/02/05/what-kepler-and-newton-really-did/

Depth- and Breadth-First Search | Math n Programming
http://jeremykun.com/2013/01/22/depth-and-breadth-first-search/

Why there is no Hitchhiker"s Guide to Mathematics for Programmers | Math n Programming
http://jeremykun.com/2013/02/08/why-there-is-no-hitchhikers-guide-to-mathematics-for-programmers/

www-stat.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/83_05_shuffles.pdf
http://www-stat.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/83_05_shuffles.pdf

M13 | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/02/m13.html

Presentations and Representations in Foundations | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/02/presentations_and_representati.html

(Vídeo) Explicando con música la aritmética modular - Gaussianos
http://gaussianos.com/video-explicando-con-musica-la-aritmetica-modular

Encontrado un error en el trabajo de Carl Cowen y Eva Gallardo sobre el problema del subespacio invariante - Gaussianos
http://gaussianos.com/encontrado-un-error-en-el-trabajo-de-carl-cowen-y-eva-gallardo-sobre-el-problema-del-subespacio-invariante

La sorprendente criba de la parábola - Gaussianos
http://gaussianos.com/la-sorprendente-criba-de-la-parabola/

The Aperiodical | Talk: Computability of Bass-Serre structures in the Grzegorczyk hierarchy
http://aperiodical.com/2013/02/talk-computability-of-bass-serre-structures-in-the-grzegorczyk-hierarchy/

The Aperiodical | Collaborative Mathematics: kids (and non-kids) work together on problems over YouTube
http://aperiodical.com/2013/02/collaborative-mathematics/

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