Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 25 de Junio, 2015, 7:52

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Pequeño LdN: Celebramos dos años y 45 historias
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El Topo Lógico: La paradoja "heterológica" revistada.
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All Squared, Number 5: Favourite maths books (part 1) | The Aperiodical
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Bezier Curves and Picasso | Math n Programming
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Random walks on slides | The Aperiodical
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Eduardo Sáenz de Cabezón, ganador de Famelab España 2013 - Gaussianos | Gaussianos
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Primes really do stick together | The Aperiodical
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Publicado el 21 de Junio, 2015, 19:31

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En el post anterior, vimos rotaciones en tres dimensiones. Y encontramos un generador de las rotaciones alrededor del eje z, lo llamamos Mz:

Pudimos obtener cualquier rotación alrededor del eje z, aplicando ese generador, de forma que cada rotación en ángulo theta, es:

Donde

Vemos que Mz es hermítica, es decir, que es igual a su traspuesta conjugada. Las matrices hermíticas sobre los complejos cumplen un papel similar a las matrices simétricas sobre los reales. Se sabe que se puede cambiar de base una matriz hermítica, y transformarla en una matriz diagonal. Todavía no necesitamos conocer ese hecho. Se expresa que H es hermítica:

Donde el asterisco indica trasposición y tomar complejo conjugado. Veamos que las rotaciones así obtenidas, tienen matrices unitarias, que cumplen que su transpuesta conjugada es su inversa, es decir:

Pues bien, operando formalmente:

Pero sabiendo que Mz es hermítica:

Queda:

Lo que muestra que la rotación es unitaria. Pero esto es operar formalmente. Tendríamos que calcular la transpuesta conjugada de la rotación:

Lo que da:

Y tener en cuenta que Mz es hermítica:

Y al multiplicar esta expansión por la expansión original de R(theta), obtener la matriz unidad. Es algo trabajoso, pero se puede obtener los primeros coeficientes de la multiplicación de las dos series infinitas de sumas de matrices, agrupando por potencia resultante de H. El término para I (o sea, H "elevada a la cero"), es el resultado de multiplicar dos términos de las series originales:

El término para H, es el resultado de sumar dos multiplicaciones de dos términos de las series originales:

El término para H al cuadrado es:

Y así podemos seguir, comprobando que cada coeficiente termina siendo cero. De esta forma queda demostrado que U es unitaria, cuando Mz es hermítica.

Los otros generadores son (se pueden deducir de la misma forma que Mz) Mx:

Y My:

Todas las rotaciones generadas por cada generador Mx, My, Mz, es unitaria. Y la multiplicación de unitarias es también unitaria. Resulta entonces que nuestras rotaciones en tres dimensiones, con coeficientes complejos, se expresan todas con matrices unitarias.

En el próximo post veremos algunas relaciones entre los generadores Mi, si conmutan entre sí, y otras relaciones. Estamos todavía un poco lejos de su relación con las partículas elementales, pero ya vamos teniendo idea de cómo las rotaciones en un espacio abstracto complejo pueden ser caracterizadas por los generadores correspondientes. Vamos a descubrir el papel de esos generadores en la física de partículas.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 20 de Junio, 2015, 19:19

Inicio hoy otra serie ambiciosa de posts, matemáticos. Hay un tema que cada tanto aparece en mis lecturas, y es el de números algebraicos. Tiene relación con la teoría de cuerpos conmutativos, teoría de Galois, y otros. Ha sido estudiado en profundidad desde el siglo XIX, como una parte de la teoría de números, por ejemplo, en el estudio general de la factorización en cuerpos conmutativos.

Comencemos viendo una definición. Suponemos que estamos trabajando con números reales y complejos, y buscando soluciones a polinomios en una variable. Un número se dice algebraico si es solución de un polinomio igualado a 0:

Donde todos los coeficientes son números racionales, y el término de mayor grado tiene coeficiente unidad. Es fácil ver que una expresión así es equivalente se puede convertir a:

Donde todos los coeficientes b son números enteros, multiplicando todos los coeficientes racionales originales por un número entero adecuado, para convertir esos coeficientes en números enteros. Tampoco se pierde generalidad, si se multiplican todos los coeficientes de la ecuación por un número racional no nulo. Sus soluciones siguen siendo números algebraicos, aún cuando el término principal (el de mayor grado) no tenga coeficiente unidad.

Todos los números racionales son números algebraicos, porque cada racional:

Con coeficientes a, b enteros, es la solución de:

Y entonces, de:

Si un número algebraico es la solución de un polinomio como el presentado al comienzo, pero con coeficientes ENTEROS (el término de mayor grado de x sigue teniendo coeficiente igual a uno), se dice que es un entero algebraico. Todos los números enteros son enteros algebraicos.

Uno podría esperar que los enteros y racionales sean todos los números algebraicos que podemos encontrar, pero notablemente, ecuaciones como:

Tienen coeficientes enteros, con coeficiente principal uno, y sin embargo, con soluciones no racionales:

Ese es el sabor especial de los números algebraicos: van más allá de los números enteros y racionales.
Otra sorpresa, no evidente, es que la suma, producto y división de dos números algebraicos, es también un número algebraico. Esta propiedad no es fácil de probar. Veamos primero que el inverso de un número algebraico no nulo, es algebraico.

Sea el número alfa:

satisfaciendo:

Con coeficientes racionales. Dividiendo por ese número alfa, elevado a la potencia n, se obtiene:

Donde se ve que el inverso de ese número también satisface una ecuación como la que se pide para los números algebraicos. No es tan simple probar que la suma y el producto de dos números algebraicos sea también algebraico. Por ahora, lo damos por supuesto, pueden ver:

http://math.stackexchange.com/questions/155122/how-to-prove-that-the-sum-and-product-of-two-algebraic-numbers-is-algebraic
http://math.stackexchange.com/questions/141427/sums-and-products-of-algebraic-numbers

Una parte de esta serie estará destinada a probar esos resultados. Esas propiedades de clausura (suma, resta, multiplicación, división de números algebraicos dan números algebraicos) permite tratar sistemas de números algebraicos como tratamos otros sistemas cerrados de números, notablemente los racionales. Hay algo de las propiedades de los números racionales que impregna a esos sistemas de números algebraicos. Y veremos que el concepto de entero algebraico también comparte características con el de número entero.

Fuentes consultadas: The Elements of the Theory of Algebraic Numbers, de Legh Wilber Reid (con una breve introducción de David Hilbert), y el monumental The Theory of Algebraic Number Fields, de David Hilbert, que ya comenté en la serie David Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos.

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Publicado el 16 de Junio, 2015, 7:20

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How To Build A Successful Business From Home
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A Startup World In An Infographic
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How Pete Cashmore Founded Mashable at Age 19 in Scotland | How I Did It | Inc.com
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Students raise cash with novel tool - SFGate
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12 Claves para levantar dinero en una Startup | Blog BOMBAcamp
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¿Qué no es un Mínimo Producto Viable? | Biko
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Culture Code: Creating A Lovable Company
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Publicado el 14 de Junio, 2015, 20:33

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Estábamos estudiando la transformación:




La podemos representar como multiplicación de matrix cuadrada y vector:

Podemos expresar con notación abreviada:

Donde ahora las equis son vectores, y la A es la matriz de los coeficientes alfa. Si suponemos que la matriz es invertible (tiene inversa), entonces:

Los elementos de la matriz inversa se pueden expresar como fracción de los determinantes menores y el determinante total. (el determinante menor del elemento i,j, es el determinante de la matriz que queda sacando la fila i y la columna j, y dándole un signo apropiado, dependiendo de si i+j es par o no).

Si llamamos B al número determinante de A, y Bij a los determinantes menores, podemos siempre recordar que la transformación inversa se puede expresar como:




Es decir, la transformación es invertible, si y sólo si la matriz A es invertible. Esto induce un esquema de grupo entre transformaciones lineales de este tipo, donde cada elemento del grupo tiene inverso, el elemento unidad es la transformación unidad (representada por la matriz unidad), y donde la composición de transformaciones es la operación de grupo (representada por la multiplicación de las matrices).

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Publicado el 12 de Junio, 2015, 6:55

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5 Must-Follow Twitter Accounts for Entrepreneurs
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How To Think About Minimum Viable Products, And The Path To Passion At Startup Festival | TechCrunch
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The Mistake Bank: Interview with Dan Isenberg, author of "Worthless, Impossible and Stupid"
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Lean Analytics Book
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SXSW: Lean Startup for Big Brands | Blog | design mind
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Startups, Throw Out Your Financial Models: The Argument For Lean Modeling - Forbes
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How to Build Your Startup Technology Stack Real Fast Without Investing Any Money. | Lilly Labs
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El taller de emprendedores Lean Startup Machine llega a España
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Keen On… Draper University Of Heroes: Tim Draper Is Looking For The Best And The Brightest (Is That You?) | TechCrunch
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What Is The Company Culture Of Path Like? - Forbes
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Dropbox Moves Beyond The File To Power Cross-Platform Applications | Fast Company | Business + Innovation
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How Dropbox Will Remake Itself (And Your Angry Birds) | Wired Enterprise | Wired.com
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Why Business Software is Broken – Our promise to keep things simple
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Zombies are about to invade Latin America - The Next Web
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How to build a business around data in 7 easy steps, explained with food — Tech News and Analysis
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Diagonal Valley: Cuarto Encuentro <Lean UX> - Eventioz
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With a sticky audience, Wanelo sits at the intersection of social media and ecommerce — Tech News and Analysis
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Publicado el 11 de Junio, 2015, 7:44

Desconozco el autor de la idea, no lo recuerdo. Nunca leí el cuento original, esto lo leí en una historia dibujada por Altuna, será ya hace dos décadas. En estos días, la pasé, como pude, en mis palabras:

Hacía frío al terminar la tarde. La lluvia caía, y hacía parecer todo más triste y desolado. El cuarto apenas era una buhardilla, lo que podían pagar.

Ella, trabajando de noche, de mesera. Y estudiando de día, cuando podía. El, trabajando de día, de cadete, y estudiando de noche. Ese día era su primer aniversario, desde que vivían juntos. El lugar era frío y húmedo, y era sólo eso, un cuarto, donde estaba el colchón, sus cosas, los libros, y alguna planta. El baño era compartido, no había cocina, sólo un calentador, que usaban para el desayuno, o para calentar una cena, siempre simple.

A él, le gustaba tocar la guitarra. Pero la que tenía, ya le faltaban cuerdas. Tenía que comprarlas, pero había otras prioridades. Ella, llegaba a su trabajo, en bicicleta. Por lo menos, eso era antes. Antes que se rompiera parte de la transmisión. El repuesto costaba bastante.

Pero en el final de esa tarde, nada importaba. Era el aniversario, y entre estudio y trabajo, tenían un tiempo de estar juntos.

Y se encontraron ahí, en la buhardilla, con sus regalos. Ella le había comprado un juego nuevo de cuerdas, el mejor que había conseguido. El, el repuesto de la bicicleta.

Desenvolvieron los regalos, y se quedaron quietos. Para comprar las cuerdas, ella había vendido lo que quedaba de su bicicleta vieja. Y él, había vendido su guitarra sin cuerdas. Se miraron, sin bicicleta, sin guitarra.
Y comprendieron, en ese momento, que no necesitaban ni de cuerdas, ni de guitarras, ni de cocina, ni de bicicleta, ni de nada. Estaban juntos. Apoyaron frente contra frente, y se sonrieron. Y el cuarto pareció más tibio en ese final de tarde.

Angel

Publicado el 10 de Junio, 2015, 5:40

Vuelvo a compartir el temario de unas de las reuniones que se van a realizar en el Café Filosófico de Buenos Aires, en esta semana. Más información sobre las actividades y el grupo (costos, horarios, lugar, etc...) en:

http://www.filosofiaparalavida.com.ar/

Muchas veces el tema ronda las neurociencias y el comportamiento humano. Me parece interesante el difundir las neurociencias, y la actividad científica en general. No comparto en parte el título de esta charla. Es difícil saber qué es eso de "emociones positivas", cómo calificar de "positiva" una emoción, y también es como que es fácil caer en la lectura: "si tenemos emociones positivas vamos a estar mejor" y esas cosas. Veamos el temario (sin acentos, como me llegó):

Durante la primera hora de exposicion teorica haremos una reflexion filosofica a partir de los trabajos del neurologo Richard Restak (neuropsiquiatra, autor de mas de quince estudios sobre el cerebro y profesor del Centro Medico Universitario George Washington). Desde hace dos decadas hemos aprendido tanto sobre el cerebro humano que bien puede hablarse de un cambio revolucionario en nuestra interpretacion. Antes un organo misterioso, fascinante, desconocido, el cerebro humano se presenta ahora ante nosotros bajo una nueva luz. La neurociencia puede visualizar distintos aspectos de la actividad cerebral sin abrir el craneo ni recurrir a otros procedimientos arriesgados. En la era del nuevo cerebro la atencion se centra no tanto en las enfermedades y disfunciones, como en tratar de interpretar la actividad cerebral de las personas corrientes. La tecnologia y la biologia se unen para influir en su evolucion, tanto que se empieza a hablar de un “nuevo cerebro”. Por primera vez, gracias a las imagenes por computadora, podemos observar al cerebro en circunstancias normales, mientras realizamos una actividad, experimentamos una emocion, tomamos una decision… y, cada vez mas, se sabe como influir en su funcionamiento y como protegerlo de los peligros que representa el nuevo entorno contemporaneo. Esto plantea cruciales interrogantes: acaso el trastorno de atencion es una reaccion “normal” ante la necesidad de hacer varias cosas al mismo tiempo?; podemos influir en la estructura cerebral para inducir emociones positivas?; es posible alcanzar la excelencia en cualquier campo mediante el adecuado entrenamiento del cerebro? Una reflexion filosofica a partir de lo que la neurologia ha investigado en los ultimos tiempos. La plasticidad cerebral: de que manera el cerebro
cambia dia a dia. Dado que la mente no se reduce a la logica, la eficiencia y el rendimiento, el cerebro es tambien la condicion de posibilidad para las emociones. El cerebro como mediador de las experiencias dificiles de la vida (perdida de la concentracion, miedo, depresion, angustia, ira, estres y violencia), y el cerebro como mediador de experiencias positivas como la alegria, el humor y la risa. Tiene una organizacion diferente el cerebro de las personas dotadas de un agudo sentido del humor? Si uno hiciese un esfuerzo deliberado para cultivar su sentido del humor, mejoraria el funcionamiento de su cerebro? Que son las neuronas espejo, de que manera remiten al concepto filosofico de empatia. El fenomeno del contagio emocional. Que tipo de mociones son mas contagiosas, las positivas o las negativas? Como sabemos que las otras personas tienen estados mentales parecidos a los nuestros, un problema (el de las “otras mentes”) acerca del cual los filosofos han reflexionado durante siglos. La falta de tiempo para escuchar. La “sobrecarga sensorial”. El nerviosismo moderno.Que hacer frente a la multiplicidad de obligaciones, que aparece como solucion logica para nuestros horarios sobrecargados. Que tipo de actividades pueden ser desarrolladas simultaneamente sin que se pierda eficacia en cada una de ellas? El deficit de atencion: el sindrome cerebral de nuestra era. Algunos valiosos consejos para afrontar los cambios de la sociedad contemporanea, que implican importanes desafios para el cerebro. Como predecir las consecuencias del estres en el funcionamiento de nuestro cerebro. Como influyen los medios de comunicacion y las tecnologias sobre nuestros pensamientos y emociones. Puede originar perjuicios en el cerebro la exposicion frecuente a escenas de violencia? Los tres efectos que suele generar en los menores la vision de escenas violentas. Como mitigar los efectos que las imagenes de violencia de los medios de comunicacion tienen en nuestros pensamientos y emociones. Un estudio (ya clasico) publicado por Marina Nakic, de la Universidad de Columbia, sobre la relacion entre los habitos de los televidentes y las conductas violentas. Como crear los habitos necesarios para desarrollar la actividad que deseamos. Cuanto tiempo de dedicacion requiere para la mayoria tener un buen desenvolvimiento en una disciplina? Como trabajan los mejores profesionales para mejorar sus facultades de atencion y concentracion, y en que sentidos afecta la vida moderna a las exigencias impuestas al cerebro. Imagenes y comunicacion emocional. La diferencia del impacto emocional entre las imagenes y el lenguaje escrito y oral. El bloqueo emocional. La musica y el cerebro. Que relacion hay entre las emociones positivas, la musica y el cerebro. Una reflexion filosofica a partir del sustento neurologico del ser humano. Un recuento de lo que es capaz nuestro
cerebro. Como influir en la estructura cerebral para inducir emociones positivas.

Las cosquillas ejemplifican la naturaleza social de la risa. No funciona hacerse cosquillas a uno mismo. Tan agudo es el cerebro para distinguir entre la sensacion inducida por uno mismo y la causada por otros, que nos reimos incluso aunque sea un robot el que nos hace cosquillas, pero no cuando somos nosotros mismos quienes controlamos los movimientos de ese robot.

 Por que nos embarga la emocion al ver escenas armadas con sumo cuidado en ciertas peliculas? Porque las neuronas espejo recrean para nosotros el dolor que vemos en la pantalla. Tenemos empatia por personajes de ficcion y sabemos como se sienten porque literalmente experimentamos los mismos sentimientos que ellos. Y cuando vemos que los actores de la pelicula se besan? Algunas de las celulas que se activan son las mismas que se activan cuando besamos a nuestos amantes. Las neuronas espejo establecen los cimientos de la empatia y quiza de la etica, una etica profundamente enraizada en nuestras caracteristicas biologicas.

Hasta hace poco, los neurocientificos pensaban que la plasticidad cesaba rapidamente durante la adolescencia y alli quedaba fijada la estructura del cerebro. Hoy se sabe que esto no es asi. En una medida considerable el estado de salud del cerebro no es determinado por unas leyes mecanicas sino por los pensamientos, los sentimientos y las acciones. Ahora sabemos, ademas, que el cerebro nunca pierde su capacidad para transformarse a sí mismo a partir de la experiencia, y que esa transformacion puede producirse en un lapso muy breve. Nuestro cerebro es diferente hoy de lo que era ayer. Hay que concebirlo como una obra en curso que tiene capacidad para cambiar durante toda la vida.

Estamos en contacto con todo el mundo a traves de emails, celulares, internet , y estas tecnologias ejercen una presion tremenda sobre nosotros, en el sentido de exigirnos respuestas rapidas y exactas. Pero la rapidez y la exactitud son para el cerebro humano muchas veces exigencias contradictorias.

 El de las neuronas espejo es uno de los grandes descubrimientos de la ciencia contemporanea: llegamos al mundo con las conexiones necesarias para la empatia y la colaboracion. Entendamos la evolucion como la supervivencia de los mejores cuidadores y de los mejor cuidados. (George Lakoff)

Temas interesantes, a tratar y estudiar. Por ejemplo, lo de las neuronas espejo, es un tema que ha sido tomado para muchas cosas, y es un tema a revisar, a darle el verdadero valor que tiene, sin que llegue a afirmaciones sin sustento real.

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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 8 de Junio, 2015, 7:04

Sigo leyendo el libro "The Quantum Revolution: A Historical Perspective", de Kent A. Peacock, que mencioné en el post de ayer. Al comienzo, el autor comenta la importancia del estudio de la historia en una ciencia.

Learning a little history of science is one of the most interesting and painless ways of learning a little of the science itself, and knowing something about the people who created a branch of science helps to put a human face on the succession of abstract scientific concepts.

Furthermore, knowing at least the broad outlines of the history of science is simply part of general cultural literacy, since we live in a world that is influenced deeply by science. Everyone needs to know something about what science is and how it developed. But the history of modern physics, especially quantum physics, presents an especially interesting puzzle to the historian. In the brief period from 1900 to 1935 there occurred one of the most astonishing outbursts of scientific creativity in all of history. Of course, much has been done in science since then, but with the perspective of hindsight it seems that no other historical era has crammed so much scientific creativity, so many discoveries of new ideas and techniques, into so few years. Although a few outstanding individuals dominate—Albert Einstein (of course!), Niels Bohr, Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Paul Dirac, and Erwin Schrödinger stand out in particular—they were assisted in their work by an army of highly talented scientists and technicians.

La historia de este tema, el surgimiento de la mecánica cuántica, es fascinante. El aspecto científico de su desarrollo lo estoy tratando en mi serie Hacia la Mecánica Cuántica. Pero también me gustaría tratar el tema del desarrollo personal, las relaciones que se tejieron, las ideas en lucha, los modelos propuestos, las influencias recibidas por cada uno de los protagonistas. Es interesante lo que menciona el autor a continuación, sobre la aceptación de la sociedad por el desarrollo de la ciencia:

This constellation of talented people arose precisely at a time when their societies were ready to provide them with the resources they needed to do their work, and also ready to accept the advances in knowledge that they delivered. The scientists who created quantum theory were (mostly) not embattled heretics like Galileo, because they did not have to be—their work usually was supported, encouraged, and welcomed by their societies (even if their societies were at times a bit puzzled as to what that work meant). The period in which quantum mechanics was created is thus comparable to a handful of other brilliant episodes in history—such as ancient Athens in her glory, or the England of Elizabeth I—when a multitude of historical factors somehow
combined to allow the most talented people to do the best work of which they were capable.

Exactly why do these amazing outbursts of creativity occur? And what could we do to make them happen more regularly? These questions certainly can"t be answered in this modest book, but the history of quantum mechanics is an outstanding case study for this large and very important problem.

Lo bueno de esta historia, es que es relativamente reciente, y bastante documentada. Y pone en juego todo lo que conocemos como actividad científica, principalmente la creación de modelos, la compulsa con el experimento, y la formación de conceptos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 7 de Junio, 2015, 11:36

En estos días estoy leyendo el excelente "The Quantum Revolution: A Historical Perspective", de Kent A. Peacock. Es parte de lo que estoy estudiando como apoyo de mi serie Hacia la Mecánica Cuántica. Además, en estas semanas, han aparecido biografías de científicos relacionadas con el tema, publicadas acá en Argentina por el diario La Nación, como reimpresión de una serie española de RBA. Y ayer sábado, en esa serie, apareció el volumen que buscaba: la biografía de Dirac, un personaje fascinante de esta historia. Y además sigo estudiando el "paper" original de Heisenberg, para la serie Entendiendo a Heisenberg.

Me gustaría compartir hoy un texto del comienzo de libro de Peacock, que pone en sus palabras mucho de lo que quisiera suscribir yo mismo. Leo:

The history of a major branch of science like quantum physics can be viewed in several ways. The most basic approach to see the history of quantum mechanics is as the story of the discovery of a body of interrelated facts (whatever a "fact" is), but we can also view our story as a history of the concepts of the theory, a history of beautiful though sometimes strange mathematical equations, a history of scientific papers, a history of crucial experiments and measurements, and a history of physical models. But science is also a profoundly human enterprise; its development is conditioned by the trends and accidents of history, and by the abilities, upbringing, and quirks of its creators. The history of science is not just a smooth progression of problems being solved one after the other by highly competent technicians, who all agree with each other about how their work should be done. It is by no means clear that it is inevitable that we would have arrived where we are now if the history of science could be rerun. Politics, prejudice, and the accidents of history play their part (as we shall see, for instance, in the dramatic story of David Bohm). Thus, the history of quantum mechanics is also the story of the people who made it, and along the way I will sketch brief portraits of some of these brilliant and complex individuals.

Quantum mechanics is one of the high points in humanity"s ongoing attempt to understand and cope with the vast and mysterious universe in which we find ourselves, and the history of modern physics—with its failures and triumphant insights—is one of the great stories of human accomplishment of our time.

Eso es lo fascinante de la historia de la mecánica cuántica (que para mí abarca hasta alrededor de 1935, luego sigue la física cuántica en general, con la aparición de física de campos cuánticos y derivados, teorías gauge, modelo estándar y demás). No conozco a qué se refería con la "dramática historia" de David Bohm, si a su persecución política, o a sus episodios de depresión, con tratamiento eléctrico.

Pero así es la historia de la ciencia: no hay un progreso liso, constante, sino que es el entrecruzar de ideas, conceptos, modelos, prejuicios y actitudes humanas. La ciencia es una actividad humana, no el producto directo y claro de seguir unos pasos predeterminados. Hay creatividad, sentimiento e imaginación. Y trabajo duro, experimentos, recolección de datos, mejores instrumentos, y la humana actividad de creación de modelos explicativos de la realidad encontrada.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 2 de Junio, 2015, 5:32

Nuevo mes, ya casi a mitad de año, primero, repaso mis resoluciones de mayo:

- Continuar mi serie sobre teoría de grupos y partículas elementales [pendiente]
- Continuar mi serie sobre Electrodinámica Cuántica [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre la historia de las partículas elementales [pendiente]
- Continuar mi serie hacia la mecánica cuántica [pendiente]
- Continuar mi serie sobre invariantes algebraicos por Hilbert [completo] ver post

(me había equivocado, había puesto "sobre números algebraicos" en la última tarea, pero quise referirme a mis serie ya iniciada sobre invariantes)

Estuve ocupado en temas personales (como cambio de trabajo, estudiar mucha guitarra/blues). También escribí:

Entendiendo a Heisenberg (4)

Veo de seguir insistiendo con algunos temas en junio, y con alguno nuevo

- Continuar mi serie sobre teoría de grupos y partículas elementales
- Continuar mi serie sobre Electrodinámica Cuántica
- Continuar mi serie sobre Entendiendo a Heisenberg
- Continuar mi serie sobre la historia de las partículas elementales
- Continuar mi serie hacia la mecánica cuántica
- Continuar mi serie sobre invariantes algebraicos por Hilbert
- Iniciar serie sobre números algebraicos, basado en Hilbert

Temas ambiciosos, pero que me fascinan.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 31 de Mayo, 2015, 20:10

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Tomemos una forma de orden n, con m variables:

De esta forma general podemos derivar otra forma, expresando las m variables originales con funciones de otras m variables:



...

Donde estas nuevas m funciones son todas formas del mismo orden.

Esta operación es llamada transformación, las nuevas variables son las x" (x prima), y la forma resultante:

Es llamada la forma transformada.

Hay transformaciones más interesantes que otras. Tomemos transformaciones lineales:




Los alfa se llaman los coeficientes de la transformación. La forma transformada entonces es:


Una propiedad interesante de la transformada es que tiene el mismo orden que la original. Es un poco trabajoso demostrarlo, veamos algunos puntos.

El término general de la forma original es:

Donde la suma de los exponentes de las variables es:

Y se transforma a:

Los términos del primer polinomio elevado a v1, son términos homogéneos en los alfa y en los x primas, de orden v1. Y así con las demás potencias desarrolladas del resto de los polinomios lineales.

Cada término final es el producto de un término homogéneo de alfas y x primas de orden v1, por un término homogéneo de alfas y x primas de orden v2, por .. y así, llegando a ser cada término final homogéneo de orden v1+v2+…+vm = n, en alfas y equis primas.

Si sumamos los coeficientes de los términos que tengan la misma distribución de variables x prima (que tengan los mismos exponentes), el coeficiente resultante es homogéneo lineal en los coeficientes originales ci, y homogéneo de orden n en los coeficientes originales alfa.

Como les decía, es algo trabajoso verlo en detalle, veamos un ejemplo en concreto.

Sea la forma original de dos variables, y segundo orden:

Sea la transformación lineal:


Aplicando la transformación, queda:

Donde:



Lo que muestra de forma más concreta lo afirmado.

Veremos en el próximo post que la transformación es invertible.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 29 de Mayo, 2015, 7:50

Me llegó un nuevo temario del Café Filosófico de Buenos Aires. Para más información sobre el lugar, horarios, costo, visitar el sitio:
 
http://www.filosofiaparalavida.com.ar/
 
Lo comparto como me llegó, sin acentos, los fragmentos del tema:

LAS DECISIONES QUE CAMBIAN LA VIDA

 (Trabajos de investigadores de la Universidad de Harvard, Southern
California y del Instituto Max Planck de Berlín)

Durante la primera hora de exposicion teorica hablaremos sobre las denominadas “decisiones de vida”. Son decisiones que cambian la vida significativamente y pueden impactar en diversas areas de nuestra existencia (por ejemplo, donde, con quien y como vivimos). Elegir una pareja, una ocupacion, cambiar de trabajo, de carrera o de ciudad, dejar un salario seguro para perseguir un suenio, separarse, tener un hijo, jubilarse. Todas son decisiones que suelen marcar un antes y un despues, y que implican consecuencias relevantes a largo plazo. Tomar decisiones inteligentes es una habilidad fundamental para la vida y puede ser enseniada. Con ese objetivo resumiremos el trabajo de algunos de los academicos mas reconocidos en el mundo en Teoria de la Decision (de la Univ de Harvard y la Univ. De Southern California), que diseniaron un modelo practico sumamente efectivo para la toma de decisiones. Los ocho elementos de su modelo PROACTIVE, que tiene gran influencia tanto en los ambitos laborales como en el de las ciencias sociales, y cuyo objetivo es cubrir la brecha entre como las personas toman sus decisiones y lo que la investigacion cientifica muestra desde hace 50 anios que deberian hacer al tomarlas. Reseñaremos el debate en torno a diversos modelos en la toma de decisiones: el evolucionista, la teoría clásica de la elección racional, la teoría de la racionalidad limitada (bounded rationality), y la teoría de las perspectivas (prospect theory). Las dos últimas fueron acreedoras de sendos premios Nobel (al politicólogo Herbert Simon y al psicólogo Daniel Kahneman). Porque tomar mejores decisiones es tener una buena caja de herramientas para cada situación particular.

Como influyen nuestras raices evolutivas en la evaluacion de los riesgos, en la eleccion de pareja, en el consumo y en lo que comemos? Cuales son nuestras principales limitaciones cognitivas a la hora de
tomar decisiones? En que situaciones "mas pensamiento" no es mejor? Que es un heuristico, y como puede ser una herramienta "inteligente"? Estrategias heuristicas. Cuales son los principales problemas en la comunicación del riesgo? Que responsabilidad tienen los medios en la evaluacion del riesgo? Como razonamos en situaciones de incertidumbre? Estrategias para tomar buenas decisiones que cambian la vida.

Cuando el deseo de una vida mas plena lleva a cuestionar el statu quo.Por que nos resulta tan dificil elegir? Cuales son las decisiones mas dificiles de tomar? Por que a veces la pequeña o gran cuota de libertad -y por tanto, de responsabilidad- que nos toca en suerte resulta tan incomoda y nos genera tanta angustia o, al menos, tanta perturbacion? Algunas preguntas posibles a la hora de tomar una decision. Los dilemas eticos: las decisiones entre la espada y la pared. Resenñaremos un libro del filosofo y Profesor de Cambridge Jon Elster, donde se propone la decision por sorteo, que ya esta presente en distintas practicas sociales, en contraposicion con los efectos paralizadores de la exigencia de racionalidad en casos de indeterminacion de los factores principales. Una lista soprendente y desopilante de las decisiones por sorteo que se han tomado a lo largo de la historia y de las que se toman en la actualidad. Las dos caras de los sorteos sociales. Las decisiones de los jueces en los juicios por la tenencia de los hijos: un aporte desde la filosofia para
resolver muchos de estos conflictos que colman los tribunales. El temor al arrepentimiento. Cuando hay demasiadas opciones a la hora de elegir. Favorece o perjudica la pluralidad de opciones a la hora de tomar una buena decision? Lidiar con la incertidumbre. La virtud de la flexibilidad. Cuando creemos en objetivos que no son nuestros (los modos considerados “inautenticos” por el existencialismo). La concepcion sartreana de la libertad. Las decisiones que afectan a los demas y que por tanto presuponen cuestiones eticas. Que tipo de
conflicto suelen implicar las decisiones que cambian la vida. Como es posible resolver estos conflictos? La diferencia entre el concepto de utilidad y el de placer. El procedimiento del filosofo Blaise Pascal para comparar errores. Como se aplica en la vida cotidiana y como en el ambito de la justicia penal. En que sentido es posible afirmar que los resultados son relativos? (un chiste filosofico propuesto por los teoricos de la decision) Un metodo filosofico (PROGRESS) propuesto por el filosofo ingles Tim LeBon. Como puede mejorar significativamente el conocido procedimiento de evaluar los argumentos a favor y en contra. El metodo Darwin. Brindaremos la parte teorica de un ejercicio de autoconocimiento para optar entre valores (el que lo desee podra despues desarrollar el ejercicio en su casa, ya que nuestra actividad no es un taller). Como reconocer el encuadre erroneo de un problema. Un metodo para evaluar las razones para tomar una decision que tambien puede ser aplicado a creencias, deseos y emociones. El pensamiento critico aplicado a la toma de decisiones. Como ayudar a otro a tomar una decision racional: que tres elementos convendria tener en cuenta. Tecnicas aplicadas por consultores filosoficos que pueden ser de utilidad para terapeutas y otros profesionales que desarrollan practicas de asesoramiento, y para cualquiera que tenga que tomar una decision importante o que quiera ayudar a otro a tomarla. El uso de la razon y de las emociones para tomar decisiones mas prudentes y eticamente mas sabias. Incluiremos muchos ejemplos de distintos tipos de decisiones que cambian la vida, incluyendo el de Soledad Rozas, la argentina que se convirtio en simbolo de la lucha de la contracultura
europea, cuya vida fue novelada por Martin Caparros en uno de sus libros.

Sartre. Pascal. LeBon Raiffa. Hammond. Keeney. Ku. Stuart Mill. Richard Hare Gerd Gigerenzer Jon Elster

Cuantos autores citados, y un tema tan interesante! Tengo que estudiar los trabajos de Simon y Kahneman (el primero influyó algo en muchos temas de mis estudios desde hace treinta años). Casi ya no recordaba a María Soledad Rosas, ver

http://www.pagina12.com.ar/diario/suplementos/radar/9-820-2003-07-09.html

Nos leemos!

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Publicado el 27 de Mayo, 2015, 7:25

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Startup Liaison Robert Scoble Opens Up About Big Data, Systems of the Future, and Facebook Graph Search | Modern Marketing
http://blog.marketo.com/blog/2013/06/robert-scoble-opens-up-about-big-data-systems-of-the-future-and-facebook-graph-search.html

APE: Author, Publisher, Entrepreneur | How to Publish a Book
http://apethebook.com/

Welcome to The Lean Startup Conference.
http://leanstartup.co/

Intuit Buys Elastic Intelligence, Will Use Connection Cloud To Help SMEs Build Apps | TechCrunch
http://techcrunch.com/2013/06/21/intuit-buys-elastic-intelligence-will-use-connection-cloud-to-help-smes-build-apps/

Javier Santana: Emprendiendo desde las trincheras
http://www.huffingtonpost.es/javier-santana/emprendiendo-desde-las-tr_b_3459986.html

What It's Like to Work Inside Jack Dorsey's Brain | Wired Business | Wired.com
http://www.wired.com/business/2013/06/office-life-at-square/

.@wences: Teach Your Children to be Doers - The Accelerators - WSJ
http://blogs.wsj.com/accelerators/2013/06/14/wences-casares-teach-your-children-to-be-doers/

Lemon Wallet · Your smarter wallet
http://lemon.com/

La burbuja del emprendimiento | Economía | Cinco Días
http://cincodias.com/cincodias/2013/06/11/economia/1370965997_143268.html

Start-up Fundraising Tips from the Front Lines | Inc. 5000
http://www.inc.com/aaron-aders/start-up-fundraising-tips-from-the-front-lines.html

The Man Who Escaped Microsoft and Took a Whole Company With Him | Wired Business | Wired.com
http://www.wired.com/business/2013/06/rich-barton-empowers-people-and-picks-fights-very-profitably/

El arte de emprender desde América Latina | Acamica
http://acamica.com/cursos/8

Startup drugs | PandoDaily
http://pandodaily.com/2013/06/09/startup-drugs/

From zero to half-a-billion: CEO Jeff Lawson writes the perfect story for Twilio — Tech News and Analysis
http://gigaom.com/2013/06/08/from-zero-to-half-a-billion-ceo-jeff-lawson-writes-the-perfect-story-for-twilio/

The Zen of Entrepreneurship | TechCrunch
http://techcrunch.com/2013/06/08/the-zen-of-entrepreneurship/

Modabound: The eBay For Fashion | Simply Zesty
http://www.simplyzesty.com/blog/article/june-2013/modabound-the-eBay-for-fashion

Startup Advice - Sam Altman
http://blog.samaltman.com/startup-advice

The Journalist's New Escape Plan: Start-Ups
http://www.buzzfeed.com/charliewarzel/the-journalists-new-escape-plan-startups

Alex Payne — Letter To A Young Programmer Considering A Startup
http://al3x.net/2013/05/23/letter-to-a-young-programmer.html

5 tips for a new generation of entrepreneurs - Richard's Blog - Virgin.com
http://www.virgin.com/richard-branson/5-tips-for-a-new-generation-of-entrepreneurs

Creating New Mobile User Experiences Using Crowdsourcing and Open Innovation - TopCoder, Inc.
http://www.topcoder.com/blog/creating-new-mobile-user-experiences-using-crowdsourcing-and-open-innovation/

Russia Hopes The Skolkovo Tech City Will Produce Its Great Leap Forward | TechCrunch
http://techcrunch.com/2013/05/31/russia-hopes-the-skolkovo-tech-city-will-produce-its-great-leap-forward/

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Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 24 de Mayo, 2015, 19:19

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En las expresiones clásicas del post anterior, apareció varias veces la frecuencia:

En realidad, son varias, una por cada estado estacionario n. La idea es que en los tiempos de Heisenberg se sabía que había "estados estacionarios" de los electrones en el átomo, desde el modelo de Bohr. Estados donde el electrón no radia energía. Era un postulado extraño, porque en la teoría clásica, cualquier carga eléctrica en movimiento debía radiar algo de energía en forma de radiación. Pero desde el modelo de Bohr, se vió que era útil suponer que hay estados así, que no emiten radiación. En ese caso, el electrón correspondiente no pierde energía por moverse en su "órbita".

La frecuencia omega(n) mencionada arriba correspondería a la frecuencia fundamental de ese electrón que tendría que radiar ese electrón. También cabría esperar que pueda radiar en múltiplos de esa frecuencia:

Donde alfa es un número entero. El análisis de Heisenberg trata a un electrón moviéndose en una sola dimensión. Por eso estuvimos hablando de calcular para cada n, la evolución de la coordenada de ese electrón en el tiempo. Suponiendo ese movimiento periódico con frecuencia omega(n), su expansión general en serie de Fourier es:

Recordemos: esta es la expresión más general del movimiento periódico en una dimensión. Desde Fourier, con algunas condiciones mínimas, se sabe que existe esta expansión, y luego, con los trabajos de Heine y notablemente Cantor (ver Series de Fourier, Heine y Cantor), se sabe que la expansión es única.

Supongamos que n está fija o determinada de antemano. Heisenberg se preguntó entonces: si x(t) (para un n dado) se puede representar con la fórmula de arriba, ¿cuál es la expresión para su cuadrado? Es decir para

Esta pregunta se la hace porque es común en física usar las potencias de las magnitudes físicas, y si quiere construir un símil cuántico a lo clásico, analiza primero cuál es la expansión clásica de esta expresión, para luego ver de buscar la expresión cuántica de su nueva teoría. Como x(t) = x(n, t) para n fijo, es una serie infinita, su cuadrado es la multiplicación de esas dos series. Y resulta una serie, de Fourier de nuevo, donde cada término tiene un factor que multiplica a la frecuencia, digamos beta:

Cada término de esta nueva expresión es la suma de todas las multiplicaciones de los factores originales, que de a pares producen un beta como resultado. Es decir:

Es decir, la frecuencia fundamental es la misma, omega(n). Los coeficientes beta recorren todos los enteros, igual que antes los alfa. Lo que cambian son los factores a beta, que podemos ver como el "peso" de cada término. Tenemos entonces:

Este sería el camino clásico: x(t) en un estado estacionario n es INDEPENDIENTE de todos los demás estados. Vamos a ver en los próximos post, que en el modelo cuántico no es tan simple: x(t) y sus potencias dependerán también de otros estados. ¿Por qué se da esto? Porque desde el modelo de Bohr se vió que LAS FRECUENCIAS emitidas/absorbidas NO SON DEPENDIENTES de un estado, de su frecuencia fundamental SINO que son la diferencia de frecuencias entre DOS estados. En el modelo cuántico hay un entrelazado de estados, y siempre un estado puede pasar a otro, con cierta probabilidad. Curiosamente, este concepto de probabilidad aplicado a lo que puede pasar en un estado físico fue introducido por Einstein, en un artículo de 1917, fundamental para entender desarrollos como el maser y el laser; pero a Einstein nunca le gustó que esa probabilidad fuera esencial, no explicable por algún otro estado interno.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 21 de Mayo, 2015, 6:10

De nuevo comparto por acá el temario de otra edición del Café Filosófico de Buenos Aires. Pueden ver lugar, horarios, costo, más información en:

http://www.filosofiaparalavida.com.ar/

Lo comparto como me llegó, sin acentos, los fragmentos del tema:

LA RUEDA DE LA VIDA :
 
 HACER BALANCE, FIJAR PRIORIDADES Y OBRAR CAMBIOS
 
 (El revolucionario trabajo de Daniel Gilbert, profesor de la Universidad de Harvard, director del Laboratorio de Psicología Hedónica de la misma institución y considerado como uno de los cuatro "clásicos modernos" más influyentes por el Psychological Inquiry) Gilbert investiga el tema de la felicidad (o del bienestar subjetivo, como se denomina en el ámbito académico), y temas tan fascinantes como los que investiga Dan Ariely, el autor cuyo sorprendente trabajo compartimos en uno de nuestros pasados encuentros. Ambos son recomendados por Daniel Kahneman, quien ganó el Nobel en el 2002 por sus trabajos en esta área vinculada con la toma de decisiones.

Durante la primera hora de exposicion teorica reflexionaremos en base a los trabajos de Daniel Gilbert en torno a un fascinante campo de estudio denominado “prospectiva”, que se ocupa de ver como los seres humanos utilizan su imaginacion para formarse ideas sobre el futuro, urdiendo planes, estableciendo prioridades, haciendo lo posible para obtener lo que desean. Diariamente tomamos decisiones sobre que hacer en el trabajo, en el amor, en las finanzas, y estimamos posibilidades futuras. Todos hemos experimentado ilusiones de la percepcion (“Esos dos objetos coinciden en el horizonte pero no estan uno al lado del otro”), o ilusiones de la retrospeccion (“Cerre la puerta con llave?). Tenemos tambien ilusiones parecidas cuando proyectamos el futuro? En la ultima decada los cientificos han dado una respuesta positiva a esta pregunta, caracterizando al concepto de ilusion prospectiva:  a menudo pensamos que en el futuro nos sentiremos de cierta forma, y nos sentimos de otra; creemos que un evento negativo nos afectara mas de lo que nos afecta, o que un evento positivo nos dara mas placer que el que nos depara en realidad. Por que nos equivocamos tantas veces a la hora de saber que nos hara felices en el futuro? La ciencia ofrece respuestas interesantes a este problema. Durante nuestra charla nos referiremos a lo que nos revelan los estudios cientificos sobre como imagina el cerebro su futuro y cual es su grado de acierto.  Ese procedimiento, el de proyectar en distintas areas de nuestra vida –laboral, afectiva, etc-,  suele conllevar errores que suelen repetirse sistematicamente -tal como prueban los trabajos empiricos de Gilbert- y que pueden ser subsanados teniendo en cuenta las conclusiones que este autor nos invita a considerar. Que es el “prejuicio del impacto”? Por que sobrestimamos el impacto emocional que tendran los eventos futuros y como podemos subsanarlo para vivir mas serenos y con mayor plenitud? Por que tantas veces nos frustramos cuando obtenemos lo que deseamos? Y por que tantas veces cuando no obtenemos lo que deseamos no la pasamos tan mal como creiamos? Por que a la hora de predecir como nos sentiremos en el futuro no nos conocemos mas a nosotros mismos que al semi-desconocido vecino de la puerta contigua? Una de las razones importantes por la que volvemos a cometer los mismos errores. En que condiciones las personas toman la decision de formar pareja cuando estan enamoradas?  Que recaudos convendria adoptar? Las ilusiones de la percepcion cuando nos proponemos cambiar algunas cosas en nuestra vida. De que manera los errores que cometemos a la hora de hacer balances pueden proyectarse como errores a la hora de urdir proyectos e imaginar nuestro futuro. Como podemos imaginar mas vividamente nuestro futuro y tomar mejores decisiones? Ejemplos a partir de experimentos de como las personas realizan malas elecciones. Como podrian elegir mejor. Por que aceptamos compromisos de los que mas tarde nos arrepentimos? La fuerza y los limites del presentimiento. Cual es el problema mas frencuente en la imaginacion del depresivo. Que es el sistema “psico-inmunologico”? Contamos con mecanismos cerebrales que nos protejen ante la adversidad? Cuales? Que significa “tropezar” con la felicidad? Que son y en que se diferencian la “felicidad natural” y la “felicidad sintetica? Por que a veces tener mayor libertad para elegir puede conducirnos a la infelicidad? Por que desconocer la diferencia entre felicidad natural y sintetica puede constituir una seria desventaja para la vida. Cuando preferimos imaginar antes que experimentar. Cómo se relaciona la facilidad o dificultad que tenemos para imaginar algo con la posibilidad de que creamos que va a ocurrir? Como, de acuerdo a los trabajos cientificos, es posible evitar el optimismo y el pesimismo no realistas. De que manera nos puede afectar positiva y negativamente tener control sobre lo que nos pasa. Los tres usos del termino felicidad. Que tipo de proceso cognitivo hace que nos sintamos felices. Por que, para Gilbert, los filosofos confundieron los significados moral y emocional de la felicidad. El problema de comparar experiencias lejanas en el tiempo: como evitar este error que puede afectar nuestro bienestar. Que es la “hipotesis de la ampliacion de la experiencia”. Como se combate la disminucion de placer que supone a veces un evento repetido? De que manera las malas comparaciones pueden llevarnos a cometer errores a la hora de proyectar. A que se llama “sustitucion”. De acuerdo a los trabajos cientificos: imaginamos que seria peor el dolor de algo que ocurrira en un futuro proximo o en uno lejano? Un estudio cientifico que prueba hasta que punto podemos estar equivocados en torno a lo que sentimos: es posible confundir atraccion sexual y miedo? Resumiremos el resultado de numerosos experimentos cientificos muy sorprendentes y utiles para ser tenidos en cuenta a la hora de proyectar, fijar prioridades y obrar cambios. Para actualizarse sobre las implicancias filosoficas que tienen los ultimos y sorprendentes descubrimientos de la psicologia basada en la evidencia cientifica.
(Más abajo incluimos un par de fragmentos sobre el tema)
 
“Aun cuando no controlemos muchas de las cosas que nos pasan, la sensacion de que las controlamos brinda muchos de los beneficios psiquicos que aporta el verdadero control. Eso llevo a muchos cientificos a la conclusion de que esa sensacion de control puede llegar a ser una fuente de salud mental. A pesar de ello, esta sensacion puede traer no pocos inconvenientes”.
 
“La memoria trata sobre lo que fue y la percepcion intenta captar lo que es.  La imaginacion proyecta el futuro y es el logro mas importante de nuestro cerebro. Los demas animales a lo sumo pueden predecir al futuro inmediato, pero no lo que podria llegar a ocurrir dentro de algunos anios. La region del cerebro que planea el futuro se llama lobulo frontal y fue la ultima parte de nuestro cerebro en evolucionar, es la que madura con mayor lentitud y la primera en deteriorarse en la vejez. Ningun otro animal posee un lobulo frontal como el nuestro. Las personas que tienen lesionada esta parte, no pueden planificar. Decimos que el secreto de la felicidad es no pensar tanto en el futuro, en vivir el aqui y ahora, y aunque en parte esto es cierto, es dificil de realizar porque implica convencer al lobulo frontal de que no realice su cometido. Pensamos en el futuro incluso sin proponernoslo y la evidencia cientifica nos muestra que a veces predecimos incluso sin ser conscientes de que estamos prediciendo. Al estudiar los monologos interiores, vieron que un 12% de su tiempo, en promedio, las personas piensan en el futuro. Todos somos habitantes del maniana a tiempo parcial”.

No conocía el trabajo de Daniel Gilbert. Es muy importante conocer estos temas, todos tenemos momentos de cambio en la vida. Personalmente, yo he vivido y sigo viviendo cambios en estos últimos tiempos, que seguramente afectarán mi futuro. Es interesante ver cómo, en el ámbito académico, "felicidad" se llama "bienestar subjetivo". Espero que eso delimite mejor algunos conceptos, siempre sin olvidar que lo que quede afuera puede ser igualmente importante.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 12 de Mayo, 2015, 16:14

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Más temas de geometría, a veces puros, otras veces demostrando su relación con la física. En este último siglo se ha ido redescubriendo el poder de la geometría, con conceptos independientes de coordenadas, o con la aplicación de las ideas de Gauss-Riemann en la relatividad.

Nikola Tesla 3 6 9 - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=inWnhZp_A-M&feature=youtube_gdata_player

La circunferencia de Conway - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/la-circunferencia-de-conway/

[Video] Todos los triangulos son equilateros - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/video-todos-los-triangulos-son-equilateros/

¿Que es un radian? - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/que-es-un-radian/
mathematics geometry trigonometry
2014-10-30T10:49:48Z

Demostracion visual de la relacion entre media aritmetica y media geometrica - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/demostracion-visual-de-la-relacion-entre-media-aritmetica-y-media-geometrica/

Fraccion en poliedro - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/fraccion-en-poliedro/

Suslov Nikolay: Curved Space Explorer for Squeak
http://nsuslovi.blogspot.ru/2013/07/curved-space-explorer-for-squeak.html

Veblen biography
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Veblen.html

L OME en Requena - Problema 3 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/l-ome-en-requena-problema-3/

Original manera de cortar una tarta circular en cuatro trozos de igual tamaño - Gaussianos | Gaussianos
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Publicado el 10 de Mayo, 2015, 17:18

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Comencemos nuestro camino investigando la luz. Cuando Newton estudió la luz, descubrió que la luz blanca es en realidad una mezcla de colores. Separó la luz blanca usando un prisma, en varios colores, pero cuando tomó la luz de un color, digamos roja, y la volvió a pasar por otro prisma, ya no obtuvo más colores. Algo en el prisma toma los colores y los separa, y esa propiedad que tiene la luz emergente se conserva hasta llegar al otro prisma, lo cual suena razonable. Es como que el prisma filtra la luz por alguna propiedad permanente, que no va cambiando con el tiempo. Los colores que encontró Newton se pueden llamar entonces puros (en realidad esa luz se puede separar más apelando a la polarización, ver algunos conceptos en La polarización del fotón, por Dirac).

Cuando hablamos de la luz, en esta serie de posts, no es sólo de la luz que podemos ver, de rojo a azul. La luz visible ha resultado ser sólo una parte de la radiación electromagnética, y corresponde a un rango de frecuencias. De hecho, los colores son la forma que tenemos de diferenciar las frecuencias en nuestros sentidos. No podemos ver la luz ultravioleta, pero afecta igual a las placas fotográficas. Es luz, solamente que su frecuencia es invisible a nuestros sentidos. Si seguimos explorando otras frecuencias, nos encontramos con rayos X, rayos gamma, y más. Si en vez de seguir más allá del azul, bajamos la frecuencia desde el rojo, encontramos luz infrarroja, ondas de televisión, y ondas de radio. Todas son "luz". Podemos usar la luz roja para muchos ejemplos, pero la teoría de la electrodinámica cuántica se extiende a todo el espectro de frecuencias.

Newton pensaba que la luz estaba constituída por partículas (él las llamaba corpúsculos) y el tiempo le dio la razón, aunque las razones que usó eran erróneas. Ahora sabemos que la luz está compuesta de partículas porque hemos conseguido construir y operar instrumentos delicados, donde detectamos la luz que incide. Cuando la luz llega al aparato, se producen "clicks". Cuando la luz disminuye, se producen menos "clicks". Pero por más que disminuya la luz, nunca se produce o detecta "medio click". Este es el gran descubrimiento de la física cuántica. Entonces, la luz es como gotas de lluvia, y todas las gotas de la luz de un color puro, son del mismo "tamaño".

El ojo humano es un gran instrumento. Con sólo cinco o seis fotones que reciba se activa una célula y se envía un mensaje al cerebro. Pero si hubiera sido más sensible, hubiéramos detectado la luz fotón a fotón, y no nos asombraría el hecho de que la luz son partículas.

En el próximo post, veremos cómo es posible detectar un fotón simple. Es importante la descripción, porque sino siempre queda como algo no bien explicado en la divulgación científica. Recordemos que una cosa es la teoría (el modelo propuesto) y otra los experimentos. Tenemos que examinar este experimento de "detectar un solo fotón" por vez.

Principal fuente: el excelente libro de Richard Feynman, "QED: the strange theory of light and matter"

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 9 de Mayo, 2015, 18:12

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