Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 2 de Agosto, 2015, 17:40

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En el anterior post hemos encontrado, siguiendo las ideas de Euler, que:

Para eso vimos cómo Euler iguala una suma infinita con una multiplicación infinita, e iguala los coeficientes. Algo como:

Es un "gran truco" que usa Euler en varias de sus demostraciones, un "truco" para tener en nuestro baúl matemático. Le bastó desarrollar el producto, e igualar los coeficientes de x al cuadrado en ambos desarrollos, el de la suma y el del producto.

Pero Euler no se quedó ahí. También igualó los coeficientes de x a la cuarta, x a la sexta y demás. Y notablemente, obtuvo un resultado interesante, tan poco evidente como el primero.

Veamos en este post primero un concepto general. Sea una suma infinita de términos, que sabemos que converge a un valor:

O sea, lo llamamos alfa. Sea el cuadrado de esta suma, desarrollado usando una generalización del binomio de Newton:


O sea, es la suma infinita de los cuadrados de los términos iniciales, más dos veces la suma de esos términos tomados de a dos distintos. Llamemos a la suma de a dos como beta:

Esto muestra que la suma de los cuadrados de los términos iniciales es:

No es una relación evidente, pero nos sirve para calcular la suma de los cuadrados de los términos de una serie original. Claro, tenemos que averiguar beta, la suma infinita de los términos tomados dos a dos. Y aquí Euler los encontró, encontró beta como de regalo. Tomemos:




Entonces, ya sabemos alfa:

¿Dónde está beta? Veamos el coeficiente para x a la cuarta cuando desarrollamos el producto infinito original (tienen que hacer el desarrollo, combinando de a dos los factores que tengan x al cuadrado):

Y ahí está beta: es el coeficiente que está entre paréntesis, esa suma infinita de los términos originales (los recíprocos de los cuadrados) TOMADOS DE A DOS.

Ahora, en la suma infinita original, el coeficiente de x a la cuarta potencia es:

Con lo que queda:

Y obtenemos:

Como sabemos que alfa es la suma de los recíprocos, tomamos el valor que deducimos en el anterior post. Un pasito más que ya llegamos a:


Es decir, llegamos al valor de la suma de los recíprocos de las cuartas potencias:

>

Notable resultado. En el próximo post veremos el desarrollo para las siguientes potencias pares. Euler consiguió todos estos resultados en su "paper" E41:

http://eulerarchive.maa.org/pages/E041.html

Pueden ver algunos de esos "papers" de Euler en inglés en: (los originales eran en latín)

http://www.17centurymaths.com/contents/eulercontents.html

Y lo que estamos desarrollando está en inglés en:

http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e041tr.pdf

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 30 de Julio, 2015, 8:03

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Publicado el 27 de Julio, 2015, 7:10

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Mencionaba en el anterior post que en 1897, casi al terminar el siglo XIX, Joseph John Thomson llevaba a cabo su experimento con rayos catódicos. En ese experimento, Thomson pudo determinar la razón e/m entre la carga y la masa de los componentes de esos rayos.

Con ese experimento demostró que los rayos catódicos estan compuestos de partículas, hasta ese entonces desconocidas. Vió que eran más pequeñas que los átomos, y con alta razón carga/masa. Con este descubrimiento apareció por primera vez evidencia de que los átomos no son indivisibles, que puede haber partículas subatómicas.

Tomo de la Wikipedia la imagen original de Thomson describiendo su aparato:

El cátodo C emanaba rayos catódicos (hoy sabemos que eran electrones). A las placas D y E se les cargaba eléctricamente y entonces, el haz se desviaba hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo de la carga de cada placa. Cuando la placa D se cargaba negativamente, el haz era desviado hacia abajo. De ahí dedujo Thomson que los componentes del haz tenían carga negativa. Antes de este experimento, también había detectado que el haz se desviaba bajo un campo magnético. Combinando ambos resultados, pudo calcular la razón entre carga y masa de cada uno de los elementos de los rayos.

Curiosamente, al cambiar la composición del cátodo, la razón carga/masa seguía siendo la misma, lo que mostraba que los componentes descubiertos eran parte de toda la materia, no importaba la composición del cátodo. Cuando Thomson estudió la emisión de ánodos, ahí descubrió que la razón carga/masa variaba según la materia del ánodo usado. Eso se debía a que en este caso, lo emitido eran iones positivos, con distinta composición según el material del ánodo.

Notablemente, Hertz ya había intentado el experimento de arriba, pero sin detectar ninguna desviación del rayo, llegando a la conclusión de que era neutro eléctricamente. Thomson también al inicio no detectó ninguna desviación, pero reconoció que se debía al insuficiente vacío dentro del tubo. Cuando ese vacío fue mejorado pudo comenzar a detectar la desviación del rayo.

El valor de e/m que Thomson obtuvo era miles de veces más grande que los valores correspondientes para los iones bajo electrólisis. Llegó a la conclusión de que los rayos catódicos estaban compuestos por partículas más pequeñas que los iones y de carga negativa. Los llamó "corpúsculos", y a su carga, la llamó "electrón". Más tarde, las partículas mismas pasaron a llamarse electrones.

Veremos en el próximo post, como todo esto y otros resultados llevaron a Thomson a postular un modelo atómico.

Ver también:

http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/adv.chem/lectures/lecture_3/node1.html

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 26 de Julio, 2015, 19:01

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En el anterior post apareció el concepto matemático de operador lineal para obtener valores medios de magnitudes físicas de cada función de estado. Estudiamos por ahora el caso discreto. No podemos obtener más que valores medios, porque un estado cuántico es una superposición de estados. En el caso discreto, los estados de base representan uno de los valores discretos posibles. Entonces vimos que para la función de estado que representa ese estado discreto n de una magnitud física, su valor medio es:

Es decir, que coincide con el valor de la magnitud física que ese estado representa.

Un físico espera que los valores de una magnitud física (energía, momento, posición) sean valores reales, no complejos. Recordemos que las funciones de estado devuelven valores complejos. Entonces, para un físico, el valor de arriba, fn, debe ser real. Eso pone una restricción adicional a los operadores para poder considerarlos como operadores que nos permiten obtener valores medios de magnitudes físicas.

Para entender el tipo de restricción que tenemos que imponer a los operadores, examinemos el concepto de operador traspuesto. Dadas dos funciones arbitrarias, tenemos la aplicación del operador a las mismas con la integral:

Si invertimos las funciones, podemos definir el operador traspuesto de f como aquel que cumple, para cualesquiera par de funciones:

Donde representamos el operador traspuesto con una tilde arriba. La existencia y unicidad de ese operador traspuesto de f para cada f es una cuestión matemática, pero la igualdad de arriba es la DEFINICION de ese operador traspuesto.

Todas estas integrales dan como resultado un número, que puede ser real o complejo. Tomemos el conjugado complejo de la integral original:

Podemos considerar el resultado de la integral como la "suma" de la expresión que está bajo el signo integral. Pasemos la conjugación complejo, indicada por un asterisco,  adentro de ese signo.

Definimos el operador complejo conjugado de f por aquel que cumple con la igualdad:

Lo indicamos con un asterisco.

Cuando el resultado de la integral debe ser igual a su conjugado, debe ser:

Pero ya sabemos que, por definición de operador traspuesto, se tiene:

Igualando los términos derechos de ambas igualdades queda:

Para toda función de estado. Es decir, que los operadores traspuestos y complejo conjugado DEBEN coincidir para que los autovalores del operador sean reales:

Los operadores lineales que cumplen con esta condición se llaman hermíticos.

Veremos en el próximo post que las autofunciones del operador que corresponden a distintos autovalores son, en algún sentido, ortogonales. Tenemos que estudiar qué es eso de ortogonalidad.

Todo lo anterior ha sido bastante matemático. Pero ya vamos viendo que los operadores que importan son los operadores hermíticos. Esos son operadores que permiten tener autovalores que son valores reales, no complejos.

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 25 de Julio, 2015, 17:08

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Llegamos a un gran tema aristotélico, las causas. Hoy leo su "Física" (que ya había comentado en Leyendo a Aristóteles (3) La naturaleza y lo natural). Leo en la sección 3 del libro II:

... tenemos que examinar las causas , cuáles y cuántas son. Puesto que el objeto de esta investigación es el conocer y no creemos conocer algo si antes no hemos establecido en cada caso el «por qué» (lo cual significa captar la causa primera ), es evidente que tendremos que examinar cuanto se refiere a la generación y la destrucción y a todo cambio natural, a fin de que, conociendo sus principios, podamos intentar referir a ellos cada una de nuestras investigaciones.

En este sentido se dice que es causa (1) aquel constitutivo interno de lo que algo está hecho , como por ejemplo, el bronce respecto de la estatua o la plata respecto de la copa, y los géneros del bronce o de la plata.

En otro sentido (2) es la forma o el modelo, esto es, la definición de la esencia  y sus géneros (como la causa de una octava es la relación del dos al uno, y en general el número), y las partes de la definición.

En otro sentido (3) es el principio primero de donde proviene el cambio o el reposo, como el que quiere algo es causa, como es también causa el padre respecto de su hijo, y en general el que hace algo respecto de lo hecho, y lo que hace cambiar algo respecto de lo cambiado.

Y en otro sentido (4) causa es el fin , esto es, aquello para lo cual es algo, por ejemplo, el pasear respecto de la salud. Pues ¿por qué paseamos? A lo que respondemos: para estar sanos, y al decir esto creemos haber indicado la causa. Y también cualquier cosa que, siendo movida por otra cosa, llega a ser un medio respecto del fin, como el adelgazar, la purgación, los fármacos y los instrumentos quirúrgicos llegan a ser medios con respecto a la salud. Todas estas cosas son para un fin, y se diferencian entre sí en que unas son actividades y otras instrumentos.

Estas son las famosas cuatro causas de Aristóteles: la causa material, la causa formal, la causa eficiente, y la causa final. Parece que estas denominaciones nacieron del griego original, donde coloca algún calificativo al lado de cada "causa", pero no se refleja en la traducción de arriba.

Las causas material y formal buscan explicar qué es un cosa (materia y forma), mientras que las causas eficiente y final tratan de explicar el movimiento de la cosa, cómo llega a ser lo que es (de escultor a estatua, de semilla a árbol).

Donde dice en el texto de arriba "causas", en griego es aítion. Leo un comentario de Guillermo R. de Echandía, en la versión de la "Física" que estoy citando:

Aítion tenía en gr. un sentido más amplio que el de causa efectora: significaba autoría o responsabilidad de algo, razón, motivo, acusación Aristóteles parece usar el vocablo con el doble sentido de «razón» y «causa» (factor explicativo y causa de ser), presentando aquí la physis como aítion en su cuádruple modalidad. ¿De dónde proviene esta concepción? Según Ross, Solmsen y otros, la doctrina de los cuatro aítia sería una sistematización de distinciones ya usadas en la Academia. Acaso haya también influencia de los hipocráticos en cuanto al modo de entender la epistémé como un saber etiológico y al uso de la etiología como un método heurístico y explicativo, aunque sorprende la ausencia de la palabra prophasis en la Física, tan usada como aítion para designar los factores explicativos de las enfermedades. En cuanto al sentido de la doctrina aristotélica, Charlton, Düring y otros la entienden como un intento de distinguir y clasificar los distintos tipos de factores explicativos de las cosas y sus procesos.

Es interesante notar que en la misma "Física" Aristóteles discute causalidad al lado de casualidad, apareciendo el azar en las explicaciones.

Próximos temas: algunos fragmentos más de Aristóteles en esa sección, y la mención de las causas en su "Metafísica", así como ejemplos de causas.

Tema relacionado: la tensión entre causa eficiente y causa final en biología, ver El principio de objetividad en ciencia, y la vida, por Monod.

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Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 23 de Julio, 2015, 7:08

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Si bien esta serie trata de lagrangianos y hamiltonianos, a nivel de notas, sin profundidad de desarrollo, tengo que confesar que la mayor parte de las referencias han sido a lagrangianos. Cuando se plantea la hamiltinoniana, de nuevo una función como la lagrangiana de la que se PUEDEN DERIVAR las ecuaciones de movimiento de un sistema, ¿qué es lo que cambia? La lagrangiana es función de n variables coordenadas (cartesianas o generalizadas), n variables adicionales que son las derivadas de las anteriores por el tiempo (las velocidades de esas coordenadas), y del tiempo. En cambio, veremos que la hamiltoniana es función de n variables coordenadas, n variables momento (generalizados), y el tiempo. Lo interesante es que las variables coordenadas y las variable momentos están relacionadas ENTRE sí, mediante el propio hamiltoniano. No voy a exponer hoy la fórmula de relación (eso aparecerá en la serie matemática). Pero esto hace que las 2n variables se puedan considerar de alguna forma dos grupos de n variables, uno el espejo del otro. Leo hoy en el excelente "Mecánica Clásica" de Goldstein (capítulo 8):

Los métodos de Hamilton no son particularmente superiores a las técnicas de Lagrange en la solución directa de problemas mecánicos. La utilidad del punto de vista de Hamilton consiste, más bien, en proporcionar un marco para extensiones teóricas en muchos campos de la Física. En la Mecánica clásica constituye la base para desarrollos ulteriores, tales como la teoría de Hamilton-Jacobi y los métodos de perturbaciones. Fuera de la Mecánica clásica, la formulación de Hamilton proporciona gran parte del lenguaje con el cual se construyen la Mecánica estadística y la Mecánica cuántica de hoy en día...

En la formulación de Lagrange no relativista, un sistema con n grados de libertad posee n ecuaciones de movimiento ....

De la forma:

Como las ecuaciones son de segundo orden, el movimiento del sistema estará siempre determinado cuando se especifiquen 2n valores iniciales [x y x derividad por tiempo] en un instante particular t, o las [n x] en dos instantes de tiempo t1 y t2. El estado del sistema lo representamos por un punto en un espacio de configuraciones de n dimensiones cuyas coordenadas son las n coordenadas generalizas [x] y seguimos el movimiento del punto figurativo del sistema en el transcurso del tiempo cuando recorre su trayectoria en el espacio de las configuraciones. Físicamente, desde el punto de vista de Lagrange, un sistema con n grados de libertad independientes es un problema de n variables independientes [xi(t)] y [xi-punto(t)] es sólo una abreviatura de la derivada de [xi] respecto del tiempo.

La formulación de Hamilton se basa en una visión fundamentalmente diferente. Queremos describir el movimiento mediante ecuaciones de movimiento de primer orden. Como el número de condiciones iniciales que determinan el movimiento ha de seguir siendo 2n, deberá haber 2n ecuaciones independientes de primer orden expresadas en función de 2n variables independientes. Por tanto, las 2n ecuaciones del movimiento describen el comportamiento del punto figurativo del sistema en un espacio fásico cuyas coordenadas son las 2n variables independientes. En una tal duplicación de nuestro sistema de cantidades independientes es natural (aunque no inevitable) tomarlas de manera que la mitad de ellas sean las n coordenadas generalizadas qi. Según veremos, la formulación resulta casi simétrica si tomamos para la otra mitad las cantidades de movimiento conjuntas o generalizadas pi... Las cantidades (q, p) se denominan variables canónicas.

Sin embargo, desde un punto de vista matemático, podemos pretender que se traten como variables distintas las q y las q-punto. En las ecuaciones de Lagrange... la derivada parcial de L respecto a qi significa una derivada calculada considerando constantes todas las demás q y todas las q-punto. Análogamente, en las derivadas parciales respecto a q-punto, se mantienen constantes las q. Tratada estrictamente como problema matemático, la transición de la formulación de Lagrange a la de Hamilton corresponde a cambiar las variables de nuestras funciones mecánicas de (q, q-punto, t) a (q, p, t), donde p está relacionado con q y q-punto mediante ecuaciones [a ver en la serie matemática de posts]. El método para conmutar las variables de esta manera lo proporciona la transformación de Legendre, planeada precisamente para este tipo de cambios de variable.

Una nota al pie

Una interpretación geométrica de la transformación de Legendre y del papel que desempeña en la teoría de las ecuaciones diferenciales la tenemos en R. Courant y D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol. II, pp/ 32-39, 1962

Escribo q-punto para referirme a q con un punto arriba, que significa q derivada por tiempo. Habrá más detalle de estos temas, como la transformación de Legendre, en la serie matemática de posts.

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Publicado el 21 de Julio, 2015, 6:54

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Publicado el 20 de Julio, 2015, 6:30

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Uno de los métodos de demostración de Fermat es el descenso infinito. Ya lo traté en Fermat y el descenso infinito y en Descenso Infinito. Veamos hoy su aplicación a un caso especial de su último teorema.

Se llama triángulo pitagórico a una terna de números naturales (a, b, c) tales que:

Ver Ternas Pitagóricas. Desde los tiempos de Euclides (Elementos, X29, lema 1), se sabe que si (a, b) = 1 (su máximo común divisor es 1), entonces existen números p y q primos entre sí tales que, si tomamos a como par, entonces se da:



(siempre, a o b, es par, y el otro es impar). En una carta a Huygens, Fermat afirma este teorema:

El área de un triángulo pitagórico no puede ser un cuadrado

El área es el producto de los catetos (a y b) divido por 2. Fermat dice que nunca esa área puede ser un número natural cuadrado perfecto. Veamos si es así. El área es:

Sustituyendo los valores de a y b por su expresión en términos de p y q, queda:

Sabemos que p y q son primos entre sí, entonces también lo serán p+q y p-q. En definitiva, si el área de arriba es un cuadrado perfecto, los cuatro factores:




Tienen que ser CADA uno un cuadrado perfecto, porque son todos primos entre sí, no tienen factores primos comunes, y entonces, de la combinación de dos o más de esos factores NO PUEDE SURGIR ningún número cuadrado que no esté YA en los factores originales.

Entonces, cada factor es un cuadrado de otro número, pongamos:




Veamos algo sobre la paridad de u y v. Primero, son relativamente primos. Si no lo fueran, su divisor común mayor a la unidad dividiría a p+q y a p-q, que se supone eran primos relativos, no tenían ningún factor en común. También podemos descartar que AMBOS u y v sean pares. Porque entonces p+q y p-q serían pares, divisibles por un factor común de 2, cuando se supuso que eran primos relativos.

Supongamos que u es par, y v es impar. Entonces p+q sería par y p-q sería impar. Pero entonces b:

sería par, junto con a:

contra lo supuesto, que eran primos entre sí. Por razonamiento similar, podemos descartar que u sea impar y v sea par. En definitiva, u y v son primos relativos e IMPARES.

Avancemos. También sabemos que:

Lo que da que:

Los dos factores de la derecha son suma y resta de DOS IMPARES. Es decir, los dos factores son pares, y su producto es divisible por 4. El lado izquierdo tiene un 2 y un cuadrado perfecto de y, pero al ser divisible por 4, deducimos que el cuadrado perfecto es divisible por 2, con lo cual y es par, y queda que y al cuadrado es divisible por 4. Conclusión: el lado izquierdo es divible al menos 3 veces por 2. Esos tres factores de 2 deben estar repartidos entre los dos factores de la derecha. Queda que:


O al revés. Uno de los factores es un cuadrado multiplicado por 2, y el otro es un cuadrado multiplicado por 4. Sumando y restando queda:


Como

Queda que x al cuadrado es:

Desarrollando queda:


y entonces la terna:

Forma un triángulo pitagórico de área:

QUE ES MENOR QUE EL TRIANGULO DE PARTIDA. Pero oh sorpresa, esa área es un cuadrado perfecto. Volvemos a tener un triángulo pitagórico como el de partida.

Ahora repetimos el proceso, y seguiríamos obteniendo triángulos pitagóricos con áreas cuadrados perfectos cada vez más pequeños, sin límite. Por el argumento de descenso infinito, esto es imposible. Entonces, no hay triángulos pitagóricos con área cuadrada perfecta, pues si hubiera alguno, podríamos obtener triángulos con la misma propiedad, cada vez de menor área, hasta el infinito.

En el próximo post usaremos este teorema para demostrar la imposibilidad del último teorema de Fermat cuando el exponente n es 4.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 19 de Julio, 2015, 8:46

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Mencioné en el anterior post la necesidad de buscar nuevas formulaciones matemáticas y conceptos para modelar lo que la física cuántica nos ha traído, desde sus experimentos y resultados, y los primeros atisbos de modelos matemáticos.

Para representar un estado físico, hubo que buscar nuevas formas de hacerlo. El principio de superposición (ver Matemáticas y Física Cuántica (3) Superposición de Estados) y el tener que resolver un estado compuesto de varios estados apelando a la probabilidad, son los dos principales motivos para esa necesidad. Dirac adoptó el concepto matemático de vector para representar un estado físico cuántico. Los vectores son elementos abstractos que se pueden sumar entre sí, con lo que dan soporte natural al principio de superposición. Pero uno podría decir: los números reales también se pueden sumar, ¿por qué entonces es necesario apelar a los vectores? La respuesta es larga, pero lo primero a atisbar es que los vectores, en el caso de ser finitos (más precisamente, ser elementos de un espacio vectorial de dimensión finita), en su uso, suma y otras operaciones, no se olvidan de ser entes compuestos de varios otros vectores elementales básicos, al igual que los estados físicos, que pueden representarse como la combinación de estados físicos de base. Y lo mismo pasa con los vectores de espacios de dimensión infinita, adoptando algunos recaudos. Eso es lo que vió Dirac: los vectores son instrumentos matemáticos donde la superposición de estados puede ser expresada, sin dilución, cosa que no pueden lograr los simples números reales ni aún los números complejos.

Recordemos algunas definiciones matemáticas, sin pretender una rigurosidad extrema. Un espacio vectorial líneal (ver Espacios Vectoriales) es un conjunto de elementos, llamados vectores, que pueden sumarse entre sí y pueden multiplicarse por números, dando como resultado otros vectores. En matemática, esos números son  elementos de un cuerpo; en nuestro tema, de aplicación física, nos bastaran los números complejos, tendremos que estudiar alguna vez por qué no alcanzan los números reales para este cometido). Tenemos que ver cómo, en la teoría de Dirac, podemos obtener algún valor físico de esos vectores que representan estados. Por ejemplo, dado un vector de estado, ¿cómo obtenemos la energía de ese estado? ¿o qué valores de magnitudes físicas podemos obtener de un vector? Pues bien, una de las sorpresas que dio la cuántica es que había magnitudes que podía tomar solo un valor discreto, no continuo, y otras que podían tomar un valor continuo. Estudiaremos que en la teoría de la transformación, esa cantidad discreta (finita o no) o continua de valores posibles está relacionada con la dimensión del espacio vectorial de estados. Pero no nos adelantemos.

Pongamos algunos ejemplos de vectores en general. Los hay discretos, que pueden ser representados por una columna de valores (complejos en nuestro caso):

Los valores en columna pueden aparecer en una cantidad finita, pero no descartemos que puedan ser infinitos.
Y también podemos poner como ejemplo el espacio de funciones de cierto tipo, por ejemplo, las funciones diferenciables de una variable, con rango un intervalo definido. Es claro que la suma de dos de tales funciones también pertenece al mismo espacio, así como la función obtenida por multiplicar una función de tal tipo por un número escalar.

Se dice que un conjunto de vectores:

Es linealmente independiente, si cualquier suma de los mismos:

Es cero SI Y SOLO los coeficientes c son iguales a cero. Es decir, los vectores no pueden anularse entre sí, a no ser de la forma trivial, multiplicando a todos por cero. Si esta condición no se cumple, se dice que ese conjunto de vectores es linealmente dependiente.

El número máximo de vectores linealmente independiente que se puede encontrar en un espacio se llama la dimensión de ese espacio. Un conjunto maximal de vectores linealmente independiente se llama base del espacio. Decimos maximal en el sentido: no le podemos agregar ningún vector y que siga siendo linealmente independiente. O lo que es lo mismo: todos los demás vectores se pueden expresar por este conjunto.
Todavía no queda claro cómo los vectores pueden aplicarse como modelo en la mecánica cuántica de los tiempos de Dirac. En el próximo post seguiremos todavía con algunos preliminares matemáticos. Tenemos que estudiar el producto interno, una forma de tomar dos vectores y conseguir un escalar, nuestro primer indicio para obtener valores físicos a partir de estados. Y luego operadores lineales, una forma de transformar vectores en otros vectores, llegando en su momento a su significado físico.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 16 de Julio, 2015, 7:38

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Sigo leyendo, traduciendo y comentando brevemente lo que escribe Dirac sobre la superposición de estados, una característica cuántica no explicable clásicamente:

In the two preceding sections examples were given of the superposition principle applied to a system consisting of a single photon. § 2 dealt with states differing only with regard to the polarization and § 3 with states differing only with regard to the motion of the photon as a whole.

En las dos secciones precedentes fueron presentados ejemplos del principio de superposición aplicados a un sistema de un solo fotón. La sección 2 trataba con estados que diferían solamente en la polarización y la sección 3 con estados que diferían solamente con respecto al movimiento de un fotón como un todo.

Esas secciones las presenté en:

Polarización del Fotón
Interferencia de Fotones

The nature of the relationships which the superposition principle requires to exist between the states of any system is of a kind that cannot be explained in terms of familiar physical concepts. One cannot in the classical sense picture a system being partly in each of two states and see the equivalence of this to the system being completely in some other state. There is an entirely new idea involved, to which one must get accustomed and in terms of which one must proceed to build up an exact mathematical theory, without having any detailed classical picture.

La naturaleza de las relaciones que el principio de superposición requiere que existan entre los estados de cualquier sistema es de una clase que no puede ser explicada en términos de conceptos físicos familiares. Uno no puede en el sentido clásico describir un sistema como estando parcialmente en cualquiera de dos estados y ver la equivalencia de esto con el sistema estando completamente en algún otro estado. Hay una nueva idea involucrada en esto, a la cual uno debe acostumbrarse y en términos de la cual uno debe proceder a construir una teoría matemática exacta, sin dar ninguna imagen clásica detallada.

Dirac prefiere la teoría matemática "exacta" que una imagen clásica que no puede conciliarse con lo que se sabe de los resultados experimentales: la única explicación encontrada a éstos es la superposición de estados, no pueden ser explicados imaginando que un sistema tan simple como un fotón ESTE en un estado determinado. Es típico de Dirac buscar la teoría matemática, mas que la imagen física, como por otro lado, estaba acostumbrado Bohr, a quien Dirac no entendía por apelar cada tanto a analogías y vaguedades, en lugar de plasmar sus ideas en teorías matemáticas.

Aparecen dos conceptos a describir por la teoría: los pesos relativos de cada estado en la superposición, y un valor nuevo, la diferencia de fase, que pasa a explicar con un ejemplo:

When a state is formed by the superposition of two other states, it will have properties that are in some vague way intermediate between those of the two original states and that approach more or less closely to those of either of them according to the greater or less 'weight' attached to this state in the superposition process. The new state is completely defined by the two original states when their relative weights in the superposition process are known, together with a certain phase difference, the exact meaning of weights and phases being provided in the general case by the mathematical theory. In the case of the polarization of a photon their meaning is that provided by classical optics, so that, for example, when two perpendicularly plane polarized states are superposed with equal weights, the new state may be circularly polarized in either direction, or linearly polarized at an angle 1/4 pi, or else elliptically polarized, according to the phase difference.

Cuando un estado está compuesto por la superposición de otros dos estados, tendrá propiedades que están en algún vago modo intermedio entre los dos estados originales y esta aproximación será más o menos cercana a cualquiera de ellos de acuerdo a lo mayor o menor del 'peso' asociado a este estado en el proceso de superposición. El nuevo estado está completamente definido por los dos estados originales cuando sus pesos relativos en el proceso de superposición son conocidos, junto con una cierta diferencia de fase, siendo provistos en el caso general los significados exactos de los pesos y fases por la teoría matemática. En el caso de la polarización de un fotón su significado es provistos por la óptica clásica, por ejemplo, cuando dos estados planos polarizados perpendiculares se superponen con iguales pesos, el nuevo estado puede ser polarización circular en una dirección, o polarización lineal en ángulo de un cuarto de pi, o elípticamente polarizado, de acuerdo con la diferencia de fase.

Es ahí, en el ejemplo de la polarización, donde se pone en juego la influencia de la diferencia de fase en el resultado final. Esa diferencia de fase le da a la teoría cuántica un sabor especial, pues LA INTERFERENCIA entre estados dependerá de esa diferencia de fase, no sólo de sus pesos.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 13 de Julio, 2015, 7:40

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Publicado el 12 de Julio, 2015, 17:10

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Sigo leyendo y comentando a Dirac en su sección Superposition and indeterminacy de su Principles of Quantum Mechanics:

There remains an overall criticism that one may make to the whole scheme, namely, that in departing from the determinacy of the classical theory a great complication is introduced into the description of Nature, which is a highly undesirable feature. This complication is undeniable, but it is offset by a great simplification, provided by the general principle of superposition of states, which we shall now go on to consider. But first it is necessary to make precise the important concept of a 'state' of a general atomic system.

Aún queda una crítica que puede aplicar al esquema completo, basada en que al apartarce de la determinación de la teoría clásica se introduce una gran complicaicón en la descripción de la Naturalez, lo que es una característica altamente indeseable. Esta complicación no puede negarse, pero se ve compensada por una gran simplicación, provista por el principio general de superposición de estados, que ahora vamos a considerar. Pero primero es necesario hacer preciso el importanto concepto de 'estado' en un sistema atómico general.

Y típico de Dirac, aclara lo más posible qué es lo que entiende por estado, clásico y cuántico:

Let us take any atomic system, composed of particles or bodies with specified properties (mass, moment of inertia, etc.) interacting according to specified laws of force. There will be various possible motions of the particles or bodies consistent with the laws of force. Each such motion is called a state of the system. According to classical ideas one could specify a state by giving numerical values to all the coordinates and velocities of the various component parts of the system at some instant of time, the whole motion being then completely determined. Now the argument of pp. 3 and 4 shows that we cannot observe a small system with that amount of detail which classical theory supposes. The limitation in the power of observation puts a limitation on the number of data that can be assigned to a state. Thus a state of an atomic system must be specified by fewer or more indefinite data than a complete set of numerical values for all the coordinates and velocities at some instant of time. In the case when the system is just a single photon, a state would be completely specified by a given translational state in the sense of § 3 together with a given state of polarization in the sense of § 2.

Tomemos un sistema atómico, compuesto de partículas o cuerpos con propiedades especificadas (masa, momento de inercia, etc) interactuando de acuerdo a leyes de fuerza especificadas. Habrá varios posibles movimientos de las partículas o cuerpos que sean consistentes con las leyes de fuerza. Cada uno de esos movimientos se llama un estado del sistema. De acuerdo a las ideas clásicas uno podría especificar un estado dando valores numéricos a todas las coordinadas y velocidades de los varias partes componentes del sistema, dadas en algún instante del tiempo, quedando el movimiento entero completamente determinado. Ahora el argumento de los párrafos 3 y 4 muestra que no podemos observar un sistema pequeño con tal cantidad de detalle como la teoría clásica supone. Entonces el estado de un sistema atómico debe ser especificado con menos o más indefinidos datos en vez de un conjunto completo de valores numéricos para todas las coordinadas y velocidades en un instante de tiempo. En el caso de un fotón simple, un estado podría ser completamente especificado por un estado de traslación en el sentido de la sección 3, junto con un estado dado de polarización en el sentido de la sección 2.

La gran diferencia: en un estado clásico, conociendo las posiciones y velocidades iniciales, y las características de las partes del sistema (como la masa), el movimiento posterior queda completamente determinado. En el estado cuántico, no basta. No hay conjunto de valores numéricos que nos de como resultado un movimiento determinado. Eso es lo que tiene que resolver la mecánica cuántica: cómo describir un estado, y como asociarlo a movimientos posibles. En la mecánica clásica hay una relación prácticamente uno a uno entre valores iniciales y movimiento posible.

A state of a system may be defined as an undisturbed motion that is restricted by as many conditions or data as are theoretically possible without mutual interference or contradiction. In practice the conditions could be imposed by a suitable preparation of the system, consisting perhaps in passing it through various kinds of sorting apparatus, such as slits and polarimeters, the system being left undisturbed after the preparation. The word 'state' may be used to mean either the state at one particular time (after the preparation), or the state throughout the whole of time after the preparation. To distinguish these two meanings, the latter will be called a 'state of motion' when there is liable to be ambiguity.

Un estado de un sistema puede ser definido como un movimiento sin perturbar que está restrigido por tantas condiciones o datos como es teóricamente posible sin tener mutua interferencia o contradicción. En la práctica las condiciones pueden ser impuestas por una adecuada preparación del sistema, consistente quizás en pasar a través de varios arreglos de aparatos, como ranuras y polarímetros, dejando sin perturbar al sistema luego de la preparación. La palabra 'estado' puede ser usado para significar tanto el estado en un particular tiempo (luego de la preparación), o el estado a través de todo el tiempo luego de la preparación. Para distinguir entre estos dos significados, el último será llamado 'estado de movimiento' cuando haya ambigüedad.

Es interesante que Dirac mencione "sin perturbar". Al pasar por la preparación, y salir de ella, el sistema queda en un estado, que es superposición de otros. Otro problema de la mecánica cuántica es ver si ese estado superpuesto es el mismo durante todo el tiempo posterior a la perturbación, o si cambia de alguna manera determinada por las leyes cuánticas.

The general principle of superposition of quantum mechanics applies to the states, with either of the above meanings, of any one dynamical system. It requires us to assume that between these states there exist peculiar relationships such that whenever the system is definitely in one state we can consider it as being partly in each of two or more other states. The original state must be regarded as the result of a kind of superposition of the two or more new states, in a way that cannot be conceived on classical ideas. Any state may be considered as the result of a superposition of two or more other states, and indeed in an infinite number of ways. Conversely any two or more states may be superposed to give a new state. The procedure of expressing a state as the result of superposition of a number of other states is a mathematical procedure that is always permissible, independent of any reference to physical conditions, like the procedure of resolving a wave into Fourier components. Whether it is useful in any particular case, though, depends on the special physical conditions of the problem under consideration.

El principio general de superposición de la mecánica cuántica se aplica a estados, en cualquiera de esos dos significados, de cualquier sistema dinámico. Requiere de nosotros que asumamos que entre esos estados hay una relación peculiar, que es: cuando el sistema esté definitivamente en un estado podremos considerarlo como estando parcialmente en cada uno de dos o más estados, de una forma tal ue no puede ser concebirse con las ideas clásicas. Cualquier estado puede ser considerado como el resultado de la superposición de dos o más estados, incluso en una cantidad infinita de formas. También, al revés, cualquiera dos o más estados pueden ser superpuesto para obtener un nuevo estado. El procedimiento de expresar un estado como el resultado de la superposición de un número de otros estados es un procedimiento matemático que siempre es permisible, independientemente de cualquier referencia a las condiciones físicas, de forma similar al procedimiento de resolver una onda en sus componentes de Fourier. Sin embargo, la utilidad de este procedimiento aplicado en un caso en particular, depende de las especiales condiciones físicas del problema bajo consideración.

Es MUY interesante que Dirac haga la analogía con los componentes de Fourier. Ya en su primer "paper" influyete, comentando el trabajo de Heisenberg, toma de éste los desarrollos de Fourier para expresar un movimiento periódico. Ahora expresa que una superposición de estados sirve de la misma forma, para describir un estado que ya no puede considerarse clásicamente.

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Publicado el 11 de Julio, 2015, 11:50

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Desde el año pasado que no agrego algo a estas notas. Me he dedicado directamente a investigar lagrangianos y hamiltonianos. Me encuentro esta semana leyedo el excelente "Mecánica clásica" de Goldstein (tengo edición de Reverté en español). En la sección 2.6 presenta un lagrangiano, lo expone, sin asociarlo a un sistema físico en particular. Luego lo interpreta como un circuito eléctrico y como un sistema mecánico de resortes. Leo ahí:

Esta descripción de dos sistemas físicos diferentes por lagrangianas de la misma forma significa que todos los resultados y técnicas ideados para investigar uno de los sistemas se pueden asumir inmediatamente y aplicar al otro. En este caso particular, se ha proseguido intensamente el estudio del comportamiento de circuitos eléctricos y se han desarrollado algunas técnicas especiales, las cuales pueden aplicarse directamente a los sistemas mecánicos correspondientes. Se ha progresado mucho en la formulación de problemas eléctricos equivalentes para sistemas mecánicos o acústicos y recíprocamente. Expresiones que normalmente se reservan para circuitos eléctricos (reactancia, susceptancia, etc) constituyen los modos de expresión aceptados en gran parte de la teoría de vibraciones de sistemas mecánicos.

Y ahora viene algo más interesante, cómo ha pasado que estas ideas se aplican más allá de la mecánica clásica, en otros temas donde ha aparecido un principio variacional:

Pero, además, existe un tipo de generalización de la Mecánica que se debe a una forma más sutil de equivalencia. Hemos visto que la Lagrangiana y el principio de Hamilton juntos forman una manera invariante compacta de implicar las ecuaciones del movimiento mecánicas. Esta posibilidad no está reservada solamente a la Mecánica; en casi todos los campos de la Física se pueden utilizar principios variacionales para expresar las "ecuaciones de movimiento", tanto si son ecuaciones de Newton, ecuaciones de Maxwell o la ecuación de Schrödinger. En consecuencia, cuando se utiliza un principio variacional como base de la formulación, todos esos campos presentarán, al menos hasta cierto grado, una analogía estructural. Cuando los resultados experimentales muestran la necesidad de alterar el contenido físico de la teoría de un campo, este grado de analogía ha indicado muchas veces como pueden efectuarse alteraciones semejantes en otros campos. Así, los experimentos realizados a principios de siglo indicaron la necesidad de cuantizar la radiación electromagnética y las partículas elementales. Sin embargo, los métodos de cuantización se desarrollaron primero para la Mecánica de partículas, partiendo en esencia de la formulación de Lagrange de la Mecánica clásica. Describiendo el campo electromagnético mediante una lagrangiana y el correspondiente principio variacional de Hamilton, es posible pasar a los métodos de cuantización de partículas para construir una Electrodinámica cuántica.

Hay ejemplos de esa cuantización en las secciones 12.5 y 12.6 del mismo libro. Es interesante ver como la misma forma, la lagrangiana y las ecuaciones de Euler, permiten describir distintos sistemas físicos. Y es de destacar cómo en la realidad física a cada momento nos encontramos con principios variacionales. Eso parece ser parte básica de cómo "funciona" el cosmos.

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Publicado el 10 de Julio, 2015, 7:18

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 9 de Julio, 2015, 19:34

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Hace unos días comencé a escribir sobre la teoría de la transformación de Dirac. Antes de eso, comenté dos temas de Dirac de su Principles of Quantum Mechancis:

Polarización del Fotón
Interferencia de Fotones

Quisiera completar ese comentario, exponiendo y traduciendo la sección Superposition and indeterminacy de ese libro. Leo:

The reader may possibly feel dissatisfied with the attempt in the two preceding sections to fit in the existence of photons with the classical theory of light....

El lector posiblemente se sienta insatisfecho por el intento de las dos secciones precedentes para conciliar la existencia de fotones con la teoría clásica de la luz...

Esas dos secciones anteriores son las que comenté en los enlaces mencionados, la polarización de fotones y la interferencia de fotones.

... He may argue that a very strange idea has been introduced—the possibility of a photon being partly in each of two states of polarization, or partly in each of two separate beams— but even with the help of this strange idea no satisfying picture of the fundamental single-photon processes has been given. He may say further that this strange idea did not provide any information about experimental results for the experiments discussed, beyond what could have been obtained from an elementary consideration of photons being guided in some vague way by waves. What, then, is the use of the strange idea ?

... Podría argüir que una idea muy extraña ha sido introducida - la posibilidad de un fotón estando parcialmente en uno de dos estados de polarización, o parcialmente en dos haces separados - pero aún con la ayuda de esta idea extraña no se ha dado una imagen satisfactoria de los procesos fundamentales de un fotón aislado. Podría todavía agregar que esta idea extraña no provee ninguna información sobre los resultados experimentales discutidos, más allá de lo que podría ser obtenido por la consideración elemental de los fotones como guiados de alguna vaga manera por ondas. ¿Cuál es, entonces, el uso de esta extraña idea?

Y acá viene una postura muy típica de Dirac: aceptar el modelo matemático, sin necesidad de un modelo clásico del proceso:

In answer to the first criticism it may be remarked that the main object of physical science is not the provision of pictures, but is the formulation of laws governing phenomena and the application of these laws to the discovery of new phenomena. If a picture exists, so much the better; but whether a picture exists or not is a matter of only secondary importance. In the case of atomic phenomena no picture can be expected to exist in the usual sense of the word 'picture', by which is meant a model functioning essentially on classical lines. One may, however, extend the meaning of the word 'picture' to include any way of looking at the fundamental laws which makes their self-consistency obvious. With this extension, one may
gradually acquire a picture of atomic phenomena by becoming familiar with the laws of the quantum theory.

En respuesta a la primera crítica puede notarse que el principal objeto de la ciencia física no es la provisión de imágenes, sino la formulación de leyes que gobiernen los fenómenos y la aplicación de estas leyes al descubrimiento de nuevos fenómenos. Si una imagen existe, mejor, pero que una imagen exista o no es asunto de segunda importancia. En el caso de los fenómenos atómicos no hay imagen que pueda esperarse que existe en el sentido usual de la palabra 'imagen', entendida como un modelo funcionando esencialmente de acuerdo a las líneas clásicas. Sin embargo uno puede extender el significado de la palabra 'imagen' para incluir cualquier modo de ver a las leyes fundamentales que muestre como obvia a su auto-consistencia. Con esta extensión, uno puede gradualmente adquirir una imagen de los fenómenos atómicos al habituarse a las leyes de la teoría cuántica.

Es una postura fuerte. Yo cambiaría 'imagen' por 'modelo'. Para Dirac, le basta la auto-consistencia de lo que va a proponer, y la adecuación a los experimentos. En otros artículos, llegó a preferir la lógica de la teoría, a su adecuación a los resultados experimentales, por ejemplo, cuando explicó el efecto Compton: sus resultados indicaban un valor que difería en un 25% de los experimentos conocidos hasta entonces. En una actitud típica de Dirac, afirmó que los valores deberían estar equivocados, y la teoría correcta. Tenía razón, Compton al tiempo le escribió confirmando los nuevos valores.

With regard to the second criticism, it may be remarked that for many simple experiments with light, an elementary theory of waves and photons connected in a vague statistical way would be adequate to account for the results. In the case of such experiments quantum mechanics has no further information to give. In the great majority of experiments, however, the conditions are too complex for an elementary theory of this kind to be applicable and some more elaborate scheme, such as is provided by quantum mechanics, is then needed. The method of description that quantum mechanics gives in the more complex cases is applicable also to the simple cases and although it is then not really necessary for accounting for he experimental results, its study in these simple cases is perhaps a suitable introduction to its study in the general case.

Con respecto a la segunda crítica, puede notarse que para muchos experimentos simples con la luz, una teoría elemental de las ondas y fotones conectados de una manera estadística vaga podría ser adecuada para explicar los resultodas. En el caso de esos experimentos, la mecánica cuántica no tiene más información para ofrecer. Sin embargo, en la gran mayoría d los experimentos las condiciones son tan complejas para que una teoría sencilla de ese tipo pueda ser aplicable, y se necesita un esquema más elaborado, como el que es provisto por la mecánica cuántica. El método de descripción que la mecánica cuántica provee para esos casos complicado es aplicable también a los casos simples y aunque no es realmente necesaria para dar cuenta de esos resultados experimentales, su estudio en estos casos simples es posiblemente una introducción adecuada al estudio del caso general.

Es interesante notar que Dirac busca explicar más casos que los considerados simples, por ejemplos, los casos relativísticos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 6 de Julio, 2015, 7:50

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La historia de la física cuántica, y la mecánica cuántica en particular, ya saben, es fascinante. Y sus conceptos también. Algo que nació a fines de la tercera década del siglo pasado, es la teoría de la transformación de Dirac, de la que el autor se sentía particularmente orgullo: la podía armar a partir de principios generales, como a Dirac le gustaba. Y estoy tratando otras formulaciones en:

Entendiendo a Heisenberg
La Ecuación de Schrödinger
Física cuántica (a la Feynman)

y al propio Dirac en:

Polarización del Fotón
Interferencia de Fotones

La formulación matemática, más orientada a las funciones de onda, en:

Matemáticas y Física Cuántica

Hoy quisiera comenzar una serie de posts para divulgar las ideas de Dirac, basadas en espacios vectoriales, directos y duales, así como operadores.

Al querer entender la física cuántica, los físicos plantean modelos conceptuales con formulaciones matemáticas. A principios del siglo pasado, hubo que abandonar modelos mecánicos, al verse que los fenómenos cuánticos no admitían explicación de ese tipo.

Antes de eso, se suponía que los principios de la mecánica newtoniana proveerían una base para la descripción de todos los fenómenos físicos. Pero se vió que no se aplicaban en todos los ámbitos. Por ejemplo, en el caso de altas velocidades, con la aparición de fenómenos relativistas. Había que encontrar nuevas explicaciones, no basadas completamente en la física de Newton y sus extensiones. Esto llevó a la aparición no sólo de nuevos modelos conceptuales, sino también a nuevas formulaciones matemáticas.

La mecánica cuántica es un ejemplo paradigmático de estos cambios. Requirió que los estados de un estado dinámico y las variables dinámicas estuvieran interconectados en modos extraños que no se podían entender desde un punto de vista clásico. Los estados y variables dinámicos tuvieron que representarse de formas distintas a la clásica. Hubo que construir un nuevo modelo matemático y mapear sus conceptos a conceptos físicos. Lo que hizo Dirac con su teoría de la transformación es construir todo ese modelo matemático a partir de axiomas y reglas, y ver su consistencia con el experimento. El estaba orgulloso de ese tipo de deducción.

Uno de sus puntos de partida fue preguntarse: ¿cómo explicar el principio de superposición de estados de forma matemática? Recordemos que un estado cuántico puede describirse como una superposición de estados, ver:

Matemáticas y Física Cuántica (3) Superposición de Estados
Física Cuántica (Parte 10) Primer Experimento Real

Veremos en el próximo post la solución de Dirac, usar vectores en un espacio vectorial, para representar estados cuánticos. El otro problema que encaró es cómo conseguir algún valor para las variables dinámicas. Su solución: ponerlas en correspondencia con operadores lineales que operan sobre los vectores del espacio.

Mis principales fuentes para esta serie son:

Principles of Quantum Mechanics, del propio Dirac
Quantum Mechanics: A Modern Development, de Leslie E. Ballantine

Este último libro es el que me anima a encarar esta tarea, porque desarrollo las ideas de Dirac, con un enfoque moderno, y hay que decirlo, también más claro y didáctico. Dirac no siempre es fácil de seguir. No es que Dirac sea obscuro, él trataba de ser lo más preciso posible, pero a veces hay que tener el genio de Dirac para entender por dónde quiere ir al tomar el camino de un desarrollo. Ballantine se toma más tiempo y exposición escalonada para explicar los principales resultados de la teoría de la transformación.

Una de las características de esta formulación de Dirac, es su extensión a la relatividad especial, lo que dio lugar a la famosa ecuación de Dirac, que espero aparezca en esta serie de posts. En su forma no relativista, se puede mostrar su equivalencia con las formulaciones de Schrödinger y Heisenberg.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 3 de Julio, 2015, 6:50

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LOG#100. Crystalline relativity. | The Spectrum of Riemannium
http://thespectrumofriemannium.wordpress.com/2013/05/06/log100-crystalline-relativity/

LOG#103. Numbers: the list. | The Spectrum of Riemannium
http://thespectrumofriemannium.wordpress.com/2013/05/09/log103-numbers-a-list/

LOG#104. Primorial objects. | The Spectrum of Riemannium
http://thespectrumofriemannium.wordpress.com/2013/05/18/log104-primorial-objects/

Two math posers « Why Evolution Is True
https://whyevolutionistrue.wordpress.com/2013/05/21/two-math-posers/?utm_source=feedly

As chaos celebrates its 50th birthday, biophysicist develops a new method to visualize it
http://phys.org/news/2013-05-chaos-celebrates-50th-birthday-biophysicist.html

Theorists weigh in on where to hunt dark matter
http://phys.org/news/2013-05-theorists-dark.html

Gauge theories - Scholarpedia
http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_theories

Gauge Theory -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/GaugeTheory.html

[math-ph/9902027] Preparation for Gauge Theory
http://arxiv.org/abs/math-ph/9902027

What is a gauge? | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2008/09/27/what-is-a-gauge/

An Unheralded Breakthrough: The Rosetta Stone of Mathematics | Guest Blog, Scientific American Blog Network
http://blogs.scientificamerican.com/guest-blog/2013/05/21/an-unheralded-breakthrough-the-rosetta-stone-of-mathematics/

How I Rediscovered the Oldest Zero in History : The Crux
http://blogs.discovermagazine.com/crux/?p=3045

¿Se puede construir un mapa perfecto de la Tierra? - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/se-puede-construir-un-mapa-perfecto-de-la-tierra/

EDF0 by Raven Kwok | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/edf0-by-raven-kwok

Olimpiada Matemática de Asturias 2013 - Problema 5 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/olimpiada-matematica-de-asturias-2013-problema-5

The Knight-Darwin Law
http://www.xamuel.com/knight-darwin-law/

All Squared, Number 6: Favourite maths books (part 2) | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/all-squared-number-6-favourite-maths-books-part-2

Semantics of Proofs in Paris | The n-Category Café
http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/05/semantics_of_proofs_in_paris.html?utm_source=feedly

On equivalent forms of the weak Goldbach conjecture | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/on-equivalent-forms-of-the-weak-goldbach-conjecture/

Sumando potencias. Acertijo matemático. | Acertijos y mas cosas
http://acertijosymascosas.com/sumando-potencias-acertijo-matematico/

2² number theory tricks | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/2%C2%B2-number-theory-tricks/

13 Math Jokes That Every Mathematician Finds Absolutely Hilarious - Business Insider
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Publicado el 1 de Julio, 2015, 7:27

Nuevamente pasó un mes, y es tiempo de revisar mis resoluciones de junio, y escribir las de julio:

- Continuar mi serie sobre teoría de grupos y partículas elementales [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre Electrodinámica Cuántica [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre Entendiendo a Heisenberg [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre la historia de las partículas elementales [pendiente]
- Continuar mi serie hacia la mecánica cuántica [pendiente]
- Continuar mi serie sobre invariantes algebraicos por Hilbert [completo] ver post
- Iniciar serie sobre números algebraicos, basado en Hilbert [completo] ver post

Lo cual, fue bastante! Además, escribí:

Los regalos
Estudiando la historia de la mecánica cuántica, por Kent Peacock
Historia de la mecánica cuántica, por Kent Peacock

Para este mes de julio que comienza, mis resoluciones son:

- Continuar mi serie sobre la historia de las partículas elementales
- Continuar mi serie hacia la mecánica cuántica
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemann
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Estudiar blues en guitarra

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