Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 28 de Marzo, 2017, 9:43

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L OME en Requena - Problema 5 - Gaussianos | Gaussianos
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Eugene Wigner - Wikipedia, the free encyclopedia
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Seemingly impossible functional programs | Mathematics and Computation
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La constante "entre primos gemelos" - Gaussianos | Gaussianos
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L OME en Requena - Problema 3 - Gaussianos | Gaussianos
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Cómo encontrar el número Pi en el triángulo de Pascal - Gaussianos | Gaussianos
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Algunas recomendaciones matemáticas para el Día Internacional del Libro 2014
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¿Probada la hipótesis de Riemann? - Gaussianos | Gaussianos
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Publicado el 26 de Marzo, 2017, 15:02

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Calcular las soluciones enteras - Gaussianos | Gaussianos
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Word numbers, Part 4: Sort the words, sum the numbers
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Word numbers, Part 3: Binary search
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La intuición matemática de papá Keeler y la fórmula de Faulhaber
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Publicado el 25 de Marzo, 2017, 11:44

Es conocido que los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación:

son los de una circunferencia de radio 1:

La ecuación es un polinomio igualado a cero. Y buscamos en las soluciones de arriba, los pares (x, y) que evalúan ese polinomio a cero, pero considerando valores reales. También podríamos tomar valores racionales o valores complejos. En el primer caso caeríamos en el estudio de los triples pitagóricos (ver ... ). En el segundo caso, el gráfico a obtener sería más complejo.

Pero volvamos a los polinomios sobre los reales. También podríamos considerar:

representando una circunferencia ya no centrada en (0, 0), sino en (1, 0) y de radio 2.

Siendo genéricos, podríamos poner:

con coeficientes positivos, obteniendo diversas elipses. También podríamos hacer cambios de coordenadas, y si esos cambios son lineales, obtenemos otro polinomio con el mismo grado. Pero la curva de los puntos nulos se vería rotada. Podemos aplicar además de rotaciones, reflexiones o traslaciones. La cuestión es que estudiando polinomios cuadráticos en dos variables, y buscando los puntos donde se anulan en números reales, obtenemos conocidas curvas. Como esas curvas surgen de un polinomio, se denominan curvas algebraicas.

También podríamos tomar polinomios de otros grados, y ya vamos a llegar al caso, así como tener más variables. La cuestión es que el estudio de estos conjuntos de puntos, los ceros de polinomios, es sumamente interesante y lleva a resultados fructíferos en matemáticas. Es notable cómo un tema que al parecer es sencillo, provoca un árbol de resultados sorprendente. Este es el tema que quiero explorar en esta serie de posts.

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Publicado el 24 de Marzo, 2017, 12:42

Las matemáticas son más que números: en los últimos siglos han ido apareciendo estructuras y nuevas ramas, además de la transformación de la geometría en nuevos espacios para explorar, como la topología. Pero los números siempre han fascinado a los seres humanos por milenios. Ya los griegos estudiaron propiedades de los números naturales. Los pitagóricos sirven como muestra de esa actividad. Hasta un teorema geométrico fundamental como el de Pitágoras ha tenido derivaciones numéricas en la búsqueda de tríadas de lados enteros o racionales. Ya los babilonios había encontrado algunas de esas tríadas, como 3, 4, 5 y 5, 12, 13. Son números naturales que cumplen:

Ya en una tableta de arcilla, datada alrededor de 1500 años antes de Cristo, se incluía la tríada 4961, 6480, 8161 lo que demuestra el alcance que habían logrado los babilonios en el tema.

Los griegos dieron mayor prioridad a la geometría, pero no descuidaron los números. Ya en la era cristiana, alrededor del año 250, Diofanto de Alejandría escribió sobre ecuaciones polinómicas buscando soluciones racionales (eran las magnitudes que los griegos aceptaban). Las ecuaciones de las que se busca soluciones enteras se llaman hoy ecuaciones diofánticas.

El álgebra comenzó a desarrollarse en otros lugares. Los matemáticos hindúes comenzaron a manejar con confianza números negativos y el cero (los griegos nunca tuvieron un concepto de número negativo). Los musulmanes conquistaron Alejandría en el siglo VII, y rápidamente se expandieron por Africa y España. Ellos llevaron gran parte del conocimiento griego e hindú a otras tierras. El término 'álgebra' deriva del título árabe de un libro: 'al jabr w'al muqabalah', que literalmente significa 'restauración y equivalencia', escrito por Al-Khowarizmi en 825 (de su nombre deriva nuestra palabra 'algoritmo'). La coexistencia pacífica de musulmanes y cristianos llevó a la disponibilidad de muchos clásicos griegos y arábigos en traducciones latinas, en el siglo XIII.

Tenemos que esperar al siglo XVI para que Cardano comience a usar soluciones negativas e incluso complejas, en su obra Ars Magna. Igualmente, la adopción de los números complejos tuvo que esperar mucho tiempo: aún en el siglo XIX matemáticos eminentes no los veían con confianza. La aparición del uso de los complejos permitió entender que las ecuaciones polinómicas de una variable tienen siempre n soluciones, siendo n su grado. Es curioso que hubiera que incorporar esos números como vía para realmente iluminar el tema.

Mi principal fuente, es el primer capítulo del excelente "Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem" de Ian Steward y David Tall.

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Publicado el 23 de Marzo, 2017, 11:08

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El cuaderno escocés - Gaussianos | Gaussianos
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Online Statistics Education: A Free Resource for Introductory Statistics
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Pi Day: pi transformed into incredible art – in pictures
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Producto de dos vértices consecutivos - Gaussianos | Gaussianos
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La paradoja de la copa de Martini... integral | Naukas
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Los números primos (y algo más) van a hacer que ganemos el mundial
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(Vídeo) Singing Pi-Gram - Gaussianos | Gaussianos
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p-group - Wikipedia, the free encyclopedia
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Número de soluciones reales - Gaussianos | Gaussianos
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Coloreando fichas numeradas - Gaussianos | Gaussianos
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Parejas de enteros especiales - Gaussianos | Gaussianos
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[math/0612840] Riemann Rearrangement Theorem for some types of convergence
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BBC News - Mathematics: Why the brain sees maths as beauty
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Cubitos blancos y negros - Gaussianos | Gaussianos
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The Beautiful Flow of Pi - Blog About Infographics and Data Visualization
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Para qué sirve en teoría de cuerdas la demostración de Wiles del último teorema de Fermat
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Weinberg angle - Wikipedia, the free encyclopedia
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Group Theory and Physics
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The Universe Is Mathematics, Physicist Says | Space.com
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Pat'sBlog: On This Day in Math - January 30
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Terence Tao: un auténtico genio - Gaussianos | Gaussianos
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The Mathematics Genealogy Project - Wolfgang Pauli
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Polymath8b, V: Stretching the sieve support further | What's new
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Bounded gaps between primes - Polymath1Wiki
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An Elementary Theory of the Category of Sets | The n-Category Café
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All Squared, Number 11 – Maths Jam | The Aperiodical
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El Topo Lógico: Axiomas de Peano y consecuencias (3)
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Carnaval de Matemáticas. Edición 4.1231056256 | Cuentos Cuánticos
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Pierre de Fermat: el jurista que nos mantuvo en vilo - Gaussianos | Gaussianos
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Witch of Agnesi -- from Wolfram MathWorld
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Extreme Outfit Fridays: Get On The Damn Unicorn!
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Mathematics Motherhood: An Interview with Constance Leidy
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How I get all my students to be good at math - Quartz
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Spin structure - Wikipedia, the free encyclopedia
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Los conceptos de campo, partícula, partícula virtual y vacío
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Commuting Limits and Colimits over Groups | The n-Category Café
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Christmas Trilogy 2013 Part I: The Other Isaac [1]
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Probably Approximately Correct — a Formal Theory of Learning
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By Napier"s bones! A new exhibition celebrating the inventor of logarithms
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An editable database tracking freely accessible mathematics literature.
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Airy biography
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Electromagnetic Duality for Children
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NSA Surveillance (an extra bit) - Numberphile - YouTube
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How did the NSA hack our emails? - YouTube
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Bernoulli_Johann biography
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Good Math: A Geek's Guide to the Beauty of Numbers, Logic, and Computation (Prag...
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Ten is a good number: 3x+1, the update
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Ten is a good number: About 3x+1, hash table scavenging
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Ten is a good number: About 3x+1
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Alan Turing, Enigma Code-Breaker and Computer Pioneer, Wins Royal Pardon
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Ramanujan biography
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¿Existen polinomios que den valores primos para todo número natural? - Gaussianos
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understanding complex numbers
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$3 Million Prizes Will Go to Mathematicians, Too - NYTimes.com
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Milner y Zuckerberg, o el premio de matemáticas más caro del mundo - Gaussianos
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Two Elusive Prime Number Problems Solved | DiscoverMagazine.com
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A little paradox | Gowers's Weblog
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Menger zoom by functor.co | The Aperiodical
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Mertens" theorems | What's new
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Sylow biography
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Probabilidad básica en juegos: dos dados | Dani bISHOP Ramírez
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Minireference blog » Linear algebra tutorial in four pages
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The Brilliant Hack That Brought Foursquare Back From the Dead
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Wells Fargo, ICAP Lead $18 Million Series A for Blockchain Startup Axoni
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A Serial Entrepreneur's Advice for Breaking Into Startup Life
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Wyre Raises $5.8 Million for Cross-Border Blockchain Payments - CoinDesk
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Bitcoin-Powered Marketplace OpenBazaar Raises $3 Million - CoinDesk
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Waymo: Google’s Self-Driving Car Heads to Market | WIRED
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Blockchain Startup Set To Disrupt Prime Brokerage Sector, Launches Equity Crowdfunding campaign
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BCG - Thinking Outside the Blocks
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The idea maze for AI startups | cdixon blog
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Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 12 de Marzo, 2017, 10:39

Hoy encuentro este pasaje, en las Confesiones de Rousseau. Luego de comentar cómo comenzó a estudiar filosofía, expone su experiencia con las matemáticas cuando estudiaba:

Pasé entonces [a estudiar] a la geometría elemental. Pero no avancé mucho, determinado por mi mala memoria a repetir cientos de veces sobre los mismos temas, e incesantemente recomenzando la misma ruta. No pude disfrutar de Euclides, que buscaba el encadenamiento de demostraciones en vez de la conexión. Yo prefería la geometría del padre Lami, quien desde esa época se convirtió en uno de mis autores preferidos, cuyas obras aún hoy leo de nuevo con placer. Le siguió el álgebra, y de nuevo tomé al padre Lami como guía: cuando estuve un poco más adelantado, tomé la ciencia de la Calculation del padre Reynaud, y luego su Analysis Demostrated, que sólo leí por encima.  Nunca llegué tan lejos como para comprender la aplicación del álgebra en geometría. No me aficioné a ese método de operación... me parecía que resolver un problema de geometría por una ecuación era como tocar una melodía girando una manivela. La primera vez que vi por cálculo que el cuadrado de una figura binomial estaba compuesta de cada una de sus partes, y del doble producto de una por la otra, aunque mi multiplicación era correcta, no pude creerlo hasta que hubiera hecho la figura. Pero tenía un gran gusto por el álgebra, considerada como una cantidad abstracta; pero aplicada a la dimensión, yo debo ver la operación con las líneas, de otra forma no comprendo nada...

Curioso el problema que mostraba Rousseau para aplicar el álgebra a la geometría. Cuando se aplica el álgebra, hay algo de sensación de "estamos perdiendo algo esencialmente geométrico en este método". Pero hay que rendirse a la historia: esa aplicación se ha visto tremendamente fructífera, ver por ejemplo Estudiando geometría algebraica.

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Publicado el 11 de Marzo, 2017, 9:24

Después de mucho tiempo, me he decidido a escribir sobre algunas lecturas, estudiando geometría algebraica. Como tantos campos de las matemáticas, éste es un tema muy interesante. Hundiendo sus raíces en la historia de las matemáticas desde hace siglos, es notable cómo esta rama de las matemáticas fue evolucionando en el último siglo para ganar en generalidad y profundidad, con hermosos e inesperados resultados.

Primero, como base:

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_geometry

La geometría algebraica comienza estudiando los conjuntos de puntos que son los seros de un sistema de polinomios. Al principio, los polinomios tienen dos variables, x, y, que al darles valor determinan un punto en el plano. El iniciador de esta asociación entre álgebra y geometría fue Descartes. Desde entonces, la geometría ha quedado asociada al álgebra, relación que ha sido ignorada por los antiguos griegos (lo que no impidió en ellos el gran desarrollo de la geometría, incluso de curvas no algebraicas por parte de Arquímedes).

Esa asociación ha traído alguna fricción: mientras que la geometría pura prescindía de un sistema de coordenadas, con la llegada de la relación con el álgebra el tema coordenadas y cambio de sistema fue cobrando importancia. No es algo fundamental en geometría algebraica, pero en ocasiones el cambio de coordenadas simplifica algún problema (como en la forma Weierstrass de las curvas elípticas). Llamo la atención en el cambio de coordenadas, porque hay una tendencia en física a considerar modelos geométricos donde los conceptos son independientes de las coordenadas. Desde las relatividades de Einstein hasta ideas más modernas, como las de Penrose, tratan de descubrir lo importante, lo independiente del sistema de base.

Pero volvamos al tema. En geometría algebraica, al considerar polinomios sobre el campo de los reales, con dos variables, encontramos curvas cónicas como el círculo, la elipse, la parábola, la hipérbola; podemos tener polinomios esn dos variables con grado tres, dando las curvas que se llaman cúbicas (entre ellas encontramos las famosas e importantes curvas elípticas). Y así podemos seguir con más grados.

Lo interesante es que este uso del campo de los reales, se ha extendido a otros campos, como el complejo. Y se han encontrado interesantísimas cuestiones cuando, trabajando sobre el cuerpo de los racionales, que han llevado a relacionar geometría algebraica con teoría de números.

Pero hay que destacar cómo cambió todo en el siglo XX: se extendió a un marco algebraico abstracto. Las variedades algebraicas (los puntos cero de los sistema de polinomios) se comenzaron a estudiar en una forma más general, independiente de cómo esos puntos se representan en sistemas de coordenadas. Los polinomios se trataron como anillos conmutativos generales. Y gran parte de esta revolución fue fruto del trabajo de Grothendieck, y su teoría de "schemes". Es totalmente notable lo que pasó gracias a esas ideas: se crearon nuevos conceptos con los cuales fue posible demostrar conjeturas que hasta entonces se resistían a ser probadas. Se puede decir, sin exagerar, que el trabaj de Grothendieck abrió el camino a la demostración del teorema de Fermat, de una forma inesperada, Pero eso sería caer en un detalle, apenas, de toda la potencia que han traído sus ideas.

Espero poder compartir por acá alguna bibliografía sobre el tema.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 10 de Marzo, 2017, 14:03

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Publicado el 6 de Marzo, 2017, 17:52

De nuevo, tiempo de escribir mis resoluciones mensuales, antes, repaso de las de febrero:

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Además escribí sobre:

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Café Filosófico: ¿Cómo Amar y Ser Amado?
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Mis nuevas resoluciones:

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 5 de Marzo, 2017, 8:25

En el excelente libro Men of Mathematics, Eric Temple Bell menciona varias veces un punto, en sus biografías de matemáticos famosos. Escribe que esos matemáticos aprendieron matemáticas, no tanto de los libros de texto, sino leyendo directamente las fuentes, las obras de otros grandes matemáticos. Ver como ejemplo el estudio que hace Galois de Lagrange.

Uno de los "clásicos" a leer es la memoria de Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse, donde aparece su famosa hipótesis. Mucho del trabajo de grandes matemáticos posteriores a Riemann (como Hadamard, von Mangoldt, de la Vallée Poussin, Landau, Hardy, Littlewood, Siegel, Polya, Jensen, Lindelof, Bohr, Selberg, Artin, Hecke, para nombrar algunos) se ha alimentado de ese trabajo de Riemann, contenido en ocho páginas. Cuenta la leyenda, que la persona que compró la copia de los "collected works" de Riemann que tenía Adolph Hurwitz en su biblioteca, luego de la muerte de éste, encontró que el libro se habría automáticamente en la página donde Riemann enunciaba su hipótesis.

El lema "lea los clásicos" no es usual en estos días, y pocos estudiantes leen la memoria de Riemann directamente (otro ejemplo ignorado es la memoria de Galois, por ejemplo). Muchas veces, los matemáticos de otras épocas son considerados pocos rigurosos e ingenuos, que escriben en oscuros términos que hoy estan simplificados por la moderna terminología. Riemann, en particular, es evitado por su reputación de falta de rigor. Por ejemplo, su principio de Dirichlet es recordado más por el hecho que Weierstrass señaló que su prueba era inadecuada, en vez de recordar que al final era correcta y revolucionó el estudio de funciones abelianas. Lo que sí encontramos en Riemann es su estilo dificultoso, y muchas veces sus avances fueron pulidos e incorporados a otros trabajos más rigurosos y de accesible lectura.

Estas objeciones son válidas. Cuando Riemann afirma algo, hay que comenzar a distinguir entre que dar una prueba concreta, o simplemente intenta probar pero no llega a hacerlo, o es algo que no se probó rigurosamente años despues. De nuevo, el estilo de Riemann es extremadamente dificultoso. La memoria que mencioné al principio es un resumen de varias investigaciones, donde el propio Riemann no encontró tiempo de exponerlas en más detalle. De hecho, es el único de sus trabajos publicados referidos a la teoría de números. Siegel encontro más material valioso sobre este tema en los papeles privados de Riemann.

Ninguna fuente secundaria puede reemplazar leer el trabajo original de Riemann. Fue un matemático adelantado a su tiempo, tanto que recién luego de treinta años se comenzó a entender el alcance de sus trabajos, por ejemplo sobre los fundamentos de la geometría, que se aprovechó grandemente en la formulación de la relatividad general de Einstein en 1915.

Todo esto, me parece un tema muy interesante, que encontré leyendo a Edwards, su excelente Riemann's Zeta function. Lo de arriba es apenas poner en mis palabras lo que Edwards escribió.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 4 de Marzo, 2017, 14:34

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