Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 15 de Junio, 2016, 6:15

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Sean dos números naturales cualquiera, a y b. Entonces existen números únicos naturales q, r tales que:

Cumpliendo:

Examinemos el conjunto de pares q, r que cumplen la primera condición. Si a < b, entonces se cumple:

Y q=0, r=a. Si a >= b entonces se cumple:

Y q=1, r=a-b. Tenemos entonces que el conjunto de los pares q, r no es vacío. Tomemos los valores de los r, que son naturales. Por propiedad de los conjuntos de números naturales, hay un valor que es el mínimo. Sea ese valor r >= b, con a=qb+4. Pero entonces:

Y q+1, r-b también existe, y r-b < r que era el mínimo, contrariamente a lo supuesto.

Esto demuestra que, al existir el mínimo r natural tal que a = qb + r, éste es 0 <= r < b, como se quería demostrar.

Es una interesante propiedad, conocida como el algoritmo de división. Vean que no usamos primos: es algo de los números naturales. Fácilmente se puede extender a los enteros, obteniendo un resto r que sea menor o igual en valor absoluto al valor absoluto de b.

Veremos en próximo post, cómo este algoritmo permite establecer el máximo común divisor de a y b, y de nuevo llegaremos a probar que si el número p primo divide al producto de dos números cualesquiera ab, entonces divide al número a o divide al número b. En anterior post vimos la demostración de esta importante propiedad de los números primos. En otras estructuras, es prácticamente LA DEFINICION de algo primo, pero por ahora estamos explorando los números naturales y enteros.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 14 de Junio, 2016, 5:40

Uno de los libros de matemáticas que estuve leyendo en este tiempo, es el "Abstract Algebra, Structure and Application" de David R. Finston y Patrick J. Morandi, editado por Springer. Es un libro que se adentra en algunos conceptos de álgebra abstracta, pero siempre teniendo a la vista alguna aplicación concreta. Esto hace que sea interesante de leer, y una buena introducción a temas más especializados o más matemáticos/abstractos.

Quiero describir brevemente su contenido.

Capítulo 1: Identification Numbers and Modular Arithmetic

Donde describen algunos números como los códigos ZIP de EE.UU., el Universal Product Code, los International Standard Book Numbers. Esto sirve para introducir la aritmética modular, y la detección de errores en esos números.

Capítulo 2: Error Correcting Codes

Expande el tema del anterior capítulo, introduciendo la eliminación gaussiana en la resolución de matrices y sistemas de ecuaciones, y los primeros espacios vectoriales. Aparecen los códigos de Hamming para corregir errores. Para encontrar más fácilmente el error en un código, discuten el co-conjunto (coset) de decodificación, y síndromes. Es interesante para mí encontrar esta aplicación, que no conocía. Describen el código Golay extendido usado por la NASA en los ochenta y noventa del siglo pasado, para transmitir imágenes de Júpiter y Saturno tomadas por el Voyager.

Capítulo 3: Rings and Fields

Aparece el álgebra más abstracta, partiendo de los conceptos de números como enteros, reales, complejos. Definen anillo y sus primeras propiedades. Asumen en general que en un anillo R la unidad y el cero son distintos. Muestran algunos ejemplos, como el anillo de matrices cuadradas, y otros sobre funciones continuas, los polinomios R[x], y las operaciones de unión e intersección de conjuntos. Aparecen los anillos Zn sobre los enteros. Es natural entonces pasar a los campos, los racionales, el campo de fracciones de un anillo, los reales y complejos. Así como los primeros ejemplos de extensión de un campo, como cuando agregan raíz cuadrada de 2 al campo de los racionales.

Capítulo 4: Linear Algebra and Linear Codes

Se tratan los espacios vectoriales, con propiedades y primeros ejemplos; los subespacios vectoriales; independencia lineal; generación (spanning) y bases. Mencionan pero no prueban la existencia de una base. Definen transformaciones lineales, su relación con matrices en caso de espacios vectoriales con dimensión finita, la igualdad de las trazas de matrices nxn similares. Y como aplicación ponen los códigos lineales, subespacios de Z2 a la n ("vectores" compuestos de n elementos que valen cero o uno).

Capítulo 5: Quotient Rings and Field Extensions

Interesante capítulo, donde aparecen las operaciones de los polinomios R[x], su algoritmo de división, el concepto de ideales de un anillo, ideal principal, F[x] como ideal principal si F es un campo, el cociente R/I y la demostración de que es un anillo si I es un ideal, elementos irreducibles en un anillo, polinomios irreducibles en el anillo F[x] donde F es campo. Visitados estos preliminares, aparece el gran tema de extensiones de campos. Una notable proposición F[x]/I es una extensión del campo F, si I=(f) es el ideal generado por un polinomio irreducible f en F. También se cumple que si F[X]/(f) es campo, entonces f es irreducible. Retomando espacios vectoriales, se ve a la extensión K de F, como un F-espacio vectorial de K, y se define [K : F] su dimensión, un tema que cobrará relevancia en capítulos posteriores. En el caso f polinomio irreducible [F[x]/(f)] = grado de f. Se demuestra la fórmula de dimensión: si K es extensión de F, y L es extensión del campo K, se tiene [L : K][K : F] = [L : F], aun en los casos infinitos. Se conecta f irreducible con sus raíces alfa, mostrando que I = { g miembro de F[x] : g(alfa) = 0 } es un ideal. En resumen: con las raíces de un polinomio irreducible en F[x] se puede ir extendiendo el campo F. Se definen los números algebraicos.

Capítulo  6: Ruler and Compass Constructions

Un capítulo muy interesante porque aborda un tema que muchas veces no es tratado, o no es tratado en detalle: la construcción de números/segmentos usando regla y compás. Usando los resultados y conceptos de los capítulos anteriores muestra que estas construcciones van formando una cadena de campos partiendo de Q (los racionales), de tal manera que cada campo tiene la misma dimensión o el doble que la anterior. Con lo que solamente se construyen campos K tales que [K : Q] sea una potencia de dos. Pone contraejemplos de no construibles, como la trisección de un ángulo o la duplicación de un cubo, así como el resultado de Gauss de armar un polígono regular de 17 lados, cumpliendo 17-1 ser una potencia de dos (creo que Gauss no llegó a demostrar el resultado general). Es muy instructivo ver cómo se va desarrollando el argumento, y debe ser uno de los desarrollos abstractos dirigidos a resolver un problema concreto más interesante del libro.

Capítulo 7: Cyclic Codes

Vuelta a los códigos, construyendo sobre anillos cocientes de Z2[x], asegurando cierta corrección de errores. No recordaba esta aplicación de anillos cocientes sobre un anillo de polinomios. Aparecen los campos finitos también, así como los polinomios mínimos, sus raíces, y los códigos de Reed-Solomon.

Capítulo 8: Groups and Cryptography

Por primera vez, tratan el gran tema de grupos, y para estar acordes con su intención inicial, lo muestran relacionado con una de sus aplicaciones en criptografía. Definen subgrupos, enuncian y demuestran el teorema de Lagrange, y hasta el teorema de Euler-Fermat. Para criptografía, describen RSA (Rivest, Shamir, Adleman), y el uso de números primos en este sistema. Finalmente, mencionan la firma segura usando RSA.

Capítulo 9: The Structure of Groups

Mientras que en el anterior capítulo se usan grupos abelianos (conmutativos) acá se presentan las propiedades de grupos más generales, subgrupos, subgrupos normales, homomorfismos, núcleos, productos directos, grupos cocientes. Es una buena introducción a lo que es la matemática abstracta de una estructura.

Capítulo 10: Symmetry

Finalmente, vuelven sobre otra conexión entre álgebra y geometría (luego de la construcción con regla y compás). Discuten congruencias, isometrías, traslaciones, rotaciones, la preservación de las distancias y de los ángulos, el grupo lineal Gln(R), el grupo ortonormal On(R), su subgrupo SOn(R), reflexiones, composición de isometrías, isometrías en el plano, productos semidirectos, grupos de simetría, con ejemplos. Y culminan con la presentación y enumeración de grupos, por ejemplo, en frisos (7 grupos), y teselados del plano (17 grupos), cinco grupos de "lattice" (enrejado).

Realmente consiguen recorrer muchos temas interesantes, y dejan la puerta abierta para otros. Por ejemplo, sería interesante sumergirse en la teoría Galois, luego de ver las extensiones de campos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 10 de Junio, 2016, 5:44

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En los anteriores posts estuvimos explorando la expresión matemática del espectro continuo. Vimos de desarrollar la función de estado de manera análoga al caso discreto. Cuando en este último usábamos una sumatoria de coeficientes y funciones propias, ahora tenemos:

Y los coeficientes af se obtienen "confrontando" la función de estado original con las funciones propias:

Hoy, sustituyamos el coeficiente af en la primera ecuación, por su expresión en la segunda:

Vean que hubo que renombrar q a q prima, porque es distinta de la q "de afuera" que tiene la ecuación. Esto es igual a:

O sea, integramos Psi por el corchete, recorriendo q prima, y obtenemos Psi en q. Esto solo es posible si:

Donde de nuevo aparece la función de Dirac. Es una relación análoga a la encontrada en el post anterior:

En la segunda ecuación de arriba, podemos considerar a los coeficientes af, como funciones de f:

Esto pone en evidencia que es una función que se puede desarrolla en coeficientes:

Multiplicados por las funciones propias conjugadas:

Mientras que la primera ecuación:

Muestra que la función de estado puede desarrollarse con coeficientes:

Multiplicados por las funciones propias:

Hay un "entremezclamiento" entre las funciones de los coeficientes y las funciones de estado. CADA UNA de ellas determina completamente el estado, conocido el sistema de las funciones propias. Se dice que a(f) es la función de estado en representación f (de los autovalores), y Psi(q) es la función de estado en representación q (de las coordenadas). Veremos más adelante ejemplos de sus usos, y de nuevo, la forma de pasar de una representación a otra.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 7 de Junio, 2016, 6:08

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Si tenemos un operador que al actuar sobre un vector produce un vector que es un múltiplo escalar del primero:

Donde a es un escalar, entonces llamamos a ese vector un autovector (eigenvector) y al valor escalar un autovalor (eigenvalue). Para operador adjunto, recordando la correspondencia antilineal entre bras y kets, queda:

De esto, y del post anterior, podemos demostrar el teorema: Los autovalores de un operador hermítico son reales.

Pues sea A hermítico entonces:

En particular:

Sustituendo el operador por el autovalor a:

Y se sigue, como el autovalor es escalar, se puede mover a la izquierda:

Y para eso, se cumple:

Es decir, el autovalor es valor real, es su propio conjugado complejo.

De esto también se sigue que para el bra se tienen los mismo autovalores:

Esto tiene una consecuencia muy importante para el tema de esta serie de posts. Vamos a ver que en física, ante una magnitud física, nos interesa saber su valor. Y los valores interesantes que se encuentran en física clásica (y también en cuántica) son REALES, no COMPLEJOS. Notablemente, esas magnitudes físicas estarán representadas por operadores HERMITICOS, que al operar sobre un vector de estado podrán extraer AUTOVALORES REALES, que corresponderán a los valores de la magnitud física que estemos examinando.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 4 de Junio, 2016, 14:22

Ya pasó casi la mitad del año. Tantas cosas por hacer, aprender, compartir. Veo hoy de poner resultado de las resoluciones del mes anterior, y escribir las de este nuevo mes de junio.

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [pendiente]
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre teoría de números [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados [pendiente]
- Continuar mi serie sobre el teorema de Gödel [pendiente]
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemman [pendiente]
- Continuar mi serie sobre John Stuart Mill [pendiente]
- Comenzar una serie sobre Relatividad [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Además publiqué:

Primer Amor en Matemáticas
Espacios Métricos (1)
El Desarrollo de las Matemáticas y la Física, por Hermann Weyl

Estuve preparando el tema del teorema de Fermat, pero tengo que decidir mejor el próximo paso para explicar el caso n=3. Supongo que expondré el resultado clásico, con alguna laguna en el razonamiento (la misma de la primera demostración de Euler), y luego a completarla. No parece haber compleción usando enteros, habrá que apelar a números complejos.

Curiosamente, investigando del tema, me topé con que para los anillos con número de clase igual a uno, se cumple la factorización única.

En el caso de la hipótesis de Riemman, encontré mejor información sobre la función zeta, pero me falta organizala para presentarla. Hay que mostrar que converge para s > 1, y también para s complejo, con parte real re(s) > 1.

El tema primos suma de dos cuadrados es un tema inmenso y muy interesante, que tiene relaciones con las formas cuadráticas y más temas.

Para este mes, quiero seguir con:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre teoría de números
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemman
- Comenzar una serie sobre los azulejos de Wang
- Estudiar blues en guitarra

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Publicado el 3 de Junio, 2016, 6:08

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Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 31 de Mayo, 2016, 6:15

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En el anterior post vimos una propiedad importante de los números primos. Ver también mi serie: Números primos.

Hoy veremos una proposición simple, pero donde usaremos por primera vez el principio de inducción (con más precisión, una de sus formas). La proposición es: todo número natural es producto de números primos.

Es sencilla la demostración, si aplicamos inducción. Primero, suponemos:

Es claro que no hay primos que lo dividan, podemos decir que es el producto vacío de primos, considerando que el uno no es un primo.

Luego consideramos:

Y por inducción, suponemos que todos los números naturales menores que n son factorizables en primos. Para n mayor que uno hay dos caminos:

Por definición de primo, no tiene divisores primos más que él mismo. Es el producto de un solo primo, n mismo.

El otro camino, que sea compuesto, con por lo menos dos factores, naturales, mayores que 1:

Estamos manejando naturales, lo que implica que a y b no pueden ser mayores o iguales que n. Por hipótesis de inducción, son productos de primos. Entonces, el propio n es un producto de primos.

Este es un resultado simple, pero que muestra el trabajo de una demostración. Muchas veces tenemos propiedades "evidentes", pero aún así, en algún momento tenemos que luchar por la demostración. Matemáticas no es sólo demostración: ésta se encuentra solamente como uno de los pasos en el viaje matemático. Gran parte de las matemáticas es imaginación, poder creativo, darse cuenta de patrones y relaciones. Pero siempre es importante volver al rigor, y cualquier cosa que se proponga, tratar de encontrar la demostración adecuada.

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 29 de Mayo, 2016, 15:37

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Sigamos explorando la formulación matemática del espectro continuo. En el anterior post, por analogía a las sumatorias del caso discreto, llegamos a las integrales:

Para expresar cualquier función de onda de las coordenadas, donde los coeficientes son:

Recordemos: los coeficientes af ahora dependen de f, son como funciones a(f). Y por cada autovalor f posible en el espectro continuo, hay una autofunción:

De nuevo, aun una autofunción asociada a cada autovalor f.

Para que estas relaciones integrales se cumplan, basta con la condición:

Donde delta es la "función" de Dirac. Pongo función entre paréntesis porque tiene propiedades que no pueden asimilarse a una función normal. Fue recién a mediados del siglo pasado que pudo incorporarse formalmente a los conceptos matemáticos. Esa función vale 0 para un argumento distinto de 0, y vale infinito su argumento igual a cero, pero con la condición:

Es un aporte original de Dirac. La idea es que esta función, sobre un rango infinito de valores reales, da siempre 0, excepto para el origen.  Combinada en la integral anterior, es la forma de expresar la "ortogonalidad" de dos autofunciones de onda: su multiplicación integral da 0, si son distintas, da 1 si son iguales. Con esta nueva relación, desarrollemos:


Vean que el "f interior" al integral, quedo como f" (f prima) para diferenciarla da la "f exterior". Se sigue

Como se quería demostrar.

Este es nuestro primer encuentro con la función de Dirac. Resulta como "paso al límite" de las condiciones de ortogonalidad que teníamos para las autofunciones en el caso discreto. Lo importante ahora es que tenemos una base matemática para tratar el caso discreto y el continuo.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 28 de Mayo, 2016, 19:29

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Hay una clase de operadores muy importante en física cuántica. Ya vimos los operadores adjuntos en el post. Recordemos, el operador adjunto de un operador cumple:

Para cualquier par de vectores. Hay operadores que son igual a su adjunto, es decir, que cumplen:

Se llaman operadores autoadjuntos. Tambien se los llama hermíticos, como a las matrices hermíticas donde se cumple:

Justamente, porque cuando un operador autoadjunto puede expresarse como una matriz (lo que no siempre pasa, hay espacios de dimensiones infinitas), sus matrices son hermíticas.

Hay un notable teorema, que permite identificar operadores hermíticos. Si se cumple

Para todos los vectores psi, entonces se sigue que:

Para todos los pares de vectores, y entonces el operador A es hermítico. Para demostrarlo observemos que si:

Para valores a, b y vectores phi1, phi2 cualesquiera, entonces desarrollando:

Pero se sabe que:

Si seguimos desarrollando queda:


Pero esto, por hipótesis es igual a su propio conjugado:

Entonces es un valor real. Los dos primeros términos de la suma son también reales, porque por hipótesis tanto

Como

Son reales, y sus factores, los valores absolutos de a y b son también reales. Veamos los dos últimos términos:

Tomando a=b=1, queda:

Tomando a=1, b=i (la raíz de menos uno), tenemos:

Sacando i de esta ecuación y sumándola con la anterior, obtenemos:

Que es lo que queríamos demostrar.

Escribí que este teorema es notable, porque partiendo de una condición particular logra demostrar una condición más general. Esto es parte de la magia de usar números complejos: no existe un teorema similar si empleamos coeficientes reales. Los números complejos tienen una estructura que permite que este tipo de relaciones aparezca.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 24 de Mayo, 2016, 5:40

Investigando algunos temas, esta semana me topé con el libro "A Course in Point Set Topology" de John B Conway, matemático americano, dedicado al análisis funcional. Tengo que estudiar ese tema, porque cada vez más va a aparecer en algunos posts que estoy escribiendo, como Matemáticas y Física Cuántica. Es interesante compartir por qué Conway escribe un libro sobre Topología General. He aquí la explicación, al comienzo del prefacio:

Point set topology was my first love in mathematics. I took the course as an undergraduate at Loyola University in New Orleans and my professor, Harry Fledderman, told me to go to the library and solve all the problems in the book while he tutored the other student who had signed up for the course. (Yes, I know it sounds strange today, but there were only two students in the course.) I kept a notebook with my solutions, and once a week I reported for his inspection of my work. I felt like a real mathematician learning real mathematics. It had a great influence on me and made me realize how much I wanted to be a mathematician. Even now I can"t tell you whether the love I have for point set topology was the cause of this feeling or whether that love was a consequence of this learning style. I was disappointed to later discover that research in this area had mostly petered out. I found equally attractive research areas in which to sow my oats, but I always retained this youthful love affair.

Es una forma muy interesante de estudiar matemáticas, y ya me he encontrado más de una vez con algún profesor que adopta este camino para un estudiante brillante.

Más adelante Conwayexplica las elecciones de contenido de este libro. Me gusta como plantea los temas, de lo particular a lo general:

Following my philosophy of beginning with the particular, I start with metric spaces. I believe that these are far easier to connect with students"experience. They also seem to me to be the more prevalent topological spaces used in other areas and are therefore worth extra emphasis. Chapter 2 defines and develops abstract topological spaces, with metric spaces as the source of inspiration. I narrow the discussion by quickly restricting the focus to Hausdorff spaces. Needless to say, some of the more elementary arguments in topological spaces are the same as those in metric spaces. There is no problem here; I just refer students to the metric space proof and invite them to carry out the analogous argument, which in most cases is almost identical.

Y toma una curiosa decisión en el último capítulo: concentranrse en las aplicaciones continuas antes que en las propiedades del espacio en estudio:

Chapter 3 concentrates on continuous real-valued functions. My belief is that the continuous functions on a space are more important than the underlying space. Maybe that"s because I"m an analyst. I know that much of modern topology concentrates on the underlying geometry of a space, but surely that must be saved until after the student has encountered the need.

Tengo que estudiar alguna parte, especialmente Espacios Métricos, para lo que estoy escribiendo.

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Publicado el 21 de Mayo, 2016, 7:01

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The fintech revolution | The Economist
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15 Fintech Startups To Watch In 2015 - Forbes
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Discovering new business models with the Internet of Things | The Big Data Hub
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Nextdoor existe porque los periódicos locales perdieron la ocasión de ser Nextdoor
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Why London's Fintech Startup Scene Is Growing Fast | American Banker
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A new breed of startups is redefining recruitment in India
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Banks' Real Fight with Fintech: Who Owns the Customer? | American Banker
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So You Want To Build A Full Stack Startup In Fintech? | TechCrunch
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Fintech 2.0 Is Just Around The Corner: Santander
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Ex-Googlers Raise $6M For Connectifier, An AI Approach To Recruitment Search | TechCrunch
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Publicado el 20 de Mayo, 2016, 6:02

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8 Tips from Entrepreneurs Who Grew Startups into Successful Businesses | Inc.com
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8 Changes To Make If You Really Want To Be Successful
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6 Steps To Success For An Entrepreneurial Mindset | Addicted 2 Success
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The Uberization of Banking
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Helpshift Introduces Baishampayan Ghose, CTO & CoFounder
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(53) What is the most bizarre startup that became successful that everyone had doubts about? - Quora
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We Have Liftoff - Alumni - Harvard Business School
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Sir Richard Branson on entrepreneurship | London Business School - YouTube
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Jack Welch: "Go be an entrepreneur" | London Business School - YouTube
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(88) What was the best advice you ever received on being productive? - Quora
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El constructor del futuro - Santiago Bilinkis
http://bilinkis.com/2015/04/el-constructor-del-futuro/

An MVP is not a Cheaper Product, It"s about Smart Learning — Medium
https://medium.com/@sgblank/an-mvp-is-not-a-cheaper-product-it-s-about-smart-learning-77eed770f60c

Reinventing Organizations - Home
http://www.reinventingorganizations.com/

Silicon Valley empuja a América Latina | Tecnología | EL PAÍS
http://tecnologia.elpais.com/tecnologia/2015/04/06/actualidad/1428349236_312764.html

Malcolm Gladwell's 5 Best Life Lessons for Entrepreneurs | Inc.com
http://www.inc.com/thompson-wall/malcolm-gladwells-five-best-life-lessons-for-entrepreneurs.html

Breaking Bad is the ultimate Startup Lesson — Medium
https://medium.com/@tripchi/breaking-bad-is-the-ultimate-startup-lesson-977979951f0a

How to Growth Hack Your Content Marketing [PODCAST] | Unbounce
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The Sum of Its Parts
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3 Rules From Richard Branson for Hiring Remarkable People
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How Super Angel Chris Sacca Made Billions, Burned Bridges And Crafted The Best Seed Portfolio Ever - Forbes
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Diving into market spaces - Business School - Companies & Management Video - FT.com
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3 Really Surprising Things You Didn't Know About Steve Jobs | Inc.com
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I Am Sam Altman, President of Y Combinator. AMA | Hacker News
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Productivity Hacks From Startup Execs - Business Insider
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Publicado el 18 de Mayo, 2016, 7:13

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How to Make the Best of Shrinking Office Space | Inc.com
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Careers at Uber
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How Slack Uses Slack | Fast Company | Business Innovation
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Why Do Startups Fail? — Entrepreneurial Insights — Medium
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Amazon Prime Is One of the Most Bizarre Good Business Ideas Ever | WIRED
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How Bluesmart became one of the most successful crowdfunding campaigns ever
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Wired 6.12: HotMale
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7 Rad Reasons To Work for a Startup | Jennifer Moss | LinkedIn
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Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 15 de Mayo, 2016, 6:50

Hoy comienzo una serie de un tema matemático que aparece en varias de mis lecturas, relacionado con otros temas como operadores funcionales. Es el tema de espacios métricos. Tiene relación con lo que estoy escribiendo en mi serie Topología General: de alguna forma, los espacios métricos son los "predecesores" de los espacios topológicos. Ambos se ocupan de conjuntos de elementos dando importancia a la "proximidad" de a pares. Pero mientras que en espacios topológicos esa proximidad se expresa en el sistema de entornos, y éstos se encuentran por el uso de los conjuntos abiertos de la topología, en los espacios métricos nos encontramos con la distancia entre dos "puntos" como el concepto base que permite construir los conjuntos cercanos de puntos.

A esos elementos los llamamos "puntos" simplemente por una analogía geométrico: los primeros ejemplos de espacios métricos que todos manejamos tienen una realización geométrica. Pero la gran motivación para el desarrollo de los espacios métricos se dio en el siglo XIX con otros conjuntos, notablemente relacionados con funciones. Ya llegaremos a ver esos ejemplos y aplicaciones.

Comencemos viendo la definición. Llamamos espacio métrico a un par, un conjunto X, y una función real, no negativa, definida entre dos puntos:

Tal que cumple los siguientes condiciones:



La segunda condición es el axioma de simetría. Y la tercera condición es el axioma triangular.

A esta función la llamaremos "métrica". También es común llamarla "distancia", justamente por su similitud con las distancias en geometría. Vemos que no basta con dar el conjunto X: hay casos donde sobre un mismo conjunto de base se pueden definir distintas métricas, que cumplen con las condiciones dadas.

Por eso el espacio métrico R es:

Siempre un par: un conjunto y una métrica.

En el próximo post veremos los primeros ejemplos de espacios métricos. Mi principal fuente para esta serie es el excelente clásico "Elementos de la Teoría de Funciones y Análisis Funcional", de Kolgomorov y Fomin. Tengo una edición de editorial Mir.

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Publicado el 14 de Mayo, 2016, 7:06

Hace unos años, mencioné en un post al libro de Hermann Weyl, muy conocido, The Theory of Groups and Quantum Mechanics. Hoy lo vuelvo a leer, y encuentro este fragmento al principio, que quiero comentar y compartir:

There exists, in my opinion, a plainly discernible parallelism between the more recent developments of mathematics and physics. Occidental mathematics has in past centuries broke away from the Greek view and followed a course which seen to have originated in India .and which has been transmitter with additions, to us by the Arabs; in it the concept of number appears as logically prior to the concepts of geometry. The result of this has been that we have applied this systematicall I developed number concept to all branches, irrespective of whether it is most appropriate for these particular applications. But the present trend in mathematics is clearly in the direction of the return to the Greek standpoint; we now look upon each branch of mathematics as determining its own characteristic domain of quantities. The algebraise of the present day considers the continuum of real or complex numbers as merely one "field ': among many; the recent axiomatic foundation of projectire geometry may be considered as the geometric counterpart of this view. This newer mathematics, including the modern theory of groups and "abstract algebra," is clearly motivated by a spirit different from that of" classical mathematics," which found its highest expression in the theory of functions of a complex variable. The continuum of real numbers has retained its ancient prerogative in physics for the expression of physicall measurements, but it can justly be maintained that the essence of the new Heisenberg-Schrodinger-Dirac quantum mechanics is to be found in the fact that there is associated with each physical system a set of quantities, constituting a non-commutative algebra in the technical mathematical sense, the elements of which are the physical quantities themselves.

Es interesante notar como contrapone el desarrollo algebraico con el geométrico. Agregaría que el desarrollo algebraico, incluso de la geometría, tuvo un gran impulso con Descartes, y sus coordenadas cartesianas, que llevó el álgebra al estudio de curvas y otros elementos en el plano y en el espacio.

También es interesante destacar cómo menciona a la aplicación de los números reales a la física, pero que no necesariamente es el camino a seguir. La aparición de la no conmutatividad y las cantidades no continuas ha hecho replantear los métodos matemáticos aplicados a la física moderna. Hasta la aplicación de los números complejos es relativamente moderna (ver Números Complejos en Mecánica Cuántica, La Ecuación de Schrödinger (10) Un Comentario Sobre Números Complejos).

Podemos encontrar la revindicación de la geometría en la obra física de Penrose (leer "el Penrose"). Y las teorías de la relatividad de Einstein vuelven a poner la geometría, sin sistemas de coordenadas de base,  y las simetrías, como fundamental en la comprensión de los fenómenos físicos.

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Publicado el 13 de Mayo, 2016, 6:22

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The 27 Metrics in Pinterest"s Internal Growth Dashboard
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(175) I Dropped Out Of College (cs). I Created 3 Software Startups. I'm 25. Am I Screwed? - Quora
http://www.quora.com/I-dropped-out-of-college-CS-I-created-3-software-startups-Im-25-Am-I-screwed

FI.co: Why You Should Quit Your Job to Focus on Your Startup
http://fi.co/posts/9741

"The Rise of Alternative Finance" . CrowdFund Beat
http://crowdfundbeat.com/2015/01/18/the-rise-of-alternative-finance/

Leapfunder Helps Startups Raise 2 Million - Leapfunder Blog
https://blog.leapfunder.com/leapfunder-helps-startups-raise-2-million/

Howard Schultz: encontrando el aroma del éxito | Imagen Emprendedora
http://imagenemprendedora.com/howard-schultz-919191/

Internet of Things application development platform
http://ubidots.com/

Breaking Into Startups — Medium
https://medium.com/@rubenharris/breaking-into-startups-cc092432305a

The bigger the dream, the greater the opportunity - Virgin.com
http://www.virgin.com/richard-branson/the-bigger-the-dream-the-greater-the-opportunity

William Barnett: Beware of VCs Who Claim to Know What's Next | Stanford Graduate School of Business
http://www.gsb.stanford.edu/insights/william-barnett-beware-vcs-who-claim-know-whats-next

The Payments Industry Explained - Business Insider
http://www.businessinsider.com/the-payments-industry-explained-2014-12

The Python Paradox is now the Scala Paradox — Martin Kleppmann"s blog
http://martin.kleppmann.com/2009/09/18/the-python-paradox-is-now-the-scala-paradox.html

The Year in Kickstarter 2014 — Kickstarter
https://www.kickstarter.com/year/2014

Elon Musk's SpaceX Rocket Set to Launch Tuesday | Inc.com
http://www.inc.com/business-insider/elon-musk-will-launch-spacex-rocket-tomorrow.html

SpaceX Falcon 9 Ocean Landing January 6 - Business Insider
http://www.businessinsider.com/spacex-falcon-9-ocean-landing-january-6-2015-1

The Most Fascinating Profile You'll Ever Read About a Guy and His Boring Startup | WIRED
http://www.wired.com/2014/08/the-most-fascinating-profile-youll-ever-read-about-a-guy-and-his-boring-startup/

Learn Before You Build: Lean Startup Cycle in Reverse
http://blog.thinkapps.com/entrepreneurship/lean-startup-methodology-simplified/

5 Essential Ingredients to Doing What You Love For a Living
http://www.entrepreneur.com/article/229564

Uber cierra temporalmente su servicio en España
http://www.elandroidelibre.com/2014/12/uber-cierra-temporalmente-su-servicio-en-espana.html

Zappos CEO Tony Hsieh's Las Vegas Startup Paradise - Businessweek
http://www.businessweek.com/articles/2014-12-30/zappos-ceo-tony-hsiehs-las-vegas-startup-paradise

FunPuntos - Gana premios visitando los lugares que te gustan
http://funpuntos.com/

Collaboration and productivity for your business: Joincube
http://www.joincube.com/

Crowdfunding Tips: Countries to Work With - Flexport
http://learn.flexport.com/crowdfunding-tips-countries-work/

Founder's Guide to Basic Startup Infrastructure - Flexport
http://learn.flexport.com/founders-guide-to-basic-startup-infrastructure/

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Publicado el 7 de Mayo, 2016, 16:52

Ya comenzó un nuevo mes, tiempo de escribir las nuevas resoluciones, y repasar el resultado de las del mes anterior:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [pendiente]
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [pendiente]
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre teoría de números [pendiente]
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados [pendiente]
- Continuar mi serie sobre el teorema de Gödel [pendiente]
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemman [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Estuve bastante ocupado en temas profesionales, pero me di en cambio tiempo para escribir:

Richard Feynman estudiando cuántica
La necesidad de una teoría cuántica de campos (3)
Notas sobre Teorías Gauge (6)
Sobre la libertad, de John Stuart Mill (2)

Para este mes mis resoluciones son:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre teoría de números
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados
- Continuar mi serie sobre el teorema de Gödel
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemman
- Continuar mi serie sobre John Stuart Mill
- Comenzar una serie sobre Relatividad
- Estudiar blues en guitarra

De nuevo, un plan ambicioso, pero interesante.

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Publicado el 6 de Mayo, 2016, 6:16

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Mandelstam variables - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelstam_variables

(4) Rodney Brooks's answer to What is wavefunction collapse in the context of quantum mechanics, and how does (or doesn't) it relate to consciousness? - Quora
http://www.quora.com/What-is-wavefunction-collapse-in-the-context-of-quantum-mechanics-and-how-does-or-doesnt-it-relate-to-consciousness/answer/Rodney-Brooks-3

Weyl Fermion: Long-Sought Massless Particle Finally Observed | Physics | Sci-News.com
http://www.sci-news.com/physics/science-weyl-fermion-massless-particle-03037.html

Bohr's Correspondence Principle (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://plato.stanford.edu/entries/bohr-correspondence/

Quantum jumps and classical harmonics
http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/ajp/70/3/10.1119/1.1445405

The Golden Age Of Quantum Computing Is Upon Us (Once We Solve These Tiny Problems) | Fast Company | Business Innovation
http://www.fastcompany.com/3045708/big-tiny-problems-for-quantum-computing

Derivation of the postulates of quantum mechanics from the first principles of scale relativity
http://luth.obspm.fr/~luthier/nottale/arJPhysA07.pdf

www.math.ru.nl/~landsman/Born.pdf
http://www.math.ru.nl/~landsman/Born.pdf

(238) What is Born's Postulate? - Quora
http://www.quora.com/What-is-Borns-Postulate

Correspondence principle - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Correspondence_principle

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Publicado el 4 de Mayo, 2016, 5:31

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Startups Archives - Flexport
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23 Campaigns Every Startup Should Run to Gain Immediate Traction Discussion on Inbound.org
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Top 10 books for entrepreneurs - Rediff.com Get Ahead
http://www.rediff.com/getahead/report/career-top-10-books-for-entrepreneurs/20141226.htm

The 9 Most Damaging Lies We Tell Ourselves Daily | Inc.com
http://www.inc.com/lolly-daskal/the-9-most-damaging-lies-we-tell-ourselves-daily.html

Austen Allred - Rules of Growth
http://austenallred.com/rules-of-growth/

The Best Part of Working for Yourself | Inc.com
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Google y Amazon se unen a Incutex para continuar potenciando startups en Argentina | Incutex Blog
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(138) I am an entrepreneur (or perhaps trying to be one) and want to raise money for my idea for an app. Do I need a partner before I can get funding? - Quora
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Etermax
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The 10 Most Innovative Startups of 2014 | Inc.com
http://www.inc.com/rebecca-borison/most-innovative-startups-2014.html

The Current State of Machine Intelligence — Medium
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The 15 Most Valuable Startups in the World | Inc.com
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How I fell in love with—and invested $250k in—the BETTER App — Medium
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Lanzan Mango, una nueva plataforma de pagos on line para emprendimientos y organizaciones - lanacion.com
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Fire Yourself: How to be a Successful Co-Founder
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Procrastinar: 6 claves para dejar de postergar tus tareas
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How to Make Dreams Real | The Startup Guide - Creating a Better World Through Entrepreneurship
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La convocatoria 2015 ya está abierta! | Incutex Blog
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¿Cuál es el equipo ideal para un emprendimiento en internet?
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Publicado el 1 de Mayo, 2016, 7:47

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Veamos hoy de demostrar la invarianza de la traza de un operador ante un cambio de base. La demostración de este post se limitará a base finita, digamos, de n vectores ortonormales.

En este caso, recordemos que para operador lineal A se tiene:

Es un número, dado dos elementos de la base en consideración. Es decir, en esa base, nuestro operador se puede representar como una matriz de números. Nunca lo vimos, pero se tiene entonces que:

Esto lleva a expresar la traza que presentamos en el anterior post como:

Como los Aij son números, se pueden "mover hacia la izquierda" y los bra se pueden "juntar" con los ket:

Como los vectores son ortonormales, cuando j es distinto de i el producto de ambos es cero, y cuando j es igual a i, el producto es 1. Queda que la traza es:

Es un poco largo, pero sencillo, demostrar entonces que el producto de operadores:

Tiene entonces una matriz (siempre tomando una base fijada de antemano para expresar las tres matrices):

La traza de C es:

De forma similar, se ve que:

Pero ambas dobles sumas SON LA MISMA SUMA, entonces queda:

Que es una importante propiedad de la traza. Sabiendo este resultado, y conociendo la asociatividad de operadores, vemos que la traza es invariante antes cambios del tipo:

Pues queda:

Y se sigue:

¿Cuándo se da una transformación así? Cuando cambiamos de base ortonormal. El operador P se puede ver como cambio de base. De nuevo, es una demostración larga pero sencilla, que nos lleva a enunciar: la traza del operador A es invariante ante cambios de base. Hay que tener cuidado ahora en distinguir el operador A, de su expresión como matriz A EN UNA BASE DADA. Y si queremos expresar la traza para una base infinita numerable, hay que estudiar la convergencia de la suma infinita. Si tenemos una base infinita no numerable, supongo que habrá que estudiar la convergencia de una integral. Veremos esos casos llegado el momento.

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