Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 14 de Mayo, 2016, 7:06

Hace unos años, mencioné en un post al libro de Hermann Weyl, muy conocido, The Theory of Groups and Quantum Mechanics. Hoy lo vuelvo a leer, y encuentro este fragmento al principio, que quiero comentar y compartir:

There exists, in my opinion, a plainly discernible parallelism between the more recent developments of mathematics and physics. Occidental mathematics has in past centuries broke away from the Greek view and followed a course which seen to have originated in India .and which has been transmitter with additions, to us by the Arabs; in it the concept of number appears as logically prior to the concepts of geometry. The result of this has been that we have applied this systematicall I developed number concept to all branches, irrespective of whether it is most appropriate for these particular applications. But the present trend in mathematics is clearly in the direction of the return to the Greek standpoint; we now look upon each branch of mathematics as determining its own characteristic domain of quantities. The algebraise of the present day considers the continuum of real or complex numbers as merely one "field ': among many; the recent axiomatic foundation of projectire geometry may be considered as the geometric counterpart of this view. This newer mathematics, including the modern theory of groups and "abstract algebra," is clearly motivated by a spirit different from that of" classical mathematics," which found its highest expression in the theory of functions of a complex variable. The continuum of real numbers has retained its ancient prerogative in physics for the expression of physicall measurements, but it can justly be maintained that the essence of the new Heisenberg-Schrodinger-Dirac quantum mechanics is to be found in the fact that there is associated with each physical system a set of quantities, constituting a non-commutative algebra in the technical mathematical sense, the elements of which are the physical quantities themselves.

Es interesante notar como contrapone el desarrollo algebraico con el geométrico. Agregaría que el desarrollo algebraico, incluso de la geometría, tuvo un gran impulso con Descartes, y sus coordenadas cartesianas, que llevó el álgebra al estudio de curvas y otros elementos en el plano y en el espacio.

También es interesante destacar cómo menciona a la aplicación de los números reales a la física, pero que no necesariamente es el camino a seguir. La aparición de la no conmutatividad y las cantidades no continuas ha hecho replantear los métodos matemáticos aplicados a la física moderna. Hasta la aplicación de los números complejos es relativamente moderna (ver Números Complejos en Mecánica Cuántica, La Ecuación de Schrödinger (10) Un Comentario Sobre Números Complejos).

Podemos encontrar la revindicación de la geometría en la obra física de Penrose (leer "el Penrose"). Y las teorías de la relatividad de Einstein vuelven a poner la geometría, sin sistemas de coordenadas de base,  y las simetrías, como fundamental en la comprensión de los fenómenos físicos.

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 13 de Mayo, 2016, 6:22

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 7 de Mayo, 2016, 16:52

Ya comenzó un nuevo mes, tiempo de escribir las nuevas resoluciones, y repasar el resultado de las del mes anterior:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [pendiente]
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [pendiente]
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre teoría de números [pendiente]
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados [pendiente]
- Continuar mi serie sobre el teorema de Gödel [pendiente]
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemman [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Estuve bastante ocupado en temas profesionales, pero me di en cambio tiempo para escribir:

Richard Feynman estudiando cuántica
La necesidad de una teoría cuántica de campos (3)
Notas sobre Teorías Gauge (6)
Sobre la libertad, de John Stuart Mill (2)

Para este mes mis resoluciones son:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre teoría de números
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados
- Continuar mi serie sobre el teorema de Gödel
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemman
- Continuar mi serie sobre John Stuart Mill
- Comenzar una serie sobre Relatividad
- Estudiar blues en guitarra

De nuevo, un plan ambicioso, pero interesante.

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 6 de Mayo, 2016, 6:16

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 4 de Mayo, 2016, 5:31

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 1 de Mayo, 2016, 7:47

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Veamos hoy de demostrar la invarianza de la traza de un operador ante un cambio de base. La demostración de este post se limitará a base finita, digamos, de n vectores ortonormales.

En este caso, recordemos que para operador lineal A se tiene:

Es un número, dado dos elementos de la base en consideración. Es decir, en esa base, nuestro operador se puede representar como una matriz de números. Nunca lo vimos, pero se tiene entonces que:

Esto lleva a expresar la traza que presentamos en el anterior post como:

Como los Aij son números, se pueden "mover hacia la izquierda" y los bra se pueden "juntar" con los ket:

Como los vectores son ortonormales, cuando j es distinto de i el producto de ambos es cero, y cuando j es igual a i, el producto es 1. Queda que la traza es:

Es un poco largo, pero sencillo, demostrar entonces que el producto de operadores:

Tiene entonces una matriz (siempre tomando una base fijada de antemano para expresar las tres matrices):

La traza de C es:

De forma similar, se ve que:

Pero ambas dobles sumas SON LA MISMA SUMA, entonces queda:

Que es una importante propiedad de la traza. Sabiendo este resultado, y conociendo la asociatividad de operadores, vemos que la traza es invariante antes cambios del tipo:

Pues queda:

Y se sigue:

¿Cuándo se da una transformación así? Cuando cambiamos de base ortonormal. El operador P se puede ver como cambio de base. De nuevo, es una demostración larga pero sencilla, que nos lleva a enunciar: la traza del operador A es invariante ante cambios de base. Hay que tener cuidado ahora en distinguir el operador A, de su expresión como matriz A EN UNA BASE DADA. Y si queremos expresar la traza para una base infinita numerable, hay que estudiar la convergencia de la suma infinita. Si tenemos una base infinita no numerable, supongo que habrá que estudiar la convergencia de una integral. Veremos esos casos llegado el momento.

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 30 de Abril, 2016, 11:06

Siempre vuelvo a leer el excelente "Quamtum Field Theory I", de Zeidler. Y encuentro hoy una cita de Freeman Dyson, más extensa que la que ya había comentado en Richard Feynman por Freeman Dyson. Se refiere a la época de los treinta del siglo pasado, cuando Feynman se concentra en estudiar por su cuenta la mecánica cuántica de su tiempo:

Dick Feynman (1918-1988) was a profoundly original scientist. He refused to take anybody's word for anything. This meant that he was forced to rediscover or reinvent for himself almost the whole physics. It took him five years of concentrated work to reinvent quantum mechanics. He said that he couldn't understand the official version of quantum mechanics that was taught in the textbooks and so he had to begin afresh from the beginning. This was a heroic enterprise. He worked harder during those years than anybody else I ever knew. At the end he had his version of quantum mechanics that he could understand...

Pero Feynman fue más allá con su versión, logrando resolver problemas más fácilmente:

The calculations that I did for Hans Bethe, using the orthodox method, took me several months of work and several hundred sheets of paper. Dick could get the same answer, calculating on a blackboard, in half an hour...

In orthodox physics, it can be said: Suppose an electron is in this state at a certain time, then you calculate what it will do next by solving the Schrodinger equation introduced by Schrodinger in 1926. Instead of this, Dick simply said:

The electron does whatever it likes.

Feynman había encontrado su camino: sumar todos los caminos posibles del electrón. Y esto lo consiguió meditando y revisando la mecánica cuántica de entoces. Podemos decir que el resultado de Feynman es una extensión del experimento de las dos rendijas: para llegar de A a B, la partícula cuántica pasa por las "infinitas rendijas" del espacio que separa el punto de partida del punto de llegada.

A history of the electron is any possible path in space and time. The behavior of the electron is just the result of adding together all the histories according to some simple rules that Dick worked out. I had the enormous luck to be at Coraell in 1948 when the idea was newborn, and to be for a short time Dick's sounding board...

Feynman basaba sus ideas en conceptos físicos, y los trasladaba a matemáticas:

Dick distrusted my mathematics and I distrusted his intuition. Dick fought against my scepticism, arguing that Einstein had failed  because he stopped thinking in concrete physical images and became a  manipulator of equations. I had to admit that was true. The discoveries of Einstein's earlier years were all based on direct physical intuition.  Einstein's later unified theories failed because they were only sets of equations without physical meaning...

Pero no era fácil entonces entender estas nuevas ideas de Feynman:

Nobody but Dick could use his theory. Without success I tried to  understand him... At the beginning of September after vacations it was time to go back East. I got onto a Greyhound bus and travelled nonstop for three days and nights as far as Chicago. This time I had nobody to talk to. The roads were too bumpy for me to read, and so I sat and looked out of the window and gradually fell into a comfortable stupor. As we were droning across Nebraska on the third day, something suddenly happened. For two weeks I had not thought about physics, and now it came bursting into my consciousness like an explosion. Feynman's pictures and Schwinger's equations began sorting themselves out in my head with a clarity they had never had before. I had no pencil or paper, but everything was so clear I did not need to write it down.

Feynman and Schwinger were just looking at the same set of ideas from two different sides.

Putting their methods together, you would have a theory of quantum electrodynamics that combined the mathematical precision of Schwinger with the practical flexibility of Feynman...

During the rest of the day as we watched the sun go down over the prairie, I was mapping out in my head the shape of the paper I would write when I got to Princeton. The title of the paper would be The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman.

Es en parte al trabajo de difusión de Dyson que las ideas de Feynman fueron más conocidas, entendidas y aceptadas por la comunidad de físicos. El uso de los diagramas de Feynman facilitó la explicación de esta suma de trayectorias, y es interesante ver la historia de su desarrollo, por ejemplo, ver que los primeros diagramas aparecidos en artículos son diferentes de los que usamos en artículos de divulgación.

Esto es una cita que hace Zeidler de un texto de Dyson, Disturbing the Universe.

Otros posts donde cito el libro de Zeidler:

Teoría de campos y partículas (3)
Una carta de Einstein
John von Neumann y operadores en cuántica

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 27 de Abril, 2016, 7:16

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 24 de Abril, 2016, 14:09

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 22 de Abril, 2016, 5:45

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Revolut Gets More Funding For Its Mobile Foreign Exchange Service | TechCrunch

Lending Club Statistics - Lending Club

Banking and Fintech: An Uncommon Partnership

Fintech Is Just Getting Started | TechCrunch

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 21 de Abril, 2016, 7:37

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Varios temas a investigar, como bitcoin y blockchains, machine learning, préstamos p2p....

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 20 de Abril, 2016, 8:13

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Quiero seguir explorando y estudiando las razones para tener una teoría cuántica de campos. En el anterior posts, mencioné la teoría cuántica y la teoría de la relatividad. Hoy leo en las primeras páginas de Modern Elementary Particle Physics - The Fundamental Particles and Fields, de G. Kane:

The combination of quantum theory and relativity leads to the introduction of quantum fields and associated particles. To see intuitively why that must occur, suppose various particles can interact with one another, and you give one particle a push. The forces, due to that particle, that act on nearby particles cannot produce instantaneous changes in their motions, since no signal can travel faster than the speed of light. Instead, as with electromagnetism and gravity, we say the pushed particles is the source of various fields which carry energy, and perhaps other quantum numbers, through the surrounding space; eventually the fields interact with other particles.

Es decir, para no apelar a la acción instantánea, hay que poner a los campos como mediadores. Eso también pasó en electromagnetismo (estoy estudiándolo en Electromagnetismo) y en gravedad einsteniana. En cuántica, hay algo más:

Because of the quantum theory, the energy (and perhaps other quantum numbers) is carried by discrete quanta, which become identified with the particles transmiting the force. Thus in quantum field theory, the elementary particle interactions are interpreted in terms of exchanges of (some of the) particles themselves.

Este es un tema a entender mejor. Que existan partículas de interacción, y además campos, no es algo claro y evidente. Algo a estudiar con más detalle.

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 19 de Abril, 2016, 6:05

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Hace más de un año que no escribo sobre este tema, tomando notas sobre teorías gauge. Hoy me encuentro leyendo Modern Elementary Particle Physics - The Fundamental Particles and Fields, de G. Kane:

There has been steady and extraordinary progress in particle physics, both in understanding quantum field theory and in learning what to include in the Lagrangian; no revolution has ocurred.

Del lagrangiano podemos deducir ecuaciones que describen la evolución de un sistema físico. Ver Lagrangianos y Hamiltonianos, y también Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos.

Ahora aparece teorías gauge:

The theories which describe the particles and their interactions seem to be gauge theories, a special class of quantum theories where there is an invariance principle that necessarily implies the existence of interactions mediated by gauge bosons. In gauge theories, the interaction Lagrangian is, in sense, inevitable rather than being introduced in an ad hoc way as in quantum theory.

No tenía en claro que el principio de invariance que aparece en las teorías gauge implicara la existencia de interacciones, y la aparición de bosones gauge. El llamado lagrangiano de interacción es una parte del lagrangiano, que, en teorías no gauge, se introduce a mano para mejorar la descripción del sistema. En una teoría gauge, su introducción se debe a la existencia de la invariancia, y por ésta, la existencia de interacción. Interesantes puntos para estudiar.

Although technical work in a relativistic quantum gauge field theory can be very difficult, the basic formulation of the theory is accesible to anyone having an undergraduate knowledge of classical mechanics and electrodynamics, plus an introduction to quantum mechanics including spin and angular momentum.

Espero que sea así. Mientras, seguiré recolectando notas como ésta, como preludio a un estudio más serio de las teorías gauge. Encuentro este texto en el capítulo 1 del libro mencionado, titulado Survey. Un poco más adelante leo:

The theories called gauge theories are a special class of quantum field theories where there is an invariance principle that necessarily requires the existence of interactions among the particles. When we speak of gauge forces ... we will mean forces which respect a gauge symemtry, and in addition, forces whose strengths are proporcional to a "charge" of some kind.

Siempre aparece simetría (ver Simetrías y Física). Otro tema a investigar, entonces, es esto de la "carga".

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 16 de Abril, 2016, 16:00

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Justo luego del párrafo comentado en el anterior post, Mill pone una aclaración:

Casi es innecesario decir que esta doctrina [resumida en "sobre sí mismo, sobre su propio cuerpo y espíritu, el individuo es soberano"] es sólo aplicable a seres humanos en la madurez de sus facultades. No hablamos de los niños ni de los jóvenes que no hayan llegado a la edad que la ley fije como la de la plena masculinidad o femineidad. Los que están todavía en una situación que exige sean cuidados por otros, deben ser protegediso contra sus propios actos, tanto como contra los daños exteriores.

Uno acuerda con Mill en estos puntos. Pero ahora sigue algo que le aflora, como "ciudadano del Imperio Británico", diría yo:

Por la misma razón podemos prescindir de considerar aquellos estados atrasados de la sociedad en los que la misma raza puede ser considerada como en su minoría de edad. Las primeras dificultades en el progreso espontáneo son tan grandes que es difícil poder escoger los medios para vencerlas; y un gobernante lleno de espíritu de mejoramiento está autorizado para emplear todos los recursos mediante los cuales pueda alcanzar un fin, quizá incaccesible de otra manera.

Recordemos que Mill trabajó para la Compañía de las Indias Orientales, al igual que su padre. Sólo la abandonó en 1858, cuando fue disuelta como empresa y pasó a manos del estado británico. En 1859 publica el ensayo que estoy comentando. Sigue:

El despotismo es un mono legítimo de gobierno tratándose de bárbaros, siempre que su fin sea su mejoramiento, y que los medios se justifiquen por estar actualmente encaminados a ese fin.

Mill debe haber imaginado que el imperio británico tenía justificación en su injerencia sobre grandes poblaciones, como resultó en su ocupación de la India. Siempre tenemos que estar advertidos que todos nosotros estamos "embebidos" en un sistema, y nos cuesta ver más allá de lo que parece habitual y justificado. Mill, el intelectual que ha meditado tanto tiempo para escribir este ensayo, no duda en justificar la tiranía en base a que "su fin sea su mejoramiento", cosa que la historia ha hecho difícil de justificar. Aún el joven Gandhi pensó de forma parecida, hasta que los abusos británicos pusieron en evidencia que ese supuesto "fin" era solo una racionalización para ejercer el poder sobre otros.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Filosofía

Publicado el 15 de Abril, 2016, 5:42

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De nuevo, tantos temas interesantes. Ver por ejemplo teoría de nudos, simetrías y grupos, biografías, teoría de tipos con homotopías, el artículo sobre matemáticas de Edward Frenkel...

The Geometry Junkyard: Symmetry and Group Theory

The Geometry Junkyard: Knot Theory

The Geometry Junkyard: Topics

Quick Study: Edward Frenkel on math: It's a lot like borscht | The Economist

Cremona biography

15-819 Homotopy Type Theory

Recubriendo con "garfios" - Gaussianos | Gaussianos

Disparando en marcha - Gaussianos | Gaussianos


Número 8 de la revista online de matemáticas “PIkasle”

Geometría rica en fibra - Gaussianos | Gaussianos

Siempre menor y a veces divisor - Gaussianos | Gaussianos

Sistemas de recomendación desmenuzados

Wilkins biography

Jim Loy's Mathematics Page

Jim Loy's Puzzle Page

(Vídeo) Doodling in Math Class: Dragon Dungeons - Gaussianos | Gaussianos

Dehn biography

Si partimos de algo falso podemos demostrar cualquier cosa - Gaussianos | Gaussianos

Gödel's Incompleteness Theorem (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

Prueba la desigualdad - Gaussianos | Gaussianos

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 14 de Abril, 2016, 6:49

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 12 de Abril, 2016, 6:18

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 5 de Abril, 2016, 7:21

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Emprender

Publicado el 3 de Abril, 2016, 13:39

Voy a escribir las resoluciones de abril, pero primero, repaso de las de marzo:

- Continuar escribiendo sobre FinTech [parcial] ver post de enlaces otro post de enlaces más enlaces y más enlaces y más enlaces
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre teoría de números [pendiente]
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Además, estuve estudiando y publicando:

El teorema de Gödel (1)
El teorema de Gödel (2)
Funciones aritméticas (3)
¿De qué tratan las matemáticas? (3)
Números reales, complejos y más allá (1)

Para este mes, mis resoluciones son:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre teoría de números
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados
- Continuar mi serie sobre el teorema de Gödel
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemman
- Estudiar blues en guitarra

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 30 de Marzo, 2016, 5:43

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