Dado dos impares, su diferencia es divisible por 2. Cuando la diferencia de dos números enteros a, b es divisible por c, entonces existe m entero:

Vamos a usar la notación de Gauss, para decir entonces que a y b son congruentes módulo c:

Esta notación es muy sugerente: permite comenzar a hablar de ecuaciones por congruencia, como cuando tenemos ecuaciones "normales" usando el operador = de igualdad. También permite comenzar a pensar en clases de números: todos los congruentes con un número dado. Eso es lo que hacemos cuando hablamos de pares e impares: clasificar a todos los números enteros en dos clases. Y hasta podemos decir: par + par da par, par + impar da impar, etc. Ya veremos cuán lejos nos lleva esa simple idea: empezar a operar con clases de números, en vez de simples números. Una idea tan simple y tan poderosa, que ha impulsado los últimos dos siglos de las matemáticas.

Entonces, si tomamos módulo dos, tenemos DOS CLASES de números:

Es decir, los pares y los impares. Y si tomamos módulo 5, serán cinco clases:

Algo importante para recordar, es que las congruencias tienen las propiedades:

Una relación binaria así, separar los elementos en clases: todos los elementos de una clase cumplen con la relación binaria. Ejemplo, todos los pares son congruentes con 0, módulo 2, y son congruentes tomados de a dos, cualesquiera sean los ejemplares que tomemos. Cuando en un conjunto se define una relación de equivalencia R, se da:

 Cada elemento del conjunto está en una clase, la R(a) = { todos los elementos b tales que a R b }
 Cualquier par a, b de la misma clase, cumple a R b
 Clases diferentes son disjuntas (si tuvieran un elemento en común, por la transitividad de la relación, ese elemento serviría para relacionar todos los elementos de una clase con todos los de la otra)

Conclusión: un módulo m "reparte" todos los enteros en m clases de congruencia disjuntas. ¿Pero qué se gana con tomar congruencias? Bueno, lo principal es que disminuimos la cantidad de elementos a utilizar para establecer relaciones interesantes: en vez de infinitos enteros, tenemos una cantidad finita de clases de congruencia. Es algo que les gusta a los matemáticos (por lo menos desde Gauss): agrupar, clasificar, repartir en clases, para ver si se pueden descubrir cualidades interesantes asociadas a las clases que se manejen.

Podríamos comenzar a preguntar, cuándo la ecuación

tiene o no solución entera x. Si existe una solución x entera, entonces habrá infinitas (¿pueden ver por qué?).  O aún encarar una ecuación más fácil: encontrar las x que solucionan:

Es decir, tomando b como igual a cero en la anterior congruencia.

O podemos investigar que si tenemos:

Entonces saber cuándo podrá ser posible "retirar" al entero a, y afirmar

Contrariamente al caso de ecuación por igualdad, esta simplificación por a no siempre es posible cuando tratamos con congruencias. Por ejemplo, si tenemos:

Y eliminamos el 2 de ambos lados, no obtenemos algo verdadero:

Ver

Gauss y la congruencia, por E.T.Bell
Congruencias módulo m

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Angel "Java" Lopez
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Este debe ser uno de mis temas preferidos. Lo mío es un apostolado :-) les dejo más enlaces:

ON FERMAT'S LAST THEOREM FOR N = 3 AND N = 4
http://wstein.org/edu/2010/414/projects/ohana.pdf

Fermat's Last Theorem: Fermat's Last Theorem: Proof for n=3
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html

[1303.0181] Three Classes of Newtonian Three-Body Planar Periodic Orbits
http://arxiv.org/abs/1303.0181

Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem - ScienceNOW
http://news.sciencemag.org/sciencenow/2013/03/physicists-discover-a-whopping.html

Kepler contra Fludd, science contra woo? | The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/2011/12/27/kepler-contra-fludd-science-contra-woo/

The Foundations of Geometry,
http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf
by David Hilbert

Covariant and contravariant — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2013/02/28/covariant-and-contravariant/

Maria Gaetana Agnesi, algo más que su (mal llamada) bruja - Gaussianos
http://gaussianos.com/maria-gaetana-agnesi-algo-mas-que-su-mal-llamada-bruja/

El Topo Lógico: Gödel y Cantor en RBA
http://eltopologico.blogspot.com.ar/2013/02/godel-y-cantor-en-rba.html

Writing on the Wall « tomstandage.com
http://tomstandage.wordpress.com/books/writing-on-the-wall/

What Kepler and Newton really did. | The Renaissance Mathematicus
http://thonyc.wordpress.com/2013/02/05/what-kepler-and-newton-really-did/

Esto no es falso | Mati, una profesora muy particular
http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2013/02/04/3539/

Minkowski biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Minkowski.html

Pat'sBlog: On This Day in Math - January 5
http://pballew.blogspot.com.ar/2013/01/on-this-day-in-math-january-5.html

Poinsot biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Poinsot.html

Ramanujan's Mock Modular Forms: Indian Mathematician's Dream Conjecture Finally Proven
http://www.huffingtonpost.com/2012/12/27/ramanujans-mock-modular-forms_n_2371680.html?utm_hp_ref=science

Van_Ceulen biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Van_Ceulen.html

Chudnovsky algorithm - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm

Algorithm used for world record pi calculations — The Endeavour
http://www.johndcook.com/blog/2011/03/14/algorithm-record-pi-calculation/

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Hay dos maneras de clasificar las formas: ya sea por el orden, o sino, por la cantidad de variables que contienen. En este último caso hay nombres especiales para las formas, por lo menos para una cantidad pequeña de variables:

1 . m = 1. Formas unarias. La forma general es

2. m = 2. Formas binarias. La expresión general es

Y el número de términos es n + 1.

3. m = 3. Formas ternarias.

4. m = 4. Formas cuaternarias.

5. m = 5. Formas quinarias.

6. m = 6. Formas senarias.

La terminología para m = 1, 5, 6 es poco usada. Veamos de determinar el número de términos de una forma general. Sea

el número de términos de una forma general de orden n y con m variables. Ya conocemos que

Entonces afirmamos que la fórmula deseada es:

Veamos. La fórmula es válida para m = 2. Tenemos que probar que es válida para otros valores de m, y podemos hacerlo por inducción. Para eso podemos usar una fórmula por recursión que puede ser derivada como sigue. Sea

una forma de orden n. Entonces, en el caso general tenemos la expresión

Se sigue:

Y entonces también:

Restamos ambas fórmulas, quedando:

lo que da

Ahora viene el paso delicado. Veamos si hay una diferencia entre nuestra función y la fórmula propuesta. Examinemos:

Operando:

Pero recién habíamos obtenido:

Y por otro lado:

es igual a

Queda:

Pero esto es 0, por hipótesis inductiva sobre m. Queda:

Llegando a:

Queda entonces que la fórmula propuesta es válida para cualquier n, m.

La deducción es algo larga, pero se reduce a probar la fórmula por inducción.

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Sigo con este muy interesante tema. Vean que está "on fire" el tema de las parejas de primos, con salto acotado (falta para llegar a Goldbach, pero se van acercando los muchachos, pasaron de un "gap" de 70 millones a uno de menos de un millón parece).

K-Tuple Permissible Patterns
http://www.opertech.com/primes/k-tuples.html

More narrow admissible sets | Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2013/06/05/more-narrow-admissible-sets/

Bound on prime gaps bound decreasing by leaps and bounds | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/06/bound-on-prime-gaps-bound-decreasing-by-leaps-and-bounds/

A multi-dimensional Szemer\’edi theorem for the primes via a correspondence principle | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/06/13/a-multi-dimensional-szemeredi-theorem-for-the-primes-via-a-correspondence-principle/

A combinatorial subset sum problem associated with bounded prime gaps | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/06/10/a-combinatorial-subset-sum-problem-associated-with-bounded-prime-gaps/

The prime tuples conjecture, sieve theory, and the work of Goldston-Pintz-Yildirim, Motohashi-Pintz, and Zhang | What's new
https://terrytao.wordpress.com/2013/06/03/the-prime-tuples-conjecture-sieve-theory-and-the-work-of-goldston-pintz-yildirim-motohashi-pintz-and-zhang/

Online reading seminar for Zhang’s “bounded gaps between primes” | What's new
http://terrytao.wordpress.com/2013/06/04/online-reading-seminar-for-zhangs-bounded-gaps-between-primes/

Disponible "Bounded gaps between primes" de Yitang Zhang y algunas mejoras a la cota de 70000000 - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/disponible-bounded-gaps-between-primes-de-yitang-zhang-y-algunas-mejoras-a-la-cota-de-70000000/

I just can’t resist: there are infinitely many pairs of primes at most 59470640 apart | Secret Blogging Seminar
http://sbseminar.wordpress.com/2013/05/30/i-just-cant-resist-there-are-infinitely-many-pairs-of-primes-at-most-59470640-apart/

¿Cuántas sucesiones CuCu existen? - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/cuantas-sucesiones-cucu-existen/

“Bounded gaps between primes” by Yitang Zhang now available | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/bounded-gaps-between-primes-by-yitang-zhang-now-available

odd Goldbach conjecture | The Aperiodical
http://aperiodical.com/tag/odd-goldbach-conjecture/

LOG#104. Primorial objects. | The Spectrum of Riemannium
http://thespectrumofriemannium.wordpress.com/2013/05/18/log104-primorial-objects/

An Unheralded Breakthrough: The Rosetta Stone of Mathematics | Guest Blog, Scientific American Blog Network
http://blogs.scientificamerican.com/guest-blog/2013/05/21/an-unheralded-breakthrough-the-rosetta-stone-of-mathematics/

On equivalent forms of the weak Goldbach conjecture | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/on-equivalent-forms-of-the-weak-goldbach-conjecture/

Sumando potencias. Acertijo matemático. | Acertijos y mas cosas
http://acertijosymascosas.com/sumando-potencias-acertijo-matematico/

2² number theory tricks | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2013/05/2%C2%B2-number-theory-tricks/

www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Panoramic Overview of Inter-universal Teichmuller Theory.pdf
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Panoramic%20Overview%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf

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Termino hoy con la traducción del prefacio de David Hilbert a su Zahlbericht:

El objetivo del presente reporte es describir los resultados de la teoría de los campos de números algebraicos, con sus pruebas, en un desarrollo lógico y desde un punto de vista unificado, y así contribuir ha acercar el tiempo donde los logros de nuestros grandes autores clásicos de la teoría de números sean la propiedad común de todos los matemáticos. Argumentos históricos y aún discusiones sobre prioridad han sido completamente dejados de lado. Para permitirme confinar la descripción a un espacio relativamente pequeño he tenido buscar las fuentes más productivas y cuando alguna alternativa se presentaba siempre le he dado preferencia a las más agudas y ampliamente usadas herramientas. La cuestión de decidir cuál de varias pruebas es la más simple y más natural no puede en muchos casos ser dirimida en lo abstracto, sino solamente luego de haber examinado si los principios que las sustentan puede ser generalizados y usados para más investigación, entonces obtendremos una respuesta segura.

La primera parte del reporte trata de la teoría general de campos de números algebraicos; esta teoría se nos aparece como un edificio poderoso soportado por tres pilares fundacionales: el teorema de la factorización única en ideales primos, el teorema de la existencia de unidades y la expresión trasncendetal del número de clase. La segunda parte contiene la teoría de campos de números de Galois en la cual también las leyes de la teoría general son incluidas. La tercera parte está dedicada al ejemplo clásico de los campos cuadráticos. La cuarta parte trata de los campos ciclotómicos. Finalmente la quinta parte desarrolla la teoría de esos campos a los que Kummer tomó como base para su investigación de leyes de reprocidad más altas y basado en ese estudio las he bautizado con su nombre. Es claro que la teoría de estos campos de Kummer representa el pico más alto alcanzado hoy por el conocimiento de la aritmética; desde ahí vemos el amplio panorama de todo el dominio explorado desde que las ideas esenciales y los conceptos de la teoría de campos, al menos en una configuración especial, encuentra una aplicación en la prueba de las leyes de reciprocidad más altas. He tratado de evitar el elaborado artefacto computacional de Kummers, de tal manera que aquí tambien el principio de Riemann puede ser invocado y las pruebas se completan no por cálculo sino puramente por ideas.

Hay mucho para comentar, como la relación del trabajo de Kummer con otros. Pero es interesante cómo Hilbert vuelve a preferir probar "por ideas", como cuando se dedica a los invariantes.

Las teorías tratadas en las tercera, cuarta y quinta partes son todas teorías de campos particulars abelianos o relativamente abelianos. Un ejemplo adicional de ese tipo de teorías es la multiplicación compleja de funciones elípticas, en la que entendemos es una teoría de esos campos de números que son extensiones abelianas de un campo dado imaginario cuadrático. A estos estudios de multiplicación compleja deben, sin embargo, ser negada su inclusión en el presente reporte desde que los resultados de esta teoría no han sido aún logrado un nivel de simplicidad y completitud que permita dar una descripción satisfactoria.

La teoría de campos de números es una estructura de una belleza y armonía maravillosas; la parte más ricamente dotada de esta estructura me parece que es la teoría de campos abelianos y relativamente abelianos en los que Kummer con su trabajo sobre leyes de reprocidad más altas y Kronecker con sus estudios en la multiplicación compleja y funciones elípticas nos han revelado. La profunda penetración en esta teoría por medio del trabajo de estos dos matemáticos nos dieron nos muestra al mismo tiempo que este campo de conocimiento y abundancia de preciosos tesoros todavía permanece oculto, ofreciendo una rica recompensa al estudioso que conoce el valor de esas gemas y que ama aplicar su habilidad para ganarlas.

Las cinco partes de este reporte que describimos arriba están dividas en capítulos y secciones, y en ellos siempre enunciamos los teoremas y lemas primero, y luego sus pruebas. Pienso en el lector como en un viajero: los lemas son paradas al borde del camino; los teoremas son grandes estaciones señaladas por adelantado en donde la actividad de la mente puede descansar. Aquellos teoremas que de acuerdo a su fundamente significado son destinos principales o los que parecen convenientemente destacados como putos de partida para otros avances en regiones aún sin descubrir son expuestos en itálica;  estos son los teoremas 7, 31, 40, 44, 45, 47, 56, 82, 94, 100, 101, 131, 143, 144, 150, 158, 159, 161, 164, 166,
167.

Mi amigo Hermann Minkowski ha leído las pruebas de este reporte con gran cuidado; también ha leído gran parte del manuscrito. Sus sugerencias han llevado a muchas significativas mejoras, tanto en contenido como en presentación. Por toda su ayuda le ofrezco mis más sinceras gracias.

Mis gracias también van a mi esposa, que transcribió el manuscrito completo y preparó el índice.

Finalmente debo reconocer con agradecimiento a la Editorial Committee of  the Deutsche Mathematiker-Vereinigung, en particular a Mr A. Gutzmer por leer las pruebas, y a los editores de George Reimer por su amplia cooperación para la producción de la versión impresa.

Gottingen, 10 April 1897       David Hilbert

Como declaraba en otro post, espero poder escribir algunos detalles de este trabajo.

Nos leemos!

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God to Award Prizes for God Particle | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=5659

Is the big Higgs news for next week?
http://www.quantumdiaries.org/2013/03/01/is-the-big-higgs-news-for-next-week/

It looks very much like we have “a” Higgs boson
http://www.quantumdiaries.org/2013/03/16/it-looks-very-much-like-we-have-%e2%80%9ca%e2%80%9d-higgs-boson/

Chasing the Higgs - How 2 Teams of Rivals Searched for Physics’ Most Elusive Particle - NYTimes.com
http://www.nytimes.com/2013/03/05/science/chasing-the-higgs-boson-how-2-teams-of-rivals-at-CERN-searched-for-physics-most-elusive-particle.html?ref=dennisoverbye&_r=0

Discovery of Higgs boson really, truly confirmed « Why Evolution Is True
http://whyevolutionistrue.wordpress.com/2013/03/14/discovery-of-higgs-boson-really-truly-confirmed/

Higgs Update | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=5599

Aseguran que encontraron la “partícula de Dios”
http://www.clarin.com/ciencia/Aseguran-encontraron-particula-Dios_0_882511919.html

ATLAS releases animated particle plots | CERN
http://home.web.cern.ch/about/updates/2013/03/atlas-releases-animated-particle-plots

El año que descubrimos el bosón | Sociedad | EL PAÍS
http://sociedad.elpais.com/sociedad/2012/12/20/actualidad/1356022826_205688.html

New Higgs Results Tomorrow? | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=5408

Gluino, Higgsino, bingo!
http://www.quantumdiaries.org/2012/12/10/gluino-higgsino-bingo-2/

CMS, ATLAS experiments report Higgs-like particle close to the 7 sigma level
http://phys.org/news/2012-12-cms-atlas-higgs-like-particle-sigma.html

A bouquet of options: Higgs factory ideas bloom | symmetry magazine
http://www.symmetrymagazine.org/article/november-2012/a-bouquet-of-options-Higgs-factory-ideas-bloom

Hacía un tiempo que no escribía sobre el tema. Esta es una serie de notas personales, más que un estudio ordenado del tema. Son notas para servir de base. Las paso por escrito para no perderlas.

Nota 2

Ver Feynman Diagrams for the Masses (part 1) del bueno de Carl Brennan. Leo ahí:

In the usual way of doing physics, one obtains Feynman diagrams after making a guess at the Lagrangian density. Joseph Louis Lagrange was an 18th century mathematician. The Lagrangian is roughly the kinetic energy minus the potential energy. If we choose a particular form for the kinetic and potential energies we can write down the Lagrangian. From the Lagrangian we can compute the equations of motion. We do this by varying the Lagrangian, that is, by computing the Lagrangian for a set of possible paths and picking a path for which small changes to the path do not change the Lagrangian. Such a path is a possible sequence of values for the positions of our particles (and their momenta). The equations of motion will show up as a set of coupled differential equations.

For a wave theory, like quantum mechanics, the kinetic and potential energies are defined at each point in space-time as a functional of the fields. With  the wave function, T the kinetic energy, and V the potential energy, one could write the Lagrangian as: 

También describe lo que es un propagador, funciones de Green, relación con Fourier, etc... Leo:

In the usual way of doing physics, one obtains Feynman diagrams after making a guess at the Lagrangian density. Joseph Louis Lagrange was an 18th century mathematician. The Lagrangian is roughly the kinetic energy minus the potential energy. If we choose a particular form for the kinetic and potential energies we can write down the Lagrangian. From the Lagrangian we can compute the equations of motion. We do this by varying the Lagrangian, that is, by computing the Lagrangian for a set of possible paths and picking a path for which small changes to the path do not change the Lagrangian. Such a path is a possible sequence of values for the positions of our particles (and their momenta). The equations of motion will show up as a set of coupled differential equations.

For a wave theory, like quantum mechanics, the kinetic and potential energies are defined at each point in space-time as a functional of the fields. With  the wave function, T the kinetic energy, and V the potential energy, one could write the Lagrangian as: 

. Instead of getting an equation of motion for the particles, we get a set of coupled partial differential equations. The partial derivatives show up because of the dependency on position.

If we turned off the interaction, the equations of motion we would get from the Lagrangian in the usual QFT technique would be something like Schrödinger"s equation or Dirac"s equation. The propagators (Green"s functions) for these equations of motion are well known. What is not known are the propagators for the more complicated equations of motion that would give the full Lagrangian. Such a propagator is called "exact". We will direct our effort at this sort of problem, that is, finding the exact propagators (or an approximation to them) for complicated Lagrangians.

Y sigue con la discusión ahí.

Sobre Carl Brennan:

Carl Brannen is well known to the regulars of this blog. He is an independent researcher and my favourite non-professional theorist, because he gives me the hope that brilliant minds, who were diverted from the natural path of doing basic research, may return to it for good. And Carl provides us with another important proof: that institutionalized science does sometimes listen to the voice of those who have something to say regardless of who signs their monthly paycheck. It may give them a hard time getting their papers published, though.

Lo encuentro citado en Guest Post: Carl Brannen, "Position, Spin, And The Particle Generations"

Nota 2

Encuentro lagrangianos en el artículo de Gauge Theory de la Wikipedia. Por ejemplo:

An example: Scalar O(n) gauge theory [edit]

The remainder of this section requires some familiarity with classical or quantum field theory, and the use of Lagrangians.

Definitions in this section: gauge group, gauge field, interaction Lagrangian, gauge boson.

The following illustrates how local gauge invariance can be "motivated" heuristically starting from global symmetry properties, and how it leads to an interaction between fields which were originally non-interacting.

Trata el tema de lagrangiano con simetría global, y luego pasa a local:

Now, demanding that this Lagrangian should have local O(n)-invariance requires that the G matrices (which were earlier constant) should be allowed to become functions of the space-time coordinates x.

Unfortunately, the G matrices do not "pass through" the derivatives,....

Más adelante:

The difference between this Lagrangian and the original globally gauge-invariant Lagrangian is seen to be the interaction Lagrangian

This term introduces interactions between the n scalar fields just as a consequence of the demand for local gauge invariance. 

Ver Interaction Lagrangian. Y por supuesto, tenía que llegar a estas nodas: Lagrangian.

The Lagrangian, L, of a dynamical system is a function that summarizes the dynamics of the system. It is named after Joseph Louis Lagrange. The concept of a Lagrangian was introduced in a reformulation of classical mechanics introduced by Joseph Louis Lagrangein 1788, known as Lagrangian mechanics.

Y ver Hamiltonian mechanics:

Hamiltonian mechanics is a theory developed as a reformulation of classical mechanics and predicts the same outcomes as non-Hamiltonian classical mechanics. It uses a different mathematical formalism, providing a more abstract understanding of the theory. Historically, it was an important reformulation of classical mechanics, which later contributed to the formulation of thequantum mechanics.

Hamiltonian mechanics was first formulated by William Rowan Hamilton in 1833, starting fromLagrangian mechanics, a previous reformulation of classical mechanics introduced by Joseph Louis Lagrange in 1788.

Como ven, son temas que nos van llevando por todos lados. De ahí, que tenga que escribir estas notas ;-).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Les debía estos enlaces, algo más actualizados. Hay más, pero por hoy vienen éstos:

La física oculta en el infinito, la transmutación dimensional en teorías de Yang-Mills y un millón de dólares « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2009/11/17/la-fisica-oculta-en-el-infinito-la-transmutacion-dimensional-en-teorias-de-yang-mills-y-un-millon-de-dolares/

[0911.1013] Mass in Quantum Yang-Mills Theory
http://arxiv.org/abs/0911.1013

El bosón de Higgs y el problema del salto de masa para las ecuaciones de Yang-Mills « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2011/06/04/el-boson-de-higgs-y-el-problema-del-salto-de-masa-para-las-ecuaciones-de-yang-mills/

Me ha defraudado Óscar García Prada en su charla sobre la "Existencia de Yang-Mills y del salto de masa" « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2011/06/02/me-ha-defraudado-oscar-garcia-prada-en-su-charla-sobre-la-existencia-de-yang-mills-y-del-salto-de-masa/

What is the Higgs boson? - video | Science | guardian.co.uk
http://www.guardian.co.uk/science/video/2012/jul/03/what-is-a-higgs-boson-video

Los conceptos de campo, partícula, partícula virtual y vacío « Francis (th)E mule Science's News
http://francisthemulenews.wordpress.com/2012/08/15/los-conceptos-de-campo-particula-particula-virtual-y-vacio/

At a Workshop; and Higgs Papers Are Out | Of Particular Significance
http://profmattstrassler.com/2012/08/02/at-a-workshop-and-higgs-papers-are-out/

Implications of LHC Results | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=4873

Two New Experimental Results | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=4885

The Post-Higgs Hangover: where"s the new physics?
http://www.quantumdiaries.org/2012/07/19/the-post-higgs-hangover-wheres-the-new-physics/

It"s a Boson! The Higgs as the Latest Offspring of Math & Physics | The Crux | Discover Magazine
http://blogs.discovermagazine.com/crux/2012/07/30/the-mathematical-magic-behind-the-mysterious-higgs-boson/

Quantum Diaries
http://www.quantumdiaries.org/2012/07/16/spinning-out-of-control/

How the Higgs can lead us to the dark universe | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=4897

Pequeño LdN: 27 kilómetros para entender la masa
http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/1499/27-kilometros-para-entender-la-masa

Happy Higgs Day | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=4829

CERN: We Have Observed a New Particle | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=4823

Proof Evidence of "God Particle" Found | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=4809

Higgs, Higgs, Higgs | Not Even Wrong
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=4837

That Goddamn Particle « Eye on the ICR
 http://eyeonicr.wordpress.com/2012/07/06/that-goddamn-particle/
 
Did the 'God Particle' Create Matter?
http://www.icr.org/article/did-god-particle-create-matter/

Quantum Diaries
 http://www.quantumdiaries.org/2012/07/05/the-celebrated-god-particle-by-mark-twain/
 
Everything must fit nicely together
http://www.quantumdiaries.org/2012/07/10/everything-must-fit-nicely-together/
 
"Higgs Boson Will Unlock Great Mysteries of the Universe" --Era of New Physics Looming (Weekend Feature)
 http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2012/07/higgs-boson-will-unlock-great-mysteries-of-the-universe-era-of-new-physics-looming-weekend-feature.html

symmetry breaking » Blog Archive » Higgs in perspective; looking back to 1964
http://www.symmetrymagazine.org/breaking/2012/07/06/higgs-in-perspective-looking-back-to-1964/

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Sigo con enlaces del gran Euler, para entreterme una docena de vidas:

Tennis racket theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Tennis_racket_theorem

Fermat's Last Theorem: Fermat's Last Theorem: Proof for n=3
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html

Euler biography
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Euler.html

The Riemann Hypothesis
http://primes.utm.edu/notes/rh.html

Eight Wonders of the Mathematical World - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=lxAZ_FLudKc&feature=player_embedded

pi Approximation Computer Simulation - Euler's Infinite Series
http://www.tinafad.com/pi3.php

The world of Pi - Euler
http://www.pi314.net/eng/euler.php

EULER Y EL UNIVERSO MATEMATICO 2/3 - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=BJYit2ta8lM&feature=related

The Life of Leonhard Euler - YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=bkjQgJBJctU&feature=related

El desarrollo más bello de Pi como suma infinita - Gaussianos | Gaussianos
http://gaussianos.com/el-desarrollo-mas-bello-de-pi-como-suma-infinita/

Evolution of the Function Concept: A Brief Survey
http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Polya/07468342.di020738.02p00875.pdf

Daniel Peralta-Salas y Alberto Enciso nos hablan de la conjetura sobre la ecuación de Euler | Gaussianos
http://gaussianos.com/daniel-peralta-salas-y-alberto-enciso-nos-hablan-de-la-conjetura-sobre-la-ecuacion-de-euler/

Fermat's Last Th, n=3 -- Euler's (wrong) proof of Fermat's Last Theorem for n=3
http://2000clicks.com/mathhelp/NumberFermatsLastThCubesEuler.aspx

Viète's formula - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Vi%C3%A8te%27s_formula

Dos matemáticos españoles resuelven una conjetura sobre fluidos de hace medio siglo | Gaussianos
http://gaussianos.com/dos-matematicos-espanoles-resuelven-una-conjetura-sobre-fluidos-de-hace-medio-siglo/

[1003.3122] Knots and links in steady solutions of the Euler equation
http://arxiv.org/abs/1003.3122

E241 -- Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum
http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E241.html

E98 -- Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes
http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E098.html

The Euler Archive - the works of Leonhard Euler online
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- Escribir post sobre descenso infinito [completo] post
- Escribir segundo post sobre serie p = x2 + y2 [completo] post
- Escribir tercer post del teorema de la base de Hilbert [completo] post
- Escribir nuevo post de mi serie de topología general [completo] post
- Escribir primer post sobre nueva serie de teoría de números [completo] post
- Estudiar teoría de números [completo]

Además, estuve publicado

- Davild Hilbert y su Teoría de Números Algebraicos [completo] post, post

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- Escribir tercer post sobre serie p = x2 + y2
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Synthetic geometry - Wikipedia, the free encyclopedia
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The Foundations of Geometry
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Position the ramp of a construction site by solving a quartic equation
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Synthetic Differential Geometry
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Sigo traduciendo el prefacio de David Hilbert a su trabajo Teoría de Números Algebraicos, conocido como Zahlbericht:

Hemos visto hasta ahora cómo la aritmética, la reina de las matemáticas, ha conquistado amplias áreas del álgebra y de la teoría de funciones y se ha transformado en su líder. La razón para que esto no sucediera antes y se hubiera desarrollado más extensivamente, me parece que recide en que la teoría de números solamente en años recientes ha alcanzado su madurez. Aún Gauss se quejaba del esfuerzo desproporcionado que le costó determinar el signo de una raíz cuadrada en teoría de números: "muchos otros temas me tomaron días y éste me tomó años", y entonces, "como un rayo de luz", él "solucionó el misterio". En nuestros días el progreso errático característico de las etapas tempranas de desarrollo de un tema ha sido reemplazado por un continuo y firme progreso gracias a la construcción sistemática de la teoría de campos de números algebraicos.

La conclusión, si no estoy equivocado, es que todos los modernos desarrollos de la matemática pura se realizan bajo los auspicios del número: las definiciones de Dedekind y Kronecker de los conceptos fundamentales de la aritmética y la construcción general de Cantor del concepto de número nos llevan a una aritmetización de la teoría de funciones y nos sirve para darnos cuenta del principio que aún en teoría de funciones un hecho lo podemos tomar como probado solamente cuando en último recurso es reducido a relaciones entre enteros racionales. La aritmetización de la geometría es acompañada por las modernas investigaciones en geometría no euclideana en las cuales es una cuestión de construcción estrictamente lógica del tema y la más directa posible y completamente satisfactoria introducción del número en la geometría.

Realmente, al tiempo de la escritura de este reporte (finales del siglo XIX), la teoría de números había alcanzado su mayoría de edad. Pero seguiría curiosos caminos para mantenerse viva y activa. Apenas he empezado con mi serie de posts elementales sobre el tema, espero llegar o tener una serie sobre los campos de números que menciona Hilbert.

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Sigo con la demostración del teorema de la base de Hilbert. Ya estuvimos viendo de obtener un ideal derivado de cualquier ideal I de R[x]. Algo de notación. Sea:

El conjunto de los Pi que encontramos en el anterior post:

...

Entonces, nuestro ideal derivado es:

Donde los Sj son polinomios cualesquiera de R[x]. Si este ideal I1 fuera igual a I, nuestro ideal inicial, quedaría demostrado el teorema. Pero bien puede que no sea el caso: pueden quedar polinomios de I que estén fuera de I1. Veamos que estos polinomios que "quedan fuera" de I están cerca de I1.

Sea Pm el polinomio de mayor grado de P, y sea n ese grado mayor. Todo polinomio F(x) de I se puede expresar entonces como:

Donde Q(x) es un polinomio con grado menor que n. ¿Cómo podemos demostrar esto? Viendo que a todo F(x) con grado l >= n se le puede anular su término de mayor grado con algún polinomio de I1. ¿Cómo es eso? Sea F(x):

Ese coeficiente c que tiene el término de mayor grado, es elemento del ideal formado por todos los coeficientes de mayor término de I. Entonces, debe ser expresado como:

Por haber tomados los ai como base generadora de ese ideal. Entonces existe F"(x) perteneciente a I1 con:>

Con lo que a F(x) se le puede quitar su término principal. Y así seguimos, hasta que F(x) no tenga más términos de grado >= n. Lo que queda del polinomio inicial será el Q(x) que estamos buscando. Y como Q(x) es la resta de un polinomio de I menos un polinomio de I1, es entonces un polinomio de I (recordemos que I1 está incluido en I).

Sea entonces Q el conjunto de todos esos Q(x):

Bien puede ser que Q sea infinito. No importa, genera un ideal:

Tal que como vimos es:

En el próximo post veremos de operar este ideal para obtener otro ideal I2. No se preocupen, ya estamos cuesta abajo, no vamos a seguir hasta I1234 ;-)

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Este post es el primer paso en un largo camino. Ya escribí sobre algunos temas aislados, pero ya es tiempo de escribir de una forma más ordenada. Ya que esto es teoría de números, veamos primero los números.

Para los griegos, los números eran múltiplos de una unidad. La unidad podía variar, pero al fin, todo eran números naturales. Esos son los primeros números que tratemos. Resolver ecuaciones como:

Nos basta con conocer el número natural 2. Pero para pasar a resolver ecuaciones como:

Tenemos que recurrir a números "no naturales": un simple pero negativo -3. No fue fácil la aceptación de los números negativos en matemáticas. Aún en el siglo XIX, matemáticos de primera línea ponían a las soluciones negativas como "soluciones a problemas mal planteados". Si pasamos a la ecuación general:

Con a, b enteros, ¿cuándo tendremos solución x entera? Pues ya conocen la respuesta: cuando a divida a b. Y aquí la "dificultad" de los enteros: si bien dado un entero a, siempre existe un entero que sea su inverso ante la suma (el entero –a), no siempre todo entero tiene inverso multiplicativo: la división –b/a que daría la solución de la ecuación de arriba, NO SIEMPRE ESTA DEFINIDA en el dominio de los enteros.

Tenemos que investigar la divisibilidad. Cuando b es múltiplo de a, es porque existe un entero m tal que:

Vamos a escribir "a divide a b" con la notación:

No siempre todo b es divisible por a. Tomemos el caso más fácil: hay números que son divisibles por 2, son los pares. Hay números que no son divisibles por 2, y son los impares. Desde los tiempos de Pitágoras se sabe que par sumado a par da par, par mas impar da impar, par multiplicado por par da par, par multiplicado por impar da par. Generalicemos algunos de estos resultados.

Sea

Entonces

Pues es fácil ver que lo primero es:

Sumando queda

Donde se ve que b mas c es múltiplo de a. Ahora bien, sea que sabemos que a divide b mas c. ¿Puede a dividir a b? Pues no siempre. Puede que sí como puede que no. 5 divide a 8 + 2 = 10, pero no divide a 8 ni a 2. Pero sí podemos decir que si

Entonces a divide a cualquier múltiplo de b:

Si tenemos

¿Podemos decir que

O

? No siempre. 10 divide a 5*4, pero no divide ni a 5 ni a 4. Veremos más adelante que si a es número primo, entonces sí, o divide a b o divide a c. Pero no nos adelantemos, todavía no vimos números primos.

Veamos un resultado importante. Sean a, b enteros cualesquiera, entonces siempre existen s, r tales que:

Es el teorema del resto. Para demostrarlo tomemos todos los números:

Variando s por todos los números enteros. Nos quedamos con los no negativos. Por propiedad de los naturales, hay un menor número en ellos:

Ahora el s está fijo. Tendríamos que demostrar que r es menor que |a|. Limitémonos al caso a positivo. Si r fuera mayor o igual a a, entonces:

Y r no hubiera sido el menor, como lo habíamos tomado. Este pequeño teorema va a ser muy importante en lo que vamos a explorar.

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Sea demostrar que la raíz cuadrada de 3 no es un número racional. Supongamos que

Donde a, b son naturales. Podría haber más de una fracción así. Por ejemplo, ½, 2/4, son el mismo número.

Entonces, elevando al cuadrado:

Multiplicamos por b ambos lados:

Por ser 3 primo, resulta que a es múltiplo de 3. Sea

Se siguen entonces:

Por lo mismo, b es múltiplo de 3, y entonces:

El número d es menor que b. Y por la última relación, se sigue:

Llegamos a

Es decir, conseguimos OTRA FRACCION expresando el mismo supuesto racional, la raíz cuadrada de 3. Pero esta vez, el denominador d es menor que el de la anterior fracción, el denominador b. Podemos repetir SIEMPRE la operación que hicimos, y seguiremos obteniendo nuevas fracciones, cada una con el denominador menor que la anterior. No terminan nunca. Pero es claro que el denominador no puede decrecer para siempre: hemos considerado números naturales. Llegamos a contradicción.
Una forma más moderna hubiera sido partir con el conjunto de todos los a/b con a, b naturales, que sean la raíz cuadrada de tres, suponer que no es vacío, y tomar el par que tenga b menor (por propiedad de los naturales, todo conjunto de números naturales no vacío tiene un mínimo). Y con el procedimiento anterior, llegar a obtener otro par a, b con denominador menor al tomado, contradicción.

Si estuvieron atentos, ésta no es la forma más habitual de demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de 3. Lo más conocido es: tomar a/b con a, b sin factores comunes, y con el procedimiento anterior, ver que tienen un factor común, el 3, llegando a contradicción.

En próximos posts veremos aplicaciones no triviales del descenso infinito. Por ejemplo, en el "Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles", de Yves Hellegouarch, hay otra demostración de la irracionalidad de 3 usando descenso infinito. Ver también:

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_infinite_descent

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